A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs … · Web viewKérelem MATEMATIKUS mesterszak (MSc) indítására Szeged 2007 Tartalomjegyzék I. Adatlap 3 II. A szakindítási kérelem

Szegedi Tudományegyetem

Kérelem

MATEMATIKUS

mesterszak (MSc) indítására

Szeged2007

A 2005/10/V/3. sz. határozattal kiegészített 2005/7/IV/1.2 sz. MAB határozat

(formai frissítés 2006.10.16.)ÚTMUTATÓ

a mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához

2




Tartalomjegyzék

I. Adatlap.....................................................................................................................................3

II. A szakindítási kérelem indoklása, a továbblépés körülményei. A képzési kapacitás bemutatása...............................................................................................................................5

1. A szak képzési és kutatási előzményei az intézményben...................................................52. Az új típusú szakon végzők iránti regionális és országos igény prognosztizálása, a

foglalkoztatási igény lehetőség szerinti bemutatásával/dokumentálásával........................63. Az indítandó mesterszak hallgatóinak a kutatás-fejlesztésre, illetve a doktori képzésre

való felkészítésének, valamint a doktori képzésre való továbblépés lehetőségének bemutatása...........................................................................................................................6

4. A kiemelkedő képességű hallgatók alkalmasságát figyelő, azt előmozdító, „tehetséggondozó” tevékenység beépítésére vonatkozó elképzelések, ill. intézkedések bemutatása...........................................................................................................................7

5. A felsőoktatási intézmény képzési kapacitásának bemutatása az érintett képzési területen, illetve szakon. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként bemutatva.. . .8

III. A mesterképzési szak tanterve és a tantárgyi programok leírása. A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása.................................................9

1. A szak tantervét táblázatban összefoglaló, krediteket is megadó, óra és vizsgaterv..........92. Tantárgyi programok..........................................................................................................113. Kompetenciák elsajátíttatása...............................................................................................414. A képzési és kimeneti követelményekben előírt idegen nyelvi követelmények

teljesítésének intézményi elősegítése, feltételei..................................................................415. A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása a szakra való

belépés tekintetében............................................................................................................416. Az értékelési és ellenőrzési módszerek, eljárások és szabályok bemutatása......................42

IV. A képzés személyi feltételei....................................................................................................431. A szakfelelős, a szakirányfelelősök és a záróvizsgatárgyak felelősei................................432. Tantárgylista – tantárgyak felelősei, oktatói.......................................................................433. Az oktatók személyi-szakmai adatai...................................................................................544. Nyilatkozatok......................................................................................................................113

V. A szakindítás kutatási és infrastrukturális feltételei............................................................1551. Országosan (és nemzetközileg) elismert tudományos műhely(ek) és együtt dolgozó

szakmai közösséggel bíró alapvető K+F/művészeti terület bemutatása.............................1552. A képzés tárgyi feltételei, a rendelkezésre álló infrastruktúra............................................1563. Az intézményvezető nyilatkozata.......................................................................................158

3




Kérjük, hogy a beadásra kerülő kérelmeket tartalomjegyzékkel és folyamatos oldalszámozással lássák el!

Kérjük továbbá, hogy a kérelmeket kétoldalas nyomtatásban (1 eredeti és 4 másolati példányban ) és elektronikus formában is (CD-n vagy a

[email protected] címre) juttassák el hozzánk.

I. Adatlap

1. A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe

Szegedi Tudományegyetem

6270 Szeged, Dugonics tér 13.

2. Kari tagozódású felsőoktatási intézmény esetén a képzésért felelős kar megnevezése

Természettudományi Kar

3. Az indítandó mesterszak megnevezése

Matematikus mesterszak

4. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése

Okleveles matematikus

5. Az indítani tervezett és oklevélben szerepeltetni kívánt szakirány(ok) megnevezése

szakirány nincs

6. Az indítani tervezett képzési formák (teljes idejű, részidejű, székhelyen kívüli, távoktatás)

teljes idejű képzés

7. A képzési idő a félévek, valamint az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma

4 félév, 120 kredit

az összóraszámon (összes hallgatói tanulmányi munkaidőn) belül a tanórák (kontaktórák) száma, figyelemmel a hatályos Ftv. 33.§. (1) bekezdésére, amely a teljes idejű képzésnél félévenként legalább 300 tanórát határoz meg. (Ha a tervezett egyéb [esti, levelező tagozatos] képzési forma képzési ideje eltér a nappali tagozatos képzés idejétől, akkor – félévekben, tanórákban – azt is meg kell adni.)

1200 tanóra

a szakmai gyakorlat időtartama és jellege (ha van).

szakmai gyakorlat nincs

8. A szak indításának tervezett időpontja (figyelembe véve az engedélyezési eljárás időtartamát)

4

mailto:[email protected]




2008. szeptember 1.

9. A szakért felelős oktató megnevezése és aláírása

…………………………………….Dr. Totik Vilmos

egyetemi tanár, akadémikus

10. Dátum, és az intézmény felelős vezetőjének megnevezése és cégszerű aláírása

Szeged, 2007. június

…………………………………….Dr. Szabó Gábor

egyetemi tanár, az SZTE rektora

11. Az adatlap mellékletei A szenátus támogató javaslata

Mellékelve A mesterszak képzési és kimeneti követelményeit (KKK) tartalmazó leírás

(A szaklétesítési beadvány MAB által támogatott változata alapján közzétett OM / OKM dokumentum.)Mellékelve

Felhasználói kapcsolatok és vélemények (amennyiben a felhasználói szféra jól azonosítható)Nincs mellékelve

5

ÚTMUTATÓa mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához

II.A szakindítási kérelem indoklása, a továbblépés körülményei

A képzési kapacitás bemutatása(Legfeljebb 2-5 oldal terjedelemben)1. A szak képzési és kutatási előzményei az intézményben. Intézményi képzési előzmények

esetén az indítandó szak kimenetének és a korábbi egyetemi végzettségi színvonalnak az összevetése, a megfelelés konkrét bemutatása. (A korábbi egyetemi képzés tartalmával és kimeneti elvárásaival való összevetés.)

A Szegedi Tudományegyetem Matematikai Tanszékcsoportját, a Bolyai Intézetet 1921-ben alapította a matematikai analízis két világhírű kutatója, Riesz Frigyes és Haár Alfréd. Riesz a funkcionálanalízis egyik megalapítója, Haár pedig az ortogonális sorok és a folytonos csoportok elméletének egyik legkiválóbb művelője volt. Mindketten meghatározó alakjai a 20. századi matematikának. Riesz Frigyes, tanítványával, Szőkefalvi-Nagy Bélával közösen írt, “Leçons d’analyse Fonctionelle” című monográfiáját számos nyelvre lefordították, és matematikusok generációi tanulták belőle a funkcionálanalízis elemeit. Az Intézet professzori arcképcsarnokában a fentiek mellett olyan nagy nevek szerepelnek, mint Radó Tibor, Kerékjártó Béla, Szőkefalvi-Nagy Gyula, Kalmár László, Rédei László, Fodor Géza és Tandori Károly.

A Bolyai Intézet jelenleg a következő hat tanszékből áll: Algebra és Számelmélet, Alkalmazott és Numerikus Matematika, Analízis, Geometria, Halmazelméleti és Matematikai Logikai, és Sztochasztika. A nagy elődök tevékenységét folytatva, ezeken a tanszékeken több mint 50 oktató dolgozik; 33-an rendelkeznek tudományos fokozattal — közülük 8 a tudományok doktora és további 4 akadémikus. Az Egyetemi Könyvtár a múlt évben költözött az új Tanulmányi és Információs Központ épületébe. Ott a hallgatóság a legkorszerűbb körülmények között jut hozzá a matematikai alapkurzusokhoz szükséges irodalomhoz. Emellett tovább működik a Bolyai Intézet országos jelentőségű, mintegy ötvenezer kötetes matematikai szakkönyvtára is. A matematika oktatásának és kutatásának feltételeihez a Bolyai Intézet kiadói tevékenysége is hozzájárul. A Bolyai Intézet 1922 óta adja ki a Riesz és Haár által alapított Acta Scientiarum Mathematicarum nemzetközi folyóiratot, 1994 óta a Polygon jegyzet- és tankönyvsorozatot, továbbá 1991 óta az azonos nevű matematikai-didaktikai szakfolyóiratot. A 2003-ban létesített korszerű számítógépes kabinet is az oktatás szolgálatára áll.

A hagyományos egyetemi szintű matematikus szak és az alkalmazott matematikus szak jelenleg is működnek egyetemünkön. Mindkét szak előzmény szaknak tekintendő, ugyanis matematikus szakunkon az elméleti matematika mellett az alkalmazásokhoz közelebb álló irányokba is specializálódhatnak a hallgatók, melyek közül a legnépszerűbb a pénzügyi matematika. Az alkalmazott matematikus szak négy éve, a matematikus szak pedig évtizedek óta folyamatosan létező képzési forma a Bolyai Intézetben. A specializálódási lehetőséget 1998-ban vezettük be. Ezen nagy hagyományokkal rendelkező, nemzetközi mércével mérve is magas színvonalú képzések legfőbb értékeit visszük át a lineáris, kétfokozatú képzési rendszerbe amellett, hogy a képzés szerkezetét rugalmasabbá kívánjuk tenni.

A matematikus mesterképzési szakon szerzett végzettség megfelel a jelenleg működő matematikus (egyetemi szintű) szaknak. Az új képzés a régiben oktatott ismeretek kb. 70 %-át tartalmazza, a 30 %-os eltérés a diploma piacképesebbé tételét szolgálja. A mesterképzésben részt vett matematikusok (hasonlóan a jelenlegi matematikus szakos hallgatókhoz) biztosítják a szakember-utánpótlást azokon a területeken, ahol a matematika alkalmazásainak magas szintű használata szükséges konkrét gyakorlati problémák megoldásához, valamint felsőoktatásunk magas szintű utánpótlását szolgáltatják.

6


2. Az új típusú szakon végzők iránti regionális és országos igény prognosztizálása, a foglalkoztatási igény lehetőség szerinti bemutatásával/dokumentálásával.

Az indítandó matematikus mesterszakon végző hallgatók iránti regionális és országos igény hirtelen változásoktól mentes és jól prognosztizálható. Mindez megbízhatóan állapítható meg az előzmény szakok, valamint a matematika fejlődési vonulatának elemzéséből. A matematika szerepét — szemben sok más tudománnyal és szakmával — nagyfokú stabilitás jellemzi. Már az ókorban tudománynak számított a mai mércével mérve is. Az eltelt több mint kétezer év óta töretlenül fejlődik. Fejlődése jórészt a többi tudomány előremenetelével kapcsolatos, sokszor pedig a belső fejlődés során nyert tételek találnak váratlanul fontos alkalmazásra. A matematika szerepe a kutatásban napjainkban is nő. George W. Bush, az Egyesült Államok elnöke 2006-ban, az Unió helyzetéről tartott beszédében meghirdette az Amerikai versenyképességi kezdeményezés című programot, amelyben lényeges költségvetési növekedést javasolt az alapkutatások területén, különös tekintettel a matematikai és fizikai tudományokra. Az Európai Unió jelenlegi irányelvei szerint a tagállamokban erősíteni kívánják a matematika és a természettudományok szerepét. Ezek jól példázzák, hogy a világban a matematika egyre fontosabb szerepet tölt be, így a méltán világhírű hazai matematika tudományos szerepe aligha fog hanyatlásnak indulni a közeljövőben.

Az egyre szigorodó gazdasági-piaci körülmények között a gazdasági szféra biztonsággal működni kívánó egységeinek szükségük van matematikára. Például a biztosítók díjtételeinek megállapításához a kockázatok elemzésében és a matematikai statisztika módszereiben magas szinten járatos szakemberek alkalmazása szükséges. Sok matematika kell műszaki, számítógépes és közgazdasági területeken is. A Délalföldi Régióban számos munkahely foglalkoztat matematikusokat. Ide sorolhatók az ismert rangos kutatóintézeteken (SZBK, Gabonatermesztési Kutató Kht, Bay Zoltán Intézet) kívül a MATÁV, a NOKIA, a Siemens-SYSDATA regionális fejlesztő központjai, valamint egyes kisebb hazai szoftverfejlesztő cégek (pl. SCRIPTUM) is. A felsoroltak az informatikusok mellett már most is alkalmaznak néhány olyan, az Egyetemünkön végzett matematikust, akiknek a bonyolult problémák matematikai műveltséget igénylő áttekintése a munkaköri feladata. A közelmúltban két nagyhírű nemzetközi cég, a Morgan Stanley és a Hewitt Associates alapított Magyarországon elemző és kutatóközpontot, aminek egyik legfontosabb oka a nálunk képzett matematikusok jó híre a világban. Mindkét cég megkereste Intézetünket, és vett fel matematikusokat induló csapatába végzős hallgatóink közül. Elsősorban a mély és jól megalapozott matematikai tudással rendelkező szakembereket keresik.

A matematikus mesterképzés (hasonlóan a korábbi matematikus és alkalmazott matematikus képzéshez) biztosítja a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket igénylő alkalmazási területeken, az oktatói utánpótlást a felsőoktatás számára, továbbá a szakma kutatói utánpótlását is.3. Az indítandó mesterszak hallgatóinak a kutatás-fejlesztésre, illetve a doktori képzésre

való felkészítésének, valamint a doktori képzésre való továbblépés lehetőségének bemutatása.

Az SZTE Doktori Intézetének keretében 1992 óta működik a Matematikai és Számítástudományi Doktori Iskola. Évente a 3-4 legtehetségesebb hallgatónk kerül be a doktori képzésbe, többnyire a tudományos diákköri munkát végző hallgatók közül. A doktori képzésben tanítványaink általában a diplomamunkájuk témájában kutatnak tovább, ami a képzési rendszer szerves egységét mutatja. Úgy gondoljuk, hogy ez a matematikus mesterképzés beindítása után is így lesz. A Bolyai Intézet rendszeresen szervez és a jövőben is szervezni fog különböző témakörökben kutatói szemináriumokat, amin tehetséges hallgatóink részt vehetnek és előadást tarthatnak. Eredményeiket nemzetközi konferenciákon

7


is bemutathatják, amit a Bolyai Intézet mind szakmailag, mind anyagilag támogat. A mesterképzés időtartama alatt — akárcsak jelenleg — lehetőség lesz a szűkebb, specializáltabb szakterületeken megrendezett nyári iskolákon való részvételre, ami tovább mélyíti az érdeklődő hallgatók szakmai ismereteit. Az ezeken való részvételt — lehetőségeinkhez képest — anyagilag is támogatjuk. Jellemző, hogy a doktori képzésbe bekerülő hallgatók közül többnek már van megjelent tudományos publikációja, amit oktatóink szakmai irányítása mellett írt. Ennek a több évtizedes hagyománnyal rendelkező szakmai mentori tevékenységnek az eredménye, hogy intézetünk mindig is ki tudta termelni oktatói és kutatói utánpótlását.4. A kiemelkedő képességű hallgatók alkalmasságát figyelő, azt előmozdító, „tehetség-

gondozó” tevékenység beépítésére vonatkozó elképzelések, ill. intézkedések bemutatása.

A Bolyai Intézetben nagy hagyománya van a tudományos diákköri tevékenységnek, melynek keretében a hallgatók elmélyíthetik ismereteiket egy adott területen, és önálló kutatómunkát végezhetnek. Évente számos TDK dolgozat születik Intézetünkben, melyek legnagyobb része továbbjut az országos fordulóra, ahol már sok díjat és kitüntetést nyertek hallgatóink. Oktatóink szakmai és témavezetői tevékenységükkel támogatják a diákköri tevékenységet. Az idei OTDK-n a négy matematikai szekcióból háromban szegedi lett mind az első, mind a második helyezett.

A képzés ideje alatt hallgatóinknak lehetősége van az ERASMUS program keretein belül külföldi egyetemeken eltölteni egy-egy szemesztert. Ilyen cserekapcsolataink vannak olaszországi, németországi, finnországi és romániai egyetemekkel. Jelenleg minden évben átlagosan 8-10 hallgatónk utazik így részképzésre, amivel az egyetemi mezőnyben a hallgatói mobilitás szempontjából a legjobbak közé tartozunk. ERASMUS kapcsolatainkat a mesterfokú képzésben részt vevő hallgatók a jövőben is igénybe vehetik.

Hallgatóink rendszeresen részt vesznek és sikeresen szerepelnek hazai és külföldi matematika versenyeken. A versenyekre való felkészülésüket feladatmegoldó kurzusokkal, válogató és pontversenyekkel, a részvételt pedig kísérőtanár biztosításával és — lehetőségeinkhez mérten — anyagi hozzájárulással segítjük. A londoni University College által megrendezett IMC Matematika Versenyen hallgatóink számos trófeát gyűjtöttek be. Ki kell emelnünk a 2004. évet, amikor egyik hallgatónk kiemelt I. díjat (Grand First Prize), másikuk I. díjat kapott. A 2005. és a 2006. évi Schweitzer-versenyt az összes kitűzött feladat hibátlan megoldásával úgy nyerte meg egy hallgatónk, hogy második díjat nem is adtak ki. A Bolyai Intézet évtizedek óta és a jövőben is szervez általános és középiskolai szakköröket és versenyeket (ilyen pl. a Szőkefalvi-Nagy Gyula-verseny), illetve évente általános iskolai tehetséggondozó tábort is. Az is hagyomány, hogy a tehetséggondozás a felsőoktatási évek alatt több szinten folyik. Az alapképzésben például legtehetségesebb diákjaink számára magasabb kreditszámú kiemelt előadásokat tartunk a legfontosabb kötelező tárgyakból, melyekhez kiemelt gyakorlatok is tartoznak.

A fentiekből bőven kitűnik, hogy az 52 fős, hat tanszékből álló Bolyai Intézet nemcsak magas kutatói potenciált képvisel, hanem kiemelkedő matematikaoktatói tapasztalatokkal és tudással rendelkezik. A hallgatóink számára — hasonlóan az eddigi gyakorlathoz — kötelezően választható matematikai tárgyak igen széles skáláját kínáljuk a mesterképzés keretében is. Ez lehetőséget nyújt arra, hogy a Bolyai Intézet kutatási irányainak megfelelő területeken a hallgatók megismerhessék a legmodernebb eredményeket és módszereket, és a legjobbak be is kapcsolódhassanak a kutatómunkába. Ezeket a kurzusokat a normál kurzusok esetében megszokottnál kisebb hallgatói létszám esetén is megtartjuk.

