9. Reduccion de Angulos Al i Cuadrante

SEMANA

9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional

“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III

OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS

Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA

Permaneceigual

Depende del cuadrante

cambia


Consiste en comparar el valor de lasrazones trigonométricas de un ángulo decualquier magnitud con respecto al valor dela razón trigonométrica de un ángulo delprimer cuadrante (agudo). Para poderentender mejor daremos las siguientesobservaciones :I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS NEGATIVOS

COMPROBACION

1.

senrb

rb)(sen

2. cosra)cos(

3.

tgab)(tg

OBSERVACIONEl signo negativo de la Medida Angular es colocado

adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en

las cuales el signo de la medida angular puede

obviarse.

Ejemplo:Calcular: E = tg(sen20°) + tg(sen340°)

Solución:

1. Primero reducimos:

sen340º = sen(360° - 20°) = -sen20°

2. Reemplazando:

E = tg(sen20°) + tg(-sen20°)

E = tg(sen20°) – tg(sen20°) E = 0

II. COFUNCIÓN Ó CO-RAZÓNSen Cos Tg Ctg Sec Csc

R.T.

º360º180 = R.T. ()

Ejemplo :

Tg 300° (300º IV)

Tg 300° = Tg (360° - 60°) = -Tg 60° = - 3

(en el IVC la Tg es -)

Tg 300° = - 3

R.T.

º270º90 = Co. R.T. ()

Ejemplo : Sen 120° (120° IIC)

Sen120º = Sen(90° + 30°) = +Cos 30° =23

(en el IIC el Sen es +)

Sen 120° =23

III.PARA ANGULOS MAYORES QUE 90°Para este caso la medida angular que es mayor a unavuelta () será dividida entre 360°; tomando el resto() de dicha operación como medida angularresultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:

BASES TEORICAS

sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

cot(-) = -cot

sec(-) = sec

csc(-) = -csc

x

y

(-a; b)

180º -

a

br

IVC–

Cambia por su co - razón

α

SEMANA





Permaneceigual


cambia



ÁNGULOS NEGATIVOS

COMPROBACION

1.

senrb

rb)(sen

2. cosra)cos(

3.

tgab)(tg




obviarse.


Solución:


sen340º = sen(360° - 20°) = -sen20°

2. Reemplazando:

E = tg(sen20°) + tg(-sen20°)

E = tg(sen20°) – tg(sen20°) E = 0


R.T.

º360º180 = R.T. ()

Ejemplo :

Tg 300° (300º IV)

Tg 300° = Tg (360° - 60°) = -Tg 60° = - 3


Tg 300° = - 3

R.T.

º270º90 = Co. R.T. ()


Sen120º = Sen(90° + 30°) = +Cos 30° =23


Sen 120° =23


BASES TEORICAS

sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

cot(-) = -cot

sec(-) = sec

csc(-) = -csc

x

y

(-a; b)

180º -

a

br

IVC–


α

SEMANA





Permaneceigual


cambia



ÁNGULOS NEGATIVOS

COMPROBACION

1.

senrb

rb)(sen

2. cosra)cos(

3.

tgab)(tg




obviarse.


Solución:


sen340º = sen(360° - 20°) = -sen20°

2. Reemplazando:

E = tg(sen20°) + tg(-sen20°)

E = tg(sen20°) – tg(sen20°) E = 0


R.T.

º360º180 = R.T. ()

Ejemplo :

Tg 300° (300º IV)

Tg 300° = Tg (360° - 60°) = -Tg 60° = - 3


Tg 300° = - 3

R.T.

