7. Jerzy Nowik Paweł Perekietka, Łukasz Nitschke

Spis treści

1. Wstęp

2. Krystyna Dałek – Okna , łuki, witraże; (Geometria cyrkla i linijki)

3. Agata Hoffman – Krasnoludzkie finanse ( Aktywności matematyczne)

4. Jolanta Kopij, Sylwia Kownacka – Powtórki z geometrii metodą projektu i nie tylko

(Metodyka Nauczania Matematyki)

5. Marek Kordos – O Matematycznym Rycerzu Gwiazdy Pitagorejskiej (Historia

matematyki)

6. Magdalena Kucio, Marzena Płachciok - Matematyczne Ziarenka z Komputerem,

(TI w Nauczaniu Matematyki)

7. Zofia Miczek, Anna Ząbkowska-Petka – Dzisiaj nie liczymy, dzisiaj gramy. Przykłady

gier dydaktycznych( Aktywności matematyczne)

7. Jerzy Nowik – Ocena opisowa z matematyki (Metodyka Nauczania Matematyki)

8. Paweł Perekietka, Łukasz Nitschke - Zainteresowani informatyk = zainteresowani

komputerami ?( TI w Nauczaniu Matematyki)

9. Anna Ponikwicka, Barbara Pfűcner – Origami a metoda projektu (Origami i

Matematyka)

10. Katarzyna Sikora – Kilka słów o nauczaniu matematyki w Walii na podstawie

doświadczeń w ramach Comenius Regio; (Doskonalenie zawodowe nauczycieli za

granicą)

11. Wacław Zawadowski - Czy ocenianie przez zdobywanie sprawności może być

zastosowane w nauczaniu matematyki? (Metodyka Nauczania Matematyki)

12. Wacław Zawadowski – Historia matematyki dla nauczycieli (Historia Matematyki).

13. Wacław Zawadowski –Warsztat stereofoto modeli 3D ( Aktywności matematyczne)

Wstęp

Już po raz trzeci oddajemy w Państwa ręce materiały z kolejnej XIX Konferencji

Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki. Tym razem w postaci elektronicznej. Fundacja

Rodziny Maciejko stale nam towarzyszy i wspiera SNM w różnych działaniach i znowu

dzięki Fundacji mogliśmy przygotować tę pozycję. Podobnie, jak w latach ubiegłych, nie

jest to sprawozdanie z całej bogatej i różnorodnej działalności, która miała miejsce w

Bydgoszczy na naszej XX konferencji. Prezentujemy tylko niewielki wybór zajęć. Są to

jednak przykłady zajęć oraz wykładów z różnych dziedzin i odpowiadające różnym

poziomom nauczania.

Mamy nadzieję, że podobnie jak poprzednie tomy, obecna 3-a edycja będzie

pomocna

i wykorzystywana w waszej pracy nauczycielskiej. Specyficzny charakter naszych

konferencji -- wiele warsztatów, wiele pracy własnej, wiele dyskusji i ścierania się

różnych poglądów, wymiana doświadczeń między uczestnikami -- wszystko to w istotny

sposób odbija się na przygotowanych materiałach. Niektóre z nich wystarczy przeczytać,

dowiadując się ciekawych rzeczy i pogłębiając swoją wiedzę. Ale do wielu musimy

podchodzić, jak do wskazówek, podpowiadających nam, jak przygotować swoją lekcję.

Z innych wyniesiemy korzyść, jeśli będziemy czytać, wykonując samodzielnie kolejne

opisane działania (na przykład pracując z kartkami papieru, z kalkulatorami, przeliczając

samodzielnie własne przykłady) tak, jakbyśmy brali udział w opisywanych warsztatach.

Jeszcze inne będą stanowiły dla nas inspirację dla naszej pracy i naszego doskonalenia

zawodowego.

Mamy nadzieję, że przygotowana publikacja dostarczy Państwu dużo zadowolenia

i wsparcia w waszej pracy nauczyciela matematyki.

Składamy Fundacji Rodziny Maciejko jeszcze raz wielkie podziękowania za

wspieranie nas w naszych wysiłkach i umożliwienie przygotowania trzeciego tomu

materiałów konferencyjnych.

XX Krajowa Konferencja SNM

GEOMETRIA CYRKLA I LINIJKI

Krystyna Dałek (Warszawa)

Listki, okna i witraże

Streszczenie

Przedstawiam kilka przykładów prostego użycia cyrkla i linijki dla

pokazania/przypomnienia podstaw geometrii klasycznej. Podstawą zajęć jest praca

manualna, w celu zwrócenia uwagi na podstawowe własności, wynikające stąd

konstrukcje i obliczenia związane z figurami. Zajęcia te można powtórzyć używając

komputerowych programów geometrycznych, należy jednak zdawać sobie sprawę, że

sposób myślenia uczniów będzie inny. Wykonane rysunki mają również walory

estetyczno-historyczne.

1. Trójlistek 1

Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku a. Znajdź środki boków i zaznacz je. Z

każdego środka zakreśl półkole promieniem równym połowie boku trójkąta. Pokoloruj,

według chęci. Oblicz obwód i pole trójkąta i całego listka.

2. Trójlistek 2

Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku a Znajdź środki boków i zaznacz je. Z

każdego wierzchołka trójkąta zakreśl łuk promieniem równym połowie boku trójkąta, od

jednego boku do drugiego boku. Pokoloruj, według chęci. Oblicz obwód i pole trójkąta i

całego listka.

3. Trójlistek 3

Skonstruuj trójkąt równoboczny ABC o boku a. Zaznacz wszystkie wysokości i ich

punkt przecięcia K. Z każdego wierzchołka trójkąta zakreśl łuk promieniem równym

odcinkowi AK, aż dwa sąsiednie łuki przetną się. Pokoloruj, według chęci. Powtórz to

samo z trójkątami BKC i AKB. Oblicz obwód i pole trójkąta i całego listka.

4. Rozetka 1

Narysuj okrąg o promieniu R. Zaznacz środek S i przy pomocy kątomierza podziel kąt

pełny w środku koła na 5 części. Narysuj promienie, zaznacz ich przecięcia z okręgiem.

Narysuj pięciokąt ABCDE, wpisany w okrąg. Bok pięciokąta jest równy a. Zaznacz

trójkąt równoramienny ASB. Narysuj wysokość ST. Twoim zadaniem jest narysowanie

okręgu stycznego do odcinka ST oraz wewnętrznie do dużego okręgu. W tym celu

musisz znaleźć promień r małego okręgu.

Wykorzystamy proporcje w trójkącie prostokątnym STB:

r

rR

a

R

2/ Stąd wyliczymy algebraiczną wartość promienia r.

Jeśli przyjmiesz konkretną wartość R i zmierzysz linijką (staraj się mierzyć dokładnie)

długość odcinka a, obliczysz ile wynosi r. Na odcinku SB, z punktu B, odmierzysz

odcinek BL = r. L jest środkiem szukanego małego okręgu. Narysuj je. Podobnie

narysuj okręgi styczne do dużego okręgu w pozostałych wierzchołkach pięciokąta. Jeśli

usuniesz linie pięciokąta otrzymasz piękną rozetę z pięcioma wewnętrznymi kołami.

Narysuj kilka takich rozet dla różnych R. Oblicz pole dużego koła i sumę pól małych kół.

Oblicz ich stosunek: czy dla wszystkich twoich rysunków jest taki sam?

5. Rozeta 2

Narysuj okrąg i wpisz w niego sześciokąt ABCDEF (bok sześciokąta równy jest

promieniowi koła). Narysuj proste symetralne przeciwległych boków sześciokąta.

Przetną one boki sześciokąta w punktach P,R,S,T,U,W. Z każdego z tych punktów zakreśl

na przedłużeniu symetralnej odcinek długości połowy boku sześcianu. Otrzymasz kolejno

punkty 111111 ,,,,, WUTSRP . Z punktu 1P zakreślisz łuk promieniem 1P A, od wierzchołka

A do wierzchołka B. Powtórz to z kolejnymi wierzchołkami sześcianu. Jeśli usuniesz

linie pomocnicze, otrzymasz kwiatek, albo rozetkę. Możesz jeszcze narysować duży

okrąg styczny do wszystkich małych okręgów (obwiednia). Oblicz pole powierzchni

swojej rozetki. Zastanów się nad symetriami. Jakie jeszcze elementy potrafisz obliczyć?

6. Okno z łukami 1

Narysuj dowolny odcinek AB. Zacznij konstruować trójkąt równoboczny, zaznaczając

wyraźnie łuki, a sam trójkąt narysuj lekko ołówkiem. Również lekko zaznacz wysokości

i z punktu przecięcia narysuj okrąg wpisany w trójkąt. Z każdego punktu K przecięcia

okręgu wpisanego z wysokością, narysuj promieniem równym promieniowi okręgu

wpisanego dwa łuki: od dużego łuku do okręgu wpisanego. Z punktów L i M narysuj po

jednym takim łuku. Usuń zbędne linie, zostawiając same łuki Pola jakich części potrafisz

obliczyć?

7. Okno z łukami 2

Narysuj dowolny odcinek AB. Zacznij konstruować trójkąt równoboczny, zaznaczając

wyraźnie łuki a sam trójkąt narysuj lekko ołówkiem. Znajdź środek K podstawy

trójkąta AB. Z punktu K zaznacz łuki na bokach AC i BC, promieniem KA. Powstaną łuki

AM i BN.

Z punktów M i N zaznacz łuki na przeciwległych bokach promieniem NM. Usuń linie

trójkąta, zostawiając same łuki. Co tu potrafisz obliczyć? Jakie pytanie zadać?

8. Okno z łukami 3

Narysuj odcinek AB dowolnej długości i z punktów A i B zakreśl łuki, aby wyznaczyć

trójkąt równoboczny. Z punktu przecięcia C zakreśl łuk AB, tym samym promieniem.

Wyznacz środki boków trójkąta. Z każdego z tych punktów zakreśl łuki na sąsiednich

bokach trójkąta promieniem równym połowie boku. Usuń linie trójkąta zostawiając

same łuki - masz piękny ornament.

9. Witraże

a) Możesz narysować cztery takie same ornamenty, jak w p. 8. Ułóż je równo

i symetrycznie(np. można je przykleić) względem dwóch prostopadłych prostych,

wierzchołkami do siebie i obrysuj je okręgiem, tak, aby pozostałe wierzchołki w

ornamencie leżały na okręgu. Środkiem okręgu jest punkt przecięcia się prostych

prostopadłych. Użyj kolorów.

b) Ten sam witraż możesz narysować w całości.

Zacznij od narysowania dużego okręgu i dwóch osi prostopadłych, dzielących okrąg na

cztery równe części. W każdą część wpiszesz taki ornament jak w punkcie 8. Musisz

tylko

w każdą ćwiartkę wpisać trójkąt równoboczny o boku równym promieniowi okręgu.

Narysuj jeszcze dwie symetralne, tak aby okrąg podzielony został na 8 części. Obok

narysuj pomocniczy rysunek trójkąta równobocznego o boku równym promieniowi i

narysuj jego wysokość. Zaznacz długość tej wysokości na każdej symetralnej, odkładając

ten odcinek od środka okręgu w obie strony. Przez zaznaczone na symetralnych punkty

przeprowadź prostopadłe cięciwy. To będą podstawy trójkątów równobocznych. Dorysuj

od środka okręgu boki. Masz już cztery całe trójkąty. Dalej postępuj zgodnie z opisem

podanym w punkcie 8. Usuń pomocnicze linie, zostawiając tylko łuki. Możesz

pomalować swój ornament, zestawić kilka razem, połączyć w różne zestawy z innymi

wzorami.

A co umiesz obliczyć?

10. Okno z trzema łezkami

Narysuj (ołówkiem) trójkąt równoboczny ABC o dowolnym promieniu a. Wyznacz punkt

S przecięcia się wysokości. Z punktów A,B,C zakreśl okręgi promieniem równym

połowie boku trójkąta. Narysuj duży okrąg o środku S i takim promieniu, aby trzy

narysowane okręgi były styczne do nowego, dużego okręgu, w punktach przecięcia

małych okręgów

z wysokościami trójkąta. Usuń linie trójkąta i przeciągnij np. flamastrem po połówkach

okręgów, tak aby uzyskać efekt trzech „łezek” w symetrii środkowej.

11. Okno z czterema łezkami

Narysuj kwadrat o boku a. Poprowadź proste na których leżą przekątne kwadratu,

zaznacz środek S kwadratu Z każdego wierzchołka kwadratu narysuj okrąg o promieniu

równym połowie boku kwadratu. Zaznacz punkt przecięcia K przekątnej z jednym z

okręgów. Narysuj duży okrąg o środku S kwadratu, promieniem SK styczny do

wszystkich czterech okręgów (obwiednia). Usuń linie kwadratu i przekątnych. Czy

widzisz na swoim rysunku cztery „łezki”? Zaznacz flamastrem cały duży okrąg i

odpowiednie części okręgów wpisanych.

Czy potrafisz obliczyć długość obwodu jednej „łezki”? A długość obwodu całego

rysunku?

Baw się i łącz dowolnie różne ornamenty. Czasami trzeba będzie, dla osiągnięcia

lepszego efektu, zmienić promień okręgu lub długość boku trójkąta równobocznego.

Inwencja twórcza należy teraz do ciebie.

Materiały opracowane na podstawie materiałów z MUED-Schriftenreiche Freiarbeit Nr.7

Klasse 9/10. Freiarbeit mit Karteikarten: Kirchen- und andere Fenster; Dagmar Stadler,

1999.

Krystyna Dałek jest emerytowanym pracownikiem

wydziału Matematyki Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu

Warszawskiego. Jest członkiem Zarządu

Warszawskiego Oddziału SNM.

[email protected]


AKTYWNOŚCI MATEMATYCZNE

Agata Hoffmann (Wrocław)

Krasnoludzkie finanse

Streszczenie Jednym z najczęściej zadawanych pytań (przez uczniów na każdym z poziomów nauczania i praktycznie

przy każdym omawianym temacie) jest: Po co mamy się tego uczyć? Aspekt praktycznego zastosowania

zdobywanej wiedzy, który jest jednym z najważniejszych czynników motywujących pracę uczniów, jest

zaznaczony

w podstawach programowych (wprost lub mniej jawnie) na każdym z etapów edukacyjnych. W tym

artykule przedstawię Państwu propozycję zadań związanych z gospodarowaniem finansami, która pokazuje

praktyczne zastosowanie zdobytej wiedzy i umiejętności na wszystkich etapach nauczania. Jako łącznika

miedzy rzeczywistością a matematyką użyłam świata wrocławskich krasnoludków.

I. I tak, w podstawach programowych dla kształcenia zintegrowanego znajdujemy

informację o tym, że:

Uczeń kończący klasę I:

4) w zakresie obliczeń pieniężnych:

a) zna będące w obiegu monety i banknot o wartości 10 zł; zna wartość nabywczą monet

i radzi sobie w sytuacji kupna i sprzedaży,

b) zna pojęcie długu i konieczność spłacenia go.

Uczeń kończący klasę III:

8) wykonuje łatwe obliczenia pieniężne (cena, ilość, wartość) i radzi sobie w sytuacjach

codziennych wymagających takich umiejętności;1.

Rozwiązując zestaw zadań związany z krasnalem Kupczykiem, ćwiczymy u

uczniów korzystanie ze wspomnianej wiedzy i umiejętności.

1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 23 grudnia 2008 r. w sprawie podstawy programowej wychowania

przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz. U. Nr 4 poz. 17)

KZ Kupczyk

Krasnal Kupczyk sprzedaje lizaki. Okrągłe po 10 gr, kuliste po 15 gr, a w kształcie

zwierzątek po 25 gr.

1. Ile okrągłych lizaków można u niego kupić za 2 zł? Ile w kształcie zwierzątek? A ile

kulistych?

2. Ile i jakich lizaków można u niego kupić za 3 zł?

3. Na sprzedaży każdego z okrągłych lizaków zarabia 2 gr. Ile sprzedał tych lizaków,

jeżeli jego zysk wyniósł 90 gr?

4. Na sprzedaży każdego z kulistych lizaków zarabia 5 gr, a tych w kształcie zwierzątek

8 gr. Jaki był jego zysk, jeśli sprzedał 15 lizaków kulistych i 7 lizaków w kształcie

zwierzątek?

5. Po godzinie sprzedaży Kupczyk zarobił całą złotówkę. Wiemy, że sprzedał 11 lizaków

w kształcie zwierzątek. Ile sprzedał lizaków okrągłych, a ile kulistych, jeżeli wiemy,

że każdy rodzaj lizaków był kupowany?

Pierwsze dwa zadania dotyczą zwykłych zakupów. W pierwszym poza typową

sytuacją matematyczną dotykamy częstej sytuacji życiowej – nie zawsze z dzielenia

otrzymujemy resztę 0. W zadaniu drugim mamy do czynienia z częstą sytuacją życiową,

choć trudniejszą sytuacją matematyczną – pojawia się tu wiele różnych możliwych

odpowiedzi.

Kolejne zadania dotyczą zysku z zakupów, co jest ważnym elementem edukacji

finansowej. I tu zadania ułożone są ze wzrastającym stopniem trudności – najpierw

sytuacja dotyczy jednego obiektu, potem dwóch, a na końcu trzeba trochę

pokombinować!

Według podobnego schematu ułożony jest następny cykl zadań odwołujący się do

krasnala Bankusia Pieniążka. Tym razem dotykamy innego pojęcia finansowego –

pożyczki

i związanego z nią zarobku pożyczającego.

KZ Bankuś Pieniążek

Bankuś Pieniążek pożycza pieniądze – „rozdaje” kredyty. Za każde pożyczone 10

złotych pobiera opłatę w wysokości 1 zł. Wiemy, że pożyczył już 210 zł.

1. Ile pieniędzy pobrał w ramach opłat?

2. Jeśli siedmiu osobom pożyczył tyle samo pieniędzy, to jaka jest wysokość pożyczki?

3. Gdyby każdej osobie pożyczał 5 zł, to ilu osobom udzieliłby pożyczki?

4. A gdyby pierwszej osobie pożyczył 10 zł, drugiej o dziesięć złotych więcej niż

pierwszej, trzeciej o dziesięć złotych więcej niż drugiej itd., czyli każdej następnej

osobie pożyczałby o dziesięć złotych więcej niż poprzedniej, to ilu osobom udzieliłby

pożyczki?

Ostatni zestaw zadań dla uczniów najmłodszych, który chcę Państwu

zaprezentować, odbiega od poprzednich. Tym razem grupę krasnali Bankomatków

wykorzystałam do dokonania prostych spostrzeżeń i obliczeń, ale… No właśnie! Ostatnie

zadanie daje nam wiele możliwości do rozmowy z dziećmi. Oczywiście, można je

wykorzystać jako eksplorację naszego systemu pieniężnego (w końcu Bankomatki są we

Wrocławiu), ale można też pokusić się o stworzenie krasnoludzkich nominałów

banknotów (krasnale mogą mieć inne nominały), a także (opierając się na innej od znanej

dzieciom ze szkoły budowie używanego tutaj liczydła) zabawić się w operacje z innego

systemu liczbowego!

KZ Bankomatki

1. Ile prętów ma krasnoludzkie liczydło, którego używa Bankomatek?

2. Ile korali jest na najwyższym pręcie tego liczydła?

3. Ile grup, po ile korali jest na środkowym pręcie tego liczydła? Ile jest ich razem?

Czy jest ich tyle samo, co na najwyższym pręcie tego liczydła?

4. Jeżeli wiesz, że na każdym pręcie przedstawionego na zdjęciu liczydła jest tyle samo

korali, to ile korali z najniższego pręta zasłaniają dłonie Bankomatka?

5. Ile najwięcej banknotów można odliczyć używając przedstawionego na zdjęciu

krasnoludzkiego liczydła? Uwaga, każdego korala używamy tylko raz!

Jaka, dzięki temu odliczeniu, może być wypłacona z tego bankomatu najwyższa

kwota pieniędzy? A jaka najniższa?

II. W drugim etapie nauczania – w szkole podstawowej w klasach 4-6, w podstawach

programowych znajdujemy:

I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste działania pamięciowe na liczbach

naturalnych, całkowitych i ułamkach, zna i stosuje algorytmy działań pisemnych oraz

potrafi wykorzystać te umiejętności w sytuacjach praktycznych1.

Schemat zadań z zestawu dotyczącego krasnala Bankusia Pieniążka jak i Kupczyka

łatwo można przystosować dla uczniów ze starszych klas szkoły podstawowej i ćwiczyć

umiejętności rachunków na większych liczbach naturalnych, czy na ułamkach zapisanych

w formie dziesiętnej.

SP Bankuś Pieniążek

Bankuś Pieniążek pożycza pieniądze – udziela kredytów. Za każde pożyczone 100

złotych pobiera opłatę w wysokości 17 zł. Wiemy, że w tym tygodniu pożyczył już 22

400 zł.

1. Ile pieniędzy pobrał w ramach opłat?

2. Jeśli ośmiu osobom pożyczył tyle samo pieniędzy, to jaka jest wysokość pożyczki?

3. Gdyby każdej osobie pożyczał 350 zł, to ilu osobom udzieliłby pożyczki?

W poprzednim tygodniu Bankuś Pieniążek pożyczył 21 000zł. Pierwszej osobie

pożyczył 1000 zł, drugiej o tysiąc złotych więcej niż pierwszej, trzeciej o tysiąc złotych

więcej niż drugiej itd., czyli każdej następnej osobie pożyczał o tysiąc złotych więcej niż

poprzedniej. Ilu osobom udzielił pożyczki?

SP Kupczyk

Krasnal Kupczyk sprzedaje cukierki w paczkach. Okrągłe po 1,2 zł, kuliste po 1,5

zł,

a w kształcie zwierzątek po 3 zł.

1. Ile paczek cukierków w kształcie zwierzątek można u niego kupić za 60 zł? Ile

okrągłych? A ile kulistych?

2. Ile i jakich paczek cukierków można u niego kupić za 50 zł?

3. Na sprzedaży każdej paczki okrągłych cukierków zarabia 10 gr. Ile sprzedał tych

paczek, jeżeli jego zysk z tej sprzedaży wyniósł 42 zł?

5. Na sprzedaży każdej paczki kulistych cukierków zarabia 25 gr, a tych w kształcie

zwierzątek 75 gr. Jaki był jego zysk, jeśli sprzedał 15 paczek cukierków kulistych i 17

paczek cukierków w kształcie zwierzątek?

6. Po godzinie sprzedaży Kupczyk zarobił 7 zł i 30 gr. Wiemy, że sprzedał 7 paczek

cukierków w kształcie zwierzątek. Ile sprzedał paczek cukierków okrągłych, a ile

kulistych, jeżeli wiemy, że każdy rodzaj cukierków był kupowany?

Praca jest źródłem dochodów i ten fakt wykorzystałam w następnym zestawie

zadań dotyczącym pracy krasnoludków Epików. Zadawane pytania pokazują jak można

obliczyć zarobki, mając sytuację opisaną na różne sposoby. Można tu też pokusić się o

sformułowanie pewnej zależności, która mogłaby pomóc w udzieleniu odpowiedzi w

każdej sytuacji…, ale nie jest to konieczne. Natomiast nie unikniemy dotknięcia

problemów związanych

z przybliżeniami – kiedy przybliżać i jakie są tego konsekwencje (za jeden

odprowadzony wózek jednemu krasnoludkowi należy się 0,625 zł, a przecież nie mamy

tysiącznych części złotego).

SP Epiki

Epiki podają wózki klientom, a potem odprowadzają je na miejsce. Za wykonanie

tej pracy każdorazowo otrzymują 2,5 zł. Muszą jednak pracować całym zespołem, bo

wózki są bardzo ciężkie i gdyby któregoś zabrakło, nie daliby rady.

1. Ile zarobił każdy krasnoludek w poniedziałek, jeśli zajęli się 123 wózkami?

2. Iloma wózkami zajęły się Epiki we wtorek, jeżeli każdy krasnoludek zarobił 37,5 zł?

3. Iloma wózkami zajęły się Epiki w środę, jeżeli dwa krasnoludki razem zarobiły 95 zł?

4. Czwartek był dniem wolnym od pracy, więc Epiki odpoczywały. Iloma wózkami

zajęły się Epiki w piątek, jeżeli trzy krasnoludki razem zarobiły 187,5 zł?

W ostatnim zestawie, przeznaczonym dla uczniów ze starszych klas szkoły

podstawowej, który Państwu zaprezentuję, a do którego wykorzystam krasnala z Urzędu

Skarbowego – Skarbusia, chcę dotknąć umiejętności odczytywania informacji z tabeli –

oczywiście z użyciem materiałów pozwalających poszerzać edukację finansową.

SP Skarbuś

Od paru lat podatnicy mogą zadecydować, gdzie ma być przekazany jeden procent

ich podatków. Krasnal Skarbuś dotarł do informacji zamieszczonych w tabeli (zdjęcie 8),

a ty na podstawie tych informacji odpowiedz na pytania:

1. Jak w poszczególnych latach zmieniała się kwota przekazywana przez podatników

w ramach 1 procentu swoich podatków?

2. Jak w poszczególnych latach zmieniała się liczba osób przekazujących pieniądze w

ramach 1 procentu swoich podatków?

3. Czy podatnicy w każdym następnym roku dawali więcej? Dlaczego?

III. W podstawie programowej do gimnazjum znajdujemy informacje o tym, że:

5. Procenty. Uczeń: 4) stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów

w kontekście praktycznym, np. oblicza ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent,

wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza odsetki dla lokaty rocznej..

Ponieważ na rozważanym poziomie mamy już bardziej rozbudowane zaplecze

matematyczne, zadania związane z działalnością krasnala Bankusia Pieniążka wyglądają

tak.

G Bankuś Pieniążek

U Bankusia Pieniążka można zaciągnąć kredyt. Jego oprocentowanie wynosi 8 %

w skali roku. Jeżeli zaciągniemy kredyt w wysokości 21 000 zł, to:

1. Ile wyniosą odsetki, jeśli jest to kredyt roczny?

2. Ile wyniosą odsetki, jeśli jest to kredyt pięcioletni?

3. W przypadku kredytu pięcioletniego, mamy trzy możliwości jego spłacania:

A. po każdym roku spłacamy równe raty, a odsetki dołączamy do pierwszej raty,

B. po każdym roku spłacamy równe raty, a odsetki dołączamy do każdej z kolejnych rat

licząc je z kwoty wielkości przed spłatą raty,

C. odsetki za pierwszy rok płacimy przed otrzymaniem kredytu, ponadto po każdym roku

spłacamy równe raty, a odsetki dołączamy do każdej z kolejnych rat licząc je z kwoty

pozostałej po spłacie raty,

Która opcja nam się bardziej opłaca?

A do rozwiązania zadania z zakresu analizy informacji z uwzględnieniem pojęcia

VAT wykorzystałam zadania związane z krasnalem Pocztowcem.

G Pocztowiec

Opłat abonamentowych RTV dokonujemy na poczcie. Na podstawie informacji

dołączonej do pytań

ustal:

1. Ile trzeba zapłacić za miesięczne używanie odbiornika telewizyjnego?

2. Ile i pod jakimi warunkami należy zapłacić za cały rok używania odbiorników

radiowego

i telewizyjnego? Ile mogłabym zaoszczędzić?

3. Jeżeli nie zdążyłam w terminie opłacić abonamenty RTV w styczniu, to jak mam

rozłożyć moje opłaty, bym wydała jak najmniej pieniędzy?

4. Podatek VAT wzrósł w 2011 roku o jeden punkt procentowy. W roku 2010 opłata za

odbiornik telewizyjny wynosiła 17 zł. Czy podwyżka opłaty uwzględnia tylko

podwyżkę VAT, czy nie? Dlaczego?

Fragment z podstaw programowych, który przytoczyłam wcześniej, odnosi się

wprost do praktycznego wykorzystania zdobywanej wiedzy i umiejętności. Oczywiście,

do zastosowań praktycznych możemy wykorzystać zarówno inne umiejętności

matematyczne, jak i inne sytuacje. I tak do ćwiczenia umiejętności odczytania informacji

z tabeli, wykorzystałam zadania związane z krasnalem Ekonomkiem.

G Ekonomek

Na podstawie załączonej tabeli

pomóż krasnalowi Ekonomkowi odpowiedzieć na pytania:

1. Ile trzeba przygotować złotówek, by kupić 1570 euro (EUR)?

2. Ile otrzymamy złotówek za sprzedaż 327 dolarów (USD)?

3. Ile franków szwajcarskich (CHF) muszę sprzedać, aby móc kupić 328 funtów

brytyjskich (GBP)?

4. Które waluty opłacało się kupować, a które sprzedawać 26.01.2011r.? Dlaczego?

5. Co oznacza zamieszczone w tabeli 0,00?

Do ćwiczenia umiejętności odczytywania informacji z tekstu zawierającego

informacje matematyczne, wykorzystałam zadania związane z krasnalem Skarbusiem.

G Skarbuś

Na podstawie dołączonej informacji prasowej

odpowiedz na pytania.

1. W jakiej branży (spośród wymienionych) ludzie zarabiali najmniej?

2. Jak była różnica między najniższą a najwyższą (spośród wymienionych) średnią

zarobków?

3. Jaka była średnia zarobków rok wcześniej? O ile punktów procentowych się zmieniła?

IV. I w końcu, w szkołach ponad gimnazjalnych w podstawie programowej

znajdziemy:

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 9) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk

z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok)1.

Teraz zadania związane z Bankusiem Pieniążkiem wyglądają tak:

PG Bankuś Pieniążek

Oprocentowanie kredytu proponowanego przez bank Bankusia Pieniążka wynosi

12 % w skali roku. Jeżeli zaciągniemy kredyt w wysokości 48 000 zł, to:

1. Ile wyniosą odsetki, jeśli jest to kredyt roczny?

2. Ile wyniosą odsetki, jeśli jest to kredyt półroczny?

3. W przypadku kredytu, mamy trzy możliwości jego spłacania:

A. po każdym miesiącu spłacamy równe raty, a odsetki dołączamy do pierwszej raty,

B. po każdym miesiącu spłacamy równe raty, a odsetki dołączamy do każdej z kolejnych

rat licząc je z kwoty wielkości przed spłatą raty,

C. odsetki za pierwszy miesiąc płacimy przed otrzymaniem kredytu, ponadto po każdym

miesiącu spłacamy równe raty, a odsetki dołączamy do każdej z kolejnych rat licząc je

z kwoty pozostałej po spłacie raty.

Która opcja nam się bardziej opłaca?

I w przypadku podstawy programowej dla szkół ponad gimnazjalnych przytoczony

fragment odnosi się wprost do praktycznego wykorzystania zdobywanej wiedzy

i umiejętności. Oczywiście i tu, do zastosowań praktycznych możemy wykorzystać

zarówno inne umiejętności matematyczne, jak i inne sytuacje.

Do ćwiczenia umiejętności odczytania informacji z tabel i diagramów,

wykorzystałam zadania związane z krasnalem Skarbusiem.

PG Skarbuś

Na podstawie dołączonego rysunku (zdjęcie 14) odpowiedz na pytania:

1. Jak w stosunku do poprzedniego roku zmieniły się koszty prowadzenia firmy?

2. Jakim procentem przeciętnej płacy są poszczególne opłaty?

3. Czy opłaty do NFZ są obliczane tak samo jak pozostałe? Dlaczego?

Do ćwiczenia umiejętności odczytywania informacji z tekstu zawierającego

informacje matematyczne, wykorzystałam zadania związane z krasnalem Wypłatnikiem.

PG Wypłatnik

Na podstawie dołączonego artykułu (zdjęcie 16) odpowiedz na pytania:

1. Jaki procent badanych stwierdziło, że ich sytuacja finansowa nie jest ani bardzo dobra,

ani dobra, ani raczej dobra, ani zła, ani bardzo zła? Jak byś nazwał tę grupę

respondentów?

2. Jaki procent badanych nie ma rachunku rozliczeniowo-oszczędnościowego?

3. Jaki procent osób posiadających konto korzysta z karty debetowej?

4. Jaki procent osób posiadających konto korzysta z niego przez Internet?

5. Jaki procent oszczędzających stanowią osoby powyżej 24 roku życia?

6. Jaki procent badanych z miast powyżej 200 tys. mieszkańców deklaruje posiadanie

oszczędności? O ile procent jest to większa grupa niż mieszkańcy wsi, którzy

posiadają oszczędności?

