Embed Size (px)
Citation preview
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 1/25
al-Hvárizmi perzsa matematikus híres
műve: Al-Kitáb al-muhtaszar fi hiszáb
al-dzsabr va l-mukábala („A
kiegészítés és egyensúlyozás általi
számolás rövid könyve”)
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A matematika története avagy matematikatörténet tudományágaelsősorban a matematikában történt új felfedezések eredetét éstörténetét kutatja, kisebb mértékben pedig a múltbeli standardmatematikai módszereket és fogalmakat.
A matematika szó maga a görög μάθημα (mathéma) szóbólszármazik, amely a „tudomány, tudás, tanulás” jelentésekkel bír. Aμαθηματικός (mathématikosz) jelentése: „tanulni szerető”. Ma a szójelentése ettől kissé eltérő tudományterületre utal – a mennyiség,szerkezet, tér és a változás deduktív tudományára.
A legújabb kor előtt a világban összegyűlt tudást és az új matematikaifejlemények írásos levezetéseit néhány kiváltságos helyen lehetett csaktanulmányozni. A legkorábbi ókori matematikai szövegekMezopotámiából (Plimpton 322 i. e. 1900 körül), az ókoriEgyiptomból (Rhind-papirusz i. e. 1800 körül), a Középbirodalomidejéről (Berlini papirusz i. e. 1300 – i. e. 1200 körül) és az ókoriIndiából (Sulba szútrák i. e. 800 körül) kerültek elő. Ezen szövegekmindegyike a Pitagorasz-tétellel foglalkozik, amely a jelek szerint azegyik legkorábbi és legelterjedtebb matematikai jelenség volt azalapvető aritmetika és geometria után.
Az ókori görögök matematikai munkáit sokan a legfontosabbak közésorolják, mert azok nagyban bővítették a matematika módszereit éstárgykörét is.
Egy érdekes jelenség az ókori és középkori matematikatörténetben, hogy a fejlődésbeni fellángolásokatgyakorta több évszázadon át tartó stagnálás követte. Az itáliai reneszánsszal kezdődően (16. század) az újabbfejlődések a matematikán belül – melyek kölcsönösen hatottak más természettudományok fejlődésére is – egyrenagyobb ütemben követték egymást és ez a jelenség ma is megfigyelhető.
Tartalomjegyzék
1 Korai matematika
1.1 A mennyiség megjelenése
1.2 A számábrázolás és számolás megjelenése
1.3 Tárgyi leletek a kőkorszakból
2 Az ókor
2.1 A számrendszerek, számírások és számológépek megjelenése
2.2 Az ókori matematika leletei2.3 Ókori Közel-Kelet (i. e. 1800 – i. e. 500)
2.3.1 Mezopotámia
2.3.2 Egyiptom
A matematika története
[1]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 2/25
2.4 Ókori indiai matematika (i. e. 900 – i. sz. 200)2.5 Görög és hellén matematika (i. e. 550 – i. sz. 300)
3 Klasszikus kínai matematika (i. e. 200 – i. sz. 1300)
4 Klasszikus indiai matematika (400 – 1600)
5 Muszlim matematika (800 – 1500)
6 Középkori európai matematika (300 – 1400)
6.1 Kora középkor (300 – 1100)
6.2 A matematika reneszánsza Európában (1100 – 1400)
7 Korai modern európai matematika (1400 – 1600)
8 17. század
9 18. század
10 19. század11 20. század
12 21. század
13 Jegyzetek
14 Lásd még15 Irodalom
15.1 Magyar nyelvű irodalom
16 Külső hivatkozások
Korai matematika
A korai vagy empirikus matematika (Kr. e. 300 000? – Kr. e. 6. század) kialakulása a kőkorszakra tehető.Az emberré válás kora (Kr.e. 500 000 – Kr.e. 10 000) a pattintott kőkorszak (paleolitikum, Kr. e. 2,4 millió –Kr. e. 11 500) idejére esik, amely nemcsak a tűzhasználat és az első vallásos jellegű kultuszok megjelenésénekideje, de a szám és alak fogalmának és az időmérésnek a vélhető kialakulásáé is. Erről a korszakról írottszövegek nincsenek, a kultúrtörténeti (etnográfiai, kulturális antropológiai) vizsgálatokat végző tudósok azonbanmegpróbálnak az alábbi közvetett bizonyítékokra építve képet adni róla:
1. régészeti leletek;
2. a tizenkilencedik-huszonegyedik században is fellelhető, de a civilizált területektől való elzártság vagytávolság miatt kőkorszaki szinten élő (régebben „primitívnek” nevezett) népcsoportok vizsgálata;
3. gyermekek vizsgálata (az egyed- és törzsfejlődés összefüggése, ld. Haeckel-törvény);4. etimológiai vizsgálatok a szám- és mennyiség vonatkozású szavakkal és más nyelvi elemekkel
kapcsolatban.
A bizonyítékok közvetett volta miatt az e korról kialakult általános kép sok eleme csak feltételezés jellegű(spekulatív), különösen, ami a szám- és műveletfogalom kialakulását illeti.
A mennyiség megjelenése
A számfogalom csak fokozatosan formálódott meg, és együtt, párhuzamosan fejlődött a matematikaiműveletekre és viszonyokra vonatkozó képességekkel. Kezdetben csak az egy, kettő és kettőnél több („sok”)megkülönböztetése alakult ki. Ennek nyomait megtaláljuk a holt és a ma is élő nyelvekben (mint pl. azóegyiptomi, ógörög, az archaikus latin, vagy az arab nyelvekben az egyes, kettes és többes szám használataegyes névszók ill. igék ragozásánál). Mungo Park angol utazó, aki a Niger folyó feltérképezésével foglalkozott,említ olyan afrikai törzseket, melyek tagjai „valósággal könnyeztek a megerőltetéstől, ha azt akarták elmondani,valaminek a száma több kettőnél”. 2004-es kutatások is találtak Brazíliában ilyen népcsoportokat, pl. a
[2]
[3]
[4]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 3/25
pirahák (amazóniai indiánok). Hasonló helyzetben van a bolíviai csikito törzs (egyetlen „számnevük” van:etema, vagyis „egyedül”), ugyanitt a Tacama törzsről kimutatható, hogy számneveik mind idegen (spanyol, vagyaymara) eredetűek, sok amerikai és ausztrál törzset és nyelvi dialektust leírtak továbbá, akiknek valamivel több,de szintén kevés számnevük van (encabellada, chaco/guaycuru, puri, botocudo, yucaburra stb.).
A számábrázolás és számolás megjelenése
Az elvont számfogalom és a nagy számok hiánya azonban nem jelenti azt, hogy a korabeli emberek nem tudtáka nagyobb tárgysokaságokat kezelni. Ebben az ujjakon való számlálás, és hasonló módszerek (pálcikák,rovások használata) segítettek.
Az ujjszámlálás mellett a rovások megjelenése egy újabb lépés volt az elvontság felé, az enaktív (mozgásos,konkrét) reprezentálás mellett megjelent az ikonikus (szemléltető) reprezentálás - és mindkettő egész máigtovább él. Számrovásos leleteket jóval a nagyobb számokat megnevező számnevek feltételezhető megjelenéseelőttről is ismerünk, ilyen például a 30 000 évesre becsült vestonicei farkaslábszárcsont, a jelenleg legrégebbinekismert számrovásos emlék, amelyen 55 számrovás van, ötös csoportokban felvésve, a 25. és 26. rovás közöttegy nagy elválasztó rovással, vagy a 20 000 évesre becsült ishangoi csont, mely utóbbi rovásai közt sokanmár összeadást is felfedezni vélnek (bár mások primitív holdnaptárnak tartják). A sokáig csak ujjak
segítségével számláló vagy rovásokat rovó ember a korszak végére észrevehette, hogy azokban asokaságokban, melyek megszámlálása azonos számú ujjat követel, van valami közös: a sokaság számossága,azaz az a tulajdonság, hogy hány tagja, eleme van. Így lassan megjelent a szám elvont fogalma, és az összeadásösszeszámlálásként, azaz konkrét, „szenzomotoros” műveletként való végrehajtása.
Ez sokkal előbb következhetett be, mint a számnevek és a nagy számok fogalmi megjelenése, mely feltételezésta néprajz közvetett módon is alátámasztja: ismerünk „primitív” törzseket, melyek nem képesek nagyobb számokmegnevezésére, azonban pálcikák, vagy hasonló módszerek segítségével számon tudják tartani állatcsordáikat(illetve, egy ceyloni törzs esetében, kókuszdióikat), és ezek számbeli nagyságviszonyainak összehasonlítására isképesek. A valódi számnevek, majd a valódi számrendszerek, illetve a szám fogalma és az ezt jelölő szó, azújkőkor (neolitikum, kb. Kr.e 11 500 – kb. Kr.e. 5000) legvégén és az ókorban jelentek meg.
Az etimológusok szerint számnevek kezdetben hasonlatok lehettek. Például az ötelemű sokaságokra a későneolit ember azt mondhatta, „olyan, mint a kéz” vagy „annyi, mint a „kéz”. Az ilyesfajta fordulatok aztánállandósultak, és a legtöbb nyelvben elvesztették eredeti jelentésüket, de a nyelvi vizsgálatok ennek ellenérekimutathatják a számnevek és tárgynevek közös eredetét. Pl. az ósumérban az 1 szám megnevezésére ugyanaza szó szolgál, mint a férfiéra, a kettő megnevezésére pedig ugyanaz, mint a nőére. Az is jellemző, és a fentihipotézis mellett szól, hogy sok törzs más tárgysokaságokra másféle számneveket használ (a Fidzsi-szigetekenpéldául a tíz: bola (csónakokra) vagy koro (kókuszdiókra) – ez a jelenség egyébként a magyarban is megvankis számok esetén, pl. két ló, pár cipő, ikergyerekek). Nem egy nyelvben kimutatták a számnevek és atestrészek neveinek közös etimológiai eredetét (pl. az Új-Hebridák szigetcsoport egyik törzsénél, az apiknál öt= kéz, tíz = két kéz stb.).
Tárgyi leletek a kőkorszakból
Jóval a legkorábbi írott dokumentumok előtti időkből is találhatunk rajzokat, melyek matematikai tudásra vagycsillagok mozgásán alapuló időmérésre utalnak. A paleontológusok például i. e. 70 000 körülre datálhatóokkerkövekre vésett geometriai alakzatokat találtak egy dél-afrikai barlangban.
