บทที่ 2...บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอ์ร 2.1.2 ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector Spaces) ก าหนดให เซต

บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์ Vector Space

ในบทนี้เราจะศึกษาระบบคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยเซต 2 เซต และการด าเนินการบนเซตๆ นั้น กับการด าเนินการระหว่างสมาชิกของเซตทั้งสอง ซึ่งสอดคล้องกับสมบัติบางประการ เรียกระบบคณิตศาสตร์นั้นว่า ปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) ตัวอย่างปริภูมิเวกเตอร์ ได้แก่ ปริภูมิแบบยุคลิด (Euclidean Vector Spaces) ℝ𝑛 ซึ่งเราจะขยายแนวคิดจากปริภูมินี้ ไปสู่ปริภูมิเวกเตอร์ในกรณีทั่วไป ในบทที่ 2 นี้ เราจะศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของปริภูมิเวกเตอร์และตัวอย่างที่ส าคัญของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งมีความเก่ียวพันธ์กับระบบของเมทริกซ์

สมบัติพื้นฐานของการบวก และการคูณด้วยสเกลาร์ ของเวกเตอร์ใน ℝ2 พิจารณาได้จากรูปต่อไปนี้

u

v

u

v

u u

v

w

v

w

u + v = v + u

ሺu + vሻ + w = u + ሺv + wሻ

u v

cሺu + vሻ = cu + cv

cu

cv

. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเส้น .

หน้า 45

บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์

2.1 ปริภมูิเวกเตอร์ (Vector Spaces) 2.1.1 ฟีลด์ (Field)

ให้ 𝔽 เป็นเซตซึ่งไม่ใช่เซตว่าง และมีการด าเนินการทวิภาค 2 ชนิด ระหว่างสมาชิกในเซต 𝔽 โดยการด าเนินการชนิดแรกเปรียบเทียบกับ “การบวก” และ การด าเนินการชนิดที่สองเปรียบเทียบได้กับ “การคูณ” เขียนแทนด้วย + และ ⋅ ตามล าดับ จะเรียกระบบที่ประกอบด้วยเซต 𝔽 และการด าเนินการบวกและคูณว่า ฟีลด์ (field)

เขียนแทนด้วย ሺ𝔽,+,⋅ ሻ และเรียกสมาชิกใน 𝔽 ว่า สเกลาร์ (scalar) ถ้าระบบดังกล่าวสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้ ส าหรับทุก x, y, z ∈ 𝔽

(SF 1) x + y ∈ 𝔽

(SF 2) x + y = y + x

(SF 3) x + ሺy + zሻ = ሺx + yሻ + z

(SF 4) จะต้องมีสมาชิก 0 ∈ 𝔽 ซึ่งท าให้ x + 0 = x

(SF 5) ส าหรับทุกสเกลาร์ x จะต้องมี −x ∈ 𝔽 ซึ่งท าให้ x + ሺ−xሻ = 0

(SF 6) x ⋅ y ∈ 𝔽

(SF 7) x ⋅ y = y ⋅ x

(SF 8) x ⋅ ሺy ⋅ zሻ = ሺx ⋅ yሻ ⋅ z

(SF 9) จะต้องมีสมาชิก 1 ∈ 𝔽 ซึ่งท าให้ 1 ⋅ x = x ส าหรับทุก x ∈ 𝔽

(SF 10) ส าหรับทุกสเกลาร์ x ≠ 0 จะต้องมี x−1 ∈ 𝔽 ซึ่งท าให้ x ⋅ x−1 = 1

(SF 11) x ⋅ ሺy + zሻ = x ⋅ y + x ⋅ z หมายเหตุ 2.2 ถ้าระบบ ሺ𝔽, +, ⋅ ሻ เป็นฟีลด์ จะเรียกย่อๆ ว่า “𝔽 เป็นฟีลด์”

ตัวอย่าง 2.1.1 ระบบที่เป็นฟีลด์

1) ሺℝ,+,⋅ ሻ เมื่อ ℝ เป็นเซตของจ านวนจริงและ + , ⋅ เป็นการบวก และ การคูณปกติ

2) ሺℚ,+,⋅ ሻ เมื่อ ℚ เป็นเซตของจ านวนตรรกยะและ + , ⋅ เป็นการบวก และ การคูณปกติ

3) ሺℂ,+,⋅ ሻ เมื่อ ℂ เป็นเซตของจ านวนเชิงซ้อนและ + , ⋅ เป็นการบวก และ การคูณของจ านวนเชิงซ้อน

ตัวอย่าง 2.1.2 ระบบทีไ่ม่เป็นฟีลด์

1. ሺℤ,+,⋅ ሻ เมื่อ ℤ เป็นเซตของจ านวนเต็มและ + , ⋅ เป็นการบวก และ การคูณปกติ เพราะ ไม่มีตัวผกผันการคูณ เช่น 2 ⋅ 1

2= 1 แต่ 1

2 ไม่เป็นจ านวนเต็ม

2. ሺℚC, +,⋅ ሻ เมื่อ ℚC เป็นเซตของจ านวนอตรรกยะและ + , ⋅ เป็นการบวก และ การคูณปกติ เพราะไม่มีสมบัติปิดการบวก เช่น √2 + (−√2) = 0 ซึ่งไม่เป็นจ านวนอตรรกยะ

3. ሺℕ,+,⋅ ሻ เมื่อ ℕ เป็นเซตของจ านวนเต็มบวกและ + , ⋅ เป็นการบวก และ การคูณปกติ เพราะ ไม่มีเอกลักษณ์การบวก


หน้า 46


2.1.2 ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector Spaces) ก าหนดให ้เซต 𝕍 ซึ่งไม่ใช่เซตว่าง และ ฟีลด์ 𝔽 พร้อมด้วยการด าเนินการ 2 ชนิด ประกอบด้วย

• ตัวด าเนินการบวก ⊕ เป็นการด าเนินการระหว่างสมาชิกของ 𝕍 • การคูณด้วยสเกลาร์ ⊙ เป็นการด าเนินการระหว่างสมาชิกของฟีลด์ 𝔽 กับสมาชิกของ 𝕍

ซ่ึงสอดคล้องกับสมบัติ ดังต่อไปนี้

สมบัติการบวกเวกเตอร์

(VS 1) u⊕ v ∈ 𝕍 ส าหรับทุก u, v ∈ 𝕍 (มีสมบัติปิด closure property)

(VS 2) u⊕ v = v⊕ u ส าหรับทุก u, v ∈ 𝕍 (มีสมบัติการสลับที่การบวก commutative property)

(VS 3) u⊕ ሺv⊕wሻ = ሺu⊕ vሻ⊕w ส าหรับทุก u, v, w ∈ 𝕍 (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ associative property)

(VS 4) มีเวกเตอร์ θ𝕍 ∈ 𝕍 ซึ่งท าให้ u⊕ θ𝕍 = u ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 (มีเอกลักษณ์การบวก additive identity)

(VS 5) ส าหรับทุกเวกเตอร์ u ∈ 𝕍 จะมี −u ∈ 𝕍 ที่ท าให้ u⊕ ሺ−uሻ = θ𝕍

การคูณด้วยสเกลาร์

(VS 6) c ⊙ u ∈ 𝕍 ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 และ c ∈ 𝔽 (มีสมบัติปิดภายใต้การคูณด้วยสเกลาร์)

(VS 7) c ⊙ ሺu⊕ vሻ = ሺc⊙ uሻ⊕ ሺc⊙ vሻ ส าหรับทุก u, v ∈ 𝕍 และ c ∈ 𝔽 (มีสมบัติการแจกแจง

distributive property)

(VS 8) ሺc + dሻ ⊙ u = ሺc⊙ uሻ⊕ ሺd⊙ uሻ ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 และ c, d ∈ 𝔽

(VS 9) ሺcdሻ⊙ u = c⊙ ሺd⊙ uሻ ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 และ c, d ∈ 𝔽

(VS 10) มีสเกลาร์ 1 ∈ 𝔽 ที่ท าให้ 1⊙ u = u ส าหรับทกุ u ∈ 𝕍

จะกล่าวว่า 𝕍 ภายใต้ตัวด าเนินบวก ⊕ และ การคูณด้วยสเกลาร์ ⊙ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือ 𝔽 (vector space over 𝔽 ) หรือ ሺ𝕍,⊕,⊙,𝔽ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และจะเรียกสมาชิกของ 𝕍 ว่า เวกเตอร์ (vector)


หน้า 47


หมายเหตุ ปริภูมิเวกเตอร์ที่จะกล่าวถึงในเอกสารเล่มนี้ จะพิจารณาเฉพาะฟีลด์ ℝ เท่านั้น กล่าวคือเมื่อกล่าวถึงปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ แล้ว ฟีลด์ที่ถูกพิจารณาเป็นเซตของจ านวนจริง ℝ และถ้า ሺ𝕍,⊕,⊙,ℝሻ ที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ จะเขียนแทนด้วย ሺ𝕍,⊕,⊙ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์


หน้า 48


ตัวอย่าง 2.1.3 ก าหนดให้ 𝕍 = {x ∈ ℝ ∶ x > 0} และ

x⨁y = xy และ a⨀x = xa

ส าหรับทุก x, y ∈ 𝕍 และ a ∈ ℝ จงตรวจสอบว่า ሺ𝕍,⨁,⨀ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่ เพราะเหตุใด

วิธีท า


หน้า 49


ตัวอย่าง 2.1.4 ก าหนดให้ 𝕍 = {x ∈ ℝ ∶ x > 0} และ

x⨁y = x + y และ a⨀x = xa

ส าหรับทุก x, y ∈ 𝕍 และ a ∈ ℝ จงตรวจสอบว่า ሺ𝕍,⨁,⨀ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่ เพราะเหตุใด

วิธีท า


หน้า 50


หมายเหตุ เพ่ือความสะดวกในการเขียน จะแทน

x ⊕ y ด้วย x + y และแทน a⊙ y ด้วย ay

ดังนั้น ผู้เรียนจะต้องสามารถแยกแยะการด าเนินการแบบต่างๆ ที่ปรากฏให้ได ้โดยการพิจารณาจากสิ่งแวดล้อมที่ตัวด าเนินการนั้นๆ ปรากฏ

