7. AFIINNE GEOMEETRIA.ERINEVATE GEOMEETRIATEGA SEOTUD

PROJEKTIIVSED MUDELID.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P. Sarnane teisendus leiab aset ka siis, kui mevaatame paikesepaistelisel ajal mingi eseme varju maapinnal.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P. Sarnane teisendus leiab aset ka siis, kui mevaatame paikesepaistelisel ajal mingi eseme varju maapinnal. LugedesMaa pinna tasandiks, tekib paikesekiirte labi tsentraalprojektsioon, mis”teisendab” eseme tema varjuks.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P. Sarnane teisendus leiab aset ka siis, kui mevaatame paikesepaistelisel ajal mingi eseme varju maapinnal. LugedesMaa pinna tasandiks, tekib paikesekiirte labi tsentraalprojektsioon, mis”teisendab” eseme tema varjuks. Fuusikas loetakse aga sageli Maalejoudvad paikesekiired omavahel paralleelseteks.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P. Sarnane teisendus leiab aset ka siis, kui mevaatame paikesepaistelisel ajal mingi eseme varju maapinnal. LugedesMaa pinna tasandiks, tekib paikesekiirte labi tsentraalprojektsioon, mis”teisendab” eseme tema varjuks. Fuusikas loetakse aga sageli Maalejoudvad paikesekiired omavahel paralleelseteks. Seda seetottu, et nii onarvutustes lihtsam ning et Paikese ja Maa vahelise suure kauguse tottuon erinevate kiirte vaheline nurk vaga vaike.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P. Sarnane teisendus leiab aset ka siis, kui mevaatame paikesepaistelisel ajal mingi eseme varju maapinnal. LugedesMaa pinna tasandiks, tekib paikesekiirte labi tsentraalprojektsioon, mis”teisendab” eseme tema varjuks. Fuusikas loetakse aga sageli Maalejoudvad paikesekiired omavahel paralleelseteks. Seda seetottu, et nii onarvutustes lihtsam ning et Paikese ja Maa vahelise suure kauguse tottuon erinevate kiirte vaheline nurk vaga vaike. Matemaatikas on agaparalleelsete kiirtega projekteerimise kohta oma nimetus ja definitsioon.

Projektiivse geomeetria juures raakisime tsentraalprojektsioonisttasandile π keskpunktiga P. Sarnane teisendus leiab aset ka siis, kui mevaatame paikesepaistelisel ajal mingi eseme varju maapinnal. LugedesMaa pinna tasandiks, tekib paikesekiirte labi tsentraalprojektsioon, mis”teisendab” eseme tema varjuks. Fuusikas loetakse aga sageli Maalejoudvad paikesekiired omavahel paralleelseteks. Seda seetottu, et nii onarvutustes lihtsam ning et Paikese ja Maa vahelise suure kauguse tottuon erinevate kiirte vaheline nurk vaga vaike. Matemaatikas on agaparalleelsete kiirtega projekteerimise kohta oma nimetus ja definitsioon.

Definitsioon 7.1. Eukleidilise ruumi Eparalleelprojektsiooniks tasandile πnimetatakse sellist kujutust, mis seab igaleruumi E punktile O vastavusse tasandi πpunkti O ′ selliselt, et suvaliste kahe erinevaruumi E punkti O ja P korral on loigudOO ′ ja PP ′ omavahel paralleelsed.

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.2) Samal sirgel olevad punktid kujutatakse samal sirgel olevatekspunktideks, kusjuures punktide jarjekord sirgel ei muutu.

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.2) Samal sirgel olevad punktid kujutatakse samal sirgel olevatekspunktideks, kusjuures punktide jarjekord sirgel ei muutu.3) Samal sirgel olevate loikude pikkuste suhe sailib.

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.2) Samal sirgel olevad punktid kujutatakse samal sirgel olevatekspunktideks, kusjuures punktide jarjekord sirgel ei muutu.3) Samal sirgel olevate loikude pikkuste suhe sailib.4) Sirgete s ja t loikepunkt kujutatakse sirgete s ja t kujutisteloikepunktiks.

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.2) Samal sirgel olevad punktid kujutatakse samal sirgel olevatekspunktideks, kusjuures punktide jarjekord sirgel ei muutu.3) Samal sirgel olevate loikude pikkuste suhe sailib.4) Sirgete s ja t loikepunkt kujutatakse sirgete s ja t kujutisteloikepunktiks.Paralleelprojektsiooni kaigus ei saili aga loikude pikkused ega nurgad.

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.2) Samal sirgel olevad punktid kujutatakse samal sirgel olevatekspunktideks, kusjuures punktide jarjekord sirgel ei muutu.3) Samal sirgel olevate loikude pikkuste suhe sailib.4) Sirgete s ja t loikepunkt kujutatakse sirgete s ja t kujutisteloikepunktiks.Paralleelprojektsiooni kaigus ei saili aga loikude pikkused ega nurgad.Et igal paralleelprojektsioonil on omadused 1)–4), siis on needomadused ka paralleelprojektsioonide kompositsioonil (s. t., needomadused sailivad, kui me teeme mitu paralleelprojektsiooni erinevateletasanditele erinevate nurkade all uksteise jargi).

