동아대학교 토목공학과 구조역학 1 강의: 박현우

Lecture 6 - 1

6. 보의 처짐

(Deflections of beams)

수업목적:

평면상에서 하중을 받는 보에 발생하는 처짐 해석 기법을

이해하고 습득.

수업내용:

보의 처짐에 대한 미분방정식

직접적분법

모멘트면적법

공액보법

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Lecture 6 - 2

6.1 보의 처짐에 대한 미분방정식 (1) 보이론의 가정 (Euler-Bernoulli beam)

처짐의 크기가 보 전체 길이에 비해 매우 작다 (미소변형).

변형전에 평면인 임의의 보의 단면은 변형후에도 평면이

유지.

변형전에 중립축과 수직은 보의 단면은 변형 후에도 수직.

(2) 보의 곡률

휨에 의한 보의 변형은 곡률(또는 곡률반경)으로 표현

dx

d

dx

d

1

(3) 곡률의 부호규약

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Lecture 6 - 3

(4) 축방향 변형도 x

yy

d

ddy

dx

dxef

o

o

ox

)(

즉, yxyxx )(),(

- y축에서 선형으로 변화 - 중립축에서 0 - 양의 곡률에서 보의 중립축 상단은 압축력 하단은 인장력발생

y

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Lecture 6 - 4

(5) 법선 응력 x

yxEyEE xx )( (후크의 법칙)

- y축에서 선형으로 변화 - 중립축에서 0 - 양의 곡률에서 보의 중립축 상단은 압축력 하단은 인장력발생

중립축의 위치계산

0ydAEdAx A

ydA 0

(6) 휨모멘트-곡률 관계식

dAyEydAM x2

AdAyEM 2

EI

M

- AdAyI 2 (단면 2차 모멘트)

- EI : 휨강성

(7) 휨 공식

EI

M

EI

M

Eyx

y

I

Mx

즉, 중립축의 위치는 단면의 도심과 일치

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Lecture 6 - 5

(8) 처짐과 휨모멘트 관계식 (미소변위일 경우)

처짐과 휨모멘트 관계식

2

2

dx

yd

EI

M

dx

yd

2

2

처짐각과 휨모멘트 관계식

dx

dy

EI

M

dx

d

(9) 요약

보의 처짐, 처짐각과 곡률 관계식

2

2

dx

yd

dx

d

곡률과 축방향 변형도 관계식

yx

곡률과 법선응력 관계식

yEE xx

곡률과 휨모멘트 관계식

EI

M

처짐과 휨모멘트 관계식

EI

M

dx

yd

2

2

보에 발생하는 처짐과 처짐각은 각각 해당식을 x 에 대해 적분하여 구할 수 있다. 이때 발생하는 적분상수는 경계조건을 이용하여 구한다.

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Lecture 6 - 6

6.2 직접적분법 (1) 원리

처짐과 휨모멘트 관계식을 이용해서 보의 축에 따른 거리

x 의 항으로 M/EI 의 식을 세우고 처짐각과 처짐을 적분을 이

용하여 구하는 방법이다.

(2) 절차

a) 보에 대한 반력과 내력에 대한 해석을 수행하여 축

에 따른 M/EI의 식을 x에 대한 함수로 표시.

b) M/EI의 식을 x축에 대해 적분을 차례로 수행해서 처

짐각, 처짐에 대한 식을 구함.

c) 적분과정에서 발생되는 적분상수는 보의 경계조건

(고정단, 힌지, 롤러)을 이용하여 결정.

(3) 예제 1(교재 200페이지 예제 6.1)

직접적분법을 이용하여 보의 처짐각과 처짐 방정식을 구

하라.

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Lecture 6 - 7

6.3 모멘트면적법 (Moment Area Method)

(1) 원리

처짐각의 변화량

B

A

B

A

dxEI

Md

B

A

ABBA dxEI

M

처짐의 변화량 (아래첨자 기준점에 유의)

B

A

B

A

dxxEI

Md

B

A

BA dxxEI

M

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Lecture 6 - 8

(2) 예제 1 (교재 207페이지 예제 6.2)

모멘트 면적법을 이용해서 B 점에서의 처짐과 처짐각을

구하라.

모멘트도와 M/EI 다이어그램

보의 정성적인 처짐 (M/EI 다이어그램)

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Lecture 6 - 9

모멘트 면적법으로 B 계산

B

A

ABBA dxEI

M

EIEIBA

2

21 ftk 2625

)15)(150()15)(100(1

여기서, A=0 이므로 rad 0043.0)3000)(29000(

)12)(2625(2625 2

EIBAB

B = 0.0043 rad (시계방향)

모멘트 면적법으로 B 계산

B

A

BA dxxEI

M

EIEIBA

3

21 ftk 22500

)10)(15)(150()5.7)(15)(100(1

여기서, in 45.0)3000)(29000(

)12)(22500(22500 3

EIBBA

B = 0.45 in ()

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Lecture 6 - 10

(3) 예제 2 (교재 209페이지 예제 6.3)

모멘트 면적법을 이용해서 다음 보의 최대 처짐을 구하라.

