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小波变换的定义 给定一个基本函数，令 (9.1.1) 若 a,b 不断地变化，我们可得 到一族函数 。给定平 方可积的信号 ， 即 则小 x(t) 的小波变换（ Wavelet Transform ， WT ）： （ 9.1.2 ）. 9.1 小波变换的定义. 信号 的小波变换 是 a 和 b 的函数， b 是时移， a 是尺度因子。 又称为基本小波，或母小波。 是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。 - PowerPoint PPT Presentation
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第 9章 小波变换基础9.1 小波变换的定义小波变换的定义 给定一个基本函数，令 (9.1.1)
若a,b不断地变化，我们可得 到一族函数 。给定平方可积的信号 ，即 则小x(t)的小波变换（Wavelet Transform， WT）： （ 9.1.2）
)(1)(, abt
atba
)(, tba )(t
)(tx )()( 2 RLtx
dta
bttxa
baWTx )()(1),(
)(),()()( ,, ttxdtttx baba
第 9章 小波变换基础 信号 的小波变换 是 a和 b的函数，b是时移，a是尺度因子。
又称为基本小波，或母小波。 是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。
式中 ,b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波
作伸缩。式中的因子 是为了保证在不同的尺度时，始终能和 母函数有着相同的能量，即
)(tx ),( baWTx
)(t )(, tba
)(ta
1
)(, tba
)(t
第 9章 小波变换基础
令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：
（ 9.1.3 ）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：
（ 9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。
dta
bta
dttba
22
, )(1)( dtt2
)(
)(1)(, abt
atba
bjba eaa )()(,
)(),(21),( ,bax XbaWT
deaXa bj)()(2
第 9章 小波变换基础9.2 小波变换的特点
小波变换的恒 Q 性 由小波变换的两个定义可以看出，如果 在
时域是有限支撑的，那么它和 作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位功能，也即 反映的是 在 b附近的性质；
若 具有带通性质，即 围绕着中心频率是有限支撑的，那么 和 作内积后也将反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定位性质。
)(, tba
)(, tba
)(, tba
)(tx
)(tx)(, ba
),( baWTx
)(X
第 9章 小波变换基础 若 的时间中心是 , 时宽是 ， 的频率中心是 , 带宽是 ，那么 的时间中心仍是 ，但时宽变成 ， 的频谱 的频率中心变为 带宽变成 。这样 , 的时宽－带宽积仍是 ,与 a无关。 定义：为小波 的品质因数，对 ，其
)(t
0t
t )(
0 )(at
0t
ta )(at )( aa ,/0 a
a/
)(at
t
0Q /
)(t
)(at
Qaa
00
/
//
= 带宽 /中心频率
带宽 /中心频率＝
第 9章 小波变换基础
第 9章 小波变换基础 不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系
02
2/0
0
2 t
)2/1( a
)1( a
)2( a
/ 2
2
/ 2t
t
图 9.2.2 a 取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间
第 9章 小波变换基础
由于小波变换的恒 Q性质，因此在不同尺度下，图 9.2.2
中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，该分析窗口在高频端（图中 处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中 处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图 9.2.2 中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要作出调整。
02
20 /
小波变换的时域及频率分辨率
第 9章 小波变换基础 信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对
这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。
第 9章 小波变换基础 用较小的 a 对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细致观察，用较大的 a 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。
小波变换和其它信号分析方法的区别 傅里叶变换 傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的 函数），但在时域所对应的范围是 -- ，完全不具备定位功能。这是 FT 的一个严重的缺点。
第 9章 小波变换的基础
短时傅里叶变换 重写（ 2.1.1 ）式，即 (9.2.6) STFT 不具备恒 Q性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图 9.2.3所示。
Ttetg /2
)(
dtetgxtSTFT tjx )()(),(
j