I. e. 35 000 és i. e. 20 000 közötti időre datálható történelem előtti tárgyakat találtak Afrikában és
Franciaországban is, melyek az idő számszerű mérésére utalnak.
[4]
[5]
[6]
[7][8][9]
[6]
[10]
[11]
[12]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 4/25
Ősi mordvin számírás: ez egy ötös minimális csomószámon
alapuló nem-helyiértékes, ezen belül hieroglifikus
számábrázolásmód, elvi szinten hasonló a római számíráshoz
Hasonló elvű, kvino-decimális hieroglifikus számírásmód a
magyar számírás
Tárgyi bizonyítékot találtak arra is, hogy az ősi időmérésben a nők havi ciklusának napjait számlálták: például28, 29 és 30 vonás csontokon és köveken, melyet egy a többitől eltérő vonás követ. Ezen kívül a vadászok márismerték az 1, 2 és a „sok” valamint a 0 vagy semmi fogalmát is, amely állatcsordáik számolásánál voltszükséges.
Az Ishango csontot a Nílus forrásának környékén találták a Kongói Demokratikus Köztársaságban. Ez i. e.20 000 környékéről származik. Egy gyakori értelmezés szerint ez a kő az egyik legkorábbról ismert példájaa prímszámok sorozatának és az ókori egyiptomi szorzásnak.
Az ókor
A számrendszerek, számírások és számológépek megjelenése
Az ókor két nagyon fontos, maradandónakbizonyuló matematikai találmánya aszámrendszeres vagy helyiértékesszámábrázolás, és a számírás.
Már az őskorban a legkülönfélébb alap- ill.csomószámokat használták mind a helyiértékes,mind a nem-helyiértékes számábrázolásimódokban, és ez az ókorra is jellemző maradt:a kettestől (bakairi, Dél-Amerika, gumulgal,bushman, Ausztrália) a hármason (kamilaroi éspigmeus, Ausztrália), a négyesen (Dél-Afrikai törzsek, csumas indiánok) át egészen azötös csomószámig, amelyet nemcsak a Nyugat-Afrikai fula és wolof nyelvcsoportban és azóceániai kanak nyelvben találhatunk meg,
hanem régészeti leletek szerint írásbanáltalánosan használhatták Közép-Európában abronzkor végén (urnamezős kultúra, Kr.e 1200- Kr. e. 800), de jelen volt az etruszk ésrómai számírásban is; mely utóbbi Európaszámírása volt egészen az 1200-as évekig; atiszta helyiértékes ötös számrendszer tartóshasználatára azonban meglepő módon elégkevés példa van (Iuo stádium, Dél-Afrika,joruba stádium, Nigéria, mindkét esetben a 20.század elejéig, ezen kívül csak Dél-Amerikábanismerünk törzsi példákat), de folytathatjuk a sorta hatoson (finnugorok ősi stádium és Észak-Afrika), a hetesen (ugorok, magyar stádium, héber, berber), a nyolcason (yuki, Kalifornia; pamenan,Mexikó ) és kilencesen át nemcsak a tízesig (magyar stádium, hindu és általában a népek többsége), illetve atízes csomószámú nem-helyiértékes írásig (óegyiptomi számírás), és még tovább is a tizenkettesen (óangol)keresztül a tizenhármasig (yasgua, Nigéria ), de a húszas (gael, Északnyugat-Európa, archaikus francia,olmék, maja), sőt a harminckettes (Dél-Afrika ) hatvanas (babiloni, Ázsia) csomószám is előfordul, sőt az
sem volt ritka, hogy a csomószámok keveredtek (gael, babiloniak, Észak-Afrika, api (Új-hebridák lakói),monumbo), az alapszám a nép története során többször is változott (magyar), vagy hogy különböző tárgyakszámlálásakor különböző csomószámot használnak.
[13][14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[20]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 5/25
Arab telefonbillentyűzet, az euro-
atlanti kultúrkörben használt „arab
számjegyekkel” és a megfelelő
arab számjegyekkel
A számnevek és a bakairikéhoz hasonló primitív kváziszámrendszerek együttes kialakulása lehetővé tette ahelyiértékes számábrázolás létrejöttét. Az ókorra ezek sok helyütt megjelentek, bár nem mindenhol (pl. alatinok, birodalomalapító voltuk ellenére, sosem ismerték), másféle számábrázolási módszerek is kialakultak.Sok helyütt (mint pl. Ausztrália) pedig még ilyen alternatív számábrázolásmódok sem jöttek létre, megmaradt akőkorszaki állapot.
A különféle számábrázolási elvek mellett az ókor másik alapvető találmánya a számírás. Az emberi memóriakorlátai miatt a matematika elmélyült művelése írást igényel. Nagy számokkal számolni, vagy hosszadalmas ésbonyolult számolásokat végezni, pontos geometriai ábrákat rajzolni a puszta homokba, hosszabb távonmeglehetősen kényelmetlen, esetenként lehetetlen; ehhez íróeszközök szükségesek. Arról nem is beszélve, hogya gazdasági számításokat legalább egy ideig meg kell őrizni, a csillagászati feljegyzéseket pedig hosszabb távonkell vezetni, hogy induktív értékkel bírjanak.
Denise Schmandt-Besserat 1992-ben közzétett, igen ötletes elmélete akövetkezőképp magyarázza a számírás létrejöttét: A neolit korbanfelélénkült a cserekereskedelem. Hogy a csereáruk darabszámávalkapcsolatos vitákat megoldják, kialakult az a szokás, hogy az árut zártagyagedényekbe csomagolják, majd lezárják. A nagyobb áruk esetén(pl. állatok) a számukkal azonos számú kis dolgot helyeztek egyagyagedénybe. Maradtak fenn régészeti leletek is, amelyekről nagyonúgy tűnik, mintha ilyen anyagnyilvántartók lennének. Ennek hátránya azvolt, hogy ha az árumennyiséget fel kellett mérni, azt csak atárolóedények összetörésével lehetett megvalósítani. Ezért hamarrájöttek, hogy ha a tárolóedény oldalába belekarcolják a benne tárolt árudarabszámát vagy mennyiségét, akkor nem kell folyton összetörni atárolóedényeket. Eleinte hieroglifaszerű jeleket használtak: pl. 30 birkaátvétele esetén az anyagnyilvántartó edény külsejére egy 30 birkátábrázoló ábrát nyomtak rá. Kezdetben tehát a számírás épp úgy tükröztea megszámlálandó dolog minőségét és mennyiségét is, mint maguk aszámnevek; ez jó magyarázata a hieroglifikus számírások kialakulásának.A számírás önállósodása akkor kezdődött, amikor rájöttek, hogy az egész folyamatban az agyagedény és annaktartalma valójában fölösleges, teljesen elegendő az oldalán szereplő „bélyegzés”.
A számrendszereket és számírásokat azonban elsősorban tudományos és nemzetgazdasági célokra használták.A közemberek továbbra is az ujjukon adtak össze, illetve megjelentek az első professzionális számológépek,(abakuszok, szorobánok) primitív (huzalok nélküli), de egyre tökéletesedő formái.
Az ókori matematika leletei
Az i. e. 5. évezred predinasztikus egyiptomi korszakában már megfigyelhetjük geometriai térformák képszerűábrázolásait. Egyesek szerint az Angliában és Skóciában található megalit építmények (az i. e 3. évezredből)tervezésénél is használtak már köröket, ellipsziseket, és Pitagoraszi számhármasokat.
A legkorábbról ismert matematikusokat az ókori Indiából ismerjük az i. e. 3000 és 2600 közötti indus-völgyicivilizációból (Harappai civilizáció), a mai Észak-India és Pakisztán területéről. Itt kifejlesztettek egy olyanmértékrendszert, amely már tízes számrendszert használt és téglagyártásuk meglepően fejlett volt, mivelarányokat használt és az utcákat is derékszögűnek tervezték. Sok geometriai alakot ismertek már, köztük akockát, a hengert, a kúpot és rajzaikon találunk koncentrikus valamint egymást metsző köröket ésháromszögeket is.
[21]
[22]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 6/25
Az Indus-völgyi civilizáció kiterjedése
Babiloni agyagtábla
Az átlón lévő felirat 2
négyzetgyökét ábrázolja négy 60-
as számrendszerű számjeggyel,
amely kb. 6 tízes számrendszerű
számjegynek felel meg.
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 =
1,414212963 (a pontos érték
1,414213562)
A felfedezett matematikai eszközök közé tartozik egy pontos tízes beosztású vonalzó, melyen apró és precízbeosztás látszik; egy kagyló-műszer, melyet iránytűnek használtak és síkon tudtak vele szöget mérni vagy ahorizonton a 40–360 °-ok többszöröseit. Egy másik kagyló-eszközzel 8–12 részre osztották a horizontot és azégboltot és egy harmadik műszerrel a csillagok helyzetét tudták mérni navigációs célból.
Mivel az indus írást egyelőre nem sikerült megfejteni, alig tudunk valami biztosat az írásos harappaimatematikáról. Régészeti leletek alapján egyes történészek úgy véltik, hogy 8-as számrendszert használtak, ésismerték a π-t vagyis a kör kerületének és átmérőjének arányát.
A kínai matematika legkorábbi példája a Sang-korból maradtránk (i. e. 1600–i. e. 1046), ahol egy teknőcpáncélra karcoltakszámokat találtak [2](http://www.saxakali.com/COLOR_ASP/chinamh1.htm) [3](http://www.chinaculture.org/gb/en_madeinchina/2005-08/18/content_71974.htm). Ezek a számok is tízesszámrendszert használnak: a 123-as számot felülről lefelé írták,oly módon, hogy az 1-es jelet egy százasjel, a 2-es jelet egytízesjel majd egy 3-as jel követ.
Ez volt a világ legfejlettebb rendszere abban az időben éslehetővé tette, hogy számításokat végezzenek a kínai abakuszon(suan pan). Az abakusz feltalálásának pontos időpontja nemismert, de a rá való első írásos hivatkozást Xu Yue Kiegészítőjegyzetek a számok művészetéhez című írásában találjuk.
Ókori Közel-Kelet (i. e. 1800 – i. e. 500)
Mezopotámia
Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyetMezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai sumerektől ahellenisztikus kor kezdetéig. Azért nevezik babilóniai matematikának,mert Babilonnak, mint tudományos központnak központi szerepe voltbenne. Ezt a szerepét a hellenisztikus korban elvesztette. Ekkortólkezdve a babilóniai matematika egyesült a görög és egyiptomirendszerekkel, amely a hellenisztikus matematika kialakulásához vezetett.Később az arab birodalom uralma alatt Mezopotámia, különösképpenBagdad ismét fontos szerepet kapott, mint a muzulmán matematikatudományos központja.