ปริภูมิเวกเตอร์ที่พบบ่อยๆ ได้แก่

1. ℝn = {ሺx1, x2, … , xnሻ ∶ x1, x2, … , xn ∈ ℝ} ภายใต้การด าเนินการ ดังนี้

ሺx1, x2, … , xnሻ + ሺy1, y2, … , ynሻ = ሺx1 + y1, x2 + y2, … , xn + ynሻ

และ

cሺx1, x2, … , xnሻ = ሺcx1, cx2, … , cxnሻ

ส าหรับทุก ሺx1, x2, … , xnሻ, ሺy1, y2, … , ynሻ ∈ ℝn และสเกลาร์ c ∈ ℝ

2. ℙn เป็นเซตของพหุนามดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับ n โดยที่

ℙn = {pሺxሻ: pሺxሻ = anxn + an−1x

n−1 +⋯+ a1x + a0}

ภายใต้การด าเนินบวกและคูณด้วยสเกลาร์ของพหุนาม

3. ℙ เป็นเซตของพหุนามทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจ านวนจริง นั่นคือ

ℙ = {pሺxሻ: pሺxሻ = amxm + am−1x

m−1 +⋯+ a1x + a0 เมื่อ m ∈ ℕ ∪ {0}}

ภายใต้การด าเนินบวกและคูณด้วยสเกลาร์ของพหุนาม

4. 𝕄m×n เป็นเซตของเมทริกซ์ที่มีอันดับ m× n ภายใตก้ารบวก และการคูณด้วยสเกลาร์ปกติของเมทริกซ์

(ดูบทนิยาม 1.1.2)


หน้า 51


ตัวอย่าง 2.1.5 ให้ 𝕍 = {ሺx, yሻ ∈ ℝ2: y = 6x + 1}

จะได้ว่า 𝕍 ไมเ่ป็นปริภูมิเวกเตอร์ ภายใต้การด าเนินการเช่นเดียวกันกับ ℝ2 เนื่องจากไม่สอดคล้องอย่างน้อย 1 ข้อ

ใน (VS01)-(VS10) แต่ที่เห็นได้ชัด คือ ไม่มีสมบัติปิดการบวกเวกเตอร์และคูณด้วยสเกลาร์ ในการแสดงการ

ไม่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ เราสามารถเลือกแสดงโดยการยกตัวอย่างข้อขัดแย้งเพียง 1 ข้อจาก (VS01)-(VS10)

จากการยกตัวอย่างค้าน เช่น

1. ሺ0,1ሻ ∈ 𝕍 และ ሺ0,1ሻ + ሺ0,1ሻ = ሺ0,2ሻ แต่ ሺ0,2ሻ ไม่เป็นสมาชิกของ 𝕍

จึงท าให้ VS01 ไม่เป็นจริง จึงท าให้ 𝕍 ไม่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ หรือ

2. ሺ0,1ሻ ∈ 𝕍 และ 0 ∈ ℝ แต่ 0ሺ0,1ሻ = ሺ0,0ሻ ไม่เป็นสมาชิกของ 𝕍

จึงท าให้ VS06 ไม่เป็นจริง จึงท าให้ 𝕍 ไม่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ เป็นต้น

ตัวอย่าง 2.1.6 ให้ ℙ2∗ เป็นเซตของพหุนามดีกรีเท่ากับ 2 นั่นคือ

ℙ2∗ = {pሺxሻ: pሺxሻ = a2x

2 + a1x + a0, a0, a1, a2 ∈ ℝ, a2 ≠ 0}

จงพิจารณาว่า ℙ2∗ เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่ เพราะเหตุใด

วิธีท า


หน้า 52


2.1.3 สมบัติของปริภูมิเวกเตอร์

ก าหนดให้ ሺ𝕍,+,⋅ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และ u ∈ 𝕍 และ c เป็นสเกลาร์

1) 0u = θ𝕍 ሺθ𝕍 เป็นเวกเตอร์ศูนย์ใน 𝕍ሻ 2) cθ𝕍 = θ𝕍

3) ถ้า cu = θ𝕍 แล้ว c = 0 หรือ u = θ𝕍

4) ሺ−1ሻu = −u

5) −ሺ−uሻ = u

พิสูจน์ (1) ก าหนดให้ u ∈ 𝕍 สมบัติที่ใช้

ดังนั้น

0u = θ𝕍 + ሺ0uሻ VS 04.

= [−ሺ0uሻ + ሺ0uሻ] + ሺ0uሻ VS 05.

= −ሺ0uሻ + [ሺ0uሻ + ሺ0uሻ] VS 03.

= −ሺ0uሻ + ሺ0 + 0ሻu VS 08.

= −ሺ0uሻ + 0u สมบัติของจ านวนเจริง

= θ𝕍 VS 05.

พิสูจน์ (2) พิจารณา

cθ𝕍 = c(θ𝕍 + ሺ−θ𝕍ሻ) = cθ𝕍 + c(ሺ−1ሻθ𝕍)

= cθ𝕍 + ሺ−1ሻሺcθ𝕍ሻ

= cθ𝕍 + ሺ−cθ𝕍ሻ

= θ𝕍

พิสูจน์ (3) ก าหนดให้ u ∈ 𝕍 และ c เป็นสเกลาร์ โดยที่ c ⋅ u = θ𝕍 และสมมติให้ c ≠ 0 ดังนั้น u = ሺc−1cሻu = c−1ሺcuሻ = c−1θ𝕍 = θ𝕍 สมบัติของสเกลาร์ พิสูจน์ (4) พิจารณา

θ𝕍 = u + ሺ−uሻ = ሺ1 + ሺ−1ሻ + 1ሻu + ሺ−uሻ = 1u + ሺ−1ሻu + 1u + 1ሺ−uሻ = u + ሺ−1ሻu + 1(u + ሺ−uሻ)

= u + ሺ−1ሻu

นั่นคือ −u = ሺ−1ሻu


หน้า 53


พิสูจน์ (5) ก าหนดให้ u ∈ 𝕍 สมบัติที่ใช้ ดังนั้น u = θ𝕍 + u VS 4. สมบัติของเวกเตอร์ศูนย์ = ሺ−1ሻθ𝕍 + u

= ሺ−1ሻ[u + ሺ−uሻ] + u

= ሺ−1ሻu + ሺ−1ሻሺ−uሻ + u

= ሺ−uሻ + (−ሺ−uሻ) + u = −ሺ−uሻ

2.2 ปริภูมยิ่อย (Subspaces)

ให้ ሺ𝕍,+,⋅ ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ พิจารณาเซต 𝕎 เป็นเซตย่อยของ 𝕍 และไม่เป็นเซตว่าง ภายใต้การด าเนินบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ เช่นเดียวกันกับปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 ในหัวข้อนี้จะสนใจว่า

“เมื่อไร 𝕎 ⊂ 𝕍 จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์”

ซ่ึงจากหัวข้อ 2.1 พบว่า ในการแสดงว่า 𝕎 จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์จะต้องสอดคล้องกับ (VS01)-(VS10)

ดังนั้น สามารถเปรียบเทียบสมบัติ (VS1)-(VS10) ไดด้ังนี้

ก าหนดให้ ሺ𝕍,+,⋅ ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ ℝ และให้ 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยที่ 𝕎 ≠ ∅ ภายใตก้ารด าเนินการบวกและ การคูณด้วยสเกลาร์เดียวกัน และ ให้ u, v, w ∈ 𝕎 และ a, b ∈ ℝ

(VS01) u + v ∈ 𝕍 u + v ∈ 𝕎 ทราบ ไม่ทราบ เพราะ 𝕎 เป็นเพียงเซตย่อยของ 𝕍 อาจจะไม่มีสมบัติปิดก็ได้

(VS02) u + v = v + u u + v = v + u ทราบ ไม่ทราบ เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะได้ว่า u, v ∈ 𝕍

ดังนั้น u + v = v + u (VS03) u + ሺv + wሻ = ሺu + vሻ + w u + ሺv + wሻ = ሺu + vሻ + w ทราบ ไม่ทราบ

เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะได้ว่า u, v ∈ 𝕍

ดังนั้น u + ሺv + wሻ = ሺu + vሻ + w

(VS04) มี θ𝕍 ∈ 𝕍 ซึ่งท าให้ θ𝕍 + u = u มี θ𝕎 ∈ 𝕎 ซึ่งท าให้ θ𝕎 + u = u ทราบ ไม่ทราบ

เพราะทราบเพียง 𝕎 ⊂ 𝕍 เท่านั้น ไม่มีอะไรบอกว่า จะมี θ𝕎 ∈ 𝕎 ถ้ามี θ𝕎 ∈ 𝕎 เป็นจริง จะได้ว่า θ𝕎 = θ𝕍

(VS05) ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 จะมี −u ∈ 𝕍

ที่ท าให้ u + ሺ−uሻ = θ𝕍 ส าหรับทุก u ∈ 𝕎 จะมี −u ∈ 𝕎

ทีท่ าให้ u + ሺ−uሻ = θ𝕎 ทราบ ไม่ทราบ

𝕍

𝕎

ሺ𝕍,+,⋅ ሻ

ሺ𝕎,+,⋅ ሻ


หน้า 54


เพราะทราบเพียง 𝕎 ⊂ 𝕍 เท่านั้น

(VS06) au ∈ 𝕍 au ∈ 𝕎 ทราบ ไม่ทราบ

เพราะ 𝕎 เป็นเพียงเซตย่อยของ 𝕍 อาจจะไม่มีสมบัติปิดก็ได้ (VS07) aሺu + vሻ = au + av aሺu + vሻ = au + av ทราบ ไม่ทราบ

เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะได้ว่า a ∈ ℝ

ดังนั้น aሺu + vሻ = au + av


หน้า 55


(VS08) ሺa + bሻu = au + bu

ሺa + bሻu = au + bu ทราบ ไม่ทราบ เพราะ จาก u ∈ 𝕎 จะได้ว่า a, b ∈ ℝ

ดังนั้น ሺa + bሻu = au + bu

(VS09) ሺabሻu = aሺbuሻ ሺabሻu = aሺbuሻ ทราบ ไม่ทราบ เพราะ จาก u ∈ 𝕎 จะได้ว่า a, b ∈ ℝ

