Upload
joao-pedro
View
36
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA
PARAÍBA – CAMPUS JOÃO PESSOA
IURI SANTOS DE ARAÚJO
DEDUÇÃO DAS EQUAÇÔES DE FILTROS PASSIVOS
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS
PROFESSORA: SILVANA
João Pessoa/PB
22 de Junho de 2010
Sumário
1. Filtro Passa Baixas ............................................................................................................. 3
1.1 RC .............................................................................................................................. 3
1.2 RL .............................................................................................................................. 4
2. Filtro Passa Altas ............................................................................................................... 5
2.1 RC .............................................................................................................................. 5
2.2 RL .............................................................................................................................. 6
3. Filtro Passa Faixa ............................................................................................................... 8
3.1 RLC em série .............................................................................................................. 8
3.2 RLC em paralelo ....................................................................................................... 10
4. Filtro Rejeita Faixa ........................................................................................................... 12
4.1 RLC em serie ............................................................................................................ 12
4.2 RLC em paralelo ....................................................................................................... 13
3
1. Filtro Passa Baixas
1.1 RC
Figura 1 - Circuito de um filtro passivo passa-baixas RC
Ve t = VR t + VS(t)
Ve t = RiC t + VS(t)
iC t = 𝐶𝑑VC t
𝑑𝑡
Ve t = R𝐶𝑑VC t
𝑑𝑡+ VS(t)
Ve ω = jωR𝐶. VS t + VS(ω)
Ve ω = (jωR𝐶 + 1)VS(ω)
jωR𝐶 + 1 VS t = Ve ω
VS ω
Ve ω =
1
jωR𝐶 + 1
H ω =1
1 + jωR𝐶
H ω =1
1 + ωR𝐶 2
Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a 1. Para ω com valores elevados, o módulo
de H 𝜔 tende a 0. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,
1
2
2
=1
ωR𝐶 2 + 1
1
2=
1
ωR𝐶 2 + 1
ωR𝐶 2 + 1 = 2
ωR𝐶 2 = 1
𝜔𝑐R𝐶 = 1
𝜔𝑐 =1
R𝐶
4
𝑓𝑐 =1
2πR𝐶
1.2 RL
Figura 2 - Circuito de um filtro passivo passa-baixas RL.
Ve t = V𝐿 t + Vs(t)
V𝐿 t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
Ve t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
+ Vs(t)
Ve t =𝐿
𝑅
𝑑𝑉𝑠(𝑡)
𝑑𝑡+ Vs (t)
Ve 𝜔 =𝐿
𝑅𝑉𝑠(𝜔)j𝜔 + Vs(𝜔)
Ve 𝜔 = 𝑉𝑠(𝜔) 𝐿
𝑅j𝜔 + 1
𝑉𝑠 𝜔
Ve 𝜔 =
1
𝐿𝑅 j𝜔 + 1
𝐻 𝜔 =1
1 + j𝜔𝐿𝑅
𝐻 𝜔 =1
1+ 𝜔𝐿𝑅
2
Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a 1. Para ω com valores elevados, o módulo
de H 𝜔 tende a 0. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,
1
2=
1
1+ 𝐿𝑅𝜔
2
1+ 𝐿
𝑅𝜔
2
= 2
𝐿
𝑅𝜔 = 1
5
𝜔𝑐 =𝑅
𝐿
2𝜋𝑓 =𝑅
𝐿
𝑓𝑐 =𝑅
2𝜋𝐿
Figura 3 – Resposta de um filtro passa-baixas
2. Filtro Passa Altas
2.1 RC
Figura 4 - Circuito de um filtro passivo passa-altas RC.
Ve t = Vc t + Vs(t)
Vc t =1
𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡
Ve t =1
𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + Vs(t)
Ve t =1
C
Vs(t)
Rdt + Vs(t)
Ve t =1
RC Vs(t)dt + Vs(t)
Ve 𝜔 =1
RC.
