SZABÁLYOS TESTEK

JOHANNES KEPLER

Német matematikus és csillagász, aki felfedezte

a bolygómozgás törvényeit, amiket róla Kepler-

törvényeknek neveznek. Széles körűen

foglalkozott más megfigyelésekkel is, köztük

optikával.

Az 1596-ban kiadott könyvében, a Mysterium

Cosmographicumban (Das Weltgeheimnis)

Kepler az akkor ismert hat bolygó pályáját az öt

platóni testtel hozta kapcsolatba.

(Weil der Stadt, 1571. december 27. –

Regensburg, Bajorország, 1630. november 15.)

KEPLER PLÁTÓNI MODELLJE

Johannes Kepler, amikor még körpályákban

gondolkodott, úgy gondolta, hogy az akkor ismert

hat bolygót (Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter,

Szaturnusz) hordozó szférák (gömbök) közé a

szabályos testek rakhatóak be sorban. Ezzel

megmagyarázható volt az is, hogy a bolygók

száma miért pont hat. Legbelül foglalt helyet az

oktaéder, ezt követte az ikozaéder, majd a

dodekaéder, a tetraéder és végül a kocka.

KEPLER PLÁTÓNI MODELLJE

Úgy gondolta, hogy az egyes bolygópályák

gömbjei között a kocka, a tetraéder, az oktaéder,

a dodekaéder és az ikozaéder tartja a

távolságot. Ebben a művében jelenik meg az a

gondolat, hogy a bolygókat egy a Napból

kiáradó erő tartja pályájukon.

Ezt azzal indokolta, hogy ez az erő a Naptól

távolabb gyengébb, ezért mennek lassabban a

távoli bolygók.

Ez az első eset, hogy valaki a bolygók mozgását

valamilyen fizikai hatással próbálta magyarázni.

A későbbiekben született Kepler törvények

azonban módosították ezt a bolygómodellt.

SZABÁLYOS TESTEK

Definíció:

A szabályos testek vagy platóni testek a geometria területén

olyan konvex testeket jelentenek, melyek oldalait egybevágó

szabályos sokszögek határolják, minden lapszögük egyenlő és a

csúcsalakzataik is egybevágók. A 3 dimenziós térben öt szabályos test

létezik. Két dimenzióban végtelen sok szabályos sokszög létezik.

Euler tétel: Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a

lapjainak száma l és a csúcsainak száma c.

Ekkor fennáll a következő egyenlőség: c + l = e +2

TETRAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 4

Oldallapok fajtája: Szabályos háromszög

Élek száma: 6

Csúcsok száma: 4

HEXAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 6

Oldallapok fajtája: Négyzet

Élek száma: 12

Csúcsok száma: 8

OKTAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 8

Oldallapok fajtája: Szabályos háromszög

Élek száma: 12

Csúcsok száma: 6

DODEKAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 12

Oldallapok fajtája: Szabályos ötszög

Élek száma: 30

Csúcsok száma: 20

IKOZAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 20

Oldallapok fajtája: Szabályos háromszög

Élek száma: 30

Csúcsok száma: 12

SZABÁLYOS TESTEK

Tetraéder Hexaéder Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder

Csúcsok száma

(c)4 8 6 20 12

Oldallapok

száma (l)4 6 8 12 20

c+l 8 14 14 32 32

Élek száma (e) 6 12 12 30 30+2

Euler tétel: Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak

száma c.

Ekkor fennáll a következő egyenlőség: c + l = e +2Az Euler tétel következménye: több szabályos test nem létezik, csak ez az öt.

ARKHIMÉDÉSZI TESTEK

ARKHIMÉDESZI TESTEK

Definíció:

Az arkhimédészi testek (Arkhimédész-féle poliéderek) sokszimmetriájú,

félig szabályosnak is nevezett, konvex testek. Két- vagy többféle

szabályos sokszög alkotja a lapjaikat, és csúcsalakzataik is egybevágók

(de már nem mindig szabályosak, mint az fönnáll a szabályos testekre).

