9 — Magnetismo en la materiafabiancadiz.com/images/09Electro.pdf · 342 Magnetismo en la materia 9.1Paramagnetismo, Diamagnetismo, Ferromagnetismo En electrostática hemos visto

9 — Magnetismo en la materia

342 Magnetismo en la materia

9.1 Paramagnetismo, Diamagnetismo, FerromagnetismoEn electrostática hemos visto que la materia puede clasificarse en dos grandes familias: aislantes(o dieléctricos) y conductores. En comparación, los materiales magnéticos se clasifican escen-cialmente en 3 tipos de categorías dependiendo de su comportamiento ante la prescencia de uncampo magnético externo.• Ferromagnetismo: los materiales ferromagnéticos son aquellos que son atraídos por el

campo magnético ~B de un imán permanente. De forma espectacular, estos materiales per-manecen magnetizados incluso cuando el imán es removido (~B = 0). El ferromagnetismoes la propiedad magnética con más aplicaciones en la industria (motores, discos duros,generadores éléctricos, etc).Ejemplos: Fierro (Fe), Cobalto (Co), Niquel (Ni), Oxido de hierro (Fe2O3).

• Paramagnetismo: los materiales paramagnéticos son aquellos que son ligeramente atraí-dos por el campo magnético ~B de un imán. A diferencia de los materiales ferromagnéticos,estos materiales no presentan ninguna actividad magnética en la auscencia de un campomagnético externo.

Ejemplos: Aluminio (Al), Calcio (Ca), Sodio (Na).

• Diamagnetismo: los materiales diamagnéticos son aquellos que son ligeramente repelidospor el campo magnético ~B de un imán. Todos los materiales presentan un comportamientodiamagnético a nivel atómico, pero en aquellos en que también coexiste un comportamientoparamagnético o ferromagnético, la contribución del diamagnetismo es despreciable.

Ejemplos: Bismuto (Bi), Plata (Ag), Cobre (Cu), Mercurio (Hg),Plomo (Pb), agua (H2O).

9.2 Origen microscópico del magnetismo9.2.1 Diamagnetismo

El diamagnetismo es un efecto cuántico que ocurre a través de la modificación de los orbitalesatómicos en la prescencia de un campo magnético externo. Escencialmente, un material diamag-nético genera una imantación opuesta a la del campo magnético externo que tiende a anular elcampo magnético total en su interior. Esto se traduce por una fuerza repulsiva cuya aplicaciónmás espectacular es la levitación magnética. Los superconductores, bajo cierto punto de visa,pueden ser considerados como perfectamente diamagnéticos, ya que el campo magnético seanula al interior de un superconductor (efecto Meissner).

Aunque el diamagnetismo no puede ser explicado por la mecánica clásica, un modelo semi-clásico del diamagnetismo de Langevin será tratado en el capítulo siguiente.

9.2.2 Paramagnetismo y FerromagnetismoEn general, cada átomo tiene asociado un momento magnético. En una visión clásica, elmovimiento orbital de un electrón en torno a un núcleo representa una corriente que puede serasimilada a un momento magnético. Sin embargo, el verdadero origen del magnetismo provienede un momento magnético intrínseco al electron, el spín.En un material paramagnético, los momentos magnéticos interacúan débilmente entre sí, ydebido a la agitación térmica, éstos se orientan de forma aleatoria y el momento magnético

9.3 Campo generado por un material magnetizado 343

promedio es nulo. En un material ferromagnético, en cambio, la energia de interacción entredipolos magnéticos vecinos es suficientemente fuerte como para provocar un alineamiento quese traduce en la aparición de dominios magnéticos (dominos de Weiss), en general separados pordefectos cristalinos. Cada dominio posee un momento magnético promedio, en general con unaorientación aleatoria.

Cuando se aplica un campo magnético externo, un material paramagnético o ferromagnético semagnetizará ya que se produce un alineamiento de los momentos magnéticos en la direccióndel campo magnético. Cuando el campo magnético externo se apaga, en un material paramag-nético la magnetización desaparece debido a la agitación térmica. En contraste, en un materialferromagnético, los dominios magnéticos seguirán alineados ya que éstos interactúan entre sí,generándose así una imantación permanente (esto se conoce como histéresis).

