702.pdf

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7§ 1. Об основаниях квантовой механики. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7§ 2. Специфика квантовых вычислений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 16

Г л а в а 1. Классическая статистическая механика. .. .. .. .. .. .. .. . 25

§ 1. Механика Ньютона . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 26§ 2. Гамильтонова механика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 27§ 3. Статистическая механика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 29§ 4. Область применения классической механики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 30§ 5. Выход за пределы классической статистической механики . . 33

Г л а в а 2. Квантовая механика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 37§ 1. Броуновское движение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 37§ 2. Уравнение Шрёдингера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 41§ 3. Квантовая нелокальность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 44§ 4. Различные интерпретации волновой функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 48§ 5. Рассеяние квантовых и классических частиц на двух щелях 52

Г л а в а 3. Современный математический формализм кванто-вой механики. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 59

§ 1. Пространство волновых функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 59§ 2. Комплексное линейное пространство . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 60§ 3. Скалярные произведения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 63§ 4. Метрические пространства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 65§ 5. Гильбертово пространство . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 67§ 6. Линейные операторы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 70§ 7. Теорема Рисса. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 72§ 8. Сопряженный оператор . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 74§ 9. Интегральные операторы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 76

§ 10. Спектральное разложение. Конечномерный случай. .. .. .. .. .. .. . 77§ 11. Спектр: точечный, непрерывный, остаточный . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 78§ 12. Спектральное разложение самосопряженного оператора . .. .. . 80

4 Оглавление

§ 13. Операторы с чисто точечным спектром . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 81§ 14. Тензорное произведение гильбертовых пространств . .. .. .. .. .. . 83

Г л а в а 4. Аксиоматика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 86

§ 1. Аксиоматика квантовой механики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 86§ 2. Совместное измерение квантовых наблюдаемых . .. .. .. .. .. .. .. .. . 94§ 3. Смешанные состояния . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 94§ 4. Символика Дирака . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 97

Г л а в а 5. Квантовая теория информации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 108

§ 1. Символика Дирака в квантовой теории информации . .. .. .. .. . 108§ 2. Квантовые вентили . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 110§ 3. Квантовое преобразование Фурье . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112§ 4. Алгоритм Дейча и Джоза . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112§ 5. Коноид . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 114§ 6. Алгоритм Саймона . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 115§ 7. Элементы теории чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 117§ 8. Алгоритм Шора. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 120§ 9. Алгоритм поиска Гровера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 127

§ 10. Квантовая телепортация . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 129

Г л а в а 6. Неравенства Белла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 132

§ 1. Различие в точках зрения Эйнштейна и Белла на квантовуюнелокальность. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 132

§ 2. Следствие белловских рассмотрений для квантовой крипто-графии и квантовых вычислений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 134

§ 3. Почему неравенство Белла вызывает столь бурные споры? . . 136§ 4. Математические неравенства белловского типа . .. .. .. .. .. .. .. .. . 138§ 5. Интерпретации нарушения неравенства Белла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 141§ 6. Правила соответствия между классической и квантовой ве-

роятностными моделями . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 142§ 7. Постулаты фон Неймана для отображения между классиче-

ской и квантовой моделями . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 145§ 8. Теоремы невозможности белловского типа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 146§ 9. Области значений предквантовых и квантовых переменных 151

§ 10. Контекстуальность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 153§ 11. Белловская контекстуальность и действие на расстоянии. .. . 158§ 12. О ценности аргументов Белла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 159

Оглавление 5

Г л а в а 7. Предквантовая классическая статистическая тео-рия поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 160

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров . .. .. .. . 161§ 2. Классические и квантовые статистические модели . .. .. .. .. .. .. . 170§ 3. Винеровский процесс в пространстве полей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 172§ 4. Квантовая механика как теория измерений для «медленной»

временной шкалы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 175

Г л а в а 8. Гамильтонов подход к предквантовой классиче-ской статистической теории поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 180

§ 1. Симплектическая геометрия на бесконечномерном фазовомпространстве и асимптотическое представление квантовыхсредних гауссовыми функциональными интегралами . .. .. .. .. . 180

§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном фазовом про-странстве и ее комплексное представление. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 181

§ 3. Шрёдингеровская динамика как динамика с J-инвариант-ным гамильтонианом на бесконечномерном фазовом про-странстве . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 185

§ 4. Поднятие динамики точек в пространства физических вели-чин и мер . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 186

§ 5. Динамика статистических состояний, сохраняющая диспер-сию. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 188

§ 6. Динамика на пространстве физических величин . .. .. .. .. .. .. .. . 189§ 7. Вероятностная динамика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 190§ 8. Асимптотическое разложение гауссовых интегралов на гиль-

бертовом пространстве и формула следа фон Неймана . .. .. .. . 196§ 9. Инвариантные гауссовы меры для шрёдингеровской динами-

ки. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 201§ 10. Динамика с неквадратичным гамильтонианом, сохраняющая

дисперсию. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 203

Г л а в а 9. Скрытые параметры для квантовой теории поля. . 208

§ 1. О представлении квантовой теории поля в виде классическойстатистической механики полевых функционалов. .. .. .. .. .. .. .. . 208

§ 2. Гауссово квантование скалярного бозонного поля. .. .. .. .. .. .. .. . 209§ 3. Классическая статистическая модель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 211§ 4. Классическая интерпретация волновой функции в квантовой

теории поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 212§ 5. Квантово-полевое уравнение Шрёдингера как уравнение Га-

мильтона. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 212§ 6. Асимптотическое деквантование . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 213

6 Оглавление

Гл а в а 10. Представление колмогоровской модели в гиль-бертовом пространстве . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 215

§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели. .. .. .. .. .. .. .. . 216§ 2. Интерференционная формула полной вероятности . .. .. .. .. .. .. . 221§ 3. Извлечение комплексных вероятностных амплитуд и прави-

ла Борна из колмогоровской модели . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 224§ 4. Представление колмогоровских случайных величин неком-

мутативными операторами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 230

§ 5. Роль одновременной бистохастичности матриц Pb | a и Pa | b 231§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей в случае многознач-

ных базовых переменных. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 232§ 7. Представление контекстуальной динамики в виде дифферен-

циального уравнения в гильбертовом пространстве . .. .. .. .. .. . 237

Г л а в а 11. Об эксперименте с когнитивными системамипо поиску квантовоподобной статистической структуры. . 240

§ 1. О возможности квантовоподобного описания ментальныхпроцессов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 240

§ 2. Описание эксперимента по обнаружению интерференциимыслей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 242

§ 3. Экспериментальное подтверждение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 243§ 4. Гиперболическая интерференция мысли. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 244

Г л а в а 12. Квантово-психологическая модель фондовогорынка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 245

§ 1. Является ли современный финансовый рынок классическойинформационной системой. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 246

§ 2. Классическая модель фазового пространства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 249§ 3. «Классическая» модель Гамильтона динамики цен и фондо-

вого рынка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 254§ 4. Финансовые ведущие волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 255§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой ведущей волной . . 258§ 6. Философия Уайтхеда и теория финансовой ведущей волны 265

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 267

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Об основаниях квантовой механики

В последние несколько лет развитие квантовой информацииприобрело взрывной характер. Квантовые компьютеры, крипто-графия и телепортация безумно привлекательны как для тео-ретиков (физиков, математиков, специалистов в области теориивычислений и алгоритмов), так и для экспериментаторов и на-нотехнологов. Однако квантовая теория информации опираетсяна квантовую механику и поэтому получает в наследство весьбукет проблем, связанных с основаниями квантовой механики.Таким образом, развитие квантовой теории информации вызвалоновую волну интереса к основаниям квантовой механики. Цельэтой книги — удовлетворить в какой-то степени этот интерес,тем более что на русском языке книг по основаниям квантовоймеханики не так уж много.

Хотя было издано огромное количество учебников по кван-товой механике, например всем известный курс Ландау и Лиф-шица [8], в то же время среди книг, в которых обсуждаютсяоснования, можно отметить лишь книги Фока [14] и Блохинце-ва [3], а также переводы трудов классиков квантовой механики,см. [6, 15, 16]. Недавно была опубликована монография Аккар-ди [1] (в которой обсуждаются острые философские проблемы,связанные с основаниями). Следует также обратить внимание(в первую очередь студентов) на учебник по квантовой инфор-мации, написанный Холево [9], в котором изложен ряд вопросовоснований, важных для квантовой информации.

К сожалению, в основной массе книг по квантовой механикеявно прослеживается тенденция показать, что «в Багдаде всеспокойно». В то же время специалистам по основаниям кванто-вой механики хорошо известно, что в Багдаде не так уж спокой-но и что квантовая механика (как физическая теория, а не какматематический формализм) — это тяжело больной, но тщатель-но скрывающий свое заболевание человек (см. [17–26, 28–39, 41,42, 44–47, 49, 52, 60, 61, 63, 65, 68, 78, 81, 84–101, 109, 112–115,

8 Введение

122–124, 127, 128, 136–141, 144, 154–217, 228–230, 235–238,241, 245, 250–254, 263–271, 275, 276, 281–287] о дискуссиях).

В квантовой механике складывается парадоксальная ситуа-ция: имеется замечательный математический формализм, позво-ляющий делать предсказания о вероятностном поведении огром-ных ансамблей квантовых систем. Однако интерпретация этогоформализма так и остается (уже на протяжении почти ста лет)нерешенной проблемой.

Так называемая копенгагенская интерпретация (разработан-ная Бором, Гейзенбергом, Паули и Фоком) не решает проблемв основаниях. По существу, целью копенгагенской интерпре-тации было успокоить физическую общественность, отвлечьот работы по обоснованию квантовой теории и направитьэнергию физических масс на разработку технического аппа-рата. В какой-то мере это была правильная стратегия, котораяувенчалась успехом: в настоящее время квантовая механикапредставляет собой многоэтажное здание, наполненное различ-ными техническими методами (например, спектральной теориейсамосопряженных операторов) и устройствами (например, дляпроизводства зацепленных состояний и экспериментальной про-верки нарушения неравенства Белла — излюбленной деятельно-сти экспериментаторов в лабораториях квантовой информации повсему миру).

Однако опирается этот квантовый небоскреб на очень хлип-кие основания. А если копнуть глубже, то там вообще бездон-ное болото. И этот небоскреб достраивается новыми и новымиэтажами, на которые уже затаскиваются квантовые компьютерыи квантовые криптографические устройства. Ситуация осложня-ется тем, что «официальный закон», копенгагенская интерпрета-ция, запрещает пересматривать основания.

Предлагаемая книга, в частности, дает введение в основа-ния квантовой механики, связывая их с квантовой теорией ин-формации. В краткой форме представляется весь необходимыйматематический формализм. Особое внимание уделяется вероят-ностным основам, см. также [10]. К сожалению, студенты фи-зических специальностей не имеют достаточно серьезного курсапо теории вероятностей. Это существенно осложняет понима-ние вероятностной структуры квантовой механики (например,проблем, связанных с неравенством Белла). Также описываютсяэксперименты, изучающие фундаментальную роль в основаниях(например, двущелевой эксперимент).

§ 1. Об основаниях квантовой механики 9

Квантовая теория информации излагается в сжатой форме,но со всеми деталями. Указаны проблемы в основаниях кванто-вой теории информации, индуцируемые известными проблемамив основаниях квантовой механики.

Проблема суперпозиции состояний трансформируется в про-блему квантового параллелизма для квантовых компьютеров.Проблема полноты квантовой механики — в проблему квантовойнелокальности (действие на расстоянии).

Так же как и Эйнштейн, и Шрёдингер, автор этой книги неверит в полноту квантовой механики. Напомним, что полнотаквантовой механики является основой копенгагенской интерпре-тации квантовой механики: волновая функция (ψ-функция) да-ет исчерпывающее описание состояния квантовой системы.Никакого другого (более полного) описания квантовых явленийне существует. Невозможно выйти за пределы квантовой ме-ханики.

Тезис о полноте квантовой механики кажется очень со-мнительным даже с общефилософской точки зрения. Труд-но предположить, что физики подошли к последнему пределув описании микромира и дальнейшее продвижение в принципеневозможно 1).

Поэтому мы уделяем внимание различным предквантовымтеориям. В частности, мы излагаем в нескольких словах бомов-скую механику (являющуюся развитием теории ведущей волны,предложенной де Бройлем на заре квантовой механики), см. [89,55–57, 80, 148]. Электрон может описываться как маленькийшарик, движущийся в трехмерном физическом пространстве R3.Динамика описывается уравнением Ньютона. Но, кроме обыч-ных классических сил (которые могут быть заданы потенциала-ми на R3), возникает новая сила — квантовая сила. Эта силасущественно изменяет траектории частиц. В качестве основногонедостатка бомовской механики обычно указывается ее нело-кальность. В общем случае квантовая сила, действующая на си-

1) В последние годы огромный интерес привлекли также новые физическиетеории, такие как теория (супер-) струн, M -теория, квантовая гравитация.Однако эти теории нельзя рассматривать как попытки выхода за пределыквантовой механики. Например, струны должны тоже квантоваться, и кванто-вая теория струн не решает ни одной проблемы квантовой механики. Полнаянеудача всех попыток построения квантовой гравитации постепенно приводитк пониманию того, что квантовая теория и теория гравитации попросту несов-местимы.

10 Введение

стему из нескольких частиц, зависит от координат всех частиц.Таким образом, квантовое взаимодействие может быть нетриви-ально даже при полном отсутствии классических взаимодействиймежду частицами. Однако такая критика кажется весьма стран-ной в ситуации, когда значительная часть квантового сообществаверит в квантовую нелокальность (следующую из нарушениянеравенства Белла). Для меня основным недостатком бомовскоймеханики является то, что она полностью совпадает со стандарт-ной квантовой механикой в своих предсказаниях. Невозможнопредложить какой-либо эксперимент, их различающий. Такимобразом, бомовская механика — это чисто формальный выходза пределы квантовой механики. Возможно поэтому Эйнштейнназвал решение Бома (проблемы о полноте квантовой механики)дешевым 1).

В гл. 7–10 я излагаю результаты моих собственных исследо-ваний (с рядом соавторов), имеющих целью выход за пределыквантовой механики, см. [13, 172–174, 176, 178, 180–183, 186,191–198, 200–206, 209–214, 216]. Для большинства физиковтрудно и помыслить, что квантовая механика имеет пределы сво-его применения, что ее статистические предсказания могут бытьнарушены при повышении точности измерения (в первую очередьвремени). Важнейшую роль в формировании таких взглядов сыг-рали копенгагенская интерпретация и личный авторитет Бора.Тезис о полноте квантовой механики сомнению не подвергался.Бор беспощадно подавлял все попытки «поднять бунт на копен-гагенском корабле».

Здесь показательна история появления континуального ин-теграла в квантовой механике. Все попытки Фейнмана внед-рить континуальные интегралы в квантовую механику былисовершенно безуспешны. Появление траекторий квантовых ча-стиц (по пространству которых производилось интегрирование)в квантовой теории рассматривалось (в первую очередь Бором)

1) Этот негативный комментарий Эйнштейна сыграл свою роль в оценкебомовской механики физическим сообществом. Не добавили популярностибомовской механике и коммунистические воззрения Д. Бома. Как член ком-партии США, он был посажен в тюрьму (где приобрел большой авторитетсреди заключенных и надзирателей, читая им лекции по основаниям квантовоймеханики). Затем он был вынужден бежать в Бразилию, затем в Израиль,и, наконец, в Великобританию, где смог «легализоваться», лишь написавпокаянное письмо правительству США, в котором он признавал свои ошибкии отказывался от коммунистических убеждений.


как явная крамола. Даже непрерывные замечания Фейнманао том, что траектории виртуальны, не спасало положения.Проект «фейнмановский интеграл» был полностью похоронен.Спасла этот проект природная смекалка Фейнмана. Он смогустановить личный контакт с Паули; а уж затем убедил Паули,что континуальный интеграл не противоречит копенгагенскойинтерпретации, что это лишь удобное формальное представлениекомплексных амплитуд. Лишь с помощью Паули континуальныеинтегралы получили одобрение в квантовом сообществе [106].

Важнейшую роль в распространении копенгагенской интер-претации сыграли так называемые теоремы невозможности. В си-лу этих теорем результаты квантовой механики не могут бытьвоспроизведены на основе какой-либо классической статисти-ческой модели. Поэтому невозможно создать никакую детер-министическую классическую модель, дающую более детальноеописание природы. Такая модель (если бы она существовала)должна была бы воспроизводить предсказание квантовой меха-ники, что в силу указанных теорем невозможно.

Первая теорема невозможности была получена фон Нейма-ном [15].

Любопытно, что, хотя книга фон Неймана стояла не полкев кабинете Эйнштейна, эта теорема невозможности ни разу нецитировалась Эйнштейном. Он всю жизнь не оставлял надеждысоздать предквантовую статистическую теорию. Почему? Похо-же, физик до мозга костей, Эйнштейн не мог себе представить,что такая фундаментальная проблема физики может быть решенас помощью какой-либо математической теоремы 1).

Впоследствии было доказано несколько новых теорем невоз-можности, наиболее известны среди них теоремы Кохена–Спекера и Белла. В последние двадцать лет большое вниманиеуделяется теореме Белла. Особую роль она играет в квантовойтеории информации. Нарушение неравенства Белла для корреля-ций различных измерений на квантовых носителях информацииобычно трактуется как специфическое (неклассическое) свойствоквантовой информации.

1) Кроме того, нобелевский лауреат Антони Леггет недавно обратил моевнимание на то, что в оригинальном немецком издании утверждение о невоз-можности построить предквантовую классическую теорию называлось отнюдьне теоремой, а «anzatz».

12 Введение

Автор относится весьма сдержанно к попыткам использоватьтеоремы невозможности. Конечно, такие математические упраж-нения важны для более ясного понимания специфики квантовогопредставления статистических данных и, в частности, квантово-го представления информации. Эксперименты по проверке нера-венства Белла [40, 75, 76, 296] сыграли большую роль в разви-тии новых технологий работы с зацепленными микрообъектами,фотонами, электронами, ионами.

Главная проблема в использовании теорем невозможностисостоит в том, что каждая такая теорема (как и любая математи-ческая теорема) основывается на целом ряде условий Y1, . . . ,YN .Показано, что при этих условиях невозможно представить кван-товую модель в виде образа классической статистической моде-ли. Однако некоторые из этих условий могут быть весьмасомнительными с физической точки зрения.

Нам не известно, как должна выглядеть предквантовая мо-дель и как она отображается на квантовую. Каждый автор(фон Нейман, . . ., Белл) предлагает свой собственный списокусловий, при этом условия, использовавшиеся другими авторами,критикуются! Такую стратегию, например, избрал Белл, раскри-тиковавший теорему фон Неймана и сформулировавший своюсобственную теорему невозможности.

По воспоминаниям учеников Дэвида Бома, Басиля Хайлии Шелли Голдстейна, Джон Белл был «нелокальный реалист».Он верил, что предквантовая классическая модель существует,что это бомовская механика и, более того, любая такая модельнелокальна. Нелокальность (наличие действия на расстоянии)он обосновывал с помощью своей теоремы. Реализм был длянего очевидным следствием наличия точных корреляций (илиантикорреляций). Если два фотона (или иона) приготовленыв зацепленном состоянии, то, измерив поляризацию (или спин)в некотором направлении для одной из частиц, можно с вероят-ностью 1 предсказать значение соответствующего измерения длядругой. Таким образом, Белл придерживался (как и Эйнштейн)классических взглядов на корреляцию как результат совместногоприготовления.

Объяснение нарушения неравенства Белла с помощью дей-ствия на расстоянии очень привлекательно для некоторых фи-зиков. Однако, как мы уже отмечали, неравенство Белла — этоматематическая теорема, которая доказана при некоторых ма-тематических предположениях. Соответствие этих предпосылок


физической реальности может быть поставлено под вопрос (также как и Белл поставил под вопрос соответствие реальностиматематических условий «теоремы» фон Неймана), см., напри-мер, [10, 13, 18–21, 26, 32–37, 39, 85–88, 95–99, 108, 115, 116,137–141, 154–158, 164].

В гл. 5 мы повторим вкратце вероятностный анализ теоре-мы Белла, который был представлен в [215] и покажем, чтосреди условий теоремы Белла есть целый ряд предположений,которые не кажутся обоснованными не только с точки зренияфизики, но и с точки зрения общей статистической методологии.В частности, для вывода своего неравенства Белл манипулируетвероятностями, относящимися к трем различным эксперимен-там, трем различным комплексам экспериментальных условий.Однако для математического описания этих вероятностей ониспользует одно-единственное вероятностное пространство. Та-кая деятельность — это нонсенс с точки зрения методологиистатистики. Каждый комплекс экспериментальных условий (фи-зический контекст, см. [183]) должен описываться своим ве-роятностным пространством, см. также книгу Колмогорова [7]по аксиоматике теории вероятностей, § 2. Как было показанов [10], если учитывать зависимость вероятностей от физиче-ских контекстов, то вместо обычного неравенства Белла будутполучены обобщенные неравенства Белла. Эти неравенства непротиворечат экспериментальным статистическим данным.

И, наконец, в гл. 7 автор излагает свой вариант выхода запределы квантовой механики. Это предквантовая классическаястатистическая теория поля — ПТП, см. [197, 204, 210,212–214, 216]. Показано, что квантовая механика может бытьпредставлена как асимптотическая проекция классической ста-тистической механики, но с бесконечномерным фазовым про-странством. Таким образом, платой за детерминизм являетсябесконечная размерность пространства!

Реализуя бесконечномерное фазовое пространство Ω какдекартово произведение двух L2-пространств, Q = L2(R3) иP = L2(R3), мы получаем представление точек фазового про-странства Ω = Q× P в виде векторных классических полей:

ψ(x) = (q(x), p(x)).

Статистические состояния — ансамбли таких полей. Поэтому яи назвал эту модель ПТП. Это модель с полевыми скрытымипараметрами. ПТП имеет много общего с волновой квантовой

14 Введение

механикой, предложенной Шрёдингером в 20-е годы, см. [16].Наша модель является чисто полевой.

Так называемые квантовые частицы — это эффекты пред-квантовых полей, которые усиливаются (так как сами по себеони очень слабы) и регистрируются измерительными приборами.Таким образом, в нашей модели имеются, например, электрон-ные, нейтронные, . . . , поля, но нет корпускул, электронов, ней-тронов, . . . В этом смысле ПТП отличается коренным образом отбомовской механики, в которой корпускула, например электрон,направляется электронной ведущей волной. Важным отличиемтакже является то, что эта волна детерминистична (т. е. независит от случая). В ПТП рассматриваются случайные поля.Но наиболее существенным отличием ПТП от бомовской механи-ки является то, что ПТП действительно позволяет выйти за пре-делы квантовой механики. ПТП описывает пределы применениястатистических законов квантовой механики и предсказываетнарушение этих законов при повышении точности измерений.А именно, средние наблюдаемых (например, энергии) в кванто-вом формализме вычисляются с помощью формулы фон Неймана

〈A〉ρ = Tr ρA,

где A — самосопряженный оператор, представляющий кванто-вую наблюдаемую, и ρ — оператор плотности, представляющийквантовое состояние. В ПТП это выражение дает лишь главныйчлен в асимптотическом разложении классического среднего помалому параметру κ. В ПТП роль малого параметра играетдисперсия предквантового случайного поля:

σ2(μ) =∫

Ω

‖ψ‖2 dμ(ψ),

где μ — мера на фазовом пространстве Ω, представляющая этополе.

Классическое среднее (как обычно) определяется с помощьюинтеграла по фазовому пространству:

〈f〉μ =∫

Ω

f(q, p) dμ(q, p),

где ψ = (q, p) — точка фазового пространства (скрытый параметр,классическое поле), а f : Ω → R — классическая переменная.Этот интеграл разлагается по малому параметру с помощьюформулы Тейлора на бесконечномерном пространстве Ω. Класси-


ческой переменной f ставится в соответствие квантовая наблю-даемая A = f ′′(0) (гессиан функции f в точке нуль).

Таким образом, ПТП объясняет, почему в квантовой меха-нике наблюдаемые представляются симметричными операторами(гессиан всегда симметричен).

Заметим, что ПТП — вещественная теория. Комплекснаяструктура может быть введена через симплектическую структуруна фазовом пространстве.

Основным предсказанием ПТП является то, что классическаятеория случайного поля более фундаментальна, чем квантоваямеханика. Квантовая механика неполна (вопреки копенгагенскойинтерпретации). Средние значения наблюдаемых, предсказанныеквантовой механикой, — это лишь приближения реальных ста-тистических средних, которые предсказываются ПТП. Разницамежду предсказаниями квантовой механики и ПТП может бытьэкспериментально проверена.

Эта книга написана на основе курсов по основаниям кван-товой механики и квантовой теории информации, которые ячитал в течение ряда лет в Московском государственном уни-верситете электронной техники и в Институте защиты информа-ции в Российском государственном гуманитарном университете.Я признателен А.С. Поспелову, Ю.П. Лисовцу, Е.Л. Борзистойи В.С. Анашину, В.М. Максимову за гостеприимство и органи-зацию курсов.

При написании книги огромную роль сыграла серия конфе-ренций по основаниям квантовой механики и основаниям теориивероятностей, проводимых ежегодно Международным центромматематического моделирования в физике, когнитивных наукахи экономике, университет г. Векше, Швеция. В ходе этих кон-ференций мне посчастливилось обсуждать основания квантовоймеханики и квантовой теории информации с ведущими спе-циалистами со всего мира. Я особенно благодарен А. Аспекту,Л. Баллентайну, С. Гаддеру, Л. Аккарди, А. Леггету, Ж. Тоф-ту, Д. Гринбергеру, Д. Мермину, Б. Хайли, Ш. Гольдстейну,Г. Ягеру, А. Сергиенко, И. Воловичу, В. Андрееву, Л. Вайдману,А. Холево, К. Свозилу, П. Лахти, Т. Ноехойзеру, Э. Бельтрамети,Г. Вайхсу, П. Квайту, К. Хессу, В. Филиппу, С. Альбеверно,Э. Бинцу за дискуссии, советы и критику.

г. Зеленоград, 2002–2007

16 Введение

§ 2. Специфика квантовых вычислений

Поскольку эта книга представляет собой введение в кванто-вую теорию информации, ср. [9, 4], предполагается, что средичитателей могут быть люди, просто желающие расширить свойкругозор и не имеющие никаких предварительных знаний в этойобласти. В этом вводном параграфе мы бы хотели обсудитьдостоинства и недостатки квантовых компьютеров и спецификуквантовых вычислений без использования математического ап-парата, см., например, [2, 4, 7] для детального представления.

Во-первых, отметим, что целью создания квантовых компью-теров отнюдь не является миниатюризация — создание мик-роскопических вычислительных устройств. Конечно, квантовыйкомпьютер базируется на микроскопических системах. В ка-честве квантовых регистров могут быть использованы ионыили электроны. Но это не означает, что сам квантовый ком-пьютер будет микроскопическим. Для создания квантовых ре-гистров могут использоваться макроскопические магниты илиохлаждающие устройства. Кроме того, необходимо создать кван-товый интерфейс, обслуживающий ввод и вывод информации.Например, «квантовую клавиатуру». Так как мы макроскопиче-ские существа, такая «квантовая клавиатура» также будет мак-роскопической. И, наконец, нельзя исключить, что будут созда-ны квантоподобные компьютеры, основанные на интерференциивероятностей для макроскопических систем.

Иногда можно слышать мнение, что квантовые компьютерыпридут на смену нынешним «классическим компьютерам». Это,конечно, заблуждение. Квантовые компьютеры будут ориентиро-ваться на решение специфических задач.

Каких именно задач?Основной специфической чертой квантовых вычислений яв-

ляется их вероятностный характер. Квантовый компьютер (в от-личие от обыкновенного) не может выдать «настоящее решение».Он выдает лишь кандидаты на решение некоторой проблемы.С очень большой вероятностью такой кандидат действительноявляется решением (например, с вероятностью p = 0,95). Однаковсегда имеется ненулевая вероятность (q = 0,05), что квантовыйкомпьютер выдаст неправильный ответ. Поэтому квантовый вы-числительный цикл должен быть дополнен классическим вычис-лительным циклом по проверке кандидатов на решение.

§ 2. Специфика квантовых вычислений 17

Формально мы можем описать класс задач для квантовыхкомпьютеров следующим образом. Мы хотим найти решениенекоторого уравнения

f(x) = 0, (2.1)

где x — многомерная переменная. Функция f обладает следую-щими свойствами:

а) классические алгоритмы для нахождения решения уравне-ния (2.1) работают недостаточно быстро;

б) в тоже время для фиксированного x можно очень быст-ро проверить выполнение условия (2.1) (на классическом ком-пьютере).

Обычно предполагается, что для (а) требуется неполино-миальное время по отношению к некоторому параметру n, ха-рактеризующему размерность задачи (например, n может бытьчислом переменных функции f). А вот (б) может быть реализо-вано в течение полиномиального (по отношению к параметру n)времени 1).

Для таких функций f(x) решение уравнения (2.1) на клас-сических компьютерах очень затруднено. В принципе для ре-шения некоторых задач (в физике, биологии, экономике) могутпотребоваться миллионы лет (так как параметр n может бытьочень велик). Поэтому предполагается, что будет использоватьсятандем квантового и классического компьютеров. На кван-товом компьютере будут вычисляться (с достаточно большойвероятностью) предполагаемые решения уравнения (2.1), а потомэти кандидаты на решение будут проверяться на классическомкомпьютере.

Важнейшей проблемой является достижение «достаточнобольших вероятностей». Если вероятность получения решенияв результате применения квантового компьютера не достаточновысока, то эффективность работы тандема в целом не высо-ка. Если квантовый компьютер может производить достаточнодлинные серии, x(1), . . . ,x(m), кандидатов на решение, которыерешениями не являются, то будет необходимо повторить вычис-лительный цикл слишком много раз. В итоге эффективностьработы тандема квантового и классического компьютеров может

1) Мы напомним, что функция T = α(n) параметра n имеет полиноми-альный рост, если для некоторой константы d и для достаточно больших nвыполняется неравенство α(n) � nd.

18 Введение

оказаться не выше, чем эффективность работы классическогокомпьютера.

Важнейшим препятствием для создания эффективно рабо-тающих квантовых компьютеров является наличие шумов. А таккак стандартный квантовый компьютер проектируется на баземикроскопических квантовых регистров, то минимальные (с мак-роскопической точки зрения) шумы могут существенно ослож-нить работу квантового компьютера, и, в частности, снизитьвероятность получения «правильного кандидата на решение».

Сильнейшим аргументом в пользу создания квантовогокомпьютера является наличие квантового алгоритма, которыйпозволяет решить важную задачу криптографии (разложениебольшого натурального числа n на простые множители) заполиномиальное время T = O(n), n → ∞. Наилучший изизвестных в настоящее время классических алгоритмов имеетэкспоненциальную сложность T = O(2cn1/2 log2/3 n), n → ∞.Мы напомним, что символ O(α(n)), n → ∞, означает, чтосуществует константа M > 0, такая что

|O (α (n))| � M |α (n)|для всех достаточно больших n.

Речь идет об известном алгоритме Шора. Напомним, чтопервый квантовый алгоритм был построен Дейчем и Джоза.Задача была весьма искусственная и практического интереса непредставляла. Алгоритм Дейча и Джоза был усовершенствованСаймоном для решения задачи, представляющей значительныйинтерес. Это задача о нахождении периода булевой функции.

Рассмотрим булеву функцию f (x1, . . . ,xn), где xj = 0, 1,Допустим, что известно (из каких-то практических сообра-жений), что f периодическая, т. е. существует булев векторξ = (ξ1, . . . , ξn), такой что f (x1, . . . ,xn) = f (y1, . . . , yn) лишьв случае y = x⊕ ξ, здесь ⊕ — сложение по модулю два.

Требуется найти период ξ. Классический алгоритм основанна переборе и требует T = O(2n/2) шагов, т. е. это алгоритмс экспоненциальным временем. Квантовый алгоритм Саймонатребует T = O(n) шагов (однако не классических, а квантовыхвычислений).

Весь проект «квантовые компьютеры» ставится под сомнениев связи с наличием только одного квантового алгоритма (Шора),с помощью которого удается решить за полиномиальное времяреальную проблему, которая решается на классических компью-


терах за экспоненциальное время. Несмотря на гигантские уси-лия исследователей во всем мире, никакого другого алгоритмас такими же свойствами придумать не удалось. Задача (2.1)для булевой функции f (x1, . . . ,xn), xj = 0, 1, была решена с по-мощью квантового алгоритма Гровера. Однако достичь поли-номиальной сложности вычислений не удается. Классическийалгоритм решает эту задачу за T = 2n шагов (перебор всех x),а алгоритм Гровера за T = 2n/2 шагов. Конечно, при n → ∞выигрыш колоссальный.

Обычно отсутствие квантовых алгоритмов объясняется срав-нительно недолгим периодом исследований, и ожидается, чтов недалеком будущем будут получены многочисленные кванто-вые алгоритмы. К сожалению, проходят годы, но эти надеждыне оправдываются. Начинают возникать подозрения, что делоотнюдь не в научных организационных проблемах и что, воз-можно, по своей сути квантовые компьютеры применимы толькок решению специального класса проблем.

Если это действительно так, то проект «квантовые компью-теры» напоминает проекты создания классических компьютеров,ориентированных на решение специальных задач. Грубо говоря:каждой задаче по компьютеру. Это давало возможность резкоуменьшать время вычисления. Причем одним из направленийэтой деятельности было создание компьютеров, в которых про-цесс вычислений сводился к работе физических аналоговыхустройств.

Основные блоки квантового компьютера — это тоже специ-альные физические устройства, реализующие квантовую дина-мику. Напомним, что эволюция квантового состояния описыва-ется уравнением Шрёдингера. В силу свойств этого уравнениядинамика унитарна, т. е. задается семейством унитарных опе-раторов Ut (унитарный оператор сохраняет длину вектора-состояния). Поэтому квантовые вычисления реализуются с по-мощью унитарных операторов. Каждая унитарная эволюциязадается с помощью некоторого потенциала U(t,x), входящегов уравнение Шрёдингера. Поэтому квантовый компьютер состоитиз блоков, реализующих различные физические потенциалы.

Завершается процесс квантового вычисления всегда процес-сом измерения (для получения конкретного значения; напри-мер, кандидата на решение уравнения (2.1)). Измерение (реали-зующее «коллапс волновой функции») не может быть описанокак непрерывное преобразование состояния квантовой системы.

20 Введение

Уравнение Шрёдингера не описывает процесс измерения. Изме-рение описывается неунитарным оператором проекции на одиниз собственных векторов оператора A, задающего в квантовомформализме измеряемую величину.

Это несоответствие между непрерывной унитарной эволю-цией квантового состояния ψ(t) = Utψ0, решением уравненияШрёдингера и скачкообразным изменением состояния ψ(s) → ψk,где s — момент измерения, а ψk — собственный вектор операто-ра A, получило в основаниях квантовой механики название про-блемы измерений. Впервые эта проблема была сформулированав математических терминах в книге фон Неймана [15]. Конечно,решение этой проблемы зависит от интерпретации вектора ψволновой функции.

Как уже отмечалось, в копенгагенской интерпретации ψ даетполное описание состояния индивидуальной квантовой системы,например электрона. При такой интерпретации возникает поис-тине непреодолимая трудность в решении проблемы измерений.Как объяснить прыжок электрона (за бесконечно малый про-межуток времени) из состояния ψ в некоторое собственное со-стояние ψk? И особенно, каким образом выбирается фиксирован-ное ψk среди бесконечного множества собственных состояний?

Мне хотелось бы надеяться, что исследования в областиквантовых компьютеров могут прояснить некоторые проблемыв основаниях квантовой механики и, в частности, проблемуизмерения.

Теперь мы переходим к центральной проблеме: За счет чегодостигается огромное ускорение вычислений на квантовыхкомпьютерах?

Стандартный ответ на этот вопрос, который можно найтив любом учебнике по квантовым компьютерам, — за счет кван-тового параллелизма.

Однако объяснения того, что же следует понимать под кван-товым параллелизмом, либо отсутствуют, либо невнятны, либовообще фантастичны. Мы попытаемся обсудить эту проблемув деталях.

Следует начать с принципа суперпозиции. Пусть ψ — неко-торое квантовое состояние и A — некоторая наблюдаемая.В математическом формализме квантовой механики ψ представ-ляется нормированным вектором гильбертова пространства H —комплексного линейного пространства, наделенного скалярнымпроизведением 〈 · , · 〉, см. гл. 3.


Наблюдаемая A представляется эрмитовым оператором, обо-значаемым тем же симовлом A, т. е. оператором, симметричнымотносительно скалярного произведения:

〈Aψ,ϕ〉 = 〈ψ,Aϕ〉. (2.2)

Допустим, что A имеет чисто дискретный невырожденныйспектр, т. е. все его собственные значения λ1, . . . ,λn, . . . раз-личны и собственные векторы ψ1, . . . ,ψn, . . . , где Aψn = λnψn,ψn �= 0, образуют базис в пространстве H:

ψ = c1ψ1 + . . . + cnψn + . . . , (2.3)

где cj = 〈ψ,ψj〉 ∈ C. Здесь C — поле комплексных чисел.В соответствии с копенгагенской интерпретацией, если ψ

совпадает с некоторым ψn, т. е. c1 = . . . = cn−1 = cn+1 = . . . = 0,а cn = 1, то считается, что A имеет в состоянии ψ = ψn вполнеопределенное значение: A = λn.

Если же хотя бы два коэффициента в разложении (2.3) со-стояния ψ по собственному базису {ψn}∞n=1 не равны нулю, тосчитается, что А не имеет никакого определенного значения. Всезначения A = λ1, . . . ,λn, . . . потенциально возможны. Реализуют-ся эти значения с вероятностями

P (A = λj) = |cj|2 = |〈ψ,ψj〉|2. (2.4)

Эта вероятностная интерпретация ниоткуда не следует. Этопостулат Борна. Борн не мог предложить какого-либо есте-ственного обоснования этого постулата. Впервые он появилсяв работе Борна в виде сноски, причем вместо квадрата исполь-зовалось просто абсолютное значение, которое было заменено наквадрат при корректуре.

Основным аргументом в пользу постулата Борна является то,что он работает на практике. Вероятности, полученные с по-мощью (2.4), хорошо согласуются с частотными вероятностями,получаемыми в экспериментах. Если провести большое число из-мерений величины A, скажем N измерений, то получим частоты

νN (λn) = m (λn)N

, (2.5)

где m (λn) — число измерений, в которых был получен резуль-тат A = λn. Эти частоты стремятся к вероятностям, задавае-мым (2.4).

22 Введение

Однако в любой физической теории следует различать воз-можность применения какой-либо математической формулы и ееинтерпретацию. Копенгагенская интерпретация ведет к различ-ным парадоксам и порождает весьма мистическое отношениек квантовой реальности, и даже отказ от реальности как таковой.

Самый известный парадокс — это парадокс шрёдингеровско-го кота. Как известно, Шрёдингер очень не любил копенга-генскую интерпретацию и всячески с ней боролся. Он обратилвнимание, что микроскопические системы могут служить ис-точниками макроскопических следствий. Например, с помощьюусиления можно добиться, чтобы фотон, испускаемый атомом,при переходе электрона с более высокой на более низкую орбиту,разбивал ампулу с ядром. В результате состояние кота, сидящегов коробке с ампулой и атомом, определяется состоянием атома.Так как атом может находиться в суперпозиции состояний, тои кот может пребывать в суперпозиции состояний: ϕ1 — живой,ϕ0 — мертвый 1).

Поскольку суперпозиция состояний для индивидуальнойквантовой системы является основой квантового параллелизма,то все проблемы копенгагенской интерпретации наследуютсятеорией квантовых вычислений.

Итак вернемся к фундаментальному свойству квантовых вы-числений — квантовому параллелизму. Поскольку квантовая си-стема может находиться в суперпозиции нескольких состояний,то при решении задач по вычислению какой-либо функции f(x)естественно сначала приготовить состояние, содержащее супер-позицию всех значений аргумента x, а затем преобразовать этосостояние в суперпозицию всех значений f(x). Каждый шаг вы-числений описывается унитарным оператором. Обозначим черезUf оператор приготовления суперпозиции значений f(x). Какотмечает А.С. Холево [9]: «очевидно, что однократное приме-нение оператора Uf дает состояние, которое в латентной формесодержит все значения функции f и из которого интересующаянас информация может быть извлечена посредством квантовогоизмерения. Такой прием называют квантовым параллелизмом».

1) Шрёдингеровский кот появился в результате дискуссии между Шрёдин-гером и Эйнштейном о проблемах копенгагенской интерпретации. СначалаЭйнштейн предложил пример с бомбой, которая находится в суперпозициидвух состояний: не взорвалась + взорвалась. Шрёдингер переделал этот при-мер в более наглядный — пример с котом.


Самое туманное место в этом описании квантового паралле-лизма — это содержание всех значений f «в латентной форме».Вроде бы существование (даже в скрытой форме) должно всегдаозначать существование — наличие в действительности. Однакодалее А. С. Холево продолжает: «Важно, однако, подчеркнуть,что в отличие от параллелизма в классическом компьютере речьотнюдь не идет об одновременном вычислении всех значенийфункции».

Из последнего высказывания следует, что «латентное суще-ствование» вообще не означает никакого существования. А еслиникакие значения функции f не были получены в результатеприменения эволюции, описываемой Uf , то что и откуда мыизвлекаем в результате завершающего измерения? И в чем то-гда параллелизм? Я обсуждал этот вопрос с рядом основателейквантовых вычислений. Мне наиболее близки взгляды Джоза:«Квантовый параллелизм — это лишь удобный термин для ис-пользования суперпозиции при квантовых вычислениях. Никако-го реального параллелизма здесь нет».

К сожалению предыдущая дискуссия о квантовом паралле-лизме оставляет чувство глубокого неудовлетворения. Склады-вается впечатление, что термин «квантовый параллелизм» былпредложен, чтобы хоть как-то прикрыть невозможность какого-либо объективного объяснения вычислительных преимуществквантового компьютера.

Необходимость хоть какого-то объективного обоснования хо-рошо понимают создатели квантовых вычислений. И многие изних (например, Дейч) склоняются к объяснению, которое, хотяи не так мистично, как копенгагенское, но все же должно бытьотнесено к области научной фантастики. В основе этого объяс-нения квантового параллелизма (и преимуществ квантовых вы-числений) лежит так называемая многомировая интерпретацияквантовой механики. В этой интерпретации квантовые вычис-ления производятся в параллельных мирах. Поэтому квантовыйпараллелизм — это все же классический параллелизм, и всезначения f действительно вычисляются. Однако вычисляютсяони в различных мирах. Акт измерения фиксирует мир и соот-ветствующее значение f(x).

Мы еще раз вернемся к проблеме объективного пониманияквантового параллелизма в гл. 5.

В заключение отметим, что при создании работающих кван-товых компьютеров возникают технологические проблемы огром-

24 Введение

ной сложности. Основная из них — это проблема неустойчи-вости. В результате взаимодействия с окружением квантовыесвойства состояния (индуцирующие «квантовый параллелизм»)исчезают, происходит так называемая декогеренция. Нужно, что-бы время, требующееся для одного шага квантового вычисления,было существенно меньше времени, в течение которого происхо-дит декогеренция.

Заметим, что проблема неустойчивости квантового состоянияочень похожа на проблему неустойчивости плазмы в моделяхтермоядерного синтеза. Можно предположить, что проект созда-ния работающего квантового компьютера не менее сложен, чемпроект по управляемому термоядерному синтезу, и его реализа-ция займет не меньше времени.

Другая проблема этого проекта — чрезвычайно узкий классзадач, которые могли бы быть решены с помощью квантовыхкомпьютеров. По существу, в настоящее время речь идет толькооб одном алгоритме — алгоритме Шора. Но, более того, нельзязабывать о следующем: не доказано, что задача факторизациив принципе не может быть решена за полиномиальное времяс помощью какого-либо классического алгоритма. Нельзя исклю-чить возможности, что такой алгоритм существует, но еще ненайден.

Лично у меня есть большие сомнения, что когда-либо будетсоздан работающий и решающий «важные народнохозяйственныезадачи» квантовый компьютер. Однако в любом случае работанад созданием квантовых компьютеров сыграет важную рольв развитии оснований квантовой механики, а также новых тех-нологий для работы с микросистемами — нанотехнологий.

Гл а в а 1

КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Нашим отправным пунктом является понимание того, чтоквантовая механика — это статистическая теория. Квантоваямеханика не может сказать ничего о свойствах индивидуальныхсистем. К примеру, на вопрос, когда этот конкретный электрониспустит фотон и перейдет на новую орбиту в атоме, квантоваямеханика не может ответить. Более того, вопросы такого типаневозможно даже формализовать в квантовой теории. Эта теорияописывает вероятностные свойства огромных ансамблей кванто-вых систем, а отнюдь не поведение индивидуальных систем.

Заметим, что такой взгляд на квантовую механику не явля-ется общепринятым. В соответствии с копенгагенской интерпре-тацией волновая ψ-функция дает наиболее полное описаниеиндивидуальной квантовой системы. Таким образом, волноваяфункция электрона — это представление нормированным век-тором гильбертова пространства состояния одного конкретногоэлектрона.

Эйнштейн всю свою жизнь был ярым противником такой ин-терпретации волновой функции. Поскольку для него квантоваямеханика была чисто статистической теорией и ψ-функция дава-ла описание вероятностных свойств огромного ансамбля физиче-ских систем. Интерпретация Эйнштейна получила название ан-самбль-интерпретации или статистической интерпретации.Среди сторонников этой интерпретации стоит отметить Шрё-дингера. Однако позиция Шрёдингера была двоякой. С однойстороны, он считал копенгагенскую интерпретацию абсурдной.С другой стороны, в своих письмах к Эйнштейну он писал, чтоне может полностью принять ансамбль-интерпретацию, потомучто с ее помощью невозможно объяснить интерференцию веро-ятностей.

В любом случае представляется естественным начать книгупо основаниям квантовой теории информации с краткого изло-жения основ классической статистической механики. Для сту-

26 Гл. 1. Классическая статистическая механика

дентов нефизических специальностей этого введения достаточнодля дальнейшего продвижения к квантовой механике. Для сту-дентов-физиков это приятное повторение пройденного материала.Как обычно, одной из наших целей является выделение отли-чительных особенностей классической механики по сравнениюс квантовой. Однако, в отличие от авторов большинства книг пооснованиям квантовой теории, мы не абсолютизируем эти разли-чия, а напротив, подчеркиваем аналогию между формализмами.

§ 1. Механика Ньютона

Здесь мы обсудим второй закон Ньютона

ma = f , (1.1)

где m — масса частицы, a — ее ускорение и f — сила, действу-ющая на частицу. Ньютон ввел понятие непрерывного простран-ства, в котором представляется (с помощью непрерывной траек-тории) динамика частицы. Конечно, Ньютон еще не смог ввестина математическом уровне строгости понятие вещественногоконтинуума. Только к концу 19 века усилиями математиковбыла создана классическая модель физического пространства —декартова произведения трех вещественных прямых R3. В этомклассическом пространстве второй закон Ньютона может бытьзаписан в следующей форме. Введем обозначения: q = (x, y, z),где x, y, z — координаты частицы, v = q = dq

dt— скорость части-

цы и a = q = dv

dt— ее ускорение. Тогда динамика классической

частицы задается траекторией q(t), которая находится как ре-шение задачи Коши, соответствующей второму закону Ньютона:

mq = f(q),q(t0) = v0,q(t0) = q0.

(1.2)

Как известно из курса обыкновенных дифференциальныхуравнений, если функция f достаточно гладка — удовлетворяетусловию Липшица (в частности, достаточно, чтобы f была клас-са C1, один раз дифференцируема и ее производная была непре-рывна), — то задача Коши (1.2) имеет единственное решение.Это важное свойство классической механики — детерминизм.Зная состояние частицы, задаваемое парой (q0, v0) в начальный

§ 2. Гамильтонова механика 27

момент времени t = t0, мы можем предсказать ее состояниев любой последующий момент времени. Обычно детерминизмрассматривается как характеристическое свойство классическоймеханики и противопоставляется квантовому индетерминизму.Следует согласиться, что возможность описывать эволюцию си-стемы с помощью цепочки состояний, в которой предыдущееполностью определяет все последующие, — это действительноважное отличительное свойство широкого класса классическихсистем. Однако обычно в физической литературе не обращаютвнимания на то, что детерминизм присущ отнюдь не всем класси-ческим системам! Хорошо известно, что для функций f(q) (полесил), которые не удовлетворяют условию Липшица (но по-преж-нему непрерывны), решение задачи Коши (1.2), вообще говоря,неединственно. В этом случае начальное состояние (q0, v0) неопределяет полностью траекторию движения.

Обратим также внимание на то, что если динамическая си-стема неустойчива, то малая погрешность в определении началь-ного состояния z0 может повлечь огромное отклонение траекто-рии. В этом случае детерминизм становится чисто формальнымматематическим свойством. Если мы интересуемся (как в кван-товой механике) только результатами измерений, то, измеривс недостаточно большой точностью начальное состояние, мыне сможем получить определенных предсказаний о результатеизмерения состояния z(t) = (q(t), v(t)) в момент времени t.

§ 2. Гамильтонова механика

Как обычно, введем импульс частицы: p =mv = mq. Рассмот-рим фазовое пространство с точками ψ = (q, p). Мы неслучайновыбрали символ ψ для обозначения точек фазового пространства.Аналогия с квантовой механикой будет обсуждаться позднее.

Заметим, что определение импульса можно рассматриватькак (линейное) дифференциальное уравнение:

q = p

m. (2.1)

Напомним, что сила f(q) называется потенциальной, если суще-ствует функция V (q), заданная на физическом пространстве R3,такая что

f(q) = −∂V

∂q(q). (2.2)


Таким образом, второй закон Ньютона можно записать в форме

p = −∂V

∂q. (2.3)

Введем функцию на фазовом пространстве:

H(q, p) = p2

2m+ V (q), (2.4)

это функция Гамильтона. Система уравнений (2.1), (2.2) можетбыть записана в форме

q = ∂H∂p

, p = −∂H∂q. (2.5)

Можно легко показать, что функция Гамильтона сохраняетсяв процессе движения:

H(q(t), p(t)) = H(q0, p0). (2.6)

Для этого достаточно показать, чтоd

dtH(q(t), p(t)) = 0. Послед-

нее следует из правила дифференцирования сложной функциии уравнений Гамильтона (2.5). Этот интеграл движения в физикеимеет смысл энергии.

В гамильтоновом формализме естественным образом форму-лируется свойство классической механики, которое естественноназвать локальностью.

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц с координата-ми qj и импульсами pj . Функция Гамильтона для системы из Nчастиц, движущихся под действием потенциала V (q1, . . . , qN ),имеет вид

H(q, p) =N∑j=1

p2j2mj

+ V (q1, . . . , qN ), (2.7)

где q = (q1, . . . , qN ), p = (p1, . . . , pN ). Система уравнений Гамиль-тона, описывающая динамику системы из N частиц, имеет вид

qj = ∂H∂pj

, pj = −∂H∂qj

. (2.8)

В потенциале V (q1, . . . , qN ) взаимодействие между частицамиописывается членами, содержащими координаты нескольких ча-стиц, например q1q2, или q1q2q3, или q1q2 . . . qN . Рассмотримпотенциал, не содержащий членов взаимодействия:

V (q1, . . . , qN ) = V1(q1) + . . . + VN (qN ), (2.9)

§ 3. Статистическая механика 29

где Vj — функции класса C1. В этом случае система уравненийГамильтона имеет вид

qj = pjmj

, pj = −∂Vj∂qj

. (2.10)

Это система из N независимых уравнений.Итак, гамильтонова механика локальна. При отсутствии вза-

имодействий в физическом пространстве частицы движутся неза-висимо друг от друга.

Отметим, что нелокальной динамике соответствует сле-дующая парадоксальная (с точки зрения классической физики)ситуация. Несмотря на отсутствие взаимодействий в физическомпространстве (даже при полном отсутствии взаимодействий:V ≡ 0), динамики частиц, тем не менее, зависят друг от друга.Изменение состояния одной частицы, ψj = (qj , pj), приводитк изменению состояний всех остальных частиц.

§ 3. Статистическая механика

При рассмотрении ансамблей, состоящих из огромного чис-ла M частиц, наличие системы уравнений Гамильтона (2.8)играет в основном методологическую роль. Конечно, в принци-пе можно решить систему Гамильтона для миллионов частици найти миллионы траекторий в фазовом пространстве. Дажеесли забыть о вычислительных трудностях, которые становятсянеимоверными, то в принципе неясно, как использовать инфор-мацию о траекториях, как визуализировать эту динамику.

Поэтому было предложено вместо рассмотрения индивиду-альных траекторий рассмотреть вероятность нахождения частицв какой-либо области W фазового пространства.

Итак, рассмотрим фазовое пространство R3 × R3 с точкамиψ = (q, p). На этом пространстве задается плотность вероятно-сти: ρ(q, p) � 0 и

∫ ∫ρ(q, p) dq dp = 1. Вероятность обнаружить

частицу в состоянии ψ, принадлежащем W , вычисляется с помо-щью функции плотности

P (ψ ∈W ) =∫ ∫

W

ρ(q, p) dq dp. (3.1)


Наша задача — найти динамику плотности, ρ(t, q, p). Эта дина-мика задается уравнением Лиувиля:

∂ρ(t, q, p)∂t

= {H(q, p), ρ(t, q, p)}, (3.2)

ρ(t0, q, p) = ρ0(q, p). (3.3)

Здесь {H, ρ} — это скобки Пуассона функций на фазовом про-странстве:

{H, ρ} =N∑j=1

(∂H∂qj

∂ρ

∂pj− ∂H∂pj

∂ρ

∂qj

).

Таким образом, если известна начальная плотность вероятностейρ0(q, p), то можно (решив уравнение Лиувиля) найти ее в любоймомент времени.

Заметим, что использование вероятностного описания в клас-сической статистической механике не противоречит существова-нию детерминистической динамики для индивидуальных частиц.

§ 4. Область применения классической механики

К концу 19 века сложилось впечатление, что с помощью клас-сической механики можно описать все физические процессы 1).Фундаментальные принципы классической механики — детер-минизм и локальность — ни разу не подвергались сомнению, небыло никаких экспериментальных данных, противоречащих этимпринципам. Складывалась изумительно красивая картина приро-ды. Предыдущее состояние определяло последующие. Изменениесостояния могло произойти лишь в результате воздействия сил.Для сложных систем, состоящих из подсистем, при отсутствиивзаимодействия между системами изменение состояния однойсистемы не могло вызвать изменения состояния других систем.Впоследствии эти взгляды получили название локального реа-лизма.

Пофантазируем, как бы выглядел мир в случае нарушенияпринципов локального реализма. Особенно интересно рассмот-

1) Забавно, что, когда Макс Планк после окончания гимназии пришел по-давать документы в университет на физический факультет, профессор, прини-мавший документы, пытался его отговорить. По его мнению, развитие физикиподошло к концу и было бы глупо погубить свою карьеру. Макс обладалхорошими музыкальными способностями, и профессор настойчиво советовалему избрать музыкальную стезю.

§ 4. Область применения классической механики 31

реть нелокальный реализм 1). Итак, здесь все физические систе-мы движутся по определенным траекториям (детерминистскоедвижение). Однако вне зависимости от наличия или отсутствиявзаимодействия между ними траектории не являются незави-симыми.

Например, одна машина едет по Москве, а другая по Векше(городок на юге Швеции). Машина в Москве останавливаетсяу светофора и немедленно (!!!) машина в Векше тоже останав-ливается. Во всех других отношениях это нормальные реальныемашины. Основная проблема — это мгновенность действия нарасстоянии. Если бы был какой-то интервал времени Δt междудействиями машин в Москве и в Векше, то можно было бы легкообъяснить поведение машин. Например, водители перезванива-ются, и водитель в Москве, останавливаясь у светофора, кричитв телефон: «Тормози!». Однако если Δt = 0 (а именно так обстоятдела в бомовской квантовой механике), то возникают проблемыс пониманием такой нелокальной реальности.

Можно пойти дальше и вообще предположить, что принципдетерминизма нарушается. Предыдущее состояние не определяетоднозначно последующие. Машина, едущая по Москве, можетс некоторыми вероятностями оказаться и в Киеве, и в Минске,и вообще в любой точке земного шара (причем в любом случаеначальное состояние будет одно и то же).

Подчеркнем, что детерминизм — это основа описания дей-ствительности с помощью «законов природы». Любой закон свя-зывает предыдущие состояния систем с последующими. Нет де-терминизма — нет и законов природы 2).

Обратим внимание, что детерминизм классической механи-ки оказал большое влияние на создание философской основымарксизма-ленинизма — исторического материализма: одна соци-ально-экономическая система с неизбежностью сменяет другую.Несомненно также, что и психологический детерминизм З. Фрей-да возник под влиянием классической механики: детская сексу-альность однозначно определяет психологическое формирование

1) Приверженцами такого взгляда на мир были, например, Д. Боми Дж. Бэлл (а также почти все сторонники бомовской квантовой механики).

2) Напомним, что копенгагенская интерпретация отрицает возможность де-терминистского описания квантовых систем. Поэтому весьма логично пред-положить и полное отсутствие законов природы как таковых. Остается лишьместо для вероятностных закономерностей.


личности (и, в частности, последующие неврозы). Замечу, чтов современной критике исторического материализма и фрейдизмачасто используются аргументы квантовой механики.

Важнейшим шагом в развитии классической механики былосоздание (локальной) детерминистской модели для электромаг-нитного поля. Если задавать состояние поля в момент време-ни t вектором ψ(t,x) = (E(t,x),B(t,x)), где E(t,x) = (E1(t,x),E2(t,x),E3(t,x)) и B(t,x) = (B1(t,x),B2(t,x),B3(t,x)) — элек-трическое и магнитное поля, то эволюция состояния также мо-жет быть описана задачей Коши:

dψ

dt(t,x) = L(ψ)(t,x), ψ(t0,x) = ψ0(x). (4.1)

Здесь L — дифференциальный оператор в частных производных

(относительно∂

∂xj, j = 1, 2, 3, где x1 = x, x2 = y, x3 = z), соот-

ветствующий системе уравнений Максвелла. Напомним, что приотсутствии зарядов уравнения Максвелла имеют вид

1c

∂E

∂t= ∇×B, (4.2)

1c

∂B

∂t= −∇× E. (4.3)

К этим эволюционным уравнениям добавляются линейные связимежду компонентами электрического и магнитного полей:

(∇,E) = (∇,B) = 0. (4.4)

Здесь ∇ =(∂

∂x1,∂

∂x2,∂

∂x3

)— известный набла-оператор, × —

векторное произведение, c — скорость света.Заметим, что (4.2), (4.3) — это система уравнений первого

порядка. Если электрическое поле рассматривать как аналогкоординаты, «полевая координата» q(x) ≡ E(x), а магнитное полекак аналог импульса, «полевый импульс» p(x) ≡ B(x), то системауравнений Максвелла запишется в форме

q = c∇× p, p = −c∇× q. (4.5)

Если мы сравним (4.5) с обычной системой Гамильтона (2.5),то сразу же поймем, что система уравнений Максвелла (в про-странстве без зарядов) есть не что иное, как полевый аналогуравнений Гамильтона. Выпишем функцию Гамильтона:

H(q, p) = c

2[(∇× p, p) + (∇× q, q)],

§ 5. Выход за пределы классической статистической механики 33

где для вектор-функций g(x) и f(x) их скалярное произведениеопределяется равенством

(g, f) =3∑j=1

∫

R3

gj(x)fj(x) dx.

Тогда вариационная производная функционала H(q, p) по полю pравна ∂H(q, p)

∂p= c∇× p,

а по полю q∂H(q, p)∂q

= c∇× q.

Значит, (4.5) действительно является системой уравнений Га-мильтона на фазовом пространстве полей.

В связи с грядущим изложением квантовой механики инте-ресно рассмотреть математическую реализацию фазового про-странства для электромагнитного (классического) поля. Энергияэлектромагнитного поля должна быть конечна:

E(ψ) =∫

R3

(E2(x) +B2(x)) dx <∞.

Таким образом, полевые координата q(x) и импульс p(x) долж-ны быть интегрируемы в квадрате. Итак, полевое фазовое про-странство

Ω = L2 × L2, (4.6)

где L2 обозначает пространство функций, интегрируемых в квад-рате. Известно, что на фазовом пространстве всегда можноввести комплексную структуру: ψ = q + ip (или, в полевыхобозначениях: ψ(x) = E(x) + iB(x)). Значит, фазовое простран-ство классического электромагнитного поля можно представитькак пространство комплекснозначных суммируемых в квадратефункций, ср. с формализмом квантовой механики.

§ 5. Выход за пределы классическойстатистической механики

Как известно, первые шаги квантовой механики были робкии неосознанны. Ни о каком изменении философских основанийсовременной науки или создании принципиально нового мате-матического описания природы и речи не шло. Все началосьс графика, на котором был всплеск, который никак не удавалось

2 А.Ю. Хренников


объяснить в рамках классической статистической механики. Этоэкспериментальный график излучения абсолютно черного тела.Планк показал, что всплеск можно получить (в рамках классиче-ской статистической механики!!!), если считать, что энергия ненепрерывна, а дискретна. Чисто формально энергетическое про-странство было разбито на ячейки. Величина ячейки зависела отчастоты колебаний электромагнитного поля. Зависимость пред-полагалась линейной. Возникал некоторый коэффициент пропор-циональности:

ΔEν = hν. (5.1)

Этот коэффициент h был впоследствии назван постояннойПланка. Так как частота ν имеет размерность ∼ 1

T, то h имеет

размерность «энергия × время». Это размерность (классиче-ской) физической величины — действия. Позднее h была изме-рена с большой точностью:

h ≈ 6,626 069 3(11)× 10−34 Дж · с. (5.2)

Разбиение энергетического пространства на маленькие ячейкии формирование сумм по ячейкам напоминают процедуру вы-числения интеграла Римана. Существует даже мнение, будтоМакс Планк совершил свое открытие, поскольку он не знал,что нужно перейти к пределу, когда размер ячейки стремитсяк нулю. Заметим, что прием дискретизации не был чем-то совер-шенно оригинальным в классической статистической механике.Больцман постоянно использовал дискретизацию ε, 2ε, . . . ,nε, . . .Может быть, именно поэтому работа Планка была встреченаочень тепло, так как никто не рассматривал введение параметрадискретизации как подрыв основ классической физики. Похоже,что такую же позицию занимал и сам Макс Планк. Параметр hперестал быть просто параметром дискретизации и наполнилсяреальным содержанием только после работы Эйнштейна, 1905 г.,в которой утверждалось, что передача электромагнитной энергииможет происходить только порциями. Для частоты ν размерминимальной порции равен hν. Заметим, что таких слов, как«квант энергии», тогда не употреблялось. В принципе переда-ча энергии порциями определенного размера отнюдь не влечетпредставления о «квантованной энергии». Энергия вполне можетбыть непрерывной, но передаваться порциями 1).

1) Рассмотрим нейрон в мозге. Нейроны также обмениваются дискретнымиэлектрическими импульсами. Однако вся картина чисто классическая.

§ 5. Выход за пределы классической статистической механики 35

В настоящее время Эйнштейну часто приписывается идеяо корпускуле света — фотоне. Однако Эйнштейн никогда нерассматривал фотон как частицу. Для него фотон был порциейпередачи энергии и не более.

Итак, передача энергии дискретными порциями объясняетэкспериментальные данные об излучении абсолютно черного те-ла (а также и фотоэффект) и отнюдь не противоречит класси-ческой механике. Было бы естественно найти соответствующуюконкретную модель.

Напомним, что энергия, функция Гамильтона, сохраняет по-стоянное значение на траекториях в фазовом пространстве. До-пустим, что имеются какие-то дополнительные связи, которыезапрещают системе двигаться по произвольной траектории, при-чем остается лишь дискретное множество «разрешенных траек-торий» γ1, . . . , γN , . . . Энергия постоянна на каждой из этих тра-екторий. Получаем систему с дискретными уровнями энергии:E1 = E(γ1), . . . ,EN = E(γN ), . . . Дискретность обмена энерги-ей фотонообразными порциями является следствием дискретнойструктуры множества орбит. С помощью такой схемы объяснялдискретный обмен энергией Нильс Бор, в частности в моделиатома Бора. Разрешенные орбиты получались из специальной си-стемы связей, «условия квантования». Основная проблема этогоподхода была в том, что условия квантования орбит не имелиестественного объяснения в формализме классической механики.Они подгонялись под наблюдаемые спектры излучения.

В заключение напомним условие квантования Бора–Зоммер-фельда: ∮

p dq = nh. (5.3)

Это условие может трактоваться как связь, выделяющая разре-шенные орбиты. Условие Бора–Зоммерфельда является обобще-нием условия Бора квантования момента вращения:

L = nh = nh

2π, (5.4)

где n = 1, 2, 3, . . . — так называемые главные квантовые числа.Модель атома Бора, основанная на правиле селекции орбит,допускала только круговые орбиты, рассмотрение более общегоправила селекции дало возможность рассмотреть эллиптическиеорбиты.

2*


Заметим, что в учебниках по квантовой механике обычноподчеркивается примитивизм моделей Бора и Бора–Зоммерфель-да по сравнению с современной квантовой механикой. Я болееосторожен в оценке преимуществ современной квантовой моде-ли. По-существу, создание квантовой механики отнюдь не яви-лось решением проблемы, исследовавшейся Бором, Зоммерфель-дом и многими другими. Создание квантовой механики — этобыл уход от проблемы создания детерминистского описания мик-ромира. Вместо этого было предложено формальное вероятност-ное описание. По-существу, была сразу создана «статистическаямеханика». Более того, позднее возникла точка зрения, в силукоторой за этим подобием статистической механики не стоитникакой реальной гамильтоновой механики.

Итак, великая проблема, сформулированная в начале 20 века,по-прежнему не решена. Следовательно, любые попытки продви-жения в духе ранней квантовой механики необычайно интерес-ны. Например, недавно мы вместе с моим аспирантом ЯрославомВоловичем предложили простую классическую модель, воспро-изводящую дискретные спектры квантовой механики, [166, 167,185, 207]. Единственное новое предположение — это дискрет-ность времени, т. е. существование неделимого кванта времени τ ,ср. с введением кванта действия h. Другая предквантовая клас-сическая модель предложена в [197], см. гл. 6. В этой моделиплатой за детерминизм является бесконечная размерность фазо-вого пространства.

Гл а в а 2

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Наиболее естественным продолжением исследований помодификации классической статистической механики, см. § 5предыдущей главы, является волновая механика Шрёдингера.Поэтому мы начнем изложение квантового формализмас уравнения Шрёдингера, что, в общем-то, не соответствуетстандартному изложению квантовой механики, при которомосновное внимание уделяется некоммутативному операторномупредставлению наблюдаемых в формализме Гейзенберга–Дирака–фон Неймана.

Рассмотрение уравнения Шрёдингера предваряется дискусси-ей о границах применения гамильтонова формализма в класси-ческой физике. В частности, обсуждается броуновское движе-ние, а также стохастическое уравнение как обобщение описанияфизических процессов, основанного на обыкновенных диффе-ренциальных уравнениях (механики Ньютона и Гамильтона).Цель этой дискуссии — показать, что детерминизм Ньютона–Гамильтона — начальное состояние (q0, p0) полностью опреде-ляет траекторию — нарушается уже в классической физике.Простейший процесс, броуновское движение, имеет недиффе-ренцируемые траектории. И, следовательно, скорость, вообщеговоря, не определена. Поэтому чисто детерминистская модельв фазовом пространстве неприменима.

Эти предварительные рассуждения показывают, что механи-ка Шрёдингера может в принципе (при желании) рассматривать-ся как естественное развитие теории броуновского движения.

§ 1. Броуновское движение

Рассмотрим плотность распределения частиц ρ(t, q, p) на фа-зовом пространстве. Проинтегрировав ее по импульсам, по-лучаем плотность распределения частиц в конфигурационном

38 Гл. 2. Квантовая механика

пространстве:ρ(t, q) =

∫

R3

ρ(t, q, p) dp. (1.1)

С помощью плотности ρ(t, q) можно описать более общий классзадач, чем с помощью распределения ρ(t, q, p) на фазовом про-странстве. Плотность ρ(t, q) может быть определена, даже еслине определена ρ(t, q, p). В последнем случае, конечно, (1.1) неимеет смысла и ρ(t, q) определяется как плотность вероятностиобнаружить частицу в некотором объеме пространства R3:

P (q(t) ∈W ) =∫

W

ρ(t, q) dq. (1.2)

Например, такая ситуация возникает, если импульсы p(t)являются обобщенными функциями времени t. Здесь нельзяопределить значение p(t0) для конкретного момента времени t0.Поэтому бессмысленно пытаться рассмотреть распределениеρ(t, q, p) на фазовом пространстве. В то же время, если траек-тории частиц q(t) являются непрерывными функциями времени,то распределение на конфигурационном пространстве вполнеопределено. Возникает задача нахождения уравнения (котороедолжно будет заменить уравнения Лиувиля), описывающегоэволюцию распределения ρ(t, q).

