A D C D A C B...trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CA, MA, MB, MC. ... Chứng Minh MP+MQ không phụ thuộc vào vị trí của M trên BC. Đáp án ... Hạ BF

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Chứng minh: A là trung điểm của EF B là trung điểm của EC D là trung điểm của CF Tam giác CEF cân tại C. Tam giác CBD cân tại C,

ˆ ˆCFA = CDB( Đồng vị). A thuộc EF => AC, DE và BF đồng quy. Câu 17: Cho tam giác ABC và M là điểm nằm trong tam giác. Gọi E, F, G, I, K, T thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CA, MA, MB, MC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng ET, FI, GK đồng quy. Đáp số: ET, IF là 2 đường chéo của hình bình hành EITG (1) ET, KG là 2 đường chéo của hình bình hành EKTG (2) Từ (1 ) , (2) => ET, FI, GK đồng quy. Thẩm định: Thay đáp số =Đáp án và phải giả chi tiết hơn Và cần vẽ lại hình Ở điều (1) phải là hình bình hành EITF Câu 18: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C ,D lên đường thẳng d. Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’. Đáp số: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Hạ OO’ vuông góc với d. O là trung điểm của AC.

A

B

C

. M E

T

I

F

G K .

A B

C D

d

ADC B

o

O



OO’ là đường trung bình cuả hình thang AA’C’C => OO’ = (AA’ + C’C):2 Tương tự, OO’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D nên OO’ = ( BB’ + D’D):2 => AA’ + CC’ = BB’ + DD’. Thẩm định: Thay đáp số =Đáp án và phải giả chi tiết hơn Câu 19. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Gọi H,K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ tưg B,C đến DE. Chứng minh EH=DK Đáp án: Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE. Vì BEC vuông tại E, EM là đường trung tuyến nên

2

BCEM . Tương tự, BDC vuông tại D, DM là

đường trung tuyến nên 2

BCDM

EM=DM. DO đó MDE cân tại M. MI vuông góc DE. Hình thang BHKC có BM=MC, MI//BH//CK nên IH=IK Do đó IH-IK=IK-ID, tức EH = DK.

Câu 20.Cho tam giác ABC cân tại A(AB>AC). Từ một điểm trên đáy BC hạ MP AB; MQ AC. Chứng Minh MP+MQ không phụ thuộc vào vị trí của M trên BC. Đáp án

Trên tia đối của tai MQ lấy E sao cho MP=ME.

M

I

K

HE

D

A

B

C

E

Q

F

P

B C

A

M



Hạ BF AC

Ta có BMP QMC (cùng phụ với hai góc đáy của tam giác cân ABC).

Mà BME QMC ( đối đỉnh)

BMP BME Do đó BPM = BEM(c.g.c) vì có: BM cạnh chung. BMP BME PM=EM(cmt)

090BEM BPM nên BEQF là hình chữ nhật. Do đó EQ = BF hay MP+MQ= EM+MO = EQ MP+MQ=BF Mà BF là đường cao vẽ từ B của tam giác ABC nên MP+MQ không đổi. Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a.Chứng minh rằng 090HAB MAC b.Gọi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB,AC. Chứng minh AM vuông góc DE. Đáp án.

a.Ta có 1A C (cùng phụ với HAC)

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của ABC AM=MC

2A C

2 1A A

b.Gọi O là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của AM và DE, AHDE là hình chữ nhật OA=OE

1E OAE (1)

Ta lại có AHC vuông 090C OAE (2)

Theo câu a ta có 2C A (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra 01 2 90E A

1 12

IO

E

D

H

A

B C



Suy ra 090AIE , tức AM DE Câu 22: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AD đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( D

BC). Biết : AB = 6 cm, AC = 8 cm .

a) Tính AD ? .

b) Kẽ DM AB, DN AC. Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

Đáp án: a). Tính AD Vì ABC vuông tại A Áp dụng định lí pytago, ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 36 + 64 BC2 = 100

BC = 10 cm. Vì AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

AD = 2

1 BC = 2

1 10 = 5 cm.

b). chứng minh: AMDN là hình chữ nhật Xét tứ giác AMDN

090ˆ DAM ( Vì ABC vuông tại A) 090ˆ NMA ( Vì DM AB) 090ˆ DNA (DN AC)

Vây AMDN là hình chữ nhật Câu 23: Cho ABC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. a) Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác ADME là hình chữ nhật ? c) Khi M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm J của AM di chuyển trên đường nào ? Đáp án:

J

B

A

CM

D E



a) DM là đường trung bình của ABC

DM // AC

ME là đường trung bình của ACB

ME // AB

ADME là hình bình hành.