º270º90 = Co. R.T. ()


Sen120º = Sen(90° + 30°) = +Cos 30° =23


Sen 120° =23


BASES TEORICAS

sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

cot(-) = -cot

sec(-) = sec

csc(-) = -csc

x

y

(-a; b)

180º -

a

br

IVC–


α

SEMANA





360° = 360° . n + R.T. = R.T. n

También podríamos decir que el número entero (n)de vueltas (360°) se elimina

Ejemplo 1: Reducir al I cuadrante1223°

1. Realizamos la operación mencionada.1223° 360° 1223° = 360° . 3 + 143°1080° 3

143°

2. tg1223° = tg143°

3. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.


tg143º = tg(180° - 37°) = - tg37° = -43

43º1223tg

Ejemplo 2:Calcular: E = 8sen150° + sec240° + 3cot315°

Solución:Para este tipo de medidas se sugiere

relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego

continuar con los pasos del ejemplo anterior.

E = 8sen(180°-30°) + sec(180°+60°) + 3cot(360° - 45°)

E = 8 [+sen30°] + [-sec60°] + 3[-cot45°]

E = 8 .21 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1

EJERCICIOS DE APLICACION

1. Calcular:E = csc750° + sec1380°

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Calcular:E = tg855° + csc1230°

a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3

3. Reducir:E = tg(5 + x) + tg(8 + x)

a) 0 b) tgx c) cotx d) 2tgx e) 2cotx

4. Reducir:E = cos(17 + x) + cos(24 + x)

a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx

5. Reducir:

x

235senx

229senE

a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx6. Reducir:

x

271cotx

253cotE

a) 0 b) 2tgx c) 2cotx d) -2tgx e) -2cotx

7. Calcular:4

123cos

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)23

8. Calcular:4

2003tg

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)22

9. Si:2

13yx

Calcular:

ycscxsec

ycottgx

ycossenxE

a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 1/3

10. Si:2

23yx

Calcular: E = tg(senx + cosy)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy

11. Reducir al segundo cuadrante “tg2235°”a) –tg135° b) –tg105° c) –tg100°d) –tg120° e) –tg143°

12. Reducir al tercer cuadrante: sen4360°a) –sen200° b) –sen210° c) –sen220°d) –sen230° e) –sen240°

IIC–

IVC–6IIIC

–6IIC

+6

SEMANA





360° = 360° . n + R.T. = R.T. n




143°

2. tg1223° = tg143°



tg143º = tg(180° - 37°) = - tg37° = -43

43º1223tg





E = 8sen(180°-30°) + sec(180°+60°) + 3cot(360° - 45°)

E = 8 [+sen30°] + [-sec60°] + 3[-cot45°]

E = 8 .21 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3

3. Reducir:E = tg(5 + x) + tg(8 + x)




5. Reducir:

x

235senx

229senE


x

271cotx

253cotE


7. Calcular:4

123cos

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)23

8. Calcular:4

2003tg

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)22

9. Si:2

13yx

Calcular:

ycscxsec

ycottgx

ycossenxE

a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 1/3

10. Si:2

23yx




IIC–

IVC–6IIIC

–6IIC

+6

SEMANA





360° = 360° . n + R.T. = R.T. n




143°

2. tg1223° = tg143°



tg143º = tg(180° - 37°) = - tg37° = -43

43º1223tg





E = 8sen(180°-30°) + sec(180°+60°) + 3cot(360° - 45°)

E = 8 [+sen30°] + [-sec60°] + 3[-cot45°]

E = 8 .21 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3

3. Reducir:E = tg(5 + x) + tg(8 + x)




5. Reducir:

x

235senx

229senE


x

271cotx

253cotE


7. Calcular:4

123cos

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)23

8. Calcular:4

2003tg

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)22

9. Si:2

13yx

Calcular:

ycscxsec

ycottgx

ycossenxE

a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 1/3

10. Si:2

23yx




IIC–

IVC–6IIIC

–6IIC

+6

SEMANA





13. Calcular:

osmintér6

1n21n21n2 ...73cos

72cos

7cosM

Si: n Z+

a) 0 b) 1 c) -1 d)7

cos6 e)7

cos6

14. Calcular:

6

)1(2

)3n4(senE n

n Z

a)21 b)

