7.7 《动能和动能定理》

教学目标

１、掌握用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。

２、掌握用动能定理处理含有涉及的物理量中的 F、 l、m、 v、W、 Ek等物理量的力学问题。

一 . 动能1. 物体由于运动而具有的能叫动能．2. 动能的大小： 2

2

1mvEK

3. 动能是标量．4. 动能是状态量，也是相对量．因为Ｖ为瞬时速度，且与参考系的选择有关 , 公式中的速度一般指相对于地面的速度 ．5. 动能的单位与功的单位相同 ----- 焦耳 .6. 动能与动量大小的关系：

m

PEK 2

2

KmEP 2

一个物体的动量发生变化，它的动能不一定变化一个物体的动能发生变化，它的动量一定变化

二、动能定理1. 合外力所做的功等于物体动能的变化 , 这个结论叫做动能定理 .

KEmvmvW 21

22 2

1

2

1合

2. 动能定理的理解及应用要点 :

(1) 等式的左边为各个力做功的代数和，正值代表正功，负值代表负功。等式右边动能的变化，指末动能 EK2=1/2mv2

2 与初能 EK1=1/2mv12 之差 .

(2)“ 增量”是末动能减初动能． ΔEK ＞ 0 表示动能增加， ΔEK ＜ 0 表示动能减小．

(3) 在动能定理中 , 总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力或其他的力等．(4) 动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．

(5) 各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．

(6) 有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待 .

(7) 动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系 . 一般以地面为参考系 .

(8) 若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑 . 若有能力，可视全过程为一整体，用动能定理解题 .(9) 动能定理中涉及的物理量有Ｆ、Ｓ、ｍ、ｖ、Ｗ、ＥＫ等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动或曲线运动，计算都有会特别方便。 总之，无论做何种运动，只要不涉及加速度和时间，就可考虑应用动能定理解决动力学问题。

例 1 、 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的 n 倍，求：钢珠在空中下落的高度 H 与陷入泥中的深度 h

的比值 H h∶ =?   解 : 画出示意图并分析受力如图示：

h

H

mg

mg

f

由动能定理，选全过程mg(H+h)－ nmgh=0     

H + h = n h  

  ∴H : h = n - 1

练习 1 、放在光滑水平面上的某物体，在水平恒力F的作用下，由静止开始运动，在其速度由 0 增加到 v 和由 v 增加到 2v 的两个阶段中， F对物体所做的功之比为 ( )

A.1∶1

B.1∶2

C.1∶3

D.1∶4

C

例 2 ．如右图所示，水平传送带保持 1m/s 的速度运动。一质量为 1kg 的物体与传送带间的动摩擦因数为 0.2 。现将该物体无初速地放到传送带上的 A 点，然后运动到了距 A 点 1m 的 B 点，则皮带对该物体做的功为 （ ） A. 0.5J   B. 2J     C. 2.5J   D. 5J  

解 : 设工件向右运动距离 S 时，速度达到传送带的速度 v ，由动能定理可知 μmgS=1/2mv2

解得 S=0.25m ，说明工件未到达 B 点时，速度已达到 v，所以工件动能的增量为 △EK = 1/2 mv2 = 0.5×1×1= 0.5J

 A

A B

练习 2 、两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比 m1∶m2=1∶2 ，速度之比 v1∶v2=2∶1 ，两车急刹车后甲车滑行的最大距离为 s1 ，乙车滑行的最大距离为 s2 ，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则 ( )