Простейшим примером классической динамики с такимисвойствами являются броуновское движение и более общие диф-фузионные процессы. При броуновском движении в результатестолкновений траектория частицы меняется негладким, но, темне менее, непрерывным образом. Кусок движения по отрезкупрямой, затем столкновение в момент времени τ , прямолинейноедвижение в другом направлении и т. д. Получаются ломаныетраектории q(t): в момент τ траектория q(t) недифференцируема,и скорость v(t) = q(t) просто не определена. Тем не менее дляброуновского движения можно получить динамику плотностивероятностей ρ(t, q):

ρ(t, q) = 1√2πt

e− q2

2t (1.3)

(мы ограничились одномерным случаем). Я не исследовал в де-талях историю вопроса. В связи с решением этой задачи следуетв первую очередь отметить имена Эйнштейна, Смолуховского,Башилье. Из явной формулы (1.3) легко получить дифферен-

§ 1. Броуновское движение 39

циальное уравнение для плотности ρ(t, q) распределения бро-уновских частиц:

∂ρ

∂t(t, q) = 1√

2πt

[− 1

2t+ q2

2t2

]e− q2

2t ,

∂ρ

∂q(t, q) = 1√

2πt

(−q

t

)e− q2

2t,

∂2ρ

∂q2(t, q) = 1√

2πt

[−1t

+ q2

t2

]e− q2

2t .

Итак, получаем∂ρ

∂t(t, q) = 1

2∂2ρ

∂q2(t, q),

ρ(t0, q) = ρ0(q).(1.4)

Это хорошо известное в физике уравнение Фокера–Планка. За-дача Коши поставлена корректно, т. е. для каждой плотностиρ0(q) существует единственное решение (мы не обсуждаем, в ка-ком классе функций). Заметим, что описание динамики плотно-сти вероятностей уравнением (1.4) отнюдь не повлекло отрица-ния существования траектории броуновской частицы.

Для более общих диффузионных процессов уравнения дляплотности ρ(t, q) было получено Андреем Николаевичем Колмо-горовым и получило название прямого уравнения Колмогорова.

Можно ли написать какое-либо эволюционное уравнение нетолько для плотности вероятностей, но и для траекторий? Да, ноэто уже не будет обыкновенное дифференциальное уравнение.Возникает так называемое стохастическое дифференциальноеуравнение. Для общего диффузионного процесса оно имеет вид

dq(t) = a(t, q(t)) dt+ b(t, q(t)) dw(t), (1.5)

где a(t, q) и b(t, q) — коэффициенты переноса и диффузии соот-ветственно. Здесь w(t) обозначает винеровский случайный про-цесс. Это функция не только времени, но и случайного парамет-ра ω: w(t,ω). Задавая ω, мы определяем траекторию w(t,ω) дви-жения (например, броуновской частицы). Следовательно, и реше-ние q(t) также определяется ω, и, конечно, начальным условием,которое является случайной величиной:

q(t0,ω) = q0(ω). (1.6)


Эта случайная величина имеет распределение ρ0. Можно пока-зать, что почти все траектории винеровского процесса w(t,ω)недифференцируемы:

P (ω : w(t,ω) дифференцируема) = 0. (1.7)

Поэтому дифференциал dw(t,ω) не существует в обычном смыс-ле. Уравнение (1.5) имеет смысл лишь как интегральное урав-нение:

q(s,ω) = q0(ω) +s∫

t0

a(t, q(t,ω)) dt+s∫

t0

b(t, q(t,ω)) dw(t,ω) (1.8)

(т. е. уравнение (1.5) — это лишь символическая запись инте-грального уравнения). Можно показать, что почти все траекто-рии винеровского процесса w(t,ω) непрерывны:

P (ω : w(t,ω) непрерывна) = 1. (1.9)

Естественно искать непрерывные по t траектории q(t,ω) (дляпочти всех ω). Поэтому (для непрерывного коэффициента a(t, q))первый интеграл можно понимать как обычный интеграл Ри-мана. Второй интеграл — это стохастический интеграл Ито.Он определяется следующим образом. Рассматриваются суммы(так же как и в интеграле Римана–Стилтьеса):

ΣN (ω) =N∑k=0

z(tk,ω)(w(tk+1,ω) − w(tk,ω)). (1.10)

Здесь z(t,ω) = b(t, q(t,ω)), а t0 < t1 < . . . < tN+1 = s — разбиениеинтервала [t0, s]. Как и при определении интеграла Римана–Стилтьеса, следует рассмотреть предел, когда размер разбиенияΔ = max

kΔtk → 0 (N → ∞). Однако добиться сходимости сумм

ΣN (ω) к пределу, который и будет обозначатьсяs∫

t0

z(t,ω) dw(t,ω),

нельзя, если рассматривать сходимость для каждого ω (илидаже почти всех ω). Тем не менее суммы ΣN (ω) имеют предел(как случайные величины) в среднем квадратичном. Это и естьстохастический интеграл.

Итак, имеется целый класс классических физических процес-сов, для которых естественно описывается динамика плотностина конфигурационном пространстве R3, а не на фазовом про-странстве R3 × R3. Траектории описываются с помощью стоха-

§ 2. Уравнение Шрёдингера 41

стических дифференциальных уравнений. Таким образом, хотягамильтонова механика уже неприменима, классическое описа-ние с помощью траекторий по-прежнему возможно. Конечно,траектория q(t,ω) зависит от случайного параметра ω и знаниеq0(ω) не определяет траекторию однозначно. Таким образом, де-терминизма в классическом его понимании уже нет. Имеет местолишь весьма ослабленный (стохастический) детерминизм: зна-ние ω задает траекторию. Можно сказать, что стохастичность —это следствие нашего незнания.

§ 2. Уравнение Шрёдингера

Итак, при исследовании броуновского движения сначала бы-ла описана динамика плотности ρ(t, q). Здесь P (q(t) ∈ W ) ==

∫

W

ρ(t, q) dq дает вероятность обнаружить частицу в обла-

сти W конфигурационного пространства. Значительно позднеебыла развита теория случайных процессов, описывающая траек-тории q(t). Напомним, что Колмогоров создал аксиоматику тео-рии вероятностей только в 30-е годы, а стохастический интегралбыл введен Ито в 40-е годы.

В начале прошлого века возникла задача описания динамикимикроскопических частиц, электронов, протонов, нейтронов, . . .Было естественно предположить, что их динамика уж никак неможет быть проще, чем динамика броуновской частицы. Еслиброуновскую частицу так швыряет от столкновений, что ее им-пульс не определен в классическом смысле, то уж «квантовыечастицы» должно швырять из стороны в сторону не меньше.Причем, в силу их микроскопических размеров, сталкиватьсяони могут не только друг с другом, но и с полями, напримерс электромагнитным полем. При этом, очевидно, что вакуум,как абсолютная пустота (имеющая нулевую температуру) явля-ется просто математической абстракцией. Всегда присутствуеткакое-то фоновое электромагнитное излучение. Нельзя исклю-чить, что имеются и другие классические поля, но столь малоймощности, что их наличие мы можем обнаружить только повоздействию на микрочастицы.

Поэтому естественно предположить, что электрон, так же каки броуновская частица, имеет недифференцируемые траектории.Следует искать плотность распределения ρ(t, q) не на фазовом,а на конфигурационном пространстве. С помощью ρ(t, q) мы


можем вычислить вероятность обнаружить электрон в некоторойобласти W. Для бесконечно малого объема dq эта вероятностьравна

P (t, q) = ρ(t, q) dq. (2.1)

При этом задачу описания траекторий электрона (конечно, с по-мощью случайных процессов) можно было оставить на будущее.Таким образом, можно интерпретировать механику Шрёдингера.Он нашел динамику ρ(t, q) для микрочастиц. Единственный трюксостоял в том, что плотность распределения ρ(t, q) должна былапредставляться в виде

ρ(t, q) = |ψ(t, q)|2, (2.2)

где ψ(t, q) — некоторая комплекснозначная функция, а именноволновая функция. Это знаменитое правило Борна. И уравнениебыло получено не для ρ(t, q), а для ψ(t, q):

ih∂ψ

∂t(t, q) = − h2

2mΔψ(t, q) + V (t, q)ψ(t, q), (2.3)

где m — масса частицы, а V (t, q) — потенциал. Это уравнениеШрёдингера. Здесь

Δ =3∑j=1

∂2

∂q2j(2.4)

— оператор Лапласа. Дополняя (2.3) начальным условием

ψ(t0, q) = ψ0(q), (2.5)

получаем задачу Коши. Важно, что задача Коши (2.3), (2.4) кор-ректна. Следовательно, задавая волновую функцию в начальныймомент времени t0 (а значит, и начальное распределение мик-рочастиц ρ0(q) = |ψ0(q)|2), мы можем найти однозначно ψ(t, q)в любой момент времени t, а значит и распределение частицρ(t, q), см. (2.2).

Основное отличие от описания броуновского движения с по-мощью прямого уравнения Колмогорова (в частности, Фокера–Планка) состоит в том, что начальное распределение вероят-ностей ρ0(q) само по себе не определяет ρ(t, q). Комплекснаяамплитуда ψ(t, q) может быть представлена в виде

ψ(t, q) =√ρ(t, q) eiS(t,q), (2.6)

§ 2. Уравнение Шрёдингера 43

где S(t, q) — аргумент комплексного числа ψ(t, q), фаза волновойфункции. В частности, чтобы задать ψ0(q), мы должны знать нетолько ρ0(q), но и начальное распределение фаз S0(q).

Возникает вопрос: можно ли построить случайный процессq(t,ω), реализующий траектории микрочастиц, для которогоплотность вероятности ρ(t, q) будет вычисляться по прави-лу (2.2)?

В 20-е годы сама формулировка этой проблемы вызывалазатруднения, так как теория случайных процессов была ещев зародышевом состоянии. Поэтому проблема существованиядинамики траекторий рассматривалась в формулировке фазовогопространства. Бомовскую механику проморгали каким-то обра-зом и пришли к копенгагенской интерпретации, в силу которойуравнение Шрёдингера, в отличие от уравнения Колмогорова,не может быть основано на какой-либо динамике для траек-торий (ни в фазовом, ни в конфигурационном пространствах).Микрочастицы не имеют никаких траекторий в физическом про-странстве. Формула (2.2), вероятностный постулат Борна, даетотнюдь не вероятность того, что частица находится в точкеq ∈ R3. На самом деле это вероятность обнаружить частицув этой точке в результате измерения ее координаты. С одной сто-роны, частицы существуют, так как мы собираемся производитьизмерения над ними 1). С другой стороны, при копенгагенскойинтерпретации частицы сами по себе не имеют даже координатыв физическом пространстве R3.

Следует отметить, что в первоначальной интерпретации Шрё-дингера эта проблема не возникала. Интерпретация волновойфункции ψ(q) как плотности вероятностей возникла позднее.Фактически она была навязана Шрёдингеру. Вначале он рас-сматривал ψ(t, q) как настоящую физическую волну, причем

ρ(t, q) = |ψ(t, q)|2 интерпретировалось (для электрона) как плот-ность заряда.

Итак, для Шрёдингера «квантовая механика» была волновойтеорией, которая шла на замену классической корпускулярнойтеории:

«Основная идея волновой механики в следующем. Явление,которому классическая механика, казалось, дала адекватное

1) Читая Бора, понимаешь, что он отнюдь не отрицал существования ато-мов, электронов, . . .


описание тем, что изображала движение материальной точ-ки, т. е. рассматривала ее координаты x, y, z как функциювремени, — это явление по новым представлениям должнобыть изображено некоторым волновым движением, состав-ляющимся из волн только что описанного вида, т. е. опреде-ленной частоты и скорости (и, следовательно, определеннойдлины волны) . . . Математически волновое движение изобра-жается не конечным числом функций одной переменной t,а так сказать, непрерывным многообразием таких функций,т. е. одной функцией (или, возможно, несколькими функциямиот x, y, z и t). Эти функции удовлетворяют дифференциаль-ному уравнению с частными производными типа волновогоуравнения», см. [16, с. 105–106].

Вернемся теперь к поставленному выше вопросу о воз-можности описать динамику траекторий, например электрона,при стандартной (борновской) интерпретации волновой функции:ρ(t, q) = |ψ(t, q)|2 — плотность вероятности. Заметим, что в рам-ках такой модели мы бы могли говорить о вероятности того, чточастица находится в точке q ∈ R3, а не только обнаружена.

Молодой читатель должен быть удивлен, сколь глубоко мо-гут заблуждаться даже выдающиеся умы. Вопреки идеям Бора,Гейзенберга, фон Неймана, Дирака, Фока, Ландау, такая модельбыла построена в 60-е годы Эдвардом Нельсоном [244] и получи-ла название стохастической механики Нельсона. Он показал, чтодля «квантовой частицы» можно построить случайный процессq(t,ω), описывающий движение частицы, как решение стохасти-ческого дифференциального уравнения. Картина движения оченьинтуитивна. Маленькая частица движется в случайной среде(поле). Взаимодействие со средой создает весьма сложные тра-ектории. Но плотность вероятности ρ(t, q) может быть представ-

лена в виде ρ(t, q) = |ψ(t, q)|2, где комплекснозначная функцияψ(t, q) удовлетворяет уравнению Шрёдингера, см. также [84]и о стохастической электродинамике [78, 90–94].

§ 3. Квантовая нелокальность

Обычно так называемая квантовая нелокальность рассматри-вается в рамках нарушения неравенства Бэлла. Мы отметим,что неравенство Бэлла дало лишь возможность сформулироватьпроблему нелокальности в рамках копенгагенского подхода. Дей-

§ 3. Квантовая нелокальность 45

ствительно, при интерпретации, отрицающей саму возможностьописания с помощью траекторий в физическом пространстве,нелегко даже говорить о локальности или нелокальности кван-товой механики. Только весьма странная связь нарушения нера-венства Бэлла с действием на расстоянии дала возможность об-суждать эту проблему в подходе, где разрешено говорить толькоо результатах измерений.

Я не уверен, что Бор и Гейзенберг были бы сторонникамисовременной нелокальной копенгагенской интерпретации. Дляних квантовая механика означала отказ от попыток описатьквантовые явления в физическом пространстве. Неоднократноподчеркивалось, что нельзя рассматривать электрон как частицу,движущуюся по орбите в R3. При такой интерпретации бес-смысленно говорить о локальности или нелокальности квантовыхявлений.

Возможно, лишь немногим известно, что в своей первойформулировке принципа дополнительности Бор писал лишьо несовместимости волновой картины с описанием, основаннымна траекториях в R3.

Первым, кто обратил внимание на то, что имеет место кван-товая нелокальность, был Шрёдингер.

Рассмотрим уравнение Шрёдингера для сложной системы, со-стоящей из двух подсистем, например электрон и протон. Волно-вая функция этой сложной системы зависит от координат обеихподсистем: ψ = ψ(x1, y1, z1,x2, y2, z2) и удовлетворяет уравнениюШрёдингера:

ih∂ψ

∂t(t,x1, y1, z1,x2, y2, z2) =

=[− h2

2m1

(∂2

∂x21

+ ∂2

∂y21+ ∂2

∂z21

)− h2

2m2

(∂2

∂x22

+ ∂2

∂y22+ ∂2

∂z22

)+

+ V (t,x1, y1, z1,x2, y2, z2)]ψ(t,x1, y1, z1,x2, y2, z2). (3.1)

Начальное условие задачи Коши:

ψ = ψ(t0,x1, y1, z1,x2, y2, z2) = ψ0(x1, y1, z1,x2, y2, z2). (3.2)

Даже если потенциал V ≡ 0, для

ψ0 �= ϕ0(x1, y1, z1)g0(x2, y2, z2)


мы не можем расщепить уравнение Шрёдингера для сложнойсистемы на пару независимых уравнений.

Конечно, если ψ0 факторизуется, то задача Коши (3.1), (3.2)эквивалентна задаче Коши на R3 для систем:

ih∂ψ1

∂t(t,x, y, z) = − h2

2m1Δψ1(t,x, y, z), (3.3)

ih∂ψ2

∂t(t,x, y, z) = − h2

2m2Δψ2(t,x, y, z), (3.4)

ψ1(t0,x, y, z) = ϕ0(x, y, z),ψ2(t0,x, y, z) = g0(x, y, z).

(3.5)

Действительно, если мы возьмем решения уравнений (3.3)и (3.4), ψ1(x, y, z) и ψ2(x, y, z), и составим из них функциюψ(x1, y1, z1,x2, y2, z2) = ψ1(x1, y1, z1)ψ2(x2, y2, z2), то она будетрешением уравнения Шрёдингера (3.1) (для V ≡ 0) и факторизо-ванного начального условия ψ0, составленного из ϕ0 и g0. Однаконачальные условия в задаче Коши (3.1), (3.2) не ограничиваютсяфакторизованными начальными условиями. Возьмем, например,начальное условие

ψ0(x1, y1, z1,x2, y2, z2) = ϕ0(x1, y1, z1)g0(x2, y2, z2) +

+ g0(x1, y1, z1)ϕ0(x2, y2, z2). (3.6)

Тогда, несмотря на отсутствие взаимодействия, V ≡ 0, динамикасложной системы не распадается в две независимые динамики.

При желании это свойство волновой функции можно тракто-вать как нелокальность.

Для волновой теории Шрёдингера это была сложная про-блема. Для сложной системы «физическую волну» невозможноопределить на «физическом пространстве» R3. Шрёдингер несправился с этой проблемой и, по существу, сдался. Напомним,что для Шрёдингера физическое пространство было свято. Болеетого, он (весьма наивно) отождествлял физическое пространствос его специфической математической моделью R3. Поэтому длянего было легче отказаться от реальности квантовых волн, чемот реальности модели R3.

С тех пор прошло много времени. Были, например, рассмот-рены многомерные модели в теории струн. Реальность струныв R26 [118] ничуть не лучше и не хуже, чем реальность кванто-вой волны, определенной на R6. Более того, возникло и успешно

§ 3. Квантовая нелокальность 47

применяется так называемое суперпространство, см. детальноематематическое изложение в [13]. В суперпространстве коорди-наты вообще принадлежат суперкоммутативной банаховой су-пералгебре. Заметим, что, каким бы странным это ни казалось,наиболее простая математическая модель получается для бес-конечномерной супералгебры, см. [13]. В заключение мы лишьотметим, что даже использование вещественных чисел можетбыть поставлено под вопрос, см. [289, 290, 11] о p-адическихмоделях.

Заметим, что если не придавать волновой функции физиче-ского смысла, а использовать лишь вероятностную интерпрета-цию Борна для квадрата ее модуля, то проблема нелокальностивстает не так остро. Рассмотрим плотность, соответствующуюволновой функции:

ρ0(x1, y1, z1,x2, y2, z2) = |ψ0(x1, y1, z1,x2, y2, z2)|2 =

= |ϕ0(x1, y1, z1)g0(x2, y2, z2) + g0(x1, y1, z1)ϕ0(x2, y2, z2)|2. (3.7)

Конечно, мы не можем ее факторизовать, т. е. представить в виде

ρ0(x1, y1, z1,x2, y2, z2) = ρ10(x1, y1, z1)ρ20(x2, y2, z2). (3.8)

Однако с вероятностной точки зрения ничего страшного в этомнет. Невозможность факторизации означает просто, что слу-чайные величины ξ10(ω) ∈ R3 и ξ20(ω) ∈ R3, соответствующиестатистическим ансамблям подсистем, были зависимы. Неуди-вительно, что такая зависимость в начальный момент времениповлечет зависимость в процессе эволюции, т. е. случайные про-цессы ξ1(t,ω) и ξ2(t,ω), вообще говоря, зависимы, и плотностьвероятности ρ0(t,x1, y1, z1,x2, y2, z2) не факторизуется.

Пусть, например, начальное распределение вероятностей ρ0было гауссовским:

ρ0(u) = 1√(2π)6 detB

e− 1

2 (B−1u,u), (3.9)

где u = (x1, y1, z1,x2, y2, z2), а B — (6 × 6)-матрица, обратимаяи положительная. Здесь

(u, v) =∑j

ujvj (3.10)

— скалярное произведение. Если матрица B не имеет блочной


структуры вида

B =(B1 00 B2

), (3.11)

где B1, B2 — (3 × 3)-матрицы, то ρ0(u) не факторизуется. Этопросто означает, что имеются нетривиальные корреляции междугауссовыми случайными величинами. Неудивительно, что этикорреляции могут сохраняться и в процессе эволюции.

§ 4. Различные интерпретации волновой функции

Волновая функция ψ(t, q) похожа на волшебную палочку, ко-торая свалилась на физиков неизвестно откуда. Они ею успешнопользуются уже сто лет, не имея ни малейшего представления обее устройстве 1). Имеются различные домыслы (интерпретации)о смысле волновой функции.

А). Волновая интерпретация. Следуя Шрёдингеру, ψ рассмат-ривается как физическая волна. Одна из проблем этой интер-претации — это нелокальность. Волна для сложной системы«живет» в многомерном пространстве, а не в R3.

Б). Копенгагенская интерпретация. Следуя Бору, Гейзенбер-гу, Паули, Фоку, Ландау и большинству работающих в квантовойфизике, будем считать, что ψ дает наиболее полное описаниесостояния квантовой системы. При этом не предполагается, что«система» — это волна. Но и не предполагается, что «система» —это частица.

Как уже отмечалось, прямых проблем с нелокальностьюздесь не возникает, так как с самого начала и не предполага-ется, что система, например электрон, движется в физическомпространстве R3.

Квантовая механика не описывает природу как она есть самапо себе. Они описывает лишь результаты наших измерений.

В). Ансамбль-интерпретация. Следуя Эйнштейну, Ланде,Маргенаи, Баллентайну, см., например, [44–46, 226, 227], счи-тается, что квантовая механика является специальной моде-

1) Ситуация выглядит еще более романтично, если вспомнить, при какихобстоятельствах Шрёдингер получил свое уравнение. Неизвестная женщина(кто была она, так и не удалось выяснить историкам квантовой механики) при-гласила его в горы покататься на лыжах. Там в избушке, среди заснеженныхгор, он написал свое уравнение. После этого его добрая фея исчезла, и большеее никто не видел.

§ 4. Различные интерпретации волновой функции 49

лью классической статистической механики, см. наши рассмот-рения в §§ 1–2 этой главы. Волновая функция ψ(t, q) приоб-ретает физический смысл лишь через плотность вероятностейρ(t, q) = |ψ(t, q)|2. Здесь ρ(t, q) — вероятность того, что, на-пример, электрон находится в точке q ∈ R3. В этом подходеквантовая механика не является окончательной теорией процес-сов в микромире. Как писали Эйнштейн, Подольский и Розен,она неполна и может быть дополнена теорией, описывающейтраектории квантовых систем (например, в духе стохастическоймеханики Нельсона).

При ансамбль-интерпретации проблем с нелокальностью невозникает. Основной проблемой этой интерпретации была ин-терференция, которую не удавалось объяснить в рамках клас-сической статистической механики. В квантовой механике ин-терференция проявляется в форме интерференции вероятностей.Поскольку интерференция вероятностей не появлялась в колмо-горовской модели и других классических моделях теории веро-ятностей, а статистическая механика основана на классическойтеории вероятностей, то считалось, что классическое статисти-ческое описание неприменимо к интерференции вероятностей 1).

Совсем недавно интерференцию вероятностей удалось по-лучить в рамках классической теории вероятностей [13, 172,173], см. гл. 9. Чисто корпускулярные системы, взаимодействуяс различными комплексами физических условий (физическимиконтекстами), могут производить интерференцию. Кстати, приэтом совершенно неважен размер объектов, важен лишь харак-тер их взаимодействия с физическими контекстами.

Другой проблемой ансамбль-интерпретации (так же как и ко-пенгагенской), если отвергать нелокальность, является наруше-ние неравенства Бэлла. Однако эта проблема была решена в ра-ботах автора [10, 154–158], см. гл. 5.

Таким образом, вопрос о сводимости квантовой механикик классической статистической механике по-прежнему открыт.Имеются по крайней мере две классические предквантовые моде-ли. Стохастическая механика Нельсона (вероятностное описаниев конфигурационном пространстве, случайные траектории) и ме-ханика Бома (детерминистская модель в фазовом пространстве).

1) В одном из писем Шрёдингер писал Эйнштейну, что если интерференциявероятностей будет объяснена с помощью ансамбль-интерпретации, то он сразуже станет ее сторонником.


Заметим, что обе эти модели нелокальны. Может ли быть откры-тие квантовой механики лишь открытием нелокальной модифи-кацией классической статистической механики? Так, например,считали Бом и Бэлл 1).

Заметим, что поскольку мы не знаем, как предквантоваяклассическая статистическая модель связана с квантовой (прав-да, большинство даже не верит в существование первой), тонельзя заранее предполагать, что предквантовое конфигурацион-ное пространство должно совпадать с R3. Обозначим это гипоте-тическое предквантовое пространство через Λ. Элементы λ ∈ Λполучили название скрытых параметров. Последние 80 летознаменовались ожесточенными спорами о существовании скры-тых параметров, см., например, [22, 23] о недавних дебатах.Эти дебаты играют фундаментальную роль в развитии теорииквантовой информации. Если предположить, что скрытые пара-метры существуют и все сводится к классической статистическоймеханике, то декларации о необычайных преимуществах кван-товых информационных систем повисают в воздухе. Либо онивообще неверны, либо нужны более веские обоснования, а непросто ссылки на то, что все мистично и необычно в квантовоймеханике (при копенгагенской интерпретации).

Некоторые авторы, например Баллентайн, используют терминстатистическая интерпретация вместо ансамбль-интерпре-тация. Здесь возможна путаница, так как сторонники копенга-генской интерпретации под статистической интерпретацией по-нимают борновскую интерпретацию волновой функции. Однакоисточником вероятности они считают не классическую изменчи-вость свойств внутри большого ансамбля систем частиц, а такназываемую квантовую случайность, см. фон Нейман [15],присущую индивидуальной квантовой системе. При этом под-черкивается, что квантовая случайность является «настоящей»,т. е., в отличие от классической случайности, она не сводитсяк ансамбль-случайности.

Для копенгагенца правило Борна относится не к ансамблюэлектронов, а к одному электрону (имеющему волновую функ-

1) Джон Бэлл считал, что именно это он и доказал с помощью своегонеравенства. Легко понять возмущение его и других членов бомовского сооб-щества, когда они увидели, что большинство отнюдь не признало эту позицию.Более того, неравенство Бэлла используется как один из аргументов противансамбль-интерпретации.

§ 4. Различные интерпретации волновой функции 51

цию ψ(t, q)). Ситуация еще более запутывается тем, что копенга-генцы признают, что эта индивидуальная квантовая случайностьв эксперименте может проявиться только с помощью измеренийдля большого ансамбля частиц, т. е. так же, как и при ансамбль-интерпретации, см. фон Нейман [15]. Однако копенгагенцы нив коем случае не откажутся от индивидуальной случайностиквантовых систем, а сторонники классической статистическоймеханики никогда не согласятся признать, что вероятность мо-жет быть присуща одной частице, а не их ансамблю 1).

Г). Теория ведущей волны де Бройля–Бома (современныйвариант известен как бомовская механика). Де Бройль предло-жил скомбинировать ансамбль-интерпретацию (в духе Эйнштей-на) и волновую интерпретацию в духе Шрёдингера (де Бройльсвязал с каждой частицей волну еще до вывода уравнения Шрё-дингера).

Представим себе мячик, несущийся по морю на гребне волны.Это и есть образ, например, электрона, несущегося на гребневолновой функции. В бомовской механике волновая функцияудовлетворяет уравнению Шрёдингера, а траектория частицы —второму закону Ньютона. Однако возникает новая сила, кванто-вая сила. Она индуцируется ведущей волной.

Де Бройль мечтал получить одно уравнение, в котором реше-ние состояло бы из двух частей: гладкая часть описывает волну,а сингулярная — частицу. Он понимал, что линейное уравнениеШрёдингера должно быть заменено на некоторое нелинейноеуравнение. Де Бройль не преуспел в реализации этой про-граммы. Поэтому впоследствии он радостно принял бомовскуюмеханику 2). С другой стороны, Эйнштейн, который тоже до

1) Я бы хотел обратить внимание, что впоследствии Шрёдингер отказалсяот волновой интерпретации волновой функции. Он склонялся к тому, чтобысчитать, что по-видимому сама ψ-функция физического смысла не имеет. Фи-зический смысл ей можно придать только с помощью вероятностного правилаБорна. Называя эту интерпретацию статистической, он, конечно, имел в видуансамбль-интерпретацию, а отнюдь не копенгагенскую: «Была предложенаблизкая к истине статистическая интерпретация ψ, а именно, что ψраспространяется не на отдельную систему, а на ансамбль систем, опре-деляя ту часть из них, которая в данном случае находится в определеннойконфигурации», [16, с. 142].

2) Заметим, что власть копенгагенских ортодоксов была так сильна, чтодаже де Бройль — один из создателей квантовой механики — находилсяв полной изоляции.


конца своей жизни пытался создать предквантовую нелинейнуюполевую модель, очень сдержанно отнесся к созданию бомовскоймеханики.

§ 5. Рассеяние квантовых и классических частицна двух щелях

Имеется не так уж много экспериментов, демонстрирующихсугубо квантовые свойства. Один из первых экспериментов та-кого типа — это эксперимент, продемонстрировавший квантовуюинтерференцию. Более того, существует весьма распространен-ное мнение, что все фундаментальные квантовые свойства зало-жены в интерференционном эксперименте.

Рассмотрим следующий экспериментальный контекст. Име-ется некоторый источник частиц S. Имеется щит с двумя уз-кими щелями, расположенный на некотором расстоянии от S.Обозначим этот щит через A. И на некотором расстоянии от Aрасположен другой щит, скажем B, покрытый фотоэмульсией.

Так называемый интерференционный эксперимент на самомделе представляет собой три отдельных эксперимента.

Эксперимент E12: открыты обе щели № 1 и № 2.Эксперимент E1: открыта только щель № 1.Эксперимент E2: открыта только щель № 2.В каждом из трех экспериментов из источника S вылетает

большой ансамбль частиц в направлении щита A, часть их ми-нует A и попадает на регистрационный щит B. Попадая на B,частица действует на фотоэмульсионное покрытие и оставляетслед в виде черной точки. Поверхность щита B делится на рав-ные ячейки, считается, сколько частиц попало в каждую ячейку,и строится гистограмма: количество частиц, попавших в ячейку,делится на общее количество частиц, достигших щита B.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда S излучает«классические частицы», грубо говоря небольшие (например,металлические) шарики. Чтобы достичь B, шарик долженпролететь либо через щель № 1, либо через щель № 2. Такимобразом, «интуитивно ясно», что количество шариков, достигшихнекоторой ячейки на щите B в эксперименте E12, может бытьполучено как сумма количеств шариков, достигших этой ячейкив экспериментах E1 и E2.

Удобно описать эту ситуацию в элементарных вероятностныхтерминах. Обозначим количество частиц, выпущенных из S и до-

§ 5. Рассеяние квантовых и классических частиц 53

стигших щита B, через N12, N1, N2 соответственно. Мы пред-полагаем, что все эксперименты, E12, E1 и E2, имели равнуюпродолжительность по времени. Поэтому естественно предполо-жить, что

N1 = M1, N2 = M2, (5.1)

где M1 и M2 — это количества частиц, которые прошли черезщели № 1 и № 2 соответственно в эксперименте E12 (т. е. придвух открытых щелях).

Заметим, что в эксперименте с большими шариками мы мо-жем достаточно точно оценить M1 и M2, считая шары, пролета-ющие через соответствующие щели в эксперименте E12.

Введем теперь числа n12, n1, n2 шариков, достигших некото-рой фиксированной ячейки в экспериментах E12, E1, E2 соответ-ственно.

Введем теперь для эксперимента E12 числа m1 и m2 шариков,достигших этой ячейки через щели № 1 и № 2, соответственно.Эти числа уже трудней определить: нужно проследить весь путьшарика от щели до щита B.

Нашим фундаментальным интуитивным предположени-ем было

n1 = m1, n2 = m2, (5.2)

и, следовательно:

n12 = m1 +m2 = n1 + n2. (5.3)

Ограничимся на время рассмотрением одного лишь экспери-мента E12. Получаем для вероятности попадания в фиксирован-ную ячейку:

PE12(+) ≈ n12

N= m1 +m2

N= m1

M1

M1

N+ m2

M2

M2

N.

Введем теперь условные вероятности p(+ | 1) и p(+ | 2) попа-дания в эту ячейку при условии прохождения через щели № 1 и№ 2, а также вероятности прохождения через соответствующиещели: p1 и p2. Тогда

p1 ≈ M1

N, p2 ≈ M2

N, p(+ | 1) ≈ m1

M1, p(+ | 2) ≈ m2

M2.

Получаем равенство

PE12(+) = p1p(+ | 1) + p2p(+ | 2). (5.4)

Это всем известная формула полной вероятности.


Введем теперь вероятности попадания в ячейку в экспери-ментах E1 и E2:

PE1(+) ≈ n1

N1, PE2(+) ≈ n2

N.

В силу условий (5.1) и (5.2) получаем, что

PE1(+) = p(+ | 1), PE2(+) = p(+ | 2), (5.5)

а также чтоp1 = p1, p2 = p2, (5.6)

гдеp1 ≈ N1

N, p2 ≈ N2

N. (5.7)

Поэтому формула полной вероятности (5.4) влечет равенство

PE12(+) = p1PE1(+) + p2PE2(+). (5.8)

Заметим, что эта модифицированная формула полной веро-ятности существенно лучше, чем стандартная формула (5.4),которую мы вывели, используя лишь данные для одного экспе-римента E12.

Допустим, что шарики очень маленькие и мы не можем болееконтролировать их прохождение через щели. Тогда числа M1,M2 и m1, m2, а следовательно, и вероятности p1, p2, p(+ | 1), p(++ | 2), становятся скрытыми параметрами. Однако на основанииданных, собранных в трех экспериментах, E12, E1, E2, можнополучить числа N и n12, M1 и n1, M2 и n2, а следовательно,и вероятности PE12(+), PE1(+), PE2(+) и p1, p2.

Формула (5.8) может быть проверена экспериментально!

Было показано, что если вместо шариков рассматривать фо-тоны, то обобщенная формула полной вероятности (5.8) нару-шается!

Обычно в литературе утверждается, что такие эксперимен-ты — рассеяние частиц сначала на двух щелях, а затем накаждой в отдельности поочередно, были проведены и для элек-тронов, а также для более тяжелых частиц. Это не соответствуетистине. Проверка нарушения (5.8) была проведена лишь для фо-тонов. Для электронов и более тяжелых частиц были проведеныэксперименты по рассеянию на кристаллических решетках. Этоэксперименты другого типа. Их цель показать, что на экране Bвозникает дифракционная картина в виде чередующихся светлыхи черных полос.


Однако возникновение дифракционной картины не вызыва-ет таких проблем, как нарушение формулы (5.8). Эта карти-на может быть объяснена в чисто классических терминах какрезультат взаимодействия частиц с кристаллической решеткой,см. книги Альфреда Ланде [226, 227].

Конечно, многие авторы не понимают, что реальная проблемав интерфереционном эксперименте состоит в нарушении фор-мулы (5.8) для данных, собранных в трех различных экспери-ментах. Для них парадоксом является появление на щите Bчередующихся светлых и темных полос. Их точку зрения труднопринять. Собственно говоря, почему частицы, даже классиче-ские, взаимодействуя со щитом A, не могут разбрасываться пощиту B полосами? Например, S выбрасывает заряженные метал-лические шарики, поверхности щита A тоже заряжены. Играяпараметрами — расстояниями между S, A, B и щелями, раз-мерами щелей, шариков и потенциалом на A, типа дискретноговременного импульса [166, 167, 185], нетрудно показать, чтомогут возникать картины дифракционного типа, практически неотличимые от квантовых.

Итак, получить для шариков чередование полос на B (в тем-ные полосы попадает очень много шаров, в светлые очень ма-ло) — это не проблема. Проблемой является нарушение равен-ства (5.8).

Но, во всяком случае для фотонов, формула (5.8) не под-тверждается статистическими данными, собранными в трех экс-периментах, E12, E1, E2. Из этого нарушения обычно делаютсяфундаментальные выводы о невозможности описывать движениефотонов законами классической механики. Нельзя считать, чтофотоны — это маленькие шарики, которые движутся в простран-стве, проходя через одну из щелей.

Решением этой проблемы могло бы быть рассмотрение волн,вместо частиц, т. е., по-существу, тоже классической, но волно-вой, модели. По принципу Гюйгенса каждая из щелей играетроль источника волн. Эти волны интерферируют на пути к щи-ту B. Поэтому, закрывая одну из щелей, мы уничтожаем этуинтерференцию, а поэтому интенсивность для эксперимента E12в какой-либо ячейке щита B не равна сумме интенсивностейдля E1 и E2. Это влечет нарушение (5.8).

Итак, отказ от корпускулярной модели света объясняет«нарушение законов классической теории вероятностей».


Заметим, что известный физик Ричард Фейнман интерпре-тировал [106] нарушение формулы (5.8) именно как нарушениезаконов классической теории вероятностей.

Но ситуация существенно сложнее. Простым отказом отпонятия корпускулы-фотона, как это предлагал сделать Ланде[226, 227], а также Лэмб [225], по-видимому, проблему не ре-шить. Если фотон — это просто волна, распространяющаясяв пространстве, то ее энергия распределена по всему ее фронту.Однако если поставить по детектору напротив каждой из щелей,то всегда будет щелкать только один из детекторов. Конечно,интенсивность света должна быть чрезвычайно низкой: «толькоодин фотон находится в экспериментальном устройстве». Такоевзаимодействие с детекторами вновь заставляет вернуться к кор-пускулярной модели (похоже, что Альфред Ланде был неправ,когда критиковал Эйнштейна за введение фотона). Конечно ча-стица-фотон будет «врезаться» лишь в один детектор, производялишь один щелчок.

Однако, вернувшись к частицам-фотонам, мы вновь получимпроблему с «нарушением законов классической теории вероят-ностей».

По-существу, данная ситуация парадоксальна. Этот интер-ференционный парадокс тревожил всех отцов квантовой меха-ники, особенно Нильса Бора. Пытаясь найти его решение, онпрактически дошел до помешательства. Бор «разрешил» этотпарадокс следующим образом. Не с помощью физики и не с по-мощью математики, а через рассмотрение нового философскогопринципа: принципа дополнительности.

В силу этого принципа квантовые системы могут иметь взаи-модополнительные и взаимоисключающие свойства, которые со-ответствуют несовместимым экспериментальным ситуациям.

Интерференционный парадокс «разрешается» так. Имеетсяодин эксперимент, E12, обе щели открыты. В нем мы видим нащите B чередование светлых и черных полос. В этом экспери-менте проявляются волновые свойства фотона. Но в нем мы неможем узнать, через какую щель пройдет фотон. Имеется дру-гой эксперимент, в котором напротив щелей ставятся детекто-ры. В этом эксперименте мы можем определить корпускулярноесвойство фотона: его положение в пространстве — номер щели.Однако интерфереционная картина при этом нарушается. Или,используя E1- и E2-эксперименты, мы можем сказать, что E1


и E2 приводят к определению номера щели, но из гистограммдля E1 и E2 мы не восстановим гистограмму для E12.

Не знаю, как читателю, но мне принцип дополнительностиничего не проясняет. По-видимому, научная польза его весьмасомнительна, а вредные последствия поистине ужасны. Этотпринцип, по-существу, запрещает какой-либо глубокий научныйанализ интерференционного парадокса.

Можно ли этот парадокс разрешить без принципа дополни-тельности? Например, используя чисто волновую картину дляфотона? Да! Один из отцов квантовой механики, профессорЛэмб [225], считал, что «квант света» — это отнюдь не аналогкорпускулы, а лишь дискретная порция энергии, которая можетизлучаться электромагнитным полем. Итак, имеется непрерыв-ная волна (т. е. обе щели играют роль источников, производяинтерференционную картину), но ее энергия может приниматьлишь дискретные значения, εn = hνn, n = 1, 2, . . . («n-фотон-ная волна») Более того, предполагается, что детекторы, которыеимеются в нашем распоряжении, могут поглощать энергию лишьтакими же порциями. При таком предположении для «одно-фо-тонной волны» два детектора не могут щелкнуть одновременно,так как нельзя порцию энергии ε1 разделить на две порциитакого же типа.

Итак, возникает картина фотона как классической электро-магнитной волны, энергия которой может принимать только спе-циальные значения. Обмен энергией с детекторами тоже можетпроизводиться такими порциями.

Но ситуация с интерференционным парадоксом даже болееинтересна. Его можно разрешить не только в чисто волновойкартине, но и в чисто корпускулярной!

Напомним вновь, что формула полной вероятности (5.4) бы-ла выведена для ненаблюдаемых данных. Числа M1, M2, m1,m2 в общем случае нельзя получить. Даже если считать, чтощели расположены симметрично по отношению к источнику, томы получим лишь числа M1, M2: N/2, но мы не сможем поточке на B узнать, через какую щель частица попала в этуточку! Поэтому мы вывели формулу (5.8). Проблема физиковсостоит в том, что они не различают (5.4) и (5.8) (см. Фейман[106]), и, следовательно, не интересуются выводом (5.8) из (5.4).А мы видели, что вывод был произведен при условии (5.2):количество частиц, прибывающих в ячейку в эксперименте E12через щель j, совпадает с количеством частиц, прибывающих


в эту ячейку в эксперименте Ej . Однако экспериментально этотпостулат непроверяем! Более того, закрывая одну из щелей, мыопределенно меняем экспериментальный контекст! Итак, еслидопустить, что условие (5.2) нарушается, т. е. величины

ξ1 = n1 −m1, ξ2 = n2 −m2

нетривиальны по сравнению с общим числом частиц N , то вывод«обобщенной формулы полной вероятности» (5.8) блокируется.Никаких проблем с ее нарушением не возникает.

Вывод: Интерференционный парадокс может быть раз-решен без принципа дополнительности. Возможны решенияи в чисто волновой, и в чисто корпускулярной картинах.

Гл а в а 3

СОВРЕМЕННЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Пространство волновых функций

Стартуя с волновой функции ψ(q) как с базовой величины(т. е. несводимой к другим более фундаментальным величинам),мы получаем по правилу Борна плотность вероятности для рас-пределения координат квантовой системы:

ρ(q) = |ψ(q)|2.Как известно, плотность вероятности должна быть норми-

рована: ∫

R3

ρ(q) dq =∫

R3

|ψ(q)|2 dq = 1.

Таким образом, ψ(q) должна быть суммируема в квадрате:∫

R3

|ψ(q)|2 dq <∞.

Итак, состояния квантовых систем, представляемые волновымифункциями, должны принадлежать пространству L2

(R3

), со-

стоящему из комплекснозначных функций, суммируемых в квад-рате 1). В нем можно ввести скалярное произведение:

〈ψ1,ψ2〉 =∫

R3

ψ1(q)ψ2(q) dq,

1) В зависимости от интерпретации функция ψ(q) описывает или состояниеиндивидуальной квантовой системы (копенгагенская интерпретация), или ста-тистические свойства огромного ансамбля квантовых систем (ансамбль интер-претация). Но сейчас это для нас не имеет никакого значения. Математическийформализм квантовой механики один и тот же.

60 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики

где для комплексного числа ψ = u+ iv его сопряжение ψ = u−− iv. Скалярное произведение определяет норму

‖ψ‖ =√〈ψ,ψ〉 =

√ ∫

R3

|ψ(q)|2 dq .

Состояния квантовых систем лежат на единичной сфере этогопространства.

Пространство L2(R3

)со скалярным произведением — это

важный пример гильбертова пространства над полем ком-плексных чисел C.

Далее мы напомним некоторые факты из линейной алгебрыи функционального анализа.

§ 2. Комплексное линейное пространство

Рассмотрим произвольное комплексное гильбертово про-странство H. Это множество любой природы, элементы которогоназываются векторами. Предполагается заданной операциясложения векторов. Она коммутативна, ψ + ϕ = ϕ + ψ, и ас-социативна, (ψ + ϕ) + ω = ψ + (ϕ+ ω). Также предполагается,что векторы можно умножать на комплексные числа, причем этаоперация умножения связана с операцией сложения векторовдистрибутивным соотношением: c (ϕ+ ψ) = cϕ + cψ, c ∈ C,ϕ,ψ ∈ H. Отметим еще одну аксиому: 1 × ϕ = ϕ, где 1 —единица в C. Относительно сложения H является группой,т. е. существует обратная сложению операция вычитаниявекторов. Вектор (−ψ) определяется равенством ψ − ψ = 0.А нулевой вектор (существование которого тоже постулируется)удовлетворяет соотношениям ψ + 0 = ψ для любого ψ ∈ H.

Простейшим примером комплексного линейного простран-ства является декартово произведение n копий C: Hn = C× . . .. . . × C = Cn. Его элементы — это координатные векторыψ = (ψ1, . . . ,ψn), ψj ∈ C. Операции сложения и вычитания поко-ординатны: ψ ± ϕ = (ψ1 ± ϕ1, . . . ,ψn ± ϕn), так же как и опера-ция умножения на комплексное число: cψ ≡ (cψ1, . . . , cψn).

Пространство H = L2(R3

)— тоже пример линейного про-

странства. Однако в отличие от Hn это пространство имеетбесконечную размерность. Эта размерность счетна.

§ 2. Комплексное линейное пространство 61

Стоит напомнить, что линейная комбинация векторов ψ1, . . .. . . ,ψn ∈ H определяется равенством

ψ = c1ψ1 + . . . + cnψn, cj ∈ C.

Векторы ψ1, . . . ,ψn называются линейно независимыми, если ψ == 0 ⇒ c1 = c2 = . . . = cn = 0. Базисом в H называется такаясистема линейно независимых векторов {ej}n, что любой векторψ ∈ H может быть представлен в виде линейной комбинациивходящих в нее векторов:

ψ =n∑j=1

cjej , cj ∈ C.

Так как базисные векторы линейно независимы, то коэффициен-ты c1, . . . , cm определяются однозначно. Они называются коорди-натами вектора ψ относительно базиса {ej}nj=1 . Пространство Hв этом случае конечномерно, и его размерность dimH = n 1).

Канонический базис в Hn задается векторами

e1 =

⎛⎜⎜⎜⎝10...0

⎞⎟⎟⎟⎠, e2 =

⎛⎜⎜⎜⎝01...0

⎞⎟⎟⎟⎠, . . . , en =

⎛⎜⎜⎜⎝00...1

⎞⎟⎟⎟⎠.В квантовой теории информации часто используются и дру-

гие базисы. Например, в H2

f1 = e1 + e2√2

, f2 = e1 − e2√2

,

т. е.f1 = 1√

2

(11

), f2 = 1√

2

(1−1

).

Любой линейный оператор в Hn может быть задан матрицейотносительно некоторого базиса. Пусть n = 2 и базис канониче-ский. Рассмотрим оператор поворота на угол θ в H2:

Ae1 = cos θ e1 + sin θ e2,Ae2 = − sin θ e1 + cos θ e2.

1) Определение размерности корректно, так как любые два базиса состоятиз одинакового числа векторов.


Значит,

A =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

).

Если в некотором линейном пространстве H не существуетконечного базиса, то оно называется бесконечномерным. В неко-торых бесконечномерных пространствах тоже можно ввести ба-зисы. Но для этого на H нужно ввести топологию, чтобы с еепомощью задавать сходимость рядов в H. В простейшем случаесходимость задается с помощью метрики (расстояния) на H.Базис может быть счетным, {ej}∞j=1 , или несчетным, {eα}α∈A ,где множество индексов A несчетно (например, A = R).

В квантовой теории информации можно ограничитьсярассмотрением конечномерных (комплексных) линейных про-странств. Однако в реальной квантовой физике используютсябесконечномерные пространства. Все они имеют счетный базис.Пространства с несчетным базисом или пространства, неимеющие базиса, в квантовой физике не возникают.

На всякий случай еще напомним, что линейным операторомв H называется отображение A : H → H, переводящее линейныекомбинации в линейные комбинации:

A (λ1ψ1 + λ2ψ2) = λ1Aψ1 + λ2Aψ2,

λ1,λ2 ∈ C, ψ1,ψ2 ∈ H.

Пусть H конечномерно и {ej}nj=1 — базис в H,

ψ =n∑j=1

cjej , cj ∈ C.

Тогда любой линейный оператор A представим в виде матрицы

A =

⎛⎝a11 . . . a1na21 . . . a2nan1 . . . ann

⎞⎠.Столбцы этой матрицы представляют координаты образов базис-ных векторов:

Ae1 = a11e1 + a21e2 + . . . + an1en, . . .

. . . , Aen = a1ne1 + a2ne2 + . . . + annen.

Конечно, можно рассматривать и линейные операторы

A : H(1) → H(2),

§ 3. Скалярные произведения 63

где H(j) — два произвольных линейных пространства. Насв дальнейшем будет интересовать случай H(2) = C. Линейныеоператоры A : H → C называются линейными функционала-ми на H.

Обозначим пространство всех линейных операторовA : H(1) → H(2) символом L

(H(1),H(2)

). На нем также можно

ввести структуру линейного пространства, определяя

(A1 +A2)ψ = A1ψ +A2ψ, (cA)ψ = cAψ.

В частности, на пространстве линейных функционалов име-ется структура линейного пространства. Обозначим его H∗(≡ L (H,C)).

Если dimH < ∞, то H∗ можно отождествить с H. Выберемв H базис {ej}nj=1 и отобразим H взаимно-однозначно на Hn =

= Cn, j (ψ) = (c1, . . . , cn), где ψ =n∑j=1

cjej . Пусть теперь u ∈ H∗.

Тогда

u (ψ) = u

( n∑j=1

cjej

)=

n∑j=1

cju (ej).

Отобразим теперь H∗ на Hn (взаимно-однозначно), полагаяi (u) = (u1, . . . ,un), uj = u (ej). В итоге получаем изоморфизм(т. е. линейное и взаимно-однозначное отображение) линейныхпространств:

W = j−1 ◦ i : H∗ → H,

где j−1 : Cn → H — отображение, обратное j.Заметим, что в бесконечномерном случае пространство H∗,

вообще говоря, неизоморфно H. Хотелось бы и в этом случаевыделить класс пространств, для которых H и H∗ совпадают.Таковыми являются гильбертовы пространства, см. § 6. Однаковместо пространства всех линейных функционалов H∗ должнобыть рассмотрено пространство линейных непрерывных функ-ционалов.

§ 3. Скалярные произведения

Скалярным (эрмитовым) произведением на некотором ком-плексном линейном пространстве H называется функция двухпеременных, 〈ψ1,ψ2〉, обладающая следующими свойствами:


а) линейность по второму аргументу

〈ψ, c1ϕ1 + c2ϕ2〉 = c1 〈ψ,ϕ1〉 + c2 〈ψ,ϕ2〉.где c1, c2 ∈ C, а ψ,ϕ1,ϕ2 ∈ H;

б) 〈ψ,ϕ〉 = 〈ϕ,ψ〉;в) невырожденность: 〈ψ,ψ〉 = 0 ⇔ ψ = 0;

г) положительная определенность: 〈ψ,ψ〉 � 0, ψ ∈ H.

Заметим, что из аксиом (а) и (в) следует, что

〈c1ψ1 + c2ψ2,ϕ〉 = c1 〈ψ1,ϕ〉 + c2 〈ψ2,ϕ〉.Скалярное произведение определяет норму: ‖ψ‖ =

√〈ψ,ψ〉 . Име-ет место неравенство Коши–Буняковского:

|〈ψ,ϕ〉| � ‖ψ‖ ‖ϕ‖.В квантовой теории это неравенство записывается в форме,

известной как соотношения неопределенности Гейзенберга.

Определение 3.1. Комплексное линейное пространство Hсо скалярным произведением называется эрмитовым про-странством.

Определение 3.2. Линейный оператор A : H → H называ-ется симметричным, если

〈Aψ1ψ2〉 = 〈ψ1,Aψ2〉для любых векторов ψ1,ψ2 ∈ H.

Напомним, что базис {ej}nj=1 в конечномерном эрмитовомпространстве H называется ортонормированным, если

〈ei, ej〉 = δij ={1, i = j,0, i �= j.

Матричные элементы линейного оператора A : H → H отно-сительно ортонормированного базиса имеют вид

aij = 〈ei,Aej〉.Если симметричный оператор задается матрицей A = (aij),

то aij = 〈ei,Aej〉 = 〈Aei, ej〉 = 〈ej,Aei〉 = aji, т. е. A = AT, гдеиндекс T обозначает транспонирование матриц: BT = bTij = bji.

Матрицы, удовлетворяющие условию A = AT, называются эрми-товыми.

§ 4. Метрические пространства 65

Напомним, что собственным вектором оператора A, соответ-ствующим собственному значению λ, называется решение урав-нения

Aψλ = λψλ, ψλ �= 0.

Предложение 3.1. Пусть A : H → H — эрмитов оператор.Все его собственные значения принадлежат множеству веще-ственных чисел, а собственные векторы, соответствующиеразличным собственным значениям, ортогональны.

Предложение 3.2. В конечномерном пространстве любойэрмитов оператор A : H → H имеет базис из собственныхвекторов.

§ 4. Метрические пространства

Напомним, что метрикой на произвольном множестве X на-зывается функция двух переменных r(x1,x2), удовлетворяющаяследующим аксиомам:

r1) симметричность

r(x1,x2) = r(x2,x1) ;

r2) невырожденность

r(x,x) = 0 ⇔ x = 0;

r3) положительность

r(x,x) � 0;

r4) неравенство треугольника

r(x1,x2) � r(x1,x3) + r(x3,x2)

для любых трех точек x1,x2,x3 ∈ X.

Пара (X, r) называется метрическим пространством.Метрика r задает сходимость последовательностей в X.

Последовательность {x1,x2, . . . ,xn, . . . } элементов X сходитсяк a ∈ X, если r(xn, a) → 0, n → ∞. Используется обозначе-ние xn → a.

Если выбрать X = R и r(x, y) = |x− y|, то получим обычнуюсходимость последовательностей на вещественной прямой.

Последовательность {xn}∞n=1 , xn ∈ X, называется последо-вательностью Коши (или фундаментальной последовательно-



стью), если r(xn,xm) → 0, n,m → ∞. При больших n, m рас-стояние между членами последовательности пренебрежимо мало.

Заметим, что любая сходящаяся последовательность xn → a,является последовательностью Коши. Используя неравенствотреугольника для метрики r, получаем

r(xn,xm) � r(xn, a) + r(a,xm) → 0, n,m→ ∞.

Однако обратное верно не всегда. Выберем в качестве X мно-жество всех рациональных чисел Q (т. е. чисел вида x = ±n/m,где n, m — натуральные числа и m �= 0). Выберем на X метрикуr(x, y) = |x− y|. Рассмотрим последовательность рациональных

чисел xn =(1 + 1

n

)n.

Можно легко показать, что |xn − xm| → 0, n,m → ∞, т. е.это последовательность Коши в Q. Однако она не сходится ник какому рациональному числу a.

Определение 4.1. Метрическое пространство (X, r) на-зывается полным, если любая последовательность Коши егоэлементов имеет предел в X.

Пространство (X = R, r(x, y) = |x− y|) полно. А простран-ство (X = Q, r(x, y) = |x− y|) нет. На самом деле множество ве-щественных чисел R и было построено, чтобы получить «полнуюверсию» множества рациональных чисел Q.

Заметим, что построение пополнения R для Q не имеетникакого специального физического смысла. Просто с точкизрения математики удобнее работать в полном пространстве.В частности, использование вещественной прямой как основыфизического пространства R3 — это вопрос исключительно ма-тематического удобства.

«Физическими числами» являются лишь рациональные чис-ла. Любую величину можно измерить с конечной точностью,поэтому можно получить лишь рациональное число вида

x = αn, . . . ,α0,α−1, . . . ,α−m,

где (при использовании десятичных дробей) αj = 0, 1, . . . , 9. Ир-рациональные величины — это плоды нашего математическо-го воображения (Флоренский, Пуанкаре). Эта проблема обсуж-далась также в деталях при построении основ неархимедовой(p-адической) математической физики [289, 290, 11], суперана-лиза [13].

§ 5. Гильбертово пространство 67

Заметим, что с этой же проблемой мы сталкиваемся припостроении пространства состояний для квантовой физики. К со-жалению, данная проблема не исследовалась в квантовых осно-ваниях.

§ 5. Гильбертово пространство

Так же как и при построении математических основ класси-ческой физики, в квантовой физике предпочли работать в полномметрическом пространстве.

Пусть H — некоторое эрмитово пространство. Заметим, чтодля нормы выполняется следующее неравенство треугольника:

‖ϕ+ ψ‖ � ‖ϕ‖ + ‖ψ‖,это прямое следствие неравенства Коши–Буняковского. Следо-вательно, функция r(ϕ,ψ) = ‖ϕ− ψ‖ является метрикой. Длянее будет выполняться неравенство треугольника (r4) (осталь-ные свойства метрики очевидны). Итак, (H, r) — метрическоепространство. Если размерность H конечна, то это метрическоепространство полно, потому что H можно представить как Cn.А последнее пространство полно, как декартово произведениеконечного числа полных пространств (C в свою очередь полно,так как C = R×R). А вот если размерность H бесконечна, то Hможет быть и неполным.

Например, рассмотрим все функции вида

ψ(q) = p (q) e−q2,

где p(q) — некоторый полином. Заметим, что∫|ψ(q)|2 dq <∞,

так как e−q2 убывает существенно быстрее, чем любой поли-ном. Обозначим это функциональное пространство символомPL2

(R3

). Его можно наделить скалярным произведением, инду-

цированным из L2(R3

). Получаем бесконечномерное эрмитово

пространство. Оно неполно относительно расстояния, соответ-ствующего норме

ρ(ψ1,ψ2) =√ ∫

R3

|ψ1(q) − ψ2(q)|2 dq .

Заметим, что PL2(R3

)всюду плотно в L2

(R3

), т. е. лю-

бую функцию ψ ∈ L2(R3

)можно аппроксимировать последова-

3*


тельностью функций ψn ∈ PL2(R3

). Используя терминологию

функционального анализа, можно сказать, что L2(R3

)является

пополнением PL2(R3

)(а пространство R — пополнением про-

странства Q).Пополнение всегда состоит из двух типов элементов:

«физических» и «идеальных». Мы можем ощутить последние,лишь аппроксимируя их первыми. Было бы естественно(с физической точки зрения) работать лишь в пространствефизических элементов. Но с математической точки зренияудобно работать в полном пространстве.

Определение 5.1. Полное эрмитово пространство H на-зывается гильбертовым пространством.

В математической литературе обычно еще предполагается,что гильбертово пространство бесконечномерно. Мы не наклады-ваем этого ограничения, т. е. Hn = Cn — это тоже гильбертовопространство в нашей терминологии.

Заметим, что H = L2(R3

)— гильбертово пространство. Что-

бы получить строгое математическое определение этого про-странства, нужно отождествлять функции, которые отличныдруг от друга на множестве точек меры (Лебега) нуль:

ψ ∼ ϕ, если ψ(q) = ϕ(q),

за исключением множества точек меры нуль. Итак, элементамипространства L2

(R3

)являются классы эквивалентных функций,

суммируемых в квадрате. Если не производить такого отождеств-ления, то получим вырожденное скалярное произведение. Еслиψ(q) �= 0 лишь на множестве меры нуль, то

‖ψ‖2 =∫

R3

|ψ(q)|2 dq = 0.

Поскольку мера Лебега множества рациональных точек равнанулю, μ(Q) = 0, то функция ψ, равная нулю во всех ирра-циональных точках, отождествляется в L2

(R3

)с нулевым эле-

ментом (каким бы сложным ни было ее поведение на множе-стве Q) 1). Такая конструкция противоречит нашей физическойинтуиции.

Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство. Этопространство имеет счетный базис (иногда используется термин

1) Лично я испытываю дискомфорт от этого свойства пространства L2

(R3

).

§ 5. Гильбертово пространство 69

«топологический базис») {ej}∞j=1 , если любой вектор ψ предста-вим в виде сходящегося ряда:

ψ =∞∑j=1

cjej , cj ∈ C,

и коэффициенты cj определяются однозначно. Здесь

ΔN =∥∥∥∥ψ −

N∑j=1

cjej

∥∥∥∥ → 0, N → ∞.

Пусть базис {ej}∞j=1 является ортонормированным: 〈ei, ej〉 == δij . Тогда координаты cj вектора ψ ∈ H определяются равен-ством

cj = 〈ej ,ψ〉.В силу свойства (а) эрмитова произведения каждая коорди-

ната является линейным функционалом на H.Здесь

ΔN =∞∑

j=N+1

|cj |2 =∞∑

j=N+1

|〈ej ,ψ〉|2.

Следовательно, ряд∞∑j=1

cjej сходится тогда и только тогда,

когда сходится числовой ряд∞∑j=1

|cj |2. Напомним, что гильберто-

во пространство полно. Значит, любая последовательность Коши

SN =N∑j=1

cjej сходится к некоторому элементу ψ, обозначенному

ψ =∞∑j=1

cjej .

Значит, любое гильбертово пространство со счетным базисомможно представить как координатное пространство

l2 ={x = (x1,x2, . . . ,xn, . . . ) : xj ∈ C,

∞∑j=1

|xj|2 <∞}

со скалярным произведением 〈x, y〉 =∞∑j=1

xjyj .


§ 6. Линейные операторы

Пусть A : H → H — линейный оператор. Мы можем, как ив конечномерном случае, определить его матрицу относительноортонормированного базиса: aij = 〈ei,Aej〉.

Пусть H — произвольное гильбертово пространствои A : H → H — линейный оператор. Оператор A являетсянепрерывным, если он переводит сходящиеся последователь-ности в сходящиеся: если ψn → ψ, n → ∞, то Aψn → Aψили ‖ψn − ψ‖ → 0 ⇒ ‖Aψn −Aψ‖ → 0.

Для линейного оператора непрерывность равносильна непре-рывности в нуле:

‖ψn‖ → 0 ⇒ ‖Aψn‖ → 0.

Доказательство следующего предложения можно найти в лю-бом учебнике по функциональному анализу.

В связи с этим предложением непрерывные операторы назы-ваются также ограниченными.

Предложение 6.1. Линейный оператор A : H → H непре-рывен тогда и только тогда, когда выполняются следующиеэквивалентные условия:

а) sup‖x‖�1

‖Ax‖ <∞;

б) sup‖x‖=1

‖Ax‖ <∞;

в) supx�=0

‖Ax‖‖x‖ <∞,

причем константы, заданные в (а)–(в), совпадают, определяянорму ‖A‖ оператора A.

В силу (в) имеет место неравенство

‖Aψ‖ � ‖A‖ ‖ψ‖, ψ ∈ H.

Заметим, что в конечномерном гильбертовом пространствелюбой линейный оператор непрерывен.

Это легко доказать, раскладывая ψ по ортонормированномубазису {ej}nj=1 и оценивая ‖Aψ‖ =

√〈Aψ,Aψ〉 через ‖ψ‖ ==

√〈ψ,ψ〉 .В бесконечномерном случае отнюдь не любой линейный опе-

ратор A : H → H непрерывен. Однако интересно, что постро-ить пример разрывного линейного оператора A, определенного

§ 6. Линейные операторы 71

на всем гильбертовом пространстве, очень непросто. Однаков квантовой механике сплошь и рядом возникают операторы,определенные на плотных подпространствах H, которые не яв-ляются непрерывными.

Напомним, что линейное подпространство E в H называетсяплотным (в H), если любой вектор ψ ∈ H можно аппроксимиро-вать векторами из E: существует ψn → ψ n→∞, где все ψn ∈ E.

Пусть линейное подпространство E плотно в H и A : E →→ H непрерывен, т. е. если ϕn → ϕ (ϕn,ϕ ∈ E), то Aϕn → Aϕ.Тогда A можно продолжить до непрерывного оператора A : H →→ H. Действительно, пусть ψ ∈ H, но ψ �∈ E. Пусть ψn → ψ,n→ ∞, ψn ∈ E.

Тогда Unm = ψn − ψm → 0, n,m → ∞. СледовательноAUnm → 0, n,m → ∞. Таким образом, ‖Aψn −Aψm‖ → 0,n,m → ∞. Значит, {Aψn} — последовательность Коши в H.Но пространство H полно. Следовательно, существует lim

n→∞Aψn,который и обозначается Aψ. Итак, мы продолжили A на всепространство H. Можно проверить, что полученное такимобразом отображение A : H → H линейно и непрерывно.

Однако многие квантовомеханические операторы разрывны(неограниченны), и их нельзя продолжить на все простран-ство H. Важнейшими операторами в квантовой механике яв-ляются операторы координаты и импульса.

Пример 6.1 (операторы координаты и импульса). Шрёдингеругадал квантовые аналоги координаты и импульса в простран-стве состояний H = L2(R3) (j = 1, 2, 3):

qj(ψ) (q) = qjψ(q),

pj(ψ) (q) = h

i

∂ψ

∂qj(q).

Итак, оператор j-й координаты qj — это оператор умноженияна переменную qj , а оператор импульса pj — это (с точностьюдо скалярного коэффициента) оператор дифференцирования попеременной qj . Эти операторы линейны, однако они не являютсянепрерывными. Мы не можем определить их на всем простран-стве L2

(R3

). Нужно задать их области определения. Например,

D (qj) ={ψ ∈ L2

(R3) :

∫

R3

q2j |ψ(q)|2 dq <∞};


D (pj) ={ψ ∈ L2

(R3) :

∫

R3

∣∣∣ ∂ψ∂qj

(q)∣∣∣2 dq <∞

}.

Тогда qj : D (qj) →H, pj : D (pj) →H — линейные операторы.

Мы в нашей книге не будем слишком сильно акцентироватьвнимание на существовании неограниченных операторов. Следуяфон Нейману, мы отметим, что любой неограниченный операторможно аппроксимировать ограниченными операторами.

Например, аппроксимируем оператор координаты. ПустьU(qj) — непрерывная ограниченная функция переменной qj .Тогда оператор AU = U(qj), действующий как

AU (ψ) (q) = U(qj)ψ(q),

определен на всем L2(R3

)и ограничен:

‖AUψ‖ =√ ∫

R3

|U(qj)ψ(q)|2 dq � supqj∈R

|U(qj)| ‖ψ‖.

Значит ‖AU‖ � supqj∈R

U(qj). Выберем теперь

UN (x) =

⎧⎨⎩x, x ∈ [−N ,N ],

0, x �∈[−N − 1

N,N + 1

N

](на интервалах (−N − 1/N ,−N) и (N ,N + 1/N) эта функциявыбирается так, чтобы получить ограниченную функцию, напри-мер линейно).

Тогда limN→∞

UN (qj) = qj в любой точке qj , и мы можем счи-

тать операторы (ограниченные) AUN ≡ UN (qj) аппроксимациейоператора координаты qj .

§ 7. Теорема Рисса

Пусть H — произвольное гильбертово пространство. Рассмот-рим пространство всех линейных непрерывных функционаловна H. Обозначим его символом H ′. В H ′ рассмотрим структурулинейного пространства, индуцированную из пространства H∗всех линейных функционалов на H. Итак, U ∈ H ′, если

а) U(c1ψ1 + c2ψ2) = c1U(ψ1) + c2U(ψ2), cj ∈ C, ψi ∈ H,

б) U(ψn) → 0 для любой ψn → 0, n→ ∞, в H.

§ 7. Теорема Рисса 73

В силу предположения 6.1 последнее условие эквивалентноограниченности функционала u: H → C, причем

sup‖ψ‖�1

|U(ψ)| = supψ �=0

|U(ψ)|‖ψ‖ = ‖U‖ <∞.

Заметим, что в бесконечномерном случае H∗ �= H ′, т. е. су-ществуют разрывные линейные функционалы (например, H == L2(R3)).

Так как на гильбертовом пространстве определено скалярноепроизведение, то любому вектору ϕ ∈ H соответствует элементUϕ ∈ H ′, действующий по правилу

Uϕ(ψ) = 〈ϕ,ψ〉, ψ ∈ H.

Этот функционал линеен в силу аксиомы (а) для 〈 · , · 〉. Оннепрерывен в силу неравенства Коши–Буняковского:

|Uϕ(ψ)| � ‖ϕ‖ ‖ψ‖.Более того, ‖Uϕ‖ = ‖ϕ‖. Действительно в силу предыдущего

неравенства

Uϕ = supψ �=0

|〈ϕ,ψ〉|‖ψ‖ � ‖ϕ‖.

Кроме того, выбирая ψ = ϕ, получаем, что|Uϕ(ϕ)|‖ϕ‖ = |〈ϕ,ϕ〉|

‖ϕ‖ =

= ‖ϕ‖.Итак, построено вложение α : H → H ′, α(ϕ) = Uϕ. Причем α

сохраняет норму: ‖α (ϕ)‖ = ‖ϕ‖ (изометрия).Отметим замечательный факт из теории гильбертовых про-

странств.

Теорема 7.1 (Рисса). Имеет место равенство: α(H) = H ′.

Значит, любой линейный непрерывный функционал на H,U ∈ H ′, задается некоторым вектором. Легко видеть, что отобра-жение α взаимно-однозначно.

Если α(ϕ1) = α(ϕ2), то ϕ1 = ϕ2. Действительно, равенствообразов означает, что 〈ϕ1 − ϕ2,ψ〉 = 0 для любого ψ ∈ H. Пола-гая ψ = ϕ1 − ϕ2, получаем

‖ϕ1 − ϕ2‖2 = 〈ϕ1 − ϕ2,ϕ1 − ϕ2〉 = 0.


Часто H и H ′ отождествляют. Это удобно, но следует незабывать, что отображение α : H → H ′ не линейно, а эрмитоволинейно:

α(c1ϕ1 + c2ϕ2) = c1α(ϕ1) + c2α(ϕ2).

Это очевидно:

α(c1ϕ1 + c2ϕ2) (ψ) = 〈c1ϕ1 + c2ϕ2,ψ〉 = c1 〈ϕ1,ψ〉 + c2 〈ϕ2,ψ〉 =

= c1α(ϕ1) (ψ) + c2α(ϕ2) (ψ).

§ 8. Сопряженный оператор

Введем теперь очень важное в квантовой механике по-нятие сопряженного оператора. Пусть A : H → H — линей-ный непрерывный оператор, и пусть ψ ∈ H. Тогда функционалVψ(ϕ) = 〈ψ,Aϕ〉 линеен и непрерывен 1).

Значит, ему соответствует (единственный) вектор yψ ∈ H:α (yψ) = Vψ.