7. Czy istnieje choć jedna taka osoba, która ma swoje oszczędności w banku na koncie i

na lokacie? Dlaczego?

8. Czy może się tak zdarzyć, że osoby lokujące swoje oszczędności w funduszach

inwestycyjnych, mają też obligacje skarbowe? Dlaczego?

9. A czy może być tak, że żadna osoba mająca oszczędności w akcjach, nie oszczędza

w ramach polisy na życie? Dlaczego?

W zadaniach związanych z krasnalem Motocyklistą wykorzystałam odczytanie

pewnej zależności z ukrytej tabeli, która nie jest do końca precyzyjna…, ale pozwólmy to

odkryć uczniom.

PG Motocyklista

Korzystając z informacji zawartych w tabeli

rozwiąż poniższe zadania.

1. W pewnych częściach terenów zabudowanych określono tak zwaną strefę 30. Oznacza

to, że poruszając się na jej obszarze, nie można przekroczyć prędkości 30 km/h.

Oblicz, jakiej wysokości mandat zapłaci Motocyklista jadący na tym obszarze z

prędkością 90 km/h.

2. Czy zawsze jadąc z prędkością 90 km/h zapłacę taki mandat jak w zadaniu

poprzednim? Dlaczego?

3. Z jaką prędkością mógł jechać motocyklista, jeśli w strefie 30 otrzymał mandat za

przekroczenie prędkości w wysokości 220 zł?

4. Jak w zależności od zmiany prędkości pojazdu zmienia się kwota mandatu za

przekroczenie dopuszczalnej wartości prędkości? Czy tabela podaje to jednoznacznie?

Jeśli tak, to podaj tę zależność, jeśli nie, to zaproponuj swoją najbardziej sprawiedliwą

wersję. Odpowiedzi uzasadnij.

Wszystkie zaprezentowane przeze mnie zestawy będą dopiero wtedy w pełni

wykorzystane, gdy staną się pretekstem do rozmowy nauczyciela z uczniami i uczniów

między sobą. Wyrobienie nawyku uzasadniania swoich odpowiedzi jest wg mnie jednym

z najważniejszych celów pracy z uczniami. Oczywiście, najpierw nauczyciel musi

zaprzyjaźnić się z pytaniem: Dlaczego? i nie bać się różnorodności możliwych

odpowiedzi. Nagroda, która czeka nauczyciela jest ogromna. Po pierwsze, widzi jak

przebiega rozumowanie ucznia i ma szansę zobaczyć (a nie tylko domyślić się), gdzie

jest popełniany błąd. Po drugie, często może być świadkiem rozwiązań, które jemu do

głowy by nie przyszły – nie zapominajmy, że często od naszych uczniów możemy się

również uczyć!

W zaprezentowanym materiale użyłam wielu krasnali. Oczywiście, z im starszymi

uczniami pracowałam, tym bardziej stawały się one tylko dodatkiem do problemu, a nie

jego bohaterami – nie chciałam czynić zagadnień infantylnymi. Myślę jednak, że ich

pojawienie się uatrakcyjniły uczniom pracę nad często wcale nie łatwymi zagadnieniami.

Autorka pracuje w Instytucie

Matematycznym

Uniwersytetu we Wrocławiu

[email protected]


METODYKA NAUCZANIA MATEMATYKI

Jolanta Kopji, Sylwia Kownacka (Brzeg)

Powtórki z geometrii metodą projektu i nie tylko

Streszczenie Zastanawiając się nad wyborem tematu zajęć zadawałyśmy sobie pytanie : Co ja jako uczestnik

warsztatów chciałabym zyskać, o co się wzbogacić? Okazało się ,że naszym głównym celem jest

wykorzystanie zdobytych wiadomości w codziennej pracy ( na lekcji). Biorąc pod uwagę fakt, że są to

dopiero drugie prowadzone przez nas warsztaty ( poprzednie „ Jak wykorzystać korelację

międzyprzedmiotową na lekcjach i do promocji szkoły” prowadziłyśmy w Gdańsku), wybór tematu –

patrząc na frekwencję uczestników, okazał się trafiony. Jadąc na kolejną Krajową Konferencję Nauczycieli

Matematyki pragniemy przede wszystkim wzbogacać warsztat pracy, uatrakcyjniać nasze lekcje. Myślimy,

że z podobnym nastawieniem jedzie większość koleżanek i kolegów i właśnie z myślą o nich powstały

zaprezentowane poniżej zajęcia.

Materiały zawierają

1. Przykładowe zadania na powtórkę z geometrii płaskiej „do przejścia” dla każdego

ucznia.

2. Jak wykorzystać metodę dramy na lekcji o czworokątach?

3. Sześcian i jego siatki – wstęp do zadań z geometrii przestrzennej.

4. Propozycję zadań powtórkowych w formie konkursu dla uczniów lub pracy w

grupach.

5. Nasz zrealizowany projekt.

1. Przykładowe zadania na powtórkę z geometrii płaskiej „do przejścia” dla

każdego ucznia

a) Zadanie „ Z podpowiedziami”

Uczniowie dostają treść zadania z wynikiem, który powinni otrzymać po

obliczeniach. Jeśli nie mają pomysłu jak zacząć zadanie – otrzymują pierwszą

podpowiedź. Możliwa jest sytuacja, że po niej prawidłowo obliczą pole. Jeśli obliczenie

jest błędne, wracają do pierwszej podpowiedzi i ewentualnie otrzymują drugą – sytuacja

się powtarza. W rezultacie uczeń może być „przeprowadzony” przez zadanie za pomocą

wskazówek. Zadania można różnicować ze względu na umiejętności uczniów.

Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 8 cm i 2 cm, jeśli obwód

trapezu wynosi 20 cm.

Prawidłowy wynik: P = 20 cm2

Podpowiedź pierwsza: sprawdź poprawność rysunku

Podpowiedź druga: korzystając z obwodu trapezu oblicz x.

Podpowiedź trzecia: x = 5cm, teraz oblicz y zaznaczony w dolnej podstawie trapezu.

Podpowiedź czwarta: y = 3cm. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta

prostokątnego o bokach x, y, h, oblicz h.

Podpowiedź piąta: h = 4cm. Napisz wzór na pole trapezu, podstaw dane długości

podstaw trapezu, obliczoną wysokość i oblicz pole trapezu.

Zadanie opracowane na podstawie artykułu: „A podpowiedzi wiszą…” autorstwa Joanny Smorkowskiej

(„Matematyka w szkole” nr 16 z 2002 r.).

b) Zadanie „Jedna błędna”

Odrzuć jedną własność opisanych czworokątów i podaj nazwę czworokąta, który ma

wszystkie pozostałe własności. Czy istnieje tylko jedno rozwiązanie?

Czworokąt 1:

– ma dwie pary równoległych boków,

– przekątne przecinając się, dzielą się

na połowy,

– przekątne są prostopadłe,

– ma wszystkie kąty jednakowej

miary,

Czworokąt 3:

– ma 1 kąt wklęsły,

– ma dwa kąty ostre i dwa rozwarte,

– ma jedną oś symetrii,

– sąsiednie boki są równej długości,

– przekątne przecinają się pod kątem

prostym,

– ma równe przekątne,

– ma dwa boki dłuższe i dwa krótsze.

– miara dowolnego kąta

wewnętrznego jest mniejsza od kąta

półpełnego.

Czworokąt 2:

– wszystkie kąty są wypukłe,

– przekątne przecinając się pod kątem

prostym dzielą się na połowy,


– przekątne są równej długości,


– kąty, które leżą naprzeciwko mają

taką samą miarę i nie są kątami

prostym

Czworokąt 4:

– jest trapezem,

– przekątne przecinają się pod kątem

prostym

– przekątne dzielą się na połowy,


– przekątne są równej długości,


– ma boki równej długości.

Propozycja odpowiedzi:

czworokąt 1 po odrzuceniu własności trzeciej to prostokąt, ale po odrzuceniu

własności szóstej to kwadrat,

czworokąt 2 po odrzuceniu własności czwartej to romb,

czworokąt 3 po odrzuceniu własności pierwszej to deltoid wypukły,

czworokąt 4 po odrzuceniu własności szóstej to kwadrat, ale po odrzuceniu własności

piątej to romb.

c) Zadanie „Geometryczna gimnastyka śródlekcyjna”

Każdy uczeń dostaje kartkę A4 lub B5 z nazwą czworokąta ( np. kwadrat, romb…). Po

usłyszeniu polecenia, uczeń, który posiada nazwę czworokąta o podanej własności

wykonuje zadaną czynność, podnosząc jednocześnie kartkę z nazwą do góry, aby

nauczyciel mógł sprawdzić.

figury zaliczające się do prostokątów – wstają

„kto” ma dwie osie symetrii – robi przysiad

czworokąty o dwóch prostopadłych przekątnych – lewa ręka w górę (z kartką)

trapezy – stają na lewej nodze

figury o minimum jednym kącie prostym – łapią się lewą ręką za nos

figury, których przekątne przecinają się pod kątem prostym – łapią się za prawe

ucho

czworokąty mające dokładnie jedną parę boków równoległych – obie ręce w górę

czworokąty o co najwyżej trzech osiach symetrii – obracają się dookoła siebie

czworokąty wklęsłe – robią jaskółkę (ekstremalne; wymagane odpowiednio dużo

miejsca)

……………

Opracowane na podstawie: artykułu Joanny Kasperskiej („Matematyka w szkole” nr 25 z 2004 r.)

2. Jak wykorzystać metodę dramy na lekcji o czworokątach?

Zadanie „Kto z kim rozmawia?”

Rozmowę rozpoczyna uczeń reprezentujący figurę A. Uczniowie podają kolejno

informacje

i po każdej pytają: „ Czy już wiesz kim jestem?” Wygrywa osoba, która pierwsza poda

poprawną odpowiedź. Poniżej dwa przykładowe dialogi.

Figura A Figura B

• Należę do rodziny wielokątów.

• Mam cztery boki.

• Moje boki są tej samej długości.

• Przekątne połowią się.

• Przekątne są tej samej długości.

• Moje przekątne są do siebie

prostopadłe.

• Mam wszystkie kąty wewnętrzne

proste.

• Ja również.

• Ja również.

• Moje również.

• Moje również.

• Moje przekątne są różnej długości.

• Moje również.

• Moje kąty wewnętrzne są parami

przystające

• Jestem wielokątem.

• Moje boki są tej samej długości.

• Moje kąty wewnętrzne mają taką

samą miarę.

• Ja również.

• Moje również.

• Moje również.

• Ja nie mam przekątnych.

• Moje przekątne są do siebie

prostopadłe.

Kontynuacją tego zadania może być układanie dialogów przez uczniów i wymienianie się

nimi lub prezentowanie na forum klasy.

3. Sześcian i jego siatki – wstęp do zadań z geometrii przestrzennej

Zadanie „Siatki sześcianu”

Uczniowie tworzą z klocków Reko 11 różnych siatek sześcianu ( mogą tworzyć siatki

rozkładając zbudowane wcześniej sześcianiki). Inny pomysł, gdy nie mamy klocków :

tworzenie siatek sześcianu przez rozcinanie papierowych sześcianów, które przygotować

może klasa młodsza.

4. Propozycja zadań powtórkowych w formie konkursu dla uczniów lub pracy

w grupach

Zadania „Powtórzenie wiadomości o graniastosłupach i ostrosłupach” – praca

w grupach.

1. Każda grupa dostaje inną bryłę i ma ją omówić (nazwa, liczba wierzchołków ,

krawędzi, ścian; rodzaje ścian) .

2. Każdy uczeń dostaje dwa zadania do rozwiązania. Można dla każdej grupy zmienić

treść lub dane liczbowe.

Zad. 1. Podstawa ostrosłupa ma 12 cm2 , a wysokość 8 cm. Oblicz jego objętość.

Zad. 2. Podstawa graniastosłupa ma 8 cm2 , a jego objętość wynosi 96 cm

3 .

Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

3. Pytania dla grup (ustalony czas na odpowiedzi). Wytypowana przez grupę osoba

udziela odpowiedzi.

Jakimi figurami są ściany boczne ostrosłupa?

Od czego zależy liczba ścian bocznych w ostrosłupie?

Jak nazywamy graniastosłup prosty, który w podstawie ma wielokąt foremny?

Jak nazywamy ostrosłup, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami

równobocznymi?

Ile wszystkich ścian ma graniastosłup sześciokątny?

Jaką figurą może być podstawa graniastosłupa?

…..

4. Uczniowie zaznaczają na rzutach brył wskazane odcinki, przekroje i kąty.

Prezentuje jeden uczeń z grupy.

a) Na rysunku poniższego prostopadłościanu zaznacz:

- przekrój zawierający przekątną podstawy dolnej i przekątną podstawy górnej,

- przekątną prostopadłościanu leżącą w płaszczyźnie tego przekroju,

- kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy,

- oblicz wysokość tego graniastosłupa.

b) Na rysunku danego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zaznacz:

- przekątną podstawy,

- wysokość ostrosłupa,

- przekrój płaszczyzna zawierającą przekątną podstawy i wysokość ostrosłupa,

- kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

5. Uczniowie muszą wybrać z listy 5 poprawnych par wzorów, naszkicować bryłę,

której pole powierzchni i objętość opisują wybrane wzory, nanieść na rysunek

oznaczenia.

Lista wzorów

Łatwiejsza wersja: uczniowie dostają listę wzorów oraz przygotowane przez

nauczyciela szkice brył z podpisanymi wielkościami i muszą przyporządkować

wzory z listy, eliminując błędne.

6. Każda grupa przedstawia na plakacie wiadomości o ostrosłupach lub

graniastosłupach. Uczniowie mogą przygotować plakat na zadanie domowe.

Zadanie „Paweł i Gaweł”

Uczniowie otrzymują listę zdań, może to być rozsypanka. Muszą posegregować

zdania,

ahahP

aP

ahaP

aP

aP

aha

P

Ha

P

aHaP

sb

4

24

4

34

6

34

32

4

33

42

2

3

2

2

2

2

2

2

Ha

V

HaV

Ha

V

ahaV

ha

V

haV

aV

haV

4

2

3

1

4

3

3

1

4

4

3

3

1

3

1

2

2

2

2

2

22

3

2

eliminując zbędne informacje i udzielić odpowiedzi na pytania.

1 m3 wody kosztuje 4 zł.

Ile wiader pełnych wody wylał Gaweł w ciągu 12 godzin?

Najkrótszy wymiar jest wysokością pokoju Pawła.

Paweł i Gaweł w jednym mieszkali domu.

Paweł mieszkał na górze.

W podłodze pokoju Pawła była szczelina.

Pokój Pawła był w kształcie prostopadłościanu.

Woda w pokoju Pawła sięgała na wysokość 1m.

Pokój Gawła został zalany.

Gaweł mieszkał na dole.

Przez szczelinę w podłodze średnio co godzinę wypływało 0,3 m3 wody.

Paweł łowił ryby w pokoju.

Gaweł podstawił wiadro o objętości 20l.

Ile kosztowała Pawła woda do wędkowania?

Jaką część objętości pokoju Pawła wypełniała woda?

Pokój Pawła miał wymiary 3m x 5m x 2m.

Odpowiedzi:

Gaweł wylał w ciągu 12 godzin 180 wiader pełnych wody.

Woda do wędkowania kosztowała Pawła 60 zł.

Woda wypełniała 1/2 objętości pokoju Pawła.

Zadanie „Jedno odpada”

Wśród wymienionych wielościanów jeden nie pasuje – uczniowie szukają czterech

argumentów, po jednym dla eliminacji każdej z brył.

sześcian

prostopadłościan

graniastosłup prawidłowy trójkątny

ostrosłup prawidłowy czworokątny

Odpowiedzi:

Odpada sześcian, bo jako jedyny musi mieć krawędzie równej długości.

Odpada prostopadłościan, bo nie musi mieć wielokąta foremnego w podstawie.

Odpada graniastosłup prawidłowy trójkątny, bo nie ma w podstawie czworokąta

(prostokąta).

Odpada ostrosłup prawidłowy czworokątny, bo ma jedną podstawę.

5. Nasz zrealizowany projekt.

W trzyosobowej grupie zaprojektuj 3 rożne bryły o objętości 1 l. Wykonaj modele.

Oszacuj, na którą bryłę zużyłeś najmniej materiału. Wykonaj obliczenie objętości i pola

powierzchni. Sformułuj wnioski dotyczące opakowań.

Jolanta Kopij , nauczycielka matematyki w PG nr 3 w Brzegu

([email protected]

Sylwia Kownacka , nauczycielka matematyki w I LO w Brzegu

([email protected])

OMatematyku, ry erzuGwiazdyPitagorejskiej,czyli tentamen mythologiae mathemati ae

DąbZupWstęp dla rozpaczliwie trzeźwo myślących

Słowo mit ma u wielu odbiorców negatywne konotacje. Traktuje się je jakosynonim rozmijania się z rzeczywistością, fantazjowania, tendencyjnegoupiększania twardych faktów, czy nawet aberracji intelektualnej. Warto więcpoświęcić chwilę refleksji nad tym, czym mit był, czym jest i do czego możesłużyć.

Mity były pierwotnie jedyną formą zanotowania, utrwalenia historii. Mitprzekazywał przez tysiąclecia ludom (niepiśmiennym przez większość tego czasu)nie tylko dzieje ich gatunku czy plemienia, ale też w zgrabnej formie pozwalałzakonotować sobie nauki z owych dziejów płynące. Personifikował więc – gwolilepszego zapamiętania – tendencje, cechy, zjawiska, cnoty i umiejętności. Do dziśpamiętamy zwieńczenie tego okresu mitologii utrwalone chyba już na zawsze whomeryckiej Iliadzie i Odyssei.

W czasach Herodota (czyli wojen perskich) mity – uwolnione od obowiązkujedynego wehikułu historii – zaczęły pełnić inną rolę. Stały się odtądprzekaźnikiem wzorców chwalebnych postaw, postaci takich jak Leonidas,Mucius Scaevola, Roland, czy Zawisza Czarny. Już ta krótka lista pozwalazauważyć, że to znaczenie mitu było wykorzystywane przez wiele wieków iprzecież uzupełniamy ją dalej, wpisując na nią bohaterów Kamieni na szaniecAleksandra Kamińskiego, czy Che Guevarę.

Taka rola mitu uzyskała też i bardziej kompleksową postać – mit stał sięsposobem kodyfikacji etosu określonych grup społeczeństwa, w tym także całychnarodów. Prostym przykładem tej ostatniej postaci mitu jest polski sarmatyzm(mimo swej kompletnie ahistorycznej nazwy). Ale warto odnotować też np. to,co pisze Daniel Defoe w Przypadkach Robinsona Cruzoe – rozliczne nieszczęściaswojego bohatera, przedstawiciela klasy średniej, przypisuje złamaniu przezniego norm swojej klasy przez nawiązanie kontaktów, a nawet interesów zarystokratą. Mit pozwala więc nie tylko łączyć, ale i dzielić.

Szczególnie szeroki zasięg miała w Europie mitologia rycerska i zawarty w niejkodeks postępowania, a nawet myślenia. Warto zwrócić uwagę na meandryjego powstawania. Wydaje się, że potrzeba jego wyodrębnienia przyszła wrazz wojnami krzyżowymi, gdy pod jednym sztandarem mieli walczyć zbrojniwywodzący się z niesłychanie zróżnicowanych wszystkich kultur Europy odAtlantyku po Morze Czarne. Stworzenie jednolitego kodeksu normatywnegodla nich wszystkich, wypracowanie etosu postępowania powszechnie uznanegoza chwalebny było niezbędne. Ale też – na szczęście – nie powstał on przeznarzucenie wszystkim norm wywodzących się z jednego ośrodka. Kodeks rycerskii jego legendy powstały przez nawarstwienie się tego, co wartościowego zostałoprzyniesione z różnych stron. Były tam i anegdoty, i dogmaty, i wzniosłeprzykłady, i oczywiste zmyślenia. Za ramę posłużyła legenda arturiańska,doskonale nadająca się jako spoiwo, bo niemająca żadnych rzeczywistychpodstaw, a stanowiąca absurdalną w swej istocie próbę połączenia w jedno ideidruidycznych i chrześcijańskich, nawiązująca zarówno do legend celtyckich, jakgalijskich, rzymskich, a nawet germańskich. Mimo tej absurdalności (a możedzięki niej) jest dziś elementem europejskiej kultury i wszyscy wiemy, kto to byłkról Artur, kim była Ginewra, umiemy wymienić imiona przynajmniej czterechRycerzy Okrągłego Stołu, wiemy, co to jest Excalibur, a co to Święty Graal itd.

Dla ilustracji owej przypadkowości gromadzenia elementów mitologii rycerskiej –dwa przykłady.

1

Doskonałym zbiorem źródeł do

studiowania genezy etosu rycerskiego jest

Jesień Średniowiecza Johana Huizungi.Przepięknym i kompletnym kompendium

kodeksu rycerskiego jest opracowana dla

dzieci opowieść O księciu Gotfrydzie,rycerzu Gwiazdy Wigilijnej HalinyGórskiej – dziełko to tym bardziej

zasługuje na uwagę, iż życie i śmierć jego

autorki stanowiły pełną realizację owego

rycerskiego kodeksu.

Jean le Meingre, czyli marszałek Boucicaut pewnego razu uchylił kapelusza,mijając na ulicy elegancko ubrane damy lekkich obyczajów, co wywołałohuragan śmiechu towarzyszących mu rycerzy. Na to niespeszony marszałekodrzekł: Wolałbym okazać swój szacunek dziesięciu dziewkom, niż zaniedbaćtego wobec jednej zacnej damy – z czego uczyniono jeden z kanonów rycerskiejdworskości.

Drugi przykład pokazuje, że mitologia może też posłużyć dobrej sprawie,wskazując wyjście z sytuacji – zdawałoby się – bez wyjścia. Fundamentalnymwarunkiem, jaki musiał być spełniony, aby wyprawy krzyżowe mogły sięodbywać, było danie gwarancji, że krzyżowiec po powrocie zastanie swój dom,swoją rodzinę, swój majątek nienaruszony. Gwarancje takie mógł dać tylkoKościól i on też takie gwarancje dawał, zdając sobie przy tym sprawę z tego,że umocni to znacznie jego pozycję. Istotny kłopot sprawiały w tej sprawieżony krzyżowców, bo dość masowo pod wieloletnią nieobecność mężów rodziłydzieci. W pojedynczych przypadkach dałoby się to załatwić represjami, alew większej skali stawiałoby to pod znakiem zapytania pewność gwarancjidawanych krzyżowcom. I wtedy pomogła legenda arturiańska: odgrzebanodawnego druidyjskiego poetę, Myreddina, przemianowano go na czarodziejaMerlina i obdarzono (między innymi) umiejętnością pojawiania się w sypialniachsłomianych wdów i to w postaci ich nieobecnych mężów – w tej sytuacji musiałyone wypełniać małżeńskie obowiązki, a o żadnej niewierności przy tym mowybyć nie mogło.

Pozwoliłem sobie na nieco frywolne przykłady, ale etos rycerski ma u nastak wielkie poszanowanie, że i kpić z niego można bez obaw, iż zostaniemyposądzeni o crimen laese maiestatis. Klasycznym przykładem są tu choćbyKrzyżacy Henryka Sienkiewicza, gdzie najwznioślejsze przykłady rycerskości sąidealnie wymieszane z kpinami z niej, bez szkody ani dla powagi pierwszych, anikrotochwilności drugich.

Będąc sługami idei równie pięknej, jak rycerskość, powinniśmy uświadamiaćsobie, jak wygląda mitologiczna wersja naszego posłannictwa, tym bardziejże jest owa mitologia bardzo mało znana, a przykłady pomiatania naszymposłannictwem przez ostatnie pół roku można było licznie, codziennieobserwować we wszystkich środkach masowego rażenia (by użyć nazwypochodzącej – o czym mało kto wie – od Fidela Castro).

Proszę więc o posłuchanie historiio Matematyku, rycerzu Gwiazdy Pitagorejskiej,

którą niżej w dwunastu opowieściach przedstawiam.I Daja, mu sl/owo, praludzkie stado ludzkim plemieniem u zynil/...Nasze, ludzkie, dzieje zaczynają się w epoce zwanej neolitem, a w Polsce doniedawna jeszcze epoką kamienia gładzonego lubieżnie, acz bezsensownienazywanej. Neolit ów to czas powstawania struktury społecznej, a do tegopotrzebna jest komunikacja intelektualna, możliwość ustalania kontraktów,zbiorowe ocenianie zachowań współplemieńców. To wszystko stworzyłonajwiększy, jak dotąd, wynalazek ludzkości – SŁOWO.

Zrazu było to wywołanie konkretnego obiektu: imię własne lub konkretnaczynność. Ale potem potrzebne okazały się inne słowa, takie jak „kobieta”,„pies”, „zgoda”. Z czasem niezbędne okazały się i takie, jak „drapieżnik”,„przyjaźń”. A niebawem pojawiły się całkiem już skomplikowane, jak „żywestworzenie” czy wręcz „życie”, „mróz”, „kierunek”.

Doniosłość tego daru, jakim jest słowo, dostrzec można najdobitniej tam,gdzie go nie ma (czy też dostęp do niego jest bardzo utrudniony). Myślę oludziach, którym nie dane jest słyszeć. Oglądałem szkolne podręczniki do klaspoczątkowych dla niesłyszących. Podczas gdy słyszące dzieci są uczone

2

Miałem przyjemność na zajęciach

poznać wybitnego przedstawiciela

społeczności niesłyszących, studiującego

u nas Bogdana Szczepankowskiego.

Jest on zapewne znany także sporej

części emerytalnej już dzisiaj części

telewidzów, gdyż notorycznie wygrywał

pierwszy telewizyjny quiz Kombinuji licz prowadzony przez WojciechaPijanowskiego przed czterdziestu laty.

Bogdan Szczepankowski pełnił również

funkcję „ministra oświaty” w Polskim

Związku Głuchych – od niego też

dowiedziałem się o specyfice edukacji

niesłyszących. O tym, jak wysoka jest

ta bariera, świadczy fakt, iż wówczas w

Polsce były tylko trzy osoby niesłyszące

od urodzenia, a legitymujące się wyższym

wykształceniem – mam nadzieję, że dziś

jest lepiej.

Problem znaczenia mowy staje się jeszcze

bardziej jaskrawy, gdy zauważymy, jak

wielu matematyków nie widzi i jak wielu

z nich osiąga wyniki na najwyższym

światowym poziomie.

sprawnego nakreślenia liter, na stronach elementarza dziecko niesłyszące manapisane słowo, na przykład „okno”, otoczone najrozmaitszymi realizacjami: ato okno w pokoju, a to bulaj okrętowy, a to wystawa sklepowa, witraż, szybasamochodowa itd. itp. Okazuje się, że najtrudniejszą rzeczą jest przekazanieinformacji, że te wszystkie różne obiekty jednym i tym samym słowemoznaczamy. Odkrycie tego, że słowa w swej ogromnej większości nie oznaczająobiektów, lecz abstrakty, u ludzi używających mowy zazwyczaj nigdy nie mamiejsca – jest bowiem zbędne: nie odkrywamy tego, co praktycznie stosujemyod dziecka. Dla kogoś względem mowy zewnętrznego odkrycie i przyswojenie tejprawidłowości jest niesłychanie trudne do osiągnięcia.

Ostatni z wyżej podanych przykładów – „kierunek” – świetnie demonstrujejeszcze jedną konsekwencję nieustannego posługiwania się abstraktami. Owóżużywając abstraktu, możemy się porozumiewać nawet w sytuacji, gdy niemamy pojęcia, jaka jest jego egzemplifikacja w myślach naszego rozmówcy. Bo,faktycznie, czym jest kierunek? Może azymutem (jak zapewne myśli żeglarz)?A może zbiorem prostych równoległych (czego zapewne wymaga w szkolenauczyciel)? Albo punktem horyzontu (jak myśli o nim malarz tradycjonalista)?Bo może też być tendencją (jak pojmują go pewnie socjologowie)? A listę tę zpewnością można kontynuować.

Patrząc na to z dzisiejszego punktu widzenia: relacja (abstrakt ⇔ klasajego desygnatów) to przecież jedyne, czego potrzeba, by mówić o teorii i jejmodelach.

Pewne z abstraktów okazały się mieć jeszcze dodatkowy walor: niezmiennośćdesygnatów. Każdy bez wahania przyzna, że jedynka była w owym neolicie(kiedy by on nie był) tą samą jedynką, którą posługiwał się Euklides, apotem Newton czy Hilbert, a także my sami w pierwszej klasie (a niektórzy ipotem). Podczas gdy np. nasze mieszkania zmieniały się radykalnie – szałas,namiot, chałupa, dom, blok. Nic przeto dziwnego, że słowa oznaczające owematematyczne desygnaty – zwłaszcza liczby, a więc liczebniki – zmieniały sięwolniej od innych słów. Antropolodzy strukturalni na tej mniejszej zmiennościopierają wiele swoich dociekań, np. o wędrówkach ludów wnioskują właśniepoprzez badanie liczebników. Typowy rezultat: ludy celtyckie, zepchnięte przeznastępne nacje prawie do oceanu (Szkoci, Irlandczycy, Walijczycy, Bretończycy,Baskowie) mają liczebniki ukształtowane w rytmie dwudziestkowym; widaćwięc, że kiedyś Galowie wypchnęli ich z dzisiejszej Francji – dowód: quatre-vingt,cztery dwudziestki, jako francuska nazwa liczby 80; Duńczycy Celtów wyparlipóźniej – u nich dwudziestka króluje jeszcze w wielu liczebnikach, nawetdziwnych: hal(f)-fjerd-sinds-tyve, czyli 75 jako wpół do czwartej dwudziestki.II ograni zaja, , ofiarowal/ nieograni zony horyzont pewnos' i...Parę tysięcy lat później, gdy podział początkowych zbieraczy – pożerającychwszystko, co tylko pożreć się dało – na tych, co obrali stałe miejsca pobytu, wpielęgnacji sprzyjających ich roślin widząc źródło dostatku, i na tych, którzynajpierw biegali za zwierzyną, by potem stać się jej pasterzami-koczownikami,ugruntował się ostatecznie, pasterze uderzyli na rolników. Zapisali koniecznośćowego ataku nawet w Piśmie Świętym, gdzie wyraźnie opisana jest krzywdadobrego pasterza Abla, zabitego przez podłego rolnika Kaina. Z innych relacjiwiemy o skutecznym na prawie trzysta lat najeździe pasterskich Hyksosów narolniczy Egipt. Koniec owych zmagań to opisana przez Homera wojna trojańska.Co było podczas ośmiuset lat oddzielających te zdarzenia, właściwie nie wiemy– historycy nazywają ten okres Wiekami Ciemnymi, bo w powszechnychzmaganiach niszczono wszystko, co dla nich mogłoby się stać podstawą snuciadomysłów. Wiemy, co było potem – zaczęlo się to, co historią (w odróżnieniu odpoprzedniej prehistorii) nazywamy.

3

Wśród herosów symbolizujących stworzenie nowego ładu, obok zwycięzcymilitarnego – Tezeusza, obok twórcy zgrzebnej zrazu demokracji – Drakona,obok wreszcie twórcy ekonomicznego ładu niewolniczego państwa – Solona, stałtwórca nowego pojmowania świata – Tales.

Nauczył on, że nie jest nam potrzebna wiedza pełna, lecz pewna. Wiedzapełna zresztą istnieć nie może – nauczał. – Gdybyśmy bowiem wiedzę pełnąposiedli, musiałaby ona – jako opisująca wszystko – być co najmniej takskomplikowana, jak opisany przez nią Wszechświat, a przez swą komplikacjęstałaby się całkowicie nieprzydatna.

Wiedza pewna zatem musi opisywać tylko pewne aspekty świata, ale przez swąniezawodność da się zastosować w każdej, mogącej zdarzyć się jej posiadaczom,sytuacji.

I zadekretował, iż wiedza pewna w atomach występuje, w niepodzielnychczęściach, które twierdzeniami nazwał. I nauczał też, jak owe atomy sązbudowane, więcej – jak je budować należy.

