95การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

7. การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

เมอคลนเดนทางผานสงกดขวาง (เชน ขอบของวตถ ชองเปดเลกเลก) คลนจะเกดการเลยวเบน (diffraction) กระจายตวออกจากทศการเคลอนทในแนวเดม แสงทเดนทางผานสงกดขวางจะเลยวเบนทขอบ คลนทเลยวเบนผานสวนตาง ๆ ของสงกดขวางนนจะเกดการแทรกสอดกนสามารถสงเกตผลการแทรกสอด (interference pattern) เปนรปแบบการเลยวเบน (diffraction pattern) ของแถบสวางสลบกบแถบมดบนฉาก (เกดจากการแทรกสอดของคลนแสงทเลยวเบนออกจากสวนตาง ๆ ของสงกดขวาง) หลกการเลยวเบนศกษาไดจากการเลยวเบนผานชองเปดเลก

การเลยวเบนจากชองเลกยาวเดยว การเลยวเบนผานชองเลกยาวเดยวเปนระบบทใชศกษาหลกการเลยวเบนของคลนโดยการฉาย

แสงผานชองเปดเลกแลวดผลการเลยวเบนจากภาพบนฉาก โดยทวไปฉากจะอยหางจากชองเปดมากจนประมาณไดวาแสงทไปตกบนฉากเปนลาแสงขนาน รปแบบการเลยวเบนทไดจากวธนเรยกวา รปแบบการเลยวเบนแบบฟราวนโฮเฟอร (Fraunhofer diffraction pattern) ทงนกรณทฉากอยไมหางจากชองเปดจะได รปแบบการเลยวเบนแบบเฟรสเนล (Fresnel diffraction pattern) ซงวเคราะหยากกวามาก ดงนนในวชานการเลยวเบนจะหมายถงการเลยวเบนแบบ Fraunhofer เทานน เมอแสงจากตนกาเนดเดนทางผานชองเปดจะเกดการเลยวเบนแลวไปเกดการแทรกสอด สงเกตเหนรปแบบการเลยวเบนบนฉากรบภาพ

ผลทไดบนฉากคอภาพของแถบสวางและแถบมดสลบกน โดยมแถบสวางกลางอยบรเวณแนวกลางทมม 0 = ตามดวยแถบมดและแถบสวางสลบกนไป ซงเปนผลจากการแทรกสอดของแสงทออกมาจากชองเปด ในบททผานเรองการแทรกสอดของคลนไดละการพจารณาขนาดของชองเปดโดยคดวาชองเปดเลกเสมอนเปนแหลงกาเนดแบบจด (point source) แตในหวขอนจะพบวารปแบบการเลยวเบนเกดจากขนาดของชองเปด

เมอคลนแสงจากตนกาเนดมากระทบชองเปด ทกทกจดบนหนาคลนของตนกาเนดจะเสมอนเปนแหลงกาเนดแบบจดของคลนใหม คลนทออกจากสวนตาง ๆ ของชองเปดประกอบดวยแหลงกาเนดแบบจดจานวนมากเรยงตลอดแนวชองเปด เนองจากแหลงกาเนดแสงใหมนเกดจากตนกาเนดแสงเดยวกนทมากระทบชองเปดจงถอวาเปนแหลงกาเนดอาพนธ คลนแสงใหมจานวนมากนจะแทรกสอดกนเหนเปนรปแบบการเลยวเบนบนฉาก ดงนนสงสาคญในการพจารณาเงอนไขของรปแบบการเลยวเบนคอการวเคราะหความตางเฟสของคลนจากแหลงกาเนดแสงใหมน

a

รป 1 การเลยวเบนผานเหรยญกลม จดสวางทศนยกลางเกดจากการแทรกสอดแบบเสรมกนของแสงทมาจากขอบรอบเหรยญ (P.M. Rinard, Am. J. Phys. 44:70, 1976)

รป 2 การเลยวเบนจากชองเลกยาวเดยว [1]

 96  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

พจารณาชองเปดทมความกวาง a (ทประกอบดวยแหลงกาเนดแสงแบบจดจานวนมากตลอดแนวชองเปด) การพจารณาจะงายขนถาแยกคดแหลงกาเนดแสงจานวนมากนออกเปนสวน ๆ โดยเรมตนแบงชองเปดเปน 2 สวนเทา ๆ กน กงกลางของสองสวนนหางกนเปนระยะ 2a ดงนนทมมใดใด จากแนวกลางผลตางของระยะทางของแสงจากสองสวนนเทากบ ( 2)sina ถาระยะทางนเปนครงหนงของความยาวคลน ( 2 ) คลนทงสองเกดการแทรกสอดแบบหกลางกนเหนเปนแถบมดบนฉาก ไดเงอนไข

dark

dark

sin2 2

sin

a

a

=

=

ในทานองเดยวกนถาแบงชองเปดเปน 4 สวนเทา ๆ กน กงกลางของคทตดกนหางกนเปนระยะ 4a ดงนนทมมใดใด จากแนวกลางผลตางของระยะทางของแสงคน เทากบ ( 4)sina ถาระยะทางนเปนครงหนงของความยาวคลน ( 2 ) คลนแตละคเกดการแทรกสอดแบบหกลางกนสมบรณเหนเปนแถบมดบนฉาก ไดเงอนไข