ดังนั้น ሺabሻu = aሺbuሻ (VS10) มีสเกลาร์ 1 ที่ท าให้ 1u = u มีสเกลาร์ 1 ที่ท าให้ 1u = u ทราบ ไม่ทราบ

เพราะ ใช้ฟีลด์ ℝ เดียวกัน จึงใช้สเกลาร์ 1 ค่าเดียวกัน

บทนิยาม 2.2.1 qก าหนดให้ ሺ𝕍,+,⋅ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ 𝔽 และ 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยที่ 𝕎 ≠ ∅ ถ้า ሺ𝕎,+,⋅ ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ 𝔽 แล้ว 𝕎 จะเรียกว่า ปริภูมิย่อย (subspace) ของ 𝕍

หมายเหตุ ก าหนดให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ จะได้ว่า

1. {θ𝕍} เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 2. 𝕍 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍

ให้ 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยที่ 𝕎 ≠ ∅ จากข้างต้น พบว่า 𝕎 สอดคล้องกับสมบัติ (VS02), (VS03), (VS07), (VS08), (VS09)

และ (VS10) ดังนั้น ถ้าจะแสดงว่า 𝕎 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ หรือ เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 จะต้องแสดงว่าสมบัติ

(VS01), (VS04), (VS05) และ (VS06) เป็นจริง แต่ความเป็นจริงแล้ว แสดงว่าสมบัติ (VS01) และ (VS06) เป็นจริงก็

เพียงพอ ซึ่งอธิบายได้ด้วยทฤษฏีต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.2.1 ก าหนดให้ ሺ𝕍,+,⋅ ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ 𝔽 และให้ 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠ ∅

จะได้ว่า 𝕎 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 ก็ต่อเมื่อ

(SS1) u + v ∈ 𝕎 ส าหรับทุก u, v ∈ 𝕎

(SS2) au ∈ 𝕎 ส าหรับทุก a ∈ 𝔽 และ u ∈ 𝕎

พิสูจน์ ก าหนดให้ ሺ𝕍,+,⋅ ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ 𝔽 และให้ 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠ ∅.

ሺ⟹ሻ สมมติให้ 𝕎 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 นั่นคือ 𝕎 เป็นปริภูมิเวกเตอร์

จะได้ว่า 𝕎 มีสมบัติปิดการบวก และการคูณด้วยสเกลาร์ นั่นคือ (SS01) และ (SS02) เป็นจริง

ሺ⟸ሻ สมมติให้ (SS01) และ (SS02) เป็นจริง (นั่นคือ (VS01) และ (VS06) เป็นจริง)

ดังนั้น จะแสดงว่า (VS04) และ (VS05) เป็นจริง ก็เพียงพอ


หน้า 56


ให้ u ∈ 𝕎

เนื่องจาก −1 ∈ 𝔽 และ −u = ሺ−1ሻ ⋅ u

จาก (SS2) เป็นจริง จะได้ว่า −u = ሺ−1ሻ ⋅ u ∈ 𝕎 นั่นคือ −u ∈ 𝕎

จาก (SS1) เป็นจริง จะได้ว่า θ𝕍 = u + ሺ−uሻ ∈ 𝕎

นั่นคือ (VS4) และ (VS5) เป็นจริง

ดังนั้น ሺ𝕎,+,⋅ ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ 𝔽

นั่นคือ 𝕎 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍

จากทฤษฎีบท 2.2.1 พบว่าในการแสดงการเป็นปริภูมิย่อย จะแสดงเพียง สมบัติปิดการบวกของเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ก็เพียงพอ ดังนั้นเพ่ือความสะดวกก็สามารถรวมเป็นข้อเดียวได้โดยทฤษฎีบท 2.2.2 ต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.2.2 ก าหนดให้ ሺ𝕍,+,⋅ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ 𝔽 และให้ 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠ ∅

𝕎 จะเป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 ก็ต่อเมื่อ ส าหรับทุก a, b ∈ 𝔽 และ u, v ∈ 𝕎 จะได้ว่า au + bv ∈ 𝕎

พิสูจน์ ก าหนดให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และให้ 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠ ∅

ให้ a, b ∈ ℝ และ u, v ∈ 𝕎

ሺ⟹ሻ สมมติให้ 𝕎 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 (จากสมมติฐาน)

โดย (SS1) จะได้ว่า au ∈ 𝕎 และ bv ∈ 𝕎 โดย (SS2) จะได้ว่า au + bv ∈ 𝕎

ሺ⟸ሻ สมมติให้ au + bv ∈ 𝕎 ส าหรับทุก a, b ∈ 𝔽 และ u, v ∈ 𝕎 (จากสมมติฐาน)

เนื่องจาก 1 ∈ ℝ ดังนั้น u + v = 1u + 1v ∈ 𝕎 (จาก (SS1) เป็นจริง)

และ a − 1 ∈ ℝ ดังนั้น au = ሺa − 1ሻu + u ∈ 𝕎 (จาก (SS2) เป็นจริง)

นั่นคือ 𝕎 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍

ตัวอย่าง 2.2.1 จงตรวจสอบว่าเซตต่อไปนี้เป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ ℝ2 หรือไม่

i) 𝕎1 = {ሺx, yሻ ∈ ℝ2: 2x − 3y = 0}

วิธีท า


หน้า 57


ii) 𝕎2 = {ሺx, yሻ ∈ ℝ2: x + 2y = 1}

วิธีท า

ตัวอย่าง 2.2.2 จงตรวจสอบว่าเซตต่อไปนี้เป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ ℝ3 หรือไม่ i) 𝕌1 = {ሺx, 2y, 0ሻ ∈ ℝ

3: x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}

วิธีท า


หน้า 58


ii) 𝕌2 = {ሺx, y, zሻ ∈ ℝ3: z = 2x − 7y, x, y ∈ ℝ}

วิธีท า เขียน 𝕌2 ใหม่ได้เป็น 𝕌2 = {ሺx, y, 2x − 7yሻ: x, y ∈ ℝ}

จากโจทย์ ሺ0,0,0ሻ ∈ 𝕌2 ดังนั้น 𝕌2 ≠ ∅

ให้ a, b ∈ ℝ และ ሺx1, y1, 2x1 − 7y1ሻ, ሺx2, y2, 2x2 − 7y2ሻ ∈ 𝕌2 เมื่อ x1, y1, x2, y2 ∈ ℝ

จะได้ว่า aሺx1, y1, 2x1 − 7y1ሻ + bሺx2, y2, 2x2 − 7y2ሻ

= (ax1 + bx2, ay1 + by2, aሺ2x1 − 7y1ሻ + bሺ2x2 − 7y2ሻ)

= (ax1 + bx2, ay1 + by2, 2ሺax1 + bx2ሻ − 7ሺay1 + by2ሻ)

ดังนั้น aሺx1, y1, 2x1 − 7y1ሻ + bሺx2, y2, 2x2 − 7y2ሻ ∈ 𝕌2 เพราะว่า ax1 + bx2, ay1 + by2 ∈ ℝ

นั่นคือ 𝕌2 เป็นปริภูมิย่อยของ ℝ3

ตัวอย่าง 2.2.3 ก าหนดให้ 𝕍 = {ሺx, yሻ ∈ ℝ2: y = 5x} จงตรวจสอบว่า 𝕍 เป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ ℝ2 หรือไม ่วิธีท า เขียน 𝕍 ใหม่ได้เป็น 𝕍 = {ሺx, 5xሻ: x ∈ ℝ}

จากโจทย์ ሺ0,0ሻ ∈ 𝕍 ดังนั้น 𝕌2 ≠ ∅

ให้ a, b ∈ ℝ และ ሺx1, 5x1ሻ, ሺx2, 5x2ሻ ∈ 𝕍 เมื่อ x1, x2 ∈ ℝ

จะได้ว่า

aሺx1, 5x1ሻ + bሺx2, 5x2ሻ = ሺax1 + bx2, 5ax1 + 5bx2ሻ

= (ሺax1 + bx2ሻ, 5ሺax1 + bx2ሻ)

เนื่องจาก ax1 + bx2 ∈ ℝ ดังนั้น aሺx1, 5x1ሻ + bሺx2, 5x2ሻ ∈ 𝕍

นั่นคือ 𝕍 เป็นปริภูมิย่อยของ ℝ2


หน้า 59


ตัวอย่าง 2.2.4 ก าหนดให้ 𝕍 = {[ x x − 2yx + y + z y − z

] ∈ 𝕄2×2: x, y, z ∈ ℝ} จงตรวจสอบว่า 𝕍 เป็น

ปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ 𝕄2×2 หรือไม่ วิธีท า


หน้า 60


ตัวอย่าง 2.2.5 ปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์ 𝐀 (Null space or kernel of 𝐀)

ก าหนดให้ AX = 0̅m×1 เป็นระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ โดยที่ A เป็นเมทริกซส์ัมประสิทธิ์อันดับ m× n

และ X = [

x1x2⋮xn

] ∈ 𝕄n×1 เป็นเวกเตอร์ไม่ทราบค่า เซตของผลเฉลยของระบบสมการดังกล่าว คือ

KernelሺAሻ = {X ∈ 𝕄n×1: AX = 0̅m×1 }

จงตรวจสอบว่า KernelሺAሻ เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕄n×1 หรือไม่

วิธีท า เนื่องจาก A0̅n×1 = 0̅m×1 จะได้ว่า 0̅n×1 ∈ KernelሺAሻ ดงันั้น KernelሺAሻ ≠ ∅

ให้ a, b ∈ ℝ และ X1, X2 ∈ KernelሺAሻ จะได้ว่า AX1 = AX2 = 0̅m×1

พิจารณา

AሺaX1 + bX2ሻ = AሺaX1ሻ + AሺbX2ሻ

= aAX1 + bAX2

= a0̅m×1 + b0̅m×1

= 0̅m×1 + 0̅m×1 = 0̅m×1

ดังนั้น aX1 + bX2 ∈ KernelሺAሻ นั้นคือ KernelሺAሻ เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕄n×1

หมายเหตุ จากตัวอย่าง 2.2.5 จะเรียกปริภูมิเวกเตอร์ KernelሺAሻ ว่าเป็น ปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์ A


