A Pi értékének meghatározása, mint az egyik ókori probléma

A Pi, a kör területének kiszámításakor jelent meg, mint probléma. Már a k.e. 2000 körüli időkből származó egyiptomi Rhind papiruszon található egy képlet, ami erre a probléma megoldására vonatkozik. Alkalmazva a képletet 3,1605 értéket kapunk, ami ebben az időben csodálatos pontosságnak számított…

Jahmesz bizonyítás nélkül kijelentette, hogy a 9 egységnyi

átmérőjű kör területe egyenlő a 8 egységnyi oldalú négyzet

területével. Ez mai jelöléssel azt jelenti, hogy

π(9/2)² = 8²

63,617

Kínában a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a munkát Liu Ci (k.e.50- k.u.23) csillagász hajtotta végre. Ekkor történt a matematika történetében az az egyedülálló eset, hogy törvény szabta meg a Pi, értékét (3,1547 volt).

A Hinduk 500 körül már 3,1416-tal számoltak. A Perzsák 16 tizedes jegyig számították ki az értékét. 1784.-ben Shancks, angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedes jegyig számította ki, de 1944.-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy az 528. Tizedestől kezdve tévedett…

Már a XVIII. századtól tudták, hogy irracionális szám, jelölésére a görög "Pi" betűt 1739-ben Euler javasolta.

1958-ban elektronikus számítógépek segítségével a -nek 10000 tizedes számjegyét állapították meg. Az első 3000 számhoz 10 percre volt szükség.

1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek kiszámították a pi első kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-háromszázhuszonegyezer-háromszázharminchat számjegyét. Ez a teljesítmény világrekordnak számított

Most pedig nézzük, hogy mi is kötődik Buffon gróf nevéhez ? A legenda szerint felesége rendszeresen kötögetett, és

gyakran kiesett a kezéből a kötőtű. Padlójukat, párhuzamosan lefektetett deszkalapok borították, ezért a leeső tű néha

metszette, néha pedig nem metszette, a padlólapok illesztéseinél látható vonalakat.

Állítólag ez késztette Buffon grófot arra, hogy 1777.-ben, elsőként bevezesse a geometriai valószínűség fogalmát.

Képletben adta meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a leeső tű metszi a padló vonalát (ez nyílván függ a vonalak

távolságától, és a tű hosszától, és szerepel benne a Pi, értéke is).

A π (pi) a matematikában és fizikában használt valós szám.

A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják,

ami a körök hasonlósága miatt minden kör esetén azonos.

A Buffon-féle „tűprobléma”

1777-ben Buffon vetette fel a „tűprobléma” néven közismertté vált feladatot.Ennek megoldásával nagyon érdekes lehetőséget adott a π kísérleti meghatározására

Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos d távolságban levő párhuzamos egyeneseket.Dobjunk erre a lapra véletlenszerűen, irányítás nélkül egy l < d hosszúságú tűt.

Mi a valószínűsége annak, hogy a tű metszi valamelyik egyenest?

Feltehetjük, hogy a tű középpontja egy a párhuzamos egyenesekre merőleges eegyenesre esik.

d

e

l: a tű hossza

A feladatot a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

A vonalak távolsága 45 mm volt, 35 mm-es tűt használt, amit 5000-szer dobott fel, és számolta, hogy hányszor metszi a vonalak egyikét. A kapott értéket behelyettesí-tette a képletbe és 3,1596 jött ki neki. Természetesen "végtelen számú" feldobás hozna pontos közelítést, de ha figyelembe vesszük, hogy egyszerű tűdobálással számította ki ezt az értéket…

A tű helyzetét ekkor a metszés szempontjából egyértelműen jellemzik az ábrán jelölt φ és x adatok.

Könnyen belátható, hogy a tű akkor metszi valamelyik egyenest, ha

0 x sin2

l

vagy

ld sin x d2

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az egyenlőtlenségek által meghatározott

ponthalmazokat:

A geometriai valószínűséget a kedvező terület és az összes terület hányadosaként kapjuk meg, tehát annak a valószínűsége, hogy a tű metszi valamelyik rácsvonalat.

0 0

2 sin dcos 1 12 2

pd d d d

l

l l l

x sin2

l

x d sin2

l

x

d

0 0

2 sin dcos 1 12 2

pd d d d

l

l l l

Átrendezve és a valószínűséget a relatív gyakorisággal közelítve

2 2 2

d p dd

l l l összeskedvező kedvezőösszes