9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE · Równanie Laplace’a (równanie opisuje stan ustalony, brak zmiennej czasowej) 0 2 2 2 2 ... Równania falowe rozkład funkcji w czasie i

9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 1

9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Wstęp.Równania zawierające pochodną nieznanej funkcji dwóch lub więcej zmiennych nazywa się

cząstkowym równaniem różniczkowym. Na przykład:

12

222

2

u

y

uxy

x

u

yuy

ux

yx

u582

2

2

3

xyx

u

x

u

2

36

3

2

2

xyu

xux

u

2

2

(9.1)

Ze względu na szerokie zastosowanie w mechanice konstrukcji, nasze rozważania ograniczą się dorównań różniczkowych cząstkowych liniowych drugiego rzędu (rząd określa maksymalną pochodną jakawystępuje w równaniu) z dwiema zmiennymi. Dla takich równań można zapisać postać kanoniczną jako:

02

22

2

2

D

yuC

yxuB

xuA (9.2)

RRC liniowe drugiego rzędu można sklasyfikować jako:

WyznacznikACB 42

RRC Przykład

< 0 Eliptyczne

Równanie Laplace’a(równanie opisuje stan ustalony,

brak zmiennej czasowej)

02

2

2

2

yT

xT

= 0 Paraboliczne

Zagadnienie propagacji rozkład funkcji w czasie i przestrzeni(równanie przewodnictwa cieplnego)

2

2

xTk

tT

> 0 Hiperboliczne

Równania falowerozkład funkcji w czasie i przestrzeni

(rozwiązania oscylacyjne np. drgania struny)

2

2

2

2 1xT

ctT

Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa


9.1 Równania różniczkowe cząstkowe eliptyczne.

a) b) c)

Rys.9.1 Przykłady RRC eliptycznych. a) rozkład temperatur na podgrzewanej płycie,

b)stan ustalony przepływu wody pod tamą c) rozkład pola elektrycznego w okolicy izolatora.

Równanie Laplace’a jest typowym przykładem równania różniczkowego cząstkowego eliptycznego:

02

2

2

2

yT

xT

(9.3)

Gdy prawa strona nie jest równa zeru, to mamy równanie rrc Poissona.

),(2

2

2

2

yxfyT

xT

(9.4)

Korzystając z metody różnic skończonych równanie różniczkowe Laplaceà można sprowadzić doalgebraicznego układu równań. Pochodne cząstkowe zastępujemy odpowiednimi różnicami skończonymi:

2,1,,1

2

2 2x

TTTxT jijiji

21,,1,

2

2 2y

TTTyT jijiji

(9.5)

Równania (9.5) podstawiamy do równanie (9.3) co w rezultacie daje:

022

21,,1,

2,1,,1

yTTT

xTTT jijijijijiji (9.6)

Dla siatki kwadratowej (rys9.2) równanie (9.6) przyjmuje postać:

04 ,1,1,,1,1 jijijijiji TTTTT (9.7)


Warstwa nieprzepuszczalna

Zapora wodna

Linia przepływuLinie ekwipotencjalne

ciepłozi

mno

zimno przewodnik


Rys.9.2 Siatka metody różnic skończonych.

Aby znaleźć rozwiązanie zadania musimy zdefiniować warunki brzegowe tzw. warunki brzegowe Dirichleta.

Przykład 9.1:

W zadaniu określone są warunki brzegowe. Należy obliczyć temperatury w określonych miejscach płyty.

Rys.9.3 Płytka podgrzewana różnymi temperaturami z różnych stron.

Obliczenia wykonujemy korzystając ze wzoru (9.7).Dla punktu (i,j) = (1,1) mamy:


y

x

0, n+1

m+1, 00,0

i,j

i,j+1

i-1,j i+1,j

i,j-1

2,2

1,1 2,1 3,1

3,21,2

1,3 2,3 3,3

0˚ C

75˚ C 50˚ C

100˚ C

0

4

3

2

1

1

2 3 4


04 1,12,10,11,01,2 TTTTT(9.8 a)

Do równania (9.8 a) podstawiamy warunki brzegowe i otrzymujemy:

Podobną procedurę należy przeprowadzić dla pozostałych punktów, a następnie rozwiązać powstały układrównań. Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

Znając rozkład temperatury, możemy również obliczyć pochodne temperatury względem x i y obrazującetak zwany strumień ciepła. Zależność tę opisują równania Fouriera:

Gradient temperatury w punkcie obliczamy ze wzoru:

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy warunki brzegowe wyrażone są przez pochodne temperatury, czylistrumienie ciepła. Są to tzw. Warunki brzegowe Neumannà.

