3

ВВЕДЕНИЕ

Основное назначение дисциплины «ЕН.01 Математика» в средних профессиональных

образовательных организациях состоит в формировании у студентов общих компетенций: знать основы линейной алгебры и аналитической геометрии и уметь применять их для решения задач; владеть методами математического анализа для исследования поведения функций; знать и уметь применять методы дифференциального и интегрального исчисления; знать законы

математической логики; знать основы теории вероятностей и математической статистики.Содержание дисциплины предусматривает повторение и систематизацию знаний, полученных

в средней общеобразовательной школе, формирование общих компетенций.Практическое занятие – это форма организации учебного процесса, предполагающая

выполнение обучающимися заданий самостоятельно и под руководством преподавателя. Дидактическая цель практических работ – формирование у обучающихся профессиональных и

практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.

Практические занятия предполагают работу:– по созданию целостного миропонимания; – по расширению мировоззренческого кругозора;– по объяснению объективной реальности и предельных оснований человеческих действий в

системе логических категорий и законов.Структура практических занятий включает в себя теоретические вопросы по изучаемым

темам, упражнения по основным разделам программы «ЕН.01 Математика»Разработано содержание практических занятий, определена их цель, даны методические

указания о выполнению заданий и упражнений, указана учебная и справочная литература. Структура рекомендаций соответствует структуре курса «ЕН.01 Математика».

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД МАТРИЦАМИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

Цели: понятие матрицы, области применения матриц; уметь выполнять операции над

матрицами; понятие обратной матрицы; уметь вычислять обратную матрицу для матриц 2 × 2;

знать методы вычисления обратных матриц большого порядка.Теоретические вопросы1. Что такое матрица? Виды матриц.2. Что такое определитель квадратной матрицы и методы его вычисления?3. Вычисление определителей второго и третьего порядков.4. Основные свойства определителей.5. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.6. Линейные операции над матрицами7. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.8. Обратная матрица.9. Методы вычисления обратной матрицы.

4

Задание 1. Вычислите определители матриц

2 3

1 4

, 11 13

12 14

,

1 0 3

2 4 0

2 1 5

.

Задание 2. Найти произведение матриц и матрицы на вектор

1 0 3 1 3 3

2 4 0 2 4 4

2 1 5 2 1 5

, 2 3 2

1 4 3

.

Задание 3. Вычислить обратную матрицу2 3

1 4

.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели: основные понятия и определения; однородные и неоднородные системы линейных

уравнений; совместные и несовместные системы уравнений; система п линейных уравнений с п переменными; решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы, по формулам

крамера; решение систем линейных уравнений методом Гаусса.Теоретические вопросы1. Понятие системы n уравнений с n неизвестными.2. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.4. Решение систем линейных уравнений путем вычисления обратной матрицы исходной

системы.5. Как определить имеет ли система единственное решение, имеет бесконечно много

решений, не имеет ни одного решения?6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.7. Сравнительная характеристика методов Крамера, метода обратной матрицы и метода

ГауссаЗадание 1. Решите систему уравнений методом Крамера

2 3 12

4 5 2

x y

x y

.

Задание 2. Решите систему уравнений методом обратной матрицы.

2 4 8

3 5

x y

x y

.

Задание 3. Решите систему уравнений методом Гаусса

2 4 3

3 0

8

x y z

x y z

x y z

.

5

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3. ВЫПОЛНЕНИЕ ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Цели: действия над векторами, заданными координатами; решение простейших задач

аналитической геометрии на плоскости: вычисление расстояния между двумя точками, деление отрезка в данном отношении; скалярное и векторное произведения векторов.

Теоретические вопросы1. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.2. Понятие направленного отрезка (вектора) на плоскости.3. Проекции вектора на оси координат.4. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве.5. Деление отрезка в данном отношении.6. Линейные операции над векторами.7. Понятие линейной зависимости векторов.8. Скалярное произведение двух векторов.9. Векторное произведение двух векторов.Задание 1. Вычислить расстояние между двумя точками

1,2 ; ( 1,1)x y .

Задание 2. Найти сумму векторов

1,2 ; ( 1,1)x y .