หน้า 61


ตัวอย่าง 2.2.6 จงหาปริภมูิสู่ศูนย์ของ A = [ 1 −5−3 15

]

วิธีท า

ตัวอย่าง 2.2.7 จงหาปริภมูิสู่ศูนย์ของ B = [1 1 1 02 1 0 1

]

วิธีท า

KernelሺBሻ = {[

wxyz

] ∈ 𝕄4×1: [1 1 1 02 1 0 1

] [

wxyz

] = [00]}


หน้า 62


2.3 ผลการแผข่องเซตของเวกเตอร ์

2.3.1 ผลรวมเชิงเส้น

ให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และ ให้ v1, v2, v3, … , vn เป็นเวกเตอร์ใน 𝕍 จะกล่าวว่าเวกเตอร์ u เป็น ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของเวกเตอร์ v1, v2, v3, … , vn ถ้ามีสเกลาร์ c1, c2, c3, … , cn ที่ท าให้

u = c1v1 + c2v2 + c3v3 +⋯+ cnvn

ตัวอย่าง 2.3.1 เวกเตอร์ ሺ1,2ሻ ∈ ℝ2 เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ሺ2,1ሻ, ሺ3,1ሻ หรือไม่

วิธีท า


หน้า 63



วิธีท า ให้ a, b ∈ ℝ โดยที ่

ሺ1,2ሻ = aሺ2,1ሻ + bሺ4,2ሻ = ሺ2a + 4b, a + 2bሻ

จะได้ระบบสมการ

2a + 4b = 1

a + 2b = 2

เป็นระบบสมการที่ไม่มีผลเฉลย นั่นคือไม่มี จ านวนจริง a, b ที่ท าให้

ሺ1,2ሻ = aሺ2,1ሻ + bሺ4,2ሻ

ดังนั้น ሺ1,2ሻ ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ ሺ2,1ሻ, ሺ4,2ሻ


วิธีท า


หน้า 64


2.3.2 ผลการแผ่ เซตของผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของ v1, v2, v3, … , vn เรียกว่า ผลการแผ่ (span) ของเซตของเวกเตอร์

{v1, v2, v3, … , vn} เขียนแทนด้วย Span{v1, v2, v3, … , vn} กล่าวคือ

span{v1, v2, v3, … , vn} = {c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn| c1, c2, … , cn ∈ ℝ}

ในกรณีทั่วไป ส าหรับ S ⊂ V และ S ไม่เป็นเซตว่าง นิยามให้

spanS = {c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn | v1, v2, … , vn ∈ S, c1, c2, … , cn ∈ ℝ และ n ∈ ℕ}

ตัวอย่าง 2.3.5 จงหา span{ሺ1,2ሻ}

วิธีท า span{ሺ1,2ሻ} = {tሺ1,2ሻ: t ∈ ℝ} = {ሺt, 2tሻ: t ∈ ℝ}

หมายเหตุ ถ้า ሺx, yሻ เป็นเวกเตอร์ใน ℝ2แล้ว span{ሺx, yሻ} = {cሺx, yሻ|c ∈ ℝ} ในทางเรขาคณิต span{ሺx, yሻ} คือ เส้นตรงซึ่งผ่านจุดก าเนิด และ จุด ሺx, yሻ

ตัวอย่าง 2.3.6 จงหา span{ሺ2,1ሻ, ሺ3,1ሻ}

วิธีท า

span{ሺ2,1ሻ, ሺ3,1ሻ} = {sሺ2,1ሻ + tሺ3,1ሻ: s, t ∈ ℝ}

= {ሺ2s + 3t, s + tሻ: s, t ∈ ℝ}

ตัวอย่าง 2.3.7 จงหา span{ሺ2,1,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ}

วิธีท า

span{ሺ2,1,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ} = {sሺ2,1,0ሻ + tሺ3,1,0ሻ: s, t ∈ ℝ}

= {ሺ2s + 3t, s + t, 0ሻ: s, t ∈ ℝ}

(1,2)

(0,0)

(1,2)

(0,0)

Y Y

X X

y = 2x


หน้า 65


ตัวอย่าง 2.3.8 ก าหนดให้ e1 = ሺ1,0,0ሻ, e2 = ሺ0,1,0ሻ และ e3 = ሺ0,0,1ሻ เป็นเวกเตอร์ใน ℝ3

(i) จงแสดงว่า span{e1, e2} = {ሺa, b, 0ሻ ∶ a, b ∈ ℝ}

วิธีท า

span{ሺ1,0,0ሻ, ሺ0,1,0ሻ} = {xሺ1,0,0ሻ + yሺ0,1,0ሻ: x, y ∈ ℝ}

= {ሺx, y, 0ሻ: x, y ∈ ℝ}

(ii) จงแสดงว่า span{e1, e2, e3} = ℝ3

วิธีท า

span{ሺ1,0,0ሻ, ሺ0,1,0ሻ, ሺ0,0,1ሻ} = {xሺ1,0,0ሻ + yሺ0,1,0ሻ + zሺ0,0,1ሻ: x, y, z ∈ ℝ}

= {ሺx, y, zሻ: x, y, z ∈ ℝ}

= ℝ3

ทฤษฎีบท 2.3.1 ให้ ሺ𝕍,+,⋅ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ ถ้า u, v ∈ 𝕍 แล้ว span{u, v} เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍

พิสูจน์ สมมติให้ u, v ∈ 𝕍

ให้ a, b ∈ ℝ และ x, y ∈ span{u, v}

จะได้ว่า มี α1, α2β1, β2 ∈ ℝ ที่ท าให้ x = α1u + β1v และ y = α2u + β2v


ax + by = aሺα1u + β1vሻ + bሺα2u + β2v ሻ

= (ሺaα1ሻu + ሺaβ1ሻv) + (ሺbα2ሻu + ሺbβ2ሻv)

= ሺα1a + α2bሻu + ሺβ1a + β2b ሻv

นั่นคือ ax + by ∈ span{u, v} จะได้ว่า span{u, v} เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍

ทฤษฎีบท 2.3.2 ให้ ሺ𝕍,+,⋅ሻ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ ถ้า v1, v2, … , vn ∈ 𝕍 แล้ว span{v1, v2, … , vn} เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍

หมายเหตุ


หน้า 66


1. span{v1, v2, … , vn} เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 ที่เล็กที่สุดที่มี v1, v2, … , vn เป็นสมาชิก

นั่นคือ ถ้า 𝕎 เป็นปริภูมิย่อยของ 𝕍 และ v1, v2, … , vn ∈ 𝕎 แล้ว span{v1, v2, … , vn} ⊂ 𝕎

2. ถ้า 𝕍 = span{v1, v2, … , vn} แล้วจะกล่าวว่า เซต {v1, v2, … , vn} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ (span the

vector space) 𝕍 นั่นคือ ส าหรับทุกเวกเตอร์ u ∈ 𝕍 จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ v1, v2, … , vn กล่าวคือ

จะมีสเกลาร์ c1, c2, … , cn ที่ท าให้ u = c1v1 + c2v2 +⋯+ cnvn

3. ส าหรับ S ⊂ V และ S ไม่เป็นเซตว่าง ถ้า 𝕍 = spanS แล้วจะกล่าวว่า S แผ่ทั่วปรภิูมิเวกเตอร์ 𝕍

ตัวอย่าง 2.3.9 จงพิจารณาว่า {ሺ2,1ሻ, ሺ1,2ሻ} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℝ2 หรือไม่

วิธีท า

ตัวอย่าง 2.3.10 จงพิจารณาว่า {ሺ2,1,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℝ3 หรือไม่


หน้า 67


วิธีท า ให้ ሺx, y, 𝑧ሻ ∈ ℝ3 และ สมมติใหมี้ a, b ∈ ℝ ที่ท าให้

ሺ𝑥, y, zሻ = aሺ2,1,0ሻ + bሺ3,1,0ሻ = ሺ2a + 3b, a + b, 0ሻ


2a + 3b = x

a + 2b = y

0 = z

เลือก z = 1 จะไม่สามารถหา a, b ดังกล่าวได้ ดังนั้น

ดังนั้น span {ሺ2,1,0ሻ, ሺ1,2,0ሻ} ≠ ℝ3

กล่าวคือ {ሺ2,1,0ሻ, ሺ1,2,0ሻ} ไมแ่ผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℝ3

ตัวอย่าง 2.3.11 จงพิจารณาว่า {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℝ3 หรือไม่

วิธีท า


หน้า 68


ตัวอย่าง 2.3.12 จงพิจารณาว่า {1, x, x2} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℙ2หรือไม่

วิธีท า ให้ pሺxሻ ∈ ℙ2 โดยที่ pሺxሻ = ax2 + bx + c จะได้ว่า

pሺxሻ = ሺcሻሺ1ሻ + ሺbሻሺxሻ + ሺaሻሺx2ሻ ∈ span {1, x, x2}

นั่นคือ span {1, x, x2} = ℙ2

ตัวอย่าง 2.3.13 จงพิจารณาว่า {1 − x2, 1 + x, x2} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℙ2 หรือไม่

วิธีท า


หน้า 69


ตัวอย่าง 2.3.14 จงพิจารณาว่า {1 − x2, 1 + x} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℙ2หรือไม่

วิธีท า ให้ pሺxሻ ∈ ℙ2 โดยที่ pሺxሻ = ax2 + bx + c

สมมติว่ามี α, β ∈ ℝ ที่ท าให้

ax2 + bx + c = αሺ1 − x2ሻ + βሺ1 + xሻ = −αx2 + βx + ሺα + βሻ


−α = a β = b

α + β = c


−a + b = c

เลือก b = 1, a = c = 0 จะท าให้ระบบสมการขัดแย้ง

นั่นคือ x ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 − x2, 1 + x ได้

นั่นคือ {1 − x2, 1 + x} ไม่แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ ℙ2