t etgxdgx )(),()()( ,
第 9章 小波变换基础 tg t ,
t
G
0
tg t ,'
t
'G
02
10 t
0
02
图 9.2.3 STFT 的时－频分析区间
第 9章 小波变换基础
定义 (9.2.7)为信号的“尺度图（ scalogram ）”。它也是一种能量
分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。
22 )()(1),(
dta
bttxa
baWTx
第 9章 小波变换基础
综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽 /带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支。
第 9章 小波变换基础9.3 连续小波变换的计算性质
时移性质 若 的 CWT 是 , 那么 的 CWT是 。记 ， (9.3.1)
)(tx ),( baWTx)( tx
),( baWTx )()( txty
dta
bttxa
1baWTy )()(),(
tdabttx
a1 ))(()(
),( baWTx
第 9章 小波变换基础尺度转换性质如果 x(t) 的 CWT 是 ，令 ，则 (9.3.2) 证明 : 令 则
该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在 a和 b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。
),( baWTx)()( txty
),(1),( baWTbaWT xy
dta
bttxa
baWTy )()(1),(
tt
td1a
bttxa
1baWTy
)()(),(
dta
bttxa
)()(11
),(1 baWTx
第 9章 小波变换基础 微分性质如果 x(t) 的 CWT 是 ，令 ，则 （ 9.3.3）证明：
由移位性质有：即
),( baWTx
),( baWTx )()()( txdt
tdxty
),(),( baWTb
baWT xy
dta
btdt
tdxa
baWTy )()(1),(
dta
btt
txttxa
Limt
)()()(10
dt
abttx
adt
abtttx
atLim
t)()(1)()(11
0
tbaWTtbaWTLimbaWT xx
ty
),(),(),(0
),(),( baWTb
baWT xy
第 9章 小波变换基础两个信号卷积的 CWT 如果 x(t),h(t) 的 CWT分别是 及 , 令
则 （ 9.3.4)式中符号 表示对变量 b作卷积。
),( baWTx ),( baWTh
)()()( thtxty
),()(),( baWTtxbaWT h
b
y
),()( baWTth x
b
b
第 9章 小波变换基础 两个信号和的 CWT 令 的 CWT 分别是 ，且 ，则 （ 9.3.5a ）同理，如果 ，则 （ 9.3.5b ）即两个信号和的 CWT等于各自 CWT 的和，也即小波变换满足叠加原理。
)(),( 21 txtx ),(),,( 21 baWTbaWT xx
)()()( 21 txtxtx
),(),(),( 21 baWTbaWTbaWT xxx
)()()( 2211 txktxktx
),(),(),( 2211 baWTkbaWTkbaWT xxx
第 9章 小波变换基础 小波变换式所定义的 CWT 是“线性”变换，而WVD表达式Wigner 分布为代表的一类时－频分布为“双线性变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（9.2.7）式的尺度图则是信号能量的一种分布。将 代入 (9.2.7) 式，可得： (9.3.6)式中 分别是 和 的幅角。
)()()( 21 txtxtx
2
x
2
x2
x baWTbaWTbaWT21
),(),().(
)cos(),(),(2121 xxxx baWTbaWT2
21, xx ),(
1baWTx ),(
2baWTx
第 9章 小波变换基础 上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和 WVD中的交叉项稍有不同。 WVD的交叉项位于两个自项的中间，即位于 处，分别是两个自项的时－频中心。尺度图中的交叉项出现在 和 同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和 WVD有着明显的区别。WVD和 WT之间的关系 ：
（ 9.3.7）
),( t ),(),,( 2211 tt
),(1
baWTx ),(2
baWTx
dtdaa
btWtWbaWT xx ),(),(),( 2
第 9章 小波变换基础 小波变换的内积定理 定理 9.1 设 和 ， 的小波变换分别是 和 ，则 （ 9.3.8）
式中 （ 9.3.
9 ）
)(),( 21 txtx )()( RLt 2 )(),( 21 txtx
),(1
baWTx ),(2
baWTx
)(),(),(),( 2120 21txtxCdb
adabaWTbaWT xx
dC0
2)(
第 9章 小波变换基础 （9.3.8）式实际上可看作是小波变换的Parseval定理。该式又可写成更简单的形式,即 (9.3.10)进一步，如果令 ，由（ 9.3.
8 ）式，有 (9.3.11) 傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域 中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常
数加权，而且以的存在 为条件。
)(),(),(),,( 2121txtxcbaWTbaWT xx
)()()( 21 txtxtx
dadbbaWTac
dttx x2
0
22 ),(1)(
c
第 9章 小波变换基础9.4 小波反变换及小波容许条件
连续小波反变换的公式及反变换存在的条件 定理 9.2 设 ，记 ， 为的傅里叶变换，若 则 可由其小波变换 来恢复，即 (9.4.1)
)()(),( 2 RLttx )( )(t
0
2)(c
)(tx ),( baWTx
dadbtbaWTac
