A305 DIF.denk. Cikmis Sinav Sorulari

7/30/2019 A305 DIF.denk. Cikmis Sinav Sorulari

http://slidepdf.com/reader/full/a305-difdenk-cikmis-sinav-sorulari 1/56

DIFERANStYEL DE~i<LEM

SORULAR





NO: ve AD-SOYAD:

BÖLÜM-GRUP-IMZA:

Dersi Veren Hocanm Ismi:

SORULAR:

1) y' = eX+Y denklemini-çözünüz.

2) yil +y = sec3x denklemini çözünüz.

3)t dx = y l dy = x} denklemsistemininin x(O) = O, y(O) = 1 §artlarini saglayandt dtçözümünü hesaplayiruz.

Li) x2y" + 6xy' - Y=O denklemini çözünüz.

5) y" + y = et denkleminin y(O) = y'(O) = O sartlarini saglayan çözümünü Laplace dönüsüm

yöntemi ile bulunliZ.

6) 4xy" + 2y' +y=O denkleminin x =0 -düzgün tekil noktasi civarinda seri çözümünü bulunuz.

7) ydx+ (2xy -e-2Y)dy =O denklemini J.L(Y) seklinde bir integrasyon çarpani bularak çözünüz.

CEVAPLAR:



NO: ve AD-SOYAD:

BÖLÜM-GRUP-nvlZA:

Dersi Veren Hocanm Ismi:

SORULAR:

~~=4x-2Y-2et} denklem sistemininin ~~enelçözümünü bukunuz.CEVAPLAR:

y = - u'~t)) dönÜ§ümüile Etiler denklemine dön""tüiüp ço"iZÜnüz.tt . ~denklemininin genel çözümünü bulunuz.

t = O düzgün tekil nokta kolll§ulugunda 1 Indisyel aenklemin büyük

1) Y- y2 +t~ =O denklemini2} yil - 2y' +y = ete! + tg2t)

3) ty" + y =O denkleminin

kökü için seri çözümünü .yazrmz.

4) yil + 2y' + y = 4e-t

dönü§üm yöntemi ile çözünüz.

5) { dx = x+y+e-2tt

y(O) =2 y(O) = -1 ba§langiç degerproblemini Laplace



ADI-SOYADI:

BÖLÜMÜ:

NO:

1) y = (x -C?

egri ailesinin dik yörüngelerini bulunuz.2) yi + y + 3e-xy2 = e" denklemini y = ae" §eklindebir özel çözüm belirleyerek genel çözümü

hesaplayiiiiz.

3) (e" + y)dx + (x - siny)dy = O denklemini çözünüz.

4) yil + 4y' +5y = e-2xcos2x denldemini çözünüz.

5) y = cxsinx egri ailesinin diferensiye!denklemini bulunuz.

CEVAPLAR:

1



NO: Ad-Soyad: Imza: Bölüm:

1) x2 +_y:i = c2 egri ailesinin d1~yörüngelerini bulunuz.

2) dy y2 + 2xy difi . 1cl nkl ., - ..= 2 erensiye e emini çozunz.Gbt x --

3) LX y(t)dt = yc:) denklemini çözünüz.

4) (x + 2)sinydx + xcosydy = O denklemini p.(x) seklinde bir integrasyon çarpani bularak

çözünüz.

5) (x - l)yf/ - x:y' +y = O

denklemi çözünüz.

x > 1 denkleminin bir temel çözümü Yi = eX olduguna göre

CEVAPLAR:



NO: AD-SOY AD: SUDE: IM.ZA:

')~)., II = rex, y) = sin2(:ic+y) , v = g(:ic,y) = cos2(x+y) olduguna göre II ile v fonksiyonel bagli

ise arriarindaki bagintiyi bulunuz.

"':~1II = f(:ic,y) = :ic2- y2 , V = g(:ic,y) = 2:icy denklemlerinin bir dönüsüm tarif edip etmedigini

arEUitiriniz.

3) y2 = cx egri ailesinin dik yörÜ11gelerini hesaplayini.z.Her iki ailenin birka,ç üyesinin grafigini ayni

eksen takinimda gösteriniz.dy. x-y+l .

4) - = ---- deoklf'.mim COZUnliz.d.x 2x :- 2y > ,

5) !exdx.= y(e" + 1) denklemini~ÖZÜ11ÜZ.G) '2yy' + (tgx)y2 = 1 denklemini çÖzIDiüz.

CEVAPLAR:



NO: AD-SOYAD: iM:ZA:

) d2y dy cl -1-1 •• w ••••

1 X ~2 - <ix = x eu:o:iemmi çozunuz.

2) ~ i 4: +4y=e-2x(1+t~x.) denklemiiiiçôzüuüz.

"') d2y dy O cl nk! .. O' da"""" ldugun öste· ...;J X'-dx2- + dx - Y "'" e eminin -x = civs.nn çozumunun var o u g TinlZ ve

denklemi çözünüz.

4) ~~ -Lt y(x)d."C = sint deiildeminin y(O) =O ba§1B.Ilgiç s&tmi saglayan çözümünü hesaplayimz.

5)

{:=x,- 5y , ~~_=x - ay} denklem sisteminin x(O)= y(O) =

ibSi§langiçsartlarini

saglaya.n çözümünü hesaplayiniz.

6) l°Oe-Stgmtdt Integrallnin degerini hesa.playiniz.

-CEVAPLAR:



DITEREK SI'iTL DENKLEl\lLER 10355ARASINAVI7 I-(asim 2001

Sorn 1(%10) Asagidaki denklemin tamligini inceleJ'iniz H' tam ise çözÜntiz.

3 " 4' ,(41 y.J - Lt)'} dt + (3t y- - C} d)' = O~~~

-. _ eS':"', ,Çoznm . (.d '7tj\ ; ': '-_ .,•.... "~'l ,""," .1'.1(t,y)= ( 41'3y.J - 2ty ) ! ~"N(tS) = ( 3t4l- f )6]\·i!&y=( 12t3l- lt) , ö}\d!&t.:= ( ne yi_lt), denkJem i-amdH', (%5)

ög(t,y)!8t = l\.f , get.);) = (t\,.) - t2y ) + h( y ) ~

"-/1 )/>y - ("t·4 ,.2 ••2)+ ii'(\,\~""''''r· \') - (...,~4 .2 t2)g\, ,y u - ,:) •.' - L,_ .'" - 'l':\L,_: - \ .:a y-h(y) = Ci :Y = { (y3 - ~2y) + c2 (%5)

Soru 2(~li120)Asagidaki veriien dIferensfvd denklemred cÖrJnüz.

;-;)C%lCJ)y' - 7')' =eY. b CY,,10}y' + y:'y02 .

Çözüm (a): (5.31)i= eC-i)" (5%) : (yI)' = e'c;,;; )'1 = -1/6 e-Gx +Ci;:Y = cie:7 - 1/6 eX(5%;)

ix 1; '6 i= ce' - Li eç{)Zl)!il (b): (5Al)z = ;,(1-1,-2)) = y 3 ~ z' == 3:/ y' ~y' = 1/(31) z'~{1/(3/) z' + y = y.i ; z' + (3}y3 = 3. -' J (") Z - 3 ('=0/0)1-;. - _~/i= e3r: (Jz)' = 3 e3x; Iz = e:'x + c; z = ]-l- C i e3\;.; y = ( J + ce-3X(3 (5c;.·o)

y = (i + ce,J:!Y'3

Soru 3('Yo25) Bilinmeyen sicakhktaki bir cIsIm, 30e sabit sicaklikta tutulan bir odayayedestir-iJiyor. Eger lG dakik..1 sonra cismin sicakligi OC, 20 dakik4 sonra 15C ise,bHInm('ycn Hk sicaklig! buiuIllIz.