Pierwszy warunek jest taki, by twierdzenie – atom wiedzy pewnej – nie orzekałoo konkretnych obiektach, lecz o abstraktach. Gdy ponad dwa tysiące lat późniejMikołaj Kopernik odkrył twierdzenie, iż zły pieniądz wypiera dobry pieniądz,nie miał na widoku żadnej konkretnej waluty, lecz pieniądz-abstrakt, przez comoc jego twierdzenia do dziś – często z przykrością – odczuwamy. Pewna wiedzao ciążeniu dotyczy nie tylko siły, która powoduje, że upadający nam na stopękamień może ją uszkodzić, lecz o abstrakcie, który powoduje również, iż naszełodzie nie toną, a balony mogą nas unieść w górę.

Drugi warunek mówi o zależnościach owe abstrakty łączących – mają byćformalne (co bynajmniej nie oznacza, że symboliczne). Formalne – to znaczymuszą mieć jednoznaczne, ostre znaczenie. Gdy na przykład głosił, że odcinekma tyle samo punktów, co prosta, to z pogardą odrzucał argumenty tych,którzy wskazywali, iż po odrzuceniu odcinka na prostej jeszcze wiele punktówpozostanie. Mówił bowiem, że tyle samo oznacza, iż można punkty odcinka iprostej połączyć w rozłączne pary. A to przecież wie każdy, kto widział zwykły,myśliwski łuk. A łuk to przecież wygięty odcinek – ustawiwszy go cięciwąrównolegle do jakiejś prostej, widzimy, że każda strzała poprowadzona ze środkatej cięciwy przez któryś z punktów łuku trafi w jakiś punkt prostej, a dlaróżnych punktów łuku (czy prostej) będą to różne punkty prostej (czy łuku).

Na koniec wreszcie trzeci warunek orzekał, iż każde twierdzenie musi być sądemwarunkowym. Wątpiących pytał, czy wierzą, że woda płynie z góry na dół. Agdy ci go zapewniali, że trudno w to wątpić, pytał ich, czy widzieli fontannę.Warunki dotyczące pojedynczego twierdzenia nazywał założeniami, a dotyczącecałej grupy twierdzeń – aksjomatami.

Ale najistotniejsze w jego nauce było stwierdzenie najważniejszego prawa,jakim rządzi się Wszechświat – związku przyczynowego. Każda rzecz ma swojąprzyczynę – głosił. Przyczyny mają też twierdzenia. Jedne z nich są przyczynamiinnych. W ten sposób twierdzenia układają się w sieć stworzoną przez wiążące jezwiązki przyczynowe, sieć wyrastającą z leżących u jej podstawy aksjomatów.

Cała ta sieć, a więc twierdzenia i sposób ich pozyskiwania, nosi dziś nazwęmetodologii dedukcyjnej. I tak powstała talesowska koncepcja wiedzy pewnej,nazywana dziś nauką.

Nie jest przypadkiem, iż metodologię dedukcyjną stworzyli koczownicy, ludzieżyjący – z konieczności – w zmiennych warunkach. Ludzie prowadzący osiadłytryb życia mogą pozwolić sobie, aby na wszystko mieć po prostu nieodwołującysię do żadnej nauki przepis. Z żadnego prawa fizyki nie wynika, że sposobemna pozyskanie wody jest odkręcenie kranu, a najwłaściwszą reakcją na pożarjest wykręcenie numeru 112 czy 998. Koczownik natomiast musiał wiedzieć, żewody należy szukać raczej w dolinach niż na szczytach, a pożar należy udusić,przykrywając go jakąś płachtą, zalewając wodą lub przysypując piaskiem.

4

W 1972 roku Donald Knuth w pracy

Ancient Babylonian algorithmsprzedstawił pogląd, że wiedza o liczbach

i figurach czasów przedgreckich nie jest

pramatematyką, lecz prainformatyką. Dziś

sądzą tak praktycznie wszyscy historycy

matematyki.

Rewelacją drugiej połowy XX wieku było odkrycie, że metodologia dedukcyjnapowstała tak późno, i że poprzednie wielkie cywilizacje posługiwały się innymsposobem gromadzenia wiedzy. Tą zasadniczą różnicą okazał się zdumiewającyfakt nieposługiwania się w kulturze sumeryjskiej, egipskiej, chaldejskiej, anawet jeszcze achajskiej związkiem przyczynowym. Jego poprzednikiem byłonastępstwo czasowe. Wiadomo było, że po nocy nadejdzie dzień, a po zimiewiosna. Tak było i będzie, bo o tym poucza nas doświadczenie. Skrupulatnaanaliza wskazała, że nawet matematyczna wiedza tamtych kultur, tamtych epokbyła uzyskiwana w ten sposób. Powstał więc termin: metodologia empiryczna.

Do dziś w wielu obszarach posługujemy się tą metodologią. Najpopularniejszymdziełem pisanym zgodnie z jej zasadami jest książka kucharska, gdzie podanyjest sposób postępowania, który prowadzi do pozyskania smakowitychproduktów. Nikt jednak nie wymaga od autorów książek kucharskich dowodu,że przepis jest skuteczny. Zresztą takiego dowodu być nie może – jedyne, codowodzi skuteczności, to wielowiekowa praktyka.

I z pewnym niepokojem należy uświadomić sobie, że dzisiejsza, prawiejuż dyrygująca światem informatyka też odstępuje od dowodzenia swoichalgorytmów, zadowalając się przetestowaniem powstających programów.III harmonie,, kto'ra, utrzymuje sie, wszystko- nie wyl/a, zaja, bogo'w - bada ' nakazal/...

Oczywiście, daty narodzin i śmierci nie

są istotne (ani też bardzo dokładne)

– podaję je dlatego, by tym bardziej

uwypuklić, jak bardzo wszyscy

wymienieni byli rówieśnikami.

Jest taki zdumiewający moment w dziejach świata, gdy my, ludzie, uznaliśmyza niezbędne udzielenie odpowiedzi na pytanie, co właściwie wyróżnia nasspośród wszelkich żywych stworzeń. Było to w wieku −VI. Owa niezbędnośćpojawiła się we wszystkich stronach świata, we wszystkich kulturach i – cojeszcze dziwniejsze, wobec braku możliwości bezpośredniego, a choćby nawetsensownie szybkiego kontaktu – pojawiła się jednocześnie.

Spośród odpowiedzi, których udzielono zapewne więcej, największą liczbęzwolenników, a więc i największe znaczenie uzyskało sześć. Warto się imprzyjrzeć i pomyśleć o tym, jak są one obecne i dziś w naszym życiu.

Bogaty i wykształcony mandaryn K’ung-fu-tsy (−551; −470), znany w Europiejako Konfucjusz, istotę człowieczeństwa widział w umiejętności wytworzeniaładu społecznego i podporządkowania się jemu.

Ubogi włóczęga (tu – rzecz jasna – wiemy tylko tyle, że było to współcześnie)Lao-tsy, co znaczy stary mędrzec, za wyróżniający atrybut człowieka uważałzdolność wytknięcia sobie celu i wytrwałego dążenia, by go osiągnąć – dziśnazywamy tę doktrynę taoizmem.

Indyjski książę Wardhamana Mahavira (∼ −599; −527), znany powszechniejako Dżina – Zwycięzca, uważał człowieka za jedyną istotę uznającą życie zanajwyższą wartość.

Z kolei w Indochinach książę Siddharta Gautama (∼ −580; −527), podoznaniu mistycznej iluminacji – stąd jego przydomek Budda – Przebudzony– za fundament człowieczeństwa uznał zdolność do wyrzeczeń, której pełnewykorzystanie ma człowieka wprowadzić w stan doskonałości – nirwanę.

Reformator mazdaimu, religii perskiej, Zaratusztra ( Grecy mówili o nimZoroaster) – przez wielu uważany jeno za personifikację idei – człowieczeństwowidział w umiejętności odróżniania dobra od zła i w walce dobra ze złem(Ormuzda z Arymanem).

Europa była w tym gronie reprezentowana przez Pitagorasa z Samos (−572;−497), twórcę kolonii greckiej w Krotonie, na południu Italii. Głosił on, że

5

Wszechświat jest tak pełen sprzeczności, że – aby nie zginął – istnieć musiHarmonia, którą utrzymuje się wszystko, nie wyłączając bogów i w potrzebieposzukiwania i badania tej Harmonii widział istotę człowieczeństwa.

Zatem powołana wówczas tożsamość człowieka to: urzędnik, hipis, ekolog,altruista, moralista, uczony.

Stąd mamy: prawo, wolność, pokorę, ofiarność, etykę i naukę.

Jakże piękny jest ofiarowany nam – ludziom nauki – udział w esencji egzystencjiludzkiej.IV s'wiat al/y na pal a h zli zy ' pro'bowal/...

Dziś te interwały nazywamy odpowiednio

oktawą, kwartą i kwintą.

Nie od rzeczy jest odnotować, że czar

pierwszego odkrycia dotyczącego

harmonii spowodował dzisiejsze

ograniczenie zakresu tego słowa –

najczęściej obecnie pojęcie harmonii

kojarzy się nam z muzyką.

Harmonia najbardziej widoczna być miała wśród liczb, figur, dźwięków iciał niebieskich. Najczystsze bowiem, najprostsze i najbardziej niezmiennebyły opisujące je abstrakty. Dziś dziwić nas może obecność w tym gronie ciałniebieskich – zważmy jednak, że ciała niebieskie w owych czasach to byłyświecące punkty na stałe przytwierdzone do sfery niebieskiej.

Pierwsze odkrycie świadczące o słuszności wyboru tych właśnie dziedzindotyczyło struny. Stwierdzono – co i dziś potwierdzić każdy sobie może – żedwie jednakowe i jednakowo napięte struny, gdy jedna z nich zostanie o połowęskrócona, będą pięknie współbrzmieć. Podobnie będzie, gdy długości strun będąsię miały jak 2 do trzech. I gdy będą się miały jak 3 do czterech.

Trudno było powstrzymać się od zachwytu – oto liczby okazują się opisywaćto samo, co dźwięki. Trudno też było powstrzymać się od wykroczenia pozagranicę faktycznie uzyskanego rezultatu – ukuto kompletną i ostateczną zasadęharmonii:

harmonia wyraża się stosunkiem liczb naturalnych i jest tym pełniejsza, im liczbyte są mniejsze.

Odwołanie się do liczb naturalnych wynikało nie tylko z faktu, że innych liczbpraktycznie nie było (bo przecież przyzwoite ułamki to też stosunki liczbnaturalnych). Brało się to również z dominującego wówczas przekonania,że obserwowana wokół różnorodność zjawisk i form powstaje jako rozmaitekombinacje niewielkiej tylko liczby podstawowych klocków. Oczywiście, każdyrodzaj klocków – nazywany pierwiastkiem lub żywiołem – może występowaćw wielu egzemplarzach. Rodzajów tych jest jednak niewiele – Demokryt, naprzykład, sądził, że wszelkie obiekty materialne to zmyślne kombinacje czterechzaledwie żywiołów: ognia, powietrza, wody i ziemi.

Głębokie przekonanie o słuszności takiej liczbowej definicji harmonii kazałoposzukać jej odpowiednika w geometrii. Niewątpliwy był fakt, znany już wtedyod stuleci, że zrzutowanie równoległe równomiernej podziałki wykreślonej najednej prostej na inną prostą daje na niej również równomierną podziałkę,choć jej odcinki mogą być inne od tych z podziałki pierwotnej. Zatem stosunkimiar, uzyskiwane przez zastosowanie przy mierzeniu jednej z tych podziałek,będą takie same, jak stosunki miar, gdy używać będziemy drugiej z nich. Faktten nazywany był (i jest) twierdzeniem Talesa, co bynajmniej nie oznacza, iżdowiódł tego Tales, lecz jest to nazwa honorowa – w dzisiejszej terminologiipowinno ono nosić nazwę: twierdzenie imienia Talesa. Powstawało pytanie,jak może wyglądać jego dowód. I przyjmowano argumentację najprostszą:podzielmy odcinki podziałki na obu tych prostych na jednakowe, takie samena obu prostych kawałki; jeśli jakaś liczba kawałków, składająca się na odcinekpodziałki na pierwszej z tych prostych, rzutuje się na jakąś (być może inną)liczbę tych samych odcinków na drugiej prostej, składających się na odcinekpodziałki na drugiej prostej, to stosunek tych liczb opisuje nam stosunekrezultatów uzyskanych przez mierzenie jedną bądź drugą podziałką.

6

Widać od razu niedoskonałość tej argumentacji: skąd wziąć pewność, że takikawałek, mieszczący się całkowitą liczbę razy tak w odcinku jednej, jak idrugiej podziałki, istnieje. Luka ta, wobec triumfującego atomizmu (nawetprzecież wiedza pewna występowała w porcjach – twierdzeniach) nie byładostrzegana. Ale niedostrzegane niebezpieczeństwo niebezpieczeństwem byćnie przestaje. Jest nawet bardziej groźne: gdy odkryto (zapewne dokonał tegoHipokrates z Chios – tylko imiennik tego od lekarzy, który wywodził się z Kos),że takiego – mieszczącego się całkowitą liczbę razy w boku i całkowitą liczbęrazy w przekątnej kwadratu – odcineczka nie ma, zwątpiono we wszystko, czegodokonano do tej pory.

Wierzący w Harmonię pitagorejczycy w ogromnej liczbie stracili wiarę. Alegorszy jeszcze los dotknął tych, którzy stoczyli się na zgoła przeciwstawne dointelektualnych idei pitagoreizmu stanowisko – powstała sekta akuzmatyków,którzy uzyskanej niepokonanej trudności nadali walor mistycznej tajemnicy ibadania naukowe zamienili na pełną czci kontemplację niepojmowanego. Możnaby rzec – zrealizowałi o ponad pół tysiąclecia późniejszą doktrynę credo, quiaabsurdum. Potęga umysłu, której spodziewał się po ludziach Pitagoras, ustąpiłasłabości ducha.

I to stało się w późniejszych wiekach potężną przestrogą przed przyjmowaniemgeneralnych, wszystko objaśniających dogmatów.V pentagram na piedestal/ stawiaja, ,w najpote,_zniejszy ore,_z nas wyposa_zyl/...

Zapewne nie wszyscy zwrócili uwagę, że

stosowanie złotej proporcji jako normy w

komponowaniu proporcji ciała ludzkiego

nie było bezmyślną doktryną: na

greckich posągach kolano tak kobiety jak

mężczyzny dzieli nogę w złotej proporcji

– jednak u kobiety dłuższą częścią w tym

podziale jest udo, u mężczyzny zaś łydka.

Tak zresztą jest i w życiu!

Byli wszelako i tacy, którzy nie upadli na duchu, i przyczynę niepowodzeniaupatrywali nie w bezsilności myśli ludzkiej, lecz tylko w lekkomyślnie przyjętejdoktrynie, iż wszystko jest liczbą.

Oczywiście, znaleźli się od razu ekstremiści, którzy w miejsce tej doktryny hasłoliczby zostawmy kupczykom chcieli głosić. Lecz większość przychyliła się dogłębszego rozumienia twierdzenia Talesa i zaproponowała związanie harmoniiz geometryczną proporcją.

Jej symbolem stał się pentagram – gwiaździsty pięciokąt foremny. Jego proporcjeuznano za złote. Oznaczało to, że odcinek jest idealnie, w złotym stosunkupodzielony przez ten ze swoich punktów, który powoduje, iż odcinek tak się mado swojej większej części, jak owa część do części mniejszej.

Kult takiego podziału rozpowszechnił się tak dalece, że nie tylko noszonomedaliki w kształcie pentagramu, ale nawet rzeźbiarze, jak Fidiasz czyPraksyteles, rzeźbionym postaciom takie proprcje nadawali. I dziś skłonnijesteśmy takim proporcjom ciała przyznawać najwyższe walory piękna.

Wszelako nie na tym polegała główna wartość zwrócenia się w kierunkugeometrycznych proporcji. U podstaw zajmowania się nimi leży geometrycznepodobieństwo – fakt, że możemy narysować dwie figury, które uznamy zajednakowe, choć różnić się one będą wielkością: dla nas o tożsamości figurydecydują jej proporcje, a nie jej rozmiar.

Co znaczy dla nas? Dziś nic, ale jeszcze sto pięćdziesiąt lat temu znaczył – dlaEuropejczyków.

Szczęśliwym zrządzeniem losu już pitagorejczycy, własności figur odkrywając,zdecydowali się na tę geometrię, którą mamy dziś w szkole, w pracy, wszędzie,geometrię euklidesową później nazwaną. Zapewne nie zdawali sobie wtedysprawy, że mogą istnieć inne geometrie i już absolutnie pewnie nie wiedzieli,że w tych „innych” figury różnych rozmiarów takich samych własności miećnie mogą. Ale wybierając tak, zdecydowali, że nasz mały i słabo zaludnionykontynent z czasem postawi swą stopę na głowach ludów „reszty świata”.

7

Pierwszym zastosowaniem możliwości rysowania w różnych skalach był plani mapa. Greccy hoplici znaczną część swoich sukcesów zawdzięczali temu, iżprzed ich akcją greccy kupcy umieli na swoich szatach czy garnkach narysowaćplan umocnień przyszłego przeciwnika. Grecy byli bardzo dumni z tego,że oni tak umieją, a inni nie – jest to odnotowane w podaniu o wejściu dolabiryntu na Krecie, by zabić Minotaura (w rzeczywistości wymordowaćukrywających się tam tubylców) – znana nam wszystkim „nić Ariadny”to włśnie rysunek wykonywany na tarczy przez wchodzącego do labiryntuwojownika, umożliwiający mu oczywiste wyjście z niego po wykonanej robocie.Tak zresztą Grecy okradli egipski labirynt w Hawara. Tak dwa tysiące latpóźniej niepiśmienny zbir Pizarro mógł skutecznie walczyć z imperium Inków –jak wyglądały ich „mapy”, każdy może przekonać się w dowolnym muzeum Azjii Pacyfiku: do ich odczytania potrzebny był fachowiec. Na wschodzie podobnieniewielki oddział Jermaka potrafił zhołdować Rosji Syberię. To my dopłynęliśmydo Chińczyków, choć oni mieli kompasy prawie 500 lat wcześniej od nas.

Jeszcze większe znaczenie odegrał rysunek techniczny, umożliwiającywykonywanie kopii urządzeń (nawet ogromnych rozmiarów) bez dysponowaniawzorcowym egzemplarzem. Że nie jest to oczywiste, świadczy odnotowanyprzykład niewiary w takie rowiązanie u – skądinąd uważanego za wybitnego– Juliusza Cezara: gdy jego wojskowi inżynierowie oświadczyli, że potrafią napodstawie swoich rysunków zbudować nad kanałem La Manche galery, potrzebneich wodzowi do inwazji na Brytanię, ten kazał „na wszelki wypadek” przenieśćjedną na barkach legionistów przez całą Galię (czyli z Tulonu do Calais). Towłaśnie rysunek techniczny umożliwił powstanie przemysłu.

Nie od rzeczy jest wspomnieć o niejako lustrzanym przypadku do galeryCezara. Otóż w Epoce Meji, otwarciu Japonii na świat pod koniec XIX wieku,Japończycy zakupili w Anglii plany pancernika dla powstającej ich flotywojennej. Anglicy dostarczyli im plany blędne, co spowodowało katastrofę,w któej Japonia straciła nie tylko znaczne fundusze, lecz także ponad tysiączabitych. Nic dziwnego, że potem wyrażali białym swą wdzięczność od 1905 po1945 rok.

Dominację podobieństwa w naszej kulturze można zaobserwować również wmuzyce: progi w gryf gitary są wbijane tak, że tworzą figurę samopodobną –skrócenie strun przez przyciskający je do wybranego progu uchwyt (zwany capo)powoduje jedynie przestrojenie jej w inną tonację – podobnej operacji nie możnawykonać na żadnym z pozaeuropejskich instrumentów.

I tak, tchórzliwa ucieczka przed liczbami okazała się w efekcie drogą doniewyobrażalnych sukcesów.VI prawdziwe, wszystkoopisuja, e li zby stworzyl/...Przeciwstawne do akuzmatyków (która to nazwa oznacza mniej więcejnasłuchujących bądź uczniów) stronnictwo pitagorejczyków nazwało sięmatematykami (od greckiego matein – wiedzieć), a więc uczonymi (nie każdydziś wie, że nazwa naszego zawodu jest taka ambitna!). I jakoś hasło porzucenialiczb nie bardzo do tej nazwy pasowało. Niewiele więc ponad stulecie oddzielącego pitagorejczyków kryzysu znaleźli się młodzi, ambitni matematycy,którzy uparli się pogodzić liczby z Harmonią.

Ambitny ten program zaczęto od stworzenia pierwszej bodaj w historii teoriiprawdziwie aksjomatycznej. Jeśli bowiem rację miałby Tales, to powinno by sięuzyskiwać ciekawe rezultaty, rozważając rzeczy opisane tylko przez ich własności,oderwane od jakichkolwiek desygnatów. Taką teorią stała się teoria wielkościjednego rodzaju.

8

Podział wszystkich liczb wymiernych na

dwie klasy, o tej własności, że każda z

liczb jednej z nich jest mniejsza od każdej

liczby z drugiej – czyli właśnie takie

zbiorowości, o jakich mówi Eudoksos –

nazywamy dziś przekrojem Dedekinda.Dzieje się to nie dlatego, by umniejszyć

wielkość Eudoksosa, lecz dlatego,

że podczas gdy Eudoksos mówił, iż

każda proporcja-liczba jest przekrojem,

Dedekind dodał: i każdy przekrój jest

liczbą, co dało początek współczesnej

teorii liczb rzeczywistych.

Wielkości jednego rodzaju miałyby mieć następujące fundamentalne (a więcdefiniujące je) własności:• gdy mamy dwie takie wielkości, to jest też tego samego rodzaju wielkośćbędąca ich sumą;• dla każdej wielkości istnieje tego samego rodzaju wielkość większa od niej 5, 7czy n razy;• zawsze można stwierdzić, czy dwie takie wielkości są równe, a jeśli nie są, toktóra jest większa;• jeśli pierwsza taka wielkość jest mniejsza od drugiej, to istnieje tego samegorodzaju wielkość uzupełniająca ją do tej drugiej;• każdą wielkość można skończenie zwielokrotnić tak, aby stała się większa od zgóry danej drugiej wielkości tego samego rodzaju.

Widać w tym ducha talesowskiej wiedzy pewnej: opisujemy równie dobrzestrukturę długości, ciężarów, pól, objętości, czasu, liczb i czego tylko kto zechce.Powstaje zatem pytanie, jak do tego mają służyć liczby. I odpowiedź zostałaudzielona bez wahania i w duchu dominującego wówczas sposobu myślenia:liczby mają opisać proporcję dowolnie obranych wielkości jednego (obojętniektórego) rodzaju.

Równocześnie zaproponowane zostały dwa sposoby posłużenia się liczbaminaturalnymi do opisu wielkości jednego rodzaju. Bo mylne jest przeświadczenie,że matematyka rozwija się jak ciasto drożdżowe – po prostu rośnie. Matematykato wędrówka, w której czekają nas rozdroża, błędne drogi, grzęzawiska, obejścia,przepaście. Zresztą żadna nauka nie powstaje w inny sposób.

Pierwsza propozycja, której autorem był Teajtetos, polegała na tym, żeproporcję dwóch wielkości opisywać miał ciąg liczb naturalnych. Uzyskiwało sięgo przez stosowanie dzielenia z resztą, takiego samego, jakie dziś wykonują dzieciw podstawówce, tyle że zauważono, iż dzielić z resztą można nie tylko liczby.Dziś takie ciągi nazywane są ułamkami łańcuchowymi lub ułamkami ciągłymi.

Pewien niepokój, jaki może powstać w związku z wrażeniem obcości tychnazw, nie powinien przerażać – jest to dowód, że propozycji tej nie uznanoza najlepszą, choć w chwili powstania zachwycono się, jak dosłownie łączyobie pitagorejskie doktryny: pierwotną – arytmetyczną i pokryzysową –geometryczną. Mianowicie, złota proporcja wedle tego sposobu wyrażała sięnieskończonym ciągiem samych jedynek, a więc ideał geometryczny opisany byłnajmniejszą liczbą.

Druga propozycja wydać się może dziwna przez to, że nie wiąże ona z proporcjądanych dwóch wielkości jednego rodzaju jednego obiektu, lecz dwie ichzbiorowości. Propozycja Eudoksosa była bowiem taka: uznajemy proporcjędwóch wielkości jednego rodzaju za tożsamą z proporcją dwóch wielkościinnego rodzaju, gdy dowolny stosunek liczb naturalnych mniejszy od jednejz tych proporcji jest mniejszy i od drugiej, a dowolny większy od jednej jestteż większy od drugiej (była, oczywiście, receptura, jak to sprawdzać). Czylikażdej proporcji wielkości jednego rodzaju odpowiadały dwie zbiorowości:jedna zawierała stosunki liczb naturalnych przybliżających ją „z dołu”, a drugastosunki przybliżające ją „z góry”.

Propozycja Eudoksosa została przyjęta powszechnie i z pewnym ulepszeniemRicharda Dedekinda jest używana do dziś, a uzyskane w ten sposób wszelkiemożliwe proporcje nazywane są liczbami rzeczywistymi. Ich funkcja jest taka,że pozwalają – przy wyborze w każdej klasie wielkości jednego rodzaju jakiejś znich jako jednostki – zmierzyć wszystkie wielkości.

Zachwyt nad tym rozwiązaniem dotarł najsilniej do tych, którzy najpełniejmatematykę rozumieli. Można go znaleźć u Archimedesa w pracy Pomiar kołai w fundamentalnym dziele Izaaka Newtona Philosopiae Naturalis PrincipiaMathematica.

9

Newton pisze (w tłumaczeniu na język współczesny) tak. Niezrównoważonymusiałby być ten, kto chciałby podzielić rozciągłość w przestrzeni przezrozciągłość w czasie – przestrzeni przez czas dzielić się nie da, bo to rzeczyróżnych rodzajów. Ale, oczywiście, można podzielić liczbę, opisującą rozciągłośćw przestrzeni, przez liczbę opisującą rozciągłość w czasie – to przecież są takiesame liczby. Co otrzymamy? Oczywiście, liczbę, której interpretacja należydo nas (tu stosowne byłoby uważać ją za prędkość). Możliwość opisywanianajrozmaitszych wielkości tymi samymi liczbami powoduje, że matematykęmożna stosować we wszystkich dyscyplinach nauki.

Od wynalazku Eudoksosa matematyka faktycznie stała się królową nauk.VII nieskon' zonos' ' na dwie ze,s' i rozpl/atal/...Wszelako lęk przed błędem pozostał. Skąd można było mieć pewność, że to, cosię przydarzyło koncepcjom pierwszego okresu pitagoreizmu, nie przydarzy siętym nowym – choć tak wspaniałym – rozwiązaniom?

Sprawy liczb i figur wydawały się uporządkowane, ale istniała jeszcze hydrawystawiająca coraz to nowe głowy w każdym właściwie poruszanym problemie.Ile jest liczb naturalnych? A ile jest liczb pierwszych? Ile w końcu punktów maprosta? A jaka jest ona długa? Słowo nieskończoność pojawiało się w każdymniemal rozumowaniu.

Temat był podjęty z ogromną pasją zwłaszcza przez Parmenidesa i jego uczniów.Owi eleaci (bo kształcili się w Elei) co prawda nazywali swoje wywody tylkoaporiami – trudnościami – ale nie ukrywali swojego pesymizmu w kwestiibezpieczeństwa rozumowań matematyków. Byli bowiem przekonani, że błąd(chwilowo się nieujawniający) tkwi głęboko – w strukturze podstawowychpojęć, fundamentalnych abstraktów matematyki. Już sam fakt, że figury miały– jakoby – składać się z punktów, wydawał im się gwarantujący powstaniesprzeczności. Wyobrażonej ciągłości prostej przeciwstawiali rozumowaniawskazujące, że pewnych punktów na niej brakuje.

Choćby sławny problem Achillesa i żółwia: Achilles z łatwością może przegonićstokrotnie wolniej od niego biegnącego żółwia, ale dogonić go nie może. Istotnie,jeśli na początku odziela go od żółwia dystans, który Achilles przebiegaw kwadrans, to po dwóch kwadransach wyścigu Achilles będzie znaczniewyprzedzał biegnącego w tym samym kierunku żółwia. Wszelako dogonić go niemoże – za każdym razem, gdy dobiegnie do miejsca, gdzie poprzednio był żółw,ten znajdzie się niewiele, ale jednak przed nim i taki stan rzeczy powtarzać siębędzie bez końca.

Problem ten, jako zagadnienie sportowe jest, oczywiście, bez sensu. Ale przecieżsformułowano go w innym celu: miał pokazać, jak łatwo można skonstruowaćtrudną do objaśnienia matematycznego zagadkę. Ten problem był błahy, ale cobędzie, gdy tego rodzaju zamęt zdarzy się w poważnej sytuacji?

Głębokie spojrzenie na tę problematykę zaprezentował Arystoteles. Dostrzegłon mianowicie, że słowo nieskończoność dotyczy dwóch, zupełnie niepodobnychsytuacji. Zdecydował się nawet zaordynować, że jedna z tych nieskończoności jestdobra, pożyteczna, druga natomiast zła, szkodliwa i wiodąca na manowce.

Dobra nieskończoność, zwana nieskończonością potencjalną, to znana zdziecięcych zabaw fraza „a ja zawsze o jeden więcej”. A więc jest to proces,który zawsze można kontynuować. Tu zresztą mieści się rozwiązanie aporiiAchillesa i żółwia, bowiem posługując się tą dobrą nieskończonością (w tymprzypadku – ciągiem geometrycznym), można obliczyć, że żółw zostaniedogoniony dokładnie po kwadransie pomnożonym przez 100/99. Nieskończonośćpotencjalna jest jak czas – biegnie w nieskończoność, choć zawsze dysponujemytylko jego skończoną ilością. Symbolem tej dobrej nieskończoności jest ∞.

10

Wielu sądzi, że iloczyn początkowych

liczb pierwszych plus jeden jest

liczbą pierwszą, co łatwo sprawdzić.

Spostrzeżenie to jest jednak prawdziwe

tylko dla niedostatecznie pracowitych

weryfikatorów.

Jest jednak i nieskończoność zła, zwana aktualną. To ona jest obecna w zdaniu„odcinek ma nieskończoną liczbę punktów”. Słowem, zachowuje się nie jakproces, lecz jak stabilny stan. Nie jak czas, lecz jak przedmiot.

Arystoteles zdecydowanie zakazywał posługiwania się nieskończonością aktualną.Zakaz ten był tak przejmujący, że matematycy przestrzegali go ponad 2100 lat.Wyłamał się z niego dopiero Georg Cantor, fundując matematykom dośćkłopotliwy prezent, jakim jest teoria mnogości. Nieskończoności aktualnychokazało się nieskończenie wiele, a nawet nieskończenie wiele rodzajów. Oznaczająje różne litery, takie jak ℵ, , ω itd. itp.Wielu jednak chciałoby powrócić do stanu pierwotnej dzikości, gdy – jak uEuklidesa – prosta miała zawsze skończoną długość, którą jednak można byłostosownie do potrzeb przedłużać, a o liczebności liczb pierwszych pisało się,że gdyby było ich skończenie wiele, to ich iloczyn powiększony o 1 nie mógłbyistnieć: nie byłby liczbą pierwszą, bo od każdej liczby pierwszej byłby większy, anie byłby też liczbą złożoną, bo przez żadną liczbę pierwszą by się nie dzielił.

Nie od dziś jednak wiadomo, że zjedzenie jabłka z drzewa wiadomości dobregoi złego nieodwołalnie wyklucza z raju, a raj utracony nigdy odzyskany być niemoże.VIII by od popla,tania je,zyko'w - jak wWie_zy Babel - u hroni ',znakami _zonglowa ' nau zyl/...

Znaczące najazdy ludów pasterskich

miały w Chinach potem miejsce

jeszcze dwa razy: Kubiłaj-chan podbił

Chiny w 1279 roku na 90 lat, a potem

Mandżurowie w 1644 roku na lat 267.

Jak widać – w odróżnieniu od Europy

– w Chinach kultura rolnicza nigdy

przez kulturę pasterską nie została

zdominowana.

