РОЗДІЛ 8. РЯДИ

8.1. ЧИСЛОВІ РЯДИ

ПРИКЛАД 1. Дослідження на збіжність ряду

1

∞

n

n10n 1+

=з використанням достатньої ознаки розбіжності.

u n( )n

10n 1+:= загальний член ряду

∞nu n( )lim

→

110

→ ряд розбігається, бо∞n

u n( )lim→

0≠

ПРИКЛАД 2. Дослідження на збіжність рядів з використаннямознак порівняння.

Дослідження на збіжність ряду

1

∞

n

1

n2 8n+ 10+=

.

u n( )1

n2 8n+ 10+:= загальний член заданого ряду

1

∞

n

u n( )

=

(1)

v n( )1

n2:= загальний член ряду для порівняння

1

∞

n

v n( )

=

(2)

A 0≠ , A ∞≠ , отже ряди (1) та (2)збігаються або розбігаються одночасно

A∞n

u n( )v n( )

lim→

1→:=

Досліджуємо на збіжність ряд (2) за інтегральною ознакою Коші

невласний інтеграл збігається, отже і ряд (2) збігається. Тоді і ряд (1) збігаєтьсязгідно граничної ознаки порівняння.1

0 ∞+xv x( )

⌠⌡

d 1→

ПРИКЛАД 3. Дослідження на збіжність рядів

1

∞

n

u n( )∑=

з використанням ознаки Даламбера.

Дослідження на збіжність ряду

1

∞

n

n2

32 n⋅ 1−∑=

.

Загальний член заданого ряду

u n( )n2

32n 1−:= u n 1+( )

1

32 n⋅ 1+n 1+( )2⋅→

L∞n

u n 1+( )u n( )

lim→

19

→:= ряд збігається, бо L 1<

ПРИКЛАД 4. Дослідження на збіжність рядів

1

∞

n

u n( )∑=

з використанням радикальної ознаки Коші.

Дослідження на збіжність ряду

1

∞

n

arctg1n

n

∑=

.

Задана інформація

u1 n( ) atan1n

:= значення n u n( )

L∞n

u1 n( )lim→

0→:= ряд збігається, бо L 1<

ПРИКЛАД 5. Дослідження на збіжність рядів

1

∞

n

u n( )∑=

з використанням інтегральної ознаки Коші.

Дослідження на збіжність ряду

2

∞

n

1

n ln n( )2⋅∑=

.

u n( )1

n ln n( )2⋅:= загальний член заданого ряду

2

∞

n

u n( )∑=

u 2( ) 1.041= u 3( ) 0.276= u 4( ) 0.130= тобто u n 1+( ) u n( )≤

2

0 ∞+xu x( )

⌠⌡

d1

ln 2( )→ ряд збігається, бо

2

∞xu x( )

⌠⌡

d збіжний

ПРИКЛАД 6. Встановлення абсопютної збіжності, умовної

збіжності або розбіжності знакозмінного ряду

1

∞

n

u n( )∑=

.

Дослідження на збіжність ряду

1

∞

n

1−( )n 1+ n

5n⋅

∑=

.

u n( ) 1−( )n 1+ n

5n⋅

:= загальний член заданого ряду

1

∞

n

u n( )∑=

(1)

u1 n( )n

5n:= загальний член ряду

1

∞

n

u n( )∑=

(2)

Досліджуємо ряд (2) за допомогою ознаки Даламбера

L1n

u1 n 1+( )u1 n( )

lim→

25

→:= ряд збігається, бо L 1< .

Тоді ряд (2) збігається, а отже ряд (1) абсолютно збіжний.

8.2. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ТА СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

ПРИКЛАД 1. Визначення області збіжності степеневого

ряду

1

∞

n

an xn⋅( )=

.

