Upload
ngotu
View
231
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
12.10.2015
1
PRIMENA VEROVATNOĆE I STATISTIKE U HIDROLOGIJI
Inženjerskahidrologija
Karakter hidroloških procesa
Hidrološkiprocesiodvijajuseuprostoruivremenu delompredvidivo(deterministički)
delomnepredvidivo(slučajno,stohastički)
0
200
400
600
800
1000
1200
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Q (
m3 /
s)
Lopatnica Lakat / Ibar
12.10.2015
2
Karakter hidroloških procesa
Hidrološkiprocesiodvijajuseuprostoruivremenu delompredvidivo(deterministički)
delomnepredvidivo(slučajno,stohastički)
0
50
100
150
200
250
300
350
1.1.1997 1.1.1998 1.1.1999 1.1.2000 31.12.2000
Q (
m3 /
s)
Lopatnica Lakat / Ibar
dnevnipodaci
mesečnipodaci
Karakter hidroloških procesa
Protocikaovremenskeserije izraženameđuzavisnostpodataka(autokorelacija)
redosledpodatakajebitan
0
50
100
150
200
250
300
350
1.1.2000 31.1.2000 1.3.2000 31.3.2000 30.4.2000 30.5.2000 29.6.2000 29.7.2000 28.8.2000 27.9.2000 27.10.200026.11.200026.12.2000
Q (
m3 /
s)
Lopatnica Lakat / Ibar
Qi Qi+k
autokorelacija
kQi Qi+k
k
12.10.2015
3
Karakter hidroloških procesa
Čistoslučajanproces:jedanpodatakosmatranjanezavisiodprethodnihilinarednihosmatranja redosledpodatakanijebitan
pogodnozaekstremnehidrološkepojave(velike/malevode)
0
50
100
150
200
250
300
350
1.1.1997 1.1.1998 1.1.1999 1.1.2000 31.12.2000
Q (
m3 /
s)
Lopatnica Lakat / Ibar
Maksimalnigodišnjiprotoci
nezavisnipodaci
Karakter hidroloških procesa
Složeniproces: determinističkekomponente(trend,skokovi,periodičnost)
slučajnekomponente(opisivanjemeđuzavisnostiičistoslučajnakomponenta)
Trend
Skok
Periodičnost
12.10.2015
4
Hidrološki nizoviKompletne serije
Nezavisne
Nizovi esktrema
Nizovi godišnjih ekstrema
Parcijalne serije (prekoračenja preko praga)
Zavisne
Vremenske serije
0
50
100
150
200
250
300
350
1997 1998 1999 2000 2000
Q (
m3/
s)
Lopatnica Lakat / Ibar
baza = 100 m3/s
0
50
100
150
200
250
300
350
1997 1998 1999 2000 2000
Q (
m3/
s)
Lopatnica Lakat / Ibar
Hidrološki nizovi
Prikupljenihidrološkipodacičineuzorak iznepoznatepopulacije
Uzorakjepodskuppopulacije
Zaključivanjeopopulacijinaosnovuuzorka
Reprezentativanuzorak?