W −220 roku rolnicze Chiny, będące akurat w stadium rozproszenia na drobne(w skali europejskiej) królestwa, po raz pierwszy muszą stawić czoła najazdowikoczowników – Mongołów. Wywołana najazdem panika doprowadziła doniemal natychmiastowego zjednoczenia. Na czele powstałego cesarstwa stanąłQuin-shi-huang-ti. Jego rządy były niezwykle skuteczne, ale też i bardzozdecydowane, żeby nie powiedzieć brutalne. najbardziej znany jest z tego, żenakazał budowę Wielkiego Muru, który skutecznie bronił Chiny przed najazdamiprzez prawie 1500 lat. Ostatnio popularny jest też w Europie dzięki wystawomjego terrakotowej „armii”, jaka została umieszczona w jego grobowcu.

Ale główną jego zasługą jest reforma pisma, dzięki której to ogromne państwozachowuje jedność, mimo nieprzebranej wręcz mnogości zamieszkujących jeludów. Quin-shi-huang-ti ustanowił mianowicie nowe, jednolite pismo chińskie,nakazując wszystkie istniejące teksty przepisać w nowy sposób lub zniszczyć (ikażąc śmiercią posiadanie tekstów zapisanych innym stylem).

My, Europejczycy, mamy trudności z dostrzeżeniem doniosłości tego kroku,kojarzącego się nam z reformą ortografii lub, co najwyżej, z wprowadzeniemw Rosji grażdanki przez Piotra I. Trudność bierze się stąd, że w szerokorozumianym kręgu kultury śródziemnomorskiej pismo – od czasów jeszczesumeryjskich – ma charakter fonetyczny: widząc jego znaki, wiemy, jaki dźwiękone opisują – napis wskazuje, jakie dźwięki mamy z siebie wydawać (choć byśmyczytali po cichu). Tymczasem pismo chińskie jest ideograficzne – ono notuje niedźwięki, a znaczenia. Wobec tego ludzie znający to pismo mogą odczytywać jegłośno na różne sposoby, w zależności od używanego języka. Zatem mnogośćjęzyków nie uniemożliwia posiadanie wspólnej – nie tłumaczonej, a tożsamej– literatury tak pięknej, jak naukowej czy technicznej. Tak więc brutalnareforma cesarza doprowadziła do tego, że ponad miliardowe dziś Chiny, mówiącekilkunastoma wielkimi językami, mają jedną kulturę, jedną naukę, jednątechnikę zapisano w jednakowo dla wszystkich czytelny sposób.

Ale przecież i my to znamy. Napis√2 Polak odczyta jako „pierwiastek

kwadratowy z dwóch”, Anglik jako „square root of two”, Rosjanin jako„kvadratnyi koren~ s dvoh”, a mówiący innymi językami w jeszcze innysposób.

11

Tak więc tak zwane wzory matematyczne mają jednoznaczną treść, a nie mająjednoznacznego odczytania fonetycznego.

Nie sposób powiedzieć, czy twórcy matematycznej symboliki wiedzieli o reformieQuin-shy-huang-ti. Niewątpliwie jednak zrobili dokładnie to, co i on. Na ichkorzyść przemawia tylko to, że nie wprowadzili swojej reformy pisania zapomocą represji (choć zapewne wielu uczniów byłoby innego zdania).

Za istotny początek rachunków symbolicznych należy uznać Hisab al-dżabrua’l-mukabala, czyli Sztukę redukcji i przenoszenia Muhammada ibn Musaal-Chwarizmiego (w Imieniu róży Kuvarizmiego), napisaną w epoce świetnościarabskiej kultury i nauki, w wieku IX. Dzieło to, początek algebry (al-dżabr)stanowiące, kazało zająć się rachunkiem symbolicznym wszystkim znaczącymmatematykom, co zaowocowało tym, że owa algebra jest dziś dominującą gałęziąmatematyki.

W Europie konsekwentne wprowadzenie symboliki matematycznej należydatować od tekstów Francoisa Viete’a, pisanych w przerwach starć, w którychwraz z Henrykiem IV przepędzał Hiszpanów z Francji w XVI wieku.

Nie jest jasne, czy sam Quin-shi-huang-ti zdawał sobie sprawę z tego,jak doniosłe konsekwencje ma jego reforma. Podobnie nie wiemy, czytwórcy symboliki matematycznej nie traktowali jej jedynie jako sposobuskrótowego zapisu, coś w rodzaju stenografii. Faktem jest jednak, że symbolikamatematyczna spowodowała, iż matematyka jest najbardziej całoświatowąnauką i że, korzystając z jednego języka pisanego, posługuje się pismemideograficznym, a nie alfabetycznym, czego uświadomienie sobie dla wielumatematyków może być sporym zaskoczeniem.IX w gl/e,bine, fizisWsze hs'wiata sie,gaja, , kamien' filozofi znyowa, fizis opisuja, y wydobyl/...Wśród aporii Zenona była jedna o charakterze odmiennym od pozostałych.Chodzi o tak zwany paradoks strzały: w każdym momencie wystrzelona z łukustrzała znajduje się w jakimś punkcie – kiedy wobec tego leci?

Wyjaśnienie tej trudności dziś nie przedstawia większego kłopotu: wiemy, że doopisu zachowania punktu materialnego położenie nie wystarcza – trzeba jeszczeokreślić pęd. Oba te pojęcia są wprawdzie związne (np. zasadą nieoznaczonościHeisenberga), ale odtworzenie jednej z drugiej jest niemożliwe. Ów pęd opisujewłaśnie fakt, że strzała leci. Ale to wiemy dziś.

Ruch u myślicieli dawnych wieków występował jako szczególny przypadekzmienności. Zmienność, jako coś odrębnego od stanu, to był średniowiecznyodpowiednik dzisiejszego pędu i położenia, ale dotyczył wszelkich zjawisk, wśródktórych zjawiska mechaniczne odgrywały tylko marginalną rolę. Tak rozważalite sprawy tak zwani scholastycy, tacy jak XIV-wieczny Tomasz Bradwardine zOxfordu, czy wiek późniejszy Mikołaj Oresme z Paryża.

Skoncentrowanie się w tych rozważaniach na powrót ku mechanice to pomysłGalileusza. Znalazł on też piękną nazwę dla owej własności strzały, która opisujew dowolnym jej położeniu, że ona leci – prędkość chwilowa – i zasugerował,iż należy udoskonalić tak nasze rachunki, abyśmy – doskonale sobie radzącz obliczeniem prędkości w jakimś przedziale czasu – potrafili obliczać iprędkość chwilową w „punkcie” czasu. W dzisiejszej terminologii chciał więcwprowadzenia pochodnej.

I tak matematyka, chcąc poradzić sobie z opisem zmienności, sięgnęła do fizyki,jako do wzorcowych dla matematyki – a w jakimś stopniu od niej niezależnych –związków pojęć.

12

Jak ogromną trudność sprawia

przestawienie się ze statycznej

geometrii na dynamiczną, można

było zaobserwować w Polsce, gdy w

1967 roku zastąpiono licealne podręczniki

geometrii Iwaszkiewicza podręcznikami

Krygowskiej. Ci, którzy tego nie

pamiętają, mogą odnotować tylko tyle, że

dziś wróciliśmy do geometrii statycznej,

i liczyć na to, że któryś z uczniów liceum

– a nawet któryś z nauczycieli – potrafi

wymienić choćby wszystkie rodzaje

izometrii płaszczyzny, absolutnie nie

można.

Rewolucja była głębsza, niż się na pozór zdaje – dotychczas wszelkiematematyczne intuicje wywodzone były ze statycznej geometrii nieruchomychfigur i z natury niezmiennych liczb. Tutaj zasugerowano, że figury i liczby mogąsię poruszać, przekształcać, a więc trzeba było swoje intuicje budować od nowa.

I ta trudność okazała się niebotyczną, niedającą się pokonać barierą nawet dlanajwiększych. Pojęciem pochodnej – jako odpowiednikiem prędkości chwilowej– posługiwano się, ale z przełożeniem tego na język ścisłych rozumowań nieumiano się uporać.

Newton wymyślił dziwny obiekt oznaczany o, który w pewnych(matematycznych) okolicznościach zachowywał się jak zero, a w innychmożna było przez owo o dzielić. Wstydził się zresztą tej niedoskonałości inie chciał opublikować zasad tych zabiegów, choć z nich korzystał (np. przywyprowadzaniu prawa powszechnego ciążenia) i dopiero po jego śmierciuczniowie wydali, „podpisane” przez niego Method of fluxions.

Leibniz, z właściwą sobie fantazją zaopatrzył – w celu obliczania pochodnych– każdą liczbę rzeczywistą w monadę: otoczkę podobną do śluzu, jaki otaczanamoczone ziarnko rzeżuchy zasianej przed Wielkanocą. W owej monadzie(złożonej z dość egzotycznych elementów) nie mieściła się żadna inna liczbarzeczywista, oprócz właścicielki tej monady. Specjalny rodzaj rachunku namonadach pozwalał w prostszych przypadkach obliczać za ich pomocą pochodne.

Euler z kolei posługiwał się spostrzeżeniem, że zero pomnożone przez dowolnąliczbę też jest zerem, z czego wnosił, że mnożąc zero np. przez dwa, dostajemydwa razy większe zero. Ten absurdalny pomysł potrafił wykorzystać skutecznie,uzyskując wiele niewątpliwych rezultatów.

Lagrange wreszcie, wyszydzając wymienione wyżej pomysły wybitnychpoprzedników, kazał wierzyć, że każda funkcja jest wielomianem (być możenawet nieskończonego stopnia), bo obliczanie pochodnych dla wielomianów jestłatwe.

Piękną ideę do tych bezowocnych zabiegów wniósł Louis Augustin Cauchy,wprowadzając pojęcie otoczenia. Chodziło o to, aby rozpatrując to, co się dziejew jakimś punkcie, obserwować, co dzieje się w punktach mu najbliższych.

Wyniki Cauchego doprowadził do stanu konkretnych, precyzyjnych rachunkówCarl Weierstrass, wprowadzając znane studiującym analizę matematycznąepsilony i delty.

Te, trwające trzysta lat zmagania, miały jeszcze dodatkową, napędzającąje siłę. Otóż, zastanawiając się nad funkcjonowaniem Wszechświata, PierreSimon Laplace doszedł do wniosku, że znajomość zmienności jakiegoś zjawiskapozwala odtworzyć jego przebieg tak przeszły, jak przyszły. Stworzył nawetnurt filozoficzny, zwany determinizmem, którego wyznawcy sądzili, iż pełnaznajomość świata połączona z nieograniczoną sprawnością rachunkowąpozwoliłaby poznać na drodze obliczeń całą jego przeszłość i przyszłość.

Jeśli pominiemy podnoszenie poglądów Laplace’a do rangi filozofii,trzeba stwierdzić, że odtwarzanie przebiegu zjawisk z ich zmienności jestnajpowszechniej obecnie stosowaną metodą nauk przyrodniczych i społecznych.Możliwość uzyskania na tej drodze sensownych rezultatów gwarantujeuzyskane przez Cauchy’ego w latach trzydziestych XIX wieku twierdzenie orozwiązalności równań różniczkowych zwyczajnych i uzyskane w trzydzieścilat później twierdzenie Sophie Kowalewskiej (pierwszej kobiety – profesorauniwersytetu) o rozwiązalności równań różniczkowych cząstkowych. Borównaniami różniczkowymi nazywa się problem odtwarzania przebiegu zjawiska zjego zmienności.

Owa możliwość uzyskania sensownych rezultatów nie gwarantuje tego, żemożliwości te dadzą się zrealizować. Zaskakujące jest, że dziś nie wiemynp. do końca, jak lata samolot, a nawet, w jaki sposób leci woda z kranu, choćkorzystamy skutecznie z tych urządzeń.

13

X li zbe, s'wiato'w, by wszystkim sl/u_zyl/y, rozmno_zyl/...

Piąty postulat Euklidesa brzmi:

Jeśli dwie proste przecięte trzecią tworząkąty jednostronne wewnętrzne o sumiemniejszej od dwóch kątów prostych, toproste te po przedłużeniu przetną się i toz tej właśnie strony.Rzeczywiście, zarówno liczba liter, jak

liczba słów w tym zdaniu jest większa

od liczby liter czy słów użytych łącznie

do sformułowania pozostałych czterech

postulatów.

Idea, aby matematyczne rozumowania rozpoczynać od ustalenia, jakie przesłankimają stanowić ich podstawę, czyli od ustalenia aksjomatów, wydawała się nienosić w sobie żadnych niebezpieczeństw. Było oczywiste, że za aksjomaty mająsłużyć sądy proste, zrozumiałe i niewątpliwie prawdziwe.

Wystarczy jednak przez chwilę podejrzliwie przyjrzeć się poprzedniemu zdaniu,by odkryć, że jest w tym wiele elementów uznaniowych. Jak mówi sentencjaprzysłowia w naszym kraju przypisywanego Chińczykom: nie ma w tym niczłego, ale może być.

Najbardziej znanym, najbardziej rozpowszechnionym i najbardziej cenionymdziełem naukowym są Elementy Euklidesa. Powstałe w −III wieku, nawet podwzględem liczby wydań drukiem ustępują tylko Biblii. Ich pięć postulatów, zktórych została wyprowadzona cała geometria i arytmetyka, w powszechnymmniemaniu spełniało wszelkie wyliczone wyżej wymagania. Ale do czasu.

W IV wieku pełen bezgranicznej czci dla minionej greckiego świata wielkościProklos stwierdził, iż piąty z tych postulatów jest . . . zbyt długi. Uzasadnił tozawiłymi rozważaniami, z których wynikać miało, iż Euklides zamieścił tenpostulat tylko roboczo, ze względu na to, że chciał – gnębiony ciężką chorobą– zdążyć z zakończeniem pisania Elementów. Chciał też – gdy siły pozwolą –zastąpić niezręczny postulat jego dowodem przeprowadzonym na podstawieprzyzwoitych pierwszych czterech. Niestety, śmierć nie pozwoliła. Więc my – wdowód naszej czci dla Euklidesa – powinniśmy to zadanie wykonać.

Trudno wyobrazić sobie bardziej irracjonalny wywód i bardziej bezzasadneżądanie. Ale matematycy na każde intelektualne zadanie reagują w ten samsposób – gotowi są poświęcić życie, by mu podołać. Tak się stało i w tej sprawie.Przez 1500 lat praktycznie każdy matematyk pozostawił po sobie próby dowodupiątego postulatu z początkowych czterech. Było to przyczyną wielu dramatów,bo wszystkie te rozumowania okazywały się błędne, a to dlatego, że gdzieśtrafiała się w nich jakaś niewynikająca z czterech postulatów przesłanka.

Pojawiły się zatem podejrzenia, iż może dowód jest niemożliwy doprzeprowadzenia, co sugeruje – gdy wątpimy w prostotę i oczywistość piątegopostulatu – możliwość istnienia geometrii, w której on prawdziwy nie jest.

Problem stawał się wobec tego coraz bardziej znany, by w XVIII wieku dostąpićzaszczytu, jakim było zajęcie się nim przez Immanuela Kanta. Kant, dzielącynasze sądy na sądy a priori, a więc przyniesione z narodzeniem na świat, isądy a posteriori, a więc nabyte w drodze życiowych doświadczeń, matematykęzaliczył do tych pierwszych. Wykluczało to wobec tego istnienie alternatywnychteorii matematycznych opisujących ten sam – abstrakcyjny przecież – obiekt.Geometria może zatem być tylko jedna, a skoro ta euklidesowa sprawdza sięod tysięcy lat, więc wszelkie badania, co mogłoby ją zastąpić czy też z niąkonkurować, pozostają poza granicami nauki.

Takie sformułowanie zakazu badań nie mogło być i nie było przez matematykówzaakceptowane. Liczba badających sprawę piątego postulatu wzrosła wydatnie,bo do matematyków przyłączali się również przedstawiciele innych dyscyplin,choćby dla wyrażenia swego protestu przeciw zakładaniu nauce kagańca.

O ewentualnej alternatywnej geometrii dowiedziano się wiele. Nikt jednak niewiedział, co zrobić z faktem istnienia alternatywnych teorii jednej przecieżotaczającej nas przestrzeni.

Rozpaczliwą próbę podjęli dwaj młodzi ludzie, Rosjanin Mikołaj Łobaczewski iWęgier Janos Bolyai. Uzyskawszy szereg rezultatów opisujących tę alternatywnągeometrię, skłonni byli obrazoburczo głosić, że to ich geometria jest jedynaprawdziwa. Życie obu ich potraktowało surowo, bo obaj zakończyli je pozaspołeczeństwem i w skrajnej depresji. Ale problem, co zrobić z zaistniałąsytuacją, żądał rozstrzygnięcia.

14

Problem równoprawności geometrii

Euklidesa i Bolyai–Łobaczewkiego został

rozwiązany w 1870 roku przez Felixa

Kleina. Zauważył on mianowicie, że

jeśli jakaś teoria da się wymodelować

w innej, to jest co najmniej tak samo

niesprzeczna jak ta druga. Jeśliby

więc udało się wymodelować geometrię

Bolyai–Łobaczewsiego w geometrii

Euklidesa i geometrię Euklidesa w

geometrii Bolyai–Łobaczewskiego, to

poziom poprawności obu z nich byłby

ten sam. Po czym zrealizował oba

wymodelowania.

Napięcie było tak wielkie, że nikt nie dostrzegł wskazanego rozwiązania, cobyło tym bardziej dziwne, że zostało ono znalezione na polecenie służbowe.Carl Gauss, też zamieszany w te sprawy, polecił Bernardowi Riemannowi, abyten sprawę omówił w swoim wykładzie habilitacyjnym. Wykład ten odbył sięw 1854 roku i nosił tytuł O hipotezach leżących u podstaw geometrii. Zawierałzaś konkretne przepisy, za pomocą których można skonstruować dowolnie wielegeometrii, to jest teorii spełniających powszechnie przyjęte wobec geometriioczekiwania. Takiego rozwiązania nikt nie oczekiwał, więc wykład potraktowanojedynie jako popis błyskotliwości intelektualnej.

Czternaście lat później okazało się jednak, że złożony w bibliotece Uniwersytetuw Getyndze tekst wykładu został przez kogoś przeczytany i – na dodatek – zezrozumieniem. Tym kimś był fizyk, Hermann Helmholtz, który swoje refleksjewyraził w pracy O faktach, które leżą u podstaw geometrii. Praca zawierarozważania nad pytaniem, które z geometrii, skonstruowanych w myśl pomysłuRiemanna, mogą mieć zastosowanie w fizyce.

A całość jest podsumowana poważną refleksją wyrzucającą matematykę pozaobręb nauk przyrodniczych. Wedle Helmholtza matematyka to skrzynia znarzędziami do uprawiania przyrodoznawstwa, a każdy z jego przedstawicielimoże do tej skrzyni sięgnąć i wybrać sobie takie narzędzie, które do jegoproblemu, do obiektów, którymi się zajmuje, najlepiej pasuje i – oczywiście –którego używać potrafi.

To ostre przemieszczenie matematyki na mapie całokształtu naukipoczątkowo budziło opory i to zarówno matematyków, jak filozofów, a nawet iprzyrodoznawców. Dziś jednak zostało przyjęte i to z takim zapałem, że około70% matematyków zajmuje się produkcją owych narzędzi matematycznychdla innych nauk, czyli matematycznych modeli najróżniejszych zjawisk – odproblemów techniki, fizyki i chemii, przez genetykę, medycynę, ekonomię, pokulturę i sztukę.

Rewelacyjnie zaskakujący tekst noblisty Eugene Wignera o „zaskakującejskuteczności matematyki” jest dziś zbiorem truizmów w rodzaju rozważań ozdumiewającej skuteczności młotka przy wbijaniu gwoździ – matematyka jestskutecznym narzędziem, bo w tym celu jest i była tworzona.XI by tym pewniejszymi u zyni ' nasze kroki,ot hl/an' pod stopami ukazal/...O ile dla filozofów czy dla przyrodników istnienie różnych „matematyk”, czylialternatywnych teorii aspirujących do opisywania tych samych zjawisk stało siębezprzedmiotowe z chwilą uznania pozaprzyrodniczego charakteru matematyki,o tyle dla samych matematyków problem ich korzeni stawał się coraz bardziejważny i domagający się szybkiego wyjaśnienia.

Puszka Pandory, jaką otworzyło złamanie arystotelesowskiego zakazu używanianieskończoności aktualnej, czyli powstanie teorii mnogości, od razu zafundowałamatematykom szereg atrakcji, jakich wcale sobie nie życzyli. O ile chętnieprzystawano na fakt, że odcinek ma tyle samo punktów co prosta, to już samwinowajca, Georg Cantor, nie chciał zaakceptować udowodnionego przez siebie(!) faktu, że tyleż punktów ma kwadrat i tyleż sześcian. Odkrycie, że możeistnieć ciągłe przekształcenie odcinka 〈0, 1〉 w ten sam odcinek, które w żadnym,najmniejszym choćby przedzialiku nie jest monotoniczne, też budzi zgrozę. Aprzecież czyhały jeszcze rewelacje polegające na tym, że kulę można rozbić napięć części, z których po przemieszczeniu (bez deformacji!) powstaną dwie kuleidentyczne z wyjściową. Okrzyk „ratunku” wydawał się jedynym wyjściem, alepod czyim adresem należało wołać?

15

Taka purytańska, konstruktywna

matematyka jednak nie zginęła: okazało

się, że jest to akurat ta część matematyki,

która daje się włożyć do komputera. Tak

więc dziś owi purytanie to matematycy na

służbie u computer science.

Poszukiwanie adresata takiego wołania powołało do życia nową dyscyplinępodstawy matematyki. Jej zadaniem było wskazanie fundamentu, na którymmatematyka stoi, i do którego można by się było odwoływać w chwilizwątpienia, że to wszystko, co robimy, ma jakikolwiek sens.

Idealizm sugerujący, że matematyka jest czystą spekulacją intelektualną, a jakotaka, daje się wyprowadzić z logiki, zaowocował skonstruowaniem tak zawiłejstruktury, że żaden przyzwoity matematyk przyznać się do niej nie chciał.

Zjawili się purytanie, w matematyce nazywający się intuicjonistami (potemkonstruktywistami), którzy drogą zakazów i ograniczeń chcieli matematykęuzdrowić. Terapia zadziałała, ale usuwając z matematyki anomalne nowotwory,usunięto tyle zdrowej tkanki, że prawie nikt nie chciał się tej terapii poddawać.

Najwięcej nadziei wiązano z cynikami, którzy odmawiali matematycejakiegokolwiek widma semantycznego, traktując ją jako grę. Przybrawszy mianoformalistów wymyślili sobie coś, co się nazywało teorią matematyczną i byłoudoskonalonym i sformalizowanym wcieleniem talesowskiego ideału. Był tozatem zbiór zdań w tym sensie zamknięty, że jego zdania nie były już przyczynążadnych zdań spoza tego zbioru. Udoskonalenie polegało na narzuceniu pięciuwarunków, jakie każda taka teoria musiała spełniać. Były to: niesprzeczność,co oznacza, że z dwóch zdań przeciwnych w języku tej teorii do niej mogłonależeć co najwyżej jedno; zupełność, co oznacza, że z dwóch takich zdań doteorii należeć musi co najmniej jedno; kategoryczność, co oznacza, że dowolnedwa opisywane przez nią obiekty są izomorficzne (co oznacza, że wszystkiewłasności mają takie same); rozstrzygalność, co polega na istnieniu przepisu nasprawdzenie, czy dane zdanie należy do tej teorii czy nie; aksjomatyzowalność,co polega na tym, że istnieje skończony zbiór zdań będący przyczyną wszystkichzdań danej teorii. Nie wchodząc w szczegóły, można od razu stwierdzić, że choćda się taką pięcioprzymiotnikową teorię zbudować, żadna z przyzwoitych teoriimatematycznych takich własności nie ma.

Ogromne wrażenie zrobiło też powszechnie wymieniane (proszę się nie bać –tylko z nazwy) twierdzenie Kurta Godla (z lat czterdziestych XX wieku), któremówi, że jakkolwiek byśmy nie wzbogacali aksjomatów arytmetyki, zawsze będątakie twierdzenia, dla których nie będzie istniał dowód.

Problemy teorii mnogości straciły na znaczeniu, gdy w latach siedemdziesiątychXX wieku Paul Cohen wykazał, że większość z nich ma rozwiązanie takie,jakiego życzy sobie rozwiązujący – wszystko zależy od tego, jaką teorię mnogościsobie przysposobi (należałoby raczej powiedzieć, wymusi – metoda budowy owejteorii na żądanie nazywa się w sposób nie budzący wątpliwości: forcing).

Wszystkie te, pozornie niezwiązane fakty złożyły się na niedającą się ominąćkonstatację: nie ma żadnej takiej głębszej mądrości, dla której matematyka jestzwykłym zastosowaniem.

Płynie z tego nauka, którą niektórzy pojmują optymistycznie: możesz miećtaką matematykę, jaką chcesz, jaka ci jest potrzebna. Niektórzy wszakżepatrzą na rzecz ponuro: wyłącznie sami ponosimy odpowiedzialność za to, jakąmatematykę tworzymy – odpowiedzialność przed sobą i innymi.

Pragmatycznie rzecz ujmując matematycy, na własne życzenie dłubiąc wewłasnych wnętrznościach, odkryli, że muszą wydorośleć. I większość wydoroślała,patrząc na badaną przez siebie matematykę, jak na przyrodę cudownej,tajemniczej wyspy, gdzie można natknąć się na grzęzwiska, które nigdy niezaznały pewnika wyboru, zaplątać się w krzakach teorii grafów, galopować poprerii przestrzeni Banacha, i tak dalej i dalej . . .

W matematyce, jak w życiu, mamy swój jedyny, niepowtarzalny świat i od nastylko zależy, jak z niego będziemy korzystać, i jak będziemy umieli się cieszyćjego niezrównanym pięknem.

16

XII nas'laduja, igraszki losu, l/ad z haosem pogodzil/.Matematyka, jako wywodząca się z koncepcji wiedzy pewnej, z wątpliwościamipodchodziła do sugestii, jakoby miała się zająć również niepewnością.

Harmonia niewątpliwie poddaje się matematycznej obróbce, ale czy podda sięjej los? Pierwsza wątpliwość bierze się z pytania, czy los to dobrze zdefiniowanyabstrakt, czy też może raczej trudne do zdefiniowania zjawisko fizyczne.

Matematyka miała wątpliwości, ale matematycy mniej. Dopóki zresztą sprawaograniczała się do hazardu, można było swoje zaangażowanie traktować jakorodzaj rozrywki umysłowej. Sprawa stawała się bardziej nieoczywista jednak,gdy mniej lub bardziej otwarcie angażowali się w próby oszacowań niewątpliwielosowych sytuacji, na jakich opierały się bujnie rozkwitające od XVII wiekuloterie (to jeszcze można było podciągnąć pod hazard) i – odgrywające corazwiększą rolę – ubezpieczenia. Taka firma Lloyd stanowiła przecież w imperialnejAnglii niemal ostoję stabilności warstwy kupieckiej.

Efektywność oszacowań, jakich dopracowywali się matematyczni eksperciwspierający rozmaite gałęzie gospodarki, nie nasuwała jednak rozwiązańmogących swym standardem matematycznym równać się ze współcześnietworzoną matematyką. Bernoulli opisał prawidłowości pojawiające się przywielokrotnym powtarzaniu identycznego doświadczenia, a sto lat później Laplaceza obowiązujący model przyjmuje możliwość podzielenia każdego zdarzenialosowego na „bardzo drobne” jednakowo prawdopodobne zdarzenia elementarne,co ostro kontrastuje z precyzją i zaawansowaniem matematycznych technikużywanych potem do operowania tym modelem.

Jakichś prób matematyzacji zjawisk losowych poszukuje się przeważnie wstatystyce, nie mogąc wyjść poza utożsamianie prawdopodobieństwa z częstościąwystępowania jakiegoś zjawiska.

I w tym miejscu matematyka wchodzi w związki z fizyką. O ile jednak przybadaniu zmienności fizyka dostarczyła bardzo prostego, wzorcowego modelu,tutaj stanowiła raczej wyrzut sumienia dla starającej się pod koniec XIX wiekusprostać jej zamówieniom matematyki.

Rozwijająca się fizyka statystyczna domagała się sprawnych matematycznychnarzędzi. Fizyka zjawisk atomowych wskazywała potrzebę ogólnych metod,gdy posługiwała się trzema aż statystykami: Maxwella–Boltzmanna,Bosego–Einsteina, Fermiego–Diraca. A matematycy nie byli w stanie wyjśćpoza ogólnikowe obietnice: David Hilbert w swoim wykładzie programującymmatematykę XX wieku stwierdza: „należałoby zaksjomatyzować niektóre działyfizyki, na przykład rachunek prawdopodobieństwa”, wypychając tym samymprobabilistykę poza obręb matematyki.

Przełamanie jest zaskakujące dla wszystkich: Andriej Kołmogorow stwierdza,że prawdopodobieństwo to po prostu miara unormowana, a więc obliczana przyzałożeniu, iż za miarę całości przyjmujemy 1.

I tak niespełna 80 lat temu rodzi się najmłodsza gałąź matematyki. Rachunekprawdopodobieństwa podbija od tego czasu prawie wszystkie obszarymatematyki. Bowiem wszyscy odkrywają coraz pełniej to, co matematykatym sposobem zyskała: mierząc, uzyskujemy możność uzyskiwania pewności zniepewności.

Zjawisko znane od dawna z termodynamiki: nie wiemy, jak poruszają siępojedyncze cząsteczki, wiemy jednak, że wynikają z tego kategoryczne prawazapewniające niezawodne funkcjonowanie urządzeń energetycznych, znajdujezastosowanie nawet w sposobie dowodzenia twierdzeń – Pal Erdos dowodziistnienia pewnych obiektów, obliczając, że prawdopodobieństwo trafienia na niejest większe od zera. Na przeciwnym biegunie powstaje teoria ergodyczna.

17

Pokonanie lęku przed stosowaniem metod matematyki w procesie uzyskiwaniapewnych wniosków z niepewnych danych skutkuje wejściem matematyki wewszelakiego rodzaju obszary, których główną cechą jest niestabilność. Sławny„efekt motyla” – ostra zależność przebiegu zjawiska od minimalnych wahnięćparametrów początkowych – nie jest obecnie już stwierdzeniem bezradności –zaczynamy panować nad nieopanowanym. Wiemy, jak wiele możemy wiedzieć,nie wiedząc wszystkiego. Zaczynamy widzieć ład w chaosie.

Nic już nie jest w stanie nam się oprzeć. Tak przynajmniej sądzimy.

DąbZupNa zakończenie przestroga

Nie każdy, czytając te opowiastki, znajduje w nich swoją mitologię matematyki.Dobrze jednak, gdy stwierdza – ja mam inną. Gdy jednak stwierdzi, że żadnejnie ma – powinien się zaniepokoić.

Albowiem – jak twierdzi Apokalipsa – przyjdą fałszywi prorocy i cuda czynićbędą. A przecież to my jesteśmy odpowiedzialni nie tylko za to, jaka będziematematyka i jacy będą matematycy. Ponosimy również odpowiedzialność zato, jak matematykę postrzegają inni.

18


TI W NAUCZANIU MATEMATYKI

Magdalena Kucio, Marzena Płachciok (Kraków)

Matematyczne „ziarenka” z komputerem

Streszczenie

Artykuł stanowi opis zadań, jakie zostały zaprezentowane podczas zajęć, a ich treść zaczerpnięta została

z publikacji pt. „Ziarenka matematyczne”. Podczas prezentacji wykorzystane zostały programy komputerowe

oraz tablica interaktywna. Narzędzia te mogą bowiem ułatwić znalezienie różnych rozwiązań oraz postawienie

nowych hipotez i ich weryfikację. Publikacja jest ponadto zbiorem spostrzeżeń i wniosków, jakie są owocem

dyskusji wynikłych podczas zajęć, a także zawiera uwagi i sugestie, które mogą pomóc w pracy z uczniami

podczas rozwiązywania opisywanych zadań.

