相似三角形的判定（ 1 ）

一、线段的比

知识点知识点准备准备

• 线段的比是指用同一长度单位度量的两条线段的长度的比 .

• 线段的比与所采用的长度单位无关；• 两条线段的比是一个没有单位的正数；• 比例尺是指图上距离与实际距离的比 .

. b an

m

b

a nmba

nmba

叫比的后项叫比的前项，

，或写成∶∶

则就称这两线段的比为、的长度分别是、若线段

线段的比

二、成比例线段 在四条线段中，若其中两条线

段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 .

叫做比例的项，、、、则

，∶∶或若

dcba

dcba d

c

b

a

，、、、已知四条线段 dcba

.

a d

b c

d a b c

、 叫做比例外项，

、 叫做比例内项，

叫做 、 、 的第四比例项

. ca b

cbba c

b

b

a

的比例中项、叫做线段则线段

，∶∶或

的线段，即若比例内项是两条相同

比例中项

(1) 比例的基本性质 ( 等积式与比例式的互化 ).

ａ∶ｂ = ｃ∶ｄ ａｄ = ｂｃ .

bcad d

c

b

a ：或

三、比例性质

特别地当 b是 a、 c 的比例中项时

a b = b c b∶ ∶ 2 = ac.

acb c

b

b

a 2 ：或

平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等 ( 或成比例 ).

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等 ( 或成比例 ).

L1L1

CC

FF

EE

DD

BB

AA

L2L2

L3L3

L1L1

CC FF

EE

DD

BB

AA

L2L2

L3L3

L1L1

CC

FF

EE

DD

BB

AA

L2L2

L3L3

L1L1

CC FF

EE

DD

BB

AA

L2L2

L3L3

L1L1

CC

EEDD

BB

AA

L2L2

L3L3

（一）（一）

L1L1

CC

EEDD

BB

AAL2L2

L3L3

（二）（二）

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等 ( 或成比例 ).

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等 ( 或成比例 ).

如图 ,DE//BC,且 D 是边 AB 的中点 ,DE交 AC于E, ADE△ 与△ ABC 有什么关系 ? 说明理由 .相似

A

B C

D E

证明 : 在△ ADE 与△ ABC 中∠A= ∠A

2

1

BC

DE

AC

AE

AB

AD

∵ DE//BC ∴∠ADE= B, AED= C∠ ∠ ∠

过 E作 EF//AB交 BC于 F

可证 DBFE 是平行四边形2

1

AC

AE

AB

AD

F△ ADE EFC≌△

∴ DE=BF,DE=FC2

1

BC

DE

∴△ADE ABC∽△

结论 : 三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似

2. 如图 ,DE//BC, ADE△ 与△ ABC 有什么关系 ? 说明理由 . 相似

A

B C

D E

证明 : 在△ ADE 与△ ABC 中∠A= ∠A

BC

DE

AC

AE

AB

AD

∵ DE//BC ∴∠ADE= B, AED= C∠ ∠ ∠

过 E作 EF//AB交 BC于 F

∵ DBFE 是平行四边形

AC

AE

AB

AD

F

∴ DE=BF

BC

BF

AC

AE则

BC

DE

AC

AE

定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交 ,

所构成的三角形与原三角形相似

∴△ADE ABC∽△

平行于三角形一边的直线与其它两边 ( 或延长线 ) 相交 , 所得的三角形与原三角形 ________.相似

“A” 型 “X” 型

（图 2 ）

D E

O

B C

A

B C

D E

（图 1 ）

请写出它们的对应边的比例式请写出它们的对应边的比例式

已知：如图， AB∥EF ∥CD ，

C D

A B

E F

O

3图中共有 ____ 对相似三角形。

△EOF COD∽△

AB EF∥ △AOB FOE ∽ △

AB CD∥

EF CD∥

△ AOB DOC∽△

如图，△ ABC 中， DE∥BC，GF∥AB，DE 、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ ABC相似的三角形共有多少个 ? 请你写出来 .

解： 与△ ABC 相似的三角形有 3个 : 　　

△ A ＤＥ　

△ ＧＦＣ　

△ ＧＯＥ

A

B C

D

E

F

G

O

如图 , 已知 DE BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∥ ∠BAC=450, ACB=40∠ 0.

(1) 求∠ AED 和∠ ADE 的大小 ;(2)求 DE 的长 .

（ 2 ）

).(75.433050

7050,

.703050

50,

cmDE

DE

BC

DE

AC

AE

所以

即

A D B

EC

解 : (1)

DE BC∥

△ ADE ABC∽△ ∠AED= C=40∠ 0.

△ ADE ABC∽△

在△ ADE中 , ADE=180∠ 0-400-450=950.

如图，在△ ABC 中， DG EH FI BC∥ ∥ ∥ ，

（ 1 ）请找出图中所有的相似三角形；

（ 2 ）如果 AD=1， DB=3 ，那么 DG： BC=_____ 。

A

B C

DE

F

GH

I

△ ADG AEH AFI ABC∽△ ∽△ ∽△

1： 4

相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理