1

A szabályos sokszög keresztmetszetű rúd keresztmetszeti jellemzőiről

Már megint az történt, hogy egy képletgyűjteményt nézegetve furcsának találtunk pár

képletet: hibára gyanakodtunk. Most erről lesz szó.

A szabályos sokszögek geometriája nem tartozik a nagyon nehéz matematikai problémák

közé, legalábbis ami a szabályos sokszög alakú síkidom egyszerűbb geometriai jellemzőit

– pl.: kerület, terület – illeti. Mégis könnyű eltéveszteni az összetettebb képleteket, mind -

járt az elején: a magyarázó ábra elkészítésénél.

Először tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra – forrása:

https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_soksz%C3%B6g#/media/File:Regular_p

olygon_8_annotated.svg

Itt egy szabályos 8 - szöget láthatunk. A sokszög csúcsait a köré írt kör középpontjával

összekötve olyan egyenlő szárú háromszögeket kapunk, melyek n darabszámával sok

jellemző mennyiség kifejezhető.

Jelölések – 2. ábra – :

~ a: a sokszög egy oldalának hossza, vagyis két szomszédos csúcs távolsága;

~ R: a sokszög köré írt kör sugara;

~ r: a sokszögbe írt kör sugara;

~ α: egy alkotó háromszög ( pl.: AOB ) középponti szöge.

.

https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_soksz%C3%B6g#/media/File:Regular_polygon_8_annotated.svghttps://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_soksz%C3%B6g#/media/File:Regular_polygon_8_annotated.svg

2

2. ábra

A 2. ábra alapján közvetlenül írhatjuk, hogy:

( 1 )

ahol K a sokszög kerülete, A a sokszög területe. Továbbá:

( 2 )

majd:

( 3 )

Ismét a 2. ábrából, vagy ( 2 ) és ( 3 ) hányadosával:

( 4 )

A T értékét kétféleképpen is felírva:

( 5 / 1 )

innen:

( 5 )

A 2. ábráról is leolvasható, hogy:

( 6 )

Most ( 2 ) - ből:

( 7 )

3

majd ( 5 / 1 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

tehát:

( 8 )

Majd ( 1 / 2 ) és ( 8 ) - cal:

( 9 )

Ezután ( 6 ) és ( 9 ) - cel:

( 10 )

Most tekintsük a 3. ábrát!

3. ábra – forrása: [ 1 ]

Itt azt látjuk, hogy a képletekben α - t írtak α / 2 helyett, ha α ugyanazt jelenti, mint

nálunk, ami pedig fennáll, ahogy az a 2. és a 3. ábra összehasonlításából adódik. Szóval:

eltévesztették. Sajnos, ezt a tipikus hibát máshol is megtaláltuk.

Most térjünk rá a másodrendű nyomatékok meghatározására! A 3. ábrán egy újabb hibát is

felfedeztünk: a z és z’ tengelyek helyett y és y’ tengelyekre vett J - kről szól a képlet!

Ennek valószínűleg az az oka, hogy az ábrát máshonnan vették át.

Majd tekintsük a 4. ábrát! Itt azt látjuk, hogy a félszöget jelölték α - val.

Ekkor már egyeznek a 3. és a 4. ábra eddig megbeszélt képletei.

4

4. ábra – forrása: [ 2 ]

Hogy a 4. ábra is tartalmaz képlethibát, az már bizonyos: ρ2 képletében a helyett α - t írtak.

Az 5. ábrán egy másik képlet - alak látható Iy - ra, mely megtalálható [ 3 ] - ban is.

5. ábra – forrása:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment

https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment

5

Látjuk, hogy a bizonytalanságok és az I - re vonatkozó eltérő képlet - alakok miatt

célszerű levezetni saját képleteinket, majd azokat összevetni az irodalomból vettekkel.

Előtte azonban megvizsgáljuk, hogy a 3. ábra szerinti I3 egyezik - e az 5. ábra szerinti I5 -

tel. Tehát:

( 11 )

( 12 )

( 13 )

Először I3 - at alakítjuk át:

( 14 )

most ( 4 ) - ből:

( 15 )

majd ( 14 ) és ( 15 ) - tel:

tehát:

( 16 )

Másodszor I5 - öt alakítjuk át, részeiben:

( 17 )

( 18 )

( 19 )

Most ( 12 ), ( 17 (, ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

6

tehát:

( 20 )

Végül ( 16 ) és ( 20 ) összehasonlításával kapjuk, hogy

( 21 )

Ezek szerint ( 11 ), ( 12 ) és ( 21 ) alapján:

( 22 )

vagyis a 3. és az 5. ábrákon feltüntetett másodrendű nyomatékok egyenlők egymással.