Jak doskonale wiemy, uczenie się i nauczanie matematyki mocno opiera sie na

rozwiązywaniu róznego typu zadań. Są one nieodłącznym i stałym elementem właściwie

każdej lekcji. Rozwiązujemy je razem z uczniami, pozwalamy im na samodzielną pracę,

organizujemy pracę w grupach itp, a wszystko po to, aby odkrywać, utrwalać, ćwiczyć

określoną wiedzę i umiejętności. Opieramy się na gotowych zbiorach zadań, bądź układamy

sami ich treść. Jednym z gotowych opracowań zawierających dużą bazę ciekawych zadań jest

pozycja pt. „Ziarenka matematyczne” wydana po raz pierwszy w latach 1991-92 przez

tworzące się wówczas Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki. Cztery książki, jakie trafiły

na polski rynek są tłumaczeniem popularnego angielskiego zbioru problemów

matematycznych „Points od Departure”. Okazuje się, że dotarcie w chwili obecnej do

wspomnianej publikacji nie jest proste, jednak wydaje nam się, że warto podjąć ten trud

i zajrzeć do książeczek z tego cyklu. Dlaczego? Ponieważ znajdują się tam ciekawe zadania,

nazywane właśnie „ziarenkami”. Są to niestandardowe problemy, otwarte i nie posiadające

schematycznych rozwiazań. Pozwalają one wprowadzić w praktykę szkolną sugestię prof.

A. Z. Krygowskiej, które pisała niegdyś, że każdy uczeń powinien przeżyć przygodę

matematyczną na swoją miarę, od uczucia zniewolenia przez problem do uczucia wyzwolenia

po jego rozwiązanie [1].

Praca z uczniami podczas rozwiązywania „ziarenek” wymaga od nauczyciela

wcześniejszego przygotowania, analizy problemu. Otwartość zadań powoduje, że na drodze

poszukiwania rozwiązania można podążać w różnych kierunkach. Ponieważ uczniowie nie są

zazwyczaj przyzwyczajeni do rozwiązywania tego typu zadań, dlatego zajęcie się nimi

wymaga wcześniejszego wprowadzenia w problematykę i metodologię pracy. Ponadto przy

wizualizacji pewnych zagadnień pomocne może okazać się wykorzystanie programów

komputerowych i/lub tablicy interaktywnej. Pokazanie właśnie takiego podejścia do

rozwiązywania „ziarenek” było ideą prowadzonych przez nas zajęć. Ze względu na charakter

omawianych zadań nie jesteśmy w stanie podać całkowicie gotowych rozwiązań, czy też

przepisu – jak pracować z danym zadaniem. Postaramy się jednak przedstawić kilka

pomysłów zadań, narzędzi multimedialnych, jakie można przy okazji jego rozwiązywania

wykorzystać, a także podzielić się naszymi spostrzeżeniami i wnioskami, jakie mogłyśmy

poczynić podczas prowadzonych zajęć.

Na początku zaproponowałyśmy rozwiązanie następującego zadania:

Poprowadź łamaną składającą się z 4 odcinków przez 9 punktów (rys 1).

Rys. 1

Przedstawiony powyżej problem okazał się dla naszych słuchaczy niejednoznaczny.

Warto zastanowić się, dlaczego mogą pojawić się różne rozwiązania takiego zadania. Przede

wszystkim w treści zadanie nie zostało powiedziane, że łamana ma przejść przez wszystkie

punkty przedstawione na rysunku. Za poprawne rozwiązanie może zostać uznane rozwiązanie

pierwsze (rys. 2). Natomiast jeżeli pozwolimy na „wyjście” poza prostokąt, jaki jest

wyznaczony przez zadane punkty i stwierdzimy, że łamana ma przechodzić przez wszystkie

punkty, rozwiązaniem poprawnym jest rozwiązanie drugie (rys. 2).

Rys. 2

Dla lepszego zobrazowania, przedstawienia tego problemu podczas zajęć

wykorzystane zostały możliwości tablicy interaktywnej. Zaletą tego narzędzia jest bez

wątpienia możliwość pokazania wielu prób w krótkim czasie. Wykorzystanie tablicy pozwala

na rysowanie łamanej na przygotowanym wcześniej rysunku z punktami. Podczas zajęć

z uczniami mamy również możliwość wcześniejszego przygotowania kilku takich planszy,

dla grup pracujących w klasie.

Powyższy problem stanowił wstęp do omawianych później zadań i zgodnie z naszymi

oczekiwaniami spełnił swoją rolę – wzbudził w uczestnikach ciekawość i zainteresowanie.

Kolejnym zadaniem było już zadanie – „ziarenko”1:

Te szlaczki składają się z kwadratów i są pomalowane dwoma kolorami:

Rys. 3

Dwa szlaczki są równoważne, gdy za pomocą obrotów i odbić lustrzanych można je na siebie

nałożyć. Ile różnych szlaczków można ułożyć z pięciu kwadratów? Zbadaj to dla szlaczków

różnej długości i różnej liczby kolorów oraz dla pierścieni ułożonych z kwadratów [2].

Na początku pracy z tym zadaniem uczestnicy zajęć otrzymali kolorowe kwadraciki

i przystąpili do rozwiązywania go w sposób tradycyjny. Omawiany był problem różnych

ułożeń szlaczków z pięciu kwadratów. Tak jak podczas pracy z uczniami, tak i w tym

przypadku zaczęły pojawiać się dodatkowe pytania. Czy szukamy pary prostokątów, czy

pojedynczego ciągu kwadratów? Czy stosunek kolorowych kwadratów musi być 2:3? Czy

znaczenie ma położenie prostokątów? I wiele innych…

Odpowiedzi, jakie można uzyskać na postawione pytania, w sposób oczywisty

determinują dalszą pracę z zadaniem. Określają drogę do rozwiązania, kierunek

rozumowania, w jakim zaczyna się podążać. Rozwiązania zadania uzyskane w każdym

z przypadków mogą się więc znacząco różnić. Uznając bowiem, iż położenie dwóch

szlaczków ma znaczenie, to zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. W takiej koncepcji

rozpatrzenie różnej odległości pomiędzy szlaczkami powoduje uzyskanie nowego

rozwiązania. Inna interpretacja treści zadania pozwala z kolei na zawężenie liczby rozwiązań.

1 Treść zadań podawana jest w oryginale, za tekstem zaczerpniętym z „Ziarenek matematycznych”

Przykładowe rozwiązanie tego zadania, gdy przyjmiemy, że wyjściowy zestaw kwadratów to

2 niebieskie i 3 bordowe przedstawia rysunek (rys 4).

Rys. 4

Podczas zajęć wykorzystane zostało także interaktywne narzędzie przygotowane

wcześniej za pomocą programu GeoGebra2. Wprowadzenie tego elementu pozwoliło na

rysowanie w krótkim czasie wielu kwadratów, kolorowanie ich i przemieszczanie na

płaszczyźnie – tworzenie omawianych szlaczków. Następnie uczestnicy zajęć zmierzyli się

z analogicznym problemem dla pierścieni. Tak jak było w przypadku szlaczków, tak i tym

razem inwencja twórcza naszych słuchaczy nie zawiodła nas. Pojawiło się wiele twórczych

spojrzeń na zadany problem. Pytania dotyczyły ilości kwadratów, stosunku kolorów i przede

wszystkim określenia, jak może wyglądać pierścień ułożony z kwadratów.

Kolejne z omawianych zadań przedstawione zostało jako gra w zapałki:

Dwie osoby zabierają na zmianę zapałki zgodnie z następującymi zasadami:

a. Zawodnik rozpoczynający grę nie może wziąć wszystkich zapałek.

b. Zawodnik może zabrać nie więcej niż dwa razy tyle co jego poprzednik w poprzednim

ruchu.

Osoba biorąca ostatnią zapałkę wygrywa. Zbadaj grę. [2]

Już samo sformułowanie problemu zadane przez autora było dla wszystkich

zaskoczeniem. Z pewnością nie jest to przykład typowego polecenia, jakie stawia się na co

dzień przed uczniami. Przede wszystkim trzeba się zastanowić, co tak właściwie oznacza

„zbadanie gry”. Pomysły mogą być różne, ale wydaje się, że rozwiązując to zadanie trzeba

przede wszystkim postarać się zrozumieć zasady gry, a to najlepiej pokazuje praktyka.

Uczestnicy zajęć po dobraniu się w pary otrzymali pudełka z zapałkami i zaczęli grać. Ci

natomiast, którzy chcieli podzielić się ze wszystkimi swoimi spostrzeżeniami mogli zagrać

w grę interaktywną na tablicy (rys. 5).

2 Bezpłatne oprogramowanie matematyczne do samodzielnego uczenia się i nauczania na każdym poziomie

edukacyjnym. Pozwala na tworzenie interaktywnych materiałów edukacyjnych. Program dostępny na stronie:

www.geogebra.org

Rys. 5

Pytania, jakie były stawiane przy okazji tego zadania dotyczyły przede wszystkim

strategii wygrywającej. Czy istotne jest, kto rozpoczyna grę? Ile zapałek nie wolno zabrać,

aby nie zagwarantować przeciwnikowi wygranej? Czy podczas gry następuje moment, kiedy

wynik jest już właściwie przesądzony? To tylko niektóre pytania, o których wspólnie

dyskutowaliśmy. Jednak najciekawsze wydaje nam się badanie gry w zależności od ilości

wyjściowo wykorzystywanych zapałek, gdyż nie jest to określone w treści zadania. I chociaż

na wiele pytań nie ma jasnych odpowiedzi, to z pewnością poza „gimnastyką umysłu” analiza

gry przynosi także dużo dobrej zabawy.

Ostatnim z omawianych przez nas zadań był problem nazwany „gadami”:

Kwadraty można tak połączyć, aby utworzyły większą figurę o takim samym kształcie (rys. 6).

Takie figury nazywamy gadami. Czy potrafisz znaleźć jakieś inne gady? [2]

Rys. 6

W „Ziarenkach matematycznych” pokazane są od razu inne przykłady kształtów

o opisanej własności. My jednak postanowiłyśmy zdać się na inwencję twórczą naszych

słuchaczy, która i tym razem nas nie zawiodła. Wśród odkrytych „gadów” można było

wymienić trójkąty równoboczne, prostokąty i równoległoboki (o określonym stosunku

długości boków), a także romby. Ciekawymi przykładami mogą okazać się także trapezy

równoramienne, a także sześciokąty w kształcie litery L (rys. 7).

Rys. 7

Właśnie dlatego dwóm ostatnim figurom postanowiłyśmy poświęcić nieco więcej

uwagi. Przede wszystkim nie są to kształty standardowe, które łatwo odkryć. Zwrócenie na

nie uwagi może pokierować myśli, rozumowanie osoby rozwiązującej problem na zupełnie

nowe, inne tory. Poza tym po stwierdzeniu faktu, że jakaś figura posiada własność „gada”

mamy możliwość dyskusji między innymi o tym, ile figur potrzebujemy, aby stworzyć

większy kształt oraz jak mają być ułożone elementy składowe. W tym procesie również

pomocne może okazać się wykorzystanie narzędzi tablicy interaktywnej. Dzięki nim możemy

stworzyć interaktywne „klocki”, elementy wirtualnej układanki. Zapewne niejednokrotnie

każdy z nas mógł się przekonać, że wykorzystanie tego typu rozwiązań czyni zajęcia dużo

żywszymi i ciekawszymi dla odbiorców.

Przygotowując opisywane zajęcia i opracowując niezbędne materiały założyłyśmy

sobie do osiągnięcia jeden główny cel. Chciałyśmy podzielić się z innymi nauczycielami

naszymi pomysłami na to, jak przekonać uczniów, że matematyka nie musi być trudna i

niezrozumiała, a wręcz przeciwnie – ciekawa, twórcza, „żywa”. Wydaje nam się. że

„Ziarenka matematyczne” mogą być w tym bardzo pomocne. Pozwalają na dowolność i

różnorodność interpretacji, twórcze myślenie, własne i niestandardowe spojrzenie na zadanie.

Jeśli doceniamy podejmowane przez ucznia próby, zauważamy ciekawe spostrzeżenia

poczynione przez niego, dajemy mu poczucie osiągniętego sukcesu. A czy jest coś, co może

lepiej zmotywować ucznia do aktywnej pracy i nauki?

Literatura

[1] Krygowska A. Z.: „Zarys dydaktyki matematyki cz. 3”, Wydawnictwo Szkolne

i Pedagogiczne, Warszawa 1977.

[2] „Ziarenka matematyczne” – wybór David Cain, wydane przez Stowarzyszenie Nauczycieli

Matematyki, Bielsko-Biała 2005.

Magdalena Kucio

Gimnazjum nr 9 w Krakowie

[email protected]

Marzena Płachcioch

ZSOI nr 4 w Krakowie

[email protected]



Anna Ząbkowska-Petka i Zofia Miczek (Chorzów)

Dzisiaj nie liczymy, dzisiaj gramy.

Propozycje gier dydaktycznych Streszczenie

Warsztaty miały na celu przedstawienie uczestnikom kilku propozycji gier, które można zastosować na

lekcjach matematyki . Przedstawione gry były dostosowane do różnych poziomów nauczania - od przedszkola

do gimnazjum. Zaprezentowałyśmy uczestnikom warsztatów pomysły gier i zabaw matematycznych, które

nauczyciel może dostosować do swoich potrzeb zmieniając na przykład trudność zadań i poleceń. Zebrano

opinie uczestników warsztatów na temat przedstawionych gier i zabaw, gdyż w przyszłości planujemy

opracowanie zbioru gier dydaktycznych, który służyłby nauczycielom w ich pracy. Zebrane w zbiorze pomysły

mogłyby uczynić prowadzone lekcje bardziej atrakcyjnymi dla ucznia. Opinie i podpowiedzi nauczycieli -

uczestników warsztatów na pewno wpłyną na lepszą jakość tworzonego materiału, za co serdecznie dziękujemy

wszystkim obecnym na naszych zajęciach.

1. ZNAJDŹ MÓJ CIEŃ

Zabawa przeznaczona dla dzieci 3-6 lat.

Potrzebne kolorowe obrazki z przedmiotami, roślinami, zwierzętami oraz obrazki

z cieniami. Chcemy aby dzieci rozpoznawały postać, bądź przedmiot, jedynie po jego kształcie i

potrafiły dostrzec szczegóły obrazu.

Zabawa indywidualna przy stoliku.

Nauczyciel rozdaje dzieciom kolorowe obrazki z przedmiotami, roślinami lub zwierzętami

i prosi żeby spośród różnych cieni wybrano cień danej postaci bądź przedmiotu. Dla każdego

kolorowego obrazka są przygotowane trzy cienie różniące się niewielkimi szczegółami.

Uwagi

1. Dzieci młodsze wyróżniają cień prostych przedmiotów.

2. Obrazki i cienie nauczyciel może dobierać sam.

Przykład 1

Dzieci otrzymują kolorowe obrazki z domkiem, drzewkiem, grzybkiem. Nauczyciel daje każdemu

dziecku karteczki z cieniami i prosi o dołożenie do odpowiedniego obrazka. Obrazków z cieniem jest

więcej aby dzieci dokonywały obserwacji i wyboru.

Przykład 2

Każde dziecko dostaje wyciętą z kartonika np. zieloną żabką oraz trzy obrazki z jej cieniem. Nauczyciel

prosi o wskazanie, który obrazek jest cieniem.

2. POTRAFIĘ SIĘ SZYBKO USTAWIĆ

Gra przeznaczona dla dzieci 3 – 6 lat.

W trakcie gry dziecko:

stosuje w sytuacjach praktycznych określenia przestrzenne typu: za, przed, między, obok z

lewej strony, z prawej strony;

rozpoznaje i nazywa części ciała;

umiejętnie przemieszcza się w przestrzeni;

uważnie słucha poleceń nauczyciela;

współdziała w parze lub w małej grupie; dostarcza radości drugiej osobie

Zabawa z całą grupą lub w parach.

Nauczyciel prosi dzieci, aby dobrały się w pary. Jedno dziecko dostaje czapeczkę

jednego koloru drugie drugiego innego koloru i zakładają sobie wzajemnie na głowy.

Następnie nauczyciel prosi, aby dzieci podzieliły się czynnościami ( według koloru

czapeczek), które będą wykonywać. Jedno z nich będzie stało spokojnie a drugie zajmuje

pozycję w podany przez nauczyciela sposób. Nauczyciel wydaje polecenia typu: „stań za

kolegą i połaskocz go”, „stań obok kolegi przy jego prawej ręce i poklep go po ramieniu” itp.

Po serii poleceń nastąpi zmiana.

Uwagi

1. Polecenia dostosowujemy do wieku dzieci.

2. Obserwujemy, które dzieci mają problem z szybką orientacją w przestrzeni.

Inna wersja: „Potrafię się szybko ustawić”

Całą grupę dzieci dzielimy na dwa zespoły i wyróżniamy każdy z nich. Jedna grupa

dostaje np. korony, a druga opaski na głowę. Nauczyciel staje w centralnym punkcie sali

i prosi

1. Wszystkie korony ustawiają się jedna obok drugiej po mojej lewej stronie,

a wszystkie dzieci z opaskami na głowie ustawiają się po prawej stronie.

2. Wszystkie dzieci z opaskami na głowie ustawiają się jeden za drugim za mną, a dzieci z

koronami przede mną.

3. Wszystkie dzieci otaczają mnie kółkiem tak, że korony są przede mną a opaski za mną.

4. Wszystkie dzieci otaczają mnie kółkiem tak, że dzieci w koronach i dzieci

w opaskach stoją na przemian. Czy ktoś nie znalazł miejsca?

5. Wszystkie dzieci otaczają mnie kółkiem tak, że co dwoje dzieci w opaskach jest jedno

dziecko w koronie. Czy ktoś nie znalazł miejsca?

Nauczyciel może sam tworzyć inne wersje tej zabawy.

3. UBIERAMY LALKĘ

Zabawa przeznaczona dla dzieci 4-5 letnich.

Celem zabawy jest rozwijanie intuicji probabilistycznych.

Każde dziecko dostaje sylwety lalek po cztery dla każdego dziecka;

sylwety ubranek w dwóch kolorach dla każdego dziecka: dla dziewczynki spódniczka, bluzka – po 3

żółte i 3 niebieskie, dla chłopca spodnie, koszula – po 3 żółte i 3 niebieskie.

Opis zabawy

Nauczyciel prosi aby dzieci ułożyły lalki na dywaniku przed sobą. dziewczynki mają

dziewczynkę, chłopcy chłopca. Każda lalka chciałaby mieć ubranko. Ubierz lalkę tak, aby

każda była inaczej ubrana. Nauczyciel obserwuje jak dzieci organizują sobie rozwiązanie tego

problemu.

Uwagi

1. Po zakończeniu zabawy nauczyciel rozmawia z dziećmi jak organizowały sobie ubieranie lalek. Ile

różnych ubiorów znalazły.

2. Zabawę można rozszerzyć dodając kolor lub części garderoby. Wtedy dokładamy sylwetki

lalek i części garderoby.

3. Zabawa może być wykorzystana dla dzieci starszych, wtedy nie mamy lalek ale na

przykład kolorowe krążki, pudełka.

4.

Można wprowadzić element współzawodnictwa, które dziecko najszybciej rozwiąże problem

i wtedy mamy grę.

4. PIĘĆ KROKÓW DO CELU

Gra przeznaczona dla uczniów 4-6 SP

Gra rozwija sprawność rachunkową, utrwala rozwiązywanie równań, wymaga zastosowania

porównywania wielkości liczbowych, własności sumy i iloczynu liczb, wiedzy o własnościach

kwadratu.

Zespół uczniów dzielimy na grupy 5 osobowe. Cztery osoby rozwiązują problemy a piąta pełni funkcję

eksperta.

Który zespół i która osoba w zespole pierwsza dojdzie do mety wygrywa.

Organizacja pracy

czas trwania: 10 do 20 minut ( w zależności od ilości i trudności poleceń)

konieczne rekwizyty: plansza do gry i 4 pionki i pusta kartka do pisania odpowiedzi

prezentacja wyników: uczniowie zwycięzcy przedstawiają poprawne odpowiedzi

Zasady gry

Zespół uczniowski dzielimy na grupy 5 osobowe, jedną osobę wyznaczamy jako eksperta.

Ekspert otrzymuje kopertę z poprawnymi odpowiedziami, pozostali uczestnicy wybierają kolor pionka

i siadają przy stoliku z planszą. Każdy uczestnik otrzymuje zestaw 5 kopert z problemami do

rozwiązania. Na sygnał nauczyciela każdy uczestnik otwiera kopertę numer 1, rozwiązuje problem,

pokazuje ekspertowi swoją odpowiedź i jeżeli jest poprawna przesuwa swój pionek o jedno pole,

otwiera kopertę numer 2 i tak aż do mety. Jeżeli odpowiedź nie jest poprawna uczeń wraca na

miejsce i poprawia. Grę możemy zakończyć, kiedy pierwszy zespół dojdzie do mety albo kontynuować

aż wszyscy zakończą.

Uwagi:

polecenia w kopertach mogą być takie same dla wszystkich uczestników albo zróżnicowane, ale o

tej samej skali trudności;

polecenia mogą dotyczyć różnych problemów albo jednego, na przykład: własności trójkątów,

obliczenia liczbowe, rozwiązywanie równań lub nierówności itd.;

uczestnicy otrzymują tylko kopertę numer 1 i dopiero po sprawdzeniu poprawności odpowiedzi

przez eksperta dostają następną kopertę;

gra może mieć trzy kroki, albo więcej niż pięć - wg uznania nauczyciela.

Przykład problemów do rozwiązania

Zadanie 1

Oblicz ( 8 ∙ 12 - 48÷ 3) ∙ 5 =

Zadanie 2

Obwód kwadratu ma 172 cm długości. Oblicz pole powierzchni tego kwadratu i podaj w dm².

Zadanie 3

Wstaw jeden ze znaków <, =, > aby otrzymać prawdę

a) 4½ ……… 4,5

b) 2,1 ∙ ½ ……2,2 ∙ ¼

c) 5 - 3¾ ……… 1,25

Zadanie 4

Która wypowiedź jest fałszywa?

a) Jeżeli jeden ze składników zwiększymy o 5 a drugi pozostawimy bez zmian to ich suma

zwiększy się o 5.

b) Jeżeli jeden z czynników zwiększymy o 5 a drugi pozostawimy bez zmian to ich iloczyn

zwiększy się o 5.

Zadanie 5

Liczba 2 jest rozwiązaniem równania…

a) 3x – 2( x + 1) = 5

b) 3( x – 2) = 2( 5 – x)

c) 3( x + 2) – 2( 4 + x) = 0

Odpowiedzi

Zad. 1

( 96 – 16)∙ 5 = 400

Zad. 2

172÷4 = 43 w cm i 4,3² = 18,49 w dm²

Zad. 3

a) = b) > c) =

Zad. 4

fałszywa wypowiedź „ b”

Zad. 5

równania „c”

5. WYKREŚLANKI

Gra przeznaczona dla uczniów 4-6 SP

Wykreślanki stanowić powinny tylko pewien pomysł. W każdej z nich można wykorzystać inne

działania. Można dobrać hasło wg własnych potrzeb. Działań może być więcej lub mniej. Pierwsza

wykreślanka dotyczy dzielenia w pamięci, a druga zależności pomiędzy jednostkami długości.

Wykreślankę otrzymuje każdy uczeń i samodzielnie wykonuje polecenie tak by otrzymać hasło.

WYKREŚLANKA 1

Opis gry:

Skreśl w tabeli liter litery odpowiadające wynikom sześciu działań umieszczonych w pierwszej

tabeli. Litery pozostałe w tabeli liter utworzą hasło.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

24 : 4 30:6 39:3 45:5 48 :6 56 : 8

Tabela liter

4 5 8 3 19 9 6 2 7 11 13 12

B S U A N M E A R C Z H

WYKREŚLANKA 2

Opis gry

Każda kolumna tabeli zawiera dwie miary długości oraz literę. Jeżeli długości zawarte w tej

samej kolumnie nie są równe, literę należy skreślić. Z nieskreślonych liter należy odczytać hasło.

D E S K A R L P G A

27 km 2700m 35m 2km 5m 17dm 0,5m 3cm 9km 80mm

2700m 270cm 3500cm 2000m 500cm 170mm 50cm 300mm 90m 8cm

6. MINI WYNIK

Gra przeznaczona dla uczniów gimnazjum.

Klasę należy podzielić na cztero-osobowe grupy. Każda grupa otrzymuje zestaw 4 liczb

wymiernych (może tych liczb być więcej). Z otrzymanych liczb należy ułożyć działanie o jak

najmniejszym wyniku. Można używać wszystkich czterech działań oraz nawiasów. Każda z liczb musi

być użyta tylko raz. Użycie nawiasów może być dozwolone albo nie,

w zależności od zamysłu nauczyciela.

Na przykład z liczb: 7; -5; 0,25 ; -2 uczniowie mogą ułożyć następujące działania:

19625,0)25(7

Uczniowie czasami podają mniejsze wyniki, ale zazwyczaj wiąże się to z tym, że popełnili błąd

rachunkowy. Propozycje działań podane przez uczniów warto przeliczyć na tablicy. Konkurencyjne

grupy są bardzo czujne i skutecznie wychwytują wszelkie błędy w rachunkach. Może się oczywiście

zdarzyć, że przygotowując liczby do zabawy nauczyciel nie znajdzie najmniejszego wyniku, a znajdą go

uczniowie. Jest to moim zdaniem powód do radości. Czy nie o to chodzi, żeby tak wykształcić naszych

wychowanków, aby przerośli swoich mistrzów.

7. OD RACHUNKÓW DO PIĘKNYCH MYŚLI

Gra przeznaczona dla uczniów gimnazjum

Gra polega na tym, aby każdy uczeń w klasie wylosował z zestawu i rozwiązał jedno (lub

więcej) równanie. Rozwiązania równań są liczbami naturalnymi od 1 do 27. Jeśli uczeń w wyniku

rozwiązania równania otrzyma np. c=6, to w przedstawionej poniżej tabeli wpisuje literę c nad liczbą

6.

C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Jeśli rozwiązania wszystkich równań zostaną wpisane do tabeli zgodnie z przedstawioną

powyżej zasadą, otrzymamy hasło – „złotą myśl”. W prezentowanym zestawie hasło brzmi: „Kto

niczego nie żąda ma wszystko.” Liczbę liter w haśle można dobrać w zależności od liczebności klasy.

Zawsze warto przygotować kilka równań więcej, niż mamy uczniów w danym zespole. Zdolni

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

uczniowie zdążą rozwiązać po dwa równania i nie będą się nudzili. Jeśli jakiś uczeń popełni błąd,

łatwo to wychwycić. Jeśli w haśle znajdzie się niewłaściwa litera wystarczy zapytać, kto otrzymał

wynik, który odpowiada błędnie wpisanej literze. Trudniejsze równania można rozwiązać na tablicy.

Poniżej przedstawione są równania, do wykorzystania w opisanej grze.

Anna Ząbkowska-Petka, nauczycielka w Zespole Szkół Sportowych nr 1 w Chorzowie

[email protected]

Zofia Miczek, emerytowana nauczycielka matematyki

zofia.miczek@wp

82230

62

1

101

10203

20)1(2

312

1

1512

23

255

352

63

15

1113

1082

k

i

n

o

g

e

z

c

i

n

o

t

k

4240

720

234

322

82)1(

3022

309

11

250

365,1

203

122

121

50102

120

m

e

a

d

ą

ż

o

t

s

y

z

s

w

a



Jerzy Nowik (Opole)

Ocena opisowa z matematyki, czyli co

powiedzieć uczniowi i rodzicom o osiągnięciach

ucznia

Streszczenie

W edukacji wczesnoszkolnej stosowana jest tzw. ocena opisowa. W opracowaniach metodycznych

akcentuje się jej znaczenie wychowawcze i dydaktyczne. Przedstawiam wybrane aspekty dydaktycznej

strony oceny opisowej z matematyki na podstawie obserwacji i wstępnych badań umiejętności

posługiwania się oceną opisową przez nauczycieli, a w szczególności informowania ucznia i rodziców o

rzeczywistym poziomie opanowania umiejętności w klasach I-III.

W opracowaniu wykorzystałem fragmenty referatu wygłoszonego na Konferencji Diagnostyki

Edukacyjnej w Toruniu w 2010 r.

Wstęp

W edukacji wczesnoszkolnej (nauczaniu zintegrowanym) przed kilkunastu laty

wyeliminowano ocenę stopniową. Zastąpiona została tzw. oceną opisową na mocy

rozporządzenia MEN z dnia 19 kwietnia 1999 r. (Dz. U. Nr 41 poz. 4133).

Prowadząc zajęcia z edukacji matematycznej na poziomie edukacji elementarnej

dla studentów oraz współpracując z nauczycielami klas I-III oraz starszych klas szkoły

podstawowej, zastanawiałem się nad konsekwencjami wprowadzenia oceny opisowej.

Postawiłem sobie szereg pytań, m.in.:

1. Dlaczego zrezygnowano z oceny stopniowej?

3 1. Obecnie obowiązuje Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie warunków i sposobu

oceniania, klasyfikowania i promowania uczniów i słuchaczy oraz przeprowadzania egzaminów i

sprawdzianów w szkołach publicznych z dnia 21 marca 2001 roku (Dz. U. Z 6 kwietnia 2001 r. Nr 29, poz.

323); znowelizowane 6 listopada 2002 r. w części nie dotyczącej oceniania w kształceniu zintegrowanym

2. Jaką funkcję pełni ocena opisowa wobec ucznia, rodziców i nauczycieli? (W

założeniu)

3. Czy nauczyciel potrafi trafnie i rzetelnie sprawdzać osiągnięcia swoich

uczniów?

4. Czy nauczyciel potrafi pomóc uczniowi na podstawie oceny opisowej?

5. Czy nauczyciel współpracuje z rodzicami, wykorzystując ocenę opisową –

informację o umiejętnościach i brakach dziecka?

6. Jakie są konsekwencje stosowania oceny opisowej?

7. Jaka jest wiedza i umiejętności nauczycieli w zakresie diagnostyki edukacyjnej?

8. Czy istnieje potrzeba kształcenia nauczycieli edukacji elementarnej w zakresie

diagnostyki edukacyjnej?

Na niektóre pytania do dziś nie znam odpowiedzi, a o niektórych spróbuję się

wypowiedzieć na podstawie obserwacji pracy nauczycieli edukacji elementarnej

i prowadzonych z nauczycielami zajęć warsztatowych oraz zajęć dydaktycznych z

edukacji matematycznej dla studentów edukacji elementarnej (dawniej kształcenie

wczesnoszkolne).

Dlaczego zrezygnowano z oceny stopniowej?

Podstawowy problem oceniania małego dziecka zawierał się nie w samej ocenie,

lecz w ocenie negatywnej, niskiej. Dziecko, idąc do szkoły, miało nadzieję, że będzie

„dostawać piątki i szóstki”. Rzeczywistość okazywała się mniej sympatyczna, bo

zdarzały się przypadki ocen niskich, a nawet niedostatecznych w początkowej fazie

uczenia się. Takie postępowanie nauczyciela uznane zostało za błąd dydaktyczny.

Ocena stopniowa bez jakiegokolwiek wyjaśnienia, bez określenia zakresu opanowanych

umiejętności, była liczbą określającą położenie ucznia na „jakiejś” nieznanej mu skali.

Dlatego słuszne jest to, co twierdzi Anna Brzezińska4, że ocenianie możemy uznać za

DOBRE, gdy dostarcza informacji zwrotnych, płynących od innych ludzi, a także od

samego siebie. Od najwcześniejszego dzieciństwa dostarczane są dziecku informacje

zwrotne, np.: ładnie jesz, brawo, ale inaczej trzymaj łyżkę, itp. Są one potrzebne, gdyż

4 A. Brzezińska., E. Misiorna: Istota i sens oceniania dziecka w młodszym wieku szkolnym [w:] Ocena

opisowa w edukacji wczesnoszkolnej, WOM, Poznań 1998

tylko wtedy możliwe jest wprowadzenie zmian do sposobów działania. Szczególnie

nauczyciele nauczania zintegrowanego powinni pamiętać o takim sposobie oceniania,

gdyż jest on zrozumiały dla każdego ucznia i niestresujący.

Ocena opisowa nie rozwiązała jednak problemów oceniania szkolnego na poziomie

edukacji wczesnoszkolnej, na co zwraca uwagę B. Niemierko w Podręczniku skutecznej

dydaktyki.5

Jakie funkcje pełni (powinna pełnić) ocena opisowa wobec uczniów, ich rodziców

i nauczycieli?

W koncepcji oceniania na poziomie edukacji wczesnoszkolnej Anna Brzezińska6

w ocenie opisowej wyróżnia się trzy funkcje:

* informacyjną – co dziecku udało się poznać, zrozumieć, opanować, nauczyć. Jakie

dziecko zdobyło umiejętności, co już potrafi?

* korekcyjną – co już ma opanowane, nad czym ma popracować, co powinno

zmienić?