tx bax )(),(1)( ,0
2
第 9章 小波变换基础证明：设 ， , 则
将它们分别代入（ 9.3.8）式的两边，再令 ，于是 于是定理得证。 在定理 9.1 和定理 9.2 中，结论的成立都是以 <为前提条件的。（ 9.3.9 ）式又称为“容许条件（ admissibility condition ）。
)()( 1 txtx )()(2 tttx
)()(),( 21 txtxtx
)()()(),(a
bta
1dta
bttta
1baWT2x
tt
dadbtbaWTac
tx bax )(),(1)( ,0
2
第 9章 小波变换基础容许条件含的多层的意思： 并不是时域的任一函数 都可以充当小波。其可以
作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件； 由（ 9.3.9 ）式可知，若 ，则必有 ，否则 必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数 必然是带通函数； 由于 ，因此必有 (9.4.2) 这一结论指出， 的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。
)()( 2 RLt
c 0)0( c)(t
)(t
0)(0
0)( dtt
第 9章 小波变换基础 小波的函数所应具有的大致特征：是 一带通函数，它的时域波形应是振荡的；从时－频定位的角度，我们总希望 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。 小波函数总结：• 1. 由上述讨论， 自然应和一般的窗函数一样满足： （ 9.4.3）
)(t
)(t
dtt)(
)(t
第 9章 小波变换基础• 2. 由后面的讨论可知，尺度a常按 来离散化， 。对应的傅里叶变换 ，由于需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时也需要在该尺度下由 来重建 ，因此要求 是有界的，当 j由 时，应有
(9.4.4)式中 。该式称为小波变换的稳定性条件。满足 (9.4.4 ）式的小波称作“二进（ dyadic）”小波。
ja 2
Zj bjj2j e22 )(/
),( baWTx )(tx 2)2( j
~
BAj
j
2
)2(
BA0
第 9章 小波变换基础9.5 重建核与重建核方程
重建核 定理 9.3 设 是平面 上的任一点， 上的二维函数 欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即 （ 9.5.1 ） （ 9.5.2 ）称为重建核。
),( 00 ba ),( ba ),( ba
),( baWTx
dadbbabaKbaWTabaWT xx ),;,(),(),( 000
200
dtttC
babaK baba )()(1),;,(00 ,,00
)(),(100 ,, tt
C baba
第 9章 小波变换基础 证明：由（ 9.1.2 ）式小波变换的定义，有 将（ 9.4.1 ）式代入该式，有
此即（ 9.5.1 ）和（ 9.5.2 ）式。
dtttxbaWT bax )()(),( ,
dttdadbtbaWTac1baWT
00 babax0
200x )(])(),([),( ,,
dadbdtttc
baWTa babax ])()(1)[,(00 ,,0
2
dadbttc
baWTa babax ])(),(1)[,(00 ,,0
2
第 9章 小波变换基础公式说明： 若 是 的小波变换，那么在平面 上某一点 处小波变换的值 可由半平面 上的值 来表示，也即， 是半平面上 的总贡献。因此这些点上的值是相关的，也即（ 9.4.1 ）式对 的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用 平面上离散栅格上的 来重建 ，以消除重建过程中的信息冗余。
),( baWTx )(tx ),( ba
),( 00 ba ),( 00 baWTx
),( RbRa ),( baWTx),( 00 baWTx
),( aWTx
)(tx
),( ba
),( baWTx )(tx
第 9章 小波变换基础
若 a,b连续取值，要想找到这样的母小波 使
两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换的 必然存在信息冗余。然而，当
a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基
)(, tba
)(t
)(, tba
),( baWTx
第 9章 小波变换基础 9.6小波的分类•第一类 :是所谓地“经典小波”，在 MATLAB中又称作“原始（ Crude ）小波”。•第二类：是 Daubecheis构造的正交小波•第三类：是由 Cohen ， Daubechies构造的双正交小波
第 9章 小波变换基础9.6.1 经典类小波
Haar小波 Haar小波来自于数学家Haar于 1910年提出的Haar正交函数集，其定义是： （9.6.1） 其波形如图9.6.1（ a）所示。 的傅里叶变换是： （9.6.2）
0
11
)(t
其它12/12/10
tt
2/2 )(sin4)(
jea
j
)(t
第 9章 小波变换基础
2/1
21
0
0
0
)(t
)1( t
)2/(t
t
t
t
2
1
1
1
1
图 9.6.1 Harr 小波 (a) ， (b) ， (c) )(t )1( t )2/(t
第 9章 小波变换基础 Haar 小波的优点
• Haar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（ 0 ，1 ）
• Haar 小波属正交小波。若取 ，那么
• Haar 波是对称的。系统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar 小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；
• Haar 小波仅取＋ 1 和－ 1 ，计算简单。
ZbZj2a j ,,
0)2(),( tt j