Ez jó, viszont még mindig nem tudjuk, hogy hogyan jött ki a valószínűleg helyes ( 22 )

eredmény. Ehhez el kell végeznünk a részletes levezetést. Most jön ez.

1. A síkidomok másodrendű nyomatékaira vonatkozó főbb tételek áttekintése

Ehhez először tekintsük a 6. ábrát!

6. ábra – forrása: [ 4 ]

Most nézzük meg, hogyan változnak a síkidom inercianyomatékai a vonatkoztatási

tengelyek elforgatásával – v. ö. : [ 4 ]! Feltesszük, hogy adottak az x és y tengelyre vett

( 23 )

kiindulási mennyiségek. Keressük az α szöggel elforgatott u és v tengelyekre vett

( 24 )

7

jellemző mennyiségeket. Az integrálás a teljes keresztmetszeti síkidomra kiterjed.

A 6. ábra alapján:

( 25 )

( 26 )

Most ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

tehát:

( 27 )

Hasonlóan eljárva kapjuk a többi összefüggést is:

( 28 )

( 29 )

A 6. ábráról Pitagorász tételével:

( 30 )

integrálva:

( 31 )

hasonlóan:

( 32 )

majd ( 31 ) és ( 32 ) - vel:

( 33 )

Az olyan tengelykeresztet, melyre

( 34 )

főtengely - rendszernek nevezzük. Ha O = S, vagyis a tengely - kereszt origója a síkidom

súlypontja, akkor súlyponti főtengelyrendszerről van szó.

A továbbiak szempontjából fontos még az alábbi tétel is – 7. ábra.

8

7. ábra – forrása: [ 4 ]

Ha a síkidomnak van szimmetriatengelye, az egyben főtengely is, mert rá is fennáll ( 34 ).

Ugyanis ekkor az elemi centrifugális másodrendű nyomatékok egymást semlegesítik, így a

teljes keresztmetszetre vett integrál zérus lesz.

A fenti összefüggések a Szilárdságtanból általánosan ismertek, itt csak összefoglaltuk

azokat, hogy a későbbiekben hivatkozni tudjunk rájuk.

2. A szabályos sokszögek másodrendű nyomatékaival kapcsolatos tételek – [ 5 ]

Most tekintsük a 8. ábrát is!

8. ábra – forrása: [ 5 ]

Legyenek az x és y tengelyek súlyponti főtengelyek! Ezen kívül tegyük fel, hogy létezik a

síkidomnak még egy főtengely - párja, az u és v tengelyek, melyek nem esnek egybe az x

és y tengelyekkel ( vagyis az α szög nem egész számú többszöröse π / 2 - nek ).

Ha u és v főtengelyek, akkor ( 29 ) és ( 34 ) szerint:

( a )

Ámde x és y is főtengelyek, így ( 34 ) miatt is ( a ) - ból:

9

( b )

mivel az előbb mondottak szerint

( c )

így következik, hogy

( d )

Mivel a szimmetriatengelyek főtengelyek, így kimondhatjuk:

Ha egy síkidomnak van 2 szimmetriatengelye, melyek nem merőlegesek egymásra, akkor

az x szimmetriatengelyre és a rá merőleges y tengelyre vett másodrendű nyomatékok

egyenlőek.

Ezután tekintsük a 8. ábrán feltüntetett, tetszőlegesen felvett u1, v1 tengelypárt, melyre

( a ) - ból:

( e )

Most ( 34 ), ( d ) és ( e ) - vel:

( f )

az α1 szögtől függetlenül. Ez azt jelenti, hogy az u1, v1 is főtengelyek, a rájuk vett

másodrendű nyomatékokra pedig ( 27 ), ( 28 ), ( 34 ) és ( d ) szerint:

( g )

( h )

Ezek alapján kimondhatjuk:

Ha egy síkidomnak van 2 szimmetriatengelye, melyek nem merőlegesek egymásra, akkor a

síkidom minden súlyponti tengelye főtengely, a rájuk vett másodrendű nyomatékok

egyeznek:

~ az axiális másodrendű nyomatékok egyenlő nagyságú pozitív mennyiségek,

~ a centrifugális másodrendű nyomatékok zérus értékűek.

A szabályos sokszögek köré kör írható. A legkisebb oldalszámú a szabályos háromszög,

ennek 3 szimmetriatengelye van. A többi szabályos sokszögnek háromnál több szimmet -

riatengelye van. A szabályos sokszög oldalai akár görbe vonalúak is lehetnek.

10

9. ábra – forrása: [ 5 ]

Ilyet is láthatunk a 9. ábrán.