1
j𝜔Vs(𝜔) + Vs (𝜔)
Ve 𝜔 = Vs(𝜔) 1
j𝜔RC+ 1
Vs 𝜔
Ve 𝜔 =
1
1
j𝜔RC + 1
6
H(𝜔) =1
1 − j1𝜔RC
H 𝜔 =1
1 + 1𝜔RC
2
Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a zero. Para ω com valores elevados, o
módulo de H 𝜔 tende a 1. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,
1
2=
1
1 + 1𝜔RC
2
1 + 1
𝜔RC
2
= 2
1 + 1
𝜔RC
2
= 2
1
𝜔RC
2
= 1
1 =1
𝜔RC
𝜔𝑐 =1
RC
2𝜋𝑓 =1
RC
𝑓 =1
2𝜋RC
2.2 RL
Figura 5 - Circuito de um filtro passivo passa-altas RL.
Ve t = V𝑅 t + Vs(t)
Ve t = R𝑖𝐿 t + Vs(t)
7
V𝐿 t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
→ 𝑖𝐿 =1
𝐿 V𝐿 t 𝑑𝑡
Ve t = R1
𝐿 V𝐿 t 𝑑𝑡 + Vs(t)
Ve t = R1
𝐿 V𝑆 t 𝑑𝑡 + Vs (t)
Ve t =R
𝐿 V𝑆 t 𝑑𝑡 + Vs (t)
Ve ω =R
𝑗𝜔𝐿V𝑆 ω + Vs(ω)
Ve ω = V𝑆 ω −𝑗R
𝜔𝐿+ 1
V𝑆 ω
Ve ω = H(ω) =
1
1 − 𝑗R𝜔𝐿
H ω =1
1+ R𝜔𝐿
2
Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a 0. Para ω com valores elevados, o módulo
de H 𝜔 tende a 1. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,
1
2=
1
R𝜔𝐿
2
+ 1
R
𝜔𝐿
2
+ 1 = 2
R
𝜔𝐿
2
= 1
𝜔𝑐 =R
𝐿
𝑓𝑐 =R
2𝜋𝐿
Figura 6 – Resposta de um filtro passa-altas.
8
3. Filtro Passa Faixa
3.1 RLC em série
Figura 7 – Circuito de um filtro passivo passa-faixa em série RLC.
Ve t = V𝐿 t + VC t + VS t
V𝐿 t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
𝑒 Vc t =1
𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡
Ve t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
+1
𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + VS t
Ve t = 𝐿𝑑𝑖𝑅𝑑𝑡
+1
𝐶 𝑖𝑅 𝑑𝑡 + VS t
Ve t = 𝐿𝑑𝑉𝑅𝑅𝑑𝑡
+1
𝐶 𝑉𝑅
𝑅𝑑𝑡 + VS t
Ve t =𝐿
𝑅
𝑑𝑉𝑆𝑑𝑡
+1
𝑅𝐶 𝑉𝑆 𝑑𝑡 + VS t
Ve ω =𝐿
𝑅jω𝑉𝑆 ω +
1
𝑗ω𝑅𝐶𝑉𝑆 ω + VS ω
Ve ω =𝑗ω𝐿
𝑅𝑉𝑆 ω +
1
𝑅𝐶𝑗ω𝑉𝑆 ω + VS ω
Ve ω = 𝑗ω𝐿
𝑅+
1
𝑗ω𝑅𝐶+ 1 VS ω
VS ω
Ve ω =
1
𝑗ω𝐿𝑅 +
1𝑗ω𝑅𝐶 + 1
𝑍 = 𝑅 + 𝑗ω𝐿 +1
𝑗ω𝐶
𝑍 = 𝑅 + 𝑗ω𝐿 −𝑗
ω𝐶
𝑍 = 𝑅 + 𝑗ω𝐿 −𝑗
ω𝐶
VS ω
Ve ω =
1
1 +𝑗ω𝐿𝑅 −
𝑗ω𝑅𝐶
9
H ω =1
1 − 𝑗 1− ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶
H ω =1
1 + 1− ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶
2
Para a frequência de ressonância,
1 =1
