05 เซต สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง เซต

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

โดย

รองศาสตราจารย ยวรย พนธกลา

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง เซต สอการสอน เรอง เซต มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง เซต 2. เนอหาตอนท 1 ความหมายของเซต

- ความหมายของเซต - การเขยนเซต - เซตจ ากดและเซตอนนต

3. เนอหาตอนท 2 เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต - แผนภาพเวนน-ออยเลอร - สบเซตและเซตก าลง - การเทากนของเซต - การด าเนนการบนเซต

4. เนอหาตอนท 3 เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร - เอกลกษณของการด าเนนการบนเซต - การหาจ านวนสมาชกของเซตและการแกปญหาโดยใชแผนภาพเวนน- ออยเลอร

5. แบบฝกหด (พนฐาน) 6. แบบฝกหด (ขนสง) 7. สอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง เซต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง เซต (สอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร) หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 1 (1/1) หวขอยอย 1. ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร 2. สมาชกของเซตและสบเซต 3. การด าเนนการของเซต 4. เอกลกษณทส าคญ 5. จ านวนสมาชกของเซตจ ากด 6. แบบฝกหด จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง เซต ดงน

1. รจกประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร 2. ใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร สรางความเขาใจในมโนทศนเรองตางๆเกยวกบเซต ไดแก 2.1 สมาชกของเซตและสบเซต 2.2 การด าเนนการของเซต 2.3 เอกลกษณของการด าเนนการของเซต 2.4 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร จากสอปฏสมพนธเพอ 1. ท าความเขาใจเกยวกบสมาชกของเซตและสบเซต 2. อธบายการด าเนนการของเซต ไดแก ยเนยน อนเตอรเซกชน ผลตาง และคอมพลเมนต

พรอมทงหาบรเวณของการด าเนนการของเซตได 3. ตรวจสอบเอกลกษณของการด าเนนการของเซตได 4. หาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดได 5. แกโจทยปญหาเกยวกบจ านวนสมาชกของเซตจ ากดได


3

เนอหาในสอการสอน สอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร สมาชกของเซตและสบเซต การด าเนนการของเซต เอกลกษณทส าคญ จ านวนสมาชกของเซตจ ากด แบบฝกหด


4

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม หรอ ดบเบลคลก บนเดสกทอป

จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ

กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน

ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต

ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

รปท 1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

รปท 3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะ

ปรากฏหนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

รปท 2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


7

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

รปท 5. หนาตางแรกของโปรแกรม

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

รปท 6. ดานลางหนาตางแรกของโปรแกรม

ระดบแรก

ระดบทสอง

รปท 4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


8

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางหนาตาง ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท

แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอ

ถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


9

การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร ผใชตองคลกท เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน

ผใชสามารถเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร จากหนาตางสารบญทแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 6 หวขอ คอ

1. ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร 2. สมาชกของเซตและสบเซต 3. การด าเนนการของเซต 4. เอกลกษณทส าคญ 5. จ านวนสมาชกของเซตจ ากด 6. แบบฝกหด

ขอสงเกต ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยม เพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได ในกรณทผใชตองการเปลยนหวขอใหม ผใชตองออกจากหวขอเดมกอน แลวเลอกแฟมขอมลทตองการใหม จากนนใหเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลทเลอกใหม


10

1. ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร


11

1. ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ในหวขอนจะกลาวถงประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอรพอสงเขป กลาวคอ แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler diagram) ถกคดคนโดยนกคณตศาสตร 2 คน คอ เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler) และ จอหน เวนน (John Venn) โดยท เลออนฮารด ออยเลอร นกคณตศาสตรชาวสวตเซอรแลนด ไดคดคนการใชวงกลมแทนเซต และความสมพนธระหวางเซต สวน จอหน เวนน นกคณตศาสตรชาวองกฤษ ไดพฒนาแผนภาพโดยน าไปใชเพอแสดงความสมพนธระหวางเซต ซงเปนประโยชนตอการอธบายพนฐานของเซต เราจงกลาวไดวา แผนภาพเวนน-ออยเลอร เปนแผนภาพทเขยนแทนเซตโดยมงหวงใหความคดในเรอง เซต ชดเจนยงขน และยงสามารถน าไปใชประโยชนในการพสจนเอกลกษณเกยวกบการด าเนนการของเซต รวมทงการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดดวย ซงผเรยนจะไดฝกฝนเรองตางๆทกลาวมานในหวขอตอไป ส าหรบประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร ผเรยนสามารถเขาชมสอไดโดยคลกท

ทหนาตางสารบญ ซงจะปรากฏหนาจอจ านวน 3 หนาตามล าดบ ดงน

1.1 ประวตของแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ถาตองการดหนาถดไปใหคลกท ซงจะปรากฏหนาจออก 2 หนาตามล าดบ คอ


