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Matrices

1 Álgebra de matrices

Definición 1: Una matriz de orden × con coeficientes en un cuerpo Kes un conjunto ordenado de · elementos, colocados en filas y columnas:

= () =

⎛⎜⎜⎜⎝11 12 · · · 121 22 · · · 2...

.... . .

...

1 2 · · ·

⎞⎟⎟⎟⎠ ∈×(K)

donde ∈ K denota el elemento de la matriz situado en la fila -ésima y

en la columna -ésima. Si = 1 la matriz se llama matriz fila y si = 1

la matriz se llama matriz columna. Si 6= la matriz se llama matriz

rectangular y si = se llama matriz cuadrada de orden . Mientras no se

diga lo contrario, K será el cuerpo R de los números reales y se denotará por×(R) el conjunto de todas las matrices reales de orden × Obviamente,

1×1(R) puede ser identificado con R.

Observación 1: si se considera el producto cartesiano R formado portodas las -tuplas de números reales

R = R × ) × R =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎝

12...

⎞⎟⎟⎟⎠ ∈ R

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭se tiene que existe una biyección entre R y 1×(R) o ×1(R) ya que todoelemento de R se puede representar por una matriz columna de orden 1 ×

o, alternativamente, por una matriz fila de orden × 1 Puesto que R esun espacio vectorial, diremos que una matriz columna (resp. fila) es un vector

columna (resp. fila). Los elementos de la matriz son las componentes del vector.

Como norma general, escribiremos los elementos (vectores) de R como vectorescolumna, esto es, como una matriz de orden ×1 y representaremos los vectoresmediante letras negritas evitando poner una flecha encima de ellos.

1

Matrices de acuerdo con César Rodríguez

Notación 1: Sea = () una matriz real de orden × . Denotaremos

por a la columna -ésima

a =

⎛⎜⎜⎜⎝12...

⎞⎟⎟⎟⎠ ∈ Ry por

a = (1 2 ) ∈ Rla fila -ésima de Entonces puede ser considerada como una colección de

matrices columna, que son vectores de R o también, como una colecciónde matrices fila, que son vectores de R :

= (a1a2 a) =

⎛⎜⎜⎜⎝a1

a2

...

a

⎞⎟⎟⎟⎠Definición 2: Dos matrices = () y = () son iguales si son del

mismo orden y = para cada y

Suma y multiplicación escalar en ×(R)

Definición 3: Si = () es una matriz de orden × y ∈ R entonces = ()

Definición 4: Si = () y = () son matrices de orden× entonces+ = () + () = ( + )

Observación 2 : Si denotamos por O la matriz, del mismo orden que ,

cuyos elementos son todos nulos, entonces

+O = O + = y + (−) = O = −+

Multiplicación de dos matrices

El primer paso será definir el producto entre una matriz fila y una matriz

columna.

Definición 5: Sea = (1 · · · ) ∈ 1×(R) y =

⎛⎜⎝ 1...

⎞⎟⎠ ∈

×1(R). Se define la multiplicación entre y por:

= (1 · · · )

⎛⎜⎝ 1...

⎞⎟⎠ = 11 + + ∈ R

Departamento de Matemáticas,

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

2


Más generalmente, si ∈ ×(R) y ∈ ×(R), se define la matrizproducto:

=

⎛⎜⎜⎜⎝a1b1 a1b2 · · · a1ba2b1 a2b2 · · · a2b...

.... . .

...

ab1 ab2 · · · ab

⎞⎟⎟⎟⎠ = ∈×(R)

donde

= ab =

X=1

para todo = 1 y = 1

Ejemplo:

Si =

µ −2 1 3

4 1 6

¶y =

⎛⎝ 3 −22 4

1 −3

⎞⎠entonces =

µ −1 −120 −22

¶y =

⎛⎝ −14 1 −312 6 30

−14 −2 −15

⎞⎠Observación 2: Nótese que este producto tiene sentido solamente si el

número de columnas de es igual al número de filas de . Obviamente, el

producto está siempre definido cuando las dos matrices y son cuadradas

y tienen el mismo orden En este caso, y son ambas de orden ×

pero, en general, no son iguales, esto es, la multiplicación de matrices no es

conmutativa. Por ejemplo,

si =

µ1 1

0 0

¶y =

µ1 1

2 2

¶=⇒ =

µ3 3

0 0

¶6=µ1 1

2 2

¶=

Observación 3 (acerca de la mecánica de la multiplicación de ma-

trices): En un producto de dos matrices = () ∈ ×(R) y = () ∈×(R) las columnas del producto se obtienen multiplicando la matriz

por las columnas de esto es,

= (b1b2 b) = (b1 b2 b)

De la misma manera, las filas de están formadas por el producto de las

filas de por la matriz esto es,

=

⎛⎜⎜⎜⎝a1

a2

...

a

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝a1

a2...

a

⎞⎟⎟⎟⎠



3


La proposición siguiente nos proporciona algunas reglas útiles para hacer

operaciones aritméticas con matrices.

