8. Kiri şlerde iç kuvvetlerin hesabıkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/(statik-9.ders-maden_2013).pdf · Kolon Kolon Kiri ş M P q Kiri şe etkiyen tekil yükler, momentler ve yayılı

1

8. Kirişlerde iç kuvvetlerin hesabı

Amaçlar:

• Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması

• Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi

2

KolonKolonKiriş

M

P

q

Kirişe etkiyen tekil yükler, momentler ve yayılı yükler neticesinde, kirişelemanı üzerinde iç tesirler (normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme momenti) oluşur.

Bu iç tesirler dikkate alınarak, mühendisler tarafından boyutlandırma yapılır.

K

K

3

İÇ TESİRLER (özel haller dışında genelde 3 adettir.)

K-K kesiti

x

y

z

Mr

Tr

Nr

1. Normal kuvvet (N): kiriş ekseni doğrultusunda oluşan iç tesirdir. Normal kuvvet etkisi altında kirişte uzama ya da kısalma oluşur.

2. Kesme kuvveti (T): Kiriş eksenine dik doğrultuda (y ekseni yönünde) oluşan iç tesirdir. Kirişte düşey deformasyona neden olur.

3. Eğilme moment (M): z ekseni doğrultusunda oluşan iç tesirdir. Kirişte kesit dönmesine neden olur.

4

İÇ TESİRLERİN KAYNAĞI DIŞ KUVVETLERDİR !

DIŞ KUVVETLERİÇ TESİRLER HESAPLANIR

ÇEŞİTLİHESAPLAMA YÖNTEMLERİ

TASARIM BOYUTLANDIRMA

N, M, T DİYAGRAMLARI

5

İki boyutlu problemlerde, kesitte üç adet iç kuvvet oluşmaktadır. Üçboyutta ise kesitte, genel bileşke iç kuvvet ve kuvvet çifti momenti etki edecektir. Bu kuvvetlerin x, y, z bileşenleri şekilde gösterilmektedir.

2 boyutlu

3 boyutlu

Bir çok uygulamada, bu bileşke kuvvetler kesitin enkesit alanının geometrik merkezi veya ağırlık merkezinde etki edecektir. Her bir kuvvetin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli noktalarda farklı olacaktır. Bu nedenle, kesit yöntemi bir elemana birden fazla kez uygulanacaktır.

6

q

N, M, T DİYAGRAMLARININ ÇİZİLMESİ (KESME YÖNTEMİ)

- Öncelikle N, M, T diyagramı çizilecek kiriş üzerinde açıklık sayısı kadar kesim yapılır. Kesme yapılacak açıklık sayısını tekil yük ve momentler de etkiler.

- Sonrasında kesim yapılan noktaya soldan ya da sağdan yaklaşarak, kesim yapılan noktadaki 3 iç tesirine ait fonksiyonlar elde edilir (Denge denklemleri yazılarak hesap yapılır).

- Elde edilen fonksiyonların belli noktalar için aldığı değerler hesaplanır ve fonksiyon derecelerine bağlı olarak N, M, T diyagramları çizilir.

L

K

K

x1 x2

A B

7

KESİM NOKTASINA SOLDAN YAKLAŞIM:

q

K

x1

Ay

AXN

T

M

Ax+N=0

T+q*x1=Ay

q*x12/2+T*x1=M

Denge denklemleri kesit için aşağıdaki gibi yazılır. Bu denklemler 0

8

KESİM NOKTASINA SAĞDAN YAKLAŞIM:

By

N

T

M

N=0

q*x2=By+T

q*x22/2=M+T*x2

Denge denklemleri kesit için aşağıdaki gibi yazılır. Bu denklemler 0

9

q

L

K

K

x1 x2

A B

q

K

x1

Ay

AXN

T

M

By

N

T

Mq

K

x2

B

∑

∑

∑

=⇒

=⇒

=⇒

0

0

0

MM

FyT

FxN

K

K

K

∑

∑

∑

=⇒

=⇒

=⇒

0

0

0

MM

FyT

FxN

K

K

K

Kesitteki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir.