12

1.2 แผนภาพเวนน-ออยเลอร

1.3 ผคดคน


13

2. สมาชกของเซตและสบเซต


14

2. สมาชกของเซตและสบเซต ในหวขอนผเรยนจะไดใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอศกษาเรองตอไปน 2.1 สมบตของเซต 2.2 สบเซต การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง สมาชกของเซตและสบเซตกอน แลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอจ านวน 2 หนา ตามล าดบดงน

รปท 2.1 รปท 2.2 ตอไปจะพจารณาการใชงานแผนภาพเวนน-ออยเลอรทงสองทปรากฏขางตน


15

2.1 สมาชกของเซต บทนยาม ส าหรบเซต A ใดๆ เราจะแทน “จ านวนสมาชกในเซต A ” ดวยสญลกษณ n A ก าหนดใหเอกภพสมพทธ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ A เราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอแสดงสมบตทส าคญบางประการของเซต ซงไดแก

A A A A และ 'n n A n A จากรปท 2.1 เราจะแทน ดวยสเหลยมผนผา และแทนเซต A ดวยวงกลมทอยภายในสเหลยมผนผา จะเหนวาภายในกรอบสเหลยมผนผาจะมตวเลขทงหมด 10 ตว นนคอ มจ านวนสมาชกเทากบ 10 ซงจะบอกจ านวนสมาชกของ ไวทางดานขวา คอ 10n และคานจะไมมการเปลยนแปลง ผเรยนสามารถเลอกสมาชกของ A โดยการดงตวเลขทตองการ เขาไปไวในวงกลมทแทน A และดงตวเลขทไมตองการใหอยใน A ออกมาจากวงกลม เชน ตองการให

2,4,6,8A ผเรยนกดงตวเลข 2,4,6 และ8 เขาไปไวในวงกลม สวนตวเลขอนๆกดงออกมานอกวงกลม นนหมายความวา สมาชกทอยใน แตไมอยใน A คอ 0,1,3,5,7 และ9 จะไดวา 0,1,3,5,7,9A ซงหนาจอจะปรากฏดงน


16

ถาผเรยนตองการใหสมาชกของ A เปลยนเปนตวเลขใดกสามารถด าเนนการไดในท านองเดยวกบทท ามาขางตน ทงนเมอมการเปลยนสมาชกของ A ในวงกลมผเรยนจะพบการเปลยนแปลงขอมลทางขวามอของหนาตางนตามไปดวยซงไดแก การเปลยนแปลงของ A , A , n A และ n A แตสมบตทเปนจรงเสมอในทกกรณของการเลอกสมาชกในเซต A กคอ

A A

A A

และ ' 10n A n A n


17

2.2 สบเซต ก าหนด A และ B เปนเซตใดๆ เราทราบวา

A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เขยนแทน A เปนสบเซตของ B ดวย A B

A ไมเปนสบเซตของ B ถามสมาชกอยางนอยหนงตวของ A ทไมเปนสมาชกของ B เขยนแทน A ไมเปนสบเซตของ B ดวย A B ในเรองนเราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอแสดงใหเหนภาพทชดเจนของการเปนสบเซต และ

การไมเปนสบเซตของเซต A และ B จากรปท 2.2 ดงน

รปท 2.2

ผเรยนสามารถปรบต าแหนงของ A และ B ไดโดยการดงทวงกลม A หรอดงทวงกลม B และสามารถปรบขนาดของ A และ B จากปมทางดานขวามอของหนาตางน ซงความสมพนธการเปนสบเซตของ A และ B ผเรยนสามารถปรบแผนภาพได 3 ลกษณะ ดงน กรณ A B แต B A : กรณนผเรยนตองปรบขนาดของวงกลม A ใหเลกกวาวงกลม B และตองอยภายในวงกลม B ซงแผนภาพจะปรากฏดงน


18

กรณ B A แต A B : กรณนผเรยนตองปรบขนาดของวงกลม B ใหเลกกวาวงกลม A และตองอยภายในวงกลม A ซงแผนภาพจะปรากฏดงน

กรณ A B และ B A : กรณนหมายความวา A B ผเรยนตองดงและปรบขนาดวงกลม A และวงกลม B ใหทบกนพอด ซงแผนภาพจะปรากฏดงน


19

ส าหรบความสมพนธการไมเปนสบเซตของ A และ B ผเรยนสามารถปรบแผนภาพได 2 ลกษณะซงจะปรากฏดงน กรณ A B

กรณ A B


20

3. การด าเนนการของเซต


21

3. การด าเนนการของเซต

ในหวขอนผเรยนจะไดใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอศกษาเรองตอไปน 3.1 อนเตอรเซกชน 3.2 ยเนยน 3.3 คอมพลเมนต 3.4 ผลตางระหวางเซต 3.5 สมาชกของผลการด าเนนการของเซต 3.6 การด าเนนการทซบซอนขน การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง การด าเนนการของเซต กอนแลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอจ านวน 6 หนาตอเนองกน ซงเราจะพจารณาการใชงานแผนภาพเวนน-ออยเลอร ทง 6 หนาตาง แยกตามเรองทง 6 คอ 3.1-3.6 ทงนในแตละหนาตางผเรยนสามารถปรบต าแหนงและขนาดของวงกลมทแทนเซตไดเชนเดยวกบหวขอ 2.2 ส าหรบการเลอกจ านวนเซต และการเลอกการด าเนนการของเซต ผเรยนสามารถท าไดโดยคลกคางทต าแหนงเดมแลว