Prostslučajniuzorak:onajukomesuelementinezavisni iistoraspoređeni(slučajnostihomogenostuzorka);tadajeanalizanajjednostavnija
Zapadna Morava / Miločaj 1955‐2010
0
500
1000
1500
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
Qmax,god (m3/s)
UZORAK
UZORAKn – obimuzorka
POPULACIJAN – obimpopulacije
12.10.2015
5
Osnovni pojmovi iz verovatnoće
Teorijaverovatnoće matematičkadisciplinakojasebaviizučavanjemslučajnihpojava
slučajnepojavesuempirijskifenomeničijiishodinisuuvekstrogodefinisani(neizvesnisu)
Eksperimentiliopit stvarniilizamišljenieksperimentčijijerezultatNEIZVESAN(pojava
poplava,pojavasuše,pojavajakekiše)
akoseeksperimentponavljamnogoputapodistimuslovima,pojavljujeseodređenazakonomernostuishodima
verovatnoća– kvantitativnamerakojomseprocenjujemogućnost/nemogućnostnastupanjaishoda
Osnovni pojmovi iz verovatnoće
Ishodiilirealizacije rezultatieksperimenta
Skupsvihmogućihishoda svimogućirezultatieksperimenta
Slučajnidogađaj podskupskupasvihmogućihishoda
Slučajnapromenljiva veličinakojaseponašaponekomzakonuverovatnoće,tj.uzimavrednosti
izskupasvihmogućihishodasanekomverovatnoćom
12.10.2015
6
Osnovni pojmovi
Primer: Protok kaoslučajnapromenljivaX
Skupsvihmogućihishoda:0 X <∞
X
0 10 20 30 40 50 60
Skup svih mogu ih ishodać
Osnovni pojmovi
Primer: Protok kaoslučajnapromenljivaX
Skupsvihmogućihishoda:0 X <∞
Ishodiilirealizacije (osmatranja):X =52m3/s
X
0 10 20 30 40 50 60
Jedan ishod
12.10.2015
7
X
0 10 20 30 40 50 60
Doga > 20đaj X
Osnovni pojmovi
Primer: VisinakišekaoslučajnapromenljivaX
Skupsvihmogućihishoda:0 X <∞
Ishodiilirealizacije(osmatranja):X =52m3/s
Slučajnidogađaj:X >20m3/s
X
0 10 20 30 40 50 60
Doga < 10đaj X
Osnovni pojmovi
Primer: VisinakišekaoslučajnapromenljivaX
Skupsvihmogućihishoda:0 X <∞
Ishodiilirealizacije(osmatranja):X =52m3/s
Slučajnidogađaj:X >20mm3/s,X 10m3/s
12.10.2015
8
X
0 10 20 30 40 50 60
Doga aj 30 < < 60đ X
Osnovni pojmovi
Primer: VisinakišekaoslučajnapromenljivaX
Skupsvihmogućihishoda:0 X <∞
Ishodiilirealizacije(osmatranja):X =52m3/s
Slučajnidogađaj:X >20m3/s,X 10m3/s,30 X 60m3/s
Osnovni pojmovi
Slučajnepromenljive: prekidneilidiskretne:skupsvihmogućihishoda=skupcelihbrojeva
brojdanaugodinisakišomvećomod10mm brojdanaugodinisatemperaturomispod0oC brojtalasavelikihvodaugodinisamaksimalnimprotokomvećimodnekevrednosti
neprekidneilikontinualne:skupsvihmogućihishoda=skuprealnihbrojeva protok visinakiše nivovode (vodostaj,ako senemenja kota nule vodomera) zapreminetalasavelikihvoda nivopodzemnihvoda
12.10.2015
9
Raspodela verovatnoće
Ishodiilirealizacijeidogađajisedešavajusaodređenomverovatnoćom,premaRASPODELIVEROVATNOĆE
Raspodelaverovatnoćezadiskretnuslučajnupromenljivu
1
}{
:
321
3
3
2
2
1
1
i
i
ii
pppp
xXPp
p
x
p
x
p
xX
Raspodela verovatnoće
Primerraspodelediskretneslučajnepromenljive:
bacanjenovčića
bacanjekocke