หน้า 70


ตัวอย่าง 2.3.15 จงพิจารณาว่า {[0 11 1

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 0

]} แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ 𝕄2×2 หรือไม่

วิธีท า


หน้า 71


ตัวอย่าง 2.3.16 จงตรวจสอบว่า [−17−611] เป็นเวกเตอร์ใน span {[

121] , [−202]} หรือไม ่

วิธีท า ให้ a, b ∈ ℝ โดยที่

[−17−611] = a [

121] + b [

−202] = [

a − 2b2a

a + 2b]


a − 2b = −17 2a = −6

a + 2b = 11

แก้สมการได้ a = −3 และ b = 7

นั่นคือ

[−17−611] = ሺ−3ሻ [

121] + ሺ7ሻ [

−202]

ดังนั้น [−17−611] ∈ span {[

121] , [−202]}


หน้า 72


ตัวอย่าง 2.3.17 ให้ pሺxሻ = x3 − 2x2 − 5x − 3 และ qሺxሻ = 3x3 − 5x2 − 4x − 8 เป็นพหุนามใน

ปริภูมิเวกเตอร์ ℙ3จงตรวจสอบว่าพหุนามต่อไปนี้ เป็นผลรวมเชิงเส้นของ pሺxሻ และ qሺxሻ หรือไม่

(i) fሺxሻ = −2x3 + 3x2 − x + 5

วิธีท า ให้ a, b ∈ ℝ โดยที่ fሺxሻ = apሺxሻ + bqሺxሻ

−2x3 + 3x2 − x + 5 = aሺx3 − 2x2 − 5x − 3ሻ + bሺ3x3 − 5x2 − 4x − 8 ሻ

= ሺa + 3bሻx3 + ሺ−2a − 5bሻx2 + ሺ−5a − 4bሻx + ሺ−3a − 8bሻ

จะได้

[

1 3 : −2−2 −5 : 3−5 −4 : −1−3 −8 : 5

] ∼ [

1 3 : −20 1 : −10 11 : −110 1 : −1

] ∼ [

1 3 : −20 1 : −10 0 : 00 0 : 0

]

จะได้ว่า b = −1 และ a = 1 นั่นคือ fሺxሻ = ሺ1ሻpሺxሻ + ሺ−1ሻqሺxሻ

จะได้ว่า fሺxሻ เป็นผลรวมเชิงเส้นของ pሺxሻ และ qሺxሻ

(ii) gሺxሻ = −2x3 − 2x2 + x + 5

วิธีท า ให้ a, b ∈ ℝ โดยที่ gሺxሻ = apሺxሻ + bqሺxሻ

−2x3 − 2x2 + x + 5 = aሺx3 − 2x2 − 5x − 3ሻ + bሺ3x3 − 5x2 − 4x − 8 ሻ

= ሺa + 3bሻx3 + ሺ−2a − 5bሻx2 + ሺ−5a − 4bሻx + ሺ−3a − 8bሻ

จะได้

[

1 3 : −2−2 −5 : −2−5 −4 : 1−3 −8 : 5

] ∼ [

1 3 : −20 1 : −60 11 : −90 1 : −1

] ∼ [

1 3 : −20 1 : −60 0 : 570 0 : 5

]

จะได้ว่า a + 3b = −2, b = −6, 0 = 57, 0 = 5 ซึ่งเป็นระบบทีมีความขัดแย้ง

นั่นคือ ไม่มี a, b ∈ ℝ ที่ท าให้ gሺxሻ = apሺxሻ + bqሺxሻ

จะได้ว่า gሺxሻ ไมเ่ป็นผลรวมเชิงเส้นของ pሺxሻ และ qሺxሻ


หน้า 73


2.4 การเป็นอิสระเชิงเส้น ฐานหลัก และ มติิ

2.4.1 การเป็นอิสระเชิงเส้น

บทนิยาม 2.4.1 ให้ S = {v1, v2, v3, … , vn} เป็นเซตของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍

1. จะเรียกเซต S ว่าเป็น อิสระเชิงเส้น (linearly independent) ถ้า c1, c2, c3, … , cn ∈ ℝ ที่ท าให้

c1v1 + c2v2 + c3v3 +⋯+ cnvn = θ𝕍

แล้ว c1 = c2 = c3 = ⋯ = cn = 0

2. จะเรียกเซต S ว่า ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น (linearly dependent) ถ้ามี c1, c2, c3, … , cn ∈ ℝ อย่างน้อย 1

ตัวทีไ่มเ่ป็นศูนย์ ที่ท าให้

c1v1 + c2v2 + c3v3 +⋯+ cnvn = θ𝕍

ในกรณีทั่วไป ส าหรับ S ⊂ V และ S ไม่เป็นเซตว่าง จะกล่าวว่า S เป็นอิสระเชิงเส้น ถ้า ทุกๆ เวกเตอร์ที่แตกต่างกันจ านวนจ ากัดใน S เป็นอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่าง 2.4.1 จงพิจารณาว่าเซต S1 = {ሺ2,1ሻ, ሺ3,1ሻ} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า


หน้า 74


ตัวอย่าง 2.4.2 จงพิจารณาว่าเซต S2 = {ሺ1,2ሻ, ሺ2,4ሻ} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า ให้ c, d ∈ ℝ โดยที่

cሺ1,2ሻ + dሺ2,4ሻ = ሺ0,0ሻ

จัดรูปจะได้ว่า ሺc + 2d, 2c + 4dሻ = ሺ0,0ሻ

นั่นคือ c + 2d = 0 (1)

และ 2c + 4d = 0 (2)

หาผลเฉลยของระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติมได้เป็น

[1 2 : 02 4 : 0

] = ~ [1 2 : 00 0 : 0

] R2 − 2R1 ⇒ R2

จะได้ว่า c + 2d = 0

ให้ d = s จะได้ c = −2s เมื่อ s เป็นจ านวนจริงใดๆ

เลือก s = 1 จะได้ว่า d = 1 และ c = −2 ดังนั้น ሺ−2ሻሺ1,2ሻ + 1ሺ2,4ሻ = ሺ−2,−4ሻ + ሺ2,4ሻ = ሺ0,0ሻ

ดังนั้น S2 เป็นเซตไมเ่ป็นอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่าง 2.4.3 ก าหนดให้ e1 = ሺ1,0,0ሻ, e2 = ሺ0,1,0ሻ และ e3 = ሺ0,0,1ሻ เป็นเวกเตอร์ใน ℝ3

จงพิจารณาว่าเซต S3 = {e1, e2, e3} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ วิธีท า ให้ a, b, c ∈ ℝ โดยที่

aሺ1,0,0ሻ + bሺ0,1,0ሻ + cሺ0,0,1ሻ = ሺ0,0,0ሻ

ሺa, 0,0ሻ + ሺ0, b, 0ሻ + ሺ0,0, cሻ = ሺ0,0,0ሻ

ሺa, b, cሻ = ሺ0,0,0ሻ

จะได้ว่า a = b = c = 0 ดังนั้น S3 เป็นเซตอิสระเชิงเส้น


หน้า 75


ตัวอย่าง 2.4.4 จงพิจารณาว่าเซต S4 = {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า


หน้า 76


ตัวอย่าง 2.4.5 จงพิจารณาว่าเซต S5 = {[120] , [310] , [123]} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า ให้ a, b, c ∈ ℝ โดยที่

a [120] + b [

310] + c [

123] = [

000]

[a + 3b + c2a + b + 2c

3c] = [

000]

ได้ระบบสมการ

a + 3b + c = 0

2a + b + 2c = 0

3c = 0

จะเห็นได้ว่าเป็นระบบสมการเชิงเส้นเช่นเดียวกับตัวอย่าง 2.4.4

ดังนั้นผลเฉลยของระบบสมการ คือ a = b = c = 0

ดังนั้น S5 เป็นเซตอิสระเชิงเส้น


หน้า 77


ตัวอย่าง 2.4.6 จงพิจารณาว่า S6 = {[1

−23] , [

56

−1] , [321]} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า ให้ a, b, c ∈ ℝ โดยที ่

a [1

−23] + b [

56

−1] + c [

321] = [

000]

[ a + 5b + 3c−2a + 6b + 2c 3a − b + c

] = [000]

ได้ระบบสมการ

a + 5b + 3c = 0

−2a + 6b + 2c = 0

3a − b + c = 0

ሺ∗ሻ

หาผลเฉลยของระบบสมการ ሺ∗ሻ โดยใช้เมทริกซ์แต่งเติมได้เป็น

[1 5 3 : 0

−2 6 2 : 03 −1 1 : 0

] = ~ [1 5 3 : 00 16 8 : 00 −16 −8 : 0

] R2 + 2R1 ⇒ R2R3 + ሺ−3ሻR1 ⇒ R3

= ~ [1 5 3 : 00 16 8 : 00 0 0 : 0

] R3 + R2 ⇒ R3

= ~ [1 5 3 : 00 1 1/2 : 00 0 0 : 0

] ሺ1/16ሻR2

จากเมทริกซ์แต่งเติม จะได้ระบบสมการที่สมมูลกับระบบสมการ ሺ∗ሻ ดังนี้ a + 5b + 3c = 0

b +1

2c = 0

ก าหนดให้ c = t เมื่อ t เป็นจ านวนจริงใดๆ จะได้ว่า

a = −1

2t, b = −

1

2t และ c = t

เป็นผลเฉลยของระบบสมการ ሺ∗ሻ เลือก t = 2 จะได้ a = −1, b = −1 และ c = 2 และ

[000] = ሺ−1ሻ [

1−23] + ሺ−1ሻ [

56

−1] + 2 [

321]

นั่นคือ S6 เป็นเซตไมอิ่สระเชิงเส้น


หน้า 78


ตัวอย่าง 2.4.7 จงพิจารณาว่า {1, x, x2} เป็นเซตอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า

ตัวอย่าง 2.4.8 จงพิจารณาว่าเซต {1 − x2, 1 + x, x2} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่


aሺ1 − x2ሻ + bሺ1 + xሻ + cሺx2ሻ = 0 ሺa + bሻ + bx + ሺ−a + cሻx2 = 0 (1)


หน้า 79


ตัวอย่าง 2.4.9 จงพิจารณาว่าเซต {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ วิธีท า ให้ a, b, c ∈ ℝ โดยที่

aሺ1 − x2ሻ + bሺ1 + xሻ + cሺ5x2 + 4x − 2ሻ = 0 ሺa + b − 2cሻ + ሺb + 4cሻx + ሺ−a + 5cሻx2 = 0