* motywacyjną – zachęca do podejmowania dalszego wysiłku, stwarza nadzieję na

osiągnięcie sukcesu, wskazuje możliwości dokonania zmian na lepsze.

Znaczenie słów użytych do określenia funkcji oceny opisowej jest doskonale

znane z wykładu dydaktyki, nie ma zatem powodu do ich objaśniania i komentowania.

Ważne jest jednak to, że funkcja informacyjna wiąże się nie tylko z uczniem, lecz

również z jego rodzicami, którzy są, a przynajmniej powinni być, stroną bardzo

zainteresowaną w poznawaniu rzeczywistych umiejętności dziecka oraz sposobu

współpracy z dzieckiem i szkołą, by niwelować ewentualne niedostatki. Nauczyciel

musi zatem bardzo dokładnie poznać umiejętności swoich uczniów i umieć je przekazać

zainteresowanym stronom wraz z odpowiednimi zaleceniami sposobu postępowania –

postawić diagnozę, wypisać receptę i opisać sposób zażywania leku.

5 Niemierko B.: Kształcenie szkolne. Podręcznik skutecznej dydaktyki, WAiP, Warszawa, 2007

6 A. Brzezińska., E. Misiorna: Ocena opisowa w edukacji wczesnoszkolnej, WOM, Poznań 1998

Postawienie diagnozy – Czy nauczyciel potrafi trafnie sprawdzać osiągnięcia

swoich uczniów?

Podczas zajęć ze studentami oraz spotkań warsztatowych z nauczycielami

edukacji wczesnoszkolnej na temat sprawdzania i oceniania proponuję im proste

zadanie.

Ułóż zadanie na poziomie klasy III sprawdzające umiejętność dodawania i

odejmowania w zakresie 100.

Podkreślam, że ma to być takie zadanie, aby po jego rozwiązaniu przez ucznia

można było powiedzieć, że umie dodawać i odejmować w zakresie 100, zaś jeśli nie

rozwiąże tego zadania, to mamy pełne prawo mówić: nie rozwiązał, bo nie umie

dodawać w zakresie 100.

Oto zadania najczęściej proponowane przez nauczycieli edukacji elementarnej.

1. Oblicz

2. Wstaw w kratkach odpowiednie znaki: <, > lub =.

24 + 48 62 72 – 67 15 56 + 29 85 77 – 49 28

3. Wypełnij tabelkę

4. Wypełnij tabelkę

a 27 48 49 63

b 34 33 18

a + b 67

a – b 34 21

5. Oblicz sumy i różnice liczb:

36 i 17, 49 i 17, 53 i 39

6. Na wycieczkę szkolną miało jechać 21 uczniów z klasy I, 19 z klasy II i 17 z klasy

III. Przed wycieczką 19 uczniów zrezygnowało z powodu grypy, ale przyjęto 19

uczniów z klasy IV. Ilu uczniów pojechało na wycieczkę?

7. Wykonaj działania:

44 + 47 = 56 + 39 = 52 – 47 = 77 – 69 =

Rozwiązanie każdego z zadań, zgodnie z założeniem, wymaga od ucznia

wykonania dodawania lub odejmowania liczb naturalnych w zakresie 100. Załóżmy

jednak, że uczeń rozwiązując zadanie 1, popełni błąd w dodawaniu w początkowych

dwóch etapach i otrzyma liczbę mniejszą od 32. Zarzuci więc dalsze obliczenia jako dla

niego niewykonalne. Tracimy wówczas informację o umiejętności wykonania

pozostałych działań.

Rozważmy zadanie 2. Uczeń użył niewłaściwych znaków nierówności. Co może

być przyczyną? Brak sprawności rachunkowej, a może uczeń poprawnie wykonał

działania, a tylko myli znaki nierówności z powodu słabego ich opanowania lub

zaburzeń orientacji – takie błędy popełniają nawet uczniowie gimnazjum. Czy mam

prawo powiedzieć, że uczeń nie umie dodawać i odejmować w zakresie 100? W

podobny sposób można analizować przykłady 3. i 4, zwłaszcza że w zadaniu 4 w

przykładzie pierwszym: działanie a – b jest dla ucznia klasy III niewykonalne (a < b)

Zwróćmy jeszcze uwagę na zadanie 5. Jeśli uczeń nie poda żadnej odpowiedzi, to

czy mamy prawo twierdzić, że nie umie obliczać sum i różnic w zakresie 100? A może

tylko nie pamięta, co oznaczają użyte terminy: suma i różnica?

Zadanie 6. wymaga uważnego przeczytania i zrozumienia opisanej sytuacji, a

następnie zinterpretowania treści, zapisania odpowiednich działań i obliczenia wyniku.

Ale co możemy powiedzieć o sprawności rachunkowej ucznia, który nie rozwiązał

zadania? Nie umie dodawać i odejmować, czy nie udzielił odpowiedzi, bo nie zrozumiał

treści zadania?

W tej sytuacji zadanie 7, choć wydaje się banalnym przykładem, jaki można dać

uczniowi do rozwiązania, tak naprawdę jako jedyne spośród siedmiu zadań niesie pełną

informację o umiejętności dodawania i odejmowania w zakresie 100. Czy zatem

pozostałe zadania są złe, niepoprawne? Nie, to są poprawnie ułożone – skonstruowane

zadania, ale one po prostu sprawdzają jeszcze inne umiejętności oprócz dodawania i

odejmowania.

W tym miejscu warto przypomnieć sobie definicję trafności wewnętrznej zadania.

Zadanie jest trafne, gdy czynności wykonywane przez ucznia podczas rozwiązywania

zadania są zgodne z czynnościami zaplanowanymi przez nauczyciela.

Zadania typu 1 – 6, jako zadania sprawdzające umiejętność dodawania

i odejmowania, podaje 70 - 80 % nauczycieli. Czy zatem nauczyciel, oceniając

osiągnięcia ucznia, stawia prawidłową diagnozę? Czy rzeczywiście zna osiągnięcia

swoich uczniów? Chyba nie zawsze (aczkolwiek wybrałem skrajny przypadek

nietrafnego sposobu stawiania diagnozy).

Diagnoza wiąże się z oceną poziomu opanowania umiejętności. Wielu

specjalistów od oceniania opisowego podpowiada nauczycielowi, jak formułować

informację dla ucznia i rodziców o poziomie umiejętności.

Przygotowując ocenę opisową, która będzie przedstawiona uczniowi i jego

rodzicom, zaleca się sporządzenie listy umiejętności, które powinien opanować uczeń w

danym okresie edukacji. Powinna być efektem analizy treści nauczania zawartej w

Podstawie programowej. Lista może mieć postać tabeli, gdzie pierwsza kolumna to

umiejętności, druga to poziom ich opanowania, np. w kategoriach: biegle, dobrze,

słabo. Tabelę taką przygotowuje nauczyciel, wykorzystując wyniki sprawdzianu,

obserwacji pracy ucznia oraz innych form sprawdzania. Informacja jest przekazywana

uczniowi i rodzicom z odpowiednim komentarzem zawierającym z jednej strony ocenę,

z drugiej zaś zachętę do dalszej pracy.

Umiejętność Poziom opanowania

Dodaje i odejmuje w zakresie 100 biegle, dobrze, słabo

Porównuje liczby

Rozwiązuje proste zadania tekstowe

Czasem można spotkać propozycję gotowego zestawienia – szablonu

zawierającego listę umiejętności już z gotową oceną, gdzie wystarczy podkreślić

właściwą, jak poniżej.

Uczeń .....................................

* Dodaje i odejmuje w zakresie 100: biegle, dobrze, słabo, liczy na

konkretach.

* Porównuje liczby: prawidłowo, myli znaki nierówności, nie potrafi.

* Rozwiązuje proste zadania tekstowe: znakomicie, dobrze, ma trudności.

W wyniku takich działań rodzic otrzymuje informację:

Syn dodaje i odejmuje w zakresie 100: biegle, dobrze, słabo. Należy rozwiązywać

z dzieckiem więcej działań w tym zakresie.

Recepta jest zatem właściwie gotowa, ale jak stosować lek? Która

z zainteresowanych oceną stron (uczeń i rodzice) wie, jakie działania należy podjąć?

Chyba żadna.

Recepta – Czy nauczyciel potrafi pomóc uczniowi na podstawie oceny opisowej?

Postawienie diagnozy jest pierwszym etapem leczenia. Teraz należy wypisać

receptę i opisać sposób zażywania leku.

Oto analiza rozwiązań dwóch zadań postawionych 200 studentom i 24 osobowej

grupie nauczycieli.

Zad. 1.

W koszyku było 15 jabłek i 45 gruszek. Ile razy więcej było gruszek niż jabłek?

Rozwiązanie ucznia:

45 : 15 = 3

Odpowiedź: Gruszek było o 3 razy więcej niż jabłek.

Na podstawie przedstawionego rozwiązania przygotuj informację dla rodziców o

umiejętnościach ucznia.

Jak widać uczeń dobrze zinterpretował treść zadania, zapisał działanie

i poprawnie obliczył wynik. Błąd tkwi w odpowiedzi. Powinna brzmieć: Gruszek było 3

razy więcej niż jabłek. Użycie sformułowania o 3 razy więcej świadczy o myleniu przez

dziecko porównywania ilorazowego z różnicowym, bądź niezrozumieniu istoty

porównania.

Ponad 70% studentów i 33% nauczycieli nie dostrzegło błędu, a w informacji dla

rodziców pisali m.in.:

Dziecko bardzo dobrze, świetnie, rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące porównywania

liczb typu: „ile razy więcej”, czasem mylili porównywanie ilorazowe z różnicowym.

Ci, którzy dostrzegli błąd pisali:

* liczy poprawnie, ale źle formułuje odpowiedź,

* myli porównywanie ilorazowe z różnicowym,

* nie rozumie treści zadania.

Nieliczni zwracali uwagę na błędy w rozróżnianiu dwóch rodzajów

porównywania: O ile więcej? Ile razy więcej? Sugerowali by z dzieckiem rozwiązać

kilka zadań w rodzaju:

Janek znalazł 3 grzyby, a Michał 2 razy więcej. Ile grzybów zebrał Michał?

Janek znalazł 3 grzyby, a Michał o 2 więcej. Ile grzybów zebrał Michał?

W razie trudności trzeba zilustrować obie sytuacje i zachęcić dziecko do

samodzielnego ułożenia kilku podobnych zadań.

Zad. 2.

Dwaj uczniowie, obliczając wyniki działań, zapisują rozwiązania:

Adam: 49 + 35 = 49 + 30 + 5 = 79 + 5 = 74

Bogdan: 49 + 35 = 49 + 30 = 79 + 5 = 84

Oceń poprawność wykonanych obliczeń i wyjaśnij rodzicom każdego dziecka, na

czym polegają błędy uczniów oraz zaproponuj ćwiczenia, jakie powinni rozwiązywać

z dzieckiem, aby poprawić jego umiejętności.

Rozwiązanie Adama zawiera błąd polegający na „zgubieniu” dziesiątek w drugiej

części obliczeń, co dało niewłaściwy wynik końcowy.

W rozwiązaniu Bogdana wynik jest prawidłowy, ale w zapisie obliczeń występuje

typowy błąd notacji, gdzie nie zapisano liczby 5 (jedności drugiego składnika), a

później „przywołano ją z pamięci”, jak to się zazwyczaj robi w rachunku pisemnym

oraz pamięciowym, np.:

49 dodać 35, to 49 dodać 30 to jest 79 i jeszcze dodać 5, daje razem 84.

Ponadto uczeń przyzwyczaja się do tego, że w zapisie z użyciem znaku równości

nie zawsze lewa strona musi być równa stronie prawej.

Konsekwencje tego błędu notacji mogą owocować błędami rachunkowymi w

dodawaniu więcej niż dwóch liczb oraz w bardziej złożonych obliczeniach podczas

sprawdzania tożsamości.

Błędu Adama nie dostrzegło 28% studentów i 17% nauczycieli,

Błędu Bogdana nie rozpoznało 65% studentów i 33% nauczycieli.

Badani, którzy dostrzegli błędy najczęściej wskazywali:

W przypadku Adama:

* mała (niska, słaba) sprawność rachunkowa,

* błędnie obliczony wynik, powinno być 84,

* dobrze liczy, ale ma zły wynik,

* źle rozkłada na składniki (czasem na czynniki),

W przypadku Bogdana:

* błędnie rozłożył na składniki (czasem na czynniki),

* rozkłada liczby na dziesiątki i jedności, ale nie potrafi dodawać z przekraczaniem

progu dziesiątkowego,

* zastosował skrócony zapis (pamięciowy) działania.

Wielu badanych pisało po prostu:

* nie liczy prawidłowo działań

Zalecenia i wskazówki, jakie formułowali badani dla rodziców, świadczą o

wiedzy

i umiejętnościach badanych studentów i nauczycieli. Do najczęstszych zaleceń należały:

* należy więcej ćwiczyć w domu dodawanie i odejmowanie pamięciowe w zakresie

100.

Nieliczni, zazwyczaj ci, którzy dostrzegli błędy w rozwiązaniu, sugerowali:

* należy więcej ćwiczyć dodawanie i odejmowanie pamięciowe w zakresie 100 z

uwzględnieniem działań na liczbach jednocyfrowych,

* trzeba zwracać uwagę dziecka, że dodając liczby 79 + 5, otrzymuje liczbę 74, a więc

mniejszą od jednego ze składników,

* proponuję więcej ćwiczeń z dzieckiem na dopełnianie liczb do 10,

* należy więcej ćwiczyć działania w zakresie 100 i zwracać uwagę na poprawność

zapisu poszczególnych etapów liczenia.

Liczna grupa badanych (około 35% studentów i 20% nauczycieli) dostrzegła

błędy, ale nie sformułowała żadnych zaleceń dla rodziców.

Zastanówmy się, czy sprawdzając prace uczniów zawsze dostrzegamy błędy,

czasem tylko usterki, które mogą mieć istotny wpływ na dalsze umiejętności

matematyczne.

Zapraszam do samodzielnego sformułowania oceny umiejętności uczniów i

wskazówek dla ucznia i rodziców o niezbędnych działaniach mogących pomóc

uczniom, na podstawie poniższych zadań.

Zad. 3.

Zosia w ciągu 10 minut czyta 10 stron książki. Ile stron przeczyta w ciągu 40 minut?

Uczeń rozwiązał zadanie w następujący sposób:

40 min · 10 = 400

Odpowiedź: W ciągu 40 minut Zosia przeczytała 400 stron.

Zad. 4.

Wzdłuż drogi przy której mieszka Karol posadzono 13 drzewek. Drzewka sadzono co 10

metrów. Pierwsze posadzono na początku drogi, a ostatnie na jej końcu. Jaką długość

ma ta droga?

Uczniowie przedstawili rozwiązania:

Celina: 10 · 13 = 130

Odpowiedź: Ta droga ma 130 metrów.

Darek: 10 + 13 = 23

Ta droga ma 23 metry.

Zad. 5.

W zawodach sportowych uczestniczyło 50 zawodników. Dwunastu sportowców brało

udział

w sprincie na 100 m, 10 rzucało dyskiem, a 20 skakało w dal. Ilu zawodników skakało

wzwyż?

Uczeń przedstawił rozwiązanie:

12 + 10 + 20 = 42

50 – 42 = 8

Odpowiedź: Wzwyż skakało chyba 8 zawodników, ale może mniej albo więcej.

Oceń poprawność rozwiązania zadania. Jak oceniasz zadanie?

Ostatnie lata pomiaru dydaktycznego wiążą się z tzw. egzaminami doniosłymi,

które są konsekwencją egzaminów powszechnych od klasy VI szkoły podstawowej do

egzaminu maturalnego. Specjaliści pomiarowi skoncentrowali swoje poszukiwania

naukowe na tym poziomie i osiągnęli bardzo dużo w teorii i praktyce. Natomiast

nauczyciele klas młodszych – pierwszego etapu kształcenia – zostali pozostawieni sami

sobie. Odnoszę też wrażenie, że wielu nauczycieli zrezygnowało z doskonalenia się w

tym zakresie, bo przecież wydawcy podręczników dają gotowe sprawdziany i

instrukcje, jak interpretować wyniki sprawdzianów. Warto analizując powyższe

rozwiązania znaleźć chwilę czasu na refleksję nad procesem oceniania i pracy w tym

zakresie z uczniem i rodzicami. Na koniec, jak nauczyciel praktyk pisze o ocenianiu:

1. Oceniając popatrz na swojego ucznia jak na człowieka. Z perspektywy książkowej

(naukowej, pedagogicznej) uczeń to jednostka, podmiot oddziaływań. ... Z odległości

jednego metra – to dziecko, czasem przerażone, pełne lęku i jednocześnie pełne

ufności, że wreszcie coś zrobiło dobrze.

2. Pamiętaj, że uczniowie to nie małe „profesorki”, ale dzieci. Przypomnij sobie jak

będąc w ich wieku, chciałeś być doceniany, zrozumiany, akceptowany i oceniany

sprawiedliwie!

3. Potrzebowałeś pochwał, uznania i aprobaty! Doceniaj odwagę i próbowanie.

4. Każda ocena dziecka jest też oceną samego siebie, swoich umiejętności jako

przekaziciela wiedzy i określonych umiejętności.

5. Niepowodzenia szkolne są traktowane jako niepowodzenia dziecka, a przecież to

także porażka nauczyciela, porażka stosowanej metody, porażka w komunikacji,

6. Twoi uczniowie to przecież przyszli: wynalazcy, politycy, ludzie pióra, muzycy,

nauczyciele.

Cytaty pochodzą z książki Małgorzaty Taraszkiewicz: Jak uczyć lepiej? Czyli

refleksyjny praktyk w działaniu – rozdział 5. Zanim ocenisz – Warszawa CODN 1996 r.

Zapraszam do dzielenie się swoimi spostrzeżeniami na platformie dla członków

SNM.

Literatura

[1] Brzezińska A., Misiorna E.: Ocena opisowa w edukacji wczesnoszkolnej, WOM,

Poznań 1998.

[2] Niemierko B.: Kształcenie szkolne. Podręcznik skutecznej dydaktyki, WAiP,

Warszawa, 2007.

[3] Nowik J. Kształcenie matematyczne w edukacji wczesnoszkolnej. Poradnik dla

nauczyciela. Wydawnictwo NOWIK, Opole, 2011.

[4] Nowik J.: Ocena opisowa w edukacji wczesnoszkolnej – diagnoza czy fikcja? czyli O

potrzebie kształcenia nauczycieli edukacji wczesnoszkolnej z zakresu podstaw

diagnostyki edukacyjnej W: Teraźniejszość i przyszłość oceniania szkolnego. XVI

Konferencja Diagnostyki Edukacyjnej Toruń 2010 red. B. Niemierko, M.K.

Szmigiel, PTDE, Kraków, 2010, (s. 597-604),

[5] Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie warunków i sposobu

oceniania, klasyfikowania i promowania uczniów i słuchaczy oraz przeprowadzania

egzaminów i sprawdzianów w szkołach publicznych z dnia 21 marca 2001 roku (Dz. U.

Z 6 kwietnia 2001 r. Nr 29, poz. 323); znowelizowane 6 listopada 2002 r. w części nie

dotyczącej oceniania w kształceniu zintegrowanym/

[6] Taraszkiewicz M.: Jak uczyć lepiej? Czyli refleksyjny praktyk w działaniu CODN,

Warszawa, 1996

Autor pracuje w PWSZ w Raciborzu

e-mail: jerzy-

[email protected]


TI W NAUCZANIU MATEMATYKI

Paweł Perekietka, Łukasz Nitschke (Poznań)

Zainteresowani informatyką

= zainteresowani komputerami?

Streszczenie

Dość powszechnie informatyka w szkole podstawowej i gimnazjum postrzegana jest jako

przedmiot związany wyłącznie z kształceniem praktycznych umiejętności. W konsekwencji młodzi ludzie

nie są odpowiednio przygotowani do uczenia się informatyki na poziomie ponadgimnazjalnym.

Konkretną propozycją, która ma służyć pewnemu przewartościowaniu w postrzeganiu informatyki, są

scenariusze zajęć, które powstały w ramach projektu „Computer Science Unplugged”.

Warsztaty „Zainteresowani informatyką = zainteresowani komputerami?”

przeznaczone były przede wszystkim dla tych nauczycieli starszych klas szkoły

podstawowej i gimnazjum, którzy uczą w szkole również informatyki.

W czasie dyskusji omówiliśmy różne mity i stereotypy dotyczące informatyki

szkolnej (m.in. informatyka jako przedmiot pozbawiony wiedzy naukowej, związany

tylko i wyłącznie z kształceniem pewnych praktycznych umiejętności) oraz ich

konsekwencje (brak przygotowania do uczenia się informatyki na poziomie

ponadgimnazjalnym i wyższym). Pojawiło się pytanie: Czy nauczyciele matematyki

nie powinni wziąć współodpowiedzialności za kształtowanie wśród uczniów

prawdziwego obrazu informatyki?

Następnie zostały zaprezentowane pomysły zajęć dotyczących kształcenia

podstawowych pojęć informatyki oraz myślenia informatycznego (ang.

computational thinking). Były to polskie tłumaczenia scenariuszy zajęć, które powstały

w ramach zapoczątkowanego w Nowej Zelandii, a rozwijanego w tej chwili w wielu

krajach, projektu „Computer Science Unplugged”.

Zajęcia takie mają w swoim założeniu być propozycją pewnego

przewartościowania w nauczaniu informatyki: jak zainteresować uczniów (w tym:

dziewczyny!) przede wszystkim samą informatyką, a nie komputerami.

Na stronie http://csunplugged.org/ znaleźć można scenariusze następujących

zajęć:

1. Liczenie kropek – Numeracja binarna.

2. Kolory za pomocą liczb – Kodowanie obrazów.

3. To można odtworzyć! – Kompresja tekstu.

4. Magia obracanych kart – Detekcja i korekcja błędów.

5. 20 pytań – Teoria informacji.

6. Wojna morska – Algorytmy przeszukiwania.

7. Najlżejsze i najcięższe – Algorytmy sortowania.

8. Zdążyć na czas – Sieci sortujące.

9. Zabłocone miasto – Minimalne drzewa rozpinające.

10. Gra w pomarańczę – Trasowanie i zakleszczenie w sieciach

11. Poszukiwanie skarbu – Automat skończony

Za zgodą inicjatora projektu „Computer Science Unplugged” prof. Tima Bella z

University of Canterbury udostępniamy jeden ze scenariuszy w materiałach

pokonferencyjnych.

Będziemy wdzięczni za wszelkie krytyczne uwagi merytoryczne i pomoc w

poprawieniu polskiego tłumaczenia. Można w tej sprawie kontaktować się z

prowadzącymi za pomocą poczty elektronicznej lub strony http://jasijoasia.edu.pl/.

Kolory za pomocą liczb – Kodowanie obrazów

Streszczenie

Komputery do przechowywania rysunków, zdjęć i innych obrazów używają tylko

liczb. Te zajęcia mają ukazać, w jaki sposób mogą to robić.

Wiek

7 lat i więcej

Materiały

Folia do rzutnika pisma (grafoskopu): Kolory za pomocą liczb

Każde dziecko będzie potrzebować kart pracy:

1. Faks dla dzieci

2. Stwórz własny obraz

3. Stwórz własny kolorowy obrazek

Pytania do dyskusji

1. Do czego służy urządzenie zwane faksem?

2. W jakich sytuacjach komputery muszą przechowywać w pamięci obrazy?

(Program do rysowania, gra komputerowa, informacje multimedialne.)

3. W jaki sposób komputer ma zapisać informacje graficzne za pomocą liczb?

(Można zachęcić wcześniej dzieci, by w ramach przygotowań do lekcji użyły faksu.)

Pokaz przy użyciu rzutnika pisma (grafoskopu)

Ekrany monitorów składają się z siatki małych elementów zwanych pikselami

(ang. picture elements). W przypadku obrazów czarno-białych każdy piksel jest albo

czarny albo biały. Na przykład litera „a” w powiększeniu wygląda tak, jak na rysunku.

Kiedy komputer zapisuje informacje o takim obrazie, musi zapisać informacje o

czarnych i białych elementach.

1, 3

4, 1

1, 4

0, 1, 3, 1

0, 1, 3, 1

1, 4

Powyższy rysunek ukazuje jeden ze sposobów kodowania obrazu za pomocą

liczb. W pierwszym wierszu mamy jeden biały piksel a potem trzy czarne. Dlatego

reprezentacją tego wiersza jest ciąg liczb: 1, 3.

Pierwsza liczba zawsze odnosi się do liczby białych pikseli. Jeśli pierwszy z nich jest

czarny, to wówczas kod danego wiersza rozpocznie się liczbą 0.

Karta pracy zawiera kilka obrazów, które dzieci mogą odkodować.

Kolory za pomocą liczb

Litera „a” i jej powiększenie, które pokazuje piksele tworzące obraz litery

1, 3

4, 1

1, 4

0, 1, 3, 1

0, 1, 3, 1

1, 4

Obraz litery i kody kolejnych wierszy

Siatka pikseli (do wykorzystania przez nauczyciela)

Karta pracy 1: Faks dla dzieci

Pierwszy obraz (częściowo odkodowany) jest najprostszy, a ostatni najbardziej

złożony. Dość łatwo popełnić błędy. Dlatego dobrym pomysłem jest używać ołówka.

4, 11 4, 9, 2, 1 4, 9, 2, 1 4, 11 4, 9 4, 9 5, 7 0, 17 1, 15

6, 5, 2, 3 4, 2, 5, 2, 3, 1 3, 1, 9, 1, 2, 1 3, 1, 9, 1, 1, 1 2, 1, 11, 1 2, 1, 10, 2 2, 1, 9, 1, 1, 1 2, 1, 8, 1, 2, 1 2, 1, 7, 1, 3, 1 1, 1, 1, 1, 4, 2, 3, 1 0, 1, 2, 1, 2, 2, 5, 1 0, 1, 3, 2, 5, 2 1, 3, 2, 5

6, 2, 2, 2 5, 1, 2, 2, 2, 1 6, 6 4, 2, 6, 2 3, 1, 10, 1

2, 1, 12, 1 2, 1, 3, 1, 4, 1, 3, 1 1, 2, 12, 2 0, 1, 16, 1 0, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1 0, 1, 7, 2, 7, 1 1, 1, 14, 1 2, 1, 12, 1 2, 1, 5, 2, 5, 1 3, 1, 10, 1 4, 2, 6, 2

6, 6

Karta pracy 2: Stwórz własny obrazek

Jeśli już wiesz, jak za pomocą liczb można zakodować obraz, dlaczego nie spróbować

stworzyć własnego obrazka? Narysuj obrazek na siatce, a gdy już skończysz, zapisz

odpowiednie kody obok.

Wytnij swój rysunek i daj jako zadanie koledze.

(Uwaga: Nie musisz wykorzystać całej powierzchni siatki).

Karta pracy 3: Stwórz własny kolorowy obrazek

Zadanie dodatkowe: W przypadku tworzenia kolorowego obrazu, można użyć

liczb do zakodowania samego koloru (0 dla czarnego, 1 dla czerwonego, 2 dla

zielonego itd.). Wówczas para liczb będzie musiała zostać użyta do zakodowania grup

pikseli tego samego koloru: pierwsza liczba określać będzie długość ciągu

jednokolorowych pikseli, a druga – kolor. Dla przykładu: ciąg par 2,0; 3,1; 1,2 kodować

będzie dwa piksele koloru czarnego, trzy – czerwonego, jeden – zielonego.

Spróbuj stworzyć kolorowy obrazek dla kolegi. Nie zapomnij poinformować

kolegi o tym, jakie liczby odpowiadają jakiemu kolorowi!

Modyfikacje i rozszerzenia

1. Warto spróbować skorzystać z białej kartki, pod którą położony będzie szablon siatki.

Wówczas otrzymany efekt powinien być lepszy (rysunek powinien być „czystszy”).

2. Zamiast kolorowania siatki dzieci mogą użyć kwadratowych naklejek, lub innych

przedmiotów, które umieszczane będą na większej siatce.

Punkt wyjścia do dalszej dyskusji

Zwykle ograniczeniem dla długości ciągów jednokolorowych pikseli jest wielkość

liczby używanej jako kod (np. 7 jeśli liczba zapisywana jest przy użyciu 3 bitów). Dla

przykładu: Jak zakodować ciąg dwunastu czarnych pikseli, jeśli jako kodu można użyć co

najwyżej liczby 7? (Pewnym rozwiązaniem jest takie: kodujemy za pomocą liczby 7 ciąg

siedmiu czarnych pikseli, następnie zapisujemy kod 0, i kodujemy za pomocą liczby 5 ciąg

pięciu pozostałych czarnych pikseli.)

O co w tym wszystkim chodzi?

Urządzenie typu faks jest właściwie prostym komputerem, który dokonuje

przedstawienia zapisanej powierzchni kartki w postaci dwukolorowego obrazu o rozmiarach

np. 1000 × 2000 pikseli, który jest przesyłany za pomocą modemu do innego faksu, który

otrzymany obraz drukuje. Często obrazy utworzone przez faks zawierają duże bloki białych

pikseli (jest to zwykle odzwierciedlenie marginesu) lub czarnych pikseli (odzwierciedlenie

linii poziomych).

Kolorowe obrazy często również zawierają wiele powtarzających się fragmentów. Aby

zaoszczędzić na wielkości pamięci potrzebnej do zapisania obrazu, programiści mogą używać

różnych technik kompresji. Metoda używana w ramach tych zajęć nosi nazwę RLE (ang. run-

length coding, czyli kodowanie długości serii), i jest efektywną metodą kompresji takich

obrazów. Gdybyśmy nie kompresowali obrazów, przesyłanie obrazów zajmowałoby znacznie

więcej czasu i potrzebowalibyśmy dużo więcej miejsca w pamięci komputera. Wysyłanie

faksów, czy umieszczanie zdjęć na stronie internetowej byłoby często praktycznie

niewykonalne. Dla przykładu: sposób kodowania stosowany przez faks pozwala na kompresję

obrazu do ok. 1/7 jego objętości. Bez kompresji przesyłanie trwałoby siedem razy dłużej.

Fotografie i obrazy są często kompresowane do 1/10, czy nawet 1/100 ich oryginalnego

rozmiaru (w zależności od zastosowanej metody). Pozwala to w efekcie na zapis o wiele

większej liczby obrazów na dysku i sprawia, że wyświetlenie zdjęcia na stronie internetowej

zajmie dużo mniej czasu.

Programista może wybrać odpowiednią metodę kompresji dla odpowiednich celów.

Odpowiedzi do kart pracy

Paweł Perekietka

V Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu

[email protected]

Łukasz Nitschke

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

[email protected]


MATEMATYKA I ORIGAMI

Anna Ponikwicka (Sokółka), Barbara Pfützner (Gliwice)

Origami a metoda projektu

Streszczenie

Metoda projektu jest często wykorzystywana w nauczaniu różnych przedmiotów. W czasie

warsztatów zaprezentowałyśmy, jak można tę metodę zastosować w nauczaniu matematyki oraz origami.

Warsztaty składały się z dwóch części: teoretycznej i praktycznej (odbyły się dwie sesje warsztatowe).

W części teoretycznej pokazałyśmy, jak ważne jest planowanie przez uczniów swoich działań. Realizacja

celów matematycznych projektu pozwala na samodzielne zdobywanie przez uczniów wiadomości

i umiejętności oraz kształtowania odpowiedzialności poprzez postrzeganie, analizowanie, rozwiązywanie

problemów oraz formułowanie wniosków. Doświadczenia własne i wysiłek myślowy prowadzi do

samokształcenia i nabywania kompetencji.

1. Cele warsztatów i ich przebieg.

Na początku zostały przedstawione cele i motto warsztatów oraz ich przebieg.

Cele. Uczestnik:

zna metodę projektu;

potrafi zastosować metodę projektu w praktyce szkolnej;

zna przykładowe tematy matematycznych projektów uczniowskich;

umie napisać instrukcje do projektu;

wie, w jaki sposób origami uczy matematyki.

Motto:

Jedyny rodzaj uczenia się, jaki znacząco wpływa na zachowanie, to uczenie się przez

odkrywanie – prawda jest wówczas odkrywana na drodze doświadczenia.