-ÇözTim ;"CKHrçözühHUr----- --~ ---'~'----'dT/dt + kT = kTin (5%)dT/dt + kT = 30 k

T = c eC-h) + 30 (10%)t=lO T=O' ce,iO\;, = -30' t=20 T=15' ce,I20k = -15,., ":i'1_ J li O 1.,..."} O 069 . c-/:O ('=0/),- iJ JJ~- _, . -- ••....•....1.'0

T = ,r:..n ",-o,ÜW!.: +:::0' T· = _:::0C (-.:;:O/)-,v ". _" , o .' ~ ..... .'o

Soru 3(%145) Asagidaki BasYangiç De-ger problemInI çÖTünüz.'''~, - ,,' - 'iv = e3x • ·'(l) = ') V~/P = 1L .1 - J " :i -, L' \ - J



Soru 3(%45)

Çözüm : (12.1 O)

x ~~ LxÇözümlü 11.4 den y = c]e-' + C2 e"" + i.~ ep

8.1 den öz denklem i} -I...2 = O ;(J\. + i) CA~2)

I-i = -1 ~1"'2 = 2

)'h = C.ie~x+- C: e2Y.. (%lO)

; a+b=O

:.-a + 2b= ]

.-,b - 1 . b - J ,.-, . a - J I" . \.,- e4:\ i.., • \' '- e)7, ....) _ , - .:.), - - .J _ '] - -. 1_1 _ '2 - f.',\'i= -e'''/J2:, \,::'= e'X/3

'xY') = ],' e'" (O/~),1- /4 .~ ,O~·

y =)'li + Yii = cie'~ + Ci e2X+ % e:'x (%110)

3 C: e2 = 3 - e3: C2 = (1 - 1/3 e:';) e-i- f%5)

3 eie,i - % e"J= 3 ~ Ci ::-:(1 + lll] e3) el (%5)



06.11.2003

DlFFERENTLi\L EQUATIONS (.Math221.0.5)

i. Find the general solution of the differenti~ equation;.... "-' - - - -- -. --- ---'- -~-----.

by employing the met:b.0dof ~~~.

2. Verify that Yi(t) = et and V2(t) = t satisfy the homogeneous differential equation

11 ,

(1 - t)y

+ty - Y

=0,

and theyare linearly independent in the interva.1O< t < i. Then find the general

solution of the nonhomogeneous differentiaLequation-----.------------------- .-----------. ". __0-- ...

'" ( )l-t)y +ty -Jj=g\.t j 0< t < I;

where g(t) is a given fU1lction.

3. Find the solution of the following initial value problem;

y(3) _ ;3y(2)+ 2y(l) = t + et, y(O)-=-l,· y' (O) = -1/4, 'y'l (O) = -:3/2.

4. in ea,ch of problerç.s given below determine a suitableform for Y(t) if the methodof undeterr.cini-d. coefficIents is to be used. De not eva.luate the coiistants.

(a) y(4) _ y(3) _ y(:2) + yll) = t2 +4 + t sin t,

(b) yC"i) + 9y(2) = cas 3t + tet + 10,

(c) y(3) - 4y(l) = te2t + 2 cas 2t.

(Should be returned on 18.11.2003)



~.-

LI 1 - i- .. ------.- ." 2,.-:::.. - - ---r-.0>i.I,..c-i-.t.

/





. '3) (2) jl) t -t _ / ! 1/ /-/f- ._3-J .+2J ..=- --+e.---·-·-·I--jroJ-1 .J .J-.lD)=-=I·.lf·/.j.(o)=~3 2../

~-_. --_ .. _ ..-- - ---- -- ..----.------------------------

/-J / ••

.,



// ~- . - ... -.-- .. -. Li (3 "(;i..) (/ .J. 2 Li .L 1

-T r4fa)---J('}-Y )-y -rJ .:J= v--f-"+--L-~nt,./--. -'::---- ••:::/_ ••• __ ••• __ • _ •• __ ._. _" _. 'U'"

_h ••• __ •• •••• _._~ ••

..

\

ir' .. 0-.,1\1"\

._.. .r:I._-c.3 - r Z7- r =.. r;-3 (r~1) _-::':.J r.-=1)-= (r.-1) (r. 1- rJ-= ..r_( 1:.,..1) ( r:~1) -= O.,

.. - .... -.. : ..••.•.-t"1·=-o -) ..ri =-r.3;==--'L ..;)-I~.===-1--..- ..-..- .---_.__,._u", .• .._

. ~

-.------ ---~--.::Jr=1--:; --!}z. - -ei o;r-:h-=-r. et) ::1'f::=_-e: .. -=-------.- .--.-. ----..-. _

---.- ..,..----..~ c =.C1~+.Cz·-e i.. +:S-'Le~- :+-G'f-€.=~-- ~- .- __. -~ " ----.--- .

- -- -_ - . l--of?'- ..----7 ':'i-=t(A."iz+-AI-t-tAi) .. -- '-'" -..

(4) (3) (2) (i) .: J =---- ------·- ...-8 ---j----;j-----+j--=- .. --4 -. -~.' ~ =--t(13o-j -"'-'--.......- ..... '.\ ~ ,.\_. m •• -i;'ht~-_Y.:i _ t(o-Ff~ju..r1. T (t{ -l:+"J))dh-t .. -

, 7.., i •...•.• 'O•• 0·0·· - •• -- •••• --., - •• -- •• -- ••.•••

.....- -.-:..-~a).,J_~~!+.3J{~)= OJj3i+ ..t~-e~_j_AO ..... - -- .

- ..-. ·-··---~r4~-9 ri.=-T L(r 2.+9) ==..D--_.~ - ~/2. = 0-'7 r~~.=± -0..3 .

·-·-·.·..:·;r;;~-~ J,-:-'1) j~=-i-"" _O.-- · ..·---0------- .. __ 0.0 .... __.. _

~---.-.G~-~··~-.--i~·~itji-/···y1 =~~~' ..~~~~." . '.- .. - ...

-. !J c.. = Ci -t c2 -i:- + (3' &t~:J..i. +. Ly &=:33!::.o· . -- -. -- .. _----- . _ ,.~ ". o'.

. -- 'J' ~ :si ....,. 'it - t (A-- los 3 -t T.B f7.J.. :st)

1(4) a~t.iJ .. ..L.'.-+..1 . :=. -i: -t ---? v _ ,(,C

t.(~)' i..OJ e.

ii.. """ 0-

T -;-e.

..- ..•.. 10-=; h'= f Z (b)

~ .q{c)-j'Y.L ..-fy'!J=== -t -e.~~+2..C.sd2t: . ..

.- .\ " . r3_ Li r:-.-:::. r. (r7._4)=0 ~- ["7=-0 -';-12. = 2. "J' '3 -.:-z..

\ . 2t -2t..... J'c= . C1 + LZ e + fs e .\ ) zt

\ - ;-1: e zt. ~ -Yi ==

i (AD 1: rA-i e .

\ J{3)- Ljy{!) =

.2 c-.d 2i -? yi = B Leô zl:: 7- C:J-i~zt ..

@)



-.----------- -.------

0- _. ~ • __ 0_. __ • O. _



\JJ

•• .~ ···.n

DIFERANSNEL DENKLEMLERARA SINAVI

----------------.--------.--.---.--.----.--. ----- - .'-"-- -.- -----09.11.2001

1. (20) (3 y2 + x2)dx - 2 xydy = Odiferansiyel denkleminin y(l) = Obaslangiç ko§ulunu saglayan-çözümünü eldeediniz.

2~ (30) t2Z/-

3tyl +41(= O(t>

O)diferansiyel denklemInIn bir çözÜmü Yi=

t2 olduguna göreikinci çözüm~ mertebe i~,~irgememetoduyla' elde .ediniz ve bunun yardimiyla

•• __ •••• _._ ••••••• n ••• .--:~_:_.~-.-·_-- ••---·_:-.·-.-ey'~-: 3ty'+4y= In2t + 1.,

.. -

diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

3. (25) YIII.+ yil -:- 2 'if =:= et(i - et) diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz .

.~( (25) yi; - ,4y- = 0.'(Üie~ansIyeldenkleminin x-= 1 civarindaki seri çÖzümünU elde ediniz ve\ çözü~ serisinin yakinsaklik araliginibulunuz.

Süre: liO-dakika

Basarilar.. .



/

..... , :.,....

---------------,,.-----~-

iii!i

®--0- ';j Li _ '3\::':i J+ 4 ij .=.

lc'L~/;::;:. 3\..j) +~~= O

~\L.L 9 (.+}~Q r1L{ -t {7" ... --

-ii...

u i' '-::h -'<- lJ.i..' ~"Z..:::c)

U,I Y/ -+L\i..' ~2'=-'1'\'L~+~-\..2...

u/= \ ~

\ -1:3-+

i . i i \:..'L

uz.. =- \ '2..:t-

~1..Jf\t.

('1J.tr\~+ -l:.)

.lc'1.~1'\t- 1ie.,t+t .

,0 i i \-t ",1..",,= -t i )

\;."\... - -Q{\Ll+1

i.3i....



DIFERANSIYEL DENKLEMLERARA SINAVI

09.11.2001

1. (20) (3 y2+

x2)dx-

2 xydy=

Odiferansiyel denkleminin y(l)=

Oba§langiç ko§ulunu saglayançözümünü elde ediDlz.