Minthogy a szabályos sokszögekre teljesülnek a fenti feltételek – vagyis van két

szimmetriatengelyük, melyek nem merőlegesek egymásra – a négyzetnél pl. ezek 45 fokos

szöget zárnak be egymással – , így kimondható, hogy

A szabályos sokszögek minden súlyponti tengelyére vett axiális másodrendű nyomatéka

ugyanakkora.

Ekkor ( 33 ) - ból, kicsit átírt jelöléssel:

( 35 )

Szavakban:

a szabályos sokszög bármely súlyponti tengelyére számított axiális másodrendű

nyomatékának nagysága fele a súlypontra számított poláris másodrendű nyomatékának.

Eszerint az első feladat: a súlypontra vett Ip meghatározása.

3. A szabályos sokszög súlyponti tengelyre vett másodrendű nyomatékának

meghatározása

Itt a [ 6 ] mű alapján haladunk – 10. ábra.

Tekintsük az α középponti szögű felső háromszöget, és határozzuk meg az u, v tengelyek -

re vonatkoztatott Iu’, Iv’ és Ip’ másodrendű nyomatékait! A 10 / a ábra - rész szerint:

így:

tehát:

( 36 )

Hasonlóan a 10 / b ábra - rész szerint:

így:

11

10. ábra – forrása: [ 6 ]

( 37 )

részletezve:

( 38 )

most ( 37 ) és ( 38 ) - val:

azaz:

( 39 )

E háromszög poláris másodrendű nyomatéka ( 35 ) szerint:

( 40 )

most ( 36 ), ( 39 ) és ( 40 ) szerint:

( 41 )

A teljes síkidom n darab háromszögből áll, így

12

( 42 )

majd ( 41 ) és ( 42 ) - vel:

( 43 )

Végül a keresett axiális másodrendű nyomaték ( 35 ) és ( 43 ) - mal:

( 44 )

Örömmel állapítjuk meg, hogy ( 44 ) megegyezik ( 11 ) - gyel, az érdektelen sorrendtől

eltekintve. ☺

Ezzel feladatunkat megoldottuk.

Megjegyzések:

M1. A ( 44 ) megoldás más úton, az axiális nyomatékok összegzésével is elérhető.

Ez talán kevésbé elegáns, nehézkesebb, mint a [ 6 ] - ban talált megoldási mód.

M2. A ( 44 ) eredmény igazolta a ( 11 ) és ( 12 ) szerinti eredményeket is.

M3. Az n oldalú szabályos sokszögnek n darab szimmetriatengelye van – [ 7 ].

M4. Nem feledhetjük, hogy – a cím szerint is – a szabályos sokszög egy rúd kereszt -

metszeti síkidoma, mely rúd különböző igénybevételeknek – húzásnak / nyomásnak,

nyírásnak, hajlításnak és csavarásnak – lehet kitéve. Ezért van az, hogy e síkidom geo -

metriai jellemzőit szilárdságtani számításokban látjuk viszont. Az egyre bonyolultabb

szilárdságtani modellek egyre összetettebb keresztmetszeti jellemzőket igényelnek.

Leggyakoribb ilyen jellemzők: a keresztmetszeti síkidom területe, első - és másodrendű

nyomatékai.

M5. További képlet - alakok is lehetségesek. Például:

( 2 )

( 3 )

( 5 )

13

most ( 2 ), ( 3 ), ( 17 ) és ( 44 ) - gyel:

tehát:

( 45 )

Majd ( 6 ) - ból:

( 46 )

így ( 45 ) és ( 46 ) - tal:

( 47 )

vagy:

( 48 )

Nekünk leginkább a ( 45 ) képlet tetszik. Egyszerűsége meglepő.

M6. A ( 47 ) képletből n ∞ , azaz ( 46 ) alapján α 0 esetén:

( 49 )

minthogy

( 50 )

ezért ( 49 ) és ( 50 ) szerint:

azaz:

( 51 )

Az ( 51 ) képlet ismertnek mondható.

Azt találtuk, hogy a szabályos sokszög középpontjára számított axiális másodrendű nyo -

matékának határértéke kiadja a kör középpontjára számított axiális másodrendű nyomaté -

kát, ahogyan azt vártuk is. ☺

14

M7. Az Ip poláris másodrendű nyomaték a csavarás szilárdságtani elméletében fordul elő a

leggyakrabban. Ideje megbarátkozni a gondolattal, hogy a hajlítási elméletben is helye

van, a hajlítással kapcsolatos másodrendű nyomatékok esetében, ahogyan az itt is kiderült.

