Embed Size (px)
DESCRIPTION
dd
Citation preview
Osnovna literatura:
Jurković, M.: Matematičko modeliranje inženjerskih procesa i sistema, Tehnički fakultet, Bihać, 1999.Jurković, M.:Matematičko modeliranje i optimizacija obradnih procesa, Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 2000.Jurković, M., Reinženjering proizvodnih poduzeća-razvoj i modernizacija proizvodnje, Tehnički fakultet, Bihać, 2011.Seminsrski računsko grafički rad: Modeliranje i simulacija procesa, mentor prof.dr. M. Juroković, Tehnički fakultet, Bihać, 2002.Jurković, M.: Eksperimentalna analiza naprezanja i deformacija / Eksperimentalne metode, 17. poglavlje, str. 279-347. u knjizi Doleček, V., Karabegović, I. , Martinović, D., Jurković, M., Blagojević, D., Bogdan, Š., Bijelonja, I., Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.
1. Kako koristiti teorijska znanja u praktične svrhe?
Matematičko modeliranje inženjerskih procesa i sistema ima veliko značenje u širokom području tehničkih znanosti i praksi, kao i u svim drugim oblicima kvantitativnih istraživanja. Moderna se znastvena misao temelji na uvjerenju da teorijske podloge i koncepti imaju realnu osnovu ako se izražavaju u obliku kvantitativnih pokazatelja.. Tada je moguće teorijska znanja efikasno koristiti u praktične svrhe.
2. Kako implementirati znanje u konkretan proizvod, proces ili sistem?
Teži se definiranju procesa i sistema u obliku matematičkog modela kako bi se ustanovio kvantitativni odnos između ulaznih i izlaznih varijabli obradnog procesa ili sistema. Ovo otvara niz mogučnosti da se efekti kao izlazi iz procesa ili sistema mogu predstaviti na osnovi promjene ulaznih varijabli u process ili sistem.
3. Što obuhvaća modeliranje i gdje se može implementirati?
Modeliranje u širem smislu obuhvaća sva područja čovjekova rada i stvaranja. Moguće implementiranje je u optimizaciji obradnih procesa u području proizvodnog strojastva, a moguća je implementacija i u drugim znastveno-stručnim područjima kao što su:
Procesna tehnika, Energetika Strojogradnja Metalurgija Elektrotehnika Hidraulika Termodinamika i dr.
4. Šta se podrazumijeva pod modeliranjem i šta je rezultat modeliranja?
Pod modeliranjem se podrazumijeva definiranje matematičkih modela i drugih prikaza koji su neophodni za optimizaciju, simulaciju, revitalizaciju i upravljanje procesima i sistemima. Modeliranje isto podrazumijeva poznavanje matematičkog modela procesa, što je prvi uvjet i plazište za inoviranje i revitalizaciju procesa ili sistema.Rezultat modeliranja i optimizacije obradnih procesa i sistema je jeftinija, kvalitetnija i profitabilnija proizvodnja.
5. Koji su ciljevi modeliranja?
Ciljevi modeliranja su:
Povećanje proizvodnosti, Povećanje Ekonomičnosti, Povećanje Ukupne kvalitete proizvoda ili pojedinih segmenata kvalitete Te smanjenje utroška materijala, energije, vremena obrade I troškova obrade po
jedinici proizvoda.
6. Koje su teškoće u primjeni analitičkih modela?
Kod analitičkog modela definiranje dovoljno pouzdanih matematičkih modela je vrlo složeno i zahtijeva puno aproksimacija, a teškoća leži u tome što na kraju utiče na tačnost dobivenog rezultata.
7. Zašto se izvodi modeliranje i šta je svrha?
Osnovna svrha modeliranja je definiranje matematičkih modela koji će u odgovarajućem stupnju točnosti adekvatno opisati proces ili sistem u cilju: simulacije varijantnih rješenja, analize i prognoziranja stanja procesa još u fazi projektiranja definiranja matematičkih modela koji su neophodni za optimizaciju procesa i iznalaženje optimalnih rješenja izgradnje modela upravljanja za dati sistem, odnosno objekt optimizacije znanstvenih istraživanja ili praktične primjene u realnim procesima. (Knjiga Matematičko modeliranje...,strana 6, 1.1 Svrha i cilj modeliranja)
8. Šta prethodi tehnološkoj i ekonomskoj optimizaciji procesa?
Tehnološko oblikovanje i projektiranje modernih procesa obrade zahtjeva analizu svih tehničko-tehnoloških parametara procesa i primjenu znanstvenih metoda u cilju modeliranja i definiranja optimalnih uvjeta obradnih procesa i sistema, u cilju optimizacije, ekonomičnosti, smanjenja utroška materijala itd. Da bi se navedeni ciljevi ostvarli potrebno je djelovati u pravcu:
implementiranja novih i usavršavanje postojećih metoda i postupka obrade projektiranja i primjene visokoproizvodnih postupaka obrade i obradnih sistema primjene znanja u procesu projektiranja i optimizacije postupka obrade, što zahtjeva
definiranje pouzdanih matematičkih modela razvoja i primjene eksperimentalnih metoda revitalizacije proizvodnih tehnologija i
proizvoda stalnog inoviranja i revitalizacije proizvodnih tehnologija i proizvoda definiranja empirisko-analitičkih i drugih modela potrebnih za optimizaciju i
simulaciju procesa i sistema u fazi projektovanja(Knjiga Matematičko modeliranje...,strana 5, 1 Uvod)
9. Zašto su potrebni pouzdani matematički modeli?
Zbog sve veće tržišne konkurencije svaki proizvod treba proizvesti kvalitetno, jeftino i na vrjeme, što zahtjeva definiranje i realiziranje optimalnog procesa obrade, a ne bilo kakvog. Zato primjeni optimalne tehnologije u datom procesu obrade uvjek treba predhoditi izgradnja dovoljno točnoga i pouzdanoga matematičkog modela, jer je to uvjet postojanja skupa viševarijantnih rješenja iz kojih je moguće definirati optimalno. (Knjiga Matematičko modeliranje...,strana 7, 1.2 Značenje izgradnje pouzdanih matematičkih modela)
10. Koja je razlika između klasičnog i modernog procesa rada?
Razlika između klasičnog i modernog procesa obrade-rada prikazana je na slici, kod klasičnog procesa obrade izostavljena je optimizacija i modeliranje, a tehno-ekonomska karakteristika ne mjenja se, dok kod modernog-savremenog procesa obrade dolazi do optimizacije i modeliranja procesa obrade a tehno-ekonomska karekteristika teži jedinici.
Slika Procesi obrade, a. konvencionalni, b. suvremeni-optimizirani
11. Kako se mogu unaprijediti klasični-konvencionalni procesi rada i koje su koristi od toga?
Tehnologije obrade koje se primjenjuju niz godina u određenom konvencionalnom- standardnom obliku mogu se primjenom odgovarajućih metoda modeliranja inovirati bez znatnijih financiskih ulaganja, ali uz korištenje znanja i informatičkih tehnologija. (Knjiga Matematičko modeliranje...,strana 7, 1.2 Značenje izgradnje pouzdanih matematičkih modela)
12. Koje su osnovne metode modeliranja?
Osnovne metode modeliranja mogu biti determinističke i stohastičke. Kod determinističkog procesa obrade postoji jednoznačna ovisnost izlaznih (upravljanih) veličina y od ulaznih veličina x tako da deterministički matematički model ne sadrži poremećejne veličine z (poremećajnu veličinu z ima stohastičkimodel) pa model procesa ili sistema ima oblik:
Blok shema determinističkog modela
Deterministički model često predstavlja približan i pojednostavljen matematički opis realnog procesa, međutim osnovna obilježija svakog realnog objekta ili procesa obrade su skoro redovito stohastička.
Stohastički modeli dolaze u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj nekontroliranih- poremećajnih slučajnih faktora z.
Blok shema stohastičkog modela
U analizi istraživanja procesa i sistema mogu biti primjenjene neke od sljedećih metoda modeliranja:
Analitičko Stohastičko Dimenzionalno Numeričko Računalno-grafičko Fizikalno Analogno Misaono
13. Koja je razlika između determinističkog i stohastičkog modela (prikazati)?
Kod determinističkog procesa obrade postoji jednoznačna ovisnost izlaznih veličina yod ulaznih veličina x, tako da deterministički model ne sadrži poremećajne veličine z.Model procesa ili sistema ima oblik:
Blok shema determinističkog modela
Fsi ( x , y )=0 , i=1,2,3 ,….uz ograničenje:
F gi ( x , y )≤ 0 , i=1,2,3 ,….
ili u eksplicitnom obliku uz isto ograničenje : y=F ( x ).
Deterministički model često predstavlja približan i pojednostavljen matematički opis realnog procesa. Međutim, osnovna obilježja svakog realnog objekta ili procesa obrade su skoro redovito stohastička. To znači, ako se želi dobiti i tačan matematički opis nekog realnog procesa ili sistema, mora se opis definirati u obliku stohastičkog modela.Prema tome, deterministički model može se koristiti, samo, kada se stohastička obilježja u realnom procesu ili sistemu manjeg intenziteta ili kada se želi približan ili pojednostavljen ali dovoljno tačan matematički opis stohastičkog procesa ili sistema.Stohastički modeli (empirijsko-statistički) dolaze u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj nekontroliranih-poremećajnih slučajnih faktora z .
Tako opći matematički model stohastičkog procesa glasi:Fsi ( x , y , z )=0 , i=1,2,3 ,….
uz ograničenje: F gi ( x , y , z ) ≤0 , i=1,2,3 , ….
ili u eksplicitnom obliku: y=F ( x , z ).
Blok shema stohastičkoga modela
14. Kako se izražava deterministički model?
Deterministički model se izražava pomoću različitih matematičkih struktura, kao što su:. algebarske obične diferencijalne, parcijalne, integralne i dr. jednačine.
15. O kakvom se matematičkom modelu radi kad neobuhvaćeni parametri ne utječu na izlazne parametre i kada svakom skupu ulaznih parametara odgovara jednoznačno skup izlaznih parametara?
Ako neobuhvaćeni parametri ne utječu na izlazne parametre procesa (varijanta kada se u pravilu može razmatrati kao čisto hipotetički skup) i ako svakom konkretnom skupu obuhvaćenih ulaznih parametara odgovara jednoznačno određeni skup izlaznih parametara, tada se govori o determinističkom matematičkom modelu procesa.
16. Koje sve postoje metode modeliranja procesa i sistema?
17. Koji je glavni značaj stohastičkog modeliranja?
Stohastičko modeliranje koristi eksperimentalne rezultate i metode matematičke statistike. Ovakvi su modeli veoma korisni u mnogim inženjerskim i znanstvenim istraživanjima (procesi obrade, obradni sistemi, tribološki procesi, tačnost i kvaliteta obrade, minimizacija utroška energije, materijala i vremena obrade, procesno inženjerstvo, toplinski procesi itd). Suvremeni pristup modeliranju temelji se na povezivanju teorije i eksperimenta. Osnovna karakteristika stohastičkog modela je visok stupanj pouzdanosti i tačnosti uz znatne troškove modeliranja, radi potrebne pripreme i realizacije eksperimenta.
18. Kako se dobiju matematički modeli dimenzionalnim modeliranjem?
Dimenzionalno modeliranje se koristi u mnogim područjima kao što su: hidrotehnika, aerotehnika, hemijska i procesna tehnika, termodinamika, procesi obrade itd. Teorija dimenzionalnosti, iako ima prostu proceduru primjene, još uvijek je nedovoljno iskorištena u modeliranju i analizi procesa, posebno kod proizvodni procesa i sistema. Dimenzionalnim modeliranjem se dobiju matematički modeli sastavljeni od bezdimenzionalnih veličina i eksponenata koji se obrade korištenjem eksperimentalnih rezultata. Dakle i kod modeliranja primjenom teorije dimenzionalnosti eksperimentalno je istraživanje osnova za definiranje matematičkih modela u obliku koji će biti pogodan za praktičnu primjenu.
METODE MODELIRANJA
Analitičke Numeričke Stohastičke Računalno - grafičke
Dimenzionalne Fizikalne Analogne Misaone
19. Gdje i zašto se koristi numeričko modeliranje?
Numeričko modeliranje se koristi za: - modeliranje naprezanja i deformacija u području elastičnih, elasto-plastičnih i
plastičnih deformacija, - proračun sila opterećenja sistema i alata, - simulaciju procesa i - izbor optimalne konstrukcije ili varijante procesa obrade.
Uz pomoć ove metode moguće je definirati matematičke modele i izvesti simulacije rješenja bez provedbe eksperimentalnih istraživanja i izrade prototipnih sistema, što znatno skraćuje vrijeme proračuna, analize, projektiranja procesa i pojeftinjuje poslove koji prethode aplikaciji.
20. Šta je osnovni cilj modeliranja, šta se definira modeliranjem i kako se prikazuju ovisnost parametara?
Osnovni cilj modeliranja je definiranje matematičkih modela i drugih prikaza koji su neophodni za optimizaciju, simulaciju, revitalizaciju i upravljanje procesima i sistemima. Ili drugim riječima, osnovni je cilj izgradnja matematičkih modela koji će u odgovarajućem stanju tačnosti adekvatno opisati process ili sistem, u cilju:
- Simulacije varijantnih rješenja, analize i prognoziranja stanja procesa još u fazi projektiranja,
- Definiranja matematičkih modela koji su neophodni za optimizaciju procesa i iznalaženje optimalnih rješenja,
- Izgradnje modela upravljanja za dati sistem, tj. objekt optimizacije,- Znanstvenih istraživanja i/ili praktične primjene u realnim procesima.
POČETAK
Formalizirano opisivanje procesa
Identifikacija mikro procesa
Analiza ulazno-izlaznih parametara
Utvrđivanje skupa Xi Zi Yi i=1,2,3,...
Definiranje granice parametara
Matematičko opisivanje procesa
Formiranje matematičkog modela mikro procesa
Sinteza matematičkih modela mikro procesa
Analiza adekvatnosti i pouzdanosti matematičkog modela
Definiranje algoritma
Ispitivanje toka funkcije
Rješavanje sistema jednadžbiRačunalo
Računalo
21. Koji su glavni koraci algoritma razvoja matematičkog modela?
Opći algoritam razvoja matematičkog modela
OBRADAK (materijal, stanje oblik)
ALAT (materijal, vrsta, geometrija)
STROJ (tačnost, snaga, pogon, upravljanje)
TRIBOLOGIJA(sredstvo za hlađenje i podmazivanje)
VRSTA PROCESA OBRADE(tokarenje, glodanje, bušenje, izvlačenje, istiskivanje, zavarivanje, ...)
UVJETI PROCESA OBRADE(brzina, posmak, dubina, temperatura, deformacija, postojanost, trenje,...)
Dinamika procesa (ukupne i specifične sile, momenti)
Energetika procesa (utošak, stupanj iskoristivosti)
Otpornost trošenju (temperatura, trenje, trajnost)
Geometrija obrađene površine i tačnost oblika
Kvaliteta obrađene površine, hrapavost
Otpadak materijala, oblik, stupanj iskoristivost, poteškoće
Vrijeme obrade, troškovi direktnog i indirektnog živog rada
22. Šta podrazumjeva matematičko opisivanje realnog procesa ili sistema?
Matematičko opisivanje realnog procesa obrade podrazumijeva matematičko opisivanje svih elementarnih procesa prikazanih u obliku funkcija i jednadžbi (funkcija postojanosti alata, funkcija istrošenosti alata, funkcija otpora u procesu obrade, funkcija kvalitete obrađene površine,…), sintezu matematičkih modela pojedinih elementarnih procesa u jedinstveni matematiki model te njihovo povezivanje definiranjem dodatnih punkcija.
23. Kako se izvodi identifikacija parametara procesa?
Identifikacija parametara procesa i sistema izvodi se analizom procesa na temelju poznatih teorijskih podataka o konkretnom procesu ili sličnom procesu kada je konkretni proces nedovoljno poznat. Identifikacija parametara procesa može se izvesti i eksperimentalnim putem kada se iz ukupnog skupa identificiranih utjecajnih parametara izabere jedan broj parametara koji se definiraju kao nezavisno promjenjive ulazne veličine (Xi), a ostali se parametri, iako mogu biti nezavisno promjenjive veličine u postupku modeliranja, tretiraju kao konstante.
ULAZNE KARAKTERISTIKE IZLAZNE KARAKTERISTIKE PROCESA KARAKTERISTIKE
Sl. Analiza i identifikacija parametara procesa obrade
PROCES
A
g
vs
a
γ
α
κ
λ
ε
r
O
Elementi režima obrade
G
B, T
Fi(i=1, 2, 3)
A
Ra
θ
OS
S M SHP
Konstante
Zavisno prom
jenjive izlazne veličine
Nezavisno prom
jenjive ulazne veličine
24. Prikaži identifikaciju ulaznih i izlaznih parametara procesa određenom blok šemom.
Identifikacija parametara procesa obrade skidanjem strugotine
Blok shema ovisi o vrsti procesa obrade, broju utjecajnih parametara, cilju istraživanja i složenosti pretpostavljenog modela.
25. O čemu ovisi blok šema procesa? Blok shema procesa ovisi o vrsti procesa obrade, broju utjecajnih parametara, cilju istraživanja i složenosti pretpostavljenog modela. Izlaznih parametara procesa može biti više ili samo jedan, što ovisi od postavljenog cilja modeliranja.