Rys.9.4.Warunki brzegowe Neumannà (dla i=0)


75404075

1,12,11,2

1,12,11,2

TTTTTT

(9.8 b)

88506,3329755,3300061,4333999,5211238,5621152,6371050,6906402,7658718,78

1,31,21,1

2,32,22,1

3,33,23,1

TTTTTTTTT

xxii qk

xTT

xT

211

yyjj qk

yTT

yT

211

(9.9)

x

y

qq

ar ctg

22yxn qqq

(9.10)


Równanie różnicowe zapisane dla punktu (0,j) ma postać:

04 ,01,01,0,1,1 jjjjj TTTTT (9.11)

Należy zwrócić uwagę na punkt (-1,j), który mimo że leży poza obszarem jest również wymagany wrównaniu. Wydawać by się mogło, że punkt ten będzie stanowił problem, ale tu właśnie przychodzi zpomocą warunek brzegowy w postaci pochodnej. Należy określić pierwszą pochodną po zmiennej x wpunkcie (0,j):

xT

xTT

x

TTxT

jj

jj

2

2

,1,1

2,1,1

(9.12)

Teraz mając zależność (9.12) możemy podstawić ją do wzoru (9.11):

0422 ,01,01,0,1 jjj

ij TTT

xTxT (9.13)

Warunki brzegowe dla nieregularnych kształtów.

Rozpatrzmy obraz nieregularnego brzegu jak na Rys.9.5.

Rys.9.5. Obraz nieregularnego brzegu.

Korzystając z różnicy centralnej w tył otrzymujemy:

xTT

xT jiji

ii

1

,1,

,1

xTT

xT jiji

ii

2

,,1

1,

(9.14)

Obliczając drugą pochodną wyrażenia (9.14) względem zmiennej x, mamy:


β2Δy

β1Δy

α1Δx α2Δx

i,j


)()(2

)()(2

2

2

212

,,1

211

,,12

211

,,1

212

,,12

21

1

,1,

2

,,1

21

,11,2

2

jijijiji

jijijiji

jijijiji

iiii

TTTTx

TTTT

x

xxx

TTxTT

xxxT

xT

xT

xxT

(9.15)

Wyrażenie na pochodną względem zmiennej y wygląda analogicznie:

)()(2

212

,,1

211

,,122

2

jijijiji TTTT

yyT

(9.16)

Określenie xT przy nieregularnych kształtach:

Rozpatrzmy ponownie obszar o nieregularnym kształcie i zapiszmy rozwiązanie w punkcie 3:

Rys. 9.6. Brzeg zakrzywiony.


y

2

x

1

34

5

7

8

6

η

Δy

Δx


Rys. 9.7. Liniowa zależność między 678 ,, TTT

Zakładamy, że 678731 ,,i,, TTTTTT zmieniają się liniowo.Pochodna w punkcie 3 ma postać:

7173

1

17

7

317

1

17

71

3

TLTT

LTT

LT

LTTT

(9.17)

17

cosL

x (9.18)

Z proporcji można zapisać (rys. 9.7.):

y

xTTTT

yxTTx

xL

yTT

Lx

tg

tg

tg

8687

86

7886

78

(9.19)

Podstawiając do wzoru (9.17) wzory (9.18) i (9.19) otrzymujemy:

yxT

yxTxT

yxTTTxTT

tg1tgcos

tgcos

863

8683

1

(9.20)


x T6 T7

T8

78 76


9.2. Równania różniczkowe cząstkowe paraboliczne.

RRC paraboliczne umożliwiają znalezienie rozkładu zmiennej w funkcji czasu. Przykładem możebyć równanie opisujące przewodnictwo cieplne w postaci:

tT

zT

kyT

kxT

k zyx

2

2

2

2

2

2

(9.21)

a) b)Rys. 9.8 Zastosowanie RRC parabolicznego.

a)obraz długiego pręta izolowanego podgrzewanego z jednej strony, b) Rozwiązanie zagadnienia stanów podgrzewanego pręta w różnych chwilach w czasie.