Визначення області збіжності степеневого ряду

1

∞

n

xn

n2=

u n x, ( )xn

n2:= загальний член ряду

a n( )1

n2:= R

∞n

a n( )a n 1+( )

lim→

1→:=

u n 1−, ( )1−( )n

n2→ u n 1, ( )

1

n2→ відповідні ряди збіжні

Область збіжності: [ 1− 1, ]

ПРИКЛАД 2. Розкладання функції в ряд Тейлора за степенями х.

y x( ) sin x( )2:= задана функція

Подання функції у вигляді ряду Тейлора за степенями х

f x( ) y x( ) series x, 10, x2 x4

3−

2 x6⋅45

+x8

315−

2 x10⋅14175

+→:=

6− 3− 0 3 6

2−

1−

1

2

y x( )

f x( )

x

Графічна ілюстрація

Похибка від наближення функції рядом Тейлора r x( ) y x( ) f x( )−:=

r 0( ) 0.000= r 1( ) 4.183 10 6−×= r 2( ) 0.016= r 3( ) 1.883=

ПРИКЛАД 3. Знаходження розв'язку задачі Коші

y'' x y'⋅ y+= , y 0( ) 0= , y' 0( ) 1= у вигляді ряду Тейлора.

ЗАДАНА ІНФОРМАЦІЯ

y'' x y, y1, ( ) x y1⋅ y+:= права частина рівняння (вираздля другої похідної)

x0 0:= y0 0:= y1 1:= початкові умови

РОЗВ'ЯЗАННЯ

Знаходження значень похідних у точці x 0=

y2 y'' 0 0, 1, ( ) 0→:= y3 y1 x0 y2⋅+ y1+ 2→:=

y4 y2 y2+ x0 y3⋅+ y2+ 0→:= y5 3 y3⋅ y3+ x0 y4⋅+ 8→:=

Підстановка в ряд Тейлора (знайдено три відмінних від нуля члени)

y x( ) y0y11!

x⋅+y22!

x2⋅+y33!

x3⋅+y44!

x4⋅+y55!

x5⋅+x5

15x3

3+ x+→:=

8.3. РЯДИ ФУР'Є

ПРИКЛАД. Розкладання в ряд Фур'є функції, одержаної періодичним продовженням функції f x( ) на всю числову вісь(період T 2π= ).

f x( ) x:= задана функція на проміжку (-π,π)

3.142− 1.571− 0 1.5713.142

4−

2−

2

4

f x( )

x

Зображення графіка функції на проміжку від π− до π

Підрахунок коефіцієнтів Фур'є

a01π π−

πxf x( )

⌠⌡

d⋅ 0→:= a n( )1π π−

πxf x( ) cos n x⋅( )⋅

⌠⌡

d⋅ 0→:=

b n( )1π π−

πxf x( ) sin n x⋅( )⋅

⌠⌡

d⋅2 sin π n⋅( ) π n⋅ cos π n⋅( )⋅−( )⋅

π n2⋅→:=

Ряд Фур'є Furie x k, ( )12

a0⋅

1

k

n

a n( ) cos n x⋅( )⋅ b n( ) sin n x⋅( )⋅+( )

=

+:=

Запис ряду Фур'є при заданому числі доданків к

z x( ) Furie x 5, ( )2 sin 3 x⋅( )⋅

3sin 2 x⋅( )−

sin 4 x⋅( )2

−2 sin 5 x⋅( )⋅

5+ 2 sin x( )⋅+→:=

z1 x( ) Furie x 100, ( ):=

10− 6− 2− 2 6 10

4−

2−

2

4

z x( )

x

10− 6− 2− 2 6 10

4−

2.4−

0.8−

0.8

2.4

4

z1 x( )

x

Похибка від наближення функції рядом Фур'є

r x( ) z x( ) f x( )−:= r1 x( ) z1 x( ) f x( )−:=

r 0( ) 0.000= r1 0( ) 0.000=

r 1( ) 0.137= r1 1( ) 3.202 10 4−×=

rπ2

0.163= r1

π2

9.999 10 3−×=

Зображення трьох графіків на проміжку від π− до π

3.142− 1.571− 0 1.571 3.142

4−

2−

2

4

f x( )

z x( )

z1 x( )

x