26. Kako se vrši izbor tipa modela i koji su modeli najbolji?
Do modela se može doći na različite načine , međutim osnovno je pitanje u kojoj mjeri taj odabrani model adekvatno opisuje stanje procesa obrade.Osnovni tipovi matematičkih modela su deterministički i stohastički.U smislu odabira osnovnog tipa matemtičkog modela izbor zavisi o omjeru utjecaja slučajnih varijabli.
Pri izboru modela za aproksimaciju eksperimentalnih rezultata traže se modeli koji najbolje opisuju realni proces ili sistem. Funkcija modela može biti, prava linija, parabola drugog ili trećeg reda, hiperbola, logaritamska funkcija
Za izbor tipa modela ne postoji opšte pravilo već da za svaki istraživački proces ili sistem treba izabrati model a zatim izvršiti provjeru njegove tačnosti i adekvatnosti u odnosu na realni proces.
Sliku 2.7 primjeri izbora matematičkog modela ovisno o grupiranju eksperimentalnih rezultata.
27. Šta je induktivni, a što deduktivni put u razradi matematičkih modela?
Postoji više načina da se izgradi model sistema, od kojih su najznačajniji sljedeći pristupi: 1. Deduktivni pristup (polazi od opšteg ka posebnom). 2. Induktivni pristup (za razliku od prethodnog, polazi od posebnog da bi se došlo do
opšteg).
Deduktivni pristup: Ovaj pristup pretpostavlja primjenu opštih iskustava koja su stečena prilikom modeliranja različitih specifičnih procesa. Uz to, pristup koristi i prethodno znanje o razmatranom procesu, koje se zasniva na poznavanju fizičkih zakona koji definišu matematičke relacije između relevantnih varijabli u idealizovanom modelu procesa sa idealizovanim fizičkim komponentama. Na primer, u idealizovanim fizičkim komponentama tijelo odgovarajuće mase se tretira kao tačkasto, uz zanemarivanje njegovih dimenzija, protoci su laminarni, koncentracije su homogeno raspodeljene u rezervoaru, mješavine su idealne i sl. Fizički zakoni se obično izražavaju u obliku algebarskih i/ili diferencijalnih jednačina.
Induktivni pristup: U opštem slučaju se ne raspolaže sa dovoljno apriornog znanja da bi se parametri u usvojenoj strukturi modela procenili adekvatno. U takvim situacijama koriste se tehnike parametarske identifikacije sistema, koje koriste mjerenja ulaza i izlaza sistema da bi estimirale (procijenile) vrijednosti parametara u modelu. Postupak identifikacije zasniva se i na nekim dodatnim pretpostavkama, kao što su, na primjer, klasa linearnih modela, selekcija ulazno/izlaznih varijabli, red modela i sl. Sam postupak pribavljanja informacija o sistemu
naziva se indukcija. U navedenom slučaju postavlja se prirodno i pitanje izbora kriterijuma za poređenje različitih modela u uslovima kada su mjerenja na procesu prisutna.
Ponekad je moguće da se model sistema izvede samo na osnovu deduktivnog pristupa, koristeći odgovarajuće fizičke zakone i procenjene vrijednosti parametara, na bazi fizičkih gabarita. Takav model naziva se “bijeli” model ili “white-box” model.U nekim slučajevima ne postoji adekvatno apriorno znanje o realnom procesu, te model mora da se postavi na osnovu raspoložive mjerne informacije o ulazu i izlazu sistema, ne posjedujući adekvatnu informaciju o internoj strukturi i internim relacijama u sistemu. Tako izveden model naziva se “crni model” ili “black-box” model. Između ova dva granična slučaja nalazi se model u formi sive kutije ili “gray-box” model, koji je u sebe uključio svu moguću raspoloživu apriornu informaciju o realnom procesu.
28. Pri definiranju analitičkog matematičkog modela šta je izvor informacija i što prethodi opisivanju procesa?
Kod analitičkog modeliranja i definiranja analitičkih matematičkih modela (AMM) polazni objekt promatranja i izvor informacija nije uvijek realni proces, već neka apstrakcija u vidu integralnog ili asimptotskog matematičkog modela. Tačnost AMM se može prihvatiti samo poređenjem dobivenih analitičkih i eksperimentalnih vrijednosti istraživanih parametara procesa ili sistema. Matematičkom opisivanju svakog procesa prethodi faza idealizacije tj. uprošćivanja stvarnog procesa.
29. Koje su osnovne faze analitičkog opisivanja procesa?
Analitičko modeliranje je postupak definiranja jednadžbi stanja procesa ili sistema u obliku matematičkih formulacija s primjenom nužnih aproksimacija I pojednostavljenja kako bi se process modeliranja doveo do cilja I dobio prikladan model za inženjersko-tehničku praksu.Osnovni koraci su:
- definiranje ulaznih tehnoloških parametara,- podjela ulaznih tehnoloških parametara na obuhvaćene i neobuhvaćene- podjela obuhvaćenih tehnoloških parametara na promjenjive i konstante u okviru
promatranog modela,- definiranje jednadžbe veze ulazno-izlaznih parametara procesa,- izbor i primjena konkretnih analitičkih i fizikalnih zakona koji određuju jednadžbu
veze- rješenje sistema jednadžbi veze- ispitivanje i provejra tačnosti i pouzdanosti modela.
30. Šta sadrži blok šema algoritma razrade analitičkog modela?
Algoritam razrade analitičkog modela sadrži:
1. Početak2. Informacije o općim zakonima procesa obrade i informacije prethodnih istraživanja i intuitivni zaključci. 3. Skup utjecajnih ulaznih tehnoloških faktora4. Blok formiranih varijabli i konstanti, odnosno izabrani faktori5. Jednadžbe veze ulaznih i izlaznih faktora, izbor odgovarajućih fizikalnih i konkretnih zakona6. Sumu ulaznih fizikalnih faktora7. Znanstvena informacija o metodama realiziranja8. Rješenje sistema jednadžbi9. Empiričke informacije i razvijanje modela (konkretni analitički zakon)10. Provjera tačnosti (pouzdanosti) modela11. Ispis modela 12. Kraj
31. Kako nastaje analitički model?
Analitičko modeliranje je postupak definiranja jednadžbi stanja procesa ili sistema u obliku matematičkih formulacija s primjenom nužnih aproksimacija i pojednostavljenja kako bibse proces modeliranja doveo do cilja i dobio prikladan model za inžinjersko – tehmičku primjenu.
Kod analitičkog modeliranja i definiranja analitičkih matematičkih modela (AMM) polazni objekt promatranja i izvor informacija nije uvijek realni proces, već neka apstrakcija u vidu integralnog ili asimptotskog matematičkog modela. Matematičkom opisivanju svakog procesa prethodi faza idealizacije, tj. uprošćivanja stvarnog procesa. Ipak, kao i svaki model, i matematički model treba što bolje održavati realni ili pretpostavljeni proces, s tim da s matematičkog stajališta bude upotrebljiv. Osnovni su koraci matematičkog opisivanja procesa obrade:
- Definiranje ulaznih tehnoloških parametara- Podjela ulaznih tehnoloških parametara na obuhvaćene i neobuhvaćene- Podjela obuhvaćenih tehnoloških parametara na promjenljive i konstantne u okviru
promatranog modela- Definiranje jednadžbe veze ulazno – izlaznih parametara procesa- Izbor i primjena konkretnih analitičkih i fizikalnih zakona koji određuju jednadžbu
veze- Rješenje sistema jednadžbi veze- Ispitivanje i provjera tačnosti i pouzdanosti modela
32. Šta se koristi za linearizaciju matematičkog analitičkog modela i kako se to izvodi?
Za određivanje lineariziranog matematičkog modela koriste se prvi članovi Taylorova ili Mac-Laurinova reda. Pretpostavka je da su ispunjeni uvjeti za linearizaciju funkcije sile rezanja F, tj. da je funkcija f(x) = f(F) neprekinuta i diferencijabilna u odgovarajućem području.
Mac- Laurinov red:
f ( x )=f (0 )+ f ' (0 )+ x2
2 !f ' ' (0 )+ x3
3 !f ' ' ' (0 )+…
odnosno Taylorov red:
f ( x )=f ( x0 )+( x−x0 ) f ' ( x0 )+( x−x0 )2
2!f ' ' ( x0 )+…
33. Šta je empirijsko – statističko modeliranje?
Radi dobijanja pouzdanog matematičkog modela vrši se statistička obrada eksperimentalnih podataka. Kada se u modelu koriste empirijski podaci kao rezultat se dobiva eksperimentalni matematički model, odnosno stohastički model.
Procesi obrade su kao i drugi procesi u tehnici stohastičkog karaktera pa se koristi empirijsko – statističko modeliranje, koje daje tačnije rezultate u odnosu na druge metode modeliranja. Stohastički ili empirijsko – statistički model polazi od opće funkcije izlazne karakteristike procesa:
y=f ( x , y ) ili y i=f ( x1 , x2, …, xk , …, x p , z1 , z2 , …, zr )i=1,2,3 , …
34. Kako izgleda funkcija signifikantnih i nesignifikantnih parametara i šta su oni?
Prethodna funkcija se nakon selekcije poremećajnih (nesignifikantnih) dijelova z→
može
rastaviti na dvije funkcije:
y=φ ( x1 , x2, …, xk ,… x p )+ψ ( z1 , z2 ,…, zr )ili
y=φ ( x )+ψ ( z )
φ ( x ) - funkcija kontroliranih (signifikantnih) parametara
ψ ( z ) - funkcija nekontroliranih (nesignifikantnih) parametara Definira i slučajnu grešku eksperimentalnog ispitivanja, odnosno slučajnu grešku mjerenja.
35. Šta sadrži šema razrade stohastičkog modela?
Šema razrade stohastičkog modela sadrži:
- Informacije o objektu istraživanja- Eksperiment- Matematičku teoriju plana eksperimenta- Slučajne eksperimentalne podatke- Matricu eksperimenta- Realizaciju- Analizu i obradu rezultata- Definiranje modela- Provjeru adekvatnosti- Ispis modela
36. Postupak razrade stohastičkog matematičkog modela (od početka do ispisa modela).
- Identifikacija skupa svih parametara x i(0 )procesa ili sistema
- Iz x i(0 ) izdvajaju se promjenljivi parametri x i
v, a oni se dijele na x ir – regulirani
parametri i na x in - neregulirani parametri
- Određuju se granice variranja parametara x iv u uvjetima realnog procesa ili sistema
- Nakon toga se odlučuje o metodi izvođenja eksperimenta (pasivni ili aktivni)- Ako se promjena x i
r izvodi po unaprijed utvrđenom planu, onda je eksperiment aktivni
- Slučajne oscilacije x in na granicama Δ x i
n ne utječu na y i - Ako nije moguća realizacija matrice eksperimenta, koriste se slučajni eksperimentalni
podaci, pri čemu se nesistematski izvodi kombinacija promjenljive veličime x iv i y i.
Tada je dobro smanjiti tehnološke zahtjeve, te dopustiti oscilacije parametara x iv u
širim granicama, nego je to slučaj u realnom procesu.- Postupak se završava obradom prikupljenih eksperimentalnih podataka i provjerom
adekvatnosti dobivenog modela.
(Šema je prikazana u knjizi prof. dr. Jurkovića, str. 45.)
37. Šta su slučajne varijable, koje su njihove osobine i kako se uključe u model?
Slučajne varijable su nekontrolirani poremećajni faktori koji se javljaju u procesu ili sistemu.Stohastički model dolazi u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj tih faktora.
Slučajne varijable se nazivaju još i stohastičke varijable.
38. Kakav može biti eksperiment za formiranje stohastičkog modela i koja je razlika između njih?
Razrada stohastičkog modela temelji se na statističkoj obradi eksperimentalnih podataka. Metode definiranja stohastičkih modela mogu biti utemeljene na obradi slučajnih eksperimentalnih podataka koada uvjeti eksperimenta nisu programirani (pasivni eksperiment) i na obradi podataka kada su uvjeti eksperimenta programirani primjenom matematičke teorije planiranja eksperimenta (aktivni eksperiment).
Prednost prve metode je mogućnost razrade matematičkog modela procesa bez promjene postojećeg režima rada sistema ili procesa. Pasivni eksperiment se obično primjenjuje za determinirane pojave, gdje model vrlo često predstavlja približan opis realnog procesa. Kvaliteta aproksimacije podataka pasivnog eksperimenta uglavnom ovisi od izbora tipa jednadžbe aproksimacije. Ovako dobivene aproksimativne jednadžbe često ne zadovoljavaju usvojene kriterije tačnosti modela. Zbog toga se znatno više koriste aktivni eksperimenti.
Drugom metodom se definira tačni matematički model s minimalnim brojem eksperimentalnih podataka, što se postiže programiranom promjenom ulaznih parametara s unaprijed utvrđenim granicom variranja u uvjetima realnog procesa.
39. Kako se izvodi identifikacija parametara za formiranje stohastičkog modela (prikazati korak po korak)?
Definiranje stohastičkog modela počinje identifikacijom skupa svih parametara .
Iz tog skupa ( ) izdvajaju se promjenljivi parametri , a oni se dijele na regulirani parametri i na - neregulirani parametri. Zatim se određuju se granice variranja parametara u uvjetima realnog procesa ili sistemaNakon toga se odlučuje o metodi izvođenja eksperimenta (pasivni ili aktivni)
40. Postupak obrade rezultata eksperimenta.
Obrada rezultata eksperimenta je završni dio eksperimentalnog istraživanja, a sastoji seiz provjere podataka, određivanja greške eksperimenta ili njenog mjerila, provjere hipoteze isređivanje rezultata u obliku u kome će biti prikazani. Pri ovome se teži da se iz rezultatadobije što više informacija i da su one što vjerodostojnije.U inženjerskim eksperimentima se najčešće zahtijeva kvantitativno prikazivanje rezultatau obliku funkcije ili grafikona, što omogućuje savremena računarska tehnika.
41. Postupak obrade rezultata stohastičkog eksperimenta.
Slika obrade rezultata stohastičkog eksperimenta, dr. prof. M. Jurković, str. 46.
1. Početak2. Izbor oblika matematičkih modela i proračun koeficijenata regresije3. Proračun disperzije paralelnih eksperimenata
4. Provjera homogenosti disperzija po kriteriju Cochran-a:Ukoliko uvjet homogenosti disperzija nije ispunjen, vraćamo se na 2.Ukoliko je uvjet homogenosti disperzija ispunjen, prelazimo na 5.5. Izračunavanje greške eksperimenta6. Proračun disperzije koeficijenata regresije7. Provjera značajnosti b, po kriteriju tudenta:
Ukoliko uvjet po Studentu nije ispunjen, vraćamo se na 2.Ukoliko je uvjet po Studentu ispunjen, prelazimo na 8.
8. Provjera disperzije adekvatnosti i kriterija Fisher-a9. Provjera adekvatnosti modela po kriteriju Fisher-a:
Ukoliko uvjet po Fisheru nije zadovoljen, vraćamo se na 2.Ukoliko je uvjet po Fisheru zadovoljen, prelazimo na 10.
10. Model je adekvatan11. Kraj.
42. Šta je homogenost disperzije eksperimenta, kako se ispituje i koji su potrebni podaci?
Provjera homogenosti disperzije eksperimenta se izvodi nakon eksperimenta. Ponavljanjem eksperimenta pri konstantnim vrijednostima ulaznih parametara može se utvrditi razlika u dobivenim numeričkim izlaznim vrijednostima.Promjenom vrijednosti ulaznih parametara i ponavljanjem eksperimenta dobije se matrica rezultata izlaznih vrijednosti. Provjera homogenosti disperzije za određeni nivo pouzdanosti izvodi se po Cochranovu kriteriju:
Kh=max S j
2
∑j=1
N
S j2
≤ K t ( f j , N )
K t - tablična vrijednost po Cochranovu kriteriju za stupnjeve slobode f j i N .f j - stupanj slobode f j=n j−1n j – broj ponavljanja u uzorku, N – broj uzoraka
43. Što je provjera homogenosti disperzije eksperimenta i kako se izvodi?
Provjera homogenosti disperzije eksperimenta izvodi se pomoću Cochranova i Fisherova kriterija.
Cochranov kriterij:
Kh = max Sj² / ¿ ¿
sj² ≤ Kt (fj,N) gdje je:Kt – tablična vrijednost po Cochranovu kriteriju za stupnjeve slobode fj i Nfi – stupanj slobode (fj = nj – 1)nj – broj ponavljanja u uzorkuN – broj uzoraka
Fisherov kriterij:
F = S1² / S2² ≤ Ft (f1,f2) ili F = S2² / S1² ≤ Ft (f2,f1)
Ft – tablična vrijednost po kriteriju Fishera za stupnjeve slobode f1 i f2 ili f2 i f1f1 = (n1-1) – stupanj slobode prvog uzorkaf2 = (n2-1) – stupanj slobode drugog uzorka
44. Pomoću čega se provjerava homogenost varijanci i kako?
Provjera homogenosti varijanci se izvodi pomoću Fisherovog kriterija za distribucije koje su približno normalne. Po ovom kriteriju uspoređuju se disperzije za dvije serije mjerenja i za slučaj da su dobiveni rezultati slučajni, nezavisni i normalno raspoređene veličine. Ako je disperzija prve serije σ1², a druge serije σ2², odnosno varijance S1² i S2² tada je za F-razdiobu i stupnjeve slobode (n1-1) i (n2-1):
F =
S12
σ1
2
S22
σ22
=
S12
S22
45. Kako se odredi stupanj slobode eksperimenta ako je broj pokusa od 1...N i ako su po tri ponavljanja u svakome pokusu?