M8. A 10. ábra orosz szövegű; megjelölt forrása az eredeti orosz nyelvű kiadás – mely az

interneten is megtalálható – angolra fordított változata. Hasznos segédkönyv.

M9. Szövegünkben a középpont és a súlypont kifejezéseket azonos értelemben használtuk.

Valóban: a szabályos sokszög alakú síkidom szimmetriatengelyei súlyvonalak, melyek a

síkidom S súlypontjában metszik egymást. Ez egyben a köré írható körnek is az O közép -

pontja. A sokszög csúcsai a középponttól egyenlő R, oldalai egyenlő r távolságra helyez -

kednek el – v.ö.: 2. ábra!

M10. Talán meglepőnek tűnhet, hogy e dolgozatunkban ( is ) főleg a külföldi, ezen belül is

leginkább az orosz nyelvű szakirodalomra támaszkodtunk. Ennek több oka is van:

~ az orosz nyelvű szilárdságtani szakirodalom bőséges, valamint kedvünkre való;

~ a magyar nyelvű szilárdságtani szakirodalommal időnként gondjaink vannak.

Ezek gyakran nem olyanok, mint a fentebb bemutatott képlet - , illetve ábra - hibák, hanem

mások: nem eléggé részletes, illetve sok fontos témát egyszerűen kihagyó. Jellemző, hogy

az itteni témát még sehol sem találtuk magyarul, részletesen feldolgozva. Ilyenkor szokás

mondani, hogy ez az egyetemi mechanika - gyakorlatok tárgyát képezheti, stb. Nyilván

tudják, hogy nem mindeni jár(t) az ő gyakorlati foglalkozásaikra, így ez egy kevéssé elfo -

gadható kifogás. Szemléltetésképpen vegyük az alábbi két példát!

1. A [ 8 ] régebbi műben ez olvasható:

„ Ha a síkidomnak kettőnél több szimmetriatengelye van ( pl. kör, négyzet, stb. ), akkor

minden tengely tehetetlenségi főtengely és így Ix = Iy = I1 = I2.” Ez – úgy - e? – nem túl

részletes tárgyalás.

2. A [ 9 ] újabb tankönyvben ez olvasható:

„ Az ( itteni ( 27 ), ( 28 ), ( 29 ) képleteknek megfelelő, kicsit más alakú ) képleteket

elemezve megállapítható: ha a síkidom olyan főtengelykereszttel rendelkezik, hogy a két

főinercianyomaték egymással egyenlő, tehát I1 = I2 , akkor minden tengely főtengely, azaz

a centrifugális nyomaték zérus és mindegyikre vonatkozó inercianyomaték azonos értékű.”

Látható, hogy itt is rábízták az olvasóra / tanulóra az elemzés elvégzését. Ami akár félre is

mehet, hiszen e szöveg után pár szimmetrikus keresztmetszetet megmutatva nem igazoltak

semmit sem. Az ilyesmit nem kedveljük. Igaz, emlékeink szerint a mi mechanika ~ gya -

korlatunkon is eléggé lazán kezelték az itteniek igazolásának kérdését. Ez más témákkal is

megtörtént, vagyis közölték a tényeket / tételeket, de az igazolásukra már nem jutott idő.

15

Források:

[ 1 ] – Sz. P. Fjeszik: Szpravocsnyik po szoprotyivljenyiju matyerialov

2. kiadás, Bugyivjelnyik, Kijev, 1982., 263. o.

[ 2 ] – Warren C. Young ~ Richard G. Budynas: Roark’s Formulas for Stress and Strain

7. kiadás, McGraw - Hill, New York, 2002., 812. o.

[ 3 ] – HÜTTE ~ A mérnöki tudományok kézikönyve

Springer Verlag, Budapest, 1993., E 69.

[ 4 ] – V. I. Feodoszjev: Szoprotyivljenyije matyerialov

9. kiadás, Moszkva, Nauka, 1986., 128 ~ 130. o.

[ 5 ] – V. I. Feodosyev: Selected Problems and Questions in Strength of Materials

MIR Publishers, Moscow, 1977., 136. o.

[ 6 ] – I. N. Miroljubov és tsai: An Aid to Solving Problems in Strength of Materials

MIR Publishers, Moscow, 1983., 73 ~ 75. o.

[ 7 ] – Gerőcs László ~ Vancsó Ödön: Matematika

Akadémiai Kiadó, Budapest, 2010., 226. o.

[ 8 ] – Anderlik Előd ~ Feimer László: Mechanika

Pallas Irodalmi és Nyomdai R.t., Budapest, 1934., 168. o.

[ 9 ] – Becker Sándor: Szilárdságtan I.

Tankönyvkiadó, Budapest, 1990., 203. o.

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2018. 06. 22.