7. Οπτικό Φασματοσκόπιο

Σελίδα

1. Σκοπός της άσκησης. .............................................................................................. 1 2. Στοιχεία θεωρίας ..................................................................................................... 1 2.1 Εισαγωγικά – φωτεινές πηγές – κατηγορίες φασμάτων ......................................... 1 2.2 Οπτικά στοιχεία ανάλυσης του φωτός. ................................................................... 2 2.2.1. Το πρίσμα. 2.2.2. Το φράγμα περίθλασης. 2.3 Διάταξη & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου ............................................... 4 2.3.1 Φασματοσκόπιο πρίσματος. 2.3.2 Φασματοσκόπιο φράγματος. 2.4 Σύγκριση Φασματοσκοπίου Πρίσματος & Φράγματος .......................................... 6 3. Πειραματική διάταξη .............................................................................................. 7 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων ................................................ 8 4.1 Μέτρηση θλαστικής γωνίας πρίσματος .................................................................. 8 4.2 Καμπύλη βαθμονόμησης & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου πρίσματος .. 9 4.3 Εξάρτηση γωνίας εκτροπής από τη γωνία πρόσπτωσης ....................................... 10 4.4 Φασματοσκόπιο φράγματος: Προσδιορισμός καμπύλης βαθμονόμησης, σταθεράς φράγματος & διακριτικής ικανότητας......................................................................... 11 5. Βιβλιογραφία.......................................................................................................... 12

Οπτικό Φασματοσκόπιο 1/12

Οπτικό Φασματοσκόπιο 1. Σκοπός της άσκησης.

Στην άσκηση αυτή θα εξοικειωθείτε με την ανάλυση του φωτός χρησιμοποιώντας οπτικό φασματοσκόπιο τόσο πρίσματος όσο και φράγματος. Το όργανο θα βαθμονομηθεί με γνωστό γραμμικό φάσμα εκπομπής (του στοιχείου Καδμίου) και θα γίνει εκτίμηση της διακριτικής του ικα-νότητας. 2. Στοιχεία θεωρίας.

2.1 Εισαγωγικά – φωτεινές πηγές – κατηγορίες φασμάτων.

Το οπτικό φασματοσκόπιο περιλαμβάνει μία πηγή φωτός, κάποιο οπτικό στοιχείο ανάλυσης του φωτός της πηγής και ένα σύστημα παρατήρησης ή/και καταγραφής της έντασης του αναλυμέ-νου φωτός ως συνάρτησης του μήκους κύματός του. Το όργανο χρησιμοποιείται για τον φασματικό χαρακτηρισμό της φωτεινής πηγής ενώ για να βαθμονομηθεί απαιτείται συνήθως μια άλλη πηγή με γνωστό φασματικό περιεχόμενο. Οι πηγές φωτός μπορεί να είναι φυσικές (πχ Ήλιος ή άλλα άστρα) ή τεχνητές (λυχνίες πυρακτώσεως, τόξου, ηλεκτρικών εκκενώσεων, lasers κα). Τα φάσματα κατη-γοριοποιούνται σε συνεχή – σχήμα 1(α) – (κυρίως από ακτινοβολούντα στερεά, υγρά η αέρια μέσα σε υψηλές θερμοκρασίες - ακτινοβολία μέλανος σώματος), γραμμικά – σχήμα 1(β,γ) – (από ακτινο-βολούντα ατομικά αδρανή αέρια η ατμοί μετάλλων σε συνθήκες ηλεκτρικών εκκενώσεων) και ται-νιωτά (πχ ακτινοβολούντα διεγερμένα μόρια).

Συνεχές Φάσμα

Γραμμικό Φάσμα Εκπομπής

Γραμμικό Φάσμα Απορρόφησης

(α) Συνεχές (β) Εκπομπής (γ) Απορρόφησης

Μήκος Κύματος

Διεγερμένο αέριο

Μη-διεγερμένο αέριο

Φωτεινή ισχύς

Σχήμα 1.

Τα γραμμικά (και ταινιωτά) φάσματα χωρίζονται με τη σειρά τους σε δύο μεγάλες κατηγορίες τα φάσματα εκπομπής, σχήμα 1(β), και τα φάσματα απορρόφησης, σχήμα 1(γ). Στα πρώτα τα άτομα ή μόρια είναι διεγερμένα και αποδιεγείρονται εκπέμποντας φως μόνο σε συγκεκριμένα μήκη κύματος που συνδέονται με τις ενεργειακές διαφορές των ενεργειακών τους επιπέδων (θυμηθείτε το μοντέλο του Bohr για το άτομο του Υδρογόνου). Στα φάσματα απορρόφησης από την άλλη, συνεχές φάσμα μιας κατάλληλης πηγής διέρχεται από δείγμα ατόμων ή μορίων που βρίσκονται στη βασική (ή θε-μελιώδη) τους κατάσταση. Αυτά απορροφούν το φως τη πηγής επιλεκτικά, δηλαδή απορροφούνται εκείνα μόνο τα μήκη κύματος που πάλι συνδέονται με τις ενεργειακές διαφορές των διεγερμένων ενεργειακών επιπέδων με τη βασική τους κατάσταση. Τα δύο αυτά είδη φασμάτων δίνουν πληρο-φορίες για την ενεργειακή δομή των ατόμων ή μορίων μια και τα φάσματα συγκεκριμένων στοι-

χείων ή μορίων αποτελούν το «δακτυλικό τους αποτύπωμα». Συνεπώς μπορούμε από τα φάσματα αυτά να αναγνωρίσουμε ποιο ή ποια στοιχεία υπάρχουν στη φωτεινή πηγή και σε αρκετές περιπτώ-σεις και σε ποια αναλογία. 2.2 Οπτικά στοιχεία ανάλυσης του φωτός. 2.2.1 Το πρίσμα.

Στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης του Φωτός έχουμε ήδη αναφερθεί και εξοικειω-θεί με την εκτροπή του φωτός από πρίσμα1. Μάλιστα χρησιμοποιώντας τη σχέση που συνδέει το δείκτη διάθλασης, n, του υλικού του πρίσματος με τη γωνία ελάχιστης εκτροπής εmin και τη θλαστι-κή γωνία Α,

2

Asin

2

Asin min

1

nn (1)

(n1= nαέρα1) ο n προσδιορίστηκε για το μήκος κύματος του laser He/Ne που χρησιμοποιήθηκε ως φωτεινή πηγή. Για ένα άλλο μήκος κύματος όμως θα βρίσκαμε διαφορετικό δείκτη διάθλασης και αυτό γιατί ο τελευταίος εξαρτάται από το μήκος κύματος. Στο φαινόμενο αυτό της Διασποράς ή Διασκεδασμού στηρίζεται η ανάλυση του φωτός στο φασματοσκόπιο πρίσματος. Παράδειγμα της εξάρτησης του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος φαίνεται στο σχήμα 2.

Παρατηρούμε ελάττωση του n όσο αυξάνει το λ. Η συμπεριφορά αυτή ονομάζεται ομαλός διασκε-δασμός. Στην αντίθετη περίπτωση μιλάμε για ανώμαλο διασκεδασμό που εμφανίζεται μόνο κοντά στις φασματικές περιοχές όπου το εκάστοτε υλικό απορροφά την ακτινοβολία. Αν και η ακριβής εξάρτηση n(λ) προκύπτει αυστηρά από τη μελέτη της αλληλεπίδρασης της ύλης με το φως, για την περιοχή της ομαλής διασποράς (που προτιμάται κατά την ανάλυση του φωτός) έχουν αναπτυχθεί προσεγγιστικές αλλά αξιόπιστες εμπειρικές σχέσεις. Μία από αυτές είναι η σχέση του Cauchy,

2λ

BAn Α, Β>1 (2)

όπου Α και Β σταθερές που χαρακτηρίζουν το υλικό (πχ για την πυριτύαλο A=1.595 και B=8.33105 Å2 – λ εκφρασμένο σε Å - 1 Å = 10-10 m). Υποθέτοντας ομαλό διασκεδασμό και χρη-

1 Συμβουλευτείτε στο σημείο αυτό τις θεωρητικές παραγράφους της άσκησης αυτής που αφορούν το πρίσμα.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 2/12

σιμοποιώντας το νόμο του Snell για τη διάθλαση αποδεικνύεται εύκολα ότι τόσο η γωνία εκτροπής όσο και, ειδικότερα, η γωνία ελάχιστης εκτροπής μειώνονται όσο αυξάνεται το μήκος κύματος (σχήμα 3), πχ το κόκκινο χρώμα εκτρέπεται λιγότερο από το μπλε.

Εκτός από τη δυνατότητα εύκολης εύρεσης του δείκτη διάθλασης μέσω της (1), η γωνία ελάχιστης εκτροπής παρουσιάζει και μια ακόμη ιδιαιτερότητα. Συγκεκριμένα, μεγιστοποιεί τη χρωματική δια-σπορά

λd

dD

(3)

συνεπώς και τη δυνατότητα χρωματικής ανάλυσης του πρίσματος. Για το λόγο αυτό με το φασμα-τοσκόπιο πρίσματος εργαζόμαστε πάντα κοντά στη γωνία ελάχιστης εκτροπής και με τη φράση

4000 4500 5000 5500 6000 6500

47.5

48.0

48.5

49.0

49.5

50.0

50.5

ε min (λ)

(ο )

λ (Å)Σχήμα 4.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 3/12

“βαθμονόμηση (ή βαθμολογία) του φασματοσκοπίου” εννοούμε την εύρεση της καμπύλης εmin(λ) (σχήμα 4). 2.2.2 Το φράγμα περίθλασης.

