제 8 장 IIR 필터 설계 (C)

8.3 아날로그-디지털 필터 변환 (1)

아날로그 필터를 설계하는 여러 방법들을 공부했으므로, 이제 이것들을 디지털 필터로 바꿀 준비가 되었다. 이 변환들은 여러 문헌에서 폭넓게 연구된 복소수 사상(complex-valued mapping)이다. 이 변환들은 아날로그 필터와 디지털 필터의 여러 측면을 유지함으로써 유도할 수 있다. 만약 아날로그 필터와 디지털 필터의 임펄스 응답 모양을 유지하고자 한다면, 임펄스 불변(impulse invariance) 변환이라는 기법을 사용한다. 만약 미분방정식 표현을 그에 상당하는 차분방정식 표현으로 바꾸고자 한다면, 유한차분 근사(finite difference approximation) 기법을 사용한다. 수많은 다른 기법들이 가능하다. 스텝 불변법(step invariance) 기법은 계단 응답(step response)의 모양을 유지한다. 이것은 문제 9에서 다룬다. 실제로 사용하는 가장 유명한 기법은 쌍일차 변환(bilinear transformation) 이라 불리는 것으로, 아날로그 영역과 디지털 영역에서의 시스템 함수 표현을 유지한다. 이 절에서는 임펄스 불변법과 쌍일차 변환에 대해 자세히 공부한다.

임펄스 불변 변환(impulse invariance transformation)

임펄스 불변법(impulse invariance)의 기본개념은 그 주파수 응답이 연속시간 시스템의 주파수 응답으로 결정되는 이산시간 시스템을 구하는 하나의 방법이라고 생각할 수 있다. 이 설계 방법에서는 디지털 필터의 임펄스 응답이 주파수 선택적 아날

로그 필터의 임펄스 응답과 비슷하도록 하는 것이다.. 그러므로, 을 얻기위해

샘플링 간격 로 의 샘플을 추출한다. 이것은 디지털 필터의 임펄스 응답을 아날로그 필터의 임펄스 응답의 등간격 샘플이 되도록 택하는 것이다. 즉,

여기서 파라미터 는 샘플들이 의 모양을 나타낼 수 있도록 선택한다. 이것은 샘플링 연산이기 때문에, 아날로그와 디지털의 주파수들은 다음과 같은 관계를 갖는다.

는 단위원 위에 있고, 는 허수축에 있으므로, 다음과 같은 평

면에서 평면으로의 변환을 얻게 된다.

시스템 함수 와 는 주파수 영역 에일리어싱 공식 (3.27)을 통해 관계를 맺는다.

사상(mapping) (8.24)하에서의 복소평면 변환을 그림 8.9에 나타내었다. 이것으로부터 다음과 같은 사실을 관찰할 수 있다.

1. 라 하면,

인 부분은 (단위원 안쪽)으로 사상한다.

인 부분은 (단위원 위)로 사상한다.

인 부분은 (단위원 바깥쪽)으로 사상한다.

2. 위에 있는 폭이 인 모든 반무한(semi-infinite) 조각들은 로 사상한다. 그러므로, 이 사상은 유일하지 않은 다대일(many-to-one) 사상이다.

3. 평면의 왼쪽 반평면이 단위원 안으로 사상하므로 인과적 안정 아날로그 필터는 인과적 안정 디지털 필터로 사상한다.

4. 에서 이면,

이고, 에일리어싱이 없다. 그러나, 어떤 유한 차수의 아날로그 필터도 완전하게 대역 제한적일 수는 없다. 따라서, 이 설계 과정에서는 약간의 에일리어싱 오차가 발생하

고, 그 결과 이 설계 방법에서 샘플링 간격 는 큰 역할을 하지 못한다.

그림 8.9 임펄스 불변 변환에서의 복소평면 사상

설계 과정

디지털 저역통과 필터의 사양 가 주어지면, 먼저 그에 해당하는

아날로그 필터를 설계하여 를 결정한 후, 이것을 사상하여 원하는 디지털 필터를 얻는다. 이 과정에 필요한 단계들은 다음과 같다.

1. 를 선택하고 아날로그 주파수들을 다음과 같이 결정한다.

2. 사양 를 사용하여 아날로그 필터 를 설계한다. 이것은 앞 절에서 공부했던 3가지(버터워스, 체비셰프, 타원형) 원형중에서 하나를 사용하여 할 수 있다.

3. 부분분수 전개를 이용하여 를 다음과 같이 전개한다.