dark

dark

sin4 2

sin 2

a

a

=

=

ตอมาถาแบงชองเปดเปน 6 สวนเทา ๆ กน กงกลางของคทตดกนหางกนเปนระยะ 6a ดงนนทมมใดใด จากแนวกลางผลตางของระยะทางของแสงคนเทากบ ( 6)sina ถาระยะทางนเปนครงหนงของความยาวคลน ( 2 ) คลนแตละคเกดการแทรกสอดแบบหกลางกนสมบรณเหนเปนแถบมดบนฉาก ไดเงอนไข

dark

dark

sin6 2

sin 3

a

a

=

=

จะเหนแนวโนมของเงอนไขการแทรกสอดแบบหกลางกนสมบรณ (แถบมด) เมอ sina มคาเปนจานวนเตมของความยาวคลน ดงนนหาตาแหนงของแถบมดไดจาก

dark

sin , , ,a m m = =1 2 3 (7.1) สงเกตวาอนดบของรปแบบการเลยวเบนจะเรมทผลตางของระยะทางเปนหนงความยาวคลน (m=1 ) ทงนถา m=0 จะเปนตาแหนงทอยบนแนวกลางซงเปนตาแหนงของสวนทมความเขมแสงมากทสดหรอแถบสวางกลางซงมขนาดใหญ (โดยกวางประมาณ 2 เทาของแถบสวางอน ๆ) สลบดวยแถบมดและแถบสวาง (มความเขมแสงนอยกวาแถบกลางมาก) ทงนตาแหนงของแถบสวางอน ๆ จะอยประมาณกงกลางระหวางคของแถบมด

a

L

0dark

siny a 1 =

darksiny a 2- =-2

darksiny a 2 = 2

darksiny a 1- =-

a

a 2

a 2

sina 2

รป 3 การหาเงอนไขการเลยวเบน [1]

รป 4 แถบมดทตาแหนงตาง ๆ [1]

 97การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

เมอรมมทเกดแถบตาง ๆ จะหาระยะหรอตาแหนงของแถบนน ๆ เทยบกบแถบสวางกลางได โดยใชความสมพนธ

tany L = (7.2) ทงนถาตาแหนงของแถบนนเกดขนทมม เลกเลก จะประมาณคาของ y ไดจาก sin tan » » (7.3)

จะไดสมการในกรณทมมเลก siny L =

dark

, , ,L

y m ma

= =1 2 3 (7.4)

การประมาณมมเลกนใหคาทเชอถอไดถงทศนยมตาแหนงท 3 เมอมม rad <0.114 หรอประมาณ 7 และถงทศนยมตาแหนงท 2 เมอมม rad <0.25 หรอประมาณ 14 ดงนนการใชสมการนตองพงระลกวาคาตอบทไดจะคลาดเคลอนจากคาจรงเมอมมใหญขน

ตวอยาง รปแบบการเลยวเบนจากชองเลกยาว สองแสงความยาวคลน 600 nm ผานชองเลกยาวความกวาง .0 10 mm เกดรปแบบการเลยวเบนบนฉากทหางออกไป .3 0 m มมทเกดแถบมดอนดบท 1 เปนเทาใด และตาแหนงของแถบมดท 2 อยหางจากแนวกลางเทาใด วธทา ใชเงอนไขแถบมด

dark

sin , , ,a m m = =1 2 3 แถบมดอนดบท 1 สอดคลองกบ m=1 จะหามมทเกดแถบมดอนดบท 1 (1 ) ไดจาก

1

1

sin

sin

..

a

a

-9-3

-3

=

=

600´10= = 6 0´10

0 10´10

sin1 มคานอยแสดงวามม 1 เลกมากจงประมาณ sin 1 1» ได

1. rad . -3= 6 0´10 =0 34

จะเกดแถบมดอนดบท 1 ทมม .0 34 จากแนวกลาง แถบมดอนดบท 2 สอดคลองกบ m=2 หามมทเกดแถบมดอนดบท 2 (2 ) ไดจาก

2

2

sin

sin

.

a

a

-9-3

-3

= 2

2=

2´600´10= =12´10

0 10´10

sin2 มคานอยแสดงวามม 2 ยงเลกมาก ทงนตาแหนงของแถบมดท 2 หางจากแนวกลางเปนระยะ y2 ซงสมพนธกบระยะจากชองเปดถงฉาก L เปน tany L 2 2= เนองจากมม 2 เลกจงประมาณ tan sin 2 2» ได

tan

. mm

y L 2 2-3

=

= 3 0´12´10 = 36

ตาแหนงของแถบมดท 2 อยหางจากแนวกลางเปนระยะ mm36

 98  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

ตวอยาง หาความกวางของชองเปดจากรปแบบการเลยวเบน สองแสงสเขยวความยาวคลน 500 nm ผานชองเปดเลกยาวไปเกดรวการเลยวเบนบนฉากทหางออกไป .2 0 m โดยแถบมดท 2 หางจากจดกงกลางเปนระยะ .1 0 cm ชองเปดกวางเทาใด วธทา ประมาณขนาดมมทเกดแถบมดและใชเงอนไขแถบมด ตาแหนงของแถบมดท 2 หางจากแนวกลางเปนระยะ y2 ซงสมพนธกบระยะจากชองเปดถงฉาก L เปน tany L 2 2= จะประมาณขนาดของมมไดจาก

tan

..