Στην άσκηση της περίθλασης του φωτός Ι&ΙΙ2 γνωρίσαμε τη σχέση που δίνει τις θέσεις (γωνίες) των μεγίστων που παρατηρούνται όταν φωτεινή δέσμη προσπέσει κάθετα σε περιθλαστικό φράγμα dsin(θn)=nλ, n=0,±1, ±2,…,±nmax (4) (nmax≤d/λ) όπου d η ονομαζόμενη σταθερά του φράγματος που συνδέεται με τον αριθμό χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν μέσω της απλής έκφρασης,

d

N1

. (5)

Στη σχέση (4) παρατηρούμε ότι για την ίδια τάξη περίθλασης n≠0 η γωνία περίθλασης θn εξαρτάται από το μήκος κύματος και μάλιστα αυξάνει με αυτό (σε αντίθεση με τη γωνία εκτροπής για το πρί-σμα). Τη διασπορά λόγω της περίθλασης χρησιμοποιούμε για την ανάλυση του φωτός στο φασμα-τοσκόπιο φράγματος. Η αντίστοιχη με την (3) χρωματική διασπορά για δεδομένη τάξη γράφεται

λ, d

dD n

n

. (6)

Στη περίπτωση του φασματοσκοπίου φράγματος με τον όρο “βαθμονόμηση του φασματοσκοπίου” εννοούμε την εύρεση της καμπύλης θn(λ), ή ακριβέστερα sin[θn(λ)]. Λόγω της (4), η διαδικασία βαθμονόμησης ουσιαστικά ανάγεται στην εύρεση της σταθεράς του φράγματος. 2.3 Διάταξη & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου.

Θεωρούμε τη κλασσική διάταξη φασματοσκοπίου πρίσματος του σχήματος 5(α). Στο φα-σματοσκόπιο φράγματος στην ίδια διάταξη αντικαθιστούμε το πρίσμα με φράγμα (σχήμα 5(β)). Το φως από την εκτεταμένη πηγή περνά από τη λεπτή σχισμή S. Ο φακός F1 παραλληλίζει το φως πριν αυτό προσπέσει στο πρίσμα το οποίο θεωρούμε ισόπλευρο (A=60ο) πλευράς b.

2 Συμβουλευτείτε τις θεωρητικές παραγράφους της άσκησης αυτής που αφορούν το φράγμα περίθλασης.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 4/12

Μετά την ανάλυση το φως εστιάζεται από φακό F2 σε οθόνη Ο. Οι φακοί F1 και F2 συμβολίζουν στη πραγματικότητα συστήματα φακών (π.χ. τηλεσκόπια ή/και το μάτι) και η ο-θόνη μπορεί να είναι ο αμφιβληστροειδής χιτώνας του μα-τιού. Έστω τώρα ότι η φωτεινή δέσμη περιέχει δύο κοντινά μήκη κύματος λ και λ + dλ. Η διαφορά μηκών κύματος θα προκαλέσει μια μικρή διαφορά γωνιών εξόδου από το πρί-σμα ή φράγμα με αποτέλεσμα η δέσμη μήκους κύματος λ + dλ να απεικονιστεί σε ένα σημείο της οθόνης, μετατοπισμέ-νο κατά dx σε σχέση με το σημείο εστίασης της δέσμης μή-κους κύματος λ. Σύμφωνα με τη γεωμετρική οπτική και ε-φόσον στην οθόνη απεικονίζουμε τη σχισμή S θα περιμένα-με να παρατηρήσουμε σε αυτή δύο φωτεινές γραμμές. Στη πραγματικότητα λόγω φαινομένων περίθλασης θα παρατη-ρήσουμε δύο φωτεινές κατανομές, όμοιες με αυτές που πα-ρατηρήσαμε κατά την άσκηση της περίθλασης του φωτός μετά από πρόσπτωση σε λεπτή σχισμή ([sin(ξ)/ξ]2) (σχήμα 6). Εάν η επικάλυψη των δύο κατανομών είναι μεγάλη (πο-λύ μικρή απόσταση dx) είναι πιθανό ο διαχωρισμός των δύο χρωμάτων να μην είναι δυνατός. Υπάρχουν πολλά κριτήρια βάσει των οποίων θεωρούμε ότι οι δύο γραμμές μόλις που διαχωρίζονται. Το συνηθέστερο είναι το κριτήριο Rayleigh όπου θεωρούμε ότι δύο κατανομές μόλις που διαχωρίζονται εάν το κύριο μέγιστο την μίας συμπίπτει με το πρώτο περιθλαστικό ελάχιστο της άλλης (σχήμα 6). Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω μπορούμε να εκτιμήσουμε τη διακριτική ικανότητα του φασματο-σκοπίου που ορίζεται ως

Δλ

λ

λ

λ

dR . (7)

Επιθυμητός προφανώς είναι ο μέγιστος βαθμός διαχωρισμού των φασματικών γραμμών δηλαδή η μέγιστη δυνατή διακριτική ικανότητα. Στη πράξη για δύο μήκη κύματος λ1 και λ2 που είναι τα κο-ντινότερα για τα οποία ικανοποιείται το κριτήριο Rayleigh έχουμε

2

λλλ 21 (8)

και Δλ=|λ1-λ2|. (9) Αποδεικνύεται ότι η διακριτική ικανότητα συνδέεται με τη χρωματική διασπορά μέσω της σχέσης R=D· (10) όπου D δίνεται από την (3) για φασματοσκόπιο πρίσματος (υπολογισμένη στη γωνία ελάχιστης ε-κτροπής) ή την (6) για φασματοσκόπιο φράγματος αντίστοιχα και το πλάτος της φωτεινής δέσμης μετά το στοιχείο ανάλυσης (σχήμα 5). 2.3.1 Φασματοσκόπιο πρίσματος.