9.3 Campo generado por un material magnetizado

Un material magnetizado genera un campo magnético que contribuye al campo magnéticototal. Para obtener el efecto de esta magnetización, consideremos un elemento de volumen d3x′

ubicado en algun punto interior del material~x′.

Este elemento de volumen está caracterizado por un momento magnetico promedio

∆~µ(~x) = ∑a∈d3x′

~µa

donde la suma se realiza sobre cada momento dipolar individual contenido en d3x′. Definimos lamagnetización del material como la densidad de momento magnético por unidad de volumen,esto es:

~M(~x′) =∆µ(~x′)

d3x′


Veamos que ocurre con el campo magnético generado en un punto arbitrario ~x. El potencialvectorial será la superposición

~A(~x) = ~AL(~x)+~AM(~x)

donde ~A0(~x) es el potencial magnético del campo externo y ~AM(~x) el potencial debido a lamagnetización del medio. En~x′ ∈Ω hay un momento magnético promedio dado por

µ(~x′) = ~M(~x′)d3x′

El potencial en~x debido a este momento magnético es:

∆~AM(~x) =µ0

4π

∆µ(~x′)× (~x−~x′)‖~x−~x′‖3

y el potencial total en~x debido al material se obtiene al integrar sobre Ω

~AM(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~M(~x′)× (~x−~x′)‖~x−~x′‖3

Ahora, utilizamos la siguiente identidad:

~M(~x′)× (~x−~x′)‖~x−~x′‖3 = ~M(~x′)×~∇′ 1

‖~x−~x′‖=

~∇′× ~M(~x′)‖~x−~x′‖

−~∇′×~M(~x′)‖~x−~x′‖

de forma que

~AM(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~∇′× ~M(~x′)‖~x−~x′‖

− µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~∇′×

(~M(~x′)‖~x−~x′‖

)Finalmente, transformando la segunda integral en una integral de superficie:

~AM(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~∇′× ~M(~x′)‖~x−~x′‖

− µ0

4π

∫∫∂Ω

d~S(~x′)× ~M(~x′)‖~x−~x′‖ (9.1)

9.3.1 Corrientes equivalentes a la magnetizaciónRecordando que el potencial magnético de una distribución de corriente en un volumen Ω estádado por (8.5):

~A(~x) =∫∫∫

Ω

d3x′~J(~x′)‖~x−~x′‖

vemos a partir de la ec.(9.1) que podemos definir una densidad de corriente de magnetización enΩ:

~Jv(~x) = ~∇× ~M(~x)

y una densidad de corriente superficial

~Js(~x) = ~M(~x)× n(~x)

9.4 Magnetostática en un medio magnetizado 345

Definición 9.3.1 — Corrientes de magnetización. Un material magnético Ω puede servisto como un volumen que contiene una densidad de corriente ~Jv en su interior y ~Js en sufrontera ∂Ω.

~Jv(~x) = ~∇× ~M(~x) ~x ∈Ω (9.2)

mientras que la densidad superficial de corriente está dada por:

~Js(~x) = ~M(~x)× n(~x) ~x ∈ ∂Ω (9.3)

donde n es la normal a ∂Ω. Notar que

~∇ · ~Jv(~x) = 0

como debe ser para una corriente estacionaria, y que

n(~x) · ~Js(~x) = 0

como debe ocurrir para una corriente localizada en Ω. Luego, el efecto de un campo magnéticoexterno sobre un medio material se puede resumir en la aparición de una corriente estacionariay localizada dentro del medio. El potencial en~x debido a esta corriente de magnetización estádado por

~AM(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~JM(~x′)‖~x−~x′‖

+µ0

4π

∫∫∂Ω

dS(~x′)~Js(~x′)‖~x−~x′‖

Notemos por último que, mientras que en un dieléctrico la densidad de cargas de polarizaciónrepresenta una verdadera densidad de cargas producto de la separación espacial entre cargaspositivas y negativas, la densidad de corriente de magnetización representa una corrienteficticia: el momento magnético de spín del electrón , por ejemplo, no proviene de ningunacorriente eléctrica.

