99128864-Toata-Lucrarea (1).pdf

8/18/2019 99128864-Toata-Lucrarea (1).pdf

1/131

UNIVERSITATEA “BABEŞ – BOLYAI” CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO - ŞTIINŢIFIC Ă PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC : REALIZATOR: CONF.UNIV. CRISTINA BLAGA PROF.DANIELA MUREŞAN

!"!

1


2/131

UNIVERSITATEA “BABEŞ – BOLYAI” CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ - INFORMATICĂ

TEOREME CLASICE DESPRE DREAPTĂ ŞI CERC

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC : REALIZATOR:

CONF.UNIV. CRISTINA BLAGA PROF.DANIELA MUREŞAN

!"!

2


3/131

CUPRINS

INTRODUCERE

I Câteva teoreme clasice despre dreaptă şi cerc teoreme1.1.Diviziuea armoic! 1" 1.#.Rela$ii metrice 1% 1.#.1.De&ii$ii 1%

1.#.#.'sem!area triu()iurilor 1* 1.#.+.Rela$ii metrice , triu()iul dreptu()ic #+ 1.+.Trasversale #- 1.%.Ceviee cocurete #* 1..Triu()iuri omolo(ice +% 1./.Triu()iuri ortolo(ice +-

1.-.Cercul %"

1.-.1.De&ii$ii %" 1.-.#.U()i la cetru. 'rce de cerc . %# 1.-.+.Pozi$iile relative ale uei drepte &a$! de u cerc %/ 1.-.%.U()i ,scris , cerc %- 1.-..U()i cu vâr&ul , iteriorul cercului %0 1.-./.U()i cu vâr&ul , eteriorul cercului % 1.-.-.Pozi$iile relative a dou! cercuri %/

1.-.0.2u(imea cercului şi aria discului %* 1.0.3ascicole de cercuri 1 1.*.Ortocetrul 1.1".Triu()iul podar *

1.11.Patrulatere /+ 1.11.1.Patrulaterul complet /+ 1.11.#.Patrulaterul iscripti4il // 1.11.+.Patrulaterul circumscripti4il -#

II Cercuri remarca4ile #.1.Cercul celor ou! pucte5Cercul lui Euler6 - #.#.Teorema lui 7i$eica -0 #.+.Cercurile lui 2emoie 0# #.%.Cercurile lui Tuc8er 00

III 'specte metodolo(ice (eerale ale procesului istructiv9educativ +.1.Caracterizarea (eeral! a procesului de predare9,v!$are

+.#.Evaluarea , procesul de predare9,v!$are *++.+.Rolul şi locul temei , pro(rama şcolar! *0

+.%.Proiectul uit!$ii de ,v!$are : Rela$ii metrice , triu()iul dreptu()ic 1"1 +..Proiecte didactice 1"%

3


4/131

+./.Teste de evaluare 11" +.-.;iicule(ere de pro4leme 11%


5/131

> procesul istructiv9educativ ce se des&!şoar! la ivel preuiversitar u rol

&udametal ,l ocup! predarea matematicii. 2ec$iile de matematic! au u rol i&ormativ? ,

sesul c! ,armeaz! elevii cu cuoşti$e de 4az! di domeiul matematicii? ecesare ,

pro4lema cuoaşterii şi a posi4ilit!$ii a4ord!rii altor ştii$e cum ar &i &izica? c)imia etc. şi u

rol &ormativ , sesul c! depride elevii cu modele de ra$ioamete lo(ice.

>v!$!mâtul are misiuea de a asi(ura ,suşirea de c!tre tierele (eera$ii a

cuoşti$elor ştii$i&ice? te)ice şi culturale? a depriderilor ecesare eercit!rii uor pro&esii

utile societ!$ii.

Caracterul metodelor tre4uie s! imprime tieretului studios coştii$a ,suşit! cucovi(ere şi iteres c! matematica este cu atât mai util! societ!$ii cu cât este asimilat! ,tr9

u cadru mai corespuz!tor? ude calit!$ile estetice ale ra$ioametelor se ,m4i! armoios

cu e&icie$a lor.

O4iectivele (eerale ale pred!rii matematicii , (imaaziu şi liceu? cuprise ,

pro(ramele şcolare prev!d@

9&amiliarizarea elevilor cu utilizarea şi aplicarea , di&erite cotete a uor te)ici şi

metode de operare , domeiul matematiciiA9&ormarea uor deprideri de rezolvare a pro4lemelor utilizâd strate(ii al(oritmice?

euristice sau euristico9al(oritmiceA

9cosolidarea şi dezvoltarea ra$ioametului pri &ormarea depriderii de a aaliza o

pro4lem! dat! şi de a selecta teoria matematicii covea4il! , rezolvarea ei? sesizâd

restric$iile ce se impu sau posi4ilit!$ile de (eeralizare? de a pro4lematiza o situa$ie dat! sau

de a modela , lim4aB matematic u &eome ,tâlit , studiul matematicii sau a celorlalte

disciplie de specialitate.

;atematica zilelor oastre evolueaz! diamic su4 raport catitativ şi? mai ales?

calitativ. Cercet!ri şi descoperiri cotemporae redimesioeaz! permaet domeiile ei şi

impu ei(e$e deose4ite &udametelor sale. >v!$!mâtul u poate r!mâe , a&ara

5


6/131

acestor &r!mât!riA el are de rezolvat pro4leme oi re&eritoare la epuerea , şcoal! a

4azelor uor ştii$e , cotiu! tras&ormare.

> cadrul disciplielor matematice care se predau , ,v!$!mâtul preuiversitar u

rol deose4it ,l are (eometria. > ultimul deceiu? , $ara oastr!? (eometria ca o4iect de

studiu , şcoal!? a 4ee&iciat de modi&ic!ri spectaculoase. Este vor4a de creşterea poderii

ra$ioametului deductiv? a4stract? &apt cu implica$ii maBore , &ormarea tierei (eera$ii.

=eometria poreşte de la studiul uor &i(uri cocrete ce eprim! tr!s!turi ese$iale

ale realit!$ii o4iective şi ela4oreaz! propozi$ii a4stracte. =eometria ,mpleteşte or(aic

(âdirea cocret! cu cea a4stract!? , coseci$! u rol primordial , &ormarea şi

dezvoltarea capacit!$ii deductive.

'similarea (eometriei urm!reşte o spiral! ce poreşte de la ituirea vie a realit!$ii

o4iectiveA pe acest! spiral! se pu , acord cu itui$ia u um!r crescâd de propozi$ii dice , ce mai a4stracteA aceste propozi$ii devi temeliile pe care se costruiesc edi&iciile

teoriilor a4stracte. 'umite por$iui di spirala asimil!rii (eometriei sut parcurse ,

,v!$!mâtul preşcolar? altele , clasele primare şi mai multe , (imaziu şi liceu.

3ormarea coceptelor (eometrice? spre deose4ire de altele? ridic! pro4leme de ordi

psi)olo(ic şi peda(o(ic deose4ite.

U cocept (eometric u se poate crea spota? el se &ormeaz! , cursul uui proces

psi)ic c!ruia ,şi pue ampreta ima(ia$ia? creativitatea? puterea de (eeralizare şia4stractizarea.

U cocept (eometric poate avea u (rad mai mare de (eeralitate? iar altul mai

restrâs.

O caracteristic! a coceptelor (eometrice cost! , aceea c! ele &ormeaz! sisteme

ierar)ice şi c! u sut etit!$ile mitale izolate.

Opera$iile cu coceptele (eometrice se realizeaz! ,totdeaua pe pla mital.

3i(ura (eometric! apare petru elev , dou! ipostaze@ca re&ectare idealizat! a uor

propriet!$i spa$iale pure şi ca posi4ilitate de cocretizare a uor cocepte.

Deci &i(ura (eometric! apare atât , procesul de trecere de la cocret la a4stract? cât

şi , procesul de trecere de la cocept la ima(ie? de la cocept la ceea ce se umeşte cocept

6


7/131

&i(ural. > cursul rezolv!rii pro4lemelor u e putem dispesa de aportul &i(urii (eometrice?

ci e &olosim de ea petru a reprezeta simpli&icat uele opera$ii metale.

> predarea (eometriei o ate$ie deose4it! tre4uie s! se dea şi sim4olurilor? ota$iilor?

cove$iilor de dese? de reprezetare? de redactare sim4olic! a uui ra$ioamet.

> ,suşirea temeiic! a cuoşti$elor de (eometrie? u loc ,semat ,l ocup! şi

rezolv!rile de pro4leme.

=. Pola ar!ta c!@ ??a rezolva o pro4lem! ,seam! a (!si o cale de a ocoli u

o4stacol? de a ati(e u o4iectiv care u este direct accesi4il. ' (!si solu$ia uei pro4leme

este o per&oma$! speci&ic! iteli(e$ei? iar iteli(e$a este apaaBul distictiv al speciei

umae? se poate spue c! ditre ,delemicirile omeeşti cea de rezolvare a pro4lemelor este

cea mai caracteristic!.

Pro4lemele de (eometrie costituie atreametul ecesar ,suşirii discipliei ,(âdire? a spiritului de ri(oare ecesar ast!zi pe o scar! di ce , ce mai lar(! , via$a de

toate zilele.

Ra$ioametul (eometric presupue aaliza am!u$it! a tuturor cocluziilor ce

deriv! di aumite date? a cadrului de validitate a di&ere$elor rezultate. El u permite ici o

e(liBe$! , (âdire? ici o cocluzie pripit!? super&icial!? isu&iciet &udametat! lo(ic.

Rezolvarea pro4lemelor de (eometrie ,l aBut! pe elev s! disti(! adev!rul ştii$i&ic de

eadev!r? s!9l demostreze@ atreeaz! or(aizarea lo(ic! a (âdirii? ordoarea ideilor?recuoaşterea ipotezelor şi a coseci$elor? ,l ,va$! pe elev s! disti(! diversele aspecte ale

uei situa$ii? s! deose4easc! ese$ialul de eese$ial? &ormeaz! capacit!$ile ate$iei?

atreeaz! memoria lo(ic!? eerseaz! aaliza şi siteza? &avorizeaz! dezvoltarea ima(ia$iei

creatoare? ,l aBut! s!9şi &ormeze sim$ critic şi costructiv? ,i &ormeaz! spiritul ştii$i&ic

eprimat pri o4iectivitate? precizie? (ustul cercet!rii.

Su4 aspect estetic? rezolvarea pro4lemelor de (eometrie trezeşte (ustul &a$! de

&rumuse$ile matematicii eprimate pri rela$ii? &ormule? &i(uri? demostra$ii.

> lucrarea de &a$! se a4ordeaz! aspecte ale metodicii pred!rii , cadrul (eometriei? a

pro4lemelor re&eritoare la cerc şi dreapt!.Pro4lemele re&eritoare la o$iuile de dreapt! şi

cerc ocup! u loc de seam! , dezvoltarea (âdirii creatoare a elevilor? deoarece petru

7


8/131

rezolvarea lor este ecesar s! se utilieze di&erite cuoşti$e do4âdite aterior şi s! se

deprid! oi propriet!$i ale &i(urilor (eometrice.

;otivarea ale(erii temei

Porid de la ideea c! matematica a deveit , zilele oastre u istrumet ese$ial

de lucru petru totalitatea ştii$elor şi domeiilor te)ice ? este &iresc ca , cetru

preocup!rilor actuale ale şcolii româeşti s! se situeze cultivare accetuat! a (âdirii elevilor

? pri evide$a rela$iilor matematice ? pri &udametarea ştii$i&ic! a coceptelor ? pri

itroducerea pro(resiv! ? (radat! a lim4aBului matematic moder .