ocenanaispitu
5.05.0
:GP
X
6/1
6
6/1
5
6/1
4
6/1
3
6/1
2
6/1
1:X
05.0
10
12.0
9
25.0
8
18.0
7
10.0
6
30.0
5:X
12.10.2015
10
Raspodela verovatnoće
Grafičkiprikaz raspodelediskretneslučajnepromenljive primer:ocenanaispitu
0.3
0.1
0.18
0.25
0.12
0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
5 6 7 8 9 10
verovatnoća
ocenanaispitu
0.30.4
0.58
0.83
0.95 1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12kumulativnaverovatnoća
ocenanaispitu
štapićastidijagramverovatnoća
stepenastidijagramkumulativnihverovatnoća
05.0
10
12.0
9
25.0
8
18.0
7
10.0
6
30.0
5:X
Raspodela verovatnoće
Primerraspodelediskretneslučajnepromenljive
Verovatnoća daneće biti nijednog kišnog dana:P{X = 0} = 0
Verovatnoća daće sejaviti 2 ili manje kišnihdanauzadatommesecu:
P{X 2} = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} = = 0 + 0.23 + 0.27 = 0.50
Verovatnoća daće sejaviti 5 ili više kišnih danauzadatommesecu:
P{X 5} = 1 – P{X ≤ 4} = = 1 – (P{X = 0} + P{X = 1} + ... + P{X = 4}) =
= 1 – (0 + 0.23 + 0.27 + 0.23 + 0.10) = 1 – 0.83 = 0.17
BROJ DANA U JUNU SA PADAVINAMA > 10 mm
Novi Sad ‐ Petrovaradin
Godina Broj dana Godina Broj dana
1961 2 1976 5
1962 1 1977 1
1963 1 1978 2
1964 4 1979 3
1965 2 1980 4
1966 1 1981 5
1967 5 1982 3
1968 1 1983 3
1969 6 1984 2
1970 5 1985 3
1971 1 1986 1
1972 4 1987 2
1973 3 1988 2
1974 3 1989 2
1975 2 1990 3
0.00
0.23
0.27
0.23
0.10
0.13
0.03
0.00 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 1 2 3 4 5 6 7
frekve
ncije
broj dana sa P > 10
12.10.2015
11
Raspodela verovatnoće
Raspodelaverovatnoćezakontinualnuslučajnupromenljivu
funkcijagustineverovatnoćef(x)
funkcijaraspodeleverovatnoćeF(x)
0
x
x
f x( )
F x( )
F x( )
x
x
1
F(x) = P{X x}
1)(
duuf
x
duufxXPxF )(}{)(
Raspodela verovatnoće
Verovatnoćedogađajazakontinualnuslučajnupromenljivu
x
f x( )
x
0 x
F x( )
F x( )
1 - ( )F x
x
1
P{X > x} = 1 – P{X x} = 1 – F(x)
0
x
x
f x( )
F x( )
F x( )
x
x
1
P{X x} = F(x)
12.10.2015
12
Raspodela verovatnoće
x
f x( )
x2
x2
x1
x10 x
F x( )
F x( )1
F x( )2
F x( ) - 2 F x( )1
1
Verovatnoćedogađajazakontinualnuslučajnupromenljivu
P{x1 < X <x2}=
=1– P{X <x1}– P{X >x2}=
=1– P{X >x2}– P{X <x1}=
=P{X <x2}– P{X <x1}
=F(x2)– F(x1)
P{x1 < X < x2} = F(x2) – F(x1)
Raspodela verovatnoće
Primer raspodeleverovatnoćezakontinualnuslučajnupromenljivu: eksponencijalna raspodela:
xxux
ux
x
eedueduufxXPxF
xexf
1)(}{)(
0,)(
000
000.1050.0085.0233.0632.0
}3{}32{}21{}1{
050.011)3(1}3{
085.0050.0135.0
11)2()3(}32{
233.0135.0368.0
11)1()2(}21{
632.0368.011)1(}1{
3
23
12
1
XPXPXPXP
eFXP
eeFFXP
eeFFXP
eFXP0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
x
f(x
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7
x
F(x
)
12.10.2015
13
Raspodela verovatnoće
Grafičkopredstavljanjeraspodelekontinualneslučajnepromenljive Histogram=dijagramfrekvencija
