9 DFT i FFT

8/22/13 DFT i FFT

lab405.fesb.hr/tinf/teorijainf_12.htm 1/18

14 DISKRETNA FOURIEROVATRANSFORMACIJA (DFT)

I FFT ALGORITAM UvodDiskretna Fourierova transformacija (DFT)Učinak propuštanjaOptimalne prozorske funkcijeBrza Fourierova transformacija (FFT)Primjene FFTDiskretna korelacija i konvolucija putem FFT

14.1 UvodU današnjim se primjenama uglavnom koristi digitalna obradbasignala. Ako je ulazni signal kontinuiran, digitalan signal sedobiva putem A/D pretvorbe.Budući je obradnik digitalan, izlazni signal je također uzorkovansignal. Ako se radi o računanju FT, to znači da izlaz predstavljadiskretnu (po frekvenciji) spektralnu gustoću. Ako je spektralnagustoća nekog signala diskretna onda se nedvojbeno radi operiodičkom vremenskom signalu (poglavlje 9.3). Ova činjenicaje od temeljne važnosti za definiranje svojstava DFT.Svaki realan sustav za obradbu signala ima ograničen kapacitet.To znači da se može računati samo s ograničenim brojemuzoraka signala N.Također je u praksi česta situacija da je broj uzoraka ograničenprirodom signala. Primjer takva slučaja je zvuk kojeg proizvodijedna pritisnuta tipka klavira.Posebna je pak situacija kod analize signala kao što su govornisignali. Govorni signali su nestacionarni slučajni signali zbogčega je računanje spektra opravdano samo u relativno kratkimintervalima reda 10 ms unutar kojih se signal može smatratistacionarnim.Tri su dakle glavna razloga zašto se analiza signala temelji nakonačnom broju uzoraka:

8/22/13 DFT i FFT


· konačna memorija računala

· signali su ograničena trajanja

· signal je stacionaran samo u konačnom intervalu. Vremensko ograničenje signala odnosno ograničenje brojauzoraka je od temeljne važnosti kod razmatranja svojstava DFT.

14.2 Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

Neka predstavlja signal uzoraka xs(t) ograničen na N

uzoraka (slika 14.1). Vrijedi dakle:

gdje je .

Slika 14.1 Neograničen i ograničen signal uzoraka

Spektralna gustoća će općenito predstavljati samoprocjenu spektralne gustoće Xs(f) jer je signal nepoznat izvan

intervala [0,T].Digitalan obradnik signala (DSP) računa procjene spektralnihkomponenti samo kod diskretnih vrijednosti frekvencije štoznači da DSP 'vidi' ulazni signal kao da je periodičan s periodom

T. Stoga rezultat DFT nije spektralna gustoća signala ,nego spektralna gustoća periodične funkcije xsp(t) prikazane na

slici 14.2.

8/22/13 DFT i FFT


Vrijedi:

14.1)

Slika 14.2 Periodičan signal uzoraka i njegova spektralna gustoća

Kao što je prikazano na slici 14.2, spektralna gustoća Xsp(f) je

diskretna, što je posljedica digitalne obradbe, ali je i periodična speriodom , što je posljedica uzorkovanja (poglavlje 13.2).Naravno, treba biti određen u skladu sa teoremom o uzimanjuuzoraka. Za periodične signale vrijedi izraz (10.4) tj.:

(14.2)

gdje je rezolucija po frekvenciji, a Am su kompleksni

Fourierovi koeficijenti uzorkovanog signala xsp(t).

Kad je to moguće, T treba birati veći ako se želi u spektru istražitieventualno prisutnu finu strukturu. Za kontinuirane periodične signale vrijedi (10.8):

(14.3)Za signal uzoraka xsp(t) se može pisati:

8/22/13 DFT i FFT


pa (14.3) postaje:

ili:

(14.4)Koeficijenti Am su periodični s periodom N, pa je za DFT

potrebno računati samo N koeficijenata tako da (14.4) postaje:

(14.5) Izraz (14.5) definira Fourierove koeficijente diskretne Fourierovetransformacije signala x(t). Fourierovi koeficijenti (14.5)predstavljaju procjenu Fourierovih koeficijenata kontinuiranogsignala x(t) odnosno signala uzoraka xs(t). Pogreška se javlja

zbog konačnog broja uzoraka N, odnosno konačnog vremenasnimanja T.Očigledno će (14.5) dati točne Fourierove koeficijente samo uslučaju kad je x(t) periodična funkcija sa periodom T odnosnoopćenito s periodom T/k ; k = 1,2,3,..., kao što je primjericeprikazano na slici 14.3.