9.4 Magnetostática en un medio magnetizadoAhora veremos como reescribir las leyes fundamentales del campo magnético en el interior deun medio material. En todo punto interior, se tendrá una densidad de corriente libre, ~JL(~x), y unadensidad de corriente de magnetización ~JM(~x). Es decir

~J(~x) = ~JL(~x)+ ~JM(~x)

Al escribir el teorema de Ampère para el campo magnético total, se debe considerar la densidadde corriente total:

~∇×~B(~x) = µ0~J(~x) = µ0

(~JL(~x)+~∇× ~M(~x)

)Equivalentemente:

~∇×

(~B(~x)µ0− ~M(~x)

)= ~JL(~x)


Definición 9.4.1 — Excitación magnética. Definimos el campo vectorial ~H, llamadoexcitación magnética, mediante:

~H(~x) =~B(~x)µ0− ~M(~x) (9.4)

el cual satisface el teorema de Ampère en donde solo cuenta la densidad de corriente libre:

~∇× ~H(~x) = ~JL(~x)

Todo el efecto del medio magnetizado se encuentra contenido en ~H(~x) a través de la densidadde momento magnetico ~M(~x). La unidad S.I. del campo ~H es [A/m].

Las ecuaciones fundamentales en un medio magnetizado son, entonces

~∇ ·~B(~x) = 0

~∇× ~H(~x) = ~JL(~x)

Notar la total analogía con las leyes fundamentales de la electrostática en un medio dieléctrico

~∇ ·D(~x) = ρL(~x)

~∇×~E(~x) = 0

donde ρL(~x) es la densidad de carga libre. Recordar además que en materiales lineales ehomogéneos ~D(~x) = ε~E(~x), de forma que las dos ecuaciones fundamentales de la electrostáticapueden ser escritas como:

~∇ ·E(~x) = ρL(~x)ε

~∇×~E(~x) = 0

donde la principal diferencia con las leyes en el vacío es la permitividad del medio ε > ε0. Notarque esto implica que la polarización de un medio dieléctrico disminuye la magnitud del campoeléctrico que genera una carga libre en su interior. En un material magnético, dependiendo si larespuesta del material es paramagnética, ferromagnética o diamagnética, el campo magnéticogenerado por una corriente libre puede aumentar o disminuír respecto a la valor que tendría en elvacío. Por lo demás, podemos intuír que la respuesta de un medio ferromagnético es altamenteno-lineal (histéresis).

9.5 Relaciones constitutivas de un material magnético

Se tiene

~H(~x) =~B(~x)µ0− ~M(~x)

Si el medio es homogéneo e isotrópico, la experiencia muestra que en magnetostática:

~M(~x) = χm(~H)~H(~x)

9.5 Relaciones constitutivas de un material magnético 347

donde χm, que corresponde a una cantidad adimensional, es la susceptibilidad magnética. Paraun material diamagnético o paramagnético, χm(~H) = χm, y la respuesta es lineal. Típicamente,en un medio diamagnético, χm ∼−10−5, mientras que en un medio paramagnético χm ∼ 10−5.Para un material ferromagnético, en cambio, la susceptibilidad depende de ~H, y la respuesta esno lineal. La susceptibilidad χm(~H) puede variar entre 50 y 106 dependiendo del valor de ~H.Vemos entonces que:

~H(~x) =~B(~x)µ0−χm(~H(~x))~H(~x)

luego

~B = µ0(1+χm(~H))~H = µ(~H)~H (9.5)

donde µ es la permeabilidad magnética del material. Con esto, las leyes fundamentales de lamagnetostática en un medio homogéneo e isotrópico se pueden escribir de la siguiente manera:

~∇ ·~B(~x) = 0

~∇×~B(~x) = µ~JL(~x)

Es decir, al igual que en el vacío, exceptuando que ahora la permeabilidad no es necesariamenteigual a µ0. Para medios diamagnéticos µ < µ0, mientras que en un medio paramagnético, µ > µ0.En un material ferromagnético, µ(~H)>> µ0.