Η σχέση (10) απλοποιείται περαιτέρω κατά περίπτωση. Ειδικά για το φασματοσκόπιο πρί-σματος και μετά από μακροσκελή απόδειξη βρίσκουμε ότι

λ

bd

dnR (11)

όπου υποθέσαμε ότι το πρίσμα φωτίζεται ολόκληρο (εάν δεν φωτίζεται ολόκληρο τότε αντί για τη πλευρά του πρίσματος b θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη διάσταση του φωτισμένου μέρους του). Συνδυάζοντας την (11) με τη σχέση του Cauchy (2) βρίσκουμε ότι

Οπτικό Φασματοσκόπιο 5/12

3λ

bB

R (12)

που υποδηλώνει έντονη εξάρτηση της διακριτικής ικανότητας από το μήκος κύματος. 2.3.2 Φασματοσκόπιο φράγματος.

Μετά από εξ’ ίσου μακροσκελή απόδειξη η (10) δίνει για το φασματοσκόπιο φράγματος Rφ=nN (13) με N τον ολικό αριθμό των χαραγών που φωτίζονται. Ο τελευταίος γράφεται ως N =L/d=L·N (14) με L το πλάτος της προσπίπτουσας φωτεινής δέσμης (σχήμα 5(β)). Ο αριθμός N δεν πρέπει να συγ-χέεται με τον αριθμό χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν. Η (13) δηλώνει ότι η διακριτική ικανότητα του φασματοσκοπίου φράγματος είναι ανεξάρτητη του μήκους κύματος και αυξάνει με τη τάξη n. 2.4 Σύγκριση Φασματοσκοπίου Πρίσματος & Φράγματος. Κάθε τύπος φασματοσκοπίου έχει τα δικά του χαρακτηριστικά και πλεονε-κτήματα/μειονεκτήματα. Κατ΄ αρχήν για το πρίσμα η εκτροπή αυξάνει καθώς μειώ-νεται το μήκος κύματος, αντίθετα από ότι συμβαίνει με το φράγμα. Αυτό όμως δεν έχει ιδιαίτερη πρακτική σημασία. Από την άλλη, στο φασματοσκόπιο πρίσματος η διαθλώμενη, αναλυμένη κατά λ, δέσμη είναι μόνο μία, με αποτέλεσμα να είναι αρκετά ισχυρή (δεν υπάρχουν απώλειες φωτεινής ισχύος εκτός από αυτές που ο-φείλονται στην ανάκλαση στις δύο μεσε-πιφάνειες πρίσματος-αέρα). Η παρατήρη-ση λοιπόν του φάσματος είναι άνετη. Α-ντίθετα, στο φασματοσκόπιο φράγματος έχουμε πολλαπλότητα φασμάτων, μία για κάθε τάξη 0≤|n|≤d/λ (σχήμα 7). Όσο με-γαλύτερη η τάξη τόσο μικρότερο το πο-σοστό ισχύος που της αντιστοιχεί. Συνε-πώς πρακτικά η παρατήρηση ή καταγραφή του φάσματος δεν είναι μερικές φορές εύ-κολο να πραγματοποιηθεί σε μεγάλες τά-ξεις και συνήθως υπάρχει κάποιος συμβι-βασμός μεταξύ απαιτούμενης διακριτικής ικανότητας και άνετης παρατήρησης. Επι-πλέον, η πολλαπλότητα των φασμάτων δημιουργεί και το πρόβλημα της επικάλυψης των φασματι-κών γραμμών (σχήμα 7). Θεωρήστε π.χ. τα μήκη κύματος λα και λβ για τα οποία ισχύει nαλα=nβλβ (15) για τις δύο τάξεις nα και nβ. Τότε, σύμφωνα με την (4), τα δύο μήκη κύματος στις δύο αυτές τάξεις εκτρέπονται κατά την ίδια γωνία και δεν είναι δυνατός ο διαχωρισμός τους. Στο πείραμα που θα πραγματοποιήσετε υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όπου η (15) ισχύει είτε ακριβώς είτε προσεγγι-στικά. Αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω συνηγορούν υπέρ του φασματοσκοπίου πρίσματος. Στα πλεονεκτήματα του φασματοσκοπίου φράγματος όμως συγκαταλέγεται η ανεξαρτησία της διακρι-τικής του ικανότητας από το μήκος κύματος (σε αντίθεση με αυτή του φασματοσκοπίου πρίσματος όπου η διακριτική ικανότητα εμφανίζει έντονη εξάρτηση από το λ). Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό

Οπτικό Φασματοσκόπιο 6/12

με τη μεγαλύτερη διακριτική ικανότητα του φράγματος (για σύνηθες φράγμα και πρίσμα παρεμφε-ρών διαστάσεων) έχουν ως αποτέλεσμα τα σύγχρονα φασματοσκόπια να χρησιμοποιούν σχεδόν αποκλειστικά φράγματα ως στοιχεία ανάλυσης του φωτός. 3. Πειραματική διάταξη.