A.s1∶s2=1∶2

B.s1∶s2=1∶1

C.s1∶s2=2∶1

D.s1∶s2=4∶1

D

如下图所示，一个质量为 m 的小球从 A 点由静止开始滑到 B 点，并从 B 点抛出，若在从 A到 B

的过程中，机械能损失为 E ，小球自 B 点抛出的水平分速度为 v ，则小球抛出后到达最高点时与 A 点的竖直距离是 。

例 3、

A

B

解 : 小球自 B 点抛出后做斜上抛运动 ,水平方向做匀速直线运动 ,到最高点 C 的速度仍为 v ,设 AC 的高度差为 h

vC

h由动能定理 , A→B →C

mgh – E=1/2×mv2

∴h=v2/2g+E/mg

v2/2g+E/mg

练习 3 、下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是 [ ] A．如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对 物体做的功一定为零 B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一 定为零 C．物体在合外力作用下作变速运动，动能一定变 化 D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零

A

质量为 m 的跳水运动员从高为 H 的跳台上以速率 v1 起跳，落水时的速率为 v2 ，运动中遇有空气阻力，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的功是多少？

V1

H

V2

解： 对象—运动员 过程 --- 从起跳到落水受力分析 --- 如图示

f

mg

由动能定理

KEmvmvW 21

22 2

1

2

1合

21

22 2

1

2

1mvmvWmgH f

21

22 2

1

2

1mvmvmgHW f

例 4.

练习 4 、一质量为 1kg的物体被人用手由静止向上提升 1m ，这时物体的速度 2 m/s，则下列说法正确的是 ( )

V=2m/s

h=1mF

FA．手对物体做功 12JB．合外力对物体做功 12JC．合外力对物体做功 2JD．物体克服重力做功 10 J

mg

A C D

例 5. 如图所示，质量为 m 的物块从高 h的斜面顶端O由静止开始滑下，最后停止在水平面上 B点。若物块从斜面顶端以初速度 v0沿斜面滑下，则停止在水平面的上 C点，已知， AB=BC , 则物块在斜面上克服阻力做的功为 。（设物块经过斜面与水平面交接点处无能量损失）

CA B

m

h

O

解：设物块在斜面上克服阻力做的功为 W1

， 在 AB 或 BC 段克服阻力做的功 W2

由动能定理 O→B mgh -W1 –W2= 0

O→C mgh -W1 –2W2= 0 - 1 /2 mv02

∴W1 =mgh－ 1 /2 mv02

mgh－ 1 /2 mv02

练习 5 ．某人在高 h处抛出一个质量为 m 的物体．不计空气阻力，物体落地时的速度为 v ，这人对物体所做的功为： ( ) A． mgh B． mv2/2 C． mgh+mv2/2 D． mv2/2- mgh

D

例 6. 斜面倾角为 α，长为 L， AB段光滑， BC段粗糙， AB =L/3, 质量为 m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达 C端时速度刚好为零。求物体和 BC段间的动摩擦因数 μ。

B

A

C

L

α

分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：重力做的功为 mgLsinαWG

摩擦力做功为 mgLcosαμ3

2Wf

支持力不做功 , 初、末动能均为零。

由动能定理 mgLsin α-2/3 μmgLcos α=0

可解得 tgα2

3μ

点评：用动能定理比用牛顿定律和运动学方程解题方便得多。

 练习 6.竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度 ( )（ A） 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重 力做的功（ B） 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功（ C） 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降 过程中重力做功的平均功率（ D） 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率

B 、 C

例 7.将小球以初速度 v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的 80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小 v?解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：

v

v /

f

GGf

202

1mvmgH 和 2

02

18.0 mvHfmg

可得H=v02/2g， mgf

4

1

再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：

220 2

1

2

18.02 mvmvHf

解得

05

3vv

例 8. 地面上有一钢板水平放置，它上方 3m 处有一钢球质量 m=1kg，以向下的初速度 v0=2m/s 竖直向下运动，假定小球运动时受到一个大小不变的空气阻力 f=2N，小球与钢板相撞时无机械能损失，小球最终停止运动时，它所经历的路程 S 等于 多少？ ( g=10m/s2 )