Ejemplo 9.1 — El vector excitación magnética como parámetro de control. El interésque representa el vector ~H reside en el hecho de que uno puede controlar directamente su valormediante una corriente externa. En efecto, consideremos una bobina de N vueltas que lleva unacorriente libre Iext , como se muestra en la figura siguiente.

El teorema de Ampère que satisface ~H corresponde a:∮Γ

~H ·d~l = IΓ

tomando la curva rectangular de la figura, y considerando que para un solenoide suficientementelargo el campo ~H es homogéneo y apunta en la dirección del eje de la solenoide:

HL = NIext

de forma que es el campo excitación magnética ~H, y no ~B, el que es controlado por el generadorexterior!


9.6 HistéresisEl aumento en la magnitud del campo magnético al interior de un material ferromagnéticopuede ser considerable, hasta 106 veces más grande que la del campo externo aplicado. Elcomportamiento de un material ferromagnetico es no lineal, de forma que no podemos carac-terizarlo por una permeabilidad magnética constante. La relación entre la magnetización ~M y~B (o equivalentemente, entre ~M y ~H) no es monovalente, o dicho de otra forma, depende de lahistoria previa del material. Este fenómeno es conocido como histéresis. En la figura se muestrala variación de la magnetización ante la prescencia de un campo magnetico externo ~B, partiendodesde una situación en la cual el material se encuentra inicialmente desmagnetizado (punto a).

Al aplicar un campo magnético y al aumentar la magnitud de este, los diferentes dominios delmaterial comienzan a alinearse gradualmente en la dirección del campo aplicado. Eventualmente,para un campo suficientemente grande, todos los diminios se alinean y se alcanza una saturaciónde la magnetización (punto b). La curva que une a y b se llama curva de primera magnetización.

Si ahora la magnitud del campo ~B disminuye a 0, la magnetización no se anula ya que los mo-mentos magnéticos interactúan entre sí y se mantienen alineados (punto c); una magnetizaciónremanente aparece. En este punto, el material se comporta como un imán permanente.

Al aplicar un campo magnético en la dirección contraria, los dominios magnéticos revertirángradualmente su orientación hasta que eventualmente todos se alinean nuevamente en la direc-ción del campo aplicado (punto d). Al eliminar nuevamente el campo externo, ahora existe unamagnetización remanente negativa (punto e).

Finalmente, al volver aplicar un campo externo positivo, el ciclo de histéresis se completa. Lamagnetización de un material ferromagnético depende entonces de la historia.

9.7 Condiciones de borde para el campo magnéticoLas leyes fundamentales de la magnetostática

~∇ ·~B(~x) = 0

~∇× ~H(~x) = ~JL(~x)

entregan información sobre el comportamiento de los campos en la interfaz que separa dosmedios de distinta permeabilidad, como muestra la figuraTomando en primer lugar una superficie gaussiana cilíndrica orientada de forma que la normalen sus tapas es perpendicular a la superficie que separa ambos medios, se tiene∫∫∫

Ω

~∇ ·~B(~x)d3x =∫∫

∂Ω

d~S(~x) ·~B(~x) = 0

9.7 Condiciones de borde para el campo magnético 349

Si el largo del cilindro tiende a cero, escencialmente la integral de flujo corresponde a

A(~B2−~B1

)· n = 0

donde A es el area de las tapas, y n es la normal a la superficie que apunta desde la región 1 haciala región 2. En consecuencia:

(~B2−~B1

)· n = 0 (9.6)

Es decir, la componente normal del campo magnético es continua al atravesar una interfaz.

