BAB III

KONSEP DASAR KETERBAGIAN

Uraian

Pembagian bilangan bulat merupakan bahan pelajaran matematika yang sudah diberikan di sekolah dasar. Bahan pelajaran ini diperluas penggunaannya sampai pada pemfaktoran prima, faktor persekutuan terbesar (FPB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan keterbagian oleh bilangan tertentu (misalnya keterbagian oleh 2,3, atau 9). Untuk memberikan dasar atau landasan yang lebih kuat kepada guru matematika di sekolah, maka mereka perlu belajar lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.

Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan di dalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema.

Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, maka hasil baginya adalah suatu bilangan bulat atau suatu bilangan yang tidak bulat, misalnya, jika 40 dibagi 8, maka hasil baginya adalah bilangan bulat 8; tetapi jika 40 dibagi 16, maka hasil baginya adalah 2,5. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian.

Definisi 3.1

Suatu bilangan bulat q habis dibagi oleh suatu bilangan bulat p 0 jika ada suatu bilangan bulat x sehingga q = px

Notasi

p | q dibaca p membagi q, p faktor dari q, q habis dibagi p, atau q kelipatan dari p

p q dibaca p tidak membagi q, p bukan faktor dari q, q tidak habis dibagi p, atau q bukan kelipatan dari p

Contoh 3.1

a. 6 | 18 sebab ada bilangan bulat 3 sehingga 18 = 6.3

b. 12 15 sebab tidak ada bilangan bulat x sehingga 15 = 12.x

c. 5 | -30 sebab ada bilangan bulat -6 sehingga -30 = 5.(-6)

d. -4 | 20 sebab ada bilangan bulat 5 sehingga 20 = (-4).5

Berdasarkan definisi 2.1 diatas jelas bahwa faktor-faktor suatu bilangan bisa merupakan bilangan bulat positif atau merupakan bilangan bulat negatif. Dengan demikian, faktor-faktor dari:

6, adalah 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, dan -6

15, adalah 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, dan -15

Beberapa sifat sederhana keterbagian adalah :

1. 1 | puntuk setiap p Z

2. p | 0untuk setiap p Z dan p 0

3. p | puntuk setiap p Z dan p 0

4. Jika p | q, maka kemungkinan hubungan antara p dan q adalah p < q, p = q, atau p > q (misal 3 | 6, 3 | 3, atau 3 | -3)

Teorema 3.1

Jika p, q Z dan p | q, maka p | qr untuk semua r Z

Bukti:

Diketahui bahwa p | q, maka menurut definisi 3.1, ada suatu xZ sehingga q = px.

q = px berarti qr = pxr, atau qr = p(x.r) dengan xr Z (sebab x Z dan r Z)

Sesuai dengan definisi 3.1, karena qr = p(xr) maka p | qr

Teorema 3.2

Jika p , q, r Z, p | q, dan q | r , maka p | r

Bukti:

Diketahui p | q dan q | r, maka menurut definisi 3.1, tentu ada x, y Z sehingga q = px dan r = qy,

r = qy dan q = px, maka r = (px)y atau r = p (xy) dengan x, yZ

Sesuai dengan definisi 3.1, karena r = p(xy), maka p | r

Teorema 3.3

Jika p, q Z, p | q dan q | p, maka p = q

Bukti:

Diketahui p | q dan q | p maka menurut definisi 3.1, terdapat x,y Z sehingga p = qx dan q = py.

Jadi: p = (py)x = p(yx) = (xy) = (xy)p, atau 1.p = (xy) p.