Különböznek tehát a platóni vagy szabályos testektől.

CSONKÍTOTT TETRAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 8

Lapok fajtája: 4 háromszög

4 hatszög

Élek száma: 18

Csúcsok száma: 12

KUBOKTAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 14

Lapok fajtája: 8 háromszög

6 négyzet

Élek száma: 24

Csúcsok száma: 12

CSONKÍTOTT HEXAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 14

Lapok fajtája: 8 háromszög

6 nyolcszög

Élek száma: 36

Csúcsok száma: 24

CSONKÍTOTT OKTAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 14

Lapok fajtája: 6 négyzet

8 hatszög

Élek száma: 36

Csúcsok száma: 24

ROMBIKUBOKTAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 26

Lapok fajtája: 18 négyzet

8 háromszög

Élek száma: 48

Csúcsok száma: 24

CSONKÍTOTT KUBOKTAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 26

Lapok fajtája: 12 négyzet

8 hatszög

6 nyolcszög

Élek száma: 72

Csúcsok száma: 48

PISZE HEXAÉDER (2 KIRÁLIS ALAK)

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 38

Lapok fajtája: 6 négyzet

32 háromszög

Élek száma: 60

Csúcsok száma: 24

IKOZIDODEKAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 32

Lapok fajtája: 12 ötszög

20 háromszög

Élek száma: 60

Csúcsok száma: 30

CSONKÍTOTT DODEKAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 32

Lapok fajtája: 12 tízszög

20 háromszög

Élek száma: 90

Csúcsok száma: 60

CSONKÍTOTT IKOZAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 32

Lapok fajtája: 12 ötszög

20 hatszög

Élek száma: 90

Csúcsok száma: 60

ROMBIKOZIDODEKAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 62

Lapok fajtája: 12 ötszög

20 háromszög

30 négyzet

Élek száma: 120

Csúcsok száma: 60

CSONKÍTOTT IKOZIDODEKAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 62

Lapok fajtája: 12 tízszög

20 hatszög

30 négyzet

Élek száma: 180

Csúcsok száma: 120

PISZE DODEKAÉDER

Kép:

Háló:

Oldallapok száma: 92

Lapok fajtája: 80 háromszög

12 ötszög

Élek száma: 150

Csúcsok száma: 60

Forrás: www.wikipedia.org

ARKHIMÉDÉSZI TESTEKCsúcsok száma (c) Oldallapok száma (l) c+l Élek száma (e)

Csonkított tetraéder 12 8 20 18

Kuboktaéder 12 14 26 24

Csonkított hexaéder 24 14 38 36

Csonkított oktaéder 24 14 38 36

Rombikuboktaéder 24 26 50 48

Csonkított kuboktaéder 48 26 74 72

Pisze hexaéder 24 38 62 60

Ikozidodekaéder 30 32 62 60

Csonkított dodekaéder 60 32 92 90

Csonkított ikozaéder 60 32 92 90

Rombikozidodekaéder 60 62 122 120

Csonkított ikozidodekaéder 120 62 182 180

Pisze dodekaéder 60 92 152 150

Euler tétel: Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak száma c.

Ekkor fennáll a következő egyenlőség: c + l = e +2

TESTEK DUÁLISAI

• Minden poliédernek létezik egy duálisa,

amikor a lapok és a csúcsok kölcsönösen

fölcserélődnek. Minden szabályos platóni

test duálisa egy másik platóni test, így

ezek a testek duális párokba rendezhetők.

• A tetraéder önmagával alkot duális párt

(duálisa egy másmilyen állású tetraéder).

• A kocka duálisa az oktaéder.

• A dodekaéder duálisa az ikozaéder.

TESTEK DUÁLISA

MOST PEDIG KEPLER MUNKÁSSÁGÁNAK FIZIKAI RÉSZÉRE TÉRÜNK ÁT