Paneme tahele, et paralleelprojektsiooni korral kehtivad jargmisedomadused:1) Paralleelsed loigud/sirged kujutatakse paralleelseteksloikudeks/sirgeteks.2) Samal sirgel olevad punktid kujutatakse samal sirgel olevatekspunktideks, kusjuures punktide jarjekord sirgel ei muutu.3) Samal sirgel olevate loikude pikkuste suhe sailib.4) Sirgete s ja t loikepunkt kujutatakse sirgete s ja t kujutisteloikepunktiks.Paralleelprojektsiooni kaigus ei saili aga loikude pikkused ega nurgad.Et igal paralleelprojektsioonil on omadused 1)–4), siis on needomadused ka paralleelprojektsioonide kompositsioonil (s. t., needomadused sailivad, kui me teeme mitu paralleelprojektsiooni erinevateletasanditele erinevate nurkade all uksteise jargi).

Definitsioon 7.2. Afiinseks teisenduseks nimetatakse teisendust, misseisneb n paralleelprojektsiooni jarjestikuses teostamises, kusjuuresn ∈ Z+.

Afiinse teisenduse naide:

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Afiinset geomeetriat voib endale ette kujutada kui Eukleidilisegeomeetria uldistust, millest on korvale jaanud aksioomid III ja IV, miskasitlesid ringjooni ja nurki.

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Afiinset geomeetriat voib endale ette kujutada kui Eukleidilisegeomeetria uldistust, millest on korvale jaanud aksioomid III ja IV, miskasitlesid ringjooni ja nurki.

Afiinses geomeetrias on algmoisteteks punkt, sirge ja punkti kuuluminesirgele.

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Afiinset geomeetriat voib endale ette kujutada kui Eukleidilisegeomeetria uldistust, millest on korvale jaanud aksioomid III ja IV, miskasitlesid ringjooni ja nurki.

Afiinses geomeetrias on algmoisteteks punkt, sirge ja punkti kuuluminesirgele.

Definitsioon 7.4. Afiinne tasand on objekt, milles on defineeritudalgmoisted ”punkt”, ”sirge” ja ”punkt kuulub sirgele” ning on taidetudjargmised aksioomid:

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Afiinset geomeetriat voib endale ette kujutada kui Eukleidilisegeomeetria uldistust, millest on korvale jaanud aksioomid III ja IV, miskasitlesid ringjooni ja nurki.

Afiinses geomeetrias on algmoisteteks punkt, sirge ja punkti kuuluminesirgele.

Definitsioon 7.4. Afiinne tasand on objekt, milles on defineeritudalgmoisted ”punkt”, ”sirge” ja ”punkt kuulub sirgele” ning on taidetudjargmised aksioomid:C1) Iga kahe erineva punkti jaoks leidub tapselt uks sirge, millele needpunktid kuuluvad.

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Afiinset geomeetriat voib endale ette kujutada kui Eukleidilisegeomeetria uldistust, millest on korvale jaanud aksioomid III ja IV, miskasitlesid ringjooni ja nurki.

Afiinses geomeetrias on algmoisteteks punkt, sirge ja punkti kuuluminesirgele.

Definitsioon 7.4. Afiinne tasand on objekt, milles on defineeritudalgmoisted ”punkt”, ”sirge” ja ”punkt kuulub sirgele” ning on taidetudjargmised aksioomid:C1) Iga kahe erineva punkti jaoks leidub tapselt uks sirge, millele needpunktid kuuluvad.C2) Leiduvad kolm erinevat punkti nii, et nad ei kuulu samaaegseltuhelegi sirgetest.

Definitsioon 7.3. Afiinne geomeetria on geomeetria valdkond, mis uuribparalleelprojektsioonide korral sailuvaid geomeetrilisi omadusi.

Afiinset geomeetriat voib endale ette kujutada kui Eukleidilisegeomeetria uldistust, millest on korvale jaanud aksioomid III ja IV, miskasitlesid ringjooni ja nurki.

Afiinses geomeetrias on algmoisteteks punkt, sirge ja punkti kuuluminesirgele.