M/EI 다이어그램

보의 정성적인 처짐 (M/EI 다이어그램)

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Lecture 6 - 11

모멘트 면적법으로 A 계산

LCA

AA

tan (CA가 미소변위일 때)

여기서, EIEICA

3

310

21

310

21 mkN 20000

))(5)(400()5)(10)(400(1

EI

EI

LCA

A

2mkN 33.1333

15

/20000

최대 처짐의 위치 xm 계산

최대 처짐이 발생하는 위치 D 에서 D = 0 이 되므로 다음의

식이 성립해야 한다.

mx

AADDA dxEI

M

0

0

EI

dxEI

MA

xm 2

0

mkN 33.1333

EI

xEI

xm

m 33.1333)

40(

2

1 (M/EI 다이어그램으로부터)

m 16.8 mx

최대 처짐의 위치(D)에서 처짐값 D 계산

모멘트 면적법을 이용해서 다음과 같이 계산할 수 있다.

D

A

DAD dxxEI

M

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Lecture 6 - 12

EIEID

3

32

21 mkN5.7244

)16.8)(16.8)(16.840(1

mm 7.51)10)(700)(10)(200(

5.724496 D ()

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Lecture 6 - 13

6.4 공액보법 (Conjugate beam method)

(1) 원리

실제보에 상응하는 공액보는 실제보와 같은 길이를 가지

는 가상의 보이다. 그러나 공액보는 외적으로 지지되고 내적

으로 연결되기 때문에 공액보가 실제보의 M/EI 다이어그램의

하중을 받는다면 공액보에서의 전단과 휨모멘트는 실제보에

서의 처짐각과 처짐과 같다.

(2) 힘관계식과 처짐관계식과의 유사성 및 대응관계

아래 표에서 보는 것과 같이 힘관계식과 처짐관계식은 완

벽한 대응관계를 가지고 있음을 알 수 있다.

EI

M

dx

yd

dx

dy

2

2

orqdx

MdV

dx

dM

2

2

or

EI

M

dx

d

M/EI, 처짐각, 처짐의 관계하중, 전단, 휨모멘트의 관계

전단력 vs 처짐각

하중 vs M/EI

휨모멘트 vs 처짐

qdx

dV

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Lecture 6 - 14

(3) 실제보와 공액보의 지점 및 힌지의 대응관계

실제보 공액보

지점종류 처짐각() 처짐()

전단력(V) 휨모멘트(M)

지점종류

단순지지

0 = 0

V 0 M = 0

단순지지

고정단

= 0, = 0

V = 0 M = 0

자유단

자유단

0 0

V 0 M 0

고정단

단순내부지점

0 이고 연속 = 0

V 0 이고 연속 M = 0

내부힌지

내부힌지

0 이고 불연속 0

V 0 이고 불연속 M 0

단순내부지점

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Lecture 6 - 15

(4) 여러 종류의 실제보에 대한 공액보들의 예시

정적 정정인 실제보의 공액보는 항상 정적 정정을 이룸.

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Lecture 6 - 16

정적 부정정인 실제보의 공액보는 불안정 상태가 된다. 그렇지만 이러한 불안정 공액보는 스스로 균형을 이루는 부정정인 실제보의 M/EI 다이어그램의 하중을 받으므로 불안정 공액보는 평형을 이루게 된다.

정적 불안정인 실제보는 정적 부정정의 공액보가 됨.

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Lecture 6 - 17

(5) 예제 1 (교재 223 예제 6.6)

공액보법을 이용하여 다음의 내민 보의 점 B 에서 처짐각

과 처짐을 구하라.

M/EI 다이어그램

공액보

실제보의 자유단 공액보의 고정단

실제보의 고정단 공액보의 자유단

실제보의 하중 공액보의 M/EI

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Lecture 6 - 18

실제보의 B 점에서의 처짐각은 공액보의 B 점에서 작용하

는 전단력과 같다.

EIEIVB

2ftk 2625)}15)(150(

2

1)15(100{

1

)( rad 0.0043rad 0043.0)3000)(29000(

(12) 2625 2

시계방향 B

실제보의 B 점에서의 처짐은 공액보의 B 점에서 작용하는

휨모멘트와 같다.

EIEIM B

3ftk 25002)}10)(15)(150(

2

1)5.7)(15(100{

1

)(in 0.45in 45.0)3000)(29000(

(12) 25002 3

B