8


5. A felsőoktatási intézmény képzési kapacitásának bemutatása az érintett képzési területen, illetve szakon. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként bemutatva.

A matematikusok iránti igény becslését megkönnyíti, hogy ez a pálya soha nem volt felkapott divatszakma, mindig is az elhelyezkedési lehetőséget mérlegelő elhivatottak választották. Egyetemünkön a 2003-2004-es tanévre összesen 22 matematikus és alkalmazott matematikus szakos hallgató iratkozott be, a 2004-2005-ös tanévre 35-en nyertek felvételt, a 2005-2006-os tanévben pedig 31 matematikus és 17 alkalmazott matematikus hallgató kezdte meg nálunk tanulmányait. Az új képzési rendszerben, 2006-ban a matematika alapszakunkra 94 hallgató iratkozott be. Megfigyelhető, hogy a beiratkozottak száma emelkedő tendenciát mutat. Azt is figyelembe kell venni, hogy az induló mesterszakra a nem matematika alapszakon végzettek közül is jelentkezhetnek hallgatók. A kétciklusú képzésnek és a korábban bevezetett kreditrendszernek éppen az az egyik lényegi eleme, hogy megkönnyíti a tanulmányok és a diplomák egymásra épülését. A bemeneti lehetőségek bővülése magával fogja vonni a matematikus mesterképzési szakra jelentkező hallgatók számának növekedését. Ennek alapján azt lehet prognosztizálni, hogy a matematikus mesterképzési szakra jelentkezők száma az alapszakok beindulása után 3-4 évvel (mikor már jelentős számban lesznek alapszakokon végzett hallgatók) meg fogja haladni a jelenlegi matematikus szakra jelentkezők létszámát.

Mindezek alapján a matematikus mesterszakon képezendő (és azt követően a megszerzett tudást pályaorientáció nélkül ténylegesen hasznosító) hallgatók száma Szegeden várhatóan évi 20 körül lesz. A matematikus szakon képzési kapacitásunkat évfolyamonkénti 40 hallgatóra becsüljük.

9


III.A mesterképzési szak tanterve és a tantárgyi programok leírása

A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása

1. A szak tantervét táblázatban összefoglaló, krediteket is megadó, óra és vizsgaterv Ha vannak szakirányok, azok bemutatása, kredit-tartalommal is. Az idegen nyelven folyó képzés tantervi táblázatát, a tantárgyak leírását a tervezett

idegen nyelven is mellékelni kell. Amennyiben az idegen nyelven folyó képzés tanterve nem azonos a magyar nyelvű képzésével, úgy az eltéréseket részletesen be kell mutatni.

Elméleti alapozás (20 kredit)A hallgatónak, előtanulmányaitól függően, előírjuk bizonyos matematika alapszakos tárgyak elvégzését az alábbiak közül (dőlt szedés jelzi azokat a tárgyakat, amelyeket az SZTE matematika alapszakán — esetleg a tanári szakirány kivételével — minden hallgató elvégez):

TÁRGY ea. gy. lab. szám.k. kr. felelős oktató

Absztrakt algebra 2 2 K+Gyj 5 B. Szendrei MáriaAlgebra és alkalmazásai 2 2 K+Gyj 5 Czédli Gábor Komplex és valós függvénytan 4 3 K+Gyj 8 Kérchy LászlóKözönséges differenciálegyenletek 2 2 K+Gyj 5 Krisztin TiborKonvex és diszkrét geometria 3 2 K+Gyj 6 Kincses János Differenciálgeometria 3 2 K+Gyj 6 Kurusa ÁrpádValószínűségelmélet 4 1 K+Gyj 6 Csörgő SándorMatematikai statisztika 3 1 K+Gyj 5 Krámli AndrásStatisztikai programcsomagok 0 0 2 Gyj 2 Viharos LászlóKombinatorika 3 0 K 4 Hajnal PéterHalmazelmélet és matematikai logika 3 0 K 4 Totik Vilmos 26 15 2 52

Várakozásunk szerint a matematikus mesterszakra többségében olyan hallgatók jelentkeznek majd, akik elvégezték a matematika alapszak alkalmazott matematikus vagy matematikus szakirányát. Ezért a hálóterv számukra készült. Az elméleti alapozásra félretett 20 kreditet ők választható matematikai tárgyak teljesítésével szerzik meg. A hálótervben megnevezett tárgyak a szakmai törzstárgyak, teljesítésük a szakot végző összes hallgató számára kötelező.

Hálóterv(óra- és vizsgaterv):

TÁRGY ea. gy. szám.k. kr. felelős oktató

1. FélévCsoportelmélet 2 2 K 5 B. Szendrei MáriaFunkcionálanalízis 2 1 K 4 Kérchy LászlóDifferenciálható sokaságok és topológia 2 2 K 5 Kurusa Árpád

10


TÁRGY ea. gy. szám.k. kr. felelős oktató

Diszkrét matematika 2 2 K 5 Hajnal PéterBevezetés az elméleti fizikába 2 0 K 3 Fehér László

Kötelezően választható matematika tárgyak 8

10 7 30 2. Félév

Testelmélet és Galois-elmélet 2 1 K 4 B. Szendrei Mária

Parciális differenciálegyenletek 2 2 K 5 Krisztin TiborGeometriai struktúrák 2 1 K 4 Fodor FerencSztochasztikus folyamatok 3 1 K 5 Csörgő Sándor

Kötelezően választható matematika tárgyak 12

9 5 30

3. Félév

Kötelezően választható tárgyak a differenci-ált szakmai ismeretek témaköreiből 17

Szabadon választható tárgy 3 Diplomamunka Gyj 10

0 0 30

4. Félév

Kötelezően választható tárgyak a differenci-ált szakmai ismeretek témaköreiből 17

Szabadon választható tárgy 3 Diplomamunka Gyj 10 0 0 30

11


2. Tantárgyi programokAz egyes tantárgyak keretében elsajátítandó ismeretanyag rövid, (néhány soros) leírása, valamint minden tantárgyhoz a tantárgyfelelős, az előtanulmányi feltételek, a kredit feltüntetése, és a 3-5 legfontosabbnak ítélt kötelező, illetve ajánlott irodalom (jegyzet, tankönyv) felsorolása.

Törzsanyag

Elméleti alapozás (20 kredit)

Algebra alapjai

Absztrakt algebra2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: B. Szendrei MáriaTematika: Véges halmaz permutációi. Csoport definíciója, az asszociativitás és az invertálhatóság következményei; nevezetes példák. A részcsoport, izomorfizmus, homomorfizmus fogalma és alapvető tulajdonságai, példák. Cayley tétele. Hatványozás csoportban, az elemrend definíciója és tulajdonságai. Generátorrendszer, ciklikus csoportok. Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange tétele. Normálosztó, normálosztó szerinti mellékosztályozás, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Faktorcsoport részcsoportjai. Egyszerű csoportok, az alternáló csoportok egyszerűsége. Csoportok direkt szorzata, direkt fölbontása; a véges Abel-csoportok alaptétele.A gyűrű definíciója, nevezetes példák. Ideál, ideál szerinti osztályozás, faktorgyűrű. Gyűrűelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Gyűrűk direkt szorzata, a maradékosztálygyűrűk direkt fölbontása. Egyszerű gyűrűk, a főideálgyűrűk faktortestei. Integritástartomány hányadosteste. Test karakterisztikája, prímteste. Egyszerű algebrai és egyszerű transzcendens testbővítés, minimálpolinom, végesfokú testbővítés.Absztrakt algebrai alapfogalmak: művelet, algebra, részalgebra, generátorrendszer, homomorfizmus, izomorfizmus, kongruencia, kompatibilis osztályozás, faktoralgebra. Homomorfiatétel.Irodalom:Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985., 1988., JATE Press, 1993., 1998., Polygon 2005.Csákány Béla: Algebra, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1973,…,1995. Fried Ervin: Algebra I, II, Tankönyvkiadó, 2000, 2002.Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993. Schmidt Tamás: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.

Algebra és alkalmazásai2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: Absztrakt algebraTárgyfelelős: Czédli GáborTematika: Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja. Sajátaltér. Euklideszi terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Önadjungált és ortogonális leképezések, ortogonális mátrixok. Spektráltétel és következményei kvadratikus alakokra és szimmetrikus mátrixokra. Unitér terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Normális és unitér leképezések, unitér mátrixok.

12


Spektráltétel. Polinommátrixok ekvivalenciája és kanonikus alakja. Hasonló mátrixok. Lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel. Mátrixok Jordan-féle normálalakja.Az algebrai számelmélet elemei: algebrai és transzcendens számok, algebrai egészek, kvadratikus testek. Kvaterniók, a természetes számok fölbontása négyzetszámok összegére, a Waring-problémakör. Polinom felbontási teste. Véges testek és algebrai kódok. Prímtesztek, RSA titkosítás. Véges automaták és reguláris nyelvek.Irodalom:Czédli Gábor, Boole-függvények, JATEPress, Szeged 1994, 89 oldal; Polygon, Szeged, 1995.D.K. Fagyejev, I.S. Szominszkij: Felsőbb algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973, Typotex, 2000. Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998. Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.

Analízis alapjai

Komplex és valós függvénytan4+3 óra, 8 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Kérchy LászlóTematika: Komplex függvények differenciálhatósága, a Cauchy-Riemann-egyenletek.Harmonikus függvények. Törtlineáris függvények. Nevezetes egész függvények: az exponenciális és a trigonometrikus függvények, hatványsoraik és inverzeik. A görbe menti integrál. A Cauchy-féle integráltétel és integrálformula, Morera tétele.Analitikus függvények és tulajdonságaik: hatványsorba fejtés, zéróhelyek, a Maximum-tétel, Liouville tétele, a Schwartz-féle lemma. Az Algebra alaptétele. Analitikus függvények egyenletesen konvergens sorozatai. Laurent sorok, az izolált szinguláris helyek osztályozása. A Reziduum-tétel, a reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására. Mérték, mértéktér, mérték kiterjesztése félalgebráról szigma-algebrára, külső mérték. Mérhető és integrálható függvények. Az integrál és tulajdonságai. Konvergenciatételek: Lebesgue tételei, Fatou lemmája. Borel-mértékek, regularitás, Luzin tétele. Pozitív Borel-mértékek megadása az egyenesen és Rn-en, a Lebesgue-féle mérték. A Riemann- és a Lebesgue-integrál kapcsolata. Mértékterek szorzata, Fubini-tétel, végtelen sok valószínűségi mértéktér szorzata. Függvényterek, a Hölder- és a Minkowski-egyenlőtlenségek, a Riesz-Fisher-tétel. Banach-terek, Hilbert-terek, Hilbert-tér duálisa. Komplex mértékek, a teljes változás mérték. A Radon-Nikodym-tétel, Lebesgue-felbontás, Hahn-felbontás.Irodalom:Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2007.Kérchy László: Hilbert terek és operátoraik, Polygon, Szeged, 2003.Sarason, D.: Notes on complex function theory, Hindustan Book Agency, New Delhi, 1998.Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon, Szeged, 2002.Komplex és valós függvénytan

Közönséges differenciálegyenletek2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Krisztin TiborTematika: A kezdetiérték-probléma megoldásának létezése és egyértelműsége, folytathatósága.

13


Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek és rendszerek megoldásainak tere; alaprendszer, alapmátrix, Wronski-determináns. Konstansvariáció. Konstans együtthatós egyenletek és rendszerek.Autonóm rendszerek, szimmetrikus differenciálegyenlet-rendszerek pályái. Első integrálok. Kapcsolat az elsőrendű parciális differenciálegyenletekkel. Egyensúlyi helyzet stabilitása, aszimptotikus stabilitása. Ljapunov tételei. Konzervatív mechanikai rendszer egyensúlya. Stabilitásvizsgálat az első közelítés alapján. Egyensúlyi helyzet stabilis és instabilis halmaza. A matematikai inga fázissíkja: súrlódásmentes eset, a súrlódás hatása.Irodalom:L.Sz. Pontrajagin, Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1970.Terjéki József, Differenciálegyenletek, Polygon, 1997.M. Hirsh, S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press, 1974.

Geometria alapjai

Konvex és diszkrét geometria3+2 óra, 6 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Kincses JánosTematika: Konvexitás, Chratheodory tétel, Radon tétel, Helly tétel. Szeparációs tételek. Konvex halmazok polaritása, lapok és extremális részhalmazok. Hausdorff metrika, a konvex halmazok terének lokális kompaktsága. Politop approximáció. Konvex halmazok térfogata, felszíne, Cauchy formula. Minkowski összeg, Brunn-Minkowski egyenlőtlenség. Steiner formula, izoperimetrikus tétel. Invariáns mérték az altereken, konvex test vetületeinek ill. metszeteinek integrálja. Poliéderek algebrai leírása, a linearis programozás alapfeladata, Farkas lemma. Politopok laphálója, felső korlát tétel. Politopok kombinatorikus típusa, Steinitz tétele. Poliéderek merevsége, Cauchy tétele. Legsűrűbb körelhelyezések. Gömbi geometria: metrika, trigonometria, területmérés, izometriacsoport és ennek diszkrét részcsoportjai. Projektív geometria: Harmonikus pontnégyes, Homogén koordináták. Másodrendű görbék végtelen távoli pontjai. Konjugáltság, pólus, poláris. Desargues és Pappos síkok és koordinátázhatóságuk. Másodrendű görbék és felületeket, polaritások.Irodalom:Szabó Zoltán: Bevezető fejezetek a geometriába,H.G.Eggleston: Convexity, Cambridge Univ. Press 47, (1958).B.Grünbaum: Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967. P.M. Gruber, J.M.Wills: Convexity and its applications, Birkhauser, 1983. Kiss Gy.-Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon, 2001.

Differenciálgeometria3+2 óra, 6 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Kurusa ÁrpádTematika: Görbék síkban: körülfordulási tétel.Görbék magasabb dimenziókban és síkban: Görbületek, görbék alaptétele.A felület definíciója, paramétervonalak, érintősík, vektormezők, iránymenti derivált, kovariáns deriválás, Christoffel szimbólumok, párhuzamosság. Felületi görbék, geodetikus görbület, geodetikusok, differenciálegyenletek és extremalitás, exponenciális leképezés, Weingarten leképezés, normálgörbület, Euler-tétel, Gauss és Minkowski görbület. Lie zárójel, Jacobi azonosság, indukált leképezés, folyam, Gauss és Codazzi Mainardi egyenlet, Riemann

14


görbület, Bianchi egyenletek, Theorema egregium, Stokes tétel, Gauss-Bonnet tétel, Euler karakterisztika.A sokaság definíciója, érintőtér, vektormező, Lie-derivált, kovariáns deriválás, Christofel-szimbólumok, torzió, Riemann-görbület.Riemann-metrika, Levi-Civita kovariáns deriválás, görbe és ívhossza, geodetikusok, szorzatgörbület, konstansgörbületű terek. Lie-csoportok: invariáns vektormezők, Lie-algebra, exponenciális leképezés.Irodalom:Szőkefalvi Nagy Gyula – Nagy Péter – Gehér László: Differenciálgeometria;B.A. Dubrovin – A. T. Fomenko – S. P. Novikov: Modern Geometry – Methods and applications Part I.-II.; S. Kobayashi – K. Nomizu: Foundations of differential geometry; Kurusa Á.: Bevezetés a Differenciálgeometriába, Polygon, 1999;

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai

Valószínűségelmélet4+1 óra, 6 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Csörgő SándorTematika: Eseményalgebrák, Kolmogorov-féle valószínűségi mezők: mértékek szigma-additivitása és folytonossága. Véletlen változók és vektorváltozók eloszlása és eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos eloszlások és sűrűségfüggvényeik, szinguláris eloszlások, Lebesgue dekompozíció. Események, eseményosztályok és véletlen változók függetlensége. Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlásfüggvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével. Független kísérletek és szorzat valószínűségi mezők. Várható érték és tulajdonságai, szórás, momentumok. Kovariancia és korrelációmátrix, lineáris függetlenség, transzformációk. A többdimenziós normális eloszlás. Sztochasztikus, majdnem biztos, és Lp-konvergencia; kapcsolatuk, valószínűségi metrikák. Nagy számok gyenge és erős törvényei: Kolmogorov és Etemadi tételei. A Kolmogorov-féle 0-1 törvény és következményei. Független véletlen változók végtelen sorainak konvergenciája: a Kolmogorov-féle három-sor tétel. Mértékek gyenge konvergenciája és kapcsolata a sztochasztikus konvergenciával, eloszlásbeli konvergencia. Karakterisztikus függvények és tulajdonságaik: inverziós formulák, unicitástétel, momentumok és sorfejtés, a Lévy-Cramér folytonossági tétel, nevezetes eloszlások karakterisztikus függvényei, a Cramér-Wold lemma. A centrális határeloszlás-tétel: Lévy, Ljapunov és Lindeberg tételei. Aszimptotikus elhanyagolhatóság, Feller tétele. Momentum konvergenciatétel, a Stirling formula mint a centrális határeloszlás-tétel következménye. Többdimenziós centrális határeloszlás-tételek. Az extrémumelmélet elemei: maximumok határeloszlásának típusai. A feltételes valószínűség és feltételes várható érték általános fogalma és tulajdonságaik: konvergencia-tételek, Jensen-egyenlőtlenség, a teljes valószínűség és várható érték tételének általános formája. Martingálok és szemimartingálok: megállasi idők, opciós mintavételi tétel, felmetszés-egyenlőtlenség, martingál konvergencia tétel, martingál centrális határeloszlás-tétel.Irodalom:Tandori Károly: Valószínűségszámítás , JATE jegyzet, Szeged, 1973.Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.W. Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978.Prékopa András: Valószínűségelmélet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972.Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András és Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény, Tankönyv-kiadó, Budapest, 1971.