Причем имеет место равенство 〈y,ϕ〉 = 〈ψ,Aϕ〉. Заметим, чтосоответствие ψ → Vψ → yψ линейно:

〈yc1ψ1+c2ψ2,ϕ〉 = 〈c1ψ1 + c2ψ2,Aϕ〉 = c1 〈ψ1,Aϕ〉 + c2 〈ψ2,Aϕ〉 =

= c1 〈yψ1 ,ϕ〉 + c2 〈yψ2,ϕ〉 = 〈c1yψ1 + c2yψ2

,ϕ〉.Итак, отображение ψ → yψ является линейным оператором.

Этот оператор ограничен (непрерывен):

‖yψ‖ = supϕ �=0

|〈yψ,ϕ〉|‖ϕ‖ = sup

ϕ �=0

|〈ψ,Aϕ〉|‖ϕ‖ � ‖ψ‖ sup

ϕ �=0

‖Aϕ‖‖ϕ‖ = ‖A‖ ‖ψ‖.

Обозначим этот оператор A∗ : H → H, yψ ≡ A∗ψ. В силупредыдущего равенства ‖A∗‖ � ‖A‖. Покажем, что ‖A∗‖ = ‖A‖:

‖A∗‖ = supψ �=0

‖A∗ψ‖‖ψ‖ = sup

ψ �=0supϕ �=0

|〈A∗ψ,ϕ〉|‖ψ‖ ‖ϕ‖ = sup

ψ �=0supϕ �=0

|〈ψ,Aϕ〉|‖ψ‖ ‖ϕ‖ =

= supϕ �=0

1‖ϕ‖ sup

ψ �=0

|〈Aϕ,ψ〉|‖ψ‖ = sup

ϕ �=0

‖Aϕ‖‖ϕ‖ = ‖A‖.

1) Как композиция двух линейных непрерывных отображений, A : H →→ H, Uψ : H → C.

§ 8. Сопряженный оператор 75

Мы здесь несколько раз пользовались тем, что для вектора

x ∈ H : ‖α(x)‖ = supy �=0

|〈x, y〉|‖y‖ (т. е. норма вектора совпадает с нор-

мой соответствующего функционала).Непрерывный оператор A : H → H называется самосопря-

женным, если A = A∗. Заметим, что это эквивалентно равенству

〈Aψ,ϕ〉 = 〈ψ,Aϕ〉, ϕ,ψ ∈ H,

т. е. тому, что оператор симметричен.Теперь мы определим сопряженный оператор для произ-

вольного линейного оператора с плотной областью определе-ния, A : D(A) → H.

Область определения A∗ состоит из векторов ψ ∈ H, та-ких что

ϕ→ 〈ψ,Aϕ〉, ϕ ∈ D(A)

(это линейный функционал с плотной областью определенияD(A)) непрерывен. Как мы уже знаем, непрерывный функционал(и даже оператор) можно всегда продолжить по непрерывностис плотного подпространства на все H.

По теореме Рисса (см. теорему 6.1), если ψ ∈ D(A∗), тосуществует единственный вектор u = A∗ψ. Легко видеть, чтооператор A∗ : D(A∗) → H линеен.

Оператор A называется симметричным, если A∗ ⊃ A, т. е. A∗является расширением оператора A:

D(A∗) ⊃ D(A).

В общем случае мы имеем

〈ψ,Aψ〉 = 〈A∗ψ,ϕ〉

для ϕ ∈ D(A) и ψ ∈ D(A∗). Значит, если A симметричен, тоψ ∈ D(A) ⇒ ψ ∈ D(A∗) и

〈ψ,Aϕ〉 = 〈Aψ,ϕ〉 (8.1)

для ψ,ϕ ∈ D(A).Оператор A называется самосопряженным, если A∗ = A, т. е.

D(A∗) = D(A), и (8.1) имеет место.


§ 9. Интегральные операторы

Напомним, что скалярное произведение на L2(R3

)имеет

вид: 〈ψ,ϕ〉 =∫

R3

ψ(x)ϕ (x) dx.

Следовательно, для симметричного оператора (определенногона всем L2

(R3

)) имеет место равенство

∫

R3

A(ψ)(x)ϕ(x) dx =∫

R3

ψ(x)A(ϕ)(x) dx.

Пусть функция K(x, y) ∈ L2(R3 × R3

). Рассмотрим инте-

гральный оператор с ядром K(x, y):

Aψ(x) =∫

R3

K(x, y)ψ(y) dy. (9.1)

Предложение 9.1. Интегральный оператор (9.1) непреры-вен в L2

(R3

).

Доказательство. Во-первых, покажем, что A действительноопределен на всем L2-пространстве:

‖Aψ‖2 =∫

R3

∣∣∣∣ ∫

R3

K(x, y)ψ(y) dy∣∣∣∣2 dx �

�∫

R3

∫

R3

|K(x, y)|2 dy dx∫

R3

|ψ(y)|2 dy.

Здесь мы просто применили неравенство Коши–Буняковского. Мы также получили оценку

‖A‖2 �∫

R6

|K(x, y)|2 dx dy.

Можно показать, что на самом деле имеет место равенство.

Предложение 9.2. Пусть ядро K ∈ L2(R6,R) (т. е. при-нимает лишь вещественные значения). Тогда соответствую-щий интегральный оператор самосопряжен.

§ 10. Спектральное разложение. Конечномерный случай 77

§ 10. Спектральное разложение.Конечномерный случай

В принципе для ограниченных операторов вообще не былонеобходимости городить огород с самосопряженными оператора-ми. Было бы проще с самого начала работать с симметричнымиоператорами. Вся проблема в том, что если оператор A неограни-чен (разрывен), то симметричности (на его области определения)недостаточно, для того чтобы получить «хорошие свойства». Под«хорошими свойствами» понимается возможность получить ана-лог предложения 3.2. Напомним это предложение.

Пусть H конечномерно и его размерность dimH = n. Пустьоператор A : H → H самосопряжен, A = A∗. В силу того чтолюбой линейный оператор в конечномерном случае непрерывен,это эквивалентно его симметричности. В силу предложения 3.2такой оператор имеет базис {ψj}nj=1, состоящий из собственныхвекторов. В силу предложения 3.1 векторы, соответствующиеразным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим случай, когда все собственные значенияλ1,λ2, . . . ,λn различны; ψj = ψλj (оператор с невырожденнымспектром).

Обозначим через πλj ортогональный проектор на векторψλj : πλj (ψ) =

⟨ψλj ,ψ

⟩ψλj .

Мы предполагаем, что базисные векторы нормированы. Итак,в конечномерном случае всякий самосопряженный (симметрич-ный) оператор с невырожденным спектром можно представитьв виде

A =n∑j=1

λjπλj .

Это простейшая форма так называемого спектрального раз-ложения. В конечномерном случае понятие спектра совпадаетс понятием множества собственных значений.

Пусть теперь спектр A будет вырожденным, т. е. одному соб-ственному значению λ может соответствовать несколько линей-но независимых собственных векторов ψ

(i)λ , i = 1, . . . ,nλ. Здесь

nλ = dimHλ, где Hλ — линейное подпространство, натянутое навекторы {ψ(i)

λ }nλi=1. Обозначим через πλ ортогональный проекторна собственное подпространство Hλ, πλ(ψ) =

∑ 〈ψ(i)λ ,ψ〉ψ(i)

λ .


Оператор A можно представить в виде

A =∑λj

λjπλj . (10.1)

Это общая формула спектрального разложения в конечно-мерном случае. Хотелось бы получить аналогичную формулудля самосопряженных операторов и в бесконечномерном случае.Предложение 3.1 вызывает некоторые надежды. Действительно,как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае все соб-ственные значения самосопряженного оператора вещественны,а собственные векторы для разных λ ортогональны. Хотелось бытакже иметь спектральное разложение, заменяя в (10.1) конеч-ную сумму на сумму бесконечного ряда.

Конечно, такие операторы существуют. Мы будем назы-вать их операторами с чисто точечным спектром. Однако невсякий (ограниченный) самосопряженный оператор, напримерA : L2

(R3

) → L2(R3

), может быть разложен в ряд вида (10.1).

§ 11. Спектр: точечный, непрерывный, остаточный

Вернемся к конечномерному случаю. Будем рассматриватьпроизвольный линейный оператор A. Здесь, если λ ∈ C не яв-ляется собственным значением, то Aψ = λψ только для ψ = 0.Значит, оператор A− λI, где I : H → H — единичный оператор,является взаимно-однозначным.

В конечномерном случае это влечет равенство

(A− λI)(H) = H,

так как имеет место следующее общее соотношение для любогооператора C : H → H.

Напомним, что ядром оператора C называется множествовсех его нулевых векторов:

KerC = {ψ ∈ H : Cψ = 0},а его образом — множество

ImC = {ϕ ∈ H : ϕ = Cψ, ψ ∈ H}.Легко видеть, что и KerC, и ImC являются линейными подпро-странствами H.

§ 11. Спектр: точечный, непрерывный, остаточный 79

Теорема 11.1. Для любого линейного оператора C : H →→ H, dimH <∞, имеет место равенство

dim KerC + dim ImC = dimH. (11.1)

Итак, если λ не является собственным значением операто-ра A, то оператор (A− λI) обратим. Причем, конечно, обратныйоператор Rλ = (A − λI)−1 : H → H непрерывен. Значит, еслиdimH <∞, то имеются две возможности:

1) уравнение Aψ = λψ имеет ненулевое решение ψ (т. е. λ —собственное значение) и оператор Rλ не существует;

2) оператор Rλ существует и ограничен.В случае (2) число λ называется регулярным.Однако в бесконечномерном случае имеется третья возмож-

ность:3) оператор Rλ = (A − λI)−1 определен (на подпространстве

Im (A− λI)), т. е. уравнение Aψ = λψ не имеет ненулевых реше-ний, но Rλ неограничен.

Чтобы описать эту новую ситуацию, мы введем новую тер-минологию и сделаем важное изменение в определении спектра(по сравнению с конечномерным случаем).

Для линейного оператора A в гильбертовом пространстве Hоператор

Rλ = (A− λI)−1

называется резольвентой. Здесь не предполагается, что A опре-делен на всем H и непрерывен. В общем случае A опре-делен лишь на некотором плотном линейном подпростран-стве D(A) ⊂ H.

В бесконечномерном случае спектр оператора не совпадаетс множеством его собственных значений. Если λ таково, чтооператор (A − λI) является взаимно-однозначным и его образявляется плотным подпространством в H, но Rλ = (A− λI)−1 ненепрерывен, то λ принадлежит непрерывному спектру. Если жеKer (A − λI) = 0, но Im (A − λI) неплотно в H, то λ принадле-жит остаточному спектру.

Предложение 11.1. Спектр ограниченного оператораA : H → H есть непустое замкнутое ограниченное подмноже-ство в C, принадлежащее кругу |λ| � ‖A‖.

Значения λ, для которых оператор Rλ определен на всем Hи непрерывен, называются регулярными точками оператора A.


Множество всех остальных точек называется спектром опера-тора A.

Конечно, все собственные значения оператора A принадлежатего спектру. Если Aψ = λψ, ψ �= 0, то (A − λI)ψ = 0 и ре-зольвента не определена. Множество всех собственных значенийназывается точечным спектром.

Заметим, что спектр любого оператора является замкнутыммножеством (т. е. если λn принадлежат спектру и существуетλ = lim

n→∞λn, то λ тоже принадлежит спектру), что являетсяследствием следующего простого результата.

Предложение 11.2. Пусть A — линейный оператор в H.Множество всех его регулярных точек открыто.

Однако спектр неограниченного оператора может быть пуст.Для неограниченного оператора имеем

A : D(A) → H,

для регулярной точки λ:

Rλ : H → D(A).

Оператор Rλ удовлетворяет равенствам

Rλ(A− λI) = ID(A), (A− λI)Rλ = I,

где ID(A) — единичный оператор на области определения D(A)оператора A. Для регулярной точки λ оператор A− λI : D(A) →→ H биективен.

§ 12. Спектральное разложение самосопряженногооператора

Теорема 12.1 (спектральная теорема). Пусть A — само-сопряженный оператор с областью определения D(A). Тогдаэтот оператор порождает семейство проекционных операто-ров πλ, −∞ < λ < +∞, обладающих свойствами:

1) πλ � πμ для λ < μ (т. е. для любого ϕ: 〈πλϕ,ϕ〉 �� 〈πμϕ,ϕ〉);

2) πλ непрерывно слева (т. е. πλ = limμ→λ−0

πμ);

3) π−∞ = limλ→−∞

πλ = 0, π+∞ = limλ→+∞

πλ = I;

4) Bπλ = πλB, если B — любой ограниченный оператор,перестановочный с A;

§ 13. Операторы с чисто точечным спектром 81

5) элемент ϕ ∈ D(A) ⇔+∞∫

−∞λ2 d〈πλϕ,ϕ〉 < ∞, и для этих ϕ

Aϕ =+∞∫

−∞λdπλϕ (12.1)

и

‖Aϕ‖2 =+∞∫

−∞λ2 d〈πλϕ,ϕ〉. (12.2)

Сделаем несколько замечаний. Ограниченный оператор Bназывается коммутирующим с неограниченным оператором A,если из ϕ ∈ D(A) ⇒ Bϕ ∈ D(A) и ABϕ = BAϕ.

Интеграл по конечному интервалу [a, b] по отношению к спек-тральному семейству πλ понимается как операторный интегралСтильтьеса:∥∥∥∥b∫

a

f(λ)dπλ −n∑k=1

f(λk)πΔk

∥∥∥∥ → 0, n→ ∞,

где Δk — частичные интервалы, на которые разбит интервал[a, b], а λk — произвольная точка внутри Δk; πδk = πλk+1 − πλk .Несобственный же интеграл понимается в смысле так называе-мой сильной сходимости собственных интегралов:

+∞∫

−∞f(λ) dπλϕ = lim

N→∞

N∫

−Nf(λ) dπλϕ.

В частности, для f(λ) = λ мы получаем возможность взятьлюбой вектор ϕ ∈ D(A).

При определенных ограничениях на функцию f мы можемопределить функцию от самосопряженного оператора A:

f(A) =+∞∫

−∞f(λ)dπλ.

§ 13. Операторы с чисто точечным спектром

Пусть A : D(A) → H — самосопряженный оператор (с плот-ной областью определения D(A)). Если в H существует базис,состоящий из собственных векторов оператора A, то говорят,


что оператор имеет чисто точечный спектр. Такая термино-логия может вызвать некоторое недоразумение, так как спектроператора с чисто точечным спектром состоит из множествасобственных значений и предельных точек этого множества.Пусть λj — собственные значения оператора A с чисто точечнымспектром, а πλj — ортогональные проекторы на соответствующиесобственные подпространства. Спектральное разложение A име-ет такой же вид, как и в конечномерном случае:

Aϕ =∑λj

λjπλjϕ, ∈ D(A), (13.1)

где сходимость понимается в следующем смысле:

Aϕ = limN→∞

∑−N�λj�N

λjπλjϕ.

Элемент ϕ ∈ D(A) ⇔ ∑λj

λ2j‖πλjϕ‖2 <∞.

Оператор A с чисто точечным спектром ограничен⇔⇔ sup

j|λj | <∞.

Пример 13.1. Пусть {en}∞n=1 — ортонормированный базис

в гильбертовом пространстве H. Положим Aen = 1nen. Этот

оператор продолжается по линейности на все конечные линейныекомбинации базисных векторов, а затем по непрерывности и на

все H. Точка λ0 = 0 = limn→∞

1n

принадлежит спектру A (так как

спектр всегда замкнут), но λ0 = 0 не является собственнымзначением оператора. В силу спектрального разложения

Aϕ =∞∑n=1

〈en,ϕ〉en

для любого ϕ ∈ H.Определим теперь другой оператор A, полагая Aen = nen.

ТогдаAϕ =

∞∑n=1

n〈en,ϕ〉en

для любого ϕ, такого что∞∑n=1

n2|〈en,ϕ〉|2 <∞.

§ 14. Тензорное произведение гильбертовых пространств 83

§ 14. Тензорное произведение гильбертовыхпространств

Пусть H(1), . . . ,H(n) — некоторые гильбертовы пространствасо скалярными произведениями 〈·, ·〉j, j = 1, . . . ,n. Рассмот-

рим в этих пространствах ортонормированные базисы:{ejk}Njk=1 ,

j = 1, . . . ,n. Здесь Nj � ∞ — размерность гильбертова простран-ства H(j). Рассмотрим следующие формальные выражения:

em = e(1)m1⊗ e(2)m2

⊗ . . .⊗ e(n)mn ,

где ⊗ — знак тензорного произведения. Рассмотрим новое гиль-бертово пространство, обозначаемое

H ≡ H(1) ⊗H(2) ⊗ . . .⊗H(n),

с базисом {em}, m = (m1, . . . ,mn), где mj = 1, . . . ,Nj . ЭлементыC-линейного пространства H имеют вид

ψ =∑m

cmem,

где cm ∈ C и ∑m

|cm|2 <∞.

В H вводится скалярное произведение, относительно кото-рого векторы em ортогональны. Для m = (m1, . . . ,mn) и k == (k1, . . . , kn)

〈em, ek〉 = 〈em1 , ek1〉1〈em2 , ek2〉2 . . . 〈emn , ekn〉n.Заметим, что если все Nj < ∞, то и H конечномерно и его

размерностьdimH = N1N2 . . .Nn.

Эта размерность растет экспоненциально с ростом n (есливсе Nj > 1). Например, для Nj = 2, j = 1, . . . ,n, получаем:dimH = 2n.

Ограничимся случаем двух пространств, H(1) и H(2).Пусть ψj ∈ H(j), j = 1, 2. Тензорное произведение этих век-

торов ψ1 ⊗ ψ2 определяется с помощью разложения их по бази-су em = e1m1

⊗ e2m2:


ψ = ψ1 ⊗ ψ2 =(∑m1

cm1em1

)⊗

(∑m2

cm2em2

)=

=∑m1

∑m2

cm1cm2em1 ⊗ em2 .

Заметим, что∑m1

∑m2

|cm1cm2 |2 =(∑m1

|cm1 |2)(∑

m2

|cm2 |2)< ∞,

если ψ1 ∈ H(1) и ψ2 ∈ H(2). Обратим внимание на то, что нелюбой вектор ψ ∈ H(1) ⊗ H(2) может быть представлен в ви-де ψ1 ⊗ ψ2.

Операция тензорного произведения векторов дистрибу-тивна:

ϕ⊗ (c1u+ c2v) = c1ϕ⊗ u+ c2ϕ⊗ v,

(c1ϕ+ c2ψ) ⊗ u = c1ϕ⊗ u+ c2ψ ⊗ u.

Она также ассоциативна в следующем смысле:

(H(1) ⊗H(2)) ⊗H(3) = H(1) ⊗ (H(2) ⊗H(3)) = H(1) ⊗H(2) ⊗H(3),

или, на языке векторов,

(ψ ⊗ ϕ) ⊗ u = ψ ⊗ (ϕ⊗ u) = ψ ⊗ ϕ⊗ u.

Из определения тензорного произведения векторов легко по-лучаем

〈ψ1 ⊗ ϕ1,ψ2 ⊗ ϕ2〉 = 〈ψ1,ψ2〉1〈ϕ1,ϕ2〉2.Пусть A1 : H(1) → H(1) и A2 : H(2) → H(2) — линейные опе-

раторы. Их тензорное произведение определяется равенством

Aψ ⊗ ϕ ≡ A1 ⊗A2ψ ⊗ ϕ = A1ψ ⊗A2ϕ

(продолжение на H(1) ⊗H(2) по линейности).

Пример 14.1. Пусть H(1) = L2 (RM1) и H(2) = L2 (RM2).Выберем в каждом из L2-пространств ортонормированный базис:{fk(x)}∞k=1 и {gi(y)}∞i=1 (например, базисы, состоящие из функ-ций Эрмита), где x = (x1, . . . ,xM1) ∈ RM1 и y = (y1, . . . , yM2) ∈∈ RM2. Тогда базис в H = H(1) ⊗ H(2) ≡ L2 (RM1) ⊗ L2 (RM2)состоит из формальных выражений

Fki = fk ⊗ gi.

§ 14. Тензорное произведение гильбертовых пространств 85

Удобно рассмотреть функциональное представление элемен-тов этого базиса, которое получается с помощью замены ⊗на обычное произведение функций:

Fki(x, y) = fk(x)gi(y).

Получаем, что базисные векторы в H могут быть представленыкак функции двух переменных. Следовательно, произвольныйэлемент ψ ∈ H тоже может быть представлен как функция двухпеременных:

ψ(x, y) =∑ki

ckiFki(x, y).

Этот ряд сходится в L2(RM ), где M = M1 +M2 (если∑ki

|cki|2 << ∞). Более того, любой элемент этого L2-пространства можнопредставить в виде такого ряда. Итак, получаем

L2(RM1) ⊗ L2(RM2) = L2(RM1+M2).

По-видимому, наиболее четко суть тензорного произведения вы-ражена именно в таком функциональном представлении.

Гл а в а 4

АКСИОМАТИКА

§ 1. Аксиоматика квантовой механики

Постулат 1. Квантовые состояния представляются нор-мированными векторами гильбертова пространства H : ψ ∈∈H, ‖ψ‖ = 1. Два вектора ψ и ϕ : ψ = cϕ, c ∈ C, |c| = 1, задаютодно и то же квантовое состояние.

В общем случае H может быть любым гильбертовым про-странством. В частности, в квантовой теории информации пред-почитают работать в пространстве Hn = Cn. Исключая израссмотрений пространственные степени свободы, x ∈ R3, мысущественно облегчаем выкладки. Но все-таки не следует забы-вать, что квантовый бит реализуется в физическом пространстве.Это, например, спин электрона. И хотя мы интересуемся лишьспином (в квантовой теории информации), реальный электронживет в физическом пространстве. Современный подход, осно-ванный на использовании абстрактного гильбертова простран-ства, принадлежит Дираку [6]. В то же время фон Нейман рабо-тал исключительно в H = L2(R3). Хотя его подход менее общий,но здесь не теряется связь с физическим пространством R3.Поэтому постулат 1 может быть дополнен.

Постулат 1а. Пространство представления квантовых со-стояний — это пространство H = L2(Rn,Cm) квадратичносуммируемых функций ψ : Rn → Cm.

Векторнозначные функции появляются из-за учета внутрен-них степеней свободы, например спина. Для одной квантовойчастицы n = 3 (она находится в физическом пространстве R3).

Обычно постулат 1 дополняется следующим образом.

Постулат 1б. Любой нормированный вектор ψ ∈ H, ‖ψ‖ == 1, представляет некоторое квантовое состояние.

§ 1. Аксиоматика квантовой механики 87

Итак, в силу постулатов 1 и 1б множество всех квантовыхсостояний может быть реализовано в виде единичной сферы:

SH = {ψ ∈ H : ‖ψ‖ = 1},причем SH разбивается на классы эквивалентности, ψ ∼ ϕ : ϕ == eiθψ. Обычно постулат 1б не выделяется в качестве отдельногопостулата. Мы его выделили, потому что он не так уж естественс физической точки зрения. Однако без этого постулата рушитсяфундамент квантовой механики, рассматриваемой как линейнаятеория, см. принцип суперпозиции. Постулат 1б также широкоиспользовался в теоремах невозможности (о сведении квантовоймеханики к классической).

Как уже было отмечено, L2-пространства содержат идеаль-ные элементы, не имеющие прямой физической интерпретации.Об этом не стоит забывать. Не любая математически определен-ная ψ-функция, ‖ψ‖ = 1, соответствует реальному физическомусостоянию.

Замечание 1.1 (линейная структура). В современной ак-сиоматике наличие линейной структуры в гильбертовом про-странстве H вызывает двойственные чувства. С одной стороны,состояние — это нормированный вектор. Причем нормировкаединицей здесь существенна, так как она связана с вероятност-ной интерпретацией состояния. Возникает вопрос о физическомсмысле ненормированных ψ ∈ H. В квантовой механике такиевекторы физического смысла не имеют. Поэтому, возможно, бы-ло бы разумно работать лишь на единичной сфере. С другойстороны, при формулировке принципа суперпозиции состоянийиспользуется линейная структура. Попытка сформулировать этотпринцип на единичной сфере выглядела бы очень неестественно.Напомним этот принцип, следующий из постулатов 1 и 1б.

Линейная комбинация квантовых состояний вновь являет-ся квантовым состоянием.

Ограничимся рассмотрением линейных комбинаций конеч-ного числа состояний (чтобы избежать вопросов о сходимо-сти рядов в гильбертовом пространстве). Пусть ψ1, . . . ,ψN ∈ H,‖ψj‖ = 1. Рассмотрим их линейную комбинацию

ψ = c1ψ1 + . . . + cNψN , cj ∈ C.

Эту комбинацию мы не можем реализовать на единичной сфе-ре в H. Мы должны подняться в линейное пространство H.

88 Гл. 4. Аксиоматика

И результат суперпозиции, ψ, лежит в H, и в общем случаевовсе не на сфере. В итоге, чтобы получить квантовое состо-яние, нужно нормировать ψ — опустить его на сферу. Рецептна редкость неестествен. Похоже, что нормировка и линейнаясуперпозиция — это свойства разных объектов, которыев квантовом формализме объединяются в один — квантовоесостояние. В гл. 6 мы изложим предквантовую классическуюстатистическую теорию поля, в которой все станет на свои места.В этой теории принцип суперпозиции имеет место для класси-ческих полей ψ(x) ∈ L2(R3), а нормировка на единицу — этостандартная в теории вероятностей нормировка дисперсии предк-вантового случайного поля (имеющего ковариационный операторρψ = ψ ⊗ ψ).

Постулат 2. Наблюдаемые для квантовых систем пред-ставляются самосопряженными операторами в H.

Постулат 3. Множество значений наблюдаемой, представ-ленной самосопряженным оператором A, совпадает со спек-тром этого оператора.

Таким образом, для наблюдаемой, представленной операто-ром с чисто точечным спектром, могут наблюдаться лишь еесобственные значения λj .

Замечание 1.2 (о линейности квантовых наблюдаемых).Итак, квантовые наблюдаемые должны представляться линей-ными операторами. А собственно говоря, почему? Ведь мы ужеотмечали, что пространство состояний — это вовсе не линей-ное пространство H, а сфера SH (факторизованная с помощьюсоотношения эквивалентности ψ ∼ ϕ). Линейный (даже непре-рывный) оператор A : H → H отнюдь не переводит единичнуюсферу SH гильбертова пространства в себя. Мы увидим, что ли-нейность квантовых наблюдаемых может быть объяснена оченьпросто на основе предквантовой классической статистическойтеории поля, см. гл. 7.

Замечание 1.3 (самосопряженность). Собственно говоря, по-чему наблюдаемые не могут представляться несамосопряжен-ными операторами? Обычно в квантовой литературе говоритсяследующее. Выбор самосопряженных операторов обусловлива-ется тем, что в эксперименте мы всегда получаем результаты,представляемые вещественными числами. А самосопряженностьгарантирует вещественность спектра. Меня совершенно не удо-влетворяет такое объяснение. В принципе показания приборов


можно нумеровать любыми символами; например, A = 1, i,−1,

−i, вместо углов θ = 0,π

2,π,

3π2. Хотелось бы найти более глубо-

кие корни появления самосопряженных операторов в квантовоймеханике, ср. с гл. 7.

Мы сформулируем сначала вероятностный постулат Борнадля операторов с чисто точечным спектром.

Постулат 4Т. Пусть задано состояние ψ ∈ H, и пустьсамосопряженный оператор A имеет чисто точечный спектр:

A =∑λj

λjπλj , λj ∈ R.

Вероятность получения значения λj для наблюдаемой,представляемой оператором A, определяется правиломБорна:

Pψ(A = λj) ≡ ‖πλjψ‖2.В частности, если оператор A, имеющий чисто точечный

спектр, невырожден для некоторого λj , т. е. имеется един-ственный собственный вектор (с точностью до коэффициентаc = eiθ) ψλj , то Pψ(A = λj) = |〈ψλj ,ψ〉|2.

Если же все собственные значения {λj} невырождены, толюбое состояние ψ можно разложить по собственным векторамоператора A:

ψ = c1ψλ1 + . . . + cnψλn + . . .

Здесь cj ∈ C и, поскольку cj = 〈ψλj ,ψ〉,|c1|2 + . . . + |cn|2 + . . . = ‖ψ‖2 = 1.

Итак, |cj |2 дает вероятность получить значение λj при измерениинаблюдаемой, представленной оператором A.

В общем случае вероятностный постулат Борна формулирует-ся с использованием спектрального разложения самосопряжен-ного оператора A =

∫

R

λdπλ.

Постулат 4. Пусть заданы состояние ψ ∈ H и наблю-даемая A. Вероятность того, что результат ее измерениялежит в интервале Δ ⊂ R, определяется правилом Борна:

Pψ(A ∈ Δ) = ||πΔψ||2,где πΔ — спектральный проектор для интервала Δ.


Постулат 4 для операторов с непрерывным спектром имеетчисто теоретическое значение. Любое реальное измерение в ла-боратории подразумевает дискретизацию. Например, мы хотимизмерить координату частицы. Это можно сделать с помощьюсистемы детекторов. Но эта система всегда конечна, и детекторыпредставимы операторами с дискретным спектром.

Постулаты 3 и 4 обычно дополняются проекционным посту-латом фон Неймана.

Постулат 5. Пусть заданы состояние ψ и наблюдаемая,представленная оператором с чисто точечным невырожден-ным спектром:

A =∑λj

λjπλj , λi �= λj , i �= j.

Если в результате A-измерения было получено значение λk,то (непосредственно после измерения) система оказываетсяв состоянии ψλk : первоначальное состояние ψ проецируетсяна ψλk .

Постулат 5 широко применяется в теории квантовых измере-ний. В то же время он уже на протяжении десятков лет являетсяпредметом бурных дискуссий. Довольно распространено мнение,что его нужно применять с ограничениями: не для каждой на-блюдаемой и не для каждого состояния.

Подчеркнем, что фон Нейман предложил свой проекционныйпостулат только для операторов с невырожденным (точечным)спектром. Однако в современной литературе этот факт полно-стью игнорируется. Проекционным постулатом называют обоб-щение постулата 5 на операторы с вырожденным (точечным)спектром, предложенное Людерсом.

Постулат 5а. Пусть заданы состояние ψ и наблюдаемая,представленная оператором с чисто точечным спектром:

A =∑λj

λjπλj .

Если в результате A-измерения было получено значение λk,то (непосредственно после измерения) система оказываетсяв состоянии

ϕ =πλjψ

‖πλjψ‖.


Нормировочный коэффициент1

‖πλjψ‖возникает в связи

с тем, что проекция πλjψ не принадлежит SH .Однако фон Нейман утверждал, что если спектр вырожден,

то в результате измерения со значением A = λk состояние ψотнюдь не переходит в его проекцию (нормированную) на соб-ственное подпространство для λk. Он привел очень четкую аргу-ментацию того, что при вырождении λk в результате A-измере-ния не возникает никакое определенное состояние! Это оченьважная точка зрения.

Постулат 6. Эволюция состояния ψ во времени, t → ψ(t),описывается уравнением Шрёдингера:

ih∂ψ

∂t= Hψ,

где H — самосопряженный оператор, представляющий на-блюдаемую энергии, h — постоянная Планка и h = h

2π—

постоянная Дирака.Полагая

Ut = e− itH

h ≡∫

R

e− itλ

h dπλ,

где H =∫

R

λdπλ, получаем однопараметрическую группу уни-

тарных операторов:

Ut+τ = UtUτ , U−1t = U−t, U0 = I.

Из унитарности следует, что ‖Utψ‖ = ‖ψ‖, т. е. Ut : SH → SH . Этоважное следствие динамики Шрёдингера: квантовые состоянияпереводятся в квантовые состояния. Генератор квантовой дина-мики называется гамильтонианом.

Замечание 1.4 (линейность уравнения Шрёдингера). В фи-зике, биологии, экономике (по-существу, в любой науке) ли-нейные эволюционные уравнения возникают как аппроксима-ция нелинейных уравнений. Природа фундаментально нелинейнаи линейность используется для упрощенного описания сложней-ших нелинейных процессов. Однако квантовая механика являет-ся исключением (по-видимому, единственным) из этого общегоправила. Здесь линейность фундаментальна. Каких-либо обще-научных объяснений линейности микромира неизвестно. Конеч-но, нельзя исключить, что и в квантовой теории фундамен-


тальное эволюционное уравнение нелинейно и что уравнениеШрёдингера — лишь аппроксимация этого еще неизвестногонелинейного уравнения. Попытки развития квантовой теориив данном направлении известны. Например, в работах польскогофизика Белянского-Бирулы, немецкого физика Дёбнера и авто-ра этой книги, см. [209], содержащую полную библиографию.Эффект нарушения линейной динамики может быть проверенэкспериментально. Для достижимой в настоящее время времен-ной шкалы, Δt ≡ 10−18 с, отклонений от динамики Шрёдингераобнаружено не было.

Постулаты 1–5 описывают квантовую механику для однойсистемы. Для описания нескольких квантовых систем использу-ется следующий постулат.

Постулат 7. Пусть имеется m квантовых системs1, . . . , sm, имеющих (комплексные гильбертовы) простран-ства состояний H(1), . . . ,H(m). Тогда пространство состоя-ний сложной системы s, состоящей из подсистем s1, . . . , sm,описывается тензорным произведением

H = H(1) ⊗ . . .⊗H(m).

Подчеркнем, что описание сложных квантовых систем отли-чается коренным образом от описания сложных классическихсистем.

Если s1 и s2 — классические системы с фазовыми про-странствами Λ1 = R2n1 и Λ2 = R2n2, то сложная система sс компонентами s1 и s2 может быть описана фазовым простран-ством Λ = Λ1 × Λ2 = R2n1 × R2n2 = R2(n1+n2).

Если (q1, p1) и (q2, p2) — состояния систем s1 и s2 (координа-ты и импульсы), то состояние системы s задается точкой (p, q),где q = (q1, q2) и p = (p1, p2). В частности, уравнение движения —это уравнение Гамильтона на фазовом пространстве Λ:

q1 = ∂H

∂p1(q1, q2, p1, p2), q2 = ∂H

∂p2(q1, q2, p1, p2),

p1 = −∂H

∂q1(q1, q2, p1, p2), p2 = −∂H

∂q2(q1, q2, p1, p2),

где H(q1, q2, p1, p2) = p212m1

+ p222m2

+ V (q1, q2) — функция Гамиль-

тона для сложной системы s.В то же время пара квантовых систем s1, s2 описывается не

декартовым, а тензорным произведением пространств состояний.


Например, пусть пространство состояний — это L2(R3). Тогдадля каждой из систем имеем динамику Шрёдингера.

Гамильтониан квантовой системы массы m для потенциала Vимеет вид

H = − h2

2mΔ + V (q),

где Δ =n∑j=1

∂2

∂q2j— оператор Лапласа, q = (q1, . . . , qn).

Итак, рассматривая s1 и s2 по отдельности, получаем системууравнений Шрёдингера:

ih∂ψ1

∂t(t, q1) = − h2

2m1Δq1ψ1(t, q1) + V1(q1)ψ1(t, q1),

ih∂ψ2

∂t(t, q1) = − h2

2m2Δq2ψ2(t, q2) + V2(q2)ψ2(t, q2).

Интуиция, идущая из классической физики, говорит нам, чтосостояние сложной системы s с компонентами s1, s2 должно зада-ваться вектором ψ(t, q1, q2) = (ψ1(t, q1),ψ2(t, q2)). При этом систе-ма двух уравнений Шрёдингера должна быть модифицирована,принимая во внимание наличие взаимодействия между s1, s2. Этопривело бы к рассмотрению потенциалов вида V (q1, q2). Однакоклассическая интуиция нас обманывает. Состояние системы sописывается не декартовым произведением L2(R3) × L2(R3),а тензорным произведением L2(R3) ⊗ L2(R3) ≡ L2(R3 × R3) == L2(R6):

ih∂ψ

∂t(t, q1, q2) =

(− h2

2m1Δq1 −

h2

2m2Δq2

)ψ(t, q1, q2) +

+ V (q1, q2)ψ(t, q1, q2).

Использование тензорного произведения вместо декартовадля описания сложных систем — это одна из загадок квантовойтеории. Именно это свойство квантовых систем влечет экспо-ненциальное возрастание вычислительных возможностей кванто-вых компьютеров по сравнению с классическими. Рассмотрим mквантовых битов, каждый из которых описывается гильбертовымпространством состояний H2 = C2. Тогда система из m кван-товых битов описывается пространством H2m = C2 ⊗ . . . ⊗ C2.Здесь dimH2m = 2m, а размерность пространства состоянийсложной классической системы была бы 2m.


§ 2. Совместное измерение квантовых наблюдаемых

Создатели математического формализма квантовой механики,фон Нейман и Дирак, связывали возможность совместного изме-рения квантовых наблюдаемых с коммутативностью операторов,их представляющих.

Постулат 4∗. Квантовые наблюдаемые, представленныесамосопряженными операторами A1, . . . ,An, допускают сов-местное измерение тогда и только тогда, когда операторыкоммутируют. В этом случае для состояния ψ вероятностьтого, что значения наблюдаемых будут получены в интерва-лах Δ1, . . . ,Δn, вычисляется по формуле

Pψ(A1 ∈ Δ1, . . . ,An ∈ Δn) = ‖πA1Δ1

. . .πAnΔn‖2, (2.1)

где πAλ обозначает спектральное семейство оператора A.Обычно этот постулат не вызывает сомнений и дискуссий

(в отличие, например, от проекционного постулата фон Ней-мана–Дирака). Однако при вдумчивом анализе этот постулатвызывает следующие замечания. Собственно говоря, отправнойточкой и для фон Неймана, и для Дирака был математическийформализм квантовой механики, а вовсе не эксперимент. Былоподмечено, что для коммутирующих самосопряженных опера-торов их спектральные семейства тоже коммутируют и форму-ла (2.1) задает величину, не зависящую от порядка операторов.Однако из этого отнюдь не следует, что мы гарантировано можемнайти измерительную процедуру для совместного измерения.С другой стороны, если не считать, что квантовый формализмдает наиболее полное описание микромира (точнее, измеренийв микромире), то нет никаких оснований считать, что отсутствиев математическом формализме квантовой механики «хорошейформулы» для вероятности совместного измерения квантовыхнаблюдаемых, которые представлены некоммутирующими опера-торами, действительно влечет фундаментальную невозможностьтакого измерения.

§ 3. Смешанные состояния

В соответствии с копенгагенской интерпретацией нормиро-ванные векторы гильбертова пространства задают чистые со-стояния. Эта терминология является следствием копенгагенско-

§ 3. Смешанные состояния 95

го постулата о полноте квантовой механики. В силу этогопостулата нормированный вектор ψ дает наиболее полное опи-сание состояния квантовой системы. Никакое более детальноеописание (введение «скрытых параметров») невозможно.

Хотя мы и не придерживаемся копенгагенской интерпретации(в частности, считаем, что более детальное описание возможно),мы будем использовать устоявшуюся терминологию, понимая,конечно, что «чистые состояния» отнюдь не чисты. Они на са-мом деле представляют собой статистические смеси состояний,описываемых скрытыми (при нынешнем уровне развития техно-логии) параметрами.

Итак, пусть ψ1 и ψ2 — два чистых состояния. Рассмотримансамбль квантовых систем S, в котором состояния ψ1 и ψ2реализуются с вероятностями p1, p2, где pj > 0 и p1 + p2 = 1.Постулируется, что такой ансамбль описывается в квантовоймеханике оператором плотности

ρ = p1πψ1 + p2πψ2,

где πψj — ортогональный проектор на вектор ψj .Это определение особенно естественно при использовании

ансамбль-интерпретации квантовой механики. Пусть состоя-ния ψj описывают экспериментальные контексты Cj , j = 1, 2,и пусть Sj — ансамбли физических систем, приготовленныес помощью Cj 1). Оператор ρ описывает статистическую смесь,новый ансамбль S, приготовленный из ансамблей S1 и S2 с веса-ми p1 и p2. Оператор ρ называется статистической смесью чистыхсостояний ψ1 и ψ2.

Используя постулат 4Т, найдем вероятности реализации зна-чений квантовой наблюдаемой для состояния ρ. Как обычнов этой книге, будем предполагать, что данная наблюдаемая имеетчисто точечный спектр: A =

∑λjπλj . Тогда получаем, что

Pρ(A = λj) = p1‖πλjψ1‖2 + p2‖πλjψ2‖2.Это выражение может быть переписано в виде

Pρ(A = λj) = Tr ρπλj . (3.1)

1) Например, ψj описывает локализацию частицы в некоторой области Ojпространства R3 (в общем случае O1 ∩O2 �= ∅); Cj — контекст отбора частицв области Oj ; Sj — ансамбль таких частиц.


Обобщая эти рассуждения, сформулируем следующий по-стулат.

Постулат 8 (фон Нейман–Ландау). Статистическая смесь«чистых квантовых состояний» представляется операторомплотности ρ, обладающим следующими свойствами:

а) ρ самосопряжен, ρ∗ = ρ;б) ρ имеет конечный след, Tr ρ < ∞ (в частности, ρ огра-

ничен);в) Tr ρ = 1;г) ρ положительно определен 〈ρψ,ψ〉 � 0 для любого ψ.Для квантовой наблюдаемой A вероятность получить зна-

чение λj из области точечного спектра задается форму-лой (3.1).

Заметим, что каждый оператор с конечным следом (ядерныйоператор в терминологии функционального анализа) имеет чистоточечный спектр:

ρ =∑j

αjπαj ,

причем все собственные значения αj ∈ [0, 1] и

Tr ρ =∑j

αj dimπαj (H) = 1,

см. в), г). Если в каждом подпространстве παj(H) (состоящемиз собственных векторов для собственного значения αj) выбратьортонормированный базис и построить таким образом базисв H : {ψj}, то, обозначая собственные значения с учетом крат-ности βj , получаем представление оператора плотности в виде

ρ =∞∑j=1

βjπψj , (3.2)

где ∞∑j=1

βj = 1.

Напомним следующее соответствие между элементами тензор-ного произведения H ⊗H и операторами в H. Элементу ψ1 ⊗ ψ2соответствует оператор A ≡ ψ1 ⊗ ψ2, действующий следующимобразом:

Aϕ = 〈ψ2,ϕ〉ψ1,

§ 4. Символика Дирака 97

в общем случае A ≡ ∑k,m

ck,mfk ⊗ gm, fk, gm ∈ H, действует так:

Aϕ =∑k,m

ckm〈gm,ϕ〉fk.

В частности, ортогональный проектор на вектор ψ можнозаписать в виде

πψ = ψ ⊗ ψ.

Формулу (3.2) можно переписать в виде

ρ =∞∑j=1

βjψj ⊗ ψj ,∞∑j=1

βj = 1.

Заметим, что чистое состояние ψ также может быть пред-ставлено матрицей плотности:

ρψ = ψ ⊗ ψ.

Такое представление не может быть разумно объясненов рамках копенгагенской интерпретации, так как «чистые»и «смешанные состояния» ни в коем случае нельзя отождеств-лять. Однако при ансамбль-интерпретации (при условии непол-ноты квантовой механики) все состояния квантовой теории сме-шанные (для скрытых параметров). Поэтому естественно, чтовсе квантовые состояния представляются единообразно операто-рами в H.

Можно ли придать оператору плотности ρ классический ве-роятностный смысл? Интересная возможность будет осуждатьсяв гл. 7.

§ 4. Символика Дирака

Впервые представление состояний квантовых систем векто-рами абстрактного комплексного гильбертова пространства былорассмотрено в книге Дирака [6] (фон Нейман работал в про-странстве L2(R3), сравни постулаты 1 и 1а). Дирак ввел соб-ственную терминологию и обозначения, отличные от исполь-зуемых в математической литературе по теории гильбертовапространства.

Он исходил из произвольного комплексного пространства H(конечной или бесконечной размерности). Его элементы он назы-вал кет-векторами и обозначал с помощью символа | 〉. Он от-



мечал, что фундаментальным свойством представления кванто-вых состояний в H является принцип суперпозиции. Взяв любыедва кет-вектора |ψ1〉 и |ψ2〉 и два комплексных числа c1, c2, мывновь получим кет-вектор:

|ψ〉 = c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉.Далее Дирак писал: «Мы теперь предполагаем, что каж-

дое состояние динамической системы 1) в фиксированный мо-мент времени соответствует некоторому кет-вектору. Со-ответствие таково, что для состояния, возникающего изсуперпозиции некоторых других состояний, кет-вектор вы-ражается линейно через кет-векторы этих состояний. Вернои обратное».

Самым туманным в этой формулировке является понятие су-перпозиции (физических) состояний. Что такое линейная комби-нация векторов, мы отлично понимаем, а вот что такое суперпо-зиция двух физических состояний — отнюдь не ясно. В книге [6]этому вопросу посвящено несколько разделов. Мы приведемчасть этих рассуждений и прокомментируем их.

В качестве важнейшего примера суперпозиции состоянийв [6] рассматривается суперпозиция поляризаций фотона. Диракначинает свои утверждения с того, что поляризация действитель-но является физическим свойством фотона. Хорошо известно,что когда свет, поляризованный в плоскости, используется длявышибания фотоэлектронов с поверхности металла, то имеетсяпредпочтительное направление для электронной эмиссии 2). Та-ким образом, поляризационные свойства фотона тесно связаныс его корпускулярными свойствами, и мы должны приписатькаждому фотону его поляризацию. Здесь под корпускулярнымисвойствами подразумеваются направления в физическом про-странстве.

Комментарий. Собственно говоря, почему из этих рассужде-ний следует, что поляризация должна быть приписана фотону?Во-первых, поляризация определяется с помощью поляризацион-ного кристалла. Кристалл — это гигантская система (по срав-нению с фотоном). Таким образом, поляризация — это отнюдьне свойство фотона, а результат (очень сложного) взаимодей-

1) Мы используем термин «квантовая система».2) Конечно, не все электроны вылетают в этом направлении. Но большая

часть выбирает именно его.


ствия фотона с кристаллом. И в рассмотренном примере с фо-тоэлектронами направление вылета электрона — это результатсложного взаимодействия фотона с поверхностью металла. Болееестественным кажется предположить, что реальное состояниефотона нам неизвестно. Это «скрытая переменная» λ. Одна и таже поляризация может соответствовать совершенно различнымскрытым параметрам λ.

Далее Дирак продолжает. Рассмотрим пучок света, проходя-щий через кристалл, пропускающий лишь свет, поляризованныйв плоскости, перпендикулярной оптической оси кристалла. Клас-сическая электродинамика предсказывает результат прохожде-ния пучка для любой поляризации. Если пучок был поляризованв плоскости, перпендикулярной оси кристалла, то он полностьюпройдет через кристалл; если параллельно оси, то ничего непройдет; если же он поляризован под углом α к оси, то пройдеттолько часть с коэффициентом пропорциональности sin2 α.

Предполагается [6], что в квантовой механике каждому фото-ну в световом пучке, поляризованном в некотором направлении,приписывается это направление поляризации. Если фотон при-надлежит пучку, перпендикулярному оси, то он пройдет черезкристалл. Можем приписать ему определенное поляризационноесостояние — кет-вектор |+〉. Если же он лежит в пучке, парал-лельном оси, то он не пройдет; припишем ему состояние — кет-вектор |−〉.

Для Дирака проблема возникает в случае фотонов с «косойполяризацией». При прохождении через кристалл мы будем по-лучать либо результат +1 (прошел), либо −1 (не прошел).

Комментарий. В принципе, я не вижу здесь большой пробле-мы. Фотоны в «косом пучке» имеют некоторые состояния, опи-сываемые скрытыми параметрами из некоторой подобласти Λαпространства скрытых параметров Λ. Перед началом взаимодей-ствия фотон находится в состоянии λ0 = λ(t0). В результатевзаимодействия фотона с кристаллом возникает некоторая дина-мика λ = λ(t), t � t0. В зависимости от λ0 и состояний атомовв кристалле (состояние) λ(T ) соответствует либо прохождениючерез кристалл, либо его отсутствию. Здесь T — момент времениокончания взаимодействия.

Однако Дирак придерживается другой идеологии. Он счита-ет, что вопрос о том, что случится с фотоном при прохождениичерез кристалл, на самом деле неточно сформулирован. Чтобы

4*


сформулировать его точно, нужно предложить некоторый экспе-римент, соответствующий вопросу. Он подчеркивает, что тольковопросы о результатах экспериментов имеют реальное значениеи только такие вопросы могут рассматриваться в теоретическойфизике.

В примере с кристаллом единственной экспериментальнойвозможностью является использование пучка, состоящего из од-ного фотона, и регистрирование результата.

Комментарий. Во-первых, совершенно неясно, почему запре-щено пытаться построить математическую модель для динамикискрытого состояния λ(t)? Математическая модель — это лишьмодель. Она не может быть полностью идентична эксперимен-тальной реальности. Например, если рассмотреть классическуюмеханику Ньютона, то она тоже не удовлетворяет критериюДирака соответствия экспериментальной реальности. Даже фун-даментальный постулат о непрерывности пространства и вре-мени не может быть проверен экспериментально. Во-вторых,отсутствие в настоящее время экспериментальных возможностейдля контроля за прохождением фотона через кристалл вовсе неозначает, что такие возможности не возникнут в будущем придальнейшем развитии нанотехнологии.

Дирак продолжает рассмотрение эксперимента по прохож-дению фотона через кристалл. Согласно квантовой механике,результатом этого эксперимента будет то, что иногда мы бу-дем регистрировать целый фотон с энергией, равной энергиипришедшего фотона, по другую сторону кристалла, а иногдане будем регистрировать ничего. Если будет обнаружен целыйфотон, то он будет иметь поляризацию, перпендикулярную оп-тической оси 1). Никогда по другую сторону от кристалла небудет найдена лишь часть фотона (в смысле энергии). Еслиэксперимент будет повторен большое число раз, фотон будетзарегистрирован по другую сторону от кристалла sin2 α раз отобщего числа фотонов, вступивших во взаимодействие с кри-сталлом. Таким образом, индивидуальность фотона сохранена.Однако этого удается достичь только потому, что мы отверглидетерминизм классической теории. Результат эксперимента не

1) Здесь уже используется проекционный постулат. Этот постулат ввелинезависимо Дирак и фон Нейман. Однако фон Нейман провел более глубокийанализ этого постулата. Поэтому он и получил название проекционного посту-лата фон Неймана.


предопределяется условиями проведения эксперимента. Наиболь-шее, что может быть предсказано, это результат экспериментаи вероятность результата.

Комментарий. Выводы Дирака ничем не обоснованы. Ни-какого противоречия с детерминизмом и классической теориейнезаметно. Собственно говоря, почему классический процесс вза-имодействия фотона с кристаллом не может привести к излуче-нию фотона той же энергии? Кроме того, было бы очень наивнопредполагать, что по другую сторону кристалла мы обнаружи-ваем «тот же самый фотон». Да, конечно, в результате взаимо-действия волнового импульса с кристаллом кристалл излучаетновый импульс. Но, нет оснований отождествлять приходящийи исходящий импульсы с одним и тем же фотоном.

Тем не менее Дирак продолжает в том же духе. Вопросыо том, что определяет факт прохождения фотона через кристаллили его отсутствие и как фотон изменит свою поляризациюв результате прохождения через кристалл, не могут быть иссле-дованы экспериментально. Они должны рассматриваться каквопросы, лежащие за пределами науки.

Комментарий. Несомненно, Дирак был жертвой махизма(так же как и Бор, и Гейзенберг). Напомним, что Мах довел досамоубийства Больцмана, утверждая, что Больцман занимаетсяпсевдонаукой, развивая теории, основанные на ненаблюдаемых,в принципе, химерах, таких как молекулы.

Итак, отмечая, что вопросы о том, что происходит с фотономвнутри кристалла, запрещены в квантовой теории, Дирак пишет,что тем не менее некоторое более полное описание (по срав-нению с рассмотрением лишь поляризаций |+〉, |−〉) необходи-мо, чтобы связать результаты эксперимента по взаимодействиюфотона с кристаллом с другими возможными экспериментами.А также для того, чтобы создать некоторую общую теоретиче-скую схему. Он предлагает следующее описание. Предполагает-ся, что фотон с α-поляризацией может быть рассмотрен какнаходящийся в состоянии поляризации частично параллельнойоптической оси кристалла и частично перпендикулярной оси.Состояние α-поляризации может быть рассмотрено как резуль-тат некоторого рода суперпозиционного процесса, примененногок двум состояниям — параллельной и перпендикулярной поляри-зации.


В заключение Дирак формулирует проекционный постулатдля состояния фотона. Когда мы направляем фотон на кристалл,мы делаем его объектом наблюдения. Эффект наблюдения приво-дит к тому, что фотон переходит полностью либо в состояние |+〉,либо в состояние |−〉. Он должен сделать неожиданный прыжокиз состояния пребывания частично в |+〉 и частично в |−〉 в одноиз этих состояний. В какое из этих состояний он прыгнет,предсказать в принципе невозможно. Можно предсказать лишьвероятность.

Замечание (проблема измерения в квантовой механике). Какмы знаем, динамика состояния квантовой частицы массы m,движущейся в потенциале V (q), описывается уравнением Шрё-дингера:

ih∂ψ

∂t= − h2

2mΔψ + V ψ.

Это непрерывная эволюция: ψ = ψ(t). И Дирак, и фон Ней-ман подчеркивали, что измерение приводит к прыжку в одноиз собственных состояний наблюдаемой, представленной само-сопряженным оператором A (во всяком случае для точечногоневырожденного спектра). Невозможность описать и эволюцию,и измерение одним уравнением получила название проблемыизмерения. Считается, что эта проблема не решена до сих пор.Хотя и были предложены различные подходы и ее решению,например в работах Белавкина [49].

Если отвлечься от детального изложения махистской идео-логии, то рассуждения Дирака о принципе суперпозиции сво-дятся к следующему. В классической теории электромагнетизмафизические системы описываются волнами. Волны могут бытьпредставлены векторами комплексного гильбертова простран-ства. В частности, рассматривается вектор поляризации. То жесамое следует делать и в квантовой теории. Однако неизвестенмеханизм, индуцирующий передачу энергии квантами-фотонами.Поэтому стоит приписать квантовый вектор-состояние корпуску-ле (фотону) 1). Конечно, как любой вектор, квантовый вектор-состояние можно разложить по любому базису. Например, век-тор поляризации по базису {|+〉, |−〉}, связанному с оптическойосью кристала.

1) Следует заметить, что вопреки широко распространенному мнению Аль-берт Эйнштейн никогда не рассматривал «фотон-частицу». Он изучал лишьпередачу энергии порциями — квантами света, фотонами.


Однако сам Дирак был бы категорически против такой интер-претации. Он старался всячески подчеркнуть отличие квантовоймодели с состояниями, представленными векторами, от анало-гичной классической. Он писал:

Продолжая математическое формулирование принципа супер-позиции, мы должны наложить следующее ограничение, а имен-но: суперпозиция любого состояния |u〉 самого с собой не мо-жет породить новое состояние, но только вновь то же самоесостояние |u〉. В линейном пространстве состояний суперпозицияпредставлена линейной комбинацией

c1|u〉 + c2|u〉 = (c1 + c2)|u〉.Постулируется, что кет-вектор (c1 + c2)|u〉 представляет то

же квантовое состояние, что и кет-вектор |u〉. При этом дела-ется замечание, что случай c1 + c2 = 0 особый. В этом случаесуперпозиционный процесс порождает «ничто» (nothing at all).Это объясняется интерференцией. Итак, постулируется, что

если кет-вектор, соответствующий состоянию, умножа-ется на любое комплексное число, отличное от нуля, тополученный кет-вектор будет соответствовать тому же со-стоянию.

В книге [6] подчеркивается, что это предположение пока-зывает фундаментальное различие суперпозиции в квантовойтеории и в любой классической теории. В случае классическойсистемы, для которой имеет место принцип суперпозиции, на-пример вибрирующей мембраны, суперпозиция состояния само-го с собой приводит к новому состоянию, имеющему другуюмагнитуду осцилляций. Однако отсутствует какая-либо физи-ческая характеристика квантового состояния, соответствующаямагнитуде классических осцилляций. В квантовом случае мыимеем лишь аналог пропорций между магнитудами осцилляцийв разных точках мембраны.

В простейшем случае двух осцилляторов и квантовое, и клас-сическое состояния задаются векторами

|ψ〉 = c1|ν1〉 + c2|ν2〉.Предполагается, что осцилляторы имеют частоты ν1 и ν2 соот-ветственно. Однако в квантовом случае состояния |ψ〉 и

c|ψ〉 = (cc1)|ν1〉 + (cc2)|ν2〉, c �= 0,


отождествляются, а вот в классическом они различны. Для клас-сического |ψ〉 магнитуды флуктуаций равны R1 = |c1|2, R2 = |c2|2и R′

1 = |c|2R1, R′2 = |c|2R2.

Комментарий. Складывается впечатление, что различиемежду квантовой и классической суперпозициями чрезмерноподчеркивается. Эти различия могут быть легко объяснены,если отказаться от постулата о том, что квантовое описаниеполно. Предположим, ср. с гл. 7, что квантовая механика —это приближенная математическая модель микромира. В этоймодели абсолютные магнитуды осцилляций неизвестны попростой причине: квантовое состояние (волновая функция)ненаблюдаемо. Одной из причин ненаблюдаемости может бытьпросто малость этих магнитуд (по сравнению с точностьюсуществующих измерительных устройств). Допустим, что тем неменее относительные магнитуды можно оценить статистически.Вот мы и получим квантовую теорию.

Если мы наблюдаем лишь частоты ν1 и ν2 системы из двухклассических осцилляторов, но не наблюдаем магнитуды осцил-ляций, то мы можем найти вероятности получения результатов ν1и ν2. Ответ будет такой же, как и в квантовой теории:

P(ν1) = |c1|2|c1|2 + |c2|2

, P(ν2) = |c2|2|c1|2 + |c2|2

. (4.1)

Мы сделали естественное предположение, что вероятностьполучить фиксированную частоту пропорциональна магнитудеколебаний на этой частоте. При этом нет необходимости предпо-лагать, что эта магнитуда должна быть наблюдаемой величиной.Она может быть и ненаблюдаемой. Но она все равно проявитсебя статистически в формулах (4.1). Эти формулы являются нечем иным, как правилом Борна.

В заключение этого комментария обратим внимание на слу-чай c1 + c2 = 0. Если следовать Дираку и действительно счи-тать, что система с состоянием |ϕ〉 = c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉 находитсячастично в состоянии |ψ1〉 и частично в состоянии |ψ2〉, тодля |ψ1〉 = |ψ2〉 = |u〉 и c1 + c2 = 0 мы получаем, что «ничто»может быть всегда представлено как суперпозиция любого со-стояния |u〉 с самим собой.

Ограничимся на время рассмотрением конечномерного H.Кроме линейного пространства состояний H кет-векторов,

в книге [6] рассматривается пространство H∗. Это пространство


линейных функционалов ϕ : H → C. На H∗ задается естествен-ная структура векторного пространства: (ϕ1 + ϕ2)(ψ) = ϕ1(ψ) ++ ϕ2(ψ), ϕ1,ϕ2 ∈ H∗ и ψ ∈ H, (cϕ)(ψ) = cϕ(ψ). Однако Дираквводит свою терминологию и обозначения. Элементы H∗ он на-зывает бра-векторами и обозначает 〈ϕ|. Результат применениялинейного функционала ϕ ≡ 〈ϕ| к вектору ψ ≡ |ψ〉 обозначается〈ϕ|ψ〉 (≡ ϕ(ψ)). Конечно, мы имеем

〈ϕ|(|ψ1〉 + |ψ2〉) = 〈ϕ|ψ1〉 + 〈ϕ|ψ2〉, 〈ϕ|(c|ψ〉) = c〈ϕ|ψ〉.Это просто свойство линейного функционала 〈ϕ|. Далее отме-чается, что если для любого кет-вектора |ψ〉: 〈ϕ|ψ〉 = 0, тобра-вектор 〈ϕ| = 0. Это тоже свойство функционала 〈ϕ|. Далеелинейная структура на H∗ влечет следующие свойства:

(〈ϕ1| + 〈ϕ2|)ψ〉 = 〈ϕ1|ψ〉 + 〈ϕ2|ψ〉,(c〈ϕ|)|ψ〉 = c〈ϕ|ψ〉.

Далее Дирак по-существу постулирует гильбертовость H. Ониспользует в качестве «постулата гильбертовости» теорему Риссаоб изоморфизме пространств H и H∗ в гильбертовом случае.

В гл. 3, § 7 мы показали, см. теорему 7.1, что для гильбертовапространства H существует отображение α : H → H ′, такое чтоα(H) = H ′. Здесь H ′ — сопряженное к H пространство ли-нейных непрерывных функционалов. Отображение α взаимно-однозначно и

α(c1ψ1 + c2ψ2) = c1α(ψ1) + c2α(ψ2).

Более того, верно и обратное: нормированное линейное про-странство 1), для которого сопряженное пространство H ′ связанос H с помощью такого отображения α, имеет структуру гильбер-това пространства. Таким образом, теорема Рисса представляетсобой характеристическое свойство гильбертовых пространств.

Однако Дирак не знал топологии, и он не рассмотрел с само-го начала пространство непрерывных функционалов в качествепространства бра-векторов. Поэтому, чтобы сохранить математи-

1) Комплексное линейное пространство, на котором существует норма,а именно отображение x → ‖x‖, обладающее следующими свойствами:а) ‖x‖ � 0, б) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0, в) ‖cx‖ = |c|‖x‖, c ∈ C, г) ‖x+ y‖ � ‖x‖+ ‖y‖.Всякое гильбертово пространство является нормированным, ‖x‖ =

√〈x,x〉 .Но существует и множество негильбертовых линейных нормированных про-странств.


ческую строгость изложения, мы ограничились конечномернымслучаем (где H∗ = H ′). 1)

В книге [6] постулируется, что имеет место взаимно-однозначное соответствие между бра и кет-векторами, та-кое что бра-вектор, соответствующий сумме |ψ1〉+ |ψ2〉 кет-векторов, является суммой бра-векторов, соответствующих|ψ1〉 и |ψ2〉, а также бра-вектор, соответствующий кет-вектору (c|ψ〉), равен умноженному на c бра-вектору, соот-ветствующему |ψ〉.

С этого момента будет использоваться один и тот жесимвол для обозначения кет-вектора и соответствующего емубра-вектора. Таким образом, бра-вектор, соответствующий кет-вектору |ψ〉, будет обозначаться 〈ψ|.

Получаем на H форму 〈ϕ|ψ〉 со свойствами

〈ϕ|c1ψ1 + c2ψ2〉 = c1〈ϕ|ψ1〉 + c2〈ϕ|ψ2〉,〈c1ϕ1 + c2ϕ2,ψ〉 = c1〈ϕ1|ψ〉 + c2〈ϕ2|ψ〉.

Далее постулируется, что

〈ϕ|ψ〉 = 〈ψ|ϕ〉и что

〈ϕ,ϕ〉 � 0,

за исключением случая |ϕ〉 = 0.В итоге Дирак приходит к гильбертову пространству со-

стояний. Линейные операторы в обозначениях Дирака выглядяттак. Пусть A : H → H — линейный оператор; |ϕ〉 = A|ψ〉 —результат действия A на кет-вектор |ψ〉; линейность: A(c1|ψ1〉 ++ c2|ψ2〉) = c1A|ψ1〉 + c2A|ψ2〉. Сумма двух линейных операторовопределяется как

(A+B)|ψ〉 = A|ψ〉 +B|ψ〉и

(cA)|ψ〉 = c(A|ψ〉).

1) Конечно, все рассуждения Дирака можно повторить, стартуя с произ-вольного комплексного нормированного пространства E для кет-векторов и егосопряженного E′ для бра-векторов. А потом потребовать, чтобы имела местотеорема Рисса, и получить таким образом гильбертово пространство.


Символ 〈ϕ|A|ψ〉 в математической литературе соответствуетсимволу 〈ϕ,Aψ〉.

Еще используется символ |ψ〉〈ϕ| для оператора

A|u〉 = 〈ϕ|u〉|ψ〉.В частности, |ψ〉〈ψ| — это проектор на вектор |ψ〉:

(|ψ〉〈ψ|)|u〉 = 〈ψ|u〉|ψ〉.Собственный вектор |ψ〉 для оператора A в обозначениях Диракаудовлетворяет уравнению

A|ψ〉 = λ|ψ〉.

Гл а в а 5

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ

§ 1. Символика Дирака в квантовой теорииинформации

Формализм бра- и кет-векторов широко используется в тео-рии информации. Квантовый бит информации физически реа-лизуется любой двузначной квантовой наблюдаемой. Например,поляризацией относительно оптической оси. Здесь 1 кодирует-ся поляризацией |+〉 (в плоскости, перпендикулярной оси) и 0кодируется поляризацией |−〉 (в плоскости, параллельной оси).Основное отличие квантового регистра от классического состоитв том, что в классический регистр можно записать или 0, или 1.А вот квантовый может содержать одновременно и 0, и 1 в формесуперпозиции:

|ψ〉 = c1|0〉 + c2|1〉,где c1, c2 ∈ C и |c1|2 + |c2|2 = 1. Заметим, что мы отступаемот интерпретации Дирака и представляем состояние не лучом{|ϕ〉 = c|ψ〉 : c ∈ C} в пространстве кет-векторов, а выбираемпредставитель |ψ〉 ∈ SH . Конечно, и такой представитель выби-рается лишь с точностью до коэффициента eiθ. С точки зренияДирака, |ψ〉 действительно находится в суперпозиции поляриза-ций в двух плоскостях.

Однако я бы интерпретировал ψ как представление поляри-зации электромагнитной волны. В гл. 7 мы увидим, что дираков-ская суперпозиция может быть интерпретирована в классическомполевом формализме. При волновом подходе вполне ясно, за счетчего возникают новые информационные возможности. Класси-ческий регистр реализует дискретное пространство F2 = {0, 1}(поле вычетов по модулю 2), а квантовый регистр реализуетнепрерывное физическое пространство. В первом случае вычис-ления происходят в F2, а во втором случае — в непрерывном

§ 1. Символика Дирака в квантовой теории информации 109

волновом пространстве. Иллюзия квантовой дискретности воз-никает за счет измерительных устройств. В случае поляризаци-онного квантового бита дискретность индуцируется фиксациейоптической оси кристалла.

Квантовый бит можно получить не только с помощью поля-ризационной наблюдаемой, но и с помощью любой двузначнойнаблюдаемой. Например, можно использовать спин электрона.Однако и в этом случае реальным представлением квантовогорегистра является непрерывное физическое пространство. Рас-смотрим для большей наглядности спин иона. Его можно изме-нить с помощью магнита Штерна–Герлаха. Дискретность, стольподчеркиваемая в квантовой механике, возникает за счет того,что магнит «раскидывает» ионы вверх и вниз.

Рассмотрим теперь несколько квантовых регистров, n штук.Они представляют n квантовых битов информации. Пусть 0кодируется |0〉 и 1 кодируется |1〉. Например, для поляризации|0〉 ≡ |−〉, а |1〉 ≡ |+〉. Пространство состояний для одного кван-тового бита H2 = C2, а для n: H2n = C2 ⊗ . . .⊗ C2.

Обозначая базисные векторы в каждом из H2 для j = 1, . . . ,nчерез |x〉j, x = 0, 1, получаем базис в H2n :

|x1〉1 ⊗ . . .⊗ |xn〉n.Опуская индексы для кет-векторов и знак ⊗, получаем обо-

значение|x1〉 . . . |xn〉,

которое обычно переписывается в виде

|x〉 = |x1 . . .xn〉, xj = 0, 1.

Произвольный вектор-состояние может быть записан в виде

|ψ〉 =∑x

cx|x〉,

где cx ∈ C,∑x

|cx|2 = 1.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел вида

x = x1 + x22 + . . . + xn2n−1, xj = 0, 1.

Это числа x = 0, 1, . . . , 2n − 1.Заметим, что на этом множестве можно рассмотреть арифме-

тику кольца вычетов по модулю 2n. Обозначим его F2n . Векторы

110 Гл. 5. Квантовая теория информации

из нулей и единиц длины n можно отождествить с элемента-ми F2n . Можно записать

|ψ〉 =2n−1∑x=0

cx|x〉.

§ 2. Квантовые вентили

Идеей квантового алгоритма является формализация анало-га понятия алгоритма, где вместо бита, принимающего значе-ния 0, 1 (ложно, истинно) мы будем иметь кубит — двумерноекомплексное линейное пространство с базисом |0〉, |1〉 (коге-рентные комбинации истинно и ложно), а место элементарныхлогических операций (не, и, или) займут простые унитарныеоператоры в двумерном (однокубитном) и четырехмерном (двух-кубитном) линейных пространствах.

Такие элементарные квантовые логические операции назы-ваются квантовыми вентилями (или гейтами, quantum gates).Квантовые вентили — унитарные операторы, применяемые к од-нокубитному либо двухкубитному пространству. Приведем спи-сок таких операторов.

