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NGULO VERTICAL
Un ngulo se llamar vertical cuando est contenido en un plano
vertical. Los ngulos verticales se clasifican en:
ngulo de elevacin
Es ngulo vertical que est formado por la lnea horizontal y la
lnea de mira visual si el objeto est situado arriba del punto de
observacin.
ngulo de depresin
Es un ngulo que est formado por la lnea horizontal y la lnea de
mira visual si el objeto est situado debajo del punto de
observacin
ngulo de elevacin
ngulo de depresin
Tanto los ngulos de elevacin como los de depresin sern tratados
como se hace en geometra, es decir sus medidas tienen valores
positivos y estn comprendidos en el siguiente intervalo
0 ( ( ( 90
Se define la visual de un objeto como la distancia que existe
desde el observador hasta el objeto visible
Ejercicios1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una
torre con un ngulo de elevacin de 37 nos acercamos una cierta
distancia y el ngulo de elevacin es ahora de 45. Si la altura de la
torre es de 24m. Cul fu la distancia que nos acercamos?
a)6mb)4c)12d)8e)16
2. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con
un ngulo de elevacin de 45, y lo alto de la antena que se encuentra
al borde del edificio con un ngulo de elevacin de 53. Si la antena
mide 6m. Cul es la altura del edificio?
a)18b)24c)32d)36e)42
3. Una nia de estatura 1m, observa lo alto de una torre de
altura 3m con un ngulo de elevacin "a" y hacia el lado opuesto otra
torre de altura 6m con un ngulo de elevacin "90 - a". Si desde lo
alto de la torre mayor se v lo alto de la torre menor con un ngulo
de depresin "a", calcular "ctga"
a) 2
b)
c)
d)
e)
4. Una persona observa la parte ms alta de un faro con una
elevacin angular "q". Si camina "d" metros hacia el faro, observara
al punto anterior con una elevacin "2q" y a otro punto que est "x"
metros ms abajo que el primero con un ngulo de elevacin "q". Hallar
"x".
a)dtgq
b)dcosq
c)dsenq
d)d/2 cscq
e)dctg2q
5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un
ngulo de elevacin "a". Nos acercamos una distancia igual a la
altura del poste y el ngulo de elevacin es ahora el complemento de
"a".
Hallar: M = ctga - tga
a)1b)2c)1/2d)4e)
6. Desde lo alto de un edificio de altura "H" se divisa lo alto
de un poste, con un ngulo de depresin "q"; y desde la base del
poste se ve lo alto del edificio con un ngulo de elevacin "90 - q".
Si la altura del poste es "h"; hallar: "h/H".
a)tg2qb)tgq
c)1 - tg2q
d)1 tgqe)1 + ctg2q
7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un
ngulo de elevacin "q". Nos acercamos una distancia igual a la
altura de la torre y el ngulo de elevacin es ahora 37. Calcular:
"ctgq"
a)5/3b)4/3 c)7/3 d)3 e)2
8. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio y
de la antena que se encuentra en su parte mas alta; con angulos de
elevacin de 45 y 53 respectivamente. Si la longitud de la altura es
de 6m. Cual es la altura del edificio?.
a)10b)12c)18 d)24e)36
9. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una estatua con
un ngulo de elevacin 2q y lo alto del pedestal que la sostiene con
un ngulode elevacin "q". Si la visual mayor mide m, hallar la
longitud de la estatua.
a)msenqb)mcosq
c)mtgqd)mctgq e) mcscq10. Desde un punto en tierra se v lo alto
de un edificio con un ngulo de elevacin "a". Si el edificio mide:
"h". A que distancia de la base del edificio se halla el
observador?.
a)htga
b)hctga
c)hseca
d)hcsca
e)2h
11. "Mafe" est ubicada entre un poste y un edificio, observando
sus partes ms altas con ngulos de elevacin complementarios; siendo
el ngulo para el poste igual a "a". Si desde lo alto del edificio
se divisa lo alto del poste con un ngulo de depresin "a", calcular:
"ctga". Si adems se sabe que las alturas de "MAFE", el poste y el
edificio estn en la relacin de 1; 3; 6.
a)
b)
c)
d)
e)312. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un
edificio con un ngulo de elevacin de 37. Nos acercamos una
distancia "x" y el ngulo de elevacin tiene por tangente 4. Si la
altura del edificio es "h";
hallar: "x/h".
a)b)
c)
d)e)1
13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con
un ngulo de elevacin "q"; nos acercamos a la torre una distancia
"m" y el ngulo de elevacin es ahora "2q"; y si nos acercamos una
distancia "n" el ngulo de elevacin es "4q".