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า

a + b − 2c = 0b + 4c = 0

−a + 5c = 0


[1 1 −2 : 00 1 4 : 0

−1 0 5 : 0] ∼ [

1 1 −2 : 00 1 4 : 00 1 3 : 0

]

∼ [1 1 −2 : 00 1 4 : 00 0 −1 : 0

]

∼ [1 1 −2 : 00 1 4 : 00 0 1 : 0

]

จะไดว่า

a + b − 2c = 0b + 4c = 0

c = 0

นั่นคือ a = b = c = d = 0

ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เป็นอิสระเชิงเส้น


หน้า 80


ตัวอย่าง 2.4.10 จงพิจารณาว่าเซต {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่


aሺ1 − x2ሻ + bሺ1 + xሻ + cሺ5x2 + 4𝑥 − 1ሻ = 0

ሺa + b − cሻ + ሺb + 4cሻx + ሺ−a + 5cሻx2 = 0

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า

a + b − c = 0b + 4c = 0

−a + 5c = 0


[1 1 −1 : 00 1 4 : 0

−1 0 5 : 0] ∼ [

1 1 −1 : 00 1 4 : 00 1 4 : 0

]

∼ [1 1 −1 : 00 1 4 : 00 0 0 : 0

]

จะไดว่า

a + b − c = 0b + 4c = 0

นั่นคือ ให้ c = 1 จะได้ b = −4 และ a = 5


ሺ5ሻሺ1 − x2ሻ + ሺ−4ሻሺ1 + xሻ + ሺ1ሻሺ5x2 + 4𝑥 − 1ሻ = 0

ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} ไมเ่ป็นอิสระเชิงเส้น


หน้า 81



] , [0 10 0

] , [0 01 0

] , [0 00 1

]} เป็นเซตอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า ให้ a, b, c, d ∈ ℝ โดยที่

[0 00 0

] = a [1 00 0

] + b [0 10 0

] + c [0 01 0

] + d [0 00 1

]

= [a 00 0

] + [0 b0 0

] + [0 0c 0

] + [0 00 d

]

= [a bc d

]

นั่นคือ a = b = c = d = 0

ดังนั้น {[1 00 0

] , [0 10 0

] , [0 01 0

] , [0 00 1

]} เป็นเซตอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่าง 2.4.12 จงพิจารณา {[0 11 1

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 0


วิธีท า


หน้า 82



] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 1


วิธีท า ให้ a, b, c, d ∈ ℝ โดยที่

[0 00 0

] = a [0 11 0

] + b [1 01 1

] + c [1 10 1

] + d [1 11 1

]

= [b + c + d a + c + da + b + d b + c + d

]


[

0000

] = [

b + c + da + c + da + b + db + c + d

]

= [

0 1 1 11 0 1 11 1 0 10 1 1 1

] [

abcd

]

(*)


|

0 1 1 11 0 1 11 1 0 10 1 1 1

| = 0

เนื่องจากเมทริกซ์สัมประสิทธ์ของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ (*) มีดีเทอร์มิแนนท์เป็นศูนย์

ดังนั้นระบบสมการ (*) มีผลเฉลยอื่นที่ไม่ใช่ผลเฉลยชัด

จะได้ว่ามี a ≠ 0 หรือ b ≠ 0 หรือ c ≠ 0 หรือ d ≠ 0 ที่ท าให้

[0 00 0

] = a [0 11 0

] + b [1 01 1

] + c [1 10 1

] + d [1 11 1

]

ดังนั้น {[0 11 0

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 1

]} ไมเ่ป็นเซตอิสระเชิงเส้น

หมายเหตุ เราสามารถเลือก a = 1, b = 1, c = 1, d = −2 ที่ท าให้

[0 00 0

] = ሺ1ሻ [0 11 0

] + ሺ1ሻ [1 01 1

] + ሺ1ሻ [1 10 1

] + ሺ−2ሻ [1 11 1

]


หน้า 83


ในการตรวจสอบว่าเซตใดไม่เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.4.1 ก าหนดให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และ S = {u1, u2, … , un} เป็นเซตย่อยของ 𝕍 โดยที่ S

ไมม่ีสมาชิกเป็นเวกเตอร์ศูนย์ จะได้ว่า S ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ มีเวกเตอร์ใน S ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือใน S

ตัวอย่าง 2.4.14 จากตัวอย่าง 2.4.6 จะได้ว่า

[1

−23] = ሺ−1ሻ [

56

−1] + 2 [

321]

จะได้ว่า [1

−23] เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ [

56

−1] และ [

321]

จากทฤษฏีบท 2.4.1 จะได้ว่า {[1

−23] , [

56

−1] , [321]} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น


5x2 + 4x − 1 = ሺ−5ሻሺ1 − x2ሻ + 4ሺ1 + xሻ

นั่นคือ 5x2 + 4x − 1 เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ 1 − x2 และ 1 + x

ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น


[1 11 1

] =1

2[0 11 0

] +1

2[1 01 1

] +1

2[1 10 1

]

นั่นคือ [1 11 1

] เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ [0 11 0

] , [1 01 1

] , [1 10 1

]

ดังนั้นเซต {[0 11 0

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 1

]} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น


หน้า 84


2.4.2 ฐานหลัก และ มิติ (Basis and dimension)

บทนิยาม 2.4.2 ให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และ S = {v1, v2, v3, … , vn} เป็นเซตย่อยของ 𝕍 จะเรียก S ว่าเป็นฐานหลัก (basis) ส าหรับ 𝕍 ก็ต่อเมื่อ

(i) เซต S เป็นอิสระเชิงเส้น และ (ii) เซต S แผ่ทัว่ปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 กล่าวคือ span S = 𝕍

ในกรณีทั่วไป ส าหรับ 𝑆 ⊂ 𝕍 ที่ 𝑆 ไม่เป็นเซตว่าง จะกล่าวว่า 𝑆 เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍 ก็ต่อเมื่อ S เป็นอิสระเชิง

เส้น และ S แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍

หมายเหตุ ปริภูมิเวกเตอร์ที่คุ้นเคยและทราบฐานหลักได้ง่าย ได้แก่

1. ปริภูมิเวกเตอร์ ℝ𝑛 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

Eℝn = {(1, 0,0,0, … ,0⏟ n−1 ตัว

) , (0,1, 0,0, … ,0⏟ n−2 ตัว

) ,… , (0,… ,0,0⏟ n−2 ตัว

, 1,0) , (0,… ,0,0,0⏟ ,n−1 ตัว

1)}

และจะเรียกว่าเป็นฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ ℝn

เช่น {ሺ1,0,0ሻ, ሺ0,1,0ሻ, ሺ0,0,1ሻ} เป็นฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ ℝ3

2. ปริภูมิเวกเตอร์ ℙ𝑛 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

Eℙn = {1, x, x2, x3, … , xn}

จะเรียกว่าเป็นฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ ℙn

เช่น Eℙ2 = {1, x, x2} เป็นฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ ℙ2

3. ปริภูมิเวกเตอร์ 𝕄m×n จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

E𝕄m×n = {eij ∈ 𝕄m×n: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

เมื่อ epq = [aij]m×n ภายใต้เงื่อนไข aij = 1 เมื่อ i = p, j = q และ aij = 0 เมื่อเป็นอย่างอ่ืน

และจะเรียกว่าเป็นฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ 𝕄m×n

เช่น E𝕄2×2 = {[1 00 0

] , [0 10 0

] , [0 01 0

] , [0 00 1

]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2

4. ปริภูมิเวกเตอร์ 𝕄𝑚×1 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

E𝕄𝑚×1 = {ei ∈ 𝕄𝑚×1: 1 ≤ i ≤ m}

เมื่อ ep = [aij]m×1 ภายใต้เงื่อนไข ap1 = 1 และ aij = 0 เมื่อเป็นอย่างอ่ืน

และจะเรียกว่าเป็นฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ 𝕄m×1

เช่น {[100] , [010] , [001]} เป็นฐานหลักธรรมชาติส าหรับ 𝕄3×1


หน้า 85



หน้า 86


ตัวอย่างต่อไปนี้ ได้แสดงการเป็นเซตอิสระเชิงเส้นและการแผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ในหัวข้อ 2.3 และ 2.4 เพ่ือเป็นการยืนยันว่าฐานหลักของปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ จะมีได้หลายรูปแบบดังนี้

ตัวอย่าง 2.4.17 จงตรวจสอบว่า {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} เป็นฐานหลักส าหรับ ℝ3 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.3.11 จะได้ว่า {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} แผ่ทั่ว ℝ3

จากตัวอย่าง 2.4.4 จะได้ว่า {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} เป็นฐานหลักส าหรับ ℝ3

ตัวอย่าง 2.4.18 จงพิจารณาว่า {1 − x2, 1 + x, x2} เป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.3.13 จะได้ว่า {1 − x2, 1 + x, x2} แผ่ทั่ว ℙ2

จากตัวอย่าง 2.4.8 จะได้ว่า {1 − x2, 1 + x, x2} เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, x2}เป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2

ตัวอย่าง 2.4.19 จงพิจารณาว่า {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} เป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.4.10 จะได้ว่า {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} ไมเ่ป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2


] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 0

]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.3.15 จะได้ว่า {[0 11 1

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 0

]} แผ่ทั่ว 𝕄2×2

จากตัวอย่าง 2.4.12 จะได้ว่า {[0 11 1

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 0

]} เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น {[0 11 1

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 0



] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 1

]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.4.13 จะได้ว่า {[0 11 0

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 1

]} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น {[0 11 0

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 11 1

]} ไมเ่ป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2


หน้า 87



หน้า 88


ตัวอย่าง 2.4.22 จงตรวจสอบว่า {[1

−23] , [

56

−1] , [321]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.4.6 จะได้ว่า {[1

−23] , [

56

−1] , [321]} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น {[1

−23] , [

56

−1] , [321]} ไมเ่ป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1

ทฤษฎีบท 2.4.2 ให้ S = {u1, u2, … , un} เป็นฐานหลักส าหรับปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 จะได้ว่า (i) ส าหรับแต่ละเวกเตอร์ใน 𝕍 สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ใน S ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น