V0=2m/s

h=3m

解： 对象 — 小球 过程 — 从开始到结束受力分析 --- 如图示

mg

f

由动能定理21

22k mv

2

1mv

2

1EW 合

20mv

2

10fSmgh

16m2

230

f

mv21

mghS

20

练习 7. 如图所示， A、 B是位于水平桌面上的两质量相等的木块，离墙壁的距离分别为 l1 和 l2 ，与桌面之间的滑动摩擦系数分别为 A 和 B ，今给 A以某一初速度，使之从桌面的右端向左运动，假定 A、 B之间， B与墙间的碰撞时间都很短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块 A最后不从桌面上掉下来，则 A的初速度最大不能超过 。

l1

ABl2

][4 221 lμ)l(lμg BA

例 9. 在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J,则在整个过程中，恒力甲做的功等于 焦耳，恒力乙做的功等于 焦耳 .

解：画出运动示意图如图示：由牛顿定律和运动学公式

A B C

F 甲 F 乙

S

A→B S=1/2a1 t2 =F1 t2 /2m v=at=F1 t/m

v

B→C→A - S=vt - 1/2 a2 t2 = F1 t 2/m - F2 t2 /2m∴F2 =3 F1

A→B→C→A 由动能定理 F1S+F2S=32

∴W1= F1S=8J

W2= F2S=24J

8J24J

例 10. 总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为 m ，中途脱节．司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑行．设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

对末节车厢应用动能定理，有

解 s s1 2设从脱钩开始，前面的部分列车和末节车厢分别行驶了 、

201 vm-M

2

1-=gsm-Mk-FL ）（）（

- kmgs = -1

2mv2 0

2

又整列车匀速运动时，有 △，则可解得 ．F = kMg s =ML

M - m

说明 本题所求距离为两个物体的位移之差，需分别对各个物体应用动能定理．求解时也可假设中途脱节时，司机若立即关闭发动机，则列车两部分将停在同一地点．现实际上是行驶了距离 L后才关闭发动机，此过程中牵引力做的功，可看作用来补续前部分列车多行驶一段距离而

克服阻力所做的功，即： （ ） △ △，故 ．FL = k M - m g s s =ML

M - m

才停止 ,则两者距离 s=s1-s2. 对前面部分的列车应用动能定理 ,有

2

02

2ha v

l

2

02

21

hmg v

gl

练习 8.质量为 m 的飞机以水平 v0飞离跑道后逐渐上升 , 若飞机在此过程中水平速度保持不变 , 同时受到重力和竖直向上的恒定升力 (该升力由其他力的合力提供 , 不含重力 ).今测得当飞机在水平方向的位移为 L时 , 它的上升高度为 h, 求 (1)飞机受到的升力大小 ?(2) 从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度 h处飞机的动能 ?解析 (1)飞机水平速度不变 ,L= v0t,竖直方向的加速度恒定 ,h=½at2,消去 t 即得

由牛顿第二定律得 :F=mg＋ma=

(2)升力做功W=Fh=2

02

21

hmgh v

gl

在 h处 ,vt=at= 022 hvah l

2

2 2 2

0 0 2

1 1 41

2 2k t

hE m v v mv

l

例 11 ．如图示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力 F 向下拉，维持小球在水平面上做半径为 r 的匀速圆周运动．现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F 时，小球运动半径变为 r/2 ，则在此过程中拉力对小球所做的功是： [ ]A． 0 B． 7Fr/2C． 4Fr D． 3Fr/2

解： Fr

mv21 8F

0.5r

mv22

Frmv21 4Frmv2

2

Fr2

3mv

2

1mv

2

1EW 2

122k

D

练习 9.某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为 r1 ，后来变为 r2 。以 Ek1 、 E k2 表示卫星在这两个轨道上的动能， T1 、 T2 表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则 ( )