Definitsioon 7.4. Afiinne tasand on objekt, milles on defineeritudalgmoisted ”punkt”, ”sirge” ja ”punkt kuulub sirgele” ning on taidetudjargmised aksioomid:C1) Iga kahe erineva punkti jaoks leidub tapselt uks sirge, millele needpunktid kuuluvad.C2) Leiduvad kolm erinevat punkti nii, et nad ei kuulu samaaegseltuhelegi sirgetest.C3) Iga sirge s ja sellele sirgele mitte kuuluva punkti P korral leidubtapselt uks selline sirge t, mille korral punkt P kuulub sirgele t ning eileidu uhtegi sellist punkti, mis kuuluks samaaegselt sirgetele s ja t.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Definitsioon 7.5. Punktide, sirgete ja tasandite kogumit nimetataksekolmemootmeliseks afiinseks ruumiks, kui on defineeritud punktikuulumine sirgele, punkti kuulumine tasandile ja sirge kuuluminetasandile ning on rahuldatud jargmised aksioomid:

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Definitsioon 7.5. Punktide, sirgete ja tasandite kogumit nimetataksekolmemootmeliseks afiinseks ruumiks, kui on defineeritud punktikuulumine sirgele, punkti kuulumine tasandile ja sirge kuuluminetasandile ning on rahuldatud jargmised aksioomid:D1) Iga tasand on afiinne tasand.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Definitsioon 7.5. Punktide, sirgete ja tasandite kogumit nimetataksekolmemootmeliseks afiinseks ruumiks, kui on defineeritud punktikuulumine sirgele, punkti kuulumine tasandile ja sirge kuuluminetasandile ning on rahuldatud jargmised aksioomid:D1) Iga tasand on afiinne tasand.D2) Iga kolme mitte uhele sirgele kuuluva punkti korral leidub tapseltuks tasand, millele need punktid kuuluvad.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Definitsioon 7.5. Punktide, sirgete ja tasandite kogumit nimetataksekolmemootmeliseks afiinseks ruumiks, kui on defineeritud punktikuulumine sirgele, punkti kuulumine tasandile ja sirge kuuluminetasandile ning on rahuldatud jargmised aksioomid:D1) Iga tasand on afiinne tasand.D2) Iga kolme mitte uhele sirgele kuuluva punkti korral leidub tapseltuks tasand, millele need punktid kuuluvad.D3) Igal kahel uhist punkti omaval tasandil on vahemalt kaks erinevatuhist punkti.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Definitsioon 7.5. Punktide, sirgete ja tasandite kogumit nimetataksekolmemootmeliseks afiinseks ruumiks, kui on defineeritud punktikuulumine sirgele, punkti kuulumine tasandile ja sirge kuuluminetasandile ning on rahuldatud jargmised aksioomid:D1) Iga tasand on afiinne tasand.D2) Iga kolme mitte uhele sirgele kuuluva punkti korral leidub tapseltuks tasand, millele need punktid kuuluvad.D3) Igal kahel uhist punkti omaval tasandil on vahemalt kaks erinevatuhist punkti.D4) Kui mingid kaks erinevat antud sirgele kuuluvat punkti kuuluvadmingile tasandile, siis selle sirge koik punktid kuuluvad sellele tasandile.

Afiinse tasandi moiste uldistatakse afiinse ruumi moisteks. Selleks onmitmeid voimalusi, naiteks kasutades vektorruumi moistet voi siismuutes aksioome.

Kaesolevas kasitluses pakume valja uhe voimaluse afiinsekolmemootmelise ruumi defineerimiseks.

Definitsioon 7.5. Punktide, sirgete ja tasandite kogumit nimetataksekolmemootmeliseks afiinseks ruumiks, kui on defineeritud punktikuulumine sirgele, punkti kuulumine tasandile ja sirge kuuluminetasandile ning on rahuldatud jargmised aksioomid:D1) Iga tasand on afiinne tasand.D2) Iga kolme mitte uhele sirgele kuuluva punkti korral leidub tapseltuks tasand, millele need punktid kuuluvad.D3) Igal kahel uhist punkti omaval tasandil on vahemalt kaks erinevatuhist punkti.D4) Kui mingid kaks erinevat antud sirgele kuuluvat punkti kuuluvadmingile tasandile, siis selle sirge koik punktid kuuluvad sellele tasandile.D5) Leidub neli punkti, mis ei kuulu samale tasandile.

Afiinse geomeetria vahenditega on voimalik (sageli lihtsamalt) toestadamitmeid eukleidilise geomeetria vaiteid.

Afiinse geomeetria vahenditega on voimalik (sageli lihtsamalt) toestadamitmeid eukleidilise geomeetria vaiteid. Naiteks on voimalik afiinsesgeomeetrias toestada jargmised teoreemid:

Afiinse geomeetria vahenditega on voimalik (sageli lihtsamalt) toestadamitmeid eukleidilise geomeetria vaiteid. Naiteks on voimalik afiinsesgeomeetrias toestada jargmised teoreemid:

Teoreem 7.6. Olgu π tasand eukleidilises ruumis (naitekskooligeomeetrias kasutatavas kolmemootmelises ruumis) ning olgu ABCja DEF suvalised kolmnurgad tasandil π. Siis leidub selline afiinneteisendus, mis teisendab kolmnurga ABC kolmnurgaks DEF .