'le(erea acestei teme este motivat! de importa$a deose4it! a ,$ele(erii o$iuilor

de dreapt! şi cerc .'ctivitatea la clas! mi9a o&erit posi4ilitatea s! costat c! ueori elevii di ciclul

(imazial ,tâmpi! (reut!$i , ,suşirea o$iuilor despre dreapt! şi cerc . 'm costatat c!

petru a o&eri posi4ilitatea de ,suşire de c!tre to$i elevi a uui miim de cuoşti$e şi te)ici

utile de lucru este ecesar s! se $i! seama de urm!toarele aspecte@

9, toate &ormele de predare s! se respecte etapele dezvolt!rii psi)opeda(o(ice ale

copilului A

9trezirea iteresului petru aplicarea , practic! a cuoşti$elor do4âdite .

Petru a9i ,v!$a pe elevi s! ,ve$e? petru realizarea uui ,v!$!mât activ &ormativ

al matematicii? stilul de lucru? metodele şi procedeele au o importa$! deose4it! .

Scopul activit!$ii matematice este de a9i eersa copilului itelectul? procesele de

cuoaştere? de a9l &ace apt s! descopere rela$ii a4stracte pe 4aza situa$iilor ,tâlite ,

activitatea o4işuit! .

'le(erea temei a &ost determiat! şi de ,tre4area @ Ce metode putem &olosi petru a

uşura ,$ele(erea o$iuilor privid predarea9,v!$area (eometrieiF

2ucrarea de &a$! este compus! di trei capitole.Capitolul I ??Câteva teoreme clasice despre dreapt! şi cerc? cel mai amplu capitol al luc!rii?

costituie o itroducere , lumea miuat! a dreptelor cele4re ? a (eometriei triu()iului

patrulaterului şi cercului .Capitolul II ??Cercuri remarca4ile prezit! ,tr9o maier!

uitar! cercul celor ou! pucte? teorema piesei de lei a lui 7i$eica? cercurile lui 2emoie?

8


9/131

respectiv Tuc8er. Capitolul III ??'specte metodolo(ice (eerale ale procesului istructive9

educativ co$ie o caracterizare (eeral! a procesului de predare9 ,v!$are9evaluare?

proiectul uit!$ii Rela$ii metrice , triu()iul dreptu()ic? câteva teste de evaluare

precum şi o miicule(ere de pro4leme.

;ul$umesc pe aceast! cale d9ei co&. uiv. Cristia


10/131

C'PITO2U2 I

CGTEH' TEORE;E C2'SICE DESPRE DRE'PT JI CERC

1.1.DIHIKIUNE' 'R;ONIC

1.1.1.3ie puctele '? < pe o dreapta şi &ie C şi D dou! pucte care divid se(metul

'< , rapoarte opuse.Utilizâd se(metela orietate putem scrie@

516 C' L M D' C< D<Spuem c! puctele C şi D sut conjugate , raport cu ' şi


11/131

O4serv!m c! um!rul 4 ? dat de rela$ia 5+6 este media armoic! a umerelor c şi d. 'tucirela$ia 5%6 care eprim! se(metul '< este media armoic! ,tre se(metele 'C şi 'D.'ceast! rela$ie ? 5%6 ? este ec)ivalet! cu rela$ia 5#6 şi este caracteristic! petru puctele ueidiviziui armoice. Dac! lu!m ori(iea , miBlocul I al se(metului '< ? adic! 4 9 a ? rela$ia 5#6 devie@

56 a# cd ? adic!5/6 I'# ICID 5Pocelet ? 10##6.

I rela$ia 5/6 ? se(metl I' este media (eometric! a se(metelor IC şi ID. 'ceast! rela$ie

este ec)ivalet! cu rela$ia 5#6 şi este caracteristic! petru puctele uei diviziui armoice.

1.1.%.Se pot o4$ie şi alte rela$ii metrice ec)ivalete. Dac! lu!m puctul Q : miBlocul

se(metului CD ? o4$iem rela$ia@

5-6 %IQ# '


12/131

Dac!


13/131

#6Raza cercului circumscris uui peta(o re(ulat este media armoic! ,tre apotema lui şi

apotema peta(oului re(ulat stelat corespuz!tor.

'

E G B

O

J D F C I

Demostra$ie@'


14/131

1.#.1.De&i$ii

De&ii$ia1.#.1.1@ Prin raportul a două segmente înţelegem raportul lungimilor lor.

O4serva$ia1.#.1.#@ Lungimile segmentelor trebuie exprimate prin aceleaşi unitaţi de

măsură.

De&ii$ia1.#.1.+@ Şirurile de numere şi (a ! a" !#..$ ! (b ! b" !#$ sunt proporţionaledacă a % a" % a& %##.%' .aportul constant ' se numeşte factor de proporţionalitate. b b" b&

De&ii$ia1.#.1.%@ Şirurile de segmente ( )*+, ! )-, ! )/0, #.şi ( )* + , ! - , !) 11 F E ,

##.$ se numesc proporţionale dacă şirurile lungimilor lor sunt proporţionale.

De&ii$ia1.#.1.@1rei sau mai multe drepte paralele situate la distanţe egale se numesc paralele ec2idistante.

Teorema1.#.1./@5paralelelor ec)idistate6@ acă mai multe drepte paralele determină

pe o secantă segmente congruente ! atunci ele determină pe orice altă secantă segmente

congruente.

Demostra$ie

3ie ['1C#\ ZZ (? [ '#C+\ ZZ (? ]?[ '91C\ ZZ (

'1'#C# ^'#'+C+ ^].^'91'C 5U.2.U.6 [ '1C#\^ [ '#C+\^].^ [ '91C\

Dar ' 1< 1< #C# ? ].. ? ' 91< 91< C : paralelo(rame

d 1

d#

d+

.

.

.

d91

d91

d ('

1

' #

C#

'+

C+

' 91

C 91

'

C

<1

<#

<+


15/131

[ domeiu matematicii? T)ales a adus (eometria , =recia? &amiliarizâdu9se cu ea , timpul c!l!toriilorsale , E(ipt şi dezvoltâd9o ulterior. Teoremele (eometrice ela4orate de el au costituit temelia matematicii(receşti.

T)ales a demostrat c!@1. u cerc este ,mp!r$it , dou! p!r$i e(ale de diametruA2. u()iurile 4azei uui triu()i isoscel sut e(aleA+. u()iurile opuse la vâr& sut e(aleA%. u triu()i este determiat dac! sut date o latur! şi u()iurile adiacete eiA. u()iul ,scris ,tr9u semicerc este u()i drept.'tri4uirea primelor patru teoreme lui T)ales provie de la Proclos? care se 4aza pe o a&irma$ie a lui

Eudemos. Cea de9a cicea teorem! este citat! di Dio(ees di Pamp)ila? di secolul I.Teorema patru esteasociat! cu realizarea practic! a m!sur!rii dista$ei ditre vasele de pe mare.

Vieromus di R)odos e povesteşte cum a m!surat T)ales piramidele di E(ipt? &olosid um4rele 5adetermiat mometul zilei , care um4ra oastr! este e(al! cu ,!l$imea6.

Dio(eius 2aertius? , cartea hHie$ile şi opiiile marilor &ilozo&ih e spue c! hT)ales a &ost primul care adetermiat cursa Soarelui de la u solsti$iu la cel!lalt şi a declarat c! m!rimea Soarelui ar &i a -#":a parte dicercul solar? şi m!rimea 2uii ar &i aceeaşi &rac$ie di cercul luar. Se spue c! el a descoperit cele patruaotimpuri ale aului şi l9a ,mp!r$it , +/ de zileh.

A

D" E"

D E

D E

D% E%

B C

Demostra$ieCosider!m cazul câd raportul 'D este ra$ioal.

D<

Presupuem c! 'D L + . >mp!r$im se(metul ['


16/131

d1

d 2

d3

d 4

a 4'

1

'#

'+

'%

<1

<%

C# <

#

C+ <

+

'l treilea puct de diviziue este DA ot!m puctele de diviziue cu D1 ? D# ? D% &'

['D1\$[D1D#\$[D#D\$[DD%\$[D%


17/131

Ipotez! @ '; L 'N '< 'C

Cocluzie@;NZZ


18/131

'


19/131

A

BC

M

N

P

3i(urile de mai Bos se umesc asemeea.

3ie triu()iurile '


20/131

Teorema 1.#.#.1@5 &udametal! a asem!!rii6 @3 paralelă la una din laturile unui

triung2i! formează cu celelalte două laturi! sau cu prelungirile lor! un triung2i asemenea cu

cel dat.

Ipotez!. '


21/131

c6 D∈'< ast&el ,cât '∈5D


22/131

Cazul 1 5UU6@ ouă triung2iuri sunt asemenea dacă au două ung2iuri respectiv congruente.

Demostra$ie@

' '

; N

< C


23/131

A

A

x

B

b

b

C

D

C cD

E F

E dF

M

N

P

a d

e

'

<

D

C

De&ii$ia1.#.+.1@ Proiecţia ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul

perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

!

!" Proiec$ia puctului ' este tot u puct? ' 1 .

46 Proiec$ia puctului < care se a&l! c)iar pe dreapta de proiec$ie este tot puctul


24/131

A

B

C

D

'


25/131

A

B

C

D

Teorema1.#.+.%5PIT'=OR'6@ >ntr?un triung2i dreptung2ic! pătratul lungimii

ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor.

Pita(ora 5c. 0" ,.Vr. 9 c."" ,.Vr.6 a &ost u &ilozo& şi matematicia (rec? ori(iar di isula Samos? ,temeietorul pita(orismului? care puea la 4aza ,tre(ii realit!$i teoria umerelor şi a armoiei. ' &ost şicoduc!torul partidului aristocratic di Crotoe 5sudul Italiei6. Pita(ora a &ost u mare educator şi ,v!$!tor al

spiritului (recesc şi se spue c! a &ost şi u atlet puteric? aşa cum st!tea 4ie atuci poe$ilor? &iloso&ilor 5deeemplu? Plato ,suşi6 şi comada$ilor militari etc.

Pita(ora pare s! u &i scris imic. Doctria &iloso&ic! a pita(orismului e este totuşi destul de 4iecuoscut! di lucr!rile lui 'ristotel şi Setus Empiricus? precum şi di lucr!ri ale pita(oricieilor de mai t,rziu.Totuşi? u se poate sta4ili cu precizie ce apar$ie lui Pita(ora şi ce au ad!u(at pita(oricieii ulteriori.

Cele4rele tete hpita(oricieeh Eersurile de aur ale lui Pitagora şi Legile morale şi politice ale lui Pitagora? eistete şi , traduceri româeşti? apar$i uei epoci ulterioare.

Tradi$ia ,i atri4uie descoperirea teoremei care ,i poart! umele şi a tablei de înmulţire. Ideile şidescoperirile lui u pot &i deose4ite cu certitudie de cele ale discipolilor apropia$i

Ipotez!@ '


26/131

Cocluzia@ m5∢


27/131

A’

B’

C’ A B

Demostra$ie@

Costruim pri C o paralel! la dreapta '< care itersecteaz! dreapta '


28/131

#6Dac! o dreapt! d1 taie laturile uui '


29/131

516 '<


30/131

'C


31/131

3i(.#

O4serva$ia 1.%.+@ acă în locul cercului înscris considerăm un cerc exînscris ! teoremarămHne valabilă pentru contactele lui F ! / F ! 0 F cu laturile.3bţinem astfel încă trei puncte !

pentru fiecare cerc exînscris ! numite adjunctele cercului Iergonne.

