8.2 　网络最大流

运输网络问题是很大一类网络问题，通过介绍有些运输网络问题，可以使我们建立起一些处理网络问题的基本概念和方法。

这里涉及的运输网络问题只是考虑简单情况。

一、运输网络1. 运输网络的定义定义 8.7 ：一个带权有向图 G=(V,E) 若满足如下条

件： (1)G 是连通无自环的； (2) 每条弧 (i,j) 的权 cij 为非负整数，称为弧的容量，

cij 全体所构成的集合记为 C ； (3) 存在 2 个不同的顶点 s和 t 。则称该有向图为运输网络 , 简称网络，记为

N(V,E,C) 。称 s 为发点 , t 为收点 , 除 s和 t 以外其它顶点称为中间点。 C 称为容量函数。

2. 运输网络 N 中的流定义 8.8 ：在网络 N(V,E,C) 的弧集 E 上定义了一个

非负整值函数 f={fij}, 称 f 为网络 N 上的流 , fij 称为弧 (i,j) 上的流量。若无弧 (i,j), 则 fij 定义为 0 。设流f 满足下列条件 :

(1) 容量限制条件：对每一条弧 (i,j), 有 fij≤cij 。 (2) 平衡条件：除 s和 t 外的每个中间点 k, 有 即流出和等于流入和。

对于 s和 t 有则称 f 为网络 N 的一个可行流 , Vf 为流 f 的值 , 或称 f 的流量。

若 N 中无可行流 f', 使 Vf'>Vf, 则称 f 为最大流。

Vj

jkVi

ki ff

fVi

tiVj

jtVj

jsVi

si Vffff

定义 8.9 ：若 fij=cij, 则称弧 (i,j) 是饱和的 ; 若fij<cij, 则称弧 (i,j) 是未饱和的。若 fij=0, 则称弧 (i,j)是 f-0 的 ; 若 fij>0, 则称弧 (i,j)是 f- 正的 .

现在的关键是如何求最大流的值。

3.运输网络 N中的割 定义 8.10:设N(V,E,C)是有一个发点 s和一个收点 t的网络。若 V划分为 P和P , 使 sP,tP ,则从 P中的点到P中的点的所有弧集称为分离 s 和 t 的割,

记为(P,P )。 如图 8.6中虚线所示, P={s,a,c},P ={b,t}。 若从网络 N中删去任一个割, 则从 s到 t之间不存在有向路。 要说明的是,对同一 s,t,割不唯一.

割(P,P )的容量是它的每条弧的容量之和,记为 C(P,P )即:

PjPiijcPPC

,

),(

对于不同的割, 它的容量显然是不同的。

对网络中 N 中的割 (P, P ),若不存在割 (P', 'P )使C(P', 'P )< C(P,P ),则称(P,P )为最小割。 讨论网络中流与割的关系

4 . 运 输 网 络 中 流 和 割 的 关 系定 理 8 . 4 : 对 于 给 定 的 网 络 N = ( V , E , C ) , 对 任一 可 行 流 f 和 任 一 割 ( P , P ) , 成 立 V f C ( P , P ) 。证 明 ： 因 为 f 是 可 行 流 ， 根 据 流 的 平 衡 条 件可 知 ：对 于 发 点 s P 有