2. (3D) t2yl/ - 3ty + 4y = O(t > O) diferansiyel denldemihin bir çözümü-Yi = t2 olduguna göre

ikinci çözümü mertebe in,~irgeme metoduylaelde ediniz ve bunun yardimiyla

t2y" - 3tyl + 4y = ln2t + 1

- diferan&iyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

3. (25) ylll+ yl/ -:-2 yi = et(1 - et) diferansiyel denkleminin genel çözÜmünü bulunuz.

4. (25) y// ~ .4y = O diferansiyel denkleminin x = i civarindaki seri çözümünÜ elde ediniz ve

çözür:çi.serisinin yakinsak1ik araligini bulunuz.

Süre: lia dakika

Ba§ari]ar. ..



J v'· ,. -=-\LX~\/·

C?~1.--tXL) cl x-,2X::3d~-= ü

..::J 1-= 3~~ XL

2X~

\ () ..lc.'2..J()t-lAi': ~i ("lJ-Qf\~+t)

1 -i1.. -\:'l~•..•- )-\.- 2.\Jril+t

i i t'L () i:::- ~ ~(\~~-r' J _

. -fL 'j i~.-3-l'::J J + ~:1 = ~y\'L.\:"t 1

,-

.leL;J ii •• 3 "'-::J i + \;:1-= O~) \ '::J lo _





")(-= ( )

)

-GC ".

-=2- 0LV\ _\") 6" (x_{)1\-1.. _ I.1):. '2.. Li

i ~ (1.'j -= -::2:: f\ O" ('Idi -,\::.1

ci.:) n-'L

~ il == :2 nll'd) cio lx-~1\~L.

o:J'

2. 01\ c.;-\) '1\ := Of\-=o

~ 1((\+1- 'i \4\~1\ Ci.~p_ - Li 60 L~,,-' "-Q ------- ---- - -------Y\~D~ . _---1.1 \" .'

~ _i01\-\'2.. .=:. -->--- 0." n=ui (J .- - •

\.::"'L)( i'\il)

0- 2. = h ao_=- Q. Ca .. 2.

, •• __ •• 0.0 " •••• , o _~'i.-:--1_·---ri.1--. ..:j-: ··9 - ..~\ --.-.-.-.-------'. - 3.2.

i·.•....

• _ • _:_ • 0 _ • ~ ~~ ~_ .. :. -.. . 'i



fj\~·PerO(\:Si~€. \ . D-en l\elC\\-er

\h2.(2 Sinavi

l):jl_

~l\J.=G .

2X+.::1

"x - 2:j-+ {

bci.~Jo (i9\4

bQ.\U(H.l.-2 .

2.) u$ n Li 1'2. c- i') i::.i ..-:-..L.:.::1 -\- ~ ~ 1:...+ o:':i L-c..

d\f.e'Q{\s\~e\ d€(\~\-em\~<I\D g€ne.\

iil " ri ilt' b \.Q.LUTT\ÜAÜ li unl..\2..

3.} .t ~}J + 2.:)1 ==- ()

9 E:n.Q.\ C~i()m \.\n'0 -hi'U{\IJ2-(t >c0 cl -en l)emlY\l"n

+d,:j d.Cl io (\0 (ok

. CI \~er~()s\-:je-\ de(\l\e(Y1~\Y) Ct~2.~m~n~ ~Jde e.din'i2-.

'4) :j)}+ ')Z~/-\-~ ~ O d\~erCtns;8e.\dQnL.lem\1t\in

~~a .'i\o'k.+QS\ c.~\.ro.n(\dali seri C.62~m~(\~ 'bJVi'lVL

\le.. ~e('\n\Y\\l{\e.~\ . bcl~lms\2.. )L~ Q~2.~(Y\ :seri':S\l\dQn

O\l)~·t~§J()\J S6:yte nY\\z... '8u SQiilertVi 'dc\'iir\:SOlL ~o.("0\ l~$\\ 6€..\ ,'r ie~ i'n\ 2- .

BF\~AR\LAK -HO dk.



r;

D,·tero.l\ 5;~€-\ '\j€f)L\ein \~rVi i.e.. S\n~ V \

':lE:11YVZ.

l-,J 0(1' .J r

.0:'. . •

~;: "7- \c.... J

$ i{= Q X +~ . " yi o""<:>je" \"Q\e. Se-+,"'; k\;,\ et\ cl.,~, da-i\L.)<,-2.~ t L

,. \ "it-/'-= :x~hy d ~... dx-d'f:

..

,,/'::. 2y'_ '2. ~ 'f _L . ~ .2*:1: "I::. 0.1,,- k . i~ -.h- '1"1.+ '2k-'- \ y:-2"1 -\2~-'h.\

'1.1~Q""f; ~ '/_ =- 2 -'t Y /x." \... ·01·· il"i::: _ '2'f .. ~ ~ .r-o~0QJ\·· \t- .. .\-.i1- di:w"- ..

.y:- .

'j 1= \jly::, -+ \!



2§E :=uJ \~::~ j' fA '- j ~J bill..

-4f\ -t C~o =) Lc~ ·LA

/'1,,::: ~\ e..\o. -t Ci- e"-. -l -t C", € lo+C it e:'-.t \'j~.~? 5 l + ')= -LL +Cc:2+ ~\d i B-'2.IZrSil. b+.:x:i~ler j~nkrYl li

\cu \(o.<i\ \ o.b~i'f ..

~·L\JX. ~"'* Bt.;, c.) f+ ~Coc,L-t-\- \=5,,,2+) .:L. ~ ~

("'~O ~L~ ~-6~~ r=t2,' k..sLJ ~DLI.

...... \J i!.. '\ ••.....,J l-e ' <:,,;'- \ ..,r- ./::: - ri '--'11 i i iJ i i 1si- i ) '\.-:-.~:.Jü n_ \J e ri e.f\ ,....<..1"'--\ (Y\.\ ...::i~\q,~:",,--~l \~ \. iJ . ~Q) 'j~) ::i'D 0et") le.erri

.. 'je(\~ ~G.1.,\\rsq .. '.. / 12. 1'1.. i

on· 2W.cO?2--t~~ 25 E 'Sl()2..t- 4f\+F\ ~-t B++ C- -= L :+ C~2j

6\u'(\Jr' ~~

1'2'5D-\j~=;'5 \

h'~.~e. ~ck·· e.-d.':tr .

- .1':15=- 'j\>-\,'ji,.= .i2-+Lv\--h; ~2.J. -t is -rCA) ~+{-CC3+Cy \-)-e:- t L

,il riJ __ OL.--- - ---\j -\::.

-~ .

\!:::: C- t -::..)

r:~t t



·(])

~~ ::::[ -t -\-'~-i 'tO{ (\ i l+ ~'l\{+i.) + C~'i+C;'L ·Jb ~

)\j3" In lIÜ). *t' -"c Ci*:- -t ~ 1L C2 \

~

()(} \' . '\ ( "\ o· - . J" ..6i vf) ·02 L(f\t'2. \ "-V\1r~) . "tL 1-0.(\' 'f.... + ~ (\El,");, i" =-~... ,. ,n=O . n=i

( 0 ~ C1:J r( "\\ O· L ri c() ,."Q,,:i. +Qo") ,1-.+ .~ L,,-rd~)uitl J Q.f"\~1. T ~ * -l- ~ ..n Qi\ X ~O

c:O2-\:°:) + ..~ L(<\t'1.. )(Otl\ Q~u+("t \)Q~1f.'\~()

.. Q()

°4 ~ _a~ . = 2:l; )



(.\"r\. '2(\{ 11) X

-.?5.,- 0_,:,-t-iJ'..,-t

2P~ 'öa.llil~ci..l:L· ~~<SL

fro <Xc: 001

~ 'Ik: O -- O < f

~

_.



i·

.ADI-SOYADI:

BÖLÜ1·rÜ:

NO:1)' -y = (x - c):i egri ailesinin dik yörüngeleriiii bulunuz,

2) yi + y +3e-Xy:i = eX denklemini y= aex §eklinde bir özel çözÜm belirreyerek genel çözümü

hesaplayiniz.

3) (e'" + y)dx + (x ~ siny)dy = 0 denklemini çözün"G-z.

4) yil + 4yl +5y = e-2"'cos2:it deIikIeIniniçözÜ1lüz~

5) y = cxsinxegri ailesihin diferensiyel denkleniihi bulunuZ.

CEVAPLAR:

__ • •• o -h. _ .__.

i/

NO: AD-SOYAD: IMZA:

'. d:Jy dy ,1) X:-;-:; - -d = x denklemimçozunuz.

~A x .2) d y 4 dy 4 . -~X(l t:i) cl"nk1 .d5c2 +" dx + Y = G. -+ g x . e " emini çozunuz.