.

y

L 2

2

-2-3

=

1 0´10= = 5 0´10

2 0

tan2 มคานอยแสดงวามม 2 เลกมากจงประมาณ tan sin 2 2» ได และจากเงอนไขแถบมดอนดบท 2 (

2sina =2 ) จะหาขนาดของชองเปดไดจาก

2

2

sin

sin

a

a

=2

2=

เนองจากมม 2 เลกมากจงประมาณ tan sin 2 2» ได

2sin

. mm.

a

-9

-3

2=

2´500´10= = 0 20

5 0´10

ชองเปดมความกวางเทากบ . mm0 20

ตวอยาง รปแบบการเลยวเบนจากแสงสองความยาวคลน ใหแสงความยาวคลน 1 และ 2 ผานชองเลกยาวชองหนง จากรปแบบการเลยวเบนบนฉากพบวาตาแหนงมดท 1 ของแสง 1 ตรงกบตาแหนงมดท 2 ของแสง 2 จงหาความสมพนธของ 1 และ 2 วธทา ใชเงอนไขแถบมด

dark

sin , , ,a m m = =1 2 3 เงอนไขแถบมดท 1 ของแสงความยาวคลน 1 เกดขนทมม

sina 1= และเงอนไขแถบมดท 2 ของแสงความยาวคลน 2 เกดขนทมม เดยวกน

sina 2= 2 จะไดความสมพนธของความยาวคลนทงสองเปน 1 2= 2

ความเขมแสงของรปแบบการเลยวเบนจากชองเลกยาวเดยว คลนแสงตนกาเนดทผานชองเปดจะเสมอนเปนแหลงกาเนดแบบจดของคลนใหมจานวนมาก

เรยงตลอดแนวชองเปด รปแบบการเลยวเบนบนฉากเกดจากการแทรกสอดของคลนจานวนมากน ดงนนความเขมแสงทตาแหนงใดใด P บนฉากจะหาไดจากการรวมเฟเซอรของคลนเหลาน ใหแสงตนกาเนดมแอมพลจดเปน E0 เมอตกกระทบชองเปดแลวแยกออกเปนแหลงกาเนดคลนใหมจานวน N แตละคลนมแอมพลจด E ดงนน

E N E0 = คลนใหมนอยหางกนเปนระยะ y เทาเทากนตลอดแนวชองเปด a ดงนน

 99การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

a N y= ทตาแหนง P บนฉากซงทามม กบแนวกลาง ผลตางของระยะทางของแหลงกาเนดคลนใหมทอยชดกนจะเทากบ siny ดงนนความตางเฟสของแหลงกาเนดคลนใหมทอยชดกน ( ) จะเทากบ

sin

sin

y

y

2=

2=

ดงนนเฟเซอรของแหลงกาเนดคลนใหมจานวน N แหลงน จะมขนาดเทากบ E ความตางเฟสของเฟเซอรแตละตวเทากบ ทงนความตางเฟสของเฟเซอรตวสดทายกบเฟเซอรตวแรก (มมระหวางเฟเซอรตวสดทายกบตวแรก) เทากบ

( )sin

N

N y

=

2=

sina 2

= (7.5)

แอมพลจด RE ของเฟเซอรลพธไดจากการรวมเฟเซอรทกตวแบบเวกเตอร จากรปจะได

sin( )

sin( )

R

R

E

RE R

22 =

=2 2

จากรปจะเหนวาเฟเซอรจานวน N ตวเรยงกนเปนสวนโคงของวงกลมทมรศม R มความยาวเทากบความยาวของเฟเซอรแตละตวรวมกนซงเทากบ E N E0 = และกวาดเปนมม จากความสมพนธระหวางสวนโคงกบรศมและมมกวาด R E 0= จะได

ER

0=

ไดเฟเซอรลพธ

sin( )

sin( )( )

R

EE

E

0

0

= 2 2

= 22

ความเขมแสงเฉลย R

I E2µ จะได

max

sin( )

( )I I

2é ù2ê ú= ê ú2ë û (7.6)

หรอ

max

sin( sin )

( sin )

aI I

a

2é ùê ú= ê úë û

(7.7)

สมการการกระจายความเขมแสงนสามารถใชยนยนเงอนไขของแถบมดทไดจากวธกอน โดยพจารณาเงอนไขททาใหความเขมแสงเปนศนยเนองจาก sin( sin )a เปนศนยเมอ

sinsin sin

am

æ ö÷ç =÷ç ÷÷çè ø

sinam

=

siny

ya

P

รป 5 รปแบบการเลยวเบนเกดจากแหลงกาเนดคลนเลก ๆ [1]

RE

2

O

R

R

RE

2

รป 6 ความสมพนธระหวางเฟเซอรลพธกบความตางเฟส [1]

 100  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

sina m = (7.8) ไดเงอนไขเดยวกบวธกอนหนาน

ตวอยาง ความเขมแสงของแถบสวางรอง จงหาอตราสวนระหวางความเขมของแถบสวางรองหรอแถบสวางทตยภม (secondary maxima) อนดบท 1 และ 2 ตอความเขมของแถบสวางกลาง

วธทา ใชเงอนไขแถบมดหาตาแหนงของแถบสวางรอง

darksin , , ,a m m = =1 2 3

แปลงระยะทางทตางกน sina ใหอยในรปของความตางเฟสจะได

sin2

a

=

ดงนนเงอนไขแถบมดในรปของความตางเฟส

2

m

=

, , ,m m = =1 2 32

แถบสวางท 1 อยกงกลางระหวางแถบมดท 1 และ 2 โดยแถบมดท 1 จะเกดขนทความตางเฟส 2 = และแถบมดท 2 จะเกดขนท 2 2 = ดงนนแถบสวางท 1 จะเกดขนทความตางเฟส

1 2 3

2 2 2

+= =

หาความเขมแสงของแถบสวางท 1 ตอความเขมแสงสงสดทแถบสวางกลาง

max

max

sin( )

( )

sin( ).