T eorema1.%.%@5 NEU


32/131

Numim drepte izogonale ? cevieele uui vâr& ? simetrice &a$! de 4isectoarea u()iului şi

puncte inverse puctele de cocure$! ? puse , le(!tur! pe aceast! cale. 'st&el ortocentrul şi

centrul cercului circumscris sunt puncte inverse. Rela$ia este simetric!.

O4$iem ast&el o tras&ormare puctual! , raport cu u triu()i. Cetrul cercului

,scris şi cetrele cercurilor e,scrise sut pucte du4le ale tras&orm!rii iar vâr&urile

triu()iului sut pucte si(ulare.

Teorema 1.%./5


33/131

1..TRIUN=VIURI O;O2O=ICE

De&ii$ia1..1@ Triu()iurile '


34/131

Teorema1..#5 DES'R=UES $5 acă două triung2iuri *+- şi *F+F-F sunt astfel

situate încHt dreptele **F!++F! --Fsunt concurente! atunci laturile corespunzatoare +- şi

+F-F! -* şi -F*F! *+ şi *F+F se intersectează în puncte coliniare.

=rard Desar(ues 5. #1 &e4ruarie 1*1 9 d. octom4rie 1//#6 a &ost u matematicia şi i(ier &racez?

cosiderat uul ditre &odatorii (eometriei proiective ? supraumit ;o(e al secolului al qHII9lea.'cesta$iea la Paris lec$ii pu4lice (ratuite ? lec$ii pe care uii la porecleau 2ec$ii de um4re52ewos destx4res6.N9a &ost ,$eles de cotemporai. I se respi(e prima lucrare de perspectiv!.

' doua Cior! de a4ordare a &eomeelor produse de itersec$ia coului cu u pla s9a pierdut. >10% ;ic)ael C)asles51-*+9100"6 (!seşte o copie a acesteia.

Demostra$ie

'plicâd teorema lui ;eelaus , triu()iurile O


35/131

Demostra$ie

Puctele '?C?'?C sut situate pe dreptele cocurete '' şi CC? deci sut coplaare

Dreptele 'C şi 'C u sut paralele deci sut cocurete. 3ie puctul lor de itersec$ie ;.

'alo( '< şi '


36/131

Demostra$ie3ie a?4?c trei drepte , pla? cocurete , O şi triu()iurile '


37/131

Demostra$ie@

3ie ; itersec$ia perpedicularelor ,


38/131

A*

'r!t!m c! aceast! rela$ie este simetric!.

3ie puctul ' proiec$ia vâr&ului ' pe latura


39/131

$

)

)

A

CB

M

N

1.-.CERCU2

1.-.1.De&ii$ii

De&ii$ia1.-.1.1@-ercul cu centrul în 3 şi de raza r este mulţimea tuturor punctelor din

plan situate la distanţa r fata de 3. ;e notează - 5O?r$.

De&ii$ia1.-.1. #@ acă * este un punct al cercului! distanţa dintre punctul * şi 3 este

raza cercului.

39


40/131

$

)

$

)

A B

d

De&ii$ia1.-.1.+@ acă 4 şi 8 sunt două puncte ale unui cerc! segmentul [ ] MN se

numeşte coardă.

De&ii$ia1.-.1.%@3 coardă ce conţine centrul cercului se numeşte diametru.

> &i(ura 1? [ ] AC ? [ ] MN sut coarde? iar [ ] AB este diametru.

De&ii$ia1.-.1.@-ercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.

De&ii$ia1.-.1./@ acă două cercuri au acelaşi centru şi aceeaşi raza! ele coincid.

De&ii$ia1.-.1.-@-ercurile care au acelaşi centru se numesc cercuri concentrice.

De&ii$ia1.-.1.0@0iind dat cercul -(3!r$! mulţimea punctelor 4 din plan pentru care

34 M r se numeşte interiorul cercului şi se noteaza5 Knt-(3!r$.

De&ii$ia1.-.1.*@ 4ulţimea punctelor 8 din plan pentru care 38 D r! se numeşte

exteriorul cercului şi se noteaza5 /xt-(3!r$.De&ii$ia1.-.1.1"@ ;e numeşte disc de centru 3 şi raza r! r DC! mulţimea -(3!r$

Knt-(3!r$ şi se notează (3!r$.

Propozi$ia1.-.1.11@0iind date două puncte distincte * si +! există o infinitate decercuri ce conţin punctele * şi + .

40


41/131

3ie d mediatoarea se(metului [ ] AB . Puctele mediatoarei d au proprietatea c! sut e(aldep!rtate de capetele se(metului [ ] AB . 'tuci orice cerc care are cetrul pe mediatoarease(metului [ ] AB co$ie puctele ' si


42/131

C

$

A

B

$

A

D

B

C

De&ii$ia1.-.#.#@ 4ulţimea punctelor de pe cerc situate în interiorul ung2iului ∢ *3+

reunite cu * şi + se numeste arc mic şi se noteaza AB∩

.

De&ii$ia1.-.#.+@ 4ulţimea punctelor de pe cerc situate îin exteriorul ung2iului

∢ *3+! reunite cu * şi + se numeşte arc mare şi notează ACB∩

! unde AOB Int C ∠∉ .

Punctele * şi + se numesc capetele arcelor .

De&ii$ia1.-.#.%@ acă * şi + sunt capetele unui diametru! arcele se numesc

semicercuri .

De&ii$ia1.-.#.@ 4ăsura arcului mic este egala cu 0a 9 masura arcului mare este egala

cu 00360 a− 9 masura unui semicerc este 0180 .

De&ii$ia1.-.#./@ ouă arce sunt congruente dacă au aceeaşi masură.

Teorema1.-.#.-@ La arce congruente corespund coarde congruente(in acelaşi cerc sau

în cercuri congruente$.

Demostra$ie@Se dau arcele '< si CD co(ruete.

42


43/131

$

A

B

C

D

M N A

M

B

A BC

$

M

N

COD AOB ∆≡∆ cazul 2U2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

∠≡∠≡≡

COD AOB

DO BO

CO AO

=> [ ] [ ]CD AB ≡Reciproca. La coarde congruente corespund arce mici congruente( în acelaşi cerc sau în cercuri

congruente$

Teorema 1.-.#.0@ acă * şi + sunt două puncte distincte ale unui cerc! atunci

diametrul perpendicular pe coarda *+ împarte coarda şi arcele în două părţi congruente.

Demostra$ie@Diametrul [ ] MN este perpedicular pe coarda [ ] AB . AOB∆ este isoscel? [ ]OA şi [ ]OB &iid

raze.OC &ace parte di diametrul cercului? deci este ,!l$ime , triu()i. Rezult! c! OC este

şi media!? deci [ ] [ ]CB AC ≡ . Dar [ ]OC este şi 4isectoare? deci COB AOC ∠≡∠ de ude

rezult! c! şi arcele sut e(ale.

Teorema1.-.#.*@ acă două coarde ale unui cerc sunt congruente! atunci distanţele de

la centru la coarde sunt egale.

43


44/131

A B

C D

M

N

Demostra$ie@

COD AOB ∆≡∆ avâd toate laturile co(ruete ? rezult! c! şi ,!l$imile [ ]ON si [ ]OM sut

co(ruete.

Teorema1.-.#.1"@ acă * şi + sunt două puncte distincte ale unui cerc şi punctul 4

aparţine arcului determinat de ele! atunci măsura arcului AB∩

este egală cu măsura arcului

AM ∩

plus măsura arcului MB∩

.

Teorema1.-.#.11@ acă [ ] AB şi [ ]CD sunt două coarde paralele ale unui cerc! iar

punctele * şi - sunt situate de aceeaşi parte a diametrului perpendicular pe coarde atunci5

arcele mici *- şi + sunt congruente 9 coardele *- şi + sunt congruente.

Demostra$ie@

44


45/131

;N este diametrul perpedicular pe coardele [ ] AB şi [ ]CD ; este miBlocul arcului AB∩

iar N este miBlocul arcului CD∩

AC ∩

şi BD∩

sut co(ruete ca &iid di&ere$e de arce

co(ruete. 'rcele &iid co(ruete şi coardele sut co(ruete.PRO


46/131

$

A

B$ M

d

$

dd

3i(.# 3i(.+3i(.1

De&ii$ia1.-.+.1@ reapta secantă faţă de un cerc este dreapta care are două puncte

comune cu cercul5 * şi +.(fig.$

De&ii$ia1.-.+.#@ reapta tangentă la cerc este dreapta care are un singur punct comun

cu cercul.(fig."$

Teorema1.-.+.+@ reapta tangentă la cerc este perpendiculară pe rază în punctul de

intersecţie al ei cu cercul.

De&ii$ia1.-.+.%@ reapta exterioară cercului este dreapta care nu are puncte comune

cu cercul.(fig.&$

PRO


47/131

$ $ $

A

B

C

M

P

A

$

B

C

B

A

C

B

AC

$ $

U()iurile


48/131

$

A

B

C

D

Cazul I@ ∢


49/131

$

A

B

C

D

P

Teorema1.-./.1@Nng2iul cu vHrful în exteriorul cercului! ∢ *P+ are ca măsură

jumătate din diferenţa măsurilor arcelor cuprinse între laturile sale.

2"6"6

"6

DC m B Am

APBm

−

=∠

PRO


50/131

$$

M

$$

M

B

A

$ $A

3ie dou! cercuri "* 111 ROC şi "* 222 ROC . Dista$a ditre cetrele celor dou! cercuri

este 21OO . 'vem urmatoarele cazuri@

1. 21OO > 21 R R +

3ie "* 222 ROC M ∈ 22 R M O = :

'tuci 12212211 " R R R R M OOO M O =−+>−≥I acest caz cercurile se umesc exterioare

2. 2121 R ROO +=

Cercurile au u si(ur puct comu '. Dac! ar mai avea u puct comu


51/131

$

$

A

B

M

$

$

A

B%. 212121 R ROO R R +


52/131

Demostra$ie@

'; si BM AM ≡

PRO


53/131

$

01 .. 00 1803602 R R π π

=

0n .. n R

•0180

π

'ria uui cerc de raza r se calculeaz! cu &ormula@2

R A π =

De&ii$ia1.-.0.#@ ;e numeşte sector de cerc o porţiune din interiorul unui cerc cuprinsă

între două raze.

3iecarui sector de cerc ii corespude u arc pe cerc.

Petru calculul ariei sectorului de cerc? de raza R? care corespude uui arc de cerc

de m!sura 0n ? &olosim re(ula de trei simpla? aria sectorului &iid propor$ioal! cu m!sura

arcului.

;asura arcului i (rade 'ria sectorului de cerc

0360 2 Rπ

01 1360

0

2

• Rπ

0n n R

•0

2

360

π

'ria sectorului de cerc de raza R se calculeaz! cu &ormula

n R

A •=0

2

360

π

PRO


54/131

1. S! se a&le lu(imea uui cerc petru &iecare caz , parte? dac! '< este coard! şi se

cuosc@

a6 #m#!l!iABl!n%imaar B Am π 6*45" 0 ==

46 *,c*60"0

tor!l!iaria B Am = de cetru şi coarda '< e(al! cu #1/| cm#

c6 20 30,c*75" #mtor!l!iaria B Am π ==

#. Itr9u cerc de cetru O se d! coarda '


55/131

Demostra$ie@

3ie c1? c# dou! cercuri de cetre C1 ? C# şi de raze r1 ? r#.

Scriem puterile uui puct ; , raport cu cele doua cercuri su4 &orma@

ρ 1 ;C1 # : r1 # şi ρ # ;C# # : r# # . Dar ρ 1 ρ # ? deci@

516 ;C1 # : ;C# # r# # : r1 # costat.

