A Finite-Range Scaling Method

-Application to the Long Range Ising Model-

2008.05.25 北陸合宿(立山)

金沢大 青木健一、小林玉青、富田洋

量子散逸系・量子古典相転移

Ising spin model

Block DRG

有限レンジスケーリング (Finite Range Scaling)

臨界摩擦の定量的な評価

目次

A Finite-Range Scaling Method to Analyze Systemswith Infinite-Range Interactions,

Ken-Ichi Aoki, Tamao Kobayashi and Hiroshi Tomita, Prog.Theor.Phys. 119-3(2008)509-514

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

zeta function singularity determining the critical coupling constant

BDRG によるFinite Range exact calculation

Finite-Range Scaling Analysis / FRS

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

量子古典相転移

臨界摩擦

量子散逸系

摩擦＝エネルギー散逸の効果を量子力学的に扱うのは難しい。

古典力学では速度比例の抵抗力を加えるなど、運動方程式への変更で扱うことができる。

量子力学の定式化ではハミルトニアン(あるいはラグランジアン）が必要。

エネルギー散逸をミクロの作用に戻って定式化する。環境自由度の中でのターゲット系の運動を考察。環境自由度の経路積分を先に行い、ターゲット系に

対する有効相互作用(有効ラグランジアン)を求める。

環境自由度の経路積分

ターゲット自由度

環境自由度

1次元統計系としては、無限に続く長距離相互作用の系である。

相互作用が強くなるとターゲット系の量子的な側面が抑制され、古典的な運動が支配的になる。 → 臨界摩擦

古典力学として環境変数の境界条件を決めて運動方程式を解くと、環境自由度の状態分布を適当な形に決定すれば、確かに速度比例抵抗力の項 を与えることが出来る。

Caldeira-Leggett model

非局所有効相互作用

microscopic action

量子力学の長距離相互作用

離散化

二重井戸ポテンシャルでは、site 変数を 2 state 近似して、Ising spinとみなせば、長距離相互作用のある Ising model と

同等となる。

系を最も単純化した1次元拡張 Ising model を用いて、く

りこみ群による解析を定式化する。

臨界摩擦についての予想

エネルギー 0

⇒ ordered ⇒ disordered

では有限の臨界摩擦の存在が期待される。

求めたい！

(局在化に相当。) (期待値を持たない。)

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

zeta function singularity determining the critical coupling constant

Finite-Range Scaling Analysis / FRS

BDRG によるFinite Range exact calculation

通常の DRG

最近接模型 → nearest neighbor interaction：

DRG (Decimation Renormalization Group)

くりこみ変換 (decimation)matrix (相互作用を表現）

cf.

分配関数：

無限サイズの系の Susceptibility (外場感受率)：

自由エネルギー：(1 site あたり)

対数感受率：

非最近接相互作用があると、通常の DRG は無限次元の相互作用空間に広がり簡単には扱えない。

相互作用の最大距離 を有限におき、その 個の site をブロック化する DRG の拡張を行い、長距離相互作用 （＞０）に対応する。

例

BDRG (Block Decimation Renormalization Group)

-for extended Ising spin model-

ブロックを単位として見れば、最近接相互作用しかない。

ブロックの状態数：ブロック間の相互作用を表す T matrix の次元：

くりこみ変換

長距離相互作用の系もDRGのように扱うことができる。

BDRG は finite-range system を exact に計算可能、かつその相互作用空間を制限した近似(ABDRG, N-ABDRG)は、系の局在化相転移に関

する性質をよく記述する。

Aligned Block Decimation Renormalization Group

相互作用空間を制限したBDRG

ABDRG

最近接相互作用がある程度強い場合を想定(strong coupling region)する。近いスピンの相関は非常に高いはず。

ブロックの多数の状態の中から、ブロック内の全スピンが同一方向を向いているという２状態だけを考慮。

有効相互作用定数

ABDRGの出発点は特別な線形結合で定義される有効相互作用定数のみに依存。

対数感受率は有効相互作用定数に線形

ABDRG は形式的に最近接模型と同等！ → 解析的に解ける。

T matrix：

Strong coupling region(BDRG 数値計算、近似くりこみ群 N-ABDRG の結果)

Weak coupling region （摂動論の初項）

有効相互作用定数

対数感受率と有効相互作用定数

cf.