( )

I I

I

I

2

2

12

é ù2ê ú= ê ú2ë ûé ù3 2 1ê ú= = = 0 045ê ú3 2 9 4ë û

ความเขมของแถบสวางอนดบท 1 ตอความเขมของแถบสวางกลางเทากบ 0.045 หรอประมาณ 4.5%

แถบสวางท 2 อยกงกลางระหวางแถบมดท 2 และ 3 โดยแถบมดท 2 จะเกดขนทความตางเฟส 2 2 = และแถบมดท 3 จะเกดขนท 2 3 = ดงนนแถบสวางท 2 จะเกดขนทความตางเฟส

2 3 5

2 2 2

+= =

หาความเขมแสงของแถบสวางท 2 ตอความเขมแสงสงสดทแถบสวางกลาง

I

maxI

I1 I2I1I2 2 2 30--2-3

รป 7 รปประกอบตวอยาง [1]

 101การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

max

sin( ).

( )

I

I

2

22

é ù5 2 1ê ú= = = 0 016ê ú5 2 25 4ë û

ความเขมของแถบสวางอนดบท 2 ตอความเขมของแถบสวางกลางเทากบ 0.016 หรอประมาณ 1.6% ซงนอยมาก จะเหนวาความเขมของแถบสวางอนดบสงสงจะลดลงอยางรวดเรว

การเลยวเบนเนองจากชองเลกยาวสองชอง รปแบบการแทรกสอดของแสงจากชองเลกยาวสองชองจะมการกระจายความเขมแสงทขนกบ

ระยะทางทตางกนของคลนแสงเปน

2

maxcos sinI I d

æ ö÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø (7.9)

เมอรวมผลของการเลยวเบนเนองจากความกวางของชองเปด จะไดรปแบบการเลยวเบนพรอมกบรปแบบการแทรกสอดดวย การกระจายความเขมแสงทขนกบระยะทางทตางกนของคลนแสงเปน

2

2

max

sin( sin )cos sin

( sin )

aI I d

a

é ùæ ö÷ç ê ú= ÷ç ÷ ê úç ÷è ø ë û (7.10)

ผลทไดจะเปนรปแบบการเลยวเบนทมแถบสวางสลบกบแถบมดและมแถบสวางกลางขนาดใหญภายในแถบสวางของรปแบบการเลยวเบนจะมแถบสวางกบแถบมดทเกดจากการแทรกสอดจากชองเปดคปนอย แถบสวางจากการเลยวเบนเหมอนเปนซองทบรรจรวของการแทรกสอดอยภายใน

ตวอยาง รปแบบการเลยวเบนจากชองเปดค จงหาอตราสวนระหวางระยะหางของชองเปดค d ตอความกวางของชองเปด a ททาใหแถบสวางทเกดจากการเลยวเบนบรรจแถบสวางทเกดจากการแทรกสอดได 7 แถบพอด วธทา ใชเงอนไขแถบมดจากการเลยวเบนและแถบมดจากการแทรกสอด

ถาตองการใหแถบสวางกลางบรรจแถบสวางจากการแทรกสอดได 7 แถบ แสดงวาตาแหนง ของแถบมดท 1 จากการเลยวเบนจะตรงกบแถบมดท 4 จากการแทรกสอดพอด (มม เทากน) เงอนไขแถบมดท 1 จากการเลยวเบน

sina = และเงอนไขการเกดแถบมดท 4 จากการแทรกสอด

1 7sin 3

2 2d

æ ö÷ç= + =÷ç ÷çè ø

จะไดอตราสวน d a เปน

sind sina

(7 2)=

2 3--2-3 2

ซองจากการเลยวเบน

รวการแทรกสอด

รป 8 การกระจายความเขมแสงจากการเลยวเบนจากชองเลกยาวสองชอง [1]

 102  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

7

2

d

a=

อตราสวนระหวางระยะหางของชองเปดคตอความกวางของชองเปดเทากบ 7 2

กาลงแยกของชองเลกยาวเดยว ผลจากการเลยวเบนของคลนสงผลกระทบทสาคญตอการแยกแยะวตถทอยใกลกน เนองจาก

แสงทสะทอนจากวตถเขามายงดวงตาหรออปกรณทางทศนศาสตร (เชน กลอง) เกดการเลยวเบน ทงนประสทธภาพในการแยกแยะภาพของวตถทอยใกลกน เรยกวา กาลงแยก (resolution)

พจารณาแสงทออกมาจากแหลงกาเนดแสง 1S และ

2S ทผานชองเปด แสงจากแหลงกาเนด

ทงสองจะเลยวเบนไปเกดรปแบบการเลยวเบนรวมกนบนฉาก ถา 1S และ

2S อยใกลกนเกนไป

(มม เลกเกนไป) แถบสวางกลางทเกดจากแหลงกาเนดทงสองจะทบกน ภาพบนฉากจะเหมอนกบเหนแหลงกาเนดแสงเพยงอนเดยวแยกแยะไมได