Carl R. Rogers

Termin „metoda” pochodzi od greckiego słowa methodos, co znaczy „badanie, sposób

badania, droga dochodzenia do prawdy, poszukiwania prawdy”. Tymczasem często wiąże się

ze sposobem „podawania” wiadomości, co zasadniczo zmienia sens wszelkiego kształcenia,

a więc jest rzeczywistym niezrozumieniem istoty rzeczy.

Metody nauczania dzielimy na:

PODAJĄCE

PROBLEMOWE

EKSPONUJĄCE

PROGRAMOWE

PRAKTYCZNE

Wśród metod problemowych wyróżniamy metody aktywizujące.

Metody aktywizujące to metody nauczania, zwiększające czynny udział uczących się w

zajęciach dydaktycznych.

Metoda projektu jest jedną z aktywizujących metod kształcenia, zwaną również strategią

dydaktyczną.

Projekt edukacyjny jest to zespołowe, planowe działanie uczniów, mające na celu

rozwiązanie konkretnego problemu z zastosowaniem różnorodnych metod.

2. Zarys historii metody projektu

XVI w. - rzymska Akademia Sztuk Pięknych- Accademia di San Luca

Pojęcie i nazwa „projekt” pochodzi z języka włoskiego –progetti (nazywano tak

praktyczne ćwiczenia edukacyjne, które wykonywali studenci architektury

w Accademia di San Luca).

W amerykańskiej pedagogicznej literaturze termin „projekt” pojawił się przed 1900

rokiem.

W Stanach Zjednoczonych w XIX wieku metoda projektu była wykorzystywana przede

wszystkim w kształceniu zawodowym (uczniowska działalność natury praktycznej ,

nastawiona na wykonanie produktu).

Metoda projektu została zaliczona do metod aktywizujących. Jest ona znana

i stosowana od 1917 roku w Stanach Zjednoczonych, a później w krajach Europy,

w tym również w Polsce.

Wielkim uznaniem cieszyła się metoda projektów wśród pedagogów radzieckich.

Prekursorami jej stosowania byli Paweł Błoński i Stanisław Szacki - teoretycy

socjalistycznej szkoły pracy. Praca była centrum , wokół którego grupowano treści

szczegółowe. W szkołach zrezygnowano z podziału na przedmioty i z systemu klasowego.

Realizowane w szkołach projekty, tzw. koncentry, miały zapewnić ścisły związek z

życiem, a szczególnie z procesem produkcji . Mimo swych zalet nie przyniosły

zamierzonych efektów. Brak systematycznego opanowania wiedzy prowadził w

konsekwencji do obniżenia poziomu wykształcenia. Metoda ta

w szkolnictwie rosyjskim nie zyskała popularności.

W Polsce próby wdrażania metody projektu podjęto przed pierwszą wojną światową w

Szkole Powszechnej w Turkowiczach na Wołyniu. Realizowano w niej między innymi

następujące projekty: budowa budynku szkolnego, praca na polu i w ogrodzie czy

krajoznawstwo.

Natomiast szersze zainteresowanie metodą projektu datuje się od 1930 roku, tj. od

wydania książki J.A. Stevensona „Metoda projektów w nauczaniu”.

Propagatorką metody projektu w Polsce jest Wanda Dzierzbicka („Metoda projektów” w:

„ Eksperymenty pedagogiczne w Polsce w latach 1900-1939”).

Po II wojnie światowej metoda projektu pojawia się sporadycznie, przeważnie

w szkolnictwie zawodowym.

Od 1989 roku metoda projektu rozpowszechniona jest w Polsce za sprawą Centrum

Edukacji Obywatelskiej.

Definicja metody projektów według M.S. Szymańskiego

Metoda projektów jest metodą kształcenia sprowadzającą się do tego, że zespół osób

uczących się, samodzielnie inicjuje, planuje i wykonuje pewne przedsięwzięcie oraz ocenia

jego wykonanie. (...) Najlepiej, jeżeli źródłem projektu jest świat życia codziennego, a nie

abstrakcyjna nauka. Punktem wyjścia jest jakaś sytuacja problemowa, zamierzenie, podjęcie

jakiejś inicjatywy, wytyczenie celu, punktem dojścia zaś szeroko rozumiany projekt.

Na mocy Rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 sierpnia 2010 r.

–zmieniającego rozporządzenie z dnia 30 kwietnia 2007 r. w sprawie warunków i sposobu

oceniania i promowania uczniów i słuchaczy oraz przeprowadzenia sprawdzianów i

egzaminów w szkołach publicznych (Dz. U. nr 156, poz. 1046) – uczniowie klas

gimnazjalnych , w których obowiązuje nowa podstawa programowa kształcenia ogólnego,

mają obowiązek udziału w realizacji projektu gimnazjalnego. Zgodnie z art. 21a tego

rozporządzenia „...projekt edukacyjny jest zespołowym, planowym działaniem uczniów,

mającym na celu rozwiązanie konkretnego problemu,

z zastosowaniem różnorodnych metod.”

Projekt edukacyjny jest realizowany przez zespół uczniów pod opieką nauczyciela

i obejmuje następujące działania:

wybranie tematu projektu;

określenie celów projektu i zaplanowanie etapów jego realizacji;

wykonanie zaplanowanych działań;

publiczne przedstawienie rezultatów projektu.

3. Przykładowe tematy projektów matematycznych7

7 Tematy zostały wypracowane podczas spotkań z dyrektorami gimnazjów, pracownikami doskonalenia

i wizytatorami będących uczestnikami szkoleń w Dębem.

1. Mierzymy, ważymy, liczymy – w jaki sposób styl życia wpływa na nasze zdrowie.

2. Moja klasa, szkoła i miejscowość w procentach.

3. Jak przedstawić swoją szkołę w liczbach?

4. Jak znajomość planimetrii (stereometrii) ułatwi nam funkcjonowanie w życiu

codziennym?

5. W jaki sposób geometria inspirowała (inspiruje) architektów?

6. Liczba π w....

7. Symetrycznie czy chaotycznie wokół nas?

8. Kiedy pudełko zbudowane z kartki A4 będzie miało największą objętość?

9. W jakim banku najlepiej założyć konto oszczędnościowe?

10. Gdyby Pitagoras /Tales był uczniem naszej szkoły...

11. Które symbole marek samochodów są osiowo symetryczne i środkowo symetryczne?

12. Co matematyka może mieć wspólnego z motoryzacją?

Przykładowe projekty wykonywane przez uczniów Gimnazjum nr1 im. Jana Pawła II

w Sokółce pod kierunkiem Anny Ponikwickiej

1. Symetria wokół nas.

2. Czy matka natura lubi symetrię?

3. W którym sklepie spożywczym w naszym mieście warto robić zakupy?

4. Jak ozdobić choinkę wykorzystując kartkę papieru?

5. Doradzam swoim rodzicom. W którym banku warto oszczędzać?

6. W jaki sposób origami uczy matematyki?

7. Jak zaplanować wycieczkę 1-dniową, 2-dniową, 3-dniową, 4-dniową,

5- dniową?

W trakcie zajęć zostały przedstawione opisy projektów nr 4 i 6.

Nr 4 Jak ozdobić choinkę wykorzystując kartkę papieru?

Motto

Być może nie jest warte zachodu, aby to lub tamto czynić.

Ale wszystko, co czynimy, jest w każdym razie warte, aby to czyni doskonale.

J.W. Goethe

Temat Jak ozdobić choinkę wykorzystując kartkę papieru?

Cele ogólne

Kształtowanie wyobraźni przestrzennej.

Wzbogacenie wiedzy o bryłach.

Pokazanie, jakie możliwości konstrukcyjnie daje zwykła kartka papieru.

Nadawanie odpowiedniego kierunku wykrytym talentom i opieka nad nimi.

Szczegółowe

cele

edukacyjne

Rozwiązywanie ciekawych problemów matematycznych.

Rozwijanie umiejętności komunikowania się.

Wdrażanie do dokładności w pracy.

Wyrabianie samodzielności, dociekliwości.

Posługiwanie się kształtami, własnościami figur zarówno w otaczającej

rzeczywistości, jak i w wyobraźni.

Kształtowanie wyobraźni przestrzennej.

Zapoznanie ze sztuką składania papieru.

Stosowanie technik twórczego rozwiązywania problemów w matematyce

i życiu codziennym.

Działania Wykonanie wielościanów foremnych, wykorzystując origami modułowe.

Przygotowanie przez młodzież figur wachlarzowych, takich jak: stożek,

walec, kula, gruszka, choinka...

Przygotowanie pudełek metodą origami.

Przygotowanie plakatów informujących o kiermaszu.

Podział pracy przy warsztatach i kiermaszu.

Przygotowanie dekoracji na kiermasz .

Prezentacja Warsztaty połączone z kiermaszem na terenie Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła

II w Sokółce dnia 22.12.2010 r.

Terminy Rozpoczęcie projektu: 1 października 2010 r.

Zakończenie: 22 grudnia 2010 r.

Uczestnicy Uczniowie uczestniczący w zajęciach Koła Origami oraz Klubu Młodych

Matematyków.

Uwagi

Terminy konsultacji

Przydział wykonywanych czynności

Kontrakt

Nr 6. W jaki sposób origami uczy matematyki?

Uzasadnienie wyboru tematu

Zespół jest zainteresowany wybranym tematem, ponieważ uczniowie uczestniczą w

zajęciach koła origami i interesuje ich matematyczny aspekt wykonywanych modułowo

modeli. Geometria przestrzenna to jeden z niewielu działów matematyki,

w którym uczniowie mogą czegoś dotknąć. Składanie modułowych modeli wciąga uczniów

w konstruowanie przestrzennych figur. Są oni zaintrygowani sztuką origami

i nie boją się prób w konstruowaniu przestrzennych budowli. Projekt kieruje ich

zainteresowania w stronę matematyki. Uczniowie sami będą odkrywać kształty, podając ich

własności oraz dokonywać wielu przemyśleń. Młodzież, składając modele, w naturalny

sposób zapamiętuje nazwy i kształty. Potrafi nawet po pewnym czasie rozpoznać je

prawidłowo.

Cele. Uczeń potrafi:

dokonać analizy literatury poświęconej origami i figur geometrycznych,

wykorzystać w praktyce własności figur płaskich,

wykonać przykładowe modele matematyczne, wykorzystując sztukę składania papieru

origami,

wykorzystać symetrię przy składaniu figur geometrycznych,

narysować siatkę składanej figury,

wykonać moduł służący do złożenia figury,

prezentować zebrane i opracowane materiały,

sformułować wnioski.

Projekt ma na celu rozwijanie następujących umiejętności:

a) Rozwijanie przekonań, idei, myślenia

dostrzeganie prawidłowości, dostrzeganie reguł i uogólnianie,

dostrzeganie piękna i pożytecznej elegancji matematyki,

docenianie ważności matematyki w życiu codziennym.

b) Rozwijanie postaw

przygotowanie do współpracy i pracy w zespole,

Lista osób biorących udział w projekcie

(Wymienione dokumenty w tej rubryce należy przedstawić w formie

załączników).

docenianie pracy, wkładu innych, dobrej organizacji pracy,

wyrabianie nawyku tworzenia i realizowania planu pracy, sprawdzania otrzymywanych

rozwiązań i korygowania błędów.

Ocena

Na ocenę będą miały wpływ :

wywiązywanie się uczniów z podjętych zadań,

współpraca w zespole,

inicjatywa i oryginalność,

różnorodność wykorzystanych źródeł informacji,

sposób prezentacji wykonanego projektu,

zgodność wykonanych zadań z tematem projektu i przyjętymi założeniami.

Kontrakt na wykonanie projektu.

Zakres prac projektowych: Badaniem objęta będzie grupa uczniów klas drugich

i trzecich, uczestniczących w zajęciach koła origami.

Przedmiotem badań będzie:

Poziom wiedzy matematycznej dotyczącej geometrii płaskiej i przestrzennej.

Stopień wykorzystania wiedzy matematycznej w codziennym życiu.

Projekt będzie zawierał:

przykładowe modele figur geometrycznych

zostanie przygotowany pokaz zdobytej wiedzy na slajdach (prezentacja multimedialna).

Termin rozpoczęcia realizacji projektu : 1.12.2010 r.

Termin zakończenia realizacji projektu: 20 stycznia 2011 r.

Uczniowie mają podane terminy konsultacji nauczycieli prowadzących projekt ( Anna

Ponikwicka, Andrzej Kułak) .

Konsekwencje wynikające z niedotrzymania terminu: w przypadku jednorazowego

niedotrzymania terminu przedstawienia efektów pracy do oceny etapowej, uczeń otrzyma

ustne upomnienie i możliwość uzupełnienia braków w ciągu trzech dni. Jednocześnie

przedstawi jasne wyjaśnienie powodów niedotrzymania terminu na forum grupy przy

obecności nauczyciela. Uczniowie zobowiązują się do wykonania projektu zgodnie z

założeniami zawartymi w kontrakcie , do uczestniczenia

w konsultacjach z nauczycielem oraz udziału w prezentacji projektu. Nauczyciel

prowadzący projekt zobowiązuje się do prowadzenia konsultacji z uczniami w ustalonych

terminach oraz służenia uczniom pomocą w sytuacjach , gdy zespół wykonujący projekt tego

potrzebuje.

4. Praca nauczycieli na warsztatach

W części praktycznej warsztatów, nauczyciele wykonywali przykładowe figury

geometryczne metodą snapologii. „Snapologia (z j. ang.- snapology) to technika składania

brył, wymyślona przez Niemca, Heinza Strobla. Nazwa została zaczerpnięta od angielskiego

słowa „snap”, czyli pstryknięcie. Dźwięk ten słyszymy podczas składania brył. Jest to jedna z

najłatwiejszych technik origami, służących do przedstawiania brył platońskich,

archimedesowskich i niektórych Catalana”. (Halina Rościszewska, Snapologia , Gliwice

2005). Do wykonania dwudziestościanu foremnego przygotowujemy 20 modułów trójkątnych

i 30 łączników. Moduły wykonujemy

z prostokątnych pasków o przykładowych wymiarach 2 cm x 30cm. Na wykonanie modelu

potrzebujemy dwudziestu prostokątów o podanych wyżej wymiarach.

W trakcie warsztatów , po przedstawieniu przykładowych projektów zostały pokazane

prezentacje wykonane przez uczniów (22 slajdy dotyczące projektu: „ W jaki sposób

origami uczy matematyki?” oraz 6 slajdów dotyczących drugiego projektu: „Jak ozdobić

choinkę wykorzystując kartkę papieru?” ).

Przygotowując się do tematu, korzystałyśmy z bogatej literatury związanej z tematem.

Przedstawiamy przykładowe pozycje, która świadczą o tym, że metoda projektu jest znana i

stosowana od lat.

Literatura

1. J. A. Stevenson, Metoda projektów w nauczaniu , Lwów –Warszawa 1930.

2. D. Nakoneczna , Klasy autorskie w Szkołach Twórczych, Warszawa 1993.

3. K. Brząkalik, K. Kowalski , J Królikowski, Kształcenie obywatelskie, Warszawa 1995.

4. T. Nowacki, O metodzie projektów, Warszawa 1995.

5. A. Grodzka – Borowska, Rodzaje i ocena projektów, Warszawa 1996.

6. G. Uhman, Metoda projektów w średniej szkole zawodowej, Warszawa 1996.

7. W. Okoń, Wprowadzenie do dydaktyki ogólnej, Warszawa 1997.

8. E. Goźlińska, Metoda projektów. Reforma kształcenia zawodowego. Kształcenie

w zawodach wg klasyfikacji zawodów szkolnictwa zawodowego z 1993 r. Warszawa 1997.

9. A. Mikina, Jak wykonywać zadania metodą projektów? ,1997.

10. W. Okoń, Szkoły eksperymentalne w świecie 1900-1975,Warszawa 1997.

11. T. Plich, Zasady badań pedagogicznych.

12. M. S. Szymański, O metodzie projektów: z historii, teorii i praktyki pewnej metody

kształcenia.

13. Krystyna Chałas, Metoda projektów i jej egzemplifikacja w praktyce” , Warszawa 2000.

14. Bogusława Dorota Gołębniak, „Uczenie metodą projektu”

Anna Ponikwicka, nauczyciel gimnazjum im. Jana Pawła II w Sokółce

Barbara Pfűtzner, nauczyciel gimnazjum w Gliwicach


DOSKONALENIE ZAWODOWE NAUCZYCIELI ZA GRANICĄ

Katarzyna Sikora, Zofia Majerska (Chorzów)

Kilka słów o nauczaniu matematyki w Walii na

podstawie doświadczeń w ramach Comenius Regio

Streszczenie

Podczas warsztatów opowiedziałyśmy o projekcie Comenius Regio: "Współpraca Swansea i

Śląska na rzecz procesu uczenia się". Zapoznałyśmy uczestników z naszymi doświadczeniami z pobytu

w Walii i innych kontaktów z partnerami projektu. Uczestnicy warsztatów rozwiązali jedno walijskie

zadanie.

Kuratorium Oświaty w Katowicach zaprosiło Katowicko-Częstochowski Oddział SNM do

udziału w charakterze partnera w projekcie Comenius Regio Współpraca Swansea i Śląska

na rzecz procesu uczenia się. Okres realizacji projektu: od 1 września 2009 do 31 sierpnia

2011 roku.

Projekt dotyczy teoretycznych i praktycznych działań zachęcających do czytania

i nauki matematyki, motywowania chłopców do nauki, tworzenia strategii wspierania

i integracji uczniów ze środowisk imigrantów oraz analizy metod i form organizacji edukacji

wczesnoszkolnej.

Cele projektu to: analiza procesów nabywania umiejętności podstawowych

i mechanizmów integracji imigrantów, porównanie poziomu kompetencji w zakresie

umiejętności podstawowych i ocena stosowanych testów oraz ewaluacja strategii nauczania

angielskiego i polskiego jako języka dodatkowego, poznanie potrzeb szkół w zakresie

nauczania angielskiego i polskiego jako języka dodatkowego oraz zmierzenie się

z edukacyjnymi wyzwaniami związanymi ze stereotypami, różnicami kulturowymi

i przynależnością etniczną.

Oddział Katowicko-Częstochowski Stowarzyszenia w ramach projektu podjął się:

a) wskazać przykłady dobrych praktyk – opis działań Klubu „Matematyka na I progu”

działającego w Chorzowie;

b) upowszechnić przykłady scenariuszy lekcji w kl. IV szkoły podstawowej dotyczących

wprowadzania nowego materiału, który zgodnie z podstawą programową z 23 sierpnia 2007

r. obowiązywał w klasach IIII szkoły podstawowej

c) uczestniczyć w diagnozowaniu trudności w uczeniu się matematyki –

w oparciu o doświadczenie zawodowe i obserwacje nauczycieli praktyków (w tym

opracowaną ankietę skierowaną do nauczycieli);

d) po zdiagnozowaniu przyczyn i rodzajów trudności w uczeniu się matematyki wskazać

sposoby wspierania nauczycieli w bardziej efektywnym nauczaniu matematyki:

- metody nauczania,

- środki dydaktyczne.

Jedną z form pracy w ramach projektu są wyjazdy do kraju partnera. Grupa z Polski

uczestniczyła w wizycie w Swansea w Walii w dniach 23-27 maja 2010.

Celem warsztatów podczas XX KK SNM było zapoznanie jego uczestników

z doświadczeniami i obserwacjami, jakie były owocem wizyty w Swansea.

Wizyta odbyła się zgodnie z wcześniej przygotowanym planem. Ze strony SNM

uczestniczyła w niej Katarzyna Sikora, przewodnicząca Oddziału Katowicko-

Częstochowskiego. Organizacja wizyty była wzorowa, zarówno ze strony koordynatora grupy

z Polski, jak i ze strony gospodarzy w Swansea. Program wizyty był bogaty i interesujący;

umożliwiał on poznanie zasad pracy w szkołach i bibliotekach w Walii, a także zaznajomienie

się z elementami kultury i historii kraju. Oto, jak Katarzyna Sikora opisuje, co zaobserwowała

w Walii.

Moje obserwacje i refleksje dotyczące zaprezentowanych rozwiązań

I. W szkołach, które zwiedziliśmy, kładzie się nacisk na:

a) CZYTANIE – niech uczeń czyta cokolwiek, byleby czytał. Nie ma zestawu lektur

obowiązkowych. Książki są bardzo kolorowe, zawierają dużo obrazków, a mało tekstu, aby

zachęcić uczniów do czytania. Dba się o zniesienie bariery niechęci do czytania, np.

organizując w bibliotece miejskiej sesje dla rodziców z niemowlętami, podczas których

czyta się bajki, śpiewa piosenki, tańczy, wystukuje rytm, itp. Pokazuje się rodzicom małych

dzieci (podczas „Family Learning”), jak ilustrować treść książki poprzez zabawę pacynkami,

rysowanie scen przy użyciu ciekawej techniki (wyklejanie obrazków słomkami,

patyczkami, itp.).

b) KSZTAŁCENIE UMIEJĘTNOŚCI (SKILLS) – np. prawie cała lekcja matematyki

z wykorzystaniem ICT odbyła się bez użycia zeszytu, bez pisania. Uczniowie mieli być

aktywni – obserwować, liczyć w pamięci i udzielać odpowiedzi elektronicznie (za

pomocą „voting system”). W innej klasie cała lekcja matematyki poświęcona była na

samodzielne obliczenia przy użyciu komputera (dot. działań na ułamkach zwykłych),

ale przygotowane tak, że każdy uczeń pracował nad innym zestawem zadań, wszystko

było zapisywane w systemie i podlegało kontroli i analizie przez nauczyciela. Ponadto

bardzo ważne jest, aby uczniowie realizowali swoje zainteresowania i kształcili

umiejętności w bardzo wielu świetnie wyposażonych pracowniach: technicznej,

plastycznej, muzycznej, gastronomicznej, itp. Zajęcia w w/w pracowniach wchodzą

w zakres programu nauczania szkoły podstawowej i gimnazjum. Dużo pomocy

naukowych finansowanych jest przez państwo, jednak przy bardzo dobrym

wyposażeniu szkół w pomoce naukowe same budynki i sale są zaniedbane, często

wymagają remontu.

c) WSPÓŁPRACĘ Z RODZICAMI – kładziony jest nacisk na tę współpracę uznawaną za

jeden z najważniejszych czynników wpływających na jakość kształcenia dzieci. Np.

poprzez system „Family Learning” w szkołach podstawowych i czasem w gimnazjach

realizuje się w zorganizowany i powszechny sposób zadanie podnoszenia kultury

pedagogicznej rodziców. Ponadto, np. na stronach internetowych szkół zamieszczane

są materiały szkoleniowe dla rodziców: w co i jak bawić się z dzieckiem, aby wspomóc

jego rozwój.

d) WCZESNE WSPOMAGANIE – wczesne wspomaganie i ogólnie: wspomaganie, stosuje

się w rozpoznanych przypadkach. W szkołach nie ma problemów

z dysleksją, ADHD – zjawiska te występują, ale nieczęsto. W razie potrzeby szkoły

dysponują np. „pokojami do wyciszania się”, albo też nauczyciela uczącego wspiera

nauczyciel wspomagający.

e) PRACĘ Z CHŁOPCAMI – ponieważ wielu chłopców nie osiąga średnich wyników na

testach krajowych, przydziela się im opiekuna szkolnego, a także opracowuje program

pracy z chłopcami mający na celu zaktywizowanie ich i pobudzenie ich rozwoju.

W programie takim kładzie się nacisk na:

• pracę w grupach (co zmniejsza agresję);

• częstsze przerwy podczas lekcji, wcześniej podsumowując poprzednią część;

• używanie analogii do piłki nożnej, np. tworzenie grup 11-osobowych, itp.

• działania, aby zmienić sposób myślenia chłopców, że osiąganie wyników jest

niemęskie;

• czytanie książek, które interesują chłopców;

• zadawanie pytań typu: - Co czułeś, czytając dany tekst?

• dzielenie tekstu do przeczytania na mniejsze części;

• uczeń zdolny i pracowity może wybrać sposób gratulowania mu, np. zamiast być

wyczytanym na apelu (i być uznanym za „kujona” przez rówieśników) może wybrać

formę listu gratulacyjnego do rodziców;

• umożliwienie chłopcom zadawanie pytań o to, czego nie zrozumieli, drogą

elektroniczną (aby nie narażali się na docinki pytając podczas lekcji);

• rozważne sadzanie chłopców z dziewczętami, gdyż pomaga to chłopcom, ale opóźnia

dziewczynki;

• stosowanie zabiegów w ramach PRACY Z CHŁOPCAMI odpowiednio wcześnie, od

początku gimnazjum (wtedy są wyniki), gdyż jeśli zacznie się później, np. od początku

szkoły ponadgimnazjalnej, jak pokazały doświadczenia, niewiele się osiąga.

II. Moje obserwacje poczynione podczas wizyty w Walii W SZKOŁACH:

a) Przy zatrudnianiu nie kładzie się nacisku na rodzaj kwalifikacji i poziom wykształcenia, lecz

na kompetencje i chęci. Np. w bibliotece miejskiej pracownica nie miała studiów

wyższych, ani przygotowania z bibliotekoznawstwa, lub też osoba prowadząca Family

Learning w szkole nie była pedagogiem ani psychologiem, lecz nauczycielką plastyki.

b) Zdarza się, że rodzice nie zgadzają się z oceną ich dzieci przez nauczycieli

i szkołę. Wówczas wyrażają protest i dyskutują.

c) Rodzicom grozi kara więzienia, gdy ich dziecko nie chodzi do szkoły; dzieci mają

obowiązek nauki do ukończenia 16. roku życia.

d) W szkołach nie przesadza się z zagadnieniem molestowania seksualnego uczniów, np.

nauczyciel wielokrotnie przytulił czy pogłaskał dziecko (po głowie, po ręce)

i było to zupełnie naturalne, nawet gdy nauczycielem był mężczyzna, co jest bardzo

częste.

e) Bardzo rygorystycznie przestrzega się przepisu zakazującego fotografowania dzieci.

f) W szkołach podczas zajęć panuje wśród uczniów cisza, posłuch, dyscyplina, choć jeśli

dziecko chce jeść, pić, czy też nie chce pracować – wolno mu to zrobić.

g) W szkołach są sale komputerowe z dużą liczbą stanowisk komputerowych

(np. 26 dla każdego ucznia); w prawie każdej sali jest tablica interaktywna.

h) Nauczyciele zarabiają takie kwoty, że samotny nauczyciel może (stać go) wynająć domek

w średniobogatej dzielnicy.

III. Wykorzystanie doświadczeń we własnej pracy.

Jako przedstawiciel Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki zamierzam zwrócić uwagę

i wykorzystać w pracy niektóre elementy z zakresu opisanych powyżej tematów:

KSZTAŁCENIE UMIEJĘTNOŚCI (SKILLS) i PRACA Z CHŁOPCAMI. Ponadto członkowie SNM będą

mogli wykorzystać otrzymane od szkół w Walii materiały w postaci przykładowych testów

kompetencji z matematyki dla szkoły podstawowej.

W trakcie warsztatów, po zapoznaniu się z doświadczeniami i obserwacjami

poczynionymi w Walii, uczestnicy rozwiązali jedno zadanie przywiezione z wizyty

w Swansea. Zadanie ćwiczy umiejętności dobierania optymalnych rozwiązań i szacowania,

a także pojęcie skali i planu oraz przeliczania jednostek długości (w ramach SKILLS). Polega

ono na wykonaniu przez każdego ucznia kilku prób połączenia dwóch punktów na mapce za

pomocą dwóch tylko odcinków (zbudowanie drogi łączącej dwie miejscowości, składającej

się z co najwyżej dwóch odcinków), przy czym koszt budowania drogi na różnych terenach, w

tym mostu przez rzekę, był określony i różny. Na podstawie wniosków po przeprowadzonych

próbach i porównaniu ich, uczniowie mają możliwość znaleźć warunki obniżające koszt

budowy drogi do minimum.

Zamieszczamy materiały do w/w opisanego zadania: mapkę, opis oraz tabelę służącą

do zapisywania przez uczniów wyników prób. Zachęcamy do wykorzystania tych materiałów

podczas nauki planimetrii.

Zofia Majerska, nauczycielka matematyki w ZSS nr.2 oraz w SZ nr.25 w Chorzowie;

[email protected]

Katarzyna Sikora, nauczycielka matematyki w Zespole Szkół Ogólnokształcących nr 1

w Chorzowie.

Doradca metodyczny matematyki w Chorzowie.

Przewodnicząca Komisji d/s Oddziałów,Grup Roboczych i Kół SNM;

[email protected]



Wacław Zawadowski (Warszawa)

Czy ocenianie przez zdobywanie sprawności może być

zastosowane w nauczaniu matematyki?

Streszczenie

Propozycja oceniania przez zdobywanie sprawności nie jest nowa. Prawie 20 lat temu,

w Matematyce, maj-czerwiec 1992, Małgorzata Mikołajczyk zaproponowała dla szkoły podstawowej listę

umiejętności do zdobywania przez uczniów klas I-III i osobno IV-V i VI-VIII.

Każda z tych umiejętności, tak jak sprawności harcerskie, była związana z pewnym tytułem do zdobycia

i odpowiednią nazwą. W tym artykule postaram się uzasadnić tezę, że ten właśnie styl zaproponowany przez

Mikołajczyk, może być z powodzeniem zastosowany w szkole i w kształceniu nauczycieli, gdy matematykę

będziemy uprawiać od początku z pełnym zastosowaniem prostych kalkulatorów i w ogóle technologii

informacyjnej.

Zastosowanie kalkulatorów od samego początku nauki o liczbach w nauczaniu

wczesnoszkolnym może w bardzo korzystny sposób zmienić styl nauczania matematyki na tym

etapie. Może się to stać wtedy, gdy nauczyciel z odpowiednim przygotowaniem będzie uczył

wstępnej arytmetyki z kalkulatorem i interaktywnie i będzie uczył odpowiedniego zapisywania

dialogu z kakulatorem. Propozycję takiego systematycznego zapisywania dialogu z kalkulatorem

podajemy poniżej. Ten zapis może być stosowany zarówno na tablicy szkolnej, jak i w zeszytach

uczniów i ma pewne walory, których wspomnimy później.

Przy takim dialogowym i interaktywnym stylu nauczania i wzajemnego uczenia się powstaje

nowa możliwość wykorzystania starszych uczniów do nauczania młodszych. Taka organizacja pracy

rozwija szeroko rozumiane umiejętności kluczowe i będzie miała przy odpowiedniej organizacji pracy

duże walory pedagogiczne. Będzie zachęcać do współpracy, przejmowania odpowiedzialności za

naukę podopiecznych, rozwijanie dociekliwości. Uważam, że odpowiedź na tytułowe pytanie jest

pozytywna. Warto tego spróbować.

Wracając do wspomnianej propozycji z dwnych lat, np. w klasach I-III Małgorzata Mikołaczyk

proponuje takie sprawności i związane z tym tytuły mistrzów

Liczek

1. Liczy do 100 do przodu i wstecz po 4, 5, 6,7.

2. Nie pomyli się w tabliczce mnożenia do 25.

3. Zapisze pięć podyktowanych działań i poda ich wyniki.

Sprzedawca

1. Sprawnie liczy do 1000.

2. Sprzedaje towary na litry, kilogramy, metry, tuziny.

3. Poprawnie nalicza należność za zakupiony towar, wydaje resztę, wystawia rachunki (pisanie liczb

słowami).

klasy IV-V

Milioner

1. Sprawnie wykonuje różne obliczenia pieniężne do 1 miliona.

2. Rozwiązuje cztery podane zadania tekstowe.

3. W danym tekście wszystkie liczby w zapisie rzymskim poda cyframi arabskimi.

4. Sprawnie oblicza procenty.

Kartezjańczyk

1. Na płaszczyźnie z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych zaznaczy zbiór punktów,

które spełniają określone warunki.

2. Zaprojektuje urządzenie pokoju lub sali lekcyjnej, zakoduje dane w postaci współrzędnych.

3. Punkty o podanych współrzędnych zaznaczy w różnych układach współrzędnych.

4. Wie kim był, gdzie i kiedy żył Kartezjusz.

klasy VI-VIII

Projektant

1. Przeprowadzi pięć dowolnie wybranych konstrukcji geometrycznych (wpisywanie

i opisywanie okręgów, kreślenie stycznych itp.)