b) Nếu ABC có A = 900 thì tứ giác ADME là hình chữ nhật.

c) Khi M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm J di chuyển trên đường trung bình của tam giác ABC Câu 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a, Chứng minh rằng : Tứ giác BMNP là hình bình hành b, Chứng minh rằng : Tứ giác AMPN là hình chữ nhật

c, Vẽ Q đối xứng với P qua N, R đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng R,A,Q thẳng hàng

Đáp án:

a) Ta có M là trung điểm của AB N là trung điểm của AC

=> 1

2

MN BCMN BP

MN BPMN BC

=>MBNP là hình bình hành

b) Ta có MP là đường trung bình của tam giác ABC => MP//AC => MP AB Ta có PN là đường trung bình của tam giác ABC => PN//AB => PN AC

O

4

3

21

A

B

C

R

Q

M P

N



AMPN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

c)Ta có 0

R

90

PM M

M

R đối xứng với P qua AB=> 1 2 (1)A A

Ta có 090

NP NQ

N

Q đối xứng với P qua AC=> 3 4

(2)A A

Ta có 0 01 2 3 4 2 32 2 2 2.90 180RAQ A A A A A A BAC

Vậy R,A,Q thẳng hàng Câu 25: Cho đoạn thẳng AB, Điểm M chuyển động trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMC, BMD. Trung điểm I của CD chuyển động trên đường nào?

Đáp án:

Gọi O là giao điểm của AC, BD thì tam giác OAB cố định. OCMD là hình bình hành nên I là trung điểm của OM. I chuyển động trên đường trung bình PQ

Câu 26: Cho đoạn thẳng AB, Điểm M chuyển động trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác AMC vuông cân tại C, BMD vuông cân tại D. Trung điểm I của CD chuyển động trên đường nào?

Đáp án:

Gọi O là giao điểm của AC, BD thì tam giác OAB cố định. OCMD là hình bình hành nên I là trung điểm của OM. I chuyển động trên đường trung bình PQ của tam giác OAB



Câu 27: Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định thuộc tia Ox, điểm B di chuyển trên tia Oy. Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A (C và O nằm khác phía đối với AB). Điểm C chuyển động trên đường nào?

Đáp án:

Hạ CH vuông góc với Ox Xét OAB và HCA có AB=CA

^

OAB = ^

ACH ( cùng phụ với ^

HAC ) OAB = HCA (cạnh huyền- góc nhọn) CH=OA Vậy, khi B di chuyển trên tia Oy thì C thuộc tia Mz cách tia Ox một khoảng bằng OA

Câu 28: Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Oy. Điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào ? Đáp án:

Kẻ CH vuông góc với Ox tại H 0,25đ AOB = CHB (ch-gn)

=> CH = AO 0,25đ

Đặt OA = h => CH = h => C di chuyển trên đường thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng h

0,25đ

Giới hạn: Khi B trùng với O thì C trùng với K (K đối xứng với A qua O) Vậy khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên tia Km song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng h.

0,25đ

Câu 29: Cho tam giác ABC, đường cao AH = 2cm, M là một điểm trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng BC; b) Khi M di chuyển trên cạnh AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?



Đáp án:

a) Kẻ IK vuông góc với BC tại K => IK là đường trung bình của AMH

0,25đ

=> IK = 1/2AH => IK = 1cm 0,25đ b) Vì IK = 1cm => I di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng 1cm

0,25đ

Giới hạn: Khi M trùng B thì I trùng P (P là trung Điểm của AB

Khi M trùng C thì I trùng Q (Q là trung điểm của AC) => Khi M di chuyển trên cạnh BC thì I di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC

0,25đ

Câu 30: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào ? Đáp án:

Gọi C là giao điểm của AD và BE => ABC đều và cố định

0,25đ

Chứng minh được CDME là hình bình hành 0,25đ Chứng minh được I là trung điểm của CM 0,25đ Chứng minh được I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự là trung điểm của AC và BC)

0,25đ

Câu 31: Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình

chữ nhật.