Ukupni stupanj slobode fE greške eksperimenta ovisi o načinu ponavljanja pokusa. Tako za procjenu greške eksperimenta za broj pokusa od 1...N i ako su po tri ponavljanja u svakome pokusu ide:
2. JEDNAKO PONAVLJANJE MJERENJA n1 = n2 = ... = nj = nN
suma kvadrata: ∑j=1
N
∑i=1
n
( y ji− y j )2
ukupan stupanj slobode fE = N(n-1)
Za naš primjer bi bilo n=3 » fE = N(n-1) = N(3-1) = 2N
46. Kako se izvodi ocjena greške eksperimenta?
Standardna devijacija ili kako se još naziva standardna greška služi za računsku ocjenu tačnosti obavljenih mjerenja:
σ = √ 1n∑i=1
n
( yi− y )2
47. Kakva sve mogu biti ponavljanja mjerenja i zašto se izvode?
Pri izvođenju eksperimenta broj ponavljanja mjerenja i može biti jednak ili različit u svih j uzoraka, što ovisi o planu eksperimenta. Tako imamo:
1. različito ponavljanje mjerenja n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nj ≠ nN
2. jednako ponavljanje mjerenja n1 = n2 = ... = nj = nN
3. ponavljanje samo u jednoj tački eksperimenta j=14. ponavljanje u jednoj tački (i) puta
Izvodi se zbog određivanja sume kvadrata i ukupnog stupnja slobode fE.
48. Kako se odredi varijanca greške (proračun greške) eksperimenta?
Varijanca greške mjerenja eksperimenta određuje se izrazom:
S² =
∑j=1
N
∑i=1
n
( y ji− y j )2
f E
≃¿ ¿σn
2
49. Šta je područje pouzdanosti i šta znače granice pouzdanosti (prikazati ćemu)?
Područje pouzdanosti je područje između granica pouzdanosti. Granice pouzdanosti podrazumijevaju granicu, unutar koje se može s odabranom statističkom vjerovatnošću P i uz pretpostavku normalne razdiobe grešaka, očekivati stvarna vrijednost izmjerene veličine. Šematski se može prikazati:
Grafički se može prikazati na sljedeći način:
99%
99,9%
50. Objasniti i prikazati metodu najmanjih kvadrata i njenu primjenu!
Metoda najmanjih kvadrata jedna je od metoda teorije grešaka koja se koristi za ocjenu nepoznatih veličina na temelju rezultata mjerenja. Može se koristiti i za približno predstavljanje unaprijed zadane funkcije ili analizu eksperimentalnih podataka.
Regresijska analiza ima zadatak da pronađe metodu za određivanje vrijednosti koeficijenata β0 i β1 regresijske funkcije φ(x) prave linije: yi = β0 + β1xi + εi, za i = 1, 2, ... n, a osigurava optimalnu aproksimaciju promjene veličine X pomoću funkcije φ(x). Odnosno traži se ona linija koja najbolje aproksimira eksperimantalne rezultate iz grupe mogućih regresijskih pravih linija.To se može prikazati:
Granice pouzdanosti
STATISTIČK
A VJEROVATNOĆA P
RAZDIOBA GREŠAKA
Područje pouzdanosti (95%, 99%,
99,9%)
f(x) f(x) f(x)
1,96σ 1,96σ y
3,29σ 3,29σ y
2,58σ 2,58σ y
yi
y
xxi
yi = β0 + β1xi + εi
ŷ = yR = b0 + b1x1 + ei
M(xi, yi) ei
εi
Graf predstavlja metodu najmanjih kvadrata, i ona se koristi za određivanje b1 i b0. Uvjet je dasuma kvadrata vertikalnih odstupanja empirijskih vrijednosti yi od regresijske prave ŷi bude minimalna. Što znači da je:
min∑i=1
n
εi=∑i=1
n
e i kada β0→ b0 , β1 → b1 , ε→ e
min∑i=1
n
εi=min∑i=1
n
¿¿¿
Cilj je da se regresijska funkcija po pretpostavki (yi) i po realnom poklapaju, da bi greške bile što manje. Sa ovom metodom se može izraditi model, ali jednostavni.
51. Za poznatu funkciju y = b + ax prikazati numeričku obradu rezultata!
Ako je funkcija y = b + ax, a ako pretpostavimo da je apsolutna greška Δy = y – yt, metodom najmanjih kvadrata sljedi:
∑ ( y− y t )2→ mingdje su:yN – rezultati nezavisno promjenljivih veličinaxN – nivo nezavisno promjenljivih faktorayt - tačna vrijednost zavisnoo promjenljive veličine za određeni nivo xy – stvarno izmjenjena vrijednost koja sadrži i slučajnu grešku
52. Za nepoznatu funkciju prikazati numeričku obradu rezultata!
Na osnovu eksperimentalnih rezultata može se na više načina odrediti funkcija. Ako se nacrta grafičko rješenje tako da suma kvadrata odstojanja svih tačaka od prve crte bude minimalna. Tada se po Gaussovu principu ( metodi najmanjih kvadrata) uzima odstojanje b, jer je lakše za računanje.
yj
y
xxj
bxj + k
ab
p
Pa je suma razlike kvadrata za jednadžbu regresijske prave: y = k + bx. Treba da bude minimalna što znači:
a=∑j=1
n
¿¿¿
Zamjenom vrijednosti za k, ako je k = ӯ – bx, sljedi da je:y− y=b ( x−x )
I vidimo da pravac jednadžbe prolazi kroz tačku (x , y ).
53. Koji se koristi kriterij za ocjenu linearnosti funkcije regresije?
Za ocjenu linearnosti funkcije, provjera se vrši disperznom analizom. Provjerava se vrši na taj način da se odredi ukupno rasipanje q koje se sastoji od rasipanja srednjih vrijednosti ӯi oko regresijske prave q1 i rasipanja vrijednosti unutar grupe q2, tako da je q = q1 + q2.
Kriterij koji se koristi za ocjenu linearnosti je fisherov kriterij:
FL=
q1
r−2q2
n−r
<F t (r−2, n−r )
Ako je FL < Ft tada je regresijska prava linearna.Gdje su:Ft- tablična vrijednostn – parovi vrijednosti r grupa s istom vrijednošću xr – broj grupe sa istom vrijednosti za x
54. Kako se sa dovoljno tačnosti može prihvatiti polinom za aproksimaciju neke funkcije?
Za svaku neprekidnu funkciju y=f(x) u zadanom intervalu x (x0, x1) može se s dovoljno tačnosti aproksimirati polinom n-tog reda, za dovoljno veliko n i dovoljno tačno određene koeficijente polinoma.
Kada se eksperimentalni podaci n parova (xi, yi), za i= 1, 2, ... n, predstave u ravnini, odredi se krivulja koja najbolje aproksimira dati skup. Traži se krivulja koja je najbliža svakoj tački na dijagramu rasipanja. Što je raspršenost podataka veća, ima i više grešaka.
55. Šta je teorijska krivulja polinoma, a što empirijska i kakva je njihova usaglašenost?
Teorijska krivulja polinoma je krivulja dobivena pomoću teorijskog matematičkog modela koji najbliže pokazuje prirodu procesa ili pojave dok je empirijska krivulja ona nastala spajanjem dovoljnog broja vrijednosti dobivenih eksperimentom.Ukoliko je dobra usaglašenost polinoma kao matematičkog modela i vrijednosti dobivenih eksperimentom postiže se veći broj koeficienata koji polinom definiraju.Ali treba pomenuti da usaglašenost teorijske krivulje sa empirijskom ne znači u isto vrijeme i usalašenost sa funkcijom regresije. Dakle ima slučajeva kada povećanjem stupnja polinoma postižemo suprotan efekat od traženog tj. udaljenje od linije regresije.
56. Kako se traži polinom (model) koji će najbolje aproksimirati dati proces (navesti metode)?
Polinom (model) koji će najbolje aproksimirati dati proces traži se tako da se eksperimentalni podaci n parova (x i,y i), i=1,2,3,...,n predstave u ravnini, te se onda prema obliku krivulje koju formiraju te tačke odredi model koji najbolje odražava zakonitosti statističke razdiobe dobivenih empirijskih rezultata.(slika 4.8)
Kako ne postoji jedinstvena metoda za izbor oblika analitičke funkcije, preporuka je da se u svakom konkretnom slučaju traži matematički model (polinom) koji će na što manje parametara bolje aproksimirati dati proces ili sistem.
Metode su: - Experimentalna (empirijska) metoda: polazi od eksperimentalnih podataka gdje se
iz dovoljno velikog broja eksperimentalnih rezultata može dovoljno tačno uočiti tip polinoma koji najbolje opisuje funkciju regresije.
- Teorijska metoda: polazi od toga da su eksperimentalni podaci matematičke veličine u kojima se izražavaju određeni konkretni fizikalni procesi ili pojave, te se služi podacima ranijih istraživanja sličnih procesa ili pojava.
57. Koja su tri osnovna koraka u definiranju matematičkog modela?
Tri su osnovna koraka u definiranju funkcije, odnosno matematičkog modela:-izbor regresijskog modela- izračunavanje parametara β j za izabrani model metodom najmanjih kvadrata-provjera tačnosti i adekvatnosti regresijskog modela.
58. Prikazati teorijske i grafički realne koeficijente regresijskog modela?
Kada je mehanizam procesa nepoznat matematički model prikazujemo u obliku polinoma:
Y= ∑i=0
k
β i x1+ ∑1 ≤i<m
k
βℑ x1 xm + ∑i=1
k
β ii x12 + ∑
1 ≤i<m≤k
k
β imk x1 xm xk
U ovom matematičkom modelu teorijski koeficienti regresijskog modela su:β i koficienti linijskog utjecaja, β ii koeficient kvadratnog utjecaja, βℑ –dvofaktorne interakcija, β imk- višefaktorne interakcije funkcije regresije.
Ŷ= ∑i=0
k
bi x1+ ∑1 ≤i<m
k
bℑ x1 xm + ∑i=1
k
bii x12 + ∑
1 ≤i<m≤k
k
b imk x1 xm xk
U ovom matematičkom modelu realni koeficienti regresijskog modela su:b i, bℑ , b ii, b imk
59. Ako polinom aproksimira određeni proces na što se svodi rješavanje datog problema?
Npr ukoliko je polinom trećeg reda:y = b0 x0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2 + b11 x1
2 + b22 x22 + b112 x1
2 x2+ b122 x1 x22 + b111 x1
3
+ b222 x23
Ukoliko polinom aproksimira određeni proces rješavanje se svodi na izračunavanje koeficienta bi.
60. Koji su kriteriji pri izboru nezavisnih promjenljivih varijabli u blok šemu?
Izbor utjecajnih faktora procesa ili sistema izvodi se na osnovu prethodnog poznavanja istraživanog područja, literaturnih podataka o datom procesu i iskustvo istraživača, takođe vrsta procesa cilju modeliranja, eksperimentu, intuiciji istraživača, posjedovanju odgovarajuće opreme.Kriteriji kod izbora nezavisnih promjenjivih variabli u blok šemu su:-najprije se nabroje svi utjecajni faktori koji imaju utjecaj na izlazne parametre procesa-zatim se taj broj smanji (reducira, optimizira) na one koji imaju najveći utjecaj.-njihov broj ovisi o vrsti obradnog procesa (bušenje, brušenje, glodanje tokarenje itd)
Identifikacija parametara procesa i sistema se izvodi analizom procesa na temelju poznatih teorijskih podataka o konkretnom procesu ili sličnom kada je konkretni proces nedovoljno poznat.
61. Koje postoje metode kodiranja fizikalnih varijabli?
Postoje dvije metode kodiranja fizikalnih varijabli:
a) aritmetičko ib) logoritamsko kodiranje.
Aritmetičko kodiranje
Prilikom kodiranja uzimaju se varijable x koje sami izaberemo ili ih uzmemo po preporuci nekog stručnjaka koji je kompetentan iz tog područja.Kodirane vrijednosti varijabli, bez obzira na njihovu fizikalnu mjernu jedinicu (m/s, N/mm2, m, i sl.) izražene su s dvjema vrijednostima +1 i -1. Maksimalnim vrijednostima dajemo vrijednost +1 dok minimalnim dajemo -1. U situaciji kada imamo srednji nivo, kodirana vrijednost je nula. Kodiranje se u ovom slučaju (aritmetičko) izvodi pomoću izraza:
X i =
xi−xoi
x i− xi min
2
=x i−xoi
Δxi
gdje su:
Xi – kodirana vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli, gdje je i-broj nezavisno promjenljivih varijabli ( i = 1,2,3..), xi – fizikalna vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli na gornjem ili donjem nivou,x0 i – fizikalna vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli u centru plana, tj. nulta srednja vrijednost,
∆xi– interval granice fizikalnih vrijednosti varijabli od srednje tačke do maksimalne odnosno minimalne vrijednosti varijable.
Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom:
xoi=x i max+ xi min
2
Primjer kodiranja varijabli ( ovo pretpostavljam da neće trebati ali eto nek se nađe)
x1=σ1= 500 N/mm2-maksimalna veličina i 300 N/mm2-minimalna veličina iz izraza
xoi=x i max+ xi min
2 → da je srednja vrijednost xsr=
500+3002
=400N/mm2 pa → da je
kodirana vrijednost X1==
500−400500−300
2
=100100
=+1
za slučaj jednog pokusa u drugom slučaju
X1==
300−400500−300
2
=−100100
=−1
ovo je bio slučaj gdje imamo dvije izmjerene vrijednosti od kojih smo jednu uzeli za maksimalnu 500 N/mm2 a drugu za minimalnu. U ovom slučaju matrica plana eksperimenta ima sljedeći oblik:
Broj pokusaN=2n=4
Fizikalne vrijednosti Kodirane vrijednostix1= σ1 x2= φ (deform.) X1 X2
1 500 1.0 +1 -12 300 1.0 -1 -13 500 2.5 +1 +14 300 2.5 -1 +1
Logoritamsko kodiranje
Ako imamo polinomski matematički model poznat i iskazan općim modelom:
R=C⋅f 1
β1⋅f 2
β2
tada se logaritmiranjem dobije izraz
ln R=ln C+β1 ln f 1+β2 ln f 2
gdje su : f1, f2 –nezavisno promjenljivi parametri
C , β1 , β2−nepoznati koeficijenti.
Ako se izrazu ln R=ln C+β1 ln f 1+β2 ln f 2 izvrši zamjena
pa umjesto y=ln R , x
1=ln f 1 , x2=ln f 2 i βo=ln C tada se dobiva polinom sljedećeg
oblika; y=βo xo+β1 x 1 +β2 x2
Za i-ti nezavisni parametar x i =ln f i ili xoi+ Δxi=ln f i max .odnosno xoi−Δxi=ln f imin ili
2 Δ xi =ln f i max− f imin zamjenom u jednačini X i =
xi−xoi
x i− xi min
2
=x i−xoi
Δxi
dobiva se izraz za
kodiranje u sljedećem obliku X i =1+2
ln f i−ln f imax
ln f i max−ln f i min za vrijednost:
fi = fimax dobiva se Xi=+1, fi=fimin dobiva se Xi=-1 i fi=fisr dobiva se Xi=0
Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom f isr2 = f imin f i max
Sve fizikalne vrijednosti varijabli procesa prevode se u kodirane vrijednosti bez obzira što značenja fizikalnih varijabli mogu biti različita (N/mm2,mm,m/s itd.). Prema tome, područje
variranja nezavisno promjenljivih veličina xi zavisi od vrste procesa, svrhe i cilja modeliranja i zahtjeva koje je postavio istraživač.
62. Prikazati osnovnu matricu kodiranja i položaj tačaka pokusa matrice?
Kad se god pravi plan eksperimenta onda se pored matrice napravi i prikaz eksperimentalne tačke matrice plana kao što je prikazano na sljedećoj slici:
Slika. Shema kodiranja i položaj tačaka matrice plana 2k s baznom tačkom (0,0)
Ovo je najjednostavniji plan gdje su varijable x1 i x2 i ispod imamo četiri tačke 1,2,3,4 i u sredini tačka nula. Sve ovo s koordinatnog sistema s gornje slike bilo bi prikazano i u matrici koja bi izgledala ovako. Osnovna matrica kodiranja
Nj-brojmjerenja i pokusa
Kodirne vrijednosti Prirodne vrijednosti yj-izmjerene veličine
x1 x2 v (m/s)mi uzimamo
s (m)mi uzimamo
v (m/s) s (m)
tačka 1 -1 -1 50 1000 y11 y12
tačka 2 +1 -1 100 1000 Y21 Y22
tačka 3 -1 +1 50 2000 Y31 Y32
tačka 4 +1 +1 100 2000 Y41 Y42
y11 - prvi red prvo mjerenje, y12 - prvi red drugo mjerenje,
Ovdje postoje dvije mogućnosti jedna da ponavljanje eksperimenta izvodimo u vrhovima kvadrata i u tom slučaju matrica bi izgledala kao što je gore prikazano.