การแยกแยะทสมบรณคอแถบสวางกลางทเกดจาก 1S และ

2S ตองไมทบกน แหลงกาเนด

แสง 1S และ

2S ตองหางกนจนมม โตกวามมททาใหแถบมดท 1 ของรปแบบการเลยวเบน

จากแหลงกาเนดทงสองทบกนพอด ขนาดของมมทเลกทสดนเรยกวากาลงแยกเชงมม (angular separation)

min ดงนนในกรณชองเปดเลกยาว กาลงแยกเชงมมจะเทากบ

min

min

sin

sin

a

a

=

=

ซงโดยทวไปขนาดของชองเปดจะมากกวาความยาวคลนมาก ๆ ดงนนกาลงแยกเชงมมของชองเปดเลกยาวเทากบ

min a

= (7.11)

โดยทวไปอปกรณตาง ๆ (รวมทงรมานตา) จะมชองเปดเปนวงกลม เงอนไขแถบมดของรปแบบการเลยวเบนผานชองเปดวงกลมทมเสนผานศนยกลาง D คอ

dark

sin . , , ,D m m =1 22 =1 2 3 (7.12) ดงนนกาลงแยกเชงมมของชองเปดวงกลมทมเสนผานศนยกลาง D

min

min

sin 1.22

sin 1.22

D m

D

=

=

min

1.22D

= (7.13)

ชองเปด ชองเปด

S1

S1

S2

S2

รป 9 เงอนไขการหาคากาลงแยกเชงมม [1]

 103การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

ตวอยาง การเลยวเบนผานชองเปดกลม ในการทดลองการเลยวเบนฟราวนโฮเฟอรผานชองกลม โดยสองแสงความยาวคลน 500 nm ผานชองกลมไปเกดรปแบบการเลยวเบนบนฉากทหางออกไป 2.0 m พบวาเสนผานศนยกลางวงมดวงแรกมคาเทากบ 2.44 cm ชองเปดมเสนผานศนยกลางเทาใด วธทา ประมาณขนาดมมทเกดวงมดและใชเงอนไขแถบมดจากการเลยวเบนผานชองเปดกลม วงมดท 1 หางจากแนวกลางเทากบรศมของวงมดท 1 (

12.44 2r = cm ) ซงสมพนธกบระยะ

จากชองเปดถงฉาก L เปน tanr L 1 1= จะประมาณขนาดของมมไดจาก

tan

..

.

r

L 11

-2-3

=

1 22´10= =6 1´10

2 0

tan1 มคานอยแสดงวามม 1 เลกมากจงประมาณ tan sin 1 1» ได และจากเงอนไขวงมดท 1 (

1sin 1.22D = ) จะหาเสนผานศนยกลางของชองเปดไดจาก

1

1

sin .

.

sin

.. mm

.

D

D

-9

-3

=1 22

1 22=

1 22´500´10= =0 10

6 1´10

ชองเปดมเสนผานศนยกลางเทากบ . mm0 10

เกรตตงเลยวเบน (Diffraction Grating) เกรตตงเลยวเบนประกอบดวยชองเลกยาวจานวนมากขนานกนแตละชองมระยะหางเทากน

รปแบบการเลยวเบนทปรากฏบนฉากเปนผลทเกดขนจากการแทรกสอดและการเลยวเบนของแหลงกาเนดแสงจานวนมากทออกมาจากชองเปด การกระจายความเขมแสงจะมแถบสวางแคบมากแตแถบมดกวาง ดงนนตาแหนงทนาสนใจจะมเฉพาะตาแหนงของแถบสวางซงเกดจากการแทรกสอดแบบเสรมกนดวยเงอนไข

bright

sin , , ,d m m = = 0 1 2 (7.14)

ตวอยาง การเลยวเบนผานเกรตตง แสงความยาวคลน 632.8 nm ตกกระทบเกรตตงเลยวเบนทมจานวนชองตอความยาวเทากบ 6000 ชองตอเซนตเมตร จงหามมทจะพบแถบสวางอนดบท 1, 2 และ 3 วธทา หาระยะหางของชองเปดและใชเงอนไขแถบสวาง เกรตตงเลยวเบนทมจานวนชองตอความยาว (n ) เทากบ 6000 ชองตอเซนตเมตร แตละชองจะอยหางกนเทากบ

1

1cm

6000

dn

=

=

1667 nmd= จากเงอนไขแถบสวาง

brightsind m = จะไดเงอนไขของแถบสวางอนดบท 1

1

1

sin

632.8sin 0.3796

1667

d

d

=

= = =

 104  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

สงเกตวาคา 1

sin ไมนอยประมาณมมเลกไมได

1

1

1

sin 0.3796

sin 0.3796 22.31

-

=

= =

ในทานองเดยวกน จะไดเงอนไขของแถบสวางอนดบท 2

2

1

2

sin 2

2 0.3796 0.7592

sin 0.7592 49.39

d

-

=

= ´ =

= =

ในทานองเดยวกน จะไดเงอนไขของแถบสวางอนดบท 3

3

3

3sin

3 0.3796

sin 1.139

d

=

= ´

=

แถบสวางอนดบท 3 (และแถบสวางอนดบทสงกวา) จะไมมทางเกดขนเนองจากคา sin 1 > ดงนนจะมแถบสวางทงหมด 5 แถบบนฉาก คอ แถบสวางกลาง แถบสวางอนดบท 1 ทมม 22.31 และแถบสวางอนดบท 2 ทมม 49.39