Proposición 1: Para cualesquiera escalares y y para cualesquiera ma-

trices para las que las operaciones indicadas estén definidas se verifican

las siguientes propiedades:

1) + = + 2) (+) + = + ( + )

3) () = () = 4) ( + ) = +

5) (+) = + 6) () = ()

7) (+ ) = + 8) () = () = ()

9) (+) = + 10) 0 = O11) O = O 12) si = O entonces = 0 ó = OTodas las reglas anteriores parecen bastante naturales puesto que son simi-

lares a las que verifican los números reales. No obstante, hay una diferencia muy

importante que ya hemos apuntado: en general, la multiplicación de matrices

no es conmutativa, esto es, 6= La propiedad () = () =

también se verifica para un producto de cuatro o más matrices. En el caso de

que multipliquemos por sí mismo una matriz cuadrada de orden un número

finito de veces, es conveniente usar notación exponencial. Así si es un entero

positivo, entonces

= · · ) ·Nótese que

1) · = + 2) () = ·

3) ()= 4) ()

6=

Proposición 2 (producto por matrices nulas): Sea una matriz de

orden × . Entonces

1) O× = O× 2) O× = O×

Observación 4: Una diferencia importante que existe entre el producto de

matrices y el producto de números reales, e incluso el producto de un escalar por

una matriz, es que si = 0 entonces = 0 ó = 0 Sin embargo, puede ocurrir

que = O siendo 6= O y 6= O como sucede en el siguiente ejemplo:

si =

µ0 0

1 −1¶

y =

µ1 0

1 0

¶se tiene que = O

Observación 5: Las leyes de simplificación no se cumplen en la multipli-

cación de matrices. Esto es, si = no podemos concluir en general que

= Por ejemplo, si se consideran las matrices

=

µ1 2

3 6

¶, =

µ3 −82 3

¶y =

µ5 2

1 −2¶

entonces, = y, sin embargo, 6=



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La traspuesta de una matriz

Definición 6: Sea ∈×(R). La traspuesta de = () es una matriz = () ∈×(R) tal que

= para todo = 1 2 y = 1 2

La traspuesta de se denota por En pocas palabras, la traspuesta de una

matriz se obtiene cambiando sus filas por columnas, o alternativamente, sus

columnas por filas. Las reglas algebraicas básicas para operar con traspuestas

son las siguientes:

1) () = 2) (+ ) = +

3) () = 4) () = ()

Definición 7 (algunos tipos especiales de matrices): Sea ∈×(R).

1. es unamatriz cuadrada (de orden ) si = ; la -tupla (11 22 )

se llama la diagonal de El conjunto ×(R) será denotado simple-mente por (R)

2. Una matriz cuadrada = () ∈ (R) se llama triangular superior(resp. triangular inferior) si = 0 para todo (resp. si = 0 para

todo ):⎛⎝ 3 1 −20 2 6

0 0 −1

⎞⎠ ,⎛⎝ −2 0 0

1 1 0

3 2 −1

⎞⎠ ,⎛⎝ 3 0 0

−3 0 0

1 4 −2

⎞⎠3. Una matriz cuadrada = () ∈(R) se llama diagonal si es triangularsuperior e inferior, esto es, los únicos elementos no nulos son los de la

diagonal: = 0 para todo 6= :

µ1 0

0 −4¶,

⎛⎝ 3 0 0

0 2 0

0 0 −2

⎞⎠ ,

⎛⎝ −5 0 0

0 0 0

0 0 3

⎞⎠En general, una matriz diagonal se denota especificando sus elementos de

la diagonal principal como sigue:

= (11 22 ) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11 0 0

0 22 0 0

. . .

. . .

0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠



5


Observación 6: Desde la izquierda, la acción de multiplicar por una

matriz diagonal consiste en reescalar las filas de la otra matriz mientras

que desde la derecha se reescalan las columnas:µ2 0

0 −1¶µ

2 1 4 −1−1 3 4 4

¶=

µ4 2 8 −21 −3 −4 −4

¶µ1 1 1

2 2 2

¶⎛⎝ 3 0 0

0 2 0

0 0 −2

⎞⎠ =

µ3 4 −26 4 −4

¶

4. Una matriz diagonal = () se llama escalar si 11 = 22 = = ,

esto es, = : ⎛⎝ −3 0 0

0 −3 0

0 0 −3

⎞⎠ = −33

5. La matriz escalar con 11 = 22 = = = 1 se llama la matriz

identidad y será denotada por Claramente,

=

⎛⎜⎜⎜⎝1 0 0

0 1 0....... . .