U slučaju da ponavljanje eksperimenta izvodimo u sredini plana tj. u nultoj tačci mi bi u matricu morali dopisati 5 i 6 pa bi ona izgledala ovako;
Nj-brojmjerenja i pokusa
Kodirne vrijednosti Prirodne vrijednosti yj-izmjerene veličine
x1 x2 v (m/s)mi uzimamo
s (m)mi uzimamo
v (m/s) s (m)
tačka 1 -1 -1 50 1000 y11 y12
tačka 2 +1 -1 100 1000 y21 y22
tačka 3 -1 +1 50 2000 y31 y32
tačka 4 +1 +1 100 2000 y41 y42
5. pokus* 0 0 75 15006. pokus 0 0 75 1500
*- mjerenje izvodimo u nultoj tačci plana tj. sredini plana
Šta ovo u stvari znači, to znači da ako bi brzina bila npr. 50 m/s (x1) to je -1 a ako bi bila 100 m/s (drugi slučaj) to bi bilo +1 pa bi nula bila 75 m/s (srednja vrijednost) i ako stavimo da je put 1000 m pa je u prvom slučaju (- i -) 1000 m a recimo u četvrtom mjerenju (+ i +) 2000 m tada bi nula bila 1500 m.
U slučaju da ponavljanja izvodimo u vrhovima kvadrata imali bi više ponavljanja u gornjem dijelu matrice npr. y11 y12.......... i matrica bi izgledala kao u što je već prikazana na prednjoj strani odgovora a u slučaju da ponavljanje vršimo u nultoj tački onda bi u gornjem dijelu imali samo jedno mjerenje jer nam je ponavljanje u sredini plana i matrica bi izgledala kao što je gore prikazano.
63. Kako se iz analitičkog izraza koji je praktično neupotrebljiv:
F=C⋅vb1⋅s
b2 ¿ab3¿ k
b4 može dobiti odgovarajući upotrebljivi
matematički model ?
Odgovarajući upotrebljivi model može se dobiti logoritmiranjem izraza, i nakon će biti;
F=C⋅vb1⋅s
b2 ¿ab3¿ k
b4nakon logoritmiranja dobija se sljedeći izraz;
ln F=lnC+b1 ln v+b2 ln s+b3 ln a+b4 ln k
gdje su : v,s,a i k –nezavisno promjenljivi parametri
C , b1 , b2 , b3 ,b4−nepoznati koeficijenti.
Ako se na izrazu ln F=lnC+b1 ln v+b2 ln s+b3 ln a+b4 ln k izvrši zamjena
pa umjesto y=ln F , x
1=ln v
, x2=ln s ,x3=ln a
, x4=ln k i βo=ln C tada se dobiva
polinom sljedećeg oblika; y=bo xo+b1 x 1 +b2 x2+b3 x3+b4 x4
Za i-ti nezavisni parametar x i =ln xi ili xoi+ Δxi=ln x i max .odnosno xoi−Δxi=ln x imin ili
2 Δ xi =ln x imax−x i min zamjenom u jednačini X i =
xi−xoi
x i− xi min
2
=x i−xoi
Δxi
dobiva se izraz za
kodiranje u sljedećem obliku X i =1+2
ln xi−ln x i max
ln ximax−ln x i min za vrijednost:
xi =xfimax dobiva se Xi=+1, xi=ximin dobiva se Xi=-1 i xi=xisr dobiva se Xi=0
Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom x isr2 =x imin x imax
64. Šta su modeli prvog reda i kako se mogu prikazati?
Za definiranje linearnih modela primjenjuje se plan eksperimenta prvog reda. Najviše korišten plan je potpuni faktorni plan eksperimenta (PFE) u kojem se svaki nivo jednog faktora kombinira sa svim nivoima ostalih faktora (varijabli). Za dobijenje linearnog modela minimalan broj nivoa variranja je r = 2. U tom slučaju matrica potpunog faktornog plana eksperimenta ima oblik N = rk = 22 = 4, gdje je k broj nezavisno promjenjivi faktora (varijabli), a N broj redova matrice eksperimenta koji odgovara broju pokusa.Dvofaktorni matematički model (dvofaktorna matrica)Za dvofaktorne matematičke modele izvode se dvofaktorini eksperimenti s brojem pokusa N = 22 = 4. U narednoj tablici prikazana je matrica dvofaktornog eksperimenta s djelovanjem interakcija X1,X2. Matrica bez djelovanja interakcija spada u grupu jednostavnih eksperimenata i modela.
Matrica plana eksperimenta 22
Broj pokusa Nj
Kodirane vrijednosti faktoraVektor izlaza yJ
X0 X1 X2 X1 X2
1 +1 -1 -1 +1 Y1
2 +1 +1 -1 -1 Y2
3 +1 -1 +1 -1 Y3
4 +1 +1 +1 +1 Y4
Koeficijenti
b0
xij
↑
b1
xmj
↑
b2
xij xmj
↑
b12
Matematički model
y = b0+x0+b1+x1+b2x2
y = b0+x0+b1+x1+b2x2+b12+x1x2
Položaj tačaka dvofaktornog plana eksperimenta 22 s baznom tačkom (0,0) prikazan je na
sljedećoj slici;
Slika. Shema kodiranja i položaj tačaka matrice plana 2k s baznom tačkom (0,0)
U općem slučaju je :ꞈ yj = b0x0j + b1x1j+b2x2j za j = 1,2,.....,N.
Za određivanje koeficijenata b0, b1, b2 može se koristiti metoda najmanji kvadrata, gdje je potrebno
ꞈodrediti sumu kvadrata odstupanja teoretskih vrijednosti yj od stvarnih yj
Za ostatak formula iz knjige koje se vežu na ovaj dio, profesor je na predavanju održanog 22.12. 2011. godine rekao da ne treba učiti napamet, i tom prilikom kao važno spomenuo formulu 4.70 str. 86. u knjizi iz tog razloga što se ona direktno veže za model y = b0+x0+b1+x1+b2x2 . Na osnovu te formule mi možemo odrediti koeficijente b0, bi, i b12 pa sam je i ja stavio kao bitan element u odgovoru na ovo pitanje a ona glasi;
b0=1N∑j=1
N
X0 jY j=1N∑j=1
N
Y j jer je uvijek X0j = 1
bi= 1N∑j=1
N
X ij Y j , za i = 1,2,
b12=1N∑j=1
N
X ij Y mj Y j , za 1 ≤ i < m ≤ k = 2
gdje je y j= y j aritmetička sredina eksperimentalnih rezultata mjerenja u pojedinim tačkama
plana kada postoji ponavljanje pokusa, odnosno kada ponavljanja pokusa nama i y j= y j .
65. Kako izgleda matrica eksperimenta sa tri varijable?
BrojpokusaNj
Kodirane vrijednosti faktora – matrica planaVektorizlazayj
X0 X1 X2 X3 X1 X2
X1 X3 X2 X3 X1 X2 X3
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y5
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y6
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y8
Koef.višestrukeregresije
b0b1 b2 b3
b12 b13 b3 b123
Matematičkimodel
y = b0x0 + b1x1 + b2x2 + b3x3
y = b0x0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3
66. Prikazati grafički i matrično funkciju Yj = Yj(X1, X2, X3) ako se ponavljanje za procjenu greške eksperimenta izvodi u baznoj tački (0,0) eksperimenta?
Za trofaktorni matematički model (k=3) ortogonalna plan matrica je sastavljena od N=2k+n=23+4=8+4=12 pokusa.
Matrica plana eksperimenta
Bro
j po
kusa
Nj
Kodirane vrijednosti faktora – matrica plana
Vek
tor
izla
za Y
j
X0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y5
6 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 y6
7 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 y7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y8
9 +1 0 0 0 0 0 0 0 y9
10 +1 0 0 0 0 0 0 0 y10
11 +1 0 0 0 0 0 0 0 y11
12 +1 0 0 0 0 0 0 0 y12
Koe
fici
jent
i vi
šest
ruke
re
fres
ije b0 b1 b2 b3 b12 b13 b23 b123
Mat
emat
ičk
i mod
el y= b0x0+b1x1+b2x2+b3x3
y= b0x0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b123x1x2x3
67. Šta treba provjeriti da bi određeni matematički model bio prihvatljiv?
Da bi određeni matematički model bio prihvaćen mora se provjeriti signifikantnost njegovih koeficijenata i adekvatnost samog modela. Prilikom provjere signifikantnosti koeficijenata polinoma, svi faktori Xi uz koje se nalaze nesignifikantni koeficijenti se isključuju iz modela.Signifikantnost se provjerava na osnovu kriterija Studenta (t-test) ili Fishera (F-test).Adekvatnost se provjerava testom Fishera.
68. Koje su osobine ortogonalnih planova?
Ortogonalni planovi moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:- Uvjet simetričnosti – prema kojem su sve nezavisno promjenjive veličine simetrično
raspoređene u odnosu na centar eksperimenta:
∑j=1
N
X ij=0 , za i=1,2 ,… ,k
- Uvjet normativnosti – prema kojem je suma kvadrata elemenata za sve stupce matrice X ij jednaka broju pokusa N.
∑j=1
N
X ij2=N , za i=1,2 , …, k
- Uvjet ortogonalnosti
∑j=1
N
X ij X mj=0 , za i , m=1,2 , …,k
69. Koja je karakteristika ortogonalnih u odnosu na druge planove?
Ortogonalni planovi u odnosu na druge planove imaju sljedeća obilježja:- raspored eksperimentalnih tačaka u eksperimentalnom prostoru je optimalan,- broj eksperimentalnih tačaka je minimalan, što daje manje troškove i kraće vrijeme
ispitivanja,- količina dobivenih informacija je maksimalna, - matematička obrada eksperimentalnih rezultata je jednostavna.
70. Kako se ispituje značajnost koeficijenata modela?
a) Ponavljanje pokusa u centralnoj tački plana
Za ispitivanje značajnosti koeficijenata modela se koriste kriteriji Studenta (t-test) i Fishera (F-test).
F-kriterij je određen uvjetom:
F ri=Sbi
2
S02 ≥ F t(f bi, f 2 )
=F t (1 , f 0)za i=0,1,2 , …, k
Procjena greške koeficijenata modela:
Sb 02=
N b02
f b 0
Sbi2=
(N−n0)bi2
f bi
, za i=0,1,2 , …, k
Stepen slobode koeficijenata je f b0=f b 1=…=f bi=…=f bk=1, pa slijedi:
F r 0=N b0
2
S02 F ri=
(N−n0)bi2
S02 , za i=1,2 , …,k
Procjena greške u centralnoj tački plana eksperimenta se dobije iz izraza:
S02=
∑j=1
n0
( y0 j− y0)2
f 0
gdje je:
- f 0=n0−1 – stepen slobode u centralnoj tački plana,
-y0=
∑j=1
n0
y0 j
n0
– aritmetička sredina rezultata mjerenja eksperimentalnih vrijednosti y0 j u
nultoj tački plana.
Prema određenim stepenima slobode, f bi=1 i f 2=f 0, kao i na osnovu odabranog praga značajnosti α (α=1−P, gdje je P pouzdanost modela), odredi se veličina F t (f bi ,f 2)
=F t (1 , f 0), te uporedi sa F ri .
Drugi način provjere signifikantnosti koeficijenata modela je Studentov t-kriterij.Opći uvjet glasi:
|b i|≥ ∆ bi=± t( f 0 ,α )
S0
√ Nili:
|b0|≥ ∆ b0=±t (f 0 ,α )
S0
√N
|b i|≥ ∆ bi=± t (f 0 ,α )S0
√N−n0
, za i=1,2 , …, k
|bℑ|≥ ∆ bℑ=±t(f 0 ,α )
S0
√N−n0
, za1 ≤i<m ≤ k
gdje je:- t (f 0 ,α ) – tablična vrijednost za stepen slobode f 0 i odabrani prag značajnosti α- ∆ bi – područje pouzdanosti koeficijenata modela ili greška u ocjeni koeficijenata β i
b) Ponavljanje jednog broja pokusa
Provjera signifikantnosti koeficijenata modela s ponavljanjem jednog broja pokusa se određuje prema t-kriteriju Studenta. Provjerava se uvjet:
t ri=|bi|Sbi
=|bi|√ Nn
S y
≥t t ( f y , α ) za i=0,1,2 ,… ,k
ili
|b i|≥ ∆ bi=± t t ( f y ,α )Sbi=t t ( f y, α )
S y
√Nnzai=0,1,2 ,…,k
Varijanca greške se dobija prema izrazu:
Sy2=
∑j=1
N
∑i=1
n
( y ji− y j )2
f y
ili
Sbi2=
S y2
Nnza i=0,1,2 , …, k
gdje je:
f y=∑j=1
N
(n j−1)=N (n−1) – ukupni stupanj slobode
n j – broj ponavljanja pokusa u j-tom redu matrice, kada je isti broj ponavljanja n=n j
71. Kako se ispituje adekvatnost modela?
a) Ponavljanje pokusa u centralnoj tački plana U općem slučaju, adekvatnost modela se provjerava usporedbom eksperimentalno dobivenih vrijednosti y j
E i vrijednosti izračunatih iz modela y jR. Uvjet adekvatnosti je određen
F–kriterijem:- ako je Sa
2>S02 :
Fa=Sa
2
S02 ≤ F t ( f 1 , f 2 )=F t ( f a , f 0 )
- ako je S02>Sa
2 :
Fa=S0
2
Sa2 ≤ F t ( f 1 , f 2 )=F t ( f 0 , f a )
Ako se dobije da je Fa<Ft, tada matematički model adekvatno opisuje analizirani obradni proces.
Disperzija adekvatnosti se određuje iz izraza:
Sa
2=∑j=1
N
( y jE− y j
R )2−∑j=1
n0
( y0 j− y0 )2
f a
ili
Sa
2=∑j=1
N
y j2−∑
i=1
k
Sbi2−S0
f a
gdje je:- f a=N−k−1−f 0 – broj stepeni slobode koji se odnosi na disperziju adekvatnosti- y j
R – izračunata vrijednost iz formiranog matematičkog modela,
- Sbi2=Sb 0
2+Sb12+Sb 2
2+…=N b02+( N−n0 )(b1
2+b22+…) – suma kvadrata koeficijenata
- S02=∑
j=1
n0
( y0 j− y0)2 – suma kvadrata, odnosno greška pokusa
- F t (f 1 , f 2 ) – tablična vrijednost F-razdiobe za određenu vrijednost greške α=1−P
o ako je Sa2>S0
2, tada je f 1=f a i f 2=f 0
o ako je S02>Sa
2, tada je f 1=f 0 i f 2=f a
b) Ponavljanje jednog broja pokusa
Adekvatnost modela je određena F-kriterijem:- ako je Sa
2>S y2 :
Fa=Sa
2
S y2 ≤ F t ( f 1 , f 2 )=F t ( f a , f y )
- ako je Sy2>Sa
2 :
Fa=S y
2
Sa2 ≤ F t ( f 1 , f 2 )=F t ( f y , f a )
Vrijednost disperzije adekvatnosti određuje se prema izrazu:
Sa2=
∑j=1
N
n ( y jE− y j
R )2
f a
gdje je:- f a=N−k−1 – stepen slobode koji se odnosi na disperziju adekvatnosti
-Sy
2=∑j=1
N
∑i=1
n
( y ji− y j)2
f y
– varijanca greške pokusa,
- f y=∑j=1
N
( n j−1 )=N (n−1) – ukupan stepen slobode
- n j – broj ponavljanja pokusa u j-tom redu matrice, kada je isti broj ponavljanja n=n j
72. Koji je najznačajniji kriterij za izbor matematičkog modela i kako se primjenjuje?
Najznačajniji kriterij za izbor matematičkog modela je koeficijent višestruke regresije. Kada dva ili više modela dobro opisuju proces, odluka o najboljem modelu se donosi na osnovu vrijednosti koeficijenta višestruke regresije. Ovaj koeficijent je dodatni pokazatelj za ocjenu adekvatnosti modela. Ovo posebno važi kod pokusa kod kojih je rasipanje rezultata pokusa u centralnoj tački plana razmjerno veliko ili razmjerno malo, pa se na temelju F-testa ne može donijeti valjana odluka o adekvatnosti modela.
a) Ponavljanje u centralnoj tački pokusa
Za ispitivanje veze između zavisno promjenjivih veličina Y j i nezavisno promjenjivih veličina X i se koristi koeficijent višestruke regresije:
R=√1−∑j=1
N
( y jE− y j
R )2
∑j=1
N
( y jE− y E )2
gdje je:- y j
E – vrijednosti eksperimentalnih rezultata
- y jR – izračunate vrijednosti iz dobivenih modela
-y E=
∑j=1
N
y jE
N
– aritmetička sredina svih eksperimentalnih rezultata
Vrijednost ovog koeficijenta se uvijek nalazi u granicama 0 ≤ R≤ 1. Ako je R=1, onda model u potpunosti opisuje rezultate eksperimenta, a ako je R=0, onda između varijabli Y j i X i ne postoji nikakva međusobna povezanost. Kvadrirana vrijednost R2 određuje kvalitetu i pouzdanost modela. Ako je R2=0.965, to znači da se 96,5 % varijabiliteta pripisuje djelovanju varijable X i.
b) Ponavljanje jednakog broja pokusa
Koeficijent višestruke regresije se računa prema izrazu:
R=√1−∑j=1
N
( y jE− y j
R )2
∑j=1
N
( y jE− y E )2
gdje su:
-y j= y j
E=∑i=1
n
y ji
n j
=∑i=1
n
y ji
n – aritmetička sredina vrijednosti eksperimentalnih rezultata u
j-toj tački plana pokusa, odnosno u j-tom redu matrice
-y E=
∑j=1
N
y jE
n
- aritmetička sredina svih eksperimentalnih rezultata pokusa
73. Kako se određuje područje pouzdanosti modela?
ZA PONAVLJANJE POKUSA U CENTRALNOJ TAČKI PLANA:Područje pouzdanosti modela odredi se općim izrazom:
b i−Δbi ≤ b i' ≤ b i+Δbi ; i = 0,1,2,...,k ili
b0− tt
S0
√ N≤b i
'≤b0+t t
S0
√N odnosno
b i−t t
S0
√N−n0
≤bi'≤b i+tt
S0
√N−n0 ; i = 0,1,2,...,k gdje su:
b0' , bi
'- nepoznati keoficijenti početnog modela, koji aproksimira konačni model, odnosno
koeficijenti aproksimiranog modela (b0' →b0 , odnosno b i
'→bi kada greška mjerenja ε →0 )
ZA PONAVLJANJE JEDNAKOG BROJA POKUSA:Izračunavanje područja pouzdanosti modela:
b i−Δbi ≤ b i' ≤ b i+Δbi ; i = 0,1,2,...,k ili
b0− tt
S y
√ Nn≤bi
'≤b0+tt
S y
√Nn gdje je:
t t( f y , α ) - tablična vrijednost t-kriterija
74. Šta je koeficijent determinacije i šta opisuje?