ลากไปยงทใหม เชน ถาจะเปลยนจาก 3 เซต ไปเปน 2 เซต ใหคลกคางท แลวลากไปท

หรอ ถาจะเปลยนการด า เนนการของเซตจาก A B ไปเปน A C ใหคลกคางท

แลวลากไปท เปนตน


22

3.1 อนเตอรเซกชน ก าหนด A , B และ C เปนเซตใดๆ เราทราบวา

อนเตอรเซกชนของ A และ B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของทง A และ B อนเตอรเซกชนของ A และ B เขยนแทนดวย A B

อนเตอรเซกชนของ A , B และ C คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของทง A , B และ C อนเตอรเซกชนของ A , B และ C เขยนแทนดวย A B C

ในเรองนเราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร มาชวยในการพจารณาหาบรเวณทแทนอนเตอรเซกชนของเซต 2 เซต หรอ 3 เซต โดยการแรเงาบรเวณอนเตอรเซกชนของเซตทก าหนดใหดงน

รปท 3.1

จากรปท 3.1 จะเหนบรเวณทแทน A B แตถาตองหาบรเวณทเกดจากการอนเตอรเซกชนของเซตอนๆ กสามารถเลอกดไดโดยการเลอนแถบสเหลยมไปท A C หรอ B C หรอ A B C ตวอยาง ก าหนดให A , B และ C เปนเซตใดๆโดยท A B และ A C จงใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอหาบรเวณทแทน A B C วธท า โดยอาศยความรในเรองเซตจะไดวา A B A ดงนน A B C A C ในทนเราจะอาศยแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอหาบรเวณทแทน A B C โดยจากรปท 3.1 ปรบต าแหนง และขนาดของวงกลม A , B และ C ใหสอดคลองกบเงอนไข และเปลยนอนเตอรเซกชนของเซตไปอยท A B C จะไดบรเวณทตองการ ดงน


23

และเพอแสดงใหเหนวาจากขอก าหนดของตวอยางนจะไดวา A B C A C ขอใหผเรยนปรบอนเตอรเซกชนของเซตไปอยท A C จะปรากฏบรเวณทแทน A C ดงแผนภาพตอไปน

ซงจะพบวาบรเวณทแทน A B C จะเปนบรเวณเดยวกบบรเวณทแทน A C #


24

ผเรยนสามารถหาบรเวณทแทนอนเตอรเซกชนของเซตทมความสมพนธกนในลกษณะตางๆได โดยการปรบต าแหนงและขนาดของวงกลม A , B และ C และเลอกอนเตอรเซกชนของเซตทตองการดงตวอยางตอไปน 1. 2. 3. 4. 5. 6. จะเหนวา ขอ 4,5 และ 6 ไมมบรเวณทแทน A B C นนคอ A B C


25

3.2 ยเนยน ในเรองนเราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร มาชวยในการพจารณาหาบรเวณทแทนยเนยนของเซต 2 เซต หรอ 3 เซต โดยการแรเงาบรเวณยเนยนของเซตทก าหนดใหดงน

รปท 3.2

จากรปท 3.2 จะเหนบรเวณทแทน A B แตถาผเรยนตองการหาบรเวณทเกดจากการยเนยนของเซตอนๆ กสามารถเลอกดไดโดยการเลอนแถบสเหลยมไปท A C หรอ B C หรอ A B C นอกจากนผเรยนสามารถหาบรเวณทแทนยเนยนของเซตทมความสมพนธในลกษณะตางๆได โดยการปรบต าแหนงและขนาดของวงกลม และเลอกยเนยนของเซตทตองการดงตวอยางตอไปน กรณ 2 เซต


26

กรณ 3 เซต


27

ตวอยาง ก าหนดให A , B และ C เปนเซตใดๆ โดยท A B และ A C จงใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอหาบรเวณทแทน B C และ A B C วธท า จากรปท 3.2 ปรบต าแหนงและขนาดของวงกลม A , B และ C ใหสอดคลองกบเงอนไข และเปลยนยเนยนของเซตไปอยท B C และ A B C ตามล าดบ จะไดบรเวณทตองการตามล าดบ ดงน

ผเรยนจะพบวาบรเวณทแทน B C และ A B C คอบรเวณเดยวกน นนคอ B C = A B C # จากตวอยางทกลาวมาน ผเรยนสามารถอาศยความรในเรองเซต แสดงไดดงน เนองจาก A B จะไดวา A B B ดงนน A B C = B C


28

3.3 คอมพลเมนต ถา A เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ เราทราบวา คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของ แตไมเปนสมาชกของ A และเขยนแทนดวย A ในเรองนเราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร มาชวยในการพจารณาบรเวณทแทนเซต A และคอมพลเมนตของเซต A โดยการแรเงาตามล าดบดงน

ซงจะสอดคลองกบสมบตของเซตทไดกลาวไปแลวในหวขอ 2.1 คอ

A A และ A A


29

3.4 ผลตางระหวางเซต ก าหนด A และ B เปนเซตใดๆ เราทราบวา ผลตางระหวาง A และ B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของ A ซงไมเปนสมาชกของ B