Đáp án: +) Do M,N là trung điểm các cạnh AB,BC =>MN là đường tb của tam giác

ABC =>MN//AC ;MN=�

�AC

Tương tự PQ là đường tb của tam giác ADC=>PQ//AC ;PQ=�

�

A

B

C

D

M N

PQ



=> MNPQ là hình bình hành

Tương tự MQ là đường tb của tam giác ABD =>MQ//BD

Do ABCD là hình thoi nên AC┴BD

=>MN MQ

=> MNPQ là hình chữ nhật

Câu 32: Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho

BD = CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.

a) Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A

Đáp án:

a)K,N là trung điểm của CD,DE =>KN là

là đường trung bình của ∆CDE

=>KN//EC;KN=1/2 EC

CMTT ta có:

MK//BD;MK=1/2 BD

NI//BD;NI=1/2BD

MI//EC;MI=1/2 EC

Mà BD=CE nên MI=NI=KM=KN =>MINK là hình thoi

b)Gọi G,H theo thứ tự là giao điểm của MN với AC,AB

Ta có:

MG//At=>IK┴��

Câu 33: Cho hình thoi ABCD có 060A . Đường thẳng MN cắt các cạnh AB và BC theo

thứ tự M và N. Biết MB + NB bằng độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh tam giác MND đều.

C

D E

H

N

K

I

A

B M

G

�� = �� ; �� = ��



Đáp án:

+) MB+BN=AB và MB+AM=AB =>AM = BN và

+) ( . . )DMA DNB c g c &DM DN ADM BDN

+) 060ADM MDB MDB BDN dpcm

Câu 34: Cho hình thoi ABCD, lấy đường chéo AC làm cạnh dựng hình bình hành ACEF,

cạnh thứ hai CE có độ dài bằng cạnh của hình thoi. Chứng minh B là trực tâm của tam giác

DEF.

Đáp án: (Hình vẽ không có ký hiệu điểm rõ ràng)

Lấy điểm K đối xứng với E qua điểm C ⇒ CE= CK

Vì ACEF là hình bình hành ⇒ CE =AF ; CE// AF⇒ CK=AF ; CK//AF

A

B

C

D

NM

�� =1

2�� = 60�; �� = ��

O

E F

D

C

B

A

K



N

⇒ AFCK là hình bình hành ⇒ O là trung điểm của AC cũng là trung điểm của FK (1);

Do ABCD là hình thoi ⇒ O là trung điểm của AC (2)

Từ (1),(2) ⇒FBKD là hình bình hành ⇒ BK//DF(3)

Mặt khác ta có BC=CK=CE⇒Tam giác KBE vuông tại B ⇒KB⊥BE (4)

Từ (3); (4) ⇒ BE⊥DF, ta lại có BD ⊥ AC (t/c hình thoi)mà AC// EF (vì ACEF la hbh)

⇒ BD⊥EF ⇒ B là giao điểm của hai đường cao của ∆�� ⇒ B là trực tâm

của ∆�� ⇒ Đpcm.

Câu 35: Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD, M là điểm bất kì trên cạnh

BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC, gọi I là trung điểm của AM; ID

cắt EF tại K. Chứng minh rằngba điểm M, K, H thẳng hàng. (Hình vẽ không có ký hiệu điểm

rõ ràng)

Đáp án:

Ta có ∆�� vuông tại E có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền⇒EI=IA=IM=�

� AM ⇒ ∆��cân tại I ⇒ �� =2 �� (t/c góc ngoài tam giác).

C/m tương tự ta có �� = 2�� ; ID= �

� AM.

Do đó EI=ID =�

� AM ⇒ ∆�� cân tại I (1)

Ta lại có

K

H I

E

A

F

M D C B



T

S

P E

D

�� =��+��=2�� +2�� =2(�� +�� )=2��=2.300=600 (2) Từ (1), (2) ⇒

∆�� đều ⇒ IE=ID=ED (3)

C/m tương tự ta có ∆�� đều ⇒ID=IF=FD (4)

Từ (3),(4) ⇒EI=IF=FD=DE ⇒ tứ giác EIFD là hình hình thoi

⇒ K là trung điểm của EF và ID

Gọi N là trung điểm của AH mà ∆�� đều và H là trực tâm ⇒AN=NH=HD; ta có I

là trung điểm của AM(gt); N là trung điểm của AH (cách dựng) ⇒IN là đường trung

bình của ∆�� ⇒IN//MH(5)

Mặt khác lại có H là trung điểm của ND; K là trung điểm của ID (c.m.t)

⇒ HK là đường trung bình của ∆�� ⇒KH//IN (6)

Từ (5),(6) ⇒ M, H, K thẳng hàng ⇒ Đ��.

Câu 36:Cho tam giác ABC có AB<AC, trên cạnh AB và AC lấy hai điểm E và D sao cho

BE=CD. Gọi Q và N lần lượt là trung điểm của EC và BD,AK là phân giác của góc

BAC.Chứng minh rằng AK vuông góc với NQ.