Koeficijent determinacije R2 određuje kvalitetu i pouzdanost modela. Koeficijent determinacije označava se sa R = r2, gdje je R pokazatelj zajedničkih faktora - udjela kod dva obilježja X i Y koja su uključena u korelacijsku analizu. Npr. r = 0,32= 0,09 = R, ili npr. r = 0,62= 0,36 = R–koeficijent determinacije. Što je korelacija manja npr. ± 0,3 koeficijent determinacije je značajno manji nego kad je korelacija veća npr. ± 0,6 ( R = 9%, odnosno 36% ). Ako je R2=0,965, to znači da se 96,5% varijabiliteta pripisuje djelovanju varijabli Xi.
75. Koji su potrebni podaci za određivanje adekvatnosti modela?Podaci koji su potrebni za određivanje adekvatnosti modela su izračunata vrijednost iz formiranog matematičkog modela, odnosno y j
R i vrijdnost koja je dobivena eksperimentalno,
odnosno y jE. Dakle, u općem slučaju adekvatnost modela se provjerava usporedbom
eksperimentalno dobivenih vrijednosti y jE i vrijednosti izračunatih iz modela y j
R .
76. Kakve su parcijalne ortogonalne matrice i što se s njima postiže?
Primjenom nepotpunog ortogonalnog plana (NFE) moguće je smanjiti broj potrebnih pokusa u potpunom planu prvog reda, a da se pri tome zadrže svojstva ortogonalnosti i normalnosti
matrice plana. Rastavljanjem potpunog plana 2k
na paran broj blokova pokusa n=2, n=4 ili n=8 dobiju se parcijalni ortogonalni planovi prvog reda, tako da je broj eksperimenta tačaka:
N=1n
2k
77. Kako se formira parcijalna matrica 2^(k-1) ?
Postupak formiranja parcijalne matrice 2k−1 počinje s potpunim planom2k−1, dakle, ako je k=3, počinjemo s potpunim planom 22. Pošto je k=3, potrebna su nam 3 faktora, ali u planu 22 imamo samo 2. Stoga se uvodi smjena jedne od kolona plana 22. Obično se odabire neki od međusobnih interakcija glavnih faktora.
N j x1 x2 x1 x2 y j
1 -1 -1 1 y1
2 -1 1 -1 y2
3 1 -1 -1 y3
4 1 1 1 y4
U ovom slučaju, smjena će biti x3=x1 x2, mada je također mogla i biti x3=¿-x1 x2.Novi plan koji je parcijalni faktorni plan glasi:
N j x1 x2 x3
1 -1 -1 12 -1 1 -13 1 -1 -14 1 1 1
Odnos x3=x1 x2 predstavlja generator plana. Kontrast J=1 se dobije kada odnos pomnožimo s x3(jer je x3∗x3=1), gdje ćemo dobiti J=1=x1 x2 x3.
78. Koja je metodologija formiranja parcijalnog ortogonalnog plana?
Metodologija formiranja parcijalnog ortogonalnog plana sastoji se u definiranju generirajućih odnosa, tako se za plan 23-1 mogu napisati dva moguća odnosa:
x3=x1 x2 i x3=−x1 x2.Množenjem sa x3 dobiva se:
x32=x1 x2 x3 .
Kako je x3=± 1, to je x32=1, te je 1=x1 x2 x3 , odnosno −1=−x1 x2 x3 .
ova veličina se definira kao kontrast koji određuje dvojnost efekta, odnosno njihovu povezanost. Tako se množenjem prethodne jednačine s x1 dobiva:
x1=x12 x2 x3=x2 x3 ,
Što znači da je utjecaj od x1 povezan s utjecajem x2 x3 itd. Kontrast uvijek ima vrijednost J=1.Također važi:X1=−X2 X3 b1→ β1−β23
X2=−X1 X3⇨ b2→ β2−β13
X3=−X1 X3 b3→ β3−β12.
79. Treba prikazati matricu parcijalnog plana za slučaj da je PFP: N = 2^6, dok je NFP(parcijalni ili nepotpuni plan) N=2^(k-p), gdje je p = 3.
Počinjemo od potpunog plana eksperimenta za 3 varijable, s 23 eksperimenata:
N j X 0 X1 X2 X3 X1 X2 X1 X3 X2 X3 X1 X2 X3
1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -12 1 1 -1 -1 -1 -1 1 13 1 -1 1 -1 -1 1 -1 14 1 1 1 -1 1 -1 -1 -15 1 -1 -1 1 1 -1 -1 16 1 1 -1 1 -1 1 -1 -17 1 -1 1 1 -1 -1 1 -18 1 1 1 1 1 1 1 1
U ovom slučaju imamo 3 varijable, a treba nam 6, te stoga moramo dodati 3 nove varijable. Nove varijable postaju kolone u kojima su odnosi više varijabli. U ovom slučaju, stavit ćemo da je X 4=X1 X2, X5=X1 X3 i X6=X2 X3. Ovo su generatori plana. Pored ovih generatora su se mogli iskoristiti i negirane vrijednosti, dakle, −X 4=X1 X 2, −X5=X1 X3 i −X 6=X2 X3.Novi plan eksperimenta(samo glavne varijable) izgleda ovako:
N j X 0 X1 X2 X3 X 4 X5 X6
1 1 -1 -1 -1 1 1 12 1 1 -1 -1 -1 -1 13 1 -1 1 -1 -1 1 -14 1 1 1 -1 1 -1 -1
5 1 -1 -1 1 1 -1 -16 1 1 -1 1 -1 1 -17 1 -1 1 1 -1 -1 18 1 1 1 1 1 1 1
Ne znam treba li ova daljnja analiza, al' neka ima ako zatreba.Cijena vođenja eksperimenta po parcijalnom planu je nemogućnost razlikovanja efekata dvaju ili više varijabli. Naprimjer, efekat varijable X1 može biti spojen s efektom X3 X 4. Stoga se mora izvesti analiza tih veza.Generatori gornje matrice su: X 4=X1 X2, X5=X1 X3 i X6=X2 X3. Iz njih se dobijaju kontrasti J. X 4=X1 X2/ ∙ X4
X 4 ∙ X 4=X1 X2 ∙ X4
Kvadrat svake varijable je 1, dakle X 4 ∙ X 4=X42=1.
J=1=X1 X2 X4
J=X1 X3 X5
J=X2 X3 X6
Pošto imamo 3 generatora, moramo izvršiti njihovu kombinaciju množenjem i tako dobiti grupu konačnih kontrasta:
J=X1 X2 X 4=X1 X 3 X 5=X2 X3 X6=X2 X3 X 4 X5=X1 X 3 X 4 X6=X1 X 2 X5 X6=X4 X 5 X 6
Na osnovu kontrasta možemo odrediti koji efekti određuju vrijednost pojedinačnih koefijenata.
Gornji plan eksperimenta s osnovnim/glavnim efektima i međusobnim vezama izgleda ovako:
N jX 0 X1 X2 X3 X 4 X5 X6 X1 X2X1 X3X1 X 4X1 X5X1 X6X2 X3X2 X 4X2 X5X2 X6X3 X 4X3 X5X3 X6X 4 X5X 4 X6X5 X6X1 X2 X3X1 X2 X4X1 X2 X5X1 X2 X6...
1 1-1
-1
-1
1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 Dalje željen
e kom
bin
acije ovih 6
varijabli
2 1 1-1
-1
-1
-1
1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1
3 1-1
1-1
-1
1-1
-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1
4 1 1 1-1
1-1
-1
1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1
5 1-1
-1
1 1-1
-1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1
6 1 1-1
1-1
1-1
-1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
7 1-1
1 1-1
-1
1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1
8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Svaka od ovih kolona bi se trebala izraziti na osnovu kontrasta. Postupak se sastoji u množenju kontrasta s kolonom.J=X1 X2 X 4=X1 X 3 X 5=X2 X3 X6=X2 X3 X 4 X5=X1 X 3 X 4 X6=X1 X 2 X5 X6=X4 X 5 X 6
Npr. za X1, množimo konstraste J=1=… s X1 .X1=X2 X4=X3 X5=X1 X 2 X3 X6=X1 X2 X3 X4 X5=X3 X4 X6=X2 X5 X6=X 1 X 4 X5 X6
Prema ovome uz X1 bi trebao biti sljedeći koeficijent:b1→ β1+β24+β35+β1236+ β12345+β346+ β256+β1456
Vidimo da je on isprepleten s koeficijentima višeg reda. Tako bi se trebali preći sve kolone gornje tabele, s tim da se analizom jedne kolone, automatski analiziraju i druge kolone. Npr., gornjom analizom za X1 smo pokrili i kolone X2 X 4 , X 3 X 5 , X1 X2 X3 X6 , X1 X2 X 3 X 4 X5 , X3 X 4 X6 , X2 X5 X6 , X1 X 4 X5 X6. Obično se koeficijenti koji idu uz faktore višeg reda (umnožak više od 3 varijable) odbacuju kao vrlo mali.
80. Kada se sve uvode varijable višeg reda?
Model višega reda se koriste kada je poznato da istraživani problem neće moći biti predstavljen linearnom funkcijom y= y (x) ili kada dobiveni linearni model ne zadovoljava provjeru adekvatnosti, odnosno kada je potrebna veća tačnost matematičkog modela istraživanog procesa. Tada se uvode varijable višeg reda suglasno stepenu zakrivljenosti površine funkcije reagiranja i razvija se optimalna struktura plana višeg reda.
81. Šta je značajno za faktorne planove drugog reda? Izbor optimalnih planova pri definiranju modela drugog reda znatno je složeniji nego kod linearnih modela. Ovi planovi ne odgovaraju važnim kriterijima optimalnosti. Ako se ispuni uvjet ortogonalnosti kod planova drugog reda se istovremeno narušavaju načela normalnosti i rotatabilnosti. Za planove drugog reda kriterij rotatabilnosti je više značajan jer dopušta minimiziranje sistemske greške koja je vezana za neadekvatno predstavljanje rezultata eksperimenta modelima drugog reda. Ipak, u svakom konkretnom slučaju treba uzeti u obzir stvarne uvjete procesa i na osnovu njih definirati kriterij optimalnosti i izabrati odgovarajući plan pokusa.
82. Kako izgleda matrica i model drugoga reda za k=2?
N j X1 X2 X1 X2 X12 X2
2 y j
1 -1 -1 1 1 1 y1
2 1 -1 -1 1 1 y2
3 -1 1 -1 1 1 y3
4 1 1 1 1 1 y4
5 α 0 0 α2 0 y5
6 - α 0 0 α2 0 y6
7 0 α 0 0 α2 y7
8 0 - α 0 0 α2 y8
9 0 0 0 0 0 y9
83. Kakva je povezanost između planova i modela prvog i drugog reda?
Modeli drugog reda sadrže bazni 2k dio eksperimetnta koji se koristi i kod linearnog modela, ali s tim da se na osnovni dio plana dodaju nove tačke koje su simetrično postavljenje oko centra eksperimenta.Između planova prvog i drugog reda postoji određena veza, koja se može iskazati činjenicom da se planovi drugog reda nadograđuju na planove prvog reda, tako da se već postojeći skup tačaka iz plana prvog reda koristi u planu drugog reda. Dakle, ako matematički model prvog reda od 2k ne zadovoljava, koriste se dodatni pokusi na novim nivoima koji će se iskoristiti za izračunavanje utjecaja drugog reda.
84. Obrazložiti ukupan broj pokusa N = ? za rotatabilni plan koji ma k = 3 varijable.
Rotatabilni plan sadrži bazni dio plana 2k, simetrično postavljene tačke nα=2k i tačke ponavljanja u centru plana n0. Vrijednost broja ponavljanja u centralnoj tački eksperimenta n0 se isčitava iz tabele parametara za rotatabilne planove. Za k=3, n0 može imati vrijednost 6 ili 9. Dakle, ukupan broj pokusa N za rotabilni plan s k=3 varijable iznosi:
N=2k+nα+n0=2k+2 k+n0=23+2∗3+n0
Za n0=6, N=8+6+6=20, dok je za n0=9, broj tačaka iznosi: N=8+6+9=23.
85. Koja je osnovna osobina modeliranja pomoću centralnog kompozicijskog plana?
Osnovna osobina modeliranja pomoću centralnog kompozicijskog plana je što faktori imaju samo dva nivoa, tako da se lako nastavljaju na linearni model. Ukupan je broj potrebnih pokusa N=2k+2 k+n0. Dakle, za k=2 faktora plan ima N=2k+2 k+n0 pokusa i za n0=1 podudara se potpunim faktornim planom N=32 s jednom centralnom tačkom. Svi ovi planovi imaju osnovu plana 2k, osim za k=5, gdje je osnova plana polublok 25, tj. plan se dobiva iz 24 uz dodavanje stupaca x5=x1 x2 x3 x4 .
86. Prikazati geometrijsku interpretaciju centralnog kompozicijskog plana?
Ovo je geometrijski prikaz centralnog kompozicijskog plana drugog reda za k=2 faktora.
87. Prikazati matricu centralnog kompozicijskog plana drugog reda, ako je Yj = Yj(X1,X2).
Ako je N= 2k+2k+n0; sljedi da je N=9, jer je k=2, a n0=1.
Nj X0 X1 X2 X1X2 X12 X2
2 yj
1 1 1 1 1 1 1 y1
2 1 -1 1 -1 1 1 y2
3 1 1 -1 -1 1 1 y3
4 1 -1 -1 1 1 1 y4
5 1 α 0 0 α2 0 y5
6 1 - α 0 0 α2 0 y6
7 1 0 α 0 0 α2 y7
8 1 0 - α 0 0 α2 y8
9 1 0 0 0 0 0 y9
88. Prikazati matricu centralnog kompozicijskog plana za k=3 i n0 = 1.
Budući da je N= 2k+2k+n0 , N=15
Nj X0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X12 X2
2 X32 yj
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y1
2 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 y2
3 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 y3
4 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 y4
5 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 y5
6 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 y6
7 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 y7
8 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 y8
9 1 α 0 0 0 0 0 α2 0 0 y9
10 1 -α 0 0 0 0 0 α2 0 0 Y10
11 1 0 α 0 0 0 0 0 α2 0 Y11
12 1 0 -α 0 0 0 0 0 α2 0 Y12
13 1 0 0 α 0 0 0 0 0 α2 Y13
14 1 0 0 -α 0 0 0 0 0 α2 Y14
15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y15
Prikazana matrica plana nije ortogonalna, jer je:
∑j=1
N
X0 j X ij2 ≠ 0 i∑
j=1
N
X ij2 Xmj
2 ≠ 0(i<m, i , m=1,2 , …,k )
Str 123
89. Šta znači veličina u centralnom kompozicijskom planu modeliranja?α
Veličina α, u centralnom kompozicijskom planu modeliranja, znači simetrične tačke. Kod tih tačaka su u tablicama nulte tačke, zbog matrice, kada se pomoću α i α2 matrica proširuje. Kod interakcija nema α (kod npr. X1X2 u tablici), ali se α2 javlja kod kvadrata (npr. X1
2).
90. Šta je rotatabilni plan modeliranja i šta mu je bazni dio plana?
Rotatabilni plan je specijalni oblik centralnog kompozicijskog plana koji se vrlo često primjenjuje u modeliranju i adaptivnom upravljanju u procesima s više varijabli.Ovi planovi pored aplikativnih osobina imaju i svojstva optimalnosti, tako da su pogodni za optimizaciju obradnih procesa, sistema, alata, itd.
Ovaj plan, kao i centralni kompozicijski plan, sadrži bazni dio plana 2k, simetrično postavljene tačke nα oko centra plana i tačke ponavljanja n0 u centru plana.
91. Čime su određeni rotatabilni planovi?
Rotatabilni planovi matematički su određeni sljedećim vrijednostima:
Uvjet rotatabilnosti:λ4=3 λ3
odnosno:
N λ3=∑j=1
N
x ij2 xmj
2 =2k−p
N λ4=∑j=1
N
x ij4=2k−p+2 α 2
2k− p+2 α 2=3 (2k− p ) ,
α 4=2k−p ili α=2k− p
4
Iz uvjeta rotatabilnosti dobijaju se koordinate točaka na centralnim osama.