Az egyiptomi matematikával szemben – ahonnan ma kevés forrás állrendelkezésre – a babiloni matematikával kapcsolatos tudásunkat arról a400 agyagtábláról szereztük, amelyet az 1850-es évek óta fedeztek fel.Ezeket ékírással írták nedves agyagtáblákra, majd kiégették őketkemencében vagy a napon.
A legkorábbi fennmaradt írott matematikai emlék az ókori sumerektőlszármazik, akik az első mezopotámiai civilizáció létrehozói voltak.Összetett mérési rendszerük volt már i. e. 3000-ben is. A sumerek már i.e. 2500-tól kezdődően szorzótáblákat írtak agyagtáblákra, valamintgeometriai és osztási problémákon dolgoztak. A babiloni számok
[23]
[24]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 7/25
Babiloni számok ékírással
Részletek a Rhind-papiruszról
legkorábbi nyomai is ebből a korból származnak.
A feltárt agyagtáblák többsége az i. e. 1800 és i. e. 1600 közötti időszakból származik, és olyan témákat érint,mint a törtek, az algebra, a másodfokú és harmadfokú egyenletek és a Pitagoraszi számhármasok számítása(lásd Plimpton 322). A táblák között találunk szorzótáblákat, trigonometriai táblákat valamint első- és
másodfokú egyenletek megoldási módszereit is. AzYBC 7289 babiloni tábla a √2 értékét öt tizedespontossággal közelíti meg.
A babiloni matematika a tízes és a 60-as számrendszerkeverékét használja. Innen ered a mai időméréspercenként 60 másodperce, az óra 60 perce és a kör360°-a (6×60°) is. Az egyiptomiak, a görögök és arómaiak szokásától eltérően a babiloniak valódihelyiértékes rendszert használtak, ahol a bal oszlopba írtszámjegyek nagyobb értéket képviseltek – a tízesszámrendszerhez hasonlóan. Nem használták mégazonban a tizedesvessző megfelelőjét, ezért aszimbólumok helyiértékét gyakran a szövegből kellettkikövetkeztetni.
A 60-as alapszám használatának oka pontosan nem ismert. Akadnak, akik matematikai magyarázatot keresnek,és azt mondják, a 60 választása előnyös volt tudományos szempontból, mert sok osztója van, de ehhez képestnem elképzelhetetlenül nagy. Mások csillagászati, naptárkészítési okokat keresnek. Megint mások szerint a tízesés hatvanas számrendszer keverése gazdasági okok miatt volt célszerű, amikor a sumer és akkádállamszervezetet egyesítették. A sumer pénzegység, a mina ugyanis hatvanszor annyit ért, mint az akkádoksékele.
Egyiptom
Az egyiptomi matematika alatt azt a matematikát értjük, melyetóegyiptomi nyelven írtak.
A hellenisztikus korban az egyiptomi nyelvet a görög váltotta fel azegyiptomi tudósok körében, ezért ettől kezdve az egyiptomi, ababiloni és a görög matematika egyesült és belőlük alakult ki ahellenisztikus matematika. A matematika tudományának művelésétEgyiptomban később az arabok folytatták a muzulmán matematikarészeként, ekkor az arab lett az egyiptomi tudósok nyelve.
A máig felfedezett legrégebbi matematikai szöveg – a Moszkvaipapirusz – egy óegyiptomi (középbirodalomból származó i. e. 2000 –i. e. 1800) papirusz. Ez a legtöbb ókori matematikai szöveghezhasonlóan „szöveges feladatokat” tartalmaz, melyeket látszólagszórakoztatási célból írtak.
Az egyik feladatot különösen nagy jelentőségűnek tartják, mivelmegad egy módszert a csonka testek (frustum) térfogatánakszámítására.
[24]
[25]
[26]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 8/25
„Ha azt mondják neked: Egy csonka gúla, melynek 6 a magassága, 4 az alapja és 2 a csúcsa. Emeld négyzetre a4-et, az eredmény: 16. Duplázd a 4-et, az eredmény: 8. Emeld négyzetre a 2-t, az eredmény: 4. Add össze a16-ot, a 8-at és a 4-et, az eredmény: 28. Vedd a 6 harmadát: 2. Vedd 2-szer a 28-at, az eredmény: 56. Látod:56. Helyesnek találod majd.”
A Rhind-papirusz (i. e. 1650 [4] (http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/RhindPapyrus.shtml)) egy másikfontos óegyiptomi matematikai szöveg, egy útmutató kézikönyv az aritmetikához és a geometriához.
A terület-képletek, szorzási, osztási módszerek és törtműveletek ismertetésén kívül még más ismeretekmeglétére is bizonyítékul szolgál, többek között az összetett számok, a prímszámok ismeretére valamint aszámtani, a geometriai és a harmonikus közép számítására. Egyszerűsítve leírja Eratoszthenész szitáját és atökéletes szám elméletét is (nevezetesen a 6-ét). Azt is megmutatja, hogyan oldhatunk meg lineáris egyenleteket,[5] (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html) valamint számtani ésmértani sorozatokat. [6] (http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_algebra.html#areithmetic%20series).
A Rhind-papiruszon szereplő három mértani alakzat arra utal, hogy ismertek volt számukra az analitikusgeometria alapelvei: (1) hogy határozzuk meg a értékét egy százalékon belüli hibahatárral, (2) a kör
négyzetesítésére való korai próbálkozás, (3) a kotangens legkorábbi használata.[forrás?]
Végül a Berlini papirusz (i. e. 1300 [7] (http://www.hum.ku.dk/cni/papcoll/high008.html) [8](http://www.aams.org.au/contents.php?subdir=library/history/&filename=pharonic_egypt)) azt bizonyítja, hogyaz ókori egyiptomiak számára ismert volt a másodrendű algebrai egyenletek megoldása is. [9](http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin)
Ókori indiai matematika (i. e. 900 – i. sz. 200)
A védikus matematika a korai vaskorban indult fejlődésnek és az első fennmaradt írás a Satapatha-bráhmana
(i. e. 8. sz. - i. e. 3. sz.), melyben 2 tizedesjegy pontossággal megközelítik a π értékét.[10] (http://www-
history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html)
A Sulba szútrák (i. e. 8. sz. – i. sz. 2. sz.) mértani szövegek, melyekben irracionális számokat, prímszámokat, ahármasszabályt, és köbgyököt is használtak már, kiszámították a 2 négyzetgyökét 5 tizedesjegy pontossággal ésmódszereket mutattak be a kör négyszögesítésére, az első- és másodfokú egyenletek megoldására, algebrailaglevezették a pitagoraszi számhármasokat, valamint numerikus módszerekkel bebizonyították a Pithagorasz-tételt.
Pánini (kb. i. e. 5. század) lefektette a szanszkrit nyelv nyelvtani szabályait. Jelölési rendszere hasonlít a modernmatematikai jelöléshez, a metaszabályokat, a transzformációkat és a rekurziókat olyan kifinomultan használta,hogy nyelvtana a Turing-gépével ekvivalens számítási erővel rendelkezett. Pánini műve a modern formálisnyelvtanok elméletének előfutára is, a legtöbb mai programozási nyelv által használt Pánini-Backus forma szinténjelentős hasonlóságokat mutat Pánini nyelvtani szabályaival.
Pingala (i. e. 4. század – i. e. 1. század között) prozódiáról, versmértékekről írt, Csandahszútra c.értekezésében a rövid és hosszú szótagok különféle kombinációjakor a kettes számrendszerhez hasonló eszközthasznál. A metrika kombinatorikájáról szóló tételeiben a binomiális tételnek megfelelő állítások szerepelnek.Pingala fő műve a Fibonacci-számokról is tartalmaz alapvető tételeket, melyeket szanszkritul mátrámérunaknevez.
A bráhmí írást már legalább a Maurja-dinasztia korától kezdődően alkalmazták (i. e. 4. század), de a legújabbrégészeti leletek szerint a kialakulás dátuma inkább az i. e. 600 körüli időszakra tehető. A bráhmí számokról márAsóka király i. e. 3. századbeli, buddhizmust hirdető feliratai is tanúskodnak.
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 9/25
Milétoszi Thalész
I. e. 400 és i. e. 200 között a dzsaina matematikusok elkezdték a matematikát önmagáért tanulmányozni. Őkvezették be elsőként a transzfinit számok, a halmazelmélet, a logaritmus és az indexek alaptörvényeit, a harmad-és negyedfokú egyenletek, szekvenciák és progressziók permutációk és kombinációk, négyzetre emelés ésnégyzetgyökvonás, valamint a véges és végtelen hatványok fogalmát.
Találtak pontos számításokat irracionális számokról is, köztük milliós nagyságrendű számok 11 számjegyűszámok négyzetgyökének számításait legalább 11 számjegynyi pontossággal.
Görög és hellén matematika (i. e. 550 – i. sz. 300)
A görög matematika alatt azt a matematikát értjük, melyet görög nyelven írtak i. e. 600 és i. sz. 450 között.
A görög matematikusok a Földközi-tenger térségének keleti részében elszórt városokban éltek Itáliától egészenÉszak-Afrikáig, de mégis egységet alkottak közös kultúrájuk és nyelvük miatt. A kései görög matematikusokathelleniszikus matematikusoknak is nevezik.
A görög matematika sokkalta kifinomultabb volt, mint bármely korábbi kultúra matematikája. A görögök előttiidőkből fennmaradt matematikai emlékekben mindenütt az induktív érvelés módszerét használták, azaz ismételtmegfigyelések alapján állították fel szabályaikat. A görög matematikusok ezzel szemben a deduktív érvelésmódszerét használták. A görögök a logika segítségével vezették le a következtetéseket a definíciókból és azaxiómákból.