fVj

jsVi

si Vff

（ 1 ）

对 于 P 中 不 是 发 点 s 和 收 点 t 的 中 间 点 k 有

Vj

jkVi

ki ff

0 Vj

jkVi

ki ff （ 2 ）

此定理给出了流 f的上界 C(P,P )。 由于对任意的流和割都有 Vf

C(P,P )，

因此一定有 VfmaxCmin(P,P )。

二、最大流最小割定理引理：对于给定的网络 N=(V,E,C), 若可

行 流 f 和 割 (P,V-P), 成 立 Vf=C(P,V-P) ，则 Vfmax=Vf ， Cmin(P,V-P)=C(P,V-P)。

因此求最大流的一个想法就是构造流和割，使得流量和割容量相等。

福 特 , 富 克 逊 (Frod,Falkerson) 于 1956 年给出的最大流最小割定理

基本思想：1 ）对任意网络构造初始流。零流 , 或其他可行流。2 ）在初始流基础上寻找可增加流的路，

这样的路称为增广路。并在寻找增广路的同时，计算在该路上可增加多少流。

3 ）若找到了从 s到 t 的可增加流的路，则修改流，得到新的可行流。然后转回2 ）

(1) 怎样找增广路(2) 如果找不到这样的增广路，是否此时

的流就是最大流？

1. 寻找增广路的方法设 u为 s到 t 的路（不考虑弧的方向）(1) 先考察该路上与路方向一致的弧 ( 称

为向前弧 ) 。若路上所有弧均为向前弧，且每条弧的

流量 < 相应弧的容量，则可增加流的路。对于向前弧 (i,j)， fij 是否 <cij。可增加流的通路，采用标号法。

1) 对源点 s 标号 (-)2) 设点 i 已经标号， j 点没有标，对于向

前弧 (i,j) ，若 fij<cij ，则点 j 标号 i+ ；若fij=cij ，则点 j 不标号。

3) 若收点 t 最后被标号，如 t 点被标号c+ ，则找到了从 s到 t 的增广路。

还需要知道这条路可增加多少流量，以便修改流。

1) 对源点 s 标号 (-),令 Δs=+∞。2) 设点 i 已经标号，增量为 Δi， j 点没有

标，对于向前弧 (i,j) ，若 fij<cij ，则点 j 标号 i+，

Δj=min{Δi， cij- fij}

若 fij=cij ，则点 j 不标号。3) 若收点 t 最后被标号，如 t 点被标号

c+， Δt=min{Δc， cct- fct} ，这就找到了从s到 t 的增广路，可增加的流量是 Δt。

修改流时，为满足平衡条件，对该路上所有弧流量 +Δt。

若按此方法找不到增广路，是否就结束？否还可采用下面的方法(2) 如果 u 中部分弧的方向与路的方向相反

( 称这样的弧为向后弧 ) 。如下图所示。

s到 t 的路 s,b,c,t ，这里弧 (c,b) 与路的方向相反。按前面的方法无法解决，对于这类情况需要新的方法

如果在这路上的向前弧 (s,b)， (c,t) 都已经饱和，则显然该路不可能是增广路。如果 (s,b)， (c,t) 没有饱和，且在前面的的标号过程中， b 点已经标号， s+， Δb.是否有增广路，取决于向后弧 (c,b) 的流 fcb，

如果 b 点已经标号，(s+,Δb) ，且 fcb>0 ，则c 点标号 (b-,Δc)，这 里 Δc=min{Δb, fcb}。

0) 对任意网络构造初始流。 1) 对源点 s 标号 (- ， +∞) 。 2) 设点 i 已经标号，增量为 Δi， j 点没有标， i) 对于向前弧 (i,j) ，若 fij<cij ，则点 j 标号 (i+,Δj)， 这里 Δj= min{Δi， cij- fij}若 fij=cij ，则点 j 不标号。 ii) 对于向后弧 (i,j) ，若 fji>0 ，则 j 点标号 (i-,Δj)， 这里 Δj=min{Δi, fji}。若 fij=0 ，则点 j 不标号。 (3) 重复第 2 步，直到 i) 若收点 t 最后被标号 (x+,Δt) ，这就找到了从 s到 t 的

增广路，可增加的流量是 Δt。 修改流时，对该路上所有向前弧流量 +Δt ，向后弧上的

流量减少 Δt ，并以此结果作为新的流，转向 1) 。 ii) 若不再有新的顶点被标号，且 t 仍没有被标号，则说

明网络中的流为最大流

定理：用上述标号法在算法停止时得到的一定是最大流。

证明：算法停止时 , 已经标号的点构成集合 P ，没有标号的构成 V-P ，则 (P,V-P)构成割。然后证明网络中的流的值就等于该割的容量。

关于算法有 2 点要说明：1) 在某点有多种标号选择时，可任意选

择 1 种进行标号。2) 初始流不一定是零流，只要是可行流

即可。

8.3 图与二分图的匹配一、匹配的概念定义 8.11 ：在图 G=(V,E) 中 , M 是边集

E 的子集 , 并且 M 中没有两条边相邻 , 称M是 G 的一个匹配。

定 义 : 若 M 中 的 一 边关联于顶点 v, 则称 v为关于 M 饱和的。M 中的边的两端点称为在M 下配对。

定义 :若 G 中每一个顶点是关于 M 饱和的 , 则称 M为 G 的完美匹配。

一个图不一定存在完美匹配

完美匹配不一定唯一 .定理 : 无自环的图 G, 若它有完美匹配 ,

则 |V(G)| 为偶数 .定义：若 G 中不存在匹配 M', 使 |M'|>|

M|, 则称 M为 G 的最大匹配。

图可能有许多不同的最大匹配。完美匹配必是最大匹配 , 反之不一定。如果 G 有完美匹配 , 则它的任一最大匹配是否一定为完美匹配 ?

二、匹配的基本定理首先引进 2 个定义。定义 8.12 ：设 M是 G 的一个匹配 , (1) 若在 G 中有一条路 , 它的边在 E-M和M 中交错地出现 , 则称该路为关于 M 的交错路。

(2) 若关于 M 的交错路的起点和终点不是关于M 饱和的 , 则称该路为关于 M 的增广路。

定理：关于 M 的增广路中属于 E-M 的边数比属于 M 的边数多 1 。

定理 8.8 ：在图 G 中 ,M 是最大匹配当且仅当G 中不包含关于 M 的增广路。

证明：用反证法。假设 G 中存在关于 M 的增广路 p,

构造 M’=Mp证明（ 1）M’ 是匹配 (2)|M’|=|M|+1假设 M 不是最大匹配 , 则存在匹配 M', 使 |

M'|>|M| 。设由 MM’导出的图 G(MM’) 记为 H, 它的每个分支或者是交错路 , 或者是交错回路。由此证明 H 中存在关于 M 的增广路

作业 :P188 12,14,15,16