Η διάταξη του φασματο-σκοπίου φαίνεται στο σχήμα 8(α). Η πηγή φωτός αποτελείται από λυχνία εκκένωσης η οποία τροφο-δοτείται από κατάλληλο τροφοδο-τικό. Η λυχνία είναι ευαίσθητη και για το λόγο αυτό μη διακόπτετε και επανεκκινείτε συχνά το τρο-φοδοτικό. Επίσης πρέπει να απο-φεύγεται η απότομη μετακίνηση της λυχνίας όταν λειτουργεί. Πρέ-πει να αποφεύγεται ακόμη και η αφαίρεση του καλύμματός της διότι και το γυάλινο τοίχωμά της είναι εύθραυστο αλλά και μπορεί να εκπέμπει μερικές φασματικές γραμμές του υπεριώδους που είναι βλαβερές για τα μάτια. Η παρατή-ρηση του φωτός της λυχνίας πρέ-πει να πραγματοποιείται μόνο μέ-σα από τα οπτικά στοιχεία του φασματοσκοπίου. Αυτά είναι ο κατευθυντήρας και το τηλεσκόπιο (σχήμα 8(α)) οι φακοί των οποίων είναι κατασκευασμένοι από γυαλί που απορροφά το υπεριώδες. Ο κατευθυντήρας περιλαμβάνει σχι-σμή ρυθμιζόμενου πλάτους. Το πλάτος αυτό πρέπει να είναι το μικρότερο δυνατό (λεπτές φωτεινές γραμμές) για το οποίο έχουμε άνετη παρατήρηση. Το τηλεσκόπιο αποτελείται από δύο φακούς εκ των οποίων ο δεύτερος (ο κο-ντινότερος στο μάτι-προσοφθάλμιος) είναι μετακινούμενος ώστε ο παρατηρητής να εστιάζει σύμ-φωνα με τις ανάγκες του (πχ μύωπας) και να βλέπει ευκρινώς τις φασματικές γραμμές. Στο κινού-μενο στέλεχος του τηλεσκοπίου υπάρχει και σταυρόνημα (×) το οποίο θα πρέπει κάθε φορά να συ-μπίπτει με την προς μέτρηση φωτεινή γραμμή. Το οπτικό στοιχείο ανάλυσης του φωτός (πρίσμα ή φράγμα) τοποθετείται σε ειδική περιστρεφόμε-νη βάση στήριξης για την οποία υπάρχει βίδα ασφάλισης ώστε να μη περιστρέφεται εάν αυτό είναι επιθυμητό. Η βάση είναι τοποθετημένη στο κέντρο γωνιομετρικού δίσκου 0-360ο για τον οποίο υ-πάρχει αντίστοιχη βίδα ασφάλισης. Η ελάχιστη υποδιαίρεση του δίσκου είναι 0.5ο. Το όργανο περι-λαμβάνει και κυκλικό βερνιέρο που κινείται ως σύνολο με το τηλεσκόπιο και έχει τριάντα υποδιαι-ρέσεις με ελάχιστη 1' (60'=1ο). Στο σχήμα 8(β) φαίνεται παράδειγμα χρήσης του βερνιέρου. Θα καταγράφετε λοιπόν τις μετρούμενες γωνίες σε μοίρες + λεπτά της μοίρας. Κατά τη εργασία στο σπίτι θα απαιτηθεί μετατροπή των λεπτών σε δεκαδικά μέρη της μοίρας. Με το γωνιομετρικό δίσκο και το βερνιέρο μετρούμε τις γωνίες ως διαφορές μεταξύ της αρχικής και της τελικής ένδειξης του οργάνου. Για μεγαλύτερη ευκολία θέτουμε την αρχική ένδειξη του ορ-γάνου ίση με το μηδέν ακολουθώντας της παρακάτω διαδικασία (σχήμα 9):

Σχήμα 8.

(α) Τροφοδοτικό

κατευθυντήρας πρίσμα

τηλεσκόπιο

Λάμπα

155ο και 15' = 155.25ο (β)

Γωνιομετρικός δίσκος

Βίδα ασφάλισης δίσκου

Γ. βερνιέρος

Σχήμα 8.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 7/12

Αφαιρέστε, εάν υπάρχει, το οπτικό στοιχείο ανάλυσης του φωτός. Ειδικά για το φράγμα, μην ακουμπάτε πο-τέ με τα δάκτυλά σας τη χαραγμένη του περιοχή. Ακολουθήστε τις οδηγίες του διδάσκοντα.

Σχήμα 9.

φο=0 0/360 0

φο=0

Cd

Βερνιέρος

Απασφαλίστε το γωνιομετρικό δίσκο ώστε να περι-στρέφεται ελεύθερα.

Μετακινήστε το τηλεσκόπιο ώστε το σταυρόνημά του να συμπέσει με τη μη-αναλυμένη φωτεινή γραμμή που προέρχεται από τη λυχνία (το ανοιχτό γαλάζιο χρώμα της προέρχεται από τη σύνθεση των χρωμάτων που εκ-πέμπει – θυμηθείτε το δίσκο του Νεύτωνα). Ταυτόχρο-να μετακινείται και ο βερνιέρος.

Περιστρέψτε το γωνιομετρικό δίσκο ώστε η χαραγή του με ένδειξη 0 να συμπέσει με τη χαραγή με ένδειξη 0 του βερνιέρου. Τότε ασφαλίστε ξανά το γωνιομετρικό δίσκο. Δεν θα χρειαστεί άλλη ρύθμιση κατά τη διάρκεια όλων των πειραμάτων που θα πραγματοποιήσετε. Ση-μειώστε ότι η αυτή η αρχική ένδειξη φο=0 αντιστοιχεί είτε σε 0ο είτε 360ο.