92. Šta je polazište (od čega se polazi) kod rotatabilnih planova za određivanje veličina: , p, N i n0?α
Ukupan broj pokusa N i n0 ovisi o broju varijabli k, veličine α i veličine p, (p=0,1,2).Broj pokusa iznosi: N=2k−p+2k+n0=nk+nα+n0
Parametar p određuje da li radimo s potpunim ili parcijalnim faktornim planom.Parametar α se određuje iz jednakosti:
α 4=2k−p
Za lakše pronalaženje vrijednosti N, n0 i α koristi se tabela u kojoj za određenu vrijednost k i p se može naći pripadajuća vrijednost N, n0 i α, kao i parametara λ4 i a i koji služe za izračun koeficijanata modela regresije b0 , b i , bℑ , bii.
93. Prikazati grafik i matricu rotatabilnog plana za k=2 i n0 = 1.
Ne postoji rotatabilni plan za k = 2 i n0=1, stoga dajem grafik i matricu rotatabilnog plana za k = 2 i n0=5. Ukupan broj pokusa: N=2k−p+2k+n0=nk+nα+n0=4+4+5=13
1 Matrica eksperimentaN j X 0 X1 X2 X1
2 X22 X1 X2 Y j
1 1 -1 -1 1 1 1 Y 1
2 1 1 -1 1 1 -1 Y 2
3 1 -1 1 ¸1 1 -1 Y 3
4 1 1 1 1 1 1 Y 4
5 1 0 0 0 0 0 Y 5
6 1 0 0 0 0 0 Y 6
7 1 0 0 0 0 0 Y 7
8 1 0 0 0 0 0 Y 8
9 1 0 0 0 0 0 Y 9
10 1 1.414 0 2.0 0 0 Y 10
11 1 -1.414 0 2.0 0 0 Y 11
12 1 0 1.414 0 2.0 0 Y 12
13 1 0 -1.414 0 2.0 0 Y 13
1 Grafik plana
94. Koja je glavna razlika u određivanju koeficijenata polinoma rotatabilnog plana i ostalih planova modeliranja?
Određivanjem koeficijenata modela dobiva se podatak o utjecaju parametara Xi na izlaznu večinu Y razmatranog procesa.
Kod ortogonalnih višefaktornih planova dobije se dijagonalna matrica gdje su svi regresijski koeficienti nezavisni jedan od drugoga.
Za određivanje koeficienta modela regresije koristimo sljedeće izraze:
b0= a1 ∑j=1
N
Y j + a2 ∑i=1
k
∑j=1
N
X ij2 Y j
b i= a3 ∑j=1
N
X ij Y j , i=1,2,3,...
bℑ= a4 ∑j=1
N
X ij X mjY j , 1≤ i < m ≤ k
b ii= a5 ∑j=1
N
X ij2 Y j + a6∑
i=1
k
∑j=1
N
X ij2 Y j+a7∑
j=1
N
Y j i=1,2,3,...
Jedna od razlika je parametar a i koji ovisi o broju variabli k i broju ponavljanja pokusa n0
95. Grafički prikazati rotatabilni plan za varijable X1 i X2.
96. Kako se provjerava signifikantnost koeficijenata bi bim bii matematičkog modela rotatabilnog plana?
Provjera signifikantnosti koeficijenata bi, bim, bii se vrši prema t-kriteriju Studenta. Izračunavaju se greške u ocjeni koeficjenata βi, ∆ bi, te se provjerava da li koeficijenti pripadaju području pouzdanosti:
b i−∆ b i≤ β i≤ bi+∆ bi
Dakle, koeficijent je signifikantan ako je zadovoljen uvjet:
|b i|≥ ∆ bi=± t t (f ,α )√aij S y
odnosno: |b0|≥ ∆ b0=±t t (f , α )√a11 S y
|b i|≥ ∆ bi=± t t (f ,α )√a12 S y za i=1,2,3 ,…,k
|bℑ|≥ ∆ bℑ=±t t ( f , α ) √a13 Sy 1≤ i<m≤ k
|b ii|≥ ∆ b ii=±t t (f , α)√a14 S y
gdje je: Sy=S0 – približna vrijednost greške pokusa,
a ii , aij – dijagonalni i nedijagonalni elementi korelacijske matrice ili matrice grešaka (X ' X )−1, koji se odrede iz tablice 4.18, tablice parametara za rotatabilne planove
tt - tablična vrijednost t-kriterija Studenta
97. Kako se provjerava adekvatnost matematičkog modela rotatabilnog plana?
Adekvatnost matematičkog modela prema F- kriteriju Fishera određena je uvjetom:
Fa=Sa ²So ²
≤ Ft (fa , fo )ili Fa=So ²Sa ²
≤ Ft ( fo , fa) .
Za ocjenu adekvatnosti uzima se prema prethodnom izrazu veća izračunata vrijednost Fa.
Vrijednost Ft(fa, fo) odredi se iz tablice F – kriterija za stupnjeve sobode fa i fo ili fo i fa.
Disperzija Sa2 odredi se prema izrazu:
Sa2=
∑j=1
N
( y jE− y j
R )2−∑j=1
no
( yoj− yo) ²
fa
Stupanj slobode se u ovom slučaju odredi prema:
fa= N – 0,5 (k+2) (k+1) – f0 (Fornula 4.155)
Vrijednost fa može se odrediti i prema izrazu:
fa = N - f0 - k´, (Formula 4.156)
gdje je: k´ - broj signifikantnih koeficijenata dobivenog modela, odnosno broj
koeficijenata u modelu po kojem se izračunava vrijednost y jR.
Dakako, obično su vrijednosti fa izračunate prema izrazima (4.155) i (4.156) različite.
98. Kako se ispituje adekvatnost matematičkog modela (prikazati moguća rješenja)?
Za ispitivanje adekvatnosti matematičkog modela potrebno je izvesti disperzijsku analizu, što zahtijeva ponavljanje pokusa – mjerenja u pojedinim tačkama plana. Ponavljanje se pokusa izvodi po određenom sistemu, tako da može biti:
Ponavljanje pokusa samo u centralnoj tački ortogonalnog plana (n0), [Opširnije-Strana 93.u knjizi]
Ponavljanje jednakog broja pokusa u svakoj tački ortogonalnog plana (n1 = n2 = n2 = ... = nN) [Opširnije-Strana 97.u knjizi]
Ponavljanje različitog broja pokusa (n1 ≠ n2 ≠ n3 ≠ ... nN) u tačkama ortogonalnog plana
99. Kada i gdje se koriste rotatabilni matematički planovi drugog reda?
Rotatabilni plan je specijalni oblik centralnog kompozicijskog plana koji se vrlo često primjenjuje u modeliranju i adaptivnom upravljanju u procesima s više varijabli. Ovi planovi pored aplikativnih osobina imaju i svojstva optimalnosti, tako da su pogodni za optimizaciju obradnih procesa, sistema, alata, itd.
100. Na čemu se zasniva teorija dimenzionalnosti?
Teorija dimenzionalnosti se zasnima na Buckinghamovoj teoremi, gdje svaka jednačina koja opisuje neko fizikalno stanje mora biti dimenzionalno homogena, tako da se on za jednu pojavu može napisati u obliku:
f (P, R, X, Y) = 0,
odnosno pomoću model polinomskog tipa:
P=∑1
n
C Ra Xb Y g=C1 Ra 1 Xb1 Y g1+¿ C2 Ra 2 Xb2 Y g2+…
101. Koji je postupak određivanja dimenzionalnih grupa?
Dimenzionalna homogenost za prvi član ima oblik:
P = C Ra Xb Y g .
Ako je broj jednadžbi veći ili jednak broju nepoznatih eksponenata dobiju se rješenja:
a = α, b = β, g = γ,
odnosno P = C Rα X β Y γ.
Međutim, ako je broj nepoznatih eksponenata veći od broja jednadžbi, tada se dvije nepoznate izraze trećom:
a = α1+β1 g, b = α2+β2 g,
te je P = C Rα 1+β 1g X α2+β2 gY g.
102. Kako se određuju bezdimenzionalne grupe kod modeliranja primjenom teorije dimenzionalnosti (postupak – procedura)?
1. Sastavi se pregled svih utjecajnih parametara (x1, x2, ..., xn) na proces ili sistem. Ako se uključe parametri koji nemaju utjecaj na proces dimenzionalna analiza će pokazati da oni ne spadaju ni u jednu niti u više dimenzionalnih grupa ili će eksperiment pokazati da su parametri slučajni. Neka su parametri: F, v, ϭ, V, ρ, tj. n=5.
2. Izabere se odnovni mjerni sistem fizikalnih veličina: M (masa), L (dužina), i T (vrijeme). Tako će biti:
za brzinu v = st= L
T=LT−1[m s−1],
za silu F = ML
T 2 = MLT−2 [kgms−2],
za volumen V = LLL = L3 [m3],
za gustoću ρ = M L−3[kgm−3], itd.
3. Izvrši se izbor dimenzija nezavisnih parametara, npr. sila F (MLT−2), brzina v ( L T−1 ), naprezanje ϭ ( M L−1T−2 ), volumen V ( L3 ), gustoća ρ ( M L−3 ).
4. Izaberu se ponavljajući parametri m = 3, tako da ovaj broj mora biti jednak broju dimenzija r, koji između sebe ne mogu dati dimenzionalnu grupu, npr. F, ϭ, V.
5. Odredi se broj bezdimenzionalnih grupa n – m = 2 i postavi se dimenzionalna jednačina kombiniranjem parametara izabranih u četvrtom koraku.
6. Provjeri se je li svaka dobivena grupa bezdimenzionalna.
103. Koji su osnovni mjerni sistemi fizikalnih veličina koji se koriste u dimenzionalnom modeliranju?
Osnovni mjerni sistemi fizikalnih veličina koji se koriste u dimenzionalnom modeliranju su :
M (masa), L (dužina) i T (vrijeme) pa je :
za brizinu v= s
t=L
T=LT−1 [ms−1]
,
za silu F= ML
T 2=MLT−2 [ kgms−2 ] ,
za volumen V=LLL=L3 [ms3] ,
za gustoću ρ=ML−1 [ms−3 ] itd.
104. Prikazati strukturnu vezu ulaznih i izlaznih veličina kod dimenzionalnog modeliranja.
Plastično tečenje metala u procesu valjanja ovisi od niza utjecajnih faktora, što se pomoću pokazatelja širenja Kbfmože predstaviti strukturnom vezom ulazno – izlaznih veličina, pri čemu je:Kbf =f ( P1, P2, P3, ..., Pn), odnosnoKbf =f ( d, h1, l, D (R), ∆h, ε, έs, v1, T, μ, m, S, σ i j).
Slika: Strukturna veza ulazno – izlaznih veličina
Promjer obratka d, izlazna debljina valjanog komada h1, kontaktna dužina l, promjer valjaka D idređuju zonu deformacije. Mehaničke karakteristike m i kemijski sastav S definiraju osnovni materijal, dok apsolutna deformacija ∆h, relativni stupanj deformacije ε, srednja brzina deformacije έs, brzina valjanja v1 i temperatura T određuju termomehaničke faktore koji detaljnije opisuju tehnološki proces plastične obrade. Parametri μ i σ i j određuju stanje na kontaktnoj površini i napregnuto stanje u radnoj zoni obratka.
105. Šta je rang matrice r =? kod dimenzionalnog modeliranja?
Rang matrice r je minimalni broj varijabli čijim se jedinicama mogu izraziti jedinice svih n varijabli, odnosno r je najveći broj dimenzionalnih varijabli od n koje između sebe ne mogu dati dimenzionalne grupe.Kod primjera matematičkog modela procesa plastičnog tečenja, rang matrice je dimenzije r=2, tako da je broj nezavisnih grupa m=n-r=9-2=7.
106. Prikazati primjer određivanja bezdimenzionalnih grupa i kako se određuju eksponenti ovih grupa.
Faktorski pokazatelj plastičnog tečenja: Kbf =f (d ,∆ h , D , v1 , εs , σ1 , σ2 , σ3 , τ k ) .
ε=∆ hd
=d−h1
dl=√R ∆ h .
Pokazatelj plastičnog tečenja:
Kbf =∑1
n
Ci dai ∆ he i D gi v1
f i εsii σ1
mi σ 2pi σ3
si τ kui
Osnovne fizikalne veličine za masu M, dužinu L i vrijeme T određuju jedinicu brzine valjanja v(LT1), brzinu deformacije ε s(T
−1) i komponenti glavnih naprezanja σ ( ML−1T−2 ) .Imajući u vidu Buckinghamov teorem da se svaka dimenzionalna homogena funkcija od n-dimenzionalnih varijabli može iskazati preko (n-r) bezdimenzionalnih grupa moguće je postaviti dimenzionalnu matricu homogenog sistema jednadžbi:
ai ei gi fi ii mi pi si ui
d ∆ h D v1 ε s σ 1 σ 2 σ 3 τ k
M 0 0 0 0 0 1 1 1 1L 1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1T 0 0 0 -1 -1 -2 -2 -2 -2
Rang matrice: r=2Broj nezavisnih grupa: m=n-r=9-2=7.Homogeni sistem linearnih jednadžbi:Za M → mi+ pi+S i+ui=0.Za L →a i+ei+gi+ f i−mi−pi−S i−ui=0.Za T →−f i−ii−2mi−2 pi−2 Si−2 ui=0.Zapi=−S i , slijedi mi=−ui , odnosno f i=−ii
te je a i=−e i−gi−f i=−ei−g i+ii
tako je:
Kbf =∑1
n
Ci d−e i−gi+ii ∆ hei D gi v1
−ii ε sii σ 1
−ui σ 2−Si σ3
si τ kui
Kbf =∑1
n
Ci( ∆ hd )
e i( Dd )
gi( ϵ s dv1
)ii( σ3
σ2)
S i( τ k
σ 1)
ui
Koeficijenti e i , gi , ii , S i ,u i , određuju se analitičkim putem iz eksperimentalnih rezultata.
107. Značaj i zašto služe eksperimentalne metode?
Eksperimentalne metode se uglavnom razvijaju za rješavanje nelinearnih problema u mehaničkim konstrukcijama. Eksperimentalne metode omogućuju analizu naprezanja, deformacija, pomaka (izduženja) i sila opterećenja u realnim uvjetima prakse, za razliku od analitičkih i numeričkih metoda koje uvijek polaze od odgovarajućih pretpostavki i aproksimacija što utječe na točnost i pouzdanost dobivenih rezultata. Eksperimentalne metode omogućuju analizu konstrukcije po pitanju njene nosivosti, stabilnosti, lokalne koncentracije naprezanja, mehanizma loma, napregnutih stanja, optimizacije oblika i uštede materijala s
obzirom na stanje rasporeda deformacija i naprezanja.Eksperimentalne metode imaju posebno značenje u analizi složenih problema kada su znatne teškoće u primjeni analitičkih ili numeričkih metoda, što se obično javlja u konstrukcijama gdje su izražene koncentracije naprezanja usljed zareza, djelovanja koncentriranih sila, ekstremne promjene geometrijskog oblika elementa konstrukcije itd.
108. Klasfikacija eksperimentalnih metoda.
Važnije eksperimentalne metode su:• fotoelasticimetrija• tenzometrija• metoda krhkih lakova• optičke metode: holografija,interferometrija ..• metoda analogije• metoda akustičke emisije• metoda rendgenskog zračenja.
109. Na čemu se temelji metoda elektrootpornih mjernih traka?
Metoda elektrootpornih mjernih traka temelji se na metodama eksperimentalne analize naprezanja i deformacija, a gdje se dobije niz podataka bitnih za analizu konstrukcje, tehničkog sistema ili bilo kojeg objekta izloženog djelovanju opterećenja.
110. Gdje se primjenjuju metode eksperimentalne analize?
Metode eksperimentalne analize se primjenjuju na :
· stvarnim – realnim objektima ili sistemima,· modelima u laboratorijskim uvjetima i· kombinirano, ovisno o realnim mogućnostima.
111. Kriteriji za izbor mjerne metode eksperimentalne analize.
Eksperimentalne metode omogućuju analizu naprezanja, deformacija, pomaka (izduženja) isila opterećenja u realnim uvjetima prakse, za razliku od analitičkih i numeričkih metodakoje uvijek polaze od odgovarajućih pretpostavki i aproksimacija što utječe na točnost i pouzdanost dobivenih rezultata. Dakako, usavršene su analitičke i posebno numeričkemetode, tako da su te razlike u odnosu na rezultate dobivene eksperimentom sve manje.Međutim, eksperimentalne metode su nezamjenjive i to je sigurna dopunska mogućnost dase dođe do pouzdanih podataka o stanju deformacija, naprezanja ili pomaka, koji su bitniza cjelovitu analizu konstrukcije. Jedna od navedene tri veličine dobivene eksperimentalnoje dovoljna da se na temelju poznatih jednadžbi iz Teorije elastičnosti odrede ostale dvijeveličine, uz uvjet poznavanja mehaničkih osobina materijala.Eksperimentalne metode omogućuju analizu konstrukcije po pitanju njene nosivosti,stabilnosti, lokalne koncentracije naprezanja, mehanizma loma, napregnutih stanja,optimizacije oblika i uštede materijala s obzirom na stanje rasporeda deformacija inaprezanja.
112. Metodologija izrade plana i priprema ispitivanja.
113. Osnovni princip rada mjerne trake.
Elektrootporne mjerne trake rade na principu električnog otpora struje koja kroz njihprotiče, gdje pod utjecajem sile, odnosno mehaničkog opterećenja, dolazi do promjeneelektričnog otpora. Mjerenja deformacija, odnosnoizduženja, su stalno prisutna u inženjerskoj praksi, posebno u širokom područjukonstrukcijskih elemenata (čelični, betonski i drugi), strojogradnji, mostogradnji, industrijiprevoznih sredstava (industrija automobila, željezničkih vagona), procesnoj industriji itd.