A görög matematika kezdeteit Thalész (i. e. 624 – i. e. 546 körül) ésPüthagorasz (i. e. 582 – i. e. 507 körül) fellépésétől számítják.Feltehetőleg nagy hatással voltak rájuk az egyiptomi, babiloni és –talán – az indiai matematikusok, bár a hatás nagyságát vitatják.Legendák szerint Pitagorasz ezért utazott Egyiptomba, hogy az ottanipapoktól matematikát, geometriát és csillagászatot tanuljon. Thalész ageometria segítségével oldott meg olyan feladatokat, mint a piramisokmagasságának és a hajók parttól való távolságának kiszámítása. APitagorasz-tétel első bizonyítását Pitagorasz nevéhez fűzik, az elmélettörténete azonban ennél jóval korábbi időkre nyúlik vissza.Euklidészről írott kommentárjában Proklusz azt írja, hogy Pithagorasza róla elnevezett Pitagoraszi számhármasok elméletét algebrai és nemmértani módszerrel állította fel. Platón akadémiájának a következővolt a mottója: „senki ne lépjen be ide, aki nem képzett ageometriában”.
A pithagoreusok fedezték fel az irracionális számokat. Eudoxosz (i. e.408 – i. e. 355) vezette be a sokszöges ún. kimerítési módszert,amely a mai integrálás elődjének tekinthető. Arisztotelész (i. e. 384 – i. e. 322) írta le elsőként a logikatörvényeit.
Euklidesz (i. e. 300) használta elsőként a matematika ma is elterjedt módszerét, vagyis a definíciókat,axiómákat, tételeket és a bizonyításokat. Ő volt a történelem során az első ismert tudós, aki definíciót adott atermészetes számokra. Ezen kívül a kúpszeleteket is tanulmányozta. Könyvét, melynek az Elemek címet
adta, jól ismerték a nyugati világ műveltebb köreiben egészen a huszadik század közepéig. A geometriából
ismerős tételek mellett, (mint a Pithagorasz-tétel) az Elemek már tartalmaz bizonyításokat arra, hogy 2négyzetgyöke irracionális és hogy a prímszámok száma végtelen. A prímszámok felfedezésénél azEratoszthenész szitája (i. e. 230) elnevezést kapott módszert használták.
[27]
[28]
[29]
[30]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 10/25
Kilenc fejezet a matematika
művészetéről.
Egyesek szerint a görögök (ha nem minden idők) legnagyobb matematikusa a szürakuszai Arkhimédész volt (i.e. 287 – i. e. 212). Plutarkhosz szerint 75 éves volt, amikor egy római katona lándzsájával leszúrta, amint éppenmatematikai képleteket rajzolt a homokba. A rómaiak kevés érdeklődést mutattak a tiszta matematika iránt.
Klasszikus kínai matematika (i. e. 200 – i. sz. 1300)
Kínában i. e. 212-ben Qin Shi Huangdi császár megparancsolta, hogyminden könyvet égessenek el. Bár a parancsot nem mindenhol hajtottákvégre, következményeként nem sok bizonyosat tudunk az ókori kínaimatematikáról.
A nyugati Zhou dinasztia idejéről (i. e. 1046-ből) maradt fenn alegkorábbi matematikai könyv, amely túlélte a könyvégetést, ez pedig a JiKing (Változások könyve) volt. Ebben 64 bináris hatos egységet írnak lefilózófiai vagy misztikus célból. Az egységeket hexagrammákkalábrázolják, melyek törött vagy folytonos vonalakból állnak és a jint és ajangot jelképezik.
A könyvégetés után a Han-dinasztia (i. e. 202–i. sz. 220) idejénmegjelent néhány matematikai témájú könyv, melyek feltehetőleg akorábban elveszett könyek tudásán alapultak. Ezek közül a legfontosabb– amely a Kilenc fejezet a matematika művészetéről címet viselte –teljes egészében csak i. sz. 179-ben látott napvilágot, de a bennefoglaltak más címmel már korábban is megjelentek. 246 szövegesfeladatot tartalmaz, melyek felölelik a mezőgazdaság, a munkaadás, a geometria tárgykörétől kezdve a kínaipagodák toronymagasságának és hosszának arányait, a mérnöki tudományokat, a statisztikai adatgyűjtésterületét és a derékszögű háromszögekről és a π-ről is tartalmaz anyagot. Használják benne a Cavalieri-elvet istöbb mint ezer évvel azelőtt, hogy Cavalieri színre lépett volna a nyugati világban. Matematikailag bizonyítja aPithagorasz-tételt és képletet tartalmaz a Gauss-eliminációhoz is. A műhöz Liu Hui írt magyarázatot az i. sz. 3.században.
Zhang Heng korábban élt (i. sz. 78 – i. sz. 139) csillagász és feltaláló matematikai munkáiban is találunk képleteta Pi kiszámítására, de ez eltér a Liu Hui-féle számítástól. Zhang Heng Pí-képletével gömbök térfogatát határoztameg.
A kínaiak használták a mágikus négyzet elnevezésű kombinatorikai ábrát is, amelyet már igen régen leírtak ésYang Hui (i. sz. 1238 – 1398) tökéletesített.
Zu Chongzhi (5. század, a déli és északi dinasztiák kora) hét tizedesjegy pontosságig számolta ki a Pí értékét; ezvolt a legpontosabb érték majdnem 1000 éven keresztül.
A Han-dinasztia korát követő 1000 évben, amely a Tang-dinasztia-val kezdődött és a Szung-dinasztia-valzárult, a kínai matematika virágkorát élte, míg Európában alig foglalkoztak vele akkoriban. Ebben az időszakbanszámos új ismeretet fedeztek fel, melyek közül sok csak jóval később vált ismertté a nyugati világ számára,köztük a negatív számok, a binomiális tétel elsőfokú egyenletek mátrix-módszerekkel való megoldása és a kínaimaradéktétel. A kínaiak az európaiaknál sokkal korábban felfedezték a Pascal-háromszöget és ahármasszabályt. Zu Chongzhi mellett ebben a korban számos fontos matematikus működött Kínában, köztük: YiXing, Shen Kuo, Ch'in Chiu-Shao, Zhu Shijie, és mások. Shen Kuo a differenciál- és integrálszámítás, atrigonometria, a metrológia és a permutációk módszereit is használta már a problémamegoldásoknál és egyalkalommal kiszámította mekkora földterületre lehet szükség bizonyos harci alakzatokban a katonák számára,valamint a lehető leghosszabb hadjárat idejét, adott élelemszállítási kapacitás mellett.
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 11/25
Árjabhata
Bár a reneszánsz korában az európai matematika ismét virágzásnak indult, az európai és kínai matamatikaihagyományok külön ágon futottak, egészen a jezsuita misszionáriusok megjelenéséig (16.-18. század), akikközvetíteni kezdték a matematikai elméleteket a két kultúra között.
Klasszikus indiai matematika (400 – 1600)
A jelenleg ismert legrégebbi dél-ázsiai matematikai kézirat a maiPakisztán területéről származó Bakhsálí kézirat, melyet egy kb. i. sz.3-7. századra tehető mű 8-12. századi másolataként tartanak számon.A kézirat alapvető aritmetikai témákkal (pl. nulla, törtek, műveletek)foglalkozik, és már megjelenik a tízes alapú helyi értékesszámábrázolás, ahol a nullát külön elnevezéssel (súnjaszthána) és egypont jelöléssel illetik. A mű továbbá tárgyalja az elsőfokú egyenletmegoldását 5 ismeretlennel, a másodfokú egyenletet, a számtani ésmértani sorozatokat, összetett sorozatokat, másodfokú határozatlanegyenleteket, és egyenletrendszereket .
A Szúrjasziddhánta című mű (i. sz. 400 körül) bevezette atrigonometrikus függvények közül a szinuszt, a koszinuszt és az inverzszinuszt és lefektette az égitestek valódi mozgásának szabályait, amelymegfelel az égbolton való aktuális helyzetüknek. A szövegben leírtkozmológiai időciklus meghatározását egy korábbi műből másolták ésmegfelel az átlagos csillagászati évnek (365,2563627 nap), amelycsak 1,4 másodperccel hosszabb a modern értéknél (365,25636305nap). Ezt a művet a középkorban arab és latin nyelvre is lefordították.
A nulla számot tízes számrendszerben használó, legrégebbi, pontosan datálható (i. sz. 458) indiai alkotás egydzsaina kozmológiai mű, a Lókavibhága. A műben az 1..9 számjegyek mellett a nulla számos szanszkritmegnevezése is feltűnik (súnja, gaganam, ambaram, stb.). A Lokavibhága több pontján a helyi értékes elvtudatosítására gyakran bukkannak fel olyan szanszkrit kifejezések, melyek egységesen a számjegyek 10-es"helyi érték szerint vett" számítását hangsúlyozzák.
Árjabhata 499-ben saját magáról elnevezett fő művében, az Árjabhatíjában napközpontú gravitációsrendszeren alapuló pontos csillagászati számításokat végzett, bevezette a sinus versus függvényt és elkészítette azelső szinusztáblázatokat. Ezen kívül fejlesztette az algebrai algoritmusokat (négyzet- és köbgyökszámítás,sorozatösszegek), az infinitezimális számításokat, a differenciálegyenleteket és egész számú megoldásokat találtelsőfokú egyenletekre a ma is használt módszerrel. A π értékét négy tizedesjegy pontossággal 3,1416-nektalálta, melynek értékét Mádhava a 14. században már 11 tizedesjegy pontossággal 3,14159265359-benhatározott meg.
Árjabhata a fentebb említett művében egy saját fejlesztésű, a szanszkrit ABC betűire épülő számábrázolást
alkalmaz. A kódolás segítségével igen nagy (akár 1018 nagyságrendű) számok leírhatók, ahol a magánhangzóktízes helyi értékű megfeleltetése már a tízes helyi értékes rendszer körvonalaira utal. A mű egyik tételébenfelsorolja a 10 egymást követő hatványainak szanszkrit terminusait és megadja a nekik megfelelő helyi értékekközt fennálló szabályt: ez a tétel és egyéb gyökvonó algoritmusok mind a tízes helyi értékes rendszer ismeretét éstudatos alkalmazását erősítik. Árjabhata számábrázolásában a számokat megformáló szövegrészletek erőskódhatásuk miatt a klasszikus szanszkrit nyelv szépen csengő hangzásvilágával szemben nehezen voltakmemorizálhatóak, így a rendszert a szerzőt követően nem használták.
A mű arab fordítása a 8. században jelent meg, melyet a 13. században latin fordítás követett.