（ A ） E k2 ＜ Ek1 T2 ＜ T1 　　　　

（ B ） E k2 ＜ Ek1 T2 ＞ T1 　　

（ C ） E k2 ＞ Ek1 T2 ＜ T1 　　　　

（ D ） E k2 ＞ Ek1 T2 ＞ T1

C

质量为 m 的物体放在小车一端受水平恒力 F作用被拉到另一端 ( 如图所示 ) 。假如第一次将小车固定；第二次小车可以在光滑水平面上运动。比较这两次过程中拉力 F所作的功W1 和W2 、产生的热量 Q1 和 Q2

、物体的末动能 Ek1 和 Ek2 ，应有W1____W2；Q1____Q2； Ek1_ ___Ek2 。 ( 用“ >” 或“ <” 或“ =”填 )

例 12.

m F

解：画出受力分析图和运动示意图如图示：f

f

m FS1

mS2

S1 ＜ S2 ∴W1 ＜ W2

Q=fΔS ∴ Q1 = Q2

对物体 , 由动能定理EK = （ F-f ） S

∴ EK1 ＜ EK2

＜ ＝ ＜

练习 10 ．如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为 d，平均阻力为 f．设木块离原点 S远时开始匀速前进，下列判断正确的是A．功 fs量度子弹损失的动能B．功 f（ s ＋ d）量度子弹损失的动能C．功 fd 量度子弹损失的动能D．功 fd 量度子弹、木块系统总机械能的损失

B D

S d

木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为 v2 ，有：

例 13.质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m ，木块离台的右端 L=1.7m 。质量为 m=0.10M的子弹以 v0=180m/s的速度水平射向木块，并以 v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为 s=1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为 μ。解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为 v1 ， mv0= mv+Mv1……①

22

21 2

1

2

1MvMvMgL ……②

木块离开台面后的平抛阶段，g

hvs

22 ……③

由①、②、③可得μ=0.50

从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。

从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。

练习 11 、 如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体 B以水平速度冲上 A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板 A上，则从 B 冲到木板 A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是 （ ) (A) 物体 B动能的减少量等于 B克服摩擦力做的功(B) 物体 B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量(C) 物体 B 损失的机械能等于木板 A 获得的动能与系 统损失的机械能之和(D) 摩擦力对物体 B做的功和对木板A做的功的总和 等于系统内能的增加量

A C D

v0

BA

例 14. 两个人要将质量M＝ 1000 kg的小车沿一小型铁轨推上长 L＝ 5 m, 高 h＝ 1 m 的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的 0.12 倍，两人能发挥的最大推力各为 800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（ g取 10 m/s 2 ）

解析 : 小车在轨道上运动时所受摩擦力 ff ＝ μMg＝ 0.12×1000×10N=1200 N

两人的最大推力 F ＝ 2×800 N＝ 1600 N

F＞ f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时 f ＋ Mgsinθ＝ 1200 N＋ 10000·1/5N＝ 3200 N＞ F=1600 N

可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．

若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为 s

（ F一 f） s十 FL一 fL一Mgh=0

10000 15 20

400

Mghs L m m m

F f

练习 12.某地强风的风速约为 v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m3, 如果把通过横截面积 =20m2风的动能全部转化为电能 ,则利用上述已知量计算电功率的公式应为 P=_________, 大小约为 _____W(取一位有效数字 )

Ek=2 31 1

2 2mv v ts

P= 3 3 51 11.3 20 20 1 10 ( )

2 2kE v s wt

例 15. 如图所示质量为 1kg的小物块以 5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为 4kg，木板与水平面间动摩擦因数是 0.02 ，经过 2S以后，木块从木板另一端以 1m/s相对于地的速度滑出，g取 10m／ s，求这一过程中木板的位移．解析：设木块与木板间摩擦力大小为 f1 ，木板与地面间摩擦力大小为 f2 ．

