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Máquinas como autómatas y Autómatas CelularesModelos de Autómatas Celulares
Componentes de un Autómata CelularEjemplos y aplicaciones
8. Autómatas CelularesOctava sesión
Hugo Franco, PhD
13 de marzo de 2010
Hugo Franco, PhD 8. Autómatas Celulares
Máquinas como autómatas yAutómatas Celulares
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De�nición de Autómata
Autómata: Modelo matemático de una máquinaabstracta de�nida formalmente sobre un conjuntode estados, una serie de transiciones entre esosestados y los datos que rigen dichas transiciones
Se con�gura el concepto de regla de transicióncomo componente dinámico del modelo
Autómata celular: Los autómatas celulares sondistribuciones espaciales en las que cada nodopuede ser considerado por sí mismo un autómatacon su propio estado, cambiante en el tiempo.
Las reglas de transición se convierten en reglasde evolución para cada nodo
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Evolución de los modelos de autómatas I
Autómatas nucleares (Autómatas de Estados Finitos)
Máquinas de cómputo (Máquinas de Moore, Turing...)
Autómatas celulares de Von Neumann
Juego de la Vida (Gardner)
Estudios de estabilidad de Wolfram
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Modelos de AutómatasCelulares
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Analogía con el modelamiento matemático I
En un dominio de unadimensionalidad n dada, lasvariables del problema (campos enn dimensiones) se estiman paracada elemento de la mallacorrespondiente a la discretizacióndel dominio
Relaciones dinámicascuantitativas (ecuacionesdiferenciales)Ejemplo: Modelo tipoPredador�Presa (Lotka Volterra):
dx
dt= Ax − Bxy
dy
dt= −Cy + Dxy
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Analogía con el modelamiento matemático II
En casos en los que las relacionesno sean fácilmente traducibles avariables en sistemas de ecuaciones,la evolución del sistema no seránmodelado como un sistemadinámico sino como una red deelementos que interactúan mediantereglas
Reglas dinámicascuantitativo/cualitativas. Mayorsentido de la discretizaciónEjemplo: Modelos predador�presamodelados como supervivencia de�individuos� según vecindad depresas/predadores a lo largo deltiempo
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No linealidad y complejidad
Las reglas no representadas mediante operaciones matemáticas y/oaplicación de operadores integro/diferenciales (lineales) suelen llevar elsistema a comportamientos no�lineales
Útil en casos de sistemas no linealizables
Riesgoso en términos de control de la estabilidad del modelo
Sistemas dinámicos con componentes de no linealidad potencialmentepueden exhibir:
Comportamientos caóticos (transición al caos)
Comportamientos emergentes (dinámicas colectivas �organizadas� noprevisibles por el análisis individual de los elementos/estados)
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Emergencia de los autómatas celulares
Un autómata celular es, pues, unarepresentación adecuada para el modeladoy la simulación de sistemas complejosbasados en reglas no lineales o de di�cilcuanti�cación
Se asume la simpli�cación propia de ladiscretización homogénea del espacioSe impone un análisis basado en estados
sobre elementos discretos y no en valoresde variables contínuasCada nodo tiene un comportamiento demáquina/autómata. Los �símbolos�presentados para la transición son elestado anterior del nodo y de sus vecinos
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Componentes de un AutómataCelular
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Elementos
Un espacio n�dimensional(usualmente 2D) dividido en unnúmero de subespacios conocidoscomo células, denominado �malla� .En el caso usual, la subdivisión esregular (�Teselación Homogénea�)
Cada célula puede estar en unestado, perteneciente a unconjunto �nito (o numerable) o deestados.
Una Con�guración Inicial,consistente en la distribución deestados de cada celda del autómataen t0.
Un criterio de vecindad
determinado por las posicionesrelativas de las células consideradasvecinas a una célula dada
Las reglas de evolución de�nencómo se darán los cambios deestado en cada celda, dependiendodel estado anterior propio y de suvecindad.
Un Reloj de Cómputo
�conectado� a todas las células, elcual generará los �pulsos� queaplican las reglas de evolución.
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Estructura de la vecindad
Una vecindad de�nida sobre una célulaconsiste en un conjunto de célulascontiguas, escogidas mediante algúncriterio de vecindad.
Vecindad de Von Neumann: todas lascélulas que compartan aristas (caras) conla célula evaluada.�Ochovecinos� (de Moore): todos los quetengan caras, aristas o tan siquieravértices comunes con la célula bajoevaluaciónVecindades de�nidas por máscaras:permiten introducir un sesgo direccionaly ampliar el ámbito de in�uencia de lascélulas en su entorno
i,j
i,j-1
i+1,j
i,j+1
i-1,j i,j
i,j
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Reglas de Evolución
Conjunto de reglas de transición entr estados para una célula dada
De�nen cómo debe cada celda cambiar de estado, según del estadoinmediatamente anterior de su vecindad:
sn+1(i , j) = F (sn(i , j),B(sij , n))
F usualmente es de�nida de forma explícita usando reglas arbitrarias(lógicas, aritméticas, tablas de transición, etc.)
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Reloj Virtual de Cómputo
La evolución del autómata celularse ejecuta como la discretizacióntemporal
permite que las reglas deevolución (cambios de estado) seevalúen con cada �pulso�El reloj permite lanzar el evento�pulso� y, así determinar lñadinámica del modeloLa conexión de dichjo reloj seimplementa de forma �paralela�
Conexión en
Paralelo
s
s'
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Modelado de los comportamientos de borde I
Frontera abierta. Se consideran�células virtuales� existentes fuerade la malla, que mantienen unestado �jo durante toda laevaluación
Una frontera se dice fría si lascélulas fuera de la frontera seconsideran inactivas, y caliente sise asumen como activadas.
Frontera periódica. El autómatacelular de modela para que lascélulas vecinas de un extremosuperior de la malla sean las célulasdel extremo opuesto de la misma yviceversa, criterio que también seaplica a los bordes en todos lossentidos
Autómata de dimensión 1:topología de circunferencia.
Autómata de dimensión 2:topología de toroide
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Modelado de los comportamientos de borde II
Frontera re�ectora: Se aceptan�células virtuales� de fuera de lamalla que toman automáticamentelos mismos estados de aquellas enel interior a manera de re�exíonespecular.
Frontera dinámica: contando conun criterio de parada, se puedehacer crecer dinámicamente lafrontera, evaluando más célulasnuevas que se añaden al autómatapara conservar la estimación delestado de los vecinos a una céluladada.
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Ejemplos y Aplicaciones
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Autómatas 1D y 3D
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Ejemplos: simulación de sistemas ecológicos
Modelos de supervivencia por recursos, colaboración y competenciabasadas en reglas
Las células representan regiones del dominio �habitadas� pordiferentes especies, las que se modelan como �estados�
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Aplicaciones: propagación de frentes
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