114. Fizikalni princip rada mjerne trake.
Mjernu traku čini tanka žica koja je savijena nekoliko puta i zaljepljena kvalitetnimljepilom na noseći elemenat, koji može biti od sintetičke mase, metalne folije, papira, itd.Mjerna traka je naljepljena na konstrukciju tako da se deformacije konstrukcije prenose naosjetljivi dio mjerne trake (slika 17.2). Princip mjerenja deformacija temelji se na osobini žice da mjenja električni otpor proporcionalno promjeni dužine. Deformacija konstrukcije prenosi se na osjetljivi žičani dio mjerne trake, pri čemu se rad mjerne trake temelji na linearnom odnosu između promjene električnog otpora i mehaničke dilatacije (izduženja).
115. Prikazati odnos izduženja i promjene električnog otpora.
- specifični otpor žice L – dužina žice CD2 – poprečni presjek
Ako se provodnik optereti aksijalnom silom svaka veličina u predhodno navedenom izrazu mjenja svoju veijednost što se može u općem slučaju prikazati:
Dijeljenjem izraza dobija se:
Odnosno prestavlja reletivnu promjenu električnog otpora provodnika njegovim
relativnim izduženjem.
116. Šta je faktor mjerne trake?
Faktor trake je funkcija dizajna mjerne trake, kao i legure korištene za izradu mrežemjerne trake, njene termo mehaničke osobine, i u manjoj mjeri temperature mjerenja.
117. O čemu ovisi koeficijent osjetljivost mjerne trake Kt?
Koeficjent osjetljivosti Kt ovisi o prvobitnom otporu R i izmjeni promjena otpora ∆R.
118. Ako je deformacija = 1‰=1000 D iε μ E = 2,1 * 10^5 N/((mm)^2) , koliko je naprezanje =?σ
119. Kako se kompenzira utjecaj toplinske deformacije pri mjerenju?
Za kompenzaciju naprezanja uslijed savijanja i izvijanja ili za kompenzaciju toplotnihdilatacija na elastični element se postavljaju četiri kompenzacione mjerne trakedijametralno suprotno i spojene naizmjenično. Ovako se osigurava potpuna kompenzacija ipovećava osjetljivost pretvarača.
120. Kakve postoje standardne mjerne trake?
Standardne mjerne trake: A=1,4 – 20 mm (obično 10 mm), B=1,4 – 10 mm (obično 5-6 mm), C= 6 – 33 mm ( obično 20 – 25 mm),D= 5- 15mm ( obično 10 mm)
121. Koje su specijalne mjerne trake?
Specijalne mjerne trake se koriste kada se mjere izduženja preko granice razvlačenja, a mogu se upotrijebiti samo jedanput, jer prelaze iz elastičnog u plastično stanje. Specijalne mjerne trake su:
a) Mjerna traka za velika izduženja,
b) Čelična traka za niske i povišene temperature,
c) Temperaturno-samokompenzirajuća mjerna traka,
d) Temperaturno vanjski kompenzirana mjerna traka,
e) Mjerna traka za visoke temperature sa termootporom,
f) Membranska mjerna traka.
122. Koji su uvjeti za izbor mjernih traka?
Uvjet za izbor mjerne trake je da se one primjenjuje za mjerenje manjih otpora. Osim toga uvjet je da omogućava da se deformacije konstrukcije prenose na osjetljivi dio mjerne trake. Standardne mjerne trake se mogu primjeniti kada se mjere izduženja maksimalno do 2%, jer se do tada ponašaju elastično. Ako se mjere izduženja od 8% do 15% primjenjuju se specijalne mjerne trake. Treba znati da dio strukture na kome se lijepe trake mora imati linearnu karakteristiku.
123. Objasni označavanje mjerne trake koja ima oznaku: L Y 11 – 3/120.
Mjerna traka za eksperimentalnu analizu različitih oblika. L – jednostruka traka, Y – serija (materijal trake poliamid/constantan), 1 – vrsta i položaj veze, 1 – materijal na koji idu trake – feritni čelik, 3 – dimenzija trake(A), 120 – otpor R=120 Ω
124. Koji je zadatak Vitsonovog mosta?
Zadatak Vitsonovog mosta jeste mjerenje promjene otpora pomoću instrumenta koji je konstruiran na osnovu Vitsonovog mosta, a koji se napaja jednosmjernom strujom.
125. Prikaz i opis Vitsonovog mosta.
Vitsonov most je pogodan za mjerenje manjih veličina električnog otpora, čime je ispunjen uvjet za primjenu u tehnici pomoću mjernih traka. U granama mosta su otpori R1, R2, R3 i R4,
gdje se u postupku mjerenja nalaze mjerne trake. Kada je mjernih traka manje od četiri, tada u
granama mosta gdje nema mjernih traka dolaze pasivni otpornici. Za slučaj uravnoteženog Vitsonovog mosta otpori u granama mosta su podešeni tako da je napon UAC=0, te je protok struje iAC=0, pa je:
R1R3=R2R4 ili R1=R2 R4
R3
Navedeni odnos koristi nultu metodu za mjerenje promjene otpora. Pri promjeni otpora mjerne trake R1 za ΔR1 nastaće neuravnoteženje mosta. Za uravnoteženje mosta treba promjeniti otpor R4 za ΔR4. Prije opterećenja most je bio u ravnoteži tj.
R1R3=R2R4 odnosno ∆ R1=R2∆ R4
R3
Mjerenjem vrijednosti ΔR4 i za poznati odnos R2/R3 odredi se vrijednost ΔR1, odnosno dilatacija na mjestu gdje je priljepljena mjerna traka.
UE – napajanje mosta
UA – izlazni napon
UA =0 – uravnoteženi Vitsonov most
Rg – otpor galvanometra
Vitsonov most
126. Kako se određuje-registruje izlazni napon na Vitsonovom mostu?
U općem slučaju opterećenja odnos izlaznog napona i napona napajanja mosta glasi:
U A
U E
=R1 R3−R2 R4
(R¿¿1+R2)(R3+R4)¿
Za slučaj: R1=R2=R3=R4 ili R1 : R2=R4 : R3 : (UA/UE) = 0
a i za uvjet da ΔRi<<Ri, što je slučaj sa mjernim trakama. Kada se zanemare članovi višeg reda , dobije se odnos:
U A
U E
=14 [∆ R1
R1
−∆ R2
R2
+∆ R3
R3
−∆ R4
R4]
Odnosno:
U A=UE K t (ε1−ε2+ε3−ε 4)
4
Gdje je:
ε-deformacija, R1...R4-otpornici (mjerne trake), UE-napajanje mosta, UA-izlazni napon mosta, Kt – faktor mjerne trake.
127. Kako se očituju stvarna izduženja (dilatacije)?
Stvarno izduženje (dilatacija) materijala se odredi prema izrazu :
ε '=Ko
n α k K t
C k ε
gdje su : n – broj aktivnih mjernih traka,Kt – faktor mjerne trake,K0 – faktor instrumenta,Ck – korektivni faktor zbog omskog otpora trake,ak - korektivni faktor zbog dužine provodnika,e - očitana vrijednost deformacije ( e = Dl / l).
128. Kako se odredi stvarno naprezanje?
Naprezanje se odredi po izrazu :
σ=E ε '=EK o
n α k K t
C k ε
Kod savremenih uređaja za tenzometrijska ispitivanja rezultat se direktno očitava naračunalu, pa nema potrebe za ovim računanjem.
129. Šta je pretvarač, kakav ima zadatak i na kome principu radi?
Pretvarač ili elastični element je prvi član mjernog sistema koji prima mehaničko opterećenje i pretvara fizikalnu (mehaničku) veličinu u električnu. Na elastičnom elementu pretvarača se lijepe mjerne trake koje preuzimaju dilatacije elastičnog elementa i preko promjene električnog otpora registruju električni signal. Osnovna karakteristika svakog mjernog elementa, kao elastične strukture, sastoji se u tome da dio strukture na kome se lijepe trake mora imati linearnu karakteristiku.
130. Koja je granica opterećenja mjernog davača?
Za vrijeme mjerenja opterećenja elastični element treba biti u području elastičnosti (σσe) kako ne bi pretrpio plastične deformacije jer bi tada bio neupotrebljiv, a dobiveni rezultati ne bi odgovarali stvarnom stanju.
131. Kako davač prima i prenosi mjerenu veličinu?Pretvarač ili elastični element je prvi član mjernog sistema koji prima mehaničko opterećenje i pretvara fizikalnu (mehaničku) veličinu u električnu. Na elastičnom elementu pretvarača se lijepe mjerne trake koje preuzimaju dilatacije elastičnog elementa i preko promjene električnog otpora registruju električni signal. Osnovna karakteristika svakog mjernog elementa, kao elastične strukture, sastoji se u tome da dio strukture na kome se lijepe trake mora imati linearnu karakteristiku.
132. Preopterećenje i dozvoljeno opterećenje pretvarača.
Praksa pokazuje da je najveći broj pretvarača oštećen zbog preopterećenja. Obično se dopušta preopterećenje do 150% u odnosu na nominalno opterećenje.
133. Prikazati šemu pretvarača i šemu spajanja mjernih traka.Mjerna traka sa Wheatstonovim mostom se koristi za mjerenje el.otpora i to za dvije situacije:
za mjerenje apsolutnog iznosa otpora, poređenjem s poznatim otporom i za mjerenje relativne promjene električnog otpora.
Šema pretvarača mjerne trake
Na slici 2.0 je prikazana šema spajanja mjerne trake. U tačkama 2 i 3 se spajaju grane za napajanje mosta VS jednosmjernim ili naizmjeničnim naponom. U tačkama 1 i 4 se skida izlazni napon Vo koji predstavlja mjerni signal.
Šema spajanja mjerne trake
Omogućava mjerenje promjene otpora u granicama 10-4 do 10-7 sa odličnom tačnošću. Četiri grane mosta se formiraju od otpornika R1 do R4
134. Koliko je naprezanje u elastičnom elementu pretvarača, ako je modul elastičnosti materijala E = 2,1 * 105 N/((mm) 2) , faktor mjerne trake Kt=2, Poissonov koeficijent v=0.35 i izlazni signal koji se mjeri Ua/Ub=0.0015?
σ=U A
U E
∙2
K t
∙E
1+νNaprezanjeu popre č nom presjeku pretvara č a
σ=0,0015 ∙22
∙2,1∙ 105
1 ∙0,35=233,33 MPS
135. Pri izračunavanju elestičnog elementa što treba usvojiti?
Pri izračunavanju elestičnog elementa treba usvojiti slijedeće:
Aktivne mjerne trake aplicirane na objekat ispitivanja ili mjerni pretvarač,
Kompenzacione mjerne trake (pasivni elementi koji služe za kompenzaciju uticaja temperature ili drugih efekata) i
Metalni (folijski) otpornici velike tačnosti i stabilnosti.
Davači Preklopnik Pojačalo Pretvarač Računar Pisač
1
2
3
A D
Dopuna:
Treba usvojiti:- očekivanu maksimalnu silu (F=Fmax), - deformaciju u granicama e = (0,05, 0,1%), odnosno (0,0005 ¸ 0,001), - modul elastičnosti i - jednu od dimenzija elastičnog elementa dv ili du ovisno o raspoloživom prostoru za
lokaciju pretvarača.
136. Koje su dobre osobine elektrootpornih pretvarača s mjernim trakama?Mjerne trake su jedan od najčešće korištenih mjernih pretvarača.Mjerna traka je kao otpornički pretvarač jeftina, neznatne je krutosti i male dužine. Može se koristiti za mjerenja statički i dinamički opterećenih konstrukcija.
137. Prikazati strukturu mjernog sistema s opisom.
Slika. Struktura mjernog sistema
Davač (pretvarač) je najosjetljiviji elemenat mjernog lanca. Pretvarač pretvara mehaničku veličinu u električni oblik.Preklopnik omogućava odabir odgovarajućeg davača. Pojačalo služi za pojačavanje slabog električnog signala dobivenog od pretvarača. Pojačalo može da ima mogućnost podešavanja linearnosti i podešavanje nule (početno stanje se odredi kao nulta vrijednost). Izlazni signal iz pojačala može biti struja ili napon srazmjeran mjerenoj mehaničkoj veličini i digitalni broj koji opisuje vrijednost mjerene veličine. Pretvarač služi za pretvaranje dobivenih veličina pogodnih za računarsku obradu, i osnovne karakteristike mjernog pretvarača su : linearnost ulaza i izlaza idinamičkih veličina koje se mjere.U suvremenim mjernim sistemima računar služi za prikaz i obradu mjerenih rezultata, a pisač služi za ispis rezultata obrade.
138. Zadatak mjernog pojačala?
Pojačalo služi za pojačavanje slabog električnog signala dobivenog od pretvarača.. Ima mogućnost podešavanja linearnosti i podešavanja nule.Izlazni signal iz pojačala može biti struja ili napon srazmjeran mjerenoj mehaničkoj veličini i digitalni broj koi opisuje vrijednost mjerene veličine.
139. Koje mogućnosti ima pojačalo?
Pojačalo služi za pojačavanje slabog električnog signala dobivenog od pretvarača. Pojačalo može da ima mogućnost podešavanja linearnosti i podešavanje nule (početno stanje se odredi kao nulta vrijednost). Izlazni signal iz pojačala može biti struja ili napon srazmjeranmjerenoj mehaničkoj veličini i digitalni broj koji opisuje vrijednost mjerene veličine.
140. Prikazati osnovne slučajeve opterećenja (1/4; ½; 1/1 most) sa skicom Vitstonovog mosta i MT-a.
1. Normalno naprezanje (jednoosno stanje naprezanja)
a) Veza 1/4 most
uzdužno naprezanje:
ε 1=εa=εn=F
AEpoprečno naprezanje:
ε p=−υ εn=−υF
AEizlazni napon:
U A=UE
4K t(ε1−ε2+ε3−ε 4)=
U E
4K t εn=
U E
4K t
FAE
=σU E K t
4 E
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A proporcionalan je sili ili naprezanju,- kompenzacija temperature nije postignuta (to znači da uticaj temperature unosi grešku
u mjerenje),- superponirano savijanje (ukoliko postoji) manifestira se kao greška mjerenja.
b) Veza u 2/4 most
ε 1=ε3=εa=εn=F
AE
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t (ε n+εn )=
U E
2K t εn=F
U E K t
2 AE=σ
U E K t
2 E
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A dvostruko je veći nego u slučaju (a),- kompenzacija temperature nije postignuta (tj. uticaj temperature unosi grešku- u mjerenje),- superponirano savijanje ne manifestira se kao greška jer se kompenzira.
c) Veza 1/2 most
ε 1=εa=εn=F
AE
ε 2=ε p=−υ εn=−νF
AE ν=0,3
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t (ε n−ε p )=
U E
4K t (ε n+ν εn )=
U E
4K t (1+ν ) F
AE=F
1,3 UE K t
4 AE=σ
1,3 U E K t
4 E
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A za 30% je veći nego u slučaju (a),- kompenzira se utjecaj temperature,- superponirano savijanje (ukoliko postoji) manifestira se kao greška mjerenja.
d) Veza 1/1 most
ε 1=ε3=εa=εn=F
AE
ε 2=ε 4=ε p=−υ εn=−νF
AE ν=0,3
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t (ε n−ε p+εn−ε p )=
U E
4K t ( εn+ν ε n+εn+ν εn )=
U E
4K t (2+2 ν ) F
AE=F
2,6 U E K t
4 AE=σ
2,6 U E K t
4 E
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A je za faktor 2,6 veći nego u slučaju (a),- kompenzira se uticaj temperature,- superponirano savijanje (ukoliko postoji) se kompenzira.
2. Savijanje
a) Veza u 1/4 most
ε 1=ε z=σ z
E=
M B
W B E, ε zp=−ν ε z
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t ε z=
U E
4K t ∙
σ z
E=M B
U E K t
4 W B E
- Mjerni signal proporcionalan je veličini momenta ili naprezanja.- Kompenzacija uticaja temperature nije postignuta, odnosno uticaj temperature- unosi greške u mjerenje.- Superponirano normalno naprezanje (ukoliko postoji) manifestira se kao- greška u mjerenju.
b) Veza 1/2 most
ε 1=ε z=σ z
E=
M B
W B E, ε2=−εz
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t(ε¿¿ z+ε z)=
U E
2K t ε z¿
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A je dvostruko veći u odnosu na slučaj (a),- uticaj temperature je kompenziran,- superponirano normalno opterećenje je kompenzirano.
c) Veza u 1/1 most
ε 1=ε3=ε z=σ z
E=
M B
W B E, ε2=ε 4=−εz
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t(εz+ε z+ε z+ε z)=U E K t ε z
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A je četiri puta veći u odnosu na slučaj (a),- uticaj temperature je kompenziran,- superponirano normalno opterećenje je kompenzirano.