ผลตางระหวาง A และ B เขยนแทนดวย A B ในเรองนเราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร มาชวยในการพจารณาบรเวณทแทนผลตางระหวางเซต

2 เซต โดยการแรเงาบรเวณผลตางของเซตทก าหนดให ดงน

รปท 3.4

ผเรยนสามารถปรบต าแหนงและขนาดของวงกลม และเลอกผลตางของเซตทมความสมพนธในลกษณะตางๆไดดงตวอยางตอไปน กรณ 2 เซต

A B A B


30

B A A B

(ไมมบรเวณทแทน A - B นนคอ A B ) กรณ 3 เซต

A B C A B C และ A C จากแผนภาพจะเหนวา ถา A B แลว A B ถา A B แลว A B A


31

3.5 สมาชกของผลการด าเนนการของเซต ในเรองนเราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ทมสมาชกในเอกภพสมพทธเปนจ านวนจ ากด เพอพจารณาหาสมาชกของผลการด าเนนการของเซต กลาวคอ ก าหนดใหเอกภพสมพทธ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ , ,A B C โดยทวงกลมทแทน A , B และ C อยในลกษณะทมสวนททบซอนกน ผเรยนสามารถเลอกสมาชกใน ไปไวในวงกลมไดตามต าแหนงทตองการ ซงอาจจะเปนต าแหนงทอยในสวนททบซอนหรอไมทบซอนกนกได เมอวางสมาชกในต าแหนงทตองการแลว ผเรยนจะพบการสรปขอมลของสมาชกของเซต , ,A B C และสมาชกของผลการด าเนนการของเซตปรากฏทางขวามอของหนาตางในเรองน ดงน

ในกรณทผเรยนเลอกการด าเนนการของเซตเปน หนาตางนจะมเพยงเซต A และ B ซงผเรยนสามารถเลอกสมาชกไดเหมอนเดม ดงตวอยางตอไปน


32

3.6 การด าเนนการทซบซอนขน จากการใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ชวยในการหาบรเวณทแทนการด าเนนการของเซต ไดแก อนเตอรเซกชน ยเนยน คอมพลเมนต และผลตางระหวางเซต ในหวขอ 3.1-3.4 มาแลวนน ในเรองนจะสรปการใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร หาบรเวณทแทนการด าเนนการทง 4 อยางรวมไวดวยกน นอกจากนยงใชหาบรเวณทแทนการด าเนนการทซบซอนขน ดงน กรณเลอก 1 เซต : ผเรยนจะไดทบทวนเรองคอมพลเมนต โดยพจารณาบรเวณทแทนเซต A และ เซต A

ดงตวอยางตอไปน

บรเวณทแทน A กรณเลอก 2 เซต : ผเรยนจะไดทบทวนเรอง อนเตอรเซกชน ยเนยน และผลตางระหวางเซต โดยจะพจารณา บรเวณทแทน A , B , A B , A B , A B และ B A ดงตวอยางการหาบรเวณท แทน A B และ B A ตามล าดบตอไปน


33

กรณเลอก 3 เซต : ผเรยนสามารถเลอกการด าเนนการของเซตได 3 ชด ชดท 1 : ผเรยนจะไดทบทวนเรอง อเตอรเซกชน ยเนยน คอมพลเมนต และผลตางระหวางเซต ดง

ตวอยางการหาบรเวณทแทน A B C ดงน

ชดท 2 : ในชดนจะมการด าเนนการของเซตทซบซอนขน โดยมการกระท าของเซต 2 อยาง เชน

ผ เรยนสามารถหาบรเวณทแทน B A C ได โดยการคลกท ซงหนาจอจะปรากฏบรเวณทตองการ ดงน


34

ชดท 3 : ในชดนจะมการด าเนนการของเซตทซบซอนขนเพมเตมจากชดท 2 ดงตวอยางตอไปน

บรเวณทแทน A B C บรเวณทแทน A C B

บรเวณทแทน A B C บรเวณทแทน C B A

ผเรยนสามารถใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในหวขอ 3.6 เพอทบทวนการหาบรเวณทแทนการด าเนนการของเซตไดจากงายไปถงบรเวณทซบซอนขน ตามทไดกลาวมาทงหมดน


35

4. เอกลกษณทส าคญ


36

4. เอกลกษณทส าคญ

ผเรยนไดเรยนรเอกลกษณของการด าเนนการของเซตมาแลวจากสอการสอน เรอ เซต (เนอหาตอนท 3) ส าหรบสอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร ในหวขอน ผเรยนจะไดใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอแสดงแนวคดพรอมทงท าการตรวจสอบ และท าความเขาใจเกยวกบเอกลกษณทส าคญตอไปน 4.1 ผลตางระหวางเซต A B A B