Однокубитные вентили:оператор NOT:

NOT =(0 11 0

), NOT : |0〉 �→ |1〉; |1〉 �→ |0〉;

оператор Адамара:

UH = 1√2

(1 11 −1

),

UH : |0〉 �→ 1√2

(|0〉 + |1〉); |1〉 �→ 1√2

(|0〉 − |1〉).Двухкубитные вентили:оператор CNOT — идентично действует на первый кубит в

тензорном произведении, второй переводит в сумму по модулю 2значений первого и второго кубитов:

CNOT : |x, y〉 �→ |x,x+ y mod 2〉,CNOT : |0〉 ⊗ |0〉 �→ |0〉 ⊗ |0〉; |0〉 ⊗ |1〉 �→ |0〉 ⊗ |1〉,CNOT : |1〉 ⊗ |0〉 �→ |1〉 ⊗ |1〉; |1〉 ⊗ |1〉 �→ |1〉 ⊗ |0〉;

§ 2. Квантовые вентили 111

матрица в базисе 00, 01, 10, 11:

CNOT =

⎛⎜⎝1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

⎞⎟⎠;

оператор контролируемого изменения фазы: меняет фазу(умножает на −1) состояния 11 и действует идентично на осталь-ные состояния:

B : |0〉 ⊗ |0〉 �→ |0〉 ⊗ |0〉; |0〉 ⊗ |1〉 �→ |0〉 ⊗ |1〉,B : |1〉 ⊗ |0〉 �→ |1〉 ⊗ |0〉; |1〉 ⊗ |1〉 �→ −|1〉 ⊗ |1〉,

B =

⎛⎜⎝1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

⎞⎟⎠.Упражнение:

CNOT = 1⊗ UH ◦B ◦ 1⊗ UH ;

оператор SWAP обмена состояниями кубитов

SWAP : |0〉 ⊗ |0〉 �→ |0〉 ⊗ |0〉; |0〉 ⊗ |1〉 �→ |1〉 ⊗ |0〉,SWAP : |1〉 ⊗ |0〉 �→ |0〉 ⊗ |1〉; |1〉 ⊗ |1〉 �→ |1〉 ⊗ |1〉;

SWAP =

⎛⎜⎝1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

⎞⎟⎠.Трехкубитный вентиль — оператор Тоффоли: в трехкубитном

(8-мерном) гильбертовом пространстве, являющемся тензорнымпроизведением трех однокубитных.

Оператор Тоффоли при действии на базисные векторы неменяет два первых индекса a, b в номере базисного вектора, натретий действует так:

c �→ ab+ c,

где сложение и произведение понимаются в кольце вычетов помодулю 2.

Квантовым регистром длины L назовем тензорное произведе-ние L кубитов:

C2L =L−1⊗i=0

C2.


Многокубитные вентили: оператор Уолша–Адамара на кван-товом регистре длины L равен тензорному произведению

W =L−1⊗i=0

UH .

§ 3. Квантовое преобразование Фурье

Квантовым преобразованием Фурье называют оператор

QFT : |x〉 �→ 1√N

N−1∑k=0

|k〉 exp(2πikx

N

).

Такой оператор может быть представлен как

QFT : |x0, . . . ,xL−1〉 �→�→ 1√

N(|0〉 + e2πix2

−L |1〉) ⊗ (|0〉 + e2πix2−L+1 |1〉) ⊗ . . .

. . .⊗ (|0〉 + e2πix2−1 |1〉).

Легко видеть, что преобразование Фурье выполняется квад-ратичным по L числом квантовых вентилей.

§ 4. Алгоритм Дейча и Джоза

Мы рассмотрим этот алгоритм для булевой функции f(x),где x = 0, 1 — булева переменная. Конечно, превосходство этогоквантового алгоритма над классическими может быть продемон-стрировано лишь для функции f(x1, . . . ,xn), зависящей от nпеременных, при достаточно большом n. Но для того чтобылучше понять структуру алгоритма, мы ограничимся одномернымслучаем.

Напомним, что булева функция f(x) называется сбаланси-рованной, если f(0) �= f(1). Имеются две постоянные функции:1) f(0) = f(1) = 0; 2) f(0) = f(1) = 1, и две сбалансированные:1) f(0) = 0, f(1) = 1; 2) f(0) = 1, f(1) = 0.

Проблема: Определить, является ли f(x) сбалансиро-ванной.

Классический алгоритм. Нужно найти значения f во всехточках, x = 0, 1, а затем сравнить f(0) и f(1). Таким образом,нужно дважды повторить операцию вычисления функции f.

§ 4. Алгоритм Дейча и Джоза 113

Квантовый алгоритм. Основная идея — использовать кван-товый параллелизм и получить информацию о всех значениях fза один шаг квантового вычисления.

А) Приготовление начального состояния:

ψ0 = |0〉|1〉. (4.1)

Б) Применение ветиля Адамара, UH ⊗ UH :

ψ0 → ψ1 = 12

(|0〉 + |1〉)(|0〉 − |1〉) = 12

(|00〉 + |10〉 − |01〉 − |11〉).В) Вычисление функции. Считается, что задан («свыше»)

унитарный оператор Uf , соответствующий вычислению функ-ции f (в квантовых вычислениях такой оператор называют ора-кулом):

Uf |x〉|y〉 = |x〉|y ⊕ f(x)〉. (4.2)

Итак, мы получаем конечное состояние:

ψout = Ufψ1 = 12

(|0〉|0⊕ f(0)〉 + |1〉0⊕ f(1)〉 −

− |0〉|1⊕ f(0)〉 − |1〉|1⊕ f(1)〉 = 12

(|0〉(|0⊕ f(0)〉 −

− |1⊕ f(0)〉) + 12|1〉(|0⊕ f(1)〉 − |1⊕ f(1)〉).

Заметим, что

|0⊕ f(x)〉 − |1⊕ f(x)〉 = (−1)f(x)(|0〉 − |1〉),а также что

(−1)f(1) = (−1)2f(0)⊕f(1), где 2f(0) ⊕ f(1) ≡ (2f(0)) ⊕ f(1).

В результате этих преобразований конечное состояние можетбыть представлено в форме

ψout = 12

((−1)f(0)|0〉 + (−1)f(1)|1〉) (|0〉 − |1〉) =

= 12

(−1)f(0)(|0〉 + (−1)f(0)⊕f(1)|1〉) (|0〉 − |1〉).Г) Измерение состояния в первом регистре. Если f(0) = f(1),

то в первом регистре получаем вектор ϕ+ = |0〉 + |1〉√2

, а если

f(0) �= f(1) (т. е. f сбалансирована), то получаем ϕ− = |0〉−|1〉√2

.


Итак, для одной переменной вместо двух шагов вычисленийна классическом компьютере (f(x) для x = 0 и x = 1) необхо-дим только один шаг (реализуемый оракулом Uf ) на квантовомкомпьютере. В случае n переменных, вместо T = 2n шагов длявычисления f(x) в 2n точках, мы вновь получаем суперпозициювсех значений f(x) за один шаг квантовых вычислений (предпо-лагается, что задан оракул Uf ).

§ 5. Коноид

Перед Второй мировой войной была разработана систе-ма наведения зенитных снарядов, которая была развернутав 50-е годы для отражения предполагаемых ударов американ-ских бомбардировщиков по территории СССР 1). Американскиебомбардировщики Б-29 шли на высоте 12 км с очень боль-шой скоростью. Бомбардировщик засекался радаром. Необходи-мо было мгновенно рассчитать угол наведения ствола зенитногоорудия и момент взрыва снаряда. На снаряде стоял часовоймеханизм, и взрыв происходил в заданный момент времени.Необходимо было вычислительное устройство, которое за секун-ды решало систему дифференциальных уравнений и находилопересечение траекторий Б-29 и зенитного снаряда. Погрешностьвычисления должна была покрываться облаком взрыва снаряда.

Было предложено замечательное решение этой задачи.На геометрическом теле специальной формы, коноиде, быливырезаны бороздки, соответствующие траекториям — решениямсистемы дифференциальных уравнений 2). Считывающая головкабежала по бороздкам (стартуя с кусочка траектории Б-29,который предварительно отслеживался в течение несколькихминут с помощью радара) и выдавала решение задачи.

Следуя терминологии квантовых вычислений, мы можем ска-зать, что на коноиде была реализована суперпозиция всех воз-можных траекторий. Таким образом, не было необходимостивычислять их каждый раз. По-существу, коноид — это аналогоракула (созданный ленинградскими работницами).

1) Система наведения была засекречена и запрещена к применению в годывойны. Предполагалось, что если бы она попала в руки немцев, то территорияГермании была бы надежно защищена от атак англо-американской авиации.

2) Это была работа неимоверной сложности.

§ 6. Алгоритм Саймона 115

§ 6. Алгоритм Саймона

Проблема: Известно, что булева функция f(x1, . . . ,xn) яв-ляется периодической. Найти ее период ξ.

Таким образом, по функции f нужно найти булев вектор ξ == (ξ1, . . . , ξn), такой что

f(x) = f(y) ⇐⇒ y = x⊕ ξ. (6.1)

Квантовый алгоритм

А) Приготовление начального состояния:

ψ0 = |00 .. . 0〉. (6.2)

Б) Применение ветиля Адамара:

ψ0 → ψ1 = 1

2n/2

∑x

|x〉.

В результате создается суперпозиция всевозможных значенийаргумента x = (x1, . . . ,xn).

В) Вычисление функции f. К n регистрам, использовавшим-ся для приготовления суперпозиции переменных, добавляетсяеще n регистров для значений функции f : |z〉 = |z1 . . . zn〉. Пред-полагается существование оракула Uf :(∑

x

|x〉)|z〉 −→

∑x

(|x〉|z ⊕ f(x)〉. (6.3)

Заметим, что мы вынуждены рассмотреть |z ⊕ f(x)〉 вместо|f(x)〉, чтобы получить обратимый оператор (все унитарные опе-раторы обратимы).

Применение оракула к состоянию ψ1 ⊗ |00 . . . 0〉 дает со-стояние

ψ2 = 1

2n/2

∑x

|x〉|f(x)〉.

В1) Вновь применяем вентиль Адамара (для первых n реги-стров):

ψout = 12n

∑x

∑y

(−1)xy|y〉|f(x)〉.

Г) Проводим измерение во всех регистрах (и для переменной|y〉, и для функции |f(x)〉).


Получаем состояние |y〉|f(x)〉 с вероятностью

P = 1

22n

∣∣(−1)xy + (−1)(x+ξ)y∣∣2

(напомним, что ξ — это период f). Заметим, что P = 1

22(n−1),

если (ξ, y) = 0, и P = 0, если (ξ, y) �= 0. Итак, мы получилиустройство для получения векторов y, ортогональных периоду ξ.Вероятность P не зависит от y. Значит, мы с равной вероят-ностью можем получить любой вектор y ⊥ ξ. Мы хотим най-ти n − 1 независимых векторов, y1, . . . , yn−1, ортогональных ξ.Таким образом, мы определим и сам период ξ (напомним, чторассматриваются булевы векторы).

Ясно, что следует повторять шаги (А)–(Г), производя в ито-ге новые и новые векторы y ⊥ ξ. Конечно, среди них будутпоявляться и зависимые векторы. К счастью, оказывается, чтозависимые векторы появляются не слишком часто:

Пусть y1(ω), . . . , yn−1(ω) — независимые (в смысле теориислучайных величин!) случайные булевы векторы, которые рав-номерно распределены и ортогональны некоторому фиксиро-ванному булеву вектору ξ. Тогда

Pn−1 ≡ P (ω : y1(ω), . . . , yn−1(ω) линейно независимы) � 1e,

где основание натурального логарифма e = 2,718 281 828 . . .

Таким образом, вероятность получить серию из n− 1 линейнонезависимых булевых векторов является довольно большой:

Pn−1 � 0,354.

Доказательство этого факта можно найти, например, в учебникеА.С. Холево [9, 146, 147]. Здесь ω — случайный параметр. Онсоответствует случайности квантового измерения на шаге (Г).Это классический образ несводимой квантовой случайности, за-кодированной в состоянии ψout. Мы смогли получить классиче-ский образ, потому что мы выбрали одно фиксированное измери-тельное устройство, измеряющее состояния в x- и f -регистрах.

Д) Построение системы линейно независимых y, y ⊥ ξ. По-вторяем (А)–(Г) m(n− 1) раз, где(

1− 1e

)m� ε.

§ 7. Элементы теории чисел 117

Тогда с вероятностью 1 − ε получаем по крайней мере n − 1линейно независимых векторов, ортогональных ξ, а значит и сампериод ξ.

§ 7. Элементы теории чисел

В настоящем параграфе будут изложены некоторые сведенияиз теории чисел. Основным объектом будет кольцо вычетов.

Введем кольцо вычетов F q = Z/qZ по модулю q, где q — нату-ральное число. Элементы кольца представлены целыми числами0, 1, . . . , q − 1. Сложение — сложение по модулю q, т. е. суммаэлементов x и y есть остаток от деления суммы соответствующихцелых чисел на q:

x+ y (mod q).

Аналогично определяется умножение по модулю q. Если q про-стое, кольцо является полем (можно делить).

Алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида служит для нахож-дения наибольшего общего делителя двух (ненулевых) целыхчисел.

Пусть a > b > 0. Тогда разделим a на b с остатком:

a = q1b+ r1, 0 � r1 < b.

Затем повторим эти действия, используя b, r1 вместо a, b:

b = q2r1 + r2, 0 � r2 < r1.

Будем итерировать эту процедуру, пока не получим нулевой оста-ток от деления (процедура оборвется, поскольку все входящиев нее числовые параметры натуральные и ri уменьшается накаждом шаге). В конце получим

rk = qk+2rk+1 + rk+2, rk+1 = qk+3rk+2.

Обозначим rk+2 = d.Из процедуры видно, что каждый последующий rk делит

предыдущий. Поскольку b = r0, a = r−1, поднимаясь вверх поалгоритму, мы получим, что алгоритм Евклида дает общий де-литель d для a и b.

С другой стороны, пусть c делит a и b. Тогда c делит r1,аналогично все ri, включая d. Таким образом, d — наибольшийобщий делитель a и b.


Как всегда, наибольший общий делитель чисел A и B будемобозначать символом (A,B).

Пример: найдем (128,24).

128 = 5 · 24 + 8, 24 = 3 · 8.Отсюда (128, 24) = 8.

Непрерывные (цепные) дроби. Любое рациональное чис-ло единственным образом разлагается в конечную непрерывную(или цепную) дробь:

a

b= q1 + 1

q2 +1

q3 + . . .+

1qn

.

Такая дробь может быть получена следующим образом. При-меним к a, b алгоритм Евклида и соответствующие соотношенияразделим на соответствующие остатки:

a = q1b+ r1,a

b= q1 + 1

b/r1,

b = q2r1 + r2,b

r1= q2 + 1

r1/r2,

rk = qk+2rk+1 + rk+2,rkrk+1

= qk+2 + 1rk+1/rk+2

,

rk+1 = qk+3rk+2,rk+1

rk+2= qk+3.

Подставляя следующее выражение в предыдущее, получим цеп-ную дробь. Имеет место теорема.

Теорема 7.1. Если x — рациональное число, a, b — целыечисла, удовлетворяющие неравенству∣∣∣a

b− x

∣∣∣ < 1

2b2,

то a/b есть приближение цепной дроби к x. Обратно, прибли-жение цепной дроби удовлетворяет этому неравенству.

§ 7. Элементы теории чисел 119

Китайская теорема об остатках. Пусть у нас есть конеч-ный набор взаимно простых чисел m1, . . . ,mk и набор срав-нений

x = a1 (mod m1). . . . . . . . . . . .

x = ak (mod mk).

Тогда существует решение такой системы сравнений,и любые два таких решения сравнимы по модулю произведе-ния модулей M = m1 . . .mk.

Доказательство. Обозначим Mi = M/mi. Тогда, посколькуMi взаимно прост с mi, существует Ni:

MiNi = 1 (mod mi).Рассмотрим

x =k∑i=1

aiMiNi.

Легко видеть, чтоx = aiMiNi = ai (mod mi),

т. е. x есть решение системы сравнений.Второе утверждение теоремы следует из взаимной просто-

ты mi.

Малая теорема Ферма. Пусть p простое. Тогда для любо-го целого a

ap = a mod p,

и, если a не делится на p:

ap−1 = 1 mod p.

Доказательство выглядит следующим образом. Пусть a неделится на p. Тогда {0, a, 2a, . . . , (p − 1)a} есть полная системавычетов по модулю p, т. е. после соответствующей перестановкитакая последовательность сравнима по модулю p с последова-тельностью вычетов {0, 1, 2, . . . , p− 1}. Отсюда

ap−1(p− 1)! = (p− 1)! mod p.

Следовательно, (ap−1 − 1)(p− 1)! делится на p. Так как (p − 1)!не делится на p, получаем (второе) утверждение теоремы.

Первое утверждение очевидным образом следует из второго.Функция Эйлера. Функция Эйлера φ(n) есть число нату-

ральных чисел, меньших n и взаимно простых с n.


В частности, для простого p

φ(p) = p− 1, φ(pn) = pn − pn−1.

Для взаимно простых m, n: (m,n) = 1 функция Эйлера мульти-пликативна:

φ(mn) = φ(m)φ(n).

Дляn = pα1

1 . . . pαkkимеем

φ(n) = n(1− p−11 ) . . . (1− p−1

k ).

Следующая теорема обобщает малую теорему Ферма.

Теорема Эйлера. Если (a,m) = 1 (т. е. a и m взаимнопросты), то

aφ(m) = 1 mod m.

Доказательство выглядит следующим образом. Пустьr1, r2, . . . , rφ(m) суть натуральные числа, взаимно простыес m. Поскольку a взаимно просто с m, то ar1, ar2, . . . , arφ(m)также взаимно просты с m и образуют перестановку набораr1, r2, . . . , rφ(m) вычетов но модулю m. Тогда, перемножая вычеты,получим

aφ(m)r1 . . . rφ(m) = r1 . . . rφ(m) mod m.

Поскольку произведение r1, r2, . . . , rφ(m) взаимно просто с m,получим aφ(m) − 1 = 0 mod m.

Следующая теорема описывает асимптотику функцииЭйлера.

Теорема 7.2. Существует константа C > 0, такая чтодля достаточно больших n

φ(n)n

� C

log logn.

§ 8. Алгоритм Шора

8.1. Модулярное экспоненцирование. Вычисление ma

(mod M) называется модулярным экспоненцированием. Будемсчитать, что m, a < M. Имеет место следующая теорема.

Теорема 8.1. Существует классический алгоритм для мо-дулярного экспоненцирования, требующий асимптотическиO(n2(logn)3), n = logM .

§ 8. Алгоритм Шора 121

Доказательство. Разложим a по степеням двойки:

a = a0 + a12 + . . . + as2s, ai = 0, 1.

Тогда для m0 = m, i = 1, . . . , s, вычислим

mi = m2i−1m

as−i (mod M).

Поскольку s � n = logM и на каждом шаге не более трехумножений, используя оценку O(n(logn)3) на время умножения,получаем утверждение теоремы.

8.2. Алгоритм Шора нахождения порядка числа. Зафик-сируем число M. Рассмотрим числа m: 1 < m � M , взаимнопростые с M : (m,M) = 1. Будем считать число m случайнымс равномерным распределением. Рассмотрим задачу поиска по-рядка m, т. е. наименьшего натурального числа r:

mr = 1 (mod M).

Выберем N = 2L: M2 < N < 2M2.Квантовый алгоритм Шора нахождения порядка состоит из

следующих пяти шагов.

1. Приготовление квантового состояния. Приготовим со-стояние вида

ψ1 = 1√N

N−1∑x=0

|x〉 ⊗ |0〉.

Здесь первый сомножитель тензорного произведения лежитв квантовом регистре длины L, второй сомножитель лежитв таком квантовой регистре, который может содержать M (т. е.в регистре длины L1: 2L1 > M).

2. Модулярное экспоненцирование. Вычислим mx

(mod M) во втором регистре и получим квантовое состояние

ψ2 = 1√N

N−1∑x=0

|x〉 ⊗ |mx (mod M)〉.

3. Квантовое преобразование Фурье. Выполним квантовоепреобразование Фурье в первом регистре:

|x〉 = 1√N

N−1∑k=0

|k〉 exp(2πikx

N

)


и получим в результате

ψ3 = 1N

N−1∑x=0

N−1∑k=0

| exp(2πikx

N

)|k〉 ⊗mx (mod M)〉.

4. Измерение. Проведем измерение по обоим регистрам.Получим для вероятности попадания в состояние

|k,mz (mod M)〉 = |k〉 ⊗mz (mod M)〉следующее выражение:

|P (k,mz (mod M))〉 = |〈k,mz (mod M),ψ3〉|2.В результате измерения у нас получается случайная величи-

на k. Имеет место теорема, утверждающая, что эта вероятностьсосредоточена на состояниях с малым остатком rk (mod N).Здесь r есть порядок m в группе вычетов по модулю N.

Таким образом, мы получаем в результате вычислений наквантовом компьютере ансамбль ответов. Каждый из этих отве-тов мы можем проверить на классическом компьютере и узнать,получили ли мы правильный ответ (период). Поскольку ансамбльустроен так, что вероятность получения правильного ответа ве-лика, то, повторяя испытания ограниченное (в интересующем насслучае полиномиальное) число раз, мы получим ответ с любойинтересующей нас достоверностью (вероятностью, как угодноблизкой к 1).

Лемма 8.1. Для натуральных k, N , k < N , существуютнатуральные r, d, d < r < N , такие что

− r

2� rk − dN � r

2. (8.1)

Доказательство. Мы можем получить d/r, округляя k/N доближайшей дроби, имеющей знаменатель, меньший N. Для та-кого приближения можно взять разложение k/N в непрерывнуюдробь (применимость гарантируется теоремой 7.1).

Теорема 8.2. Если r, k, N , d удовлетворяют (8.1), где rесть период и N достаточно велико, то

|P (k,mz (mod M))〉 � 1

3r2.

5. Вычисление порядка на классическом компьютере.На предыдущем шаге вычисления мы получили k (как случай-ную величину). Зная M , k и N , найдем порядок r. Поскольку


N >M2, существует по крайней мере одна дробь d/r, удовлетво-ряющая условию, эквивалентному (8.1):

− 12N

� k

N− d

r� 1

2N.

Получив d/r, мы будем испытывать знаменатель на предметтого, является ли он периодом (это проверяется быстро на клас-сическом компьютере). Проведя достаточно много испытаний,мы получим период с достаточно высокой вероятностью, есливероятность получить период в одном испытании достаточновелика. Такая оценка на вероятность получения периода даетсятеоремой 8.2.

Имеет место теорема.

Теорема 8.3. Если целое число M достаточно велико, то,повторяя первые четыре шага алгоритма Шора нахожденияпорядка O(log logM) раз, мы можем получить значение по-рядка r с вероятностью γ > 0, где γ не зависит от M.

Доказательство. Будем искать d/r, где d, r взаимно просты,в виде разложения в непрерывную дробь. Из такого разложениямы получим r (в виде некоторого набора значений). Существуетrφ(r) состояний |k,mz (mod M)〉, позволяющих вычислить r,поскольку существует φ(r) значений d, взаимно простых с r,и r возможных значений mz (mod M). По теореме 8.2 каждоеиз таких состояний встречается с вероятностью не менее 1/3r2.Следовательно, мы можем получить r с вероятностью не меньшеφ(r)/3r. Применяя теорему 5.2 об асимптотике функции Эйлера,получим доказательство теоремы.

Доказательство теоремы 8.2. Имеют место равенства

〈mz (mod M) |mx (mod M)〉 = 1, z = x (mod r),

〈mz (mod M) |mx (mod M)〉 = 0, z �= x (mod r).

Отсюда для амплитуды получаем

〈mz (mod M), k |ψ3〉 = 1N

∑x=z (mod r)

exp(2πikx

N

).

Представимx = br + z.


Для суммы в правой части формулы выше получим

∑x=z (mod r)

exp(2πikx

N

)=

f∑b=0

exp(2πik(br + z)

N

)=

= exp(2πikz

N

)1− exp(2πikr(f + 1)

N

)1− exp

(2πikrN

) ,

где f есть целая часть:

f =[N − 1− z

r

].

Мы получили для вероятности такого состояния выражение

|P (k,mz (mod M))〉 =∣∣∣∣ 1N

exp(2πikz

N

)1− exp(2πikr(f + 1)

N

)1− exp

(2πikrN

) ∣∣∣∣2 =

= 1

N2

sin2(πkkr(f + 1)

N

)sin2

(πkr

N

) .

Здесь мы используем соотношения

|1− e2ix|2 = 1− e2ix − e−2ix + 1 = 2− 2 cos 2x =

= 2(1− cos2 x+ sin2 x) = 4 sin2 x.

В силу (8.1) в вышеприведенной формуле мы можем заменитьkr на dN + rξ, ξ ∈ [−1/2, 1/2]. Эта формула примет вид

1

N2

sin2(πr(f + 1)

N

)sin2

(πrξ

N

) ,

где ξ принимает значения ξ ∈ [−1/2, 1/2]. Числитель при боль-ших N можно оценить как sin2(πξ) (мы избавились от зависи-мости от r). Знаменатель можно оценить как 1/(πrξ)2. Оцениваячислитель по формуле

sin (x) > 2πx, 0 < x <

π

2,


получим для дроби

4ξ2

π2r2ξ2= 4

π2r2>

4

3r2.

Мы получили утверждение теоремы.Суммируя количество квантовых вентилей, примененных на

всех шагах алгоритма Шора, получим теорему.

Теорема 8.4. Алгоритм Шора нахождения порядка числаmodM требует

O((logM)2(log logM)(log log logM))

квантовых вентилей. Таким образом, этот алгоритм полино-миален (на квантовом компьютере).

8.3. Разложение числа на множители. Используя описан-ный выше алгоритм нахождения порядка числа, найдем разложе-ние числа на множители. Для числа M выберем случайное m,1 � m < M , с однородным распределением и найдем порядок rчисла m, используя алгоритм Шора.

Если r четно, вычислим наибольший общий делитель(mr/2 − 1,M) при помощи алгоритма Евклида.

Если этот наибольший общий делитель больше 1, мы полу-чили делитель M. Если делитель равен 1 или период r нечетен,повторим процедуру для другого m.

Выясним, почему такая процедура должна давать делите-ли M с высокой вероятностью. Рассмотрим уравнение

y2 = 1 (mod M).

Это уравнение имеет тривиальные решения

y = ±1 (mod M).

Предположим, что существует нетривиальное решение y = b,

b2 = 1 (mod M), b �= ±1 (mod M).

Тогда

(b− 1)(b+ 1) = 0 (mod M), b �= ±1 (mod M),

т. е.(b− 1)(b+ 1) = kM. (8.2)

Таким образом, b − 1 и b + 1 являются (неравными нулю)делителями kM для некоторого k. Если b не слишком велико


(оценка b2 < 2M), то можно считать k = 1, и b − 1, b+ 1 будутделителями M.

Теперь, если r есть четный порядок m, то, выбирая b = mr/2,мы получим решение сравнения b2 = 1 (mod M). Мы доказалиследующую лемму.

Лемма 9.1. Пусть число m имеет четный порядок r помодулю (modM), причем

mr/2 �= ±1 (mod M)

и mr < 2M. Тогда наибольший общий делитель нетривиален

(mr/2 ± 1,M) > 1.

Можно отказаться от требования mr < 2M , если полученныйделитель делить на k из формулы (8.2).

Процедура, описанная в лемме, может не сработать, еслипорядок r нечетен или решение mr/2 тривиально. Покажем, чтотакие ситуации возникают с малой вероятностью.

Теорема 9.1. Пусть M — нечетное натуральное числос разложением на простые множители вида

M = pα11 p

α22 . . . pαkk .

Предположим, что m есть выбранное случайно с однород-ным распределением число 1 � m � M , взаимно простое с M :(m,M) = 1. Пусть r есть порядок m по модулю M. Тогдадля вероятности того, что r четно и mr/2 �= ±1 (mod M),получим оценку

Prob > 1− 1

2k−1

(где k есть число простых чисел в разложении M). Вероят-ность положительна для k � 2.

Доказательство. Пусть r четно. Поскольку r есть поря-док m, то равенство mr/2 = 1 (mod M) не может иметь места.

Любое решение сравнения x = 1 (mod M) будет решениемсистемы сравнений

x = 1 (mod pαi), i = 1, . . . , k

(обратное очевидно). По китайской теореме об остатках эта си-стема сравнений разрешима и решение единственно modM.

Рассмотрим следующие случаи.

§ 9. Алгоритм поиска Гровера 127

1) Пусть r нечетно. Поскольку m может быть решениемкаждого сравнения из вышеприведенной системы с x = mr с ве-роятностью, не превосходящей 1/2, и сравнения независимы (тотфакт, что m есть решение одного из сравнений, не влияет навероятность разрешимости остальных сравнений), мы получаемоценку на вероятность разрешимости системы 1/2k.

2) Пусть r четно и mr/2 = −1 (mod M).В этом случае рассмотрим систему

mr/2 = ±1 (mod pαi), i = 1, . . . , k.

Рассуждения, аналогичные предыдущим, дают оценку ве-роятности разрешимости системы 1/2k−1.

В общем случае получаем для вероятности обоих случаев

Prob � 1

2k−1 .

§ 9. Алгоритм поиска Гровера

Пусть на группе вычетов по модулю 2L (элементы которой мысопоставляем с последовательностями 0 и 1 длины L или базис-ными векторами соответствующего квантвого регистра) заданафункция F (x), принимающая значения 0 и 1, причем F (x) равна1 ровно в одной точке x0. Мы будем считать, что эта функциядля каждого значения аргумента вычисляется быстро.

На классическом компьютере поиск с вероятностью 1/2 зна-чения аргумента, где F (x) = 1, занимает в среднем N/2 шагов.

Покажем, что на квантовом компьютере существует болеебыстрый квантовый алгоритм. Поставим в соответствие функ-ции F унитарный оператор

IF : |x〉 �→ eiπF (x)|x〉.Таким образом, этот оператор инвертирует (умножает на −1)амплитуду |x0〉 и оставляет без изменений остальные амплитуды.

Рассмотрим также оператор J = −Iδ, где δ — символ Кроне-кера, сосредоточенный на |0〉 (т. е. J оставляет без изменений |0〉и умножает на −1 остальные базисные векторы).

Имеет место следующее предложение.


Предложение 9.1. 1) Оператор T = U⊗LH JU⊗L

H IF перево-дит в себя (оставляет без изменений) пространство, натя-нутое на векторы |x0〉 и

|ψ〉 = 1√N

N−1∑x=0

|x〉.

2) Ограничение оператора T на двумерную вещественнуюплоскость, натянутую на |x0〉 и |ψ〉, есть вращение по направ-лению от |ψ〉 к |x0〉 на угол φN , определяемый (при больших N)условиями

φN = 2√N.

Доказательство. Для операторов имеем

U⊗LH JU⊗L

H = 2|ψ〉〈ψ| − 1,

T = (2|ψ〉〈ψ| − 1)(1− 2|x0〉〈x0|) =

= −1 + 2|ψ〉〈ψ| + 2|x0〉〈x0| − 4√N

|ψ〉〈ψ|,

где мы воспользовались тождествами U⊗LH |0〉 = |ψ〉, U⊗L

H |ψ〉 == |0〉, (U⊗L

H )2 = 1.Следовательно, оператор T отображает все гильбертово про-

странство в двумерное, натянутое на |x0〉, |ψ〉, причем действиев этом пространстве выражается формулами

T |ψ〉 = |ψ〉 + 2√N

|x0〉 − 4N

|ψ〉, T |x0〉 = |x0〉 − 2√N

|ψ〉.Таким образом, мы имеем вращение на угол φN в вещественнойплоскости, натянутой на |x0〉, |ψ〉. Угол φN имеет величину

порядка1√N. Точнее, для больших N векторы |x0〉, |ψ〉 почти

ортогональны и мы имеем оценку

φN = 2√N.

Таким образом, чтобы приблизиться к |x0〉, стартуя с |ψ〉,нужно приблизительно π

√N вращений.

Алгоритм Гровера состоит в следующем: мы выбираем на-чальное состояние, равное |ψ〉, и применяем операторы T (π

√N

раз, если N достаточно велико).

§ 10. Квантовая телепортация 129

После этого мы производим измерение в координатном базисеквантового регистра и получаем с высокой вероятностью резуль-тат x0.

§ 10. Квантовая телепортация

Квантовая телепортация обычно рассматривается как важ-нейшая сугубо квантовая информационная процедура (т. е. неимеющая классических аналогов). Основой квантовой телепор-тации является возможность создания зацепленных состояний,ЭПР-пар. Отметим, что квантовая телепортация не являетсячисто квантовой процедурой, так как необходимо наличие клас-сического информационного канала связи.

Алиса хочет иметь возможность передавать произвольноеквантовое состояние ψ своему другу Бобу.

Во-первых, устанавливается классическая связь между ними(например, телефонный канал или световод). Мы рассмотримпростейший случай, когда ψ является квантовым битом инфор-мации:

ψ = α|0〉 + β|1〉,|α|2 + |β|2 = 1.

Перед началом передачи Алиса и Боб получают каждый поодной системе из пары зацепленных систем (например, фотонов),приготовленных в состоянии

ψ0 = 1√2

(|00〉 + |11〉).

Технически это реализуется так (для фотонов). Имеется ис-точник зацепленных фотонов S, из которого фотоны (принадле-жащие паре) идут по двум световодам к Алисе и Бобу. Очевидно,что друзья могут находиться на огромном расстоянии друг отдруга.

Итак, Алиса хочет передать некоторое состояние ψ. Заметим,что система из трех фотонов для состояния ψ и зацепленногосостояния ψ0 имеет состояние

ϕ = 1√2

(α|0〉 + β|1〉)(|00〉+ |11〉).



На это завершается подготовительный этап телепортации.Запишем ϕ в виде

ϕ = 1√2

(α|000〉 + β|100〉+ α|011〉 + β|111〉).Заметим, что первые два квантовых регистра находятся у Алисы,а третий у Боба. Пусть Алиса имеет физическое устройство,выполняющее операцию контролируемого нет (CNOT):

|00〉 → |00〉, |01〉 → |01〉, |10〉 → |11〉, |11〉 → |10〉.После его применения Алиса получает состояние

ϕ1 = 1√2

(α|000〉 + β|110〉 + α|011〉 + β|101〉).Затем Алиса применяет вентиль Адамара (поворот на 45◦) к пер-вому регистру (соответствовшему телепортируему состоянию).Она получает новое состояние:

ϕ2 = 12

(α(|000〉 + |100〉) + β(|010〉 − |110〉) + α(|011〉 + |111〉) +

+ β(|001〉 − |101〉)).Обратим внимание, что до сих пор Боб не предпринимал

никаких действий. Все изменения общего квантового состояниядля трех квантовых битов происходили за счет манипуляцийАлисы. Боб вообще может не знать, что Алиса что-то делает.На заключительном этапе Боб тоже применит некоторые кван-товые вентили. Но этому предшествует изменение состоянияв двух квантовых регистрах Алисы и использование классиче-ского канала связи. Выделим в состоянии ϕ2 регистры Алисы:

ϕ2 = 12

(|00〉(α|0〉+ β|1〉) + |01〉(α|1〉+ β|0〉) + |10〉(α|0〉 − β|1〉) +

+ |11〉(α|1〉 − β|0〉)).Итак, Алиса производит измерение в своих регистрах, соот-

ветствующее проецированию (с равными вероятностями) на одиниз базисных векторов:

e1 = |00〉, e2 = |01〉, e3 = |10〉, e4 = |11〉.Эта наблюдаемая может быть задана оператором

A = πe1 + 2πe2 + 3πe3 + 4πe4 ,

где πej = ej ⊗ ej — проектор на вектор ej , j = 1, 2, 3, 4.

§ 10. Квантовая телепортация 131

Результат измерения передается от Алисы к Бобу по клас-сическому каналу. Для простоты будем предполагать, что каналидеальный, т. е. в нем нет помех.

В зависимости от результатов измерения Боб применяет к си-стеме в своем квантовом регистре один из вентилей, задаваемыхматрицами:

I =(1 00 1

), σx =

(0 11 0

), σz =

(1 00 −1

), σy =

(0 −ii 0

).

Пожалуй, стоит отметить, что в последнем случае Боб по-лучит в итоге не первоначальный вектор ψ = α|0〉 + β|1〉, а егоповорот на угол θ = −π

2, ψ = −i(α|0〉 + β|1〉). Однако из по-

стулата 1 квантовой механики вытекает, что векторы ψ и ψпредставляют одно и то же квантовое состояние.

Если следовать копенгагенской интерпретации, т. е. считать,что нормированный вектор представляет состояние конкретнойсистемы, то квантовая телепортация несомненно представляетсобой практическое применение квантовой нелокальности. В тотмомент, когда Алиса производит измерение величины A и полу-чает, например, A = 1, общее состояние трех квантовых битовмгновенно становится

u = |00〉(α|0〉+ β|1〉).При этом Боб может находиться на другом конце Вселен-

ной! Конечно, здесь используется проекционный постулатфон Неймана. Если предположить, что этот постулат неве-рен (во всяком случае в форме, предложенной фон Нейманом:мгновенный переход в собственное состояние измеряемой ве-личины), то проблема квантовой нелокальности разрешится.Допустим, что две части системы разделены расстоянием L;таким образом, время распространения светового сигналаtL = L/c. Предположим, что постулат фон Неймана веренлишь в модифицированной форме, а именно: время проек-ции на собственное состояние T > tL. Тогда действие нарасстоянии по-прежнему будет. Но его можно будет опи-сать как распространение физического взаимодействия в про-странстве–времени. Однако, поскольку в схеме телепортациизадействован классический канал связи, телепортация не можетбыть произведена быстрее скорости света.

5*

Гл а в а 6

НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА

§ 1. Различие в точках зрения Эйнштейна и Беллана квантовую нелокальность

Как мы уже отмечали, проблема сведения квантовой случай-ности к классической ансамбль-случайности возникла на зареквантовой механики. Новой волной интереса к этой пробле-ме были отмечены 60–80 годы — в связи с исследованиямиДж. Белла. Он привнес новый элемент в знаменитый диспутмежду Эйнштейном и Бором о полноте квантовой механики.Эйнштейн утверждал, что если квантовая механика полна (т. е.квантовая случайность несводима к классической), то она нело-кальна. Измерение над частью системы приводит к мгновенномуизменению состояния другой части системы. В связи с тем чточасти системы могут находиться на большом расстоянии друг отдруга, возникает действие на расстоянии. В частности, приходит-ся признать несовместимость законов квантовой теории и теорииотносительности.

Таким образом, для Эйнштейна выбор был между действием(мгновенным) на расстоянии и неполнотой квантовой ме-ханики.

Он не хотел признать, что теория относительности неверна.И это было вполне естественно, так как никаких прямых до-казательств нарушения ее законов мы не имеем и по сей день.Поэтому до конца своих дней Эйнштейн считал, что квантоваямеханика неполна, и стремился найти некоторую предквантовуюклассическую статистическую модель. Подчеркнем, что в аргу-ментации Эйнштейна ни о каком противоречии между кванто-вой механикой и классической статистической (локальной) ме-ханикой не шло и речи. Просто, с точки зрения Эйнштейна,квантовая механика дает лишь грубое приближенное описаниефизической реальности. И он надеялся, что квантовое описание

§ 1. Различие в точках зрения Эйнштейна и Белла 133

может быть уточнено. В частности, квантовые корреляции мо-гут быть сведены к классическим. Джон Белл, стартуя с тогоже эксперимента, что и Эйнштейн (ЭПР-эксперимента), пришелк выводу, весьма отличному от эйнштейновского. По Беллу, мыстоим перед выбором: или квантовая механика полна, илипредквантовая классическая механика нелокальна!

Возникает реальное противоречие между квантовой механи-кой и обычной (локальной) классической механикой. Последняядолжна быть заменена на нелокальную теорию. Заметим, чтос точки зрения Белла (в отличие от Эйнштейна), если пред-положить, что квантовая механика полна (как считали Бор,Гейзенберг, Паули, Фок, Ландау), то она не обязана быть нело-кальной. Часто отмечается, что Белл «доказал» нелокальностьквантовой механики. Это полное непонимание его аргумента-ции. Он считал, что «квантовая нелокальность» возникает, лишьесли предположить, что квантовая механика неполна. В этомслучае мы получим классическую нелокальность, тенью которойи является квантовая нелокальность.

Большая часть физического сообщества придерживается сле-дующей точки зрения.

Квантовая механика нелокальна и квантовая случайностьнесводима к классической.

Причем считается, что это прямое следствие исследованийБелла. Это не совсем точно.

Особенно такая точка зрения возмущает последователей Дэ-вида Бома. Они считают, что исследования Белла (также горяче-го сторонника учения Бома) должны были привести к расцветубомовской механики — одной из наиболее красивых моделейнелокальных классических теорий. Однако этого не произошло(«бомовец» — до сих пор синоним аутсайдера в квантовыхкругах).

Целью исследований Белла было оправдать бомовскуюмеханику, которая отвергалась в силу своей нелокальности.И действительно, нелегко признать нелокальность классическойтеории. (Другое дело квантовая нелокальность. В квантовоймеханике и так все мистично. Почему бы ей еще не бытьв добавок нелокальной?) Белл «показал», что любая предкван-товая классическая теория должна быть нелокальной. Затем,используя те же доводы, что и Эйнштейн, он показал, чтоквантовая механика неполна.

134 Гл. 6. Неравенства Белла

Действительно, если приготовить пару антикоррелированныхэлектронов, то, измеряя проекцию спина одного из них, мыможем предсказать (с единичной вероятностью) проекцию спина(на то же направление) для второго. Белл сделал вывод, чтоспин должен быть объективным свойством электрона. А таккак значение спина для индивидуального электрона не можетбыть найдено с помощью квантового формализма, то квантоваямеханика неполна.

Итак, Белл отнюдь не показал, что квантовая механиканелокальна и что квантовая случайность несводима к клас-сической ансамбль-случайности. Точка зрения Белла на кван-товую нелокальность и полноту квантовой механики в корнеотлична от точки зрения Эйнштейна. Для Белла любая пред-квантовая модель должна быть нелокальной, а для Эйнштейнаотнюдь нет.

§ 2. Следствие белловских рассмотренийдля квантовой криптографии и квантовых вычислений

Рассмотрения Белла широко используются для обоснованияпревосходства квантовой криптографии над классической. Сутьрассуждений такова. Если бы квантовая случайность сводиласьк классической, то квантовая теория информации сводилась бык классической теории информации. И это действительно так:классическая информация вводится через энтропию, а энтропиячерез вероятность. Сведя квантовую вероятность к классической,мы бы свели квантовую информацию к классической. В этом слу-чае квантовая криптография описывалась бы законами классиче-ской теории информации и, следовательно, не имела бы никакихфундаментальных преимуществ. Заметим, что технологическиепреимущества сохранялись бы, поскольку квантовые системыочень чувствительны к внешним вмешательствам.

Широко распространено мнение, согласно которому Белл по-казал, что квантовая случайность не сводится к классической.Поэтому квантовая теория информации не сводится к классиче-ской, и поэтому квантовая криптография может (во всяком слу-чае в принципе) порождать протоколы, которые фундаментальноотличны от протоколов классической криптографии. В такойситуации неудивительно, что могут быть предложены протоколы,обеспечивающие существенно более высокую надежность, чемизвестные классические.

§ 2. Следствие белловских рассмотрений для квантовой криптографии 135

Однако, как мы подчеркнули в предыдущем параграфе, Беллотнюдь не доказал, что квантовая случайность (и, следовательно,квантовая теория информации) несводима к классической! ДляБелла наиболее естественной моделью, индуцирующей кванто-вую случайность, являлась бомовская механика. Случайностьв бомовской механике чисто классическая. Таким образом, при-менима классическая теория информации. Однако модель нело-кальна, и появляется возможность нелокальных атак. В прин-ципе, содержание моего компьютера может стать известнымдругому лицу без какого-либо физического контакта с моимкомпьютером [28].

Следовательно, квантовая криптография должна гарантиро-вать защиту от подобных нелокальных атак. Таких гарантийквантовая криптография не дает. Конечно, можно возразить, чтопоявление противника с нелокальными бомовскими возможно-стями весьма маловероятно и, более того, принадлежит областинаучной фантастики. Я согласен с такой точкой зрения. Однаковесьма нелогично, с одной стороны, отвергать возможность клас-сических нелокальных атак на квантовые криптографическиесхемы, а с другой стороны, ссылаться на Белла, рекламируядостоинства квантовой криптографии.

Я считаю, что несводимость квантовой информации к клас-сической не следует из белловских рассмотрений. Поэтому заяв-ления о 100-процентной секретности квантовых криптографиче-ских схем не слишком обоснованны.

Это никоим образом не умаляет значения проекта «квантоваякриптография». Даже если фундаментальной несводимости нет,то, оперируя с фотонами (чрезвычайно чувствительными к лю-бым внешним воздействиям), мы весьма сужаем класс возмож-ных атак на квантовые криптографические схемы.

Итак, исследования Белла не могут быть использованыдля обоснования превосходства квантовой криптографии надклассической.

Рассмотрения Белла играют также важную роль при обосно-вании превосходств квантовых алгоритмов над классическими.Упоминание о неравенстве Белла присутствует почти во всехкнигах о квантовых вычислениях. Здесь используются те жедоводы, что и при рекламе квантовой криптографии.

Считается, что Белл обосновал фундаментальность кванто-вой случайности. Поэтому суперпозиция квантовых состоянийне имеет классических объяснений. Неудивительно, что, исполь-


зуя эти новые свойства квантовых систем, можно ожидать, чтоквантовые вычислительные машины будут существенно болееэффективны, чем классические.

Как мы уже отмечали, это в корне ложная трактовка аргу-ментов Белла. Для него квантовая случайность — это класси-ческая ансамбль-случайность. Поэтому квантовый параллелизмнельзя вывести из суперпозиций состояний. По Беллу, основнымотличием квантовых вычислительных машин от классическихявляется нелокальная связь между квантовыми битами. Кван-товые биты, расположенные в различных точках пространства(например, связанные с отдельными квантовыми точками), вза-имодействуют нелокально. Это позволяет проводить (во всякомслучае в теории) в синхронные вычисления с N квантовымибитами. Здесь важнейшую роль играет мгновенность действия нарасстоянии. Поэтому попытки создать макроскопический кванто-вый компьютер, основанный на нелокальной связи классическихбитов, по-видимому, обречены на провал.

Конечно, нелокальное (но классическое) объяснение кванто-вого параллелизма противоречит теории относительности. Од-нако это противоречие не будет иметь экспериментальных по-следствий, потому что мы не можем контролировать внутреннююдинамику квантовых вычислений. Имеется лишь возможностьпровести измерение после завершения цикла вычислений.

Я не думаю, что большинство квантовых компьютерщиков,ссылаясь на работы Белла, действительно имеет в виду его нело-кальную классическую модель. Итак, доводы Белла не могутбыть использованы для обоснования превосходства кванто-вых вычислительных машин над классическими.

Более того, как мы увидим в этой главе, неравенство Беллавообще не может быть использовано для противопоставле-ния квантовой и классической физики.

§ 3. Почему неравенство Белла вызывает стольбурные споры?

Споры о неравенстве Белла не утихают уже в течение 40 лет.Интересно, что эти споры характеризуются диаметрально проти-воположными точками зрения на его роль в физике. Квантовоебольшинство считает, что появление этого неравенства и егоэкспериментальная проверка дали ответы на самые волнующиевопросы об основаниях квантовой механики и положили конец

§ 3. Почему неравенство Белла вызывает столь бурные 137

спору между Эйнштейном и Бором о полноте квантовой меха-ники 1). Другие ученые считают, что рассмотрения Белла весьма«мутные» (и с физической, и с математической точек зрения)и из них, по-существу, ничего не следует.

Как организатор десяти международных конференций поквантовым основаниям, см. например [22, 23, 25, 165, 170, 190,160], я был свидетелем бурных дебатов, в которых респекта-бельные профессора превращались в горячих юнцов, которые нелезут в карман за крепким словцом. До прямого рукоприкладствадело не доходило, но было близко к этому. Я много раз задавалсебе вопрос: «Что же такого особенного в рассмотрениях Белла?Почему именно они ведут к возникновению столь разных пози-ций?» Особенно меня настораживало, что как сторонники, таки противники белловских аргументов, люди квалифицированные(если они даже иногда таковыми друг друга и не считают).Конечно, существенность белловских аргументов для физики иг-рает не последнюю роль. Но есть масса других важных проблем,и они не характеризуются такими ожесточенными дебатами.

После долгих раздумий и кропотливого анализа рассмотре-ний, использовавшихся Беллом, я пришел к выводу, что все-таки основной причиной такого глубокого взаимонепониманияявляется то, что Дж. Белл не формализовал на математическомуровне строгости свои рассмотрения. В его рассмотрениях при-сутствуют две модели: а) квантовая вероятностная модель; б) ги-потетическая предквантовая классическая модель. Во-первых, небыла точно описана предквантовая модель. Поэтому значитель-ная часть математически образованных дискуссантов думает,что речь идет об общепринятой в теории вероятностей моделиКолмогорова. Но, это неверно! Хотя Белл использовал колмого-ровское определение вероятности как меры, в его предквантовойклассической вероятностной модели условные вероятности не

1) Как мы видели, эта точка зрения основана на извращенной трактовкеследствий из рассмотрений Белла. Он «показал» (мы увидим, что отнюдьнет), что или квантовая механика полна (как считали Бор, Гейзенберг, Фок,Ландау), или предквантовая физическая модель нелокальна. Испытывая отвра-щение к нелокальным классическим моделям, большинство физиков поэтомусчитает, что из белловских рассмотрений следует полнота квантовой механики.Таким образом, квантовая случайность не сводится к классической. Однакоодновременно (каким-то немысленным образом) многие считают, что из нару-шения неравенства Белла следует «квантовая нелокальность».


определяются по формуле Байеса, использовавшейся Колмогоро-вым [7].

Нечеткость в определении предквантовой классической веро-ятностной модели усугубляется отсутствием математическойформализации соответствия между классической и кванто-вой моделями. Это важнейшая проблема, которая ускользнулаот всеобщего внимания. Классическая модель чисто гипотети-ческая. Мы не знаем, как она отображается на квантовую. Этопорождает необозримые возможности для спекуляций. Каждыйавтор некоторой теоремы невозможности формирует свой списокправил соответствия. И доказывает свою теорему, которая соот-ветствует этому списку.

Анализируя рассмотрения Белла, мы формализуем его списокправил соответствия между классической и квантовой моделями.И сразу станет очевидно, что многие правила Белла весьманефизичны. Впрочем, в этом нет ничего нового: то же самоеБелл проделал в свое время [50] с теоремой невозможностифон Неймана [15].

Итак, основой бурных споров о роли неравенства Беллав квантовой физике являет отсутствие четкой математи-ческой формулировки его подхода.

§ 4. Математические неравенства белловского типа

4.1. Неравенство Белла для ковариаций. Рассмотримколмогоровское пространство � = (Ω,F,P). Здесь Ω — некото-рое множество, F — некоторая σ-алгебра его подмножеств и P —вероятностная мера на F.

Ковариация двух случайных величин ξ (ω) и η (ω) определя-ется равенством

〈ξ, η〉 =∫

Ω

ξ (ω) η (ω) dP(ω).

Теорема 4.1. Для любых трех случайных величин ξa (ω),ξb (ω), ξc (ω), принимающих значения ±1, имеет место нера-венство

|〈ξa, ξb〉 − 〈ξc, ξb〉| � 1− 〈ξa, ξc〉. (4.1)

§ 4. Математические неравенства белловского типа 139

Доказательство. Используя линейность интеграла, по-лучаем

Δ =∫

Ω

ξa (ω) ξb (ω) dP(ω) −∫

Ω

ξc (ω) ξb (ω) dP(ω) =

=∫

Ω

[ξa (ω) − ξc (ω)] b (ω) dP(ω). (4.2)

Далее используем тот факт, что

ξ2a = 1,

и получаем

|Δ| =∣∣∣∣∫Ω

[1− ξa (ω) ξc (ω)] ξa (ω) ξb (ω) dP(ω)∣∣∣∣ �

�∫

Ω

[1− ξa (ω) ξc (ω)] dP(ω). (4.3)

4.2. Неравенство Вигнера

Теорема 4.2. Пусть ξa (ω), ξb (ω), ξc (ω) принимают значе-ния ±1. Тогда имеет место следующее неравенство

P(ξa = +1, ξb = +1) + P(ξb = −1, ξc = +1) �� P(ξa = +1, ξc = +1). (4.4)

Доказательство. Имеем

P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1) =

= P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1, ξc (ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1, ξc (ω) = −1), (4.5)

P(ω ∈ Ω: ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1) =

= P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = −1, ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1) (4.6)


и

P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξc (ω) = +1) =

= P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1, ξc (ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1). (4.7)

Складывая равенства (5) и (6), получаем

P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1) =

= P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1, ξc (ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = +1, ξc (ω) = −1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = +1, ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa (ω) = −1, ξb (ω) = −1, ξc (ω) = +1). (4.8)

Но первый и третий члены в правой части равенства (8) присложении дают вероятность P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = +1, ξc(ω) = +1).Поэтому получаем

P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = +1, ξb(ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξb(ω) = −1, ξc(ω) = +1) =

= P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = +1, ξc(ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = +1, ξb(ω) = +1, ξc(ω) = −1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = −1, ξb(ω) = −1, ξc(ω) = +1). (4.9)

В заключение, используя неотрицательность вероятности, по-лучаем

P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = +1, ξb(ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξb(ω) = −1, ξc(ω) = +1) �� P(ω ∈ Ω: ξa(ω) = +1, ξc(ω) = +1). (4.10)

4.3. Неравенство Клаузера–Хорне–Шимони–Холта

Теорема 4.3. Пусть ξj(ω) и ξ′j(ω), j = 1, 2, — случайныевеличины, ограниченные единицей:

|ξj(ω)| � 1 и |ξ′j(ω)| � 1 п. в. (4.11)

§ 5. Интерпретации нарушения неравенства Белла 141

Тогда

〈ξ1, ξ′1〉 + 〈ξ1, ξ′2〉 + 〈ξ2, ξ′1〉 − 〈ξ2, ξ′2〉 � 2. (4.12)

Доказательство. Отметим очевидное неравенство для веще-ственных чисел, ограниченных единицей:

u1v1 + u1v2 + u2v1 − u2v2 � 2, (4.13)

следовательно,

ξ1ξ′1 + ξ1ξ

′2 + ξ2ξ

′1 − ξ2ξ

′2 � 2. (4.14)

Для завершения доказательства проинтегрируем последнее нера-венство по вероятностной мере P.

§ 5. Интерпретации нарушения неравенства Белла

Обычно в физической литературе после вывода неравенствтипа (4.1), (4.4), (4.12) отмечается, что можно найти такоеквантовое состояние (например, синглетное состояние) и такиеквантовые операторы, что эти неравенства будут нарушаться.Из этого делается вывод о противоречии между классическойи квантовой вероятностными моделями. Условие локальностиздесь возникает в форме возможности использовать случай-ные величины ξa(ω), ξb(ω), ξc(ω), а не ξab(ω), ξac(ω), . . . ,ξba(ω), ξca(ω), . . .

Если бы мы допустили возможность мгновенного действия нарасстоянии, то измерение в одной лаборатории для эксперимен-тальной конфигурации a (например, направления оси проекцииспина) зависело бы от выбора экспериментальной конфигура-ции b в другой лаборатории. Для результата измерения в первойлаборатории мы не могли бы использовать случайную величинуξa(ω), не зависящую от b.

Поскольку для двухиндексовых случайных величин невоз-можно получить неравенства типа (4.1), (4.4), (4.12), противоре-чие между квантовой и классической моделью снимается. Итак,решение проблемы нарушения неравенств типа (4.1), (4.4), (4.12)Белл видел в действии на расстоянии, а не в невозможностииспользовать классическое вероятностное описание.

Однако, как мы уже отмечали в §§ 1, 2, обычно из наруше-ния неравенств типа Белла для квантовых вероятностей дела-ется вывод о противоречии между квантовой и классическойвероятностными моделями. Нарушение объясняется тем, что


результат измерения в принципе нельзя записать в виде слу-чайной величины ξa(ω) (возможность ξab(ω) отвергается вместес классической нелокальностью). Но при такой интерпретациивсе возвращается на круги своя, а именно к диспуту между Эйн-штейном и Бором. Нужно объяснить, почему, если для одногоэлектрона в синглетной паре проекция спина на направление aравна, например, +1, то для второго она предопределена: −1.В этой ситуации неясно, почему результат измерения нельзязаписать как функцию ξa(ω) от состояния ω — «скрытого пара-метра».

Целью наших последующих рассмотрений является формали-зация соответствия между квантовой и классической вероятност-ными моделями. До сих пор это соответствие не описывалосьв четких математических терминах. В рамках такой формализа-ции станет очевидным, что белловская дилемма: «или полнота,или (классическая) нелокальность», — ничем не обоснована.Можно представить целый ряд очень естественных физическихобъяснений нарушения неравенств белловского типа, отличныхот действия на расстоянии. В частности, возможность пост-роения локальной предквантовой классической теории отнюдь неисключена, несмотря на доводы Джона Белла.

§ 6. Правила соответствия между классическойи квантовой вероятностными моделями

Предполагается, что имеется пространство скрытых парамет-ров Ω. Точки ω ∈ Ω задают состояния отдельных физических си-стем. При условии неполноты квантовой механики считается, чточистое состояние ψ вовсе не является чистым. Различные физи-ческие системы s1, s2, s3, . . . , описываемые в квантовой механикеодним и тем же чистым состоянием ψ, на самом деле имеютразличные состояния ω1,ω2,ω3, . . . Например, когда на квантовомязыке мы говорим об электронах, находящихся в стационарном(чистом) состоянии ψE , соответствующем энергетическому уров-ню E, на языке классической предквантовой теории это можетозначать, что эти электроны описываются различными скрытымипараметрами. В частности, может оказаться, что эти скрытые со-стояния соответствуют скрытым флуктуациям энергии, E + δE.А квантовая механика описывает измерения, нечувствительныек столь малым флуктуациям энергии.

§ 6. Правила соответствия между классической и квантовой 143

В математической теории следует зафиксировать некоторуюσ-алгебру подмножеств F множества скрытых параметров Ω.Заметим, что в физической литературе множество скрытых па-раметров обозначается обычно символом Λ, а не Ω (скрытый па-раметр λ, а не ω). Мы же следуем символике, принятой в теориивероятностей.

Классические физические величины представляются в видеслучайных величин ξ : Ω → R. Это измеримые отображения:для любого борелевского подмножества B ∈ R его прообразξ−1(B) ∈ F. Таким образом, «классицизм» эквивалентен возмож-ности функционального представления. Для системы, имеющейсостояние ω ∈ Ω, классическая величина ξ задает объективноесвойство ξ(ω) этой системы.

Предполагается заданным некоторое пространство случай-ных величин V (Ω), представляющих классические физическиевеличины. Вовсе не следует предполагать, что V (Ω) совпадаетс пространством всех случайных величин. Например, Ω можетбыть гладким (или аналитическим) симплектическим многооб-разием и V (Ω) — пространством гладких (или аналитических)функций.

В любой статистической теории рассматриваются ансамблифизических систем. Каждому ансамблю соответствует распре-деление вероятностей P на F. Обозначим пространство вероят-ностных мер символом S(Ω). При этом вовсе не предполагается,что S(Ω) совпадает с пространством всех возможных вероят-ностных мер. S(Ω) выбирается в зависимости от модели. В част-ности, в предквантовой классической статистической модели(см. гл. 7, 8) S(Ω) состоит из гауссовых мер на бесконечномерномфазовом пространстве Ω, имеющих малую дисперсию.

Классическую теорию можно считать моделью объективнойреальности, т. е. реальности как она есть сама по себе, когдамы ее не наблюдаем. Кроме того можно создать модель длянаших измерений. Конечно, в идеале можно надеяться, что мыможем изобрести замечательные измерительные устройства, спо-собные измерять непосредственно свойства систем. В этом слу-чае наблюдаемые будут задаваться непосредственно случайнымивеличинами ξ ∈ V (Ω). Однако в реальности мы не способнысделать это. Наблюдаемые (или более точно «измеряемые») несовпадают с классическими физическими переменными. Поэтомуможно надеяться лишь установить некоторое соответствие меж-ду классическими переменными и наблюдаемыми.


Так как наблюдаемые отнюдь не задают объективные свой-ства физических систем, то в принципе нет никакой необхо-димости представлять их в математической модели с помощьюслучайных величин. Возможны различные символические пред-ставления. В квантовой механике наблюдаемая a представляетсяс помощью самосопряженного оператора a. Если ограничитьсярассмотрением ограниченных линейных операторов, то простран-ство наблюдаемых можно реализовать как Ls(H) — простран-ство ограниченных самосопряженных операторов.

Как уже было отмечено, описание статистического состоянияансамбля систем в теории наблюдений может отличаться от егоклассического описания. В частности, в квантовом формализмеэто статистические операторы фон Неймана D(H).

Итак, основная проблема — найти адекватные правила соот-ветствия между классической статистической моделью

Mкл = (S(Ω),V (Ω))

и квантовой моделью

Nкв = (Ls(H),D(H)).

Ситуация осложняется тем, что модели M мы не знаем, мыее только ищем. Основная цель авторов теорем невозможности(включая Белла) показать, что само предположение о существо-вании Mкл ведет к противоречию.

В общей ситуации мы можем только надеяться построитьотображения соответствия (обозначаемые одним и тем же сим-волом для наблюдаемых операторов)

j : V (Ω) → Ls(H), (6.1)

j : S(Ω) → D(H), (6.2)

или жеi : Ls(H) → V (Ω). (6.3)

i : D(H) → S(Ω). (6.4)

Так как мы не предполагаем, что j или i взаимно-однозначны,то (6.1), (6.2) и (6.3), (6.4) — это разные проблемы. Как ужеотмечалось, физика нам, по-существу, ничего не говорит о свой-ствах отображений j или i.

Далее, чтобы символически подчеркнуть различие между на-блюдаемыми величинами и представляющими их операторами,мы будем обозначать последние a, b, . . .

§ 7. Постулаты фон Неймана для отображения между моделями 145

§ 7. Постулаты фон Неймана для отображения междуклассической и квантовой моделями

Фон Нейман был первым [15], кто попытался формализоватьсвойства отображения j в (6.1):

ФН1). j взаимно-однозначно.ФН2). Для любой борелевской функции f : R → R имеет

место равенствоj(f(ξ)) = f(j(ξ)) (7.1)

для любой случайной величины ξ ∈ V (Ω).ФН3). Для любой последовательности случайных величин ξ1,

ξ2, . . . имеет место равенствоj(ξ1 + ξ2 + . . .) = j(ξ1) + j(ξ2) + . . . (7.2)

Как писал фон Нейман [23], «совместная измеримость на-блюдаемых j(ξ1), j(ξ2), . . . не предполагается». Значит, в общемслучае

[j(ξn), j(ξm)] �= 0, n �= m.

Грубо говоря, фон Неймана «доказал», что любой операторстатистического среднего на V (Ω) может быть представлен какквантовое среднее на Ls(H). Он не писал о теореме. Это былтак называемый анзатц.

Анзатц 1 (фон Нейман). При условиях ФН1–ФН3 (и неко-торых добавочных технических условиях) существует отоб-ражение j : S(Ω) → D(H), где S(Ω) — пространство всех ве-роятностных мер на Ω, которое является взаимно-однознач-ным, и классическое и квантовое средние совпадают:

〈ξ〉P ≡∫

Ω

ξ(ω) dP(ω) = Tr ρa, (7.3)

где ρ = j(P), a = j(ξ).Используя Анзатц 1, фон Нейман получил следующую

«теорему невозможности».Анзатц 2 (фон Нейман). Не существует отображений

(6.1), (6.2), удовлетворяющих постулатам ФН1–ФН3.Для доказательства этого анзатца он показал, что D(H) не

содержит состояний ρ с нулевой дисперсией. В то же времялюбая δ-мера на Ω имеет нулевую дисперсию 1).

1) δ-мерой мы называем меру, сосредоточенную в одной точке.


§ 8. Теоремы невозможности белловского типа

Свою деятельность Джон Белл начал с уничижительной кри-тики теоремы невозможности фон Неймана. Особенно сильнойкритике подвергся постулат ФН3, в связи с тем что правая частьравенства (7.2) содержит сумму некоммутирующих операторовak = j(ξk). Также критиковался постулат ФН1. Вообще говоря,нет никаких физических оснований считать, что каждая кванто-вая наблюдаемая a ∈ Ls(H) представляет только одну классиче-скую физическую переменную ξ ∈ V (Ω).

Различные классические предквантовые переменные могутотождествляться нашими макроскопическими измерительнымиустройствами. Более того, нет никаких физических основанийсчитать, что каждый самосопряженный оператор a ∈ Ls(H) соот-ветствует какой-то реальной физической наблюдаемой. В прин-ципе, может оказаться, что j(V (Ω)) — это лишь собственноеподпространство в Ls(H), см. Л. Баллентайн [45].

Итак, Белл убрал постулаты ФН1 и ФН3, постулат ФН2также был ослаблен. К сожалению, сам он представил в форма-лизованном виде лишь некоторые из своих постулатов 1). Поэто-му мы вынуждены провести эту формализацию, дополнив листпостулатов, которые Белл четко сформулировал, постулатами,которые использовались негласно 2).

Б1). Образ j(V (Ω)) содержит операторы спина σ(θ) ⊗ I иI ⊗ σ(θ), θ ∈ [0, 2π), для системы из двух частиц со спином 1/2.

Б2). Для любой переменной ξ ∈ V (Ω) ее образ значений ξ(Ω)совпадает со спектром оператора a = j(ξ).

Б3). Образ j(S(Ω)) содержит синглетное спиновое состояние

ψ = 1√2

(|+〉|−〉 − |−〉|+〉). (8.1)

Это состояние принадлежит 4-мерному пространству со-стояний H = C2 × C2 и может быть записано в тензорных обо-значениях как

ψ = 1√2

(|+〉 ⊗ |−〉 − |−〉 ⊗ |+〉). (8.2)

1) Как уже отмечалось, следствием этого является нездоровый интереск неравенству Белла.

2) Исследования в этом направлении начались еще в 70-е годы (Л. Аккарди[1, 18–20]). Здесь предлагается формализация, проведенная автором [215].

§ 8. Теоремы невозможности белловского типа 147

Итак, отнюдь не требуется, чтобы отображения j : V (Ω) →→ Ls(H) и j : S(Ω) → D(H) были инъекциями и сюръекциями.Требования на размеры образов j(V (Ω)) и j(S(Ω)) минимальны.В отличие от ФН2, в постулате ФН3 отсутствует связь междуалгебраическими структурами в классическом и квантовом про-странствах, в V (Ω) и L(H).

Мы использовали, как и фон Нейман, отображение j, см.(6.1), (6.2), из классического мира в квантовый. А Дж. Беллрассматривал отображение i, (6.3), (6.4), из квантового мирав классический 1).

Заметим, что по любому отображению j мы можем постро-ить некоторое i (но не единственным образом). Для оператораa ∈ Ls(H) полагаем: i(a) = ξa, где случайная величина ξa вы-бирается из множества j−1(a) ⊂ V (Ω). Для состояния ρ ∈ D(H)полагаем: i(ρ) = Pρ, где вероятностная мера Pρ выбирается измножества j−1(ρ) ⊂ S(Ω). Конечно, переход от отображения jк отображению i весьма деликатен. Он опирается на аксиомувыбора, которую лучше не использовать. Также обратим еще развнимание на неединственность выбора i для фиксированного j.

Дальнейшие постулаты были сформулированы Беллом [44].

Б4). Для любого состояния ρ ∈ D(H) и любых коммути-рующих операторов a и b имеет место равенство классическойи квантовой ковариаций:

〈ξa, ξb〉Pρ ≡∫

Ω

ξa(ω)ξb(ω) dPρ(ω) = 〈a, b〉ρ ≡ Tr ρ a b. (8.3)

Б5). Для синглетного состояния ψ и любого θ ∈ [0, 2π) слу-чайные величины

ξθ(ω) = i(σ(θ) ⊗ I) и ξ′θ(ω) = i(I ⊗ σ(θ)) (8.4)

антикоррелированы:ξθ(ω) = −ξ′θ(ω) (8.5)

п. в. по отношению к вероятности Pρψ , где ρψ = ψ ⊗ ψ.

Теорема 8.1 (Белл). Пусть размерность пространстваквантовых состояний H равна четырем. Отображенияj : V (Ω) → Ls(H), j : S(Ω) → D(H), удовлетворяющего

1) Постулаты Б1–Б3 не были им сформулированы четко, они лишь исполь-зовались как негласные предпосылки.


Б1–Б3 и такого, что соответствующее отображение iудовлетворяет Б4, Б5, не существует.

Заметим, что теорему можно было бы сформулировать, ис-пользуя лишь отображение i. Просто в постулате Б1 нужно былобы сказать, что область определения i, см. (6.3), содержит спи-новые операторы, а в постулате Б3 — что область определения i,см. (6.4), содержит синглетное состояние. Однако, по-видимому,это противоречило бы взглядам Белла. Фиксируя i, мы полагаем,что каждая квантовая наблюдаемая a представляет лишь однуклассическую случайную величину

ξa = i(a).

Доказательство. Мы применим теорему 4.1 к случайнымвеличинам ξθ(ω), соответствующим спиновым операторам:

|〈ξθ1, ξθ2〉P − 〈ξθ3, ξθ2〉P| � 1− 〈ξθ1 , ξθ3〉P,

где P ≡ Pρψ и ψ — синглетное состояние. Заметим, что по-стулат Б2 был использован. Напомним, что при доказательственеравенства Белла мы использовали тот факт, что классическиеслучайные величины принимали значения ±1. Теперь мы приме-ним постулат Б5 об антикорреляциях и перепишем неравенствоБелла в виде

|〈ξθ1, ξ′θ2〉P − 〈ξθ3 , ξ′θ2〉P| � 1 + 〈ξθ1 , ξ′θ3〉P.В заключение применим постулат Б4 и заменим в этом нера-

венстве классические ковариации на квантовые:

|Tr (ψ ⊗ ψ)(σ(θ1) ⊗ I)(I ⊗ σ(θ2)) −− Tr (ψ ⊗ ψ)(σ(θ3) ⊗ I)(I ⊗ σ(θ2))| �

� 1 + Tr (ψ ⊗ ψ)(σ(θ1) ⊗ I)(I ⊗ σ(θ3)).

