7. Primena verovatnoće i statistike u hidrologijihikom.grf.bg.ac.rs/wp-content/uploads/2018/04/Hidrol_07_Statistika1.pdf · –dijagrami verovatnoce • Testiranje statistickih hipoteza

12.4.2017.

1

7. Primena verovatnoće i statistike u hidrologiji

HIDROLOGIJA Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet

Građevinarstvo, modul HVE IV semestar

1

2

Sadržaj

Uvod • Karakter hidroloških procesa

• Hidrološki nizovi

Preliminarne analize podataka • Grafička predstava podataka

• Numerički pokazatelji skupa podataka

• Podaci u parovima

Osnovni pojmovi iz verovatnoće • Definicije

• Slučajna promenljiva

• Raspodela slučajne promenljive

• Osobine slučajne promenljive

Statistička analiza u hidrologiji • Prilagođavanje teorijskih raspodela za slucajne

nizove – empirijska raspodela

– ocena parametara teorijskih raspodela

– dijagrami verovatnoce

• Testiranje statistickih hipoteza

– testiranje saglasnosti

– testiranje homogenosti, slucajnosti

• Intervali poverenja

– parametara raspodela

– kvantila

Korelacija i regresija

12.4.2017.

2

Uvod: Karakter hidroloških procesa

Hidrološki procesi odvijaju se u prostoru i vremenu • delom predvidivo (deterministički)

• delom nepredvidivo (slučajno, stohastički)

0

50

100

150

200

250

300

350

1.1.1997 1.1.1998 1.1.1999 1.1.2000 31.12.2000

Q (

m3/s

)

Lopatnica Lakat / Ibar

dnevni podaci

mesečni podaci


Protoci kao vremenske serije • izražena međuzavisnost podataka (autokorelacija)

• redosled podataka je bitan

0

50

100

150

200

250

300

350

1.1.2000 1.2.2000 1.3.2000 1.4.2000 1.5.2000 1.6.2000 1.7.2000 1.8.2000 1.9.2000 1.10.2000 1.11.2000 1.12.2000

Q (

m3/s

)


Qi Qi+k

autokorelacija

k Qi Qi+k

k

12.4.2017.

3


Čisto slučajan proces: jedan podatak osmatranja ne zavisi od prethodnih ili narednih osmatranja • redosled podataka nije bitan

• pogodno za ekstremne hidrološke pojave (velike/male vode)

0

50

100

150

200

250

300

350

1.1.1997 1.1.1998 1.1.1999 1.1.2000 31.12.2000

Q (

m3/s

)


Maksimalni godišnji protoci

nezavisni podaci


Složeni proces: • determinističke komponente (trend, skokovi, periodičnost)

• slučajne komponente (opisivanje međuzavisnosti i čisto slučajna komponenta)

Trend

Skok

Periodičnost

12.4.2017.

4

Uvod: Hidrološki nizovi

U ovom kursu bavimo se nizovima nezavisnih podataka (potpuno slučajni proces) • najčešće nizovi godišnjih vrednosti

HIDROLOŠKI PODACI Kompletne serije

Nezavisni podaci – NIZOVI

Nizovi godišnjih vrednosti (min,

max, srednji)

Nizovi prekoračenja

preko/ispod praga

Zavisni podaci – VREMENSKE SERIJE


Nizovi nezavisnih podataka

• Niz godišnjih maksimuma protoka

• Niz prekoračenja preko praga (parcijalne serije)

0

50

100

150

200

250

300

350

1997 1998 1999 2000 2000

Q (

m3/s

)


baza = 100 m3/s

0

50

100

150

200

250

300

350

1997 1998 1999 2000 2000

Q (

m3/s

)


12.4.2017.

5


Prikupljeni hidrološki podaci čine uzorak iz nepoznate populacije • uzorak je podskup populacije

Zaključivanje o populaciji na osnovu uzorka • Reprezentativan uzorak?

• Prost slučajni uzorak: onaj u kome su elementi nezavisni i isto raspoređeni (slučajnost i homogenost uzorka); tada je analiza najjednostavnija

Zapadna Morava / Miločaj 1955-2010

0

500

1000

1500

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Qm

ax,g

od

(m

3/s

) UZORAK

UZORAK n – obim uzorka

POPULACIJA N – obim

populacije

Preliminarne analize podataka

Hidrološki podaci mogu biti • prekidnog (diskretnog) tipa

• neprekidnog (kontinualnog) tipa

Primeri?

11

12.4.2017.