4.2 คอมพลเมนตของอนเตอรเซกชน A B A B

4.3 คอมพลเมนตของยเนยน A B A B

4.4 การกระจายอนเตอรเซกชนกบยเนยน A B C A B A C 4.5 การกระจายยเนยนกบอนเตอรเซกชน A B C A B A C การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมล เรอง เอกลกษณทส าคญ แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอจ านวน 6 หนาตอเนองกน ซงจะแยกพจารณาทละหนาตางตามเรองทง 5 คอ 4.1-4.5 สวนหนาตางสดทายจะเปนการสรปเอกลกษณบางสวน ซงจะพจารณาตามล าดบดงตอไปน


37

4.1 ผลตางระหวางเซต 'A B A B

รปท 4.1.1 A B

จากคมอประกอบสอการสอน เรอ เซต (เนอหาตอนท 3) ไดพสจนเอกลกษณขอนไวแลว ดงน พสจน เนองจาก x A B กตอเมอ x A และ x B กตอเมอ x A และ x B กตอเมอ x A B ดงนน A B A B ในทนเราจะตรวจสอบเอกลกษณขอนโดยพจารณาจากแผนภาพเวนน-ออยเลอร ดงตอไปน จากรปท 4.1.1เราจะไดบรเวณทแทน A B ตอไปใหผเรยนปรบการด าเนนการของเซตไปอยท A B ซงจะไดแผนภาพแสดงบรเวณทแทน A B ดงน

รปท 4.1.2 A B

จากรปท 4.1.1 และ 4.1.2 จะไดวา บรเวณทแทน A B คอ บรเวณเดยวกบบรเวณทแทน A B


38

นอกจากนผเรยนอาจปรบแผนภาพโดยให A และ B มความสมพนธกนในลกษณะอนๆ เพอตรวจสอบเอกลกษณขอน เชน แผนภาพทปรากฏตอไปน

รปท 4.1.3 A B รปท 4.1.4 A B จากแผนภาพจะไดวา A B A B

รปท 4.1.5 B A รปท 4.1.6 B A จากแผนภาพจะไดวา A B A B ทงน การตรวจสอบการด าเนนการของเซต A และ B ใดๆ 2 การด าเนนการ วาเทากนหรอไม โดยการพจารณาแผนภาพเวนน-ออยเลอร นน เราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรทวงกลม A และวงกลม B มทงสวนททบซอนกนและไมทบซอนกนทกกรณทเปนไปได ดงเชน รปท 4.1.1 และ 4.1.2 ซงผลสรปของแผนภาพในลกษณะนจะครอบคลมกรณอนๆไวแลว ดงเหนไดจาก รปท 4.1.3 จะเหมอนกบรปท 4.1.4 และ รปท 4.1.5 จะเหมอนกบรปท 4.1.6 เปนตน


39

4.2 คอมพลเมนตของอนเตอรเซกชน A B A B

รปท 4.2.1

รปท 4.2.1 แสดงบรเวณทแทน A B ตอไปใหผเรยนปรบการด าเนนการของเซตไปอยท A , B และ A B ตามล าดบ ซงจะไดแผนภาพแสดงบรเวณทงสามตามล าดบ ดงน

รปท 4.2.2 รปท 4.2.3


40

รปท 4.2.4

ผเรยนจะพบวา บรเวณทแรเงาของ รปท 4.2.2-4.2.4 จะไมมการแรเงาในสวน A B และยงไดวา บรเวณทแรเงาของรปท 4.2.1 คอ บรเวณเดยวกบรปท 4.2.4 ท าใหสรปไดวา

A B A B


41

4.3 คอมพลเมนตของยเนยน A B A B

รปท 4.3.1

รปท 4.3.2

จากรปท 4.3.1 แสดงบรเวณทแทน A B และ รปท 4.3.2 แสดงบรเวณทแทน A B ผเรยนจะพบวา บรเวณทงสองคอ บรเวณเดยวกน ท าใหสรปไดวา

A B A B


42

4.4 การกระจายอนเตอรเซกชนกบยเนยน A B C A B A C

รปท 4.4.1

รปท 4.4.2

จากรปท 4 .4 .1 แสดงบรเวณทแทน A B C และ รปท 4 .4 .2 แสดงบรเวณทแทน A B A C ผ เรยนจะพบวา บรเวณทงสองคอ บรเวณเดยวกน หลงจากนขอใหผ เรยนปรบต าแหนงและขนาดของวงกลม A , B และ C ในลกษณะอนๆ เพอตรวจสอบเอกลกษณขอนตอไป ทงน การตรวจสอบการด าเนนการ2 การด าเนนการของเซต A , B และ C ใดๆ วาเทากนหรอไม โดยการพจารณาจากแผนภาพเวนน-ออยเลอร นน เราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรทวงกลม A , B และ C มสวนทบซอนกนดงเชน รปท 4.4.1 เสมอ ซงผลสรปทไดจากแผนภาพในลกษณะนจะครอบคลมกรณ ทมการปรบต าแหนง และขนาดของวงกลม A , B และ C ในลกษณะอนๆไวแลว ดงนน จากการตรวจสอบในรปท 4.4.1 และ 4.4.2 ท าใหสรปไดวา