第 9章 小波变换基础 Haar 小波缺点 Haar 小波是不连续小波，由于 ，因此处 只有一阶零点 ，这就使得 Haar 小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。
0)( dttt
)( 0
第 9章 小波变换基础 Morlet 小波 Morlet 小波定义为 (9.6.3)其傅里叶变换 （ 9.6.4 ） 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号。 Morlet 小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。
tjt eet 2/2
)(
2/)( 202)( e
第 9章 小波变换基础
tet t0
2/ cos)(2
MATLAB中将（ 9.6.3）式改造为： （ 9.6.5）并取 。该小波不是紧支撑的，理论上讲 t 可取 。但是当 ，或再取更大的值时， 和
在时域和频域都具有很好的集中，如图 9.6.2所示。
50
50 ~
)(
)(t
第 9章 小波变换基础
-4 -2 0 2 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Morlet wavelet: Psi
0 0.5 10
2
4
6
8
10
12
14
16The FT of Psi
图 9.6.2 Morlet 小波， (a) 时域波形， (b) 频谱
第 9章 小波变换基础 Mexican hat 小波 该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr 小波。它定义为 : (9.6.6) 式中 ，其傅里叶变换为 (9.6.7)该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的 ,其波形和其频谱如图 9.6.3所示。
2/2 2
)1()( tetct 4/1
32 c
2/2 2
2)( ec
第 9章 小波变换基础
-4 -2 0 2 4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Mexican hat wavelet: Psi
0 0.5 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20The FT of Psi
图 9.6.3 墨西哥草帽小波， (a) 时域波形， (b) 频谱
第 9章 小波变换基础
Mexican hat 小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在 处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征。
0
第 9章 小波变换基础 Gaussian 小波 高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为： ， (9.6.8)式中定标常数是保证 。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当 k取偶数时 正对称，当 k取奇数时，反对称。图 9.6.4 给出了 k=4 时的 的时域波形及对应的频谱。
2tk
k2
edtdct /)( 821k ,,,
1t2
)(
)(t )(t
)(t
第 9章 小波变换基础
-10 -5 0 5 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Gaussian wavelet: Psi
0 0.5 10
5
10
15 The FT of Psi
图 9.6.4 高斯小波，取 k=4,(a) 时域波形， (b)频谱
第 9章 小波变换基础9.6.2 正交小波 目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies 小波，对称小波， Coiflets 小波和Meyer 小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出 ，而是通过一个叫做“尺度函数（ Scalling function ）”的 的加权组合来产生的。
)(t
)(t
第 9章 小波变换基础
Daubechies 小波 Daubechies 小波简称 db 小波。它是由法国女学者 Ingrid Dauechies 于 90 年代初提出并构造。 Daubechies 对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度 a取 2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《 Ten Lectures on Wavelet （小波十讲）》
第 9章 小波变换基础 dbN中的表示 db 小波的阶次， ， 。当时， db1 即是 Haar 小波。因此，前述的 Haar 小波应归于“正交小波”类。 Daubechies计算出了
时的 及 。 db 小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。 的支撑范围在 ， 的支撑范围在 。小波 具有阶消失矩， 在
处具有阶零点。但 db 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（ CQMFB）。
，
10~2N 1N
10~2N
010 ,,),( ghht 1g
)(t )12(~0 Nt )(t
NN ~)1( )(t )(
0
第 9章 小波变换基础
0 2 4 6 8-0.5
0
0.5
1
1.5db4: Phi
0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
1.5db4: Psi
0 0.5 10
5
10
15
20 The FT of Phi
0 0.5 10
5
10
15 The FT of Psi
图 9.6.5 时 db 小波 (a) ， (b) ， (c) ，(d) )(t )(t )( )(
第 9章 小波变换基础