3) d2y dy O cl kI" .. O' cl - " Id gun ::....•.. izci ~ + -CL - y = en eminin x = ciV1l.fina çozumunun var o li u gvoi,<;;nn verx·deiiklemi çözünüz.

4) ddY_Lt y(x)dx = sint denkleminin y(O) = O b~Iangiç §artim sagla.yan çözümünü hesaplao'

yinlz.

5) {:::;: x - 5y , ~~ = x - 3y} denklem sistemininBai$la.yançözümünü heoo.playiillZ.

6) 1°0 e-3tsintdt integralinin degerini heBaplayUlIZ.

CEVAPLAR.:

x(O) = y(O) = i b~langi~ sro;tIarim

\.



08.12.2000

..DIFERANSIYEL DENKLElV1LER

VIZE SINAVI

A

(4 X3 3) (3X )25) i. -2 + - dx + -2 + 4y dy = O~ y y y

diferansiyeldenklernini tam aiferansiyel denklem halinegetirecek J.L = J.L(y)

§eklinde bir integrasyon çarpani bulunuz ve verilen denklemin genelçözümünüelde ediniz .

.(20) 2. yl/l-3y" +2y' = t+et diferansiyel denkleminin genel-çözüp:iünü

bulunuz ..

(25) 3. Cx - 2)2 (x + 2) y" + 2x'·y' + 3(x - 2)y = O denklemi veriliyor.

(LO} Ca} Verilen diferansiyel denkleminregüler tekil noktalar~niara§.tiriniz~

(15) (b) RegÜler tekil nokta civarindaki seri çözümünün hangi formda

oldugunu indis denkleminin kökleri yai-dimiyla belirleyiniz.

(30) 4. y" + xy' + 2y = O denkle:ni veriliyoL

(20) (a) Verilen diferansiyel denklemin x = Onoktasi civarindaki seriçözümünü bulunuz. Çözüm fonksiyonunun yakmsaklik araligini belirleyiniz.

(10) (b) y(O) = 1, y'(O) = O ba§langiç ko§uIlarinisaglay~n çözümüelde ediniz.

SURE: 2 saat

BASARILAR



.....·CI\ii ",'" i -t Cj:: .9 ;-J.~-r -' . /

... ;

.1'3Ct _~l~O

. r{I'1./~ =0l (4=_.'

\j e.,~o.

....; v(ii) (n-') 1/· ) a u 0C+J ( .., b-0i.:::i -\- Ci2 ~ -+ '-__ + 0,,_\ Y + Ol') \:i -l- n+\..J =.j.) 0.,) 02 J'-.j Qtit\ - ~ _.. - '. ii· '. "-

SQb~ lo.bO-:jIL dJer e;(\::s~eJ der'\ l\emler~rick.-/ be"'r~\2. Labo:JdOr

\ile.Au du f\~f\ II .Lu\ \0.'\\\ rr,Ci~\(\O \ \\'~t\(\ "~r(\-e.l\er .:

i)' . u,ll ci '-\ ,_ . 24:. .. - t. ~ .-. ..1- •...• -e + e .. '::):::<2-r-r 91:' 2\ ~O . (J~_(YCll\-eci~+~l~l\em)

r -'0 r: _ \ A . (J Ot C 2..+\- )'1. ~ 2. J ~h::'- '-t e... -t . ie.

" 'lt L .le.::\~=h.e . t+- e. .~ .

(\&r\d~d.eA Io\.~ f=1 old.)

2) yaL_. ~I1I..=- t .\«!0r6.L.bot~l cknLle~'Y\~

, ~ ,~.!e__



~) \< \ \ \, \ \ .,. \ \' fo (\ ri -::i. i Q.m~tt(\.::i TL ~ k11 k efi \ \='~ \ :2.i3.::: 3+ i

, bii \::LPeTE.(\ S\~\ de.(\ l\emi~r\. CJiB )~Q{\ lsi\!a<1y-~\-. -

:3 (J- \:=: e ~n+-

o \~\J (\ . ~u durUr0d~ . r;

j~ ~ e.-?:.lç(j\ CÇü~ -t ts S\l\t J ~k ~ t .

k~k.lec-~ '6 + \ bir-k~ cl ldu~<:Li,y\

::16 == e3t (A Ca.::> +i b'Si.n + ) tO\ur.

q'_ . .1...-1

J'. t).On\

NaT ~

::i Ct):::: e?-+-

G~6i-ve~y 3(+;= e.,o.-hs-vib1

~e.- -ul\e-~ \ii~6'r\ 0--+ ib . ck..§d ~~e./

1 ~~ :="ecd- CA C= bti ~s\"U- )j J

~~i' ~l\er~ '. L ~e.~\I' Qf= i6 t:5t-e..

LY .'.- , tC·. 1\ ·c···,' \.. 'D .. bi} Lk;. . \tl =- ~. t\ .~::i6t -t DS\.("\ '1" .~. L ..cL./", .

. G.) \<~\~Lkrl ~i~L bAl\€(YhV\\nb l\e:i: .\\ i~=.2+ 'ölQ~ dd~, ~r\l\ernd~ .SC+)=- '~1--+-Ço~3'+

"\S-Jn '::lll= e'L+ ( l\ Ca:'?' i,. + 'iS.S,n3+) ~Jv

',c ~ ~lLe r ale..

7-') . kOrC\lk~~\;ll ~(\ \JernlY\ b Lleri'

~i'2-= + i) ('3/ lt ==

O -0 'Jh:: Ct Ca::,~t('2..Sln++C3+ C4-l



(\ ::.O) r2.. ::. - \ J r3~ ~

o \O-ti d,~t ckl"\~Jemlfid'2- 5C +)== e+e ,t~Ca:J+) o )-s~n.

'j~. \C. ;n 9 (..\-"): -iz- ..et_ e + ~ +' ~ nL . u n u ~~I1l1 ~

yi e.. Q'la.rd l}' ' '., ,- " ' " . " '

':l il == (A-c1-i Bt{-C) eif -e -le ( DCo~t-~ l::Sin t) ,f~

«=:... e....'"\ v'> i -=:...p r' _\'_ Q~ ik..lorn~ '):6s k L~ " -T\ ,';~ .i.i.... \ •• aQ.. -'> -.....,.1 1< • .,;..., Id o i ' b' l ~Cl~C>.j>\ CA ,ir. V\':c.. iCi - i -r \

••• _ o • 4e§i ir

\J~A f<,\ ~ 8l4--) ~n~-::'\'2iO()0~ _ '. '0s'.ivi Cc~' \.rve~cr S(~i \j-~ k. ) ~, J)de hY!oo rr:.\.! () ..... oGoa.c P' ('(H s.e.\i.. \ n'idi2.:j Se.. (' ik-il i ' , ~o rp \ ni da.

olOb'\'Y) . rnu+la~ \ ham~en C{~2ome boli\mcl\\dir.

9'). sorwcle>< ~-\i;::: .~{ +_Ci.e-t --t es e+ o cl IY .

U \l r .. ,o, )L'·o i ~ ( 0.\ . r A+'1.. n \ c~)p\:.o.ie L~ .,.: '1·- ._o."...-e:.(I\r11 lOi.n ~ --r~1"'+ ' .....,

()e. boLO-rso.~ bu ~er\Yn; sa.ckce. t ~\e ~arpniao

d1-'ri, \ -- ~e--k....... otO:ca.iml6i;>hjoNLl.-t:- ;\e ck.§) 1 )~~nlu ~h '1\e.CroJ:.I~o.f"\ +eiiM ~a..d..eceCi. -e-.:t \- ""

)

o~ _{r2.1 :i== o

. ,

\ ~) LLL ll, o:0_j-=~

SC f) =-

\0-) k(jl\en " GO :::-D)

S~2..() (\o il e ota\ IIY\ .

'0\ :)U" .

Y'b='Q .c--\:~\-+ C\e:t, -h'2-

, 'o' - - J~O(Y1'Oje(l Ci.~LOm ne- ~ ci nOn

°l L~. +e'(\'rri; C"Ql\ ~'h:§l i'~$\.

,( Ci € t -\:'C,?+k-L)

'i i .:



\J) (1:=0) I-i,f 2-+ i _VL '3l+) == -\::. e'2-t C0<3~-t tc als~n

Y~ = e:- t- [L A.\::-dL,J G",l + (C t+D) 'S'f1-l::Jt~LI= -l -\-f)t... /

. Jl 4{...

o..c..l\eirri~ Lt!, Lierde.o'S;o .....ldo. \ biri O·

N -. U J L .i i -.1' - - _ , .'~D in $ +erItrii *- e2t ecüt . G.o.ry' mi.. \'Ciin

CQO- ~i\~i~iriJoA ~ ,," '6o. boLmd,~ \L

Yh= Ci+.E0z. Co",++ es Sintj

jö ;I.e. Yh. ko.r-s.ilo.~+lYlI\rsCj ~'2+.G3Co~-+ +D s\rlir)

~'\~":':' :CZ-iJ- ( Cz..C'a~+-+ C3S')"f-) GQlL~\lLt j6rci.~\j~f.