[31]
[32]
[33]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 12/25
Brahmagupta tétele: ha egy
körbeírható négyszög átlói
merőlegesek egymásra, akkor az átlók
metszéspontjából az egyik oldalra
húzott merőleges felezi a szemközti
oldalt
A 7. században Brahmagupta bevezette a Brahmagupta tételt, aBrahmagupta-azonosságot és a Brahmagupta-képletet. Az i. sz. 628-ben keletkezett Bráhmaszphutasziddhánta című művében leírta anulla helyi értékként és a tízes számrendszer számjegyeként valóhasználatát, illetve számos példát mutat a tízes helyi értékesszámrendszer használatára. Munkájának fényét emeli, hogy a nullávalkapcsolatos aritmetikáról, a negatív és pozitív számokat is érintveolyan átfogó szabályrendszert közöl, amely - néhány korai tévedésétőleltekintve - további évszázadokig lefektette a nullával való számolásalapjait. A nullával való osztás koncepciójának tökéletesítéséhez (anulla és végtelen matematikai kapcsolata, határérték fogalma) egészena 11. századi Srípati és a 12. századi Bhászkara munkáira kellettvárni. A mű többek között ismertet még algoritmusokat a négyzet-
és köbszámításra, négyzet- és köbgyökvonásra, foglalkozik számtaniés geometria sorozatokkal is.
A muzulmán tudósok 770 körül ismerték meg az indiai tízes helyiértékes számrendszert egy indiai matematikai szöveg fordításából éshamarosan átvették azt. A muzulmán tudósok közvetítése révén a 12.században ez a számrendszer Európába is eljutott – ahol arab számok
néven vált ismertté – innen mára már világszerte elterjedt és minden korábban használt számrendszert felváltott.
A mai Karnátaka környékén elsősorban dzsaina szerzők gazdagították az indiai matematika kincsestárát.Közülük a 9. századi Víraszéna a Satkhandágamához írt Dhavalá c. kommentárjában világítja meg alogaritmusok alapjait, Mahávíra Ganitaszáraszamgraha c. alkotása (Kr. u. 850) pedig Brahmagupta főművének kiterjesztéseként fogható fel. Kelet-Indiában közel ebben a korban, Kr. u. 850 és 950 közöttmunkálkodott a bengáli Srídhara, nevét két fontos alkotása, a Pátíganita és annak rövidebb kivonata, aTrisatiká vagy más nevén Pátíganitaszára fémjelzi.
A Kr. u. 10-11. században elsősorban Srídhara hatása figyelhető meg: Árjabhata II Mahásziddhánta és SrípatiGanitatilaka c. műve is Srídhara munkáin alapszik. Halájudha a 10. században Mritaszandzsívaní címen írtkommentárt a kb. i. e. 4 - 1. sz. között élt Pingala Csandahszútra művéhez, amely a különbözőversmértékeket, így a rövid és hosszú szótagok (mint 2 állapotú bináris számok) különféle kombinációját elemziés ismerteti az ezekhez kötődő algoritmusokat, ezzel a bináris aritmetika és a kombinatorika néhány fő elvét.Halájudha az eredetileg nagyon tömör 8.34-35 szútrához egészen hihető útmutatást ad, melynek keretében azind vallásos világkép szent hegyének, a Méru hegynek a "felépítését" mutatja be. A bináris számokból ígymegalkotott struktúra a 17. századi francia tudós után Pascal-háromszögként vált közismertté, holott az indiaikévszázadokkal ezelőtt ismerték az elvet. A kommentár továbbá bemutatja a Fibonacci-sorozatot és leírja amátrixok képzésének módját is.
A 12. században Bhászkara az akkori nagy indiai kutatóközpont, Uddzsajiní városának vezető matematikusávánőtte ki magát, az utókor kiemelt becsben tartja Sziddhántasirómani, Lílávatí és Bídzsaganita című műveit.Bhászkara fedezte fel a differenciálszámítást, valamint bevezette a differenciálhányados, a differenciálegyütthatóés a differenciálás fogalmakat. Bebizonyította a Rolle-tételt (amely a középértéktétel speciális esete),tanulmányozta a Pell-egyenletet, és foglalkozott a szinuszfüggvény deriváltjával is.
A 14. századtól Mádhava és a keralai iskola többi matematikusa továbbfejlesztették ezeket az elméleteket. Őkvezették be a matematikai analízis és a lebegőpontos számok fogalmait, ezen kívül még számos olyan fogalmat,melyek alapvető fontosságúak voltak a differenciálszámítás fejlődése szempontjából, például középértéktétel,tagonkénti integrálás, a görbe alatti terület és a görbe integráljának viszonya, integrálkritérium, hatványsor,Taylor-sor és a trigonometriai sorok fogalmait.
[34]
[35]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 13/25
Muhammad ibn Músza l-Hvárizmi
A 16. században Dzsjésthadéva a Juktibhásá című műben rögzítette a keralai matematikai iskola felfedezéseités tételeit. Ez volt a világ első differenciálszámításról írott műve és tartalmazott fogalmakat az integrálszámításterületéről is. A 16. század végétől kezdődően a matematika fejlődése Indiában stagnálni kezd az akkorkialakult politikai zűrzavar miatt.
Muszlim matematika (800 – 1500)
A muszlim vallású Arab Birodalom – amely a 8. századra az Ibériai-félszigettől Észak-Afrikán és a Közel-Keleten keresztül Közép-Ázsiáig és India nyugati részéig terjedt – jelentősen hozzájárult amatematika fejlődéséhez. A legtöbb muzulmán tudós arab nyelven írta matematikáról, mivel ebben a korban az arab nyelv összekötőszerepet (lingua franca) töltött be a muszlim világ nem arab nyelvűtudósai körében, hasonlóan a görög nyelv hellén világban betöltöttszerepéhez. A legfontosabb muzulmán tudósok között sok perzsa isvolt.
Muhammad ibn Músza l-Hvárizmi 9. századi perzsa matematikus, abagdadi kalifa udvari csillagásza számos könyvet írt a hindu-arabszámokról és az egyenletmegoldás módszereiről. A hindu számokkalvaló műveletekről című könyve, melyet 852-ben írt valamint Al-Kindi arab matematikus művei kulcsszerepet játszottak az indiaimatematika és az indiai (arab) számok nyugati világban valóelterjedésében. Az algoritmus szó al-Hvárizmi nevének latinosítottváltozatából (Algoritmi) ered, az algebra szó pedig egyik művénekcíméből: Hiszáb al-dzsabr va l-mukábala (szó szerint „A kiegészítésés egyensúlyozás általi számolás”). Hvárizmit gyakran nevezik az algebra atyjának, mivel az ősi módszereketmegtartva sok eredeti ismerettel bővítette ezt a tudományágat.
Az algebra Abu Bakr al-Karadzsi (953–1029) al-Fahri című értekezésével tovább fejlődött, ahol úgy bővíti kia módszertant, hogy használható legyen ismeretlen mennyiségek egész számú hatványainál és egész számúgyökeinél is. Az első matematikai indukció módszerével végzett bizonyítás Karadzsi egy könyvében jelent meg i.sz. 1000 körül, aki a binomiális tételt, a Pascal-háromszöget és a kockák integrálösszegét bizonyította ezzel amódszerrel. F. Woepcke matematikatörténész szerint Karadzsi használt először algebrai jelölést a
számításoknál.
Ibn al-Hajszam (latinos neve Alhazen, meghalt 1038-ban) arab matematikus vezette le elsőként a negyedikhatványok összegének képletét és indukcióval kifejlesztett egy módszert bármilyen hatványon lévő integrálösszegének számításához szükséges képlet meghatározására, amely alapvető volt az integrálszámítás fejlődéseszempontjából.
Omar Khajjám 12. században élt perzsa költő egyben matematikus is volt és ő írta a Vita Euklidész hibáirólcímű könyvet, melyben Euklidesz Elemek című művének hibáit elemzi, különösen a párhuzamosságiposztulátumot, ezzel lefektette az analitikus geometria és a nem-euklideszi geometria alapjait. Ő talált elsőkéntáltalános mértani megoldást a harmadfokú egyenletekhez és nagy hatása volt a naptárreformra is. Naszír ad-Dínat-Túszi 13. századi perzsa matematikus új felfedezéseket tett a gömbtrigonometria területén. Írt egy nagy hatásúművet Euklidesz párhuzamossági posztulátumáról is. A 15. században Gijász ad-Dín Dzsamsíd al-Kási a πértékét 16 tizedesjegy pontossággal számította ki. Volt egy algoritmusa az n-edik gyök kiszámításához is, amelya Ruffini és Horner által évszázadokkal később megadott módszerek speciális esete volt. Fontos muzulmán
[36]
[37] [38]
[39]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 14/25
Boethius
matematikusok voltak még: Szábit ibn Kurra (9. század), Abu Kámil Sudzsá ibn Aszlam (9-10. század), Abu l-Haszan al-Uklidiszi (10. század), Abu Szahl al-Kúhi (10. század) és asz-Szamaval ibn Jahja al-Magribi (12.század).
Az Oszmán Birodalom idejére, a 15. századtól a muzulmán matematika fejlődése megtorpant. Ez ahhozhasonlítható, amikor a hellén világ a rómaiak uralma alá került: akkor a matematika fejlődése szintén megállt.
John J. O'Connor és Edmund F. Robertson a következőket írja a MacTutor History of Mathematicsarchive-ban [11] (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/):
„
A legújabb kutatások új képet tárnak elénk arról, milyen
mértékben maradtunk adósai a muzulmán
matematikusoknak. Mára nyilvánvalóvá vált, hogy azon
felfedezések nagy részét, melyeket korábban a zseniális 16-
17-18. századi európai matematikusainknak
tulajdonítottunk, muzulmán matematikusok már
századokkal korábban kifejlesztették. Sok tekintetben a
ma tanult matematika stílusában sokkalta közelebb áll a
muzulmán matematikához, mint a hellenisztikushoz.
”
– {{{4}}}
Középkori európai matematika (300 – 1400)
A középkori Európában a mai matematikusokéitől jelentősen eltérő problémákhajtották a matematika fejlődését. Az egyik hajtóerő az a hit volt, hogy amatematika kulcsfonosságú a teremtett természet megértéséhez, amit gyakranPlatón Timaeus-ával és azzal a deuterokanonikus bibliai passzussal támasztottakalá, mely szerint Isten mindent mérték, szám és súly szerint rendezett el.
„De ezek nélkül is, egyetlen lehelet is elsöpörhette volna őket, ha a bosszúlóigazságosság üldözőbe veszi és hatalmad lehelete megszeleli őket. De te mindentmérték, szám és súly szerint rendeztél el.” (Salamon bölcsessége 11:21).