Proiect!m puctul ; , O pe liia cetrelor ⇒ OC1 # : OC# # ;C1 # : ;C# #

costat.⇒puctul O este &i. Puctele ; sut situate toate pe perpediculara , O pe liia

cetrelor.

De&iitia1.0.#@ 8umim dreapta perpendiculară în 3 pe linia centrelor ! axa radicală

a celor două cercuri.

No$iuea de aa radical! a dou! cercuri a &ost itrodus! de =aultier , 101+.O4serva$ia1.0.+@ acă cercurile sunt exterioare ! axa radicală este cuprinsă între

cercuri ! exterioară ambelor cercuri.

O4serva$ia1.0.+@ acă cercurile sunt secante ! axa radicală prelungeşte coarda

comună.

O4serva$ia1.0.+@ in punctele axei radicale exterioare cercurilor putem să ducem

tangente egale la cele două cercuri ! iar din punctele interioare putem să ducem două coarde

minime într?un cerc şi în celălalt.Teorema1.0.%@ *xele radicale a trei cercuri luate două cHte două sunt concurente.

Demostra$ie@

3ie c1? c# ? c+ trei cercuri iar O puctul comu al aelor a# ? a+ ale cercurilor 5c1? c+6

? 5 c1? c# 6. Puctul O are puteri e(ale &a$! de toate cercurile ? deci apar$ie şi aei radicale

a1 a cercurilor 5c#? c+ 6 .

55


56/131

Teorema 1.0. 5Carot? 10"+65 -oardele comune a trei cercuri sunt concurente.

De&ii$ia1.0./@ 8umim fascicol de cercuri ! mulţimea cercurilor care au aceeaşi axa

radicală. ;unt trei tipuri de fascicole ! după cum axa radicală este exterioară! secantă

cercurilor atunci cercurile fascicolului trec prin două puncte fixe sau tangentă atunci

cercurile sunt tangente unei drepte într?un punct dat.

Teorema1.0.-@-entrele cercurilor unui fascicol sunt coliniare.

Demostra$ie@

3ie C ? C1? C# 9cetrele a trei cercuri. Dreptele CC1? CC# sut perpediculare pe aaradical! CC1 CC# . 'ceast! dreapt! ? liie a cetrelor ? se umeşte 4aza &ascicolului.

De&ii$i a1.0.0 @ 8umim cercuri ortogonale ! două cercuri ale căror tangente în punctele

comune sunt perpendiculare.

O4serva$ia1.0.*@ acă două cercuri sunt ortogonale tangenta unuia în punctual

comun trece prin centrul celuilalt şi reciproc.

O4serva$ia1.0.1" @-entrele cercurilor ortogonale sunt fiecare exterioare celuilalt.

3ie@ d9dista$a cetrelor ⇒ r# r# d# 5#6

r ?r9razele cercurilor

Rela$ia 5#6 este codi$ia ca dou! cercuri sa &ie orto(oale. ' &ost dat! de =aultier 5101+6.

Dac! scriem rela$ia 5#6 su4 &orma @ r# d# 9 r# ρ# 5+6

56


57/131

Dac! dou! cercuri sut orto(oale ? puterea cetrului uui cerc &a$! de al doilea cerc

este p!tratul razei primului cerc şi reciproc.

Teorema1.0.11@ /xistă un cerc ortogonal la trei cercuri date.

Demostra$ie@

3ie c1? c# dou! cercuri de cetre C1 ? C# şi de raze r1 ? r#? ; u puct dat. Proiect!m

puctu ; , O pe liia cetrelor? O9 puct &i. Di puctele ;?ale aei ? eterioare cercurilor

costruim ta(etele ;T1 ? ;T# la cele dou! cercuri ? care sut e(ale ? pri de&ii$ie.

;T1# ;T## ;C1# : r1# ;C## : r## ρ1# ρ## co&orm rela$iei 5+6 cercul de

cetru ; şi raz! ;T1 este orto(oal cercurilor c1 ? c#.

Teorema1.0.1#@ 3rice cerc din fascicol este ortogonal cercului C pe care îl numim cerc

fundamental.

Demostra$ie@

Costruim cercurile uui &ascicol de primul (e , modul urm!tor. 3ie a aa

radical! ? b 4aza şi c u cerc di &ascicol. Puterea }" a ori(iii &a$! de orice cerc di &ascicol

este aceeaşi şi aume p!tratul ta(etei di O la cercul c.

M

T"

T

C" , c O C2

C

57


58/131

Cosider!m cercul o de cetruO şi raz! √} . Puterea } a lui O &a$! de cercul c este

p!tratul razei cercului o. Co&orm rela$iei 5+6 c9 orto(oal cercului o. 'ceasta are loc

petru orice cerc di &ascicol.

O4$iem u cerc oarecare di &ascicol , modul urm!tor. 2u!m u puct ; pecercul o. Ta(eta , ; taie 4aza b , C . Cercul de cetru C şi raz! r C; apar$ie

&ascicolului. -entrele cercurilor din fascicol sunt exterioare diametrului 22 al

cercului fundamental. Cercurile de cetre 2 ? 2 di &ascicol se reduc c)iar la aceste

pucte. 2e umim puncte limită ale &ascicolului. Ele au &ost relevate prima oar! de

Pocelet 510##6.

Itr9u &ascicol de (eul al doilea ? &ormat di cercurile care trec pri dou! pucte

&ie P? { u avem cercuri de raz! ul!. Cel mai mic cerc di &ascicol este acela de

diametru P{. Spuem c! perec)ea de pucte P ? { costituie suportul &ascicolului de (eul

al doilea.

Teorema1.0.1+@3rice cerc l care trece prin punctele limită L şi L F este ortogonal

oricărui cerc c din fascicol.

Demostra$ie@

>tr9adev!r avem@ C2nC2 C;# r# puterea cercului C &a$! de cercul l este

p!tratul razei cercului c. Di 5+6 cercurile c şi l sut orto(oale.

-ercurile ortogonale ale cercurilor unui fascicol de genul întHi formeaza un fascicol de genul al doilea avHnd ca suport ! perec2ea de puncte limită ale primului fascicol şi reciproc.

Spuem c! cele dou! &ascicole ? care stau , aceast! rela$ie sut fascicole conjugate.

58


59/131

1.*.ORTOCENTRU2

Teor ema1.*.1@ Simetricele ortocetrului uui triu()i &a$! de laturi sut situate pe

cercul circumscris.

Demostra$ie@

3ie V 9 ortocetrul '


60/131

'tuci avem@

Teorema1.*.+@ >ntr?un triung2i ! centrul cercului circumscris ! ortocentrul şi centrul

de greutate sunt colineare şi 5 QI A "I3 ("$

De&ii$ia 1.*.%@ 8umim dreapta /uler ! dreapta punctelor 3 !I !Q.

Di V


61/131

iii$3rtocentrul triung2iului *+- este centrul cercului înscris în triung2iul ortic

*F +F-F! iar vHrfurile triung2iului *+- sunt centrele cercurilor exînscrise triung2iului ortic

*F +F-F.

iv$1angenta în punctul * la cercul circumscris triung2iului *+- este paralelă cu

dreapta +F -F.

v$intre toate triung2iurile înscrise în triung2iul *+- ! triung2iul ortic are perimetrul

minim.(teorema lui 0euerbac2$.

Demostra$ie@

i63ie '


62/131

X;1Y


63/131

1" ` ' '1 ?

otâd pri ` ? ? 9 u()iurile su4 care sut v!zute laturile di puctul ;.

> cercul '


64/131

3ie @ '1 pr


65/131

B"

B C

M

Demostra$ie @

3ie


66/131

''# ⊥


67/131

Teorem!1.11.1.+5Dreapta lui =auss6@. 4ijloacele celor trei diagonale ale unui

patrulater complet sunt coliniare.

Demostra$ie.

3ie '


68/131

BC &M

BF &R

2

1

2

1

=

=2"

Deoarece , triu()iul DE3 puctul R este miBlocul laturii 5D36 şi puctul 2 estemiBlocul laturii 5E36? urmeaz! c! dreapta R2 este paralel! cu DE şi , acelaşi timp va

itersecta se(metul 5C36 , N? miBlocul se(metului 5C36. De aici deducem@

BC $M

ED $R

2

1

*2

1

=

=3"

Pe de alt! parte? o4serv!m c! puctele =? V? 2 sut pe prelu(irile laturilor

triu()iului ;NR. 'cest &apt coduce la cocluzia c! putem &olosi reciproca teoremei lui;eelaus petru a dovedi c! puctele =? V? 2 sut coliiare. > acest ses va tre4ui s!

demostr!m c! este adev!rat! rela$ia@

1=⋅⋅ &R

&M

GM

GN

$N

$R4"

Petru aceasta tre4uie s! calcul!m , &uc$ie de valorile (!site mai sus rapoartele di

epresia 5%6. 3!câd opera$iile idicate (!sim@

BF

BC

&R

&M

AD

AF

GM

GN

EC

ED

$N

$R

<

*

*

=

=

=

5"

>mul$id mem4ru cu mem4ru rela$iile 56 o4$iem

BF

BC

AD

AF

EC

ED

&R

&M

GM

GN

$N

$R⋅⋅=⋅⋅ 6"

> &elul acesta am redus pro4lema de la a dovedi eiste$a rela$iei 5%6 la a ar!ta c!

mem4rul drept al rela$iei 5/6 este e(al cu 1. 'ceasta se poate ar!ta uşor prelu(id laturile

triu()iului DC3 pâ! itersecteaz! trasversala '< care potrivit teoremei lui ;eelaus e

d!@

68


69/131

1=⋅⋅ AD

AF

BF

BC

EC

ED7"

E(alitatea 5-6? $iâd seama de e(alitatea 5/6 e d! posi4ilitatea s! deducem c!

rela$ia@

1=⋅⋅ &R

&M

GM

GN

$N

$R8" este adev!rat!.

Deci potrivit reciprocei teoremei lui ;eelaus? puctele =? V? 2 sut coliiare.

Dreapta determiat! de aceste trei pucte se umeşte dreapta Ne€to9=auss a

patrulaterului complet '


70/131

;'1C


71/131

B O

D C

Demostra$ie@

AD Se cosider! u u patrulater *+-? care este iscripti4il? adic! eist! u cerc - 53!

r 6 care co$ie puctele *!+!-!. 'tuci 3* 3+ 3- 3 r! deci puctul 3 se a&l! pe

mediatoarele se(metelor [ *+\ ! [ +- \ ! [ *- \ ! [ *].

“


72/131

B

O

C D

Demostra$ie@

3ie *+- u patrulater iscripti4il. Pe dia(oala *- se cosider! puctul U ast&el ,cât

∢'


73/131

si5 a 4 6 si a cos 4 si 4 cos a

3ie puctele ' şi D diametrale iar puctele < şi C de aceeaşi parte a diametrului 'D.

Not!m @ a ∢'D< şi 4 ∢D'C

'D 1 ? '< si a ? DC si 4 ? D< cos a ? 'C cos 4?


74/131

B

+ 1 , D

C

3ie '< a ? 'D 4 ?CD c ? C< d ? care satis&ac codi$iile @a ~4 c d

4 ~ a c d

c ~ a 4 d

d ~ a 4 c.

Notâd @ ∢


75/131

O4serva$ia 1.11.#.1% @ *ceastă teoremă a fost enunţată de QuVgens (WXY$ ! dar a fost

demonstrată prima oară de -ramer (XY"$.