15


Matematikai statisztika3+1 óra, 5 kreditElőfeltétel: ValószínűségelméletTárgyfelelős: Krámli AndrásTematika: Statisztikai minta, mintavételezés. Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény és az ezekre alapozott becslések; a Glivenko-Cantelli-tétel. Elégségesség, a Fisher-Neyman faktorizációs tétel, exponenciális családok. Fisher-információ, együttes Fisher-információ, statisztikák információja, információ és paramétercsere. Pontbecslések elmélete: torzítatlanság, hatásosság, megengedhetőség, minimaxitás, konzisztencia. Rao-Blackwell-tétel, teljesség, Cramér-Rao-egyenlőtlenség. Becslési módszerek: a momentum-módszer, a minimális távolságok módszere, a maximum-likelihood becslés. A maximum-likelihood becslés aszimptotikus tulajdonságai: konzisztencia, aszimptotikus normalitás és hatásosság. Bayes-becslések: megengedhetőség, minimax tulajdonság, torzítatlanság. Konfidencia intervallumok szerkesztése egzakt és aszimptotikus módszerekkel. A statisztikai hipotézisvizsgálat alapfogalmai. A Neyman-Pearson-lemma. A próba erejének aszimptotikája. A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák: u-, t- és F-próba, a Fisher-Bartlett-tétel. Tiszta és becsléses illeszkedésvizsgálat. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése és azok tulajdonságai. Regresszió és lineárisi regresszió. Becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellekben.Irodalom:Vincze István: Matematikai statisztika ipari alkalmazásokkal, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1968. Tandori Károly: Matematikai statisztika, JATE jegyzet, Szeged, 1974.Bolla Marianna, Krámli András: Statisztikai következtetések elmélete, Budapest, Typotex, 2005.Móri Tamás, Szeidl László és Zemplényi András: Matematikai statisztika példatár, Budapest, ELTE Eötvös K., 1997.Prékopa András: Valószínűségelmélet műszaki alkalmazásokkal, Műszaki Kiadó, Budapest, 1972

Statisztikai programcsomagok0+0+2 óra, 2 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Viharos LászlóTematika: Számítógépes statisztikai programcsomagok működésének általános ismertetése, az SPSS, SAS, S+, Statistica, R, BMDP programcsomagok. Ezek alkalmazása konkrét adathalmazok statisztikai vizsgálatára: adatbevitel, adatmanipuláció, ábrák, grafikonok tervezése, alapstatisztikák számítása. Véletlenszám generálás. Illeszkedésvizsgálatok, grafikus tesztek, khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogenitás- és függetlenség-vizsgálatra, becsléses illeszkedésvizsgálat. Minta átlagára vonatkozó hipotézisek tesztelése, több független minta átlagának összehasonlítása. Gyakorisági táblázatok készítése. Egy és többváltozós regresszióanalízis, lineáris regresszió, korlátos rangú regresszió, ridge-regresszió. Szórásanalízis. Többváltozós statisztikai módszerek: főkomponens analízis, faktoranalízis, klaszteranalízis, kanonikus korrelációanalízis. Idősor analízis.Irodalom:Csendes Tibor: Bevezetés a számítógépes statisztikába, NOVADAT, Szeged, 2001.Füstös László és Kovács Erzsébet: A számítógépes adatelemzés statisztikai módszerei. Tankönyvkiadó Budapest, 1989.Walter Jahn és Hans Vahle: A faktoranalízis és alkalmazása. KJK, Budapest, 1974.Kerékgyártó Györgyné és Mudruczó György: Statisztikai módszerek a gazdasági elemzésben. KJK, Budapest, 1987.Székelyi Mária és Barna Ildikó: Túlélőkészlet az SPSS-hez. Typotex Kiadó, Budapest, 2002.

16


Egyéb alapozó tárgyak

Kombinatorika3+0 óra, 4 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Hajnal PéterTematika: Binomiális és polinomiális tétel. Alapvető leszámlálási eljárások. Szitaformula. Generátorfüggvények módszere. Rekurzív sorozatok. Gráfelméleti alapfogalmak. Speciális gráfok, tulajdonságaik. Gráfok színezése, az ötszíntétel. Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele. Euler-vonal, Hamilton-kör. Síkba rajzolható gráfok jellemzése. Fák, Kruskal-algoritmus. Lineáris algebra és gráfok. Algoritmikus és bonyolultsági kérdések a kombinatorikában és gráfelméletben.Irodalom:Hajnal Péter: Összeszámlális problémák, Polygon jegyzettár, Szeged, 1997. Hajnal Péter: Gráfelmélet, Polygon jegyzettár, Szeged, 1997.

Halmazelmélet és matematikai logika3+0 óra, 4 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Totik VilmosTematika: Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája. Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal. Rendezett halmazok, hasonlóság, rendtípus, jólrendezett halmazok. Kiválasztási axióma. Transzfinit indukció és rekurzió. Rendszámok és összehasonlításuk. Logikai műveletek, az ítéletkalkulus formulái. Igazságfüggvények, Boole-függvények. Normálformák. Levezetések. Az ítéletkalkulus teljességi tétele. Kompaktsági tétel. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. Az elsőrendű logika kifejezései és formulái. Levezetések, ellentmondásmentesség. Teljességi és nemteljességi tétel.Irodalom: Hajnal András és Hamburger Péter, Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983. [A tematika többé-kevésbé megfelel a tankönyvben az I. résznek.]Csirmaz László, Matematikai logika, Tankönyvkiadó, 1994, Kalmár László, A matematika alapjai II. kötet, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1977, Urbán János, Matematikai Logika, példatár, Műszaki Könyvkiadó, 1987, Totik Vilmos, Matematikai Logika, vázlat.

Szakmai törzsanyag (40 kredit)A szakmai törzstárgyak teljesítése minden hallgatók számára kötelező.

Algebra és számelmélet

Csoportelmélet2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: B. Szendrei MáriaTematika: Permutációcsoportok, a Cayley-ábrázolás általánosítása. Csoport automorfizmusai, szemidirekt szorzat.Konjugáltság, normalizátor, centralizátor, centrum. Osztályegyenlet, Cauchy-tétel, Sylow-tételek. Véges p-csoportok.Nilpotens, ill. feloldható csoportok. A véges nilpotens csoportok jellemzése.

17


Szabad csoportok, definiáló relációk. Szabad Abel-csoportok. A végesen generált Abel-csoportok alaptétele.Lineáris csoportok. A projektív speciális lineáris csoport egyszerűsége.Irodalom:Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998., Polygon 2005.Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó, 1973,…,1995.Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.K.G. Kuros: Csoportelmélet, Akadémiai Kiadó, 1955.Schmidt Tamás: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993

Testelmélet és Galois-elmélet2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: CsoportelméletTárgyfelelős: B. Szendrei MáriaTematika: Egyszerű algebrai, ill. egyszerű transzcendens testbővítés, algebrai ill. transzcendens testbővítés.Végesfokú bővítés, fokszámtétel. Felbontási test, normális testbővítés. Véges testek. Tökéletes testek és végesfokú bővítéseik. Test algebrai lezártja.Galois-csoport, a Galois-elmélet főtétele. Radikálbővítés. A gyökjelekkel való megoldhatóság jellemzése. Ruffini-Abel-tétel. Gyökjelekkel megoldhatatlan racionális együtthatós algebrai egyenlet létezése.Algebrai feltétel geometriai alakzat szerkeszthetőségére körzővel és vonalzóval.Irodalom:Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998., Polygon 2005.Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó, 1973,…,1995.Czédli Gábor: Szerkeszthetőségi feladatok, JATE Press, 2001.Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Geometriai szerkeszthetőség, Polygon, 1997.Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.

Analízis

Funkcionálanalízis2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Kérchy LászlóTematika: Hilbert-tér, altér ortogonális komplementere. Ortonormált rendszerek, Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, a teljesség jellemzése, Hilbert-tér dimenziója. Fourier-sorok, Riemann-Lebesgue-lemma, Fejér tétele, a trigonometrikus rendszer teljessége. Banach-terek, korlátos lineáris transzformációk, Banach-tér duálisa, reflexivitás.Az Lp terek duálisai, folytonos függvények terének duálisa, Hilbert-tér duálisa.Hahn-Banach-tétel, Banach-limesz. Nyílt leképezések tétele, Zárt gráf tétel, Banach-Steinhaus-tétel és következményeik.Gyenge topológiák. Stone-Weierstrass-tétel.Irodalom:Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2007.Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003.Leindler László: A funkcionálanalízis elemei, JATE Kiadó, 1988.Rudin, W.: Real and complex analysis, McGraw Hill Book Co, New York, 1966.Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, 1972.

18


Parciális differenciálegyenletek2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyelelős: Krisztin TiborTematika: A matematikai fizika modellegyenleteire kitűzött kezdeti érték-problémák egzisztencia, unicitás és stabilitás-vizsgálatai (húrrezgés, hővezetés, Laplace-egyenlet és transzformáltjaik) korlátos ill. nemkorlátos idő-változó esetén. Cauchy-problémák analitikus megoldásai, „kezdeti érték”-feltételek nem karakterisztikus állású felületeken.Félvégtelen ill. véges húrok rezgései (reflexiós módszer, Fourier-módszer, a Duhamel-elv). Membránok rezgései. Többdimenziós alakzatok rezgései, hullámterjedés páros és páratlan térdimenziókban; a leereszkedés módszere; a megoldások simasági vizsgálata.Hővezetési és diffúziós problémák. Maximum-minimum elv általános lineáris és nemlineáris parabolikus egyenletekre. Forrásfüggvény és szerepe a hővezetés egyenletére kitűzött Cauchy-probléma megoldásának előállításában; a Poisson-integrál, hőpotenciálok. A megoldások simaságának vizsgálata. Stacionárius hőeloszlás, a Laplace-egyenlet és alapmegoldása. Harmonikus, szuper- és szubharmonikus függvények. A Green-függvény. A belső Dirichlet-probléma megoldása tetszőleges dimenziós gömbben (a Poisson-formula). Harnack tételei, a Harnack-egyenlőtlenség, a Liouville-tétel; harmonikus függvények sorozatai. A külső és belső Dirichlet- és Neumann-problémák unicitásvizsgálata.Általánosított megoldások, energia módszerek.Feladatok megoldása a Fourier-módszerrel, Laplace- és Fourier-transzformálttal.Irodalom: Petrovszkij I.G.: Előadások a parciális differenciálegyenletekről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955;Vlagyimirov V.Sz.: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979;Tyihonov A.N., Szamarszkij A.A.: A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956;Simon L., E.A. Baderko: Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.Vlagyimirov V.Sz.: Parciális differenciálegyenletek. Feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980.

Geometria

Differenciálható sokaságok és topológia2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Kurusa ÁrpádTematika:Topológiák lokális és globális megadási módjai, bázis, szubbázis, környezetbázis, lezárási operátor, Moore-Smith-konvergencia, konvergenciaosztályok. Altér, szorzattér, faktortér, folytonosság. Metrikus terek, fixponttételek, teljes térbe való beágyazás, Baire-kategória-tétel. Reguláris, normális terek, Uriszon-tétel, Tietze-tétel. Kompaktság.A sokaság definíciója, érintőtér, vektormező, Lie-derivált, kovariáns deriválás, Christofel-szimbólumok, torzió, Riemann-görbület. Riemann-metrika, Levi-Civita-kovariáns deriválás, görbe és ívhossza, geodetikusok, szorzatgörbület, konstansgörbületű terek. Szimpliciális felbontások. Kompakt felületek osztályozása. Homotópia. Sima sokaságok, tenzorok és differenciálformák. A d-operátor és Stokes tétele, bevezetés a de Rham-elméletbe. Gauss-Bonnet-tétel.Irodalom: B.A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry – Methods and applications I.- II.S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of differential geometry.Kurusa Á.: Bevezetés a Differenciálgeometriába, Polygon, 1999.H. Schubert, Topológia, Műszaki Könyvkiadó, 1986.

19


Geometriai struktúrák2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Fodor FerencTematika:Véges geometriák. Illeszkedési struktúrák. Projektív és affin síkok. Galois-geometriák. Kombinatorikai és csoportelméleti módszerek geometriai alkalmazásai. Véges algebrai geometria. Kódelméleti alkalmazások. Izometria-csoport geometriája. Politopok geometriája, konvexitás. Az euklideszi geometria véges halmazaiból kiválasztható speciális alakzatok (kollineáris pontok, konvex sokszögek), illetve ezek száma. Helly-típusú tételek, transzverzálisok. Megvilágítási és fedési problémák. Rácsok, rácsszerű elrendezések.Irodalom: Kiss Gy., Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon 2001.Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.V. Boltyanski, H. Martini, P. S. Soltan, Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, 1997.

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

Sztochasztikus folyamatok3+1 óra, 5 kreditElőfeltétel: Statisztikai programcsomagok, Valószínűségelmélet, Matematikai statisztikaTárgyfelelős: Csörgő SándorTematika: Véletlen bolyongások, visszatérés, Pólya tétele. Az arkusz-szinusz tétel. A feltételes valószínűség és feltételes várható érték általános fogalma és tulajdonságaik: konvergencia-tételek, Jensen-egyenlőtlenség, a teljes valószínűség és várható érték tételének általános formája. Feltételes sűrűségfüggvény, reguláris feltételes eloszlás. Martingálok és szemimartingálok: megállasi idők, opciós mintavételi tétel, felmetszés-egyenlőtlenség, martingál konvergencia tétel, martingál centrális határeloszlás-tétel. Diszkrét idejű, általános állapotterű Markov-láncok. A Bienaymé-Galton-Watson elágazó folyamat: momentumok, kihalási tétel, konvergencia. Folytonos idejű sztochasztikus folyamatok. A Poisson-folyamat. Kolmogorov egzisztenciatétele. Szeparábilis és mérhető változatok. Folytonos változatok konstrukciója. Folytonos Gauss-folyamatok egy osztálya, Wiener-folyamat, Brown-mozgás, Ornstein-Uhlenbeck folyamat. Empirikus folyamatok és a Brown-híd. A Wiener-folyamat tulajdonságai: differenciálhatatlanság, négyzetes variáció, reflexió, a szuprémum eloszlása, az iterált logaritmus tétel. Korlátlanul osztható eloszlások. Független növekményű folyamatok, Lévy-folyamatok.IrodalomI. I. Gikhman , A. V. Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1975.P. Billingsley: Probability and Measure, Third Edition, Wiley, New York, 1995. K. L. Chung: A Course in Probability Theory, Academic Press, New York, 1974. K. Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press, 2005.

Diszkrét matematika

Diszkrét matematika2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: KombinatorikaTárgyfelelős: Hajnal PéterTematika: Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Gráfok és hipergráfok színezései, perfekt gráfok. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen

20


módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény. Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek.Irodalom:Hajnal Péter, Gráfelmélet, 2. kiadás, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2004.Lovász László, Kombinatorikai problémák és feladatok, Typotex kiadó, Budapest, 1999.Hajnal Péter, Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2005.

Egyéb szakmai törzstárgy

Bevezetés az elméleti fizikába2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Fehér LászlóTematika: Mechanika: A tömegpont mechanikája: A mechanika és a kinematika alapfogalmai. A Newton-féle mozgástörvények. A Newton-törvények egyszerű alkalmazásai, mozgás egy dimenzióban, a harmonikus oszcillátor.Pontrendszerek mechanikája: A tíz megmaradási törvény. A kéttest probléma és a Kepler-Coulomb-probléma.Kötött rendszerek: kényszererők, d’Alembert-elv. Analitikus mechanika: Lagrange-függvény, extremális hatás elve. Noether tétele a szimmetriákról, a Galilei-csoport. Hamilton-függvény, kanonikus mozgásegyenlet, fázistér, fázisáram, Liouville tétele, Poisson-zárójel. Kis reszgések harmonikus közelítése. Merev testek mechanikája: A kinematika és a tehetetlenségi tenzor, mozgásegyenletek. A kontinuumok mechanikájának alapjai. Kitekintés: az analitikus mechanika modern matematikai megfogalmazásának vázlatos ismertetése.Kvantummechanika: Alapfogalmak: Történeti bevezetés. A kvantummechanika alapvető axiómái és matematikai hátterük. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció. A kanonikus kvantálás. A Schrödinger-egyenlet: Az alapegyenlet, az időfejlődés mint unitér transzformáció. Áthatolás pontenciállépcsőn, az alagútjelenség. A kváziklasszikus WKB-közelítés. Szabad és kötött állapotok a potenciálvölgyben. A harmonikus oszcillátor. Az implulzusmomentum és az atom szerkezete: Az impulzusmomentum algebrája és ábrázolásai. Pálya impulzusmomentum, gömbfüggvények. A hidrogénatom spektruma. Szimmetriák a kvantummechanikában. Azonos részecskék, bozonok és fermionok, Pauli-elv.Az atomszerkezet és a periódusos rendszer. Perturbációelmélet és szórás: Az időtől független perturbációszámítás.Az időtől függő perturbációszámítás. Szórás és a Born-féle első közelítés. Kitekintés: Kvantummechanika és funkcionálanalízis, unitér csoportábrázolások, kvantálási módszerek.Irodalom:Stauffer D., Stanley H.E.: Newtontól Mandelbrotig. Bevezetés az elméleti fizikába. Springer Hungarica, Budapest 1994. Landau L. D., Lifshitz E. M.: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest 1974.Landau L. D., Lifshitz E. M.: Kvantummechanika, Tankönyvkiadó, Budapest 1978.Arnold V.I.: A mechanika matematikai módszerei, Műszaki Kiadó, Budapest, 1985.Bohm, A.: Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Third Edition, Springer, New York, 1993.

21


Differenciált szakmai anyag (34 kredit)

A felsorolt tárgyak a Bolyai Intézetben folyó kutatások témaköreinek alapismereteit fedik le, és széles választékot kínálnak a hallgatók számára. Várhatóan a tárgyak egy részét rendszeresen, azaz legalább kétévente meghirdetjük, másik részét pedig a hallgatóság érdeklődésének függvényében esetleg csak ritkábban.

Az előírt kreditszám úgy teljesítendő, hogy a következő ismeretkörök közül legalább háromból választandó ismeretanyag min. 10-10 kredit értékben.

Algebra

Félcsoportelmélet2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: B. Szendrei MáriaTematika: Transzformáció-félcsoportok, félcsoportok ábrázolása transzformációkkal. Ciklikus félcsoportok, szabad félcsoportok. Ideál és Rees-kongruencia.Green-relációk, D=J a periódikus, ill. bizonyos minimumfeltételeknek eleget tevő félcsoportokban, a D-osztályok szerkezete, Green tétele. Reguláris elem, inverzelem, reguláris D-osztályok. Lallement lemmája.Egyszerű félcsoportok, főfaktorok. Rees tétele teljesen egyszerű félcsoportokra.Teljes reguláris félcsoportok "nagybani" szerkezete, csoportok félhálóinak "finom" szerkezete.Inverz félcsoportok, Wagner-Preston-tétel, Munn-tétel, McAlister tételei.Irodalom:John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon, 1995.

Hálóelmélet2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: Czédli GáborTematika: Háló fogalma, dualitás, teljes háló, fixponttétel. Algebrai hálók és részalgebrahálók. Disztributív hálók. Birkhoff és Stone reprezentációs tétele, a véges disztributív hálók szerkezete. Birkhoff és Dedekind kritériuma. A három elem által generált szabad moduláris és disztributív háló kongruenciái. Moduláris hálók: intervallumok izomorfiatétele, elemfelbontások, független elemrendszerek. Geometriai hálók és komplementumos moduláris hálók. Projektív geometriák mint moduláris hálók. Hálók koordinátázása. Hálóvarietások.Irodalom:Czédli Gábor: Hálóelmélet, JATE Press, 1999.