B 0\:J02cLon Y 6 _ ~ ~ il e. '~or~d maL 1

!~) f'2. I"', ~ '2 + i i _ ('i" ,::- 'l:j: ( "e S (+)~ L ",-Lt Cc:>.\-

'tl \~ a.'j J \) !r . ] ?-t .'i?--... lj S= L~++13') C.D~ +~ {. +-b 1S\n-c -e.. <L., .

' \ . .,\' (7 l\ - i D0r<::i U. '-<. üri ~ )

- \db e.1.+ Lci G0~-+ (2 Sln-tJ+ fl+ (CJ CQ)t-tC~SldJl

o i cl u§u.-i ~<'I ~~ \\c: riL~ -knm~ ~a lt ~ILi L ~ciiO ti 'jaf. ~. +

lA + Co~-\--t re- t. ~ Vl +-) e-t \j~L B C~+ +G 'Sw S'\0.t Le

CLi*t\ \\e ~h V\1Y\ -e'l+ lC~tCo~i-t C~*=Sini') \Lt-

e'L+ C Ci CO~ \ + CL 5\1\+) cl.\ç+~&

@



" 7 . ; ~

'.

27-11-2000

. ,DIFERANSIYEL DENKLEMLER ARASINAVI

1. Asagida -yerilen diferansiyel denklemi homojen §eklinde yazip genel

çözümÜnübulunuz,

dy :i; + 3y - 5

dx = x....:: y-1

2. Yi(x) ~ e.= Ionksiyonu xyll - (2x + 1)yl + (x-+ 1)y = O denkleminin birçözümüdür .. Bu denklenlln, mertebe indirgeme yolu ile lineer bagimsiz i1.-inci

bir,çözümünü ve daha ~onra da

cenkleminln genel çözümünü blilumiz.

3. "Asagida ver:ilen.diferansiyel. denklemlerin homojen çözÜmÜnu bulunuz.

. Özel çöziimÜnün'-formunu belirsiz katsayi}a.r metodunu kullanarak yazmiz .

. (Katsayilari hesapl~m~ym~z) .. ''.:'. d6!J : .. d-Ly ~ '.. :' , z

dx6 +4 dx4.',sin2x+ xe. . t- 2

d4 . d2 .' .. y . y.; "... ' .i 3 .. 4 . 2

dx4. T dx? "'-: y .' cos x - co~hx .

4. lq~g;ida verilendiferansiyel denklemin adi ve tekil noktalarini belirleyinizve bCl.§la..'1giçeger probleminin seri çözümünü bulunuz.(Seri çözümünün ilk bes

y(1) = 2, yl(l) = 4

<i .

5. y"+p(x)y'+q(x)y::;=O denkleminin bi~Ja,b] araligindaki çozümleri y~(x)

. ve Y2 t±) olsun. Bu araliktab Yi(x) ve Yi (x) çözümlerinin xo' E (a, bL nokt3;5mda.

O,-r"l,. cl;;"';;"", "'okt..,l"ri "t~r"". ,.,(,.,.~') d. u-i ,,~ rr(..,..~);'-I-O k"''''''ila.,.., alt-i"';,.i", Ol, ('7"\ ,~p• •• 0 1 •• •• •• •. •• ~ J. ~ • •• •• .. •. .. •• .• • .a. . . ••• " ~ .•• •• -... •• • - ~\-U i" .- ~\-..u T .'-''j'''''"Jo • . i. . •. ""'.i..i.. .•..••••••,.::J~ -) -

y:!(x) fonksiyonlarinin yukanda verilen difer-ansiyel denklemin bi'r temel çö~ümkÜmesi oIa.:.-nô.yacagiillösteriniz.



NO: Ad-Soyad: Imza:

1)

1) y(4) _ 4ylll + lOyll -l2y' + 5y = O denklemini çözünüz.

2) y// - By' + 2y = eX . denklemini çözünüz.

3) rx y2(t) dt = xy denklemini çözünÜz...a

4) (C08X + yeXY)dx + (xeXY - siny)dy = O denklemini çözünÜz.

fi. Y = cex+y egri ailesinin ortogünal yörüngelerini bulunuz.

SORULAR

(id )2 i di!" . i d nkl .- y = 2 ierensiye e. erruni çozunuz.xdx x

, d2y 2dy eX d'!" . i d ki .. " tl' i v ••• " ••.• , k II k) -_.- - + y = _. iierensiyei en ~emrni, parame rererin aegismi yontemini uanaradx2 dx x

Yp özel çözümünün yapisini, "beUrsiz katsayilar" yönteminienkleminin

ÇÖZüiiüZ.

d:;!y dy eX3)dx2 - 2 dx +Y = -;z. diferensiyel denkleminin

kullanarak hesaplayiniz-

d2y4) --;-;; + y = xsInxdx'"

kullanarak belirleyiniz.-~._-----_._-----------, .'

••••• , • •••••••••••••••••••••••••• ~ •••• _ • •• _. 0'0 •

Yp özel çözÜmünÜ,"ters operatörler yöntemini"

• .•••.•••.•.•• •...••. ••.•••.•••• , •••. ,. 'n , •. .....;-;. , ... :;

...~ " .

Her soru 20 puan olup sinav süresi 2 saatdir.

..31.07.2000

ai lt·::;iii iii dik j"ÖriiJlge](-,j'iIli iiiiliiiiii%' .

denld<.'niiiii ç(iziii\i'iz.

2 2 2X + y - xy = c i'grid::.::+ (~- siny)dy = O

y -

y2 - X =J xy2dx <knklcmini çözÜntiz,

) y"+y'+y=e-x dcnkleniinin y(O)=y'(O)=Oyil + 2yl + y = e-xsInx denkleiriini çöziIiii:iz.

:~VAP LAR.:

§artl<trini sa.gl<tyan çözÜmÜnÜ hesaplayiiiiz.



i, \., \

\

NO: ve AD-SO~AD:.... ~"--,,".

BO LUM-GRUp-U"rZA:\, \.,

Dersi Veren Hacanm Ismi:

SORULAR:

döri~iimü ile Euler denklemine dönÜ!jtfuup çözünüz.1) y,_y::i+~ = O denklemini y = -~~?2) yil - 2y' + y = et(i + tg::it) denklemininin genei Çözümünü bulunuz.

3) ty" +y = O denkleminin t = O düzgüntekil nokta. kQ!1l§ulugunda. i Indisyel denklemin büyÜk

kökü için Beri çözümünü Yaziniz.

4) yil + 2y' + y == 4e-t y(O) = 2 y'(O) = --1 b8.§langiç deger problemini Lapla.ce

dönü§Üm yön~eini Ilp.çözünüz.

i . (1 1)' (e-·:it) {dX' '.) X.= 4 -2 X+ -2et veyaaçikolarak dt=x+y+e-::itdenklemsistemiiiiningenel çözümünü bulunuz.

dy ,dt = 4x-2Y-2e!].J

CEVAPLAR:

NO: Ad-Soyad: Imza: Bölüm:

JL(X) §eklinde bir integrasyon çarpan) bularak

2)

1) x2 + y::i = c2 egri ailesinin dik yörüngelerini bulunuz.

dy y:i + 2xy d·~ . 1d kI " ....= 2 hereIlsiye en emini çozunz.dx x

iX-x) y(t)dt == -() denklemini çözünüz.: Y X

4) (x + 2)ainydx + xcoBydy'= O denklemini

çözünüz.

5-) (x - l)y" - xy' + y = O x > i denkleminin bir temel çözümü Yi =ex olduguna göre

denklemi çözüntiz.

CEVAPLAR:



HAME:

LAST NAME:

STUOENT:' : /

\1\Lt \lc '?-\~\AL~(L~,,-{\~\

COURSE:

EX..A.M:FIHAL ( ) MJDTE,QM(X) QULZ (DATE:

i 2 5 6 . i 7

1

8 9 10

..DIEFERENTIAL EQUATIONS

( ~Iidterm Math221.0.s )

22.11.2002

Find the general solution of the differential equation~ .,- -- - ~-. _ .._._-11

1) + 4y = 3 tos t + 4 cas 2tv ,.......,.-.v- ~

A :i

by usinK_themethöd ofÜrideterinii:fed-cöeffitiefits~- ..-.. --.._. u. :::-::-:-:-:::---

~ Find the solution of the abôve differential equation satisfying the initial con

J ditions y(O) = 1 and yi (O) = 2.Find the general solution of the differential equatlOn' -.- -. ----'.- ....- ---...__.- . .. __.n __ •

", . e2t

y -4y +41)=-- 1+ tZ

by employing the method of variation of p~ameters ..--.------------- .....--..