23 c)

21

d)23

e)22

15. Calcular:

3

352

)1k2(tgE

a)33 b) 3 c)

33

d) 3 e)212

16. Calcular:º1920secº840tg3E

a) -1 b) -3 c) -5 d) 3 e) 5

17. Calcular:E = cos(53 + ) + cos(48 + )

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cos e) -2cos

18. Reducir:

x

243tgx

237tgE

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) -2cotx

19. Reducir:

x

2)1k4(senE

a) cosx b) –cosx c) senx d) –senx e) 1

20. Reducir:

x

2)3k12(cscE

a) secx b) cscx c) –secx d) –cscx e) 1

21. Calcular:

4321tg.

4543senE

a)22 b)

22

c) 1 d) -1 e)23

22. Si:2

59yx

Calcular: senx . secya) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

23. Si: 2x + 3y = 23Calcular: tg(x + y) cot(x + 2y)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

24. Si: x + y = 2Calcular: E = tg(senx) + tg(seny)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy

25. Si: x + y = Calcular: E = cot(tgx) + cot(tgy)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) 2coty

26. En un triángulo ABC calcular:

C3tg)B3A3(tg

)BA(sen)C3B2A2(senE

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2


)CB(tg.tgB)CA(tg.)BA(tg.tgA

E

a) –tgA b) –tgB c) –tgC d) tgA e) tgB

28. Calcular:

87cos

85cos

83cos

8cosE 3333

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

29. Si:2

35y5x3

Calcular:

)y2x(tg.)y3x2(tg)y4x2sec()yx(sen

E

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

30. Calcular:

43cosE 2003

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)23

SEMANA





13. Calcular:

osmintér6

1n21n21n2 ...73cos

72cos

7cosM

Si: n Z+

a) 0 b) 1 c) -1 d)7

cos6 e)7

cos6

14. Calcular:

6

)1(2

)3n4(senE n

n Z

a)21 b)

23 c)

21

d)23

e)22

15. Calcular:

3

352

)1k2(tgE

a)33 b) 3 c)

33

d) 3 e)212


a) -1 b) -3 c) -5 d) 3 e) 5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cos e) -2cos

18. Reducir:

x

243tgx

237tgE

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) -2cotx

19. Reducir:

x

2)1k4(senE


20. Reducir:

x

2)3k12(cscE


21. Calcular:

4321tg.

4543senE

a)22 b)

22

c) 1 d) -1 e)23

22. Si:2

59yx






C3tg)B3A3(tg

)BA(sen)C3B2A2(senE

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2



E


28. Calcular:

87cos

85cos

83cos

8cosE 3333

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

29. Si:2

35y5x3

Calcular:


E

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

30. Calcular:

43cosE 2003

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)23

SEMANA





13. Calcular:

osmintér6

1n21n21n2 ...73cos

72cos

7cosM

Si: n Z+

a) 0 b) 1 c) -1 d)7

cos6 e)7

cos6

14. Calcular:

6

)1(2

)3n4(senE n

n Z

a)21 b)

23 c)

21

d)23

e)22

15. Calcular:

3

352

)1k2(tgE

a)33 b) 3 c)

33

d) 3 e)212


a) -1 b) -3 c) -5 d) 3 e) 5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cos e) -2cos

18. Reducir:

x

243tgx

237tgE

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) -2cotx

19. Reducir:

x

2)1k4(senE


20. Reducir:

x

2)3k12(cscE


21. Calcular:

4321tg.

4543senE

a)22 b)

22

c) 1 d) -1 e)23

22. Si:2

59yx






C3tg)B3A3(tg

)BA(sen)C3B2A2(senE

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2



E


28. Calcular:

87cos

85cos

83cos

8cosE 3333

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

29. Si:2

35y5x3

Calcular:


E

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

30. Calcular:

43cosE 2003

a) 1 b) -1 c)22 d)

22

e)23

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