Однако последнее неравенство нарушается для специальнымобразом подобранных углов θ1, θ2, θ3, см. доказательство после-дующей теоремы 8.2.

Хотя соответствие между алгебраическими структурами(сложением и умножением случайных величин в V (Ω) и сложе-нием и композицией операторов в L(H)) уже не присутствуетв постулате Б2, ср. с ФН2, но след этого соответствия всеже есть в постулате Б4. Хотелось бы вообще обойтись безрассмотрения этого соответствия, так как один из доводовпротив теоремы 8.1 может быть таким:

§ 8. Теоремы невозможности белловского типа 149

Собственно говоря, почему классические алгебраическиевыражения для ковариаций (а для дискретных случайных ве-личин это просто линейные комбинации) должны переходитьв квантовые алгебраические выражения для ковариаций (а дляоператоров с дискретным спектром это линейные комбина-ции следов)?

Таким образом, можно сказать, что теорема невозможностиБелла появилась как результат того, что список свойств для со-ответствия между классической и квантовой моделями содержитсомнительное условие Б4. В этом случае нет никакой необходи-мости привлекать действие на расстоянии, как это делал Белл.Поэтому очень важен вклад в белловскую программу Вигнера,предложившего рассматривать вероятности вместо ковариаций.Он предложил вместо постулата Б4 рассмотреть следующийпостулат о соответствии между классическими и квантовымивероятностями.

В). Для любого квантового состояния ρ ∈ D(H) и любых ком-мутирующих операторов a, b ∈ Ls(H) квантовые и классическиесовместные распределения вероятностей совпадают:

Pρ(ω ∈ Ω: ξa(ω) ∈ A, ξb(ω) ∈ B) = Tr ρπaAπbB, (8.6)

где ξa = i(a), ξb = i(b), а A и B — произвольные борелевскиеподмножества R. Здесь {πaA} и {πbB} — спектральные семействадля самосопряженных операторов a и b.

Теорема 8.2 (Вигнер). Заключение теоремы 8.1 остаетсяверным при замене постулата Б4 на В.

Доказательство. Мы применим неравенство Вигнера и тео-рему 4.2 для вероятности P ≡ Pρψ , где ρψ = ψ ⊗ ψ и ψ —синглетное состояние (8.4), и случайных величин ξθ(ω), соответ-ствующих спину:

P(ω ∈ Ω: ξθ1(ω) = +1, ξθ2(ω) = +1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξθ2(ω) = −1, ξθ3(ω) = +1) �� P(ω ∈ Ω: ξθ1(ω) = +1, ξθ3(ω) = +1).

Заметим, что мы воспользовались здесь постулатом Б2. Име-ется мнение, что значения случайных величин не играют ника-кой роли в теоремах типа Вигнера. Это неверно! Хотя конкрет-ные значения неважны, но тот факт, что случайные величины


ξθ(ω) и ξ′θ(ω) принимают лишь два значения, играет фундамен-тальную роль.

Теперь мы применим постулат Б5 о спиновых антикорреля-циях и перепишем неравенство Вигнера в виде

P(ω ∈ Ω: ξθ1(ω) = +1, ξ′θ2(ω) = −1) +

+ P(ω ∈ Ω: ξθ2(ω) = −1, ξ′θ3(ω) = −1) �

� P(ω ∈ Ω: ξθ1(ω) = +1, ξ′θ3(ω) = −1).

Применим постулат B и заменим классические вероятностина квантовые:

Tr (ψ ⊗ ψ)π+(θ1)π′−(θ2) + Tr (ψ ⊗ ψ)π−(θ2)π′−(θ3) �� Tr (ψ ⊗ ψ)π+(θ1)π′−(θ3), (8.7)

где π±(θ) и π′±(θ) — спектральные проекторы спиновых операто-ров σ(θ) ⊗ I и I ⊗ σ(θ).

Для спиновых квантовых наблюдаемых σ(θ) и σ′(θ), относя-щихся к электронам в паре, квантовая механика предсказываетследующие вероятности:

Pψ(σ(θ1) = +1,σ′(θ2) = −1) = 12

sin2 θ1 − θ22

,

Pψ(σ(θ2) = −1,σ′(θ3) = −1) = 12

cos2 θ2 − θ32

,

Pψ(σ(θ1) = +1,σ′(θ3) = −1) = 12

sin2 θ1 − θ32

.

Pψ(σ(θ2) = +1,σ′(θ3) = +1) = 12

cos2 θ2 − θ32

.

Из неравенства (8.7) следует тригонометрическое нера-венство

sin2 θ1 − θ22

+ cos2 θ2 − θ32

� sin2 θ1 − θ32

(8.8)

Положим θ1 = 0, θ2 = 6θ, θ3 = 2θ и получим тригонометриче-ское неравенство

sin2 3θ + cos2 3θ � sin2 θ. (8.9)

Нарисовав график функции f(θ) = sin2 3θ + cos2 2θ − sin2 θ(с помощью компьютера), читатель увидит, что для достаточнобольших θ неравенство f(θ) � 0 нарушается.

§ 9. Области значений предквантовых и квантовых переменных 151

Обратим теперь внимание на постулат Б2 о совпадении обла-стей значений предквантовых физических переменных ξ ∈ V (Ω)и соответствующих квантовых наблюдаемых, a = j(ξ) ∈ Ls(H).В теореме Клаузера–Хорне–Шимони–Холта существенно ослаб-лен этот постулат:

КХШХ). Для любой случайной величины ξ ∈ V (Ω)

sup{|x| : x ∈ ξ(Ω)} = sup{|x| : x ∈ Spectrum (j(ξ))}. (8.10)

Теорема 8.3. Заключение теоремы 8.1 остается вернымпри замене постулата Б2 на КХШХ и отказе от постулатаБ5 (о точных антикорреляциях).

Доказательство проводится по той же схеме, что и дока-зательства теорем 8.1 и 8.2, и основывается на неравенствеКлаузера–Хорне–Шимони–Холта, см. теорему 4.3, (4.12).

Как уже отмечалось, Белл считал, что единственное разум-ное объяснение возникновения теорем невозможности — этоиспользование условия локальности. В нашей формализацииусловие локальности следует из возможности «обратить» отоб-ражение j : V (Ω) → Ls(H) и построить отображение i : Ls(H) →→ V (Ω). При нелокальном взаимодействии классическая физи-ческая переменная ξa, соответствующая наблюдаемой a, можетзависеть от любой другой наблюдаемой b, которая может бытьизмерена одновременно с a: [ a, b ] = 0. Однако такой вывод болеечем преждевремен.

В отношении теорем невозможности белловского типа мы по-ступим так же, как Белл поступил с теоремами невозможности,полученными его предшественниками — фон Нейманом, Яухоми Пироном, Глисоном, см. [50, с. 4–9]. Так же как это сделалБелл, мы выделим сомнительные условия в его теореме невоз-можности и покажем, что последняя теорема имеет не большеотношения к физике, чем все предыдущие теоремы.

§ 9. Области значений предквантовых и квантовыхпеременных

Доказательства теорем невозможности Белла и Вигнера ос-нованы на постулате Б2 о совпадении областей значений клас-сической переменной ξ и соответствующей ей квантовой наблю-даемой a, которая в соответствии с аксиоматикой квантовоймеханики равна спектру оператора a = j(ξ). Более того, в случае


нарушения постулата Б2, легко построить пример классическихслучайных переменных, воспроизводящих ЭПР-корреляции.

Является ли этот постулат непосредственным следствие ана-лиза физической ситуации? Похоже, что вовсе нет! Здесь умест-но процитировать выдающегося квантового физика Генри Стапа[280], внесшего огромный вклад в анализ следствий нарушениянеравенства Белла:

«Основной проблемой является то, что для применения кван-товой теории мы должны разделить фундаментально недели-мый физический мир на две идеальные части: систему, котораянаблюдается, и систему, которая наблюдает. Однако теория недает адекватного описания связи между этими двумя частя-ми. Вероятностная мера является функцией микроскопическихнаблюдаемых систем, в то время как вероятности, которые ейсоответствуют (в квантовой теории), — это вероятности реакциймакроскопических измерительных устройств. Эти реакции (на-пример, сигналы детекторов) описываются совершенно другимистепенями свободы». Здесь замечания в скобках и выделениешрифта сделаны мною.

Итак, согласно Стапу, имеются два совершенно различныхмножества степеней свободы, микроскопических и макроскопи-ческих, и мы ничего не знаем о связи между ними. Предполагатьв такой ситуации, что белловские переменные должны менятьсяв одних и тех же областях, было бы очень опрометчиво. На-пример, почему классические спиновые переменные ξθ(ω) также

должны принимать значения ± h

2, как и квантовые наблюдае-

мые? Может быть, дискретность — это просто результат работымакроскопических измерительных устройств? Может быть, в ре-альности имеют место лишь флуктуации вида

± h

2+ εη(ω), (9.1)

где ε достаточно мало?Из анализа Стапа следует, что ξ и a = j(ξ) зависят от совер-

шенно разных координат. Я считаю, что нет никаких физическихоснований верить (как это делал Белл, Вигнер и все остальныеисследователи роли неравенств белловского типа в квантовоймеханике), что постулат Б2 верен. То же самое можно сказатьо постулатах КХШХ.

§ 10. Контекстуальность 153

Вывод: Если отказаться от постулатов о соответствииобластей значений для классических и квантовых переменных(в формах ФН2, Б2 или КХШХ), то классическая (локальная)и квантовая вероятностные модели не противоречат другдругу.

§ 10. Контекстуальность

Следуя Нильсу Бору, под контекстом мы понимаем сово-купность всех физических условий эксперимента. В этом пара-графе будет представлен весьма общий взгляд на роль контек-стуальности в рассмотрениях белловского типа. Личный взглядБелла на контекстуальность и ее роль в его теореме невоз-можности будет представлен в § 11. Заметим, что белловскаяконтекстуальность — это весьма специфическая форма контек-стуальности. Здесь контекст сводится к измерению других на-блюдаемых, совместных с измеряемой наблюдаемой a. Будемназывать эту специальную форму контекстуальности белловскойконтекстуальностью. Таким образом, это контекстуальностьсовместных измерений. Конечно, общий комплекс физическихусловий для измерения наблюдаемой a не сводится к работедругих измерительных устройств, совместимых с измерением a.Общий физический контекст C включает огромное количествостепеней свободы, соответствующих приготовлению системы дляизмерения и самому измерению.

Однако, следует заметить, что в литературе под контексту-альностью обычно понимается ее белловская физическая форма.

Как в свое время было отмечено Беллом, единственнымобъяснением контекстуальности, обусловленной совместными из-мерениями, является действие на расстоянии. Иначе как ещеобъяснить тот факт, что в комплекс физических условий дляизмерения a входят параметры других измерительных устройств,расположенных на расстоянии от устройства для измерения a?

В отличие от белловской контекстуальности совместных из-мерений, общая контекстуальность вовсе не влечет действия нарасстоянии. Более того, если серьезно проследить зависимостьвероятностей от физических условий (контекстов), то приходимк неожиданному результату.

Вероятность реализации комплексов физических условий,влекущих выполнение неравенства Белла, равна нулю (см. тео-рему 9.1).


10.1. Следствия взаимной неоднозначности соответствиямежду классической и квантовой моделями. Мы собираемсясыграть на том, что, возможно, квантовая механика являетсялишь грубой аппроксимацией некоторой фундаментальной пред-квантовой классической теории 1).

Отображение j из классической модели на квантовую можетбыть проекцией, при которой огромное количество классическихструктур (переменных и вероятностей) отображается в однуквантовую (оператор-наблюдаемую или оператор фон Неймана).И такая картина проекции весьма естественна. Результаты на-ших измерений — это результат взаимодействия макроскопиче-ских устройств с микросистемами.

Как результат белловской критики теоремы невозможностифон Неймана, сейчас общепринято, что нет никаких основанийсчитать, что для квантовой наблюдаемой a ее классический про-образ

j−1(a) = {ξ ∈ V (Ω): j(ξ) = a}содержит лишь одну случайную величину.

По-видимому, нет также никаких оснований предполагать,что, фиксируя квантовое состояние ρ, мы в состоянии зафиксиро-вать и классическое вероятностное распределение Pρ. Действи-тельно, ρ — лишь символ процедуры приготовления ансамблясистем. В силу вышеприведенных аргументов квантовая механи-ка дает слишком грубое описание реальности и ее формализмне определяет однозначно вероятностное распределение на про-странстве скрытых параметров Ω. Итак, множество

j−1(ρ) = {P ∈ S(Ω): j(P) = ρ}может быть, в принципе, бесконечно велико, как и j−1(a).

10.2. Контекстуальная атака на доводы Белла. Заметим,что при доказательстве всех теорем невозможности белловскоготипа, теорем 8.1–8.3 использовалось одно фиксированное клас-сическое вероятностное распределение Pρ ∈ j−1(ρ) (во всякомслучае для синглетного состояния) и для любой квантовой на-блюдаемой a одна фиксированная классическая случайная ве-личина ξ ∈ j−1(a) (во всяком случае для спина или поляри-зации). Имеется важный физический аргумент против такого

1) Такая теория отнюдь не обязана совпадать с классической механикойна фазовом пространстве R3 × R3.


подхода. В экспериментальной физике в любом из неравенствбелловского типа используются статистические данные, кото-рые получены для нескольких различных экспериментальныхконтекстов. Эти контексты соответствуют, например, различ-ным выборам осей в экспериментах с поляризованным светом.В свете предыдущей дискуссии об отсутствии взаимной одно-значности отображения классической модели в квантовую, нетникаких физических оснований надеяться получить одно и тоже классическое вероятностное распределение и те же самыеклассические величины (например, соответствующие квантовымнаблюдаемым проекций спина или поляризации). Нет никакихгарантий, что все последовательности измерений проводятся приодних и тех же экспериментальных условиях. Даже если ис-пользуется то же самое оборудование, невозможно гарантиро-вать точное воспроизводство всех внутренних физических па-раметров измерительных устройств и источника. Например, мыфиксировали ось θ и, следовательно, спиновую наблюдаемуюσ(θ), а также ось θ′ и спиновую наблюдаемую σ′(θ), относя-щиеся к электронам в паре. Мы рассмотрели некоторую после-довательность измерений. Эта последовательность была прове-дена для некоторого распределения параметров источника, Pρ,некоторого распределения параметров измерительных устройств(магнитов Штерна–Герлаха), задающего классические случай-ные величины, ξθ(ω), ξ′θ′(ω). Обозначим этот экспериментальныйконтекст C1 (распределение всех параметров). Выберем теперьдругой угол, θ′′, вместо θ′. Проведем другую последовательностьизмерений. Ей будет соответствовать контекст C2. Распределениепараметров систем и измерительных устройств будет другим. Этоследствие не только выбора другой оси, θ′′, для измерения проек-ции спина, но и изменения распределения параметров источникаи измерительного устройства σ(θ). Мы не можем предположить,что для C2 должны возникнуть обязательно те же Pρ и случай-ная величина ξθ(ω), что и для C1.

Итак, рассмотрим новый случайный параметр C, описываю-щий контекст серии измерений (комплекс физических условий,но не на уровне макроскопических устройств, а на уровне мик-ропараметров этих устройств). А теперь попытаемся повторитьрассуждения Белла и его последователей, но учитывая новыйпараметр C. Теперь классические вероятностные меры, пред-ставляемые в квантовой модели статистическим оператором ρ,зависят и от экспериментального контекста C : Pρ ≡ Pρ,C , так же


как и случайные величины: ξa,C(ω), ξb,C(ω), ξc,C(ω). Рассмотримпервоначальное белловское неравенство для ковариаций. На са-мом деле ковариации, рассмотренные в теореме 4.1, относятсяк трем различным комплексам физических условий: C1, C2, C3.Здесь

〈ξa, ξb〉(C1) =∫

Ω

ξa,C1(ω)ξb,C1(ω) dPρ,C1(ω),

〈ξc, ξb〉(C2) =∫

Ω

ξc,C2(ω)ξb,C2(ω) dPρ,C2(ω).

Если C1 �= C2, то мы не сможем повторить операции с инте-гралами, которые были использованы при доказательстве теоре-мы 4.1. Мы не сможем получить неравенство Белла, содержащеетретью ковариацию:

〈ξa, ξc〉(C3) =∫

Ω

ξa,C3(ω)ξc,C3(ω) dPρ,C3(ω).

Для получения неравенства Белла нужно предположить, что

C1 = C2 = C3.

В контекстуальном подходе возникает не неравенство Белла,а его обобщение, см. [10], которое не противоречит эксперимен-тальным данным.

Специальная форма контекстуальности, основанная на усло-вии невоспроизводимости данных, была изучена В. Де Баере[85–88]. Он также пришел к выводу, что неравенство Белланевыводимо при учете зависимости от контекста.

Хорошо известная проблема эффективности детекторовтоже может быть представлена как форма контекстуальности.В этом подходе различные контексты индуцируют различныевыборки (ансамбли) пар частиц, см. [247, 228, 229, 116, 24, 26].

Те же самые контекстуальные контраргументы могут бытьвыдвинуты против стандартных доказательств неравенства Виг-нера (теорема 4.2) и неравенства Клаузера–Хорне–Шимони–Хол-та (теорема 4.3).

Перейдем к формализации соответствия между классиче-ской и квантовой моделями в случае контекстуальной зави-симости. Обозначим множество всех контекстов символом C.Предположим, что на C определена некоторая вероятностнаямера Q. Здесь Q(C) для C ∈ C — вероятность реализации кон-


текста C. Вместо вырожденных отображений j : V (Ω) → Ls(H)и i : S(Ω) → D(H) мы рассмотрим случайные отображения

i : C × Ls(H) → V (Ω), i : C × D(H) → S(Ω).

Для любого контекста C (рассматриваемого как случайныйпараметр) и любой квантовой наблюдаемой a определена (един-ственная) величина ξ(ω) = i(C, a)(ω), и для любого квантово-го состояния ρ определена единственная вероятностная мераP = i(C, ρ). Однако и ξ, и P должны рассматриваться как функ-ции дополнительного случайного параметра C.

В этом формализме можно сформулировать следующую ин-тересную проблему.

Какова вероятность получить наборы статистическихданных, которые будут удовлетворять неравенству Белла?

Так как в эксперименты вовлечены огромные множества фи-зических параметров (например, в лазере, оптических кристал-лах, магнитах Штерна–Герлаха), то естественно предположить,что вероятность появления фиксированного C ∈ C равна нулю,т. е. вероятность Q на множестве контекстов C равна нулю:

Q(C) = 0 (10.1)

для любого C ∈ C.Теорема 10.1. При условии (невоспроизводимости) (10.1)

вероятность получить статистические данные, которые бу-дут удовлетворять неравенству Белла, равна нулю.

Доказательство. Так как Q(C) = 0, то вероятность полу-чить в трех различных последовательностях измерений одини тот же комплекс физических условий, C = C1 = C2 = C3 равнанулю.

10.3. Неравенство Белла и эксперимент. Поскольку экс-периментальные статистические данные, полученные для различ-ных выборов поляризационных проекций, нарушают неравенствоБелла, обычно делается вывод, что квантовая механика несовме-стима с локальным реализмом 1).

1) Хотя в литературе неравенство Белла обычно рассматривается для про-екций спина электрона (как и в нашей книге), но реальные эксперименты былипроведены не для спина электрона, а для поляризации фотона. С электроннымипарами ничего не получается, поскольку не удается создать пары зацепленных(entanglet) электронов, для которых мы могли бы измерять спин на суще-


Таким образом, остается либо считать, что само предпо-ложение о существовании предквантовой классической модели(проецируемой на квантовую) было ложно, либо считать, чтосуществует действие на расстоянии: измерение, произведенноедля одной частицы, немедленно (быстрее скорости света) меняетсостояние другой.

Наш вероятностный анализ показал, что такая интерпрета-ция экспериментальных нарушений неравенства Белла не совсемобоснованна. При контекстуальном подходе неравенства типаБелла должны выполняться с вероятностью нуль. Конечно, веро-ятность нуль не означает, что ни в каком эксперименте не могутвозникнуть статистические данные, которые будут удовлетворятьнеравенству Белла. Но вероятность такого события пренебрежи-мо мала.

§ 11. Белловская контекстуальность и действиена расстоянии

В белловском подходе контексты полностью задаются на-блюдаемыми, представляемыми коммутирующими операторами.Таким образом, все микроусловия приготовления состояния и из-мерения игнорируются. Лишь совместное измерение a и b, длякоторых [ a, b ] = 0, рассматривается как источник контексту-альности. Пусть a ∈ Ls(H). Для Белла контексты a-измеренийзадаются лишь наблюдаемыми b, соизмеримыми с a. Итак, всеконтексты для a-измерения могут быть представлены в формеC ≡ Cb, b ∈ Ls(H) и [ a, b ] = 0.

Конечно, белловская контекстуальность тоже блокирует до-казательство неравенства Белла. Однако, как Белл всегда под-черкивал, если измерения наблюдаемых a и b проводятся в об-ластях, разделенных в пространстве, то его контекстуальностьможно получить лишь с помощью действия на расстоянии:

i(Cb, a)(ω) = ξa(Cb,ω).

ственном расстоянии друг от друга. Недавно были проведены экспериментыс зацепленными ионами. Неравенство Белла было нарушено. Однако в такихэкспериментах не удается гарантировать локальность. Не удается развестизацепленные ионы на достаточно большое расстояние друг от друга.

§ 12. О ценности аргументов Белла 159

Таким образом, классическая случайная величина не опреде-ляется только наблюдаемой a, но зависит также от измерения b,которое действует мгновенно на любом расстоянии.

§ 12. О ценности аргументов Белла

В принципе, аргументы Белла могли бы стимулировать ис-следования по поиску подтверждений гипотезы о действии нарасстоянии. Однако этого не случилось. Экспериментальноенарушение неравенств типа белловского рассматривается какокончательное доказательство существования квантовой нело-кальности.

Но мы видели, что белловская контекстуальность и ее ин-терпретация, как действия на расстоянии — это лишь одна измножества возможностей блокировать вывод неравенства Белла.Поскольку мы не имеем ни малейшего представления о реаль-ных свойствах соответствия между классической предквантовоймоделью и квантовой механикой, мы не знаем, что в реальностиблокирует вывод Белла.

Я лично предпочел бы отнести нарушение этого неравен-ства к нарушению условия равенства образов значений дляклассических и квантовых переменных или контекстуальности(и невоспроизводимости на микроуровне) условий приготовлениясостояния и измерения.

Вывод. Можно сказать, что основным следствием беллов-ских рассмотрений был расцвет технологий по работе с за-цепленными фотонами. Как и все предшествующие теоремыневозможности, «теорема Белла» не сыграла существеннойроли в прояснении оснований квантовой механики.

Гл а в а 7

ПРЕДКВАНТОВАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Вопрос о возможности построения предквантовой класси-ческой статистической модели обсуждается с первых дней со-здания квантовой механики. Козырями в этой игре являютсятеоремы невозможности. В настоящее время основной козырьсторонников несводимости квантовой механики к классическойтеории является теорема Белла. В гл. 6 мы уже представиликритический анализ предпосылок этой теоремы. Мы увидели,что эта теорема так же необоснованна с точки зрения физи-ки, как и все предыдущие теоремы. Напомним, что мы лишьприменили против теоремы Белла ту же стратегию, что и Беллприменял против теорем своих предшественников, в частностифон Неймана.

Итак, мы не считаем, что вопрос закрыт. Поэтому следуетпродолжать исследования, целью которых является выход запределы квантовой механики [10, 13, 18–26, 30, 31, 39, 42, 46,55–57, 60, 61, 68, 78, 80, 84–99, 110, 120, 136–141, 149, 162–216,225–227, 235–238, 244, 245, 253, 254, 269, 270, 283–287, 290].

В серии работ автора [197, 204, 209] была построена пред-квантовая модель, в которой роль скрытых переменных играютклассические поля. Пространство таких полей бесконечномерно.Таким образом, платой за квантовый детерминизм является бес-конечная размерность пространства.

В нашей теории — предквантовой классической статисти-ческой теории поля (ПТП) — квантовая структура возникает от-нюдь не как следствие особых физических законов в микромире,отличающихся коренным образом от законов макромира. Кванто-вый формализм — это следствие неполноты описания. Квантоваямеханика дает лишь некоторое приближенное описание клас-сических вероятностных процессов на предквантовых шкалахвремени и пространства. Квантовое исчисление вероятностей —это лишь исчисление для работы с квантовыми приближениямиклассических вероятностных средних.

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров 161

Первоначальный вариант ПТП был развит в формализмебесконечномерного фазового пространства, см. гл. 8.

Такой подход более нагляден с точки зрения классической ме-ханики, однако он гораздо более сложен математически, чем ве-роятностный подход этой главы. Здесь, чтобы получить кванто-вую механику, нужно лишь перейти от конечномерного фазовогопространства, Ω2n = Rn × Rn, к бесконечномерному фазовомупространству, Ω = L2(R3,R) × L2(R3,R), где L2(R3,R) — этопространство функций ϕ : R3 → R, суммируемых в квадрате помере Лебега. Затем нужно разложить интеграл по Ω, представ-ляющий классическое предквантовое среднее, по малому пара-метру κ (дисперсии предквантовых флуктуаций), и квантовоесреднее (задаваемое с помощью операторного следа) возникнетв качестве главного члена в этом ассимптотическом разложениипо κ. Однако этот подход весьма сложен с математической точкизрения, так как необходимо рассматривать интегралы по бес-конечномерным пространствам 1). Элементы фазового простран-ства Ω интерпретируются как классические векторные поля:

ξ(x) =(q(x)p(x)

),

где q ∈ L2(R3,R) — «координатное поле» и p ∈ L2(R3,R) —«импульсное поле». Рассматриваются ансамбли этих полей, кото-рые представляются мерами на Ω, и функционалы полей, которыепредставляются гладкими функциями f : Ω → R.

Чтобы избежать математических трудностей, мы на первомэтапе изложения ПТП не будем вдаваться в детальное представ-ление бесконечномерной симплектической структуры, лежащейв основе ПТП. Мы изложим ПТП как формализм асимптотиче-ского разложения вероятностных средних.

§ 1. Квантовая механика для советскихморских офицеров

Этот параграф книги возник в результате бесед с моим тестемАлександром Петровичем Шустовым, капитаном второго рангав отставке. Я имею обыкновение «обкатывать» новые теории насвоей жене Ольге и во время одной из таких бесед о ПТП

1) Заметим, что мы рассматриваем обычные интегралы Лебега по гильбер-тову пространству, а не интегралы Фейнмана по комплексным псевдомерам.


162 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля

(на даче тестя в Севастополе у моря за бутылочкой домашнеговина) я заметил, что тесть очень легко «вошел в тему». Болеетого, он заметил, что вещь-то это вполне понятная и ее можнонайти в учебниках по теории вероятностей, которые использова-лись в военно-морских и артиллерийских училищах. Здесь же надаче из стопки старых книг он достал учебник Елены СергеевныВентцель «Теория вероятностей» [5], и я с удивлением понял, чтоосновные моменты ПТП могут быть извлечены из этой книги.Далее мы следуем изложению Вентцель [5, с. 238–235].

1.1. Приближенные методы вычисления математическихожиданий. Важным разделом классической теории вероятно-стей является аппарат нахождения числовых характеристик слу-чайных величин.

Этот аппарат во многих случаях практики позволяет на-ходить числовые характеристики функций случайных величин(в первую очередь — математическое ожидание и дисперсию) почисловым характеристикам аргументов, оставляя совершеннов стороне законы распределения. Такие методы непосредствен-ного определения числовых характеристик применимы, главнымобразом, к линейным функциям.

На практике очень часто встречаются случаи, когда иссле-дуемая функция случайных величин, хотя и не является строголинейной, но практически мало отличается от линейной и прирешении задачи может быть приближенно заменена линей-ной. Это связано с тем, что во многих практических задачахслучайные изменения фигурирующих в них величин выступаюткак незначительные «погрешности», накладывающиеся на основ-ную закономерность. Вследствие сравнительной малости этихпогрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не бу-дучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов,оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайныхизменений.

Действительно, из математики известно, что любая непре-рывная дифференцируемая функция в достаточно узких преде-лах изменения аргументов может быть приближенно замененалинейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, темменьше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближефункция к линейной. Если область практически возможных зна-чений случайных аргументов настолько мала, что в этой областифункция может быть с достаточной для практики точностью ли-


неаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можноприменить к последней тот аппарат числовых характеристик,который разработан для линейных функций. Зная числовые ха-рактеристики аргументов, можно будет найти числовые харак-теристики функции. Конечно, при этом мы получим лишь при-ближенное решение задачи, но в большинстве случаев точногорешения и не требуется.

При решении практических задач, в которых случайные фак-торы сказываются в виде незначительных возмущении, налагаю-щихся на основные закономерности, линеаризация почти всегдаоказывается возможной именно в силу малости случайных воз-мущений.

Рассмотрим, например, задачу внешней баллистики о движе-нии центра массы снаряда. Дальность полета снаряда опреде-ляется как некоторая функция условий стрельбы — угла бро-сания θ0, начальной скорости v0 и баллистического коэффици-ента c:

X = ϕ(θ0, v0, c). (1.1)

Функция (1.1) нелинейна, если рассматривать ее на всем диа-пазоне изменения аргументов. Поэтому, когда речь идет о реше-нии основной задачи внешней баллистики, функция (1.1) высту-пает как нелинейная и никакой линеаризации не подлежит. Од-нако есть задачи, в которых такие функции линеаризуются; этозадачи, связанные с исследованием ошибок или погрешностей.Пусть нас интересует случайная ошибка в дальности полета сна-ряда X, связанная с наличием ряда случайных факторов: неточ-ностью установки угла θ0, колебаниями ствола при выстреле,баллистической неоднородностью снарядов, различными весамизарядов и т. д. Тогда мы зафиксируем определенные номинальныеусловия стрельбы и будем рассматривать случайные отклоненияот этих условий. Диапазон этих случайных изменений, как пра-вило, невелик, и функция ϕ, не будучи линейной во всей областиизменения своих аргументов, может быть линеаризована в малойобласти их случайных изменений.

Метод линеаризации функций, зависящих от случайных ар-гументов, находит самое широкое применение в различных обла-стях техники. Очень часто, получив решение задачи обычнымиметодами «точных наук», желательно оценить возможные по-грешности в этом решении, связанные с влиянием не учтенныхпри решении задачи случайных факторов. В этом случае, как

6*


правило, задача оценки погрешности успешно решается мето-дом линеаризации, так как случайные изменения фигурирующихв задаче величин обычно невелики. Если бы это было не таки случайные изменения аргументов выходили за пределы областипримерной линейности функций, следовало бы считать техниче-ское решение неудовлетворительным, так как оно содержало быслишком большой элемент неопределенности.

1.2. Линеаризация функции одного случайного аргу-мента. На практике необходимость в линеаризации функцииодного случайного аргумента встречается сравнительно редко:обычно приходится учитывать совокупность нескольких случай-ных факторов. Мы увидим, что в квантовой механике учитывает-ся бесконечно много случайных факторов — флуктуаций случай-ного (классического) поля. Однако из методических соображе-ний удобно начать изложение с наиболее простого одномерногослучая.

Пусть имеется некоторая случайная величина X и нам из-вестны ее числовые характеристики: математическое ожида-ние mx и дисперсия Dx.

Допустим, что практически возможные значения случайнойвеличины X ограничены пределами α, β, т. е.

P (α < X < β) ≈ 1.

Имеется другая случайная величина Y , связанная с X функ-циональной зависимостью:

Y = ϕ(X), 1)

причем функция ϕ, хотя не является линейной, но мало отлича-ется от линейной на участке (α,β).

Требуется найти числовые характеристики величины Y —математическое ожидание my и дисперсию Dy.

Рассмотрим кривую y = ϕ(x) на участке α, β и заменим ееприближенно касательной, проведенной через точку с абсцис-сой mx. Уравнение касательной имеет вид

y = ϕ(mx) + ϕ′(mx)(x−mx).

Предположим, что интервал практически возможных зна-чений аргумента (α,β) настолько узок, что в пределах этого

1) Функцию ϕ на участке α, β предполагаем непрерывной и дифференци-руемой.


интервала кривая и касательная различаются мало, так что уча-сток кривой практически можно заменить участком касательной;короче, на участке (α,β) функция y = ϕ(x) почти линейна. Тогдаслучайные величины X и Y приближенно связаны линейнойзависимостью:

Y = ϕ(mx) + ϕ′(mx)(X −mx),

или, обозначая X −mx =◦X,

Y = ϕ(mx) + ϕ′(mx)◦X. (1.2)

К линейной функции (1.2) можно применить известныеприемы определения числовых характеристик линейных функ-ций. Математическое ожидание этой линейной функции найдем,подставляя в ее выражение математическое ожидание аргумен-та

◦X, равное нулю. Получим

my = ϕ(mx). (1.3)

Формула (1.3), разумеется, является приближенной, посколь-ку приближенной является и сама замена нелинейной функциилинейной.

Таким образом, мы решили поставленную задачу и пришлик следующим выводам.

Чтобы найти математическое ожидание почти линейнойфункции, нужно в выражение функции вместо аргументаподставить его математическое ожидание.

1.3. Линеаризация функции нескольких случайных ар-гументов. Имеется система n случайных величин:

(X1,X2, . . . ,Xn),

и заданы числовые характеристики системы: математическиеожидания

mx1 ,mx2 , . . . ,mxn

и корреляционная матрица

K = (Kij) =

⎛⎜⎜⎜⎝K11 K12 . . . K1n

K22 . . . K2n. . . . . .. . . . . .

Knn

⎞⎟⎟⎟⎠.


Случайная величина Y есть функция аргументов X1,X2, . . .. . . ,Xn:

Y = ϕ(X1,X2, . . . ,Xn), (1.4)

причем функция ϕ нелинейна, но мало отличается от линейнойв области практически возможных значений всех аргументов(короче, «почти линейная» функция). Требуется приближеннонайти числовую характеристику величины Y — математическоеожидание my. Повторяя в многомерном случае предыдущие рас-смотрения, основанные на формуле Тейлора первого порядка, мывновь получаем формулу (1.3).

В книге [5] можно найти многочисленные примеры примене-ния формулы (1.3) в бомбометании и артиллерийской стрельбе,см. с. 243–245.

1.4. Уточнение результатов, полученных методомлинеаризации. В некоторых задачах практики возникаетсомнение в применимости метода линеаризации, в связи с темчто диапазон изменений случайных аргументов не настолькомал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточнойточностью линеаризована.

В этих случаях для проверки применимости метода линеари-зации и для уточнения полученных результатов может быть при-менен метод, основанный на сохранении и разложении у функ-ции не только линейных членов, но и некоторых последующихчленов более высоких порядков и оценке погрешностей, связан-ных с этими членами. Для того чтобы пояснить этот метод,рассмотрим сначала наиболее простой случай функции одногослучайного аргумента. Случайная величина Y есть функцияслучайного аргумента X:

Y = ϕ(X), (1.5)

причем функция ϕ сравнительно мало отличается от линейнойна участке практически возможных значений аргумента X, новсе же отличается настолько, что возникает сомнение в примени-мости метода линеаризации. Для проверки этого обстоятельстваприменим более точный метод, а именно: разложим функцию ϕв ряд Тейлора в окрестности точки mx и сохраним в разложениипервые три члена:

y = ϕ(x) ≈ ϕ(mx) + ϕ′(mx)(x−mx) + 12ϕ′′(mx)(x−mx)2.


Та же формула будет, очевидно, приближенно связывать случай-ные величины Y и X:

Y = ϕ(mx) + ϕ′(mx)(X −mx) + 12ϕ′′(mx)(X −mx)2 =

= ϕ(mx) + ϕ′(mx)◦X + 1

2ϕ′′(mx)

◦X2. (1.6)

Пользуясь выражением (1.6), найдем математическое ожида-ние величины Y. Применяя теоремы о числовых характеристи-ках, имеем

my = ϕ(mx) + ϕ′(mx)M [◦X2] = ϕ(mx) + ϕ′(mx)Dx. (1.7)

По формуле (1.7) можно найти уточненное значение матема-тического ожидания и сравнить его с тем значением ϕ(mx), кото-рое получается методом линеаризации; поправкой, учитывающейнелинейность функции, является второй член формулы (1.7).

Совершенно аналогичный метод может быть применен поотношению к функции нескольких случайных аргументов:

Y = ϕ(X1,X2, . . . ,Xn).

Разлагая функциюy = ϕ(x1,x2, . . . ,xn)

в ряд Тейлора в окрестности точки mx1 ,mx2 , . . . ,mxn и сохраняяв разложении члены не выше второго порядка, приближенноимеемY = ϕ(mx1 ,mx2 , . . . ,mxn) +

+n∑i=1

(∂ϕ

∂xi

)mx

(Xi −mxi) + 12

n∑i=1

(∂2ϕ

∂x2i

)mx

(Xi −mxi)2 +

+∑i<j

(∂2ϕ

∂xi ∂xj

)mx

(Xi −mxi)(Xj −mxj ),

или, вводя центрированные величины,

Y = ϕ(mx1 ,mx2 , . . . ,mxn) +n∑i=1

(∂ϕ

∂xi

)mx

◦X i +

+ 12

n∑i=1

(∂2ϕ

∂x2i

)mx

◦X2i +

∑i<j

(∂2ϕ

∂xi ∂xj

)mx

◦X i

◦Xj , (1.8)


где индекс m по-прежнему обозначает, что в выражение длячастной производной вместо аргументов Xi подставлены их мате-матические ожидания mxi . Применяя к формуле (1.8) операциюматематического ожидания, имеем

my = ϕ(mx1 ,mx2 , . . . ,mxn) + 12

n∑i=1

(∂2ϕ

∂x2i

)mxDxi +

+∑i<j

(∂2ϕ

∂xi ∂xj

)mxKij , (1.9)

где Kij — корреляционный момент величин Xi, Xj .В наиболее важном для практики случае, когда аргументы

X1,X2, . . . ,Xn некоррелированы, формула (1.9) принимает вид

my = ϕ(mx1 ,mx2 , . . . ,mxn) + 12

n∑i=1

(∂2ϕ

∂x2i

)mxDxi . (1.10)

Второй член формулы (1.10) представляет собой поправку нанелинейность функции.

Мое замечание к формуле (1.9) состоит в том, что ее можнозаписать в виде, не зависящем от системы координат. А именно,используя след матриц (который не зависит от выбора орто-нормированного базиса) и вводя матрицу вторых производныхотображения ϕ(x1, . . . ,xn) (гессиан),

ϕ′′(mx) =(∂2ϕ

∂x2i

(mx)),

перепишем формулу (1.10) в виде

my = ϕ(mx) + 12

TrKϕ′′(mx).

Рассмотрим теперь класс функций ϕ, таких что

ϕ(0) = 0.

Конечно, любую функцию ϕ можно перевести в этот класс спомощью сдвига ϕ(x)− ϕ(0). Получаем следующую формулу дляприближенного вычисления математического ожидания:

my = 12

TrKϕ′′(mx).


И, наконец, рассматривая центрированный случайный вектор X,т. е. mx = 0, получаем формулу

my = 12

TrKϕ′′(0). (1.11)

1.5. Обсуждение возможных следствий из приближеннойформулы для средних. Читатель уже, конечно, обратил вни-мание, что формула (1.11), которая была получена с помощьюразложения в ряд Тейлора, совпадает с формулой для средних,которая постулируется в квантовой механике. Нужно лишь рас-

смотреть операторы A = ϕ′′(0)2

и ρ = K

TrK. Первый оператор

симметричен (как гессиан) и он является «квантовым наблю-даемым». Второй оператор неотрицателен, симметричен и в силунормировки имеет единичный след. Следовательно, ρ может бытьинтерпретирован как «квантовое состояние» (оператор плотностифон Неймана). Мы получаем следующую формулу:

my = κTr ρA, (1.12)

где κ = TrK — след корреляционной матрицы. Если нормироватьслучайную величину y на κ: yκ = y

κ, то получим

myκ = Tr ρA. (1.13)

Следует отметить, что члены более высоких порядков, кото-рыми мы пренебрегли в (1.12), имеют порядок O(κ3/2), а длягауссовой случайной величины X получаем порядок O(κ2). Зна-чит (в результате деления правой и левой части (1.12)), получа-ем, что myκ = Tr ρA с точностью до O(κ).

Давайте теперь пофантазируем. Представим, что имеетсяцивилизация, которая в силу каких-либо причин не разви-ла обычной теории вероятностей, основанной на теории меры.И в какой-то области науки было замечено, что среднее могутвычисляться по формуле (1.13). Если κ очень мало, то этаформула будет работать очень хорошо. Может возникнуть целаяидеология: открыта новая форма случайности и рассматриваемаяобласть науки фундаментально отличается от других областейи т. д.

Возможно, что нечто похожее произошло в квантовой ме-ханике. Конечно, человеческая цивилизация открыла (в лицеКолмогорова) вероятностное описание с помощью теории меры.


Однако у меня нет никакой уверенности в том, что создателиквантовой механики когда-либо имели курс теории вероятно-сти в объеме учебника Ветцель [5]. Не следует забывать, чтоаксиоматика классической теории вероятностей была созданаА.Н. Колмогоровым лишь в 1933 г. [7], т. е. примерно через8–10 лет после возникновения основ современной квантовоймеханики.

§ 2. Классические и квантовые статистические модели

Общая схема классической статистической механики можетбыть изложена следующим образом. Заданы:

а) пространство состояний Ω;б) пространство статистических состояний S(Ω) (описываю-

щих ансамбли систем с пространством состояний Ω), элементыS(Ω) задаются вероятностными мерами на Ω;

в) пространство физических переменных V (Ω), элементыV (Ω) задаются функциями f : Ω → R, где R — множество веще-ственных чисел;

г) среднее физической переменной f в состоянии μ определя-ется интегралом:

〈f〉μ =∫

Ω

f(ω) dμ(ω).

Итак, классическая статистическая модель — это пара M == (S(Ω),V (Ω)). Например, в классической статистической ме-ханике Ω = Rn × Rn — фазовое пространство, S(Ω) — про-странство вероятностных мер на Ω, V (Ω) — пространство C∞ —функций на Ω.

Общая схема квантовой механики (которую мы рассматрива-ем как статистическую теорию) может быть коротко изложенав следующем виде. Заданы:

а) комплексное гильбертово пространство Hc (нормирован-ные элементы ψ ∈ Hc, ‖ψ‖ = 1, называются чистыми состоя-ниями);

б) статистические состояния, определяемые операторамиплотности ρ: ρ∗ = ρ, ρ � 0, Tr ρ = 1 (пространство операторовплотности обозначим через �(Hc));

в) физические наблюдаемые, представляемые непрерывнымисамосопряженными операторами: A = A∗ (пространство наблю-даемых обозначим через Ls(Hc));

§ 2. Классические и квантовые статистические модели 171

г) среднее наблюдаемой A в состоянии ρ определяется фор-мулой

〈A〉ρ = Tr ρA.

Итак, квантовая статистическая модель — это пара N == (�(HC),Ls(HC)).

Проблема скрытых параметров (или полноты квантовой ме-ханики) — это проблема построения некоторой классическоймодели M , которая будет индуцировать квантовую модель N.При этом значение термина «индуцировать» пока не определено.В различных теоремах невозможности этот термин определяет-ся различными системами условий (например, «индуцировать»в смысле фон Неймана — это отнюдь не то же самое, что«индуцировать» в смысле Белла).

С математической точки зрения речь идет о связи квантовыхсредних,

〈A〉ρ = Tr ρA, (2.1)

где A — квантовое наблюдаемое (самосопряженный оператор),а ρ — квантовое состояние (оператор плотности фон Неймана),с классическими средними,

〈f〉μ =∫

Ω

f(ω) dμ(ω), (2.2)

где функция f : Ω → R — классическая физическая переменная(Ω — это пространство скрытых параметров; в физике оно обыч-но обозначается Λ), а μ — вероятность на Ω. В серии работавтора [197, 204, 209] эта проблема была переформулированав следующем виде. Не является ли квантовое среднее (2.1)аппроксимацией классического среднего (2.2)? То есть нельзяли разложить классическое среднее (2.2) по некоторому маломупараметру модели κ так, чтобы главный член этого разложениясовпадал с квантовым средним (2.1)? Оказывается, что при спе-циальном выборе пространства скрытых параметров Ω, а именноиспользуя пространство классических полей, это можно сделать.При этом отображение классических величин (функций) в кван-товые (операторы) таково:

f → A = f ′′(0)2

, (2.3)


а классических статистических состояний (вероятностных мер)в квантовые (операторы плотности фон Неймана):

μ→ ρ. (2.4)

Основная проблема, которая не была решена в [197, 204, 209], —это оценка величины малого параметра κ. Без такой оценкиневозможна экспериментальная верификация нашей предкван-товой модели ПТП. Мы предлагаем решение этой проблемы,используя вероятностный подход и оперируя с двумя шкаламивремени — с квантовой и предквантовой. Наш малый параметр κсвязывает квантовое и предквантовое времена:

t = κs. (2.5)

В статье [197] мы отождествляли малый параметр моделис постоянной Планка. По-видимому, такая интерпретация несостоятельна, так как, во-первых, параметр должен быть безраз-мерным, а во-вторых, он должен быть малым с точки зренияквантовой механики (а постоянная Планка может быть выбранаравной 1 во всех квантовых расчетах). В последующих рабо-тах мы отказались от такой интерпретации малого параметраи использовали символ α. Однако это вызвало нарекания, таккак α обычно используется для обозначения постоянной тонкойструктуры. Поэтому мы будем использовать новый символ κ.

§ 3. Винеровский процесс в пространстве полей

Напомним, что винеровский процесс — это случайный про-цесс с непрерывным временем, т. е. отображение

w : [0,∞) × Ω → R,

где (Ω,� ,P) — колмогоровское вероятностное пространство, на-званный в честь Норберта Винера. Часто w(t,ω) называетсяброуновским движением. Этот процесс описывает траектории ча-стицы, движущейся в сосуде с жидкостью под действием столк-новений с молекулами жидкости. Впервые процесс броуновскогодвижения был введен на математическом уровне строгости фран-цузким финансовым математиком Башелье [43] для описаниякурсов акций на парижской бирже. Большой вклад в изучениеброуновского движения в статистической физике внесли Эйн-штейн и Смолуховский. Норберт Винер доказал, что мера P нафункциональном пространстве C([0,∞),R) непрерывных функ-

§ 3. Винеровский процесс в пространстве полей 173

ций ω : [0,∞) → R, построенная по конечномерным распреде-лениям броуновского движения, счетно-аддитивна. При этомон, по-существу, скопировал конструкцию, использовавшуюсяпри построении интеграла Даниеля. Затем конструкция Винера(а по-существу, Даниеля) была использована Колмогоровым придоказательстве счетной аддитивности меры P на пространствевсех траекторий (не обязательно непрерывных), соответствую-щей конечномерным вероятностным распределениям произволь-ного случайного процесса ξ(t,ω), см. [7].

Имена Норберта Винера и Андрея Николаевича Колмогоровахорошо известны во всем мире. А вот о Перси Даниеле знаетлишь узкий круг математиков. Интересующийся читатель можетпрочитать соответствующую статью в википедии (которая, ко-нечно, не содержит и следа вышеприведенного обсуждения).

Напомним, что конечномерными распределениями случайно-го процесса ξ(s,ω) называются вероятностные распределенияслучайных векторов (ξ(s1,ω), . . . , ξ(sm,ω)), s1 � s2 � . . . � sm.

В силу теоремы Винера в качестве пространства Ω длявинеровского процесса может быть выбрано пространство всехнепрерывных траекторий: Ω = C([0,∞),R), т. е. случайный па-раметр ω отождествляется с некоторой непрерывной функциейω : [0,∞) → R. В общем случае, т. е. для произвольного слу-чайного процесса ξ(s,ω), в силу теоремы Колмогорова мож-но выбрать Ω = F ([0,∞),R) — пространство всех функцийω : [0,∞) → R.

Винеровский процесс может быть охарактеризован следую-щим образом:

а) w(0,ω) = 0 для почти всех ω ∈ Ω;б) для почти всех ω ∈ Ω траектории w(s,ω) непрерывны;в) w(s,ω) имеет независимые приращения с распределением

w(s2,ω) − w(s1,ω) ∼ N(0, s2 − s1),

где 0 � s1 � s2. Здесь N(a,σ2) обозначает нормальное распреде-ление со средним a и дисперсией σ2:

1√2πσ2

e− (x−a)2

2σ2 .

В многомерном случае стандартный винеровский процессопределяется как вектор, состоящий из независимых винеров-


ских процессов, w(s,ω) = (w1(s,ω), . . . ,wn(s,ω)), т. е.

w(s2,ω) − w(s1,ω) ∼ N(0, (s2 − s1)I),

где I — единичная матрица. В общем случае рассматриваютсяпроцессы с зависимыми координатами

w(s2,ω) − w(s1,ω) ∼ N(0, (s2 − s1)ρ),

где ρ � 0 — некоторая симметричная матрица (т. е. приращениеимеет ковариационную матрицу (s2 − s1)ρ). Мы будем обозна-чать такой процесс символом wρs(ω) (≡wρ(s,ω)).

Без особых трудностей конструкция Винера–Даниеля длямеры на пространстве непрерывных функций может быть пере-несена на случай процессов, принимающих значения в бесконеч-номерных (например, гильбертовых) пространствах.

Итак, мы хотим построить теорию аппроксимации функцийот случайных векторов в бесконечномерном случае (так как есте-ственное пространство скрытых параметров — это бесконечно-мерное гильбертово пространство L2(R3)). Мы ограничиваемсягауссовыми величинами (т. е. на предквантовом уровне имеетместо гауссова стохастичность) и рассматриваем случайные про-цессы.

Для упрощения изложения мы рассмотрим вещественныйвариант квантовой механики. Здесь операторы A и ρ в фор-муле (2.1) действуют в вещественном гильбертовом простран-стве H. Скалярное произведение в этом пространстве обозначим( · , · ).

Пусть ρ — ядерный (Tr ρ < ∞) положительный оператори Tr ρ = 1. Рассмотрим H-значный винеровский процесс wρs ,соответствующий этому оператору:

E(ϕ,wρs) = 0, ϕ ∈ H,

E(ϕ1,wρs)(ϕ2,w

ρs) = s(ρϕ1,ϕ2), ϕ1,ϕ2 ∈ H.

Напомним хорошо известную формулу для линейного изме-нения временной шкалы для винеровского процесса:

вероятностное распределение {wρκs : s � 0} =

= вероятностное распределение {√κwρs : s � 0}.

§ 4. Квантовая механика как теория измерений для «медленной» 175

§ 4. Квантовая механика как теория измеренийдля «медленной» временной шкалы

4.1. Квантовая и предквантовая временные шкалы.Предполагается, что квантовая механика — это теорияизмерений (как это и предполагали Бор, Гейзенберг, Паули,Фок, фон Нейман). Имеется «медленная шкала времени» —«квантовая шкала», по отношению к которой измерения зани-мают мгновения. Обозначим это время символом t. Кроме того,рассматривается «быстрая шкала времени» — «предквантоваяшкала», по отношению к которой измерения длятся очень долго.

Рассмотрим предквантовый винеровский процесс wρs(ω), опи-сывающий предквантовые флуктуации, и соответствующий кван-товый винеровский процесс

W ρt = wρκs, (4.1)

где κ — малый параметр. Рассмотрим функцию f : H → R и еесреднее

Ef(W ρt )

∣∣t=κ

. (4.2)

Это среднее относительно квантового мгновения в предкванто-вой шкале является результатом случайных флуктуаций в тече-ние единичного интервала времени.

Если выбрать в качестве H пространство L2(R,R) квадра-тично суммируемых функций ψ : R3 → R, то мы получим ана-лог броуновского движения в пространстве классических полей.Классическое поле в результате «столкновений со средой» имеетвесьма сложную (но все же непрерывную) траекторию в L2. Чтоявляется предквантовой средой? Это непростой вопрос. Мож-но говорить о взаимодействии с «полем вакуума». О физиче-ской природе этого «классического» поля можно только строитьпредположения. По-видимому, наиболее естественно связать егос гравитацией.

С точки зрения «квантового времени» 1) измерение винеров-ского среднего (4.2) от классической переменной f : H → R про-

1) В соответствии с интерпретацией квантовой механики как теории из-мерений мы называем «квантовым временем» время измерительных процедур,«лабораторное время». Наша терминология не является общепринятой. Обычнопод «квантовым временем» понимается временная шкала, которая существеннобыстрее, чем классическая временная шкала. Например, в качестве «квантово-го времени» часто рассматривается планковское время. Для нас планковскоевремя — это скорее один из возможных кандидатов на «предквантовое время».


исходит за мгновение. Естественно, что это должна быть оченьмалая величина. Поэтому, чтобы получить нетривиальный ре-зультат, следует произвести усиление классической физическойпеременной f(ψ).

Оказывается, что адекватным усилением является

fκ(ψ) = f(ψ)κ

. (4.3)

Теорема 4.1. Пусть функция f ∈ C3(H) (где под диффе-ренцированием понимается дифференцирование по Фреше нагильбертовом пространстве), f(0) = 0, и имеет место оценка

‖f (3)(ψ)‖ � aferf‖ψ‖, ψ ∈ H. (4.4)

Тогда винеровское среднее (4.2) для усиления (4.3) имеет сле-дующую асимптотику по малому параметру κ:

Efκ(W ρκ ) = 1

2E(f ′′(0)wρ1,w

ρ1) +O(κ), κ→ 0. (4.5)

Схема доказательства. С помощью κ-шкалирования време-ни для H-значного винеровского процесса представляем среднеев первой части равенства (4.5) в виде

Efκ(W ρκ ) = 1

κEf(

√κwρ1). (4.6)

Затем раскладываем f(√κψ) по малому параметру

√κ . Детали

могут быть найдены в гл. 8.

4.2. Предквантовая классическая статистическая теорияполя. В качестве пространства скрытых параметров выбирает-ся пространство Ω = L2(R3,R), в качестве пространства клас-сических переменных — функциональное пространство V (Ω),состоящее из функционалов f(ψ), удовлетворяющих условиямтеоремы 4.1. Статистические состояния описываются винеров-скими процессами W ρ

t . Обозначим пространство этих состоянийсимволом S(Ω). Итак, ПТП — это классическая стохастическаямодель: Mкл = (S(Ω),V (Ω)).

Рассмотрим также квантовую модель Mкв = (D(Ω),Ls(Ω)),где D(Ω) — это пространство операторов плотности, а Ls —это пространство ограниченных самосопряженных операто-ров A : Ω → Ω.


Рассмотрим отображение T : Mкл → Mкв, задаваемое паройотображений:

T : S(Ω) → D(Ω), T (W ρt ) = ρ, (4.7)

T : V (Ω) → Ls(Ω), T (f) = 12f ′′(0). (4.8)

Теорема 4.2. Оба отображения, (4.7) и (4.8), являютсясюръекциями. Отображение (4.7) инъективно, но отображе-ние (4.8) имеет нетривиальное ядро. Кроме того, это отоб-ражение линейно.

4.3. Оценка малого параметра модели. Для того чтобынайти малый параметр κ, мы должны выбрать квантовую и пред-квантовую временные шкалы. В качестве первой мы выберематомную временную шкалу, а в качестве второй планковскую.Начнем с планковской шкалы. Здесь в качестве единицы выби-рается планковское время:

tpq = tP =√hG

c5≈ 5,391 · 10−44 с. (4.9)

Заметим, что планковское время может быть представлено в виде

tP = h

EP, (4.10)

где планковская энергия определяется как

EP =

√hc5

G≈ 1,956 · 109 Дж. (4.11)

Единица планковского времени пренебрежимо мала с точки зре-ния современных измерительных технологий. А вот планковскаяэнергия относительно велика. Нам понадобится также планков-ская масса:

mP =√hc

G= EP

c2≈ 2,176 · 10−8 кг. (4.12)

Это также относительно большая масса.Напомним, что Планк ввел комбинации фундаментальных

констант c, G и h, имеющие размерность энергии, массы и вре-мени в начале двадцатого века. С нашей точки зрения фунда-ментальны EP , mP и tP , а единица квантового действия получа-ется как

h = EP tP . (4.13)


Теперь найдем квантовую временную шкалу, используя элек-трон в качестве пробной частицы. Как мы знаем, me ≈ 9,109 ·×× 10−31 кг и ей соответствует энергетическая шкала Ee =mec2 ≈≈ 8,181 · 10−14 Дж. Заметим, что Ee = EH

α2 , где EH = h2

mta20

≈≈ 4,359 · 10−18 Дж — энергия Хартри. Здесь α — константатонкой структуры, а a0 — радиус Бора. Итак, мы получаемединицу квантового времени

tq = te = h

Ee≈ 1,288 · 10−21 с. (4.14)

Поэтому получаем следующий параметр линейной связи междушкалами:

κ = tPte

≈ 4,185 · 10−23. (4.15)

Как и следовало ожидать, это безразмерная величина.Величина эта пренебрежимо мала. Поэтому для электрона

невозможно заметить отклонения средних (и вероятностей), ко-торые предсказываются квантовой теорией, от соответствующихПТП-величин. Заметим, однако, что

κ = me

mP. (4.16)

В общем случае, рассматривая квантовую систему массы m, мыполучаем

κ = m

mP. (4.17)

Значит, с ростом массы погрешность аппроксимации ПТП-сред-них с помощью квантовых Tr -средних растет линейно.

Таким образом, ПТП предсказывает, что для систем с мак-роскопическими массами порядка планковской массы кван-товая механика неприменима. Однако даже для тяжелыхэлементарных частиц квантовая погрешность пренебрежимомала и могут использоваться предсказания квантовой ме-ханики. Например, рассмотрим квантовую временную шкалу,выбирая мюон в качестве калибровочной частицы:

κmuon = mmuon

mP∼ 10−20.

Конечно, для мюона квантовая погрешность в 1000 раз больше,чем для электрона. Но, она по-прежнему пренебрежимо мала.


Далее рассмотрим нейтронную шкалу времени. Здесь

κneuron = mneuron

mP∼ 10−19.

Это в десять раз хуже, чем для мюона, но по-прежнемупренебрежимо мало.

Рассмотрим теперь гипотетические частицы, которые могутбыть обнаружены с помощью нового поколения ускорителей. Насинтересуют тяжелые частицы. Поэтому рассмотрим хигсовскийбозон. Некоторые модели с суперсимметриями предсказывают

mHiggs ∼ 120 ГэВ (или меньше).

ЗдесьκHiggs ∼ 10−17.

В соответствии с ПТП хигсовские бозоны еще менее кванто-вые, чем нейтроны. Но по-прежнему отклонение от классическойтеории поля пренебрежимо мало. Если рассмотреть не супер-симметричные модели, то (при условии, что стандартная модельверна до планковской энергетической шкалы) можно ожидатьmHiggs ∼ 130–190 ГэВ. Однако это не меняет порядок парамет-ра κ. Даже, предполагая, что за пределами стандартной моделиможет возникнуть новая физика на ТэВ-шкале энергий, прихо-дим к оценке mHiggs ∼ 1 ТэВ. А следовательно, κHiggs ∼ 10−16.

Заключение. Предквантовая классическая статистическаятеория предсказывает, что квантовая механика является прибли-женной вероятностной моделью. Погрешность квантовых стати-стических предсказаний растет линейно с ростом массы части-цы. Вероятностный характер квантовых предсказаний являетсяследствием винеровских флуктуации классических полей (ана-лог броуновского движения в пространстве классических по-лей) на предквантовой шкале времени. При условии что предк-вантовая шкала определяется планковским временем, получаем,что разница между ПТП-средними (классическими интеграла-ми по пространству полей) и квантовыми средними порядка10−18–10−23, т. е. она пренебрежимо мала. Это объясняет уди-вительную точность предсказаний квантовой механики. Однако,если шкала предквантовых флуктуаций грубее, чем планковская,т. е. возникает надежда обнаружить нарушение вероятностныхпредсказаний квантовой механики в обозримом будущем.

Гл а в а 8

ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД

К ПРЕДКВАНТОВОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 1. Симплектическая геометрия на бесконечномерномфазовом пространстве и асимптотическое

представление квантовых средних гауссовымифункциональными интегралами

Хорошо известно, что в физике параллельно (и практическинезависимо друг от друга) используются две математическиемодели статистического характера: классическая статистическаямеханика с фазовым пространством состояний Ω2n = Rn × Rn

и квантовая механика с комплексным гильбертовым простран-ством состояний. Обычно подчеркиваются различия между клас-сическими и квантовыми моделями, но наша цель — показать,что между этими математическими структурами имеется теснаясвязь. Мы увидим, что если вместо конечномерного фазовогопространства Ω2n рассмотреть бесконечномерное фазовое про-странство Ω = H × H, где H — вещественное (сепарабельное)гильбертово пространство, то основные математические струк-туры квантового формализма могут быть получены из асимпто-тических разложений соответствующих структур классическойстатистической механики на фазовом пространстве Ω = H ×H.Надлежащий малый параметр задается дисперсией гауссовоймеры на Ω = H × H. Симплектическая структура бесконечно-мерного фазового пространства играет ключевую роль в нашемподходе. В частности, гауссовы меры, индуцирующие квантовыесредние, должны быть совместимы с симплектической структу-рой. Уравнения Шрёдингера, Гейзенберга и фон Неймана полу-чаются как образы гамильтоновой динамики на Ω.

Наше основное нововведение — это рассмотрение асимп-тотических разложений интегралов на бесконечномерном фазо-вом пространстве относительно дисперсии как малого параметра

§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном фазовом 181

модели. Такая асимптотическая конструкция нетривиальна длянеквадратичных функционалов. Из нее также следует, что дина-мическое уравнение — это нелинейное уравнение Шрёдингера,получающееся из общей системы бесконечномерных гамильтоно-вых уравнений. Обычные линейные уравнения отвечают квадра-тичным гамильтонианам, см. [204, 209].

§ 2. Гамильтонова механика на конечномерномфазовом пространстве и ее комплексное представление

Рассмотрим обычное классическое фазовое пространство Ω == Q× P с Q = P = Rn. Состояния представляются точками ψ == (q, p) ∈ Ω, а эволюция состояний описывается гамильтоновыми

уравнениями q = dHdp

, p = −dHdq

, где H(q, p) есть гамильтониан

(вещественнозначная функция на фазовом пространстве Ω).

Рассмотрим скалярное произведение (x, y) =n∑j=1

xjyj на Rn

и определим скалярное произведение на Ω формулой (ψ1,ψ2) == (q1, q2) + (p1, p2). Нас будут интересовать квадратичные га-

мильтонианы H(q, p) = 12

(Hψ,ψ), где H : Ω → Ω — симмет-рический оператор. Заметим, что любой (R-линейный) опера-

тор A : R2n → R2n можно записать в виде A =(A11 A12

A21 A22

), где

A11 : Q → Q, A12 : P → Q, A21 : Q → Q, A22 : P → P. Линей-ный оператор A : R2n → R2n является симметрическим, еслиA∗

11 = A11, A∗22 = A22, A∗

12 = A21, A∗21 = A12. Поэтому квадратич-

ные гамильтонианы записываются в виде H(q, p) = 12

[(H11q, q) ++ 2(H12p, q) + (H22p, p)]. Соответствующие им гамильтоновыуравнения линейны: q = H21q + H22p, p = −(H11q + H12p). Какобычно, зададим каноническую симплектическую структуру нафазовом пространстве Ω = Q× P с помощью симплектическогооператора

J =(

0 1−1 0

).

(Здесь блоки «±1» означают (n × n)-матрицы с ±1 на диагона-ли.) Тогда гамильтоновы уравнения можно записать в оператор-

182 Гл. 8. Гамильтонов подход

ном видеψ =

(qp

)= JHψ. (2.1)

Таким образом,

ψ(t) = Utψ0, где Ut = eJHt. (2.2)

Отображение ψ → Utψ — линейный гамильтонов поток на фазо-вом пространстве Ω.

Далее мы будем рассматривать только J-инвариантные квад-ратичные формы. Легко видеть, что J-инвариантность квадра-тичной формы fA(ψ) = (Aψ,ψ), где A : Ω → Ω — линейныйсимметрический оператор, эквивалентна тому, что A коммути-рует с симплектическим оператором J. Рассмотрим множествоLsymp ≡ Lsymp(Ω) всех линейных операторов A : Ω → Ω, комму-тирующих с симплектическим оператором:

AJ = JA. (2.3)

Это множество представляет собой подалгебру в алгебре L(Ω)всех линейных операторов. Операторы из этой подалгебры будемназывать J-коммутирующими.

Предложение 2.1. A ∈ Lsymp(Ω) ⇐⇒ A =(

D S

−S D

).

Заметим, что оператор A ∈ Lsymp(Ω) является симметриче-ским тогда и только тогда, когда D∗ = D и S∗ = −S. Поэтомувсякий симметрический J-коммутирующий оператор на фазовомпространстве задается парой операторов (D,S), где D симмет-ричен, a S антисимметричен. Такой оператор индуцирует квад-ратичную форму fA(ψ) = (Aψ,ψ) = (Dp, q) + 2(Sp, q) + (Dp, p).

Рассмотрим оператор H ∈ Lsymp(Ω), т. е. H =(

R T

−T R

). Он

задает квадратичный гамильтониан H(q, p) = 12

(Hψ,ψ), который

можно записать в виде: H(q, p) = 12

[(Rp, p) + 2(Tp, q) + (Rq, q)],где R∗ = R и T ∗ = −T. Соответствующие гамильтоновы уравне-ния имеют вид

q = Rp− Tq, p = −(Rq + Tp). (2.4)

Предложение 2.2. Если гамильтониан J-инвариантен, тогамильтонов поток Ut (см. (2.2)) состоит из J-коммутирую-щих операторов: UtJ = JUt.

§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном фазовом 183

Пример 2.1 (одномерный J-инвариантный гармонический

осциллятор). Пусть H(q, p) = 12

[p2

m+ mk2q2

](мы обозначаем

частоту через k). Чтобы получить J-инвариантный гамильтони-

ан, рассмотрим случай, когда1m

= mk2. В этом случае m = 1k

и H(q, p) = k

2[p2 + q2], а гамильтоновы уравнения принимают вид

q = kp, p = −kq. Они отвечают симметрической J-коммутирую-

щей матрице H =(k 00 k

).

Определим симплектическую форму на фазовом простран-стве формулой

w(ψ1,ψ2) = (ψ1,Jψ2). (2.5)

Таким образом, w(ψ1,ψ2) = (p2, q1) − (p1, q2) для ψj = {qj , pj},j = 1, 2. Это кососимметрическая билинейная форма.

Предложение 2.3. Пусть A — симметрический оператор.Имеем: A ∈ Lsymp(Ω) тогда и только тогда, когда A симмет-ричен относительно симплектической формы

w(Aψ1,ψ2) = w(ψ1,Aψ2). (2.6)

Замечание 2.1 (келерова структура). Мы начали изложениене с произвольной симплектической формы на Ω, а с канони-ческой симплектической формы (2.5), отвечающей скалярномупроизведению (римановой метрике) на Ω. Это позволяет канони-чески ввести эрмитову метрику на комплексной реализации Ωc

пространства Ω. Таким образом, мы с самого начала работаемне на произвольном симплектическом многообразии, а на келе-ровом многообразии. При этом J-инвариантность естественновозникает как условие совместимости римановой метрики и сим-плектической структуры.

Введем на фазовом пространстве Ω комплексную структуру:Ωc = Q⊕ iP. Имеем: iψ = −p+ iq = −Jψ. При этом R-линейныйоператор A : Ωc → Ωc является C-линейным тогда и только тогда,когда A(iψ) = iAψ, что эквивалентно требованию A ∈ Lsymp(Ω).

Предложение 2.4. Множество L(Ωc) всех C-линейных опе-раторов совпадает с множеством Lsymp(Ω) всех J-коммути-рующих операторов.

Введем на Ωc комплексное скалярное произведение (эрмитовуметрику, см. замечание 6.1) посредством C-продолжения ве-щественного скалярного произведения: 〈ψ1,ψ2〉 = 〈q1 + ip1, q2 +


+ ip2〉 = (q1, q2) + (p1, p2) + i((p1, q2) − (p2, q1)). Таким образом,〈ψ1,ψ2〉 = (ψ1,ψ2)− iw(ψ1,ψ2), где w — симплектическая форма.Это каноническая эрмитова метрика на келеровом многообра-зии Ω.

C-линейный оператор A симметричен относительно ком-плексного скалярного произведения 〈 · , · 〉 тогда и только тогда,когда он симметричен относительно обеих вещественных би-линейных форм ( · , · ) и w( · , · ). Поскольку для A ∈ Lsymp(Ω)первое влечет второе, мы видим, что C-линейный оператор на Ωc

симметричен тогда и только тогда, когда он симметричен на ве-щественном пространстве Ω.

Предложение 2.5. Множество Ls(Ωc) всех C-линейныхсимметрических операторов совпадает с множествомLsymp, s(Ωc) всех J-коммутирующих симметрических опера-торов.

Заметим также, что для каждого J-коммутирующего операто-ра A его вещественный и комплексный сопряженные операто-ры (обозначаемые через A� и A∗) совпадают. Мы показали, чтоC-линейные симметрические операторы естественно возникаюткак комплексные представления J-коммутирующих симметриче-ских операторов.

Предложение 2.6. Комплексификация квадратичногоJ-инвариантного гамильтониана H(ψ) не меняет динамики.

Доказательство. Достаточно заметить, что w(Hψ,ψ) = 0,

откуда H(ψ) = 12〈Hψ,ψ〉 = 1

2[(Hψ,ψ) − iw(Hψ,ψ)] = 1

2(Hψ,ψ)

для ψ ∈ Ω.