10

N

T

M

N

T

M

Sol uç Sağ uç

İŞARET KABULLERİ

11

İŞARET KABULLERİ

Pozitif normal kuvvet

Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment

Mühendislerin genellikle kullandığı N,T, M kuvvetlerinin pozitif yönleri aşağıda gösterilmiştir :

Normal kuvvet elemanda çekme etkisi yaratıyorsa, yönü pozitiftir.

Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir.

Moment, elemanı yukarı doğru konkav şekle sokuyorsa, yönü pozitiftir.

Bu yönlerin tersi yönünde etki eden kuvvetler-momentler negatif olarak ele alınacaktır.

sol sağ

sol sağsol sağ

T

T

TT

12

ANALİZDE İZLENECEK YOL

Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç kuvvetleri belirlemek için kesit yönteminin uygulanması aşağıdaki prosedür izlenerek yapılabilir.

Mesnet Tepkileri: eleman parçalara ayrıldığı zaman, denge denklemlerinin sadece iç kuvvetleri bulmak için kullanılabilmesi için, kesilmeden önce mesnet tepkilerini belirlemek gerekebilir.

Serbest Cisim Diyagramı: eleman üzerine etkiyen bütün dış kuvvetler (mesnet tepkileri dahil) eleman üzerinde etkidikleri yerler değiştirilmeden gösterilir. İçkuvvetlerin belirleneceği noktada eksene dik hayali bir kesit geçirilir. Parçalardan üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç kuvvetler pozitif yönleriyle serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilir.

Denge Denklemleri: bilinmeyen iç kuvvetlerin bulunması için denge denklemleri uygulanır. Normal ve Kesme kuvvetlerini elimine etmek için, Moment denge denklemi kesite göre alınmalıdır. Denge denklemlerinin çözümünegatif bir sayı verirse, seçilmiş olan yön yanlıştır, kuvvetin yönü serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilene terstir.

13

Örnek 115. Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

2m

A C

2m

5t

B

14

2m

A C

2m

5t

B

Örnek 115. Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaçkesim yapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.

5

0

=+=

yy

x

CA

A

tCtA yy 5.25.2 ==

Ay

AX

Cy

15

Örnek 115. Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

A

x1

2.5t

N

T

M

11 5.205.20

5.205.20

00

xMxMM

tTTF

NF

y

x

==−=

==−=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx B 521 ==

0

16

Örnek 115. İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

22 5.205.20

5.205.20

00

xMMxM

tTTF

NF

y

x

==−=

−==+=

==

∑

∑

∑+

+

+

002 == CMx

tmMx B 522 ==

0

17

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

-

2.5 2.5

2.5

+ +

5

Örnek 115. Diyagramların çizim-inde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme du-rumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir.

Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir.

Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir.

2m

A C

2m

5t

B

2.5t 2.5t

2.5

18

Örnek 115. İkinci bir alternatif olarak sağdaki parçanın hesaplamaları sağdan kesilerek de yapılabilir.

A

2m

5t

B

2.5t

N

T

M

x2

2m

19

6m

A B

3m

9tm6t


20

Örnek 116. Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaçkesim yapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.

6m

AC

3m

9tm6t

Ay

AX

By

0*993*6

6

0

=++−

=+=

y

yy

x

B

BA

A

tAtB yy 51 ==

B

21

Örnek 116. Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

A

x1

5t

N

T

M

11 5050

5050

00

xMxMM

tTTF

NF

y

x

==−=

==−=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx C 1531 ==

0

22

Örnek 116. İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

90190

1010

00

22 +==−+=

−==+=

==

∑

∑

∑

xMMxM

tTTF

NF

y

x+

+

+

tmMx B 902 ==

tmMx C 1562 ==

0

23

6m

AC

3m

9tm6t

5t

AX=0

1t

B

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+-

5 5

1 1

+ +

15

9

Örnek 116. Diyagramların çizim-inde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme du-rumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir.

Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir.

Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. Tekil mo-ment olan noktalarda moment diyagramında ani değişim olur.

24

3m

A B

3m

2t


3

5t

4

2m

25

3m

A B

3m

2t

Örnek 117. çözüm

3

5t

4

2m

Ay

AX

By

0*85*43*2

6

3

=+−−

=+=

y

yy

x

B

BA

tA

tAtB yy 75.225.3 ==

C D

26

Örnek 117. İlk kesim:

A

x1

2.75t

N

T

M

11 75.2075.20

75.2075.20

3030

xMxMM

tTTF

tNNF

y

x

==−=

==−=

−==+=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx C 25.831 ==

0

27

Örnek 117. İkinci kesim:

222 75.025.80)3(*75.2*20

75.00275.20

3030

xMxxMM

tTTF

tNNF

y

x

+==+−+=

==−−=

−==+=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx C 25.802 == tmMx D 75.922 ==

A

3m

2t

x2

N

T

M

2.75t

3t

0

28

Örnek 117. Son kesim: Kolaylık olması açısından diğer taraftan kesim yapılabilir.

3.25t

B

x3

N

T

M

0

29

3m

A B

3m

2t

3

5t

4

2m

3t

4t

2.75t

3t

3.25t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+ +

3

2.750.75

3.25

+ +

8.25

--3

3.25

0.75

-

9.75

+

30


A C

3 t/m

2m

5m

3m

4 t

B

31

Örnek 118. çözümü

A C

3 t/m

2m

5m

3m

4 t

B

Ay Cy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay+Cy-4t-(3t/m*5)=0 Ay + Cy = 19

t

-4t*3m-(3t/m*5)*2.5m+5*Cy=0 Cy = 9.9t ( )

Ay = 9.1t ( )

32

A C

3 t/m

2m

5m

3m

4 t

B

9.1 t 9.9 t


A

x19.1 t

3 t/m

N

T

M

0

33


A

x19.1 t

3 t/m

N

T

M

0

34


C

3 t/m

9.9 t

N

T

M

x20

35

A C

3 t/m

2m3m

4 t

B

9.1 t 9.9 t


N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

9.1

3.9

+

13.8

+

0.1

9.9

-

Yayılı yüklerin bulunduğu kirişdiyagramlarında yayılı yük alanı(şerit yük*etkidiği mesafe) kesme kuvvetindeki mesafe boyunca doğrusal değişimi gösterir.

Moment diyagramı da kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir.

Kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği noktada eğilme momenti maksimum değerini alır.

2o

2o

36

A C

8 t/m

1.5m3m

B


3t

37

Örnek 119. çözümü A C

8 t/m

1.5m3m

B

3t

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-3=0 Ax=3t

Ay+Cy- (8t/m*3)=0 Ay + Cy = 24

t

-(8t/m*3)*1.5m+4.5*Cy=0 Cy = 8t ( )

Ay = 16t ( )

CyAy

Ax

38


A

x116 t

8 t/m

N

T

M

0

39

Örnek 119. Kolaylık olması açısından diğer taraftan (sağdan) kesim yapılabilir.