对木块：一 f1t=mvt 一 mv0 ，得 f1=2 N对木板：（ fl－ f2 ） t ＝ Mv,f2＝μ（ m＋ M） g

得 v＝ 0 ． 5m/s 对木板：（ fl－ f2 ） s=½Mv2 ，得 S=0·5 m

练习 13. 动量大小相等的两个物体，其质量之比为 2 ：3 ，则其动能之比为（ ） A． 2 ： 3； B． 3 ： 2； C． 4 ： 9； D．9 ： 4

B

解析：由 Ek=m

P

2

2

可知，动量大小相等的物体，其动能与它们的质量成反比，因此动能的比应为 3 ： 2 ．

例 16.质量为 m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为 R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为 7mg, 此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ） A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR解析 : 小球在圆周运动最低点时 ,设速度为 v1,则7mg－mg=mv1

2/R……①设小球恰能过最高点的速度为 v2,则mg=mv2

2/R……②设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W, 由动能定理得 :－mg2R－W=½mv2

2－½mv12……③

C

由以上三式解得W=mgR/2

说明：(1)该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．

(2) 用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力 F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变为 F所做的功．

例 17. 在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体 A和 B，它们相距 s，在 B右侧距B2s处有一深坑，如图所示，现对 A施以瞬间冲量，使物体 A沿 A、 B连线以速度 v0开始向 B运动．为使 A与 B能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体 A、 B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B碰撞时间很短， A、 B碰撞后不再分离．解析 :A与 B相碰，则

22 00

1, .

2 2

vmv mgs

gs

A和 B碰前速度 v1 ，

2 2

1 0

1 1

2 2mv mv mgs

2

1 0 2v v gs

A与 B碰后共同速度 v2. mv1=2mv2,

2

2 1 0

1 12

2 2v v v gs

AB不落入坑中 ,

2

2

12 2 2 ,

2mv mg s

解得 2

0

14

v

gs

综上， μ应满足条件2 2

0 0

14 2

v v

gs gs

练习 14. 如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A和 B，其质量 mA＝ 6kg， mB=3kg，它们之间用一根轻细绳相连．开始时绳子完全松弛，两滑块靠在一起，现用了 3N的水平恒力拉A，使 A先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动 B一起运动，在 A块前进了 0 ． 75 m 时，两滑块共同前进的速度 v=2/3m／ s，求连接两滑块的绳长．解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力 F，所以可认为 A、 B组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．根据题意，设绳长为 L，以绳子绷直前的滑块A为对象，由动能定理得 FL=½mAv1

2--------①

绳绷直的瞬间，可以认为 T＞＞ F，因此系统的动量守恒， mAv1＝（ mA十mB ） v2-------② 对于绳绷直后， A、 B组成的系统（看成一个整体）的共同运动过程，由动能定理

F（ 0 ． 75－ L）＝½（ mA十mB ） v12

－½（ mA十mB ） v22……③

由式①一③解得 L＝ 0 ． 25m

例 18. 如图所示，两个完全相同的质量为 m 的木板A、B置于水平地面上它们的间距 s =2.88m ．质量为 2m 、大小可忽略的物块C置于 A板的左端． C与 A之间的动摩擦因数为 μ1=0.22 ， A、 B与水平地面的动摩擦因数为 μ2=0.10 ， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右，大小为 2mg/5 的恒力 F， 假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使 C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少 ?

分析：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A、B碰撞前A、 C是相对静止的， A、 B碰撞后 A、 B速度相同，且作加速运动，而 C的速度比 A、 B大，作减速运动，最终 A、 B、 C达到相同的速度，此过程中当C恰好从 A的左端运动到B的右端的时候，两块木板的总长度最短。【解答】：设 l为 A或 B板的长度， A、 C之间的滑动摩擦力大小为 f1 ， A与水平面的滑动摩擦力大小为f2 ∵μ1=0.22 。 μ2=0.10

∴ mgfmg 25

2F 11 ……① 且

gmmfmg 25

2F 22 …②

一开始 A和 C保持相对静止 , 在 F的作用下向右加速运动 . 有

212 2

2

1vmmsfF …③

A、 B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得mv1=(m+m)v2 …④ 碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为 s1.选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则