3. (a) Verify that the fundian Yi(t) = t2 is asolutian of the differentia:l equation

2 ii ,

t Y - 3ty + 4y = O.

(b) Then, find a second linearly independent solution of the differential equationby employing the method of reduction of order.

. (c) Express the general salution of the differentiai equatian for t > O

4. For each nonhomogeneous differential equations given below determine asuitableformJor particular solution Y(t) if the method of undetermined coefficient is tobe used to find the solutians. Do not evaluate the constants!

(a) yIV - yil = 4t + 2te-t + cas t.

(b) yllt + yil + yi + y = tet + 2cas t + sIn2t.

5. Find the general salution of the system of linear differential equations

, [-2 i]=. x .

i -2

~-.~



· ;

,..;::....•::i ,...../



/

c9



y,~,,:'f:t/h.1 • fh <- fU"' ii,," 'i,1t)~t- 2 /s "- os D tu1'0n Ofl.if.~'ff.uV1-1II~ ~Uo.r/-;D~. 6l if 11-31~ L-f /;-y =D • Jd~ fl'-iJ. .:v

s-f.c.o'1d, -t'n.e.ar!J i'nd1e.Ylde-nl- "so/i.i..//Ov, 01 -Ile. JJ!f-tr-~..,f/4tte11.A4 ';"',l/m fJ e.m;lc,:;ij ~ /'YIe/Ii,,1 1.ed~t:-hbVi ~I-6?rj~.

er)E;(ir-e.ss tk. rero-l .so-lu.I/~ rJ! {Af- u::4~r~~ -J ~'..-#~I-i(r,.". ~r t>o .. r.~.J.AJ..,'p+i:

c) i-i~c~ J w~t Sk{,io .",.$



,/ fo r ..v J. n o J'\ j., 1) :v.o?~.JUi i.i S e.Au.a iS 'ti ~,.s ..<?7 've.vi klo w je,4:.rrn. , 'i-t-e.J r··· U .J- O

tt s(.{I'{oJ/e. fyrr: fr- !arkCJJ./~ sa&h~~~~~.:o.Y<i){- ;'/a~_

JUe.j~o./ -f "Mjekr",,;oe./ C'~1I-'4:q,ls /s fo In tlsJ-lo f'rir:.1 o ..J-k d(Jt..A~hS.])O no! eV4/"",,~/e Ik CM1.s;fa},i/.s (

r 2 {rTl) + tr-n )=0

.,) 74 hi-l"'I ~it i /

r~ ) IZ) (j)~ d- (3+ d- + d +'d

=iJ JC~ 0

--

-.0

-7y; =

~ Yi=~ y --

.s -

-? (r"Z-fI)Crrl)==-Q

u.J~~.(.?- .(-.~~o + ~ -e.-1-------- -

7



i

i7;. . 1"2 ::: -J :

-Vi: .

= U )e-~.

-e-il -l{ i _ljt.. -41: .J.

= __~ _e =_,Z-e.. TO).-1:-.e

+L i: x"!, (') J ,'< '" r~a .~",-).l s-J.-.{. ••U.•....~"1-1-'-",e.. . i-4 Ô"J. e~ '-"

t-Ik.- ysk •• J l-

X -:::. { ':( i J) i ( X. (2) ~ ~ ri} -Jt (zJ --t"-' ' 2 "'-' oc:: L1::S e. -r (. § -e.z.. •..J

':! (~,,), -:../z.J ) = II -- e:si-31;..e.



biPerO(1:S:~ e\ D-eri LIern l-er

\)'i2C2. S,nav'1

den liemin in

~

{-tt

cl i'·~e ra ()5"~ e.lX+Y

'X_1~-+~ .

':jLI'i;=0 . bCl ~ \ cl (i9\C; Lo:><J iLln cl ->CS\o.PA C,&2.gml!iO'C

uLu" u'2.. ....

~. ~1i_,_~1+~ ~ .e-+C~",2.t -~ --------:-----:----::-----

~--_ .. ---::..-:;..-;;~-=:;:;;- ..

cLte ('cl.,,:y.~.\ d.,,..,L\.e '" (<) ,n 9-<2ne. \ c.biü mLIri[) buLvi)\12.

ut.~M)); 2g'= () ( t >0)U." (\ i9"-i.Q.\,--,,_~Q~2.'" enIIci'o 6JhJ (\v 2... ve b Ll {\ ci Q{\ -t a ~ del ci(\0 (oK.

d,~e \o (1 S '.:iel del" II e r<1/{\ iY\ 4 (\ i. cl ro 1.1iiei .ç,-I de. -e.ci,YI\ 2.._

4) 'jll -+ 1.~ i --T:\ = O d ik ransi'::l e.1 ol en LI€ ((l ,vi iri"""a '1\0"'- -\-OS, C.i'J' 0..- \(\ ct ci.LI .se ('i c.1':i2. ~ m (j(\il bJ clAV 2..

\le.. ""ertn,Y'\ \ li\e.e, bci.S' ro"12 \ l.; G.l'i i il (1'\ se,is, ridQI0\ U-;>-J .§ulh.l ~&J -\-e ciY\\2' BLl S€ ci ie r.vi 8Qk..,..,,,;o. LI \ L

o.10\ (~'\(\\ be..\ \.('\e~ in \2- .

B~~AR\LA ~-

@



u·kr-oJ\ S(~~ \ 'b€.rJ~\efY)-er

VD-e. S\(1UV \

{~.11.2tO 1 i[:

r



\JJo (

L~",= ~L e.:t -'<: Ce.t. -l -t C~ et -+ C,+ e,-:.J:. \

'j~.:;. :\ l+ );= -LL-';-C4 -1- ,id o B.e.\ (r;;12. b-1-=cJ ' \cy- j'dn km i'K-u \ lo,f\\ \ o.\:i~ 1Y-" ~ .

\li 'i', = \!- ~":..M" c.) tO+ ~ Cc.::>

H1- \= 5'''2..+) .~... ~

r~O uls ,:\'OL\ r = i:1.<' k.6LJ ::J0l/'

o.'" ""'~ _ ~ no ,j...enJeO:~d-,-Q..::-ii..:...-.l....:...:\-e=-('(\.:...:..\~· --=3a.:;.:~s:....:\~qsJ.IJ.oC==c(Ot ~ \f\ 'JI;S) iii/I t ltCL- i i \~ C.J ,j~ o •• / o. o :lo J:::iO cJ.erik:.leri

. je,.,.,D' ,;\G.i,\,rSQ .

," 2:W:CO:> 2..~ +2çE ;'O,lCl2.. -t- 4,1\ + f'<. -t":i- EH c.. = i:+ ('o:::2J

\o..t\"'iiJr' o~~ ~ -

( ''251)=\/O\~.L~ \/2$f'::ü/·@-g/ \A'-jL e~) o •

," ••••• "0 •• -4P<. -t C=0 =l 1!2';"~0.0- .et&~eJt\~\~~~- -.. ,,_.U_,_ ".: .o __ u •••••• ::- __ o. --------

.•. ~ ~L>-\C ':ji,-= .ile\- 4+ ~5 G::.2+ -t ~'" C2,-8 e=:+-(Ci:;:C;t:):e-'-~

-:.-' .-::.::-;;;.;..-----

-S;::-i ,k. ""'~2~ i~-Ô':")--- ~ il ~/'~ ,u ~i

-v-l __ '2- -'o--- - -- -)

\f -t_'1- .

V -=- c- t -)



Q~

a :....OJ,. _-= _ )4- Li 2,~.



· ... -. ··-----·---·--rr-- ..--- --.- ...-..-- ..--

1 a. t 1 ,'2.. ri ~ - \J o -n < f:"\--t i _ X -'(iM - - t< -~ = vi Q,f\ - n-=,~ 21'1+3



ADI-SOYADI:

BÔLÜi"iÜ:

NO:

1) y = (x - c)::i egri ailesinin dik yörüngeleriiu bulunuz.

2) y' +y + 3e-Xy:i = eX denklemini y = aex seklinde bir özel çözüm belirleyerek genel çözümÜ

hesaplayiuiz. '

3) Ce" + y)dx + (x - sin)' )cly = O denklemini çözünüz.

4) yil +4y' + 5y = e·~x-aenklemini-çözünüz;-------------·_- - .-,-----------.:-..--5) y = cxsin~ egri ailesinin-diferensira] denl:lemini bulunU2.