Đáp án: (Hình vẽ không có ký hiệu điểm rõ ràng)

Gọi P,M lần lượt là trung điểm của ED và BC. Ta có NP là đường trung bình của

∆�� ⇒ NP//=1/2EB (1)

A

Q N

B

K M

C



Tương tự ta có QM//=1/2EB ⇒NP//=QM⇒ MNPQ là hình bình hành(2)

Ta lại có PQ là đường TB của ∆�� ⇒PQ //=1/2CD do EB=CD (gt)

⇒ PQ=1/2EB (3)

từ (1), (3) ⇒NP=PQ (4) từ (2),(4) ⇒MNPQ là hình thoi.⇒PM⊥NQ, giả sử MP cắt

AC và AB lần lượt tại T và S ta có NP//BE (t/c đường TB)⇒NP//AB ⇒ �� =��

(đồng vị) (5)

Lại có NM// DC (t/c đường TB) ⇒NM//AC ⇒ �� = �� (đồng vị) (6), Mặt khác

NP= NM ( vì NPQM là hình thoi) ⇒ ∆�� cân tại N

⇒ �� =�� (7); từ (5),(6),(7) ⇒ �� =�� (8) ⇒ ∆��cân tại A mà ��=

�� +�� (t/c góc ngoài tam giác) (9) từ (8),(9) ⇒ ��= 2��

Do ��=�� (t/c tia phân giác) ⇒ 2��=2�� ⇒ ��= �� , hai góc này ở vị trí

so le trong ⇒ AK//MS hay AK//PM lại có PM⊥NQ (vì t/c hai đường chéo hình

thoi)⇒ NQ⊥AK⇒ Đ��.

Câu 37: Cho hình vuông ABCD và các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc các đường thẳng

AB, BC, CD, DA sao cho MP NQ. Chứng minh: NQ = MP.

Đáp án:

Để chứng minh MP = NQ ta vẽ thêm MH DC và NK AD (H ∈ DC, K ∈ AD), Sau đó

tìm cách chứng minh ∆KNQ = ∆HMP

A B

D C

K

H P

N

M

Q



từ đó suy ra: NQ = MP

Câu 38: Cho hình vuông ABCD, về phía trong hình vuông dựng tam giác ABE cân tại E có

góc đáy 15o. chứng minh rằng tam giác CDE đều.

Đáp án:

Dựng ∆IEB đều, I nằm trong ∆CEB

Suy ra IBC� = 15o => ∆EBA = ∆IBC (c.g.c) nên EAB � = ICB� = 15o

=> ∆IBC cân đỉnh I => BIC� = 150°

∆EIC = ∆BIC (c.g.c) => EC = BC, ECI� = ICB� nên ECB� = 30°

Do đó ∆CDE cân có: DCE � = 90° − ECB� = 60o

Vậy ∆CDE đều.

Câu 39: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E tùy ý. Tia phân giác của góc CDE

cắt BC ở K. Chứng minh rằng AE + CK = DE.

Đáp án:

Trên tia đối của tia AB dựng điểm F sao cho AF = CK. Ta chứng minh được

E

C

B

D

A

I

K

B

C

A

D

EF



∆AFD = ∆CKD (c.g.c). từ đó chứng minh ∆EDF cân tại đỉnh E

=> EF = DE => AE + AF = DE => AE + CK = DE

Câu 40: Cho hình vuông ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là

giao điểm của CM và DN.

Chứng minh rằng: AI = AD.

Đáp án: Gọi P là trung điểm của DC, AP cắt DN tại H.

Ta có PC = 2

1DC

Mặt khác AM = 2

1 AB ( Vì M là trung

điểm AB), do đó AM = PC mà AM // PC (vì AB//DC) nên AMCP là hình bình hành, suy ra: AP // MC.

DIC có: HP // IC và DP = PC => DH = HI

Xét BMC và CND

có : MB = NC (MB = 2

1 AB =

2

1 BC= NC

)

MBC = NCD (= 900)

BC = DC

=>BMC = CND (c.g.c)

=>1C = 1D mà 1C + 2C = 900

=>1D + 2C =900=> IDC vuông tại I.

Lại có AP // MC, MC DN => AP DN =>ADI cân tại A ( Vì có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến), nên AI = AD (đpcm).

j1

2

1

I

H

P

N

M

D C

BA



Câu 41: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc CD. Tia phân giác góc ABE cắt AD tại K.

Chứng minh rằng: AK + CE = BE.

Documents

A D C D A C B...trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CA, MA, MB, MC. ... Chứng Minh MP+MQ không phụ thuộc vào vị trí của M trên BC. Đáp án ... Hạ BF