4. 이제 아날로그 극점 를 디지털 극점 로 변환하여, 다음과 같은 디지털 필터를 얻는다.

? 예제 8.9 임펄스 불변법을 사용하여

를 디지털 필터로 변환하여라. 로 한다. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.9 참조> 다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.9의 해

CEMTool>> c = [1,1]; d = [1,5,6]; T = 0.1; Fs = 1/T; CEMTool>> [b,a] = implinv(c,d,T)

b = 1.0000 -0.8966

a = 1.0000 -1.5595 0.6065

먼저 부분분수 전개를 이용하여 를 다음과 같이 전개한다.

극점은 이다. 그러면, 식 (8.25)와 을 사용하여 다음의 식을 얻을 수 있다.

그림 8.10 예제 8.10의 임펄스 응답과 주파수 응답

다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다.

■ 예제 8.9의 해

function [b,a] = imp_invr(c,d,T) % Impulse Invariance Transformation from Analog to Digital Filter % --------------------------------------------------------------- % [b,a] = imp_invr(c,d,T) % b = Numerator polynomial in z (̂-1) of the digital filter % a = Denominator polynomial in z (̂-1) of the digital filter % c = Numerator polynomial in s of the analog filter % d = Denominator polynomial in s of the analog filter % T = Sampling (transformation) parameter % [R,p,k] = residue(c,d); p = exp(p*T); [b,a] = residuez(R,p,k); b = real(b'); a = real(a');

? 예제 8.10 버터워스 원형 필터를 사용하여 다음 사양을 만족하는 디지털 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.10 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. 예제 8.10의 해

CEMTool>> /* Digital Filter Specifications: */ CEMTool>> wp = 0.2*pi; /* digital Passband freq in Hz */ CEMTool>.ws = 0.3*pi; /* digital Stopband freq in Hz */ CEMTool>> Rp = 1; /* Passband ripple in dB */ CEMTool>> As = 15; /* Stopband attenuation in dB */

CEMTool>> /* Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies */ CEMTool>> T = 1; /* Set T=1 */ CEMTool>> OmegaP = wp * T; /* Prototype Passband freq */ CEMTool>> OmegaS = ws * T; /* Prototype Stopband freq */

CEMTool>> /* Analog Butterworth Prototype Filter Calcula tion: */ CEMTool>> [cs,ds] = butlpf(OmegaP,OmegaS,Rp,As);

*** Butterworth Filter Order = 6

CEMTool>> /* Impulse Invariance transformation: */ CEMTool>> [b,a] = implinv(cs,ds,T); CEMTool>> [C,B,A] = drt2prl(b,a)

C = []

B = 1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466

A = 1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949

설계된 필터는 다음과 같이 병렬형으로 주어진 시스템 함수 를 갖는 6차 버터워스 필터이다.

주파수 응답 그래프를 그림 8.11에 나타내었다.

그림 8.11 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 버터워스 저역통과 필터

다음은 MatLabl 로 계산된 결과입니다. 예제 8.10의 해 >> % Digital Filter Specifications: >> wp = 0.2*pi; % digital Passband freq in Hz >.ws = 0.3*pi; % digital Stopband freq in Hz >> Rp = 1; % Passband ripple in dB >> As = 15; % Stopband attenuation in dB

>> % Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies >> T = 1; % Set T=1 >> OmegaP = wp * T; % Prototype Passband freq >> OmegaS = ws * T; % Prototype Stopband freq

>> % Analog Butterworth Prototype Filter Calculation: >> [cs,ds] = afd_butt(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Butterworth Filter Order = 6

>> % Impulse Invariance transformation: >> [b,a] = imp_invr(cs,ds,T); >> [C,B,A] = dir2par(b,a) C = [] B = 1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466 A = 1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949

그림: 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 버터워스 저역통과 필터

? 예제 8.11 제 1 형 체비셰프 원형 필터를 사용하여 다음 사양을 만족하는 디지털 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.11 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. 예제 8.11의 해 CEMTool>> /* Digital Filter Specifications: */ CEMTool>> wp = 0.2*pi; /* digital Passband freq in Hz */ CEMTool>> ws = 0.3*pi; /* digital Stopband freq in Hz */ CEMTool>> Rp = 1; /* Passband ripple in dB */ CEMTool>> As = 15; /* Stopband attenuation in dB */ CEMTool>> /* Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies */ CEMTool>> T = 1; /* Set T=1 */ CEMTool>> OmegaP = wp * T; /* Prototype Passband freq */ CEMTool>> OmegaS = ws * T; /* Prototype Stopband freq */ CEMTool>> /* Analog Chebyshev-1 Prototype Filter Calculation: */ CEMTool>> [cs,ds] = chb1lpf(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Chebyshev-1 Filter Order = 4 CEMTool>> /* Impulse Invariance transformation: */ CEMTool>> [b,a] = implinv(cs,ds,T); CEMTool>> [C,B,A] = drt2prl(b,a) C = [] B = -0.0833 -0.0246 0.0833 0.0239 A = 1.0000 -1.4934 0.8392 1.0000 -1.5658 0.6549