Teorema1.11.#.1@ *ria patrulatrului inscriptibil de laturi a ! b ! c ! d este dată de

formula 5

8" S5p9a65p9465p9c65p9d6

Demostra$ie@

A

a

d

f

B

e

b

c

C D

3ie '< a ?


76/131

1.11.+.Patrulaterul circumscripti4il

De&ii$ia1.11 .+.1@Nn patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc senumeşte

patrulater circumscris cercului.

De&ii$ia1.11 .+.#@Nn patrulater spunem că este circumscriptibil dacă poate fi

circumscris unui cerc.

Nu putem spue c! orice patrulater este circumscripti4il.

Teorema 1.11.+.+ @Nn patrulater poate fi circumscris unui cerc dacă şi numai dacă

bisectoarele ung2iurilor sale sunt concurente.

Demostra$ie@

'

D <

O

C

AD Cosider!m u patrulater *+- circumscris uui cerc?adic! laturile sale

[ *+\ ! [ +- \ ! [ *- \ ! [ *\ sut ta(ete la u cerc - 53! r 6.

d 53!*+6 d 53!+- 6 d 53!-6 d 53!*6 r AD deci puctul 3 se a&l! pe 4isectoarele

u()iurilor *!+!-!.

MA Se cosider! patrulaterul *+-? cu 4isectoarele u()iurilor sale cocurete ,

puctul O.

'tuci &olosid proprietatea puctelor de pe 4isectoare de a se a&la la aceeaşi dista$!

&a$! de laturile u()iului se o4$ie @

d5O?'


77/131

Teorema 1.11.+.%@ Nn patrulater este circumscriptibil dacă şi numai dacă suma

lungimilor laturilor opuse este aceeaşi!

*+ - * +-

Demostra$ie@

3ie patrulaterul circumscris '


78/131

Dar '< CD 1-%1 accept! propuerea lui 3rederic cel ;are al Prusiei de a vei la 'cademia di


79/131

C)iar dac! uele teorii ale lui Euler u sut acceptate de stadardele modere ale matematicii? ideilesale au codus la mari pro(rese. El este &oarte cuoscut , aaliza matematic! petru utilizarea &recvet! aseriilor puterii@ eprimarea uor &uc ii cu aButorul uor sume.

Teorema#.1.1.0ie triung2iul oarecare *+- şi punctul Q ortocentrul său.*tunci

mijloacele laturilor ! picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor )*Q, ! )+Q, ! )-Q,

sunt nouă puncte conciclice.

(fig $

Demostra$ie @

3ie @ '1 : miBlocul lui [


80/131

'alo(


81/131

#.#.TEORE;' 2UI 7I7EIC'

=)eor()e 7i$eica 5. %†1- octom4rie 10-+? Dro4eta Turu9Severi 9 d. &e4ruarie 1*+*?


82/131

au un punct comun P şi se mai intersectează două cHte două în punctele * ! + şi -. azacercului circumscris 7*+- este A ‧ "‧ & ! unde Z P este puterea punctului P faţă

Z P de cercul circumscris 7 33 "3& determinat de centrele cercurilor date.

'


83/131

;C‧ '<'1


84/131

3 Q A " ‧ cos 3 AD 3Q " A " ( ] cos3 cos3" cos3& $ ! unde r şi sunt raza cercului

înscris respectiv circumscris 733"3& .

Teorema#.#.%.5Salmo6. Pe un cerc se consideră punctele * ! + ! - şi P . -ercurile de

diametere P* !P+ ! P- se întHlnesc două cHte două în trei puncte coliniare.

Demostra$ie@

Cele trei pucte , care se itersecteaz! diametrele ? P< ? PC sut picioareleperpedicularelor di P pe laturile triu()iului teorema lui Salmo este ec)ivalet! cu

teorema lui ‚allace 5dreapta lui Simso6.

Teorema lui Salmo este o completare la limit! a teoremei +.#.#.

3ie cercurile C 5O1 ? R 16 ? C 5O# ? R #6 ? C 5O+ ? R +6 de diametre P' ? P< ? PC

PO1O#O+ : patrulater iscripti4il &iid omoteticul patrulaterului P'


85/131

#.+.CERCURI2E 2UI 2E;OINE

‰mile ;ic)el Vacit)e 2emoie 5. ## oiem4rie 10%"? {uimper? 3ra$a : d. #1 &e4ruarie 1*1#?Paris6 a &ost u i(ier şi matematicia &racez? pro&esor la ^cole PolVtec2ni_ue. 'cesta este cosideratp!ritele (eometriei triu()iulare modere şi a deveit cele4ru pri demostrarea eiste$ei uui puct2emoie , cadrul uui triu()i.

Teorema #.+.15STEINER6@ 0ie triung2iul oarecare *+- şi ** ! **" ceviene

izogonale. *tunci5

* + . *" + % *+"

*- *"- *- "

Demostra$ie@

A

C B

C B A" A

B"

C3ie puctele @


86/131

'1< . '#< ‗


87/131

'' : simediaa di '

'' W q X ; Y

Pri q ducem o paralel! la


88/131

Teorema#.+./5PRI;U2 CERC '2 2UI 2E;OINE6@ Paralelele duse prin punctul U al

lui Lemoine la laturile 7*+- intersectează laturile triung2ului în şase puncte conciclice.

Demostra$ie@

3ie '1 ? '#


89/131

O4serva$ia#.+.0 @ 7 * +- 7- " *" +" ! 7 * +- ∼7- " *" +"∼7*+-

m5∢'1


90/131

'1


91/131

Teorema #.%.1. 1rei antiparalele congruente intersectează laturile triung2iului *+- ! în

şase puncte conciclice.

Demostra$ie@

3ie '1 ? '#


92/131

'"


93/131

Ca orice ac$iue care s! duc! la o sc)im4are radical! şi rapid! ? re&orma

,v!$!mâtului u se vrea u scop , sie ? ci este ()idat! de o viziue de asam4lu asupra

&ialita$ii spre care tide@ u ,v!$!mât apt de a &ace &a$! diamicii cotiue a societ!$ii

cotemporae pri produsul s!u ? a4solvetul. 'ceast! re&orm! impue recosider!ri

ese$iale aumitor compoete ale activit!$ii istructiv9educative.

Porid de la oile oriet!ri ale psi)olo(iei? o ou! didactic! ,şi croieşte drum? o

didactic! a metodelor active? participative? , care elevul u mai este u simplu receptor de

i&orma$ie? ci su4iect al cuoaşterii şi ac$iuii. 'cesta este speci&icul didacticii modere.

> aceast! a4ordare moder!? te)olo(ia istruirii semi&ic! u mod sistematic de

proiectare? realizare şi evaluare a ,tre(ului proces de ,v!$are şi predare? , cocorda$! cu

o4iectivele peda(o(ice asumate? atreâd , structura sa pricipalele compoete aleprocesului de istruire.

Cosiderat , procesualitatea sa ? ,v!$!mâtul reprezit! o altera$! cotiu! de

activit!$i de predare şi ,v!$are ? care alc!tuiesc o uitate or(aic!.

Ditre pricipalele compoete ale procesului de istruire ? obiectivele pedagogice

prezit! u iteres cu totul deosae4it.Ele corespud uor op$iui şi priorit!$i sociale maBore

cu privire la i&orma$ia şi depriderile pe care tre4uie s! le do4âdeasc! elevii ? cu privire la

Budec!$ile de valoare şi comportarea acestora.Ca orice activitate ? o4iectivele se pre&i(ureaz!la ,ceputul ac$iuii ? dar do4âdesc epresie palpa4il! la ,c)eiere? rezultatele &iid cele

care atest! ati(erea o4iectivelor.

De mare importa$! petru lec$ia propriu9zis!? ca etitate de istruire ? sut

o4iectivele opera$ioale? care descriu comportamete cocrete pe care elevii le do4âdesc ,

&iecare secve$! a procesului istructiv9educativ.

O pozi$ie c)eie , asam4lul celorlalte compoete ocup! conţinutul lecţiei ?reprezetâd pricipalul miBloc de realizare a o4iectivelor propuse? dâd ses e&ortului de

,v!$are.

> proiectarea uei lec$ii? determiarea co$iutului speci&ic? sta4ilirea uei

cocorda$e deplie ,tre co$iut şi o4iective? costituie urm!toarea pro4lem! de rezolvat

dup! sta4ilirea o4iectivelor.

93


94/131

Deşi pro(rama prevede clar materia de predat şi maualul cotiu! s! r!mâ! u

puct de porire petru ela4orarea oric!rei lec$ii? totuşi co$iutul acestuia tre4uie

prelucrat de c!tre pro&esor petru a9l &ace trasmisi4il? iteli(i4il? uşor şi temeiic de

asimilat.

Prelucrarea co$iutului maualului privitor la uit!$ile de ,v!$are tratate , cadrul

eperimetului peda(o(ic e&ectuat co&orm situa$iei peda(o(ice cocrete , care se

des&!şoar! activitatea didactic! este de mare importa$! petru sporirea e&icie$ei ,v!$!rii?

,suşirii sistemului de lec$ii.

Dozarea i&orma$iei pe care o o&er! maualul? documeta$ia suplimetar!? tre4uie

&!cut! cu mare ate$ie? desitatea ei tre4uid re(lat! , &uc$ie de timpul a&ectat? de

capaciatatea şi ritmul de lucru al elevilor.

U alt aspect ese$ial , aceast! pro4lem! ,l costituie ri(urozitatea ştii$i&ica ai&orma$iei? asi(urarea acurate$ei ştii$i&ice a co$iutului? precum şi cocetrarea asupra

ese$ialului? scoaterea , evide$! a celor mai importate şi semi&icative cocepte. Structura

coceptual! a secve$elor de ,v!$are se aşaz! pe ideea de 4az! a co$iutului de idei.

'vâd , vedere oile ac)izi$ii di didactica (eeral!? strategiile didactice se pot

de&ii ca sisteme de metode? procedee? miBloace şi &orme de or(aizare a activit!$iide

istruire†autoistruire? ite(rate , structuri opera$ioale? care sut meite s! asi(ure o

,v!$are activ! şi creatoare a cuoşti$elor şi a4ilit!$ilor? s! asi(ure o ,v!$are activ! şicreatoare a cuoşti$elor şi a4ilit!$ilor şi s! ra$ioalizeze procesul istruirii.

Strate(ia didactic! o&er! o 4az! de trecere de la cocep$ie la ac$iue. 'doptarea uei

strate(ii didactice ec)ivaleaz! cu adoptarea uui pro(ram al istruirii la ivelul lec$iei? a

uei structuri metodice propriu9zise . Deci? strate(ia o&er! solu$ii de ordi structural9

procesual? dar şi metodic? determiâd o aumit! ordie de cotiuare a di&eritelor metode?

procedee? miBloace şi &orme de (rupare a elevilor.

Strate(ia arat! ce &ace pro&esorul şi ce &ace elevul? puâd , evide$!

capacitatea cadrului didactic de a ac$ioa e&iciet şi de a9i &ace şi pe elevi s! ac$ioeze ,

virtutea aceluiaşi $el.

P!strâdu9şi şi , prezet valoarea deose4it! petru ati(erea o4iectivelor

educa$ioale? lecţia r!mâe modalitatea pricipal! de or(aizare a activit!$ii didactice? pri

94


95/131

itermediul c!reia se realizeaz! , acelaşi timp i&ormare şi &ormare? istruire şi educare.

'st!zi? ea este ,$eleas! ca u dialo( ,tre pro&esor şi elevi? su4ordoat o4iectivelor (eerale

şi speci&ice ale procesului de ,v!$!mât? opera$ioalizate la ivelul colectivului de elevi. ;ai

mult? lec$ia moder! se costituie ,tr9u pro(ram didactic? respectiv u sistem de procedee

de lucru şi ac$iui comue ale pro&esorului şi ale elevilor? structurate şi or(aizate , vederea

ati(erii o4iectivelor istructiv : educative propuse şi , vederea activiz!rii elevilor ,

procesul didactic.