3. Smicanje
Smicajna naprezanja τ ili kut smicanja γ nije moguće neposredno mjeriti putem mjernihtraka. Mjerljive su deformacije koje proističu iz normalnih naprezanja. Normalnanaprezanja javljaju se i kod smicanja.Maksimalne vrijednosti normalnih naprezanja javljaju se pod kutom ± 45º u odnosu napravac smicanja, pa važi sljedeća relacija:
τ=γG ; γ=2 ε45 °; ε45 °=τ
2 G=1
2γ
Kod čistog smicanja, naprezanja smicanja su glavna naprezanja, a pravci glavnihnaprezanja leže pod kutom od ±45º na pravac smicanja:
τ=2 ε45 ° G
a) Veza u 1/4 most
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t ε 45°=
U E
4K t
γ2=
U E
4K t
τ2G
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A proporcionalan je naprezanju smicanja τ,- uticaj temperature nije kompenziran,- uticaji savijanja, kao posljedica djelovanja sila iz ostalih pravaca, kao i uticaji- normalnih naprezanja nisu kompenzirani.
b) Veza u 1/2 most
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t(ε45 °+ε 45°)=
U E
4K t γ=
U E
4K t
τG
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal U A dvostruko je veći u odnosu na slučaj (a),- uticaj temperature je kompenziran,- uticaji savijanja, kao posljedica djelovanja sile iz ostalih pravaca, kao i uticaji- normalnih naprezanja su kompenzirani.
4. Torzija
U slučaju uvijanja, kao i u slučaju smicanja, vrši se mjerenje dilatacije pod kutom ±45º, tj.
u pravcu glavnih naprezanja. Za taj slučaj važe slijedeće relacije:
τ max=M D
W t
;γ=τmax
G;ε 45°=
τmax
2 G=1
2γ ;ϕ=ε45 °
Ld
gdje je: L – dužina vratila, d – prečnik vratila, ϕ - kut torzije
a) Veza u 1/2 most
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t(ε45 °+ε 45°)=
U E
2K t ε45 °=
U E
2K t
τmax
2 G
Karakteristike povezivanja:- mjerni signal proporcionalan je maksimalnom smicajnom naprezanju, ili- obrtnom momentu,- uticaj temperature je kompenziran,- uticaj superponiranih normalnih napona je kompenziran,- uticaj savijanja u x i y pravcu je kompenziran.
b) Veza u 1/1 most
U A=UE
4K t ( ε1−ε2+ε3−ε4 )=
U E
4K t(ε45 °+ε 45°+ε45 °+ε 45°)=U E K t ε45 °
141. Navesti nekoliko primjera primjene mjernih traka.
Možemo razlikovati nekoliko vrsta mjernih traka:
- Standardne mjerne trake- Specijalne mjerne trake- Mjerna traka za velika izduženja- Čelična mjerna traka za niske i povišene temperature- Temperaturno – samokompenzirajuća mjerna traka- Temperaturno vanjski kompenzirana mjerna traka- Mjerna traka za visoke temperature sa termootporom- Membranska mjerna traka
142. Što se sve može mjeriti mjernim trakama?
Mjernu traku čini tanka žica koja je savijena nekoliko puta i zaljepljena kvalitetnimljepilom na noseći elemenat, koji može biti od sintetičke mase, metalne folije, papira, itd.Mjerna traka je naljepljena na konstrukciju tako da se deformacije konstrukcije prenose naosjetljivi dio mjerne trake.Mjerimo naprezanja i deformacije pri različitim vrstama naprezanja kao što su : aksijalna sila, savijanje, torzija,....Analiza napona u konstrukcijama:
jednoosno naponsko stanje ravansko naponsko stanje zaostali naponi termički naponi
gradijenti naponaKonstrukcija mjernih pretvarača za mjerenje mehaničkih veličina:
mjerenje dilatacija i napona mjerenje sile i mase mjerenje obrtnog momenta mjerenje pritiska mjerenje pomjeranja mjerenje vibracija statička, kvazistatička i dinamička mjerenja na konstrukcijama
143. Šta je kalibracija mjernih pretvarača, kako se izvodi, prikazati pravac linearnosti kalibracije?
144. Prikazati šemu veze mjernih traka i mjernih pretvarača.
145. Prikazati šemu veze mjernih pretvarača u mjerni sistem.
Međusobnim povezivanjem elemenata mjernog sistema dobije se osnovni mjerni lanac kojiima:
- davač (pretvarač),- pojačalo i- registrator.
U modernim sistemima, računari se koriste za prikaz i obradu rezultata mjerenja:
146. Šta se podrazumijeva pod polarizaciono.optičkom metodom mjerenja tzv. fotoelastična metoda?
Fotoelasticimetrija ili fotoelastičnost, kako se ranije zvala, temelji se na osobini nekihprovidnih materijala da mjenjaju optičke osobine pri napregnutom stanju. Fotoelastičnost sejavlja u optički osjetljivim materijalima kada se svijetlosni zrak pri prolasku dijeli u dvijezrake koje se kreću po pravcima glavnih naprezanja različitim brzinama. Njihova brzinaovisi od veličine glavnih naprezanja. Dakle, optička promjenljivost u materijalu odražava se preko naprezanja i razlikenaprezanja, čiji intenzitet ovisi o vrijednosti opterećenja modela i geometrijskihkarakteristika konstrukcije.
147. Šta su foto osjetljivi materijali i zašto se koriste?
Fotoelasticimetrija ili fotoelastičnost, kako se ranije zvala, temelji se na osobinama nekih providnih materijala koje nazivamo fotoelestičnim. Fotoelastični materijali imaju osobinu da mjenjaju optičke osobine pri napregnutom stanju. Fotoelastičnost se javlja u optički osjetljivim materijalima kada se svijetlosni zrak pri prolasku dijeli u dvije zrake koje se kreću po pravcima glavnih naprezanja različitim brzinama. Njihova brzina ovisi od veličine glavnih naprezanja.Fotoelastično određivanje naprezanja i deformacija najprije je primjenjeno pri rješavanju ravninskih problema (modeli konstrukcija izrađeni od ploča fotoelastičnog materijala), azatim prostornih modela. Fotoelastični materijali u napregnutom stanju postaju optički dvolomni (optički anizotropni).
148. Metoda fotoelastične osjetljive obloge.
Direktno određivanje naprezanja na površini konstruktivnog elementa se postiže ljepljenjem tanke obloge modelskog materijala debljine 1,0 – 2,5 mm na površinu ispitivane konstrukcije. Ljepljenje modelskog materijala se izvodi obično dvokomponentnim ljepilom. Pri deformiranju konstrukcije, deformacije se prenose na fotoelastičnu oblogu, tako da su deformacije površine konstrukcije i fotoelastične obloge jednake, a moduli elastičnosti i Poasonovi koeficijenti različiti, pa i naprezanja moraju biti različita (slika 17.36).
Razlika glavnih naprezanja u oblizi iznosi:
σ 1o−σ2
o=N f σ
2 h0
gdje su:- N – red izohrome- f σ – fotoelastična konstanta - h0 – debljina obloge(2h0 radi dva prolaska kroz oblogu)
Da bi se izračunalo naprezanje u modelu, potrebno je uspostaviti odnos glavnih naprezanja u modelu σ 1
m i σ 2m i reda izohrome. Veza između naprezanja u oblozi i deformacija je određen
Hukovim zakonom:
σ 1o=
Eo
1−ν o2 (ε1
o+νo ε2o)
σ 2o=
Eo
1−ν o2 (ε2
o+νo ε1o)
Deformacije obloge i modela su jednake, ε 1o=ε1
m i ε 2o=ε2
m, pa ih je moguće zamijeniti:
σ 1o=
Eo
1−ν o2 (ε1
m+ν o ε2m)
σ 2o=
Eo
1−ν o2 (ε2
m+ν o ε1m)
Primjenimo li Hukov zakon na model:
ε 1m= 1
Em
(σ1m−νm σ 2
m)
ε 2m= 1
Em
(σ2m−νm σ 2
m)
Uvrštavanjem izraza za ε 1mi ε2
m u izraze za naprezanja u oblozi, σ 1o i σ 2
o, dobije se:
σ 1o−σ2
o=Eo (1+νm )Em ( 1+νo )
(σ 1m−σ2
m )= N f σ
2 h0
Iz datog izraza, nakon sređivanja dobijemo razliku glavnih naprezanja u modelu/konstrukciji:
σ 1m−σ2
m=Em (1+νo )Eo ( 1+νm )
N f σ
2h0
gdje su :νm, νo - Poasonov koeficijent materijala konstrukcije i fotoelastične obloge,Em , Eo - modul elastičnosti materijala konstrukcije i materijala obloge.
149. Metoda zamrzavanja naprezanja
Fotoelasticimetrijsko ispitivanje 3D modela je složenije nego kod jednoosnih i ravno napregnutih stanja, jer se prostorno mjenjaju pravci glavnih naprezanja. Za ispitivanje naprezanja i deformacija kod prostornih modela najviše se primjenjuje metoda zamrzavanjanaprezanja, zbog mogućnosti primjene i umjerenih troškova ispitivanja. Ovu metodu je prvi opisao Opel (Oppel) 1936. godine izvodeći eksperimente na polimernim materijalima.Nakon toga opća teorijska analiza ove metode dana je 1955. godine, ali primjena je radiloših svojstava fotoelastičnih materijala uslijedila tek u posljednjih trideset godina.
Osnovna karakteristika ove metode je što model izrađen od fotoelastičnog materijala nakon obavljenog zagrijavanja na temperaturi 100˚ do 150˚ C, a zatim hlađenja zadržavanaprezanja i deformacije na sobnoj temperaturi i nakon prestanka opterećenja. Na ovaj način su «zamrznute» deformacije pa se model može razrezati na tanke ploče radi nastavka ispitivanja kao dvodimenzionalnog modela. Proces «zamrzavanja» deformacija je reverzibilan, pa ponovnim zagrijavanjem na kritičnu temperaturu model dolazi u stanje kojeje postojalo prije opterećenja. Dakle fotoelastični efekat nestaje.
Metoda zamrzavanja naprezanja primjenjuje se kod kružnih ploča nejednake debljine,kvadratnih ploča oslonjenih na rubove i izloženih na savijanje, kod strojnih elemenata(osovine, zupčanici, noseće strukture,…), opterećenih na pritisak, savijanje ili složenoopterećenje, te kod elemenata gdje su koncentrisana dinamička opterećenja.
Metoda zamrzavanja naprezanja
Model za određivanje naprezanja metodom zamrzavanja naprezanja izradi se lijevanjem, zatim se strojno obradi, uz uvjet da se obradom ne unesu toplinska naprezanja koja mogu da potpuno promjene sliku izohroma, a potom zagrije na kritičnu temperaturu i optereti nakon čega se temperatura polagano snizuje do sobne temperature. Nakon rasterećenja model se reže u ploče debljine 1 do 3 mm za promatranje u polariskopu.Kod simetričnih elemenata uz uvjet da je opterećenje simetrično javljaju se maksimalnanaprezanja u ravnini simetrije.
Ispitivanjem simetričnog sloja u polariskopu dobija se slika izohroma sa dva glavnanaprezanja σ 1 i σ 2 te je:
σ 1−σ2=f ' σ
hN ,N=0,1,2,3 , …
gdje je:f ' σ – fotoelastična konstanta naprezanja pri kritičnoj temperaturi
h – debljina sloja
N – red izohrome.
Kako je treće naprezanje, σ 3 okomito na ravninu sloja, te je prolazak svijetlosti paralelan s pravcem tog naprezanja, tada je σ 3=0, pa je red izohrome:
N= hf ' σ
(σ1−σ 2)
Pojedinačna naprezanja se mogu odrediti pomoću metode kosog osvjetljavanja.
Ploča se rotira u odnosu na polarizator, te tada dolazi do kosog prolaska svjetla kroz ploču.
Debljina ploče sada je h
cos β, a naprezanje σ ' 2=σ2 cos2 β, pa je red izohrome:
N β=
hcos β
f 'σ
(σ1−σ2 cos2 β )= h
f 'σ( σ1
cos β−σ2 cos β)
Razlika naprezanja:
σ 1−σ2 cos2 β=f 'σ
N β
hcos β
gdje je N β- red izohrome dobiven kosim osvjetljevanjam.
Ako se uzmu odnosi:h
f 'σ
σ1=n1ih
f 'σ
σ2=n2
tada se izrazi za red izohroma pretvore u :
N=n1−n2
te:
N β=n1−n2cos2 β
cos β
Nakon sređivanja dobijemo:
n1=hf '
σ
σ1=cos β (N β−N cos β)
sin2 β
n2=h
f 'σ
σ2=N β cos β−N ¿ ¿sin2 β
Pomoću Tardijeva ili Senarmonova kompenzatora dobiju se redovi izohroma, te se na osnovu godnjih formula mogu dobiti i vrijednosti naprezanja σ 1 i σ 2.
150. Šta je fotoelastična konstanta foto osjetljivih materijala?
Fotoelastična svojstva materijala se opisuju fotoelastičnom konstantom. Ovaj koeficijent se određuje za specifičnu talasnu dužinu i temperaturu. Za izračunavanje razlike glavnih naprezanja u modelu, potrebno je znati fotoelastičnu konstantu modela. Ova konstanta je povezana s brojem rubova koji će nastati po jedinici opterećenja. Ona određuje osjetljivost fotoelastičnog materijala. Što je ona niža, to je materijal osjetljiviji.Modul elastičnosti E i fotoelastična konstanta se mjenjaju za isti materijal i više od 10% ovisno o izradi i termičkoj obradi. Zbog toga, uz svaki fotoelastični model potrebno je ove veličine baždariti. Baždarenje se provodi za dvodimenzionalni model na štapu opterećenomna zatezanje ili za trodimenzionalni model na gredi opterećenoj na čisto savijanje.
Fotoelastična konstanta fσ pokazuje koliko je osjetljiv materijal i ona treba da bude niža u odnosu na modul elastičnosti E (E / fσ ). Što znači: što je veći odnos između E / fσ materijal je fotoelastično osjetljiviji, odnosno materijal je bolji. Određivanje vrijednosti fotoelastične konstante mora se vršiti na probnom uzorku od istog materjiala od koga je napravljen model.
151. Šta se izrađuje od fotoosjetljivih materijala i kakva se izvode ispitivanja?Od fotoosjetljivih materijala izrađuju se tanke modelske obloge 1-2,5mm koje se ljepe dvokomponentinim ljepilom na površinu ispitivane konstrukcije, a izvode se ispitivanja deformacije i naprezanja na ravninskim i prostornim modelima.Od fotoosjetljivih materijala se izrađuju konstrukcijski modeli koji se izlažu naprezanju tj podvrgavaju različitim silama te se ovi modeli promatraju u jednostavnim ili složenim polariskopima, zatim bilježe rezultati promatranja u vidu slika.Izgled slike ovisi o obliku modela, stanju naprezamja, optičkim karakteristikama materijala modela, temperaturi itd.
Polariskop je optički uređaj u kome se izvodi analiza napregnutog modela uz određivanje stanja naprezanja.Izokline su interferacijske linije dobivene povezivanjem tamnih tačaka tj ove linije spajaju mjesta na modelu u kojima pravci glavnih naprezanja čine jednak kut sa nekom izabranom osom. Izokline su linije u čijim točkama su pravci glavnih naprezanja jednaki, odnosno to su linje duž kojih glavna naprezanja imaju stalan pravac.Izohrome su linije duž kojih su razlike glavnih naprezanja konstante, tj. σ1 – σ2 = const.
Red izohrome se odredi pomoću fotografije, pri čemu se prvo traži izohroma nultog reda od koje se broje izohrome redom. Izohromu nultog reda najlakše je odrediti ako na konturi modela postoji ispupčenje kao u točki A, gdje su i najmanja naprezanja (slika 17.33). Ako se model posmatra u bijelom svjetlu, izohroma nultog reda se lako odredi, jer je nulta izohroma uvijek crna dok su ostale izohrome bijele.
Slika 17.32 Primjer izokline Slika 17.33 Određivanje reda izohrome na modelu Pomoću slike izoklina se odrede pravci glavnih naprezanja, dok se poznavanjem reda izohrome odredi njihova razlika (σ1 - σ2).
Izvode se ispitivanja:- ispitivanje ravninskog stanja naprezanja ( naprezanje po dubini ne mijenja)
- metoda kosog osvjetljavanja (ova metoda se koristi za dopunske informacije o izohromi kada su potrebne pojedinačne vrijednosti glavnih naprezanja koje se ne mogu odrediti na temelju fotoelastičnih snimaka izohroma i izoklina,
- metode ispitivanja prostornog stanja naprezanja: metoda fotoelastične obloge, određivanje naprezanja na površini
konstruktivnog elementa metoda zamrzavanja naprezanja, najviše se primjenjuje zbog mogućnosti
primjene i umjerenih troškova ispitivanja.( Osnovna karakteristika ove metode je što model izrađen od fotoelastičnog materijala nakon obavljenog zagrijavanja na temperaturi 100˚ do 150˚ C, a zatim hlađenja zadržava naprezanja i deformacije na sobnoj temperaturi i nakon prestanka opterećenja. Na ovaj način su «zamrznute» deformacije pa se model može razrezati na tanke ploče radi nastavka ispitivanja kao dvodimenzionalnog modela. Proces «zamrzavanja» deformacija je reverzibilan, pa ponovnim zagrijavanjem na kritičnu temperaturu model dolazi u stanje koje je postojalo prije opterećenja.
metoda ugrađenog refleksijskog sloja slično metodi fotoelastične obloge metoda višeslojnog modela model se ovdje izrađuje iz više paralelnih slojeva od
kojih je svaki sloj iz drugog fotoelastičnog materijala različite fotoelastične konstante
metoda raspršenog svjetla primarno svjetlo koje prolazi kroz prozirni koloidni medij izaziva pri sudaru sa česticama medija sekundarno svjetlo, koje se raspršuje u svim pravcima ravnine okomite na primarnu zraku svjetla.