对称小波 对称小波简记为 symN， ，它是 db小波的改进，也是由 Daubechies 提出并构造的。它除了有 db 小波的特点外，主要是 是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图 9.6.6是 N＝ 4时的对称小波。
8,,3,2 N
)(t
第 9章 小波变换基础
0 2 4 6 8-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Sym4: Phi
0 2 4 6 8-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Sym4: Psi
图 9.6.6 N ＝ 4 时的对称小波， (a) ， (b) )(t )(t
第 9章 小波变换基础
Coiflets 小波 该小波简记为 coifN， 。在 db 小波中， Daubechies 小波仅考虑了使小波函数 具有消失矩（ N 阶），而没考虑尺度函数 。
coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为 ，也是接近对称的。 的消失矩是 2N，
的消失矩是 2N－ 1。
5,,2,1 N
)(t
)(t
16 N )(t
)(t
第 9章 小波变换基础
0 10 20 30-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Coif4: Phi
0 10 20 30-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Coif4: Psi
图 9.6.7时的 Coiflets 小波， (a) ， (b) )(t )(t
第 9章 小波变换基础
Meyer 小波 Meyer 小波简记为 meyr ，它是由 Meyer 于 1986 年提
出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。 Meyer 小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在 [－ 8， 8]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。
第 9章 小波变换基础
-10 -5 0 5 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-10 -5 0 5 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
图 9.6.8 Meyer 小波， (a) ， (b) )(t )(t
第 9章 小波变换基础9.6.3 双正交小波 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的 ， 和 与
都不具有线性相位（ Haar 小波除外）。 Daubechies 和 Cohen 提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。
)(t )(t 010 ,, ghh
1g
第 9章 小波变换基础 双正交滤波器组简称 biorNr,Nd，其中 Nr 是低通
重建滤波器的阶次， Nd是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB中， Nr 和 Nd的可能组合是： Nr=1, Nd=1,3,5 Nr=2, Nd=2,4,6,8 Nr=3, Nd=1,3,5,7,9 Nr=4, Nd=4 Nr=5, Nd=5 Nr=6, Nd=8
第 9章 小波变换基础
这一类小波不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波 的消失矩为 Nr-1 。图 9.6.9 给出的 bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。
)(t
第 9章 小波变换基础
0 5 10 15-1
0
1
2Dec. scalling function:Phi
0 5 10 15-4
-2
0
2
4Dec. wavelet function:Psi
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8Rec. scalling function:Phi
0 5 10 15-1
-0.5
0
0.5
1Rec. wavelet function:Psi
图 9.6.9 双正交小波 bior3.7 (a) 分解尺度函数 ， (b) 分解小波 ， (c) 重建尺度函数 ， (d) 重建小波
)(t )(t
)(t )(t
第 9章 小波变换基础9.7 连续小波变换的计算
在（ 9.1.2）式关于小波变换的定义中，变量t， a和 b都是连续的。在计算机上实现一个信号的小波变换时t， a， b和均应离散化。对离散化最常用的方法是取 ，并取 ，这样 。 按 2的整次幂取值所得到的小波习惯上称之为“二进 (dyadic)”小波。
Zjaa j ,0 20 a ja 2
第 9章 小波变换基础
然而取 ，在实际工作中有时显得尺度跳跃太大。希望在 a>0的范围内任意取值时，这时的小波变换即是连续小波变换。 用数值积分的方法计算（ 9.1.2 ）式，即，令
(9.7.1)
Zja j ,2
dta
bttxa
baWTx )()(1),(
k
k
kdt
abttx
a1
)()(1
第 9章 小波变换基础 由于在 的区间内， ，所以上式
又可写为：
(9.7.2)
由该式可以看出，小波变换 可看作是 和 的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中间变量是t，卷积后的变量为a及 b。 MATLAB中的 cwt.m即是按此思路来实现的。
k
k
kdt
abtkx
a1
)()(1
])()()[(1 1
k
k
kdt
abtdt
abtkx
a
1~ kkt )()( kxtx
),( baWTx
),( baWTx )(kx
)(a
bt
第 9章 小波变换基础小波变换的大致过程： 先由指定的小波名称得到母小波 及其时间轴上
的刻度，假定刻度长为 ； 从时间轴坐标的起点开始求积分 ， 由尺度 a确定对上述积分值选择的步长， a越大，