Univerzális algebra2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: Maróti MiklósTematika: Algebra, kifejezésfüggvény, polinomfüggvény. Részalgebra. Izomorfizmus, homomorfizmus. Kongruenciareláció, faktoralgebra. Homomorfiatétel, általános izomorfiatételek. Direkt szorzat, további szorzatfajták. Szubdirekt fölbontás, Birkhoff tétele. Lezárási operátorok, lezárási rendszerek. Kísérő struktúrák (endomorfizmus-monoidok,

22


automorfizmus-csoportok, részalgebra-hálók, kongruenciaháló). Szóalgebra, szabad algebra. A H, S, P lezárási operátorok algebraosztályokon. Varietások, Birkhoff varietástétele, s kapcsolat a szóalgebrák teljesen invariáns kongruenciáival. Birkhoff-féle teljességi tétel. Magari tétele. Varietások ekvivalenciája. Azonosságokkal jellemezhető tulajdonságok varietásokon. Malcev és Pixley tétele. A modulusvarietások jellemzése. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. Ultraszorzat, kompaktsági tétel. Speciális varietások (pl. monounáris varietások, minimális varietások, diszkriminátorvarietások).Irodalom:Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998., Polygon 2005.S. Burris, H.P. Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó, 1988.

Rendezett halmazok2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: Zádori LászlóTematika: Soros-párhuzamos rendezett halmazok. Dilworth láncokra bontási tétele. Rendezett halmazok dimenziója. Véges disztributív hálók és rendezett halmazok kapcsolata. Sperner típusú tételek. Lebontható rendezett halmazok és a fixponttulajdonság. Rendezett halmazok aritmetikája. Irreducibilis rendezett halmazok. Rendezett halmazok varietásai.Irodalom:K. Bogart, R. Freese, J. Kung (szerk.): The Dilworth's theorems, Birkhauser, 1990.D. Duffus, I. Rival: A structure theory for ordered sets, Discrete Math. 35(1981), 53-118.P. Grillet: Maximal clone chains and antichains, Fund. Math. 65(1969), 157-167.W.T. Trotter: Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins University Press, 1992.J. Valdes, R.E. Terjan, E.L. Lawler: The recognition of series parallel digraphs, SIAM J. Comp. 11(1982), 298-313.

Kódoláselmélet2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: Czédli GáborTematika: Shannon tétele jó hibajavító kódok létezéséről. Véges testek. Lineáris kódok, generátor- és paritásellenőrző mátrix. Hamming-, Hadamard-, Golay- és Reed-Muller-kódok. Ciklikus kódok. BCH kódok és hibajavító dekódolásuk. Reed-Solomon-kódok. QR (kvadratikus maradék) kódok. Hibajavító kódok a digitális audiotechnikában.Néhány klasszikus rejtjelrendszer. DES. Charmicael-számok és prímtesztek (Miller-Rabin, Solovay-Strassen). Nyilvános kulcsú titkosírások: RSA, Diffie-Hellman-kulcsváltás, Massey-Omura-rejtjelrendszer, ElGamal. Az RSA kvadratikus test feletti verziója (Williams). Elliptikus görbéken alapuló titkosírások.A megbízhatóság kérdései: prímfaktorizáció (rho-módszer, Fermat-faktorizáció, lánctörteken alapuló módszer), diszkrét logaritmus meghatározása (Sylvester-Pohlig-Hellman- és az indexkalkulus-módszer), nagyhatékonyságú és párhuzamos számítási módszerek a kriptológiában.Irodalom:Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995. S. A. Vanstone, P. C. van Oorschot: An Introduction to Error correcting Codes with applications, Kluwer, 1989. A. Salomaa: Public-Key Cryptography, Springer-Verlag, 1990. H. C. A. van Tilborg: An Introduction to Cryptology, Kluwer, 1989. Sakai, Yasuyuki and Sakuray, Kouichi: Timing attacks against a parallelized RSA implementation. IPSJ J. 45 (2004), 1813-1822.

23


Reguláris félcsoportok2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: FélcsoportelméletTárgyfelelős: B. Szendrei MáriaTematika: Reguláris félcsoportok kongruenciái: kongruenciák magja és nyoma, a kongruenciaháló, speciális kongruenciák. Teljesen reguláris félcsoportok finom szerkezete, Lallement tétele, kötegek. Inverz félcsoportok: E-unitér inverz félcsoportok, fedési tétel, P-tétel. Ortodox félcsoportok: Hall-félcsoportok, E-unitér reguláris félcsoportok. Lokálisan inverz félcsoportok: Pastijn és McAlister fedési tételei. Reguláris félcsoportok és birendezett halmazok. Reguláris félcsoportok általánosításai.Irodalom:Grillet: Semigroups: An introduction to the structure theoryHowie: Fundamentals of Semigroup TheoryLawson: Inverse Semigroups: The Theory of Partial SymmetriesPetrich: Inverse Semigroups

Félcsoportosztályok univerzális algebrai vizsgálata2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: FélcsoportelméletTárgyfelelős: B. Szendrei MáriaTematika: Félcsoportvarietások hálója, fontos részhálói, véges bázis tulajdonság, szóprobléma. Szabad teljesen reguláris félcsoportok, a teljesen reguláris félcsoportok varietásainak hálója, a kötegvarietások hálója. Szabad inverz félcsoportok, az inverz félcsoportok varietásainak hálója. Nincs szabad reguláris ill. szabad ortodox félcsoport. Reguláris félcsoportok egzisztenciavarietásai, biszabad objektumok, lokálisan inverz és ortodox félcsoportok egzisztenciavarietásai. Véges félcsoportok pszeudovarietásai, provéges objektumok.Irodalom:Almeida: Finite Semigroups and Universal AlgebraHowie: Fundamentals of Semigroup TheoryPetrich: Inverse SemigroupsPetrich, Reilly: Completely Regular Semigroups

Hálók koordinátázáselmélete2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: HálóelméletTárgyfelelős: Czédli GáborTematika: Geometriai hálók. Geomoduláris hálók és projektív geometriák jellemzése. A Desargues-tétel hálóelméleti megfelelői. Desargues-féle geometriai hálók (direkt tényezőinek) koordinátázása. Neumann-keretek és az általuk generált komplementumos moduláris hálók koordinátázása. Huhn-gyémánt. Az n-disztributív hálók elmélete. Huhn-gyémánt által prezentált szubdirekt irreducibilis hálók. Gyémánt (illetve keret) által generált Desargues-féle hálók koordinátázása. Neumann-féle dimenziófüggvény. Lineáris hálók bizonyításelmélete.Irodalom:Crawley, Dilworth: Algebraic Theory of LatticesGrätzer: General Lattice TheoryNeumann: Continuous GeometriesHerrmann: On the arithmetic of projective coordinate systems, Transaction of the Amer. Math. Soc. 284 (1984), 759-785.

Klónok

24


2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Univerzális algebraTárgyfelelős: Szabó LászlóTematika: Absztrakt klónok és műveletklónok. Galois-kapcsolatok. Relációklónok és műveletklónok kapcsolata, Baker-Pixley-tétel. Nevezetes teljességi tételek: általános Lagrange-interpoláció véges testekben, Werner-Wille-tétel, Sheffer-Webb-tétel, Slupecki-tétel, Salomaa-tétel. Véges halmazok klónhálói; Janov-Mucnik-tétel. Maximális klónok; Post-tétel. Rosenberg-tétel és néhány alkalmazása: McKenzie-tétel, a minta-függvények teljessége. Sheffer-függvények; Rousseau-tétel. Minimális klónok. Swierczkowski lemmája. Rosenberg típus-tétele. Primitív pozitiv klónok; Kuznyecov-tétel.Irodalom:Csákány: Klónok (Függelék Burris-Sankappanavar Bevezetés az univerzális algebrába c. könyvéhez)Pöschel, Kaluzsnyin: Funktionen- und RelationenalgebrenSzendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra

Véges algebrák2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Univerzális algebraTárgyfelelős: Zádori LászlóTematika: Primál algebrák és általánosításaik. A primál algebrák Stone-Hu-féle dualitás-elmélete. A term-feltétel, Abel-féle algebrák, McKenzie tétele (kongruencia-fölcserélhető varietás szigorúan egyszerű algebráiról). Lokálisan véges varietások. Varietás spektruma. Relációklónok és szabad algebrák kapcsolata. Véges azonosságbázisú algebrák. Post és Lyndon tételei, a Lyndon-féle grupoid, a Murszkij-féle grupoid, örökletesen nem-végesbázisú algebrák. Pálfy-Pudlák-tétel, Pálfy tétele. Minimális algebrák, a szelíd kongruenciák elméletének elemei.Irodalom:Burris, Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrábaMcKenzie, McNulty-Taylor: Algebras, Lattices, VarietiesSzendrei Ágnes: Clones in Universal AlgebraHobby, McKenzie: The Structure of Finite Algebras

Analízis

Banach-algebrák és operátorelmélet2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Kérchy LászlóTematika: Hilbert-térbeli operátorok; szorzás-, integrál- és eltolás-operátorok. Adjungálás; normális, önadjungált és unitér operátorok. Ortogonális projekciók. A kompakt operátorok kétoldali ideálja. Banach-algebrák, a spektrum fogalma és tulajdonságai, spektrálsugár. A Riesz-Dunford-féle függvénykalkulus. Operátor sajátértékei és approximatív sajátértékei. Kompakt operátor spektruma. Gyenge és gyenge-$*$ topológiák, a Banach-Alaoglu-tétel. Kommutatív Banach-algebra spektruma, a Gelfand-transzformáció. $C^*$-algebrák, a Gelfand-Najmark-tétel. Függvénykalkulus $C^*$-algebra normális elemére, pozitív elem négyzetgyöke. Az erős és a gyenge operátor-topológiák. A spektrálmérték fogalma, a spektrálmérték szerinti integrálás. Függvényalgebra reprezentációjának spektrálintegrállal való előállítása. A spektráltétel normális operátorra.

Irodalom:

25


Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003.Riesz Frigyes-Szőkefalvi-Nagy Béla: Funkcionálanalízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.

Fourier-sorok2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Németh ZoltánTematika: Fourier-sor, együtthatók tulajdonságai. Banach-tér, homogén Banach-tér, szummációs magfüggvények. Példák, $C, C^n, L^p, L^\infty, {\rm Lip}\ \alpha$ terek. A Fourier-sor normában szummálhatósága, trigonometrikus polinomok sűrűsége, unicitástétel, Riemann-Lebesgue-lemma. A Fejér- és a Dirichlet-magfüggvény. Lokális konvergencia, Fejér és Lebesgue tételei. Fourier-együtthatók nagyságrendje (sinus-sor, cosinus-sor, $f\in{\rm Lip}\ \alpha$). Lipschitz-feltétel, folytonossági modulus. Lokális konvergencia, Dini-, Dini-Lipschitz-tételek. Lokalizációs tétel. Következmények. Fejér példája. Divergenciahalmazok. Az abszolút konvergencia feltételei. Abel-összegzés, konjugált sor, konjugált függvény. A Fourier-sor és a konjugált sor eltérő viselkedése. Függvény és konjugált függvény viselkedése, a konjugált sor és a normában való konvergencia.Irodalom:J. Katznelson, Introduction to harmonic analysisA. Zygmund, Trigonometric series I-II.

Ortogonális sorok2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Németh ZoltánTematika: Súlyfüggvény szerinti $L^2$ tér, Riesz-Fischer-tétel, ortogonalizáció, Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-formula. Az általános Fourier-együtthatók nullkonvergenciája. A trigonometrikus rendszer, Legendre- és Csebisev-féle polinomok, tulajdonságaik. A Rademacher-, Walsh- és Haár-rendszerek és tulajdonságaik. A Haár-rendszer Dirichlet-féle magja, a Haár-sor konvergenciája. Ortogonális polinomrendszerek szerinti sorok, Christoffel-Darboux-formula, Dini-Lipschitz-feltétel. A lokális konvergencia és a Lebesgue-függvény, a trigonometrikus és a Haár-rendszer Lebesgue-függvénye. Olevskii eredményei egyenletesen korlátos ONR Lebesgue-függvényéről. Részsorozatok konvergenciája, a Haár- és a Walsh-rendszer kapcsolata. A majdnem mindenütt való konvergencia, a Rademacher-Menysov tételkör. A Tandori-féle norma tulajdonságai. A feltétel nélküli konvergencia. Teljes ONR szerinti sorok divergenciája, a Haár-rendszer $\omega$-árendezése.Feltétel nélküli és abszolút konvergencia feltételei, a Haár-sor szerepe. A Kolmogorov-Seliverstov-Plessner tételkör.Irodalom:Alexits Gy., Convergence problems of orthogonal series, Olevskii, Fourier series with respect to general orthogonal systems.

Differenciálegyenletek és numerikus megoldásuk2+1+1 óra, 5 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Krisztin Tibor Tematika: Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris egyenletek. A karakterisztikák módszere. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása. A Laplace-egyenlet, a hővezetés egyenlete és a hullámegyenlet megoldása a Fourier-módszerrel. Maximumelvek elliptikus és parabolikus egyenletekre. Peremérték-feladatok, Cauchy-probléma.

26


Közönséges differenciálegyenletek megoldásának numerikus módszerei. Az egylépéses módszerek általános elmélete, Runge-Kutta-módszerek. Lineáris többlépéses módszerek, implicit formulák használata, prediktor-korrektor módszerek. A konzisztencia, stabilitás és konvergencia vizsgálata. Peremérték-feladatok lineáris közönséges differenciálegyenletekre. A célzás módszere, a véges differenciák módszere. Képlet- és kerekítési hibák együttes hatásának vizsgálata. Gyengén diagonálisan domináns és irreducibilis mátrixok, monoton mátrixok.Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása a véges differenciák módszerével. A Ritz- és Galjorkin-típusú módszerek.Programcsomagok használata.Irodalom: I. G. Petrovszkij, Előadások a parciális differenciálegyenletekről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955.V.Sz. Vlagyimirov, Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.A.N. Tyihonov, A.A. Szamarszkij, A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956.N. Sz. Bachvalov, A gépi matematika numerikus módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. Móricz Ferenc, Differenciálegyenletek numerikus módszerei, Polygon Jegyzettár, Szeged, 1998.

Numerikus matematika2+1+1 óra, 5 kreditElőfeltétel:–Tárgyfelelős: Móricz FerencTematika: Mátrixok ortogonális triangularizációja. Mátrixok ortogonális hasonlósági transzformációja felső Hessenberg-alakra. A QR- és az RTR-algoritmus. Mátrixok általánosított inverze, annak kiszámolása ortogonális triangularizációval és particionálással. Lineáris egyenletrendszerek az általánosított inverz alkalmazásával. Nemlineáris egyenletrendszerek a többváltozós Newton-Raphson-módszerrel. A Bairstow-módszer konjugált komplex gyökpárok kereseésére. Függvények minimalizásása lejtő módszerekkel. Vonalmenti minimumkeresés. Lineáris egyenletrendszerek megoldása gradiens és konjugált gradiens módszerrel. Függvények közelítése köbös spline-okkal. Periodikus függvények négyzetes közelítése. A gyors Fourier-transzformáció. Programcsomagok használata. Irodalom: N. Sz. Bachvalov, A gépi matematika numerikus módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. Móricz Ferenc, Numerikus módszerek az algebrában és analízisben, Polygon Jegyzettár, Szeged, 1997. J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis, Springer, New York, 1992.

Alkalmazott analízis2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel:–Tárgyfelelős: Hatvani LászlóTematika: Többváltozós és vektorértékű függvények. Többszörös integrál, vonalintegrál, felületi integrál. Green-tétel, Gauss-tétel, Stokes-tétel. Az integrálszámítás fizikai és műszaki alkalmazásai. Fourier-sorok. Ortogonális polinomok, sorfejtések. Trigonometrikus és ortogonális polinomsorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Az approximációelmélet elemei. Stone-tétel, Bohmann-Korovkin-tétel. Interpoláció. Spline-függvények. Fourier- transzformált, Laplace-transzformált és alkalmazásaik (diszkrét és folytonos idejű jelek spektrálelőállítása, jelek rekonstrukciója, átviteli függvény, differenciálegyenletek megoldása.)

Irodalom:Brian Davies, Integraltransforms and Their Applications, Springer, 2002.

27


R. Courant, F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Springer, 1989.W. Rudin, A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1978.Szász Pál, Differenciál- és integrálszámítás elemei, I-II, Typotex, 2000.Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Polygon, 1998.

Dinamikus rendszerek2+2 óra, 5 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Krisztin TiborTematika: Kétdimeziós autonóm rendszerek, a Poincaré-Bendixson-tétel. Nyeregpont tulajdonság, stabil, instabil és centrális sokaságok. Stabilitáselmélet. Periodikus megoldások stabilitása, Poincaré-leképezések, orbitális stabilitás. Strukturális stabilitás, generikus tulajdonságok. Attraktorok. Lagrange-egyenletek, Hamilton-vektormezők. Diszkrét dinamikai rendszerek. A körvonal leképzései, kvadratikus leképezések, periodikus pontok bifurkációi, Smale-féle patkó. Irodalom: V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1978;A differenciálegyenletek elméletének geometriai fejezetei, Műszaki Könyvkiadó, 1988;M.W. Hirsch and S. Smale: Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, Academic Press, 1974;S. Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer, New York, 2003. M. Brin and G. Stuck, Introduction to dynamical systems, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.

Nemlineáris dinamika és káosz2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Krisztin TiborTematika: Invariáns sokaságok. Periodikus pályák. Első integrál. Poincaré-leképezések. Centrális sokaságok. Normálformák vektormezőkre és leképezésekre. A Smale-féle patkó. Szimbolikus dinamika. A Conley és Moser feltételei káoszra. Kétdimenziós leképezések dinamikája homoklinikus pályákhoz közel. Háromdimenziós vektormezők homoklinikus pályái. Melnyikov módszere periodikus vektormezőkre. Ljapunov-kitevők, numerikus becslésük. Káosz és különös attraktorok. Irodalom: S. Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer, New York, 2003. J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer, New York, 1983.