CEVAPLAR:

NO:

....

(i

------.---- -~-------"- --_ .. -.'-'

AD-80Y..A.D:

___ o •••• • _

- .---- ---..... -:- -- .,- ':'

IMZA:

1) d:iy cly cl n.kl .• - - -X rJ:..2 - clx = x e emini çozunuz.

2) :J + 4: +4y = e-:iX(l ;- tg'x) denkleminI çözünüz.

3) d:iy + dy O d kI .. O' cl - - - .. id ~.,., ~...•. ' L_Xdx2 dx - Y = cil eminin . x = civann a çozUlI1unun var o ue.~.u gui:;t;ennu; ve

denklemi çö:LÜ.llüz.

cl Lt) dY - y(x)dx = aint denkleminin y(O) = O be.sle.ngiçlja.rtmi Baglayan çözümünü hesapla-o ..yiniz.

5) {: = x - 5y , ~~ = x - 3y} denklem sistemirilnsaglayan çözümünü hese.pls.yiniz.

6) 1=e-5tglntdi;' integralinin degerini hesaplayiniz ..

CEVAPLAR.:

x(O) = y(O) = 1 be.slangiç sartlarini



08.12.2000

DIFERANSIYEL DENKLElvILERVIZE SINAVI

A

---------- - __ o • _ • _ • "_

(4x3 3) (3x )(25) i. yz + Y dx + "Y2 + 4y dy = O

diferansiyel denklemini tam -diferansiyeldenklem haline getirecek jJ = 1J(Y)

seklinde bir integrasyon çarpani bu1unuz veverilen denklemin genel çözÜmünüelde ediniz.

"

(20) '2. ylff -3y" +2y' =t+et diferansiyel denkleminin genel çözümünübulunuz ..

. .----- ------.--- -'--"'-"'--(25)·' '3~(~ ~ 2F·~.+2j~~·~;2i~~~+:·3(~·--2);:_-o·- "d;~~i=ni~~riÜyor~-.'

... (1~) (a) Verilen diferansiyel denklemin regÜler tekil noktalarp:ii._~a§.tinmz ..... ',

(15) (b) Regüler tekil nokta civarindaki sen-çözümÜnün ~~gi formdaoldugunu indis denkleminin kökleri yardimiyla belirleyiniz.

". (30) 4. yil + xy' + 2y =O denklemiveriliyor.

. (20) (a) Verilen diferansiyel denklerriin x = Onoktasi civanndaki seri.çözümünü bulunuz.ÇÖzGm fonksiyonunun yakiIisaklikô.raligim belirleyiniz_

(10) (b) y(O) = 1 , y'(O) = O ba§langiç ko§ullariiii saglayan çözÜmüelde ediniz.

SURE: 2 saat

BASARILAR

-:::..._:~



5i-\-\:::;tJ

'::li"" ~ -tTB yi:?

. (-J., (o if • ).:: \<.i:s~le.r~ ..ust) r~,? CL?"

3-) 0~ ~r~.§"iY\ck. ~ L+-) ~t- at:s~.H1) ~oni......-;

~ J:::L lll \"-':J -'1- r e;5 i __

'J~= (!\t:--t Bt~ c)(f ;"kilUerd.o- .ii

<=-

3 i~ ."t cl .)

4.) ~ i!~ '1 jIJ.,.. 3'j i = '3> S in-l + Co~-t

ko-ro.lkn ~t~. def'\ l\em ~ r~-2 r'2.._~('"= ()r \[-+~)lr-31:::.u (";=:o)

lo- 1- 'te:...":-. i



.~ 11.-= -t- \ )

NoT ~ ':il-\- ) = eoJ- CO:o. \, t- ve.~ ci ScH = e..i.+s,"b 1- \::,e.-

'le.-. uUe-dw... \-'iC;.~,,; o..=i' ib ~iL ;~e./

__ L.~1>:='QC\~ CA C=b\--t~S\(,Iot-)j)

• ~-"~\.ii,\i.\~~'~-si.~_."",,*-+b=L~-<== .", _c_~.~ __" . '-- ..

""":" .. :~;c.:-..,.::.:: '_:.'. tu 'i':':::" c.'-\O':.(' 'A 'L" b-t' gS b' t) tk \ :, __ H

. '. __ .. :~ : .' ." _ . .:J +-; ._ ~" '. ', .•• - • .....1.. .. '..' '.. " ç:.. .... tü \ \.n· .' .

__l ci,,: .:....-.' .'. ~---~_._--- -.' --- u·" •• '" •• );,,_:,;C,,; '.: "~:;;, .

,.6.)} S~:,,:b-\-ed.~~Lck" li€ r'>\V\\C\ .. bs llec:' .. :.~, --~; ',-

r' '. - . ~";.. ,'-.:. " .' il \c '.',.:." .~,-: r-:' C:'·\ .-.~-'i-\- C" <1, .' .. :; .. \ i i '1-c=.'2+, do.') . d',h cle-<'Illerr'ct-€.- . ci +,,:,.~,,;,,:'o,,:t+.::.:... , ... ......i .-:

<J \s-J". ~'" = e'2.t t1\ Cci:,3~+ B,S,nS+}) ~ .i .. :\,AIJ-er ek '2-\- '3.; ~ol)

7--. Ka;-o.\..\en ",Jr. \.. ~ II e en ,y-, bL\ en'

~.) \.<ü-ra l~(\.::i ~IL b L\e.{\' . (\ :::q r:Li 3.::: 3 -+ 1 DJU./ \ ( i '7 J

., 1/\ L ~j II o" f' L ~.0\..- ~\\- .e...re..", S~~ Deri em LV\. ,jU-jJ .ofl SiY'O:'\Y

3L t- \ = e3t- S n+-

. O \~~ (\ ~u chx-Cir0d~ i)

':ll'>o; eY' iç (j\ C=~ -'c b S •...-t.) ik""

K~k.\er:le- 6 + \ b,r k~ a ldu~~. i~--~~~~~ii~~~~~~~~~~

o\ur.



-

--d tr a .\ i it- _ Q.)..nn 'c.; i€'n'l 1

)

Ii ::Qi r2- =- - \ J C" ~ ~

ciif, d.eJ,l\emlv1de.. 5(J)= e:-\-( :i2'_Ca::'.t)

,C,fi '3(+"'\:: -0.et: _ e+ Q:,-\- A,,, L.UflU'j\\'o\o..rok.j .' - J o

'jCl _ ~f-i Eh C) e-t.f-e t LDc",:i+-\'ESlf\-l) ·~

_\ \ \, ,\ 0.4 iUc;";' e. ' )6s.1-Ler ek~..1 __"5-e.c.1 ~. ci.~o;gl6.0.dir. 'h,c. b,r; - i,... ,-, . 4e..81 i -t .

~ A iz\ ~ 9 c.l.) ~,",.\e.~'::j one:F " .n:s,·k.l J C"",,-' ,~~ cl s.10 '-le...

t\~Y).o I'ÇI,u" ,", ,c..o-r p\m \ "$.el.\ i"de;]se.. (. iliii Goe. rp imele..

o.loj iV- ) mu.\-loL " hCfl'~enC.!home bo Limoh dir.

9i: iicrJ3",.._,i! 1,--= .,E:'''+.,.('L..4~-,Qs.-e~..~-~Y .. . -- .. -- -.-- ~

c9.a.. i Y<i ) •.•• :." ,i\Le .J,-e('\~'i Dlari lA +'1..-t G h C.)i''-b~;;:;~~L}''.\:,<.1'-- .\o.er,rrii 'S,a.ckce .le ;\e.. c"c,rf'mc

/

}10:~ _~'j-e..k..--.\,' '0\o:.ca.S-'OI :a•.•ljClVZ. ~, ; \ e. dc..§tl ~ )~nlu 'IJ h "\e. c:;xiLi~CiA -terim "5.0. de ce. ,Ci. -€ t \

'j'b '"\J: -l--t Q, \- + ~ ').e-\:. . .Jd'.. - - J

\tc ('(l'OJel'\ ~~1.um i\c. ~ (j non\'k.~ i-e(\m\ c.Q~\~'h,§l 1<:-\(1·

L Ci e t -t C:~)+ -e.-l)

\ 1\~)

• i i ii~

i....! if riJ .:=:;. ::::i

G == ~

A.· ~t2- .-' .1 -.: :,. i ··n .-".