Przy założeniu, że ciało jest izotropowe zyx kkk oraz przepływ ciepła następuje tylko po jednymkierunku, równanie przewodnictwa cieplnego ma postać:

2

2

xT

ktT

gdzie k – to stała przewodzenia (9.22)


x

T

t=Δtt=0

t=2Δtt=3Δt

ciepło

ciep

ło

zimno

zimno


Rys.9.9. Dyskretyzacja przestrzenna (m) i czasowa (l)

Metody typu „explicit” (jawne).Równania przewodnictwa ciepła wymagają aproksymacji drugiej pochodnej przestrzeni i pierwszej

pochodnej czasu. Równania te są reprezentowane podobnie jak równania Laplace’a metodą różnicskończonych centralnych:

211

2

2 2x

TTTxT l

il

il

i

(9.23)

Aby określić przestrzeń czasową wykorzystujemy schemat różnicowy w przód:

tTT

tT l

il

i

1

(9.24)

Podstawiamy równania (9.23) i (9.25) do wzoru (9.22) i otrzymujemy:

tTT

xTTT

kl

il

il

il

il

i

1

211 2 (9.25)

Po przekształceniach otrzymujemy równanie dla wszystkich punktów wewnętrznych:

li

li

li

li

li TTTTT 11

1 2 , gdzie 2x

tk (9.26)

Widać, że do wyznaczenie rozwiązania w danym kroku wykorzystujemy wartość obliczoną w krokupoprzednim.


l

0, n+1

m0,0

i,j

i,l+1

i-1,j i+1,j

i,j-1

1 2 3

l=10 cm0 1 2 3 4 5


Rys. 9.10. Komórka obliczeniowa

Przykład 9.2:Wykorzystanie metody „explicit” do obliczenia rozkładu temperatury dla długiego izolowanego pręta (patrzrys. 9.11.):

Rys. 9.11. Pręt dany w zadaniu

Dane:

Długość =10cm

scmk

CTT

CTTtdla

stcmx

/0,835

50)10(

100)0(0

1,02

2

)0(5

)0(0

020875,02

)1,0(835,02

Rys. 9.12 Podział pręta na jednakowe odcinki

0)0(4

)0(3

)0(2

)0(1 TTTT

Wykorzystując zależność (9.26) możemy zapisać dla :8,6,4,21,0 xst

0438,1]0)0(250[020875,00

0]0)0(20[020875,00

0]0)0(20[0020875,00

0875,2]100)0875,2(20[020875,00

14

13

12

11

T

T

T

T

Dla 8,6,4,22,0 xst wygląda to następująco:


ciep

ło

zim

no

l+1

l

i+1ii-1


0439,2]0)0438,1(250[020875,00438,1

021788,0]0)0(20438,1[020875,00

043577,0]0875,2)0(20[020875,00

0875,2]100)0875,2(20[020875,00875,2

24

23

22

211

T

T

T

T

Dla kolejnych t obliczenia wykonujemy analogicznie.Na Rys.9.13 przedstawiono graficznie rozwiązanie równania dla chwil 12,9,6,3t

Rys. 9.13. Rozkład temperatury dla różnych chwil czasu.

Problem zbieżności i stabilności to: Metoda całkowania jest zbieżna gdy, dla:

00

tx

(9.27)

otrzymujemy rozwiązanie dokładne. Metoda jest stabilna gdy błędy nie narastają podczas całkowaniaproblemu. Stabilność można uzyskać narzucając ograniczenia na krok czasowy. Można wykazać, że gdy:

kx

t2

21

lub21

(9.28)

Metda całkowania "explicit" jest stabilna.

Gdy 21 błędy nie narastają, ale mogą oscylować

gdy 41 nie ma oscylacji

a gdy 61

otrzymujemy minimalny błąd metody

(9.29)

Brak stabilności w przykładzie obrazuje poniższy wykres, który sporządzono 735,0 .


x

T

t=9

2 10864

t=6

t=3t=12 k=0,835

Δt=0,1 [s]Δx=2

80

40

l+1

l

i+1ii-1


Rys. 9.14. Brak stabilności przy zbyt dużym λ

Metody typu „implicit” (niejawne)

Z powyższych rozważań wynika, że metoda „explicit” może prowadzić do dużych błędów przynieograniczonym kroku całkowania. Konieczne są więc restrykcyjne ograniczenia, aby zachować stabilność.Metody „implicit” są pozbawione tego mankamentu kosztem bardziej skomplikowanych algorytmów.Fundamentalna różnica pomiędzy metodami „explicit” a „implicit” jest pokazana na rys.9.15.:

Rys 9.15. Różnica omawianych metod Po lewej "explicit", po prawej "implicit".

W przypadku metody „implicit” pochodną określa się w czasie l+1 :

2

11

111

2

2 2x

TTTxT l

il

il

i

(9.30)

Aby określić przestrzeń czasową wykorzystujemy schemat różnicowy w przód:

tTT

xT i

li

11

(9.31)

Wykorzystując podstawowy wzór na równanie paraboliczne (9.20) otrzymamy:


T

x

100

t =6 T

x

100

t =12 T

100

t =18

T

x

100

t =24 T

x

100

t = 30

l+1

l

i+1ii-1


tTT

xTTT

kl

il

il

il

il

i

1

2

11

111 2 (9.32)

Równanie to można uprościć do postaci:

21

111

1 )()21(

xtkgdzieTTTT l

il

il

il

i

(9.33)

Dla układów, gdy dane są temperatury określone na brzegach, mamy:

)( 10

10

ll tfT (9.34)

gdzie )( 10

ltf jest funkcją określającą jak temperatury na brzegach zmieniają się w czasie.