2. Znajdzie symetrie podanych figur.

3. Zaprojektuje dowolną figurę o zadanym typie symetrii.

4. Powiększy w zadanej skali niezbyt skomplikowany rysunek.

5. Poda wynik przekształcenia danych figur przez obrót, przesunięcie, jednokładność, symetrię

osiową.

Sobieradek

1. Potrafi posługiwać się ogólnoszkolnym planem lekcji i kolejowym rozkładem jazdy.

2. Zmierzy wysokość drzewa.

3. Potrafi posługiwać się kalkulatorem.

4. Obmyśli metodę i wykona model kąta prostego.

5. Opracuje preliminarz wycieczki klasowej.

To było prawie 20 lat temu i było dostosowane do wtedy obowiązującego programu nauczania.

Już wtedy Sobieradek powinien posługiwać się kalkulatorem ale dopiero w ówczesnej klasie VIII. Te

umiejętności sformułowane są w zasadzie na poziomie przeciętnego ucznia. Każdą z tych

umiejętności powinno zdobyć jak najwięcej osób w klasie. Lista umiejętności radykalnie zmienia

sytuację zdolnego ucznia, bowiem tradycyjny system nauki klasowej, gdzie tempo pracy dostosowane

jest do przeciętnego ucznia, hamuje rozwój jednostek zdolniejszych, zmusza je do bezczynności

umysłowej.

Ale mogą być też sprawności wykraczające ponad wymagania programowe. Zaproponowano m.in.

takie

Badacz matematyki starożytnej, Szachista, Informatyk, Mistrz Origami.

Podaję ten obszerny, prawie dosłowny cytat, aby czytelnik miał konkretne wyobrażenie o

systemie zaproponowanym przez Małgorzatę Mikołajczyk. Ten system może funkcjonować obok

tradycyjnego i może być wprowadzany stopniowo, w miarę nabywania wprawy przez nauczyciela lub

nauczycieli w danej szkole i przyzwyczajania się do niego szerokiej społeczności uczniowskiej. Istotne

jest nawiązanie do doświadczenia i tradycji funkcjonującej w Harcerstwie i przywołanie jednego

z najwybitniejszych pedagogów polskich Aleksandra Kamińskiego. Te krótkie referencje są bardzo

znaczące dla tych, co znają te tradycje. Innym trzeba to wyjaśnić bardziej szczegółowo. Otóż istotą

zdobywania sprawności było przyjmowanie przez starszych pewnej odpowiedzialności za młodszych.

Do tego jest potrzebna pewna organizacja pionowa wg starszeństwa (vertical grouping). Takiej

organizacji

w tradycyjnej polskiej szkole, gdzie podstawową jednostką jest klasa złożona

z rówieśników, po prostu nie ma. Nauczyciel nie może liczyć na pomoc starszych uczniów bez

zaangażowania kolegi i bez zmiany ustalonego porządku w szkole, gdzie każda godzina lekcyjna idzie

wg pewnego planu dość ściśle przestrzeganego, a wszelkie działania wychodzące poza ten porządek

mogą się odbywać raczej po lekcjach. Są na świecie szkoły gdzie jest możliwe częściowe

przełamywanie tego porządku, ale występuje to rzadko.

System zdobywania sprawności ma jeszcze jeden aspekt milcząco rozumiany przez tych co

przeszli dobrą szkołę w Harcerstwie. Można krótko powiedzieć, że ten aspekt jest dobrze opisany w

książce Mark Twain'a w epizodzie malowania płotu przez Tomka Sawyer'a. Jest też opisany w

książkach Kamyka. Wzbudzenie zainteresowania jest pewną sztuką, która w naturalny sposób

przychodzi, gdy młodsi znajdują sobie odpowiednie wzory u starszych, a starsi przyjmują pewną

odpowiedzialność za kierowanie młodszymi. W dobrze ustawionych drużynach harcerskich

funkcjonowało to znakomicie. Może to być wykorzystane również w szkole, nie tylko w organizacjach

takich jak Harcerstwo.

Czy warto tego próbować? Gdy zostaniemy przy tradycyjnych programach nauczania, to nie

jest to konieczne. Ale te tradycyjne pogramy i systemy nauczania zaniedbują to, co jest niezwykle

istotne dla edukacji do prawdziwego, realistycznie pojmowanego dorosłego życia.

Z jednej strony zaniedbują stosowanie kalkulatorów, tych najprostszych i tych trochę bardziej

wyrafinowanych, graficznych, komputerów z odpowiednimi programami, odpowiednich ogólnie

dostępnych programów z sieci.

Z drugiej strony tradycyjne programy zaniedbują rozwijanie umiejętności kluczowych. Trochę usiłuje

to nadrobić ostatnio szeroko zalecana metoda projektów w nauczaniu. Nie jest to jednak dla

rozwijania umiejętności kluczowych wystarczające.

Ogólnie biorąc technologia informacji i komunikacji, krótko TIC, nie jest wykorzystywana w

odpowiednio intensywny sposób. Tradycyjna organizacja pracy

w szkole nie sprzyja temu. Często nauczyciel nie poznał dobrze sprawności w stosowaniu TIC, które

niektórzy uczniowie w jego klasach już mają opanowane. Nie ma systematycznego systemu aby to

wykorzystać. Na ten aspekt sprawy zwraca uwagę Kenneth Wilson w swoich tekstach pod nazwą

"Redesigning Education".

Gdy dopuścimy możliwość wykorzystania struktury pionowej w szkole, wtedy nauczyciel w

każdej klasie może mieć kilku asystentów do pomocy i może korzystać

z pomocy odpowiednio przygotowanych do tego starszych uczniów. Taki system powinien być też

wykorzystany w kształceniu nauczycieli, aby przyszli nauczyciele przyswoili sobie odpowiednie wzorce

postępowania.

Na początek spróbujmy, jak by to wyglądało dla początkowego wprowadzenia najprostszego

kalkulatora do początkowej arytmetyki w roku 2011.

Wprowadzimy dla każdej sprawności trzy stopnie wtajemniczenia.

Kalkulator

Pierwszy stopień

Wie, że powtarzane użycie znaku równości = przy mnożeniu na prostym najpopularniejszym

kalkulatorze powtarza działanie przez pierwszy argument, ale przy pozostałych trzech działaniach:

dodawania, odejmowania i dzielenia, +, -, ÷ , powtarzane użycie znaku równości powoduje

powtórzenie działania przez drugi argument. Potrafi to wykorzystać do obliczenia po ilu latach 100 zł

złożone w banku na 10% rocznie podwoi się. Potrafi znaleźć jaki procent trzeba by zażądać od banku,

aby kapitał podwoił się po 5 latach.

Wie jaka jest największa liczba którą "rozumie" kalkulator i co się stanie gdy doda do niej liczbę

jeden. Zaznacza liczby z okienka kalkulatora na osi liczbowej.

Drugi stopień

Potrafi notować wyniki działań na kalkulatorze w sposób interaktywny. Np. w taki sposób

2 + 3 =

5

=

8

=

11

=

14

etc.

2 × 3 =

6

=

12

=

24

=

48

etc.

Potrafi liczby zapisane w okienku kalkulatora zaznaczyć kropką na osi liczbowej w

odpowiedniej skali. Potrafi opisać geometrycznie rozmieszczenie liczb z okienka kalkulatora na osi

liczbowej.

Zna układ współrzędnych i wie jak znaleźć punkt na płaszczyźnie o danym „adresie" opisanym

parą liczb z okienka kalkulatora.

Używając tego lub podobnie interaktywnego dialogu z kalkulatorem potrafi znaleźć w jakim

dniu tygodnia przypadną jego osiemnaste urodziny.

Wie, że użycie dwóch znaków, jeden po drugim: ÷ = daje w wyniku odwrotność liczby (być

może w pewnym przybliżeniu), np.

2 ÷ =

0.5

÷ =

2

÷ =

0.5

÷ =

2

etc.

Potrafi narysować te kolejno pojawiające się wyniki na osi liczbowej.

Potrafi ustalić, czy kalkulator dostępny w jego telefonie komórkowym działa

w podobny sposób, czy inaczej.

Wie jaka jest największa liczba którą „rozumie" kalkulator i co się stanie gdy poprosi o jej

odwrotność, np.

99999999 ÷ = ?

Trzeci stopień

Potrafi nauczyć pewną grupkę kolegów umiejętności potrzebnych na stopień pierwszy i drugi,

tak aby zdobyli te stopnie sprawności.

Na pewno możemy to próbować zastosować w klasach nauczania początkowego szkoły

podstawowej. Ale nauczyciel musi dobrać te stopnie wtajemniczenia do konkretnych możliwości

klasy. Może je trochę poluzować lub zaostrzyć. Ale powinien stopniowo przekazywać swoją rolę jako

„korepetytora" dla pierwszej kadrowej grupy uczniów w ich ręce, a samemu przyjmować rolę

nadrzędną i za dużo nie mówić.

W podobny sposób możemy zaprojektować wymagania na stopień, który może się nazywać np.

Kreślarz. Jak zawsze w konkretnych przypadkach początkowego stosowania tego systemu te

wymagania musi aprobować lub sam ustalić nauczyciel, który podejmuje się wprowadzenia tej

innowacji.

Podam dla równowagi trochę inny wariant tej geometrycznej sprawności niż ten zalecany w

roku 1992.

Mistrz Półkwadratu

Pierwszy stopień

Potrafi rysować za pomocą półkwadratu proste figury płaskie np, prostokąt, kwadrat, odcinki

(proste) prostopadłe, odcinki (proste) równoległe. Wie, że proste prostopadłe to takie, że jedna jest

osią symetrii drugiej. Narysuje oś liczbową i potrafi na niej umieścić np. niektóre ułamki i inne liczby.

Potrafi zbadać czy są w zasięgu znaki, które mają oś symetrii, np. niektóre litery, jak np. litera E,

napisy, ornamenty.

Drugi stopień

Za pomocą półkwadratu, potrafi narysować cień w równoległych promieniach słońca np.

sześcianu i innych prostych figur przestrzennych. Potrafi narysować za pomocą półkwadratu trójkąt

równoboczny. Narysuje np. kilka siatek sześcianu lub prostopadłościanu do złożenia bez kleju. Rysuje

zmniejszenia i powiększenia figur za pomocą jednokładności.

Trzeci stopień

Jak zwykle: samodzielnie nauczy pewną grupkę innych, tego co sam już umie jako Mistrz

Półkwadratu pierwszego i drugiego stopnia.

Mogą być później ustalone inne warianty, np. Kreślarz Cabri (Kózka, C.a.R., Compass & Ruler,

Euklides), Kreślarz Kartezjusz (używa Inkscape).

Inne specjalności mogą być takie:

Mistrz Wykresów Funkcji (Opanuje program „www.jogle.pl/wykresy funkcji online"

z sieci i potrafi go zastosować do przybliżonego rozwiązywania równań).

Mistrz programu GeoGebra (opanuje program GeoGebra i potrafi z nim wykonać szereg zadań,

których listę trzeba uzgodnić z odpowiednim nauczycielem).

Mistrz Trójkąta Pascala (rozumie budowę trójkąta Pascala, potrafi go wygenerować za pomocą

arkusza kalkulacyjnego, rozumie znaczenie symboli nPr i nCr).

Symbol nPr oznacza liczbę funkcji różnowartościowych ze zbioru r-elementowego do zbioru n-

elementowego;

Symbol nCr oznacza liczbę podzbiorów r-elementowych zbioru n-elementowego.

Artykuł Małgosi Mikołajczyk przyszedł trochę za wcześnie. Nie ma też zachęcającej nazwy.

Zdobywanie sprawności wg. pomysłu Kamińskiego, to nie jest tylko lista umiejętności. To jest pewien

system pracy starszych uczniów i takich, którzy nauczyli się czegoś „co w ich oczach warto", z tymi

którzy też są chętni. W praktyce harcerskiej istniał też pewien rytuał przechodzenia przez kolejne

wtajemniczenia

w danej, na ogół dość skromnej dziedzinie. Wiązało się to ze zdobywaniem pewnego tytułu i odznaki,

którą można było sobie przyszyć na rękawie i się z tym obnosić.

To są istotne cechy tej metody (por. wspomniane malowanie płotu przez Tomka Sawyer'a). Ta

metoda jest pożyteczna np. wtedy gdy pojawi się pewna prosta metoda na coś i nauczyciel sam nie

może i nie powinien poświęcać na to za dużo czasu, ale ma pod swoją pieczą takich co się tego już

nauczyli i czekają na okazję pokazania swoich osiągnięć. Będą rozwijać przy takiej okazji umiejętności

kluczowe. W klasycznej organizacji pracy szkoły nie ma do tego wielu okazji. Wspomniana metoda

projektów jest raczej zajęciem na pewno pożytecznym, ale raczej „od święta".

Te sprawy trzeba przedyskutować i przemyśleć z ewentualnymi chętnymi nauczycielami i ich

przełożonymi, dyrektorami szkół, którzy mają wyrazić zgodę na taką stopniowo wprowadzaną

innowację. W czasie warsztatowego spotkania na XX Krajowej Konferencji SNM w Bydgoszczy

powstała inicjatywa zawiązania grupy roboczej SNM pod tytułem "Ocenianie w systemie zdobywania

sprawności". Aby ta inicjatywa się zrealizowała, potrzebna jest pewna liczba zainteresowanych szkół

i nauczycieli. Autor tego artykułu przyjmuje drogą e-mailową zgłoszenia. Formalne zarejestrowanie

tej grupy zaplanowano na jesień br.

Równolegle do okazji zdobywania umiejętności rachunkowych powinna być okazja rozwijania

wyobraźni wizualnej i koniecznie musi być ten moment łatwego konkretnego wejścia na pierwszy

stopień wtajemniczenia dla każdej sprawności. W odpowiednim momencie można wprowadzić

sprawność Fotograf. Ustalić różne etapy w tej dziedzinie na różnych szczeblach nauczania. Ta

umiejętność bardzo rozwija wyobraźnię wizualną, bardzo potrzebną w matematyce nie tylko ogólnie

w życiu dorosłym.

Literatura

M. Mikołajczyk, Matematyka nr 3, maj-czerwiec 1992

K. Wilson and Benett Daviss, Redesigning Education, John Macrae Book, Henry Holt

& Company, 1994.

Autor jest emerytowanym profesorem matematyki

Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach

[email protected]


HISTORIA MATEMATYKI


Historia matematyki dla nauczycieli

Streszczenie

Historia matematyki jest opowieścią o matematykach i ich odkryciach matematycznych. Dla nauczycieli

najbardziej interesujący jest rozwój konceptualny matematyki. Ten rozwój matematyki można starać się

rozumieć i interpretować śledząc rozwój języka w jakim uprawiano geometrię i rozwój języka dla liczb. Taki

punkt widzenia na historię matematyki jest nam pomocny, gdy obserwujemy i staramy się zrozumieć rozwój

matematyczny uczniów.

Pierwszy etap rozwoju matematyki w Europie, o którym mamy trochę informacji to

matematyka pitagorejczyków. Była to garść spostrzeżeń o liczbach i prostych figurach

geometrycznych, takich jak trójkąty, kwadraty, prostokąty i w ogóle wielokąty, koła. Spostrzeżenia te

były oparte na zauważaniu rozmaitych symetrii obiektów, ornamentów, figur geometrycznych,

kreślonych na piasku lub innych powierzchniach. To były lata 550-400 p.n.e. Do przedstawiania liczb

pitagorejczycy używali liczebników kamyczkowych, ustawiali w różnych konfiguracjach kamyczki.

Figury geometryczne spostrzec można było jako kawałki ornamentów.

Nie było wtedy jeszcze logiki, jaką znamy dzisiaj. Argumentacje w matematyce, tj. arytmetyce i

geometrii musiały być oparte na wizualnej intuicji. Można się tylko domyślać, jak to było, bo nie

zachowały się żadne pisane źródła o argumentacjach matematycznych z tej epoki. Wtedy też

rozwinęło się przekonanie, że obiekty matematyczne są ideami, mają byt idealny, a nie materialny

(por. Platon, Państwo Księga IV, 510).

Logika, jako sztuka wyprowadzania zdań prawdziwych z innych uznanych za prawdziwe,

powstała przeszło 100 lat później w szkole Eleatów, około roku 400 p.n.e. Pierwszą zasadą logiki

sformułowaną przez Eleatów była zasada „wyłączonego środka": nie może być jednocześnie

prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie.

Niedługo po roku 400 p.n.e. powstał w Akademii Platońskiej program oparcia całej poważnie

traktowanej wiedzy na niewielu zdaniach przyjętych za prawdziwe i pewne. Z nich właśnie powinno

się wyprowadzić całą resztę w oparciu o reguły logiki. Dotyczyło to przede wszystkim matematyki,

wiedzy o liczbach i figurach.

Pitagorejskie teorematy to były widzenia. „Theoreo" (θεωρηω) po grecku znaczy widzieć,

„theorema" znaczy "to co zobaczone". Te teorematy, czyli „widzenia" oparte były, jak można się

domyślać po ich późniejszych opisach, przede wszystkim na spostrzeganiu odpowiednich symetrii:

osiowych, obrotowych, przesunięciowych i innych bardziej wyrafinowanych symetrii. Greckie

ornamenty z tych czasów obfitują w pełne różnych symetrii ornamenty.

W Akademii Platońskiej te pitagorejskie widzenia już nie wystarczały. Te „teorematy" trzeba

było jeszcze uzasadnić przez wywód logiczny ze zdań przyjętych już za pewne

i prawdziwe. I tak się zaczęła matematyka w stylu platońskim i euklidejskim, głównie geometria i

bardzo prosta teoria liczb.

Nastąpił drugi etap, uporządkowanej dedukcji opartej na kilku zdaniach przyjętych jako

prawdziwe, który rozpoczęły Elementy Euklidesa, około roku 300 p.n.e. Ten dedukcyjny styl objął

przede wszystkim geometrię. Liczby i w ogóle arytmetyka były ogarnięte przez ten styl tylko w

niewielkim stopniu. To następowało powoli dopiero w wieku XVII, głównie przez prace Fermata,

które przez długi czas były mało znane, potem Eulera,

a z początkiem XIX wieku Gaussa. Fermat nie notował drogi dojścia do swoich spostrzeżeń

o liczbach. Systematycznie rozpoczął to dopiero Euler.

W XVII wieku nastąpił przełom kartezjański w geometrii i algebrze i rozpoczął się trzeci etap. W

dziełku które Kartezjusz dołączył jako dodatek do „Rozprawy o Metodzie”, Kartezjusz prowadził swoje

rozważania o geometrii w notacji, która dzisiaj jest znana pod mało precyzyjną nazwą szkolnej

algebry. Jednak zamiast liczb rzeczywistych, których jeszcze nie było w XVII wieku, Kartezjusz używał

długości. Wszystkie inne wielkości związane

z figurami geometrycznymi sprowadzał do zależności między długościami. Powstał wtedy nowy język

dla geometrii, język wielomianów. Kartezjusz traktował operacje mnożenia

i dzielenia, dodawania i odejmowania oraz potęgowania i pierwiastkowania jako operacje

w dużym stopniu niezależne od geometrii, chociaż nie miał jeszcze ogólnego pojęcia liczby

rzeczywistej, zamiast tego posługiwał się długościami.

Z drugiej strony, jeszcze u schyłku XVI wieku, w roku 1585, Simon Stevin napisał krótką notatkę

„O dziesięcinie” („De Thiende”). Zauważył, że skoro dla pomnożenia przez 10 dopisujemy po prostu

zero z prawej strony liczebnika, to dlaczego by nie zapisywać dzielenia przez dziesięć w podobny

sposób, dopisując do liczebnika zero z lewej strony…

W ten sposób powołał do istnienia system zapisywania liczb dziesiętnych, który przyniósł ogromne

ułatwienia w rachunkach. Zauważono, że podobne ujednolicenie interwałów skali muzycznej, gdzie

oktawę dzieli się na dwanaście „równoodległych" punktów dałoby również wielkie ułatwienia w

układaniu muzyki. Sto lat później, w muzyce tę ideę wykorzystał Jan Sebastian Bach i stworzył

olbrzymią literaturę muzyczną na dobrze utemperowany fortepian, którą podziwiamy do dziś.

Liczby dziesiętne nie przyjmowały się równie gładko. Za to kartezjańska idea wielomianu jest

tak powszechna dzisiaj, że nawet nikt tego już nie zauważa. Wielomian pierwotnie był trudnym

pojęciem. Jak sama nazwa wskazuje, polegał na dodawaniu do siebie wielkości różnej natury,

długości do powierzchni, a te z kolei do objętości lub jeszcze innych wielkości innej natury. Kartezjusz

napisał, że nic go nie obchodzą te różne „miana” wielkości. Po prostu wszystko sprowadza do

długości, a żeby było prościej to już nawet nie pisze, że to są długości. Dla Kartezjusz liczby to były

długości odcinków, kawałków linii prostej. Poprzez tę metaforę rozszerzył pojęcie liczby na wszystkie

takie, które można przedstawić długościami. Z natury rzeczy były to więc, mówiąc językiem

współczesnym, liczby rzeczywiste nieujemne.

Dla Kartezjusza i dla wielu innych liczby to były po prostu punkty na osi liczbowej, odkładające

odpowiednie długości "na prawo od zera", czyli na linii prostej na której początek to był punkt zero.

Był też zaznaczony punkt odpowiadający liczbie jeden wyznaczający długość jednostkową. Cała reszta

liczb u Kartezjusza usadawiała się na prawo od zera, zgodnie z tymi dwoma wyróżnionymi punktami.

Gdy w rachunkach wypadała liczba ujemna, traktowano to tak, jakby piłka wypadła "na out". I tak już

zostało przez prawie dwieście lat. Pełne uznanie dla drugiej połowy osi z liczbami rzeczywistymi, tej

ujemnej, przyszło dopiero w XIX wieku. Kropkę nad „i” postawili prawie jednocześnie Cantor

i Dedekind pod koniec XIX wieku.

Styl, który obecnie dochodzi do głosu można nazwać stylem neokartezjańskim. To jest styl w

którym budujemy pojęcie liczby rzeczywistej przy pełnej interpretacji geometrycznej. Liczba

rzeczywista to jest punkt na osi liczbowej. Zarówno liczba dziesiętna, ułamek,

a właściwie wartość ułamka, to są punkty na osi liczb rzeczywistych. Jednocześnie odkrywamy co raz

to nowe interesujące liczby takie jak 2 , 3 , 3 2 , π, e, liczba złota Φ, i inne, zawsze pokazując

ich miejsce na osi przez odpowiednie przybliżenia dziesiętne. Czynimy tak przy stałym użyciu

kalkulatorów. W konstrukcjach geometrycznych używamy więc cyrkla linijki, półkwadratów do

kreślenia równoległych i prostopadłych i kalkulatora. Od czasów Gaussa już nie machamy tylko

cyrklem i linijką. Układamy odpowiednie równanie, rozwiązujemy to równanie i dopiero na

podstawie odpowiedniej formułki, którą daje rozwiązanie, bierzemy do ręki przyrządy do rysowania.

Nie boimy się też układu współrzędnych. Dwie proste prostopadłe z odpowiednio zaznaczonym

rytmem punktów całkowitych i dziesiętnych są tak samo dobrą figurą na płaszczyźnie, jak trójkąty,

kwadraty, prostokąty, równoległoboki i cała klasyczna reszta. Gdy tylko są „pod ręką", używamy też

programów komputerowych do rysowania figur geometrycznych. To już jest czwarty etap, na którym

następuje połączenie geometrii i algebry, a liczby interpretujemy geometrycznie.

Jest ważne żeby dobrze uchwycić różnice między tymi czterema stylami w rozwoju społeczno

historycznym języka, w którym uprawiana jest matematyka. To jest ważne

w obecnej dyskusji społecznej nad restrukturyzacją matematyki szkolnej. Matematyka się zmienia.

Zmienia się podobnie jak język pod naciskiem codziennego użytkowania, a tak, jak język ojczysty, jest

potrzebna jako ważne narzędzie myślenia, wyjaśniania i projektowania.

Nauczanie szkolne może przechodzić te wszystkie etapy, w wielu szczegółach i zawirowaniach

historycznych. Ale wiele z nich może omijać. Tak, jak to jest z językiem ojczystym. Możemy uczyć o

wdzięcznych archaizmach języka polskiego, o Mikołaju Rey'u

i Janie Kochanowskim z czystej ciekawości i z zainteresowania historią języka ojczystego. Ale władać

powinniśmy przede wszystkim językiem współczesnym. Tego powinniśmy się uczyć przed wszystkim.

Nie powinniśmy uczyć formalnej struktury matematyki, nawet pod postacią skromnych

regułek, zanim nasi uczniowie nie zrozumieją po co im to i nie zbudują odpowiedniej czynnościowej

struktury znaczeń. Można tu czerpać z dużego doświadczenia w nauczaniu języków obcych: zawsze

trzeba uczyć współczesnego języka, funkcjonującego tu i teraz, synchronicznie. Nie uczymy się

polskiego, czy angielskiego rozpoczynając od Chryzostoma Paska, czy Szekspira. Chcemy mówić tak

jak mówią tymi językami ludzie dzisiaj.

To samo trzeba odnieść do matematyki. Uczyć trzeba matematyki takiej, jaka jest używana

współcześnie, synchronicznie, tak aby każdy kawałek matematyki dawał uczniom intelektualną lub

praktyczną korzyść, rozszerzającą jego moc kognitywną i sprawność działania. Nauczanie starych

dziewiętnastowiecznych algorytmów zabiera w szkole dużo czasu, wdrukowuje do głów

przyzwyczajenia, których trzeba się potem oduczać. Dla przykładu takiego niekorzystnego

wdrukowania można podać np. algorytm pisemnego mnożenia. Nie jest przydatne dzisiaj pisemne

wykonywanie mnożenia liczb. Nie wygramy nawet z najprostszym kalkulatorem za 5 złotych. Zwykły

algorytm zwraca uwagę na najmniej ważne cyfry, od nich zaczyna. Tymczasem dla sprawdzania

wyniku uzyskanego na kalkulatorze trzeba patrzeć na najbardziej znaczące cyfry i umieć szacować

rząd wielkości.

W szkole nie zwraca się uwagi na „rachowanie w głowie z kalkulatorem w ręku".

Czym są dzisiaj figury geometryczne i liczby? Najczęstszym określeniem figury geometrycznej

występującym w podręcznikach jest takie: „figura to jest zbiór punktów na płaszczyźnie lub w

przestrzeni". To bardzo rozszerza pojęcie figury geometrycznej poza tradycyjny obraz tego pojęcia,

który stanowią trójkąty, prostokąty, wielokąty, kąty i koła okręgi i tym podobne kształty.

Czym są liczby i algebra? To jest cytat z jednego z wydań bardzo popularnego na świecie

podręcznika algebry Birkhoff 'a i McLane'a: „algebra zaczyna się od poznawania sztuki manipulowania

sumami liczb, ich iloczynami i potęgami. Reguły dopuszczalne przy tych przekształceniach są dla

wszystkich liczb takie same. Można więc przy tych przekształceniach zastąpić liczby literami. Okazuje

się, że te przekształcenia mogą być zastosowane z sensem do różnych rodzajów liczb. A potem

okazuje się, że te same reguły przekształcania liczb mogą być zastosowane do obiektów, które w

ogóle nie są liczbami. Badamy zbiory, dowolnej natury takie, że na ich elementach określone są

operacje spełniające pewne podstawowe warunki. To jest algebra."

Te liczby, które rozważamy w szkole to są kolejne rozszerzenia zbioru liczb naturalnych, aż do

zbioru liczb zespolonych.

Mamy taki wzrastający ciąg zbiorów liczbowych:

Zbiór liczb naturalnych N,

Zbiór liczb całkowitych C (na świecie najczęściej oznaczany literą Z, od Zahlen)

Zbiór liczb dziesiętnych D (często niestety pomijany w polskich podręcznikach)

Zbiór liczb wymiernych (ułamkowych) W (najczęściej na świecie oznaczany przez Q)

Zbiór liczb zespolonych Z (na świecie najczęściej oznaczany literą C, od complex numbers)

Każdy język zmienia się z upływem czasu. Języki naturalne zmieniają się często

w ciągu 200-300 lat bardzo istotnie. Podobnie jest z językiem, a właściwie, z wieloma językami, w

których uprawiana jest żywa, pozaszkolna matematyka. Historia matematyki może pomóc w

krytycznej analizie szkolnej matematyki, zarówno treści, jak i metod nauczania.


Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach




Warsztat stereofoto modeli 3D

Streszczenie.

Stereo foto niektórych modeli wystawionych w Pracowni Całodobowej

Zdjęcia były wykonane zwykłem aparatem cyfrowym. Za każdym razem trzeba zrobić dwa

zdjęcia, czyli, mówiąc matematycznie, parę zdjęć – drugie z niewielkim przesunięciem w poziomie w

stosunku do pierwszego. Wielkość przesunięcia zależy od odległości fotografowanego obiektu.

Trzeba jednak możliwie dokładnie zachować poziom i starać się, aby temat, czyli fotografowany

obiekt był mniej więcej w tym samym miejscu na obu obrazkach. Po wgraniu do komputera

stosujemy łatwą obróbkę np. programem Stereo Photo Maker. Ten program pozwala jednocześnie

odczytać parę sprzężoną zdjęć i zcala je w jeden podwójny obraz stereo. Można go ustawić do

odczytu równoległego lub skrzyżowanego.

Zdjęcia tu pokazane są do odczytu skrzyżowanego tzn. z zezem zbieżnym. Można to zmienić na

odczyt równoległy, ewentualnie z użyciem okularów.

Małgorzta Lesisz przygotowuje fragment modelu czworościanu Sierpińskiego. Pierwsze

przybliżenie czworościanu S powinno składać się z czterech mniejszych czworościanów

rozmieszczonych po rogach dużego czworościanu "początkowego" czworościanu. Te mniejsze mają

krawędzie dwa razy krótsze niż duży czworościan. Duży czworościan z zaznaczonymi rogami już nie

zmieścił się w Pracowni Całodobowej i stał, jak widać poniżej. na korytarzu. W trakcie wykonywania

pary zdjęć, jedno po drugim, ludzie swobodnie chodzili po korytarzu. Ale model był nieruchomy. Te

drobne zaburzenia nawet sprawiają wrażenie pewnego ruchu.

Model gazetowy pierwszego przybliżenia czworościanu Sierpińskiego, wykonany

z gazet zwiniętych w rurki i łączonych taśmą malarską, wg pomysłu Janka Baranowskiego. Model jest

nietrwały. Dlatego chcieliśmy zachować na fotografii wspomnienie o nim dla potomności, gdy już

trzeba było zwijać obóz i gazety powędrowały na makulaturę. Fotografia stereo daje lepsze

wyobrażenie o modelu niż płaski obraz. Razem z uczestnikami warsztatu zrobiliśmy kilka prób.

Niektóre z nich przedstawiamy w tym krótkim raporcie. Wydaje nam się, że fotografowanie stereo

mogłoby zagościć na stałe w repertuarze tematów prac uczniowskich o charakterze projektu. Więcej

zdjęć stereo można dostać na życzenie od autora drogą elektroniczną, oczywiście gratis, po wysłaniu

odpowiedniego e-maila. Na ekranie komputera zdjęcia są oczywiście barwne.

12 ścian gwiaździsty wielki stoi na lustrze. Ten model został wykonany przez Joannę Stasch z

Opola.

Inne ujęcie tego samego modelu, pod światło. Na tym zdjęciu widać inne symetrie modelu.

Ośmiorożna gwiazdka. Na zdjęciu stereo widać zaznaczoną głębię i rezultacie widać,

że to jest zmyślnie wykonane pudełko w kształcie gwiazdy.

Inny widok tego pudełka.

Karol Sieńkowski, nauczyciel gimnazjum w Cegłowie i jedna z jego „brył niemożliwych".

Sześcian z wpuczonym rożkiem, wykonany bez kleju z sześciu kwadratowych kartek w czasie

zajęć warsztatowych Krzysztofa Mostowskiego. Można tak wpuczyć wszystkie rożki, ale to wielka

sztuka.

Jabłko przekrojone na krzyż z warsztatu Lyndona Bakera. Sztuka polega na tym, aby złożyć je

znów, tak jak było. Nie jest to łatwe. Pracuje nad tym Dorotka Kraska.

Labirynt ustawiony przed wejściem do Pracowni Całodobowej, a na korytarzu ruch.


Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

[email protected]

Powrót

Documents

7. Jerzy Nowik Paweł Perekietka, Łukasz Nitschke