A B C A B A C


43

4.5 การกระจายยเนยนกบอนเตอรเซกชน A B C A B A C

รปท 4.5.1

รปท 4.5.2

จากรปท 4 .5 .1 แสดงบรเวณทแทน A B C และรปท 4 .5 .2 แสดงบรเวณทแทน A B A C ผเรยนจะพบวาบรเวณทงสอง คอ บรเวณเดยวกน ท าใหสรปไดวา

A B C A B A C


44

ส าหรบหนาตางสดทายของหวขอน จะสรปเอกลกษณทไดกลาวมาแลว พรอมทงเพมเตมเอกลกษณบางสวนทชดเจนในตวเอง โดยผเรยนไมจ าเปนตองแสดงดวยแผนภาพเวนน-ออยเลอร ดงน


45

5. จ านวนสมาชกของเซตจ ากด


46

5. จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

ผเรยนไดศกษาการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดโดยใชสตร และใชแผนภาพเวนน -ออยเลอร พรอมทงศกษาตวอยางการประยกตใชงานมาแลวจากสอการสอนเรอง เซต (เนอหาตอนท 3) กลาวคอ สตรการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ก าหนดให ,A B และ C เปนเซตจ ากด จะไดวา ส าหรบสอปฏสมพนธเรอง แผนภาพเวนน -ออยเลอร ในหวขอน ผ เรยนจะไดใช แผนภาพ เวนน-ออยเลอร เพอแสดงแนวคดของความสมพนธระหวางจ านวนสมาชกของเซตจ ากดตางๆ เปรยบเทยบกบสตรการหาจ านวนสมาชกของเซต อกทงเรยนรการใชสตรแกโจทยปญหาของเซตจ ากดดวย ในขนแรกผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง จ านวนสมาชกของเซตจ ากด แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางจ านวน 7 หนาตอเนองกน ซงเปนสอชวยอธบายเนอหา 3 เรอง ดงตอไปน

n A B n A n B n A B

n A B C n A n B n C n A B n A C

n B C n A B C


47

5.1 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

ในหนาตางท 1 และ 2 ของหวขอ 5 น จะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอพจารณาความสมพนธระหวางจ านวนสมาชกของเซตจ ากด (2 เซต หรอ 3 เซต) กบจ านวนสมาชกของผลการด าเนนการของเซต พรอมเปรยบเทยบกบจ านวนสมาชกของเซตทปรากฏในสตรทกลาวขางตน ดงน

หนาตางท 1


ผเรยนสามารถเลอกตวเลขใน 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ไปไวในต าแหนงทตองการได เมอวางตวเลขในต าแหนงทตองการแลว ผเรยนจะพบการสรปขอมลสมาชกของเซตตางๆทางขวามอ และการแสดงจ านวนสมาชกของเซตทอยในสตรจะปรากฏอยดานลางของหนาตาง เมอผเรยนไดทดลองเปลยนต าแหนงของสมาชกพรอมสงเกตความสมพนธระหวางสมาชกของเซตตางๆ โดยเฉพาะในหนาตางท 2 ผเรยนจะสามารถเขาใจความสมพนธของสตรการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดไดดยงขน และเพอใหเหนแนวคดของสตรดงกลาว ผเรยนสามารถศกษาไดในหนาตางท 3 และ 4 ของหวขอน


48

5.2 แนวคดของจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ในหนาตางท 3 ผเรยนสามารถลากแผนปาย x ไปไวตามต าแหนงตางๆในเอกภพสมพทธได 4 กรณ ซงจะไดดงน 1. 2.

หนาตางท 3 3. 4. ใหผเรยนสงเกตการนบสมาชก x ในแตละกรณจากสตร n A B n A n B n A C (1) ผเรยนจะพบวา การนบสมาชก x ในดานขวาของสมการ (1) จะนบมากกวา 1 ครง ถา x อยในสวน A B คอ นบทง n A และ n B จง เปนเหตใหตองมการลบออกดวยสวนททบซอนกน คอ n A B สวนกรณท x อยในเซตใดเซตหนงเพยงเซตเดยว การนบสมาชก x ทงสองขางของสมการจะ

ถกนบขางละหนงครงเทานน นอกจากนกรณท x ไมอยทงสองเซตผเรยนจะพบวาไมมการนบสมาชก x เกดขนในสตร


49

ในหนาตางท 4 ผเรยนลากแผนปาย x ไปไวตามต าแหนงตางๆในเอกภพสมพทธได 8 กรณ ดงน 1. 2.

หนาตางท 4 3. 4. 5. 6.


50

7. 8.