По предложению 2.6, гамильтониан можно записать в виде

H(ψ) = 12〈Hψ,ψ〉, где H ∈ Ls(Cn), а гамильтоновы уравнения

(2.1) принимают комплексный вид

idψ

dt= Hψ. (2.7)

Все решения допускают комплексное представление

ψ(t) = Utψ, Ut = e−iHt.

Таково комплексное представление потоков, отвечающих квадра-тичному J-инвариантному гамильтониану.

§ 3. Шрёдингеровская динамика 185

§ 3. Шрёдингеровская динамикакак динамика с J-инвариантным гамильтонианомна бесконечномерном фазовом пространстве

Пусть Ωc — (бесконечномерное сепарабельное) комплексноегильбертово пространство с комплексным скалярным произве-дением 〈 · , · 〉. Обозначим через Ls ≡ Ls(Ωc) пространство всехнепрерывных C-линейных самосопряженных операторов на Ωc.Используется планковская система единиц: h = 1. Шрёдингеров-ская динамика на Ωc задается линейным уравнением

idψ

dt= Hψ, (3.1)

откудаψ(t) = Utψ, Ut = e−iHt/h. (3.2)

Мы видим, что это просто бесконечномерные варианты уравне-ний, полученных из гамильтоновых уравнений для квадратично-го J-инвариантного гамильтониана в процессе комплексифика-ции классической механики. Теперь мы можем обратить наширассуждения (заметив только, что фазовое пространство те-перь бесконечномерно) и представить шрёдингеровскую динами-ку (3.1) на комплексном гильбертовом пространстве как гамиль-тонову динамику на бесконечномерном фазовом пространстве.Подчеркнем, что эта гамильтонова динамика (2.1) есть динамикана всем фазовом пространстве Ω, а не на единичной сферегильбертова пространства! Гамильтонов поток ψ(t,ψ) = Utψ тожеопределен на всем фазовом пространстве Ω.

Рассмотрим R-линейный оператор J на Ω, заданный умно-жением на −i. Мы представляем комплексное гильбертово про-странство как Ωc = Q ⊕ iP , где Q и P суть два экземпляранекоторого вещественного гильбертова пространства, и пишемψ = q + ip. Подчеркнем, что здесь q и p не являются обычны-ми координатой и импульсом частицы: это их полевые аналоги(функции от x ∈ R3, если мы выберем Q = P = L2(R3)). Рас-смотрим вещественное фазовое пространство Ω = Q × P. Каки в конечномерном случае, имеем следующее предложение.

Предложение 3.1. Множество Ls(Ωc) всех непрерывныхC-линейных самосопряженных операторов совпадает с мно-жеством Lsymp, s(Ω) всех непрерывных J-коммутирующих са-мосопряженных операторов.


Рассмотрим квантовый гамильтониан H ∈ Ls(Ωc) 1). Он опре-деляет классическую функцию Гамильтона

H(ψ) = 12〈Hψ,ψ〉 = 1

2[(Rp, p) + 2(Tp, q) + (Rq, q)].

Соответствующие гамильтоновы уравнения на классическом фа-зовом пространстве Ω = Q × P , где Q и P суть экземплярывещественного гильбертова пространства, имеют вид

dq

dt= Rp− Tq,

dp

dt= −(Rq + Tp). (3.3)

Применяя к этой гамильтоновой системе уравнений процедурукомплексификации, мы, конечно, получим уравнение Шрёдинге-ра (3.1).

Пример 3.1. Рассмотрим важный класс гамильтонианов

H(q, p) = 12

[(Rp, p) + (Rq, q)],

где R — симметрический оператор. Соответствующие гамиль-тоновы уравнения имеют вид: q = Rp, p = −Rq. ВыберемH = L2(R3). Тогда q(x) и p(x) суть компоненты векторного поляψ(x) = (q(x), p(x)). Поля q(x) и p(x) можно назвать взаимноиндуцирующими: наличие поля p(x) индуцирует динамику поляq(x) и обратно (сравните с электрической и магнитной компонен-тами q(x) = E(x) и p(x) = B(x) классического электромагнитно-го поля). Квадратичную форму можно записать как

H(q, p) = 12

∫

R6

R(x, y)[q(x)q(y) + p(x)p(y)] dx dy

или какH(ψ) = 1

2

∫

R6

R(x, y)ψ(x)ψ(y)dx dy,

где R(x, y) = R(y,x) есть в общем случае распределение на R6.

§ 4. Поднятие динамики точек в пространствафизических величин и мер

4.1. Общая динамическая постановка. Пусть (X,F ) —произвольное измеримое пространство, т. е. X есть некотороемножество, а F — σ-алгебра его подмножеств. Обозначим

1) Можно считать, что H � 0, но в данном рассуждении это неважно.

§ 4. Поднятие динамики точек 187

пространство случайных величии (измеримых отображенийf : X → R) через RV(X), а пространство вероятностных мерна (X,F ) — через PM(X). Всякое измеримое отображениеg : X → X индуцирует отображения

g∗ : RV(X) → RV(X), g∗f(x) = f(g(x)),

g∗ : PM(X) → PM(X),∫

X

f(x) dg∗μ(x) =∫

X

g∗f(x) dμ(x).

Рассмотрим на X динамическую систему вида

xt = gt(x), (4.1)

где gt : X → X — однопараметрическое семейство измеримыхотображений (вещественный параметр t играет роль времени).Пользуясь указанными выше отображениями g∗, можно поднятьэту динамику точек пространства X до динамики в простран-ствах RV(X) и PM(X):

ft = g∗t f , (4.2)

μt = g∗t μ. (4.3)

Мы увидим, что для бесконечномерного фазового пространстваX = Ω квантовые образы динамических систем (4.1), (4.2), (4.3)суть соответственно динамики Шрёдингера (для состояний, т. е.волновых функций), Гейзенберга (для наблюдаемых, т. е. опера-торов) и фон Неймана (для оператора плотности). Чтобы полу-чить квантовую механику, надо выбрать надлежащие простран-ства физических величин и мер.

4.2. Поднятие гамильтоновой динамики. Хорошо из-вестно, что поднятие гамильтоновой динамики в пространствогладких физических величии задается уравнением Лиувилля.В частности, функциональное поднятие любой гамильтоновойдинамики на гильбертовом фазовом пространстве Ω можно пред-ставить бесконечномерным уравнением Лиувилля (см. [3–8]).Заметим, что это общий факт, не имеющий отношения к нашейспециальной классической постановке, основанной на J-инва-риантных гамильтонианах. Для гладких функций на Ω введемскобки Пуассона:

{f1(ψ), f2(ψ)} =(∂f1∂q

(ψ), ∂f2∂p

(ψ))−

(∂f2∂q

(ψ), ∂f1∂p

(ψ)).


Напомним, что первую производную функции f : H → R мож-но представлять как вектор из H. Поэтому градиент ∇f(ψ)функции f : H × H → R принадлежит H × H. Заметим, что{f1, f2} = (∇f1,J∇f2) = w(∇f1,∇f2). Пусть гладкий гамильто-ниан H(ψ) индуцирует поток Ut(ψ). Для любой гладкой функ-ции f0 положим f(t,ψ) = f0(Ut(ψ)). Легко видеть, что эта функ-ция является решением задачи Коши для уравнения Лиувилля:

∂f

∂t(t,ψ) = {f(t,ψ),H(ψ)}, f(0,ψ) = f0(ψ). (4.4)

Функциональный поток Ψ(t, f0) = U∗t f0 можно представить как

Ψ(t, f0) = e−tLf0, где L =(∂H∂q

(ψ), ∂∂p

)−

(∂H∂p

(ψ), ∂∂q

).

§ 5. Динамика статистических состояний,сохраняющая дисперсию

В этом параграфе мы рассматриваем только квадратич-ные гамильтонианы на бесконечномерном фазовом простран-стве Ω. Начнем с произвольного квадратичного гамильтониана

H(ψ) = 12

(Hψ,ψ), где оператор H не обязан быть J-комму-

тирующим. Рассмотрим гамильтонов поток Ut : Ω → Ω, порож-денный гамильтоновой системой (2.1). Отображения Ut заданыформулой (2.2). Важно отметить, что они обратимы, в частности,

Ut(Ω) = Ω. (5.1)

Нас интересуют такие гамильтоновы потоки Ut, при которыхсоответствующая динамика (4.3) на пространстве вероятностейсохраняет размер статистических флуктуаций:

σ2(U∗t ρ) = σ2(ρ), т. е.

∫

Ω

‖ψ‖2 dU∗t ρ(ψ) =

∫

Ω

‖ψ‖2 dρ(ψ), (5.2)

или ∫

Ω

‖Utψ‖2 dρ(ψ) =∫

Ω

‖ψ‖2 dρ(ψ). (5.3)

Начнем изучение этой задачи с достаточного условия для сохра-нения размера статистических флуктуаций. Это условие заклю-чается в том, что гамильтонов поток Utψ состоит из изометриче-ских отображений:

‖Utψ‖2 = ‖ψ‖2, ψ ∈ Ω. (5.4)

§ 6. Динамика на пространстве физических величин 189

Предложение 5.l. Гамильтонов поток Utψ изометричентогда и только тогда, когда функция H(ψ) J-инвариантна.

Доказательство. а) Пусть H является J-коммутирующим.Тогда

d

dt‖Utψ‖2 = 2(Utψ,Utψ) = 2(JHUtψ,Utψ) = 0.

Здесь мы использовали кососимметричность оператора JH:(JH)� = −HJ = −JH. Следовательно, имеет место (5.4).

б) Пусть выполнено (5.4). Тогдаd

dt‖Utψ‖2 = 0. Из предыду-

щих вычислений и (5.1) получаем, что

(JHψ,ψ) = 0, ψ ∈ Ω. (5.5)

Следовательно, оператор JH кососимметричен. Отсюда вытека-ет, что H коммутирует с J.

Для дальнейшего изложения полезно переписать (5.5) в виде

(JH′(ψ),ψ) = 0, ψ ∈ Ω. (5.6)

Следствие 5.1. Поток, заданный J-инвариантным гамиль-тонианом, сохраняет множество флуктуаций фиксированно-го размера κ: для всякой меры ρ (с нулевым средним зна-чением и конечной дисперсией) из σ2(ρ) = κ вытекает, чтоσ2(U∗

t ρ) = κ для всех t � 0.Этим объясняется исключительная роль J-инвариантных фи-

зических величии на бесконечномерном классическом фазовомпространстве. Если гамильтониан не является J-инвариантным,то его гамильтонов поток может привести к увеличению размерафлуктуаций.

§ 6. Динамика на пространстве физических величин

6.1. Произвольные квадратичные величины. Рассмотримгамильтонов поток Ut : Ω → Ω, порожденный произвольным квад-ратичным гамильтонианом. Для любого непрерывного самосо-пряженного оператора A : Ω → Ω положим: fA(ψ) = (Aψ,ψ). То-гда U∗

t fA(ψ) = fA(Utψ) = fU∗t AUt

(ψ). Эту динамику можно пред-ставить как динамику At = U�t AUt на пространстве непрерывныхлинейных симметрических операторов. Заметим, что Ut = eJHt,откуда U�t = e−HJt. Поэтому

At = e−HJtAeJHt. (6.1)


Таким образом,dAtdt

= (AtJH − HJAt), или

dAtdt

= [At,HJ ] +At[J ,H]. (6.2)

6.2. J-инвариантные величины. Рассмотрим простран-ство физических величин

Vquad, symp(Ω) =

={f : Ω → R : f ≡ fA(ψ) = 1

2(Aψ,ψ), A ∈ Lsymp, s(Ω)

},

состоящее из J-инвариантных квадратичных форм, и поднимемна пространство Vquad, symp(Ω) поток, заданный J-инвариантнымквадратичным гамильтонианом. В этом случае оба оператора H,A коммутируют с J. Поэтому поток (6.1) можно записать в видеAt = U�t AUt = e−JHtAeJHt. Эволюционное уравнение (6.2) упро-щается:

dAtdt

= −J [H,At]. (6.3)

6.3. Комплексификация. Как в п. 11.2, допустим, что[H,J ] = 0 и [A,J ] = 0. Используя комплексную структуру фа-зового пространства и представляя симплектический оператор Jкак умножение на −i, запишем (6.1) в виде динамики Гейзен-берга: At = U∗

t AUt = eitHAe−itH, где U∗t есть комплексно сопря-

женный оператор к Ut, а эволюционное уравнение (6.2) — в видеуравнения Гейзенберга:

dAtdt

= −[H,At]. (6.4)

Итак, это уравнение есть не что иное, как образ поднятияклассической динамики квадратичного гамильтониана на случайJ-инвариантных квадратичных физических величин.

§ 7. Вероятностная динамика

7.1. Произвольные гауссовы меры. Рассмотрим потокUt : Ω → Ω, заданный произвольным квадратичным гамильтони-аном H(ψ). Пусть ρ — любая гауссова мера со средним значе-нием 0. Так как непрерывное линейное преобразование гауссовой

§ 7. Вероятностная динамика 191

меры есть гауссова мера, то мера U∗t (ρ) гауссова. Найдем дина-

мику ковариационного оператора меры U∗t (ρ). Имеем

(cov(U∗t ρ)y1, y2) =

∫

Ω

(y1,ψ)(y2,ψ) dU∗t ρ(ψ) =

=∫

Ω

(y1,Utψ)(y2,Utψ) dρ(ψ) = (cov(ρ)U∗t y1, y2).

Таким образом, ковариационный оператор Bt = cov(U∗t ρ) име-

ет видBt = UtBU

�t ≡ eJHtBe−HJt. (7.1)

ОтсюдаdBtdt

= (JHBt −BtHJ), или

dBtdt

= [JH,Bt] +Bt[J ,H]. (7.2)

7.2. J-инвариантные меры. Рассмотрим поднятие потокаUt : Ω → Ω, порожденного J-инвариантным квадратичным га-мильтонианом H(ψ), на пространство мер. Начнем со следующе-го чисто математического результата.

Предложение 7.1. Гауссова мера ρ с нулевым среднимзначением J-инвариантна тогда и только тогда, когда еековариационный оператор J-инвариантен.

Доказательство. а) Пусть J∗ρ = ρ. Достаточно доказать ко-сосимметричность оператора BJ , где B = cov ρ. Имеем

(BJy1, y2) =∫

Ω

(Jy1,ψ)(y2,ψ) dρ(ψ) =

= −∫

Ω

(y1,Jψ)(y2,J∗Jψ) dρ(ψ) = −∫

Ω

(y1,Jψ)(Jy2,Jψ) dρ(ψ) =

= −∫

Ω

(Jy2,ψ)(y1,ψ) dρ(ψ) = −(BJy2, y1) = −(y1,BJy2).

б) Пусть B = cov(ρ) ∈ Lsymp(Ω). Найдем преобразование Фу-рье гауссовой меры J∗ρ:

J∗ρ(y) =∫

Ω

ei(y,Jψ) dρ(ψ) = e12 (BJ∗y,J∗y) = ρ(y).


Из этого доказательства получаем также следующее след-ствие.

Следствие 7.1. Пусть ρ — любая J-инвариантная мера.Тогда ее ковариационный оператор J-инвариантен.

Поскольку поток J-инвариантного квадратичного гамиль-тониана состоит из J-коммутирующих линейных операторов(JUt = UtJ), из представления (7.1) и предложения 7.1 вытекает,что пространство всех J-инвариантных гауссовых мер со сред-ним значением 0 инвариантно относительно отображений U∗

t .Здесь мы имеем

Bt = UtBU�t ≡ eJHtBe−HJt, (7.3)

илиdBtdt

= −J [Bt,H]. (7.4)

7.3. Комплексификация. Допустим, что [H,J ] = 0и [B,J ] = 0. Используя комплексную структуру фазовогопространства и представляя симплектический оператор J какумножение на −i, запишем (7.3) в виде

Bt = UtBU∗t ≡ e−iHtBeiHt, (7.5)

илиdBtdt

= i[Bt,H]. (7.6)

Это не что иное, как уравнение фон Неймана для статистическо-го оператора. Единственное различие в том, что ковариационныйоператор B ненормирован.

7.4. Динамика в пространстве статистических состоя-ний. Сначала рассмотрим пространство всех гауссовых мер сосредним значением 0 и дисперсией κ. Заметим, что если выбратьH = Q = P = L2(R3), то

κ =∫

L2(R3)×L2(R3)

∫

R3

(|q(x)|2 + |p(x)|2) dx dρ(q, p).

Обозначим это пространство мер через SκG(Ω). Его элементы —это такие гауссовы меры, что

(y,mρ) =∫

Ω

(y,ψ) dρ(ψ) = 0, y ∈ Ω,


иσ2(ρ) =

∫

Ω

‖ψ‖2 dρ(ψ) = κ.

Для потока Ut, заданного J-инвариантным квадратичным га-мильтонианом, имеем: U∗

t : SκG(Ω) → SκG(Ω). Обозначим черезSκG,symp(Ω) подпространство SκG(Ω), состоящее из всех J-инвари-антных мер. Тогда снова имеем: U∗

t : SκG,symp(Ω) → SκG,symp(Ω).

7.5. Комплексная ковариация. Всюду далее рассматри-ваются только меры с конечными дисперсиями. Введем ком-плексное среднее значение mc

ρ и комплексный ковариационныйоператор Bc ≡ covc ρ, полагая

〈mcρ, y〉 =

∫

Ω

〈y,ψ〉 dρ(ψ), (7.7)

〈Bcy1, y2〉 =∫

Ω

〈y1,ψ〉〈ψ, y2〉 dρ(ψ). (7.8)

Предложение 7.2. Для J-инвариантных мер ρ имеем

mcρ = 0 ⇐⇒ mρ = 0. (7.9)

Доказательство. В силу J-инвариантности ρ для любой бо-релевской функции f : Ω → R имеем∫

Ω

f(ψq,ψp) dρ(ψq,ψp) =∫

Ω

f(ψp,−ψq) dρ(ψq,ψp). (7.10)

Пусть mρ = 0. Тогда

0 =∫

Ω

(y,ψ) dρ(ψ) =∫

Ω

[(yq,ψq) + (yp,ψp)] dρ(ψ) =

=∫

Ω

[(yq,ψq) − (yp,ψp)] dρ(ψ) =∫

Ω

w(y,ψ) dρ(ψ),

где w — симплектическая форма на Ω. Следовательно, последнийинтеграл также равен нулю. С другой стороны, для комплексногосреднего имеем

〈y,mcρ〉 =

∫

Ω

(y,ψ) dρ(ψ) − i∫

Ω

w(y,ψ) dρ(ψ). (7.11)



Предложение 7.3. Пусть ρ — произвольная J-инвариант-ная мера со средним значением 0. Тогда

covc ρ = 2 cov ρ. (7.12)

Доказательство. Имеем

covc ρ(y, y) =∫

Ω

|〈y,ψ〉|2 dρ(ψ) =∫

Ω

|(y,ψ) − iw(y,ψ)|2 dρ(ψ) =

=∫

Ω

[(y,ψ)2 + (y,Jψ)2] dρ(ψ).

Пользуясь симплектической инвариантностью меры ρ, получаем∫

Ω

(y,Jψ)2 dρ(ψ) =∫

Ω

(y,ψ)2 dρ(ψ).


covc ρ(y, y) = 2∫

Ω

(y,ψ)2 dρ(ψ) = 2 cov ρ(y, y).

Теорема 7.1. Для любой меры ρ со средним значением 0и любого J-коммутирующего оператора A имеем∫

Ω

〈Aψ,ψ〉 dρ(ψ) = Tr covc ρA. (7.13)

В частности,σ2(ρ) = Tr covc ρ. (7.14)

Доказательство. Пусть {ej} — ортонормированный базисв Ωc. (Подчеркнем, что ортогональность и нормировка понима-ются в смысле комплексного, а не вещественного скалярногопроизведения.) Тогда

Tr covc ρA =∫

Ω

∑j

〈Aej ,ψ〉〈ψ, ej〉 dρ(ψ) =∫

Ω

〈Aψ,ψ〉 dρ(ψ).

Напомним, что в [1] было получено следующее равенство

σ2(ρ) = Tr cov ρ. (7.15)

Возникает впечатление, что равенства (7.12), (7.14) и (7.15) несогласуются. Однако это лишь мнимое несогласование. Объяс-нение просто: в равенстве (7.14) нормировка следа единицей дляоператора плотности фон Неймана понимается в смысле ком-


плексного скалярного произведения. Обозначая вещественныйи комплексный след индексами R и C соответственно, имеем:σ2(ρ) = TrR cov ρ = TrC covc ρ.

Заметим, что комплексное среднее mcρ и комплексный ко-

вариационный оператор Bc являются C-линейными даже длямер, не являющихся J-инвариантными. Однако в общем случаевещественные и комплексные средние не совпадают, а веще-ственные и комплексные ковариационные операторы не связаныформулой (7.12).

Чтобы найти соотношение между B = cov ρ и Bc = covc ρ

в общем случае запишем: B =(B11 B12

B21 B22

), B∗

11 = B11, B∗22 = B22,

B∗12 = B21 и Bc =

(D S

−S D

). Тогда легко получается следующее

предложение.

Предложение 7.4. Блоки вещественного и комплексногоковариационных операторов связаны уравнениями

D = B11 +B22, S = B12 −B21.

Таким образом, в общем случае гауссова мера ρB не опреде-ляется однозначно своим комплексным ковариационным опе-ратором Bc.

Если же мера ρB является J-инвариантной, то B =

=(

B11 B12

−B21 B11

). Следовательно, D = 2B11, S = 2B12, откуда

получаем (7.12). Этим доказано следующее следствие.

Следствие 7.2. Имеется взаимно-однозначное соответ-ствие между J-инвариантными гауссовыми мерами со сред-ним значением 0 и комплексными ковариационными операто-рами 1).

Как уже отмечалось, комплексный ковариационный опера-тор Bc не определяет однозначно меру ρ, даже для гауссовых(но не являющихся J-инвариантными) мер. Тем не менее мыбудем представлять произвольную меру ρ (со средним значением0 и конечной дисперсией) ее комплексным ковариационным опе-ратором Bc (тем самым мы «проецируем» меры в их комплексныековариационные операторы).

1) То есть C-линейными самосопряженными положительно определеннымиоператорами Bc : Ωc → Ωc, принадлежащими классу операторов со следом.

7*


Рассмотрим динамику меры ρ, индуцированную динамикойквадратичного J-инвариантного гамильтониана H на Ω. Получимоднопараметрическое семейство мер ρt = U∗

t ρ. Легко видеть, чтоBc(t) = UtBcU∗

t . Поскольку [Bc,J ] = 0, оператор Bc(t) удовле-творяет уравнению фон Неймана (7.6).

§ 8. Асимптотическое разложениегауссовых интегралов на гильбертовом пространстве

и формула следа фон Неймана

Рассмотрим бесконечномерное фазовое пространство Ω == Q × P , где Q и P суть экземпляры (сепарабельного) гиль-бертова пространства. Наша цель — построить предквантовуюклассическую статистическую модель на этом фазовом про-странстве, индуцирующую обычную квантовую статистическуюмодель (Дирака–фон Неймана)

Nquant = (D(Ωc),Ls(Ωc)),

где Ωc = Q ⊕ iP есть комплексное гильбертово пространство,D(Ωc) — пространство операторов плотности, a Ls(Ωc) — про-странство ограниченных самосопряженных операторов на Ωc

(квантовых наблюдаемых) 1).В качестве пространства классических статистических со-

стояний выберем множество SκG,symp(Ω) всех J-инвариантныхгауссовых мер со средним значением 0 и дисперсией κ.

Рассмотрим Ω как вещественное гильбертово пространствои перейдем к его комплексификации ΩC = Ω ⊕ iΩ. (Следуетчетко различать два комплексных гильбертовых пространства:ΩC и Ωc с его естественной комплексной структурой, отве-чающей J .) Пусть bn : ΩC × . . . × ΩC → C есть непрерывнаяn-линейная симметрическая форма. Определим ее норму как‖bn‖ = sup

‖ψ‖�1|bn(ψ1, . . . ,ψ)|. Тогда

|bn(ψ1, . . . ,ψ)| � ‖bn‖‖ψ‖n. (8.1)

1) Для простоты мы рассматриваем только те квантовые наблюдаемые,которые представляются ограниченными операторами. Чтобы получить общуюквантовую модель, где некоторые наблюдаемые представлены неограниченны-ми операторами, следует перейти к предквантовой классической статистиче-ской модели, основанной на тройке Гельфанда Ω+

c ⊂ Ωc ⊂ Ω−c .

§ 8. Асимптотическое разложение гауссовых интегралов 197

Рассмотрим пространство аналитических функций экспонен-циального роста:

|f(ψ)| � aeb‖ψ‖, ψ ∈ ΩC, (8.2)

см., например, [153]. Здесь константы зависят от f : a = af ,b = bf .

Лемма 8.1. Пространство аналитических функций экспо-ненциального роста совпадает с пространством таких ана-литических функций, что

‖f (n)(0)‖ � crn, n = 0, 1, 2, . . . (8.3)

Здесь константы c = cf и r = rf зависят от функции f.Доказательство. а) Пусть f имеет экспоненциальный рост.

Для каждого ψ ∈ ΩC рассмотрим функцию gψ(z) = f(zψ) ком-плексного переменного z ∈ C. По интегральной формуле Коши

для gψ(z) имеем: g(n)ψ (0) = n!

2πi

∫

|z|=Rgψ(z)z−(n+1) dz, где R > 0

пока является свободным параметром. Отсюда

|g(n)ψ (0)| � n!R−n sup

0�θ�2π|f(Reiθ ψ)| � afn!R−nebfR‖ψ‖.

Выбирая R = n и замечая, что g(n)ψ (0) = f (n)(0)(ψ, . . . ,ψ), по-

лучаем‖f (n)(0)‖ � a′fe

−nn1/2ebfn.

Поэтому производные функции f удовлетворяют неравенствам(8.3) с rf = ebf.

б) Пусть производные f удовлетворяют неравенствам (8.3).В силу неравенств (8.1) имеем

|f(ψ)| �∞∑n=0

‖f (n)(0)‖ ‖ψ‖n/n! � cf

∞∑n=0

(rf‖ψ‖)n/n! � cferf‖ψ‖.

Поэтому f имеет экспоненциальный рост с bf = rf .

Рассмотрим пространство Vsymp(Ω), состоящее из такихфункций f : Ω → R, что (а) f(0) = 0, (б) f является J-инва-риантной: f(Jψ) = f(ψ), (в) f продолжается до аналитическойфункции f : ΩC → C, имеющей экспоненциальный рост:

|f(ψ)| � cferf‖ψ‖

для некоторых cf , rf � 0 и для всех ψ ∈ ΩC.


Отметим, что возможность аналитического продолженияфункции f на ΩC и экспоненциальная оценка на ΩC играютважную роль в асимптотическом разложении гауссовыхинтегралов.

Пример 8.1. Пусть H ∈ Lsymp, s(Ω). Тогда пространство

Vsymp(Ω) содержит все полиномы вида f(ψ) =N∑k=1

ak(Hψ,ψ)k,

где ak ∈ R.Следующий математически тривиальный результат играет

фундаментальную роль при переходе от классических объектовк квантовым.

Предложение 8.1. Пусть f ∈ Vsymp(Ω). Тогда f ′′(0) ∈∈ Lsymp, s(Ω).

Для любой функции ψ ∈ Ω имеем: Jf ′′(ψ) = f ′′(Jψ)J. Любаяфункция из Vsymp(Ω) интегрируема по любой гауссовой мерена Ω. Выберем Vsymp(Ω) в качестве пространства классическихфизических величин и рассмотрим однопараметрическое семей-ство классических статистических моделей

Mκsymp = (SκG,symp(Ω),Vsymp(Ω)). (8.4)

Фиксируем физическую величину f ∈ Vsymp(Ω) и статисти-ческое состояние ρB ∈ SκG,symp(Ω) (напомним, что простран-ство SκG,symp(Ω) состоит из гауссовых мер с нулевым средними дисперсией κ, которые инвариантны относительно J). ЗдесьρB — мера с ковариационным оператором B. Наша следую-щая цель — найти асимптотическое разложение (классического)среднего значения 〈f〉ρB =

∫

Ω

f(ψ) dρB(ψ) относительно малого

параметра κ.

Лемма 8.2. Для f ∈ Vsymp(Ω) и ρB ∈ SκG,symp(Ω) имеет ме-сто асимптотическое равенство

〈f〉ρ = κ

2TrDcf ′′(0) + o(κ), κ→ 0, (8.5)

где оператор Dc имеет вид Dc = covc ρ/κ. При этом

o(κ) = κ2R(κ, f , ρ), (8.6)

где |R(κ, f , ρ)| � cf

∫

Ω

erf‖ψ‖ dρD(ψ), D = cov ρ.

§ 8. Асимптотическое разложение гауссовых интегралов 199

Доказательство. Сделаем замену масштаба в гауссовом ин-теграле

∫

Ω

f(ψ) dρ(ψ):

ψ → ψ√κ. (8.7)

Получаем, что

〈f〉ρ =∫

Ω

f(√κ ) dρD(ψ) = κ

2

∫

Ω

(f ′′(0)ψ,ψ) dρD(ψ) + κ2R(κ, f , ρ),

(8.8)где

R(κ, f , ρ) =∫

Ω

g(κ, f ;ψ) dρD(ψ),

g(κ, f ;ψ) =∞∑n=4

κn/2−2

n!f (n)(0)(ψ, . . . ,ψ).

Отметим, что∫

Ω

(f ′(0),ψ) dρD(ψ) = 0,∫

Ω

f ′′′(0)(ψ,ψ,ψ) dρD(ψ) = 0,

поскольку мера ρB (и, следовательно, ρD) имеет среднее значе-ние 0. Так как ρB ∈ SκG,symp(Ω), то вещественный след TrD = 1.Следовательно, и комплексный след TrDc = 1 1).

Оценим остаточный член R(κ, f , ρ). Пользуясь неравенством(8.3), для κ < 1 имеем

|R(κ, f , ρ)| �∞∑n=4

‖f (n)(0)‖ ‖ψ‖nn!

� cf

∞∑n=4

rnf ‖ψ‖nn!

= Cferf‖ψ‖.

1) Можно рассматривать указанную замену переменных как масштабиро-вание размера статистических (гауссовых) флуктуаций. Пренебрежимо малыеслучайные флуктуации с σ(ρ) =

√κ (где κ — малый параметр) рассматривают-

ся на новой шкале как стандартные нормальные флуктуации. На языке теориивероятностей, если мы рассмотрим гауссовы случайные величины ξ(λ), топреобразование (8.7) будет не чем иным, как как стандартной нормализациейэтой случайной величины (используемой, например, в центральной предельной

теореме): η(λ) =ξ(λ) − Eξ√E(ξ(λ) − Eξ)2

(в нашем случае Eξ = 0).


Поэтому |R(κ, f , ρ)| � cf

∫

Ω

erf‖ψ‖ dρD(ψ). Получаем, что

〈f〉ρ = κ

2

∫

Ω

(f ′′(0)ψ,ψ) dρD(ψ) + o(κ), κ→ 0. (8.9)

Выполняя гауссово интегрирование, приходим к асимптотическо-му равенству (8.5).

Мы видим, что классическое среднее (вычисленное в моделиMκ

symp = (SκG,symp(Ω),Vsymp(Ω)) с помощью подхода, основанногона теории меры) связано равенством (8.5) с квантовым средним(вычисленным в модели Nquant = (D(Ωc),Ls(Ωc)) с помощью фор-мулы следа фон Неймана).

Равенство (8.5) можно считать мотивировкой для определе-ния следующего отображения перехода от классических к кван-товым объектам. Это отображение T переводит классическуюстатистическую модель Mκ

symp = (SκG,symp(Ω),Vsymp(Ω)) в кванто-вую статистическую модель Nquant = (D(Ωc),Ls(Ωc)). По фор-мулам

T : SκG,symp(Ω) → D(Ωc), Dc = T (ρ) = covc ρκ

(8.10)

(гауссова мера ρ представляется матрицей плотности Dc, равнойковариационному оператору этой меры, нормированному делени-ем на κ) и

T : Vsymp(Ω) → Ls(Ωc), Aquant = T (f) = 12f ′′(0). (8.11)

Наши предыдущие рассуждения суммирует следующая теорема.

Теорема 8.1. Однопараметрическое семейство классиче-ских статистических моделей Mκ

symp = (SκG, symp(Ω),Vsymp(Ω))задает «деквантование» квантовой модели Nquant == (D(Ωc),Ls(Ωc)) посредством пары отображений (8.10),(8.11). Классические и квантовые средние связаны асимпто-тическим равенством (8.5).

Заметим, что наша проекция T : Vsymp(Ω) → Ls(Ωc) удовле-творяет важному постулату для отображений перехода от клас-сических к квантовым объектам, используемому фон Нейма-ном [2]:

T(∑

λjfj)

=∑

λjT (fj), λj ∈ R, fj ∈ Vsymp(Ω). (8.12)

§ 9. Инвариантные гауссовы меры для шрёдингеровской динамики 201

Здесь квантовые наблюдаемые Aj = T (fj) могут быть несовме-стимыми (так что эти операторы не коммутируют), см. фон Ней-ман [23].

Следствие 8.1. Сужение отображения T на пространствоVquad, symp(Ω) всех квадратичных J-инвариантных физическихвеличин взаимно-однозначно переводит это пространство вего образ Ls(Ωc).

Пусть Ψ = u + iv ∈ Ωc, так что u ∈ Q и v ∈ P , и пусть‖Ψ‖ = 1. В нашем подходе матрица плотности Dψ = Ψ ⊗Ψ пред-ставляет собой образ классического статистического состоянияJ-инвариантной гауссовой меры ρΨ на фазовом пространстве,имеющей среднее значение 0 и (комплексный) ковариационный

оператор BcΨ = κDΨ или Bc

Ψ = 2κ(u⊗ u+ v ⊗ v v ⊗ u− u⊗ v

u⊗ v − v ⊗ u u⊗ u+ v ⊗ v

).

§ 9. Инвариантные гауссовы мерыдля шрёдингеровской динамики

Все гауссовы меры, рассматриваемые в этом параграфе, пред-полагаются J-инвариантными. В рамках нашего подхода век-торы Ψ с ‖Ψ‖ = 1 («чистые состояния») суть просто меткидля гауссовых мер, сосредоточенных на одномерных (комплекс-ных) подпространствах ΩΨ бесконечномерного фазового про-странства Ω. Ниже мы более подробно изучим случай так на-зываемых стационарных чистых состояний. Масштабированиеделением на κ не играет в этом случае никакой роли, так чтомы не будем его учитывать. Будем рассматривать чистое состоя-ние Ψ (с ‖Ψ‖ = 1) как метку для гауссовой меры νΨ со среднимзначением 0 и с ковариационным оператором covc νΨ = Ψ ⊗ Ψ.

Теорема 9.1. Пусть ν — гауссова мера со средним значе-нием 0, сосредоточенная на одномерном комплексном подпро-странстве, натянутом на нормированный вектор Ψ, и пустьH : Ω → Ω есть ограниченный самосопряженный оператор.Мера ν инвариантна относительно унитарной динамикиUt = e−itH тогда и только тогда, когда Ψ есть собственныйвектор оператора H.

Доказательство. а) Пусть HΨ = Ψ. Гауссова мера U∗t ν име-

ет ковариационный оператор Bct = Ut(Ψ ⊗ Ψ)U∗

t = UtΨ ⊗ UtΨ == e−itλΨ ⊗ e−itλΨ = Ψ ⊗ Ψ. Поскольку все рассматриваемые ме-


ры гауссовы, отсюда следует, что U∗t ν = ν. Поэтому мера ν

инвариантна.б) Пусть U∗

t ν = ν и ν = νΨ для некоторого Ψ с ‖Ψ‖ = 1. ТогдаUtΨ ⊗ UtΨ = Ψ ⊗ Ψ. Поэтому для всех ψ1,ψ2 ∈ Ω имеем

〈ψ1,UtΨ〉〈UtΨ,ψ2〉 = 〈ψ1,Ψ〉〈Ψ,ψ2〉.

Полагая ψ2 = Ψ, получаем, что 〈ψ1, c(t)UtΨ〉 = 〈ψ1,Ψ〉, где c(t) == 〈UtΨ,Ψ〉. Поэтому c(t)UtΨ = Ψ. Заметим, что c(0) = ‖Ψ‖2 = 1.Отсюда c′(0)Ψ − iHΨ = 0, т. е. HΨ = −ic′(0)Ψ. Таким обра-зом, Ψ есть собственный вектор оператора H с собствен-ным значением −ic′(0). Заметим, что c′(0) = −i〈HΨ,Ψ〉, т. е.c′(0) = i〈HΨ,Ψ〉. Поэтому λ = −ic′(0) = 〈HΨ,Ψ〉.

Опишем теперь все возможные Ut-инвариантные гауссовымеры.

Теорема 9.2. Пусть H — ограниченный самосопряжен-ный оператор с чисто дискретным невырожденным спек-тром: HΨk = λkΨk для некоторого ортонормированного бази-са {Ψk}, состоящего из собственных векторов оператора H.Тогда всякая Ut-инвариантная гауссова мера ν со среднимзначением 0 имеет ковариационный оператор вида

Bc =∞∑k=1

ckΨk ⊗ Ψk, ck � 0, (9.1)

и обратно.

Доказательство. а) Пусть covc ν = Bc имеет вид (9.1). Тогда

covc U∗t ν = UtBU

∗t =

∞∑k=1

cke−iλktΨk ⊗ Ψk = covc ν = Bc.

Поскольку меры гауссовы, отсюда вытекает, что U∗t ν = ν для

всех t.б) Пусть U∗

t ν = ν для всех t. Заметим, что любой ковариаци-онный оператор Bc можно записать в виде

Bc =∞∑k=1

〈BΨk,Ψk〉Ψk ⊗ Ψk +∑k �=j

〈BΨk,Ψj〉Ψk ⊗ Ψj .

§ 10. Сохраняющая дисперсию динамика 203

Покажем, что 〈BΨk,Ψj〉 = 0 при k �= j. Обозначим оператор,отвечающий

∑k �=j

, через Z. Имеем

〈UtZU∗t ψ1,ψ2〉 =

∑k �=j

〈BΨk,Ψj〉eit(λj−λk)〈Ψk,ψ2〉〈ψ1,Ψj〉 =

= 〈Zψ1,ψ2〉.Выберем ψ1 = Ψj , ψ2 = Ψk. Тогда

〈UtZU∗t Ψj ,Ψk〉 = 〈BΨk,Ψj〉eit(λj−λk) = 〈BΨk,Ψj〉.

Поэтому 〈BΨk,Ψj〉 = 0 при k �= j.

§ 10. Динамика с неквадратичным гамильтонианом,сохраняющая дисперсию

Рассматривая неквадратичные классические величины, мысталкиваемся с новой интересной задачей: исследованием ди-намики для неквадратичных гамильтонианов. Пусть дан про-извольный гамильтониан H : Ω → R. Первое важное замечаниесостоит в том, что его динамика переводит гауссовы состоянияв гауссовы тогда и только тогда, когда функция H квадратич-на. Допустим, что для каждого ψ ∈ Ω система гамильтоновыхуравнений имеет единственное решение ψ(t) ≡ Utψ с ψ(0) = ψ.В этом случае корректно определено отображение (гамильтоновпоток)

Ut : Ω → Ω. (10.1)

Оно индуцирует отображение U∗t пространства PM(Ω) вероят-

ностных мер на фазовом пространстве Ω, см. § 8. Мы уже упо-минали, что в неквадратичном случае мера U∗

t ρ с t > 0 можетбыть негауссовой даже для гауссовой меры ρ. Таким образом,для неквадратичных гамильтонианов нельзя ограничить клас-сическую статистическую модель моделью с гауссовыми состо-яниями. Приходится взять в качестве пространства статисти-ческих состояний множество всех вероятностных мер ρ на Ωсо средним значением 0 и дисперсией κ. Обозначим последнеемножество через PMκ(Ω). Может быть, следует рассматриватьподмножество PMκ

symp в PMκ(Ω), состоящее из всех J-инва-риантных мер: J∗ρ = ρ. Но в данный момент мы рассмотримпроизвольные меры.


Нас интересует такая гамильтонова динамика Ut на фазовомпространстве Ω, которая индуцирует некоторую динамику U∗

tна PMκ(Ω). Такая динамика должна сохранять свойство мерыиметь среднее значение 0 и дисперсию κ. Примером динамики,сохраняющей среднее значение 0 и дисперсию κ, является кван-товая динамика, соответствующая классической гамильтоновойдинамике с квадратичным J-инвариантным гамильтонианом. Насинтересуют более общие примеры с подобными свойствами.

Дисперсия меры U∗t ρ для произвольной ρ ∈ PM(Ω) со сред-

ним значением 0 равна

σ2(U∗t ρ) =

∫

Ω

‖Utψ‖2 dρ(ψ). (10.2)

Нас интересует такая гамильтонова динамика, при которой дис-персии вероятностных мер сохраняются, т. е. динамика, сохра-няющая дисперсию.

Допустим, что Ut сохраняет среднее значение мер. Соглас-но (10.2), если Ut сохраняет норму на фазовом пространстве Ω,то U∗

t сохраняет дисперсию. Заметим, что нелинейное сохраняю-щее норму отображение U : Ω → Ω не обязано быть ни инъектив-ным, ни сюръективным. Оно также может не быть изометрией;из того что ‖Uψ‖ = ‖ψ‖ для всех ψ ∈ Ω, еще не вытекает, что‖Uψ1 − Uψ2‖ = ‖ψ1 − ψ2‖. Легко найти необходимое и достаточ-ное условие того, что динамика, заданная гамильтонианом H(ψ),сохраняет норму. Запишем общее гамильтоново уравнение в виде

ψ = JH′(ψ). (10.3)

Теорема 10.1. Пусть поток Ut, порожденный гамильто-нианом H(ψ), состоит из сюръекций Ut(Ω) = Ω. Такой потоксохраняет норму тогда и только тогда, когда выполненоравенство (сравните с (5.6))

(JH′(ψ),ψ) = 0, ψ ∈ Ω. (10.4)

Доказательство. а) Пусть ‖Uψ‖2 = ‖ψ‖2 для всех ψ ∈ Ω.Из представления (10.3) получаем

0 = d

dt‖Uψ‖2 = 2(JH′(Utψ),Utψ).

Таким образом, (JH′(Utψ),Utψ) = 0 для всех ψ ∈ Ω. Пользуясьтем, что Ut(Ω) = Ω, получаем равенство (10.4).


б) Пусть равенство (10.4) выполнено для всех ψ ∈ Ω. Тогда,в частности,

(JH′(Utψ),Utψ) = 0 (10.5)

для всех ψ ∈ Ω. Поэтомуd

dt‖Uψ‖2 = 0 и, следовательно, ‖Uψ‖ =

= ‖ψ‖ для t � t0, ψ ∈ Ω.Заметим, что (10.4) влечет сохранение нормы, даже если Ut

не сюръективны. Обозначим через W (Ω) множество всех отоб-ражений f : Ω → R, удовлетворяющих (10.4).

Следствие 10.1. Гамильтонов поток сохраняет нормутогда и только тогда, когда выполнено равенство (10.5).

Условие (10.4) является линейным уравнением относи-тельно H: (

∂H∂q

, p)

=(∂H∂p

, q). (10.6)

Теорема 10.2. Пусть H ∈W (Ω). Тогда H′′′(0) ∈ Lsymp, s(Ω).Доказательство. Имеем: (H′(ψ),Jψ) = 0. Отсюда

H′′(ψ)Jψ + J∗H′(ψ) = 0 и, следовательно, H′′′(0)Jψ + H′′(ψ)J ++ J∗H′′(ψ) = 0. Поэтому

[H′′(0),J ] = 0. (10.7)

Заметим, что в общем случае

[H′′(ψ),J ] = −H′′′(ψ)Jψ. (10.8)

Отметим также, что для любого отображения H : Ω → Rможно записать

H′′ =

⎛⎜⎜⎝∂2H∂q2

∂2H∂q ∂p

∂2H∂p ∂q

∂2H∂p2

⎞⎟⎟⎠.Из условия H′′(0, 0) ∈ Lsymp, s(Ω) следует, что

∂2H∂q2

(0, 0) = ∂2H∂p2

(0, 0), ∂2H∂q ∂p

= − ∂2H∂p ∂q

.

Последнее равенство может вызвать удивление в свете хо-рошо известного равенства смешанных производных дваждынепрерывно дифференцируемого отображения. Конечно, всегда

имеем:∂2H∂pi ∂qj

= ∂2H∂qj ∂pi

для всех i, j. В качестве иллю-


стративного примера рассмотрим квадратичный гамильтонианH(q1, q2, p1, p2) = p1q2 − q1p2. Тогда

∂2H∂q ∂p

=

⎛⎜⎜⎝∂2H∂q1 ∂p1

∂2H∂q1 ∂p2

∂2H∂q2 ∂p1

∂2H∂q2 ∂p2

=

⎞⎟⎟⎠ =(0 −11 0

)

и

∂2H∂p ∂q

=

⎛⎜⎜⎝∂2H∂p1 ∂q1

∂2H∂p1 ∂q2

∂2H∂p2 ∂q1

∂2H∂p2 ∂q2

=

⎞⎟⎟⎠ =(

0 1−1 0

).

Заметим, что всякий полином вида, рассмотренного в приме-ре 13.1, удовлетворяет условию (10.4). Поэтому каждый гамиль-тониан такого вида (например, H(ψ) = a1(Hψ,ψ) + a2(Hψ,ψ)2,где [H,J ] = 0) индуцирует сохраняющий норму поток Ut(ψ). Од-нако нам неизвестно общее соотношение между классом J-инва-риантных функций и классом функций, удовлетворяющих (10.4).

С другой стороны, с помощью (10.4) легко найти гамиль-тонианы, потоки которых не сохраняют норму. Например, рас-смотрим отображение H(q, p) = q2p (в двумерном случае). Длянего условие (10.4) не выполняется, так что соответствующийгамильтонов поток не сохраняет норму.

Исследуем условия сохранения среднего значения. Пусть да-на мера ρ со средним значением 0 («флуктуация вакуума»):mρ = 0. Мы хотим дать условие, достаточное для того, чтобыэто значение сохранялось: mρt = 0 при t � 0. Рассмотрим класссимметричных мер, т. е. таких ρ, что g∗−1ρ = ρ, где g−1ψ = −ψ.Заметим, что всякая симметричная мера имеет среднее значе-ние 0.

Предложение 10.1. Пусть ρ — симметричная мера,а Ut(ψ) — нечетный гамильтонов поток:

Ut(−ψ) = −Ut(ψ). (10.9)

Тогда среднее значение сохраняется: mρt = 0 при t � 0.

Можно доказать даже следующее предложение.

Предложение 10.2. Нечетный гамильтонов поток сохра-няет класс симметричных мер.


Доказательство. Надо показать, что g∗−1U∗t ρ = U∗

t ρ. Имеем∫f(ψ) dg∗−1U

∗t ρ(ψ) =

∫f(Ut(−ψ)) dρ(ψ) =

∫f(−Ut(ψ)) dρ(ψ) =

=∫f(Ut(ψ)) dρ(ψ) =

∫f(ψ) dU∗

t ρ(ψ).

Предложение 10.3. Пусть задача Коши для гамильтоно-вых уравнений является корректной. Если функция H′ нечет-на, то гамильтонов поток нечетен.

Доказательство. а) Пусть выполнено (10.9). ТогдаdUtdt

(ψ) =

= dUtdt

(−ψ), откуда H′(Ut(ψ)) = −H′(Ut(−ψ)). Следовательно,

H′(φ) = −H′(−φ) (10.10)

для всех φ = Utψ. В силу корректности задачи Коши, любойвектор φ ∈ Ω представим в таком виде.

б) Пусть выполнено условие (10.10). Имеем: −dUtdt

(−ψ) =

= −JH′(Ut(−ψ)) = JH′(−Ut(−ψ)). Но в силу корректности за-дачи, решение единственно. Поэтому выполнено (10.9).

Следствие 10.2. Пусть гамильтониан H(ψ) J-инвариан-тен. Тогда его поток сохраняет среднее значение для сим-метричных мер.

Наконец, заметим, что всякая J-инвариантная мера симмет-рична (и, в частности, имеет среднее значение 0).

Следствие 10.3. Пусть гамильтониан H(ψ) и мера ρ яв-ляются J-инвариантными. Тогда гамильтонов поток сохра-няет среднее значение меры ρ (равное нулю).

Гл а в а 9

СКРЫТЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛЯ КВАНТОВОЙ

ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 1. О представлении квантовой теории поля в видеклассической статистической механики полевых

функционалов

Проблема скрытых параметров в квантовой механике обсуж-дается уже около ста лет, см., например, [15]. Как уже отме-чалось, попытки решить эту проблему с помощью так называе-мых теорем невозможности (фон Неймана [3], Кохена–Спекера,Белла, . . . , см., например, обсуждения в [9, 10, 100, 101, 114,119, 240]) нельзя признать удовлетворительными (несмотря наогромный интерес к некоторым из этих теорем, в частностик теореме Белла). Таким образом, неудивительно, что в кон-це концов удалось построить классическую статистическую мо-дель M = (S(Ω),V (Ω)), воспроизводящую квантовую механику.Здесь Ω — фазовое пространство, S(Ω) — некоторое простран-ство вероятностных мер на Ω (представляющих статистическиесостояния — ансамбли систем с состояниями ω ∈ Ω), V (Ω) —некоторое пространство функций f : Ω → R (представляющихфизические переменные).

Вопрос о существовании скрытых параметров для квантовойтеории поля, по-видимому, никогда не ставился, так как счита-лось, что поскольку невозможно построить статистическую мо-дель со скрытыми параметрами для квантовой механики, то ужтем более невозможно построить ее для квантовой теории поля.В этой главе, используя методы, развитые в [213], мы строимклассическую статистическую модель для скалярного бозонногополя [53, 54]. Обобщение на другие квантовые поля требуетболее сложных рассмотрений, но в принципе тоже возможно.

В нашей модели фазовое пространство классической пред-квантово-полевой модели Ω = L2(S ′(R3),μ) × L2(S ′(R3),μ), гдеS ′(R3) — пространство Шварца обобщенных функций, а μ —

§ 2. Гауссово квантование скалярного бозонного поля 209

гауссова мера на S ′(R3), соответствующая свободному бозонно-му полю.

Статистические состояния представляются гауссовыми ме-рами на Ω. Они описывают ансамбли функционалов f(ϕ) отклассических полей ϕ ∈ S ′(R3). Физические переменные пред-ставляются функционалами F (f( · )) от полевых функциона-лов f : S ′(R3) → R. Например f(ϕ) = (u,ϕ), где u ∈ S(R3),

а F (f) =∫f(ϕ) dμ(ϕ) ≡ ‖f‖22. Квантовополевые операторы A по-

лучаются как вторые производные этих функционалов в нуле:

F → A = F ′′(0)2

. Классические средние совпадают с квантовыми:

〈F 〉μ =∫

Ω

F (f( · )) dρ(f( · )) = TrD F ′′(0)2

, (1.1)

где D = cov ρ — ковариационный оператор гауссовой меры ρ нафазовом пространстве полевых функционалов.

§ 2. Гауссово квантование скалярногобозонного поля

Рассмотрим псевдодифференциальный оператор

a =√−Δ +m2 , m > 0.

Заметим, что оператор a−1 непрерывен в S(R3). Значит, квадра-тичная форма b(ϕ,ϕ) = (a−1ϕ,ϕ) тоже непрерывна. По теоремеМинлоса–Сазонова гауссова мера μ (с нулевым средним) с ко-

вариационным оператором bμ = covμ = a−1

2счетноаддитивна на

σ-алгебре борелевских подмножеств пространства S ′(R3), наде-ленного сильной топологией. Рассмотрим гильбертово простран-ство L2(S ′(R3),μ), состоящее из функционалов f : S ′(R3) → R,для которых

‖f‖22 =∫

S′(R3)

f2(ϕ) dμ(ϕ) <∞.

Важнейшие операторы квантовой теории поля, напримерсвободный гамильтониан H0 и оператор числа частиц N ,строятся с помощью процедуры вторичного квантования. Этупроцедуру наиболее естественно описать с помощью исчисле-ния бесконечномерных псевдодифференциальных операторовв L2(S ′(R3),μ), см. [13]. Пусть оператор λ : S(R3) → S(R3)

210 Гл. 9. Скрытые параметры для квантовой теории поля

непрерывен и симметричен относительно скалярного произве-дения в L2(R3, dx). Его вторичным квантованием называетсяоператор dΓ(λ) : L2(S ′(R3),μ) → L2(S ′(R3),μ), который можетбыть определен, например, с помощью своего символа:dΓ(λ)(q, p) = (bλp, p) + i(q,λp), где p ∈ S(R3), q ∈ S ′(R3).Квантование проводится с помощью представления классическихполевых переменных p и q операторами:

(q, r) → (q, r)f(ϕ) = (ϕ, r)f(ϕ), r ∈ S ′(R3),

(s, p) → (s, p)f(ϕ) = 1i

(s,

δ

δϕ

)f(ϕ), s ∈ S ′(R3).


dΓ(λ)(q, p) = −(bμλ

δ

δϕ,δ

δϕ

)+

(ϕ,λ

δ

δϕ

). (2.1)

Если λ = a =√−Δ +m2 , то получаем свободный гамильтониан

H0 = dΓ(√−Δ +m2

)=

= −12

∫

R3

δ2

δϕ2(x)dx+

∫

R3

ϕ(x)√−Δ +m2 δ

δϕ(x)dx.

Если λ = I — единичный оператор, то получаем оператор числачастиц

N = dΓ(1) =

= −12

∫

R3

δ

δϕ(x)(−Δ +m2)−1/2 δ

δϕ(x)dx+

∫

R3

ϕ(x) δ

δϕ(x)dx.

Заметим, что эти операторы не ограничены в L2(S ′(R3),μ).Однако они могут быть аппроксимированы ограниченны-ми операторами, соответствующими аппроксимации ядер(−Δ + m2)±1/2 гладкими функциями, см. фон Нейман [15].Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрениемквантово-полевой модели с непрерывными операторами:Nquant = (D(ΩC),Ls(ΩC)), где ΩC = LC

2 (S ′(R3),μ) — про-странство квадратично суммируемых по мере μ функционаловf : S ′(R3) → C, D — пространство операторов плотности,Ls — пространство самосопряженных линейных непрерывныхоператоров.

§ 3. Классическая статистическая модель 211

§ 3. Классическая статистическая модель

Выберем фазовое пространство Ω, состоящее из квадратичносуммируемых полевых функционалов f( · ) : Ω = Q× P , где Q == P = L2(S ′(R3),μ).

Пространство физических переменных V (Ω) состоит из квад-ратичных форм F (f), инвариантных относительно оператора

J =(

0 1−1 0

), определяющего симплектическую структуру на фа-

зовом пространстве Ω:

F (Jf) = F (f).

Заметим, что симплектическая форма на Ω определяется равен-ством

w(f1, f2) = (f1,Jf2) =∫

S(R3)

(p2(ϕ)q1(ϕ) − p1(ϕ)q2(ϕ)) dμ(ϕ),

где fj(ϕ) =(qj(ϕ)pj(ϕ)

), j = 1, 2.

Пространство статистических состояний ST (Ω) состоит изгауссовых мер ρ на пространстве Ω с нулевым средним и еди-ничной дисперсией:

σ2(ρ) =∫

Ω

‖f‖22 dρ(f) = 1.

Также предполагается, что ρ инвариантна относительно действияоператора J : ∫

Ω

F (Jf) dρ(f) =∫

Ω

F (f) dρ(f).

Далее символом ΩC обозначается фазовое пространство Ω,наделенное комплексной структурой: ΩC = Q⊕ iP , см. § 2.

Итак, рассматривается классическая статистическая модельM = (ST (Ω),V (Ω)). Рассмотрим отображение

T : ST (Ω) → D(ΩC), T (ρ) = cov ρ, (А)

T : V (Ω) → Ls(ΩC), T (F ) = F ′′(0)2

. (Б)


Для F : L2(S ′(R3),μ) → R ее производная F ′(f) = δF

δf(ϕ)(f)

является вариационной производной по полевым функционалам

f(ϕ). Итак, здесь F ′′(0) = δ2F

δf(ϕ)2(0).

Теорема 3.1. Отображение T : M → Nquant, заданное (А),(Б), взаимно-однозначно, и имеет место равенство (1.1) клас-сических и квантовых средних.

§ 4. Классическая интерпретация волновой функциив квантовой теории поля

Рассмотрим «чистое состояние» в квантовой теории поля: Ψ ∈∈ ΩC ≡ LC

2 (S ′(R3),μ), ‖Ψ‖2 = 1. При нашей интерпретации Ψописывает гауссов ансамбль полевых функционалов.

Теорема 4.1. Чистые квантово-полевые состояния Ψ яв-ляются образами гауссовых мер ρΨ с ковариационными опе-раторами Ψ ⊗ Ψ. Имеет место равенство

∫

Ω

F (f) dρΨ(ϕ) = 12

(F ′′(0)Ψ,Ψ) = 〈T (F )〉T (ρΨ). (4.1)

§ 5. Квантово-полевое уравнение Шрёдингеракак уравнение Гамильтона

Пусть H ∈ V (Ω):

H(f) = 12

(Hf , f),

где f(ϕ) =(q(ϕ)p(ϕ)

)и

H : L2(S ′(R3),μ)×L2(S ′(R3),μ) → L2(S ′(R3),μ)×L2(S ′(R3),μ)

— непрерывный самосопряженный оператор, коммутирующий

с J. Тогда уравнения Гамильтона q = ∂H∂p

, p = −∂H∂q

(где все про-

изводные понимаются как вариационные производные: δ/δp(ϕ)и δ/δq(ϕ)) могут быть представлены в виде

f(t,ϕ) = JHf(t,ϕ). (5.1)

§ 6. Асимптотическое деквантование 213

Теорема 5.1. Для функции Гамильтона H ∈ V (Ω) уравне-ние (5.1) совпадает с квантово-полевым уравнением Шрёдин-гера

if(t,ϕ) = Hf(t,ϕ). (5.2)

Заметим, что функции Гамильтона H ∈ V (Ω) описывают гар-монические осцилляторы в пространстве полевых функциона-лов f(ϕ).

Если H — диагональный оператор, H = diag(R,R), то H(f) == 1

2[(Rp, p) + (Rq, q)] и уравнения Гамильтона имеют вид

q(t,ϕ) = Rp(t,ϕ), p(t,ϕ) = −Rq(t,ϕ). (5.3)

Таким образом, полевые функционалы q(t,ϕ) и p(t,ϕ) вза-имно индуцируемы (ср. с электромагнитным полем). Уравне-ния (5.3) влекут уравнение

q(t,ϕ) +R2q(t,ϕ) = 0. (5.4)

Аналогичное уравнение может быть получено и в общемслучае с помощью замены переменных. Мы получаем следующийрезультат.

Теорема 5.2. Квантовая теория поля может быть пред-ставлена как классическая статистическая механика гауссо-вых ансамблей гармонических осцилляторов в пространствеполевых функционалов.

Осцилляторы согласованы с симплектическои струк-турой фазового пространства полевых функционалов:L2(S ′(R3),μ) × L2(S ′(R3),μ).

§ 6. Асимптотическое деквантование

Классическая модель M = (ST (Ω),V (Ω)) дает простое, ма-тематически корректное классическое представление квантово-полевой модели Nquant = (D(ΩC),Ls(ΩC)). Однако с физическойточки зрения модель M не вполне удовлетворительна. Возни-кают два вопроса:

а) почему пространство классических физических перемен-ных V (Ω) состоит только из квадратичных форм?

б) почему макроскопические гауссовы флуктуации (σ2(ρ) ≈≈ 1) не наблюдаются непосредственно?

Чтобы ответить на эти вопросы, предлагается перейти отточного деквантования (где отображение T взаимно-однозначно)


к асимптотическому деквантованию, как это было сделанов гл. 8.

Рассмотрим малый параметр κ → 0, κ � 0, и пространстваST κ(Ω), состоящие из гауссовых мер ρ с нулевым средними дисперсией σ2(ρ) = κ. Также предполагается, что мера ρ инва-риантна относительно действия оператора J. Обозначим симво-лом ΩC комплексификацию пространства Ω, т. е. ΩC = Ω ⊕ iΩ.Здесь Ω само по себе рассматривается как вещественное линей-ное пространство, а не как комплексное ΩC. Обозначим симво-лом W (Ω) пространство функций F : Ω → R, F (0) = 0, которыепродолжаются до аналитических функций первого порядка ро-ста F : ΩC → C:

|F (f)| � aF ebF ‖f‖2, aF , bF � 0.

Также предполагается, что функции F инвариантны относи-тельно действия оператора J : F (Jf) = F (f), f ∈ Ω.

Рассмотрим однопараметрическое семейство классиче-ских статистических моделей для полевых функциона-лов: Mκ = (ST κ(Ω),V (Ω)).

Рассмотрим отображение

T : ST κ(Ω) → D(ΩC), T (ρ) = cov ρκ

, (А)

T : W (Ω) → Ls(ΩC), T (F ) = F ′′(0)2

. (Б)

Теорема 6.1. Отображение Mκ → Nquant корректно опре-делено с помощью (А) и (Б). Классическое и квантово-полевоесредние связаны асимптотическим равенством:

〈f〉ρ = κTrT (ρ)T (F ) + o(κ), κ→ 0, (6.1)

причем

|o(κ)| � κ2KF

∫

Ω

edF ‖f‖ dρ(f), KF , dF � 0,

где ρ — гауссова мера с нулевым средним и ковариационнымоператором D = T (ρ) = cov ρ

κ.

Гл а в а 10

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛМОГОРОВСКОЙ МОДЕЛИ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Через всю эту книгу красной нитью проходит мысль, чторазличия между квантовой механикой и классической статисти-ческой механикой (которые непрерывно подчеркивались многимиоснователями квантовой механики 1)) на самом деле не явля-ются фундаментальными. Речь идет в основном о различныхматематических представлениях теории вероятностей. Мы ужеобсуждали эту проблему в гл. 6 о неравенстве Белла, и в гл. 7о предквантовой классической статистической теории поля. Ос-новное следствие этих обсуждений — существование различныхвозможностей для математического соответствия между клас-сической и квантовой вероятностными моделями. В гл. 7 мыполучили интересную интерпретацию квантовой механики какприближенной теории для вычисления классических средних.Однако в этой модели не выполнялось условие соответствиямежду областями значений предквантовых и квантовых величин.Даже дискретные квантовые величины реализовывались в ПТПгладкими функционалами от классических полей с непрерывнойобластью значений.

Возникает вопрос о возможности построения отображения изклассической вероятностной модели в квантовую таким образом,чтобы постулат о совпадении областей значений выполнялся. Та-кое отображение было построено в работах [173, 186], см. также[193, 194]. Мы излагаем эту теорию в настоящей главе.

Сравниваются две модели теории вероятностей: классическая(предложенная А.Н. Колмогоровым [7]) и квантовая. Показано,что различие между этими теориями не так велико, как обыч-но считают. Оказывается, что основные структуры квантовойтеории вероятностей — такие, как интерференция вероятностей,

1) Например, Бором, Гейзенбергом, Дираком, Паули, фон Нейманом, Фо-ком, Ландау, а позднее, например, Фейнманом.

216 Гл. 10. Представление колмогоровской модели

правило Борна, комплексные вероятностные амплитуды, гильбер-тово пространство состояний, представление наблюдений в видеоператоров, — содержатся в скрытой форме в модели Колмо-горова. В частности, получена «интерференция вероятностей»без обращения к представлению в гильбертовом пространстве.«Интерференция вероятностей» интерпретируется как возникно-вение дополнительного члена (cos-члена) в обычной формулеполной вероятности. Такая связь между классической теориейвероятностей и квантовым вероятностным формализмом можетстимулировать применение квантовых методов вне микромира,например в психологии, биологии, экономике и других науках.

§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели

Напомним определение вероятностного пространства, пред-ложенное А.Н. Колмогоровым [7].

Определение 1.1. Вероятностным пространством называетсятройка

P = {Ω,F ,P},где Ω — множество любой природы («пространство элементар-ных событий» или «выборочное пространство»), F — некотораяσ-алгебра подмножеств множества Ω, P — (счетноаддитивная)вероятностная мера на F .

Напомним, что σ-алгеброй называется система множеств,замкнутая относительно счетных пересечений и объединений,содержащая вместе с каждым множеством его дополнение, а так-же Ω и пустое множество ∅.

Имеется достаточно общее мнение, что квантовая модельтеории вероятностей, т. е. исчисление вероятностей, основанноена комплексном гильбертовом пространстве, существенно отли-чается от классической теоретико-множественной модели Колмо-горова [7] (детали и обсуждение см., например, в [3, 6, 8, 9, 14,15, 100–102]). Упомянем несколько отличительных особенностейквантовой теории вероятностей.

а) Использование комплексных амплитуд вероятностей, иливолновых функций, ψ(x).

б) Правило Борна: вероятность события Bx — того, что ча-стица находится в точке x, — задается формулой

Pψ(Bx) = |ψ(x)|2. (1.1)

§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели 217

в) Интерференция вероятностей. Мы представим этот фе-номен, связав его с формулой полной вероятности. Рассмотримпростейшее разбиение выборочного пространства � = {A1,A2},A1A2 = ∅, A1 ∪ A2 = Ω. Тогда мы имеем (см., например, [277,278]):

P(B |C) =∑

P(Aj |C)P(B |AjC). (1.2)

Однако в квантово-вероятностном формализме была полученаиная формула:

P(B |C) =∑

P(Aj |C)P(B |Aj) +

+ 2 cos θ(B |� ,C)√

P(A1 |C)P(B |A1)P(A2 |C)P(B |A2) ,

(1.3)

где θ(B |� ,C) — угол (фаза), который зависит от события B,разбиения � и условия C, при котором событие B происхо-дит. Наличие тригонометрического члена интерпретируется какинтерференция вероятностей (см., например, [6]). В [6] бы-ло подчеркнуто, что имеющаяся интерференция вероятностейв квантовой механике свидетельствует об отклонении от фунда-ментальных законов классической теории вероятностей.

г) Представление физических наблюдаемых некоммутативны-ми операторами в комплексном гильбертовом пространстве (в товремя как в колмогоровской модели используются случайныевеличины — измеримые функции на выборочном пространстве).

Цель этой главы — показать, что в действительности рас-хождение между квантовой моделью (Дирак–фон Нейман [6,102, 15]) и классической моделью (Колмогоров [1]) не стольбольшое, как принято считать. Все упомянутые отличительныеособенности (а)–(г) квантовой теории вероятностей представ-лены в скрытой форме и в классической модели Колмогорова.Конечно, мы не утверждаем, что все проблемы нами разрешены.

Решающим моментом в нашем подходе является то, что всевероятности рассматриваются как контекстуальные вероят-ности. Мы рассматриваем контекст C как комплекс условий:физических, биологических, экономических, финансовых и т. д.Таким образом, бессмысленно говорить об абстрактной вероят-ности P, которая не связана с конкретным контекстом; всякая


вероятность должна быть связана с некоторым фиксированнымконтекстом C 1).

Главным результатом нашего исследования является контек-стуальный вероятностный анализ формулы полной вероятно-сти (1.2) и вывод «квантовой формулы полной вероятности»(1.3) (которую обычно называют интерференцией вероятностей).Отправляясь от формулы полной вероятности, полученной в рам-ках теоретико-множественного подхода с колмогоровским ве-роятностным пространством � = (Ω,� ,P), мы воспроизводимдругие отличительные особенности квантового вероятностногоформализма.

Исходной точкой нашего анализа является контекстуальнаяинтерпретация условных вероятностей. Обычно условная веро-ятность P(A |C) понимается как вероятность осуществлениясобытия A при условии, что произошло событие C. Но мы нехотели бы рассматривать условные вероятности по отношениюк некоторому событию. В общем случае это и невозможно, нель-зя, например, отождествить набор оборудования в лабораториис некоторым событием. Мы будем рассматривать условные ве-роятности относительно комплекса, например, физических усло-вий C. Таким образом, мы рассматриваем условные вероятностине относительно событий, а относительно контекста C.

Важным следствием этой новой интерпретации условных ве-роятностей P(A |C) в колмогоровской модели является невоз-можность использования булевой алгебры для множеств C,представляющих контексты — комплексы, например, физическихусловий. Для двух событий, скажем C1 и C2, всегда можнорассмотреть событие, соответствующее их одновременному осу-ществлению, что в булевой алгебре реализуется как C = C1C2.Это естественная операция на алгебре событий. Но для двухконтекстов не всегда возможно определить их совместную реали-зацию. Таким образом, даже если такие контексты представленымножествами C1 и C2, принадлежащими σ-алгебре � колмого-ровского пространства (Ω,� ,P), мы, рассматривая множество

1) Конечно, тут нет ничего нового. Например, А.Н. Колмогоров указы-вал на роль комплекса экспериментальных условий для определения веро-ятностей в его знаменитой книге [7]. Подобная точка зрения также былапредставлена в книгах Гнеденко и А. Реньи. Частотную теорию вероятностейР. фон Мизеса [292, 293] также можно считать контекстуальной, так как«коллектив» у Мизеса определен комплексом экспериментальных условий.

§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели 219

C = C1C2, не можем быть уверены, что оно представляет физи-чески осмысленный контекст.

Итак, мы не можем рассматривать всю σ-алгебру � кол-могоровского пространства как набор множеств, представляю-щих контексты. В зависимости от решаемой задачи условныевероятности P(A |C) могут рассматриваться только для контек-стов C, принадлежащих некоторому специальному набору мно-жеств � ⊂ � . (Событие A по-прежнему представляется произ-вольным элементом σ-алгебры � .)

Мы покажем, что на таком «усечении» колмогоровской σ-ал-гебры � можно вести квантово-вероятностный формализм. В та-ком подходе квантовый формализм появляется как специаль-ное представление контекстуальной колмогоровской модели:�cont = (Ω,� |� ,P) для специального выбора множества кон-текстов � (которые используются для определения условныхвероятностей).