กาลงแยกของเกรตตงเลยวเบน ถามคลนทความยาวคลนใกลเคยงกน

1 และ

2 ถาความยาวคลนใกลเคยงกนมากตาแหนง

ของแถบสวางจากแตละความยาวคลนอาจอยใกลกนมากจนแยกไมได คากาลงแยก (resolving power, R ) หรอขดจากดทเกรตตงจะแยกแถบสวางของสองความยาวคลนนออกจากกน หาไดจาก

2 1

R

= =

- (7.15)

โดยท 1 2

( ) 2 = + คอความยาวคลนเฉลย ดงนนเกรตตงทมกาลงแยกสงจะแยกความแตกตางนอย ๆ ของความยาวคลนได ถาลาแสงผานเกรตตงจานวน N ชอง กาลงแยกหรอขดจากดทเกรตตงจะแยกแถบสวางอนดบท m ออกจากกน หาไดจาก

R Nm= (7.16) จะเหนวากาลงแยกเพมตามอนดบการแทรกสอดและจานวนชองทแสงสองผาน ซงหมายความวาแถบสวางอนดบสงสงจะแยกแยะไดงายกวาแถบสวางอนดบนอยนอย สงเกตวาถา 0m= (ซงเปนอนดบของแถบสวางกลาง) ทาใหกาลงแยก 0R= แสดงวาแถบสวางกลางใชแยกความแตกตางของคลนไมได

ตวอยาง กาลงแยกเสนสเปกตรมของธาตโซเดยม เมอกระตนอะตอมของธาตทอยในสถานะกาซทอณหภมสง ธาตนนจะใหแสงทมความยาวคลนเฉพาะคาออกมา ไดสเปกตรมทเปนลกษณะเฉพาะของแตละธาต โดยธาตโซเดยมใหแสงทมความยาวคลน 589.00 nm และ 589.59 nm ) ตองเลอกเกรตตงใหมคากาลงแยกอยางนอยเทาใดเพอแยกแยะแสงสองความยาวคลนนและถาตองการแยกแสงสองความยาวคลนนทแถบสวางอนดบ 2 จะตองใชเกรตตงทมอยางนอยกชอง วธทา หากาลงแยกทตองใชและเงอนไขการแยกแถบสวางอนดบท 2 ของสองความยาวคลนน กาลงแยกแสงทมความยาวคลน 589.00 nm และ 589.59 nm ออกจากกน

R

=

 105การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

( . . )

. ..

.

R589 00+589 59 2

=589 59-589 00

589 30= = 999

0 59

เกรตตงตองมกาลงแยกอยางนอย 999 จงจะแยกแสงสองความยาวคลนนได ถาตองการแยกแสงสองความยาวคลนนเกรตตงตองมกาลงแยกอยางนอย 999 ดงนนท

แถบสวางอนดบท 2 แสงตองผานชองบนเกรตตงอยางนอย

RN

m=

999= = 500

2

ลาแสงทออกมาตองผานชองบนเกรตตงอยางนอย 500 ชอง

โพลาไรเซชน (Polarization) คลนแมเหลกไฟฟาเปนคลนตามขวางมการแกวงกวดของสนามไฟฟา (E

) ตงฉากกบทศการ

เคลอนทของคลน แนวแกนทสนามไฟฟาแกวงกวดเรยกวา โพลาไรเซชน (polarization) ของคลน แหลงกาเนดโดยทวไปจะใหคลนทมโพลาไรเซชนแบบสมคอสนามไฟฟาแกวงกวดเทา ๆ กนทกแนวบนระนาบทตงฉากกบการเคลอนทของคลน เฉลยแลวไมมแนวโพลาไรเซชนทแนนอนทาให แสงไมมโพลาไรเซชน (unpolarized light) ถาคลนมแนวโพลาไรเซชนคงตวตลอดเวลาจะได แสงทมโพลาไรเซชนเชงเสน (linearly polarized light)

การทาใหคลนทวไป (ทไมมโพลาไรเซชน) เปนคลนทมโพลาไรเซชนเชงเสน (แนวโพลาไรเซชนคงตว) ทาไดหลายวธ เชน การทาใหเกดโพลาไรเซชนโดยการเลอกดดกลน โดยการสะทอน และโดยการกระเจง หวขอนจะศกษาการเกดโพลาไรเซชนของคลนรวมทงสาระสาคญของคลนทมโพลาไรเซชน

โพลาไรเซชนโดยการเลอกดดกลน วธนจะใชวสดทมคณสมบตพเศษในการคดเลอกสนามไฟฟาทมการแกวงกวดบางแนวทะลผาน

ไปได แตจะดดกลนสนามไฟฟาทมการแกวงกวดในแนวอน ๆ ทาใหไดแสงทมโพลาไรเซชนเชงเสนในทศทางทตรงกบแนวแกนสงผาน (transmission axis) ของวสด วสดทมคณสมบตนสงเคราะหครงแรกในชวงป 1938 โดย E.H. Land (1909-1991) เรยกวสดนวาโพลารอยด (polaroid)