Si ahora consideramos un circuito cerrado rectangular Γ de largo l y ancho h, cuya normal n′ estangente a la superficie, se tiene, utilizando el teorema de Ampère∫∫

S(Γ)dS(~x)n′ ·

(~∇×H(~x)

)=∫∫

S(Γ)dS(~x)n′ · ~JL(~x)

donde ~JL es la densidad de corriente libre en la interfaz. Por el teorema de Stokes∮Γ

d~x · ~H(~x) =∫∫

S(Γ)dS(~x)n′ · ~JL(~x)

Si el ancho h del circuito tiende a cero, se obtiene

l(~H2− ~H1

)·(n′× n

)= ln′ · ~JS(~x)

donde ~JS = h~JL es la densidad de corriente en la interfaz [A/m]. Finalmente(~H2− ~H1

)·(n′× n

)= n′ · ~JS(~x)

Lo que equivale a

n×(~H2− ~H1

)= ~JS (9.7)

Así, ante la ausencia de una densidad de corriente libre en la interfaz, la componente tangencialdel campo excitación magnética ~H es continua en la interfaz.

Ejemplo 9.2 — Campo de una esfera magnetizada. Considere una esfera ferromagnéticade radio a, la cual tiene una magnetización constante ~M0 en la dirección z en su interior en laausencia de campo magnético externo. Calcule ~B y ~H dentro y fuera de la esfera


SoluciónDado que no hay corrientes libres, el campo magnético satisface en todo punto:

~∇ ·~B(~x) = 0

~∇×~B(~x) = 0

de esta forma, el campo magnético es irrotacional y puede ser escrito como el gradiente de unpotencial escalar

~B(~x) =−~∇φ(~x)

el cual satisface la ecuación de Laplace:

~∇2φ(~x) = 0

Dada la simetría azimutal del problema, es claro que la solución puede ser escrita como unaexpansión de polinomios de Legendre (ver 10.12.1). Para r > a

φext(r,ϑ) =∞

∑l=0

Al

rl+1 Pl(cosϑ)

Notar que se ha impuesto que el potencial φ sea finito, limr→∞ φ(r,ϑ) = 0. Además, siendo laesfera un material lineal, homogéneo e isotrópico, el campo magnético al interior de la esfera esde la forma:

~B(~x) = B0k

y el campo excitación magnética ~H(~x) cumple:

~H(~x) =(

B0

µ0−M0

)k

El potencial escalar para r < a es entonces


φint(~x) =−B0z =−B0r cosϑ

La componente normal del campo magnético es continua en r = a, esto es:

−~∇φint(~x) · r∣∣∣r=a

=−~∇φext(~x) · r∣∣∣r=a

B0 cosϑ =∞

∑l=0

(l +1)Al

al+2 Pl(cosϑ)

Además, la componente tangencial del campo ~H(~x) es continua en r = a (no hay corrienteslibres en la superficie de la esfera)(

1µ0

~B(~x)− ~M(~x))· ϑ∣∣∣r=a

=1µ0

~Bext(~x) · ϑ∣∣∣r=a(

1µ0

B0−M0

)z · ϑ

∣∣∣r=a

=− 1µ0

~∇φext(~x) · ϑ∣∣∣r=a

−(

1µ0

B0−M0

)sinϑ =− 1

µ0

∞

∑l=0

Al

al+2dPl(cosϑ)

dϑ

En conclusión, las condiciones de borde entregan

B0 cosϑ =∞

∑l=0

(l +1)Al

al+2 Pl(cosϑ)

−(

1µ0

B0−M0

)sinϑ =− 1

µ0

∞

∑l=0

Al

al+2dPl(cosϑ)

dϑ

De la primera condición se obtiene Al = 0,∀l 6= 1, y

B0 =2A1

a3

y la segunda condición queda

−(

1µ0

B0−M0

)sinϑ =

1µ0

A1

a3 sinϑ

Luego

A1 =a3

2B0 = a3

µ0

(M0−

1µ0

B0

)Resolviendo

B0 =23

µ0M0

de forma que:

A1 =a3µ0

3M0


H0 =1µ0

B0−M0 =−M0

3

Finalmente, para r < a

~B(~x) =23

µ0M0k

~H0(~x) =−M0

3k

Notar entonces que la excitación magnética tiende a desmagnetizar la esfera. Se tiene unapermeabilidad efectiva µ = (1+χm)µ0 = (1−3)µ0 =−2µ0.