Hallar: "m/n".
a)cosqb)2cosq
c) cos2qd)2cos2qe)2cos4q
14. Desde lo alto de cada piso de un edificio de "n" pisos, se
observa un objeto con ciertos ngulos de depresin; tales que la
media aritmtica de sus tangentes es igual a seis veces la tangente
del ngulo de depresin correspondiente al 6to piso. Calcular:
"n".
a)7b)18 c)19 d)36 e)35
15. Un observador en tierra divisa lo alto de una torre con un
ngulo de elevacin "q". De esa ubicacin sube un camino inclinado un
ngulo "q" respecto a la horizontal alejndose de la torre, hasta
alcanzar una altura "h" respecto al suelo; de donde divisa lo alto
de la torre con un ngulo de elevacin "a". Si la altura de la torre
es "5h"; calcular:
J = tgq ctga + tga ctgq
a)13/7
b)13/6c)15/4
d)25/12
e)11/516. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un
edificio con un ngulo "a" y desde otro punto el ngulo de elevacin
es "b" (a < b). Si desde el punto medio de la distancia que hay
entre los dos primeros puntos de observacin el ngulo de elevacin es
"q"; calcular:
M = (ctga + ctgb) tgq
a)1b)2c)3d)4e)6
17. Desde un punto en tierra ubicada a 200m del inicio de un
camino inclinado un ngulo "q" respecto a la horizontal; se ve su
parte ms alta con un ngulo de elevacin "a". Calcular la altura
mxima del camino inclinado;
si: ctga = 7 y ctgq = 3.
a)20
b)30c)40d)50e)80
18. Subiendo por una colina inclinada un ngulo de 37, respecto a
la horizontal, se observa en su parte ms alta una torre con un
ngulo de elevacin de 45, a una distancia de su base de 20m. Cul es
la altura de la torre?.
a)1
b)2
c)3d)4e)5
19. Una nia de estatura "h" observa lo alto de un poste, notando
que su visual tiene una pendiente del 20%. Si la altura del poste
es "H", calcular "h/H", para que al alejarse la nia un distancia
igual a la altura del poste, su visual hacia lo alto del mismo,
tenga una pendiente del 8%.
a)13/14
b)13/15
c)7/9
d)12/13
e)4/1120. Se tienen 3 postes de altura 2; 5 y 1; ubicados en un
mismo plano vertical en el orden que se dan sus medidas. Desde lo
alto del mayor se ve al intermedio y al menor con ngulos de
depresin "a" y "90-a" respectivamente. Si desde lo alto del menor
se ve lo alto del intermedio con un ngulo de elevacin "b", calcular
el mnimo valor de "ctgb".
a)3
b)2
c)3
d)4
e)521. Descendiendo por una colina, se divisa un objeto, fuera
de ella, con ngulo de depresin "a". A la mitad del descenso el
ngulo de depresin para el objeto es "b". Si la inclinacin de la
colina respecto a la horizontal es "q",
calcular:
a)1b)2 c)-1 d)-2 e)622. Un avin viaja en direccin paralela a la
horizontal que une dos ciudades A y B. Cuando est entre ellas, las
divisa con ngulos de depresin complementarios, siendo uno de ellos
"a" y cuando est sobre "B" es visto desde "A" con un ngulo de
elevacin "b". Si se sabe que "b" es maximo, calcular:
a)3b)6c)7d)9e)1023. Un joven observa los ojos de una seorita con
un ngulo de elevacin "a". Se acerca una distancia igual al doble de
la diferencia de sus estaturas y el ngulo de elevacin es el
complemento de "a". Calcular: M = ctga + tga
a)
b) 2
c)3
d) 4
e) 224. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ngulo de elevacin "a". Nos acercamos una distancia igual a
la altura del poste y el ngulo de elevacin es ahora el complemento
de "a".
Hallar: M = ctga + tga
a)1b)
c)1/2d)4e)
ngulos en posicin normal y reduccin al primer cuadrante
Objetivo:
Reconocer un sistema de coordenadas rectangulares e identificar
las razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida;
asimismo determinar las propiedades de los ngulos coterminales y
ngulos cuadrantales
I. NGULO EN POSICIN NORMAL
Es aquel ngulo trigonomtrico cuyo lado inicia coincide con el
semieje positivo de las absisas y su vrtice con el origen de
coordenadas, mientras que su lado final puede estar en cualquier
parte del plano
II. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO EN POSICIN NORMAL
Para conocer las R.T. basta conocer un punto de su lado
final
X : abscisa
Y : Ordenada
r : radio vaco
r2 = x2 + y2 ; r > 0
Sen (= y/r
Cot (= x/y
Cos (= x/r
Sec (= r/x
Tg (= y/x
Csc ( = r/yIII. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS
Signos de las R.T.