Задание 3. Вычислить скалярное произведение векторов

2,3 ; ( 3,2)x y .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА

ПЛОСКОСТИ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Цель: понятие уравнения линии на плоскости; составление уравнения прямой на плоскости; условия параллельности и перпендикулярности прямых; вычисление угла между прямыми и

расстояния от точки до прямой.Теоретические вопросы1. Понятие об уравнении линии на плоскости.2. Параметрическое представление линии.3. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.4. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости.5. Вычисление угла между прямыми на плоскости.6. Вычисление точки пересечения двух линий на плоскости.Задание 1. Вычислите расстояние от точки x до прямой A

1,2 ; 6 3 5 0x A x y .

Задание 2. Вычислите угол между прямыми A и B.

6 3 5 0; 4 2 2 0A x y B x y .

6

Задание 3. Найдите точку пересечения двух прямых.6 3 5 0; 4 2 2 0A x y B x y .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5. СОСТАВЛЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ

ОКРУЖНОСТИ И ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ

Цель: уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.Теоретические вопросы1. Каноническое уравнение окружности.2. Каноническое уравнение эллипса.3. Каноническое уравнение гиперболы.4. Каноническое уравнение параболы.5. Характеристики окружности и эллипса.6. Директрисы Гиперболы и параболы.Задание 1. Найдите большую и малую полуоси и эксцентриситет эллипса

2 2

49 4

x y .

Задание 2. Напишите уравнение окружности с заданным центром в точке х и радиусом R

(2,1); 1x R .

Задание 3. Дайте определения геометрического места точек, определяющих окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Задание 4. Постройте на графике (приблизительно) кривую гиперболы, фокусы которой

расположены в точках (–2, 0) и (2, 0).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Цели: понятие предела функции в точке; односторонние пределы; понятие предела функции в

бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины; теоремы о пределах; признаки существования предела; замечательные пределы; вычисление пределов.

Теоретические вопросы1. Определение предела функции. 2. Основные определения о пределах.3. Виды неопределенностей, примеры.4. Практическое вычисление пределов.5. Первый замечательный предел.6. Второй замечательный предел.7. Сравнение бесконечно малыхЗадание 1. Вычислить пределы функций

2 2

2 20 0

3 2 4 3 2 4 3 4lim ; lim ; lim

5 3 2 5 3 2 5 3 2x x x

x x x x x x

x x x x x x

.

7

Задание 2. Раскрыть неопределенности

0

sin 3 1lim ; lim 1

sin 2

x

x x

x

x x

.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Цели: непрерывность функции в точке; непрерывность функции на промежутке; точка разрыва; исследование функций на непрерывность.

Теоретические вопросы1. Определение непрерывности функции в точке.2. Свойства непрерывных функций.3. Точки разрыва и их классификация.4. Свойства функций непрерывных на отрезке.5. Непрерывность основных элементарных функций.Задание 1. Найдите односторонние пределы функций в точке разрыва

2

2

1

2 1

xy

x x

.

Задание 2. Определить вид точки разрыва функции2

2

1

2 3

xy

x x

.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Цели: задачи, приводящие к понятию производной; определение производной; геометрический и механический смысл производной; связь между непрерывностью и

дифференцируемостью функции; правила и формулы дифференцирования; производная сложной

и обратной функции; производные высших порядков.Теоретические вопросы1. Определение производной.2. Геометрический смысл производной.3. Задачи, приводящие к понятию производной.4. Правила и формулы дифференцирования. Производная суммы, разности, произведения и

частного двух функций.5. Производная сложной и обратной функции.6. Производные высших порядков.7. Связь между производной и непрерывностью функции в точке.Задание 1. Вычислить первые производные функций.

Задание 2. Вычислить вторые производные функций.

8

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9. ВЫПОЛНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Цели: понятие дифференциала функции; геометрический смысл дифференциала; применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Теоретические вопросы1. Определение дифференцируемости функции в точке.2. Теорема о связи дифференцируемости с существованием производной3. Геометрический смысл дифференциала.4. Свойства дифференциалов.5. Использование дифференциалов в приближенных вычислениях.6. Производные и дифференциалы высших порядков.7. Дифференциал функции двух переменных.Задание 1. Найти приращение функции f(x) в точке х = 1, если приращение аргумента равно

0,1

2( ) 2 1f x x x .

Задание 2. Найдите дифференциал функции одной переменной( ) sin(2 )f x x .