Para r > a, el potencial escalar está dado por

φext(r,ϑ) =a3µ0M0

3r2 cosϑ

Los campos para r > a están dados por

~B(~x) =−~∇φext(~x)

~H(~x) =1µ0

~B(~x)

Calculando explícitamente

~B(~x) =−a3µ0M0

3

(−2r3 cosϑ r− sinϑ

r3 ϑ

)Considerando que ~m = 4/3πa3M0z es el momento magnético total de la esfera, se tiene parar > a:

~B(~x) =µ0m4πr3 (2cosϑ r+ sinϑϑ)

finalmente, como z =−sinϑϑ + cosϑ r, tenemos:

~B(~x) =µ0m4πr3 (2cosϑ r+ cosϑ r− z)

~B(~x) =µ0

4πr3 (3(m · r)r− m) r > a

que corresponde al campo magnético generado por un momento magnético ~m. El campomagnético (a la izquierda) y ~H(a la derecha) se ilustran en la siguiente figura


Ejemplo 9.3 — Blindaje magnético. Considere una región del espacio en donde inicial-mente se tiene un campo magnetico uniforme dado por ~B(~x) = B0k. Enseguida, se coloca unacáscara esférica (radio interior a y exterior b) de permeabilidad magnética µ . Encuentre elpotencial magnético escalar en todo el espacio. Qué sucede en el límite cuando µ → ∞?

SoluciónDistinguimos 3 regiones del espacio dadas por r < a (región encerrada por la esfera), a < r < b(interior a la cáscara esférica), y r > b (exterior). En todo punto del espacio el campo magnéticosatisface:

~∇ ·~B(~x) = 0

~∇×~B(~x) = 0

de forma que el campo magnético es irrotacional y este problema puede ser resuelto mediante uncampo magnético escalar

~B(~x) =−~∇φ(~x)

que satisface la ecuación de Laplace. Dada la simetría azimutal, se tiene para r > b

φ3(r,ϑ) =−B0r cosϑ +∞

∑l=0

Al

rl+1 Pl(cosϑ)

Notar que esto concuerda con la condición para el potencial en el infinito, pues para r suficiente-mente grande

φ3 ≈−B0r cosϑ =−B0z

Para a < r < b la solución puede tomar la forma más general


φ2(r,ϑ) =∞

∑l=0

(Blrl +Cl

1rl+1

)Pl(cosϑ)

mientras que para r < a, la condición de que el potencial sea finito se traduce en

φ1(r,ϑ) =∞

∑l=0

DlrlPl(cosϑ)

Se deben imponer las condiciones de borde para los campos. La componente normal del campomagnético es continua en r = a y r = b, esto es

∂φ1(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a

=φ2(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a

∂φ2(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=b

=φ3(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=b

La segunda condición implica

−B0 cosϑ −∞

∑l=0

(l +1)Al

bl+2 Pl(cosϑ) =∞

∑l=0

(lBlal−1− (l +1)Cl

bl+2

)Pl(cosϑ)

−B0 cosϑ =∞

∑l=0

(lBlal−1 +

(l +1)(Al−Cl)

bl+2

)Pl(cosϑ)

De aquí se obtiene que los coeficientes para l 6= 1 son nulos. Además

−B0 = B1 +2(A1−C1)

b3

La primera condición entrega además

D1 = B1−2C1

a3

• y Dl = 0,∀l 6= 1

Con esto, el potencial toma la forma

φ1(r,ϑ) = D1 cosϑr

φ2(r,ϑ) =

(B1r+C1

1r2

)cosϑ

φ3(r,ϑ) =

(−B0r+

A1

r2

)cosϑ

Imponiendo las dos condiciones de borde ya mencionadas

φ1(r,ϑ) =

(−B0 +

2(C1−A1)

b3 − 2C1

a3

)cosϑr


φ2(r,ϑ) =

(−B0r+ r

2(C1−A1)

b3 +C11r2

)cosϑ

φ3(r,ϑ) =

(−B0r+

A1

r2

)cosϑ

Además, la componente tangencial de ~H es continua en r = a y r = b, esto significa