> cadrul procesului istructiv : educativ? metodologia didactică? respectiv sistemul

de metode şi procedee didactice care asi(ur! ati(erea o4iectivelor propuse? ocup! pozi$ia

cetral!.

> didactica moder!? metoda de învăţămHnt este ,$eleas! ca u mod de ac$iue? care

tide s! plaseze elevul ,tr9o situa$ie de ,v!$are? mai mult sau mai pu$i diriBat!? care s! seapropie pâ! la ideti&icare cu ua de cercetare ştii$i&ic!? de urm!rire şi descoperire a

adev!rului şi de le(are a lui de aspecte practice ale vie$ii.

Haloarea uei metode este apreciat! , raport cu sarciile care tre4uie realizate pri

itermediul ei. > ale(erea sistemului de metode şi procedee proprii &iec!rei lec$ii di

cadrul uit!$ilor de ,v!$are am avut , vedere &aptul c! aparatul metodic tre4uie s! asi(ure

,$ele(erea pro&ud! a pro4lemelor tratate şi s! ac$ioeze , aşa &el ,cât s! asi(ure pe tot

parcursul lec$iei participarea activ! a elevilor? e&ortul lor propriu , do4âdireai&orma$iilor? , aplicarea cuoştitelor? , ela4orarea depriderilor? , &ormarea uor

calit!$i itelectuale şi de persoalitate.

> ses lar(? pri mijloace de învăţămHnt ,$ele(em totalitatea resurselor materiale

special cocepute şi realizate petru a &i utilizate de pro&esor , activitatea de predare şi de

elevi , cea de ,v!$are . Ite(rarea lor , procesul de ,v!$!mât tre4uie s! r!spud! uei

&ialit!$i peda(o(ice? s! cotri4uie la realizarea o4iectivelor urm!rite.

> cotetul moderiz!rii şi per&ec$io!rii ,v!$!mâtului cotempora apare ca

ecesar! şi o4iectiv! itroducerea calculatorului , şcoal! şi valori&icarea lui , istruc$ie şi

autoistruc$ie? ,deose4i pri sistemul educa$ioal moder umit istruirea asistat! de

calculator5I.'.C6. 'cest sistem 4azat pe I.'.C. va realiza trecerea de la ,v!$area idus! :

4azat! pe ,$ele(ere : la ,v!$area iteractiv! : 4azat! pe dialo(ul iteli(et cu calculatorul?

95


96/131

care poate ampli&ica capacitatea de prelucrare şi asimilare a i&orma$iilor? poate spori

per&orma$ele itelectuale.

+.#.EH'2U'RE' >N PROCESU2 DE PRED'RE : >NH7'RE

/valuarea este o compoet! ese$iala a procesului istructive†educativ? a triadei

istruire9predare9evaluare? avâd ca scop cuoaşterea e&ectelor activit!$ii des&!şurate ,

vederea optimizarii ei? pe 4aza colect!rii? or(aiz!rii şi iterpret!rii rezultatelor o4$iute

pri itermediul istrumetelor de evaluare.De asemeea rolul ei este s! depisteze limitele

96


97/131

,v!$!rii? (reşeli? lacue? ivel prea sc!zut de cuoşti$e? di&icult!$i , iterpretarea şi

aplicarea cuoşti$elor ? petru dep!şirea acestora şi realizarea pro(resului şcolar.

0uncţii principale şi specifice ale evaluării

• 3uc$ia dia(ostic! 9 ce vizeaz! depistarea lacuelor? (reşelilor şi ,l!turarea

acestora A

• 3uc$ia pro(ostic!9care aticipeaza per&orma$ele viitoare ale elevilorA

• 3uc$ia de selec$ie9 permite clasi&icarea şi ierar)izarea elevilor A

• 3uc$ia de certi&icare9care relev! compete$ele şi cuoşti$ele elevilor la &iele uui

ciclu†&orm! de şcolarizare.

• 3uc$ia motiva$ioal! sau de stimulare a activit!$ii de ,v!$are a elevilor 9se

mai&est! pri valori&icarea pozitiv! a &eed94ac89ului o&erit de evaluare? , sesul

aprecierii propriei activit!$i.

• 3uc$ia de orietare şcolar!9itervie , ale(erea uei aumite &orme de educa$ie.

• Realizarea acestor &uc$ii ale evaluarii presupue &olosirea ec)ili4rat! a strate(iilor

de evaluare? diversi&icarea te)icilor şi istrumetelor de evaluare.

4omente şi modalităţi de realizare a evaluării

;etodolo(ia evalu!rii de proces 5a rezultatelor şcolare6 presupue r!spusuri la urmatoarele

,tre4!ri @

a6Pe cie evalu!m F9to$i elevii? ca (rup 9elevii lua$i idividualA

9u aumit (rup 5de vârst!6

46 Câd F9de câteva ori pe a? la di&erite date A

9la date &ie A

9cotiuu A

c6Pri ce miBloace F

9pro4e scrise? orale? practice 9o4serva$ia direct! , clas! A

9re&erate? proiecte? teme petru acas! A

9porto&olii A

d6Petru cie F

97


98/131

9elevi? p!ri$i A

9pro&esori? &actori de decizie A

9istitu$ii care vor a(aBa viitori a4solve$i A

e6I &uc$ie de ce F

9o4iective curriculare A

9stadarde şi criterii de evaluare &ormativ9educativ!

Evaluarea poate &i @ cotiu! sau periodic!.

Se realizeaz! @ 9la ,ceputul pro(ramului de istruire A

9pe parcurs A

9secve$ial A

9, &ial A

;odalit!$ile de realizare a evalu!rii se structureaz! , &uc$ie de mometul aplic!rii? ,@• Evaluare ii$ial!

• Evaluare cotiu! 5&ormativ!6

• Evaluare cumulativ! 5sumativ!?(lo4al!6

Evaluarea cumulativ! este ,tr9u &el? o evaluare de 4ila$.Ea se caracterizeaz! pri @

9u caracter ormativ? permi$âd compararea per&orma$elor elevilor cu o4iectivele

(eerale ale discipliei şi cu ivelul de pre(!tire al elevilor la ,ceputul pro(ramului A

9se realizeaz! la itervale mari de timp 5la &ialul uui capitol? curs? a şcolar? ciclu de ,v!$!mât 6? determiâd aprecieri &iale asupra rezulttelor şcolare

9are e&ecte reduse asupra ameliorarii procesului de ,v!$are A

9m!surarea se realizeaz! pri sodaB , râdul elevilor şi asupra materiei parcurse A

9urm!reşte ierar)izarea elevilor dup! per&orma$ele o4$iute A

9rezultatele acestei evalu!ri pot &i utilizate de or(aele de decizie petru &ormularea uor

m!suri privid or(aizarea şi des&!şurarea procesului istructiv9educativ.

'4ordare comparativ! ,tre evaluarea sumativ! şi evaluarea &ormativ!@

Criteriul

&olosit

Evaluarea sumativ! Evaluarea &ormativ!

;iBloace

dispoi4ile

9veri&ic!ri par$iale9aprecieri (e

4ila$

9veri&ic!ri sus$iute pe secve$e mici9

aprecieri care determi! amelior!ri

98


99/131

prioritare 9veri&ic!ri (e sodaB9vala4ile doar

petru uii elevi şi doar petru o

parte a materiei

9veri&icarea ,tre(ii materii†elemete

ese$iale9aprecieri vala4ile petru to$i

eleviiO4iectivul

pricipal

9evaluarea catitativ! a

rezultatelor9e&ect ameliorativ redusla ivelul lec$iei

9evaluare calitativ! a rezultatelor :

ameliorara lec$iei9per&ec$ioareaactivit!$ii de istruire9,v!$are9evaluare

Criteriul de

apreciere a

rezultatelor

9compararea cu o4iectivele

speci&ice ale discipliei de

,v!$!mât

9compararea cu o4iectivele

cocrete†opera$ioale ale activit!$ii de

istruire9,v!$are9evaluare3uc$ia

prioritar!

eercitat!

9clasi&icare?ierar)izare a elevilor 9simulare a dezvolt!rii elevilor

E&ectepsi)olo(ice

9stress? rela$ii de opozi$ie pro&esor9elev†surs! de stress

9rela$ii de cola4orare pro&esor9elev?dezvoltâd capacitatea de autoevaluare

Timp 9evaluarea ocup! +"9+Š di

activitatea didactic!

9evaluarea ocupa 091"Š di activitatea

didactic!

4etode tradiţionale de evaluare sut@ 9pro4e scrise

9pro4e orale

9pro4e practice

3iecare di aceste metode tradi$ioale are avataBe şi dezavataBe.Di acest motiv ?ele tre4uie com4iate ,tr9u mod optim.

4etode alternative(moderne$ de evaluare sunt 5

9o4servarea sistematic! a comportametului elevului pri @

• &işe de evaluare†autoevaluare

• liste de cotrol†veri&icare

• sc!ri de clasi&icare

9ivesti(a$ia9proiectul

9re&eratul

99


100/131

9porto&oliul o modalitate de evaluare cu spectrul lar(? permi$âd strâ(erea uui material

4o(at şi variat despre pro(resul şcolar al elevului utilizâd o varietate de metode şi te)ici de

evaluareA

9autoevaluarea este o te)ic! corelat! cu istrumetele de evaluare prezetate mai sus?

permi$âd elevului o cuoaştere a per&orma$elor proprii

;etodele alterative o&er! pro&esorului i&orma$ii suplimetare despre activitatea şi

ivelul de ac)izi$ii al elevului.'cestea completeaz! datele &urizate de metodele tradi$ioale.

I evaluarea de ast!zi ? idi&eret de tipul ei &olosim itemii.

Di puct de vedere al o4iectivit!$ii , otare? itemii se clasi&ica , @

• itemi o4iectivi A

• itemi semio4iectivi A

• itemi su4iectivi A

Ktemii obiectivi @ reprezit! compoete ale testelor de pro(res? , special ale celor

stadardizate .'ceştia se clasi&ica la râdul lor , @

• itemi cu ale(ere duala @da†u A adevarat†&als A corect†(reşit A 4ie†r!u

• itemi cu ale(ere multipl! @ elevul tre4uie s! alea(! variata corect! di cele

eumerate A

• itemi de tip perec)e @ solicit! recuoaşterea uor corespode$e? uor asocieri ,tre

elemetele a dou! coloae ast&el ,cât s! se o4$i! a&irma$ii adevarate A• itemi de completare @ permit veri&icarea ,suşirii uor de&ii$ii? aiome?&ormule? pri

completarea , spa$iul li4er a p!r$ii omise A

• itemi cu r!spus scurt @se &ormuleaz! ca ,tre4are direct! şi r!spusul se costituie

su4 &orma uei propozi$ii? cuvât? um!r? sim4ol? etc.

Ktemi semiobiectivi @ presupu ca r!spusul elevului s! &ie limitat ca spa$iu? &orm!?

co$iut? pri structura eu$ului sau ,tre4!rii. 'ceştia se prezit! su4 &orma uor

,tre4!ri cu r!spus structurat? elevul ,şi orieteaz! r!spusul , &uc$ie de ,tre4!rile şisu4,tre4!rile puse de pro&esor.

Ktemii subiectivi @ sut cel mai &recvet utiliza$i , sistemul de evaluare tradi$ioal

&iid relativ uşor de costruit şi testeaz! o4iective care vizeaz! ori(ialitatea şi caracterul

persoal al r!spusului.