podelanaklase:približanbrojklasaK =5logn
Raspodela verovatnoće
Primerzakontinualnuslučajnupromenljivu:maksimalnigodišnjiprotocinaSavikodSremskeMitrovice– raspodelaizuzorka n =84;broj klasa:K =5log84=9.6,usvaja seK =10
Klasaod
Klasado
Frekv.ni
Kumul.frekv.Fi =Σni
2600 3000 4 4
3000 3400 10 14
3400 3800 16 30
3800 4200 17 47
4200 4600 12 59
4600 5000 11 70
5000 5400 7 77
5400 5800 4 81
5800 6200 1 82
6200 6600 2 84
apsolutnefrekvencije ni
12.10.2015
14
Raspodela verovatnoće
Primer:maksimalnigodišnjiprotocinaSavikodSremskeMitrovice–raspodelaizuzorka
Klasaod
Klasado
Rel.frekv.ni*=ni/n
Kumul.rel.frekv.Fi* =Fi/n
2600 3000 0.048 0.048
3000 3400 0.119 0.167
3400 3800 0.190 0.357
3800 4200 0.202 0.560
4200 4600 0.143 0.702
4600 5000 0.131 0.833
5000 5400 0.083 0.917
5400 5800 0.048 0.964
5800 6200 0.012 0.976
6200 6600 0.024 1
relativnefrekvencije ni*
Raspodela verovatnoće
Primer:maksimalnigodišnjiprotocinaSavikodSremskeMitrovice–raspodelaizuzorka
Klasaod
Klasado
Gustinafi *=ni*/Δx
Kumul.rel.frekv.Fi* =Fi/n
2600 3000 1.19E‐04 0.048
3000 3400 2.98E‐04 0.167
3400 3800 4.76E‐04 0.357
3800 4200 5.06E‐04 0.560
4200 4600 3.57E‐04 0.702
4600 5000 3.27E‐04 0.833
5000 5400 2.08E‐04 0.917
5400 5800 1.19E‐04 0.964
5800 6200 2.98E‐05 0.976
6200 6600 5.95E‐05 1
gustinaraspodele fi*=ni*/Δx
12.10.2015
15
Osobine raspodela verovatnoće
Momentiraspodele momentiokokoordinatnogpočetka
momentiokosredine
dxxfx r
r )('
dxxfx r
r )()(
Osobine raspodela verovatnoće
Merecentralnetendencije
srednjavrednost težištegustineraspodele:
izuzorka:
medijana (Me)
mod (Mo)– maksimum gustine
dxxfx )('1
n
iix
nx
1
1
5.0)()()(
Me
Me
dxxfdxxfMeF
x
f x( )
Me x
f x( )
0.50.5
Mo
Mo
12.10.2015
16
Osobine raspodela verovatnoće
Mereodstupanjaodsrednjevrednosti disperzija(varijansa):
izuzorka:
standardnadevijacija:
koeficijentvarijacije:
dxxfx )()( 22
2
n
ii xx
nS
1
22 )(1
1
n
ii xx
nS
1
2)(1
1
vCx
Scv
x
malo σ
veliko σ
f(x)
Osobine raspodela verovatnoće
Asimetrijaraspodele
trećimomenat:
koeficijentasimetrije:
izuzorka:
dxxfx )()( 3
3
n
iis xx
Snn
nc
1
33
)(1
)2)(1(
33
sC
x
simetrična raspodela = 0Cs
srednja vrednost = medijana = mod
f x( )
pozitivnaasimetrija
> 0Cs
negativnaasimetrija
< 0Cs
x
Me
Mo
f x( )
12.10.2015
17
Osobine raspodela verovatnoće
Kvantili Kvantil=inverznafunkcijaraspodeleverovatnoće
Medijana =kvantil za p =0.5
Kvartili
)(1 pFxp
0 x
F x( )
xp
p
1
)5.0(15.0
FxMe
)25.0(125.0
Fx
)75.0(175.0
Fx
Osobine raspodela verovatnoće
Primer:Sava– SremskaMitrovica
brojpodataka 84
srednjavrednost 4193
standardnadevijacija 818
koeficijentvarijacije 0.195
koeficijentasimetrije 0.634
x sx sx
gustinaraspodele fi*=ni*/Δx
12.10.2015
18
Osobine raspodela verovatnoće
Primer:Sava– SremskaMitrovica
relativnefrekvencije ni*
brojpodataka 84
srednjavrednost 4193
x0.25 3578
x0.5 =Me 4046
x0.75 4812
x0.25 Me=x0.5 x0.75