1µ0

∂φ1(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=a

=1µ

∂φ2(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=a

y1µ

∂φ2(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=b

=1µ0

∂φ3(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=b

La primera de ellas equivale a

1µ0

(2C1

a2 +aB0 +2a(A1−C1)

b3

)=

1µ

(aB0 +

2a(A1−C1)

b3 −C1

a2

)

y la segunda

1µ

(B0b+

(2A1−3C1)

b2

)=

1µ0

(B0b− A1

b2

)

De esta última es posible resolver para A1 en términos de C1

A1 =B0b3(µ−µ0)

2µ0 +µ+

(3µ0

2µ0 +µ

)C1

Se obtiene

C1 =3a3b3B0µ(µ0−µ)

b3(2µ0 +µ)(2µ +µ0)−2a3(µ0−µ)2

A1 =B0(b3−a3)(µ−µ0)(2µ +µ0)

(2µ0 +µ)(2µ +µ0)−2a3/b3(µ0−µ)2

Finalmente

φ1(r,ϑ) =

(−B0 +

2(C1−A1)

b3 − 2C1

a3

)cosϑr

φ2(r,ϑ) =

(−B0r+ r

2(C1−A1)

b3 +C11r2

)cosϑ

φ3(r,ϑ) =

(−B0r+

A1

r2

)cosϑ


Notar que φ1 (potencial interior) representa un campo magnético uniforme en la dirección k.Un caso interesante ocurre en el límite µ µ0, es decir, cuando la cavidad esférica posee unaalta permeabilidad magnética. Por ejemplo, un mu-metal, un aliaje que contiene principalmenteNi,Fe,Cu, y Cr, posee una permeabilidad magnética que puede alcanzar µ/µ0 = 105!. En estecaso es fácil ver que

A1 ≈B0(b3−a3)2µ2

2µ2−2a3/b3µ2 = B0b3

C1 ≈−3a3b3B0µ2

2µ2b3−2a3µ2 =− 3B0a3b3

2(b3−a3)

Así

φ1(r,ϑ) = 0

φ2(r,ϑ) =

(−B0r−B0rb3 2b3 +a3

2(b3−a3)− 3B0a3b3

2(b3−a3)r2

)cosϑ

φ3(r,ϑ) =

(−B0r+

B0b3

r2

)cosϑ

El campo magnético es entonces nulo dentro de la cavidad. Esto es un blindaje magnético (equiv-alente a una jaula de Faraday para el campo eléctrico). Un material con una gran permeabilidadmagnética posee la importante propiedad de concentrar las líneas de campo en su interior, comose ilustra a continuación

Ejemplo 9.4 — Campo en la prescencia de una esfera superconductora. Bajo ciertascondiciones un superconductor expulsa completamente de su interior al campo magnético(efecto Meissner). Considere una esfera superconductora de radio a que se coloca en un campomagnético uniforme ~B0a) Demuestre que el campo magnético en la superficie del superconductor es tangencial.b) Calcule el potencial magnético escalar para r > a, con ~B =−~∇φ .c) Demuestre que

~B = ~B0 +µ0

4π

3~m ·~r

r5 ~r− ~mr3

donde

~m =−2πa3

µ0B0


Solucióna) La componente normal del campo magnético es continua al atravesar una superficie. En estecaso, se tiene

~Bint(~x) · r∣∣∣r=a

= ~Bext(~x) · r∣∣∣r=a

dado que el campo al interior de la esfera es idénticamente nulo, se tiene

~Bext(~x) · r∣∣∣r=a

= 0

de forma que el campo magnético es tangencial a la superficie del conductor

b) Dado que para r > a se tiene ~J(~x) = 0, el campo magnético es irrotacional y entonces existeun potencial magnético escalar

~B(~x) =−~∇φ(~x)

que satisface la ecuación de Laplace. Dada la simetría azimutal, en coordenadas esféricas lasolución está dada por

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

(Alrl +Blr−(l+1)

)Pl(cosϑ)

Para r suficientemente grande, se debe tener

φ(r,ϑ)≈−B0z =−B0r cosϑ

de aquí se deduce A1 =−B0 y Al = 0,∀l 6= 1

φ(r,ϑ) =−B0r cosϑ +∞

∑l=0

Blr−(l+1)Pl(cosϑ)