1 + 1 −ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶
2
1 − ω2𝐿𝐶
ω𝑅𝐶= 0
1 − ω2𝐿𝐶 = 0
−ω2𝐿𝐶 = −1
ω0 =1
𝐿𝐶
𝑓0 =1
2𝜋 𝐿𝐶
Para a frequência de corte
1
2=
1
1 + 1 −ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶
2
1 −ω2𝐿𝐶
ω𝑅𝐶= ±1
1 −ω2𝐿𝐶 = ±ω𝑅𝐶
0 = ω2𝐿𝐶 ±ω𝑅𝐶 − 1
ω2𝐿𝐶 + ω𝑅𝐶 − 1 = 0 𝑒 ω2𝐿𝐶 − ω𝑅 − 1 = 0
ω𝑐𝐼𝑁𝐹 = −𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶 2 − 4𝐿𝐶 −1
2𝐿𝐶 𝑒 ω𝑐𝑆𝑈𝑃 = 𝑅𝐶 ±
𝑅𝐶 2 − 4𝐿𝐶 −1
2𝐿𝐶
ω𝑐𝑆𝑈𝑃 = +𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶 2 + 4𝐿𝐶
2𝐿𝐶𝑜𝑢 ω𝑐𝐼𝑁𝐹 = −𝑅𝐶 ±
𝑅𝐶 2 + 4𝐿𝐶
2𝐿𝐶
10
3.2 RLC em paralelo
Figura 8 – Circuito de um filtro passivo passa-faixa em paralelo RLC.
Ve t = V𝑅 t + VS t
Ve t = R. (𝑖𝐿 t + 𝑖𝐶 t ) + VS t
𝑖𝐿 =1
𝐿 V𝐿 t 𝑑𝑡 𝑒 iC t = 𝐶
𝑑VC t
𝑑𝑡
Ve t = R. (1
𝐿 V𝑆 t 𝑑𝑡 + 𝐶
𝑑VS t
𝑑𝑡) + VS t
Ve ω = R. (1
𝑗𝜔𝐿V𝑆 ω + 𝑗𝜔𝐶VS ω ) + VS ω
Ve ω = (1 +R
𝐿
1
𝑗𝜔+ 𝑗𝜔𝑅𝐶)VS ω
VS ω
Ve ω =
1
1 +R𝐿
1𝑗𝜔 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
VS ω
Ve ω =
1
1 +R𝐿
1𝑗𝜔 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
VS ω
Ve ω =
1
1 −𝑗R𝜔𝐿 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
VS ω
Ve ω =
1
1 −𝑗R𝜔𝐿 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
VS ω
Ve ω =
1
1 − 𝑗 R𝜔𝐿 − 𝜔𝑅𝐶
H(ω) =1
1 − 𝑗 R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶
𝜔𝐿
H ω =1
1 + R−𝜔2𝑅𝐿𝐶
𝜔𝐿 2
Para a frequência de ressonância,
11
1 =1
1 + R−𝜔2𝑅𝐿𝐶
𝜔𝐿 2
R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶
𝜔𝐿= 0
R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶 = 0
−𝜔2𝑅𝐿𝐶 = −R
𝜔2 =R
𝑅𝐿𝐶
𝜔0 =1
𝐿𝐶
Para a frequência de corte,
R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶
𝜔𝐿= ±1
R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶 = ±𝜔𝐿
R(1− 𝜔2𝐿𝐶) = ±𝜔𝐿
1− 𝜔2𝐿𝐶 = ±𝜔𝐿
𝑅
= 𝜔2𝐿𝐶 ±𝜔𝐿
𝑅− 1
ωcINF =
−LR ±
LR
2
+ 4LC
2LC 𝑜𝑢 ωcSUP =
+LR ±
LR
2
+ 4LC
2LC
Figura 9 – Resposta de um filtro passa-faixa.
12
4. Filtro Rejeita Faixa
4.1 RLC em série
Figura 10 – Circuito de um filtro passivo rejeita-faixa em série RLC.
