Числові послідовності

Числові послідовності( 9 клас)

“Вивчення математики подібне до Нілу,

що починається невеликим струмком, а

закінчується великою річкою”

Ч. К. Колтон

МЕТА :

Введемо поняття арифметичної та геометричної

прогресії, нескінченно спадної геометричної

прогресії ( І q І< 1 ).

Сформулюємо властивості цих прогресій.

Виведемо формули п-го члена та суми перших п –

членів арифметичної та геометричної прогресії.

Суми нескінченної спадної прогресії.

Навчимось розв’язувати вправи і задачі на

застосування вивченого матеріалу та прикладні

задачі.

Вивчимо:

означення та властивості арифметичної та геометричної прогресії;

формули п – го члена арифметичної та геометричної прогресії;

формули суми п – перших членів арифметичної та геометричної

прогресії ;

означення нескінченної геометричної прогресії ( І q І< 1 ) та формулу її суми.

Навчимося:

розпізнавати прогресії серед інших послідовностей;

знаходити будь – який член прогресії за формулою п – го члена;

знаходити суму перших п- членів арифметичної та геометричної прогресії;

розв’язувати базові задачі;

записувати періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу;

розв’язувати прикладні задачі

План1. Означення арифметичної та геометричної

прогресії

2. Властивості арифметичної та геометричної

прогресії

3. Сума перших п - членів арифметичної та

геометричної прогресії

4. Нескінченна спадна геометрична прогресія та її

сума

5. Застосування геометричної прогресії до

перетворення нескінченних періодичних

десяткових дробів у звичайні

Історична довідка У давньоруському юридичному збірнику «Руська

правда» містяться відомості про приплід від худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу, про кількість зерна, зібраного з визначеної ділянки землі та ін.

Вперше задачі на прогресії виникли зі спостережень над явищами природи і з досліджень суспільно-економічних явищ, до яких можна застосувати закон прогресії.

Зміст ряду історичних задач на прогресії відбувається за законом арифметичної прогресії, а інше — за законом геометричної.

Числова послідовність задана, якщо будь –

якому натуральному п поставлено у

відповідність деяке число

Числова послідовність ( an ), кожен член якої,

починаючи з другого, дорівнює попередньому,

до якого додане одне й те саме число,

називається арифметичною прогресією.

Це число позначається буквою d і називається

різницею арифметичної прогресії

Формула п- го члена арифметичної

прогресії

Nnndaan ),1(1

Послідовність ( ) є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів:

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії , рівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніх членів.

Формула суми перших п членів арифметичної прогресії:

na

Nnnaa

a nnn

;2,

2

11

Nnnnda

Snaa

S nn

n

,2

)1(2;

2

11

Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число.

Це стале для даної послідовності число qназивають знаменником геометричної прогресії;

( ) — геометрична прогресія,

У геометричній прогресії перший член і знаменник відмінні від нуля.

1

n

n

b

bq

nb

qbbqbbqbb nn 13212 ;...;;

Геометрична прогресія називається

зростаючою чи спадною в залежності від

того, зростає чи спадає абсолютна величина

У будь-якій геометричній прогресії квадрат

кожного члена, починаючи з другого,

дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

11

2

nnn bbb

Зауваження.

Правильне і обернене твердження: якщо в

послідовності квадрат кожного члена,

починаючи з другого, дорівнює добутку двох

сусідніх з ним членів, то ця послідовність —

геометрична прогресія.

Знаючи перший член та знаменник (q) геометричної

прогресії, можна знайти будь-який член ( ), суму (Sп) п -

перших її членів за допомогою формул:

1,1

1,1

)1(

1

1

1

1

qq

bqbS

qq

qbS

qbb

nn

n

n

n

n

nb1b

Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію,

продовжується необмежено, то прогресія називається

нескінченною.

— геометрична прогресія, .

сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

q

bS

1

1

.1q

nn bbbbb ;...;;;)( 321

1. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний

періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).

...1000000

66

10000

66

100

66

3

2)66(,0.

3

2

99

66

1000

11

100

66

.1

),1.(100

1;

100

66 11

Sq

bSqqb

Математичний диктанттеоретичний залік

1. Арифметична прогресія -...

2. Геометрична прогресія -...

3.У геометричній прогресії перший член 8 , другий член 4 . Знайдіть знаменник ?

4.У арифметичній прогресії перший член 9 , другий член 3 . Знайдіть різницю арифметичної прогресії.

5. Властивості арифметичної прогресії:

6.Чи є послідовність степенів числа 2 геометричною прогресією?

7. Властивості геометричної прогресії:

8. Знаменник геометричної прогресії обчислюється за формулою...

9 . Формула п-го члена арифметичної прогресії така…

10. Формула п-го члена геометричної прогресії така…

11. Сума п перших членів арифметичної прогресії

12. Сума п перших членів геометричної прогресії.

Самостійна робота базового рівня

1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:

Варіант І 3 ; 8; 13;… Варіант ІІ 3; 7; 11;… А) 3; 4 Б) 3; 10 В) 13; 8 Г) 3; 5

2. Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:

Варіант І 2; 5; 8;… Варіант ІІ 3; 5; 7; … А) 35 Б) 25 В) 23 Г) 32

3. Укажіть знаменник геометричної прогресії :

Варіант І 8; 4; 2;… Варіант ІІ 10; 2; 0,4; … А) 0,1 Б) 0,2 В) 0,4 Г) 0,5

4. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:

Варіант І Варіант ІІ А) Б) 3 В) Г) 4

5. Чи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … число

Варіант І -160 Варіант ІІ -153

6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :

Варіант І Варіант ІІ

2

1;21 qb

3

1;91 qb

3

1

4

1

8,2,384 nqbn6,3,486 nqbn

Застосування прогресій

1. Геометрична прогресія в токарному цеху.