설계된 필터는 다음과 같은 시스템 함수 를 갖는 4차 제 1형 체비셰프 필터이다.

주파수 응답 그래프를 그림 8.12에 나타내었다.

그림 8.12 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 제 1형 체비셰프 저역통과 필터

다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다. 예제 8.11의 해

>> % Digital Filter Specifications: >> wp = 0.2*pi; % digital Passband freq in Hz >> ws = 0.3*pi; % digital Stopband freq in Hz >> Rp = 1; % Passband ripple in dB >> As = 15; % Stopband attenuation in dB

>> % Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies >> T = 1; % Set T=1 >> OmegaP = wp * T; % Prototype Passband freq >> OmegaS = ws * T; % Prototype Stopband freq

>> % Analog Chebyshev-1 Prototype Filter Calculation: >> [cs,ds] = afd_chb1(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Chebyshev-1 Filter Order = 4

>> % Impulse Invariance transformation: >> [b,a] = imp_invr(cs,ds,T); >> [C,B,A] = dir2par(b,a) C = [] B = -0.0833 -0.0246 0.0833 0.0239 A = 1.0000 -1.4934 0.8392 1.0000 -1.5658 0.6549

그림: 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 제 1 형 체비셰프 저역통과 필터

? 예제 8.12 제 2 형 체비셰프 원형 필터를 사용하여 다음 사양을 만족하는 디지털 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.12 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. 예제 8.12의 해 CEMTool>> /* Digital Filter Specifications: */ CEMTool>> wp = 0.2*pi; /* digital Passband freq in Hz */ CEMTool>> ws = 0.3*pi; /* digital Stopband freq in Hz */ CEMTool>> Rp = 1; /* Passband ripple in dB */ CEMTool>> As = 15; /* Stopband attenuation in dB */ CEMTool>> /* Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies */ CEMTool>> T = 1; /* Set T=1 */ CEMTool>> OmegaP = wp * T; /* Prototype Passband freq */ CEMTool>> OmegaS = ws * T; /* Prototype Stopband freq */ CEMTool>> /* Analog Chebyshev-1 Prototype Filter Calculation: */ CEMTool>> [cs,ds] = chb2lpf(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Chebyshev-2 Filter Order = 4 CEMTool>> /* Impulse Invariance transformation: */ CEMTool>> [b,a] = implinv(cs,ds,T); CEMTool>> [C,B,A] = drt2prl(b,a) C = 0.1778 B = -0.0313 0.5760 -0.3901 0.1552 A = 1.0000 -0.5273 0.1348 1.0000 -1.1386 0.6938 주파수 응답 그래프를 그림 8.13에 나타내었다. 이 그림으로부터 통과대역과 저지대역에서의 모양이 나빠졌음을 확실히 알 수 있다. 따라서, 임펄스 불변 설계 기법으로는 원하는 디지털 필터를 만들 수 없다.

그림 8.13 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 제 2형 체비셰프 저역통과 필터

다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다. 예제 8.12의 해

>> % Digital Filter Specifications: >> wp = 0.2*pi; % digital Passband freq in Hz >> ws = 0.3*pi; % digital Stopband freq in Hz >> Rp = 1; % Passband ripple in dB >> As = 15; % Stopband attenuation in dB

>> % Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies >> T = 1; % Set T=1 >> OmegaP = wp * T; % Prototype Passband freq >> OmegaS = ws * T; % Prototype Stopband freq

>> % Analog Chebyshev-1 Prototype Filter Calculation: >> [cs,ds] = afd_chb2(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Chebyshev-2 Filter Order = 4

>> % Impulse Invariance transformation: >> [b,a] = imp_invr(cs,ds,T); >> [C,B,A] = dir2par(b,a) C = 0.1778