100


101/131

-alităţile instrumentelor de evaluare

Petru ca rezultatele evalu!rii s! ai4! semi&ica$ie petru evaluatori? evalua$i ?

istitu$ii şi societate? istrumetele de evaluare au urm!toarele calit!$i @

• Haliditatea9 calitatea uei pro4e de evaluare de a m!sura eact ceea ce este

destiat s! m!soareA

• 3idelitatea9calitatea uei pro4e de evaluare de a da rezultate costate , cursul

aplic!rii ei succesive A

• O4iectivitatea :(radul de cocorda$! ,tre aprecierile &!cute de evaluatori

idepede$i? , ceea ce priveşte u r!spus ??4upetru &iecare ditre itemii

uei pro4e

• 'plica4ilitatea :calitatea uei pro4e de evaluare de a &i admiistrat! şi

iterpretat! cu uşuri$!.

+.+.RO2U2 JI 2OCU2 TE;EI IN PRO=R';' JCO2'R

;arele peda(o( româ 3nisifor I2ibu spuea5 `-Ht de greu îi este ţăranului cHnd nu

poate măsura grădina! livada sau via sa! cHnd nu ştie cHte ţigle îi trebuie la acoperişul unui

şopron! cHte scHnduri la poditul unui coridor! cHţi metri cubi sunt într?un lemn pe care vrea

101


102/131

să?l cumpere Şi mai mare nevoie au de geometrie meseriaşii! din toate domeniile! care nu vor

putea face nici un fel de plan fără a avea cunoştinţe geometrice.

=eometria? ua di ramurile pricipale ale matematicii? se ocup! cu studiul &ormelor

spa$iale şi a rela$iilor lor de m!rime. ' luat aştere di ecesit!$ile practice ale oameilor şi

s9a dezvoltat , strâs! le(!tur! cu acestea.

'st!zi? ca şi , trecut? (eometria 9 (imastica de ecotestat a mi$ii9cotiu! s! se

4ucure de o ,alt! apreciere? atât pri caracterul s!u practic? cât şi pri cotri4u$ia pe care o

aduce la &ormarea persoalit!$ii , (eeral şi a ra$ioametului deductiv , special.

Di puct de vedere istructiv? studiul sistematic al (eometriei urm!reşte ,armarea

elevilor cu cuoşti$e clare şi precise despre &ormele o4iectelor lumii reale? m!rimea şi

propriet!$ile acestora. De asemeea urm!reşte &ormarea şi dezvoltarea reprezet!rilor

spa$iale? precum şi a depriderilor de a aplica practic cuoşti$ele de (eometrie , e&ectuaream!sur!torilor? sta4ilirea uor m!rimi sau dista$e? calcularea perimetrelor? ariilor.

=eometria? pri caracteristica ei de &i(urare şi co&i(urare spa$ial! 4i şi

tridimesioal!? o&er! mari posi4ilit!$i cuoaşterii şi (eer!rii de idei. Tot , acest domeiu

al veri&ic!rii cuoaşterii pri sc)eme aalo(ice? Ştefan 3dobleja spuea@ `*m folosit mult

geometria în cercetare! şi ei îi datorez unele dintre cele mai bune idei.

U adev!r de ecotestat? dac! avem , vedere şi rolul ei , dezvoltare? este c!

tre4uie s! acord!m studiului (eometriei mare importa$! c)iar di clasa I . > mod evidet?o$iuile de (eometrie vor &i ,v!$ate prioritar pri procese ituitive şi &ormate ii$ial pe

calea iductiv!? parcur(âdu9se urm!toarele etape@

j cercetarea directă a mai multor obiecte din lumea reală! aflate în poziţii diferite în spaţiu9

R sesizarea caracteristicilor comune ale acestora9

R concretizarea prin desen a imaginii geometrice materializate în obiecte9

R proiectarea imaginii geometrice în limbajul geometriei şi definirea noţiunii geometrice.

Predarea şi ,v!$area o$iuilor de (eometrie se &ace cocomitet cu ac$iui de

m!surare? comparare a rezultatelor? de decupare? de descompuere a &i(urii , elemetele

compoete.

> clasele I şi a II9a pro(rama prevede doar recuoaşterea &i(urilor (eometrice.

102


103/131

> clasele a III9a şi a IH9a se completeaz! cuoşti$ele elevilor cu &elul liiilor? aa de

simetrie? iteriorul şi eteriorul uei &i(uri (eometrice? perimetrul.

> clasa a :H :a elevii ,şi &ormeaz! ima(ii corecte ? clare despre &i(urile (eometrice şi

,cep s! ,$elea(! uele proprietâ$i ale acestora .

> clasa a 9 HI :a ? u ,tre( capitol ,i este acordat dreptei? iar , clasa a9 HII9 a ?

cercului ? capitole , care elevii studiaz! , am!ut teoremele importate şi

propriet!$ile re&eritoare la dreapt! şi cerc ? urmâd apoi ca acestea s! &ie reactualizate pe tot

parcursul ailor de (imaziu şi , uii ai de liceu.

Dac! vom ideti&ica orice &i(ur! (eometric! ,v!$at!? , mediul ,coBur!tor? o vom

eempli&ica? elevii si(uri vor aBu(e la covi(erea c! &i(urile (eometrice u sut crea$ii

arti&iciale ale mi$ii omeeşti ci p!r$i isepara4ile ale o4iectelor lumii reale. Procedâd ast&el

dezvolt!m elevilor spiritul de o4serva$ie? (âdirea lo(ic!? creativitatea? o4işui$a de arespecta datele şi de a m!sura eact petru a le &olosi , rezolvarea de pro4leme.

'st&el? (eometria? ştii$a !scut! di evoile practice ale omului? destiat! s!9l

sluBeasc! şi s!9l aBute , di&erite ,mpreBur!ri? va devei petru elevi accesi4il!? pl!cut!? iar

dasc!lul ,şi va sim$i activitatea ,cuuat! de succes.

;atematica cotri4uie , mod deose4it la dezvoltarea capacit!$ilor creatoare ale

elevilor? umai dac! pro&esorul adopt! o pozi$ie creatoare , or(aizarea şi des&!şurarea

lec$iilor.'st&el? o muc! sus$iut! di partea pro&esorului corelat! cu o participare activ! a

elevilor? la toate o4iectele de ,v!$!mât? lec$ie de lec$ie? va duce la &ormarea uei motiva$ii

superioare , ,v!$are şi la dezvoltarea capacit!$ilor creatoare. Permaet tre4uie s!9i

,v!$!m pe elevi cum s! ,ve$e? s!9şi pu! şi s! pu! ,tre4!ri? s! &ormuleze pro4leme şi s!

dea cât mai multe solu$ii? adic! s! (âdeasc! creativ.

103


104/131

+.%.PROIECTU2 UNIT7II DE >NH7'RE @ /L*\KK 4/1K-/ >8 1KN8IQKNL /P1N8IQK- C2'S' a : Iq : aNr. de ore@ 1#

Co$iuturile ,v!$!riiCompete$especi&ice 'ctivit!$i de ,v!$are Nr.ore Resurse Evaluare;ateriale Procedurale

PROIEC7II ORTO=ON'2EPE O DRE'PT

-.1A -.% 9Eercitii de ideti&icare a proiec$ieiuui se(met pe odreapta , di&erite co&i(ura$ii(eometrice93olosirea istrumetelor (eometricepetru a reprezeta proiectia uuipuct†se(met pe o dreapt!.

1 ;aualCule(eri

Eplica$iaEpuereaCoversa$iaEerci$iul

3ormativ!Pro4e orale

TEORE;' >N27I;II -.#A -.+A-.%

9Calcularea uor lu(imi de se(meteutilizâd teorema ,!l$imii9Demostrarea teoremei i!l$imii ,pro4leme

1 ;aualCule(eri

Eplica$iaCoversa$iaEerci$iul


TEORE;' C'TETEI -.#A -.+A-.%

9Calcularea uor lu(imi de se(meteutilizâd teorema catetei9Demostrarea teoremei catetei i

pro4leme

1 ;aualCule(eri

Eplica$iaCoversa$iaEerci$iul


TEORE;' 2UIPIT'=OR'

-.#A -.+A-.%

9Calcularea uor lu(imi de se(meteutilizâd teorema lui Pita(ora9Demostrarea teoremei lui Pita(ora , pro4leme

1 ;aualCule(eri3işe delucru

Eplica$iaEerci$iulCoversa$ia;uca ide9pedet!.

3ormativ!Pro4e oraleEvaluarea activi9t!$ii idepedete

TEORE;' RECIPROC 'TEORE;EI 2UI PIT'=OR'

-.#A -.% 9Utilizarea reciprocei teoremei luiPita(ora petru sta4ilireaperpedicularit!$ii a doua drepte sau

1 ;aualCule(eri3işe de

Eplica$iaEerci$iulCoversa$ia

3ormativ!Pro4e oraleEvaluarea activi9

104


105/131

a aturii uui triu()i lucru ;uca ide9pedet!.

t!$ii idepedete

PRO


106/131

tri(oometrice studiate9Eerci$ii de calcul a uor lu(imi dese(mete? m!suri de u()iuri?perimetre? arii ale uor co&i(.(eometrice.

PRO


107/131

+..PROIECTE DID'CTICE

PROIECT DID'CTIC

Clasa a 9 Iq9aPro&esor@ ;ureşa DaielaJcoala de 'rte şi ;eserii S';US : CluB9NapocaDisciplia@ M!!c – %)Uitatea de ,v!$are@ elaţii metrice în triung2iul dreptung2icSu4iectul lec$iei@ 1eorema lui PitagoraTipul lec$iei: c d d%b(d) d (% c+(%(Durata: 1 %)

Compete$e speci&ice@ 7.1. c+(%!)! d,c))! &(&%) +(+ )+(?G d)/+(?Gc H()-% c%(?+)! d! 7.2. A/&c!)! )&!&%) )c H( )+(?G+& d)/+(?Gc c+ d)(!)! +(%) &( !&!c,+! 7.5. I()/)!)! /)/(dc+&!) H( )&! c+ )@%&!)! )+(?G+&+ d)/+(?Gc 7.6. )!(,/+()! )@+&!&%) %b(+ /)( )@%&!)! +(%) )+(?G+) d)/+(?Gc &! ,+! – /)%b& d!.

O4iective opera$ioale@$1- (+( , !/&c c%)c %)! &+ P!?%)!

$2-+&!)! c+)%@ d@%&!)! ,+&+ c)c

$3 -D@%&!)! ,/)+&+ d %b,)! ! c%(c()) H( )@%&!)

$4- C%(c()!)! !c &! &c.

Resurse!" P)%cd+)!&: c%(),!!* x/&c!!* +(c! (d/(d(* %b,)!!

b" M!)!&: d &+c)+* C+&?) d /)%b&

c" F%) d %)?!(@!): )%(!&* (dd+!&

107


108/131

Etapelelec$iei

O4iectivede

re&eri$!Co$iutul lec$iei

;etodeşi

procedee

Procedeede

evaluare

1. ;ometor(aizatoric

- A,?+)!)! c%(d&%) %/ /()+d,+)!)! &c.- )c!)! /)@( &&%)

#. Captarea

ate$iei şiveri&icareacuoşti$elor

- E& %) !! / b(c c!& d !c+&!%!)&. ! )c! /)(

,%(d!J* !. Ex)c& d( * c!) (+!+ %, c+! d ! +& &* %) c+ &! !b&. Prof. Voi #r l'ilor () n!n* torma+n)l*imii ,i torama #atti .

- !c!

)%(!&

- !/)c)

)b!&

+.'u$areatemei şi ao4iectivelor

- A,@ ( /)%/+( , d,c+ d,/)+(! d( c& ! /%)!( %) d(?%)! /&!(* d%!)c , ! %&%,%!) d, H( )@%&!)! /)%b&&%):

1eorema lui Pitagora- Voi pr"nta l'ilor o (#!rt)

ilio%ra/i a l!i Pita%ora. Pitagora (PVt2agoras$ a fost un filozof şimatematician grec! născut în insula ;amos! întemeietorul şcolii pitagorice.1radiţia îi atribuie descoperirea tablei deînmulţire şi a teoremei geometrice care?i poartă numele.

-c%(),!!

%. DiriBarea ,v!$!rii

1O

Prof. E(+( %)! % ,c)+ &! !b&:

Teorema lui Pita(ora@

>tr9u triu()i dreptu()ic?p!tratul lu(imii ipoteuzei este e(alsuma p!tratelor lu(imilor catetelor.

222 AC AB BC +=

A

B D C

Kp. #drpt!n%hi ABC −∆

( ) 090= Am

-l. 222 AC AB BC +=

Dem. Prin (implitata i ,i %rad!l mard apli#atiilitat0 Torma l!i Pita%ora a

/a(#inat d-a l!n%!l milniilor n! n!mai p %omtrii d pro/(i0 #i ,i pr(oan d

#l mai 'ariat o#!pa*ii1 E!#lid0

$onardo da Vin#i0 Araham Gar/ild0

/o(t pr,dint al Statlor nit.

- Noi vom &olosi doar ua ditre ele@

-c%(),!!

-x/&c!!

-%b,)!)!,,!c

108


109/131

DES3JUR'RE' 2EC7IEI

PROIECT DID'CTIC

Clasa a 9 Iq9aPro&esor@ ;ureşa DaielaJcoala de 'rte şi ;eserii S';US : CluB9Napoca

109


110/131

Disciplia@ M!!c – %)Uitatea de ,v!$are@ elaţii metrice în triung2iul dreptung2icSu4iectul lec$iei@ *plicaţii ale teoremelor înălţimii! catetei! PitagoraTipul lec$iei@ c d x!) c%(,%&d!) ! c+(%(&%)

Durata@ 1 %)

Compete$e speci&ice@ 7.1. c+(%!)! d,c))! &(&%) +(+ )+(?G d)/+(?Gc H()-% c%(?+)! d! 7.2. A/&c!)! )&!&%) )c H( )+(?G+& d)/+(?Gc c+ d)(!)! +(%) &( !&!c,+! 7.5. I()/)!)! /)/(dc+&!) H( )&! c+ )@%&!)! )+(?G+&+ d)/+(?Gc 7.6. )!(,/+()! )@+&!&%) %b(+ /)( )@%&!)! +(%) )+(?G+) d)/+(?Gc &! ,+! – /)%b& d!.

O4iective opera$ioale@

$1 – %)+&@ (+(+& %) H(&* c! ! %) &+ P!?%)! $2 – d(c c!) d( %) /%! !/&c! H()-% /)%b& $3 – c!&c+&@ &+(? d ,?( c+ !J+%)+& +(! d( %)& c+(%,c+ $4 – c!&c+&@ /))+& !)! +( ?+) ?%)c.

Resurse!" P)%cd+)!&: c%(),!!* x/&c!!* +(c! (d/(d(* %b,)!!

b" M!)!&: d &+c)+* C+&?) d /)%b&

c" F%) d %)?!(@!): )%(!&* (dd+!&

110


111/131

DES3JUR'RE' 2EC7IEI

K. 434/81 3I*8K*13K- Se veri&ic! preze$a elevilor.

KK. E/K0K-*/* 1/4/K Se veri&ic! tema pri co&rutarea rezultatelor. > cazul , care au &ost di&icult!$ila rezolvarea pro4lemelor se rezolv! la ta4l!.

KKK. /*-1N*LK*/* -N83Ş1K8\/L31. Ce este triu()iul dreptu()icF

#. Cum se umesc laturile saleF

+. Cum se o4$ie proiec$ia uui se(met pe o dreapt!F Care sut proiec$iilecatetelor pe ipoteuz!F

%. Eu$a$i teorema catetei? teorema ,!l$imii şi teorema lui Pita(ora. Care sutcodi$iile de aplica4ilitate ale acestoraF

Hom costrui la ta4l! u triu()i dreptu()ic şi vom scrie rela$iile o4$iute diteoremele eu$ate aterior. KE. -38;3LK*/* -N83Ş1K8\/L3

Hoi ,mp!r$i elevilor câte o &iş! de lucru. Elevii vor ieşi la ta4l! şi vor rezolvapro4lemele.E. /E*LN*/* /L/EKL3 Se vor ota elevii care s9au evide$iat , timpul orei.

111


112/131

EK. 1/4* P/81N *-*; Hor rezolva restul pro4lemelor de pe &işa primit!.

RE2'7II ;ETRICE >N TRIUN=VIU2 DREPTUN=VIC3IJ DE 2UCRU

1. > triu()iul dreptu()ic '


113/131

-. Calcula$i ,!l$imea uui triu()i ec)ilateral cu lu(imea laturii de cm.0. Dreptu()iul 'N HI'7' COTIDI'N

*. Tereul de sport al uei şcoli are &orm! de dreptu()i? avâd dimesiuile '< %0 mşi


114/131

> ABC ∆ vâr&ul u()iului de *"‹ este ..............

Catetele triu()iului sut .......... şi .............

Ipoteuza este ...............................

Dac! BC AE ⊥ atuci 'E este .............................Se(metele [CE\ şi [E


115/131

/p. d6 Heri&ica$i dac! triu()iul cu laturile de 1# cm? * cm? 0 cm este dreptu()ic.

+"p. IH. 3ie '


116/131

> ABC ∆ vâr&ul u()iului de *"‹ este ..............

Catetele triu()iului sut .......... şi .............

Ipoteuza este ...............................

Dac! BC AE ⊥ atuci 'E este .............................

Se(metele [CE\ şi [E


117/131

DC * cm? calcula$i lu(imea ,!l$imii


118/131

♦ Timp de lucru@ " miute♦ O&iciu @ #"pJcoala de 'rte şi ;eserii S';US : CluB9Napocapro&. Daiela ;ureşa

Rela$ii metrice , triu()iul dreptu()ic

. -ompletaţi teoremele cerute în spaţiile libere.a65 p6Teorema ,!l$imii@]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]].

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]].

465p6Teorema catetei@]]]]]]]]]]]]]]]]]]].. ]]...]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

c65p6Teorema lui Pita(ora@ ]]]]]]]]]]]]...]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] ].

2. 5 p6 esenaţi un triung2i dreptung2ic 48P! cu ung2iul drept în vHrful 4. 8otaţi înălţimea corespunzătoare ipotenuzei cu 4:.

-ompletaţi5!. 5 p6 Catetele sut @]]] şi ]]] b. 5 p6 Ipoteuza este@]]]c. 5 p6 Proiec$iile catetelor pe ipoteuz! sut ]].. şi ]]]]].

3. 0ie triung2iul *+- cu ( ) 090=∠ Am şi proiecţia punctului * pe +-. Ştiind că +- A &C cm şi + A W cm! să se calculeze lungimea segmentelor

!. 5 p6 DC ]]]]..cm b. 5 p6 'D ]]]] cm

O. 0ie triung2iul 1;N! dreptung2ic în 1! şi 1E înălţimea corespunzătoareipotenuzei. Lungimea unei catete este de 34 cm şi proiecţia sa pe ipotenuză esteW cm. -alculaţi.

c. 5 p6 2um(imea ipoteuzeid. 5 p6 2u(imea proiec$iei celeilalte catete. 5 p6 2u(imea cealalte catete.

118


119/131

Y.( p6 >ntr?un triung2i dreptung2ic lungimile catetelor sunt ] cm ! respectiv W cm.-alculaţi lungimea ipotenuzei.

W. >ntr?un triung2i dreptung2ic *+-! ( ) 090=∠ Am ! ( ) BC D 0 BC AD ∈⊥ şi( ) AB E 0 AB DE ∈⊥ . acă *- A ] cm şi - A O cm! calculaţi5a6 5 p6 2u(imea ipoteuzei şi lu(imea proiec$iei catetei '< pe ipoteuz!.46 5 p6 2u(imea ,!l$imii corespuz!toare ipoteuzei.c6 5 p6 2u(imea catetei '


120/131

Not!@♦ Timp de lucru@ " miute♦ O&iciu @ 1"p

+.-. ;INICU2E=ERE DE PROtr9u triu()i dreptu()ic ? lu(imea ,!l$imii corespuz!toare ipoteuzei este

1" cm? iar lu(imea proiec$iei uei catete pe ipoteuza este cm . Determia$ilu(imea proiec$iei celelaltei catete pe ipoteuz! şi lu(imea ipoteuzei.@ 3ie '


121/131

'D#tr9u triu()i dreptu()ic?o catet! are lu(imea de 1% cm ? iar proiec$ia ei peipoteuza de - cm . Calcula$i lu(imea ipoteuzei? lu(imea ,!l$imiicorespuzatoare ipoteuzei? lu(imea celeilalte catete.

@ 3ie '


122/131

i6care sut catetele? care este ipoteuza şi care este ,!l$imea corespuz!toareipoteuzeiF

ii6care este proiec$ia catetei [' '


123/131

1"6 3ie trapezul dreptu()ic '


124/131

@ 3ie '


125/131


126/131

[\ Vadamard? Q.? 2ectii de (eometrie elemetar!? Editura Te)ic!?


127/131

DEC2'R'7IE DE 'UTENTICIT'TE

Su4semata ;ureşa Daiela ? pro&esor titular la Jcoala de 'rte şi

;eserii ??S';US ? declar pe propria r!spudere c! lucrarea metodico9

127


128/131

ştii$i&ic! , vederea o4$ierii (radului didactic I ??TEORE;E C2'SICE

DESPRE DRE'PT JI CERC ? am ela4orat9o persoal şi ,mi

apar$ie , ,tre(ime ? u am &ost &olosit alte surse decât cele me$ioate ,

4i4lio(ra&ie? u am preluat tete? date sau elemete de (ra&ic! di alte

lucr!ri sau di alte surse &!r! să le &i citat şi &!r! să &i precizat sursa

prelu!rii? lucrarea u a mai &ost &olosit! , alte cotete de eame sau de

cocurs.

CluB9Napoca #%."0.#"1"


129/131

[\ Vadamard? Q.? 2ectii de (eometrie elemetar!? Editura Te)ic!?


130/131

DEC2'R'7IE DE 'UTENTICIT'TE

130


131/131

Su4semata ;ureşa Daiela ? pro&esor titular la Jcoala de 'rte şi

;eserii ??S';US ? declar pe propria r!spudere c! lucrarea metodico9

ştii$i&ic! , vederea o4$ierii (radului didactic I ??TEORE;E C2'SICE

DESPRE DRE'PT JI CERC ? am ela4orat9o persoal şi ,mi

apar$ie , ,tre(ime ? u am &ost &olosit alte surse decât cele me$ioate ,

4i4lio(ra&ie? u am preluat tete? date sau elemete de (ra&ic! di alte

lucr!ri sau di alte surse &!r! să le &i citat şi &!r! să &i precizat sursa

prelu!rii? lucrarea u a mai &ost &olosit! , alte cotete de eame sau de

cocurs.

CluB9Napoca #%."0.#"1"

Documents

99128864-Toata-Lucrarea (1).pdf