Kora középkor (300 – 1100)
Boethius helyet biztosított a matematikának is az oktatásban, mikor megalkotta a„quadrivium” kifejezést, amely a számtan (aritmetika), a mértan (geometria), a csillagászat és a zenetudományának összefoglaló neve volt (a hét szabad művészet részeként). Ő írta a De institutione arithmeticacímű írást, amely a görög Nikomakhosz által írott Bevezetés az aritmetikába című mű szabad fordítása volt;
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 15/25
Az eldő hindu-arab számok Európában a Codex
Vigilanus-ban jelentek meg 976-ban
Jelenet Euklidész Elemek című
művének latin fordításából (1309 –
1316 között)
valamint a De institutione musica című művet, amely szintén görög forrásokat használt; ezen kívül írt még egysor kivonatot Euklidesz geometriájából is (Elemek). Művei sokkal inkább elméletiek voltak, mint gyakorlatiak,és az európai matematikai tanulmányok alapjául szolgáltak, amíg fel nem fedezték a görög és arab matematikaiműveket.
A matematika reneszánsza Európában(1100 – 1400)
A 12. századieurópaitudósok
Spanyolországba és Szicíliába utaztak arab tudományos iratok utánkutatva; többek között megtalálták al-Hvárizmi Hisab al-dzsabrwalmukabala (A rövidítés és törlés tudománya) című művét is,amelyet Robertus Castrensis fordított latinra, valamint EuklideszGeometriájának teljes szövegét (Elemek), melyet többen islefordítottak például: Adelardus Bathensis, Herman Dalmatin ésGerardo da Cremona (Gerardus Cremonensis).
Az új források hatására felélénkült a matematika iránti érdeklődés. A13. század elején Fibonacci produkálta az első jelentős matematikaieredményeket Európában Eratoszthenész óta, amely több mint ezeréves űrt jelent. A 14. században problémák széles körét kutatvaszülettek az újabb és újabb matematikai fogalmak. Az egyik olyan terület, amely nagy hatással volt amatematika fejlődésére a helyi mozgás analízise volt.
Thomas Bradwardine felvetette, hogy a sebesség (V) úgy növekszik számtani arányban, ahogy az erő (F)ellenálláshoz (R) való aránya nő mértani arányban. Bradwardine ezt specifikus példák sorával fejezte ki és – bárabban az időben még nem ismerték a logaritmus fogalmát – állítását anakronisztikusan felírhatjuk akövetkezőképpen:
V = log (F/R).
Bradwardine analízise arra példa, hogyan ültették át azt a matematikai technikát, melyet al-Kindi és Arnaldus deVilla Nova az összetett gyógyszerek természetének mennyiségi meghatározására használtak, egy másik fizikaiprobléma megoldására.
A 14. században William Heytesbury, az „oxfordi kalkulátorok” egyike, mivel nem ismerte a differenciálszámításés a határérték fogalmát, azt javasolta, hogy a pillanatnyi sebességet oly módon mérjék, hogy „azt az utat mérik,melyet akkor tett volna meg, ha … végig azzal a sebességgel mozgott volna, amellyel az adott pillanatbanmozgott”.
Heytesbury és mások matematikai módszerrel határozták meg egy olyan test által megtett utat, amelynekgyorsulása állandó mértékű (ezt ma egyszerű integrálással számolnánk). Állításuk szerint ugyanis: „egy mozgótest amelynek sebessége egyenletesen nő vagy csökken, adott idő alatt ugyanakkora távolságot tesz meg,mintha végig az átlagos sebességgel mozgott volna.”
[40][41]
[42][43]
[44]
[45]
[46]
[47]
[48]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 16/25
Nicolas d’OresmeFrançois Viète
Nicolas d’Oresme a párizsi egyetemen és az Itáliai Giovanni di Casali egymástól függetlenül grafikusanbizonyították ezt a viszonyt, és ezzel megerősítették, hogy a konstans gyorsulást jelölő egyenes alatti terület ateljes bejárt útnak felel meg. Oresme Euklidész Elemek című művéhez írt későbbi kommentárjában egy mégrészletesebb általános elemzést készített, melyben bemutatja, hogy a testnek minden egymást követőidőnövekményben megnő minden olyan tulajdonsága, amely páratlan számonként növekszik. Mivel Euklidészmár bizonyította, hogy a páratlan számok összegei a négyzetszámok, a test növekvő jellemzője az időnégyzetével nő.
Korai modern európai matematika (1400 – 1600)
Európában a reneszánszhajnalán a matematikafejlődését még mindigkorlátozta az akkoribanhasznált nehézkesjelölésmód, melyben rómaiszámokkal dolgoztak és aviszonyokat jelek helyettinkább szavakkal fejeztékki: nem volt még pluszjel,sem egyenlőségjel és az x-et sem használták még azismeretlen jelölésére.
A 16. században az európaimatematikusok olyanmértékű fejlődésneklehettek tanúi, melyre mégnem volt példa korábbansehol mai tudásunk szerint.Az egyik jelentős felfedezésebből a korszakból a
harmadfokú egyenlet általános megoldása volt, melyet Scipione del Ferronak tulajdonítanak 1510 körül, deelsőként Johannes Petreius publikálta Nürnbergben Gerolamo Cardano Ars magna című munkájában, amelytartalmazta a másodfokú egyenlet általános megoldását is Cardano tanítványától, Lodovico Ferraritól.
Ettől kezdve a matematikai felfedezések már gyors ütemben követték egymást és kölcsönös hatással voltak azélettelen fizikai tudományok területein tett legújabb felfedezésekre is. A folyamathoz nagyban hozzájárult anyomtatás fejlődése. A legkorábbi nyomtatásban megjelent matematikai témájú könyv Peurbach Theoricaenova planetarum-ja volt 1472-ben, melyet egy keredkedelmi számításokat tárgyaló könyv, az 1478-asTreviso Arithmetic követett, majd az első valódi matematikai könyv, Euklidész Elemei, melyet Ratdoltnyomtatott és adott ki 1482-ben.
A tengeri hajózás és navigáció valamint a nagy területeket ábrázoló pontos térképekkel szemben támasztottnövekvő igények miatt a trigonometria lett a matematika egyik legfejlettebb ága. Bartholomaeus Pitiscushasználta először a szót az 1595-ben megjelent Trigonometria című munkájában. A Regiomontanus-féleszinusz- és koszinusztáblázatokat 1533-ban adták ki.
A század végére – hála Regiomontanusnak (1436 – 1476) és François Viète-nek (1540 – 1603) (többekközött) – a matematikát már a hindu-arab számokkal írták olyan formában amely már nem sokban különbözötta ma használt alaktól.
[49]
[50]
[51]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 17/25
Gottfried Wilhelm Leibniz
Leonhard Euler (Emanuel Handmann
festménye)
17. század
A 17. században sose látott mértékben és robbanásszerűen fejlődteka matematikai és tudományos ismeretek Európa-szerte.
Az itáliai Galileo Galilei teleszkópjával megfigyelte, hogy a Jupiterbolygó körül holdak keringenek. A dán Tycho Brahe hatalmasmennyiségű matematikai adatot gyűjtött össze a bolygók helyzeténektanulmányozása során. Tanítványa, a német Johannes Kepler elkezdtefeldolgozni az összegyűlt adatokat. Részben azért, hogy segítseKepler számításait, a skóciai John Napier tanulmányozta elsőként atermészetes logaritmusokat. Keplernek végül sikerült matematikaiképletekkel kifejezni a bolygók mozgását. René Descartes (1596-1650) francia matematikus-filozófus, kifejlesztette az analitikusgeometriát melynek segítségével fel tudta rajzolni a bolygók pályáját aDescartes-féle koordináta-rendszerben. Korábbi matematikusokmunkájára építve az angol Isaac Newton felfedezte azokat a fizikaitörvényeket, melyekkel meg tudta magyarázni Kepler törvényeit, ésösszefoglalta a differenciál- és az integrálszámítás alapelveit. Tőlefüggetelenül Gottfried Wilhelm Leibniz Németországban kifejlesztettea differenciál- és az integrálszámítást melyben ma is az ő jelölésmódját hasznájuk. A tudomány és a matematikafejlesztése nemzetközi törekvés lett és a felhalmozott ismeretanyag hamarosan világszerte elterjedt.
Azon kívül, hogy a matematikát használni kezték az égitestek tanulmányozásánál, Pierre de Fermat és BlaisePascal levelezése során az alkalmazott matematika új területekre is behatolt. Pascal és Fermatszerencsejátékokról szóló vitáikban lefektették a valószínűségelmélet kutatásának alapjait és a kombinatorikaszabályait is. Pascal fogadás-elméletében megpróbálta felhasználni az újonnan létrehozott valószínűségelméletet avallásos élet melletti érvelésre, azon az alapon, hogy ha a siker valószínűsége kicsi, akkor a jutalom végtelen.Bizonyos értelemben ez már előrejelezte a hasznossági függvény 18-19. századi kialakulását.
18. század
Ahogy azt a monolitikus építményeknél láthattuk, a természetesszámok ismerete (1, 2, 3 …) régebbi mint bármely fennmaradtszöveg. Már a legkorábbi civilizációkban (Mezopotámia, Egyiptom,India és Kína) is ismerték az aritmetikát.
A mai matematika különböző számrendszereinek fejlődését olymódon követhetjük nyomon, hogy megfigyeljük hogyantanulmányozták és kutatták az új számokat abból a célból hogy arégebbi számokkal végzett aritmetikai műveletekre választ adjanak. Atörténelem előtti időkben a tört számokkal tudtak választ adni erre akérdésre: melyik számot kell 3-mal szorozni, hogy eredményül 1-etkapjunk. Indiában és Kínában, majd jóval később Németországbanbevezették a negatív számokat, hogy válaszolni tudjanak a kérdésre:mit kapunk, ha egy kisebb számból kivonunk egy nagyobbat. A nullabevezetéséhez is hasonló kérdés vezethetett: mit kapunk, ha kivonunkegy számot önmagából?
[52]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 18/25
Az egyenesek viselkedése egy közös merőleges mellett mindhárom
típusú geometriában
Bolyai János
Egy következő kérdés: milyen szám a 2 négyzetgyöke? Már a görögök is tudták hogy ez nem egy tört, és akérdésnek szerepe lehetett a lánctörtek kifejlődésében is. A tizedestörtek bevezetése után azonban – melyetJohn Napier (1550–1617) talált fel, majd később Simon Stevin tökéletesített – még jobb megoldás született. Atizedesek és egy olyan fogalom használatával, amely a határérték elődjének tekinthető, Napier egy másikállandót is tanulmányozott, melyet Leonhard Euler (1707–1783) -nek nevezett el.