4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρή-σεων. 4.1 Μέτρηση θλαστικής γωνίας πρίσματος. Τοποθετείστε το πρίσμα στη βάση του. Η ονομαστική τιμή της θλαστικής γωνίας είναι Α=60ο. Τη τιμή αυτή θα επιβεβαιώσετε (ή απορρίψετε!) πειραματικά. Θα εργαστείτε σύμφωνα με το σχήμα 10. Όταν η διεύθυνση της φωτεινής δέσμης από το κατευθυντήρα είναι παράλληλη με τη διχοτόμο του πρίσματος αποδεικνύεται, χρησιμοποιώντας τον νόμο της ανάκλασης και γεωμετρι-κούς συλλογισμούς, ότι η γωνία που σχηματίζεται από τις δύο ανακλώμενες δέσμες είναι ίση με 2Α. Αποδείξτε το στην εργασία που θα παραδώσετε. Στη πραγματικότη-τα το ίδιο συμβαίνει ακόμη και όταν η διεύθυνση της δέσμης δεν είναι παράλληλη με τη διχοτόμο του πρί-σματος και συνεπώς δεν απαιτείται ακριβής τοποθέτησή του. Ακολου-θείστε τα παρακάτω βήματα:

Σχήμα 10.

φο=0 0/360

φ2

φ1

Α

2Α

φ1 φ'2=360-φ2

1. Μετακινείστε το τηλεσκόπιο ώστε το σταυρόνημά του να συμπέσει με τη πρώτη ανακλώμενη φωτεινή γραμμή και μετρήστε την ένδειξη φ1. 2. Επαναλάβατε για τη δεύτερη ανα-κλώμενη δέσμη και μετρήστε την ένδειξη φ2. 3. Επαναλάβατε τα δύο παραπάνω βήματα περίπου 5-10 φορές (κάθε μέλος της ομάδας να μετρήσει του-λάχιστον δύο φορές) και συγκε-ντρώστε τις μετρήσεις φ1i και φ2i σε πίνακα.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 8/12

4. Λόγω του ότι η ένδειξη φ2 είναι μετρημένη από το 0 του γωνιομετρικού δίσκου κατά τη φορά του κυκλικού βέλους του σχήματος 10 ενώ για την εύρεση της θλαστικής γωνίας απαιτείται η γω-νία φ'2, κατά τη εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε εκτός από τις τιμές φ1i και φ2i να πε-ριέχει και τις τιμές φ'2i = 360ο - φ2i. Ο πίνακας να περιέχει τα λεπτά της μοίρας σε δεκαδική μορφή. 5. Από τις τιμές του πίνακα υπολογίστε τις μέσες τιμές και τα σφάλματα των φ1 και φ'2 και μέσω αυτών τη θλαστική γωνία

2

A 21 (16)

και το σφάλμα της σ( A ). Υπολογίστε και την απόκλιση της τιμής που βρήκατε από την αναμενό-μενη τιμή και συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά.

4.2 Καμπύλη βαθμονόμησης & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου πρίσματος. Για τη βαθμονόμηση του οργάνου απαιτείται η μέτρηση των γωνιών ελάχιστης εκτροπής των γραμμών εκπομπής της λυχνίας. Η τελευταία περιέχει το στοιχείο Κάδμιο (Cd) του οποίου οι ισχυρότερες γραμμές εκπομπής φαίνονται στον πίνακα 1.

Πίνακας 1. Εντονότερο φάσμα εκπομπής λάμπας στοιχείου Καδμίου (Cd) Χρώμα φασματικής γραμμής Συμβολισμός Μήκος κύματος (Å)

Ερυθρό λΕ 6438 Πράσινο λΠ 5155 Γαλάζιο λΓ 4800 Μπλε λΜ 4662 Ιώδες* λΙ 4416

*Η ιώδης γραμμή είναι ασθενική και μπορεί να μη την παρατηρήσετε.

Θα εργαστείτε σύμφωνα με το σχήμα 11. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιστρέψτε το πρίσμα από τη βάση του όπως φαίνεται στο σχήμα καθώς και το τηλεσκόπιο, ταυ-τόχρονα, μέχρις ότου δείτε τις αναλυμένες φωτει-νές γραμμές.

Σχήμα 11.

φο=0 0

φ1

Α

εmin=φ1

2. Επιλέξτε μία μόνο φασματική γραμμή και περι-στρέψτε αργά τη βάση του πρίσματος, παρακολου-θώντας την συνεχώς με το τηλεσκόπιο. Όπως και στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης το Φω-τός θα παρατηρήσετε ότι, ενώ περιστρέφετε το πρίσμα κατά την ίδια φορά, η γραμμή αρχικά κι-νείται προς μία κατεύθυνση, σταματά και στη συ-νέχεια απομακρύνεται προς την αντίθετη κατεύ-θυνση. Στο σημείο όπου σταματά να κινείται μετα-κινείστε το τηλεσκόπιο ώστε το σταυρόνημά του να συμπέσει με τη φασματική γραμμή και μετρή-στε την ένδειξη φ1 που είναι ίση με τη γωνία ελά-χιστης εκτροπής (λόγω του ότι φο=0). 3. Επαναλάβατε το παραπάνω βήμα για κάθε μία από τις φασματικές γραμμές του πίνακα 1. Συγκε-ντρώστε σε πίνακα τα μεγέθη λi και εmin,i = φ1i. 4. Κατά τη εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε εκτός από τις τιμές λi και εmin,i να περιέ-χει και τους δείκτες διάθλασης nπ,i του πρίσματος για κάθε χρώμα. Οι δείκτες διάθλασης θα υπολο-γιστούν μέσω της σχέσης (1). Δεχθείτε ότι Α=60ο. 5. Με τα δεδομένα του πίνακα χαράξτε την καμπύλη βαθμονόμησης εmin,i = F(λi) (mm-χαρτί) και σχολιάστε τη μορφή της.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 9/12