Заметим, что наша конструкция — контекстуальная модельКолмогорова — очень близка к модели Реньи. Реньи такжерассматривал специальные множества, обозначим их �REN, пред-ставляющие условия. Но наше контекстуальное множество � неудовлетворяет условиям модели Реньи. Это дает нам возмож-ность воспроизвести квантовый вероятностный формализм, чегоне позволяет модель Реньи. Последняя модель является болееобщей с теоретико-множественной точки зрения. В принципе,мы могли бы использовать это обобщение даже в нашем кон-текстуальном подходе. Но мы не делаем этого здесь. Мы хотимпоказать, что даже колмогоровская модель содержит в скрытойформе основные квантово-вероятностные структуры. Подчеркнемснова, что обычно наличие таких структур рассматривается какпроявление «неколмогоровости».

Применяя контекстуальный подход к формуле полной вероят-ности, видим, что использование вероятностей типа P(B |AjC),являющихся условными по отношению к пересечению контек-стов, в общем случае бессмысленно. Также видно, что в кванто-вой формуле полной вероятности (1.3) такие вероятности былиисключены из рассмотрения. Вероятности P(B |AjC) не опреде-лены в физическом смысле. Поэтому в (1.3) вместо P(B |AjC)были рассмотрены «экспериментальные условные вероятности»P(B |Aj). Однако в общем случае имеет место неравенство

P(B |C) �=∑

P(Aj |C)P(B |Aj), (1.4)


которое можно представить в виде равенства

P(B |C) =∑

P(Aj |C)P(B |Aj) + δ(B |� ,C). (1.5)

Очевидно, дополнительный член δ(B |� ,C) есть разность меж-ду левой и правой частью (1.4). Для специальной системыконтекстов 1) � tr (см. § 2) мы получим «квантовую формулуполной вероятности» (1.3), а с помощью этой формулы мыконструируем представление набора контекстов � tr в единичнойсфере комплексного гильбертова пространства. Это решающийшаг для обнаружения особенностей (а)–(г) квантовой теориивероятностей в классической теории вероятностей, но в рамкахконтекстульного подхода.

Какова главная цель такой конструкции? С одной стороны,мы готовы демистифицировать квантовую вероятность и связатьее достаточно простым путем с классической моделью Колмо-горова. С другой стороны, воспроизведя квантовое вероятност-ное исчисление, в частности «интерференцию вероятностей»,в теоретико-множественной теории вероятностей, мы не видимпричин к ограничению применения этого исчисления толькодля описания процессов микромира. Используя контекстуальныйподход, мы можем построить квантовое представление для ста-тистических моделей в различных областях знаний, напримерв биологии, психологии, экономике.

Естественно спросить, почему такой подход может быть пло-дотворным? В нашем подходе квантовое представление есть про-екция классической модели теории вероятностей. Оно явля-ется существенным упрощением классического вероятностногоописания. Такое упрощенное описание может быть полезно длямоделей, в которых детальное классическое описание крайнезатруднено. Например, применение в когнитивных науках и пси-хологии [12, 27, 66, 67, 105, 110, 111, 161, 175, 180], в теорииигр [120, 121], в финансовой математике [69–74, 129–133, 82,83, 180, 179, 105, 253–262, 274], в классической теории неупо-рядоченных систем [198].

Заметим, что впервые «квантовая формула полной вероят-ности» (1.3), без обращения к гильбертову пространству, была

1) Так называемых «тригонометрических контекстов», т. е. производящихcos-интерференцию.

§ 2. Интерференционная формула полной вероятности 221

получена в [159] в рамках частотной теории фон Мизеса.В [63] дано применение для этой цели закона больших чисел.

В последние годы было предпринято несколько попыток ис-пользования неколмогоровского, но теоретико-множественногоподхода для вывода некоторых положений квантовой механики(см., например, [4] и [22]).

§ 2. Интерференционная формула полной вероятности

Мы рассмотрим формулу полной вероятности (1.2) в частномслучае, когда a и b — двузначные случайные величины, a = a1, a2и b = b1, b2. Тогда мы имеем

P(b = bi |C) =∑n

P(a = an |C)P(b = bi | a = an,C).

Если измерение случайной величины a существенно возмущаетконтекст C, то мы не в состоянии создать контекст, соответ-ствующий невозмущающему измерению величины a при ком-плексе экспериментальных условий C. Поэтому следовало быизменить эту формулу и исключить вероятности P(b = bi | a == an,C).

Следующее понятие хорошо известно в теории измеренийквантовой механики (см. [64, 99, 100, 101, 151]). Обозначимчерез Aj некоторый контекст выбора по отношению к значе-нию a = aj случайной величины a. Например, в квантовой ме-ханике рассматриваются измерения, когда выбираются все ча-стицы с фиксированным значением импульса a. Эти контексты(в нашем случае j = 1, 2) в теоретико-множественном подходепредставлены множествами Aj = {ω ∈ Ω: a(ω) = aj}. Мы так-же введем контексты выбора по отношению к фиксированнымзначениям случайных величин b, которые будут представленымножествами Bi = {ω ∈ Ω: b(ω) = bi}. Мы рассмотрим разбиения� = {A1,A2} и � = {B1,B2} выборочного пространства Ω.

Множество C, принадлежащее � , будем называть невырож-денным контекстом относительно разбиения � , если P(AnC) �= 0для всех n. Мы обозначим множество всех �-невырожденныхконтекстов символом �

� ,nd. Разбиения � и � мы будем называтьвзаимно дополнительными, если P(BnAk) �= 0 для всех n и k.Таким образом, � и � являются взаимно дополнительнымитогда и только тогда, когда Bn есть невырожденный контекстотносительно � , и наоборот. Если случайные величины a и b


индуцируют взаимно дополнительные разбиения � и � , тоони также будут называться взаимно дополнительными. Такимобразом, взаимная дополнительность определена в теоретико-множественной теории.

Везде далее мы предполагаем, что a и b — взаимно допол-нительные случайные величины. Пусть B ∈ �

� ,nd. Определимкоэффициент интерференции случайных величин a и b следую-щей формулой:

λ(B |� ,C) = δ(B |� ,C)2√

P(A1 |C)P(B |A1)P(A2 |C)P(B |A2), (2.1)

где δ(B |� ,C) = P(B |C) −2∑j=1

P(B |Aj)P(Aj |C). Мы увидим,

что «формула полной вероятности с дополнительным членом»(1.5) имеет интересные следствия, если дополнительный член δ(возмущение) представлен в виде

δ(B |� ,C) = λ(B |� ,C)√

P(A1 |C)P(B |A1)P(A2 |C)P(B |A2) .(2.2)

Положим�

tr = {C ∈ �� ,nd : |λ(B |� ,C)| � 1}

и будем называть элементы множества � tr тригонометрическимиконтекстами. Мы будем рассматривать контекстуальную колмо-горовскую модель с таким набором контекстов:

�cont, tr = (Ω,� |� tr,P). (2.3)

Заметим, что в общем случае система множеств �tr не явля-

ется алгеброй, так как из условия C1,C2 ∈ � tr не следует, чтоC = C1C2 ∈ � tr. Наш основной результат может быть сформули-рован в виде следующей теоремы, доказательство которой будетпроведено в несколько этапов.

Теорема 2.1. «Квантовая формула полной вероятности»(1.3) может быть получена в рамках колмогоровской тео-рии вероятностей. На основании этой формулы можно по-строить отображение множества тригонометрических кон-текстов � tr в единичную сферу S комплексного гильбертовапространства H (пространство комплексных амплитуд). Та-кое отображение определяется парой a, b взаимно дополни-тельных случайных величин (базовые случайные величины),

§ 2. Интерференционная формула полной вероятности 223

которые представлены некоммутативными операторами a, b.Унитарность матрицы V b | a перехода от базиса {eai } к бази-су {ebi} (эти базисы определенным образом соответствуютслучайным величинам a и b) эквивалентна правилу Борна дляэтих случайных величин. Такая конструкция может бытьреализована только для бистохастических матриц переход-ных вероятностей.

Используем сначала соотношение (2.2) для преобразованияформулы полной вероятности с дополнительным членом (1.5)к виду

P(B |C) =∑

P(Aj |C)P(B |Aj) +

+ 2λ(B |� ,C)√

P(A1 |C)P(B |A1)P(A2 |C)P(B |A2) . (2.4)

1) Пусть интерференционные коэффициенты |λ(B |� ,C)| � 1для каждого B ∈ � . Мы введем новый статистический параметрθ(B |� ,C) ∈ [0, 2π] и представим коэффициенты в тригономет-рической форме

λ(B |� ,C) = cos θ(B |� ,C).

Параметр θ(B |� ,C) называется фазой события B относительноразбиения � в контексте C. В этом случае формула полнойвероятности с дополнительным членом в форме (2.4) совпадаетс «квантовой формулой полной вероятности» (1.3) и есть нечто иное, как знаменитая формула «интерференции вероятно-стей». Обычно эта формула получается с помощью унитарныхпреобразований в гильбертовом пространстве, соответствующихпереходу от одного ортонормированного базиса к другому, и ве-роятностного постулата Борна. В квантовых рассмотрениях ор-тонормированный базис состоит из собственных векторов неком-мутативных операторов, соответствующих квантовым наблюдае-мым a и b.

2) Предположим, что |λ(B |� ,C)| � 1 для всех B ∈ � . Тогдаθ(B |� ,C) ∈ (−∞,+∞) и мы представим коэффициенты в ги-перболической форме

λ(B |� ,C) = ± ch θ(B |� ,C).

В этом случае (2.4) имеет форму «гиперболической интерферен-ции вероятностей»:


P(B |C) =∑

P(Aj |C)P(B |Aj) ±

± ch θ(B |� ,C)√

P(A1 |C)P(B |A1)P(A2 |C)P(B |A2) . (2.5)

В этой главе наши рассмотрения относятся к первому слу-чаю 1). Везде ниже B = Bx, x = b1, b2, и мы будем часто исполь-зовать символы λ(b = x | a,C) вместо λ(Bx |� ,C).

§ 3. Извлечение комплексных вероятностныхамплитуд и правила Борна из колмогоровской модели

Напомним, что мы изучаем случай взаимно дополнитель-ных двузначных случайных величин: a = a1, a2, b = b1, b2. Этапара случайных величин фиксирована в дальнейших рассмот-рениях. Будем называть такие случайные величины базовыми.Для каждой фиксированной пары a, b базовых величин мы по-строим представление контекстуальной колмогоровской модели�cont, tr = (Ω,� |� tr,P) в комплексном гильбертовом простран-стве. Положим Y = {a1, a2}, X = {b1, b2} («спектры» случайныхвеличин a и b). Пусть C ∈ � tr. Тогда положим

paC(y) = P(a = y |C), pbC(y) = P(b = x |C),

p(x | y) = P(b = x | a = y), x ∈ X, y ∈ Y.

Формула (1.3) может быть записана в виде

pbc =∑y∈Y

paC(y)p(x | y) + 2 cos θC(x)√∏y∈Y

paC(y)p(x | y) , (3.1)

1) Мы только упомянем, что во втором случае мы можем получить пред-ставление контекстуальной колмогоровской модели �cont,hyp = (Ω,� |�hyp,P),где �hyp = {C ∈ �

� ,nd : |λ(Bj |� ,C)| � 1}, в так называемом гиперболическомгильбертовом пространстве — гильбертовом модуле над двумерной клиффор-довой алгеброй, т. е. коммутативной алгеброй с базисом e1 = 1 и e2 = j,j2 = +1 (см. [13, 174, 180]). Таким образом, невозможно представить всюколмогоровскую σ-алгебру � в комплексном гильбертовом пространстве. Бо-лее того, � tr ∪ �

hyp есть собственная подсистема � . Например, существуютсмешанные гипер-тригонометрические контексты: одно |λ| � 1, другое |λ| � 1.Также существуют вырожденные контексты C, для которых интерференцион-ные коэффициенты не определены вообще.

§ 3. Извлечение комплексных вероятностных амплитуд 225

где θ(b = x | a,C) = ± arccosλ(b = x | a,C), x ∈ X. Здесь

δ(b = x | a,C) = pbC(x) −∑y∈Y

paC(y)p(x | y),

λ(b = x | a,C) = δ(b = x | a,C)

2√∏y∈Y

paC(y)p(x | y).

Используя элементарную формулу D = A + B + 2√AB cos θ =

= |√A + eiθ√B |2 для A,B > 0, θ ∈ [0, 2π], мы можем пред-

ставить вероятность pbC(x) как квадрат комплексных амплитуд(правило Борна):

pbC(x) = |ϕC(x)|2, (3.2)

где

ϕ(x) ≡ ϕC(x) =√paC(a1)p(x | a1) + eiθC(x)

√paC(a2)p(x | a2) .

(3.3)Важно подчеркнуть, что поскольку для каждого x ∈ X фазы

θC(x) могут быть выбраны двумя способами (со знаком + или сознаком −), то представление контекстов комплексных амплитудопределено неоднозначно.

Чтобы зафиксировать представление колмогоровского про-странства � cont, tr, мы должны зафиксировать фазы. Ниже будетвидно, что для получения «хорошего представления» надо выби-рать фазы специальным образом.

Мы обозначим пространство функций ϕ : X → C, где Cесть поле комплексных чисел, символом E = Φ(X,C). Так какX = {b1, b2}, то E есть двумерное комплексное пространство.Функции Дирака {δ(b1 − x), δ(b2 − x)} являются каноническимбазисом в этом пространстве. Мы увидим (предложение 5.1),что при естественных предположениях на матрицы переходныхвероятностей справедливо представление ϕBj (x) = δ(bj − x). Длякаждого ϕ ∈ E имеем: ϕ(x) = ϕ(bj)δ(bj − x) + ϕ(b2)δ(b2 − x).Используя представление (3.3), построим отображение

Jb | a : � tr → Φ(X,C). (3.4)

Отображение Jb | a переводит контексты (комплексы, напри-мер, физических условий) в комплексы амплитуд. Представле-ние (3.2) вероятности pbC(x) как квадрата абсолютного значениякомплексной (b | a)-амплитуды есть не что иное, как знаменитое



правило Борна. Комплексная амплитуда ϕC(x) может быть на-звана волновой функцией комплекса физических условий (кон-текста C) или чистым состоянием. Положим ebx( · ) = δ(x − · ).Тогда правило Борна для комплексных амплитуд (3.2) можетбыть переписано в следующем виде:

pbC(x) = 〈ϕC , ebx〉2, (3.5)

где скалярное произведение в пространстве E = Φ(X,C) опре-делено стандартным образом: 〈ϕ,ψ〉 =

∑x∈X

ϕ(x)ψ(x). Система

функций {ebx}x∈X образует ортонормированный базис в гильбер-товом пространстве H = (E, 〈 · 〉). Пусть X ⊂ R, где R — поледействительных чисел. Используя представление (3.5), идущееот правила Борна, мы получаем представление в этом гиль-бертовом пространстве среднего для колмогоровской случайнойвеличины b:

E(b |C) =∑x∈X

xpbC(x) =∑x∈X

x|ϕC(x)|2 =

=∑x∈X

x〈ϕC , ebx〉〈ϕC , ebx〉 = 〈bϕC ,ϕC〉, (3.6)

где самосопряженный оператор b : E → E определяется его соб-ственными векторами: bebx = xebx, x ∈ X, оператор b есть опера-тор умножения в пространстве комплексных функций Φ(X,C):bϕ(x) = xϕ(x). Таким образом, с помощью (3.6) условное среднееколмогоровской случайной величины представляется в гильбер-товом пространстве с помощью самосопряженного оператора b.Введем следующие обозначения:

uaj =√paC(aj) , ubj =

√pbC(bj) , pij = p(bj | ai),

uij = √pij , θj = θC(bj).

(3.7)

Заметим, что коэффициенты uaj , ubj зависят от контекста C,

т. е. uaj = uaj (C), ubj = ubj(C). Рассмотрим матрицу переходныхвероятностей

Pb | a = (pij).


Это всегда стохастическая матрица. Поскольку ϕC = vb1eb1 +

+ vb2eb2, где v

bj = ua1u1j + ua2u2je

iθj , имеем

pbC(bj) = |vbj |2 = |ua1u1j + ua2u2jeiθj |2. (3.8)

Это дает интерференционное представление вероятно-стей, которое используется, например, в квантовом формализме.Напомним, что формула (3.8) получена из интерференционнойформулы полной вероятности (3.1).

Мы хотели бы получить правило Борна не только для вели-чины b, но и для случайной величины a, что, как будет видно издальнейшего изложения, невозможно в общем случае. Отправ-ляясь от двух произвольных взаимно дополнительных случай-ных величин a и b, мы получили представление вероятностноймодели в комплексном линейном пространстве. Эта модель су-щественно более общая, чем стандартное квантово-механическоепредставление. В нашем (более общем) линейном представлении«сопряженная случайная величина» a не обязательно представ-ляется симметричным оператором (матрицей) в гильбертовомпространстве H, порожденном b. Напомним, что в квантовоймеханике обе базовые величины (координата и импульс) пред-ставлены в одном и том же гильбертовом пространстве.

Для всякого контекста C0 мы можем представить соответ-ствующую волновую функцию ϕ = ϕ0 в виде

ϕ = ua1ea1 + ua2e

a2, (3.9)

гдеea1 = (u11,u12), ea2 = (eiθ1u21, e

iθ2u22). (3.10)

Здесь {eai } — система векторов в E, соответствующая a-наблю-даемой. Мы предполагаем, что векторы {eai } линейно независимыи поэтому являются базисом в E. Имеем: ea1 = v11e

b1 + v12e

b2,

ea2 = v21eb1 + v22e

b2, где V = (vij) — матрица, соответствующая

преобразованию комплексных амплитуд: v11 = u11, v21 = u21,v12 = eiθ1u21, v22 = eiθ2u22. Найдем теперь класс матриц V , такойчто правило Борна (3.5) справедливо для a-базиса:

paC(aj) = |〈ϕ, eaj 〉|2. (3.11)

В силу (3.9) правило Борна (3.11) справедливо тогда и толькотогда, когда {eai } — ортонормированный базис, т. е. когда Vпредставляет собой унитарную матрицу.

8*


Так как мы изучаем двумерный случай, возникающий вслед-ствие двузначности случайных величин, то матрица V ≡ V b | aявляется унитарной тогда и только тогда, когда матрица пере-ходных вероятностей Pb | a является бистохастической и eiθ1 == −eiθ2 , или

θC0(b1) − θC0(b2) = π mod 2π. (3.12)

Следует заметить, что условия (3.12) на фазы и условие би-стохастичности не являются независимыми, что демонстрируетследующая лемма.

Лемма 3.1. Пусть матрица переходных вероятностейPb | a является бистохастической. Тогда

cos θC(b2) = − cos θC(b1) (3.13)

для любого контекста C ∈ � tr.

В силу леммы 3.1 мы имеем две различные возможностивыбора фаз:

cos θC(b1) + cos θC(b2) = π

илиcos θC(b1) − cos θC(b2) = π mod 2π.

В силу (3.12), чтобы получить правило Борна для случайнойвеличины a, нужно выбрать фазы θC0(bi), i = 1, 2, таким образом,чтобы

cos θC(b2) = cos θC(b1) + π. (3.14)

Если θC(b1) ∈ [0,π], то θC(b2) ∈ [π, 2π], и наоборот. Эта леммаочень важна, так как с ее помощью мы всегда можем выбратьθC(bj), j = 1, 2, удовлетворяющие (3.14). Очевидно, что это воз-можно только для случая, когда базовые наблюдаемые выбранытак, что матрица переходных вероятностей является бистохасти-ческой.

Специфической особенностью конструкции a-представленияявляется то, что базис {eaj} зависит от контекста C0: eaj = eaj (C0).А правило Борна в действительности имеет вид paC0

(aj) == |〈ϕC0, e

aj (C0)〉|2. Однако в соответствии с условием квантового

формализма нам нужен фиксированный a-базис для всех контек-стов C ∈ � tr.


Лемма 3.2. Пусть матрица переходных вероятностейPb | a является бистохастической и для каждого контекстаC ∈ � tr фазы θC(bj) выбраны из условия

θC0(b2) = θC0(b1) + π mod 2π. (3.15)

Тогда для каждого контекста C ∈ � tr правило Борна справед-ливо в базисе eaj ≡ eaj (C0), построенном для фиксированногоконтекста C0:

paC(aj) = |〈ϕC , eaj 〉|2. (3.16)

Доказательство. Пусть C0 есть некоторый фиксированныйконтекст. Рассмотрим базис {eaj (C0)} и матрицу V (C0), соответ-ствующую этому контексту. Для каждого C ∈ � tr представимволновую функцию как φC = va1(C)ea1(C0) + va2(C)ea2(C0), где|vaj (C)|2 = paC(aj). Очевидно, что для каждого C ∈ � tr мы можемпредставить волновую функцию как

φC(b1) = ua1(C)v11(C0) + ei[θC(b1)−θC0(b1)]ua2(C)v12(C0),

φC(b2) = ua1(C)v21(C0) + ei[θC(b2)−θC0(b2)]ua2(C)v22(C0).

Таким образом, мы должны иметь: θC(b1) − θC0(b1) = (θC(b2) −− θC0(b2)) mod 2π для всякой пары контекстов C0 и C1. Исполь-зуя соотношение (3.15) между фазами θC(b1), θC(b2) и θC0(b1),θC0(b2), получаем: θC(b2) − θC0(b2) = (θC(b1) + π) − (θC0(b1) −− π) = (θC(b1) − θC0(b1)) mod 2π.

Условия (3.15) существенно ограничивают класс комплекс-ных амплитуд, которые могут быть использованы для представ-ления контекста C ∈ � tr. Всякое C может быть представленотолько двумя амплитудами ϕ(x) и ϕ(x), соответствующими двумвозможным выборам θC(b1) (в интервале [0,π] или [π, 2π]).

Из леммы 3.2 мы получаем следующую часть теоремы 2.1:можно построить представление контекстуальной колмого-ровской модели � cont, tr в гильбертовом пространстве так,что правило Борна будет справедливо для обеих базовыхслучайных величин тогда и только тогда, когда матрицапереходных вероятностей Pb | a является бистохастической.

Если Pb | a является бистохастической матрицей, то мы имеемквантовоподобное представление не только для условного сред-


него случайной величины в (см. (3.6)), но также и для случайнойвеличины a:

E(a |C) =∑y∈Y

ypaC(y) =∑y∈Y

y|〈ϕC , eay〉|2 = 〈aϕC ,ϕC〉, (3.17)

где самосопряженный оператор a : E → E с симметрической мат-рицей определен собственными векторами: aeaj = ajeaj . Из (3.17)следует, что случайную величину a можно естественно предста-вить оператором a.

Обозначим символом S единичную сферу гильбертова про-странства E = Φ(X,C). Отображение Jb | a : � tr → S не обяза-тельно сюръективно или инъективно. В общем случае множество(чистых) состояний, соответствующее колмогоровскому контек-стуальному пространству,

S�

tr ≡ Sb | a�

tr = Jb | a(� tr),

является собственным подмножеством сферы S. Структура мно-жества чистых состояний S

�tr определяется колмогоровским про-

странством и базовыми случайными величинами a и b.

§ 4. Представление колмогоровских случайныхвеличин некоммутативными операторами

Пусть матрица переходных вероятностей Pb | a является би-стохастической. В этом пункте мы рассматриваем случайдействительнозначных случайных величин. Здесь спектры слу-чайных величин b и a являются подмножествами R. Поло-жим q1 = √

p11 = √p22 и q2 = √

p12 = √p21 . Таким обра-

зом, векторы a-базиса (см. (3.10)) имеют следующий вид:ea1 = (q1, q2), ea2 = (eiθ1q2, eiθ2q1). Так как θ2 = θ1 + π, име-ем: ea2 = eiθ2(−q2, q1). Найдем теперь матрицы операторов a

и b в b-представлении. Очевидно, b-представление являетсядиагональным для b. Для a имеем: a = V diag(a1, a2)V �, гдеv11 = v22 = q1, v21 = −v12 = q2. Таким образом, a11 = a1q

21 + a2q

22,

a22 = a1q22 + a2q

21, a12 = a21 = (a1 − a2)q1q2. Отсюда [ b, a ] = m,

где m11 = m22 = 0 и m12 = −m21 = (a1 − a2)(b2 − b1)q1q2. Таккак a1 �= a2, b1 �= b2 и qj �= 0, получаем, что m �= 0.

§ 5. Роль одновременной бистохастичности матриц Pb | a и Pa | b 231

§ 5. Роль одновременной бистохастичности матрицPb | a и Pa | b

Отправляясь от b-представления, т. е. комплексных ампли-туд ϕC(x), определенных на спектре случайной величины b,мы построили a-представление. Это естественная конструкцияпродуцирует вероятностное правило Борна только тогда, когдаматрица Pb | a бистохастична. Нам нужно иметь симметричнуюмодель. Отправляясь от a-представления, т. е. от комплексныхамплитуд ϕC(y), определенных на спектре случайной величи-ны a, мы хотим построить естественное b-представление. Обеэти матрицы переходных вероятностей Pb | a и Pa | b должны бытьбистохастическими.

Теорема 5.1. Пусть матрица Pb | a является бистохасти-ческой. Тогда контексты B1, B2 принадлежат �

tr тогдаи только тогда, когда матрица Pa | b является бистохасти-ческой.

Лемма 5.1. Матрицы переходных вероятностей Pb | aи Pa | b являются бистохастическими тогда и только тогда,когда имеет место симметричность, т. е.

p(bi | aj) = p(aj | bi), i, j = 1, 2. (5.1)

Это эквивалентно тому, что случайные величины a и b яв-ляются равномерно распределенными, т. е. pa(ai) = pb(bi) == 1

2, i = 1, 2.

Эта лемма имеет важные физические следствия. Нормальное(борновское) гильбертово представление контекстов может бытьпостроено только для пары взаимно дополнительных одинаковораспределенных случайных величин a и b.

Лемма 5.2. Пусть обе матрицы Pb | a и Pa | b являютсябистохастическими. Тогда

λ(Bi | a,Bi) = 1. (5.2)

Предложение 5.1. Пусть обе матрицы переходных веро-ятностей Pb | a и Pa | b бистохастические. Тогда

Jb | a(Bj)(x) = δ(bj − x), x ∈ X,

иJa | b(Aj)(y) = δ(aj − y), y ∈ Y.


Таким образом, когда матрицы Pa | b и Pb | a бистохастические,т. е. когда обе базовые случайные величины a и b равномернораспределены, правило Борна имеет вид: pbC(x) = |〈φC ,φBx〉|2.

§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей в случаемногозначных базовых переменных

Общий случай величин, принимающих более двух различ-ных значений, индуктивно сводится к случаю двузначных ве-личин. Мы рассмотрим две взаимно дополнительные случайныевеличины a и b, принимающие по n значений: a = a1, . . . , anи b = b1, . . . , bn. Начнем с некоторых очевидных обобщений ре-зультатов § 2.

Лемма 6.1. Пусть B,C,D1,D2 ∈ � , P(C) �= 0 и D1 ∩D2 == ∅. Тогда

P(B(D1 ∪D2) |C) = P(BD1 |C) + P(BD2 |C). (6.1)

Предложение 6.1 (формула полной вероятности). Пусть вы-полнены условия леммы 6.1, и пусть P(DjC) �= 0. Тогда

P(B(D1 ∪D2) |C) = P(B |D1C)P(D1 |C) +

+ P(B |D2C)P(D2 |C). (6.2)

Предложение 6.2 (контекстуальная формула полнойвероятности). Пусть выполнены условия предложения 6.1и P(BDj) �= 0, j = 1, 2. Тогда

P(B(D1 ∪D2) |C) = P(B |D1)P(D1 |C) +

+ P(B |D2)P(D2 |C) + 2λ(B | {D1,D2},C) ××

√P(B |D1)P(D1 |C)P(B |D2)P(D2 |C) , (6.3)

где интерференционный коэффициент

λ(B | {D1,D2},C) = δ(B | {D1,D2},C)√P(B |D1)P(D1 |C)P(B |D2)P(D2 |C)

,

(6.4)

§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей 233

δ(B | {D1,D2},C) =

= P(B(D1 ∪D2) |C) −2∑j=1

P(B |Dj)P(Dj |C) =

=2∑j=1

P(Dj |C)(P(B |DjC) − P(B |Dj)).

Заметим, что если � = {D1,D2} есть разбиение выборочногопространства, то формула (6.3) совпадает с интерференционнойформулой полной вероятности (см. § 2).

Для представления контекстов в случае многозначных на-блюдаемых будут использованы следующие комбинации фор-мул (6.1) и (6.3).

Лемма 6.2. Пусть выполнены условия леммы 6.1 и значе-ния P(BD1), P(CD1) и P(BD1C) строго положительны. Тогда

P(B(D1 ∪D2) |C) = P(B |D1)P(D1 |C) + P(BD2 |C) +

+ 2μ(B | {D1,D2},C)√

P(B |D1)P(D1 |C)P(BD2 |C) , (6.5)

где

μ(B | {D1,D2},C) =[P(B(D1 ∪D2) |C) − P(B |D1)P(D1 |C) −

− P(BD2 |C)][

2√

P(B |D1)P(D1 |C)P(BD2 |C)]−1

.

Предположим, что коэффициенты μ и λ ограничены едини-цей. Тогда их можно представить в тригонометрической форме

λ(B | {D1,D2},C) = cos θ(B | {D1,D2},C),μ(B | {D1,D2},C) = cos γ(B | {D1,D2},C).

Подставляя эти выражения в (6.3) и (6.5), получаем преоб-разование вероятностей в тригонометрическую форму. Из лем-мы 6.2 имеем

P(Bx |C) = P(Bx(A1 ∪ . . . ∪An) |C) =

= P(Bx |A1)P(A1 |C) + P(Bx(A2 ∪ . . . ∪An) |C) +

+ 2μ(Bx | {A1,A2 ∪ . . . ∪ An},C) ××

√P(Bx |A1)P(A1 |C)P(Bx(A2 ∪ . . . ∪An) |C) ,


где

μ(Bx | {A1,A2 ∪ . . . ∪An},C) =[P(Bx(A1 ∪ . . . ∪An) |C) −

− P(Bx |A1)P(A1 |C) − P(Bx(A2 ∪ . . . ∪An) |C)]×

×[2√

P(Bx |A1)P(A1 |C)P(Bx(A2 ∪ . . . ∪ An) |C)]−1

.

Предположим, что коэффициенты относительно малы для всехx ∈ X: |μ(Bx | {A1,A2 ∪ . . .∪An},C)| � 1. Тогда мы можем пред-ставить эти коэффициенты как μ(Bx | {A1,A2 ∪ . . . ∪ An},C) == cos γ(Bx | {A1,A2 ∪ . . . ∪ An},C). Таким образом, вероятностьP(Bx |C) ≡ P(Bx(A1 ∪ . . . ∪ An) |C) может быть представленакак квадрат абсолютного значения комплексной амплитуды

ϕC(x) ≡ ϕ(1)C (x) =

√P(Bx |A1)P(A1 |C) +

+ eiγ(1)C (x)

√P(Bx(A2 ∪ . . . ∪An) |C) ,

где фаза γ(1)C равна γ(Bx | {A1,A2 ∪ . . .∪An},C). Таким же путем

вероятность во втором слагаемом может быть представлена как

P(Bx(A2 ∪ . . . ∪An) |C) =

= P(Bx |A2)P(A2 |C) + P(Bx(A3 ∪ . . . ∪An) |C) ××

√P(Bx |A2)P(A2 |C)P(Bx(A3 ∪ . . . ∪An) |C) ,

где

μ(Bx | {A2,A3 ∪ . . . ∪An)},C) =[P(Bx(A2 ∪ . . . ∪An) |C) −

− P(Bx |A2)P(A2 |C) − P(Bx(A3 ∪ . . . ∪An) |C)]×

×[2√

P(Bx |A2)P(A2 |C)P(Bx(A3 ∪ . . . ∪ An) |C)]−1

.

Предполагая, что эти коэффициенты «статистического от-клонения» ограничены единицей, мы можем представить ве-роятность как квадрат абсолютного значения комплексной ам-плитуды

ϕ(2)C (x) =

√P(Bx |A2)P(A2 |C) +

+ eiγ(2)C (x)

√P(Bx(A3 ∪ . . . ∪An) |C) ,

§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей 235

где γ(2)C (x) = ± arccosμ(Bx | {A2,A3 ∪ . . . ∪ An},C). На j-м шаге

мы представим P(Bx(Aj ∪ . . .∪An) |C) как квадрат абсолютногозначения комплексной амплитуды

ϕ(j)C (x) =

√P(Bx |Aj)P(Aj |C) +

+ eiγ(j)C (x)

√P(Bx(Aj+1 ∪ . . . ∪An) |C) ,

где γ(j)C — фаза коэффициента

μ(Bx | {Aj ,Aj+1 ∪ . . . ∪An)},C) =[P(Bx(Aj ∪ . . . ∪ An) |C) −

− P(Bx |Aj)P(Aj |C) − P(Bx(Aj+1 ∪ . . . ∪An) |C)]×

×[2√

P(Bx |Aj)P(Aj |C)P(Bx(Aj+1 ∪ . . . ∪ An) |C)]−1

.

Предполагается, что на каждом шаге коэффициенты |μ| огра-ничены единицей. На шаге j = n − 1 мы должны получитьпредставление для вероятности P(Bx(An−1 ∪An) |C). Здесь ужеможно вообще исключить C-контекстуальность для Bx:

P(Bx(An−1 ∪ An) |C) = P(Bx |An−1)P(An−1 |C) +

+ P(Bx |An)P(An |C) + 2λ(Bx | {An−1,An}) ××

√P(Bx |An−1)P(An−1 |C)P(Bx |An)P(An |C) ,

где коэффициент статистического отклонения λ определен в(6.4). И если |λ| ограничено единицей, то мы можем представитьэту вероятность как квадрат абсолютного значения комплекснойамплитуды

ϕ(n−1)C (x) =

√P(Bx |An−1)P(An−1 |C) +

+ eiθC(x)√

P(Bx |An)P(An |C) ,

где θC(x) = ± arccosλ(x | {An−1,An},C). Имеем

ϕ(j)C (x) =

√P(Bx(Aj+1 ∪ . . . ∪ An) |C) eiα

(j)C (x),

гдеα

(j)C (x) = argϕ(j)

C (x) = arccos Mj

Nj,


Mj =√

P(Bx |Aj)P(Aj |C) +

+ μ(Bx | {Aj ,Aj+1 ∪ . . .∪ An},C)√

P(Bx(Aj+1 ∪ . . . ∪An) |C) ,

Nj =√

P(Bx(Aj ∪ . . . ∪An) |C) .

Наконец, имеем

α(n−1)C (x) = argϕ(n−1)

C (x) =

= arccos[

1√P(Bx(An−1 ∪An) |C)

[√P(Bx |An−1)P(An−1 |C) +

+ λ(Bx | {An−1,An},C)√

P(Bx |An)P(An |C)]].


ϕC(x) =√

P(Bx |A1)P(A1 |C) + ei[γ(1)C (x)−α(2)

C (x)]ϕ(2)C (x) =

=√

P(Bx |A1)P(A1 |C) + eiβ(2)C (x)

√P(Bx |A2)P(A2 |C) +

+ eiβ(3)C (x)ϕ

(3)C (x),

где

β(2)C (x) = γ

(1)C (x) − α

(2)C (x), β

(3)C (x) = β

(2)C (x) + γ

(2)C (x) − α

(3)C (x).

Наконец, получаем

ϕC(x) =n∑j=1

eiβ(j)C (x)

√P(Bx |Aj)P(Aj |C)

с β(1)C (x) = 0 (благодаря нашему специальному выбору представ-

ления) и β(n)C (x) = β

(n−1)C (x) + θC(x).

Таким образом, индуктивно расщепляя многозначные величи-ны в двузначные, мы представили контекстуальные вероятностикомплексными амплитудами ϕC(x). Здесь правило Борна спра-ведливо.

§ 7. Представление контекстуальной динамики 237

Используя стандартные в этой работе обозначения p(x | y) == P(Bx |Ay) и pbC(x) = P(Bx |C), paC(y) = P(Ay |C), мы пишем

ϕC(x) =∑y

eiβ(y)C (x)

√paC(y)p(x | y) .

В частности, для n = 3 имеем

ϕC(x) =√paC(a1)p(x | a1) + eiβ

(2)C (x)

√paC(a2)p(x | a2) +

+ eiβ(3)C (x)

√paC(a3)p(x | a3) ,

где

β(2)C (x) = γ

(1)C (x) − α

(2)C (x), β

(3)C (x) = γ

(3)C (x) + θC(x).

Заметим, что каждая фаза β(j)C (x) зависит от всех трех a-кон-

текстов A1, A2, A3. Заметим, что вероятности pbC(x) могут бытьпредставлены в виде

pbC(x) = |ϕC(x)|2 =∑y

paC(y)p(x | y) +

+ 2∑y1<y2

cos [β(y2)C (x) − β

(y1)C (x)]

√paC(y1)paC(y2)p(x | y1)p(x | y2) .

Далее мы можем следовать тем же путем, что и в случаедвузначных случайных величин (см. §§. 2, 3).

§ 7. Представление контекстуальной динамикив виде дифференциального уравнения

в гильбертовом пространстве

Предполагается, что величины a и b эволюционируют современем: a = a(t,ω), b = b(t,ω). Будем предполагать, что ихобласти значений Y и X не зависят от t. Каждая из величинпринимает два значения: X = {b1, b2}, Y = {a1, a2}. Будет рас-сматриваться эволюция, удовлетворяющая ряду условий. Первоеиз них

Т) (сохранение тригонометрического поведения). Множествотригонометрических контекстов не зависит от t.


При условии (Т), если в начальный момент времени t0 коэф-фициент дополнительности |λ(b(t0) = x | a(t0),C)| � 1, то он всевремя будет флуктуировать на отрезке [0, 1].

Для каждого t применим формализм контекстуального кван-тования, развитый в предыдущих параграфах, любой тригоно-метрический контекст C представим комплексной амплитудой

ψ(t,x) ≡ ψC(t,x) =√pa(t)C (a1)pb(t) | a(t)(x | a1) +

+ eiθCb(t) | a(t)√pa(t)C (a2)pb(t) | a(t)(x | a2) . (7.1)

Наблюдаемая a(t) представляется самосопряженным операторомa(t), диагональным в базисе:

ea1(t) =(√

p(t; b1 | a1)√p(t; b2 | a2)

), ea2(t) = eiθC(t)

( √p(t; b1 | a1)

−√p(t; b2 | a2)

),

где p(t;x | y) = P(b(t) = x | a(t) = y), θC(t) = θb(t) | a(t)C (b1) и eaj ≡

≡ ea(t)j . Заметим, что θb(t) | a(t)C (b2) = θ

b(t) | a(t)C (b1) + π.

Далее описывается динамика волновой функции ψ(t,x) приследующих предположениях:

СВ) (сохранение a-вероятностей)

pa(t)C (y) = p

a(t0)C (y), y ∈ Y ;

СПВ) (сохранение переходных вероятностей)

p(t;x | y) = p(t0;x | y) ≡ p(x | y).При этих условиях

ea1(t) ≡ ea1(t0), ea2(t) = ei[θC(t)−θC(t0)]ea2(t0),

т. е.

ψ(t) = ua1ea1(t) + ua2e

a2(t) = ua1e

a1(t0) + eiξC(t,t0)ua2e

a2(t0),

где uaj =√pa(t0)C (aj) , j = 1, 2, и ξC(t, t0) = θC(t) − θC(t0). Рас-

смотрим унитарный оператор U(t, t0) : H → H, соответствующийпереходу от базиса ea(t0) к базису ea(t1). В первом базисе этотоператор перехода имеет вид: U(t, t0) = diag(1, eiξC(t,t0)). Такимобразом, мы получили следующую динамику в гильбертовомпространстве H:

ψ(t) = U(t, t0)ψ(t0). (7.2)

§ 7. Представление контекстуальной динамики 239

Эта унитарная динамика похожа на динамику Шрёдингера. Од-нако в общем случае унитарный оператор U(t, t0) ≡ U(t, t0,C)зависит от контекста C, т. е. от начального состояния ψ(t0):U(t, t0) = U(t, t0,ψ(t0)). Таким образом, фактически (7.2) име-ет вид

ψ(t) = U(t, t0,ψ0)ψ0, (7.3)

где для любого ψ0 семейство U(t, t0,ψ0) состоит из унитарныхоператоров. Итак, в общем случае гильбертов образ контек-стуальной динамики описывается нелинейным уравнением. Ли-нейность эволюции обеспечивается следующим условием:

КН) (независимость приращения вероятностной фазы от кон-текста)

ξC(t, t0) = θC(t) − θC(t0)

не зависит от C.В этом случае унитарный оператор U(t, t0) = diag(1, eiξ(t,t0))

не зависит от контекста C, т. е. начального условия ψ(t0). Однакодаже в этом случае гильбертов образ контекстуальной динами-ки не сводится к уравнению Шрёдингера. Чтобы получить этоуравнение, нужно наложить еще следующие условия:

а) непрерывность эволюции: (t, t0) → U(t, t0) непрерывно;б) эволюция детерминистична:

ψ(t; t0,ψ0) = ψ(t; t1,ψ(t1, t0,ψ0)),

где t0 � t1 � t и ψ(t; t0,ψ0) = U(t; t0)ψ0;в) эволюция инвариантна относительно временных сдви-

гов: U(t; t0) = U(t− t0).

При этих условиях e− ih H(t), где H : H → H — самосопря-

женный оператор. Здесь h > 0 — некоторая константа, за-дающая шкалу (например, постоянная Планка). Заметим, что

H = diag(0,E), где E = −h[θC(t) − θC(t0)

t− t0

]. Таким образом,

уравнение Шрёдингера соответствует контекстуальной эволюциис линейной динамикой вероятностной фазы:

θC(t) = θC(t0) − E

h(t− t0).

Гл а в а 11

ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

С КОГНИТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ

ПО ПОИСКУ КВАНТОВОПОДОБНОЙ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

В гл. 10, §§ 3, 6 был предложен алгоритм представлениястатистических данных о системе комплексными вероятностны-ми амплитудами (или, в абстрактной форме, нормированнымивекторами гильбертова пространства). Мы делаем упор на воз-можность квантовоподобного представления колмогоровских ве-роятностей. Однако все формулы гл. 10 применимы и в болееобщей ситуации, когда контекстуальные вероятности P(b = x |C)не обязательно определены в рамках модели Колмогорова. На-пример, они могут определяться в рамках более общей частотнойтеории вероятностей, предложенной фон Мизесом 1), см. [10,291, 292].

В настоящей главе мы применим алгоритм квантовоподобногопредставления к когнитивным (мыслящим) системам.

§ 1. О возможности квантовоподобного описанияментальных процессов

Признание особой роли, которую средние значения наблюда-емых должны играть в теории ментальных измерений, создаетвпечатление, что квантовоподобные модели могут использовать-ся и для описания ментальных состояний.

Главным экспериментальным последствием особого квантово-го вероятностного поведения является интерференция вероятно-стей, см. [13] и [192] для детального анализа. В классической

1) В подходе фон Мизеса вероятность с самого начала вводится как пределотносительно частот, когда число испытаний стремится к бесконечности. Ча-стоты рассматриваются для случайных последовательностей. Фон Мизес назы-вал эти последовательности коллективами. В подходе фон Мизеса возникаютнекоторые проблемы с определением случайной последовательности, см. [10].

§ 1. О возможности квантовоподобного описания 241

статистической физике вероятность события C = A или B, где Aи B альтернативны, равна сумме вероятностей. В квантовойфизике появляется дополнительное аддитивное условие, условиеинтерференции.

Используя эту точку зрения на квантовую теорию, мы можемиспользовать ее методы при описании измерений, проводимыхне только для элементарных частиц, но также и для других си-стем, которые обладают квантовым вероятностным поведением,см. [13, 175, 188, 198, 208, 27, 67–74, 82, 83, 105, 110, 111,129–133, 243, 253–262, 274]. Мы попытаемся сделать это дляментальных измерений, см. также [7, 8]. Подчеркнем следующее.

Наша квантовоподобная ментальная модель не имеетникакой связи с квантовыми редукционистскими моделями,см. [48, 125, 126, 231, 275, 276, 281, 288, 248, 249], в которыхкогнитивные процессы сведены к квантовым механическимпроцессам в микромире!

В противоположность работам [48, 125, 126, 231, 275, 276,281, 288, 248, 249] я считаю, что главной мотивацией исполь-зования квантовоподобного формализма для ментальных измере-ний является не редукция когнитивных систем (и, в частности,мозга) к ансамблям элементарных частиц (которые описываютсяквантовой механикой), а высокочувствительность когнитивныхсистем как макроскопических информационных систем.

Замечание 1.1 (коллапс). В нашей модели квантовое состо-яние является чисто математическим понятием, используемымдля описания довольно специального поведения плотности веро-ятностей ансамблей систем, которые очень чувствительны к из-менениям, вызываемым взаимодействиями (включая внутренниевзаимодействия). Важно отметить, что, несмотря на наличиев нашей модели «волновой функции» ψ(x), мы не используемквантовые логические модели мышления, см. Орлов [24]. В мо-дели Орлова мозг представляет собой суперпозицию несколькихментальных состояний, описываемых волновой функцией. Кол-лапс волновой функции (внутреннее измерение) дает реализа-цию одного конкретного ментального состояния. Это квантовыйлогический процесс мышления. В нашей модели мы не исполь-зуем понятие коллапса волновой функции. Процесс мышления(в противоположность квантовому логическому подходу) не яв-ляется серией внутренних измерений.

242 Гл. 11. Об эксперименте с когнитивными системами

Как уже отмечалось, одним из главных отличий квантовопо-добной статистической теории является интерференция вероят-ностей. Если такая интерференция обнаружится в измеренияхментальных наблюдаемых, то такой результат можно будет ин-терпретировать как довод в пользу использования квантовопо-добного формализма для описания ментальных измерений.

§ 2. Описание эксперимента по обнаружениюинтерференции мыслей

Эксперимент по ментальной интерференции заключается вследующем. Пусть a = a1, a2 и b = b1, b2 — два ментальныхнаблюдаемых: a1 = «да», a2 = «нет», b1 = «да», b2 = «нет». Этомогут быть два различных вопроса или два различных типакогнитивных проблем. Мы рассматриваем ансамбль ε когнитив-ных систем, обладающих одинаковым ментальным состоянием.Затем мы проводим измерения a над элементами из ε и получаемвероятности по отношению к этому ансамблю:

paj = число результатов ajобщее число элементов в ε

.

Итак, paj — вероятность получить результат aj после измерениянад когнитивной системой, принадлежащей ε. Аналогично нахо-дим вероятности pbj для b-наблюдения. На следующем этапе мырассматриваем два ансамбля εbj , j = 1, 2, когнитивных систем,имеющих состояния, соответствующие значениям b = bj , j = 1, 2.Ансамбли εbj могут быть приготовлены с помощью фильтрацииотносительно значений (ответов) b = bj , j = 1, 2.

Теперь рассмотрим a-измерения для элементов ансамблей εbj ,j = 1, 2. Получаем вероятности

pa | bij = число результатов aj для ансамбля εbi

общее число элементов в ансамбле εbi.

Так, например, вероятность pa | b12 получена как частота от-

вета a = a1 = «да» в ансамбле когнитивных систем, которыеуже ответили b = b2 = «нет». Классическая теория вероятностейутверждает, что все эти вероятности должны быть связаны такназываемой формулой полной вероятности, см. [23]:

paj = pb1pa | b1j + pb2p

a | b2j , j = 1, 2.

§ 3. Экспериментальное подтверждение 243

Однако если статистика является квантовоподобной, то мыполучаем квантовую формулу полной вероятности:

paj = pb1pa | b1j + pb2p

a | b2j + 2

√pb1p

b2pa | b1j p

a | b2j cos θj .

Здесь θj — фаза a-интерференции между состоянием мыслив ансамбле ε и ансамблях εbj .

В эксперименте по проверке квантовой статистики для мен-тальной теории мы вычисляем

cos θj =paj − pb1p

a | b1j − pb2p

a | b2j

2√pb1p

b2pa | b1j p

a | b2j

.

Если cos θj �= 0, то мы получим сильнейший аргумент в под-тверждение квантовоподобного поведения когнитивных систем.В этом случае, начав с (вычисленного экспериментально) cos θj ,мы перейдем к формализму гильбертова пространства, см. гл. 10.Мы можем ввести «ментальную волновую функцию» ψ (иликвантовоподобное ментальное состояние), принадлежащуюгильбертову пространству. Напомним, что в нашем подходе«ментальная волновая функция» ψ описывает подготовитель-ный процесс (отбор), используемый для подбора ансамбляиндивидуумов к ментальному измерению. Следующим шагомявляется нахождение операторов ментальной энергии и описаниеуравнения Шрёдингера эволюции ментального состояния.

§ 3. Экспериментальное подтверждение

Эксперимент по проверке квантовоподобного поведения ко-гнитивных систем, описанный в этой главе, был недавно прове-ден группой Элио Конте в Центре по изучению радиоактивностиуниверситета г. Бари, Италия. Экспериментальные результаты,полученные этой группой, подтвердили гипотезу о квантовопо-добном вероятностном поведении когнитивных систем [79].

Нас очень интересует проведение подобных экспериментовв различных областях когнитивной психологии для выясненияквантовоподобного поведения когнитивных систем, в частностилюдей.

244 Гл. 11. Об эксперименте с когнитивными системами

§ 4. Гиперболическая интерференция мысли

Фактически общая контекстуальная теория вероятностейпредсказывает не только квантовоподобную тригонометрическую(cos θ) интерференцию вероятностей, но также и гиперболиче-скую (ch θ) интерференцию вероятностей. В принципе, стати-стические данные, полученные в экспериментах с когнитивнымисистемами, могут дать гиперболическую (ch θ) интерференциювероятностей.

В общем случае величины

paj − pb1pa | b1j − pb2p

a | b2j

2√pb1p

b2pa | b1j p

a | b2j

могут быть больше единицы (см., например, [13]). В этом случаемы можем ввести гиперболический фазовый параметр θ ∈ [0,∞),такой что

ch θj =paj − pb1p

a | b1j − pb2p

a | b2j

2√pb1p

b2pa | b1j p

a | b2j

.

В этом случае мы не можем перейти к обычному формализмугильбертова пространства. Тем не менее можно воспользоватьсяаналогом комплексного расширения гильбертова пространствадля вероятностей. Вероятности статистических ансамблей ко-гнитивных систем (подобранных некоторой процедурой отбора)могут быть представлены в гиперболическом гильбертовом про-странстве — модуле над двухмерной клиффордовой алгеброй,см. [13]. В настоящее время нет экспериментальных подтвержде-ний гиперболической интерференции для когнитивных систем.

Гл а в а 12

КВАНТОВО-ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ФОНДОВОГО РЫНКА

Я надеюсь, что эта книга убедила читателя, что XXI векпринадлежит приложениям квантовой теории за пределами мик-ромира. Квантовая вероятность и информация не обязательнодолжны быть связаны с микросистемами. Математический аппа-рат квантовой механики может применяться во многих областяхнауки. В частности, О.А. Шустова 1) применила методы кван-товой механики к описанию финансового рынка, см. [69–74].В этой главе мы излагаем эту квантовоподобную финансовуюмодель. Она основана на реалистической квантовой модели —механике Дэвида Бома (обобщающей теорию ведущей волныЛуи де Бройля).

Мы используем методы классической и квантовой механикидля математического моделирования динамики цен финансовогорынка. На фазовом пространстве с переменными — цена и изме-нение цены — развивается формализм Гамильтона для описанияклассического процесса ценовой эволюции. Классическаядинамика цен определяется «производственными» факторами(природные ресурсы, промышленное производство, сфера обслу-живания и т. д.). Эти факторы, так же как и «производственные»отношения между агентами на финансовом рынке, матема-тически описываются с помощью «классического» финансо-вого потенциала. Однако на реальном финансовом рынке«производственные» факторы не являются единственнымисточником изменения цен. Обмен информацией и психологиярынка также играют важную (а иногда и определяющую) рольв динамике цен. Мы предлагаем описать эти «информационные»финансовые факторы, используя (бомовскую) модель квантовоймеханики с ведущей волной. Теория финансовых ментальных(или психологических) волн развивается с целью учета психоло-

1) Международный центр математического моделирования в физике, когни-тивных науках и экономике, университет г. Векше, Швеция.

246 Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка

гии рынка. Реальные траектории цен определяются с помощьюфинансового аналога второго закона Ньютона двумя финансовы-ми потенциалами: «классическим» («производственные» факторырынка) и «квантовым» («информационные» факторы рынка).

§ 1. Является ли современный финансовый рынокклассической информационной системой

Начиная с 70-х годов интенсивный обмен информацией в фи-нансовом мире становится одним из основных источников, опре-деляющих динамику цен. Электронная купля-продажа (ставшаяважнейшей составляющей главных фондовых обменов) порожда-ет огромный поток информации между финансовыми агентами(включая валютный рынок). Финансовые контракты заключают-ся в новой шкале времени, существенно отличающейся от ста-рой «производственной» временной шкалы, которая определяласьразвитием экономической основы финансового рынка. Цены, покоторым финансовые агенты желают купить (квоты предложе-ния) или продать (квоты спроса) финансовый актив, больше неопределяются развитием промышленности, торговли, сферы об-служивания, ситуацией на рынке природных ресурсов и т. д. Ин-формационные (ментальные, рыночно-психологические) факторыиграют очень важную (а в некоторых случаях и определяющую)роль в динамике цен. Финансовые агенты, осуществляющие фи-нансовые операции, представляют собой огромную коллективнуюмыслительную систему. Грубо говоря, на «классическую» дина-мику цен, определяемую «производственными» экономическимифакторами, постоянно действуют дополнительные финансовыесилы, ментальные силы (или рыночно-психологические силы),см. книгу Дж. Сороса [279].

К сожалению, в настоящее время не существует матема-тических моделей ментальных процессов, которые могли быдать адекватное описание процессов мышления высокого уров-ня (в частности, сознания), см. [19, 267]. Конечно, некоторыепростейшие мыслительные операции могут быть смоделирова-ны с помощью нейронных сетей, см. [103]. Однако высокийуровень мыслительной организации, видимо, не может бытьсмоделирован таким образом, см. [12, 267, 143]. Мы считаем,что существует некоторый аналог между процессами мышле-ния и квантовыми процессами. В частности, были предпринятыпопытки использования модели квантовой механики с ведущей

§ 1. Является ли финансовый рынок классической системой 247

волной (механики Бома) при моделировании процессов мышле-ния, см. [267, 12, 143].

Наша «квантовая» модель финансовых процессов была моти-вирована исследованиями Дж. Сороса [279], рассматривавшегофинансовый рынок как сложную мыслительную систему. Такойподход он назвал теорией рефлексивности. В этой теории су-ществует большое отличие между рынком, управляемым толь-ко «производственными» экономическими факторами, и рынком,на котором ментальные факторы играют определяющую роль(они диктуют развитие «производственного» базиса, см. [279]).Дж. Сорос верно заметил, что «нементальный» рынок развива-ется благодаря классическим случайным флуктуациям. Но этифлуктуации не дают адекватного описания ментального рын-ка. Он предложил использовать аналогию с квантовой теорией.Однако было замечено, что обычный квантовый формализм неможет быть применен к финансовому рынку, [279]. Поведениефинансовых агентов существенно отличается от поведения эле-ментарных частиц. Элементарные частицы ведут себя стохасти-чески в силу эффектов возмущения, порожденных измерениями.Согласно Соросу, финансовые агенты на финансовом рынке ве-дут себя стохастически в силу свободы выбора для каждого изних. Сочетание огромного количества таких свобод выбора дляфинансовых агентов порождает дополнительную стохастику нафинансовом рынке, которая не может быть сведена к класси-ческим случайным флуктуациям (порожденным нементальнымифакторами). Здесь Дж. Сорос использовал стандартную (Гейзен-берг, Бор, Дирак) точку зрения на квантовую стохастику. Однакопри бомовском подходе (который не является стандартным) кван-товая стохастика порождается дополнительным потенциалом,квантовым потенциалом, возмущающим классические траекто-рии элементарных частиц. Такой подход позволяет применитьквантовый формализм к финансовому рынку. Мы также отметим,что не так давно было показано, что фактически «квантовый»формализм (вероятностный формализм в гильбертовом простран-стве) может быть применен к различным статистическим явле-ниям вне микромира, см. гл. 10, 11.

Нам кажется, что квантовый финансовый подход дает новыевозможности для математического описания стохастики финан-сового рынка по сравнению с классическим стохастическим под-ходом, предложенным в докторской диссертации Башилье [43]и развивавшимся более ста лет, [239, 278].


Как уже отмечалось, модель квантовой механики с ведущейволной не является стандартной. Более того, существует сильноепредубеждение против бомовского подхода. Нам бы не хотелосьобсуждать здесь корни этих проблем. Отметим лишь, что неко-торые положения бомовской механики, часто рассматриваемыев физике как патологические, получают естественную интерпре-тацию в нашей финансовой модели. Например, «существование»траекторий квантовых частиц не имеет смысла со стандартнойточки зрения. Однако на финансовом рынке мы действительноимеем корректно определенные траектории развития цен фи-нансового актива конкретного финансового агента. Бомовскаянелокальность является здесь только информационной (или мен-тальной) нелокальностью на конфигурационном пространствецен. Посредством системы электронных коммуникаций каждыйфинансовый агент информирован (практически немедленно) обизменении цен, предлагаемых другими агентами. Наконец, мыобращаем внимание на две (практически забытые) проблемытеории ведущей волны, обсуждение которых было начато в [57].Одна из них — это энергетический обмен между ведущей вол-ной и элементарной частицей. Согласно Бому и Хайли, долженсуществовать ненулевой поток энергии, возникающий при взаи-модействии ведущей волны и элементарной частицы. Однако ве-личина этой энергии пренебрежимо мала 1). В рамках квантовоймеханики это только предположение, которое не было доказаноэкспериментально. Тем не менее в финансовой модели ведущейволны такая энергия действительно присутствует в финансовомпроцессе. Это энергия, которая используется в сферах инфор-мационного обслуживания (в частности, в электронном обмене).Данной энергией в самом деле можно пренебречь (в финансовомэквиваленте) по сравнению с «финансовой энергией» активов,присутствующих на рынке. Теперь обсудим другое предполо-жение Бома и Хайли, а именно предположение о сложностивнутреннего строения квантовых частиц 2). Это тоже всего лишьпредположение. Однако в нашей финансовой модели это очевид-

1) «. . . квантовое информационное поле также может обладать энергией.Однако . . . этой энергией можно пренебречь по сравнению с энергией частицы,которая ведется этой волной . . .» [57, с. 38].

2) «. . . предполагается, что электрон, или любая другая элементарная ча-стица, имеет сложную и тонкую внутреннюю структуру . . . Это предположениепротиворечит общим положениям современной физики, которая утверждает,что чем меньше части, на которые мы разбиваем материю, тем проще ее

§ 2. Классическая модель фазового пространства 249

ный факт: каждый финансовый агент представляет собой оченьсложную информационную систему, состоящую из группы людейи компьютеров.

Нам бы хотелось, чтобы данная глава была доступна нетолько физикам и математикам, но и математически ориентиро-ванным экономистам. Поэтому мы попытаемся применять доста-точно простую математику.

§ 2. Классическая модель фазового пространства

Рассмотрим математическую модель, в которой n финансовыхагентов a1, . . . , an взаимодействуют и реагируют на внешнююэкономическую (и политическую) информацию с целью опреде-ления наилучшей цены продажи или покупки финансовых ак-тивов. Рассмотрим ценовую систему координат. Пусть заданоконфигурационное пространство цен размерности n: Q = Rn,q = (q1, . . . , qn), где qj — цена, предлагаемая j-м финансовымагентом. Здесь R — действительная прямая. Динамика цен опи-сывается траекторией q(t) = (q1(t), . . . , qn(t)) в ценовом простран-стве Q.

Читателя может удивить, что мы собираемся использоватьвсю действительную прямую R (а не положительную полупря-мую) для описания ценовой динамики финансового агента. Со-вершенно ясно, что означает цена q = 1 доллар. Но что такоецена q = −1 доллар? Мы используем следующее соглашение.Если агент aj продает продукцию, то qj � 0, а если покупает,то qj � 0.

В дальнейшем будет рассматриваться и другая перемен-ная — это переменная ценового изменения: vj(t) = qj(t) =

= limΔt→0

qj(t+ Δt) − qj(t)Δt

. В реальных моделях мы должны рас-

сматривать дискретную шкалу времени Δt, 2Δt, . . . И нам необ-ходимо использовать дискретную переменную ценового измене-ния zj(t) = qj(t+ Δt) − qj(t).

Обозначим пространство ценовых изменений символом V(=Rn), v = (v1, . . . , vn). Так же как и в классической физике,введем фазовое пространство Q × V = R2n. Назовем его фазо-

поведение. Но наша интерпретация квантовой теории показывает, что природанамного сложнее и загадочнее, чем мы ранее представляли . . .» [57, с. 37].


вым ценовым пространством. А пару (q, v) = (цена, изменениецены) назовем состоянием финансового рынка 1).

Введем аналог m массы как число пунктов (позиций), кото-рые финансовый агент предлагает на рынке 2). Назовем m фи-нансовой массой. Таким образом, каждый агент обладает своейфинансовой массой mj. Общая цена его предложения на рынкеравна Tj = mjqj — капитализация рынка.

Мы также введем понятие финансовой энергии торговли какфункции H : Q × V → R. По аналогии с классической механи-кой 3) можно рассматривать (по крайней мере при математиче-ском моделировании) финансовую энергию в виде

H(q, p) = 12

n∑j=1

mjv2j + V (q1, . . . , qn). (2.1)

Здесь K = 12

n∑j=1

mjv2j — кинетическая финансовая энергия,

а V (q1, . . . , qn) — потенциальная финансовая энергия, mj —финансовая масса j-го финансового агента.

Кинетическая финансовая энергия отражает попытки финан-совых агентов повлиять на изменение цен: увеличение ценовыхизменений влечет увеличение кинетической финансовой энергии.Финансовая масса тоже играет важную роль: если один агент, a1,продает 1 пункт, а другой агент, a2, продает 2 пункта, и ониоба одинаково влияют на изменение цены, то агент a2 обладаетвдвое большей кинетической финансовой энергией, чем агент a1.Заметим, что кинетическая финансовая энергия не зависит отабсолютных величин цен (только от ценовых изменений). Отме-тим также, что большая кинетическая финансовая энергия вле-чет быстрые изменения финансовой ситуации на рынке. Однакокинетическая финансовая энергия не описывает тенденцию этихизменений. Это может быть как быстрый экономический рост,так и упадок.

1) Позднее мы рассмотрим «квантовые» состояния финансового рынка. Со-стояние (q, v) является классическим.

2) «Число» — это обычное натуральное число m = 0, 1, . . . , так как дажев торговле «непрерывными продуктами» (такими как масло или газ) мы ис-пользуем дискретные единицы, например тонну или баррель.

3) Почему нет? В принципе, не так много различий между движениямив «физическом пространстве» и «ценовом пространстве».


Потенциальная финансовая энергия V описывает взаимо-действия между финансовыми агентами a1, . . . , an и внешнимиэкономическими факторами. Например, рассмотрим простейшийпотенциал взаимодействия

V (q1, . . . , qn) =n∑

i,j=1

(qi − qj)2.

Разность |qi − qj | между ценами агентов ai и aj являет-ся важнейшим условием арбитража. Поэтому описание взаи-модействий между различными финансовыми агентами посред-ством потенциальной финансовой энергии является достаточнопростым. Какова роль внешних факторов? Это очень слож-ная проблема. В некотором смысле V описывает (если забытьо взаимодействии между агентами a1, . . . , an) реакцию нашихфинансовых агентов на внешние факторы. Имеет место большоеразнообразие таких факторов, как экономических, так и полити-ческих. Допустим, к примеру, что мы изучаем рынок автомоби-лей. Тогда a1, . . . , an — это автомобильные агенты (по покупкеи продаже). Потенциальная финансовая энергия зависит, напри-мер, от цены на бензин (что в свою очередь влияет на ценуавтомобиля); в частности, потенциальная финансовая энергиязависит от политических факторов, например вероятности войнына Ближнем Востоке.

Невозможно учесть все условия, влияющие на рынок, будьто экономические или какие-то другие. Поэтому, используя кон-кретный потенциал V (q), мы рассматриваем довольно идеали-зированную модель финансового процесса. Тем не менее этотподход стандартен для физических моделей, где мы также рас-сматриваем идеализированные математические модели реальныхфизических процессов.

Для описания «классической» динамики цен естественно ис-пользовать динамику Гамильтона на фазовом ценовом простран-стве. Как и для материальных тел в классической механике,введем новую переменную p = mv — ценовой импульс. Вместовектора ценового изменения v = (v1, . . . , vn) рассмотрим векторценового импульса p = (p1, . . . , pn), pj = mjvj . Пространство це-новых импульсов обозначим символом P. Пространство Q × Pтакже назовем фазовым ценовым пространством. Уравнения дви-


жения Гамильтона на фазовом пространстве имеют вид

qj = ∂H

∂pj, pj = −∂H

∂qj, j = 1, . . . ,n. (2.2)

Также необходимо задать начальные условия

qj(0) = qj0, pj(0) = pj0.

Если финансовая энергия имеет вид (2.1), т. е.

H(q, p) =n∑j=1

p2j2mj

+ V (q1, . . . , qn),

то уравнения Гамильтона выглядят следующим образом:

qj = pjmj

= vj , pj = −∂V

∂qj.

Последнее уравнение можно переписать в виде

mj vj = −∂V

∂qj.

Величину vj(t) = limΔ→0

vj(t+ Δt) − vj(t)Δt

естественно назвать

ценовым ускорением (изменение ценового изменения). Величина

fj(q) = −∂V

∂qjназывается (потенциальной) финансовой силой.

Мы получили финансовый вариант второго закона Ньютона:

mv = f. (2.3)

Произведение финансовой массы на ценовое ускорение рав-но финансовой силе.

Фактически эволюция Гамильтона определяется следующимфундаментальным свойством финансовой энергии: финансоваяэнергия постоянна в процессе эволюции Гамильтона:

H(q1(t), . . . , qn(t), p1(t), . . . , pn(t)) =

= H(q1(0), . . . , qn(0), p1(0), . . . , pn(0)) = const .

Мы не ограничиваемся рассмотрением финансовой энергиивида (2.1). Во-первых, внешние (т. е. экономические) условия,так же как и характер взаимодействий между финансовымиагентами, зависят от времени. То есть необходимо учесть зави-симость потенциала от времени: V = V (t, q). Более того, пред-положение, что финансовый потенциал зависит только от це-


ны, V = V (t, q), неверно для современного финансового рынка.Финансовые агенты обладают полной информацией о ценовыхизменениях. И эта информация учитывается агентами при ар-битражных действиях. Поэтому есть смысл рассматривать по-тенциал, который зависит не только от цены, но и от ценовыхизменений: V = V (t, q, v), или, в рамках гамильтонова форма-лизма: V = V (t, q, p). В этом случае финансовая сила не являет-ся потенциальной. Следовательно, финансовый вариант второгозакона Ньютона удобнее рассматривать для общих финансовыхсил: mv = f(t, q, p).

Замечание 2.1 (о форме кинетической финансовой энергии).Мы заимствовали форму кинетической финансовой энергии изклассической механики для материальных объектов. Может ока-заться, что эта форма неадекватна реальному финансовому рын-ку. Поэтому, видимо, лучше рассматривать предлагаемое пред-ставление кинетической финансовой энергии только как основудля математического моделирования (и параллельно искать дру-гие варианты).

Пример 2.1 («свободный агент»). Пусть n = 1 и V ≡ 0. Здесьполучаем: p = 0 или p(t) = p0, а q = p0

m= v0. Таким образом,

q(t) = q0 + v0t. Пусть v0 > 0. Тогда, если отсутствует конкурен-ция и внешними (экономическими и политическими) факторамиможно пренебречь, то финансовый агент будет линейно повы-шать цену. И это естественно 1).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда v0 < 0. В этом случаефинансовый агент будет линейно снижать цену. Пусть в моментвремени t = t0 он (на основе некоторой информации) решаетснижать цену и после этого не получает никакой информации обэкономической и финансовой ситуации. Поэтому он будет про-должать понижать ее. Конечно, это довольно идеализированныйпример. Не существует абсолютно изолированного агента. Любо-му агенту необходим партнер для арбитража, и, следовательно,он может использовать информацию, основанную на поведенииэтого партнера.

1) Если рынок имеет очень большую емкость. Однако бесконечная емкостьрынка ведет к условию V ≡ 0: отсутствию внешнего влияния.


§ 3. «Классическая» модель Гамильтона динамики цени фондового рынка

Модель Гамильтона динамики цен на фазовом пространствеможет быть полезна для описания рынка, который существеннозависит от «производственных» экономических факторов: при-родных ресурсов, объема промышленного производства, трудо-вых ресурсов и т. д. В принципе, можно даже использовать такуюмодель и в плановой экономике: если вводить различные потен-циалы V (q1, . . . , qn), то можно регулировать плановый «рынок».Тем не менее создается впечатление, что классическая динамикацен неадекватна финансовому рынку. Да, «производственные»экономические факторы играют важную роль в формированиифондовых цен. Но совершенно ясно, что фондовый рынок основы-вается не только на этих «производственных» факторах. Суще-ствуют и другие факторы, «информационные», которые играютважную, а иногда даже определяющую роль в формированиицен на финансовом рынке. Мы не можем точно описать все эти«информационные» факторы. Но мы можем говорить о рыночнойпсихологии. Эти психологические факторы становятся все болееважными из-за быстрых информационных изменений, происхо-дящих благодаря бурному развитию современных финансовыхкомпьютерных систем.