(ii) ถ้า S1 = {v1, v2, … , vm} และ span S1 = 𝕍 แล้วจะมีเซตย่อยของ S1 ที่เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍 (iii) ถ้า S2 = {v1, v2, … , vk} เป็นอิสระเชิงเส้น แล้ว k ≤ n

(iv) ถ้า S3 = {v1, v2, … , vm} เป็นอิสระเชิงเส้น และ m < n แล้ว S3 ไม่เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍 (v) ถ้า S4 = {v1, v2, … , vk} เป็นเซตย่อยของ 𝕍 และ k > n แล้ว S4 ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น

(vi) ถ้า S5 เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍 แล้ว nሺS5ሻ = nሺSሻ

ตัวอย่าง 2.4.23 พิจารณา S0 = {[120] , [110] , [001]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1

i) ให้ [xyz] ∈ 𝕄3×1 โดยที่

[xyz] = a [

120] + b [

110] + c [

001]

และ

[xyz] = k [

120] + l [

110] +m [

001]

จากทฤษฎีบท 2.4.2 (i) จะได้ว่า a = k, b = l และ c = m

ii) พิจารณาเซต S1 = {[120] , [110] , [001] , [234]} เป็นเซตย่อยของ 𝕄3×1

จะได้ว่า span S1 = 𝕄3×1 และ

S = {[120] , [110] , [001]} , T = { [

110] , [001] , [234]} และ U = {[

120] , [001] , [234]}

เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 สอดคล้องกับ ทฤษฎีบท 2.4.2 (ii)


หน้า 89


iii) พิจารณาเซต S1 = {[120] , [110] , [001] , [234]}

เนื่องจาก nሺS1ሻ > nሺS0ሻ โดยทฤษฎีบท 2.4.2 (v) จะได้ว่า S1 ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น

iv) พิจารณาเซต S2 = {[120] , [110]} เป็นเซตย่อยของ 𝕄3×1

เนื่องจาก S2 เป็นอิสระเชิงเส้น แต่ nሺS2ሻ = 2 < 3 = nሺS0ሻ โดยทฤษฎีบท 2.4.2 (iv) จะได้ว่า S2 ไม่เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1

ดังนั้น span S3 ≠ 𝕄3×1

นั่นก็คือมีเวกเตอร์ใน 𝕄3×1 ที่ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ [120] และ [

110]

ตัวอย่างเช่น [001] ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ [

120] และ [

110]

บทนิยาม 2.4.3 ให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ จะเรียกจ านวนเวกเตอร์ในฐานหลักส าหรับ 𝕍 ว่า มิติ (dimension) ของปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍

หมายเหตุ 1. ถ้า S = {u1, u2, … , un} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍 จะได้ว่าปริภูมิเวกเตอร์มีมิติเป็น n และ จะเขียนแทนด้วย dim𝕍 = n และจะกล่าวว่า 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจ ากัด (finite dimensional vector space)

2. ถ้าปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 มีฐานหลักเป็นเซตอนันต์ แล้วจะกล่าวว่า 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ (infinite dimensional vector space) ซ่ึงจะไม่กล่าวถึงในการศึกษานี้ และจะพิจารณาเฉพาะกรณีปริภูมิเวกเตอร์มิติจ ากัดเท่านั้น

3. ในกรณี 𝕍 = {θ𝕍} จะก าหนดให้ dim𝕍 = 0

ตัวอย่าง 2.4.24.

1. dimℝ3 = 3

เนื่องจาก {ሺ1,0,0ሻ, ሺ0,1,0ሻ, ሺ0,0,1ሻ} เป็นฐานหลักส าหรับ ℝ3

2. dimℙ2 = 3

เนื่องจาก {1, x, x2} เป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2

3. dim𝕄3×1 = 3


หน้า 90


เนื่องจาก {[100] , [010] , [001]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1

4. dim𝕄2×2 = 4

เนื่องจาก {[1 00 0

] , [0 10 0

] , [0 01 0

] , [0 00 1


ทฤษฎีบท 2.4.3 ให้ 𝕍 เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และ dim𝕍 = k โดยที่ k ≥ 1 และ S = {u1, u2, … , uk} เป็นเซตของเวกเตอร์ใน 𝕍 ซึ่งม ี nሺSሻ = k จะได้ว่า

(i) ถ้า S เป็นอิสระเชิงเส้น แล้ว S แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍

(ii) ถ้า S แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 แล้ว S เป็นอิสระเชิงเส้น

(iii) ถ้า S เป็นเซตอิสระเชิงเส้น หรือ S แผ่ทั่วปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 แล้ว S เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍

ตัวอย่าง 2.4.25 จงพิจารณาว่า {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.4.9 จะได้ว่า {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เป็นอิสระเชิงเส้น

เนื่องจาก 𝑛ሺ{1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2}ሻ = 3 = จ านวนฐานหลักธรรมชาติส าหรับ ℙ2

จะได้ว่า {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เป็นฐานหลักส าหรับ ℙ2

ตัวอย่าง 2.4.26 จงพิจารณาว่า {[210] , [310] , [123]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม่

วิธีท า จากตัวอย่าง 2.4.9 จะได้ว่า {[210] , [310] , [123]} เป็นอิสระเชิงเส้น

เนื่องจาก n({[210] , [310] , [123]}) = จ านวนฐานหลักธรรมชาติ = 3

จะได้ว่า {[210] , [310] , [123]} เป็นฐานหลักส าหรับ ℝ3


หน้า 91


ตัวอย่าง 2.4.27 จงพิจารณาว่าเซต S = {ሺ2,1ሻ, ሺ−1,1ሻ} เป็นฐานหลักส าหรับ ℝ2 หรือไม่

วิธีท า

ตัวอย่าง 2.4.28 จงพิจารณาว่าเซต S = {[121] , [−210] , [101]} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม่

วิธีท า


หน้า 92


ตัวอย่าง 2.4.29 ก าหนดให้

𝕎 = {[a b−b c

] ∈ 𝕄2×2 ∶ a, b, c ∈ ℝ } เป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ 𝕄2×2 จงหาฐานหลักส าหรับ 𝕎 และ dim𝕎

วิธีท า


หน้า 93


2.5 พิกัด และ การเปลี่ยนฐานหลัก

2.5.1 พิกัด ในหัวข้อต่อไปนี้ จะกล่าวถึงเฉพาะปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 ที่มีมิติ n เหนือฟีลด์ ℝ

บทนิยาม 2.5.1 ให้ B = {v1, v2, v3, … , vn} เป็นฐานหลักล าดับ (ordered basis) (เป็นฐานหลัก และ ถือล าดับของเวกเตอร์ในฐานหลักเป็นส าคัญ) ส าหรับปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 และ u เป็นเวกเตอร์ใน 𝕍 ถ้า

u = c1v1 + c2v2 + c3v3 +⋯+ cnvn

เมื่อ c1, c2, c3, … , cn เป็นสเกลาร์ จะกล่าวว่า [

c1c2⋮cn

] เป็น พิกัด (coordinate) ของ u เทียบกับฐานหลักล าดับ B

และจะใช้สัญลักษณ์ [u]B = [

c1c2⋮cn

]

ตัวอย่าง 2.5.1. จงหาพิกัดของ ሺ1, −3ሻ เมื่อเทียบกับ B = {ሺ1,0ሻ, ሺ0,1ሻ} ซึ่งเป็นฐานหลักล าดับส าหรับ ℝ2 วิธีท า


หน้า 94


ตัวอย่าง 2.5.2. จงหาพิกัดของ ሺ1, −3ሻ เมื่อเทียบกับฐานหลักล าดับ B1 = {ሺ1,2ሻ, ሺ0,1ሻ} ส าหรับ ℝ2

วิธีท า

ตัวอย่าง 2.5.3 จงหาพิกัดของ ሺ1, −3ሻ เมื่อเทียบกับฐานหลักล าดับ B2 = {ሺ0,1ሻ, ሺ1,2ሻ} ส าหรับ ℝ2

วิธีท า เนื่องจาก ሺ1, −3ሻ = ሺ−5ሻሺ0,1ሻ + 1ሺ1,2ሻ


[ሺ1, −3ሻ]B2 = [−51]

ตัวอย่าง 2.5.4 ให้ B3 = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} เป็นฐานหลักล าดับส าหรับ ℙ3 จงหาพิกัดของ pሺxሻ = 2x3 + x2 + 5x + 5 เทียบกับฐานหลักล าดับ B3 วิธีท า


หน้า 95


ตัวอย่าง 2.5.5 ให้ B4 = {[0 11 0

] , [1 01 1

] , [1 10 1

] , [1 01 0

]} เป็นฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕄2×2

จงหาพิกัดของ P = [−1 2−1 0

] เทียบกับฐานหลักล าดับ B4

วิธีท า ให ้ a, b, c, d ∈ ℝ โดยที่

[−1 2−1 0

] = a [0 11 0

] + b [1 01 1

] + c [1 10 1

] + d [1 01 0

] = [b + c + d a + ca + b + d b + c

]


a + b + d = −1b + c + d = −1b + c = 0

a + c = 2

พิจารณาระบบสมการในรูปเมทริกซ์แต่งเติม

[

1 1 0 1 : −10 1 1 1 : −10 1 1 0 : 01 0 1 0 : 2

] ∼ [

1 1 0 1 : −10 1 1 1 : −10 0 0 −1 : 10 −1 1 −1 : 3

]

∼ [

1 1 0 1 : −10 1 1 1 : −10 0 0 −1 : 10 0 2 0 : 2

]

∼ [

1 1 0 1 : −10 1 1 1 : −10 0 2 1 : 20 0 0 −1 : 1

]


a + b + d = −1b + c + d = −1

2c + d = 2− d = 1

จะได้ว่า d = −1 แทนค่าย้อนกลับจะได้ c = 3

2 b = −

3

2 และ a = 3

2

นั่นคือ

[−1 2−1 0

] = (3

2) [0 11 0

] + (−3

2) [1 01 1

] + (3

2) [1 10 1

] + ሺ−1ሻ [1 01 0

]


[[−1 2−1 0

] ]B4

= [

1/2−3/23/2−1

]


หน้า 96



หน้า 97


ทฤษฎีบท 2.5.1 ให้ B เป็นฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 จะได้ว่า (i) พิกัดของเวกเตอร์ u เทียบกับฐานหลักล าดับ B มีเพียงตัวเดียว