IIC
Todas (+)
IC
IIIC
IVC
IV. REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
IC:(IIC:180 - (IIIC:( - 180
IV:360 - (Valores que toman las R.T.
V. R.T. DE NGULOS CUADRANTALES
A.C.
F.T.0 y 36090180270
Sen010-1
Cos10-10
Tan0(0(
Cot(0(0
Sec1(-1(
Cosec(1(-1
( : No existe = no determinado
VI. R.T. DE NGULOS NEGATIVOS
Sen(-() = - Sen (Cos(-() = cos (Tan(-() = -Tan (Cot(-() =
-Cot(Sec(-() = Sec(Cosec(-() = -Cosec(VII. NGULOS COTERMINALES
Se llaman as a dos o ms ngulos en posicin normal, cuyos lados
finales coinciden entre si
Propiedades
Si: ( y ( son las medidas de 2 ngulos coterminales entonces:
( - ( = 360 (n), n ( Z
R.T (() = R.T (()
Ejercicios1. Dado el grfico, calcular:
M = 25 Sen (. Cos (
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 16
2. Siendo: P(,-2) un punto del lado final del ngulo ( en posicin
normal, calcula el valor de
S = Cosc ( - Tg (a) 1/2
b) 1/2
c) 7/2
d) 7/2
e) 5
3. Del grfico:
Calcular: Tg ( + Ctg (a) 5/2
b) 5/2
c) 3/2
d) 3/4
e) 2
4. Siendo: P(-3, -1) un punto del lado final de ( en posicin
normal, evala:
K= Ctg ( + Csc2( - 3 Tg (a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
5. Sabiendo que:
2 Sen ( =
adems, ( ( II cuadrante
hallar: Tg (a) - /3 b)
c) 1 d) 1 e) 2
6. Dos ngulos coterminales estn en relacin de 2 a 7 la
diferencia de ellos es mayor que 1200 pero menor que 1500. Hallar
dichos ngulos.
a) 720 y 576
b) 2016 y 216
c) 1080 y 576
d) 2016 y 576
e) 720 y 576
7. Si: Sen ( > 0 (Cos ( > 0
En qu cuadrante est (?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) Es cuadrantal
8. Calcular el signo de:
E=
a) +
b) -
c) +
d) + y -
e) No tiene signo
9. Calcular el signo:
E=
Si: ( ( III c ( ( ( IV C
a) +
b) -
c) +
d) +
e) Absurdo
10. Sabiendo que:
M=
N=
Sus respectivos signos son:
a) +; -
b) +; +
c) - ; +
d) - ; -
e) N.A
11. Hallar el valor numrico
M=
a) 3/7
b) 4/7
c) 5/7
d) 6/7
e) 1/7
12. Calcular:
M=
a) 2/5
b) 5/2
c) 2/5
d) 5/2
e) 5
13. Calcular el valor de:
E=
a) 1
b) 1/4
c) 2
d) 1
e) 3
14. Simplificar:
R=
a) 1
b) 1
c) 0
d) 2
e) 3
15. Cuantos ngulos cuadrantes hay en el intervalo de 1020 a
2150
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
16. Calcular: CTg ( + 7 Ctg (
a) 2
b) 3/2
c) 4
d) 7/4
e) 4/7
17. Del grfico mostrado calcular, E = 5Tg( +Cos(Si, ABCD es un
paralelogramo
a) 9
b) 9
c) 10
d) 10
e) 0
18. Dada la figura mostrada
Calcule:
E=
a) 1
b) 2
c)
d) -
e) 2
19. Se tienen 2 ngulos coterminales cuyo cociente es igual a 1/7
y que la suma de estos no es mayor de 500 ni menor de 400. Hallar
la suma de la tangentes de dichos ngulos.
a)
b) c) 2
d)
e) 2
20. Si: Tg ( = 2 y |Sen|= - Sen(Evaluar:
(=|Cos (|+2|Sen(|
a) 2/5b) 2c)
d) /3
e) 2
21. Si se sabe que Sen ( = adems: Tg ( < 0 y Cos ( > 0 .
Hallar: E=(Sec(+Tg()
a) 0
b) 1
c) 2
d) 1
e) 2
22. Del grfico calcula:
K=(Sen(-Cos()
a) 0
b) 1
c) 3
d) 6
e) -6
23. Sabiendo que: (Sen ()Sen( = indicar un valor de: Tg( si y
slo si:
