16
40101 ก1 2 - 1 - 2 ( 2 Dimension Motion ) (Motion in a plane) 2 j y i x r ˆ ˆ + = r j v i v dt r d v y x ˆ ˆ + = = r r j a i a dt v d a y x ˆ ˆ + = = r r กก1. ก(Projectile motion) กก 1. 2. กก กก กก 1 ก 1 กก A u θ

ก 2 - MWITsomporn/education/Lesson/2D motion.pdf · 40101 ก 1 ก 2 ˇ ˆ - 1 - ก 2 ( 2 Dimension Motion ) ก ˚ ˜ ˚ (Motion in a plane) ก ˝ ˛ ˚˜ ก

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 1 -

ก���������� 2 ���� ( 2 Dimension Motion )

ก��������������� (Motion in a plane) ก� ������������ ��������ก� ������������ 2 �� !�"� ����� #$�%"�&�$'�(" ����� )� $������� ("*�"��+,���%-��������������� ����.%/%0"��1

�&�$'�("�%- jyixr ˆˆ +=r

����� )� jvivdt

rdv yx

ˆˆ +==r

r

����� (" jaiadt

vda yx

ˆˆ +==r

r

!�"ก� ������������ �������� �2�3!ก4���1 .%/$ก(ก� ����������$��5� �2ก.��� $��ก� ����������$���"ก��

1. ก����������%��&'��(ก)��*

(Projectile motion) ก� ����������$��5� �2)ก.�������ก� ������������ ����$��'�!�"�����$��ก� ��������������$��5�/" !�"2�

��ก� ������������$��%�"$��$�� �%0��ก%*!1�6 /��- ก0� 5%7��� 1. ก� ������������$��%�"����ก� ����������%/�7�/����01���1(�ก%�1&2�30/1 2. ก� ������������$�� �%0�����ก� ����������%/�7�/����4/�1��� �����"2�ก.�(��$ "�069���ก ��&�

ก� 62� :�ก� ����������$��5� �2)ก.�����1 ���� #62� :�ก� �����������01"��"$��$7กก0�.%/

�5'��� 1 %671/�3�ก����������%���/����4/81ก����������%��&'��(4ก)��*

2�ก ;���� 1 62� :��0�#+�������������2��ก2�ก�&�$'�(" A %/�7���� )��/� u 5%7�&��+�ก0�$�� �%0����� θ 2�.%/�(�

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 2 -

����� )��/���$�� �%0� θcosuu x = (1)

����� )��/���$��%�" θsinuu y = (2)

�����"2�ก ����� ("��ก� ������������1���?6����$��%�" ( ga y = ��� /�����) �(����$�� �%0������ ("����3;�7�

( 0=xa ��� /�����) %0"�01���������%- 2�.%/ ������������� �����������

dtadvdt

dva xx

xx =⇒=

∫∫ =tv

u

x dtdvx

0cos

)0(θ

0cos =− θuvx

∴ θcosuvx = (3) ������������������������

dtadvdt

dva yy

yy =⇒=

∫∫ =t

y

v

u

y dtadvy

0sinθ

tauv yy =− θsin

tauv yy += θsin (4)

��ก :� ;���� 1 θsinuu y = ���3*!1� $�� ga y = ���3�"��$��%�" %0"�01� ก :� ;���� 1 2�.%/

∴ gtuv y −= θsin (5)

ก��ก��� ������ �����������

dt

dSv x

x = dtvdS xx =⇒

∫∫ =tS

x dtudSx

00

)cos( θ

tuS x )cos( θ= (6)

����� )�*�"�0�#+��������%- 2����� jvivv yxˆˆ +=

r

$����*��%��(�ก0� 22yx vvv +=

r

#/��+� β �����+��������� )�ก ��&�ก0�$�� �%0� : �����% - 2�.%/�(�

x

y

v

v=βtan

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 3 -

ก��ก��� �����������������

dt

dSv y

y = dtvdS yy =⇒

∫∫ +=t

y

S

y dttaudSy

00

)sin( θ

2

2

1)sin( tatuS yy += θ (7)