任意の結合定数の組み合わせに対して以下の不等式が成立する。

の場合には両方の等号が成立。

数値計算では、この不等式への反例は見つかっていない。

解析的な証明も可能かもしれない。

Susceptibility Inequality

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

zeta function singularity determining the critical coupling constant

BDRG によるFinite Range exact calculation

Finite-Range Scaling Analysis / FRS

Finite Range Scaling Hypothesis

Weak region

Strong region

finite range scaling exponent

と の 対数感受率の差 を見る。

Weak region から Strong region への変化

関数の pole position

：Zeta関数

β(n, p, η) による infinite range analysis

pole position 1 で発散

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

β3

β4

β5

β6

β7

β8

β9

β10

β11

β12

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

β3

β4

β5

β6

β7

β8

β9

β10

β11

β12

の近傍で、n-dependence がなくなる！（理由は未だ不明･･･)

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

zeta function singularity determining the critical coupling constant

BDRG によるFinite Range exact calculation

Finite-Range Scaling Analysis / FRS

1.001

1.003

1.005

1.007

1.009

1.011

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Infinite range を1/n 線形で外挿

外挿値

＜BDRG による が大きいところの の評価＞

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

beta8

beta9

beta10

beta11

ex1.11

<βの1/n 線形外挿の結果>

transition はより sharp になる。

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

beta8

beta9

beta10

beta11

ex1.11

問題となるのは をよぎる critical point だ

が、外挿値を含め、ほとんど の値は動かない。

< 等高線>

結果

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

S1

S3

S5

S7

S9

S11

S13

S15

S17

S19

S21

S23

S25

S27

S29

S31

S33

S35

S37

S39

S41

S43

S45

S47

S49

S51

2-2.2

1.8-2

1.6-1.8

1.4-1.6

1.2-1.4

1-1.2

0.8-1

0.6-0.8

0.4-0.6

0.2-0.4

0-0.2

-0.2-0

-0.4--0.2

-0.6--0.4

1 4 7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49

52

55

58 S1

S4

S7

S10

S13

S16

S19

S22

S25

S28

S31

S34

S37

S40

S43

S46

S49

1-3

-1-1

1 2

1

0Symmetric

Symmetry Broken

< 相図>

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

zeta function singularity determining the critical coupling constant

BDRG によるFinite Range exact calculation

Finite-Range Scaling Analysis / FRS

臨界摩擦の値

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

1.1 0.0474

1.2 0.091

1.3 0.135

1.4 0.18

1.5 0.228

1.6 0.281

1.7 0.34

1.8 0.41

1.9 0.501

1.91 0.512

1.92 0.524

1.93 0.537

1.94 0.55

1.95 0.565

1.96 0.582

1.97 0.602

1.98 0.626

1.99 0.657

に対して の値が求められた！

臨界摩擦の値の他の方法との比較

Monte Carlo simulation

Dyson-Griffiths lower bound

無限長距離相互作用(1次元)へのアプローチ

zeta function singularity determining the critical coupling constant

BDRG によるFinite Range exact calculation

Finite-Range Scaling Analysis / FRS

まとめと今後の課題

長距離相互作用のある Ising spin model (double well potential の 2 state 近似とみなせる) において、

BDRG は finite-range system を exact に計算出来、かつその相互作用空間を制限した近似(ABDRG, N-ABDRG)は、系の局在化相転移に関する性質をよく記述する。

Infinite-range interaction に対する新アプローチとしてFRS (Finite-Range Scaling) を開発した。zeta 関数のpole position から を の関数として求めた！

量子力学系への Finite -Range Scaling のアプローチとして、ABDRG を散逸による長距離相互作用がある場合の量

子力学系に適用し、局在化相転移についての情報が得られるかを調べる。具体的には定量的に を求めたい。