Задание 3. Найдите дифференциалы функций двух переменных1

( , ) sin(2 )f x y xyx y

.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ

ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Цели: усвоить понятия возрастания и убывания функции, экстремума функции; нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; выпуклость графика функции; точки

перегиба; нахождение асимптот кривой; исследование функций с помощью производной; полная схема исследования функции.

Теоретические вопросы1. Определение возрастающей и убывающей функции. Признаки возрастания и убывания

функции.2. Понятие экстремума функции.3. Алгоритмы нахождения точек экстремума функции.4. Алгоритмы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

функции.5. Понятия выпуклости и вогнутости функции.6. Понятие точки перегиба.7. Алгоритм нахождения точек перегиба.8. Нахождение асимптот функции.Задание 1. Найдите области возрастания и убывания функций

3 2 3 2( ) 13 44 32; ( ) 2 4 3f x x x x f x x x x .

9

Задание 2. Найдите точки экстремума функций на отрезке [0, 10]

2 2( ) 2 6 4; ( ) 14 45f x x x f x x x .

Задание 3. Постройте графики функций3 2 3 2( ) 3 4 2; ( ) 2 5 4 1f x x x x f x x x x .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ И ПО

ЧАСТЯМ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Цели: усвоить понятие первообразной функции; понятие неопределенного интеграла; свойства неопределенного интеграла; основные формулы интегрирования; методы

интегрирования; вычисление интегралов методом непосредственного интегрирования, методом

подстановки.Теоретические вопросы1. Определение интеграла функции как предела суммы.2. Геометрический смысл интеграла.3. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл.4. Определенный интеграл.5. Интегрирование элементарных функций.6. Свойства интеграла.7. Метод интегрирования по частям.8. Метод интегрирования путем замены переменных.Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы от функций

Задание 2. Вычислить определенные интегралы от функций

Задание 3. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 12. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Цель: усвоить методы вычисления площадей плоских фигур и объемов тел вращения.Теоретические вопросы1. Понятие определенного интеграла.2. Геометрический смысл определенного интеграла.3. Использование определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

10

Задание 1. Вычислить площадь фигуры под функциями на отрезке [0, 2]

2 2 4 12 ; 4 4 ;

2y x x y x x y

x

.

Задание 2. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Х функций на отрезке [0, 2]

2 2 4 123 1; 4 2 2;

2 4y x x y x x y

x

.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПРИБЛИЖЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Цели: усвоить методы вычисления объемов тел вращения; Познакомиться с методами

приближенного вычисления интегралов.Теоретические вопросы1. Понятие квадратурной формулы для приближенного вычисления интеграла.2. Метод прямоугольников приближенного вычисления интеграла.3. Метод трапеций приближенного вычисления интеграла.4. Метод Симпсона приближенного вычисления интеграла.5. Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.Задание 1. Вычислить объемы тел вращения функций y = f(x) вокруг оси Х на отрезке [0, 2]

Задание 2. Найти приближенные значения определенных интегралов методом

прямоугольников

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 14. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД СОБЫТИЯМИ. ПРИМЕНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ

ВЕРОЯТНОСТИ

Цели: формулировка предмета теории вероятностей; понятия испытания и события; виды

событий; виды случайных событий; операции над событиями; частота и вероятность события; классическое определение вероятности события; вычисление вероятности; комбинаторика.

Теоретические вопросы1. Понятие события и вероятности события. Достоверное и невозможное событие.2. Полная группа событий, примеры.3. Классическая формула вычисления вероятности события. 4. Статистическая вероятность события. Теорема Бернулли.5. Дискретная и непрерывная случайная величины.6. Сумма и произведение случайных событий.7. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.8. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

11

9. Комбинаторика. Основные формулы. Формулы числа размещений, сочетаний, перестановок с повторениями и без.