Maka xy = 1

Dengan demikian, karena x,y Z dan xy = 1, maka diperoleh x = -1 = y atau x = 1 = y

Jika x = -1 = y, maka p = -q

Jika x = 1 = y, maka p = q

Teorema 3.4

Jika p, q, r Z, p | q dan p | r, maka p | q + r

Bukti:

Karena p | q dan p | r, maka menurut definisi 3.1, ada x,y Z sehingga q = px dan r = py. Dengan demikian q + r = px + py = p(x + y). Kerena x,yZ, maka sesuai dengan sifat tertutup penjumlahan bilangan bulat, x + y Z. Jadi : p | q + r

Teo 3.4 dapat diperluas tidak hanya berlaku untuk q, r tetapi untuk q, r, s, t,.., artinya jika p|q, p|r, p | s, p | t, dan, maka p | q + r + s + t +

Selanjutnya, teorema 3.4 tetap berlaku jika operasi penjumlahan (+) diganti dengan operasi pengurangn (-), buktikan !

Teorema 3.5

Jika p, q, r Z, p | q dan p | r, maka p | qx + ry untuk semua x, y Z (qx + ry disebut kombinasi linear dari q dan r)

Buktikan!

Teorema 3.6.

Jika p, q, r Z, p > 0, q > 0, dan p | q, maka p q

Bukti:

Karena p | q, maka menurut definisi 3.1, ada x Z sehingga q = px

Karena p > 0, q > 0, dan q = px, maka x > 0

Karena x Z dan x > 0, maka kemungkinan nilai-nilai x adalah 1, 2, 3, , yaitu x = 1 atau x > 1

Jika x = 1, maka q = px = p(1) = p.

Jika x > 1, dan q = px, maka p < q

Jadi p q

Teorema 3.7

Jika p, q, r Z, p > 0, q > 0, p | q dan q | p, maka p = q.

Buktikan!

Teorema 3.8

p | q jika dan hanya jika kp | kq untuk semua k Z dan k 0

Buktikan!

Teorema 3.9

Jika p, q, r Z, p 0, p | q + r, dan p | q, maka p | r

Buktikan!

Uraian berikutnya membahas tentang algoritma pembagian. Suatu algoritma didefinisikan sebagai serangkaian langkah-lanbgkah atau prosedur yang jelas dan terhingga untuk menyelesaikan suatu masalah. Kita lazim menggunakan istilah algoritma pembagian (division algoritma) meskipun istilah ini tidak menunjukkan adanya altoritma. Pembicaraan algoritma sebagai prosedur dalam menyelesaikan masalah terdapat nanti pada pembahasan tentang algoritma Enclides.

Teorema 3.10, Algoritma Pembagian

Jika p, q Z dan p > 0, maka ada bilangan-bilangan r, s Z yang masing-masing tunggal sehingga q = rp + s dengan 0 s < p.

Jika p tidak membagi q, maka s memenuhi ketidaksamaan 0 < s < p.

Dari pernyataan q = rp + s, 0 s < p, r disebut hasil bagi (quotient), s disebut sisa (remainder), q disebut yang dibagi (dividend) dan p disebut pembagi (divisor). Kita secara tradisi menggunakan istilah algoritma meskipun sesungguhnya algoritma pembagian bukan merupakan suatu algoritma.

Sebelum membuktikan Teorema 2.9, agar lebih mudah dalam memahami langkah-langkah pembuktian, simaklah dengan cermat uraian berikut:

Ditentukan dua bilangan bulat 4 dan 7 dengan 4 | 7, maka dapat dibuat barisan aritmetika 7 - (r.4) dengan x Z

untuk r = 3, 7 - (r.4)= 7 - 12= -5

untuk r = 2, 7 - (r.4)= 7 - 8= -1

untuk r = 1, 7 - (r.4)= 7 - 4= 3

untuk r = 0, 7 - (r.4)= 7 0= 7

untuk r = -1, 7 - (r.4)= 7 (-4)= 11

dan seterusnya

sehingga diperoleh barisan , -5, -1, 3, 7, 11,

Barisan ini mempunyai suku-suku yang negativf, dan suku-suku yang tidak negatif sebagai unsur-unsur himpunan T.

