Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKŁAD 5
2
Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego
Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci
0)",',( yyxF
(y nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie
)(' xuy
do równania
0)',,( uuxF
Równania różniczkowe rzędu drugiego
3
Przykład
Rozwiązać równanie
'")1( yyx
Funkcja jest jednym z rozwiązań równania.
Dla Cy stosując podstawienie otrzymujemy uux ')1(
Rozdzielając zmienne x
dx
u
du
1 i całkując obustronnie dostajemy
Cxu ln|1|lnln , czyli )1( xCu
Zatem CxC
dx
dy
Stąd 1
2 )2(2
1CxxCy
)(' xuy
RCCy ,
Równania różniczkowe rzędu drugiego
4
Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci
0)",',( yyyF
(x nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie
)(' yuy
do równania
(ponieważ )
0),,( dy
duuuyF
dy
duu
dx
dy
dy
du
dx
dyy
'"
Równania różniczkowe rzędu drugiego
5
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania
1+(y’)2=2yy”
Po podstawieniu y’= u(y) (y”= u’y’= u’u ) dostajemy
1+u2 = 2yuu’
Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych
1'
,1
0,lnlnlnln
ln)1ln(
1
2
1
21
111
2
2
yCyu
uyC
CyCCyCy
Cyu
y
dy
u
udu
Równania różniczkowe rzędu drugiego
6
Przykład (c. d.)
eostateczni i
) ()14( , 12
2 2 ,2
zatem
2
12 i
12mamy 1 acPodstawiaj
1
21111
11
1
111
11
1
CxCyCCxCyC
CxCzdxCdzdxdzC
dzCyC
dy
yC
dyCdzzyC
dxyC
dy
,1
)(4
1
1
2
11 Cx
C
Cy
Równania różniczkowe rzędu drugiego
7
Definicja Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci
)()()(" xfyxqyxpy
Jeśli f(x) 0, to równanie nazywamy jednorodnym,
Jeśli f(x) 0, to równanie nazywamy niejednorodnym
Twierdzenie
Jeżeli p, q, f są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x0(a, b), y0, y1R,
to zagadnienie Cauchyego
.
10
00
)('
)(
)()()("
yxy
yxy
xfyxqyxpy
ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale (a, b)
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
8
Uwaga
Podobnie jak w przypadku równania pierwszego
rzędu, rozwiązywanie równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego polega
na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu
metody uzmiennienia stałych, bądź przewidywań.
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
9
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego
0)()(" yxqyxpy
Uwaga
Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe ( y(x) 0).
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1(x) i y2(x) są całkami szczególnymi równania liniowego
jednorodnego, to
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) (kombinacja liniowa)
jest też rozwiązaniem tego równania.
Definicja
Funkcje y1(x) i y2(x) są liniowo niezależne na przedziale (a, b) jeżeli
C1y1(x) + C2y2(x) 0 C1 = C1 = 0
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
10
Józef Hoene-Wroński (1776-1853)
Twierdzenie
Funkcje y1(x) i y2(x) klasy C1(a, b) są liniowo niezależne, wtedy i tylko wtedy
gdy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)
),(0)()(
)()()(
'2
'1
21baxdla
xyxy
xyxyxW
Definicja Liniowo niezależne rozwiązania równania liniowego jednorodnego nazywamy układem fundamentalnym (podstawowym) rozwiązań tego równania.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1(x) i y2(x) tworzą fundamentalny układ rozwiązań, to
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) jest CORJ.
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
11
Uwaga
Nie istnieje ogólna metoda wyznaczania układu fundamentalnego rozwiązań dla dowolnego równania różniczkowego liniowego jednorodnego drugiego rzędu.
Układ fundamentalny rozwiązań można zawsze wyznaczyć w przypadku równań o stałych współczynnikach
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
12
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach
Definicja Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci
0" qyypy
gdzie p, q R.
Poszukujemy rozwiązań tego równania w postaci funkcji
)e",e'(e 2 rxrxrx ryryy
Wstawiając do równania i dzieląc obustronnie przez rxe dostajemy równanie
02 qprr .
Jest to tzw. równanie charakterystyczne.
Twierdzenie
Jeżeli r jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to funkcja rxy e jest
rozwiązaniem równania.
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
13
Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań
Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1 i r2 ( > 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje
xrxr xyxy 21 e)(ie)( 21 ,
a CORJ ma postać xrxr CCxy 21 ee)( 21 .
Jeżeli równanie charakterystyczne ma podwójny pierwiastek rzeczywisty r ( = 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje
rxrx xxyxy e)(ie)( 21 ,
a CORJ ma postać rxrx xCCxy ee)( 21 .
Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki zespolone r1= + i
oraz r1= - i ( < 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje
xxyxxy xx sine)(icose)( 21 ,
a CORJ ma postać
)sincos(e)( 21 xCxCxy x .
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
14
Przykład
Rozwiązać równanie
0" yy
Równanie charakterystyczne
012 r
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1 = 1 i r2 = -1, więc CORJ jest postaci xx CCxy ee)( 21
Przykład
Rozwiązać równanie
0'2" yyy
Równanie charakterystyczne
0122 rr
ma rzeczywisty pierwiastek podwójny r = -1, więc CORJ jest postaci xx xCCxy ee)( 21
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
15
Przykład
Rozwiązać równanie
0" yy
Równanie charakterystyczne
012 r
ma dwa pierwiastki urojone r1 = i oraz r2 = -i ( = 0, = 1), więc CORJ ma postać
xCxCxy sincos)( 21 .