การตรวจสอบโพลาไรเซชนของคลนแสงทาไดโดยใหแสงผานแผนโพลารอยดททาหนาทเปนตววเคราะห (analyzer) แลวสงเกตความเขมแสงขณะทหมนแผนโพลารอยด ถาความเขมแสงเปลยนตามมมทหมนไปแสดงวาแสงมโพลาไรเซชน ทงนการเปลยนแปลงของความเขมแสงกบมมทหมนไปนนเกดจากการคดเลอกเฉพาะองคประกอบของสนามไฟฟาทอยในแนวเดยวกบแกนสงผานของตววเคราะหผานไปได

แสงไมโพลาไรซ

E0

แสงโพลาไรซ แกนสงผาน

แผนโพลารอยด ตววเคราะห

cosE 0

E

B

c

x

y

z

รป 10 โพลาไรเซชนของคลนแสง [1]

รป 11 โพลาไรเซชนโดยการเลอกดดกลนและการวเคราะหโพลาไรเซชน [1]

 106  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

จากรปเมอแสงทไมมโพลาไรเซชนผานแผนโพลารอยดเปนตวทาใหแสงมโพลาไรเซชน (polarizer) ไดแสงทมโพลาไรเซชนเชงเสนในแนวแกนสงผานมขนาดของสนามไฟฟาเปน

0E เมอ

แสงนผานแผนโพลารอยดทเปนตววเคราะหมแกนสงผานทามม กบแนวโพลาไรเซชนของแสง ทาใหองคประกอบของสนามไฟฟาเมอผานตววเคราะหจะลดลงเปน

0cosE โดยแสงทออกมา

จะมโพลาไรเซชนเชงเสนในแนวเดยวกบแกนสงผานของตววเคราะห เนองจากความเขมแสงขนกบแอมพลจดของสนามไฟฟากาลงสอง จะไดความสมพนธของความเขมแสงทผานตววเคราะห ( I ) กบมมททากบแนวโพลาไรเซชนของแสง ( ) เปน

2

maxcosI I = (7.17)

maxI คอความเขมของแสงทมโพลาไรเซชนกอนเขามายงตววเคราะห ความสมพนธนเรยกวากฎของมาลส (Malus’s law)

ตวอยาง ความเขมของแสงทผานแผนโพลารอยด แสงไมโพลาไรซความเขม I0 สองผานแผนโพลารอยด 2 แผน หลงจากทผานแผนท 1 แสงทออกมาเปนแสงโพลาไรซมความเขมแสงเปน I1 ถาแกนสงผานของแผนท 2 ทามม = 45 กบแผนท 1 ความเขมแสงทผานแผนท 2 ( I2 ) มคาเทาใดเทยบกบ I1 และเปรยบเทยบความเขมแสง I1 กบ I0 โดยสมมตวาแผนโพลารอยดสงผานแสงไดสมบรณ

วธทา ใชกฎของมาลสหาความเขมแสง

2

maxcosI I =

แกนสงผานของแผนท 2 ทามม = 45 กบแสงโพลาไรซทออกมาจากแผนท 1 จะได

2

2 1

1

cos 45

1

2

I I

I

=

=

ความเขมแสงทผานแผนท 2 จะเทากบ I2 2 ในกรณทแผนโพลารอยดสงผานแสงไดสมบรณคอไมมการลดทอนความเขมแสง แสงไมมทศโพ

ลาไรเซชนแนนอน จงคดไดวาแอมพลจดของสนามไฟฟาแบงเปนสององคประกอบทตงฉากกน

I0

I1

I2

แกนสงผาน

แผนท 1 แผนท 2

รป 12 ความเขมของแสงทผานแผนโพลารอยด (ลกศรแสดงแนวแกนสงผาน) [1]

 107การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

(สองแนวทตงฉากกนนทามมใดใดกไดขนกบการอางอง) เมอแสงความเขม I0 ผานแผนโพลารอยดจะมเฉพาะองคประกอบของสนามไฟฟาทอยในแนวแกนสงผานดงนนความเขมแสงทออกจากแผนท 1 จะลดลงครงหนงทาให I I1 0= 2

โพลาไรเซชนโดยการสะทอน คลนแสงซงเปนคลนตามขวางเมอแสงทไมมโพลาไรเซชนสะทอนออกจากพนผว พบวาโพลาไร

เซชนของแสงทสะทอนออกมาจะขนกบมมทแสงตกกระทบ ถาแสงตกกระทบทามมคาหนงกบเสนปกต (แนวทตงฉากกบพนผว) แสงทสะทอนออกมาอาจจะเปนแสงทมโพลาไรเซชนสมบรณ โพลาไรเซชนบางสวน หรอไมมโพลาไรเซชนเมอแสงตกกระทบตงฉากกบพนผว เมอพจารณาคลนตามขวางทมแนวการแกวงกวดของสนามไฟฟาตงฉากกบการเคลอนท

การแกวงกวดของสนามไฟฟาในแสงไมโพลาไรซแบงไดเปนสององคประกอบทตงฉากกน โดยพจารณาแนวทตงฉากกบระนาบตกกระทบ (ตงฉากกบหนากระดาษ) และแนวบนระนาบตกกระทบ เมอแสงทามมตกกระทบ 1 แสงทอนจะมแอมพลจดการแกวงกวดในแนวตงฉากกบระนาบตกกระทบมากกวาแนวบนระนาบตกกระทบ แสงทสะทอนออกมาจงมโพลาไรเซชนบางสวน เมอปรบมมตกกระทบ 1 จนทาใหมมระหวางแสงสะทอนกบแสงหกเหเปน 90° แสงสะทอนจะเปนแสงโพลาไรซสมบรณ เรยกมมตกกระทบคานวา มมโพลาไรซ (polarizing angle)

p ทงนมมโพลาไรซจะขนกบตวกลางทแสงไปตกกระทบ ถาแสงเดนทางจากอากาศไปตกกระทบ

ตวกลางทมดชนหกเหเทากบ n มมโพลาไรซ p

จะสมพนธกบดชนหกเหดงน

tanp

n = (7.18)