B = -0.0313 0.5760 -0.3901 0.1552 A = 1.0000 -0.5273 0.1348 1.0000 -1.1386 0.693

그림: 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 제 2 형 체비셰프 저역통과 필터

? 예제 8.13 제 2 형 체비셰프 원형 필터를 사용하여 다음 사양을 만족하는 디지털 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.13 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. 예제 8.13의 해 CEMTool>> /* Digital Filter Specifications:*/ CEMTool>> wp = 0.2*pi; /* digital Passband freq in Hz */

CEMTool>> ws = 0.3*pi; /* digital Stopband freq in Hz */ CEMTool>> Rp = 1; /* Passband ripple in dB */ CEMTool>> As = 15; /* Stopband attenuation in dB */ CEMTool>> /* Analog Prototype Specifications: Inverse mapping for frequencies */ CEMTool>> T = 1; /* Set T=1 */ CEMTool>> OmegaP = wp * T; /* Prototype Passband freq */ CEMTool>> OmegaS = ws * T; /* Prototype Stopband freq */ CEMTool>> /* Analog Elliptic Prototype Filter Calculation: */ CEMTool>> [cs,ds] = elplpf(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Elliptic Filter Order = 3 CEMTool>> /* Impulse Invariance transformation: */ CEMTool>> [b,a] = implinv(cs,ds,T); CEMTool>> [C,B,A] = drt2prl(b,a) C = [] B = -0.1600 0.1299 0.4560 0.0000 A = 1.0000 -1.4854 0.8521 1.0000 -0.6338 0.0000 주파수 응답 그래프를 그림 8.14에 나타내었다. 또 다시 임펄스 불변 설계 기법으로 원하는 디지털 필터를 만들 수 없었다.

그림 8.14 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 타원형 저역통과 필터

다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다. 예제 8.13의 해

>> % Digital Filter Specifications: >> wp = 0.2*pi; % digital Passband freq in Hz >> ws = 0.3*pi; % digital Stopband freq in Hz >> Rp = 1; % Passband ripple in dB >> As = 15; % Stopband attenuation in dB

>> % Analog Prototype Specifications: Invers e mapping for frequencies >> T = 1; % Set T=1 >> OmegaP = wp * T; % Prototype Passband freq >> OmegaS = ws * T; % Prototype Stopband freq

>> % Analog Elliptic Prototype Filter Calculation: >> [cs,ds] = afd_elip(OmegaP,OmegaS,Rp,As); *** Elliptic Filter Order = 3

>> % Impulse Invariance transformation: >> [b,a] = imp_invr(cs,ds,T); >> [C,B,A] = dir2par(b,a) C = [] B = -0.1600 0.1299 0.4560 0 A = 1.0000 -1.4854 0.8521 1.0000 -0.6338 0

그림: 임펄스 불변법 설계를 이용한 디지털 타원형 저역통과 필터

임펄스 불변법에서 근본적인 것은 아날로그 필터의 임펄스 응답과 비슷한 디지털 필터의 임펄스 응답을 선택하는 것이다. 이런 절차를 사용하는 동기는 임펄스 응답의 모양을 유지하려는 욕구라기 보다는 오리혀 아날로그 필터가 대역제한되어 있다면, 디지털 필터의 주파수응답이 연속시간 주파수응답을 잘 근사한다는 인식에 기인한다. 그러나 필터설계 문제에 있어서, 주요한 목적은 임펄스 응답이나 스텝응답과 같은 시간응답을 제어하는 것일 수도 있다. 그런 경우에 자연스러운 접근법은 임펄스 불변법이나 스텝 불변법에 의하여 디지털 필터를 설계하는 것이다. 임펄스 불변 설계절차에 있어서 연속시간 주파수와 이산시간 주파수 사이의 관계는 선형이다. 따라서 에일리어싱을 제외하고는 주파수 응답의 모양이 보존된다. 결론적으로 말하면 임펄스 불변기술은 대역제한된 필터의 경우에만 적합아다. 예를 들면, 임펄스 불변설계가 사용될 경우, 고역통과 혹은 대역저지 아날로그 필터는 심한 에일리어싱을 방지하기 위하여 부가적인 대역제한을 필요로 한다.

임펄스 불변 사상의 장점은 안정적인 설계를 보장하고, 주파수 와 가 선형적인 관계를 갖는다는 것이다. 그러나, 아날로그 주파수 응답의 에일리어싱이 약간 발생하고, 어떤 경우에는 이 에일리어싱을 허용할 수 없다는 단점이 있다. 따라서, 이 설계 방법은 저역통과 필터나 대역통과 필터와 같이, 저지대역에 진동이 없고 근본적으로 대역제한된 아날로그 필터일 경우에만 유용하다.