Пренебрежимо малые количества информации (благодарябыстрому изменению) могут приводить к резким изменениямцен на финансовом рынке. Можно говорить о финансовых (пси-хологических) волнах, которые постоянно присутствуют на фи-нансовом рынке. Иногда эти волны порождают неконтролируе-мые изменения цен, что отражается на всем финансовом рынке(финансовый кризис). Конечно, финансовые волны зависят от«производственных» экономических факторов. Однако эти фак-торы не играют решающей роли в формировании финансовыхволн. Финансовые волны — это просто волны информации 1).Мы могли бы сравнить поведение финансового рынка с пове-дением гигантского корабля, управляемого радиосигналом. Ра-диосигнал с пренебрежимо малой физической энергией можетсущественно изменять (благодаря информации, содержащейсяв этом сигнале) движение этого корабля. Если мы не будем

1) Можно говорить о психологических волнах или даже коллективном со-знании финансовых агентов.

§ 4. Финансовые ведущие волны 255

обращать внимания на радиосигнал (например, вообще не будемзнать о его существовании), то будем сбиты с толку страннымповедением корабля. Он способен менять направление своегодвижения без каких-либо «производственных» причин (погоды,места назначения, технического состояния его оборудования).Однако если нам известно о существовании радиомониторинга,то мы можем отыскать информацию, посылаемую по радио. Тоесть в этом случае мы обладаем мощным инструментом дляпредсказания траектории корабля. Данный пример о радиомони-торинге корабля был взят из книги Д. Бома и Б. Хайли [57]о квантовой теории ведущей волны (или бомовской квантовоймеханике).

§ 4. Финансовые ведущие волны

В соответствии с бомовской интерпретацией квантовой ме-ханики, квантовая система состоит из материального тела (т. е.элементарной частицы) и ведущей волны. Причем волна управ-ляет данным телом.

Если мы рассматриваем ведущую волну как физическое поле,то видим, что это довольно странное поле. Оно абсолютно непо-хоже на другие физические поля, например на электромагнит-ное поле, которое обладает физической энергией. Существуюти другие патологические особенности поля, соответствующеговедущей волне. В частности, сила, которой обладает поле веду-щей волны, не зависит от амплитуды волны. Следовательно, какмаленькие, так и большие волны одинаково влияют на изменениетраектории элементарной частицы. Исходя из характера ведущейволны мы заключаем, что данная волна является волной инфор-мации (активной информации). Значит, поле ведущей волны неописывает распространение энергии в физическом пространстве–времени, а описывает распространение информации. Ведущаяволна больше похожа на радиосигнал, посылаемый кораблем.Конечно, это только сравнение (так как радиосигнал связанс обычным физическим полем, а именно с электромагнитнымполем). Более точным является сравнение ведущей волны с ин-формацией, связанной с радиосигналом.

Заметим, что интерпретация квантовой механики на основеведущей волны не является стандартной. Как уже отмечалось,существует ряд веских аргументов против бомовского квантовогоформализма.


1. Бомовская теория дает возможность математически описы-вать траекторию q(t) элементарной частицы. Однако в соответ-ствии со стандартным квантовым формализмом такой траекториине существует.

2. Бомовская теория нелокальна, а именно в поле ведущейволны одна частица «чувствует» другую на большом расстоянии(без какого-либо изменения физической энергии).

3. Так как ведущая волна не обладает физической энергией,то она не является физическим полем, а значит, и элемен-том физической реальности. И представляется нецелесообразнымизучать структуру, не имеющую отношения к физической реаль-ности.

Рассмотрим аргументы 1 и 2. Оказывается, что данные недо-статки бомовской теории становятся ее преимуществами в при-ложениях к финансовому рынку. А рассматривая аргумент 3,отметим, что Бом и Хайли [57] и Хайли и Пилкканен [143] ужеобсуждали возможность интерпретировать поле ведущей волныкак одну из разновидностей информационного поля. Эта инфор-мационная интерпретация была углублена в работе автора [12],где рассматривались когнитивные модели ведущей волны. В этихмоделях поле ведущей волны является чисто информационнымполем. Оно даже не определено на физическом вещественномпространстве R3, а только на информационном пространствечеловеческих идей [12]. В работе [12] поле ведущей волныописывает сознание человека или группы людей. Фактически,предлагаемую модель ведущей волны финансового рынка можнорассматривать как конкретное приложение общей теории [12]поля сознания (финансовое сознание).

Наше основное предположение заключается в том, что фи-нансовые агенты на современном финансовом рынке являютсяне просто «классическими» финансовыми агентами. Их действияописываются не только «классическим» потенциалом V (t, q1, . . .. . . , qn, p1, . . . , pn), но и дополнительным информационным (илипсихологическим) потенциалом, порожденным финансовой веду-щей волной.

Следовательно, для описания реальных траекторий цен мыне можем использовать классическую финансовую динамику(формализм Гамильтона) на финансовом фазовом пространстве.Нам необходимо учитывать информационное (психологическое)возмущение уравнений Гамильтона для цены и ценового измене-ния. Для математического описания такой модели удобно ввести

§ 4. Финансовые ведущие волны 257

понятие финансовой ведущей волны, которая активно управляеткаждым финансовым агентом на финансовом рынке.

Читатель может спросить: «Где определено такое финансовоеполе?». В принципе, можно рассмотреть модель, в которой такоеполе определено на физическом пространстве (поверхности Зем-ли с сингулярностями в Нью-Йорке, Токио, Лондоне, Париже,Франкфурте, и т. д.). Но мы при моделировании будем исполь-зовать информационное пространство, а именно ценовое про-странство Q 1). Таким образом, финансовую ведущую волнуматематически можно описать функцией ϕ : Q → C, где C —множество комплексных чисел. Она отображает ценовую кон-фигурацию q = (q1, . . . , qn) для n финансовых агентов a1, . . . , anв комплексное число ϕ(q) — амплитуду ценовой конфигурации.В некотором смысле ϕ(q) описывает психологическое влияниеконфигурационной цены q на агентов. Читатель может бытьудивлен появлением комплексных чисел C. Но использованиеэтих чисел — это просто математический прием, который поз-воляет математически описывать динамику финансовой ведущейволны. Подчеркнем две важные особенности модели финансовойведущей волны.

1. Все финансовые агенты взаимосвязанны на финансовомуровне. Формализм теории ведущей волны гласит, что еслифункция ϕ(q1, . . . , qn) не факторизована, т. е.

ϕ(q1, . . . , qn) �= ϕ(q1), . . . ,ϕ(qn),

то, изменяя цену qj , финансовый агент ai автоматически ме-няет поведение всех других агентов aj , j �= i. В то же время«производственный» экономический потенциал V (q1, . . . , qn) мо-жет быть полностью локальным: экономические условия для уда-ленных агентов могут быть независимыми. Например, V (q1, . . .. . . , qn) = q21 + . . . + q2n и a1, . . . , an экономически независимы.

1) Мы советуем читателю не слишком сосредотачиваться на идее физи-ческого пространства как чего-то действительно реального. Эта старая идея(предложенная Ньютоном и Кантом) абсолютного физического пространства,основанного на евклидовой геометрии, была существенно деформирована бла-годаря открытиям неевклидовой геометрии Лобачевского, общей теории от-носительности и квантовой теории. В последней даже обсуждается проблема«смерти физической реальности». В любом случае, если читатель не можетотказаться от физического пространства, то он может представить поле финан-совой ведущей волны как поле, охватывающее мышление агентов финансовогорынка и компьютеры, осуществляющие финансовые сделки.



Здесь уравнения Гамильтона при отсутствии финансовой веду-щей волны имеют вид: qj = pj , pj = −2qj , j = 1, 2, . . . ,n. Такимобразом, «классическая» траектория цены qj(t) агента aj не за-висит от динамики цен других агентов ai, i �= j. Однако, если,например,

ϕ(q1, . . . , qn) = cei(q1q2+...+qn−1qn)e−(q21+...+q2n),

где c ∈ C — некоторая нормировочная константа, то финансовоеповедение агентов на финансовом рынке нелокально (см. преды-дущие рассуждения). То есть каждый финансовый агент будетнемедленно реагировать на изменение цен другими агентами,несмотря на стабильную внутреннюю экономическую ситуацию.

2. Действия финансовых агентов aj не зависят от амплитудыфинансовой ведущей волны: финансовые волны ϕ, 2ϕ, 100 000ϕпорождают одинаковую реакцию агентов aj . Такое поведениефинансовых агентов на финансовом рынке довольно естественно(если отождествить финансовую ведущую волну с информацион-ной волной, волной финансовой информации). Амплитуда инфор-мационного сигнала не играет большой роли в информационномизменении 1). Самое важное — это контекст такого сигнала. Кон-текст, полученный из формы сигнала, вид функции финансовойведущей волны.

§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовойведущей волной

На самом деле, нам нет необходимости развивать новыйматематический формализм. Достаточно применить стандартныйформализм ведущей волны (который был разработан Д. Бомом,для элементарных частиц) к агентам финансового рынка. Ос-новной постулат теории ведущей волны заключается в том, чтоведущая волна (поле) ϕ(q1, . . . , qn) порождает новый (квантовый)потенциал U(q1, . . . , qn), что в свою очередь приводит к изме-нению классических уравнений движения. Модифицированноеуравнение Ньютона имеет вид

p = f + g, где f = −∂V

∂q, g = −∂U

∂q.

1) Неважно, получил ли финансовый агент некоторую информацию, ка-сающуюся рынка, одновременно из тысяч газет, радио и телеканалов илив приватной беседе с другим агентом или политиком.

§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой ведущей волной 259

Назовем новую финансовую силу g финансовой ментальнойсилой.

Эта сила g(q1, . . . , qn) определяет вид коллективного сознанияфинансового рынка. Безусловно, g зависит от экономическихи других «производственных» факторов, описываемых финансо-вым потенциалом V (q1, . . . , qn). Но это не прямая зависимость.В принципе, финансовая ведущая волна ϕ может порождатьненулевую финансовую ментальную силу для нулевого финан-сового потенциала, V ≡ 0. Поэтому условие V ≡ 0 не влечетU ≡ 0. Для полноты описания психологии рынка недостаточнотолько экономических факторов. Финансовые (психологические)волны информации появляются не только из-за каких-то изме-нений реальной экономической ситуации. Это смесь ментальныхи экономических волн. Ментальные финансовые волны могутоказывать большое влияние на финансовый рынок даже приотсутствии экономических волн.

Используя стандартный формализм ведущей волны, мы полу-чаем следующее правило для вычисления финансовой менталь-ной силы.

Представим финансовую ведущую волну ϕ(q) в виде

ϕ(q) = R(q)eiS(q),

где R(q) = |ϕ(q)| — амплитуда волны ϕ(q) (абсолютное значениекомплексного числа c = ϕ(q)), a S(q) — фаза ϕ(q) (аргументкомплексного числа c = ϕ(q)). Тогда финансовый ментальныйпотенциал можно вычислить как

U(q1, . . . , qn) = 1R

n∑i=1

∂2R

∂q2i,

а финансовую ментальную силу:

gj(q1, . . . , qn) = −∂U

∂qj(q1, . . . , qn).

Из этой формулы видно, что сильное финансовое воздействиеоказывают финансовые волны, обладающие существенными из-менениями амплитуд.

Пример 5.1 (финансовые волны с малым изменением ампли-туд не оказывают эффекта). Пусть R = const . Тогда финансоваяментальная сила g ≡ 0. Так как R = const , то j-й финансовыйагент не может оказать влияния на коллективное рыночное со-знание изменением своей цены qj . Постоянное информационное

9*


поле не вызывает никаких психологических финансовых эффек-тов. Как мы уже отмечали, абсолютное значение этой постояннойне играет никакой роли. Волны с постоянной амплитудой R = 1,так же как и с R = 10100, не вызывают никакого финансовогоэффекта.

Пусть R(q) = cq, c > 0. Это линейная функция; изменениенебольшое. В результате g ≡ 0. Финансовых ментальных эффек-тов нет.

Пример 5.2 (последовательные спекуляции). Пусть R(q) == c(q2 + d), c, d > 0. Тогда U(q) = − 2

q2 + d(не зависит от ампли-

туды c!) и g(q) = − 4q

(q2 + d)2. Квадратичная функция изменяется

намного сильнее, чем линейная, и поэтому такая финансовая ве-дущая волна порождает нетривиальную финансовую ментальнуюсилу.

Проанализируем финансовые ситуации, возникающие поддействием такой силы для финансовых агентов, продающих оп-ционы. Пусть q > 0, g < 0. Финансовая ментальная сила gзаставляет финансового агента a понижать цену. Рассмотримслучай низких цен, g(q) ≈ −4q/d2. Если финансовый агент a по-вышает свою цену для опциона q, то негативная реакция финан-совой ментальной силы становится все сильнее и сильнее. Фи-нансовый рынок давит на него, заставляя остановить повышениецены q. Теперь рассмотрим случай высоких цен, g(q) ≈ −4/q3.Если агенту a удастся достичь таких значений цен (несмотряна негативное давление финансового рынка для относительнонизких q), то он почувствует ослабление негативного давленияфинансового рынка. Данная модель хорошо объясняет последо-вательное спекулятивное поведение на финансовом рынке.

Пусть R(q) = c(q4 + b), c, b > 0. Тогда g(q) = − bq − q5

(q2 + b)2.

В этом случае поведение финансового агента a более сложное.Рассмотрим случай q � 0. Пусть d = 4√b . Если цена q изменя-ется от q = 0 до q = d, то финансовый агент вынужден (поддействием финансовой ментальной силы g(q)) повысить цену.Цена q = d является критической в его финансовой активности.Под действием психологических факторов (косвенно основанныхна информации о мировом финансовом рынке) он понимает, чтопродолжать повышение цены опасно. Начиная с q = d у негопоявляется психологический стимул понизить цену.


Финансовые ведущие волны ϕ(q) с амплитудами R(q), ко-торые являются многочленами более высокого порядка, могутиметь очень сложное поведение. Интервал [0,∞) разбивается намножество интервалов 0 < d1 < d2 < . . . < dn <∞, таких что накаждом ценовом уровне q = dj финансовый агент меняет своеотношение к повышению или понижению цены.

Мы рассмотрели одномерную модель. Но в действительности,нам необходимы модели большей размерности. Финансовая веду-щая волна ϕ(q1, . . . , qn) на таком ценовом пространстве Q порож-дает разбиение на большое число областей Q = O1 ∪ . . . ∪ ON .Каждая область Oj характеризуется фиксированным семействомфинансовых устремлений агентов на финансовом рынке. Напри-мер, O1: a1 ведет кампанию повышения цены (и он продаетопционы, q1 � 0), a2 ведет кампанию понижения цены (и онпокупает опционы, q2 � 0), . . ., an ведет кампанию повышенияцены (и он продает опционы, qn � 0).

Проблема состоит только в том, чтобы описать финансовуюведущую волну в зависимости от времени: ϕ(t, q). Воспользуемсястандартной теорией ведущей волны, т. е. ϕ(t, q) найдем какрешение уравнения Шрёдингера. Для энергии

H(q, p) = 12

n∑j=1

p2jmj

+ V (q1, . . . , qn)

уравнение Шрёдингера имеет вид

ih∂ϕ

∂t(t, q1, . . . , qn) = −

n∑j=1

h2

2mj

∂2ϕ(t, q1, . . . , qn)∂q2j

+

+ V (q1, . . . , qn)ϕ(q1, . . . , qn) (5.1)

с начальными условиями ϕ(0, q1, . . . , qn) = ψ(q1, . . . , qn).Таким образом, если мы знаем ϕ(0, q), то, используя уравне-

ние Шрёдингера, можем найти ведущую волну ϕ(t, q) в любоймомент времени t. А значит, можем вычислить соответствующийментальный потенциал U(t, q), ментальную силу g(t, q) и решитьуравнение Ньютона.

Это же уравнение мы будем использовать для нахожденияэволюции финансовой ведущей волны. Необходимо только сде-лать одно замечание, а именно о роли постоянной h в урав-нении Шрёдингера. В квантовой механике (которая имеет делос микроскопическими объектами) h — это постоянная Дирака.


Постоянная Планка h = 3πh играет фундаментальную роль. Од-нако первоначально h появилась только как параметр числовойшкалы для обмена энергии. Следовательно, в нашей финансо-вой модели мы можем рассматривать h как параметр ценовойшкалы, а именно как единицу измерения ценового изменения.Мы не придаем постоянной h никакого специального значе-ния. Существует множество исследований по ценовым шкалам,см. [239]. Наверно, можно на их основе попытаться присвоитькакое-то определенное значение постоянной h для современногофинансового рынка, т. е. ввести фундаментальную финансовуюпостоянную. Однако нам кажется, что h = h(t) меняется в за-висимости от экономического развития.

Мы полагаем, что финансовое уравнение Шрёдингера (ана-лог уравнения Шрёдингера) описывает изменение финансовойведущей волны на ценовом пространстве. В общем случае этоуравнение имеет вид

ih∂ϕ

∂t(t, q) = Hϕ(t, q), ϕ(0, q) = ψ(q),

где H — самосопряженный оператор, соответствующий финан-совой энергии, порожденной функцией H(q, p) на финансовомфазовом пространстве. Здесь мы должны идти тем же путем, каки в обычной квантовой теории для элементарных частиц.

В качестве математической основы модели мы использу-ем пространство L2(Q) квадратично интегрируемых функцийϕ : Q → C, где Q — конфигурационное ценовое пространство,Q = Rn или некоторая область Q ⊂ Rn:

‖ϕ‖2 =∫

Q

|ϕ(x)|2 dx <∞.

Здесь dx — это мера Лебега, равномерное вероятностное распре-деление на конфигурационном ценовом пространстве.

Конечно, равномерное распределение dx не является каким-то уникальным выбором нормировочной меры на конфигураци-онном ценовом пространстве. Выбирая dx, мы полагаем, чтопри отсутствии изменений ведущей волны, т. е. ϕ(x) = const ,все цены «имеют равные права». В общем случае это неверно.Если нет финансовых (психологических) волн, то финансовыйрынок, тем не менее, сильно зависит от «производственных»экономических условий. В общем случае выбор нормировочноймеры M должен удовлетворять реальным взаимосвязям между


ценами. Поэтому финансовая ведущая волна ϕ принадлежитпространству L2(Q, dM) квадратично интегрируемых функцийотносительно некоторой меры M на конфигурационном ценовомпространстве:

‖ϕ‖2 =∫

Q

|ϕ(x)|2 dM(x) <∞.

В частности, в качестве M можно рассматривать меру Гаусса:

dM(x) = 1

(2π detB)n/2e− (B−1(x−α),x−α)

2 dx,

где B = (bij)ni,j=1 — ковариационная матрица и α = (α1, . . . ,αn) —вектор средних значений. Параметры (bij) и α определяются«производственными» экономическими факторами. В частности,bij — это ковариация между ценами финансовых агентов ai и aj .Матрица B симметрична, т. е. bij = bji. Число αj — среднее зна-чение цен qj , αj = qj , предлагаемых агентом aj . Мера M описы-вает классические случайные флуктуации на финансовом рынке,которые не относятся к «квантовым» эффектам. Такие эффектыописываются в нашей модели финансовой ведущей волной. Есливлияние этой волны очень мало, то мы можем использоватьклассические вероятностные модели; в частности, основанные нагауссовом распределении. Гауссова модель для ценовых флуктуа-ций была первой финансовой вероятностной моделью, см. Баши-лье [43]. Фактически, Башилье описал динамику цен с помощьюброуновского движения. Поэтому вполне естественно рассматри-вать гауссово распределение ценовых изменений. В связи с этимбудет полезным изучить импульсное представление для теорииведущей волны. Вместо финансовых волн на конфигурационномфинансовом пространстве Q мы можем рассмотреть финансовыеволны ϕ : P → C на импульсном пространстве. Напомним, чтоимпульс p = mv, где v — скорость, описывает ценовые измене-ния. Таким образом, следуя Башелье, нам необходимо рассмот-реть представление Гаусса, ϕ ∈ L2(P , dM), где P — пространствоценового изменения 1).

1) Однако нужно отметить, что в стандартной теории ведущей волны (в про-тивоположность обычной квантовой теории) нет симметрии между коорди-натным и импульсным представлениями. Поэтому нам следует быть оченьосторожными при использовании представления импульсов; см. новые работыХайли [144].


Однако дальнейшие исследования показали, что модель Гаус-са ценовых изменений является не самой лучшей моделью дляописания ценовых флуктуации. Одной из альтернативных моде-лей является модель, основывающаяся на процессе Леви [239,278]. Поэтому исследуем «квантовую» финансовую модель, ос-нованную на мере Коши (Лоренца):

dM(p) = γ

π

dp

γ2 + p2

на импульсном финансовом пространстве. Было бы интереснопредставить сравнительный анализ моделей финансовой ведущейволны для мер Гаусса и Коши.

Очевидно, что мера Коши имеет некоторые преимущества.Используя эту меру, мы исключаем из рассмотрения финансовыеволны, которые растут на бесконечности как линейная функция.Таким образом, ϕ(p) ≈ pk, k � 1, p → ∞, исключаются из этоймодели, что соответствует реальности, так как цены (по крайнеймере, на реальном финансовом рынке) не могут изменяться скольугодно быстро.

Теперь вернемся к общей квантовой схеме, сконцентри-ровавшись на конфигурационном представлении ϕ : Q → C,ϕ ∈ L2(Q) ≡ L2(Q, dx). Мы рассмотрим общий квантовоподоб-ный статистический формализм на ценовом пространстве.

Как и в обычной квантовой механике, мы рассматриваемпредставление финансовых величин (наблюдаемых) с помощьюсимметричных операторов в L2(Q). Используя представлениеШрёдингера, мы определяем операторы цены и ценового измене-ния с помощью операторов

— qjϕ(q) = qjϕ(q) (оператор умножения на qj-цену),

— pjϕ(q) = h

i

∂

∂qjϕ(q) (оператор дифференцирования отно-

сительно qj-цены, нормированный постоянной h (и так как−i = 1/i, то оператор pj симметричен)).

Операторы цены и ценового изменения удовлетворяют такназываемым каноническим коммутационным отношениям:

[q, p] = q p− p q = ih.

Используя операторное представление цены и ценового изме-нения, мы можем поставить в соответствие каждой функцииH(q, p) на финансовом фазовом пространстве оператор H(q, p)

§ 6. Философия Уайтхеда и теория финансовой ведущей волны 265

в L2(Q). В частности, оператор финансовой энергии можно за-писать в виде

H = −n∑j=1

h2

2mj

∂2

∂q2j+ V (q1, . . . , qn).

Здесь V (q) — оператор умножения на функцию V (q).В этом обобщенном квантовоподобном формализме для фи-

нансового рынка мы не рассматриваем индивидуальной эволю-ции цен. Данная теория является чисто статистической. Мы мо-жем только определить среднее финансовой наблюдаемой A длянекоторого фиксированного состояния φ финансового рынка:

〈A〉φ =∫

Q

A(φ)(x)φ(x) dx.

Однако использование бомовской модели дает дополнительнуювозможность определять индивидуальные траектории.

В заключение повторим основные положения идеологии фи-нансовой ведущей волны.

1) Экономические условия определяют вид функции финан-совой энергии H(q, p) (на финансовом фазовом пространстве).В стандартной модели (с квадратичной кинетической частью)экономическая зависимость записывается с помощью потенциа-ла V (q1, . . . , qn).

2) Экономические условия, заданные посредством потенциалаV (q1, . . . , qn), определяют эволюцию финансовой ведущей волныϕ(t, q). Эта информационная (психологическая) финансовая вол-на вызвана информационными изменениями между финансовымиагентами на финансовом рынке.

3) Финансовая ведущая волна порождает новый финансовыйпотенциал, U(q1, . . . , qn).

4) Финансовый потенциал U(q1, . . . , qn) порождает новую фи-нансовую силу, которая меняет «классическую ценовую эволю-цию», описываемую уравнениями Гамильтона на финансовом фа-зовом пространстве.

§ 6. Философия Уайтхеда и теория финансовойведущей волны

Хотелось бы сделать интересное философское замечание от-носительно нашей модели финансовой ведущей волны. Снача-ла напомним хорошо известную работу Уайтхеда [297] о ко-


гнитивной интерпретации квантовой теории. Грубо говоря, по-ведение элементарных частиц (фотонов, электронов, нейтро-нов, и т. д.) больше похоже на поведение когнитивных систем,чем «неодушевленных» материальных тел. Следуя рассуждениямУайтхеда, мы можем предположить, что все когнитивные систе-мы можно описать посредством квантовой теории. Одна из та-ких возможностей заключается в использовании теории ведущейволны при моделировании когнитивного феномена. В этой главемы рассмотрели довольно специальную когнитивную квантовуюмодель, а именно модель финансовой ведущей волны. Исследуяэту модель, нам удалось получить важные факты, подтвержда-ющие предположения Уайтхеда. Если агенты на финансовомрынке в действительности обладают «квантовым» поведением,то мы получим строгое подтверждение предположений о кван-товом описании когнитивных процессов, а также строгое (хотяи непрямое) доказательство утверждений Уайтхеда о когнитив-ности квантовых систем.

Одними из важнейших физических экспериментов, проде-монстрировавших «квантовое» поведение элементарных частиц,были эксперименты интерференции. Они продемонстрироваливолновой характер квантовых систем. Поэтому одним из важ-нейших шагов при доказательстве оправданности использованияфинансовой квантовой модели является нахождение интерферен-ции («психологической интерференции») между финансовымиагентами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аккарди Л. Диалоги о квантовой механике. Гейзенберг, Фейнман, Акаде-мус, Кандидо и хамелеон на ветке. М.: Едиториал УРСС, 2004.

2. Берман Г.П., Дулен Г.Д., Майньери Р., Цифринович В.И. Введениев квантовые компьютеры. М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. 4-е изд. М.: Высшая школа,1963.

4. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность.М.: РХД, 2004.

5. Вентцель Е. Теория вероятностей. М.: Наука, 1953.6. Дирак П. Лекции по квантовой механике. М.: Наука, 1968.7. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд.

М.: Наука, 1974.8. Ландау Л.Д., Лифшиц У.М. Теоретическая физика. В 10 томах. М.: Физ-

матлит, 2005.9. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО,

2002.10. Хренников А.Ю. Неколмогоровские теории вероятностей и квантовая

физика. М.: Физматлит, 2003.11. Хренников А.Ю. Неархимедов анализ и его приложения. М.: Физматлит,

2003.12. Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в p-адических си-

стемах координат. М.: Физматлит, 2004.13. Хренников А.Ю. Суперанализ. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005.14. Фок В.А. Начала квантовой механики. 4-е изд. М.: Физматлит, 2007.15. фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. (Пер.

с нем.) М.: Физматлит, 1964.16. Шрёдингер Э. Лекции по физике. М.: Физматлит, 2001.17. Aaronson S. Is quantum mechanics an island in theory space? // In:

Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2.P. 15–28. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

18. Accardi L. The probabilistic roots of the quantum mechanical paradoxes // In:Diner S., Fargue D., Lochak G., Selleri F. (eds) The Wave-Particle Dualism.A Tribute to Louis de Broglie on his 90th Birthday. P. 47–55. D. Reidel Publ.Company, Dordrecht, 1970.

19. Accardi L. Some loopholes to save quantum nonlocality // In: Adenier G.,Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3. P. 1–20.American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville,NY, 2005.

268 Список литературы

20. Accardi L. Could one now convince Einstein? // In: Adenier G., Khren-nikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds.) Quantum Theory: Reconsidera-tion of Foundations–3. P. 3–18. American Institute of Physics, Ser. Confer-ence Proceedings 810, Melville, NY, 2006.

21. Accardi L., Khrennikov A.Yu. Chameleon effect, the range of values hypoth-esis, and reproducing the EPR-Bohm correlations // In: Adenier G., Fuchs C.,Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3. P. 21–29.American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville,NY, 2007.

22. Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds): Foundations of Probability andPhysics–3. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 750,Melville, NY, 2005.

23. Adenier G., Khrennikov A.Yu. and Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.): QuantumTheory: Reconsideration of Foundations–3. American Institute of Physics,Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.

24. Adenier G., Khrennikov A.Yu. Anomalies in EPR-Bell experiments // In:Adenier G., Khrennikov A.Yu. and Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.) Quantumtheory: reconsideration of foundations–3. P. 283–293. American Institute ofPhysics, Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.

25. Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds): Foundations of Probabilityand Physics–3. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings889, Melville, NY, 2007.

26. Adenier G., Khrennikov A.Yu. Is the fair sampling assumption supported byEPR experiments? Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics 40 (1),131–141, 2007.

27. Aerts D., Aerts S. Applications of quantum statistics in psychological studiesof decision-proceses // Found. Sc. 1, 1–12, 1995.

28. Aerts D., Czachor M., Pawlovski M. Security in quantum cryptography vs.nonlocal hidden variables // In: Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu.(eds) Foundations of Probability and Physics–4. P. 71–78. American Instituteof Physics, Ser. Conference Proceedings 89, Melville, NY, 2007.

29. Aichele T., Herzog U., Scholz M., Benson O. Single photon generation andsimultaneous observation of wave and particle properties // In: Adenier G.,Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3. P. 35–41.American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville,NY, 2005.

30. Allahverdyan A.E., Balian R., Nieuwenhuizen Th.M. The quantum mea-surement process in an exactly solvable model // In: Khrennikov A.Yu. (ed),Foundations of Probability and Physics–3. P. 16–24. American Institute ofPhysics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.

31. Allahverdyan A., Khrennikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. Brownian en-tanglement // Phys. Rev. A. 71, 032102-1–032102-14, 2005.

32. Andreev V .A., Man’ko V . I. Two-particle spin states and generalized Bell’sinequalities // JETP Lett. 72, 93–96, 2000.

33. Andreev V .A., Man’ko V . I. The classification of two-particle spin states andgeneralized Bell inequalities // Phys. Lett. A. 281, 278–288, 2001.

34. Andreev, V .A., Man’ko V . I. Bell’s Inequality for Two-Particle Mixed SpinStates // Theor. Math. Phys. 140, 1135–1145, 2004.

Список литературы 269

35. Andreev V .A. Reduction of the two-spin state density matrix and evaluationof the left-hand side of the Bell-CHSH inequality // J. Russian Laser Re-search. 27, 327–331, 2006.

36. Andreev V .A., Man’ko V . I., Man’ko O.V . et al. Tomography of Spin States,the Entanglement Criterion, and Bell’s Inequalities // Theor. Math. Phys.146, 140–151, 2006.

37. Andreev V .A., Man’ko V . I. Quantum tomography and verification of gen-eralized Bell-CHSH inequalities // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds)Foundations of Probability and Physics–3. P. 42–48. American Institute ofPhysics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.

38. Appleby D.M. Concerning dice and divinty // In: Adenier G., Fuchs C.,Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3. P. 30–39.American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville,NY, 2007.

39. Ashwanden M., Philipp W ., Hess K., Adenier G. Local time dependentinstruction-set model for the experiment of Pan et al // In: Adenier G., Khren-nikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds) Quantum theory: reconsiderationof foundations–3. P. 437–446. American Institute of Physics, Ser. ConferenceProceedings 810, Melville, NY, 2006.

40. Aspect A., Dalibard J., Roger G. Experimental Test of Bell’s InequalitiesUsing Time-Varying Analyzers // Phys. Rev. Lett. 49, 1804, 1982.

41. Atmanspacher H., Primas H. Epistemic and ontic quantum realities //In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability andPhysics–3. P. 49–62. American Institute of Physics, Ser. Conference Pro-ceedings 750, Melville, NY, 2005.

42. Bacciagaluppi G. Classical extensions, classical representations andBayesian updating in quantum mechanics // In: Khrennikov A.Yu. (ed)Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2. P. 55–70. Ser. Math.Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

43. Bachelier L. Ann. Sc. l’Ecole Normale Superiere. 111–17, 21, 1890.44. Ballentine L.E. The statistical interpretation of quantum mechanics // Rev.

Mod. Phys. 42, 358–381, 1989.45. Ballentine L.E. Quantum Mechanics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ,

1989.46. Ballentine L.E. Interpretations of probability and quantum theory // In:

Khrennikov A.Yu. (ed) Foundations of Probability and Physics, QuantumProbability and White Noise Analysis, 13. P. 71–84. WSP, Singapore, 2001.

47. Ballentine L.E. The classical limit of quantum mechanics and its implica-tions for the foundations of quantum mechanics // In: Khrennikov A.Yu.(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2. P. 71–82. Ser.Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

48. Barrett J.A. The Quantum Mechanics of Minds and Worlds. Oxford Univ.Press, Oxford, 1999.

49. Belavkin V .P. Visible information dynamics of hidden quantum mechan-ics // In: Khrennikov A.Yu. (ed) Foundations of Probability and Physics–2.


P. 69–98. Ser. Math. Model. 5. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; elec-tronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

50. Bell J. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1987.

51. Beltrametti E.G, Cassinelli G. The Logic of Quantum Mechanics. (G.-C. Ro-ta (ed) Encyclopedia of Mathematics and its Applications). Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1984.

52. Bialynicki-Birula I. Renyi entropy and the uncertainty relations // In:Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probabilityand Physics–3. P. 52–61. American Institute of Physics, Ser. ConferenceProceedings 889, Melville, NY, 2007.

53. Bogolyubov N.N., Shirkov D.V . Introduction to the Theory of QuantizedFields. Nauka, Moscow, 1984.

54. Bogolyubov N.N., Logunov A.A., Todorov I.T. Fundamentals of AxiomaticApproach to the Quantum Field Theory. M.: Nauka, 1969.

55. Bohm D. Unfolding meaning. Routledge and Kegan Paul, London, 1987.56. Bohm D. Wholeness and the Implicate Order. Routledge and Kegan Paul,

London, 1987.57. Bohm D., Hiley B. The Undivided Universe: an Ontological Interpretation of

Quantum Mechanics. Routledge and Kegan Paul, London, 1993.58. Bohr N. Can quantum-mechanical description of physical reality be consid-

ered complete? // Phys. Rev. 48, 696–702, 1935.59. Bohr N. The philosophical writings of Niels Bohr, 3 vols. Woodbridge, Conn.,

Ox Bow Press, 1987.60. Boyer T.H. A brief survey of stochastic electrodynamics // In: Barut A.O.

(ed) Foundations of Radiation Theory and Quantum Electrodynamics.P. 141–162. Plenum, NY, 1980.

61. Brida G., Genovese M., Gramegna M., Novero C., Predazzi E. A first testof Wigner function local realistic model // Phys. Lett. A. 299, 121, 2002.

62. Brock W .A., Sayers C. Is business cycle characterized by deterministicchaos? // J. of Monetary Economics. 22, 71–90, 1988.

63. Bulinski A.V ., Khrennikov A.Yu. Nonclassical total probability formula andquantum interference probabilities // Stat. Prob. Lett. 70, 49–58, 2004.

64. Busch P., Grabowski M., Lahti P. Operational Quantum Physics. SpringerVerlag, Berlin, 1995.

65. Busch P. Less (precision) is more (information): Quantum informationin fuzzy probability theory // In: Khrennikov A.Yu. (ed) QuantumTheory: Reconsideration of Foundations -2. P. 113–148. Ser. Math.Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

66. Busemeyer J.B., Wang Z., Townsend J.T. Quantum dynamics of humandecision making // J. Math. Psychology 50, 220–241, 2006.

67. Busemeyer J.B., Wang Z. Quantum information processing explanation forinteractions between inferences and decisions // In: Bruza P.D., Lawless W .,van Rijsbergen K., Sofge D.A. (eds) Quantum Interaction, AAAI SpringSymposium, Technical Report SS-07–08. P. 91–97. AAAI Press, Menlo Park,CA, 2007.


68. Casado A., Marshal T., Santos E. Parametric downconversion experimentsin the Wigner representation // J. Opt. Soc. Am. B. 14, 494–502, 1997.

69. Choustova O.A. Pilot wave quantum model for the stock market // In:Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.P. 41–58. Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; elec-tronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

70. Choustova O. Bohmian mechanics for financial processes // J. of ModernOptics. 51, 1111, 2004.

71. Choustova O. Price dynamics of shares and Bohmian mechanics: Deter-ministic or stochastic model? // In: Adenier, G., Khrennikov A.Yu. (eds):Foundations of Probability and Physics–3. P. 274–282. American Institute ofPhysics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.

72. Choustova O. Information field model for agents of financial market // In:Petitjean M. (ed) Proceedings of FIS2005, The Third Conference on theFoundations of Information Science. MDPI Publishers, Basel, Switzerland,2005; electronic volume: http://www.mdpi.org/fis2005/proceedings.html.

73. Choustova O. Quantum Bohmian model for financial market // Physica A.374, 304–314, 2006.

74. Choustova O. Quantum modeling of nonlinear dynamics of stock prices:Bohmian approach. Theor. Math. Phys.152, 405–416, 2007.

75. Clauser J.F., Horne M.A., Shimony A., Holt R.A. Phys. Rev. Lett. 49, 1804,1969.

76. Clauser J.F., Shimony A. Bell’s theorem. Experimental tests and implica-tions // Rep. Progr. Phys. 41 1881, 1978.

77. Cohen D. An introduction to Hilbert space and quantum logic. Springer, NY,1989.

78. Cole D. Simulation results related to stochastic electrodynamics // In: Ade-nier G., Khrennikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds.): Quantum Theory:Reconsideration of Foundations–3. P. 99–113. American Institute of Physics,Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.

79. Conte E., Todarello O., Federici A., Vitiello F., Lopane M., Khrennikov A.,Zbilut J.P. Some remarks on an experiment suggesting quantum-like behav-ior of cognitive entities and formulation of an abstract quantum mechanicalformalism to describe cognitive entity and its dynamics. Chaos, Solitons andFractals 31, 1076–1088, 2006.

80. Cushing J., Fine A., Goldstein S. (eds). Bohmian Mechanics and QuantumTheory. An Appraisal. Kluwer Academic Publ., Dordrecht and Boston, 1996.

81. D’Ariano G.M. Operational axioms for quantum mechanics // In: Adenier G.,Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3.P. 79–105. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889,Melville, NY, 2007.

82. Danilov V . I., Lambert-Mogiliansky A. Non-classical expected utility theoryPreprint Paris-Jourdan Sc. Economiques, 2006.

83. Danilov V . I., Lambert-Mogiliansky A. Non-classical measurement theory:a framework for behavioral sciences // arXiv:physics/0604051, 2006.

84. Davidson M.P. Stochastic models of quantum mechanics — a perspective //In: Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability


and Physics–3. P. 106–119. American Institute of Physics, Ser. ConferenceProceedings 889, Melville, NY, 2007.

85. De Baere W . Lett. Nuovo Cimento 39, 234–238„ 1984.86. De Baere W . Lett. Nuovo Cimento 40, 488–498, 1984.87. De Baere W . Advances in electronics and electron physics 68, 245–280,

1986.88. De Baere W . Subquantum nonreproducibility and the complete local

description of physical reality // In: Khrennikov A.Yu. (ed) Quan-tum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model. 2.P. 59–74, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

89. De Broglie L. The Current Interpretation of Wave Mechanics. A CriticalStudy. Elsevier, Amsterdam, 1964.

90. De la Pena L., Cetto A.M. The Quantum Dice: An Introduction to StochasticElectrodynamics. Kluwer Academic Publ., Dordrecht„ 1996.

91. De la Pena L. Does quantum mechanics accept a stochastic support? //Found. Phys. 12, 1017, 1982.

92. De la Pena L. New Formulation of Stochastic Theory and Quantum Mechan-ics // J. Math. Phys. 10, 1620–1630, 1969.

93. De la Pena L., Cetto A.M. Phys. Rev. D 3, 795, 1971.94. De la Pena L., Cetto A.M. Recent development in linear stochastic electro-

dynamics // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds.)Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–3. P. 3–18; P. 131–140.American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 810, Melville,NY, 2006.

95. De Muynck W .M., De Baere W . Ann. Israel Phys. Soc. 12, 1–22, 1996.96. De Muynck W .M., De Baere W ., Marten H. Interpretations of quantum me-

chanics, joint measurement of incompatible observables, and counterfactualdefiniteness // Found. Phys. 24, 1589–1663, 1994.

97. De Muynck W .M., Stekelenborg J.T. On the Significance of the BellInequalities for the Locality Problem in Different Realistic Interpretations ofQuantum Mechanics // Annalen der Physik 45, 222–234, 1988.

98. De Muynck W .M. Interpretations of quantum mechanics, and interpretationsof violations of Bell’s inequality // In: Khrennikov A.Yu. (ed) Foundationsof Probability and Physics. P. 95–104. Series PQ–QP: Quantum Probabilityand White Noise Analysis 13. WSP, Singapore, 2001.

99. De Muynck W .M. Foundations of Quantum Mechanics, an EmpiricistsApproach. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2002.

100. d’Espagnat B. Veiled Reality. An Anlysis of Present-day Quantum Mechani-cal Concepts. Addison-Wesley, 1995.

101. d’Espagnat B. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics. PerseusBooks, Reading, Mass, 1999.

102. Dirac P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press:Oxford, 1995.

103. Eccles J.C. The Understanding of the Brain. McGraw-Hill, NY, 1974.104. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of

Physical Reality Be Considered Complete? // Phys. Rev. 47, 777–780, 1935.


105. Ezhov A.A., Khrennikov A.Yu. Agents with left and right dominant hemi-spheres and quantum statistics // Phys. Rev. E 71, 016138–1 -8, 2005.

106. Feynman R., Hibbs A. Quantum Mechanics and Path Integrals.McGraw-Hill, NY, 1965.

107. Feynman R.P. Negative probability // In: Hiley B. J., Peat F.D. (eds) Quan-tum Implications, Essays in Honour of David Bohm. P. 235–246. Routledgeand Kegan Paul, London, 1987.

108. Fine A. Hidden Variables, Joint Probability, and the Bell Inequalities // Phys.Rev. Lett. 48, 291–295, 1982.

109. Folse H. J. Bohr’s conception of the quantum mechanical state of a systemand its role in the framework of complementarity // In: Khrennikov A.Yu.(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. P. 83–98. Ser.Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

110. Foulis D. J. A half-century of quantum-logic. What have we learned? // In:Quantum Structures and the Nature of Reality. Einstein meets Magritte, 7.P. 1–36. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1990.

111. Franco R. Quantum mechanics, Bayes’ theorem and the conjunction fallacy //quant-ph/0703222, 2007.

112. Fuchs C.A. The anti-Vaxjo interpretation of quantum mechanics // In:Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.P. 99–116. Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

113. Fuchs C. Delirium quantum (or, where I will take quantum mechanics if itwill let me) // In: Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundationsof Probability and Physics–3. P. 438–462. American Institute of Physics, Ser.Conference Proceedings 889, Melville, NY, 2007.

114. Genovese M. Research on hidden variable theories: A review of recentprogresses // Phys. Rep. 413, 319, 2005.

115. Gill R. Time, finite statistics and Bell’s fifth position // In: Khren-nikov A.Yu. (ed) Foundations of Probability and Physics–2. P. 179–206. Ser.Math. Model. 5. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

116. Gisin N., Gisin B. Bell inequality for arbitrary many settings of the analyz-ers // Phys. Lett. A. 260, 323, 1999.

117. Granger C.W . J. Is chaotic theory relevant for economics? A review essay //J. of International and Comparative Economics 3, 139–145, 1994.

118. Green M.B., Schwarz J.H., Witten E. Superstring Theory. Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1987.

119. Greenberger D., Horne M., Zeilinger A. Going beyond Bell’s theorem // In:Kafatos M. (ed) Bell’s Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of theUniverse. P. 73–76. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1989.

120. Grib A., Khrennikov A., Starkov K. Probability amplitude inquantum-like games // In: Khrennikov A.Yu. (ed) QuantumTheory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model. 10.P. 703–722. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.


121. Grib A., Khrennikov A., Parfionov G., Starkov K. Quantum equilibria formacroscopic systems // J. Phys. A.: Math. Gen. 39, 8461–8475, 2006.

122. Gudder S.P. Trans. AMS 119, 428–442, 1965.123. Gudder S.P. Axiomatic Quantum Mechanics and Generalized Probability

Theory. Academic Press, NY, 1970.124. Gudder S.P. An approach to quantum probability // In: Khrennikov A.Yu.

(ed) Foundations of Probability and Physics, Quantum Probability and WhiteNoise Analysis, 13. P. 147–160. WSP, Singapore, 2001.

125. Hameroff S. Quantum coherence in microtubules. A neural basis for emer-gent consciousness? // J. of Cons. Stud. 1, 91–118, 1994.

126. Hameroff S. Quantum computing in brain microtubules? ThePenrose-Hameroff Orch Or model of consciousness // Phil. Tr. Royal Sc.,London A 1–28, 1994.

127. Hardy L. Quantum theory form intuitively reasonable axioms // In:Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.P. 117–130. Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

128. Harkavy A.A. Quantum mechanical information is ubiquitous // In:Kafatos M. (ed) Bell’s Theorem, Quantum Theory and Conceptions of theUniverse. P. 11–24. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1989.

129. Haven E. A Discussion on embedding the Black-Scholes option pricing modelin a quantum physics setting // Physica A. 304, 507–524, 2002.

130. Haven E. A Black-Scholes Schridinger Option Price: “bit” versus “qubit” //Physica A. 324, 201–206, 2003.

131. Haven E. The wave-equivalent of the Black-Scholes option price: an interpre-tation // Physica A. 344, 142–145, 2004.

132. Haven E. Analytical solutions to the backward Kolmogorov PDE via anadiabatic approximation to the Schrodinger PDE // J. of Math. Analysis andApplications 311, 439–444, 2005.

133. Haven E. Bohmian mechanics in a macroscopic quantum system // In:Adenier G., Khrennikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds) Foundations ofProbability and Physics–3. P. 330–340. American Institute of Physics, Ser.Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.

134. Heisenberg W . The Physical Principles of the Quantum Theory. DoverPublications, London, 1989.

135. Heisenberg W . Physics and Philosophy. Harper and Row, Harper Torchbooks,NY, 1958.

136. Helland I.S. Quantum theory as a statistical theory // In: Khrennikov A.Yu.(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. P. 219–242. Ser.Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

137. Hess K., Philipp W . A possible loophole in the theorem of Bell, Proc. Nat.Acad. Sc. 98, 14224, 2001.

138. Hess K., Philipp W . Exclusion of time in Mermin’s proof of Bell-type inequal-ities // In: Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foun-dations–2. P. 243–254. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo,2003; electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

139. Hess K., Philipp W . Europhys. Lett. 57, 775, 2002.


140. Hess K., Philipp W . Bell’s theorem: critique of proofs with and withoutinequalities // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds): Foundations ofProbability and Physics–3. P. 150–155. American Institute of Physics, Ser.Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.

141. Hess K. In memoriam Walter Philipp // In: Adenier G., Fuchs C., Khren-nikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3. P. 3–6. Amer-ican Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville, NY,2007.

142. Hilbert D., von Neumann J., Nordheim L.: Uber die Grundlagen der Quan-tenmechanik Math. Ann. 98, 1–30, 1927.

143. Hiley B., Pylkkanen P. Active information and cognitive science — A replyto Kieseppa // In: Pylkkanen P., Pylkko P., Hautamaki A. (eds) Brain, Mindand Physics. P. 123–145. IOS Press, Amsterdam, 1997.

144. Hiley B. Phase space distributions of quantum phenomena // In: Khren-nikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2.P. 267–286. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

145. Hiesmayer B.C. Bell inequalities for neutral kaon system // In: Khren-nikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2.P. 255–266. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

146. Holevo A.S. Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory.North-Holland, Amsterdam, 1982.

147. Holevo A.S. Statistical Structure of Quantum Theory. Springer,Berlin-Heidelberg, 2001.

148. Holland P. The quantum theory of motion. Cambridge Univ. Press, Cam-bridge, 1993.

149. Hudson R. Translation invariant phase space mechanics // In: Khren-nikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2.P. 301–314. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

150. Jahn R.G., Dunne B. J. On the quantum mechanics of consciousness, withapplications to anomalous phenomena // Found. Phys. 16, 721–772, 1986.

151. Jauch J.M. Foundations of Quantum Mechanics. Addison-Wesley, Reading,Mass., 1968.

152. Jibu M., Yasue K. Quantum Brain Dynamics and Consciousness. J. Ben-jamins Publishing Company, Amsterdam/Philadelphia, 1984.

153. Khrennikov A.Yu. Superanalysis. Kluwer Academic Publ., Dordreht, 1999.154. Khrennikov A.Yu. Interpretations of Probability. VSP International Science

Publishers, Utrecht, 1999.155. Khrennikov A.Yu. Statistical measure of ensemble nonreproducibility and

correction to Bell’s inequality // Il Nuovo Cimento B 115, 179–184, 1999.156. Khrennikov A.Yu. Non-Kolmogorov probability models and modified Bell’s

inequality // J. of Math. Physics 41, 1768–1777, 2000.157. Khrennikov A.Yu. A perturbation of CHSH inequality induced by fluctuations

of ensemble distributions // J. of Math. Physics 41, 5934–5944, 2000.158. Khrennikov A.Yu. Contextualist viewpoint to Greenberger–Horne–Zeilinger

paradox // Phys. Lett. A 278, 307–314, 2001.


159. Khrennikov A.Yu. Linear representations of probabilistic transformationsinduced by context transitions // J. Phys.A: Math. Gen. 34, 9965–9981,2001.

160. Khrennikov A.Yu. (ed): Foundations of Probability and Physics. SeriesPQ–QP: Quantum Probability and White Noise Analysis 13. WSP, Singa-pore, 2001.

161. Khrennikov A.Yu. Classical and Quantum Mental Models and Freud’s Theoryof Unconscious Mind. Ser. Math. Model. 1. Vaxjo Univ. Press, Vaxjo, 2002;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

162. Khrennikov A.Yu. Ensemble fluctuations and the origin of quantum proba-bilistic rule // J. Math. Phys. 43, 789–802, 2002.

163. Khrennikov A.Yu. Quantum statistics via perturbation effects of preparationprocedures // Il Nuovo Cimento B 117, 267–281, 2002.

164. Khrennikov A.Yu. Frequency analysis of the EPR-Bell argumentation //Found. Phys. 32, 1159–1174, 2002.

165. Khrennikov A.Yu. (ed): Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

166. Khrennikov A.Yu. and Volovich, Ja. I.: Discrete time leads to quantum–likeinterference of deterministic particles // In: Khrennikov A.Yu. (ed)Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model.2. P. 441–454, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

167. Khrennikov A.Yu. and Volovich, Ja. I.: Interference effect for proba-bility distributions of deterministic particles // In: Khrennikov A.Yu.(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model.2. P. 455–462. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

168. Khrennikov A.Yu., Volovich I.V . Local realism, contextualismand loopholes in Bell‘s experiments // In: Khrennikov A.Yu. (ed)Foundations of Probability and Physics–2. Ser. Math. Model. 5.P. 325–344. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

169. Khrennikov A.Yu., Volovich I.V . Quantum nonlocality, EPR model, andBell‘s theorem // In: Proceedings of the 3nd Sakharov conference on physics,2. P. 269–276. WSP, Singapore, 2003.

170. Khrennikov A.Yu. (ed): Foundations of Probability and Physics–2. Ser.Math. Model. 5. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

171. Khrennikov A.Yu., Kozyrev S.V . Noncommutative probability in classicaldisordered systems // Physica A. 326, 456–463, 2003.

172. Khrennikov A.Yu. Contextual viewpoint to quantum stochastics // J. Math.Phys. 44, 2471–2478, 2003.

173. Khrennikov A.Yu. Representation of the Kolmogorov model having all dis-tinguishing features of quantum probabilistic model // Phys. Lett. A 316,279–296, 2003.

174. Khrennikov A.Yu. Hyperbolic quantum mechanics. Advances in AppliedClifford Algebras, 13(1), 1–9, 2003.


175. Khrennikov A.Yu. Quantum-like formalism for cognitive measurements.Biosystems 70, 211–233, 2003.

176. Khrennikov A.Yu. Interference of probabilities and number field structure ofquantum models. Annalen der Physik 12, 575–585, 2003.

177. Khrennikov A.Yu. Event-independence, collective-independence, EPR-Bohmexperiment and incompleteness of quantum mechanics // Phys. Essays 16,26–32, 2003.

178. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G., Truman A. Kolmogorov probabilityspaces describing quantum correlations // Dokl. Acad. Nauk 393, 28–32,2003; English translation: Doklady Mathematics 68, 452–456, 2003.

179. Khrennikov A.Yu. Quantum-psychological model of the stock market //Problems and Perspectives in Management 1, 137–148, 2003.

180. Khrennikov A.Yu. Information Dynamics in Cognitive, Psychological, Social,and Anomalous Phenomena. Kluwer Academic Publ., Dordreht, 2004.

181. Khrennikov A.Yu. Vaxjo interpretation-2003: Realism of contexts // In:Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2.Ser. Math. Model. 10. P. 323–338. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

182. Khrennikov A.Yu., Loubenets E. On relation between probabilities in quan-tum and classical experiments // Found. Phys. 34, 689–704, 2004.

183. Khrennikov A.Yu. Contextual approach to quantum mechanics and the theoryof the fundamental prespace // J. Math. Phys. 45, 902–921, 2004.

184. Khrennikov A.Yu. EPR-Bohm experiment and interference of probabilities //Found. Phys. Lett. 17, 691–700, 2004.

185. Khrennikov A.Yu., Volovich Ja. I. Discrete time dynamical models and theirquantum-like context-dependent properties // J. Modern Optics 51, 113–114,2004.

186. Khrennikov A.Yu. On unification of classical and quantum probability theo-ries // J. Modern Optics 51, 109, 2004.

187. Khrennikov A.Yu. Frequency derivation of the EPR-Bohm correlations // IlNuovo Cimento 119, 131–147, 2004.

188. Khrennikov A.Yu., On quantum-like probabilistic structure of mental infor-mation // Open Syst. and Inf. Dyn. 11 (3), 267–275, 2004.

189. Khrennikov A.Yu. Accentuate the negative. Wilmott (Serving the QuantativeFinance Community), September, 30–33, 2004.

190. Khrennikov A.Yu. (ed): Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2.Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004; electronicvolume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

191. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G. Probabilistic measurement models withnoncommuting and commuting observables. Dokl. Acad. Nauk 402, 748–753,2005. English Translation: Doklady Mathematics 71, 461–465, 2005.

192. Khrennikov A.Yu. The principle of supplementarity: A contextual proba-bilistic viewpoint to complementarity, the interference of probabilities, andthe incompatibility of variables in quantum mechanics // Found. Phys. 35,1655–1693, 2005.

193. Khrennikov A.Yu. Interference in the classical probabilistic model and itsrepresentation in complex Hilbert space // Physica E 29, 226–236, 2005.


194. Khrennikov A.Yu. Interference in the classical probabilistic framework //Fuzzy Sets and Systems 155, 4–17, 2005.

195. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G., Truman A. Kolmogorov probabilityspaces describing Accardi models for quantum correlations // Open Syst. andInf. Dyn. 12, 371–384, 2005.

196. Khrennikov A.Yu. On the representation of contextual probabilistic dynamicsin the complex Hilbert space: linear and nonlinear evolutions, Schrodingerdynamics // Il Nuovo Cimento 120, 353–366, 2005.

197. Khrennikov A.Yu. A pre-quantum classical statistical model withinfinite-dimensional phase space // J. Phys. A: Math. Gen. 38, 9051–9073,2005.

198. Khrennikov A.Yu., Kozyrev S.V . Contextual quantization and the principleof complementarity of Probabilities // Open Syst. and Inf. Dyn. 12, 303–318,2005.

199. Khrennikov A.Yu., Volovich I.V . Local realistic representation for cor-relations in the original EPR-model for position and momentum // SoftComputing — A Fusion of Found., Methodologies and Appl. 10, 521–529,2005.

200. Khrennikov A.Yu. Schridinger dynamics as the Hilbert space projection of arealistic contextual probabilistic dynamics // Europhys. Lett. 69 (5), 678–684,2005.

201. Khrennikov A.Yu. From classical statistical model to quantum modelthrough ignorance of information // In: Petitjean M. (ed) Proceedingsof FIS2005, The Third Conference on the Foundations of InformationScience. MDPI Publishers, Basel, Switzerland, 2005; electronic volume:http://www.mdpi.org/fis2005/proceedings.html.

202. Khrennikov A.Yu. To quantum mechanics through projection of classicalstatistical mechanics on prespace // In: Buccheri R., Elitzur A.C., Saniga M.(eds) Endophysics Time, Quantum and the Subjective. WSP, Singapore,2005.

203. Khrennikov A.Yu. Reconstruction of quantum theory on the basis of theformula of total probability // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds)Foundations of robability and physics–3. P. 187–218. American Institute ofPhysics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.

204. Khrennikov A.Yu. Generalizations of quantum mechanics induced by classi-cal statistical field theory // Found. Phys. Lett. 18, 637–650, 2006.

205. Khrennikov A.Yu. Representation of the contextual statistical model byhyperbolic amplitudes // J. Math. Phys. 46, 062111–062124, 2005.

206. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G. Nonstationary Kolmogorov probabil-ity models describing quantum measurements // Doklady Mathematics 73,286–291, 2006.

207. Khrennikov A.Yu. and Volovich, Ya.I.: Energy levels of “Hydrogen atom” indiscrete time dynamics // Open Syst. and Inf. Dyn. 13, 119–132, 2006.

208. Khrennikov A.Yu. Quantum-like brain: “Intereference of minds.” // BioSys-tems 84, 225–241, 2006.

209. Khrennikov A.Yu. Nonlinear Schrodinger equations from prequantum classi-cal statistical field theory // Phys. Lett. A 357, 171–176, 2006.


210. Khrennikov A.Yu. Prequantum classical statistical field theory: Complex rep-resentation, Hamilton–Schrodinger equation, and interpretation of stationarystates // Found. Phys. Lett. 19, 299–319, 2006.

211. Khrennikov A.Yu., Segre G. Von Neumann uniqueness theorem doesn’t holdin hyperbolic quantum mechanics // Int. J. Theor. Phys. 45, 1869–1890,2006.

212. Khrennikov A.Yu. Quantum mechanics as an asymptotic projection of sta-tistical mechanics of classical fields // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu.,Nieuwenhuizen Th.M. (eds) Quantum theory: reconsideration of founda-tions–3. P. 179–197. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceed-ings 810, Melville, NY, 2006.

213. Khrennikov A.Yu. On the problem of hidden variables for quantum fieldtheory // Nuovo Cimento B 121 (5), 505–521, 2006.

214. Khrennikov A.Yu. To quantum averages through asymptotic expansion ofclassical averages on infinite-dimensional space // J. Math. Phys. 48 (1), Art.No. 013512, 2007.

215. Khrennikov A.Yu. A mathematician’s viewpoint to Bell’s theorem: in mem-ory of Walter Philipp // In: Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds)Foundations of Probability and Physics–3. P. 7–20. American Institute ofPhysics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville, NY, 2007.

216. Khrennikov A.Yu. Quantum mechanics for military officers. In: Adenier G.,Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics–3.P. 137–151. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889,Melville, NY, 2007.

217. Kim Y .S., Noz M.E. Can one do quantum mechanics without Einstein? In:Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probabilityand Physics–3. P. 152–161. American Institute of Physics, Ser. ConferenceProceedings 889, Melville, NY, 2007.

218. Klyshko D.N. The Bell and GHZ theorems: a possible three-photon inter-ference experiment and the question of nonlocality // Phys. Lett. A, 172,399–403, 1993.

219. Klyshko D.N. Phys. Lett. A 176, 415–420, 1993.220. Klyshko D.N. Phys. Lett. A 218, 119–127, 1996.221. Klyshko D.N. Phys. Lett. A 247, 261–266, 1998.222. Klyshko D.N. Laser Phys., 6, 1056–1076, 1996.223. Klyshko D.N. Annals of NY Acad. Sc. 755, 13–27, 1995.224. Kochen S., Specker E. The problem of hidden variables in quantum mechan-

ical systems // J. Math. Mech. 17, 59–87, 1967.225. Lamb W .E. The Interpretation of Quantum Mechanics. (Edited and annotated

by Mehra, Ja.) Rinton Press, Inc., Princeton, 2001.226. Lande A. Foundations of Quantum Theory. Yale Univ. Press, 1955.227. Lande A. New Foundations of Quantum Mechanics. Cambridge Univ. Press,

Cambridge, 1965.

228. Larsson J.-A. Quantum Paradoxes, Probability Theory, and Change of En-semble. Linkoping Univ. Press, Linkoping, 2000.

229. Larsson J.-A. Bell inequalities for position measurements // In:Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.


P. 353–364. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

230. Larsson J.-A., Gill R. Bell’s inequality and the coincidence time loophole //In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability andPhysics–3. P. 228–235. American Institute of Physics, Ser. Conference Pro-ceedings 750, Melville, NY, 2005.

231. Lockwood M. Mind, Brain and Quantum. Blackwell, Oxford, 1989.232. Loubenets E.R. General framework for the probabilistic descrip-

tion of experiments // In: Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum The-ory: Reconsideration of Foundations–2. P. 385–387. Ser. Math.Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

233. Ludwig G. Foundations of quantum mechanics. Springer, Berlin, 1983.234. Mackey G.W . Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. W. A.

Benjamin Inc., NY, 1963.235. Manko V . I. Classical formulation of quantum mechanics // J. of Russian

Laser Research 17, 579–584, 1996.236. Manko O.V ., Manko V . I. Classical Mechanics Is not the hstrok, rarr 0 Limit

of Quantum Mechanics // J. Russian Laser Research 25, 477–492, 2004.237. Manko V . I., Shchukin E.V . A charged particle in an electric field in the

probability representation of quantum mechanics // J. Russian Laser Research22, 545–560, 2001.

238. Manko M.A., Manko V . I., Mendes V . I.: A probabilistic operator sym-bol framework for quantum information // J. Russian Laser Research 27,507–532, 2006.

239. Mantegna R.N., Stanley H.E. Introduction to Econophysics. CambridgeUniv. Press, Cambridge, 2000.

240. Mermin N.D. Is the moon there when nobody looks? Reality and quantumtheory. Phys. Today, April, 38–41, 1985.

241. Mermin N.D. Whose knowledge? In: Khrennikov A.Yu. (ed) Quan-tum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model. 2.P. 261–270, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

242. Muckenheim W . A Review of Extended Probability // Phys. Rep. 133,338–401, 1986.

243. Nanasiova O., Khrennikov A.Yu. Representation theorem of observables ona quantum system // Int. J. Theor. Phys. 45, 469–482, 2006.

244. Nelson E. Quantum Fluctuations. Princeton Univ. Press, Princeton, 1985.245. Nieuwenhuizen, Th. M.: Classical phase space density for relativistic elec-

tron // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. and Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.):Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–3. P. 198–210. AmericanInstitute of Physics, Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.

246. Orlov Y .F. The wave logic of consciousness: A hypothesis // Int. J. Theor.Phys. 21, 1, 37–53, 1982.

247. Pearle P. Hidden-Variable Example Based upon Data Rejection , Phys. Rev.D 2 1418, 1970.

248. R. Penrose, The emperor’s new mind. Oxford Univ. Press, NY, 1989.249. Penrose R. Shadows of the Mind. Oxford University Press, Oxford, 1994.


250. Peres A. Unperformed experiments have no results // Am. J. of Physics 46,745, 1978.

251. Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer Academic Publ.,Dordrecht, 1994.

252. Perez-Suarez M., Santos D. J. Quantum mechanics as an information theory:Some further missing on a Fuchsian proposal // In: Khrennikov A.Yu.(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. P. 469–478. Ser.Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

253. Pitowsky I. Resolution of the Einstein-Podolsky-Rosen and Bell Paradoxes //Phys. Rev. Lett. 48, 1299–1302, 1982.

254. Pitowsky I. Deterministic Model of Spin and Statistics // Phys. Rev. D 27,2316–2326, 1983.

255. Piotrowski E.W ., Sladkowski J. Quantum-like approach to financial risk:quantum anthropic principle // Acta Phys. Polonica B 32, 3873–3879, 2001.

256. Piotrowski E.W ., Sladkowski J. Quantum market games // Physica A. 312,208–216, 2002.

257. Piotrowski E.W ., Sladkowski J., Syska J. Interference of quantum marketstrategies // Physica A. 318, 516–528, 2003.

258. Piotrowski E.W ., Sladkowski J. An invitation to quantum game theory //Int. J. Theor. Phys. 42, 1089, 2003.

259. Piotrowski E.W . Fixed point theorem for simple quantum strategies inquantum market games // Physica A. 324, 196–200, 2003.

260. Piotrowski E.W ., Sladkowski J. Quantum games in finance // QuantativeFinance 4, C61–C67, 2004.

261. Piotrowski E.W ., Sladkowski J. Quantum diffusion of prices and profits //Physica A. 345, 185–195, 2005.

262. Piotrowski E.W ., Schroeder M., Zambrzycka A. Quantum extension ofEuropean option pricing based on the Ornstein-Uhlenbeck process // PhysicaA. 368, 176–182, 2006.

263. Plotnitsky A. Reading Bohr: Complementarity, Epistemology, Entanglement,and Decoherence // In: Gonis A., Turchi P. (eds) NATO Workshop Deco-herence and its Implications for Quantum Computations. P. 3–37. IOS Press,Amsterdam, 2001.

264. Plotnitsky A. The Knowable and Unknowable: Modern Science, NonclassicalThought, and the “Two Cultures.” Univ. Michigan Press, 2002.

265. Plotnitsky A. “This is an extremely funny thing, something must be hid-den behind that”: Quantum waves and quantum probability with ErwinSchrodinger // In: Adenier G., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations ofrobability and physics—3. P. 388–408. American Institute of Physics, Ser.Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.

266. Plotnitsky A. Reading Bohr: Physics and Philosophy. Springer, Dordrecht,2006.

267. Pylkkanen P. (ed): The search for meaning. Wellingborough, Thorsons, 1989.268. Rastal P. Found. Phys. 13, 555, 1983.269. Santos E. Found. Phys. 21, 221, 1991.270. Santos E. Phys. Rev. Lett. 66, 1388, 1991.


271. Schack R. Bayesian versus frequentist predictions in quantum tomography //In: Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probabilityand Physics–3. P. 230–234. American Institute of Physics, Ser. ConferenceProceedings 889, Melville, NY, 2007.

272. Schrodinger E. Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik // Natur-wissenschaften 23, 807–812; 823–828; 844–849, 1935.

273. Schrodinger E. Philosophy and the Birth of Quantum Mechanics. Bitbol M.,Darrigol O. (eds). Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette, 1992.

274. Segal W ., Segal I.E. The Black-Scholes pricing formula in the quantumcontext. Proc. Nat. Acad. Sc. USA 95, 4072–4075, 1998.

275. Shimony A. Search for a naturalistic world view. Cambridge Univ. Press,Cambridge, 1993.

276. Shimony A. On mentality, quantum mechanics and the actualization ofpotentialities // In: Penrose R., Longair M. (eds) The Large, the Small andthe Human Mind. Cambridge University Press, NY, 1997.

277. Shiryaev A.N. Probability. Springer, NY-Berlin-Heidelberg, 1984.278. Shiryaev A.N. Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory.

WSP, Singapore, 1999.279. Soros J. The Alchemy of Finance. Reading of Mind of the Market // J. Wiley

and Sons, Inc., NY, 1987.280. Stapp H.P. S-Matrix Interpretation of Quantum Theory , Phys. Rev. D 3,

1303, 1971.281. Stapp H.P. Mind, Matter and Quantum Mechanics. Springer-Verlag,

Berlin-NY-Heidelberg, 1993.282. Stenholm S. Two dogmas of quantum theory // In: Khrennikov A.Yu.

(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations–2. P. 519–532. Ser.Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

283. Svozil K. Quantum Logic. Springer, Berlin, 1998.284. Svozil K. Randomness and Undeciability in Physics. WSP, Singapore, 1993.285. ’t Hooft G. Quantum Gravity as a Dissipative Deterministic System.

http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9903084, 1999.286. ’t Hooft G. The mathematical basis for deterministic quantum mechanics.

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0604008, 2006.287. ’t Hooft G. The Free-Will Postulate in Quantum Mechanics.

http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0701097v1, 2007.288. Vitiello G. My Double Unveiled — the Dissipative Quantum Model of Brain.

J. Benjamins Publ. Company, Amsterdam/Philadelphia, 2001.289. Vladimirov V .S., Volovich I.V ., Zelenov E. I. P -adic analysis and mathe-

matical physics. WSP, Singapore, 1993.290. Volovich I.V . Quantum cryptography in space and Bell’s theorem // In:

Khrennikov, A,Yu. (ed) Foundations of probability and physics. P. 364–372.QP–PQ: Quantum Prob. White Noise Anal. 13. WSP, River Edge, NJ, 2001.

291. Von Mises R. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Z. 5,52–99, 1919.

292. Von Mises R. Probability, Statistics and Truth. Macmillan, London, 1957.293. Von Mises R. The Mathematical Theory of Probability and Statistics. Aca-

demic, London, 1964.


294. Von Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior.Princeton University Press, Princeton, 1947.

295. Von Neuman J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. PrincetonUniversity Press, Princeton, 1955.

296. Weihs G. A test of Bell’s inequality with spacelike separation // In: Ade-nier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds) Foundations of Probability andPhysics–4. P. 250–262. American Institute of Physics, Ser. Conference Pro-ceedings 889, Melville, NY, 2007.

297. Whitehead A.N. Process and Reality: an Essay in Cosmology. MacmillanPublishing Company, NY, 1929.

298. Wightman A.S. Hilbert’s sixth problem: mathematical treatment of theaxioms of physics. Proc. Symposia in Pure Math. 28, 147–233, 1976.

299. Wigner E.P. The problem of measurement // Am. J. Phys. 31, 6–46, 1963.300. Wright R. Generalized urn models // Found. Phys. 20, 881–907, 1991.

Documents

702.pdf