Задание 1. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынимают одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.Задание 2. 37. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынули одно яблоко

и отложили в сторону. Это яблоко оказалось зелёным. После этого из корзины берут ещё одно

яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.Задание 3. В лифт вошли шесть человек. В здании семь этажей. Каковы вероятности

следующих событий: а) все шестеро выйдут на одном этаже; б) все шестеро выйдут на разных

этажах.Задание 4. Во время грозы на участке между 40 и 70 километрами телефонной линии

произошёл обрыв провода. Считая, что обрыв одинаково возможен в любой точке, найти

вероятность того, что обрыв расположен между 40 и 45 километрами.Задание 5. Рыбаки поймали в пруду 100 рыб, окольцевали их и выпустили назад в воду. На

следующий день они поймали 120 рыб, из которых 10 оказались окольцованными. Найти: а) вероятность того, что выловленная рыба окольцована; б) количество рыб в пруду.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 15. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПО ТЕОРЕМАМ

СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПО

ФОРМУЛЕ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛЕ БЕЙЕСА

Цели: теоремы сложения вероятностей; условная вероятность; независимость событий; теоремы умножения вероятностей; формула полной вероятности; формула Бейеса. вычисление вероятностей; последовательность независимых испытаний; формула Бернулли. локальная, интегральная теоремы Лапласа. теорема Пуассона. вычисление вероятностей.

Теоретические вопросы1. Условная вероятность. Формула условной вероятности.2. Формула умножения вероятностей.3. Независимые события.4. Формула полной вероятности.5. Формула Байеса.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.Задание 1. Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков.

Какова при этом вероятность того, что выпало нечётное число очков?Задание 2. Вычислить вероятность выпадения двух шестерок на двух игральных костях, если

сумма выпавших очков четна.Задание 3. Известно, что 5 % мужчин и 0,25 % женщин – дальтоники. Какова вероятность

того, что наугад выбранный человек – дальтоник, если выбор производится из группы, содержащей равное число мужчин и женщин?

Задание 4. Правильная монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб

выпадет от 4 до 6 раз.

12

Задание 5. Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру.ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 16. СОСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Цели: изучить числовые характеристики дискретных случайных величин; математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины; закон больших чисел.

Теоретические вопросы1. Закон распределения дискретной случайной величины.2. Табличное задание закона распределения.3. Графическое задание закона распределения.4. Функция распределения случайной величины.5. Свойства функции распределения. 6. Вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин. Математическое

ожидание, дисперсия.7. Примеры распределений дискретных случайных величин.Задание 1. Подбрасывают два игральных кубика. Случайная величина X − сумма выпавших

очков. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию.Задание 2. Закон распределения двух случайных величин X и Y задан следующими

таблицами. Найти математической ожидание и дисперсию каждой величины.

Задание 3. Подбрасывают два игральных кубика. Случайная величина X − сумма выпавших

очков. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию.Задание 4. Две случайные величины X и Y заданы своими законами распределения:

1. Вычислите M (X − 2Y) и D(X − 2Y).

2. Вычислите M (2X + 3Y) и D(2X + 3Y) (М – математическое ожидание, D – дисперсия).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 17. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ, ГРАФИКОВ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ

ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Цели: предмет и задачи математической статистики; понятие генеральной совокупности и

выборки; вариационный ряд; эмпирическая функция распределения; графики эмпирического

распределения; эмпирические числовые характеристики. Теоретические вопросы1. Методы математической статистики.2. Генеральная совокупность. Выборка.

13

3. Вариационный и статистический ряды.4. Эмпирическая функция распределения.5. Графики эмпирического распределения. Эмпирические числовые характеристики. 6. Выборочные числовые характеристики7. Оценки параметров распределения.Задание 1. Дан дискретный статистический ряд признака:

Найти среднее значение, математическое ожидание, медиану, дисперсию.Задание 2. Дана выборка объема n: x1 , x2, ..., xn. Если каждый элемент выборки увеличить в

пять раз, то как изменится выборочное среднее и дисперсия выборочное среднее?Задание 3. Дана выборка объема n: x1 , x2, ..., xn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5

единиц, то как изменится выборочное среднее? Задание 4. Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. Как изменится при

этом эмпирическая дисперсия?

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:1. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Математика. – М.: Академия. 2019.

Дополнительные источники:1. Баврин, И. И. Математика : учебник и практикум для среднего профессионального

образования / И. И. Баврин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. —

616 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-04101-9. — Текст : электронный //

ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/426511.

2. Баврин, И. И. Математика для технических колледжей и техникумов : учебник и практикум

для среднего профессионального образования / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 397 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-

08026-1. — Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/matematika-dlya-tehnicheskih-kolledzhey-i-

tehnikumov-434618