8t

C

x2

N

T

M

0

40


A C

8 t/m

1.5m3m

B

3t

8t16t

3t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

3

16

2m

++

16

--3

8-

12

-

Üçgen benzerliğinden kesme kuvveti diyagramında sıfır kesme kuvveti noktası bulunur. Bu soruda 2m Moment denkleminde yerine konulursa:

8

+

2o

211 416 xxM −=

tmMx 1621 ==

tTx A 1601 ==tTx B 831 −==

tmMx A 001 ==tmMx B 1231 ==

tmMx C 002 ==tmMx B 125.12 ==

41


A B

2 t/m

3m

6tm3tm

42

A B

2 t/m

3m

6tm3tm

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay+By- (2t/m*3)=0 Ay + By =6

t

-(2t/m*3)*1.5m+3*By+3-6=0 By = 4t ( )

Ay = 2t ( )

ByAy

AxÖrnek 120. çözümü

43


A

x2 t

2 t/m

N

T

M

0

44

A B

2 t/m

3m

6tm3tm

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+2

4

-

2o

2o

2 t 4 t

1m

-

36

-2


Üçgen benzerliğinden kesme kuvveti diyagramında sıfır kesme kuvveti noktası bulunur. Bu soruda 1m Moment denkleminde yerine konulursa:

223 xxM −+−=

tmMx 211 −==

tmMx A 301 −==

tmMx B 631 −==

tTx A 201 ==

tTx B 431 −==

45


A B

2 t/m

2m

2tm

C

5t

4

3

1m

46


A B

2 t/m

2m

2tm

C

5t

4

3

1m

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-3=0 Ax=3t

Ay- (2t/m*2)-4=0 Ay =8

t

-(2t/m*2)*1m-4*3m-2+MA=0 MA= 18tm ( )

Ay

Ax

MA

4t

3t

47


A

2 t/m

x1

8t

3t

18tmN

T

M

0

48


B

2tm

C

4t

3t

x2

N

T

M

0

49

Örnek 121. çözümüA B

2 t/m

2m

2tm

C

1m

8t

3t

18tm

4t

3t

T (ton) +-

M (tm) -+

+

84

2o

-

18

2

N (ton) +-

3--

3

4

+

6

-

tmMx A 1801 −==

tmMx B 621 −==

tTx A 801 ==

tTx B 421 ==

tmMx C 202 −==tmMx B 612 −==

tT 4=

50


A

2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

D 3tm

51

A

2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

D 3tmÖrnek 122. çözümü

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ BM

+

+

+

Dx=0

By+Dy-2-5=0 By + Dy =7t

2*2m-5*3m-3+Dy*5m=0 Dy = 2.8t ( )

By = 4.2t ( )

DyBy

Dx

52

A

x1

2 t

Örnek 122. çözümüN

T

M

0

53

Örnek 122. çözümüN

T

M

0

54


0

55

A

2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

D 3tmÖrnek 122. çözümü

4.2 t 2.8 t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

-

+

2

-

+

4

-

2.6+

2.2 2.2

2.8 2.8

-

2

-

3

001 == AMxtmMx B 421 −==

tmMx B 402 −==tmMx C 6.232 ==

tmMx D 303 −==tmMx C 6.223 ==

T=-2 ton

T= 2.2 ton

T= 2.8 ton

56

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

B

2 t/m

5m

10t C

5m

A

2m2m 6m

50tm

20t

ÖRNEK 123

57

B

2 t/m

5m

10t C

5m

A

2m2m 6m

50tm

20t

ByAy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-20+10=0 Ax=10t

Ay+By-10=0 Ay + By =10t

-(2*5)*2.5m-50tm+By*10m=0 By = 7.5t ( )

Ay = 2.5t ( )

60

2m2m

B

2 t/m

5m

10t C

5m

A

3m

50tm

20t

2.5t

10t

7.5t

3m

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

+

10

-

-

2.5

1.25

37.5

+

10

10 10

7.5

-

1.56

+ +

7.5

-12.5

61


B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

2m2m 6m

10tm

10t

62

B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

2m2m 6m

10tm

10t

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-10+5=0 Ax=5t

Ay+By-10=0 Ay + By =10t

-(2*5)*2.5m-10tm+By*10m=0 By = 3.5t ( )

Ay = 6.5t ( )