У 1876 р. академік А.В.Гадолін на підставі точних

математичних розрахунків довів, що верстати слід

будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють

геометричну прогресію.

2. Застосування геометричної прогресії в

машинобудуванні.

Виявляється, геометрична прогресія відіграє

велику роль у машинобудуванні. За законом

геометричної прогресії побудовано розмірність

металорізальних верстатів та інструментів,

встановлено нормальні діаметри і довжини в

машинобудуванні. Тому геометрична прогресія

становить математичну основу стандартизації

різноманітної промислової продукції.

3. Геометрична прогресія в будівельній справі.

В архітектурі, будівельній справі використовуються

колони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаного

конуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колони

зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження

рівномірності від тиску довжини колони потрібно

збільшувати площі її поперечних перерізів. Площі

поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного,

становлять геометричну прогресію.

Історичні задачі

Задача 1. Легенда про винахід шахів.

Шахову гру винайшли в Індії. Індійський принц Сирам, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав : «Я хочу нагородити тебе, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я виконаю будь-яке твоє бажання».

«Володарю, — відповів Сета, — накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, за третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».

«Ти одержиш свої зерна. Але твоє прохання не варте моєї щедрості.».

«Ми обчислили, — сказали придворні математики, — кількість зерен. Число це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі.».

«Напишіть мені це д число» - 18446744073709551615.

Маса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людством до теперішнього часу.

Задача 2. Купівля коня.

Дехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав і повернув коня продавцю. Тоді продавець запропонував йому умови: «Купи цвяхи з його підков , а коня одержиш безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях заплати мені

копійки, за другий - копійки, за третій — 1

копійку і т.д.». Він думав заплатити не більше 10 руб. На скільки проторгувався покупець? (42 тис. руб.).

4

1

2

1

Задача 3. Поширення чуток.

До міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранку прибув мешканець столиці і привіз свіжу новину. У будинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьом жителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина була відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям. Довідавшись новину, кожний із трьох громадян розповів про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщо чутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скільки пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?

( 2 год 30 хв )

Тематична контрольна роботаПочатковий і середній рівень ( 6 балів)

1. Дано послідовність кубів натуральних чисел. Який номер має член послідовності, що дорівнює

Варіант І 8 ? Варіант ІІ 277? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

2. Послідовність задана формулою . Знайдіть:

Варіант І Варіант ІІ А) 20 Б) 45 В) 15 Г) 35

3. Яка з поданих послідовностей є:

Варіант І геометричною прогресією ?

Варіант ІІ арифметичною прогресією?

А) 6; 8;12;18 Б)2; 4; 8; 16 В) 3; 6; 24; 192 Г) 4; 6; 8; 10

4. Знайдіть дев’ятий член арифметичної прогресії:

Варіант І -4; 1; 6;… Варіант ІІ -5; -3; -1; …

А) -21 Б) 11 В) 36 Г) - 44

5. Знайдіть третій член геометричної прогресії, в якій:


А) 80 Б) 30 В) 40 Г) 45

6. Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії, якщо


А) 105 Б) 210 В) 270 Г) 135

52 nan

15a 20a

3;51 qb 4;51 qb

15;20 61 aa 5;40 61 aa

5;8,0 115 aa

Достатній рівень( 3бали)

7. Знайдіть суму шістнадцяти перших членів арифметичної прогресії,

якщо:


8. Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії, якщо:


Високий рівень( 3бали)

9. Знайти суму всіх від’ємних членів арифметичної прогресії:

Варіант І -6,2; -5,9; -5,6;… Варіант ІІ -5,2; -4,8; -4,4; …

10 Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює

25. Якщо до цих чисел додати відповідно 1; 6 і 3, то отримаємо три

числа, що утворюють арифметичну професію. Знайти ці числа.

8,2;1 96 aa

192;6 94 bb 324;12 63 bb

ЛІТЕРАТУРА

1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ Ірпінь.

2005

2. Г.П. Бевз « Алгебра 7-9» Освіта 2001

3. М.І. Бурда , О. Л. Біляніна, О. П. Валушенко,Н. С. Прокопенко

Збірник завдань для державної підсумкової атестації 9 клас.

Гімназія. Харків . 2007

4. Т. Г. Роєва. Алгебра. Геометрія. 9 клас. Навчальний посібник.

Харків « Країна мрій» 2002

5. Л. В, Колесникова , Г. Й. Коротіна « Алгебра дидактичні

матеріали» 9 клас Харків « Світ дитинства» 2000

6. Бібліотека журналу « Математика в школах України»

Учитель року – 2004 . Відкриті уроки з математики.

Харків Видавнича група « Основа» 2006

7. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6, 2004 ; № 2,

14, 2005; № 6 2007.

8. Журнал « Все для вчителя» № 22-23 2003

9. Каплун О. І. Тест – контроль . Алгебра = геометрія. 9 клас: Зошит

для поточного та тематичного оцінювання. – Харків: ФОП Співак Т. К.,

2009

Education

Числові послідовності