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.3 Primjer kad DFT daje točan spektar

Ulazni signal nije općenito periodičan, a ako i jest, njegov periodT1 nije općenito jednak T/k. Stoga je zanimljivo detaljnije

razmotriti problem procjene DFT koeficijenata kao i mogućnostotklanjanja odnosno smanjenja pogreške koja se javlja uproračunu.Inverzna diskretna Fourierova transformacija (IDFT) se u skladus (10.12) definira izrazom:

(14.6)odnosno:

(14.7)

14.3 Učinak propuštanja Promotrimo problem ograničenja uzorkovanog signala priračunanju DFT ignorirajući zbog jednostavnosti činjenicu da jeDFT diskretna. Ograničenje signala na interval T, može seinterpretirati kao množenje signala xs(t) sa tzv. prozorskom

funkcijom w0(t) (slika 14.4) gdje je:

(14.8)

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.4 Ograničenje signala kao množenje

s prozorskom funkcijom

Množenje dvaju signala u vremenskom području odgovarakonvoluciji njihovih spektralnih gustoća (izraz 12.31):

(14.9) Promatrajmo zbog jednostavnosti samo apsolutne iznosespektralnih gustoća. Spektralna gustoća w(t) je dana u skladu s(9.24):

(14.10)

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.5 Konvolucija spektralnih gustoća

signala uzoraka i prozora

Slika 14.5 prikazuje rezultirajući spektar . Zbogkonvolucije s W(f) spektar Xsp(f) nije jednak Xs(f). Općenito

uzevši sve su frekvencijske komponente pogrešne. Nastala sepojava naziva učinak propuštanja. Naime može se reći da je upostupku računanja DFT došlo do uvlačenja šuma čime je izlaznisignal–šum omjer smanjen. Iz slike 14.6 koja prikazuje spektralnugustoću se može zaključiti da je signal-šum omjer samo 13 dBšto je za većinu primjena neprihvatljivo niska vrijednost. Kaoposljedica učinka propuštanja javlja se pogreška u amplitudi DFTkoeficijenata od čak 4.4 dB (slika 14.8).

Primjer 14.1 Učinak propuštanja kod DFT sinusnogsignala Promotrimo sljedeće slučajeve:

· sinusni signal periodičan u prozoru (T1=T/3)

· signal neperiodičan u prozoru (T1=T/2.5)

8/22/13 DFT i FFT


gdje je T1 period signala a T trajanje odnosno širina prozora.

Slika 14.6 Pravokutan prozor i pripadna spektralna gustoća

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.7 DFT sinusnog signala periodičnog u prozoru (T = 3T1)

Iz slike 14.7 se vidi da u slučaju periodična signala u prozoru(T=3T1), spektar računat preko DFT je bez greške uz

odgovarajuću rezoluciju Df = 1/T.

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.8 DFT sinusnog signala neperiodičnog u prozoru (T = 2.5T1)

Učinak propuštanja za slučaj neperiodičnog sinusnog signala u

prozoru je očigledan na slici 14.8. Spektar sadrži vrlo jakšum tako da su impulsi kod frekvencija u velikoj mjerizamaskirani šumom.

14.4 Optimalne prozorske funkcijePostavlja se pitanje kako otkloniti odnosno umanjiti učinakpropuštanja.Očigledno bi učinak nestao u slučaju kad bi spektralna gustoćaprozora imala oblik:

(14.11)

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.9a Idealan spektar prozora

Uz spektar prozora kao na slici 14.9a rezultat DFT bi za primjerna slici 14.7 bio jednako točan. Za slučaj na slici 14.8 rezultat bibio kao na slici 14.9b.

Slika 14.9b DFT uz idealni spektar prozora

Može se reći da se spektar na slici 14.9b podudara saspektrom Xs(f) na slici 14.7. Razlika koja postoji posljedica je

konačne rezolucije .Međutim pravokutan spektar W(f) na slici 14.9a predstavljaidealizaciju. Vremenska funkcija w(t) ograničena na interval

ne može imati Fourierovu transformaciju W(f) ograničenu

na interval nego je W(f) neograničena.Stoga je potrebno naći prozorsku funkciju w(t) čija spektralnagustoća najbolje, prema odabranom kriteriju, aproksimirapravokutni impuls na slici 14.9a. Kriteriji za izbor W(f) mogu bitirazličiti. Najjednostavniji se kriterij temelji na energiji u području

. U skladu s tim kriterijem, najpovoljnija W(f) će biti

ona kod koje je relativni udio energije u području najveći.Definiramo energijski omjer:

8/22/13 DFT i FFT


(14.12)

Rješenja izraza (14.12) koja daju vode na prozorskefunkcije koje su energijski optimizirane u odabranom području (-

k Df, k Df), k = 1,2,3,....