上述积分值被选中的越多； 求 和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差
分，即完成（ 9.7.2 ）式。
)(t
1~0 N
dttk
)(0
1,,1 Nk
)(kx
第 9章 小波变换基础方法的不足 :在a变化时，(9.7.2）式中括号内的积 分、差分后的点数不同，也即和 卷积后的点数不同。解决的方法 :是在不同的尺度下对 作插值，使其 在不同的尺度下，在其有效支撑范围 内的点数始终相同。 有关 CWT快速计算的方法还可借助于 CZT及梅林变换等方法 。
)(kx
)(t
第 9章 小波变换基础例题： 例 9.7.1 令 为一正弦加噪声信号，它取自 MATLAB中的 noissin.mat 。对该信号作 CWT ， a分别等于 2和 128， a=2 时，小波变换的结果对应信号中的高频成份， a=128时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图 9.7.1(a) ， (b) 和（ c）。
)(tx
第 9章 小波变换基础
0 200 400 600 800 1000-2
0
2
sig
nal "
nois
sin"
0 200 400 600 800 1000-1
0
1 a
=2
0 200 400 600 800 1000-20
0
20
a=1
28
图 9.7.1 信号“ noissin” 的小波变换 (a)原信号 x(t) ， (b)a=2 ， (c)a=128
第 9章 小波变换基础
例 9.7.2 仍然使用例 9.7.1 的信号“ noissin”，对其作 CWT 时 a分别取 10， 30， 60， 90，120 及 150。所得到的图 9.7.2 是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。
第 9章 小波变换基础Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 ...
time (or space) b
scal
es a
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
10
30
60
90
120
150
图 9.7.2 多尺度下小波变换的灰度表示
第 9章 小波变换基础9.8 尺度离散化的小波变换及小波标架
对同一个信号 ，在 “时－频平面” a-b 上，给出几种不同的表示形式： STFT： （9.8.1） Gabor变换： （9.8.2） WVD： （9.8.3） 小波变换： （9.8.4）
)(tx
detSTFTg
tx tjx ),(
)0(21)(
)()( ,, thctx nmm n
nm
detW
xtx tj
x ),2
()0(2
1)(
dadbtbaWTac
tx bax )(),(1)( ,0
2
第 9章 小波变换基础9.8.1 尺度离散化的小波变换
目前通用的对 a离散化的方法是按幂级数的形式逐步加大 a，即令 。若取 ，则 (9.8.5)称为“半离散化二进小波”，而 (9.8.6)称为二进小波变换。
Zjaaa j ,0, 00 20 a
))(2(2)( 2/, btt jjbj
)(),(),( , ttxbjWT bjx
dtbttx jj ))(2()(2 2/
第 9章 小波变换基础 设：母小波 的中心频率： ，带宽： ，当 时， 的中心频率变为 ，带宽
。若 时， 的中心频率和带宽分别是： ， 。从对信号作频域分析的角度，希望当 a由 变成 时， 和 在频域对应的分析窗 和 能够相连。。这样，当 j由 0
变至无穷时， 的傅里叶变换可以覆盖整个 轴。
)(t0
ja 2 )(, tbj 0jj
00j 22 /)(
jj
2 12 ja )(,1 tbj
01j
01j 2 )(
121
jj
j2 12 j )(, tbj )(,1 tbj
])(,)[(jj 0j0j
])(,)[(1j1j 01j01j
)(, tbj
第 9章 小波变换基础由 恢复 ： 设 是 的对偶小波，并令 和 取类似的形式，即
(9.8.7)
这样，通过对偶小波，我们希望能重建 ： (9.8.8)
对上式作如下变换：
),( bjWTx )(tx
))(2(ˆ2)(ˆ 2/, btt jjbj
)(tx
dbbtbjWTtx jx
j
j ))(2(ˆ),(2)( 2/3
)(ˆ t )(t
))(2(ˆ),,(2)( 2/3 btbjWTtx jx
j
j
))]((ˆ[)],,([/ bt2bjWT212 j
xj
2j3
)(ˆ , tbj )(, tbj
第 9章 小波变换基础
由（ 9.1.3）和（ 9.1.4 ）式，有 (9.8.9)显然，若 (9.8.10)则（ 9.8.9 ）式的右边变成 的傅里叶反变换，自然就是 。
deXtx tjjjjj
j
j ])2(ˆ2)][2(2)([212)( 2/2/3
deX tjj
j
j )]2(ˆ)2()[(21
1)2(ˆ)2(
jj
j
)(X
)(tx
第 9章 小波变换基础 对于满足容许条件的小波 ，当 时，其二进制小波 对应的傅里叶变换应满足（ 9.4.4 ）式的稳定性条件。这样，结合（ 9.4.4 ）和（ 9.8.10）式，我们可由下式得到对偶小波 :
(9.8.11)由于（ 9.8.11 ）式的分母满足（ 9.4.4 ）式，因此有 (9.8.12)
这样，对偶小波 也满足稳定性条件，也即，总可以找到一个“稳定的”对偶小波 由（ 9.8.8）式重建出 。
)(t Zja j ,2
)(, tbj
)(ˆ t
j
j 2)2(
)()(ˆ
AB j
j 1)2(1 2
)(ˆ t)(ˆ t )(tx
第 9章 小波变换基础定理 9.4 : 如果存在常数 ，使得 (9.8.13)则 (9.8.14)如果 满足 (9.8.15)则 (9.8.16)
0,0 BA
��B2Aj
2j )(
222 ),(21 xBbjWTxA x
jj
)(ˆ t
}{ 1)2(ˆ)2( ０－＝�� Rjj
j
)(ˆ),(2)( , tjWTtx jxj
j
dbbtbjWT jx
j
j ))(2(ˆ),(2 2/3