Eulernek nagy hatása volt a matematikai fogalmak és jelölésmódok egységesítésére. A –1 négyzetgyökét az szimbólummal jelölte. Ő terjesztette el a görög betű használatát is a körök kerület-átmérő arányánakjelölésére. Ő vezette le a metematika egyik legjelentősebb azonosságát is:
(lásd még Euler-képlet)
19. század
A 19. század folyamán a matematikaegyre absztraktabbá vált. Ebben aszázadban élt minden idők egyiklegnagyobb matematikusa CarlFriedrich Gauss (1777 – 1855).Számos más tudományos eredményemellett forradalmi munkát végzett atiszta matematikában – a komplexváltozók függvényeivel –, ageometriában és a sorozatokkonvergenciájának tanulmányozásával. Ő adta az első kielégítő bizonyítást az algebra alaptételéhetz, és akvadratikus reciprocitás tételéhez.
Ebben a században a nem-Euklideszi geometria két formája islétrejött, melyekben az euklideszi geometria párhuzamosságiposztulátuma nem érvényes. Az euklideszi geometriában egy adottegyeneshez egy rajta kívül eső ponton keresztül egy és csakis egypárhuzamos húzható. Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij oroszmatematikus és a magyar Bolyai János egymástól függetlenül alkottákmeg a hiperbolikus geometriát, ahol a párhuzamossági posztulátumnem érvényesül. Ebben a rendszerben a háromszög belső szögeinekösszege kevesebb mint 180°. Az elliptikus geometriát később fedeztefel Bernhard Riemann német matematikus a 19. század során. Az őrendszerében nincsenek párhuzamosok és a háromszög belsőszögeinek összege nagyobb mint 180°. Riemann fejlesztette ki aRiemanni geometriát is, amely egyesíti és jelentősen általánosítja ahárom geometriatípust és ő definiálta a sokaság fogalmát is, amely agörbék és a felületek fogalmának általánosítása.
Ezek a fogalmak fontos szerepet játszottak később Albert Einsteinrelativitáselméletében.
A 19. században vezette be William Rowan Hamilton anemkommutatív algebrát.
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 19/25
Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij
George Boole
Az újabb matematikai irányok mellett a korábbi matematikaijelenségek is biztosabb logikai alapokra kerültek, különösen azintegrál és differenciálszámítás Augustin-Louis Cauchy és KarlWeierstrass munkásságának köszönhetően.
A 19. században jött létre az algebra új formája, a Boole-algebra,melyet George Boole brit matematikus dolgozott ki. Ebben arendszerben csak a 0 és az 1 számok szerepelnek és ma igenelterjedt, főleg a számítástechnikában.
Ugyanebben az időben kezdték el elsőként a matematika korlátaittanulmányozni. Paolo Ruffini olasz és Niels Henrik Abel norvégmatematikus bebizonyította, hogy a négynél magasabb fokúegyenletekre nincs gyökképlet. Évariste Galois módszert adott annakeldöntésére, hogy egy adott egyenlet megoldható-e a négyalapművelettel és gyökvonásokkal.
Más 19. századi matematikusok felhasználták ezt annak bizonyítására,hogy egy körző és egy vonalzó önmagában nem elég egy tetszölegesszög három egyenlő részre való felbontásához vagy olyan kockaszerkesztéséhez, melynek térfogata egy adott kocka térfogatánakkétszerese sem pedig olyan négyzet szerkesztéséhez, melynek területemegegyezik egy adott kör területével. A matematikusok már az ókorigörögök ideje óta próbáltak megoldást találni ezekre a kérdésekre –mindhiába.
Abel és Galois kutatásai a különböző polinom-egyenletek megoldásaterületén lefektették a csoportelmélet és a kapcsolódó absztraktalgebra további fejlődésének alapjait. A 20. században fizikusok ésmás tudósok a csoportelméletet ideális eszköznek tekintették aszimmetria tanulmányozására.
A 19. században alakultak meg ez első matematikai társaságok is:1865-ben a London Mathematical Society, 1872-ben a SociétéMathématique de France, 1884-ben a Circolo Mathematico diPalermo, 1864-ben az Edinburgh Mathematical Society és 1888-banaz American Mathematical Society.
A Bolyai János Matematikai Társulat jogelődjét 1891-benalapították.
A 20. század előtt egy adott időpontban csak nagyon kevés kreatív matematikus volt a világon. A legtöbbmatematikus vagy gazdagnak született – Napier-hez hasonlóan –, vagy gazdag személyek támogatását élvezte,mint Gauss. Néhányuk szerény megélhetését egyetemi oktatóként szerezte, mint Fourier. Niels Henrik Abel 26évesen elhunyt alultápláltság és tuberkulózis következtében, mivel nem kapott állást.
20. század
A matematikusi hivatás a 20. században egyre fontosabbá vált. Minden évben több száz új PhD fokozatotítélnek oda matematikusoknak és számos munkalehetőség közül válogathatnak mind az oktatásban, mind aziparban. A matematika exponenciális ütemben fejlődik ezért a fejlődés szinte már alig vagy csak nagyon nehezenkövethető.
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 20/25
A négyszín-tételt illusztráló térkép
A gömb felszínén minden hurok ponttá húzható össze. A Poincaré-
sejtés magasabb dimenzióban kérdezi ezt.
Az 1900-ban rendezett nemzetközi matematikai kongresszuson David Hilbert előállt egy listával, melyen 23megoldatlan matematikai problémát sorolt fel. Ezek a problémák a matematika számos területét érintették és a20. századi matematika központi feladatai között voltak. Mára közülük tíz problémát már teljes mértékben
megoldottak, hetet csak részlegesen és kettő még ma is megoldatlan.A maradék négy túl lazán definiált ahhoz, hogy egyértelműen döntenilehessen megoldott voltáról.
Az 1910-es években Srínivásza Rámánudzsan (1887 – 1920) többmint 3000 tételt írt le, köztük az erősen összetett számoktulajdonságairól, a partíciók számát megadó függvényről ésaszimptotikájáról és a Rámánudzsan-féle thetafüggvényekről. Jelentősfelfedezéseket tett a gammafüggvények, moduláris formák, divergenssorozatok, hipergeometrikus sorozatok és a prímszámelméletterületein is.
A múlt híres sejtései újabb és erőteljesebb technikák kifejlődéséhezvezettek. Wolfgang Haken és Kenneth Appel számítógép segítségévelbizonyította be 1976-ban a négyszín-tételt. Andrew Wiles évekigegyedül dolgozva irodájában 1995-ben végül bebizonyította aFermat-sejtést.
A matematikán belül teljesen új területek jöttek létre, mint például amatematikai logika, a topológia, a komplexitáselmélet és ajátékelmélet melyek kibővítették azon kérdések körét, melyeketmatematikai módszerekkel meg tudunk válaszolni.
A francia Bourbaki-csoport tagjai megkísérelték a matematika minden területét egy koherens és szigorúegységgé gyúrni, és a Nicolas Bourbaki kollektív álnéven publikáltak. Hatalmas munkájuk matematikaoktatásratett hatása vitatott.
Végeztek újabb kutatásokat a matematikai korlátai terén is. Kurt Gödel bizonyította, hogy minden olyanmatematikai rendszerben, melyben vannak egész számok, van olyan igaz állítás, amit nem lehet bebizonyítani.Paul Cohen bizonyította a kontinuum-hipotézis logikai függetlenségét a halmazelmélet standard axiómáitól.
A század végére a matematika kezdett összefonódni a művészetekkel is: a fraktálgeometria például olyangyönyörű alakzatkat hozott létre, melyekre korábban nem volt példa.
21. század
A 21. század hajnalán egyes oktatókbaljósnak tartják a szellemileg az új alsóosztályhoz tartozók társadalmielőretörését, akik mind matematikailag,mind tudományosan írástudatlanoknaktekinhetőek. Ugyanekkor a
matematika, a természettudományok, amérnöki tudomány és a technológiaegyütt olyan tudást, kommunikációt és jólétet hozott létre, amiről az ókori filozófusok álmodni se mertek volna.
Mindössze néhány év telt el a 21. századból, de már születtek jelentős eredmények. 2004-ben Ben Green ésTerry Tao bebizonyította azt a régi sejtést hogy van akármilyen hosszú, prímszámokból álló számtani sorozat.2006-ban Grigorij Perelman igazolta a Poincaré-sejtést.
[53]
[54]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 21/25
2007 március közepén észak-amerikai és európai kutatók csoportja számítógép-hálózatok segítségéveltérképezték fel az E8 politópot. Bár ma még pontosan nem tudjuk, hogyan lehet majd alkalmazni az E8-ról
szerzett ismereteket, a felfedezés jelentős mind a csapatmunka, mind a modern matematikai számításitechnológia fejlődése szempontjából.
Jegyzetek
1. ↑ Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, "In the case of mathematics, it isthe Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics ascience."
2. ↑ Filep László: A tudományok királynője; Typotex/Bessenyei, Bp./Nyíregyháza, 1997, 33. o.3. ↑ Filep László: A tudományok királynője (A matematika története), Typotex, Bp. - Bessenyei Kiadó,
Nyíregyháza; 1997. ISBN 963-7546-83-9, 33.-34. o.4. ↑ Index.hu: Nyelv, számnevek nélkül (http://index.hu/tudomany/num0080715/). Hivatkozás beillesztése: 2009.
augusztus 15.5. ↑ Conant, Levi Leonard: The Number Concept Its Origin and Development
(http://infomotions.com/etexts/gutenberg/dirs/1/6/4/4/16449/16449.htm). (Project Gutenberg,http://infomotions.com, Chapter I. és II.), hivatkozás beillesztése: 2009. augusztus 15.
6. ̂a b Filep László: A tudományok királynője (A matematika története), Typotex, Bp. - Bessenyei Kiadó,Nyíregyháza; 1997. ISBN 963-7546-83-9, 35. o.
7. ↑ Afrikából származhat a matematika (http://www.mult-kor.hu/cikk.php?id=16534) - Mult-kor.hu, 2007.február 23. 09:30; Hivatkozás beillesztése: 2008. augusztus 14.