Afiinse geomeetria vahenditega on voimalik (sageli lihtsamalt) toestadamitmeid eukleidilise geomeetria vaiteid. Naiteks on voimalik afiinsesgeomeetrias toestada jargmised teoreemid:

Teoreem 7.6. Olgu π tasand eukleidilises ruumis (naitekskooligeomeetrias kasutatavas kolmemootmelises ruumis) ning olgu ABCja DEF suvalised kolmnurgad tasandil π. Siis leidub selline afiinneteisendus, mis teisendab kolmnurga ABC kolmnurgaks DEF .

Teoreem 7.7. Teoreemis 7.6 mainitud afiinne teisendus on kolmnurkadeABC ja DEF poolt uheselt maaratud.

Afiinse geomeetria vahenditega on voimalik (sageli lihtsamalt) toestadamitmeid eukleidilise geomeetria vaiteid. Naiteks on voimalik afiinsesgeomeetrias toestada jargmised teoreemid:

Teoreem 7.6. Olgu π tasand eukleidilises ruumis (naitekskooligeomeetrias kasutatavas kolmemootmelises ruumis) ning olgu ABCja DEF suvalised kolmnurgad tasandil π. Siis leidub selline afiinneteisendus, mis teisendab kolmnurga ABC kolmnurgaks DEF .

Teoreem 7.7. Teoreemis 7.6 mainitud afiinne teisendus on kolmnurkadeABC ja DEF poolt uheselt maaratud.

Ulesanne 7.8. Naidake, et suvalise kolmnurga ABC kuljepoolitajadloikuvad samas punktis ning et see punkt jaotab kuljepoolitajadloikudeks pikkuste suhtega 2 : 1.

Afiinse geomeetria vahenditega on voimalik (sageli lihtsamalt) toestadamitmeid eukleidilise geomeetria vaiteid. Naiteks on voimalik afiinsesgeomeetrias toestada jargmised teoreemid:

Teoreem 7.6. Olgu π tasand eukleidilises ruumis (naitekskooligeomeetrias kasutatavas kolmemootmelises ruumis) ning olgu ABCja DEF suvalised kolmnurgad tasandil π. Siis leidub selline afiinneteisendus, mis teisendab kolmnurga ABC kolmnurgaks DEF .

Teoreem 7.7. Teoreemis 7.6 mainitud afiinne teisendus on kolmnurkadeABC ja DEF poolt uheselt maaratud.

Ulesanne 7.8. Naidake, et suvalise kolmnurga ABC kuljepoolitajadloikuvad samas punktis ning et see punkt jaotab kuljepoolitajadloikudeks pikkuste suhtega 2 : 1.

(Vihje: naidake koolist tuntud vahenditega, et see vaide kehtibvordkulgse kolmnurga jaoks ning kasutage seejarel Teoreemi 7.6 jaafiinse teisenduse (paralleelprojektsioonide) omadusi.)

Millistena peaksime endale ette kujutama sirgeid projektiivsel tasandil?

Millistena peaksime endale ette kujutama sirgeid projektiivsel tasandil?

Olgu meil tegemist tsentraalprojektsiooniga tasandile π keskpunktiga S .Olgu u sirge tasandil π, mis moodustub punkti S labival ja tasandiga πristuval tasandil asuva ja punkti s labiva sirge poorlemisel tekkivatestsirge punktide projektsioonidest tasandile π.

Millistena peaksime endale ette kujutama sirgeid projektiivsel tasandil?

Olgu meil tegemist tsentraalprojektsiooniga tasandile π keskpunktiga S .Olgu u sirge tasandil π, mis moodustub punkti S labival ja tasandiga πristuval tasandil asuva ja punkti s labiva sirge poorlemisel tekkivatestsirge punktide projektsioonidest tasandile π.

Pooreldes joonisel noolega naidatudsuunas, liigub sirge asendist SA (selle allmoistame punkte S ja A labivat sirget)asendisse SB, omades kujutisenamuutuvat punkti P, mis asub sirgel upunktide A ja B ”vahel”.

Millistena peaksime endale ette kujutama sirgeid projektiivsel tasandil?

Olgu meil tegemist tsentraalprojektsiooniga tasandile π keskpunktiga S .Olgu u sirge tasandil π, mis moodustub punkti S labival ja tasandiga πristuval tasandil asuva ja punkti s labiva sirge poorlemisel tekkivatestsirge punktide projektsioonidest tasandile π.

Pooreldes joonisel noolega naidatudsuunas, liigub sirge asendist SA (selle allmoistame punkte S ja A labivat sirget)asendisse SB, omades kujutisenamuutuvat punkti P, mis asub sirgel upunktide A ja B ”vahel”. Edasi samassuunas pooreldes labib sirge kujutis mingil hetkel punkti D ja tundubnagu paremale poole eemalduvat, kuid sirge SA edasisel poorlemisel”tuleb kujutis taas nahtavale” punktist A vasakul, labides enne punktiE .

Millistena peaksime endale ette kujutama sirgeid projektiivsel tasandil?

