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Métodos de integración.Técnicas (Parte 1)Autor: jose maria guzman perez

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Presentación del curso

Cuando tienes una integral que no puedes resolver con ayuda de los dos

primeros grupos de fórmulas que se han proporcionado en cursos anteriores y que

también agotaste la posibilidad de algún cambio de variable o de hacer la división si

el integrando es un cociente de polinomios o si la trigonometría tampoco pudo

auxiliarte; y si tampoco la identificación de una variable “v” y constante “a” ambas

de segundo grado, pues entonces es momento de recurrir a los métodos de

integración.

En esta lección de hablaremos de uno de esos métodos que te ayudarán a

resolver una integral, para quienes no saben un método de integración nos ayuda a

calcular la integral indefinida de una función

En curso anteriores pudimos ver ejemplos, formulas y ejercicios para realizar

una integral indefinida de manera sencilla, como ya tienes adquiridas las bases para

resolver integrales, llega el momento de ampliar tus conocimientos, aprendiendo

ahora uno de los métodos de integración, sobre todo cuándo es oportuno aplicarlo a

ciertas integrales.

Es por eso que hoy te invitamos a esta nueva lección de integrales en la que

aprenderás un método sencillo mediante ejercicios y ejemplos que harán mucho

más fácil tu aprendizaje.

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1. Integrales. Método por partes (1/5)[http://www.mailxmail.com/...metodos-integracion-tecnicas-parte-1/integrales-metodo-partes-1-5]

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN…

Uno de ellos pues es el MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

…y creo que enseñándote a distinguir cuándo una integral se resolverá por este

método, será la mejor forma de ir adentrándonos en estas técnicas…

Sale pues… observa las siguientes integrales, analízalas bien…

E1

Este método nos ofrece la siguiente fórmula:



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A continuación aprenderás a usarla.

La integral que está a la izquierda del =, se identificará como la que tienes que

resolver, donde puedes observar que el integrando consta de una variable “u” y de una

diferencial “dv”. Están en producto pero “nada tiene que ver una con la otra”, eso nos lo

indica el poner letras diferentes.

Del lado derecho del = se tienen dos términos, el primero es el producto de las

variables “uv” del cual sólo conoces a “u”. En el segundo término el integrando consta del

producto de la variable “v”, que desconoces, y de la diferencial “du” que puedes conocer.

Pues sólo resolviendo integrales podrás aprender a trabajar este método de

integración. Vamos pues.

Ahora tienes que “escoger” quién será “u” y quién será “dv”. Para esta asignación

NO HAY REGLA, tienes que buscar esa asignación al “tanteo”. Más adelante, conforme vayas

progresando, irás teniendo experiencia en esta asignación de papeles.








Empecemos por esta posible asignación:

PON ATENCIÓN. Aquí es donde te darás cuenta si “u” y “dv”, fue la elección

apropiada. Fíjate en la integral que queda al aplicar la fórmula de integración por partes y te

darás cuenta que es una integral simple, MÁS SIMPLE que la integral original. ESA ES LA

SEÑAL DE QUE HICISTE UNA BUENA ASIGNACIÓN. Lo que falta entonces es realizar la última

integral, que de hecho ya se hizo arriba, sólo hay que aplicarle el cambio de variable que se

propuso ahí.

Seguramente este primer ejemplo te pareció extenso, pero la intensión es que te des

cuenta paso a paso del uso de este método de integración.








Me imagino que te estás preguntando qué hubiera pasado si tomaras la asignación

contraria. Pues no te quedes con la duda. Hagámoslo:








E2

Puedes intentar un cambio de variable, ya sea con t=5x, o con t=

cos 10x y podrás darte cuenta que no funcionan. Aplica ahora el método de Integración por

Partes, con la siguiente asignación:

¿Qué sucedería si hubieras asignado así?:

¿Cuáles de las cuatro integrales puedes realizar con un cambio de variable?

Te das cuenta que la segunda y la tercera las podrás resolver con el cambio de

variable z=








Puedes verificar que en el ejemplo anterior, si se hubiera hecho la asignación en forma

contraria, te darías cuenta que al aplicar la fórmula de integración por partes, la integral

resultante es sería complicada.

(Tengo la confianza de que sí harás esta verificación)








Aquí están las integrales segunda y la tercera, con su cambio de variable respectivo:

La segunda integral: La tercera integral:

Ni escogiendo como cambio de variable z=3x o z=ln (2x), se puede resolver la

primera integral, por eso la trabajaremos por partes.

La primera por partes: la segunda con cambio de variable:















Ni escogiendo como cambio de variable z=2x o z=secx tanx, se puede resolver la

primera integral, por eso la trabajaremos por partes.

Para la segunda tampoco escogiendo cambio de variable r=3x o

w = , se puede resolver, por eso también la trabajaremos por partes.

Para la primera integral:

La primera integral haciendo cambio de variable, la tercera directamente con la

fórmula 4, mientras que la segunda sólo con integración por partes.