Bifurkációelmélet2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Krisztin TiborTematika: Vektormezők egyensúlyi helyzeteinek bifurkációja. Nyereg-csomó, transzkritikus és vasvilla-bifurkációk. A Poincaré-Andronov-Hopf-bifurkáció.Leképezések fixpontjainak bifurkációi. Nyereg-csomó, transzkritikus és vasvilla-bifurkáció. Perióduskettőző bifurkáció. Neimark-Sacker-bifurkáció.Centrális sokaságok, normálformák. A bifurkáció kodimenziója.Numerikus módszerek, programcsomagok alkalmazása.

Irodalom: Y. A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory, Springer, New York, 2004.

28


S. Wiggins, Global bifurcations and chaos. Analytical methods, Springer, New York, 1988.

Irányításelmélet2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Hatvani LászlóTematika: Néhány irányításelméleti modell a természettudományok, a műszaki tudományok és a közgazdaság területéről. Az irányításelmélet matematikai megfogalmazása. Összefüggés a variációszámítással. Lineáris optimálisirányítás-elmélet. Egzisztenciatételek konvexségi feltételekkel. A maximumelv lineáris egyenletekre. Az optimális irányítás létezése nem-konvex esetben. Maximumelv a nem-lineáris esetre. Másodrendű rendszerekre való alkalmazás. Optimális szabályozás Kraszovszkij módszerével. Szabályozások, irányítások stabilitása. Alkalmazások. Szimmetrikus rakéták optimális szabályozásáról. Adaptív rendszerek.Irodalom:E. B. Lee, L. Markus , Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, 1966.L. D. Berkovitz, Optimal Control Theory, Springer, 1974.J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, 1972.

Mechanika2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Hatvani LászlóTematika: Kényszerek; holonóm és anholonóm rendszerek. A Hamilton-féle variációs elv. Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek. Nemlineáris rezgések; a kis rezgések elmélete. A merev test mechanikája. A Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek. A Poincaré-Cartan-féle invariáns integrál. Hamilton-Jacobi-elmélet. Egyensúlyi helyzet és stacionárius mozgás stabilitása. Különböző típusú erők hatása a stabilitásra. Az optimális stabilizálás problémája. Alkalmazások. Intelligens rendszerek, robotok.Irodalom:V. I. Arnold, Az elméleti mechanika matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1989.Budó Ágoston, Mechanika, Akadémiai Kiadó, 1981.F. Gantmacher, Lectures in Analytical Mechanics, Mir, 1975.H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 1975.D. R. Merkin, Introduction to the Theory of Stability, Springer, 1987.

Stabilitáselmélet2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Hatvani LászlóTematika:Ljapunov-féle stabilitás és aszimptotikus stabilitás. Ljapunov direkt módszere. Barbashin-Krasovszkij-tételek és alkalmazásaik. Lineáris rendszerek stabilitása. Ljapunov-kitevők, spektrum. Stabilis sokaság, invariáns sokaság, centrális sokaság. Periodikus pályák stabilitása. Poincaré-leképezés. Mechanikai egyensúly stabilitása.Irodalom: N. Rouche, P. Habets, M. Leloy, Stabilitáselmélet. Ljapunov direkt rendszere.B. Demidovics, Előadások a stabilitás matematikai elméletéből (oroszul), Nauka, 1967.J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1983.S.-N. Chow, J.K. Hale, Methods of Bifurcation Theory, Springer, 1982.J.K. Hale, H. Kocak, Dynamics and Bifurcations, Springer, 1991.Dinamikus modellezés

29


1+2 óra, 4 kreditElőfeltétel: Közönséges differenciálegyenletekTárgyfelelős: Karsai JánosTematika: A modellezési folyamat elemei. Matematikai modellek építése, vizsgálata, adatok és modellek illesztése. Diszkrét-folytonos, determinisztikus-sztochasztikus modellek. A matematikai és számítógépes eszközök áttekintése példákon keresztül: differenciál- és differenciaegyenletek, sejtautomaták vizsgálata; görbeillesztés; modellek diszkretizálása, linearizálása; minimumkeresés gradiens módszerrel. Rezgések: biológiai, mechanikai és elektromos oszcillátorok: lineáris, nem-lineáris rezgések, csillapítás. Kényszerrezgések, relaxációs oszcillátorok.Vezérlések: Impulzív rendszerek alkalmazásai, állapotfüggő és időkapcsolók.Alkalmazások, modellek az élettudományokból. Populációdinamikai fogalmak, egy fajra vonatkozó modellek. Folytonos és diszkrét modellek, korlátlan-korlátozott élettér, késleltetések megjelenése, térbeliség. Exponenciális, logisztikus növekedés, a Fibonacci-sorozat szerepe a populációdinamikában.Több fajra vonatkozó modellek, kölcsönhatások: együttműködés, versengés, ragadozó-zsákmány modellek. Tér-idő modellek. Foltos élettér: áramlási modellek, rekeszrendszerek. Diffúzió: metapopulációk modellezése sejtautomatákkal, parciális differenciálegyenletekkel, mintázatok kialakulása.Járványok terjedése: Fertőzés érintkezés útján, lappangási idő, nem fertőző időszakok, többfázisú megbetegedések (SIR, SEIR, stb. modellek), oltási (megelőzési, védelmi) stratégiák. Kémiai reakciók, gyógyszerek hatásának, kölcsönhatásának egyszerűbb modelljei.Az előadásokon és gyakorlatokon a modellek matematikai és kísérleti vizsgálata történik előre elkészített számítógépes alkalmazások segítségével. Irodalom:Dreyer, T. P.: Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993,Karsai J.: Impulzív modellek vizsgálata, Mathematica kísérletek, Typotex 2002Leah Edelstein-Keshet: Mathematical Models in Biology, Mc Graw HillMeerrschaert, M.M., Mathematical Modelling, Academic Press, 1999,Murray, D. J.: Mathematical Biology, Springer, 1997.

Harmonikus analízis2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: FunkcionálanalízisTárgyfelelős: Móricz FerencTematika: Holomorf függvények H p terei és Nevanlinna-osztályok a komplex egységkörben. Harmonikus függvények h p terei. h1-beli függvény jellemzése Poisson-Stieltjes-integrállal és peremfüggvényének létezése.A komplex logaritmus függvény holomorf értelmezése. A Jensen- és Poisson-Jensen-formulák. Holomorf függvény zérushelyeinek eloszlása.Blaschke-szorzatok, Riesz Frigyes és Nevanlinna faktorizációs tételei. Belső függvény faktorizációja.N-beli függvény peremfüggvényének létezése. A peremfüggvényhez integrálközépben való konvergencia. h1-beli függvény jellemzése Poisson-integrállal. A Riesz-fivérek tétele. Külső függvény egzisztenciája, kanonikus faktorizáció.A H p terek teljessége és jellemzésük approximációs tulajdonsággal.Irodalom:P. Duren: Theory of , spaces, Academic Press (New York - London, 1970),J. Garnett: Bounded analytic functions, Academic Press (San Diego, 1981),P. Koosis: Introduction to spaces (Cambridge, 1980).

30


Monoton és korlátos változású függvények2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Móricz FerencTematika: Monoton függvény: szakadási helyek száma, tiszta ugrófüggvény létezése. Korlátos változású függvény: Jordan felbontási tétele, a pozitív és negatív változásfüggvény folytonossági helyei. Monoton függvény differenciálhatósága: Riesz Frigyes lemmája és Lebesgue tétele. Példa sehol sem differenciálható folytonos függvényre. Fubini tétele monoton függvények sorának tagonkénti differenciálásáról. Korlátos változású függvény teljes változásfüggvényének differenciálhányadosa. Integrálfüggvény teljes változásfüggvénye és differenciálhányadosa. Példa szigorúan monoton növő, folytonos függvényre, amelynek differenciálhányadosa majdnem mindenütt 0. Integrálfüggvény jellemzése: abszolút folytonos függvény. Monoton függvény kanonikus felbontása. Riemann-Stieltjes-integrál, parciális integrálás, visszavezetés Lebesgue-integrálra. Korlátos változású függvény által indukált véges Borel-mérték. Lebesgue-Stieltjes-integrál.Irodalom:Paul R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat Kiadó (Budapest, 1984)Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó (Budapest)

Többváltozós komplex függvénytan2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Komplex és valós függvénytanTárgyfelelős: Stachó LászlóTematika: ${\bf CC}^n$-beli hatványsorok, Reinhard- tartományok, logaritmikus konvexitás. Véges dimenziós parciális holomorfia, Hartogs tétele. Polinomok vektortereken, Banach-térbeli hatványsorok konvergenciája, komplex Banach-terek leképezéseinek Fréchet- és Gateaux-féle differenciálhatósága, holomorf leképezések Taylor-sora: Hartogs és Zorn tételei, Cauchy-becslések, általánosított maximumelvek, Schwarz-lemma, holomorf leképezések folytathatósága: Riemann szingularitás-megszüntetési tételei, Hartogs-alakzatok. Cél: Az egyváltozós komplex analízis alapvető eredményei ismeretében bevezető a többváltozós és végtelen dimenziós Banach-térbeli komplex függvénytanba. Banach-térbeli korlátos tartományok holomorf automorfizmusai: Cartan unicitástétele, Vigué folytonossági tétele. Carathéodory- és Kobayashi-féle távolságok, infinitezimális Carathéodory- és Kobayashi-féle metrikák. Tartományban teljes holomorf vektormezők Lie-algebrája, korlátos tartomány holomorf automorfizmus csoportjának Banach-Lie-strukturája.Cél: A Banach-térbeli korlátos tartományok holomorf geometriája alapjai. Irodalom:L. Hörmander, Complex Analysis in Several Variables; W. Kaup, Komplex Analysis II (Tübingeni egyetemi jegyzet);Stachó: Többváltozós komplex függvénytan (kézirat).J.-M. Isidro - L.L. Stachó, Holomorphic Automorphism Groups in Banach Spaces (Nort Holland, 1985);H. Upmeier: Symmetric Banach Manifolds (North Holland, 1985).

Topologikus vektorterek és disztribúcióelmélet2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: FunkcionálanalízisTárgyfelelős: Stachó LászlóTematika: Topológiai alapfogalmak: környezetrendszer, környezetbázis, nyitott-, zárt halmaz, topológia. Folytonos leképezések, Hausdorff-tulajdonság, összefüggőség, kompaktság, metrizálhatóság, szeparabilitás. Topologikus algebrai struktúrák, topologikus vektorterek jellemzése 0-környezetbázisokkal, lezárás paralleltartományokal, faktortér topológiája,

31


lineáris leképezések folytonossága.Véges dimenziós topologikus vektorterek, Riesz tétele, véges dimenziós alterek topológiai tulajdonságai. Topologikus vektortér metrizálhatósága, Kolmogorov tétele. A sztochasztikus konvergencia S(0,1) tere. Teljes topologikus terek, Cauchy-rácsok, teljessé tételi konstrukció. Lokálisan konvex terek, lineáris leképezés folytonosságának jellemzése félnormákkal, Hahn-Banach-tétel. Konvex testek, konvex függvények folytonossága, extremális pontok és oldalak, Krein-Milman-tétel. Lokálisan konvex tér teljessé tétele, Fréchet-terek, zárt gráf-tétel. Projektív topológiák, topologikus vektorterek projektív limeszei. T topologikus vektorterek induktív limeszei, direkt összegei. Barrel-terek, lokálisan konvex Baire-terek, Banach-Steinhaus-típusú tételek. Korlátosság, bornológiák, bornologikus terek Mackey tétele. Teljesen korlátosság és kompaktság. A kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények D tere és annak természetes topológiája. Folytonosan differenciálható függvény és deriváltjának modellezése D’-ben, A disztribució fogalma, lokálisan integrálható függvény kanonikus disztribuciója. Disztribuciók deriválása, szorzása sima függvénnyel, disztribució tartója, konvolució kompakt tartójú disztribucióval. Hahn-Banach-típusú és Banach-Steinhaus-típusú tételek D’-re, disztribuciók mint mértékek iterált deriváltjai. A szorzás problémája D’-n, Laurent és Schwarz tétele. Disztribuciók reprezentációja egységapproximáló tesztfüggvény-sorozattal való konvolucióval. Colombeau-féle általánosított függvények, ezek algebrája.Irodalom:H.H. Schaefer, Topological vector spaces, GraduateTexts in Mathematics, Springer, New York-Heidelberg-Berlin, 1971.J. Horváth, Topological vector spaces and distributions, Addison-Wesley Series in Mathematics, Addison-Wesley Publ. Co., Reading-Palo Alto, 1966.J.-F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and theoretical physics. Lecture Notes in Math. 1532, Springer, Berlin, 1992.

Általánosított függvények és alkalmazásaik2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: –Tárgyfelelős: Hegedűs JenőTematika: Lokálisan integrálható függvények mint funkcionálok a tesztfüggvények D(R), D(Rn) terén. Reguláris és nem reguláris általánosított függvények, regularizációk. A D’(R), D’(Rn) disztribúcióterek. Szakadásos függvények deriváltjai. Közönséges és parciális differenciálegyenletek Cauchy problémái disztribúció analogonjai. Nevezetes differenciálegyenletek fundamentális megoldásai. Kompakt tartójú ill. általános disztribúciók reprezentációi. Konvergencia D’-ben. Disztribúciók szorzási problémája; direkt szorzat; konvolúció. A D és D’ terek Z és Z’ Fourier-transzformáltjai. Tetszőleges konstans e.h. lin. diff. operátorok fundamentális megoldásai létezése és megkonstruálása a Hörmander-lépcsőkkel. Peremértékfeladatok D’ analogonjai. Inhomogén PDE megoldása nemkompakt jobb oldal esetén. Korrekt kitűzésű feladatok félterekben. A Szoboljev-terek elméletének elemei.Irodalom:Vlagyimirov: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1979.Simon-Baderko: Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.

Geometria

32


Geometriai analízis2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Kurusa ÁrpádTematika: Radon-transzformáció valós affin téren (invertálhatóság, tartó tételek, Plancherel-formula, Paley-Wiener-tétel, kapcsolat más transzformációkkal), disztribúciók Radon-transzformációja, Radon-transzformáció komplex tartományon, Radon-ranszformáció és differenciálás, Radon-szerű transzformációk konstans görbületű és Lorentz-tereken. Fourier-analízis konstans görbületű tereken, invariáns mérték sokaságokon, invariáns differenciáloperátorok sokaságokon, szférikus transzformáció (szférikus függvénysorok, Paley-Wiener-tétel, inverzformulák).Irodalom: L.A. Santaló: Integral Geometry and Geometric probability.I.M.Gel'fand-M.I.Graev-N.Ya.Vilenkin, Generalized functions I., V.S.Helgason, Groups and geometric analysis.F.John, Plane waves and spherical means.

Algebrai geometria2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Nagy Gábor PéterTematika: Metszési multiplicitás, Bézout-tétel, rezultánsok. Lineáris görberendszerek, a Ceva-tétel és a Menelaosz-tétel általánosításai magasabb rendű görbékre. Harmadfokú görbék, csoportművelet a pontokon. Szinguláris pontok feloldása, kvadratikus transzformációk. Parametrizálás hatványsorral, ágak. Divizorok és differenciálformák, a Riemann-Roch-tétel. Görbe neme (génusz), különböző definíciók a nemre.Irodalom: Kollár János: Algebrai görbék, Mat. Lapok (kb. 1978).Goppa: Geometry and Codes, Kluwer (Math. and its Apll. Ser.), 1998.Hirschfeld-Korchmaros: Algebraic Curves over a Finite Field, Princeton Univ. Press, 2007.

Algebrai topológia2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és Differenciálgeometria Tárgyfelelős: Kincses JánosTematika: Homotópia- és szimpliciális komplexusok. Baricentrikus felbontás és a szimpliciális approximációs tétel. A fundamentális csoport és kiszámítási módjai. A 2-dimenziós triangulálható sokaságok osztályozása. Szinguláris homológiacsoportok és kiszámítási módjai: szimpliciális homológiák, egzakt sorozatok. Homológiák tetszõleges együtthatócsoporttal, a Lefschetz-féle fixponttétel. Kohomológicsoportok és kiszámítási módjaik. Alexader-Poincare-dualitás. CW-komplexusok homotópiaelmélete. Whitehead-tétele és a celluláris approximáció. CW-komplexusok homológia- és kohomológiaelmélete. Hurewitz tétele. Kohomológia-szorzatok.Szimpliciális komplexusok, poliéderek. Baricentrikus felbontás, szimpliciális approximáció, homotópia. Fundamentális csoport, kiszámítási módok. Triangulálható kétdimenziós felületek osztályozása. Szinguláris homológiacsoportok. Kiszámítási módok: szimpliciális homológia, Mayer-Vietoris egzakt sorozat. Racionális homológiák. Lefschetz féle fixponttétel. Kohomológiák és az Alexander-Poincaré-dualitástétel. CW-komplexusok homológia és homotópia elméletének alapjai.Irodalom: S. Eilenberg, N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton, 1952.

33


E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw - Hill, New York, 1966.C.R.F.Maunder, Algebraic Topology, Van Nostrand Reinold, London, 1970.W.S.Massey, Singular Homology Theory, Springer, 1980.H. Schubert, Topológia, Műszaki Könyvkiadó, 1986.

Lie-csoportok2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Ódor TiborTematika: Sima sokaságok, érintőterek és deriváltak, Lie-algebrák; részcsoportok, homogén terek, csoporthatás, pályák; invariáns mérték, metrika; Killing-formák; mátrixcsoportok; kompakt csoportok; projektív terek és Grassmann-sokaságok; csoportok reprezentációja; egyparaméteres részcsoportok és exponenciális leképezés; maximális tórusz, féligegyszerű Lie-csoportok; feloldható és nilpotens csoportok, fedőcsoportok, egyszeres összefüggõség, a Campbell-Hansdorff-formula, Carton tétele, Lie 3. tétele, Gauss- és Iwasawa-felbontás, egyszerű kompakt csoportok univerzális fedőcsoportja.Irodalom: S. Helgason: Differential geometry, Lie groups and symmetric Spaces. Academic Press, 1978.M.A. Naimark, A.I. Stern: Theory of group representations. Spinger Verlag, 1982.V.S. Varadarajan: Lie groups. Lie Algebras, and their representations. Springer Verlag, 1974.A. Baker, Matrix groups, an introduction to Lie groups, Springer, 2002Fulton W., Harris J. Representation theory. A first course, Springer, 1991.