Se debe cumplir además

~B(~x) · r∣∣∣r=a

=−~∇φ(r,ϑ) · r∣∣∣r=a

=−∂φ(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a

= 0

−B0 cosϑ −∞

∑l=0

(l +1)a−(l+2)BlPl(cosϑ) = 0

De aquí se obtiene Bl = 0,∀l 6= 1, y


−B0 cosϑ =2a3 B1 cosϑ → B1 =−

a3B0

2Finalmente el potencial escalar está dado por

φ(r,ϑ) =−B0r cosϑ − B0a3

2r2 cosϑ r > a

c) Se tiene~B(~x) =−~∇φ(~x) =−∂φ(r,ϑ)

∂ rr− 1

r∂φ(r,ϑ)

∂ϑϑ

Luego, para r > a

~B(r,ϑ) =

(B0 cosϑ − B0a3

r3 cosϑ

)r−(

1r

B0r sinϑ +B0a3

2r3 sinϑ

)ϑ

~B(r,ϑ) = B0(cosϑ r− sinϑϑ

)− B0a3

r3 cosϑ r− B0a3

2r3 sinϑϑ

Notar que cosϑ r− sinϑϑ = k, luego

~B(r,ϑ) = B0k− B0a3

r3 cosϑ r− B0a3

2r3 sinϑϑ

~B(r,ϑ) = ~B0−3B0a3

2r3 cosϑ r+B0a3

2r3

(cosϑ r− sinϑϑ

)+

B0a3

2r3 sinϑϑ − B0a3

2r3 sinϑϑ

~B(r,ϑ) = ~B0−3B0a3

2r3 cosϑ r+B0a3

2r3 k

Definiendo

~m =−2πa3

µ0B0k

se tiene~B(r,ϑ) = ~B0 +

µ0

4π

3mcosϑ

r3 r− µ0

4π

mr3 k

Finalmente

~B(r,ϑ) = ~B0 +µ0

4π

3~m ·~r

r5 ~r− ~mr3


vemos entonces que para r > a, la esfera superconductora equivale a una magnetización ~m =−2πa3/µ0~B0 que se opone al campo magnético externo ~B0. El campo magnético total se muestraen la siguiente figura:


9.8 Resumen y fórmulas escenciales• Un material magnético está caracterizado por el vector magnetización ~M, que representa

la magnetizacion media por unidad de volumen.

• Un medio magnético Ω puede ser visto como un volumen que posee una corriente esta-cionaria y localizada, compuesta por una densidad de corriente ~Jv en su interior y ~Js en sufrontera ∂Ω.

~Jv(~x) = ~∇× ~M(~x) ~x ∈Ω ~Js(~x) = ~M(~x)× n(~x) ~x ∈ ∂Ω

(9.8)

donde n es la normal a ∂Ω.

• La ley de Ampère en un medio material se escribe:∮Γ~H ·d~l = Ilibre ⇔ ~∇× ~H = ~JL

donde ~H es el vector excitación magnética, definido como

~H =~Bµ0− ~M

• En un medio paramagnético o diamagnético homogéneo e isotrópico, la magnetización esproporcional a ~H, es decir ~M = χm~B, con χm < 0 para un medio diamagnético, y χm > 0en un medio paramagnético. En un medio ferromagnético, en cambio, la susceptibilidadmagnética χm(~H) está dada por una relación no monovalente de ~H que depende de lahistoria (histéresis).

• El vector desplazamiento se puede escribir:

~H = µ~B

donde µ = µ0(1+ χm) es la permeabilidad del medio. Todo ocurre como en el vacío, acondición de renormalizar la permeabilidad, la cual puede ser inferior o superior a µ0. Lasecuaciones fundamentales de la electrostática en la materia se escriben entonces:

~∇×~B = µ~JL ~∇ ·~B =~0

donde ~JL representa la densidad de corriente libre.

Documents

9 — Magnetismo en la materiafabiancadiz.com/images/09Electro.pdf · 342 Magnetismo en la materia 9.1Paramagnetismo, Diamagnetismo, Ferromagnetismo En electrostática hemos visto