ความสมพนธนเรยกวา กฎของบรวสเตอร (Brewster's law) และมมตกกระทบ p

เรยกวามมบ

รวสเตอร (Brewster's angle)

โพลาไรเซชนโดยการกระเจง เมอแสงตกกระทบอนภาคขนาดเลกใกลเคยงกบความยาวคลนแสง แสงจะเกดการกระเจงจาก

การแกวงกวดของอนภาคเนองจากสนามไฟฟาของคลนแสง การสนของอนภาคทาใหแสงทกระเจงออกมาอาจจะเปนแสงทมโพลาไรเซชนสมบรณ โพลาไรเซชนบางสวน หรอไมมโพลาไรเซชนทงนขนกบตาแหนงของผสงเกตเทยบกบตาแหนงของอนภาค

จากรปเมอแสงท ไมม โพลาไรเซชนเดนทางไปตามแกน z+ และตกกระทบอนภาค สนามไฟฟาของคลนแสงตงฉากกบการเคลอนทและมการแกวงกวดของสนามบนระนาบ xy ทาใหอนภาคสนในทศตาง ๆ ซงจากดเฉพาะระนาบ xy ดวย ดงนนทตาแหนงใดใดบนระนาบ xy (เชน จด P และ S ) แสงทกระเจงออกมาจะเปนแสงทมโพลาไรเซชนสมบรณ และตาแหนงทอยบนแนวเดยวกบแสงตกกระทบ (ทจด R ) แสงทกระเจงออกมาจะเปนแสงทไมมโพลาไรเซชน

11

2

p p

902

n

รป 13 โพลาไรเซชนโดยการสะทอน [2]

 108  การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

เชนเดยวกบแสงตกกระทบ ถาผสงเกตอยทตาแหนงอนระหวางแนวแกน z กบระนาบ xy แสงทกระเจงออกมาจะมโพลาไรเซชนบางสวน

รป 14 โพลาไรเซชนโดยการกระเจง

 109การเลยวเบนและโพลาไรเซชน

แบบฝกหด 1) แสงสเขยวความยาวคลน nm500 ตกกระทบชองเปดเลกยาวทมความกวาง a ไปเกดรวการเลยวเบนบนฉากทวางหางออกไป . m2 00 โดยแถบมดทสองอยหางจากจดกงกลางเปนระยะทาง . cm1 00 จงหาความกวางของชองเปด

2) ในการทดลองการเลยวเบนฟราวนโฮเฟอรผานชองกลม นกทดลองไดใชแสงความยาวคลน

nm500 สองผานชองกลมเปดเสนผานศนยกลาง D ไปเกดลวดลายการเลยวเบนทฉากซงหางออกไปเปนระยะทาง . m2 00 พบวาเสนผานศนยกลางวงมดวงแรกมคาเทากบ . cm2 44 ใหหาเสนผานศนยกลาง D ของชองเปดดงกลาว 3) แสงความยาวคลน 1 และ 2 ผานชองเลกยาวชองหนง จากลวดลายการเลยวเบนพบวาตาแหนงมดลาดบทหนงของแสง 1 อยท เดยวกบตาแหนงมดลาดบทสองของ 2 จงหาความสมพนธของ 1 และ 2 4) จงหาอตราสวนระหวางระยะหางของสลตค ( d ) ตอความกวางของสลต ( a ) ททาใหแถบสวางกลางทเกดจากการเลยวเบนบรรจแถบสวางทเกดจากการแทรกสอดได 7 แถบพอด 5) แสงความยาวคลน . nm501 5 สองผานสลตคทอยหางกน . m2 80 ชองสลตกวาง . m0 700 ไปเกดรปแบบการแทรกสอดและเลยวเบนบนฉากทอยหางออกไป

1) ควรจะมแถบสวางทเกดจากการแทรกสอดกแถบเกดขนบนฉากและเกดขนทมมใดบาง 2) ถารวมผลของการเลยวเบนของแสงจะมแถบสวางเกดขนบนฉากจรง ๆ กแถบ

6) รมานตาของมนษยมขนาดเสนผานศนยกลางประมาณ . cm0 50 ถามจดสองจดทอยหางกน . cm1 0 ตามทฤษฎแลวเราจะแยกแยะจดสองจดน ไดไกลเทาใดในชวงความยาวคลนแสง

nm500 7) แสงทไมโพลาไรซลาหนงมความเขมเรมตน I0 สองผานแผนโพลารอยด 2 แผน โดยหลงจากสองผานแผนท 1 ปรากฏวามความเขมลดเหลอ I1 จงหาความเขมแสง I2 เมอแสงผานแผนท 2 โดยแกนสงผานของแผนท 1 และ 2 สองทามมกน 60 8) แสงโซเดยมทมความยาวคลน . nm589 0 และ . nm589 6 จะตองใชเกรตตงทมจานวนชองอยางนอยกชองถงจะแยกแสงนออกจากกนไดโดยใชแถบสวางลาดบท 1