6. Χαράξτε τη καμπύλη διασποράς (διασκεδασμού) nπ,i = F(λi), (mm-χαρτί). Για τρία σημεία της καμπύλης αυτής (k=1,2,3) χαράξτε τις εφαπτομενικές ευθείες και υπολογίστε τις κλίσεις (dnk/dλk)≈(Δnk/Δλk). Δεδομένου ότι το πρίσμα έχει πλευρά b=33 mm και υποθέτοντας ότι φωτίζε-ται ολόκληρο, υπολογίστε μέσω της σχέσης (11) τη διακριτική του ικανότητα Rk για κάθε σημείο k. Συγκεντρώστε τα μεγέθη λk και Rk σε πίνακα. Σχολιάστε τη συμπεριφορά της διακριτικής ικανότη-τας ως συνάρτησης του μήκους κύματος. 7. Χαράξτε τη καμπύλη nπ,i = F(λi

-2), (mm-χαρτί). Εάν η σχέση του Cauchy (2) ισχύει αναμένουμε ότι η καμπύλη θα έχει μορφή ευθείας με κλίση ίση με Β και n→Α για λ-2→0. Βρείτε τα Α και Β και τα σφάλματά τους και συγκρίνετέ τα με τις τιμές που αντιστοιχούν στη πυριτύαλο και που έχουν δοθεί στο θεωρητικό μέρος. 4.3 Εξάρτηση γωνίας εκτροπής από τη γωνία πρόσπτωσης. Στο πείραμα αυτό θα επιβε-βαιώσετε τις μορφές των κα-μπυλών του σχήματος 3. Θα πρέπει λοιπόν να καταγραφούν τόσο οι γωνίες εκτροπής (όχι αναγκαστικά οι ελάχιστες) όσο και οι αντίστοιχες γωνίες πρό-σπτωσης στο πρίσμα. Οι τε-λευταίες σημειώνονται με θ1 στο σχήμα 12 σύμφωνα με το οποίο θα εργαστείτε. Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανά-κλασης (που λόγω του νόμου της ανάκλασης είναι και αυτή ίση με θ1) μετρώνται από τη κάθετο στη πλευρά του πρί-σματος στο σημείο πρόσπτω-σης. Επειδή με τη συγκεκριμέ-νη γεωμετρία είναι δύσκολο να μετρηθεί η θ1 απευθείας, με-τρούμε τη γωνία ω που συνδέεται με αυτή μέσω της σχέσης

Σχήμα 12.

φο=0

φ1

Α

ε =φ1

θ1 θ1

ω

φ = 360-ω

0/360

2θ1+ω=180ο. (17) Για δεδομένη γωνία ω η ένδειξη του βερνιέρου είναι φ = 360-ω. Ως παράδειγμα, έστω ότι επιθυ-μούμε να έχουμε γωνία πρόσπτωσης θ1=50ο. Τότε από την (17) έχουμε ότι ω=80ο και φ=280ο. Εργαστείτε στη περιοχή 40ο≤θ1≤65ο και καταγράψτε περίπου 8 μετρήσεις. Εκεί όπου υποπτεύεστε ότι βρίσκεστε κοντά στη γωνία ελάχιστης εκτροπής οι μετρήσεις θα πρέπει να είναι πυκνότερες. Κατασκευάστε βοηθητικό πίνακα με τις γωνίες θ1i που επιθυμείτε καθώς και τις αντίστοιχες γωνίες ωi και ενδείξεις φi. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Επιλέξτε κάποια γωνία θ1i και θέστε το βερνιέρο (και αναγκαστικά και το τηλεσκόπιο) στη α-ντίστοιχη ένδειξη φi. Στη συνέχεια κοιτώντας στο τηλεσκόπιο χωρίς να το κινείτε περιστρέψτε τη βάση του πρίσματος έως ότου η ανακλώμενη (ανοιχτού γαλάζιου χρώματος) συμπέσει με το σταυ-ρόνημα. Έχετε τώρα θέσει τη γωνία πρόσπτωσης ίση με θ1i. 2. Στη συνέχεια περιστρέψτε το τηλεσκόπιο προς τη μεριά των διαθλώμενων φασματικών γραμμών και θέτοντας το σταυρόνημα σε κάθε μία από αυτές μετρήστε όλες τις γωνίες εκτροπής εi(λ) = φ1i(λ). 3. Επαναλάβατε τα παραπάνω βήματα 1-2 για όλες τις γωνίες θ1i του βοηθητικού σας πίνακα και συγκεντρώστε τα μεγέθη θ1i και εi(λ) για κάθε φασματική γραμμή του πίνακα 1.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 10/12