8. ↑ Jakabffy Éva Zoé: Honnan ered a matematika? (http://www.shp.hu/hpc/web.php?a=evajakabffy&o=ujdonsagok___matematika_2kj) IPM, 2008. dec. Hivatkozás beillesztése: 2008. augusztus14.
9. ↑ Bővebben: Angol Wikipédia: Ishango Bone. Hivatkozás beillesztése: 2008. augusztus 14.10. ↑ Henahan, Sean: Art Prehistory (http://www.accessexcellence.org/WN/SU/caveart.html). Science Updates.
The National Health Museum, 2002. (Hozzáférés: 2006. május 6.)11. ↑ An old mathematical object (http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html)12. ↑ Mathematics in (central) Africa before colonization
(http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf)13. ↑ Kellermeier, John: How Menstruation Created Mathematics
(http://www.tacomacc.edu/home/jkellerm/Papers/Menses/Menses.htm). Ethnomathematics. TacomaCommunity College, 2003. (Hozzáférés: 2006. május 6.)
14. ↑ Williams, Scott W.: The Oledet Mathematical Object is in Swaziland(http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/lebombo.html). MATHEMATICIANS OF THE AFRICANDIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department, 2005. (Hozzáférés: 2006. május 6.)
15. ↑ Williams, Scott W.: An Old Mathematical Object (http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html). MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematicsdepartment, 2005. (Hozzáférés: 2006. május 6.)
16. ↑ A pigmeusok számnevei: 1=a, 2= oa, 3=ua, 4= oa-oa, 5=oa-oa-a, 6=oa-oa-oa [1] (http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/1999/ura/Novak/seminar.html)
17. ↑ Enwiki: List_of_numbers_in_various_languages(http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_numbers_in_various_languages#Afro-Asiatic_languages)
18. ↑ Enwiki: Az urnamezős kultúra számírása (http://en.wikipedia.org/wiki/Urnfield_culture_numerals); hivatkozásbeillesztése: 2009. augusztus 15.
19. ↑ Frank Swetz :Review about „Ethnomathematics, a Multicultural View of mathematical Ideas”(http://www.jstor.org/pss/2686959), jstor.org; Beillesztés időpontja: 2009. augusztus 14.
20. ̂a b Jakabffy Éva Zoé:: Honnan ered a matematika (http://www.shp.hu/hpc/web.php?a=evajakabffy&o=ujdonsagok___matematika_2kj); IPM, 2008. december; N.W.Thomas adatai nyomán;Beillesztés időpontja: 2008. augusztus 14.
21. ↑ Sternberg és Ben Zeev: A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Bp., 1998.; ISBN 963-9069-78-7. 4. f.: Kevin F. Miller: Óriások vállán: a kulturális eszközök és a matematikai fejlődés. 87.-121. o.
22. ↑ Thom, Alexander and Archie Thom, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N.Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom, (Cambridge: Cambridge Univ. Pr.,
[55]
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 22/25
1988) ISBN 0-521-33381-423. ↑ Pearce, Ian G.: Early Indian culture – Indus civilisation (http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html). Indian Mathematics: Redressing the balance.School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews, 2002. (Hozzáférés: 2006. május6.)
24. ↑ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology(http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html), Third Millennium Mathematics. St. LawrenceUniversity.
25. ↑ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House, 30-31. o (1998)26. ↑ Molnár László: Ukasar-urapon, aháge tokále, bulan guliba
(http://www.epa.oszk.hu/00000/00011/00028/pdf/1999-6-7t.pdf). Iskolakultúra, 1999/6.-7. Beillesztés: 2009.augusztus 14.
27. ↑ Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-028. ↑ Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp. 72-83 in Michael H. Shank, ed., The
Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: Univ. of Chicago Pr.) 2000, on mathematicalproofs see p. 75.
29. ↑ VII. könyv, 2. def. Magyarul: Mayer Gyula: Eukleidész: Elemek. Gondolat, Bp., 1983; ISBN 963-281-267-0.206. o.
30. ↑ Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141"No work, except The Bible, has been more widely used… ."
31. ↑ M. Hegedüs, 2012, Az algebra vívmányai az indiai matematika klasszikus korszakában, L'Harmattan,Budapest, 8. oldal
32. ↑ M. Hegedüs 2012, 33. és 42. oldalak33. ↑ M. Hegedüs 2012, 20-25. oldalak34. ↑ M. Hegedüs 2012, 43. oldal35. ↑ M. Hegedüs 2012, 58-65. oldalak36. ↑ The History of Algebra (http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm). Louisiana State University.37. ↑ Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, p. 255-259. Addison-Wesley. ISBN 0-321-
01618-1.38. ↑ F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi.
Paris.
39. ↑ Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), p. 163-174.40. ↑ Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp. 135-154 in
Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell).41. ↑ Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).42. ↑ Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-462 in Robert L. Benson and Giles
Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)43. ↑ Guy Beaujouan, The Transformation of the Quadrivium", pp. 463-487 in Robert L. Benson and Giles
Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)44. ↑ Grant, Edward and John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and its applications to science and natural
philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.45. ↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.),
pp. 421-440.46. ↑ Murdoch, John E. (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of
the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", pp. 215-254 in Arts libérauxet philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d'Études Médiévales), at pp. 224-227.
47. ↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.),pp. 210, 214-15, 236.
48. ↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), p.284.
49. ↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.),pp. 332-45, 382-91.
50. ↑ Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" Q. 14, pp. 560-5 in Marshall Clagett, ed., NicoleOresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).
51. ↑ Grattan-Guinness, Ivor. The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W.Norton. ISBN 0-393-32030-8 (1997)
52. ↑ Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p.
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 23/25
379, "…the concepts of calculus…(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modernworld that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claimto be well educated."
53. ↑ Maurice Mashaal, Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians, American Mathematical Society, 2006,ISBN 978-0-8218-3967-6.
54. ↑ Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in MathematicsEducation, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8
55. ↑ Elizabeth A. Thompson, MIT News Office, Math research team maps E8http://www.huliq.com/15695/mathematicians-map-e8
Lásd még
A geometria története
Irodalom
Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House (1964)
Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,Grattan-Guinness, Ivor. Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of theMathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-7397-5 (2003)
van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-
387-12159-5.O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. The MacTutor History of Mathematics Archive(http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/). (See also MacTutor History of Mathematicsarchive.) This website contains biographies, timelines and historical articles about mathematical concepts;
at the School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland. (Or see thealphabetical list of history topics (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Hist_Topics_alph.html).)Stigler, Stephen M.. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900.Belknap Press. ISBN 0-674-40341-X (1990)
Bell, E.T.. Men of Mathematics. Simon and Schuster (1937)
Gillings, Richard J.. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge, MA: M.I.T. Press (1972)
Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 0-486-24073-8 (1981)
Menninger, Karl W.. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MITPress. ISBN 0-262-13040-8 (1969)
Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. Addison-Wesley: 1998.
Magyar nyelvű irodalom
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 24/25
Filep László: A tudományok királynője, Typotex kiadó, 2001Szemjon Grigorjevics Gingyikin: Történetek fizikusokról és matematikusokról, Typotex kiadó, 2004
Lévárdi László – Sain Márton: A ráció üzenetei – Feladatok a távoli múltból, Typotex kiadó,Rényi Alfréd: Ars Mathematica, Typotex kiadó, 2005Róka Sándor (szerk): Miért lettem matematikus, Typotex kiadó, 2003Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet (http://mek.oszk.hu/05000/05052/index.phtml)Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-704-4
Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Typotex kiadó, 1993Simonovits András: Matematikatörténeti vázlat (http://econ.core.hu/~simonov/matt.pdf)Struik, Dirk J.: A matematika rövid története, Gondolat kiadó, 1958Tóth Imre: Palimpszeszt – Szavak egy háromszög előtt, Typotex kiadó, 2001
Külső hivatkozások
Simonovits András: Matematikatörténeti vázlat (http://econ.core.hu/~simonov/matt.pdf) (pdf).Barkohba (http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/humor/archimedes-kunkorja.html)Interjúrészlet a régi magyar matematikai szaknyelvről. Szénássy Barna – A matematikatörténet szerényapostola. in: Staar Gyula: A megélt matematika 128—129. oldalAz Ókor matematikája (http://gazsiweb.click.hu/Okormatek.html)
Convergence (http://mathdl.maa.org/convergence/1/), the Mathematical Association of America's onlineMath History MagazineMacTutor History of Mathematics archive (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/) (John J.O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). An award-winning website
containing detailed biographies on many historical and contemporary mathematicians, as well asinformation on famous curves and various topics in the history of mathematics.History of Mathematics Home Page (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/) (David E. Joyce; ClarkUniversity). Articles on various topics in the history of mathematics with an extensive bibliography.The History of Mathematics (http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/) (David R. Wilkins; Trinity College,
Dublin). Collections of material on the mathematics between the 17th and 19th century.Biographies of Women Mathematicians (http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm) (LarryRiddle; Agnes Scott College).Mathematicians of the African Diaspora (http://www.math.buffalo.edu/mad/) (Scott W. Williams;University at Buffalo).
Fred Rickey's History of Mathematics Page (http://www.dean.usma.edu/math/people/rickey/hm/)Horváth Péter: Az információtudomány történeti háttere II.(http://tmt.omikk.bme.hu/show_news.html?id=1622&issue_id=35). TMT, 48. évf. (2001) 5. sz.;Link beillesztése: 2009. augusztus 14.
Linkgyűjtemények
Links to Web Sites on the History of Mathematics (http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/resources.html)(The British Society for the History of Mathematics)History of Mathematics (http://archives.math.utk.edu/topics/history.html) Math Archives (University ofTennessee, Knoxville)
History/Biography (http://mathforum.org/library/topics/history/) The Math Forum (Drexel University)History of Mathematics (http://www.otterbein.edu/resources/library/libpages/subject/mathhis.htm)(Courtright Memorial Library).History of Mathematics Web Sites (http://homepages.bw.edu/~dcalvis/history.html) (David Calvis;Baldwin-Wallace College)
5/12/13 A matematika története - Wikipédia
hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&printable=yes 25/25
Science: Math: History (http://www.dmoz.org/Science/Math/History/) (DMOZ)Historia de las Matemáticas (http://webpages.ull.es/users/jbarrios/hm/) (Universidad de La Laguna)História da Matemática (http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexhm.html) (Universidade de Coimbra)Using History in Math Class (http://www.math.ilstu.edu/marshall/)
A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=A_matematika_története&oldid=13558055”Kategória: Matematikatörténet Tudománytörténet
A lap utolsó módosítása: 2013. május 9., 20:31A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekbenmás módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.