Algoritmikus geometria2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Fodor FerencTematika: Algoritmuselméleti alapfogalmak. Síkrendszerek és pontrendszerek kombinatorikus tulajdonságai. Poliéderek, zonotopok és Voronoi-diagrammok. Alapvetõ geometriai algoritmusok: konvex burok keresése, zárt töröttvonal belsejének meghatározása, ponthalmazok szétdarabolása. Legbővebb konvex részhalmaz keresése. Minimális háromszögek. Pontrendszerek triangulálása. Legközelebbi szomszéd keresése, pontrendszerek alakja. Képtárproblmák. Mozgástervezés.Geometriai problémák megoldása során használt speciális adatstruktúrák. Geometriai keresések. Politopok és síkrendszerek kódolása, permutációs táblák. Ponthalmazok particionálása. Síkrendszerek zónái. Cellarendszerek bonyolultsága. Konvex burok algoritmikus meghatározása két és több dimenzióban. Az eljárások átlagos viselkedése. Lineáris programozás geometriája. Pont helyének meghatározása síkbeli egyenesrendszerben. Legnagyobb konvex részhalmaz. Minimális mértékû szimplexek. Vektorösszeg maximalizálása. Hasonlóság megállapítására szolgáló eljárások. Voronoi-diagramm meghatározása. Pontrendszerek triangulálása, legközelebbi szomszéd megkeresése, minimális feszítõfa, ponthalmazok alakja. Pontrendszerek szeparálása és metszése. Algoritmusok tervezése.Irodalom: H. Edelsbrunner, Algotithms in Combinatorial Geometry, Springer Verlag, 1987.J. O'Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, 1994.F.P.Preparata, M.I.Shamos, Computational Geometry-an Introduction, Springer, New York, 1985.T.H. Corman, C..E. Leiserson, R. Rivest, Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, 1998.Asszociatív algebrák és általánosításaik2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Nagy Gábor Péter

34


Tematika: Kvázicsoportok, loopok és hálózatok. Koordinátázás és záródási tételek. Projektivitások és kollineációk. Moufang- és Bol-loopok és hálózatok. Differenciálható szövetek és hálózatok. Loopok érintőalgebrája. Chern-konnexió. Záródási feltételek jellemzése görbülettel és torzióval. Diffrenciálható Moufang-loopok és Malcev-algebrák.Vektorterek, gyűrűk, algebrák. Asszociativitás. Mátrixalgebrák, reprezentáció. Nilradikál, féligegyszerű és egyszerű algebrák. Reducibilitás, Schur-lemma. Centrális idempotensek, Pierce-felbontás. Artin-Wedderburn-tétel. Alternáló algebrák, kompozícióalgebrák, kvaterniók, oktávok. Hurwitz és Frobenius tételei. Lie-algebrák.Irodalom: M. A. Akivis, A. M. Shelekhov: Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs, Kluwer, 1992.A. Barlotti, K. Strambach: The Geometry of Binary Systems, Adv. in Math, 49, 1983, 1-105.Kiss Gy., Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon 2001.R.D. Schafer, An introduction to nonassociative algebras.K. A. Zhevlakov, A. M. Slin'ko, I. P.; Shestakov, A.I. Shirshov, Rings that are nearly associative.

Coxeter-csoportok2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometriaTárgyfelelős: Gévay GáborTematika: Geometriai motiváció: tükrözéscsoportok mint a szabályos politópok szimmetriacsoportjai. Gyökrendszerek, Cartan-mátrixok. Tükrözéscsoportok standard prezentációja; a Coxeter-komplexus. Véges tükrözéscsoportok osztályozása. Coxeter-gráfok. Wythoff-konstrukció, Wythoff-politópok. Affin Weyl-csoportok, bővített Dynkin-diagramok. Abstract Coxeter-csoportok. Geometriai reprezentáció. Parabolikus részcsoportok. Bruhat-rendezés. Coxeter-csoportok és Lie-elmélet kapcsolata. Coxeter-matroidok. Irodalom: A. Björner, F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, GTM 231, Springer, 2005.Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras, Springer, Chapters 4-6, Springer, 2002. J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.A. V. Borovik, I. M. Gelfand, N. White, Coxeter matroids, Birkhäuser, Boston, 2003.

Konvex politopok kombinatorikája2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Kincses JánosTematika: Politopok laphálója, dualitás. Lapvektor, Dehn-Sommerville-egyenletek. Geometriai shelling. Alsó és felső korlát tételek, kombinatorikus izomorfizmus magasabb dimenzióban. Algebrai módszerek, a Stanley-Reisner-gyűrű. Speciális politoposztályok. Gale-transzformáció. Rácspolitopok. Irodalom: Grünbaum, Convex polytopes.Ziegler, Lectures on polytopes.

Konvex halmazok mértékei2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Fodor FerencTematika: Steiner tétele, konvex halmazok alapmértékei, vegyes térfogatok, Hadwiger-féle karakterizációs tételek, konvex halmazok metszetei és merőleges vetületei, Crofton-formula, Cauchy-formula, izoperimetrikus és izodiametrikus egyenlőtlenségek, általánosított felszín- és görbületi mértékek konvex halmazokon és ezek kiterjesztései, Minkowski-egyenlőtlenség,

35


Alexandrov-Fenchel-egyenlőtlenség, egyenlőtlenségek stabilitása, Minkowski-féle egzisztenciatétel, affin ívhossz, affin felszín, affin izoperimetrikus tétel.Irodalom: Szabó L., Konvex geometria, ELTE jegyzet, 1996.R. Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge University Press, 1993.P. M Gruber, Convex and Discrete Geometry, Springer Verlag, 2007.M. Moszynska, Selected Topics in Convex Geometry, Birkhauser, 2006.Santalo, Integral Geometry and Geometric Probability, Addison-Wesley Publ. Company, 1976.

Differenciáltopológia2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Ódor TiborTematika: Differenciálható struktúrák; differenciálható leképezések és érintőterek; beágyazások és immerziók; határsokaságok; függvényterek: gyenge és erős topológiák $C^r(M,N)$-en; approximáció határsokaságokon és sokaságpárokon; jets és analitikus approximáció; vektornyalábok és cső alakú környezetek; irányított vektornyalábok; közeli részsokaságok; analitikus differenciálható struktúrák; leképezések fokai; Euler-karakterisztika; Morse-elmélet (bevezető); izotópiák; szingularitáselmélet (bevezető); kobordizmusok; egzotikus differenciálható struktúrák.Irodalom: M. Hirsch, Differential Topology, Springer 1976.V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology, 1974.J. Milnor, Morse theory, Princton University Press, 1969.V. I. Arnold, Catasthrope Theory, Springer, 1992.M. Karoubi, C. Leruste, Algebraic Toplogy via Differential Geometry, Cambridge Univ. Press, 1988.

Diszkrét geometria2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Fodor FerencTematika: Rács fogalma, bázis, rács determinánsa, Speciális rácsok, rácsok szimmetriái, Minkowski tételei, Blichfeldt tétele, körök legsűrűbb rácsszerű elhelyezése a síkon, elhelyezés, fedés fogalma, sűrűség bevezetése és tulajdonságai, Dowker tétele, legsűrűbb körelhelyezés és legritkább fedés körökkel, ellipszisek extremalitására vonatkozó tétel, rácsszerű elhelyezések, Fáry tétele, d-dimenziós gömbelhelyezések, Blichfeldt módszere, Rogers-féle szimplex módszer, Minkowski-Hlawka-tétel, Rogers-Shepard-tétel, szukcesszív minimumok.Irodalom: L. Fejes Tóth, Regular Figures, Pergamon Press, 1964.J. Pach, P. Agarwal, Combinatorial Geometry, John Wiley & Sons, Inc., 1995.C. A. Rogers, Packing and Covering, Cambridge University Press, 1964.Reiman I., A geometria és határterületei, Műszaki Kiadó.P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer, 2007.

Hiperbolikus geometria2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Nagy Gábor PéterTematika: Axiómarendszerek a síkon. Euklideszi axiómarendszer. Hilbert-féle axiómarendszer. A Poincaré-féle félsíkmodell. Egyenesek a hiperbolikus síkon. Hiperbolikus távolság, ívhossz, terület. Hiperbolikus mozgáscsoportok. További modellek. A hiperbolikus

36


sík differenciálgeometriai konstrukciója. Konstans negatív görbületű Riemann-felületek. Geodetikusok és konstans görbületű görbék. Különböző paraméterezések és modellek kapcsolata. Gömbi geometria. Trigonometria. Irodalom: Bolyai J., Appendix.J. W. Anderson, Hyperbolic geometry.Schlesinger L., Jubileumi előadások Bolyai János geometriájáról.

Véges geometria2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és DifferenciálgeometriaTárgyfelelős: Kiss GyörgyTematika: Projektív és affin síkok axiomatikus bevezetése, példák véges síkokra, nem-desarguesi síkok. Kollineációk, nevezetes záródási tételek, Baer tétele, projektív síkok koordinátázása. Magasabb dimenziós projektív terek. Ívek, oválisok, teljes ívek, az érintők lemmája. Algebrai görbék pontjainak számára vonatkozó becslések. Lefogó ponthalmazok, a Rédei-polinom néhány alkalmazása. Többszörösen lefogó ponthalmazok és (k,n)-ívek. Magasabb dimenziós ívek, süvegek, ovoidok. Magasabb dimenziós reprezentációk, befedések, pakolások. Lineáris komplexusok, általánosított sokszögek. Hiperoválisok. A véges geometriák néhány kombinatorikai, kódelméleti és kriptográfiai alkalmazása.Irodalom: Kiss Gy., Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó, Szeged, 2001.J. W. P. Hirschfeld, Projective Geometries over Finite Fields, Clarendon Press, Oxford, 1999.J. W. P. Hirschfeld, Finite Projective Spaces of Three Dimensions, Clarendon Press, Oxford, 1985.

Matematikai krisztallográfia2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Konvex és diszkrét geometriaTárgyfelelős: Gévay GáborTematika: Tapétacsoportok. Az n-dimenziós euklideszi és affin csoport. Tércsoportok. Algebrai jellemzés (Zassenhaus tétele); geometriai jellemzés. Biebarbach-tételek. Tércsoport-típusok, aritmetikai kristályosztályok, geometriai kristályosztályok és kristálycsaládok. Klasszifikáció 3 és 4 dimenzióban; néhány magasabb dimenziós osztályozási eredmény. Rácsok, Dirichlet-parallelotopok, Bravais-típusok.. Krisztallográfiai korlátozás n dimenzióban. Fekete-fehér rácsok, színes rácsok. Irodalom: H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek, and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space, John Wiley, 1978.P. Engel, Geometric Crystallography. An Axiomatic Introduction to Crystallography, D. Reidel Publ. Co., 1986. R. L. E. Schwarzenberger, N-dimensional crystallography, Pitman, 1980.

Sztochasztika

Többváltozós statisztikai módszerek3+1 óra, 5 kreditElőfeltétel: Statisztikai programcsomagok, Valószínűségelmélet, Matematikai statisztikaTárgyfelelős: Krámli AndrásTárgyfelelős: A lineáris algebra statisztikában használt speciális tételei, a Fisher-Cochran-tétel. A feltételes várható érték fogalma és tulajdonságai. A többdimenziós normális eloszlás, Wishart-eloszlás, a Hotelling-teszt eloszlása. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése. A regresszió. A lineáris modell, a legkisebb négyzetek módszere,

37


Gauss-Markov-tétel. Variancia-analízis, kovariancia-analízis. Kontingenciatáblák elemzése, a loglineáris modell, korrespondencia-analízis. Diszkriminancia-analízis, klaszteranalízis, többdimenziós skálázás. Algoritmikus modellek: többváltozós küszöbmodell, EM algoritmus, ACE algoritmus. Újramintavételezési eljárások: a jackknife és a bootstrap. Randomizált módszerek nagyméretű problémákra.Irodalom:Bolla Marianna és Krámli András: Statisztikai követekeztetések elmélete, Budapest, Typotex, 2005.Móri Tamás és Székely Gábor (szerk.): Többváltozós statisztikai analízis, Műszaki Kiadó, Budapest, 1986.E. L. Lehmann: Testing Staistical Hypothesis, Wiley and Sons, 1959.C. R. Rao: Linear statistical inference and its applications, Wiley and Sons, 1965.

Pénzügyi és kockázati folyamatok3+1 óra, 5 kreditElőfeltétel: Többváltozós statisztikai módszerek, Sztochasztikus folyamatokTárgyfelelős: Krámli AndrásTematika: Az Ito-integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, egzisztencia- és unicitás-tétel. Példák explicit módon megoldható egyenletekre. Az exponenciális martingál. A diffúziós folyamatok elmélete, Kolmogorov egyenletei. Egyszerű véletlen folyamatok által generált mértékek Radon-Nikodym-deriváltjának kiszámítása. A tőzsde matematikája, önfinanszírozás, arbitrázsmentesség. Az európai opció ára és szintézise, a Black-Scholes-formula. Amerikai opció. A Poisson-folyamat, folytonos idejű Markov-láncok, Kolmogorov egyenletei, alkalmazás sorbaállási feladatokra. A felújításelmélet diszkrét és folytonos időben. A klasszikus rizikófolyamat. A csőd valószínűsége. Explicit módon számolható modellek, Lundberg tétele, a Lundberg-kitevő becslése. A csőd súlyosságának elemzése.Irodalom:I. I. Gikhman és A. V. Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1975. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Application, Wiley and Sons, 1966.Michaletzky György: Kockázati folyamatok. ELTE, 1995.

Stacionárius folyamatok és idősorelemzés3+1 óra, 5 kreditElőfeltétel: Többváltozós statisztikai módszerek, Sztochasztikus folyamatokTárgyfelelős: Krámli AndrásTematika: Diszkrét idejű, diszkrét állapotterű Markov-láncok. Diszkrét idejű skalár stacionárius Gauss-folyamatok. Ergodikus tételek, a stacionárius folyamatok spektrálelmélete. Regularitás, szingularitás, a Wold-felbontás. Mozgóátlag és spektrális leírási mód. A skalár ARMA és ARIMA folyamat. A korrelációs és parciális korrelációs függvény. Az ARMA folyamat identifikációja. Paraméter becslések a momentum módszerrel (a Yule-Walker-egyenlet). A maximum likelihood módszer. A trend és a szezonalitás leválasztása nem stacionárius folyamatokról. A Szluckij-effektus. Az előrejelzés problémája, Szegő tétele. A spektrálsűrűség függvény becslése. Többdimenziós ARMA folyamatok. Lineáris rendszerek bemeneti-kimeneti identifikációja, a többdimenziós idősorok kanonikus alakja. Pinszker példája előre reguláris, hátra szinguláris folyamatra. Részben megfigyelt folyamatok, Kálmán-szűrő.Irodalom:I. I. Gikhman , A. V. Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1975.W. Feller: Bevezetés a valószínűség-számításba és alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. M. Arató: Linear stochastic szystems with constant coefficients, Springer, 1982. Tusnády Gábor és Ziermann Margit: Idősorok analízise, Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

38


Diszkrét matematika

Algoritmuselmélet2+2óra, 5 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: Zádori LászlóTematika: Testbővítések elmélete és alkalmazásaik. A véges testek elmélete és alkalmazásaik. Kriptográfiai alapfogalmak. Az algoritmuselmélet alapfogalmai és alkalmazásai. Rendezés és kiválasztás, kupac. Dinamikus programozás. Gráfalgoritmusok: szélességi és mélységi keresés, feszítő fák, legrövidebb utak, folyamok. Keresőfák, amortizációs idő, Fibonacci-kupac. String-keresés. Huffman-kód. Lempel-Ziv-Welch tömörítési eljárása.Irodalom:Cormen, Leiserson, Rivest: Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1997.Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995.Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.Hajnal Péter: Gráfelmélet, Polygon, Szeged, 2003.Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest, 2002.

Algoritmusok és bonyolultságelmélet2+1 óra, 4 kreditElőfeltétel: Algebra és alkalmazásaiTárgyfelelős: Maróti MiklósTematika: Véges automaták és formális nyelvek. Kiszámíthatósági modellek: rekurzív függvények, Turing-gépek. NP-teljesség, Cook-tétel és néhány nevezetes NP-teljes probléma. Approximációs algoritmusok és az ezekhez kapcsolódó bonyolultsági osztályok. Adatstruktúrák. A poliéder-módszer gráfelméleti alkalmazásai. Közelítő algoritmusok. On-line algoritmusok. Polinomok faktorizációja. Gröbner-bázisok és alkalmazásaik.Irodalom:C. H. Papadimitriou: Computational Complexity. Addison-Wesley, 1995, Magyarul: Számítási bonyolultság (szerk.: Ésik Zoltán), Novadat, Győr, 1999.T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein: Introduction to Algorithms. The MIT Press/McGraw-Hill, Cambridge/New York, 2001. Magyarul: Új algoritmusok (szerkesztő: Iványi Antal). Scolar, Budapest, 2003.Fülöp Zoltán: Formális nyelvek és szintaktikus elemzésük. Polygon, Szeged, 1999.Gécseg Ferenc: Automaták és formmális nyelvek. Polygon, Szeged, 2005.M. Sipser: Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing Company, 1997.

Halmazrendszerek2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Diszkrét matematikaTárgyfelelős: Hajnal Péter Tematika: Halmazrendszerek, hipergráfok. Független élrendszerek és lefogó halmazok, normális hipergráfok. Halmazrendszerek dimenziója. Diszkrepancia. Halmazrendszerek színezései, B-tulajdonság. Extremális problémák, halmazrendszerek metszet-feltételekkel,alkalmazások.Irodalom:Hajnal Péter, Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2002.Claude Berge, Hypergraphs (Combinatorics of finite sets), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1989.

Kombinatorikus számítási modellek2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Diszkrét matematika, Algoritmusok és bonyolultságelméletTárgyfelelős: Hajnal Péter

39


Tematika: Döntési fák, tartózkodó függvények, alsó becslések. Kommunikációs bonyolultság, mátrix szeletelés, rang-becslés. Elágazó programok, korlátos szélességű programok. Formulák, Khrapcenko-módszer, monoton formulák, alsó becslések. Hálózatok, monoton hálózatok, Razborov-módszer.Irodalom:Hajnal Péter, Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2002.Ingo Wegener, Complexity theory (Exploring the limits of efficient algorithms), Springer-Verlag, Berlin, 2005.

Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Diszkrét matematikaTárgyfelelős: Barát JánosTematika: Bokkrendszerek, oszthatósági feltételek, lokkrendszerek konstrukciói; Hadamard-mátrixok. Hadamard-mátrixok konstrukciói.Véges projektív síkok, oordinátázható projektív síkok, nem koordinátázható projektív síkok, úpszeletek, ívek, blokkoló halmazok, extremális problémák. Erősen reguláris gráfok.Irodalom:J.H. van Lint, R.M. Wilson, A course in combinatorics, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz, Design theory. Vol. I., Cmbridge University Press, Cambridge, 1999.Hajnal Péter, Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2002.