(ii) [cu + dv]B = c[u]B + d[v]B ส าหรับเวกเตอร์ u, v และสเกลาร์ c, d ใดๆ

(iii) [u]B = 0̅n×1 ก็ต่อเมื่อ u = θ𝕍

ข้อสังเกต ถ้าเซต B มี k สมาชิก และเป็นฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 จะได้ว่า พิกัดของเวกเตอร์ u

เทียบกับฐานหลักล าดับ B จะเป็นเมทริกซ์อันดับ k × 1

ตัวอย่าง 2.5.6 ให้ B3 = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} เป็นฐานหลักล าดับของ ℙ3

a) จงหา [3x3 + x2 + 5x]B3 และ [−x3 − 4x2]B3

วิธีท า

[3x3 + x2 + 5x]B3 = [ሺ2ሻሺ1ሻ + ሺ−1ሻሺ1 + xሻ + ሺ1ሻሺx2 − 1ሻ + ሺ3ሻሺ2x + x3ሻ]B3 = [

2−113

]

[−x3 − 4x2]B3 = [ሺ−6ሻሺ1ሻ + ሺ2ሻሺ1 + xሻ + ሺ−4ሻሺx2 − 1ሻ + ሺ−1ሻሺ2x + x3ሻ]B3 = [

−62

−4−1

]

b) 2[3x3 + x2 + 5x]B5 + 6[−x3 − 4x2]B5

วิธีท า

2[3x3 + x2 + 5x]B5 + 6[−x3 − 4x2]B5 = 2 [

2−113

] + 6 [

−62

−4−1

] = 2 [

4 − 36−2 + 122 − 246 − 6

] = [

−3210

−220

]

c) [2ሺ3x3 + x2 + 5xሻ + 6ሺ−x3 − 4x2ሻ]B3

วิธีท า

[2ሺ3x3 + x2 + 5xሻ + 6ሺ−x3 − 4x2ሻ]B3 = [−22x2 − 10x]B3

= [ሺ−32ሻሺ1ሻ + ሺ10ሻሺ1 + xሻ + ሺ−22ሻሺx2 − 1ሻ + ሺ0ሻሺ2x + x3ሻ]B3

= [

−3210

−220

]

d) จงหาพหุนาม pሺxሻ ทีท่ าให้ [pሺxሻ]B3 = [−3 2 0 9

]

วิธีท า จาก ทฤษฏีบทท 2.5.1(1) จะได้ว่า


หน้า 98


pሺxሻ = ሺ−3ሻሺ1ሻ + ሺ2ሻሺ1 + xሻ + ሺ0ሻሺx2 − 1ሻ + ሺ9ሻሺ2x + x3ሻ = −1 + 20x + 9x3

ทฤษฎีบท 2.1 ถ้า B เป็นฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vk} เป็นเซตของเวกเตอร์ใน 𝕍

แล้ว D เป็นอิสระเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ {[v1]B, [v2]B, [v3]B, … , [vk]B} เป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 2.2 ถ้า B เป็นฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vk} เป็นเซตของเวกเตอร์ใน 𝕍 แล้ว D เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍ก็ต่อเมื่อ {[v1]B, [v2]B, [v3]B, … , [vk]B} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕄k×1

ทฤษฎีบท 2.3 ถ้า B เป็นฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vn} เป็นฐานหลักส าหรับ 𝕍 แล้ว P = [[v1]B [v2]B [v3]B … [vn]B] เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ตัวอย่าง 2.5.7 เนื่องจาก D = {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ} เป็นอิสระเชิงเส้นใน ℝ3 และ

[ሺ1,2,0ሻ]B = [210] , [ሺ3,1,0ሻ]B = [

310]

โดยทฤษฏบท 2.2 จะได้ว่า {[210] , [310]} เป็นอิสระเชิงเส้นใน 𝕄3×1

พิจารณา B = {ሺ1,2,0ሻ, ሺ3,1,0ሻ, ሺ1,2,3ሻ} เป็นฐานหลักส าหรบั ℝ3 และ

[ሺ1,2,0ሻ]B = [210] , [ሺ3,1,0ሻ]B = [

310] , [ሺ1,2,3ሻ]B = [

123]

โดยทฤษฏบท 2.3 จะได้ว่า P = [[210] [310] [123]] = [

210 310 123] เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน


หน้า 99


2.5.2 การเปลี่ยนฐานหลกั (Change of Basis)

ก าหนดให้ B = {v1, v2, v3, … , vn} และ

C = {u1, u2, u3, … , un} เป็นฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร์ 𝕍 และ u เป็นเวกเตอร์ใดๆ จะได้ว่า

u = c1v1 + c2v2 + c3v3 +⋯+ cnvn

และ

u = d1u1 + d2u2 + d3u3 +⋯+ dnun

เมื่อ c1, c2, c3, … , cn, d1, d2, d3, … , dn เป็นสเกลาร์ ดังนั้น

[u]B = [

c1c2⋮cn

]

และ

[u]C = [

d1d2⋮dn

]


v1 = a11u1 + a21u2 + a31u3 +⋯+ an1un v2 = a12u1 + a22u2 + a32u3 +⋯+ an2un

⋮ vn = a1nu1 + a2nu2 + a3nu3 +⋯+ annun

ในกรณีทั่วไป ส าหรับแต่ละ i = 1,2,3, … , n ให้

vi = a1iu1 + a2iu2 + a3iu3 +⋯+ aniun

เมื่อ a1i, a2i, a3i, … , ani เป็นสเกลาร์


หน้า 100



[vi]C = [

a1ia2i⋮ani

]

พิจารณา [u]C = [c1v1 + c2v2 + c3v3 +⋯+ cnvn]C

= c1[v1]C + c2[v2]C + c3[v3]C +⋯+ cn[vn]C

= c1 [

a11a21⋮an1

] + c2 [

a12a22⋮an2

] + c3 [

a13a23⋮an3

] + ⋯+ cn [

a1na2n⋮an𝑛

]

= [

c1a11 +c1a21 +⋮

c1an1 +

c2a12 +c2a22 +⋮

c2an2 +

c3a13 +c3a23 +⋮

c3an3 +

⋯⋯

⋯

+cna1n+cna2n⋮

+cnann

]

= [

a11a21⋮an1

a12a22⋮an2

a13a23⋮an3

⋯⋯

⋯

a1na2n⋮ann

] [

c1c2⋮cn

] = P[u]B

ดังนั้น สรุปได้ว่า

[u]C = P[u]B ส าหรับทุกๆ เวกเตอร์ u ใน 𝕍

เมื่อ

P = [

a11a21⋮an1

a12a22⋮an2

a13a23⋮an3

⋯⋯

⋯

a1na2n⋮ann

]

และจะเรียก P ว่าเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C (transition matrix

from the ordered basis B to the ordered basis C)

เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

1. P เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non-singular matrix)

2. มีเมทริกซ์ P เพียงตัวเดียวที่ท าให้

[u]C = P[u]B


หน้า 101


ส าหรับทุกๆ เวกเตอร์ u ใน 𝕍

เพ่ือความชัดเจนจะแทนเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C ด้วย PC←B

กล่าวคือ [u]C = PC←B[u]B

ส าหรับทุกๆ เวกเตอร์ u ใน 𝕍


[u]B = PC←B−1[u]C

นั่นคือ PC←B−1 จะเป็นเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ B กล่าวคือ

PC←B−1 = PB←C

หมายเหตุ ในการหา PB←C สามารถหาได้จากวิธีการดังนี้

1. หาได้เช่นเดียวกันกับวิธีการการ PC←B จากวิธีการข้างต้น

2. หาได้จากการอินเวอร์สของ PC←B

ตัวอย่าง 2.5.8 ให้ B = {1, x, x2, x3}, C = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} และ D = {1, x, x + x2, 2 + x3} เป็นฐานหลักล าดับส าหรับ ℙ3

a) จงหาเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C

วิธีท า


หน้า 102


b) จงหาเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ D

วิธีท า

c) จงหาเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ B

วิธีท า

d) จงหาเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ D วิธีท า พิจารณา


หน้า 103


1 = 1ሺ1ሻ + 0ሺxሻ + 0ሺx + x2ሻ + 0ሺ2 + x3ሻ

1 + x = 1ሺ1ሻ + 1ሺxሻ + 0ሺx + x2ሻ + 0ሺ2 + x3ሻ

x2 − 1 = ሺ−1ሻሺ1ሻ + ሺ−1ሻሺxሻ + 1ሺx + x2ሻ + 0ሺ2 + x3ሻ

2x + x3 = ሺ−2ሻሺ1ሻ + 2ሺxሻ + 0ሺx + x2ሻ + 1ሺ2 + x3ሻ


PD←C = [

1 1 −1 −20 1 −1 20 0 1 00 0 0 1

]

e) จงหาเมทริกซ์เปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ D ไปเป็นฐานหลักล าดับ C

วิธีท า

PC←D = PD←C−1 = [

1 −1 0 40 1 1 −20 0 1 00 0 0 1

]

f) จงหาพิกัด [pሺxሻ]B , [pሺxሻ]Cและ [pሺxሻ]D โดยที่ pሺxሻ = 2 + 5x − x2 + 3x3

วิธีท า พิจารณา

[pሺxሻ]B = [2 + 5x − x2 + 3x3]B = [2ሺ1ሻ + 5ሺxሻ + ሺ−1ሻሺx

2ሻ + 3ሺx3ሻ]B = [

2 5

−1 3

]

จากสมบัติ [pሺxሻ]C = PC←B[pሺxሻ]B


[pሺxሻ]C = [

1 −1 1 20 1 0 −20 0 1 00 0 0 1

] [

2 5

−1 3

] = [

2 −1 −1 3

]


หน้า 104


จากสมบัติ [pሺxሻ]D = PD←B[pሺxሻ]B


[pሺxሻ]D = [

1 0 0 −20 1 −1 00 0 1 00 0 0 1

] [

2 5

−1 3

] = [

−4 6

−1 3

]

Documents

บทที่ 2...บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอ์ร 2.1.2 ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector Spaces) ก าหนดให เซต