��ก :� ;���� 1 θsinuu y = ���3*!1� $�� ga y = ���3�"��$��%�" %0"�01� ก :� ;���� 1 2�.%/

2

2

1)sin( gttuS y −= θ (8)

2�ก ��ก� ��� 6 $�� 8 2�.%/

( )( )

2

2cos2tan xxy S

u

gSS

θθ −= (9)

2��')��(���ก� ��� 9 ��1�7;(�� ;�*�" 2bxaxy += !�"������ก� *�"6� �5��� (Parabola) $�%"�(� �#�ก� ����������*�"ก� ����������$��5� �2)ก.������� ;�6� �5���

ก����������%��&'��(ก)��*�9�:���

�5'��� 2

ก��������ก��ก������ �����ก�ก����� 62� :� ;���� 2 2��')��(���M(�"��������0�#+����������.%/.ก�����+% ����M(�"��������0�#+� ������������2�ก ��01"

�ก�"�����6�1���$�� �%0��%� (������0�#+�ก��$�� �%0��%� ก� ก �20%��$��$ก� y ����3;�7� 0=yS ) 2�ก

��ก� ��� 9 2�.%/�(�

ก� ก �20%*�"�0�#+��������%- ���� #�*�7�.%/����

jSiSS yxˆˆ +=

r

$����*��%��(�ก0� 22yx SSS +=

r

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 4 -

( ) 2

2

1sin0 gttu −= θ

��������0�#+�M/��ก� ����������2�ก� ���/�2��ก�������$�� �%0��%� 2�����

g

ut

θsin2= (10)

%0"�01� �7���"����0�#+����������.%/��$�� �%0� 2�ก�&�$'�("� ���/�2�#!"�&�$'�("����0�#+�ก�����$�� �%0��%�2�����

( )

=

g

uuS x

θθ

sin2cos

2�ก ( )θθθ 2sincossin2 = %0"�01� �7�����0�#+����������.%/.ก�����+%( 6�07 ) �����7"�0�#+��ก.�%/�7����� )� u $���&��+�ก0�$�� �%0�

θ ���

( )θ2sin2

g

uS x = (11)

2�ก��ก� ��� 11 ��12��')�.%/�(� �7�����0�#+�ก.ก�����+%ก)�(������ ( )θ2sin ���(���ก����+% !�"��(�ก0� 1 %0"�01�2�.%/�(� 045=θ

ก���������� ����������������������� ������0�#+����������*!1�.%/�;"�+% $�%"�(��0�#+�01�.�(������� )���$��%�" ( )0=yv %0"�01� 2�ก��ก� ��� 5 2�

.%/ ��������0�#+����������.%/#!"2+%�;"�+% %0"��ก� ��� 12

g

utgtu

θθ

sinsin0 =→−= (12)

2��')��(�2�ก��ก� ��� 10 $�� 12 ��������0�#+����������#!"2+%�;"�+%��(�ก0������ !�"'�!�"*�"�����01"'�%����0�#+�����������ก�"��#!"$�� �%0��%� �7��;"�+%������� #���������� �����7"�0�#+��ก.�%/�7����� )� u $���&��+�ก0�$�� �%0� θ ���

( )2

sin

2

1sinsin

=

g

ug

g

uuS y

θθθ

g

uS y 2

sin22 θ= (13)

2�ก��ก���� 13 ��1 ก� ก �20%��$��%�"��1��ก����+% ����� 1sin2 =θ !�"2�.%/�(� 090=θ

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 5 -

ก����������%��&'��(ก)��*�9�:��;1

�5'��� 3 /=�3>��������%��&'��(ก)��*�9�:��;1

2�ก ;���� 3 $�%"ก� ����������*�"�0�#+$��5� �2ก.�����6�1����7" !�"62� :�$ก� X $�� Y �0�#+2�����ก� ก� ���������� %0"��1

gmdt

vdm

rr

=

]ˆ)cos(ˆ)sin[()ˆˆ( jgigmjvivdt

dm yx ββ −+−=+

!�"2�.%/�(� ����� ("��$��$ก� X ��� βsingax = ���3��"6+("�"�*/��;(2+%ก&���% %0" ;���� 3 ����� ("��$��$ก� Y ��� βcosga y = ���3��"6+("�"�*/��;(2+%ก&���% %0" ;���� 3