6. Cambio de variables. Ejercicios (1/5)[http://www.mailxmail.com/...odos-integracion-tecnicas-parte-1/cambio-variables-ejercicios-1-5]

E9



http://www.mailxmail.com/curso-metodos-integracion-tecnicas-parte-1/cambio-variables-ejercicios-1-5





Se tiene que esa última integral es complicada, sólo se puede resolver por otro

método más avanzado, no dentro de un curso simple de integración indefinida.

Es importante que te hayas grabado esta conveniente forma de separación del

integrando, aprovechando que YA TIENES BUENA EXPERIENCIA en ir resolviendo integrales.

Aprovechemos esto último.








E10

Checa que ningún cambio de variable te la resuelve, por eso:















E11








Para la primera integral funciona el cambio de variable con el argumento del

logaritmo natural, mientras que para la segunda, no.

Es más en los tres grupos de fórmulas no hay alguna que nos resuelva esta segunda

integral. Entonces consideraremos este método de integración por partes haciendo una

elección conveniente.














E14








E15 Establece bien la diferencia entre las siguientes integrales:








E16

E17

E18 Observa la diferencia en este par de integrales:








Espero te estén ilustrando todos los ejercicios anteriores, sobre la aplicación del

método de integración por partes.

Se te ha hecho énfasis en que establezcas bien diferencias entre pares de integrales

con el fin de que veas claramente cuál es partes y cuál con un simple cambio de variable o

alguna otra ayuda.

Graba bien en tu mente que la integrales que contengan algún factor con logaritmo o

con una arco función trigonométrica, aplicarás este método de integración por partes,







eligiendo ya sea al logaritmo o a la arco función como la parte “u” y el resto formará parte

de la diferencial “dv”.

Te diste cuenta que habrá integrales que tendrás que aplicar este método varias

veces. En tales casos, debes tener mucho cuidado con el álgebra, usando los signos de

agrupación necesarios para que no “te pierdas”.

A continuación te ilustraré un caso particular de algunas integrales que se resuelven

con este método, pero que presentan cierta característica.







11. Ejemplos. Integrales por partes (1/2)[http://www.mailxmail.com/...todos-integracion-tecnicas-parte-1/ejemplos-integrales-partes-1-2]

E20

Integral muy semejante a la original por lo que te conviene que al aplicar

nuevamente integración por partes, escojas otra vez a la forma exponencial como la parte

“u” y el resto como la parte “dv”

… y como precisamente se anda buscando “y”, ya que así está el problema

original…entonces, ahora se tiene meramente un problema algebraico y habrá que despejar

pues esa “y”…

Entonces debes tener en cuenta que estando usando integración por partes, cuando



http://www.mailxmail.com/curso-metodos-integracion-tecnicas-parte-1/ejemplos-integrales-partes-1-2





se vuelva a presentar algo semejante a integral original, es la señal de que es el momento

de “cortar” el ciclo de este método y darse a la tarea de algebraicamente, despejar a la

integral original.

Se te presentarán integrales con estas características, “cíclicas”, por llamarlas de

alguna forma dentro de la aplicación de este método.

En el caso particular de esta integral, cabe la pregunta de ¿qué sucedería si se escoge

como “u” a la parte trigonométrica?

Pues aprovechando la curiosidad que se te despertó, te voy a presentar esta otra

opción como un nuevo ejercicio:

E21

Integral muy semejante a la original por lo que te conviene que al aplicar

nuevamente integración por partes, escojas otra vez a la forma exponencial como la parte

“u” y el resto como la parte “dv”

Creo que ya te diste cuenta que la integración por partes aquí es donde se hace

“cíclica”, y no terminarías…la integral es muy semejante a la original, por lo que se podrá

escribir así:













12. Ejemplos. Integrales por partes (2/2)[http://www.mailxmail.com/...todos-integracion-tecnicas-parte-1/ejemplos-integrales-partes-2-2]

Estarás de acuerdo que habrá muchas integrales que se resuelvan por este método.

Hasta aquí sólo me he dado a la terea de encaminarte en esta ruta para resolver integrales;

muchas integrales presentarán ciertos detalles o trucos que tienes que considerar para

poder presentarla como una o unas integrales que ya las puedas resolver como se te ha

ilustrado en estas cuatro publicaciones de la integral indefinida.

Espero de esta manera estar contribuyendo a tu formación en lo que respecta a

resolver integrales indefinidas.

Claro debes entender que este material de las cuatro publicaciones sobre la integral

indefinida, sólo te está preparando para que en el futuro, estés en condiciones de

enfrentarte a integrales más complejas, lo interesante es que para entonces ya estás más

preparado para resolverlas.

Puedes hacerte de ejercicios propuestos que se encuentran en libros importantes que

abordan todos estos temas para que te pongas a ejercitar, ya que sabes que en las

matemáticas, si no se está en constante ejercitación, te irás volviendo obsoleto.

También espero sinceramente, ya tengas otra opinión respecto a las matemáticas,

principalmente respecto al asunto de las integrales indefinidas.

No dudes en consultarme si te surge alguna duda o si tienes alguna aclaración que

mostrar.

AHORA SÍ, YA ESTÁS EN CONDICIONES DE PODER… INTEGRARTE...



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