Ve t = V𝑅 t + VS t
Ve t = R𝑖 t + VS t
Ve t = R V𝐿 t + V𝐶 t
𝑅 + VS t
Ve ω = 𝑅 V𝑆 ω
XL + XC + VS ω
Ve ω = 𝑅V𝑆 ω
𝑗ωL +1𝑗𝜔𝐶
+ VS ω
Ve ω = 𝑅V𝑆 ω
𝑗ωL−𝑗𝜔𝐶
+ VS ω
Ve ω = 1 −𝑗𝜔𝑅𝐶
ω2L𝐶 − 1 VS ω
VS ω
Ve ω =
1
1−𝑗𝜔𝑅𝐶
ω2L𝐶 − 1
VS ω
Ve ω =
1
1 + 𝑗 𝜔𝑅𝐶
1− ω2L𝐶
𝐻(ω) =1
1 + 𝑗 𝜔𝑅𝐶
1− ω2L𝐶
𝐻(ω) =1
1 + 𝜔𝑅𝐶
1−ω2L𝐶
2
13
Para a frequência de corte,
1
1 + 𝜔𝑅𝐶
1− ω2L𝐶
2=
1
2
1 + 𝜔𝑅𝐶
1− ω2L𝐶
2
= 2
𝜔𝑅𝐶
1− ω2L𝐶= ±1
𝜔𝑅𝐶
±1= 1 − ω2L𝐶
ω2L𝐶 ±𝜔𝑅𝐶 − 1 = 0
ω =−𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶2 − 4L𝐶(−1)
2𝐿𝐶
ω𝑐𝐼𝑁𝐹 =−𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶2 + 4L𝐶
2𝐿𝐶 𝑒 ω𝑐𝑆𝑈𝑃 =
−𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶2 + 4L𝐶
2𝐿𝐶
4.2 RLC em paralelo
Figura 11 – Circuito de um filtro passivo rejeita-faixa em paralelo RLC.
Ve t = V𝐶𝐿 t + VR t
Ve t = R𝑖 t + VS t
R=XL//XC e i(t)=VS/R
Ve t =𝑋𝐿.𝑋𝐶
𝑋𝐿 + 𝑋𝐶 𝑉𝑆𝑅 + VS t
14
Ve ω =𝑗ωL.
1𝑗ωC
𝑗ωL +1𝑗ωC
𝑉𝑆(ω)
𝑅 + VS ω
Ve ω =
LC
𝑗ω2LC + 1 𝑉𝑆(ω)
𝑅 + VS ω
Ve ω = 1 +
LC
−ω2𝑅LC + 𝑅𝑗ωC
VS ω
Ve ω = 1 +
LC 𝑗ωC
𝑅 − ω2𝑅LC VS ω
Ve ω = 1 + 𝑗 ωL
𝑅 −ω2𝑅LC VS ω
VS ω
Ve ω = 𝐻(ω) =
1
1 + 𝑗 ωL
𝑅 −ω2𝑅LC
𝐻(ω) =1
1 + ωL
𝑅 − ω2𝑅LC
2
Para a frequência de corte,
1
1 + ωL
𝑅 −ω2𝑅LC
2=
1
2
1 + ωL
𝑅 − ω2𝑅LC
2
= 2
ωL
𝑅 − ω2𝑅LC= ±1
±ωL = 𝑅 −ω2𝑅LC
±ωL
𝑅= 1 − ω2LC
ω2LC ±ωL
R− 1 = 0
15
ω =−𝐿𝑅 ±
L𝑅
2
− 4LC(−1)
2LC
ω𝑐𝐼𝑁𝐹 =−𝐿𝑅 ±
L𝑅
2
+ 4LC
2LC 𝑒 ω𝑐𝑆𝑈𝑃 =
+𝐿𝑅 ±
L𝑅
2
+ 4LC
2LC
Figura 12 – Resposta de um filtro rejeita-faixa.