ByAy

Ax

63

2m2m

B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

3m

10tm

10t

6.5t

5tÖrnek 124. çözümü3.5t

3m

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

+

5

6.5

-

-

3.53.25

10.56

+5

5 5

3.5

- -

7.5

17.5

+ +

64


AB

200 kg/m

0.2m

C

0.3m

D

0.5m

25 kgm

65

Örnek 125. çözümüA

B

200 kg/m

0.2m

C

0.3m

D

0.5m

25 kgm

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay- (200kg/m*0.5)=0 Ay =100

kg

25+MA-100*0.75=0 MA= 50kgm ( )

Ay

Ax

MA

66

100kg

50 kgm

T (kg) +-

M (kgm) -+

+

100 100

2o-

50

N (kg) +-

+

-

AB

200 kg/m

0.2m

C

0.3m

D

0.5m

25 kgm

+

30

55

25

-


67


A

1m 4m 1m

20t

CD

B20tm

10 t/m

68


A

1m 4m 1m

20t

CD

B20tm

10 t/m

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ BM

+

+

+

Bx=0

By+Cy-20-40=0 By + Cy =60t

-(4*10)*2m-20tm+Cy*4m+20t*1m=0 Cy = 20t ( )

By = 40t ( )

69


A

1m 4m 1m

20t

CD

B20tm

10 t/m

20t40t

N (t) +-

T (t) +-

M (tm) -+

20

-2m

20-

+

20

20

- - - -2020

0

2o

70


A

2m 3m 1m

4t

CD

B

3 t/m

30o

71

A

2m 3m 1m

4t

CD

B

3 t/m

30o

2t

3.46t


CyAy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-3.46=0 Ax=3.46t

Ay+Cy-6-2=0 Ay + Cy =8t

-(3*2)*1m+Cy*5m-2t*6m=0 Cy = 3.6t ( )

Ay = 4.4t ( )

72

Örnek 127. çözümü A

2m 3m 1m

4t

CD

B

3 t/m

30o

2t

3.46t

3.64.43.46

N (t) +-

T (t) +-

M (tm) -+

3.23

-

1.47m1.6

-+

4.4

20

- -2

- -

1.6-

+2 2

+2.80+

xx −=

2

6.14.4

mx 47.1=

2o

73


A BC

D EF

10 kN/m

1m 4m 6m

20kN 40kN

60kN

1m 2m

74


A BC

D EF

10 kN/m

1m 4m 6m

20kN 40kN

60kN

1m 2m

EyCy

Cx

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ EM

+

+

+

Cx=0

Cy+Ey-20-40-60-10*8=0 Cy + Ey =200kN

20*12+40*11-Cy*10+60*6+(10*6)*3-(10*2)*1=0 Cy = 120 kN ( )

Ey = 80 kN ( )

75


A BC

D EF

10 kN/m

1m 4m 6m

20kN 40kN

60kN

1m 2m

80kN120kN

N (kN)+-

T (kN)+-

M (kN) -+

60

+

20

-

-

60

-

+60 60

20

-

-20

80

160

-

+ +

- -

20 2o

2o

76


A B C

D

2t/m

5m 5m 4m

2t

77


A B C

D

2t/m

5m 5m 4m

2t

CyAy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay+Cy-2-2*5=0 Ay + Cy =12t

(2*5)*2.5-Cy*10+2*14=0 Cy = 5.3t ( )

Ay = 6.7t ( )

78


A B C

D

2t/m

5m 5m 4m

2t

5.3t6.7t

N (kN) +-

T (kN)+-

+ +2

-

++

--

8

2o

6.7

3.3-

2

3.3

xx −=

5

3.37.6

mx 35.3=

3.35m

11.228.5

79

Şekildeki kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.

ÖRNEK 130

Documents

8. Kiri şlerde iç kuvvetlerin hesabıkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/(statik-9.ders-maden_2013).pdf · Kolon Kolon Kiri ş M P q Kiri şe etkiyen tekil yükler, momentler ve yayılı