321 22 vmmmvmmmv …⑤

设A、 B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为 f3 。对 A、 B系统，由动能定理

22

231321 2

2

12

2

1mvmvsfsf … ⑥

gmmmf 23. …⑦

对 C物体，由动能定理

21

23111 2

2

12

2

122 mvmvslfslF

……… ⑧由以上各式，再代人数据可得 l=0.3(m)

例 19.质量为 500t的列车，以恒定功率沿平直轨道行驶，在 3min内行驶速度由 45km/h增加到最大速度 54km/h，求机车的功率 .(g=10m/s2)【解析】由整个过程中列车所受的牵引力不是恒力，因此加速度不是恒量，运动学中匀变速直线运动公式不能用，由动能定理得W 牵 +W 阻 =1/2mv2

m-1/2mv2……①

Pt-fs=1/2mv2m-1/2mv2……②

又因达到最大速度时 F=f故 vm=P/f……③联立解得： P=600kW.

练习 15 、一列火车在机车牵引下沿水平轨道行驶 ,经过时间 t, 其速度由 0 增大到 v.已知列车总质量为M,机车功率 P保持不变 ,列车所受阻力 f为恒力 .求：这段时间内列车通过的路程 .解：根据动能定理：

P·t－ f·s = 1/2× mv2

f

mvPt

f

mvPts

2

221

22

练习 16. 、平直公路上质量为 m 的汽车以恒定功率行驶，设它受到的阻力是一定的，在车速从 v0达到最大值 vm 的过程中经时间为 t，通过的路程为 s，则汽车在此过程中 （ ）A. 汽车的加速度不断减小

0m

20

2mm

vstv2

vvv

stv2

svvm

m

20

2m

B. 发动机的功率为

C. 平均速率 s/t > (v0+vm) / 2

D. 克服阻力的功为

提示 : 由动能定理 Pt – fs =1/2m(vm2 - v0

2 ) f=F=P/vm 联列解之

A C D

例 20. 一传送带装置示意如图，其中传送带经过 AB区域时是水平的，经过 BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过 CD区域时是倾斜的， AB和 CD都与 BC相切。现将大量的质量均为 m 的小箱一个一个在 A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处， D和 A的高度差为 h。稳定工作时传送带速度不变， CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为 L。每个箱子在 A处投上后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。己知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为 N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率 P。

【解析】以地面为参考（下同），设传送带的运动速度为 v0 ，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为 S，所用时间为 t，加速度为 a，则对小箱有： S＝½at2……①v0＝at………②

在这段时间内，传送带运动的路程为： S0= v0t……③，由以上可得S0＝ 2S……④

用 f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为： W1=fS=½mv0

2……⑤传送带克服小箱对它的摩擦力做功： W0=Fs0=2·½mv0

2……⑥两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量： Q=½mv0

2……⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。T时间内，电动机输出的功为：W=PT……⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热 ,即W=½Nmv0

2十 Nmgh＋ NQ……⑨

已知相邻两小箱的距离为 L，所以： v0T＝ NL……⑩联立⑦⑧⑨⑩得

第二课时

动能 动能定理 习题课 （第二课时）

(2) 物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度 .

(3) 动能定理的理解及应用要点

①动能定理的计算式为标量式， v 为相对同一参考系的速度． ②动能定理中“外力”指作用在物体上包含重力在内的所有外力．如弹力、摩擦力、电场力、磁场力、万有引力． ③动能定理的对象是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系． ④动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在． ⑤若物体在运动过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一个整体来处理．

课堂小结：应用动能定理解题的基本步骤1. 选取研究对象，明确它的运动过程

2. 分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力 ? 每个力是否做功，做正功还是做负功 ?做多少功 ?然后求各个力做功的代数和 .

3.明确物体在过程的始未状态的动能 EK1 和 EK2

4.列出动能的方程W 外 =EK2-EK1 ，及其他必要辅助方程，进行求解 .