Egyéb differenciált szakmai tárgyak

Bevezetés az elméleti fizikába II.2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel: Bevezetés az elméleti fizikába I.Tárgyfelelős: Fehér LászlóTematika: Elektrodinamika és relativitáselmélet: Történeti bevezetés. Ponttöltés mozgása adott elekromos és mágneses térben, Lorentz-féle erőtörvény. Elektrodinamika vákuumban: Időben állandó elektromos és mágneses terek. A Maxwell-egyenletek és a vektorpotenciál. Az elektromágneses tér energia és impulzussűrűsége. Elekromágneses hullámok.Az inhomogén hullámegyenlet és alkalmazásai. Elektrodinamika anyagban: A Maxwell-egyenletek anyagban, anyagi tulajdonságok, hullámegyenlet anyagban. Elektrosztatika a testek felületén. Összefoglalás: Parciális differenciálegyenletek az elektrodinamikában. Speciális relativitáselmélet: Lorentz-transzformáció, Minkowski-téridő, Poincaré-csoport. Relativisztikus elektrodinamika. Négyesimpulzus, energia és tömeg, relativisztikus mechanika.A vákuum Maxwell-egyenletek és a Lorentz-féle erőtörvény levezetése variációs elvből. Kitekintés: Az általános relativitáselmélet és a nem-Ábeli Yang-Millls-mezők elemei, kapcsolatuk a differenciálgeometriával.Statisztikus fizika. A valószínűség, a hőmérséklet és az entrópia. Kanonikus eloszlás. Entrópia, axiómák és szabadenergia. Egyensúlyi termodinamika: Az energia és más termodinamikai potenciálok. Termodinamikai relációk.A hatásfok és a Carnot-féle körfolyamat. Fázisátalakulás, fázisdiagram. Ideális rendszerek statisztikus fizikája: Fermi-Dirac- és Bose-Einstein-statisztika. A klasszikus határeset, Maxwell-Boltzmann-eloszlás, ekvipartíciótétel.Klasszikus és kvantum ideális gázok. A hőmérsékleti sugárzás. Kitekintés: az Ising-modell és más egzaktul megoldható modellek a statisztikus mechanikában.Irodalom:

40


Stauffer D., Stanley H.E.: Newtontól Mandelbrotig. Bevezetés az elméleti fizikába. Springer Hungarica, Budapest 1994. Jackson J. D.: Klasszikus elektrodinamika, TypoTeX, Budapest, 2004.Hraskó P.: Relativitáselmélet, TypoTeX, Budapest, 2002.Landau L. D., Lifshitz E. M.: Statisztikus fizika I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.Lawden D.F.: Principles of Thermodynamics and Statistical Mechanics, Wiley, New York, 1987.

Válogatott fejezetek a matematikai fizikából2+0 óra, 3 kreditElőfeltétel:Tárgyfelelős: Fehér LászlóTematika: Differenciálható sokaságok. Lie csoportok és Lie algebrák. Csoportok és algebrák ábrázoláselmélete. Poisson sokaságok, (pszeudo) Riemann terek és konnexiók alkalmazásokkal. Funkcionálanalízis és kvantumelmélet. Kvantumcsoportok, vertex algebrák, végtelen dimenziós szimmetria struktúrák. Csoporthatások, szimmetria redukciói. Integrálható rendszerek.Irodalom:D.A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications, Vols. I and II, Springer-Verlag, 1985. Fuchs J., Schweigert C.: Symmetries, Lie Algebras and Representations, Cambridge University Press , 1997.Strocchi F.: An Introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics, World Scientific, 2005.Chari V., Pressley A.: A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, 1994.Babelon O., Bernard D., Talon M.: Introduction to Classical Integrable Systems, Cambridge University Press, 2003.

41


3. Kompetenciák elsajátíttatásaMutassák be a mesterszak kimeneti céljául kitűzött általános és szakmai kompetenciák elsajátíttatásának, illetve elmélyítésének konkrét megvalósulását. (Az adott kompetenciák megszerzését biztosító tantárgyak, valamint oktatási módszereik és gyakorlatuk.)

A matematikus mesterszakon a szakmai kompetenciák elsajátítása a szakmai törzsanyagot alkotó kötelező tárgyaknak, valamint a differenciált szakmai ismeretek körébe tartozó választható tárgyaknak az elvégzésével történik. Ezek a tárgyak az elméleti és alkalmazott matematika széles területét ölelik fel, és biztosítják, hogy a hallgatók — az érdeklődésüknek megfelelő szűkebb területen — elsajátítsák a legújabb eredményeket, továbbá, hogy az alkalmazott matematikai témákban megismerjenek gyakorlati problémákat és azok — számítástechnikai eszközöket is alkalmazó — megoldását. A törzsanyagban az elméleti és gyakorlati tanórák aránya kb. 60-40%. A differenciált szakmai ismeretek tárgyainak jelentős részénél is tartozik gyakorlat a tárgyhoz, melynek során a hallgatók megtanulják konkrét feladatok megoldására alkalmazni az elsajátított elméleti ismereteket. Emellett rendszeresen kapnak önállóan megoldandó házi feladatokat, amelyekről szóban vagy írásban beszámolnak. Diplomamunkájuk nagyobb lélegzetű elméleti vagy gyakorlati feladat megoldása, melynek elkészítésével gyakorolják, illetve bemutatják, hogy képesek tudásukat önállóan továbbfejleszteni, ismereteiket elméleti vagy gyakorlati szinten alkalmazni.

4. A képzési és kimeneti követelményekben előírt idegen nyelvi követelmények teljesítésének intézményi elősegítése, feltételei.

A matematikus mesterszakon ugyanaz az idegen nyelvi követelmény, mint a matematika és az összes természettudományi alapszakon. Ezért az idegen nyelvi követelmények teljesítését várhatóan a hallgatók kis részénél kell segíteni. A Szegedi Tudományegyetemen elfogadott képzési rendszer szerint az Idegennyelvi Központ biztosítja a hallgatók számára a képzést, a vizsgáztatást és a nyelvvizsgára való felkészülést. TTK-s hallgatóink az eddigi gyakorlattal megegyezően már az alapképzés során angol nyelvből kiemelt képzést kapnak, 1-2. félévben heti 3×2, majd 3-4. félévben heti 2×2 óra nyelvi képzésben részesülnek a hallgatók, melyért kredit nem jár (a nyelvi záróvizsga kritérium feltétel). Ebbe a képzésbe kapcsolódhatnak be azok a mesterképzésben részt vevő hallgatók is, akik alapképzésük során nem teljesítették az idegen nyelvi követelményeket.

5. A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása a szakra való belépés tekintetében (előzményként elfogadott alapszakok, kritérium ismeretkörök és kreditértékek)a) a bemenethez feltétel nélkül elfogadott alapszakok,b) a bemenethez megadott feltételekkel elfogadott alapszakok, ill. kreditkövetelmények,

az erre vonatkozó konkrét előírások, a hiányzó ismeretek pótlásának biztosításac) tanárszak esetén: a bemenethez elfogadott 10 kreditnyi pedagógiai-pszichológiai

előkészítés

a) a bemenethez feltétel nélkül elfogadott alapszakok:Matematika alapképzési szak

42


A matematika alapképzési szakon (nem a tanári szakirányon) végzett hallgatók esetében reális elvárás, hogy a matematikus mesterképzési szakot 4 félév alatt elvégezzék.

b) a bemenethez megadott feltételekkel elfogadott alapszakok, illetve kredit-követelmények:

A természettudományi, műszaki, informatikai képzési területek valamennyi alapszakja, a gazdaságtudományok képzési terület közgazdasági képzési ágának gazdaságelemzés alapképzési szakja.Az ezeken az alapszakokon végzett hallgató akkor nyerhet felvételt a matematikus mesterképzési szakra, ha az algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűségszámí-tás témákban a matematika alapképzési szak tárgyai közül legalább 50 kreditet teljesített, és megfelel az intézményi szakmai felvételi vizsgán. Egyetemünk matematika iránt érdeklődő TTK-s hallgatóinak lehetővé tesszük, hogy az alapszakon szerezzék meg az előbbi 50 kreditet, kihasználva a kar által biztosított koordinációs lehetőségeket. A fenti szakokról felvett hallgatók számára a matematikus mesterszak hálótervében elkülönítettünk 20 kreditet, mely arra szolgál, hogy tudásukat felhozzák arra a szintre, amivel a matematika alapszak matematikus szakirányán végzett hallgatók a belépéskor rendelkeznek. Várható, hogy a nem matematika alapszakot végzett hallgatók esetében a mesterképzésben eltöltött idő meghaladja a 4 félévet.

6. Az értékelési és ellenőrzési módszerek, eljárások és szabályok bemutatása, a (289/2005. Korm. rend. 11.§ (3) bb) bekezdése szerinti) tájékoztató kiadvány internetes elérhetősége.

http://www.sci.u-szeged.hu : szabályzatok menüpont : TVSZ

http://www.sci.u-szeged.hu : szabályzatok menüpont : TTK Ügyrend

43


IV.A képzés személyi feltételei1

1. A szakfelelős, a szakirány felelősök és a záróvizsgatárgyak felelősei Felelősök neve és a felelősségi

típus ( szf: szakfelelős,

szif: szakirányfelelős a szakiránya megadásával!

zvf: záróvizsgatárgy felelős)

Tudományos fokozat

/cím

Munkakör Munka-viszony típusa

Hány mesterszak

felelőse

Alap- és mesterképzésben összesen hány kreditértékű

tantárgy felelősea szakon / az

intézményben / Mo-on

Totik Vilmos szf akadémikus egyetemi tanár T(1) 1 6/6/6

Totik Vilmos zvf akadémikus egyetemi tanár T(1) 1 6/6/6

2. Tantárgylista – tantárgyak felelősei, oktatói

A TÖRZSANYAG TANTÁRGYAINAK MEGNEVEZÉSE

(ALAPOZÓ TÖRZSTÁRGYAK)

A tantárgy oktatói

Oktató neve(A tantárgy blokkjában

elsőként a tantárgy felelősét tüntessék fel)

Tud. fok. /cím


A tantárgy előadója

I / N

Gyakorla-ti foglal-kozást

tart I / N

Alap- és mesterképzés-ben összesen hány kredit-értékű tan-

tárgy felelősea szakon / az


Absztrakt algebraB. Szendrei Mária DSc egyetemi

tanár T(1) I I 15/15/15

Czédli Gábor DSc egyetemi tanár T(1) I I 5/24/24

Katonáné Horváth Eszter PhD adjunktus T(1) N I 0/4/4

Klukovits Lajos CSc egyetemi docens T(1) I I 0/5/5

Szabó László CSc egyetemi docens T(1) I I 0/16/16

Waldhauser Tamás PhD adjunktus T(1) N I 0/0/0

Zádori László PhD egyetemi docens T(1) I I 0/19/19

1 A fejezet 1. és 2. pontjának táblázataiban a fejlécekben előforduló megjelölések értelmezése:Tudományos fokozat / cím: PhD/DLA vagy CSc, DSc, akadémikus.Munkakör: (egyetemi / főiskolai) tanár, docens, adjunktus, tanársegéd; tudományos (fő)munkatárs; egyéb Munkaviszony típusa: Teljes munkaidőben foglalkoztatott határozott vagy határozatlan idejű munkaviszony, ill. közalkalmazotti

jogviszony – T , első helyen foglalkoztatott -- T(1) Egyéb (részmunkaidőben foglalkoztatott, megbízási szerződésessel foglalkoztatott stb.) – E , ill. - E (1)

44







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Algebra és alkalmazásai Czédli Gábor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 5/24/24

B. Szendrei Mária DSc egyetemi tanár T(1) I I 15/15/15


Klukovits Lajos CSc egyetemi docens T(1) I I 0/5/5




Komplex és valós függvénytan Kérchy László DSc egyetemi

tanár T(1) I I 12/12/12

Hatvani László akadémikus egyetemi tanár T(1) I I 0/10/10

Krisztin Tibor DSc egyetemi tanár T(1) I I 10/24/24

Németh József CSc egyetemi docens T(1) I I 0/12/12

Németh Zoltán PhD egyetemi docens T(1) I I 0/12/12

Szabó Tamás PhD egyetemi docens T(1) I I 0/21/21

Terjéki József CSc egyetemi docens T(1) I I 0/22/22

Közönséges differenciálegyenletek Krisztin Tibor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 10/24/24

Bartha Mária PhD adjunktus T(1) I I 0/0/0


Hegedűs Jenő CSc egyetemi docens T(1) I I 0/4/4

Makay Géza CSc egyetemi docens T(1) I I 0/15/15


Konvex és diszkrét geometria Kincses János CSc egyetemi

docens T(1) I I 6/6/6

Fodor Ferenc PhD egyetemi docens T(1) I I 4/8/8

45







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Kurusa Árpád CSc egyetemi docens T(1) I I 10/24/24

Ódor Tibor CSc egyetemi docens T(1) I I 0/0/0

DifferenciálgeometriaKurusa Árpád CSc egyetemi

docens T(1) I I 11/24/24


Nagy Gábor Péter PhD egyetemi docens T(1) I I 0/7/7


ValószínűségelméletCsörgő Sándor akadémikus egyetemi

tanár T(1) I I 11/21/21

Matematikai statisztika Krámli András DSc egyetemi

tanár T(1) I I 5/22/22

Statisztikai programcsomagok Viharos László PhD egyetemi

docens T(1) – I 2/20/20

KombinatorikaHajnal Péter CSc egyetemi

docens T(1) I I 11/16/16

Barát János PhD adjunktus T(1) I I 0/0/0

Szabó László Imre PhD egyetemi docens T(1) I I 0/10/10

Halmazelmélet és matematikai logika Totik Vilmos akadémikus egyetemi

tanárT(1) I I 6/6/6

46



(SZAKMAI TÖRZSTÁRGYAK)




Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Csoportelmélet

*2007. júl. 01-től egyetemi docens

B. Szendrei Mária DSc egyetemi tanár T(1) I I 15/15/15



Maróti Miklós PhD adjunktus* T(1) I I 0/4/4


Dormán Miklós adjunktus T(1) N I 0/0/0

Hartmann Miklós tanársegéd T(1) N I 0/0/0



Testelmélet és Galois-elmélet B. Szendrei Mária DSc egyetemi

tanár T(1) I I 15/15/15









FunkcionálanalízisKérchy László DSc egyetemi

tanár T(1) I I 12/12/12


Parciális differenciálegyenletek Krisztin Tibor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 10/24/24


47



(SZAKMAI TÖRZSTÁRGYAK)




Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N





Differenciálható sokaságok és topológia




Kiss György PhD egyetemi docens E(2) I I 0/0/18

Geometriai struktúrák Fodor Ferenc PhD egyetemi




Sztochasztikus folyamatok Csörgő Sándor akadémikus egyetemi

tanár T(1) I I 11/21/21

Stachó László CSc egyetemi docens T(1) I I 0/5/5

Szűcs Gábor tanársegéd T(1) N I 0/0/0

Osztényiné Krauczi Éva

tud. segéd-

munkatársT(1) N I 0/0/0

Diszkrét matematikaHajnal Péter CSc egyetemi

docens T(1) I I 11/16/16



Bevezetés az elméleti fizikába Fehér László DSc egyetemi

tanár E(1) I – 0/2/2

48


A DIFFERENCIÁLT SZAKMAI

ISMERETEK TANTÁRGYAINAKMEGNEVEZÉSE


Oktató neve(A tantárgy blokkjában elsőként a

tantárgy felelősét tüntessék fel)

Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Félcsoportelmélet B. Szendrei Mária DSc egyetemi

tanár T(1) I I 15/15/15

Megyesi László CSc egyetemi docens T(1) I I 0/8/8


HálóelméletCzédli Gábor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 5/24/24




Univerzális algebraMaróti Miklós PhD adjunktus* T(1) I I 0/4/4






Rendezett halmazokZádori László PhD egyetemi

docens T(1) I I 0/19/19


KódoláselméletCzédli Gábor DSc egyetemi

tanár T(1) I – 5/24/24

Maróti Miklós PhD adjunktus* T(1) I – 0/4/4

Katonáné Horváth Eszter PhD adjunktus T(1) I – 0/4/4

Reguláris félcsoportok

B. Szendrei Mária DSc egyetemi

tanár T(1) I – 15/15/15

Megyesi László CSc egyetemi docens T(1) I – 0/8/8

Félcsoportosztályok univerzális algebrai vizsgálata

B. Szendrei Mária DSc egyetemi

tanár T(1) I – 15/15/15

Megyesi László CSc egyetemi docens T(1) I – 0/8/8

49







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Hálók koordinátázás-elmélete Czédli Gábor DSc egyetemi

tanár T(1) I – 5/24/24

Zádori László PhD egyetemi docens T(1) I – 0/19/19

KlónokSzabó László CSc egyetemi

docens T(1) I – 0/16/16

Zádori László PhD egyetemi docens T(1) I – 0/19/19

Waldhauser Tamás PhD adjunktus T(1) I – 0/0/0

Véges algebrák Zádori László PhD egyetemi

docens T(1) I – 0/19/19

Szabó László CSc egyetemi docens T(1) I – 0/16/16


Banach-algebrák és operátorelmélet Kérchy László DSc egyetemi

tanár T(1) I I 12/12/12

Fourier-sorokNémeth Zoltán PhD egyetemi

docens T(1) I – 0/12/12

Ortogonális sorokNémeth Zoltán PhD egyetemi

docens T(1) I – 0/12/12

Differenciálegyenletek és numerikus megoldásuk


Numerikus matematika Móricz Ferenc DSc egyetemi

tanár T(1) I I 0/10/10

Alkalmazott analízisHatvani László akadémikus egyetemi

tanár T(1) I I 0/10/10


Szabó Tamás PhD egyetemi docens T(1) I I 0/21/21


Makay Géza CSc egyetemi docens T(1) I I 0/15/15

Dinamikus rendszerek Krisztin Tibor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 10/24/24


Nemlineáris dinamika és káosz Krisztin Tibor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 10/24/24