ใหผเรยนสงเกตการนบสมาชก x ในแตละกรณจากสตร

n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C (2)

ผเรยนจะพบวา กรณท x อยในสวนททบซอนของเซต 2 เซต หรอ กรณท x อยในเซตใดเซตหนงเพยงเซตเดยว หรอ x ไมอยทงสามเซต การนบสมาชก x จากสตร (2) จะสอดคลองกบสตร (1) ดงทกลาวไปแลวในหนาตางท 3 ส าหรบกรณท x อยในสวน A B C นนผเรยนจะพบวามการนบสมาชก x ททกต าแหนงในสตร (2) ซงขอใหผเรยนทดลองหาค าตอบโดยอาศยรปในหนา 49 ประกอบการพจารณา


51

5.3 ตวอยางโจทยปญหาของเซตจ ากด


จากตวอยางโจทยปญหาในหนาตางท 5 ผเรยนสามารถแกปญหาเกยวกบการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด 2 เซต โดยอาศยสตรทกลาวไปแลวขางตนไดดงน ให A เปนเซตของผทชอบวชาคณตศาสตร B เปนเซตของผทชอบวชาฟสกส จะไดวา n A B n A n B n A B ให x เปนจ านวนผทชอบทงวชาคณตศาสตรและวชาฟสกส จากสตรจะได 95 70 60 x นนคอ 35x เปนจ านวนผทชอบทงสองวชา

นอกจากนผเรยนสามารถใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร เพอดบรเวณทแทนเซตของผทชอบวชาตางๆ

ไดโดยการคลกเลอกวชาทตองการ เชน คลกท หนาจอกจะปรากฏบรเวณทแทนเซตของผทชอบวชาคณตศาสตรและฟสกสดงน


52

หนาตางท 6 หนาตางท 7

ตวอยางโจทยปญหาในหนาตางท 6 และ 7 ผเรยนสามารถแกปญหาเกยวกบการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด 3 เซต โดยอาศยสตรดงน ให A เปนเซตของผทเรยนภาษาองกฤษ B เปนเซตของผทเรยนภาษาสเปน C เปนเซตของผทเรยนภาษาจน จะไดวา n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ให x เปนจ านวนผทเรยนทงสามภาษา จากสตรจะได 100 60 40 50 25 20 15 x นนคอ 10x แสดงวามผเรยนทงสามวชาอย 10 คน

นอกจากนผเรยนสามารถเลอกดบรเวณทแทนเซตของผทเรยนวชาตางๆไดจากแผนภาพเวนน-ออยเลอรในหนาตางท 7 โดยการคลกเลอกภาษาทตองการซงอยทางขวามอของหนาตางน


53

6. แบบฝกหด


54

6. แบบฝกหด

จากการใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ศกษาเรองตางๆของเซตมาแลว ในหวขอนผเรยนจะไดพบกบแบบฝกหดทเกยวกบการตรวจสอบเอกลกษณของการด าเนนการของเซต โดยพจารณาจากแผนภาพเวนน -ออยเลอร และการแกโจทยปญหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดโดยใชสตร ทงนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง แบบฝกหด แลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอจ านวน 6 หนาตอเนองกน ซงประกอบดวยแบบฝกหด 4 เรอง ดงตอไปน


55

6.1 แบบฝกหด (เอกลกษณของเซต 2 เซต)

เราจะใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรในหนาถดไปชวยตรวจสอบเอกลกษณดงตอไปน

1. พจารณาบรเวณทแทน A A B และ A

จากแผนภาพทงสองจะเหนวา A A B A หมายเหต ขอ 1 ผเรยนไมจ าเปนตองพจารณาจากแผนภาพเวนน-ออยเลอรกได เนองจากเราทราบวา A B A จงไดวา A A B A

#


56

2. พจารณาบรเวณทแทน A A B และ A

จากแผนภาพทงสองจะเหนวา A A B A หมายเหต ขอ 2 ผเรยนไมจ าเปนตองพจารณาจากแผนภาพเวนน-ออยเลอรกได เนองจากเราทราบวา A A B จงไดวา A A B A

# 3. พจารณาบรเวณทแทน A B และ B A

จากแผนภาพทงสองจะเหนวา A B B A #


57

4. พจารณาบรเวณทแทน A B A และ B A

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B A B A #


58

5. พจารณาบรเวณทแทน A A B และ A B

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A A B A B #


59

6. พจารณาบรเวณทแทน A B และ B A

จากแผนภาพทงหาจะเหนวา A B B A A B #


60


จากแผนภาพทงหาจะเหนวา A B B A A B #

ประกอบการ พจารณาบรเวณทแทน

A B (ในขอ 9)


61


จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B B A #


62

10. พจารณาบรเวณทแทน A B A B และ A B B A

จากแผนภาพทงสจะเหนวา A B A B A B B A #


63

6.2 แบบฝกหด (เอกลกษณของเซต 3 เซต)

จากโจทยทก าหนดใหผ เรยนสามารถใชแผนภาพเวนน -ออยเลอรในหนาถดไปชวยตรวจสอบเอกลกษณ ดงน

ในแผนภาพเวนน-ออยเลอร นจะมชดการด าเนนการของเซตใหผเรยนเลอกใชได 3 ชด ทงนผเรยนสามารถเลอกชดทเหมาะสมกบเอกลกษณทจะตรวจสอบ โดยในแตละขออาจตองใชแผนภาพมากกวาหนงชดกได


64

1. พจารณาบรเวณทแทน A B C และ A B A C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A B A C #


65

2. พจารณาบรเวณทแทน A B C และ A B A C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A B A C #


66

3. พจารณาบรเวณทแทน A B C และ A C B C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A C B C #


67

4. พจารณาบรเวณทแทน A B C และ A C B C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A C B C #