Przykład
Rozwiązać równanie
025'8" yyy
Równanie charakterystyczne
02582 rr
ma dwa pierwiastki zespolone r1 = -4 - 3i oraz r2 = -4 + 3i ( = -4, = 3), więc CORJ ma postać
)3sin3cos(e)( 214 xCxCxy x
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
16
Metoda uzmiennienia stałych dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego
Podobnie jak w przypadku równania pierwszego rzędu uzmienniamy stałe w CORJ
)()()()()( 2211 xyxCxyxCxy
))(')()()(')(')()()(')('( 22221111 xyxCxyxCxyxCxyxCxy
i wstawiamy do równania niejednorodnego.
Po przekształceniach otrzymujemy układ równań
)()(')(')(')('
0)()(')()('
2211
2211
xfxyxCxyxC
xyxCxyxC
z którego wyznaczamy )(',)(' 21 xCxC .
Po scałkowaniu wyznaczonych funkcji wyznaczamy CORN.
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
17
Przykład
Rozwiązać równanie
xyy
3cos
1"
CORJ ma postać
xCxCxy sincos)( 21 .
Uzmienniając stałe otrzymujemy układ równań
xxxCxxC
xxCxxC
321
21
cos
1cos)('sin)('
0sin)('cos)('
Stąd
12131cos2
1)(,
cos
sin)(' D
xxC
x
xxC
2222 tg)(,cos
1)(' DxxC
xxC
CORN:
x
xxDxDxDxxD
xxy
cos2
2cossincossintgcos
cos2
1)( 21212
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
18
Metoda przewidywań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego o stałych współczynnikach
Metodę przewidywań możemy stosować w przypadku równań o stałych współczynnikach, gdy wyraz wolny ma jedną z postaci przedstawionych w kolumnie 2 tabeli zamieszczonej w kolejnym slajdzie.
Wyznaczamy CSRN i wykorzystujemy zależność
CORN = CORJ + CSRN
Podobnie jak w przypadku równań rzędu pierwszego możemy też wykorzystać twierdzenie
Twierdzenie
Suma całki szczególnej równania
)()(' 1 xfyxpy
i całki szczególnej równania
)()(' 2 xfyxpy
jest całką szczególną równania
)()()(' 21 xfxfyxpy
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
19
Przewidywana postać CSRN dla równania liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach
Lp Prawa strona równania - f(x) Równanie charakterystyczne Przewidywana postać CSRN
a Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego
Wn(x) – ogólna postać wielomianu
stopnia n 1
b
Pn(x) – wielomian stopnia n Liczba 0 jest m-krotnym pierwiastkiem
równania charakterystycznego x
mWn(x)
a Liczba k nie jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego Wn(x)e
kx
2
b
Pn(x)ekx
, k R Liczba k jest m-krotnym pierwiastkiem
równania charakterystycznego x
mWn(x)e
kx
a Liczba i nie jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego Wn(x)cosx + Vn(x)sinx
3
b
Pn(x)cosx + Qn(x)sinx Liczba i jest m-krotnym pierwiastkiem
równania charakterystycznego x
m (Wn(x)cosx + Vn(x)sinx)
a Liczba i nie jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego Wn(x)e
xcosx + Vn(x) e
xsinx
4
b
Pn(x)ex
cosx + Qn(x) ex
sinx Liczba i jest m-krotnym pierwiastkiem
równania charakterystycznego
xm (Wn(x)e
xcosx + Vn(x)
ex
sinx)
Pn(x), Qn(x) – wielomiany stopnia n
Wn(x), Vn(x) – wielomiany stopnia n o nieokreślonych współczynnikach (w postaci ogólnej)
Równania różniczkowe rzędu drugiego
20
Przykład
Rozwiązać równanie
xxyy cos9'' .
CORJ: xCxCy 3sin3cos 211 .
CSRN przewidujemy w postaci
xdcxxbaxy sin)(cos)(2 .
Obliczamy pochodne
xbaxcxdcxay sin)(cos)('2 ,
xdcxaxbaxcy sin)2(cos)2(''2
i wstawiamy do równania
xxxdcx
xbaxxdcxaxbaxc
cossin)(9
cos)(9sin)2(cos)2(
.
Po przekształceniach dostajemy
xxxadcxxcbax cossin)288(cos)288(
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
21
Przykład (c. d.)
Porównując obie strony mamy
028 ,08 ,028 ,18 adccba
skąd 32
1,0,0,
8
1 dcba
CSRN:
xxxy sin
32
1cos
8
12
.
CORN:
xxxxCxCyyy sin32
1cos
8
13sin3cos 2121
.
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
22
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
1)0(',0)0(
" 2
yy
xyy
CORJ ma postać
xCxCxy sincos)( 21 .
CSRN wyznaczymy metodą przewidywań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego
tzn. y1 = Ax2 + Bx +C. Stąd y1'' = 2A i po wstawieniu do równania dostajemy
222 xCBxAxA
Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wtedy i tylko wtedy, gdy A = 1, B = 0,
C = -2. Wówczas y1 = x2 - 2, i CORN ma postać
2sincos)( 221 xxCxCxy
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
23
Przykład (c. d.)
Stałe C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych. Obliczamy pierwszą pochodną
xxCxCxy 2cossin)(' 21
i zapisujemy warunki początkowe
020cos0sin1
200sin0cos0
21
221
CC
CC
Stąd C1 = 2, C2 = 1 i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać
2sincos2)( 2 xxxxy .
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
24
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