BifurkációelméletKrisztin Tibor DSc egyetemi

tanár T(1) I I 10/24/24

50







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N





IrányításelméletHatvani László akadémikus egyetemi

tanár T(1) I – 0/10/10

MechanikaHatvani László akadémikus egyetemi

tanár T(1) I – 0/10/10

StabilitáselméletHatvani László akadémikus egyetemi

tanár T(1) I – 0/10/10

Krisztin Tibor DSc egyetemi tanár T(1) I – 10/24/24

Terjéki József CSc egyetemi docens T(1) I – 0/22/22

Makay Géza CSc egyetemi docens T(1) I – 0/15/15

Dinamikus modellezésKarsai János CSc egyetemi


Harmonikus analízisMóricz Ferenc DSc egyetemi

tanár T(1) I I 0/10/10

Stachó László CSc egyetemi docens T(1) I I 0/5/5

Monoton és korlátos változású függvények Móricz Ferenc DSc egyetemi

tanár T(1) I – 0/10/10

Stachó László CSc egyetemi docens T(1) I – 0/5/5

Többváltozós komplex függvénytan Stachó László CSc egyetemi

docens T(1) I – 0/5/5

Topologikus vektorterek és disztribúcióelmélet

Stachó László CSc egyetemi docens T(1) I – 0/5/5

Általánosított függvények és alkalmazásaik


Geometriai analízisKurusa Árpád CSc egyetemi

docens T(1) I I 11/24/24


Algebrai geometriaNagy Gábor Péter PhD egyetemi



Algebrai topológiaKincses János CSc egyetemi



Lie-csoportokÓdor Tibor CSc egyetemi


51







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N






Algoritmikus geometria Fodor Ferenc PhD egyetemi


Kincses János CSc egyetemi docens T(1) I I 6/6/6


Hajnal Péter CSc egyetemi docens T(1) I I 11/16/16

Asszociatív algebrák és általánosításaik Nagy Gábor Péter PhD egyetemi



Coxeter-csoportokGévay Gábor PhD egyetemi



Konvex politopok kombinatorikája Kincses János CSc egyetemi



Konvex halmazok mértékei Fodor Ferenc PhD egyetemi





DifferenciáltopológiaÓdor Tibor CSc egyetemi



Diszkrét geometriaFodor Ferenc PhD egyetemi




Hiperbolikus geometria Nagy Gábor Péter PhD egyetemi



52







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Gévay Gábor PhD egyetemi docens T(1) I I 0/0/0

Véges geometriaKiss György PhD egyetemi

docens E(1) I I 0/0/18


Matematikai krisztallográfia Gévay Gábor PhD egyetemi

docens T(1) I – 0/0/0

Ódor Tibor CSc egyetemi docens T(1) I – 0/0/0

Többváltozós statisztikai módszerek Krámli András DSc egyetemi

tanár T(1) I I 5/22/22

Pénzügyi és kockázati folyamatok Krámli András DSc egyetemi

tanár T(1) I I 5/22/22

Stacionárius folyamatok és idősorelemzés

Krámli András DSc egyetemi tanár T(1) I I 5/22/22

AlgoritmuselméletZádori László PhD egyetemi

docens T(1) I I 0/19/19




Algoritmusok és bonyolultságelmélet Maróti Miklós PhD adjunktus* T(1) I I 0/4/4



HalmazrendszerekHajnal Péter CSc egyetemi

docens T(1) I – 11/16/16

Barát János PhD adjunktus T(1) I – 0/0/0

Kombinatorikus számítási modellek Hajnal Péter CSc egyetemi

docens T(1) I – 11/16/16



Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák


Hajnal Péter CSc egyetemi docens T(1) I – 11/16/16

53







Tud. fok. /cím



I / N


tart I / N




Nagy Gábor Péter PhD egyetemi docens T(1) I – 0/7/7

Bevezetés az elméleti fizikába II. Fehér László DSc egyetemi

tanár E(1) I – 0/2/2

Válogatott fejezetek a matematikai fizikából Fehér László DSc egyetemi

tanár E(2) I -- 0/2/2

54


3. Az oktatók személyi-szakmai adatai

A IV.1. és IV.2. táblázatokban feltüntetett oktatók adatlapjait kérjük csatolni, amely adatlapok oktatónként az alábbi adatokat tartalmazzák: név, születési év, (oklevél szerinti) végzettség és szakképzettség jelenlegi munkahely(ek), a kinevezésben feltüntetett munkakör(ök), több munkahely

esetén kérjük jelölni az első helyen foglalkoztató intézményt, tudományos fokozat (a tudományág megjelölésével) az Ftv. 149.§-a (5) bekezdésében

foglaltak szerint; (PhD / CSc vagy DLA, DSc, stb.) PhD esetében kérjük megadni az értekezés címét!)

tudományos/művészeti akadémiai tagság; (MTA tagság), MTA doktora (DSc); „dr habil” cím, egyéb címek

a Széchenyi professzori ösztöndíj, Széchenyi István Ösztöndíj, vagy Békéssy György Posztdoktori Ösztöndíj juttatásának időpontja

eddigi oktatói tevékenység (oktatott tárgyak, oktatásban töltött idő) az eddigi szakmai gyakorlat és teljesítmény bemutatása az elmúlt 5 év szakmai, tudományos (művészeti) munkássága (a legfontosabb

maximum 5, az oktatott tárgy/tárgyak szakterületéhez tartozó publikáció, alkotás felsorolása)

az eddigi tudományos-szakmai életmű szempontjából legfontosabb 5 publikáció vagy alkotás felsorolása (amennyiben az előbbiektől különböznek)

tudományos / szakmai közéleti tevékenység, nemzetközi kapcsolatok

Idegen nyelven (is) folyó képzés esetében az oktatók szakmai életrajzát a tervezett idegen nyelven is mellékelni kell.

* * *Ezek a szükséges és elégséges adatok (személyenként legfeljebb 2 oldal).

Önéletrajzokat, egész életművet bemutató publikációs listákat nem kérünk! Az oktatói adatlapokat az alábbi csoportosításban kérjük (csoporton belül névsor szerint):

(1) szakfelelős; (2) szakirány-felelősök {ha vannak}(3) teljes munkaidőben foglalkoztatottak(4) nem teljes munkaidőben foglalkoztatottak

55


4. Nyilatkozatok Az intézményvezető nyilatkozata arról, hogy a fenti táblázatokban megnevezett

oktatóknak a jelzett módon való foglalkoztatását biztosítja az intézményben az indítandó képzés egy teljes ciklusára, és gondoskodik a személyi feltételek bemutatott szakmai megfelelőségének fenntartásáról.

NYILATKOZAT

A matematikus mesterszak indítási kérelmének az 1. és 2. táblázatában megnevezett oktatóknak a jelzett módon való foglalkoztatását a Szegedi Tudományegyetem biztosítja az intézményben az indítandó képzés egy teljes ciklusára, vagy gondoskodik a személyi feltételek bemutatott szakmai megfelelőségének fenntartásáról.


________________________________Dr. Szabó Gáboregyetemi tanár

rektor

Az intézménnyel közalkalmazotti jogviszonyban (munkaviszonyban) nem álló oktatók nyilatkozata arról, hogy vállalják a nevük alatt feltüntetett tantárgyak oktatását és az oktatási követelmények teljesítését.

113


Kiss György

114


Az intézményben foglalkoztatott, az adott szakon oktatók nyilatkozata arról, hogy kettőnél több munkaviszonya felsőoktatási intézményben nincs.

Barát JánosBartha MáriaCzédli GáborCsörgő SándorDormán MiklósFehér LászlóFodor FerencGévay GáborHajnal PéterHartmann MiklósHatvani LászlóHegedűs JenőKarsai JánosKatonáné Horváth EszterKérchy LászlóKincses JánosKlukovits LajosKrámli AndrásKrisztin TiborKurusa ÁrpádMakay GézaMaróti MiklósMegyesi LászlóMóricz FerencNagy Gábor PéterNémeth JózsefNémeth ZoltánÓdor TiborStachó LászlóSzabó LászlóSzabó László ImreSzabó TamásB. Szendrei MáriaTerjéki JózsefTotik VilmosViharos LászlóWaldhauser TamásZádori László

116


V.A szakindítás kutatási és infrastrukturális feltételei

1. Országosan (és nemzetközileg) elismert tudományos műhely(ek) és együtt dolgozó szakmai közösséggel bíró alapvető K+F / művészeti terület bemutatása.

A matematikus mesterszak indításának szakmai felelőse az SZTE TTK Matematikai Tanszékcsoportja (a továbbiakban, hagyományos nevén, a Bolyai Intézet).

A Bolyai Intézet oktatói létszáma 52 fő, amelyhez 11 fős kisegítő személyzet társul az irodai, könyvtárosi, rendszergazdai és hivatalsegédi feladatok ellátására. A továbbiakban csak az aktív korú, tartósan itthon levő oktatókat számolva hárman az MTA tagjai, rajtuk kívül hatan az MTA doktorai, és (az eddigiekkel együtt) harmincan rendelkeznek tudományos minősítéssel. Az aktív korú dolgozóinkon kívül emeritus professzoraink és nyugdíjas docenseink is segítik munkánkat.

A Bolyai Intézetben nemzetközi mércével mérve is magas szintű a kutatómunka. Az analízisen belül intenzív kutatás folyik a Fourier-analízis, funkcionálanalízis, egyenlőtlenségek, pozitív operátorokkal történő approximáció, extremális pontok módszere, polinomapproximáció területén. Szeged a világon vezető helyet foglal el a potenciálelméleti módszerek approximációelméleti alkalmazásaiban, és számos cikk mellett egy monográfia (Totik: Metric properties of harmonic measures) is megjelent 2006-ban a rangos AMS Memoirs sorozatban. A dinamikus rendszerek területén belül a közönséges és parciális differenciálegyenletek kvalitatív és stabilitási vizsgálata, periodikus megoldásai, sima dinamikus rendszerek, végtelen dimenziós disszipatív rendszerek vannak a kutatások középpontjában, és a téma művelői gyakran (1996, 1999, 2003, 2007) szerveznek nemzetközi konferenciát Szegeden. A Bolyai Intézet az algebrai kutatások egyik nemzetközileg jól ismert központja is. 1971 óta rendszeresen kerülnek megrendezésre nemzetközi tudományos konferenciák az itt kutatott témáknak megfelelően a hálóelmélet és univerzális algebra (pl. 1998, 2002, 2005, 2007), valamint a félcsoportelmélet (pl. 1994, 2000) témaköréből. Egy-egy ilyen konferencián a résztvevők száma 50 és 110 között mozog. Igen rangos Szegeden a sztochasztika kutatása is (valószínűségelméleti határeloszlások, statisztikai becslések, statisztikus fizika). A geometriai kutatások a véges, kombinatorikus, ill. konvex geometriára összpontosulnak. Aktívan kutatott a gráfelmélet és a kombinatorika is. Totik Vilmos vezetésével megalalkult az Analízis és Sztochasztika akadémiai kutatócsoport, melynek keretében Csörgő Sándor és Hatvani László mentori közreműködésével az MTA három ifjú tudományos segédmunkatárs kutatómunkáját finanszírozza a 2007-2011 időszakra.

Hadd illusztrálja a Bolyai Intézetben folyó kutatások minőségét néhány további adat (esetenként csak alsó becslés) is. Rendszeresek a kutatói szemináriumi előadások, évente mintegy 35-40, az Analízis, az Algebra, a Geometria és a Sztochasztika Tanszék szervezésében. A Bolyai Intézet jelenlegi oktatói gárdájának eddig mintegy 1800 tudományos publikációja jelent meg idegen nyelven, közöttük a tudományos eredményeket tartalmazó könyvek száma 20. A 2000-2004 időszakban a Bolyai Intézet tagjai idegen nyelven 473 tudományos cikket és 3 könyvet, doktoranduszai pedig 25 cikket publikáltak. Az eddig megjelent publikációkra legalább hatezer hivatkozás történt; ezen belül kiemelkedő Csörgő Sándor (2500) és Totik Vilmos (1600) idézettsége. Tudományos díjat az utóbbi öt évben 15-en nyertek el. Átlagosan a Bolyai Intézet minden tagja évente egy külföldi konferencián vesz részt, ahol kevés kivételtől eltekintve előadást is tart.

A Bolyai Intézet két nemzetközi tudományos folyóiratot ad ki: az Acta Scientiarum Mathematicarum folyóiratot 1922 óta, valamint az 1998-ban indított Electronic Journal of Qualitative Theory of Differencial Equations című folyóiratot. Mindkét esetben a

155


főszerkesztő, sőt az Acta esetében a teljes szerkesztőbizottság is a Bolyai Intézetből kerül ki. A hazai matematikai folyóiratok közül szinte mindegyiknél, valamint tizenhárom külföldi folyóiratnál is van szerkesztő a Bolyai Intézetből. Ez év elejétől a Bolyai János Matematikai Társulat nemzetközi matematikai folyóiratának, a Periodica Mathematica Hungarica-nak a főszerkesztője is a Bolyai Intézet tagja. Továbbá a Bolyai Intézet alapította 1991-ben és adja ki a Polygon magyar nyelvű matematikai, szakdidaktikai folyóiratot.

A Bolyai Intézet tagjai közül 2000 és 2004 között hazai tudományos pályázatokban 68-an vettek részt (26-an vezetőként, a több pályázatban résztvevőket természetesen többször számolva). Ugyanezen időszakban 17-en vettek részt nemzetközi pályázatban (10-en vezetőként), és 24-en nemzetközi konferencia szervezésében. Jelenleg a Bolyai Intézetben folyó kutatómunkát az alábbi tíz OTKA pályázat támogatja (nem számolva a 2007-ben induló támogatásokat); ezek az oktatók több mint felét foglalják magukba (zárójelben az eredeti szerződésben szereplő összeget adjuk meg eFt-ban):

K06148 (2006-9, Zádori László, 16000); T048809 (2005-8, B. Szendrei Mária, 12000); T048360 (2005-8, Csörgő Sándor, 10000); T049433 (2005-8, Czédli Gábor, 7920); T049846 (2005-8, Kérchy László, 3600); T049516 (2005-8, Krisztin Tibor, 13900); T048753 (2005-8, Stachó László, 1400); T049448 (2005-8, Totik Vilmos, 6469); T049398 (2005-8, Hajnal Péter, 12240); T046192 (2004-7, Móricz Ferenc, 5650).

2. A képzés tárgyi feltételei, a rendelkezésre álló infrastruktúra (a KKK alapul vételével, számszerű adatokkal alátámasztott bemutatást kérünk!): tantermek, előadótermek, laboratóriumok és eszközellátottságuk, műhelyek,

gyakorlóhelyek számítástechnikai, oktatástechnikai ellátottság könyvtárellátottság, a papíralapú, illetve elektronikusan elérhető szakmai folyóiratok,

továbbá a szak szempontjából fontos szakkönyvek rendelkezésre állásának (internetes elérhetőségének) bemutatása. Elegendő közölni a könyvtár ezen adatait tartalmazó honlapjának címét.

az oklevél megszerzéséhez szükséges idegen nyelvi követelmények teljesítésének körülményei

a hallgatói tanulmányok eredményes elvégzését segítő szolgáltatások, juttatások, a biztosított taneszközök (tankönyv, jegyzet ellátás stb.)

a tanulmányi ügyekkel kapcsolatos adminisztráció feltételei a normatív finanszírozáson kívüli egyéb források az oktatás egyéb, szükségesnek ítélt feltételei

A Bolyai Intézet, illetve egyes nagyelőadások esetére a Természettudományi Kar kellő számú és megfelelő méretű tanteremmel rendelkezik a matematikus mesterszak indításához. A hagyományos (táblával és krétával történő) oktatás céljaira a tantermek (és a táblák) megfelelőek. Majdnem mindegyik tanteremben megoldott az írásvetítő használata. A Bolyai Intézet két projektorral rendelkezik, és terjed ezek használata az előadásokon.

Igen jónak mondható a Bolyai Intézet új számítógépes kabinetje. Ez már most is több olyan gyakorlati óra megtartására nyújt lehetőséget, amelyen minden egyes hallgató külön gépen dolgozik. Amikor nincs ott óra, akkor a matematikai szoftverekkel és huszonegy nagyteljesítményű számítógéppel felszerelt kabinetet a matematika szakos hallgatók használhatják. Emellett — az Egyetem többi hallgatójához hasonlóan — a központi egyetemi számítógépes kabinet is a matematika szakos hallgatóság rendelkezésére áll. A korszerű matematika oktatásának komputeralgebrai feltétele azáltal teljesül, hogy a Maple V szoftvert az SZTE valamennyi hallgatója jogszerűen használhatja.

A tanköny- és jegyzetellátás jó. Ez jórészt a Bolyai Intézet Polygon Kiadójának köszönhető. Ez a kiadó tizenegy éve rendszeresen jelentet meg jegyzeteket és tankönyveket,

156


amelyeket egyetemi oktatók, főleg a Bolyai Intézet oktatói írnak. 2006-ban a Polygon 6 egyetemi tankönyvet/jegyzetet, fennállása óta pedig összesen 49-et jelentetett meg. A Polygon-könyvek az alaptárgyak többségét lefedik. Jó a könyvtári ellátottság is, hiszen az SZTE 2004-ben átadott Tanulmányi és Információs Központjában helyet foglaló Egyetemi Könyvtár mellett ötvenezres állományával a Bolyai Intézet szakkönyvtára is a hallgatók rendelkezésére áll. Egyre jelentősebb a Bolyai Intézet honlapján és az onnan nyíló egyéni honlapokon közzétett oktatási segédanyagok szerepe (www.math.u-szeged.hu).

Az Acta Scientiarum Mathematicarum folyóirat mintegy 160 cserekapcsolatának és az évi 20 millió forintos folyóiratrendelésünknek köszönhetően a Bolyai Intézetben megtalálhatók a legfontosabb szakfolyóiratok. Sok közülük az interneten is elérhető.

A képzés nem-matematikai vonatkozásainak személyi és tárgyi feltételei az SZTE-n adottak. Ezen belül az idegen nyelv oktatását a Központi Idegennyelvi Lektorátus a korábbiakhoz hasonlóan ezután is vállalja. A tanulmányok adminisztrációja az ETR-re, azaz az elektronikus Egységes Tanulmányi Rendszerre támaszkodva továbbra is a Természettudományi Kar Tanulmányi Osztályának feladata.

157

http://www.math.u-szeged.hu/


3. Az intézményvezető nyilatkozata arról, hogy a képzés indításához szükséges szellemi és tárgyi kapacitás rendelkezésre áll, és az évfolyamonként milyen létszámú hallgató képzését teszi lehetővé.

NYILATKOZAT

A matematikus mesterszak indításához szükséges szellemi és tárgyi kapacitás a Szegedi Tudományegyetemen rendelkezésre áll, és évfolyamonként 40 hallgató képzését teszi lehetővé.


____________________________Dr. Szabó Gáboregyetemi tanár

rektor

158

Documents

A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs … · Web viewKérelem MATEMATIKUS mesterszak (MSc) indítására Szeged 2007 Tartalomjegyzék I. Adatlap 3 II. A szakindítási kérelem