Dla pierwszego punktu wewnętrznego i = 1 mamy :

)()21( 101

12

11

llll tfTTT (9.35)

a dla ostatniego punktu wewnętrznego i = m mamy równanie:

)()21( 1111

l

ml

ml

ml

m tfTTT (9.36)

Ciąg dalszy przykładu 9.2.

Równanie dla 10020875,0 it :

100020875,00020875,004175,1 12

11 TT

Analogicznie dla pozostałych punktów zapisujemy równania i otrzymujemy układ równań w postaci:

04385,100

0875,2

04175,1020875,000020875,0020875,0020875,000020875,004175,1020875,000020875,004175,1

14

13

12

11

TTTT

Otrzymujemy rozwiązanie dla chwili t=0:

0023,1

0209,0

0406,0

0047,2

14

13

12

11

T

TT

T

Dla kolejnej chwili t = 1 otrzymujemy nowy układ równań, któy należy ponownie rozwiązać.



Metoda Cranka - Nicolsona

Jest to ulepszenie metody implict, które polega na zwiększeniu dokładności całkowania w czasie.Metoda ta nie wymaga dodatkowych ograniczeń ze względu na czas i przestrzeń. Jest to możliwe dziękizastosowaniu metody punktu środkowego (obliczenie pochodnej centralnej w 2 punktach co daje znaczniewiększą precyzję).

Rys. 16. Graficzna interpretacja metody Cranka -Nicolsona

2111

li

li tdla

tTT

xT (9.37)

Druga pochodna w przestrzeni jest określana w punkcie pośrednim, co powoduje uśrednienie przybliżeń wpoczątku lt i końcu 1lt i w rezultacie daje dużo większą dokładność:

2

11

111

211

2

2 2221

xTTT

xTTT

xT l

il

il

il

il

il

i (9.38)

Ciąg dalszy przykładu 9.2.:

Analitycznym rozwiązaniem RRC parabolicznego 2

2

xT

ktT

jest:

2

22

0

expsin12l

ktnl

nxnl

xTTn

n

Porównanie wyników metod: „explicit” , „implicit” i Cranka - Nicolsona (przykład 9.2.)

∆t λ explicit implicit Crank - Nicolson10 2,0875 208,75 53,01 79,775 1,04375 -9,13 58,49 64,792 0,4175 67,12 62,22 64,871 0,20875 65,91 63,49 64,77

0,5 0,104375 65,33 64,12 64,740,5 0,04175 64,97 64,49 64,73

Rozwiązanie dokładne CtxT 8018,6410,2 Jak widać metoda C - N jest najdokładniejsza od samego początku, a metoda explicit dała

satysfakcjonujący wynik dopiero wtedy, gdy współczynnik λ spełnił założenia ograniczenia co do wielkościkroku całkowania.


l+1

l

i+1ii-1

l+1/2


9.3. Równania różniczkowe cząstkowe hiperboliczne.

Rozpatrzmy równanie drgań struny:

2

22

2

2

xw

ctw

gdzie E

c

E – moduł Young’a - gęstość ośrodkac - prędkość

(9.39)

Rys. 9.17 Siatka wykorzystana w zadaniu

Wykorzystując metodę różnic skończonych możemy zapisać:

2

11

2

2

211

2

2

2

2

twww

tw

xwww

xw

li

li

li

li

li

li

(9.40)

Podstawiając równania (9.40) do wzoru (9.39) otrzymujemy:

2

11

2112 22

twww

xwww

cli

li

li

li

li

li

(9.41)

Po przekształceniach mamy:

11

221

21 12

li

li

li

li

li wwwww

gdzie x

tc

(9.42)

Równanie (9.42) jest typu explicit. Można wykazać, że rozwiązanie to jest stabilne, gdy 1 oraz jestnajdokładniejsze dla 1 . Wtedy nasze równanie przyjmuje postać:

111

1

li

li

li

li wwww (9.43)


i+1

i-1

i

i+1ii-1ΔxΔx

Δt

Δt

Δt

Documents

9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE · Równanie Laplace’a (równanie opisuje stan ustalony, brak zmiennej czasowej) 0 2 2 2 2 ... Równania falowe rozkład funkcji w czasie i