Olgu meil tegemist tsentraalprojektsiooniga tasandile π keskpunktiga S .Olgu u sirge tasandil π, mis moodustub punkti S labival ja tasandiga πristuval tasandil asuva ja punkti s labiva sirge poorlemisel tekkivatestsirge punktide projektsioonidest tasandile π.

Pooreldes joonisel noolega naidatudsuunas, liigub sirge asendist SA (selle allmoistame punkte S ja A labivat sirget)asendisse SB, omades kujutisenamuutuvat punkti P, mis asub sirgel upunktide A ja B ”vahel”. Edasi samassuunas pooreldes labib sirge kujutis mingil hetkel punkti D ja tundubnagu paremale poole eemalduvat, kuid sirge SA edasisel poorlemisel”tuleb kujutis taas nahtavale” punktist A vasakul, labides enne punktiE . Ehk siis, tegemist on sarnase efektiga, mis tekib Paikese korral, misloojub laande, kuid touseb idast.

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral.

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral. Votamekasutusele uue sirge u′, mis asub sirge u ja punkti S poolt maaratudtasandil ning labib punkti B, kuid ei labi punkti S .

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral. Votamekasutusele uue sirge u′, mis asub sirge u ja punkti S poolt maaratudtasandil ning labib punkti B, kuid ei labi punkti S .Me saame konstrueerida bijektsiooni sirgeteu ja u′ punktide vahel, seades poorlevasirge loikepunktile sirgega u vastavussetema loikepunkti sirgega u′.

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral. Votamekasutusele uue sirge u′, mis asub sirge u ja punkti S poolt maaratudtasandil ning labib punkti B, kuid ei labi punkti S .Me saame konstrueerida bijektsiooni sirgeteu ja u′ punktide vahel, seades poorlevasirge loikepunktile sirgega u vastavussetema loikepunkti sirgega u′. Sel viisilsatuvad vastavusse punktid D ja D ′, A ja A′, E ja E ′ ning punktid B jaB ′ = B.

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral. Votamekasutusele uue sirge u′, mis asub sirge u ja punkti S poolt maaratudtasandil ning labib punkti B, kuid ei labi punkti S .Me saame konstrueerida bijektsiooni sirgeteu ja u′ punktide vahel, seades poorlevasirge loikepunktile sirgega u vastavussetema loikepunkti sirgega u′. Sel viisilsatuvad vastavusse punktid D ja D ′, A ja A′, E ja E ′ ning punktid B jaB ′ = B. Et poorlev sirge poorleb pidevalt, siis liikudes asendist SBnoolega naidatus suunas asendisse SA, liigub sirge loikepunkt sirgel u′

pidevalt punktist B ehk B ′ punkti A′.

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral. Votamekasutusele uue sirge u′, mis asub sirge u ja punkti S poolt maaratudtasandil ning labib punkti B, kuid ei labi punkti S .Me saame konstrueerida bijektsiooni sirgeteu ja u′ punktide vahel, seades poorlevasirge loikepunktile sirgega u vastavussetema loikepunkti sirgega u′. Sel viisilsatuvad vastavusse punktid D ja D ′, A ja A′, E ja E ′ ning punktid B jaB ′ = B. Et poorlev sirge poorleb pidevalt, siis liikudes asendist SBnoolega naidatus suunas asendisse SA, liigub sirge loikepunkt sirgel u′

pidevalt punktist B ehk B ′ punkti A′. Siit naeme, et n.o. ”imaginaarnesirge u punkt”, s.t., punkt, mida peavad labima nii u kui sirgega uparalleelne, kuid punkti S labiv sirge, vastab tavalisele punktile sirgel u′,punktide D ′ ja E ′ vahel.

Vaatleme seda ”efekti” veidi taiendatud joonise korral. Votamekasutusele uue sirge u′, mis asub sirge u ja punkti S poolt maaratudtasandil ning labib punkti B, kuid ei labi punkti S .Me saame konstrueerida bijektsiooni sirgeteu ja u′ punktide vahel, seades poorlevasirge loikepunktile sirgega u vastavussetema loikepunkti sirgega u′. Sel viisilsatuvad vastavusse punktid D ja D ′, A ja A′, E ja E ′ ning punktid B jaB ′ = B. Et poorlev sirge poorleb pidevalt, siis liikudes asendist SBnoolega naidatus suunas asendisse SA, liigub sirge loikepunkt sirgel u′

pidevalt punktist B ehk B ′ punkti A′. Siit naeme, et n.o. ”imaginaarnesirge u punkt”, s.t., punkt, mida peavad labima nii u kui sirgega uparalleelne, kuid punkti S labiv sirge, vastab tavalisele punktile sirgel u′,punktide D ′ ja E ′ vahel. Seetottu tuleb projektiivsel tasandil juurdetoodud imaginaarset punkti kasitleda kui projektiivse sirge u tavalistpunkti ning projektiivset sirget (s. o. sirget, millele on lisatudimaginaarne punkt) oleks sobilik endale ette kujutada kui lopmaturaadiusega ringjoont, mille koik punktid on omavahel sama olulised.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O. Fikseerimeringjoonel R mingi punkti A ning loigu OA poorlemise suuna selliselt, etloigu poorlemisel jaab punkt O paigale, kuid punkt A liigub moodaringjoont.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O. Fikseerimeringjoonel R mingi punkti A ning loigu OA poorlemise suuna selliselt, etloigu poorlemisel jaab punkt O paigale, kuid punkt A liigub moodaringjoont. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge t korral onuheselt maaratud nurk αt , mis jaab sirgete t ja s vahele.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O. Fikseerimeringjoonel R mingi punkti A ning loigu OA poorlemise suuna selliselt, etloigu poorlemisel jaab punkt O paigale, kuid punkt A liigub moodaringjoont. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge t korral onuheselt maaratud nurk αt , mis jaab sirgete t ja s vahele. Seame sirgeteparvele, kuhu kuuluvad koik sirgega t paralleelsed sirged, vastavussesellise punkti Bt ringjoonelt R, mille korral punkt A kattub punktiga Bt ,kui loiku OA poorata umber punkti O meie poolt fikseeritud suunasnurga 2αt vorra.

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O. Fikseerimeringjoonel R mingi punkti A ning loigu OA poorlemise suuna selliselt, etloigu poorlemisel jaab punkt O paigale, kuid punkt A liigub moodaringjoont. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge t korral onuheselt maaratud nurk αt , mis jaab sirgete t ja s vahele. Seame sirgeteparvele, kuhu kuuluvad koik sirgega t paralleelsed sirged, vastavussesellise punkti Bt ringjoonelt R, mille korral punkt A kattub punktiga Bt ,kui loiku OA poorata umber punkti O meie poolt fikseeritud suunasnurga 2αt vorra. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge tkorral on αt ∈ [0, π) ning et iga α ∈ [0, π) korral leidub tasandile πkuuluv sirge t selliselt, et α = αt .

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O. Fikseerimeringjoonel R mingi punkti A ning loigu OA poorlemise suuna selliselt, etloigu poorlemisel jaab punkt O paigale, kuid punkt A liigub moodaringjoont. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge t korral onuheselt maaratud nurk αt , mis jaab sirgete t ja s vahele. Seame sirgeteparvele, kuhu kuuluvad koik sirgega t paralleelsed sirged, vastavussesellise punkti Bt ringjoonelt R, mille korral punkt A kattub punktiga Bt ,kui loiku OA poorata umber punkti O meie poolt fikseeritud suunasnurga 2αt vorra. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge tkorral on αt ∈ [0, π) ning et iga α ∈ [0, π) korral leidub tasandile πkuuluv sirge t selliselt, et α = αt . Loemegi sirgega t paralleelsetesirgete uhiseks loikepunktiks punkti Bt .

Kuidas muuta tavaline tasand projektiivseks tasandiks?

Olgu meil antud tasand π, mida me tahame taiendada lisapunktidega,et saada tulemuseks projektiivne tasand. Fikseerime tasandil π suvalisesirge s ning votame abiks kasutusele uhe ringjoone R, mis ei omatasandiga π uhiseid punkte. Olgu ringjoone keskpunkt O. Fikseerimeringjoonel R mingi punkti A ning loigu OA poorlemise suuna selliselt, etloigu poorlemisel jaab punkt O paigale, kuid punkt A liigub moodaringjoont. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge t korral onuheselt maaratud nurk αt , mis jaab sirgete t ja s vahele. Seame sirgeteparvele, kuhu kuuluvad koik sirgega t paralleelsed sirged, vastavussesellise punkti Bt ringjoonelt R, mille korral punkt A kattub punktiga Bt ,kui loiku OA poorata umber punkti O meie poolt fikseeritud suunasnurga 2αt vorra. Paneme tahele, et iga tasandile π kuuluva sirge tkorral on αt ∈ [0, π) ning et iga α ∈ [0, π) korral leidub tasandile πkuuluv sirge t selliselt, et α = αt . Loemegi sirgega t paralleelsetesirgete uhiseks loikepunktiks punkti Bt . See tahendab, et sirge t asemelvaatleme edaspidi sirget t ′ = t ∪ {Bt}.

Lisaks loeme ringjoone R samuti sirgeks.

Lisaks loeme ringjoone R samuti sirgeks. Paneme tahele, et igaringjoonele R kuuluva punkti B korral leidub selline sirge t, mis kuulubtasandile π ning mille korral B = Bt .

Lisaks loeme ringjoone R samuti sirgeks. Paneme tahele, et igaringjoonele R kuuluva punkti B korral leidub selline sirge t, mis kuulubtasandile π ning mille korral B = Bt . Samuti leidub iga tasandile πkuuluva sirge t korral selline punkt B ringjoonel R, et B = Bt .

Lisaks loeme ringjoone R samuti sirgeks. Paneme tahele, et igaringjoonele R kuuluva punkti B korral leidub selline sirge t, mis kuulubtasandile π ning mille korral B = Bt . Samuti leidub iga tasandile πkuuluva sirge t korral selline punkt B ringjoonel R, et B = Bt . Onsamuti selge, et kui t1 ja t2 on paralleelsed tasandile π kuuluvad sirged,siis langevad punktid Bt1 ja Bt2 kokku.

Lisaks loeme ringjoone R samuti sirgeks. Paneme tahele, et igaringjoonele R kuuluva punkti B korral leidub selline sirge t, mis kuulubtasandile π ning mille korral B = Bt . Samuti leidub iga tasandile πkuuluva sirge t korral selline punkt B ringjoonel R, et B = Bt . Onsamuti selge, et kui t1 ja t2 on paralleelsed tasandile π kuuluvad sirged,siis langevad punktid Bt1 ja Bt2 kokku. Nii tekib meil projektiivnetasand, mille punktihulgaks on hulk π ∪ R ning mille sirgete hulk onhulk {t ∪ {Bt} : t on sirge, mis kuulub tasandile π} ∪ {R}.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivsed mudelid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivsed mudelid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivseid mudeleid onvalja pakutud mitmeid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivsed mudelid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivseid mudeleid onvalja pakutud mitmeid. Kaesolevas kursuses kasitleme neist kahte, kussiis afiinse voi eukleidilise geomeetria punktide hulgast lahtudestekitatakse teatav projektiivne tasand.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivsed mudelid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivseid mudeleid onvalja pakutud mitmeid. Kaesolevas kursuses kasitleme neist kahte, kussiis afiinse voi eukleidilise geomeetria punktide hulgast lahtudestekitatakse teatav projektiivne tasand.

I mudel. Olgu meil antud afiinne ruum A ning selles fikseeritud mingipunkt O.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivsed mudelid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivseid mudeleid onvalja pakutud mitmeid. Kaesolevas kursuses kasitleme neist kahte, kussiis afiinse voi eukleidilise geomeetria punktide hulgast lahtudestekitatakse teatav projektiivne tasand.

I mudel. Olgu meil antud afiinne ruum A ning selles fikseeritud mingipunkt O. Iga punkti O labiva sirge afiinses ruumis loeme moodustatavaprojektiivse tasandi ”punktiks” ning iga punkti O labiva (afiinse)tasandi afiinses ruumis loeme projektiivse tasandi ”sirgeks”.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivsed mudelid.

Afiinse ja eukleidilise geomeetriaga seotud projektiivseid mudeleid onvalja pakutud mitmeid. Kaesolevas kursuses kasitleme neist kahte, kussiis afiinse voi eukleidilise geomeetria punktide hulgast lahtudestekitatakse teatav projektiivne tasand.

I mudel. Olgu meil antud afiinne ruum A ning selles fikseeritud mingipunkt O. Iga punkti O labiva sirge afiinses ruumis loeme moodustatavaprojektiivse tasandi ”punktiks” ning iga punkti O labiva (afiinse)tasandi afiinses ruumis loeme projektiivse tasandi ”sirgeks”. Naeme, ettekkinud ”punktide” ja ”sirgete” maailmas on meil projektiivse tasandinouded taidetud, sest iga kaks erinevat ”sirget” loikuvad tapselt uhes”punktis” ning iga kaks erinevat ”punkti” maaravad uheselt ara ”sirge”,millele nad kuuluvad.

Kaks loikuvat ”sirget”,mis omavad uhte uhist ”punkti”.

II mudel.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO. Sel juhul on uheselt maaratud sirge, mis labib punkte O ja P.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO. Sel juhul on uheselt maaratud sirge, mis labib punkte O ja P. Sellesirge ja meie poolsfaari loikepunkti (kui see asub diameeterringjoonel,siis uhe loikepunktidest) loeme punkti P kujutiseks meie poolsfaaril.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO. Sel juhul on uheselt maaratud sirge, mis labib punkte O ja P. Sellesirge ja meie poolsfaari loikepunkti (kui see asub diameeterringjoonel,siis uhe loikepunktidest) loeme punkti P kujutiseks meie poolsfaaril.Punkti O kujutiseks poolsfaaril loeme poolsfaari diameetrist koigekaugemal asuva poolsfaari punkti.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO. Sel juhul on uheselt maaratud sirge, mis labib punkte O ja P. Sellesirge ja meie poolsfaari loikepunkti (kui see asub diameeterringjoonel,siis uhe loikepunktidest) loeme punkti P kujutiseks meie poolsfaaril.Punkti O kujutiseks poolsfaaril loeme poolsfaari diameetrist koigekaugemal asuva poolsfaari punkti. Selliselt tekib meil projektiivnetasand, kus punkti O mitte labivad eukleidilise geomeetria sirged onkujutunud diametraalseteks poolringjoonteks sfaaril, kusjuures loikuvadsirged kujutuvad loikuvateks poolringjoonteks, paralleelsed sirged agapoolringjoonteks, millel on samad algus- ja lopp-punkt poolsfaaridiameeterringjoonel.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO. Sel juhul on uheselt maaratud sirge, mis labib punkte O ja P. Sellesirge ja meie poolsfaari loikepunkti (kui see asub diameeterringjoonel,siis uhe loikepunktidest) loeme punkti P kujutiseks meie poolsfaaril.Punkti O kujutiseks poolsfaaril loeme poolsfaari diameetrist koigekaugemal asuva poolsfaari punkti. Selliselt tekib meil projektiivnetasand, kus punkti O mitte labivad eukleidilise geomeetria sirged onkujutunud diametraalseteks poolringjoonteks sfaaril, kusjuures loikuvadsirged kujutuvad loikuvateks poolringjoonteks, paralleelsed sirged agapoolringjoonteks, millel on samad algus- ja lopp-punkt poolsfaaridiameeterringjoonel. Punkti O labivad sirged kujutuvad aga poolsfaarija vastava sirge loikepunktideks.

II mudel. Olgu meil antud eukleidilises geomeetrias punktihulk E ningsfaar keskpunktiga O. Votame sfaarist vaatluse alla pool sfaari ningsamastame poolsfaari diameeterringjoonel omavahel samal diameetrilasuvad punktid. Olgu P suvaline punkt hulgas E , mis erineb punktistO. Sel juhul on uheselt maaratud sirge, mis labib punkte O ja P. Sellesirge ja meie poolsfaari loikepunkti (kui see asub diameeterringjoonel,siis uhe loikepunktidest) loeme punkti P kujutiseks meie poolsfaaril.Punkti O kujutiseks poolsfaaril loeme poolsfaari diameetrist koigekaugemal asuva poolsfaari punkti. Selliselt tekib meil projektiivnetasand, kus punkti O mitte labivad eukleidilise geomeetria sirged onkujutunud diametraalseteks poolringjoonteks sfaaril, kusjuures loikuvadsirged kujutuvad loikuvateks poolringjoonteks, paralleelsed sirged agapoolringjoonteks, millel on samad algus- ja lopp-punkt poolsfaaridiameeterringjoonel. Punkti O labivad sirged kujutuvad aga poolsfaarija vastava sirge loikepunktideks. Siin mudelil on poolsfaaridiameeterringjoonel asuvad punktid nendeks ”lisapunktideks”, kus siisparalleelsed sirged loikuvad.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias).

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid. Vottes”punktideks” sfaari punktid ja arvestades samastamist, moodustameuue punktihulga.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid. Vottes”punktideks” sfaari punktid ja arvestades samastamist, moodustameuue punktihulga. ”Sirgeteks” loeme sfaari diametraalringjooned.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid. Vottes”punktideks” sfaari punktid ja arvestades samastamist, moodustameuue punktihulga. ”Sirgeteks” loeme sfaari diametraalringjooned. Seljuhul oleme saanud ”punktide” ja ”sirgete hulga”, mis annab meileprojektiivse tasandi.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid. Vottes”punktideks” sfaari punktid ja arvestades samastamist, moodustameuue punktihulga. ”Sirgeteks” loeme sfaari diametraalringjooned. Seljuhul oleme saanud ”punktide” ja ”sirgete hulga”, mis annab meileprojektiivse tasandi. On lihtne margata, et sellises ”punktide” ja”sirgete” hulgas on projektiivse tasandi aksioomid taidetud.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid. Vottes”punktideks” sfaari punktid ja arvestades samastamist, moodustameuue punktihulga. ”Sirgeteks” loeme sfaari diametraalringjooned. Seljuhul oleme saanud ”punktide” ja ”sirgete hulga”, mis annab meileprojektiivse tasandi. On lihtne margata, et sellises ”punktide” ja”sirgete” hulgas on projektiivse tasandi aksioomid taidetud. Samuti onkerge margata, et Eukleidese V aksioom ei ole taidetud, mistottu onantud mudeli korral tegemist ka mitteeukleidilise geomeetria mudeliga.

Mitteeukleidilise geomeetria projektiivne mudel

Vaatleme sfaari S (naiteks eukleidilises geomeetrias). Samastameomavahel sfaari diametraalselt teineteise vastas olevad punktid. Vottes”punktideks” sfaari punktid ja arvestades samastamist, moodustameuue punktihulga. ”Sirgeteks” loeme sfaari diametraalringjooned. Seljuhul oleme saanud ”punktide” ja ”sirgete hulga”, mis annab meileprojektiivse tasandi. On lihtne margata, et sellises ”punktide” ja”sirgete” hulgas on projektiivse tasandi aksioomid taidetud. Samuti onkerge margata, et Eukleidese V aksioom ei ole taidetud, mistottu onantud mudeli korral tegemist ka mitteeukleidilise geomeetria mudeliga.

Ulesanne 7.9. Veenduge, et toodud mudelite korral on toepoolesttegemist projektiivsete tasanditega.