6

12

Grafičko predstavljanje podataka

Diskretni podaci • štapićasti dijagram

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frek

ven

cije

Broj velikih voda godišnje


Broj javljanja (frekvencija)

0 0 1 2 2 6 3 7 4 9 5 4 6 1 7 4 8 1 9 0

Velika voda je definisana kao protok veći od 300 m3/s

13

Preliminarne analize podataka: grafičko predstavljanje

Diskretni podaci

stubičasti dijagram (column chart)

linijski dijagram (line chart)

0123456789

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frek

ven

cija


0123456789

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frek

ven

cija


12.4.2017.

7

14


Kontinualni podaci • tačkasti dijagram

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Protok (m3/s)

528 441 698 710 191 231 456 432

334 256 1330 312 712 426 239

Prvih 15 članova niza maksimalnih godišnjih protoka na stanici Miločaj na Zapadnoj Moravi


Kontinualni podaci • Histogram = dijagram frekvencija

– podela na klase

– preporučeni broj klasa: K = 1 + 3.3. log n, K = 5 log n

• Frekvencije – apsolutne nk = broj podataka u klasi

– relativne fk = nk / n

– kumulativne relativne frekvencije Fk

15

12.4.2017.

8


Kontinualni podaci • Primer: maksimalni godišnji protoci na Savi kod Sremske Mitrovice

• n = 84; broj klasa: K = 5 log 84 = 9.6, usvaja se K = 10

Klasa od

Klasa do

Frekv. ni

Kumul. frekv. Fi = Σni

2600 3000 4 4

3000 3400 10 14

3400 3800 16 30

3800 4200 17 47

4200 4600 12 59

4600 5000 11 70

5000 5400 7 77

5400 5800 4 81

5800 6200 1 82

6200 6600 2 84 16

apsolutne frekvencije ni



• n = 84; broj klasa: K = 5 log 84 = 9.6, usvaja se K = 10

17

Klasa od

Klasa do

Rel. frekv. ni* = ni/n

Kumul. rel. frekv. Fi* = Fi/n

2600 3000 0.048 0.048

3000 3400 0.119 0.167

3400 3800 0.190 0.357

3800 4200 0.202 0.560

4200 4600 0.143 0.702

4600 5000 0.131 0.833

5000 5400 0.083 0.917

5400 5800 0.048 0.964

5800 6200 0.012 0.976

6200 6600 0.024 1

relativne frekvencije ni*

12.4.2017.

9

18

Preliminarne analize : numerički pokazatelji skupa podataka

Mere centralne tendencije • aritmetička sredina

• medijana – centralna vrednost u uređenom nizu od n podataka

medijana

N

iix

Nx

1

1

191 231 239 256 312 334 426 432

441 456 528 698 710 712 1330

Prvih 15 članova niza maksimalnih godišnjih protoka na stanici Miločaj na Zapadnoj Moravi

19


Mere centralne tendencije • mod – najučestalija vrednost

– često: više modalnih vrednosti

mod = (700 + 750)/2 = 725

12.4.2017.

10

20


Mere disperzije/rasipanja

• raspon = xmax – xmin

• raspon između percentila

raspon = 800 mm

21


Mere disperzije/rasipanja • standardna devijacija

– koren srednjeg kvadratnog odstupanja

– nepristrasna ocena

m x

malo s

veliko s

f(x)

n

i

i xxn

s1

2)(1

1

])(...)()[(1

)(1 22

2

2

1

1

2 xxxxxxn

xxn

s n

n

i

in

12.4.2017.

11

22


Kvartili

75%

50%

25%

Q3 Q1 Q2 = Me

interkvartilni razmak Q3 – Q1

23


Kvantil

p%

Xp%

12.4.2017.

12



broj podataka 84

srednja vrednost 4193

standardna devijacija

818

koeficijent varijacije

0.195

koeficijent asimetrije

0.634

x sx sx 24



broj podataka 84

srednja vrednost 4193

x0.25 3578

x0.5 = Me 4046

x0.75 4812

x0.25 Me = x0.5 x0.75

25

12.4.2017.

13

26


Boks-plot (“box and whiskers plot”)

Q2 = Me

Q3

Q1

rasp

on

interkvartilni razmak

27

Podaci u parovima

Korelacija • veza dve promenljive

• stepen linearne povezanosti se opisuje „simultanim“ varijacijama

• Kovarijansa

• Koeficijent korelacije

N

i

iiYX yyxxn

C1

, ))((1

dijagram rasipanja (scatter diagram)

10, ,

,

, YX

Yx

YX

YX rss

Cr

500

1000

1500

2000

500 1000 1500 2000

Y

X

Godišnje padavine (mm) na stanicama X i Y

Y

X

Y

X

Y

X

rX,Y = +1 rX,Y = +0.8 rX,Y = 0

Documents

7. Primena verovatnoće i statistike u hidrologijihikom.grf.bg.ac.rs/wp-content/uploads/2018/04/Hidrol_07_Statistika1.pdf · –dijagrami verovatnoce • Testiranje statistickih hipoteza