第 9章 小波变换基础 定理 9.4指出，若 的傅里叶变换满足稳定性条件，则 在 上的小波变换的幅平方的和是有界的。进而， 和 的傅里叶变换若满足（ 9.8.15）式（也即（ 9.8.10）式），则 可由（ 9.8.16）式重建。 若（ 9.8.13）式的稳定性条件满足，则（ 9.3.9 ）式
的容许条件必定满足，且 (9.8.17)从而，由连续小波变换 总可以恢复 ，即（ 9.4.1 ）式总是成立
)(t
)(tx Zja j ,2
)(t )(ˆ t
)(tx
B
BdA0
2
2ln)(
2ln
),( baWTx )(tx
第 9章 小波变换基础总结： 若 满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换 总可以重建，也即一个满足稳定性条件的对偶小波 总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波 不一定是唯一的。如何构造“好”的小波 及得到唯一的对偶小波 是小波理论中的重要内容。
)(t
),( bjWTx
)(ˆ t
)(ˆ t
)(ˆ t
)(t
第 9章 小波变换基础9.8.2 离散栅格上的小波变换 令 ，可实现对 a 的离散化。若 j=0 ，则
。当 时，将 a 由 变成 时，即
是将 a扩大了 倍，这时小波 的中心频率比的中心频率下降了 倍，带宽也下降了 倍。 当尺度 a 分别取 时，对 b 的抽样间隔可以取 这样，对 a 和 b离散化后的结果是：
(9.8.18)
)()(, bttbj
Zjaa j ,0
0j 10
ja ja0
0a )(, tkj )(,1 tkj
0a 0a,,,, 2
0100 aaa
,,,, 0200
1000 bababa
)]([)( 0002/
0, bkataat jjjkj
Zkjkbtaa 0j
02j
0 ,)(/ ��
第 9章 小波变换基础
对给定的信号 连续小波变换可变成如下离散栅格上的小波变换，即 (9.8.19)此式称为“离散小波变换（ Discrete Wavelet Transform， DWT）”。注意:式中t仍是连续变量。这样，(a,b)平面上离散
栅格的取点如图9.8.1所示。图中取 ，尺 度轴取以2为底的对数坐标。
)(tx
dtttxkjWT kjx )()(),( ,
20 a
第 9章 小波变换基础
图 9.8.1 DWT 取值的离散栅格 由该图可看出小波分析的“变焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），对时域的分析点数是不相同的。
第 9章 小波变换基础 记 ，仿照傅里叶级数和 Gabor展开那样来重建 ，即 (9.8.20)该式称为小波级数， 称为小波系数， 是 的对偶函数，或对偶小波。
),(, kjWTd xkj
)(tx
)(ˆ)()( , tkdtx kj0j k
j
)(kd j )(ˆ , tkj )(, tkj
第 9章 小波变换基础 对任一周期信号 ，若周期为T，且 ，则可展成傅里叶级数，即 (9.8.21a)式中 是 的傅里叶系数，它由下式求出：
(9.8.21b)
)(tx ),0()( 2 TLtx
)(tx
TekXtxk
tjk 0 ２＝��� ０
)()(
)( 0kX
dtetxT
kXT
T
tjk
2/
2/00)(1)(
第 9章 小波变换基础
小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理
概念却有着明显的不同： 傅里叶级数的基函数 ，是一组正交基，
即 。 小波级数 所用的一族函数不一定是正交基，甚至不一定是一组“基”；
Zke tjk ,0
)(, 210201 kkee tjktjk
)(ˆ , tkj
第 9章 小波变换基础
对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和重建的基函数是一样的，即 都是（差一负号）；对小波级数来说，分析所用的函数是可变的，且分析和重建 所用的函数是不相同的，即分析时是 ，而重建时是 ；
在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不变的，而小波级数在 a,b轴上的离散化是不等距的，这正体现了小波变换“变焦”和“恒 Q”性的特点。
tjke 0
)(, tkj
)(, tkj )(ˆ , tkj
第 9章 小波变换基础
将连续小波变换改变成离散小波变换的疑问： 一族小波函数 ，在空间 上
是否是完备的？所谓完备，是指对任一 ，它都可以由这一组函数（即 ）来表示；
如果 是完备的，那么 对的表示 是否有信息的冗余？
如果 是完备的，那么对 a 和 b 的抽样间隔如何选取才能保证对 的表示不存在信息的冗余？
Zkjtkj ,),(, )(2 RL
)()( 2 RLtx
)(, tkj
)(, tkj )(, tkj )(tx
)(, tkj
)(tx
第 9章 小波变换基础9.8.3 小波标架理论介绍 标架的基本理论，其要点是： 若 是 Hilbert空间中的一组向量，对给定的 若存在常数 ，满足 (9.8.22) 则 构成了一个标架； 若 A=B，则称 为紧标架，若 A=B=1 ，则 成一正交基 定义标架算子 S为 (9.8.23)则 (9.8.24)记 为的对偶函数族，则 也构成一个标架，标架界分别为 和 ；
n )()( 2 RLtx
BA0222 , xBxxA
nn
n
n n
n
nnxSx ,
nn
nnn
n SxSxx 11 ,, nn S 1ˆ n̂
1B 1A
第 9章 小波变换基础 用标架来表征一个信号 ，也即对 作分解时，标架 可给出完备的且是稳定的表示，但这种表示是冗余的，即 之间是线性相关的，因此 不是唯一的。对信号的冗余表示有时并不一定是坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性（ robustness ）方面都优于正交基；
标界边界 B和之 A 比值，即 B/A称为冗余比。在实际工作中，总希望接近于 1，即 为紧标架。当A=B时，有
(9.8.25)
n
x x
n̂
n
jj A 1ˆ
第 9章 小波变换基础定理9.5 : 如果 构成 中的一个标架，且标架边界分别为 A和 B，则母小波须满足：
(9.8.26a)及 (9.8.26b)
Zkjkbtaat jjkj ,),()( 00
2/0, )(2 RL