68

5. พจารณาบรเวณทแทน A B C และ A B C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A B C #


69


จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A B C #


70

7. พจารณาบรเวณ A B C และ A B A C เนองจากเราทราบวา A C A C ดงนน A C A C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A B A C นนคอ A B C A B A C #


71

8. พจารณาบรเวณทแทน A B C และ A B B C

จากแผนภาพทงสามจะเหนวา A B C A B B C #


72


จากแผนภาพทงสองผเรยนคงจะพอเหนไดวา A B C A B C ทงนผเรยนสามารถพสจนเอกลกษณขอนได ดงน

A B C A B C

A B C

A B C

#


73

10. พจารณาบรเวณทแทน A B B C C A และ A B C A B C

จากแผนภาพทงหาจะเหนวา A B B C C A A B C A B C #


74

6.3 แบบฝกหด (โจทยปญหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด)

1. ให เปนเซตของนกเรยนกลมน สมมตวามทงหมด x คน A เปนเซตของนกเรยนทชอบดมกาแฟ B เปนเซตของนกเรยนทชอบดมนมสด จะไดวา , 70, 50n x n A n B

20n A B และ 10n A B จาก n A B n A n B n A B จะได 10 70 50 20x x x นนคอ 130x แสดงวา นกเรยนกลมนม 130 คน #


75

2. ให เปนเซตของสภาพสตรกลมน สมมตมจ านวนทงหมด x คน A เปนเซตของผทใชเครองส าอางคชนดทหนง B เปนเซตของผทใชเครองส าอางคชนดทสอง C เปนเซตของผทใชเครองส าอางคชนดทสาม จะไดวา 90, n A B C n x ,

70n A B C

เพราะฉะนน 70n A B C x เนองจาก ผใชเครองส าอาง ผใชเครองส าอางเพยงชนดเดยวเทานน + ผใชเครองส าอางค

เพยงสองชนดเทานน + ผใชเครองส าอางคทงสามชนด นนคอ 90 10 40 70x จะได 110x แสดงวา จ านวนของสภาพสตรกลมนมทงหมด 110 คน # นอกจากวธทแสดงมาน ผเรยนสามารถใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดแกปญหาโจทยทงสองขอขางตนไดเชนกน


76

6.4 แบบฝกหด (จ านวนสมาชกของเซตจ ากด n เซต)

ก าหนด 1 2 3, , , ,

nA A A A เปนเซตจ ากดในเอกภพสมพทธ U

เราสามารถขยายสตรการหาจ านวนสมาชกของยเนยนของ n เซตไดดงน

1 21 1 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( )

n

n i i j i j ki i j n i j k n

nn

n A A A n A n A A n A A A

n A A A

(*)

เพอความสะดวก จะให kS เปนพจนทเปนผลรวมของสมาชกของอนเตอรเซกชนของเซต k เซตในพจน

ทางขวามอของสมการ (*) นนคอ

1 2

1 21

( )k

k

k i i ii i i n

S n A A A

ส าหรบแตละ 1,2, ,k n จะเหนวาเราสามารถเขยนสมการ (*) ไดในรป

1 2 1 2 3( ) ( 1)n

n nn A A A S S S S

1. เมอพจารณาสมาชก x U ใด ๆ และ x เปนสมาชกของเซต m เซตขางตน ( 0 m n ) จงหาวามการนบ x กครงในแตละพจนของสมการตอไปน เราทราบวา

kS เปนผลรวมของสมาชกของอนเตอรเซกชนของเซต k เซต

ฉะนน kS จะประกอบดวยพจนยอย n

k พจน

เชน ถา 3n และ 2k จะไดวา 2S ประกอบดวยพจนยอย 3 3

2 พจน

นนคอ 3 1 2 1 3 2 3

( ) ( ) ( )S n A A n A A n A A จากทก าหนดให x เปนสมาชกของเซต m เซต ดงนน พจนยอยใน

kS ทจะนบรวม x ไว จะตองมาจาก

การเลอกเซต k เซตจาก m เซต ซงสามารถท าได mk

วธ

จงสรปไดวาจะมการนบ x ทงหมด mk

ครงใน kS

ทงน 0m

k เมอ k m


77

2. จงใหเหตผลวาสตรการหาจ านวนสมาชกของ n เซตเปนจรงไดอยางไร ถา x เปนสมาชกของเซต m เซต จะมการนบ x เพยงครงเดยวใน

1 2( )

nn A A A

และจากขอทแลว เราไดแสดงแลววาจะนบ x เปนจ านวน mk

ครงใน kS เมอรวมการนบจากทก k จงม

การนบ x ทงสน ( 1)1 2 3

nm m m m

n

แต 0m

k เมอ k m และเราทราบจากเอกลกษณทวนามวา

0 (1 1) ( 1)0 1 2

m mm m m m

m

จงสรปไดวา

( 1) 11 2 3

nm m m m

n

ฉะนน จงมการนบ x เพยงครงเดยวในพจนทางขวามอของสมการ (*) ซงเทากบทนบไวในพจนทางซายมอ จงสรปไดวาสมการ (*) เปนจรง


78

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


79

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


80


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


81


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

05 เซต สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์