T = {3, 7, 11,} atau T = {7 (4.r) | r Z, 7 (4.r) 0}

Karena TN dan N adalah himpunan yang terurut rapi, maka menurut prinsip urutan rapi, T mempunyai unsur terkecil.

Perhatikan bahwa unsur terkecil T adalah 3.

Karena 3 T, maka 3 = 7 (4.r) untuk suatu r Z. dalam hal ini r = 1, sehingga

3 = 7 - (4.1), atau 7 = 1.4 + 3

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa:

7 = 1.4 + 3 dengan 0 3 < 4

Karena 4 7, maka 7 = r.4 + s dengan r = 1 dan s = 3

Perhatikan bahwa untuk 4, 7 Z, ada r, s Z sehingga 7 = r.4 + s dengan 0 s < 4

Marilah sekarang kita membutikan Teorema 3.10

Bukti:

Dengan p, q Z dapat dibentuk suatu barisan aritmatika (q rp) dengan r Z, yaitu , q 3p, q 2p, q p, q, q + 2p, q + 3 p,

yang mempunyai bentuk umum q rp

Ambil suatu himpunan T yang unsur-unsurnya adalah suku barisan yang tidak negatif, yaitu:

T = {q rp | r Z, q rp 0}

Karena TN dan N adalah himpunan yang terurut rapi, maka menurut prinsip urutan rapi, T mempunyai unsur terkecil, misalnya s.

Karena s T, maka s = q rp untuk suatu r Z, sehingga q = rp + s.

Jadi jika p, q Z dan p > 0, maka ada r, s Z sehingga q = rp + s.

Sampai disini pembuktian baru pada tahap menunjukkan eksistensi dari r dan s. berikutnya akan dibuktikan bahwa 0 s < p dengan menggunakan bukti tidak langsung.

Anggaplah bahwa 0 s < p tidak benar, s < 0 atau s p.

Karena s T, maka s tidak mungkin negatif, sehingga kemungkinannya tinggal s p.

s p, maka s p 0, sehingga (q rp) p 0 atau q (r + 1) p 0.

Karena s p 0 dan s p = q (r + 1) p atau s p mempunyai bentuk q rp, maka s p T

Karena p > 0, maka s p < s, sehingga s p merupakan unsur T yang lebih kecil dari s. Hal ini bertentangan dengan pengambilan s sebagai unsur terkecil dari T.

Jadi: 0 s < p

Selanjutnya, buktikan ketunggalan dari r dan s

Petunjuk: gunakan bukti tidak langsung, misalnya r dan s tidak tunggal, yaitu ada r1, r2, s1, s2 Z dan :

q = r1p + s1, 0 < s1 < p

q = r2p + s2, 0 < s1 < p

Contoh 3.1

Tunjukkan:

a. Jika p | q, maka p2 | q2

b. Jika p | q, maka p | 3q2

Jawab:

a. Karena p | q, maka sesuai dengan definisi 2.1, ada bilangan k Z sehingga q = kp, dengan demikian q2 = k2p2.

Sesuai dengan sifat ketertutupan perkalian bilangan bulat, karena k Z, maka k . k = k2 Z

q2 = k2p2 dan k2 Z, maka sesuai dengan definisi 2.1, p2 | q2.

b. Karena p | q, maka sesuai dengan teorema 2.1, p|qr untuk semua r Z

Ambil r = 3q, maka 3q Z untuk sebarang q Z

Dengan demikian, dari p | qr dan r = 3q Z, maka p | q (3q) atau

p | 3q2.

Contoh 3.2.

Diketahui: (a1a0) = a1.10 + a0 dan 3 | t

Tunjukkan bahwa t | a1 + a0

Jawab:

t = a1.10 + a0 = a1 (9 + 1) + a0 = 9a1 + (a1 + a0)

3 | t atau 3 | 9a0 + (a1 + a0) dan 3 | 9a0, maka menurut teorema 2.9, 3 | a1 + a0