Uz područje integracije od dobiva se W1(f) koja

osigurava najveću moguću rezoluciju Df = 1/T. U tom slučaju se

dobiva tj. glavna latica W1(f) sadrži 98.1% energije

signala.

Ako se za područje integracije uzme dobiva se

W2(f) uz .

Očito je W2(f) povoljniji sa stajališta energije, ali treba voditi

računa da je uz W2(f) rezolucija dvostruko niža tj. . Općenito

se može definirati prozor Wk(f) uz rezoluciju kDf.

Stvar je određene primjene da li će se birati prozorska funkcijakoja ima veći energijski omjer ili prozorska funkcija većerezolucije.

Slika 14.10 prikazuje i .Omjer prve najveće sporedne latice i glavne latice može sesmatrati omjerom signal-šum kojeg osigurava dani prozor.

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.10a Optimalni prozor w1 i pripadna spektralna gustoća

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.10b Optimalni prozor w2 i pripadna spektralna gustoća

Slijedi da w1(t) osigurava oko 25 dB, a w2(t) oko 50 dB omjer

signal-šum. Zanimljivo je ove vrijednosti usporediti s 13 dBomjera signal-šum za pravokutan prozor w0(t) dan na slici 14.6.

Najveća pogreška po amplitudi DFT koeficijenata je kod w1(t) oko

2.2 dB, a za prozor w2(t) oko 1.2 dB u poredbi s 4.4 dB za prozor

w0(t).

Smanjenje učinka propuštanja može se postići i sa neoptimalnimprozorskim funkcijama koje je međutim lako matematičkidefinirati u vremenskom području.Slika 14.11 prikazuje za primjenu korisne prozorske funkcije i totrokutasti prozor koji se naziva i Parzenov prozor zatim sinusniprozor. Slika 14.12 prikazuje prozor podignuti kosinus koji senaziva i Hanning prozor definiran izrazom:

a slika 14.13 prikazuje sličan ali optimalniji prozor pod nazivomHamming prozor definiran izrazom:

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.11a Trokutni (Parzenov) prozor i njegova spektralna gustoća

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.11b Sinusni prozor i njegova spektralna gustoća

Slika 14.12 Hanning prozor i njegova spektralna gustoća

8/22/13 DFT i FFT


Slika 14.13 Hamming prozor i njegova spektralna gustoća

Hannov prozor je vrlo blizak prozoru w2(t) koji je dobiven

maksimiziranjem energijskog omjera (14.12). Ovaj prozor semože primijeniti izravno u frekvencijskom području putem izraza:

(14.16)gdje su Am' modificirani Fourierovi koeficijenti s umanjenim

učinkom propuštanja.Među mnogobrojnim tipovima prozorskih funkcija, spomenimojoš one koje se temelje na ograničenju razine sporednih latica uFourierovoj transformaciji uz minimalnu širinu glavne latice.Dobiveni prozori se nazivaju i Dolph-Chebyshevljevi filtri. Slika14.14 prikazuje primjer takva prozora u vremenskom ifrekvencijskom području dobiven uz razinu sporednih latica od –60 dB.

Slika 14.14 Spektralna gustoća Dolph-Chebyshevljeva prozora

8/22/13 DFT i FFT


Primjer Dolph-Chebyshevljeva prozora na slici 14.14 ima razinušuma – 60 dB i najveću pogrešku u amplitudi DFT koeficijenataod 0.75 dB.

Zaključak Uporaba optimalnih prozorskih funkcija koje umanjuju učinakpropuštanja je standardan postupak kod računanja DFT. Slika14.15 prikazuje shemu koja uključuje množenje signala sprozorskom funkcijom. Digitalni analizatori spektra sadržeizbornik prozorskih funkcija koje se biraju tako da se maksimiziratočnost ili maksimizira rezolucija.

Slika 14.15 Blok shema DFT analize

Documents

9 DFT i FFT