BabdAab 2
ln)(2ln 00
0
200
BabdAab 2
ln)(2ln 00
02
00
第 9章 小波变换基础
以上定理又称构成标架 的必要条件。这一条件实际上即是连续小波变换中的容许条件。当仅 a 对取二进制离散化， b保持连续时，该必要条件也就是充分条件。
)(, tkj
第 9章 小波变换基础
若 构成紧标架，即 A=B，那么，其标架边界 (9.8.27) 若 构成 中正交基，则 (9.8.28)
)(, tkj
0
2
000
2
00
)(ln2)(
ln2 d
abd
abA
)(, tkj )(2 RL
0
002
0
2
2ln)()(
abdd
第 9章 小波变换基础定理 9.6: 定义 (9.8.29)及 (9.8.30)如果 和 的选取保证 (9.8.31a)及 (9.8.31b)则 是 中的一个标架。 、 分别是标架界 A和 B的下界与上界。
)()(sup)(
j0
j
j0
a1aa
0
2/1
00
0
)]2()2([b
kb
k
kk
0a 0b
j
j
aa
bA 0))(inf(1 2
010
00
j
2j0
a100 a
b1B
0
))(sup(
)(, tkj )(2 RL 0A 0B
第 9章 小波变换基础 例 9.8.1 对（ 9.6.6）式给出的墨西哥草帽小波，利用（ 9.8.31 ）式计算在 a和 b取不同步长时边界 A和 B的值，如表 9.8.1 所示。表中 取
。显然， N越大，对 a离散化的步长越小。
jaa 0 Na /10 2
4,3,2,1N
第 9章 小波变换基础
第 9章 小波变换基础
第 9章 小波变换基础由该表可以看出：当 时，墨西哥草帽离散化后的 都接近于构成一个紧标架，即这时的 B/A 接近于 1；
同一值 N下， 越小， A和 B的值越大，因为这时 所以它们的值反映了冗余度的大小。显然， 越小，冗余度越大，自然 A和 B越大；
同一 N值下， 越大， B/A的值越大，这就越远离紧标架。若再增加 ，有可能使求出的为负值，从而使这时的 不再构成标架。
75.00 b )(, tnm
0b BA
0b
0b
0b)(, tnm
第 9章 小波变换基础总结： 总之，以上的标架理论及边界值 A 、 B 的计算给我们一个大致估计选取 的原则，即二者的选取要保持离散化后的 至少要构成一个标架，以保证对信号稳定、完备的表示。但在一般情况下，标架并不是正交基，除非 A=B
=1 。
00 ,ba
)(, tnm
第 9章 小波变换基础
定义 9.8.1 ： 若 是由母小波 通过伸缩与移位生成的 上的“稠密”的二维函数族，并且存在常数和，使得
(9.8.32)对于所有满足平方和的序列 成立，式中 (9.8.33)则称 是 上的一个 Riesz基，常数A、 B分别称为 Riesz基的下界和上界。
Zkjtkj ,,)(, )(t
)(2 RL
2
2,
2
2
,,
2
2, kjj k
kjkjkj cBccA
j kkjkj cc
2
,
2
2,
kjc ,
Zkjtkj ,),(, )(2 RL
第 9章 小波变换基础 定义中“稠密”的含义是指 中的任一函数都可由二维序列 的线性组合来表示。定义的简单解释如下：
首先， 是一个标架； 对任意的 ， 之间是线性无关的。
这样， Riesz基可以比标架最大限度地去除冗余度。此外，生成 Riesz基 的母小波 称为 Riesz函数
)(2 RL
Zkjtkj ,),(,
Zkjtkj ,),(,
Zkj , kj ,
Zkjtkj ,),(, )(t
第 9章 小波变换基础 Riesz基的对偶函数序列 也是一个Riesz基，因此 对任意的 j,k是线性无关的，对给定的 ，其对称基 是唯一的。这样，我们有
(9.8.34)
Zkjtkj ,),(ˆ ,
kj ,̂
kj , kj ,̂
ˆ,)( ,, kjj k
kjxtx
kjj k
kjx ,, ˆ,
第 9章 小波变换基础其它有关小波的定义： 正交小波 若 Riesz基 满足 (9.8.35)则称生成 的母小波 为正交小波。式中 (9.8.36)（ 9.8.35）式指出，在同一尺度 j下，不同移位之间的 是正交的。同时，在同一位移 k下，不同尺度 j之间的 也是正交的。
Zkjtkj ,),(,
kkjjkjkj ,,,, ,
)(, tkj )(t
0,1
)()(,, kkjjkkjj 其它
kkjj ,
kj ,
kj ,
第 9章 小波变换基础
半正交小波 若 满足 ，对 （ 9.8.37）
该式的含义是，若 ，则 。这时，对不同的位移 k之间 不是正交的。因此，生成 的 称为半正交小波。
Zkjtkj ,),(,
0, ,, kjkj Zkjkjjj ,,,,
jj 0, ,, kjkj
kj ,
kj , )(t
第 9章 小波变换基础双正交小波 若 和其对偶小波 之间满足 (9.8.38)则称生成 的 为双正交小波。 半正交小波不是正交小波，双正交小波指的是和 其对偶之间的关系，因此也不是正交小波。但一个正交小波必定是半正交的，也是双正交的。
Zkjtkj ,),(, Zkjtkj ,),(ˆ ,
kkjjkjkj ,,,, ˆ,
)(, tkj )(t
)(t
)(ˆ t
第 9章 小波变换基础 正交小波、半正交小波及双正交小波之间 的关系： 定理 9.7： 令 是一个半正交小波，其傅里叶变换为 ，定义
(9.8.39)并记 的傅里叶反变换为 ，则由 和 分别作二进制伸缩和移位生成的 和 之间是双正交的。
)()( 2 RLt
)(
k
k 2)2(
)()(ˆ
)(ˆ )(ˆ t )(t )(ˆ t
kj , kj ,̂
第 9章 小波变换基础
该定理给出了将半正交小波变成正交小波的方法。若 为正交小波，则（ 9.8.39 ）式的分母为 1，这样 ，也即 。即正交基和其对偶基是一样的。
)(t
)()(ˆ )()(ˆ tt
第 9章 小波变换基础 令 (9.8.40)并记 为 的傅里叶反变换。由定理（ 9.7）， 的对偶小波 应由下式给出：
(9.8.41)可以证明， ，即 和其对偶函数 是自对偶的，因此， 即是正交小波。
k
k 2/12 ])2([
)()(
)(t )(
)(t )(ˆ t
k
k2
)2(
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)( )(t )(ˆ t
)(t