�62� :� ;���� 3 �����7"�0�#+%/�7����� )��/� u ���3�&��+� θ ก0�$��$ก� X 2�.%/ ����� )��/���$��$ก� X θcosuu x =

����� )��/���$��$ก� Y θsinuu y =

!�"� ����� #'��(������ )���������%- �01"��"$��$ก� %0"��1 ����� )��/���$��$ก� X tguvx )sin(cos βθ −= (14) ����� )��/���$��$ก� Y tguvy )cos(sin βθ −= (15)

$��ก� ก �20%��������%- �01"��"$��$ก� %0"��1 ก� ก �20%��$��$ก� X

2)sin(2

1)cos( tgtuS x βθ −= (16)

ก� ก �20%��$��$ก� Y

2)cos(2

1)sin( tgtuS y βθ −= (17)

!�"2�ก��ก� ��� 14-17 ��1� ����� #'� �7�����0�#+�ก.ก��+%��6�1����7" ( 6�07 ) �����7"�0�#+��ก.�%/�7����� )� u $���&��+�θ ก0�$��$ก� X .%/%0"��1

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 6 -

2

2

)(cos

sin)cos(2

βθβθ +

=g

uR (18)

*** �0ก� �7��%�(� � ��/�"7"�0�#+�&��+�ก0�$��$ก� X ��(�. 2!"�&��'/�0�#+�ก.ก�����+% $�� �7����.ก�����+%��1������(�. ? ***

� ����� #'� �7�����0�#+�7;('(�"2�ก6�1����7"��ก����+% �����7"�0�#+��ก.�%/�7����� )� u $���&��+�θ ก0�$��$ก� X .%/%0"��1

)(cos2

sin22

βθ

g

uh = (19)

*** �0ก� �7��%�(� � ��/�"7"�0�#+�&��+�ก0�$��$ก� X ��(�. 2!"�&��'/�0�#+'(�"2�ก6�1����7"��ก����+% $�� �7�'(�"2�ก6�1����7"��ก����+%��1������(�. ? ***

2. ก����������%��/1ก��

(Circular motion)

�0�#+������������������"ก�� �� �����%- �0� �� )�*:��%*:�'�!�"*�"�0�#+2��"���' ��.�(ก).%/ $�(����� )�*�"�0�#+.�(�"���$�(��� �����"2�ก�(���ก� �����7��3���"*�"ก� ���������� ���%���� !�"������0�#+�����ก� �����7��3��"ก� ����������$�%"�(� �0�#+��1�/�"���"��� �ก��*�"$ "��ก ��&����3��"����01"?�กก0���/���"ก� ����������%/�7 $��ก :����ก� �������������0� �� )�.�(�"��� $�%"�(��/�"���"��� �ก��*�"$ "���3��"���*���ก0�$��ก� ����������%/�7 62� :� ;���� 4

�5'��� 4 ก����������%��/1ก��

2�ก ;���� 4 �0�#+��� m ����������%/�7����� (" ar !�"���"��� �ก����$���0�S0� tar $��$���01"?�ก ca

r (�*/��;(2+%3;�7�ก��"�"ก��) ก0�ก� ���������� 5%7���

tc aaarrr

+= (20)

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 7 -

ก�����������'B/1ก��;0�16��C��6� ก� ���������������"ก���7(�"���&����� ����ก� ���������������"ก��������0� �� )��"��� (*��%*�"����� )��"��� ) !�"ก� ����������$����12�.�(������� ("��$���0�S0��"ก�� ( 0=ta

r) %0"�01� 2�.%/

caarr

= (21) 62� :��0�#+ !�"����������%/�7=�����4/�1��� $�%"��ก��� ��/����4/ %0" ;���� 5