4. Κατά τη εργασία στο σπίτι χαράξτε τις καμπύλες εi = F(θ1i) για όλες τις φασματικές γραμμές στο ίδιο mm-χαρτί. Σχολιάστε τη μορφή τους και εκτιμήστε από αυτές τις γωνίες ελάχιστης εκτροπής εmin(λ) για κάθε χρώμα. 5. Τοποθετήστε τις τιμές εmin(λ) στη καμπύλη βαθμονόμησης εmin,i = F(λi) του προηγούμενου πει-ράματος 4.2 και συζητήστε τις τυχόν διαφορές, εάν υπάρχουν. Ποια μέθοδο θεωρείτε καλύτερη για την εύρεση των γωνιών ελάχιστης εκτροπής και γιατί; 4.4 Φασματοσκόπιο φράγματος: Προσδιορισμός καμπύλης βαθμονόμησης, σταθεράς φράγματος & διακριτικής ικανότητας.

Αντικαταστήστε το πρίσμα με φράγμα περίθλασης. Πριν ξεκινήσετε οποιαδήποτε κύρια μέ-τρηση βεβαιωθείτε ότι το φράγμα είναι τοποθετημένο κάθετα στην αρχική πορεία της φωτεινής δέ-σμης. Για το σκοπό αυτό ακολουθήστε τα παρακάτω προκαταρκτικά βήματα: Τοποθετήστε προσεγγιστικά το

φράγμα κάθετα στη δέσμη. Επι-λέξτε τη πράσινη φωτεινή γραμ-μή (λΠ=5155 Å) και μια σχετικά μεγάλη τάξη περίθλασης π.χ. n=5 και μετρήστε τις ενδείξεις φ1 και φ2 που αντιστοιχούν σε αυτή τη φασματική γραμμή και τάξη περίθλασης. Από τις μετρή-σεις υπολογίστε τις γωνίες περί-θλασης θ5(λΠ) και |θ-5(λΠ)|= 360-φ2 (σχήμα 13).

Σχήμα 13.

φο=0 0/360

φ2

φ1

θn(λ)=φ1 |θ-n(λ)|=360-φ2

n=0

Εάν θ5(λΠ)|θ-5(λΠ)| περιστρέψτε κατάλληλα τη βάση του φράγμα-τος και επαναλάβατε τη προη-γούμενη μέτρηση έως ότου θ5(λΠ)=|θ-5(λΠ)| με τη ακρίβεια του βερνιέρου. Όταν επιτύχετε ισότητα των γωνιών περίθλασης ασφαλίστε τη βάση του φράγμα-τος. Μπορείτε τώρα να προχωρή-σετε στο κυρίως πείραμα μετρώντας μόνο τις θετικές τάξεις δηλαδή μόνο τις ενδείξεις φ1.

Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Για κάθε μία φασματική γραμμή λi του πίνακα 1 μετρήστε τις γωνίες περίθλασης θni = φ1ni για όσες τάξεις ni οι φασματικές γραμμές συνεχίζουν να διακρίνονται ικανοποιητικά (π.χ ni=1-10 ή 13). Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην πιθανή επικάλυψη φασματικών γραμμών διαφορετικών τάξε-ων. 2. Συγκεντρώστε σε πίνακα τις τιμές n, θni για κάθε μήκος κύματος λi. 3. Kατά την εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε εκτός από τις τιμές n, θni να περιέχει και τις τιμές sin(θni) για κάθε μήκος κύματος λi. 4. Σχεδιάστε τις καμπύλες βαθμονόμησης δεδομένου n, sin(θni)= F(λi) (στο ίδιο mm-χαρτί για όλα τα n) που από τις σχέσεις (13) και (14) αναμένουμε να είναι ευθείες με σημείο οδηγό το (0,0) και κλίση n/d=nΝ. 5. Βρείτε τις κλίσεις για κάθε τάξη n και από αυτές τη σταθερά του φράγματος d και το σφάλμα της. Τέλος υπολογίστε τον αριθμό τον χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν και το σφάλμα του. Βρείτε και την απόκλιση από τη αναμενόμενη τιμή των 1000 χαραγών/cm. Συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά. 6. Με βάση τις σχέσεις (13) και (14) υπολογίστε την διακριτική ικανότητα του φασματοσκοπίου φράγματος για διάφορες τάξεις n, υποθέτοντας ότι φωτίζεται ολόκληρο και έχει μήκος L=1.5 cm.

Οπτικό Φασματοσκόπιο 11/12

Οπτικό Φασματοσκόπιο 12/12

Συγκρίνατε και σχολιάστε τις τιμές διακριτικής ικανότητας του φράγματος με τις αντίστοιχες του πρίσματος που βρήκατε στο προηγούμενο πείραμα 4.2. 5. Βιβλιογραφία.

[1] D. Halliday& R. Resnick, Φυσική, Τόμος Β (1976). [2] Γ. Ασημέλλης, Μαθήματα Οπτικής, Σύγχρονη Γνώση (2008). [3] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, MA, Second Edition (1987). [4] Α. Χριστοδουλλίδης, Εργαστηριακά Πειράματα Φυσικής 3, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων (2005). (αντίτυπα υπάρχουν στο αναγνωστήριο).