...

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠ = (e1 e2 e)

siendo e =

µ0

)

1 0

¶ Además, = = para cualquier

∈ ×(R) Por tanto, la matriz identidad es el elemento unidad

del conjunto de todas las matrices cuadradas de orden con respecto a la

multiplicación de matrices.

6. Una matriz cuadrada = () ∈(R) es simétrica si = , esto es,

si = para = 1 2 ; = 1 2 :µ1 0

0 −4¶

,

⎛⎝ 2 3 5

3 0 −85 −8 −3

⎞⎠ ,

⎛⎝ 0 −2 7

−2 1 4

7 4 −3

⎞⎠7. Una matriz cuadrada = () ∈ (R) es hemisimétrica (o anti-simétrica) si = − esto es, si = − (de donde se deduce que = 0):µ

0 −33 0

¶,

⎛⎝ 0 3 −5−3 0 −85 8 0

⎞⎠ ,

⎛⎝ 0 −2 −72 0 4

7 −4 0

⎞⎠



6


8. Una matriz cuadrada ∈ (R) es ortogonal si = −1 ⇐⇒ =

⇐⇒ = : µcos − sin sin cos

¶9. Una matriz cuadrada ∈ (R) es nilpotente si existe algún ≥ 1 talque = O. Al menor exponente natural tal que

= O se le llama

índice de nilpotencia: ⎛⎝ 0 1 2

0 0 3

0 0 0

⎞⎠10. Una matriz cuadrada real es normal si, y sólo si, conmuta con su

traspuesta, esto es, = .

Matrices invertibles

Definición 8: Dada una matriz cuadrada ∈ (R), no es cierto, engeneral, que exista una matriz ∈ (R) tal que = = . Cuando

ocurra esto, se dice que es invertible (o regular, o no singular). La matriz

se llama la inversa de y se denotará por = −1 Nótese que si es una

inversa de entonces también es una inversa de

Observación 7: Una matriz puede tener como máximo una matriz inversa

puesto que si y son matrices inversas de , entonces

= = () = () = =

Notación 2: El subconjunto de (R) formado por todas las matricesinvertibles será denotado por (R) y se llama el grupo lineal de orden :

(R) = { ∈(R): existe ∈(R) tal que = = }La siguiente Proposición establece algunas propiedades importantes de las

matrices invertibles.

Proposición 3: Sean y matrices cuadradas de orden y sea un

número real. Entonces:

1. Para todas ∈ (R), se tiene que ∈ (R) y ()−1 =−1−1

2. Para toda ∈ (R), se tiene que ∈ (R) y ()−1 = (−1)

3. Para cualquier ∈ (R) y ∈ R, con 6= 0, se tiene que ∈ (R)y ()−1 = −1−1. En particular, (−)−1 = − ()−1

Observación 8: La propiedad 1 se generaliza por inducción al caso de un

número arbitrario pero finito de matrices, esto es, si 1 2 son matrices

invertibles, entonces el producto 12 es invertible y

(12)−1 = −1 −12 −11



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Como caso particular, si es invertible y es un número natural, entonces

es invertible y

()−1 = (−1)

por lo que se suele escribir −

Proposición 4 (Leyes de simplificación): Sea una matriz invertible.

1. Si = , entonces =

2. Si = entonces =

Demostración:

1. Multiplicando la igualdad dada por −1 por la izquierda, resulta

−1 () =¡−1

¢ = =

−1 () =¡−1

¢ = =

2. De la misma manera, multiplicando por −1 por la derecha.

Observación 9: Debido a que, en general, el producto de matrices no es

conmutativo conviene reseñar que no se puede simplificar una matriz invertible

en expresiones como = En efecto, si consideramos las matrices

=

µ1 1

2 1

¶, =

µ −7 −514 9

¶y =

µ1 3

−2 1

¶

se verifica que = siendo 6=

Traza de una matriz cuadrada

Definición 9: La traza de una matriz cuadrada = (), denotada por

() es la suma de los elementos de su diagonal principal, esto es,

() =

X=1

= 11 + 22 + +

Las propiedades de la traza son las siguientes:

1. (O) = 0 ; () =

2. (+) = () + ()

3. () = ()

4. () = ()

5. () = ()

6. () 6= () · ()



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