ก. 8. �5'��� 5 %671�/����4/����>E����������%��/1ก��

2�ก ;� 5 ก. $�� ;� 5*. �0�#+����������2�ก2+% P1 .�2+% P2 2�.%/����'���7���/�75%7���

1v

v

R

sr

∆=

∆ ⇒

R

svv

∆=∆ 1r

%0"�01� *��%����� ("�?���7 ava �'�(�"���� t∆ ���

tR

sv

t

vaav ∆

∆=

∆= 1

r

62� :� *��%����� ("���2+% P1 (�'/2+% P2 �*/��ก�/2+% P1 ��ก-------------------------)

tR

sva

t ∆

∆=

→∆

1

0lim

t

s

R

vt ∆

∆=

→∆ 0

1 lim

�����"2�ก 10

lim vt

st

=∆∆

→∆ !�"�����0� �� )�*�"�0�#+���2+% P1 �0����" %0"�01�

R

va

21=

�����"2�กก� �������������ก&��0"62� :���1����ก� ���������������"ก��$�����&����� (�0� �� )��"���) 2�ก��ก� ��� 21 2�

.%/�(� R

vac

21=

T ก� ���������������"ก���7(�"���&����� 2�������� ("�?6������� ("������3�*/��;(3;�7�ก��"��(��01� !�"� �� �7ก����� ("��1�(� �/����01650F5;*ก��1 ( Centripetal acceleration ) U %0"�01� '�ก62� :�����%- !�"������� )� v 2�������� ("�*/��;(3;�7�ก��" ����

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 8 -

R

vac

2

= (22)

$��'�ก�0�#+���������������1����� ��(�ก0� m 2�.%/

R

mvmaF cc

2

== (23)

��ก� ��� 23 ��1$�%"�'/�')��(� ก� ����0�#+���� #���������������"ก���7(�"���&�����.%/�01� �/�"��$ "��ก ��&����3����*/��;(2+%3;�7�ก��"���� � �� �7ก$ "��1�(� %�1650F5;*ก��1 (Centripetal Forces)

ก�����������'B/1ก��;0�1)�06��C��6� ��ก :�����0�#+��������������"ก���7(�"���&����� (�0� �� )�.�(�"��� ) �01��0�#+2�������� ("��$���0�S0�ก� ����������%/�7 5%7��� *��%*�"����� ("��$���0�S0� ta ��(�ก0�

dt

vdat

r

= (24)

� ����� #�*�7�.%/�(������ ("*�"�0�#+������������������"ก��$��.�(���&����� ��(�ก0�

ctct eR

ve

dt

vdaaa ˆˆ

2

+=+=r

rrr (25)

����� te $�� ce ������ก��� �'�!�"'�(�7������3�0�S0��"ก�� $���*/��;(3;�7�ก��"�"ก�� ����&�%0�

ก����������%

=�����4/�H�1�>� ( Angular velocity)

!�"'�กก� ������������1ก��%�+�.�.%/ θ ������ t 2�.%/�(�

t

θω =

#/��0�#+����������� � 1 �� �+���� 03��ก��%.�.%/��� π2 � �%�7� 2�.%/��������M/��ก� ���������� 1 �� ��� ���

T %0"�01� T

πω

2= (ก)

$����ก� ����������� � 1 �� 2�����������.%/ �7���" rπ2 %0"�01�

T

rv

π2= (*)

2�ก��ก� (ก) $�� (* ) 2�.%/�����0�60�9� �'�(�" v $�� ω ����

rv ω=

2�ก ��ก� ��� (14 ) 2�.%/ rac2ω= (�)

$��2�.%/ rmFc2ω= (")

��ก� (�) $�� (") ��1����ก� �*�7������ ("�;(3;�7�ก��"$��$ "�;(3;�7�ก��"�� ;�*�"�0� �� )��M"�+�

���� ��0�#+ ����� ����� �����"ก��%/�7�0� � � ) ��"��� �7���"�������������.%/��'�!�"'�(�7����� �7ก�(� �0� �� )��M"��/� (Linear velocity) ��ก2�ก*:����������������1 03��70"ก��%�+�.�.%/ $�� �>����ก/�7)')72 IJ�1I0/;�/�� ���;ก/0� =�����4/�H�1�>� 6=K�=กLM*��� H2 �� ω

����� r

S=θ

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 9 -

ก��'��;>ก�*ก����������%��/1ก�� 1. ก�����������3&�21 ก :���� #7�������������.����#��5�/"�01��/�"��$ "��ก ��&���� #���3��"�*/��;(3;�7�ก��"����5�/" (�6���

�����7��3��"ก� ����������*�" #) � �� �7ก$ "��1��� ������ ���!ก��� "���#�ก��$%�&�'����'���(����)%����������*�

������$�+������� ���!ก��� %&' ���$����� ��ก��*�ก�(��������'������ �01���" - #������17�5�/"��#�� ��%/�7�0� �� )��;"2��/�"�M/$ "�;(3;�7�ก��"��กก�(�ก� ���17"5�/"%/�7�0� �� )���&���

� ��:5�/"�%�7�ก0� $����5�ก�����2�.#���ก��ก��".%/��กก�(� �6 ��ก� ���17�5�/"%/�7�0� �� )��;"�01��/�"�M/

$ "�;(3;�7�ก��"��ก�����ก� r

mvFa

2

= $�($ "���7%��� �'�(�"6�1�#��ก0��/� #����&�'�/��������$ "�;(

3;�7�ก��"���(��;"�+%�(�'�!�"$��$ "���7%��� �'�(�"6�1�#��ก0��/� #����&�'�/��������$ "�;(3;�7�ก��"��ก :���� #���17�5�/"%/�7�0� �� )��;"*!1���2�&��'/ #��5�ก��.#���ก��ก��".%/��กก�(�ก� ���17�5�/"%/�7�0� �� )���&�

- #7������$�(���#�� ����������17�5�/"����� 03������5�/"�01���ก ก0����17�5�/"����� 03������5�/"7����ก 5%7�0� �� )���(�ก0� ก :�$ ก2���5�ก��.#���ก��ก��".%/��กก�(�ก :�'�0"�01"��1�6 ��#������� 03������5�/"�01�

�/�"�M/$ "�;(3;�7�ก��"��ก %0"��ก� r

mvFa

2

= 2!"��5�ก��.#���ก��ก��".%/��กก�(�ก� ���17���5�/"�����

03������7��%/�7�0� �� )���(�ก0� �6 ��ก� ���17�5�/"����� 03���01��01�$ "���7%�������&�'�/��������$ "�;(3;�7�ก��"��22���*��%.�(�6�7"6�

- $ "���7%��� �'�(�"7�" #ก0�#������&�'�/��������$ "�;(3;�7�ก��" 2����(���ก' ���/�7*!1��7;(ก0� �1&�'�0ก # S�#�� $��7�" #

- �0� �� )��;"�+%������17�5�/".%/�����V�.�(�ก���(���กก�(������V��กS��0�S0� �'�(�"��" #ก0�#��2���W7ก ���� �&��'/$ "���7%�������&�'�/���������;(3;�7�ก��"���(��%�" ก�M�ก����������81(=ก�;�;�*���1&�21���

ก.$�(���"� " �� 8.$�(���"5�/" ��

�5'��� 6 %671%�1���ก���C��0�3(=ก�;�;�*

ก�,�����ก�����&'����ก�������!���������(������( %0" ;�6 ก. 2���$ "���7%�����ก ��&�ก0��/��6����'/ #����������.�*/�"'�/� $��$ "2�ก�1&�'�0ก*�" #+�� (mg ) $��$ "���6�1�ก ��&��(� # ( N ) ��$�����S(��2+%3;�7�ก��"��� �&��'/.�(��5������*�"$ " ��2+%3;�7�ก��"��� 2!"�&��'/ #.�(�/�

ก�,�����ก�����&'����ก�������!����$���� )%��(������( %0" ;���� 6 *. $ "��7"������6�1�#��ก ��&��(� #2����7;( 2 $�� !�"$ "���7%�����$��$ ก��� $ "���7%�������&��'/ #����������.�*/�"'�/� �(��$ "���7%

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 10 -

�������ก$��'�!�"���$ "���7%�������&�'�/��������$ "�;(3;�7�ก��"S�0ก�'/ #���17�5�/" �&��'/�/�"���7"�0� �6���.�(�'/��5������*�"$ " ��2+%3;�7�ก��"��� $���&��'/ #.�(�/� '�กก :���1.�(���7" #2��&��'/��5������*�"$ " ��2+%3;�7�ก��"��������"2�ก$ " R

r !�"����$ "�069� �'�(�" N

r$�� f

r $��2��&��'/ก� '�+� ��2+%3;�7�ก��"���$��

��S��&��'/ #�/�.%/ 62� :� ;���� 6 *. 2�.%/�(�

r

mvR

2

sin =θ (26.1)

mgR =θcos (26.2)

(26.1)/(26.2) ; rg

v2

tan =θ (27)

2�ก��ก� ��� 27 ��1� �2�.%/�����0�60�9� �'�(�"�+�θ !�"�����+���� #20ก7��7���$�����/�"���7"���7�ก0�$��%�" ����� #���17�5�/" !�"�� 03������5�/" r %/�7����� )� v

ก�,�ก��$%�&�'����'������!�������ก�������!(���)%��$'��� ���Z22+�0��0ก4:�*�"#��5�/"�(�"2����0ก4:����7"�&��+�ก0�$�� �%0����*��#��%/����ก2�#;ก7ก�'/�;"ก�(�*��#��%/���� �6����'/ก� ���17�5�/"%/�7����� )�.%/���%,07��ก*!1�

ก.$�(���6�1����7"���.�(��$ "���7%��� *. $�(���6�1����7"�����$ "���7%���

;���� 7 $�%"$ "���ก ��&��(� #���$�(�����"5�/"���7"

ก :���� #���17�5�/"��#��������7"�&��+�ก0�$�� �%0�θ $�����6�1����7" $ "�;(3;�7�ก��"����&��'/ #���17�5�/".%/ �ก%2�ก�"��� �ก��*�"$ "���6�1�%0� #��$�� �%0� $���"���� �ก��*�"$ "���7%�����$�� �%0� %0" ;���� 7* !�"2�.%/�(�

r

mvfN

2

cossin =+ θθ (28)

�&�' 0�ก� � /�"#��� ��:���17�5�/"�&��+�ก0�6�1� �%0�5%7�0��.�2��%$ "�"��� �ก����$�� �%0�*�"$ "���6�1�%0� # θsinN �6�7"$ "�%�7���(��01�����&�'�/��������$ "�;(3;�7�ก��" �'/ #���17�5�/".%/���0� �� )����ก&�'�% �01"��1�����6 ��$ "���7%��� θcosf *!1��7;(ก0��0ก4:�*�"S�#�� %0"�01�� ������.�(�%�"��� �ก��*�"$ "���7%���2�.%/%0" ;���� 7ก !1"2�.%/�(�

r

mvN

2

sin =θ (29.1)

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 11 -

mgN =θcos (29.2)

(29.1)/(29.2) ; rg

v2

tan =θ (30)

2�ก��ก� ��� 30 ��1� ����� #'�.%/�(�2��/�"7ก*��#��%/����ก�;"ก�(�*��#��%/������(�. ��ก� � /�"#��

2. ก����������%��/1ก�� %/7��1

�5'��� 8 %671ก����������81�5กก�����1&�21ก�����

%/7��1

�0�#+������������������"ก�����$��%�" %0" ;���� 8 2��/�"��$ "�;(3�7�ก��" !�"�ก%2�ก$ "��� �"%0��0�#+$���"��� �ก��*�"�1&�'�0ก 5%7����&�$'�("�(�"- 2���$ "�;(3;�7�ก��"%0"��1

����&�$'�(" A mgNr

mvFc −==

2

(31.1)

����&�$'�(" B mgNr

mvFc +==

2

(31.2)

����&�$'�(" C Nr

mvFc ==

2

(31.3)

����&�$'�(" D θcos2

mgNr

mvFc −== (31.4)

3. ก����������817�/���;�

�5'��� 9 %671ก����������817�/���;��/� m ��&�ก�/� M

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 12 -

ก� 5�2 ��5�ก*�"%�����7� ' ��ก� ���������� ��%�"����7�*�"%���� ��'��01�2���$ "%!"%;% �'�(�"��������ก ��&��(�%�����7�' ��%���� ��'��01�����$ "�;(3;�7�ก��" %0"�01�'�ก62� :� %�����7���� m ���5�2 ��5�ก��� M %/�7����� )� v ����&�$'�("�"5�2 '(�"2�ก2+%3;�7�ก��"*�"5�ก���� �7� r 2�.%/�(�

2

2

r

GMm

r

mvFc ==

r

GMv =2 (32)

2�ก��ก� ��� 32 �01� %�����7�������"5�2 �(�"ก0��01�2��/�"����������%/�7�0� �� )��M"��/��(�"ก0� !�"ก� �("

%�����7�*!1��;(�"5�2 �01�.%/�&�ก� ก&�'�% 0����"5�2 .�/ก(�� $�/��&���:'�$ "�;(3;�7�ก��"���ก ��&�ก0�%�����7�$���0� �� )��M"��/����"5�2 �01�- $������7"%�����7�*!1�.�2��������;"�������/�"ก� $�/�2!"� 0��3��"$���0� �� )�*�"%�����7��6����'/�*/��;(�"5�2

PhysicsPhysicsPhysics PhysicsPhysicsPhysics PhysicsPhysicsPhysics

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 13 -

�����ก����� �� ก��������������������ก���� ���� ก�!

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 14 -

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 15 -

22. a) A mortar shell projected at an angle of 65o above the horizontal strikes a tower

25 m away at a point 15 m above the point of projection. Find the initial speed v0 of the projectile

b) How long was it in the air? c) Find the magnitude and direction of the velocity of the projectile when it strikes

the tower. d) Find the maximum height of the projectile. e) If the projectile had not struck the tower, what would have been the range R of

the projectile? f) What would be the magnitude and direction of the velocity of the projectile

upon impact? 23. An antiaircraft artillery gun fires a projectile with a muzzle velocity of 1000 m/s.

If the projectile is to explode at an altitude of 4000 m and a horizontal range of 3000 m from the gun site, find the angle of elevation of the gun and the fuse setting of the projectile. Find the firing angle Find the time until detonation

� 40101 ���ก��1

ก� ������������ 2 ��

- 16 -

�C��� 1. 80 m 2. 7.5 m/s 3. 20 m/s

4. 6 s , 45 m 5. 11.25 m , 21.2 m 6. 10 m , 60 m

7. ก. 24.25 m/s , 9.8 m 8. 2.8 s

�. 67.9 m 1. 35.3 m

8. 50 m 9. 45 1F�

10. ก. 0.2 s 8. 5 ��//���� �. 62.8 m/s

11. 1.28 x 103 m/s2 12. 100 m/s2 13. 1.13 N , 28 m/s2

14. 16 m/s 15. 6 1F� 16. 24 N

17. 2222 / grvdv + 18. 2mg 19. ( )θcos23−mg

20. 78.5 1F� , 5 rad/s 21. ก. 16.25 N

8. 2.55 ��//���� 82 22-23 �1��775�1