'. i ,\.: ._ ,çi it.- "-'

'::J ô = \ prC~ \-.i, \6,S (\-'y- ) ~ T re.. 't:. --\t:i \1 r:: et l° .._ J, t.. ./ L..-t- \::: ::-

\ .. tt _ iL {.;'l6liJer~(\ . L~I.J-e(""d.er, kJ~ilCe.rJ ..Qf\ ~i~ b,i\~c.. 61("\ +, "'\~b,r: - ~~. i i

J..~\'\ o i _.\\ {til i..:s . c..r.z..~\ • ->

\ 3.) ri :=0) r "-'3 '2+i '-'- '3 c.\-)= t .e-:L-\: CCl'5 -l-i- t cib,l1.

y~=_d:- ~ L A ~{ ~j~.:,_~.±( SJ+~} :~~~:tJ:±-~-i:- f):~. ,i----CLc..ll\c.im~ lLsklerd<L

• _'. / o";0'5i,d« \ b,r; D\'-J o i J ~ ~ "' n ~)\., \ .. '\ 2t C \ ..--::::-- _ 'U i •.... -+eriCYlI '""i::- e o::iT c.a.r:p \m\. \C1\n

'-Qo.).\\~~\rido.("\ ~y\ '" 'Do- ~cJ~_mc.JI.~''L.

U ~(r'::hn-=_~.-CT+;-e-\92..-"c.o.:>~-+G Sin. t J --.-.__._ __

\j ö ile Y lo .. ko.r~ilo.;>t.'"1.(sa) -e:i·-\-.G3 (O:,-t -t-tl S '11Lrj .

i.r~.,,<HQ1.+- C Cz.Cc,,,,+ + es 5,,;{-) c.ei L~iÜk jorel ~'.::i"r...

B Ll()'0i. c1.o.-i y ~. -t J ile. c..o.ri" \ rn.o.l. !l1;) . r'L .I"', '" 'l:+ j }' \-i,,)"= 'l+-t -.i-€. .. SU b ~ e..L..+ G" +

1::i \':::,a~di '; .. J ~t- 2-

~ to ===Llt--\--i-1S ') CD~ +(ç-\:.\-b)S,n-\:.- -e .-{:

b\vrctu. C &1\~6/

\j\-i ~ e.'2.+ Lci Ca::'-~ -f- Ci. Sini) + ei-+ (<3 CoJhC~Si{\+) L

ci icl u§'-'" ck,,, ~'/, \\e: 'il, -kn'm~ Ccol' ~ILi,L 'jor<"~' ':l"" ~i

Lf\ -\-C::,J\- -t C\:.s i/l-\-) e.-\: '-le.. US C<:>.:> t TD's in Si(lt )erG.,fti \\e I.J '" "'" -e'2+ LC:g-i:. Co::,.\- --t- CJ: Si 1"\-t) \Je..

~~ ( ~i . Ci Ca~ \ + Ci.. 5\11+) ~\1\+~ &

@



" ,

27-11-2000

nIFERANSIYEL DENKLEMLER ARASINAVI

i. Asagida. verilen diferansiyel denklemi homojen seklinde yazip genel

çözümünü bulunuz.

dy

--.------- ...-- - dx

x+3y-5

x-y-1

2. Yi(x) = e= fonksiyonu xyil - (2x + l)y' + (x + l)y = O denkleminin 'bir

çÖzUmüdur. Bu den1cleminlmertebe inairgeme yolu ile lineer bagimsiz ikinci

bir çÖzÜmÜnü ve daha sonra da

.

.•-------- --~-_.__ ._-_._--- -.,..- -..

rFy -dy .x-i - (2x +1)- + (x +l)y= x2e=dx -- . dx .

_. -...-...------- ..---,------------------------------. - .--- --.--------------

cierikleminin genel çözümÜnü bulun~z.

'.. '.' ~.. ".~§.a~~~ :~·~·pen:-dife~ansiye(d~n~I~mleri~:·.~omojen çözü.i:nünü ~u1u~~>.. ozer çözürriünü.n: formunu belirsiz' 'lcatsa.-yilarm~tddunu:-kl.1:lla:n:aralc-yaimiz~--·-.

4. lQ<:-gida"'-erilencliferansiyel denklemin adi ve tekil noktalarini beIirleylniz

-;e ba§la!l.giçdeger probleminin seri çözümünü bullli'1.Uz.(Seriçözümünün ilk bes

t.erimini yazinlz,)

-(~} dy _--:-.:i=,j: dx~J+ x di + y - O,

i \::::;:/

<t

5. yil + p(x)y' + q(x)y = O denkleminin bir ra, bL araligindaki çözümleri Y~(x)

..•.e Yi(x) olsun. Bu ara.lihaki Vi(x) Ye Y2(:Z;) çözümlerinin Xo E [ci, bL nokt2.:5inda

ortak dör:üm noktalari ..•.arsa p( xo) of: O ve q( xo) -!- O kosullari altinda, Yi(x) ve

Y~(x) for"ksiyo'!i la...n_Tlm yukanda verilen difera.T1siyeldenklemin bir te..inelçözüm

kÜm,esi ola.-na.yacaginigösteriniz.



NO: Ad-Soyad: Imza.:

1) y(4) _ 4ylfl + lOy" -12y' + 5y = O denklen,ini çözünüz.

2) yil _ 3y' + 2y = eX denklemini çözünüz.

3) r y2(t) dt = xy deri.klemini çözünüz.a t4) (C05X + yexY)dx + (xexy - siny)dy = O denklemini çözünüz.

5y = cex+y egri ailesinin ortogona] yörüngelerini bulunuz, .------.---------- ------_ .._-~-- --

SORULAR

\ (1 d '2 1 dil' 'I d n.kl .L - -) y = -;:; ierensiye e emiru çozunuz.xdx X"

-C\_d~y---.-.d.Y.' --- e" d'" . i..J ki ,. " tl' _..i v., ." •• t ... k ii k-------2;-- dx2' '--M-d ::::=i-= y-:-:=r-:::.:.:-~- herensiye -'uen emini, 'parame z:eerin-'-uegi§imi-hyon emini u anara ... _.x .

çözünüz.

) d:iy dy e" difi 'i,.l kl .,3 -- .• - 2-d+Y = - erensiye ueii eminin 'ypdx'" x x. özel çözümünü,"ters operatörler yöntemini"

kullanarak hesaplayiniz,

d24) dx; + y = xsinx denkleminin· Yp özel çözümünün yapisini~ "belirsiz katsayilar" yöntemini

kullanarak belirleyiniz.•. _ •. •• __ o,'. _ •• :••••... _.~. : •• .. •• _ • .. •• •. •. ; ._ . .• . _ . _ •• H"

--------------.-- ".-'--- " .. ..: .. ....~.:..:.-~..._:; .....

Her soru 20 puan olup sinav süresi 2 saatdir.

31.07.200C

aih::;iniii dik yöriiiig<'!(-'riiii biiliiiiii:l. .

denkkniiiii çi)ziiiii·iz.

i)

"2 )

x2 + v2 _ xy = c2 ('ET1'"

dx + (~- siny)dy = Oy

:j) y2 _ X = J xy2dx dCl1kh~mirij çöziiiiiiz.

:1) yil + yi + y = e-x clcjjkkm.inin y(O) = y'(O) = O

;-}) yil -+- 2yl + y = e-xsInx denklemini çözÜntLz,CEVAPLAR.:

§artl?rini sa,glayan çözi:imi.'ini.i hesaplaYJJ1lz.



dy = 4x-2Y-2~}'}t

NO: ve AD-SOYAD:

BÖLÜ1-1-GRUP-IMZA:

Dersi Veren Hocanin Ismi:

SORULAR:

kökü için seri Çözümünu yaziniz.

4) y" + 2y' + y = 4e-t , y(O) = 2 , y'(O) = -1 b8.§le.ngiç deger prcib1eminiLa-pla.cedönÜ§Üln -yonteini üp. çözünüz, -.

(ii ) - (-e -2t.) . {<ix .) :X.' = 4 -2 X+_2et. veyaaçikolarak dt'= x+)'+e-::ndenklem sistemininin genel çözümünü bulunuz.

--- •••• - __ n • ._ •• _. hCEVAP-LAR:- __. _-: .

____ " 'i .u__

NO: Ad-Soyad::Imza-: BölÜm:

1) x2 + y2 = c2 egri ailesinin dik yörüngelerini bulunuz.

2) dy y2 + 2xy d'f '1 d nk1e .di = x2 i erensiye e mini çozunz.

3) iX y(t)dt = ;c:) denklemini ~özünüz.

4) (x + 2)sinydx + xcosydy '= O denklemini J.L(x) §eklinde bir integrasyon çarpan] bulara-k

çözünüx.

5-) (x - i)y" - xy' +y = Ox > 1 denkleminin l;>irtemel Çözümü Yi = eX olduguna göre

Documents

A305 DIF.denk. Cikmis Sinav Sorulari