Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 3 เรอง อสมการเชงเสนตวแปรเดยว
อสมการ คอ ประโยคทแสดงถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ < ,
> , ≤ , ≥ หรอ ≠ แสดงความสมพนธ
สญลกษณแทนความสมพนธระหวางจานวนสองจานวน ไดแก
< แทนความความสมพนธ นอยกวา
> แทนความความสมพนธ มากกวา
≥ แทนความความสมพนธ มากกวาหรอเทากบ
≤ แทนความความสมพนธ นอยกวาหรอเทากบ
= แทนความความสมพนธ เทากบ
≠ แทนความความสมพนธ ไมเทากบ
แนะนาอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
ตวอยาง ใหนกเรยนพจารณาวาประโยคสญลกษณทางคณตศาสตรทกาหนดให เปนอสมการหรอไม โดยทา
เครองหมาย √ ลงในชองวางใหถกตอง
ประโยคภาษาและประโยคสญลกษณ
ประโยคภาษา ประโยคสญลกษณ
1. ศนยนอยกวาสาม
2. สองบวกหนงเทากบสาม
3. สองเทาของจานวนจานวนหนงบวกหามากกวาสบ
4. สามเทาของจานวนจานวนหนงมากกวาหรอเทากบเกา
5. เศษสสวนหาของผลบวกของจานวนจานวนหนงกบแปดไมเทากบสบหา
6. สองเทาของผลตางของจานวนจานวนหนงกบสไมนอยกวาสาม
7. ผลบวกของจานวนจานวนหนงกบสองเมอหารดวยแปด มคาไมมากกวา
สามสบเอด
8. ผลตางของจานวนจานวนหนงกบเจดเมอหารดวยสามมคาไมเทากบสอง
อสมการ คอ ประโยคทแสดงถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ < ,
> , ≤ , ≥ หรอ ≠ แสดงความสมพนธ
ประโยคภาษาทางคณตศาสตร คอ ประโยคทเกยวกบจานวนทเขยนเปนขอความ
ประโยคสญลกษณทางคณตศาสตร คอ ประโยคทใชสญลกษณทางคณตศาสตร
เขยนแทนขอความและคาทแสดงความสมพนธของจานวน
สรป แนะนาอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
คาตอบของอสมการ คอ จานวนทนาไปแทนคาตวแปรในอสมการ แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง
อสมการเชงเสนตวแปรเดยว อาจมคาตอบไดหลายลกษณะ ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 1 จงหาคาตอบของอสมการ 𝑥 ≥ −3
วธทา เนองจาก เมอแทน X ดวยจานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ -3
ในอสมการ 𝑥 ≥ −3 แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง
ดงนน คาตอบของอสมการ 𝑥 ≥ −3 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ -3
คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
ตวอยางท 2 จงหาคาตอบของอสมการ 𝑎 ≠ 23
วธทา เนองจาก เมอแทน 𝑎 ดวยจานวนจรงใดๆ ทไมเทากบ 23 ในอสมการ 𝑎 ≠ 23
แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง
ดงนน คาตอบของอสมการ 𝑎 ≠ 23 คอ จานวนจรงทกจานวนยกเวน 23
ตวอยางท 3 จงหาคาตอบของอสมการ x + 2 < x + 3
วธทา เนองจาก เมอแทน x ดวยจานวนจรงใดๆ ในอสมการ x + 2 < x + 3
แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง
ดงนน คาตอบของอสมการ x + 2 < x + 3 คอ จานวนจรงทกจานวน
ตวอยางท 4 จงหาคาตอบของอสมการ b + 4 < b
วธทา เนองจาก ไมมจานวนจรงใดแทน b ในอสมการ b + 4 < b
แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง
ดงนน ไมมจานวนจรงใดเปนคาตอบของอสมการ b + 4 < b
จากตวอยางขางตนแสดงใหเหนถงอสมการ 3 แบบ ตามลกษณะคาตอบดงน
1. อสมการทมจานวนจรงบางจานวนเปนคาตอบ
2. อสมการทมจานวนจรงทกจานวนเปนคาตอบ
3. อสมการทไมมจานวนจรงใดเปนคาตอบ
คาตอบของ อสมการ สามารถแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนได โดยเฉพาะคาตอบของอสมการ
ทมคามากกวา หรอนอยกวาจานวนใดจานวนหนง หรอมคาเปนชวง การแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวน
จะทาใหเหนภาพชดเจนยงขน
จดทบ ( )• แสดงวา ตวเลข ณ จดนนเปนคาตอบของสมการหรออสมการดวย
จดโปรง ( ) แสดงวา ตวเลข ณ จดนนไมเปนคาตอบของสมการหรออสมการ
แสดง จานวนทมคามากกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร
แสดง จานวนทมคานอยกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ
ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ x ≥ 2
วธทา คาตอบของอสมการ x ≥ 2 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ 2
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x ≥ 2 เปนดงน
-2 -1 0 1 2 3
ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ x < −7
วธทา คาตอบของอสมการ x < −7 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา -7
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x < −7 เปนดงน
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟแสดงคาตอบของอสมการตอไปน
1. x ≠ 5
2 3 4 5 6 7 8
2. x ≤ −1
-3 -2 -1 0 1 2 3
3. −2 < x ≤ 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
4. −3 ≤ x ≤ 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
ตวอยางท 4 จงหาวากราฟแสดงคาตอบในแตละขอตอไปนแสดงจานวนใดบาง 1.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................
2.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................
3.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................
4.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................
คาตอบของอสมการ คอ จานวนทนาไปแทนคาตวแปรในอสมการ แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ จดทบ ( )• แสดงวา ตวเลข ณ จดนนเปนคาตอบของสมการหรออสมการดวย
จดโปรง ( ) แสดงวา ตวเลข ณ จดนนไมเปนคาตอบของสมการหรออสมการ
แสดง จานวนทมคามากกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร
แสดง จานวนทมคานอยกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร
สรป คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ
การแกอสมการเราใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบตการคณของการไมเทากน ดงน
การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
สมบตการบวกของการไมเทากน
ให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แทนจานวนจรงใดๆ
1. ถา 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
เชน
2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
เชน
3. ถา 𝑎 > 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
เชน
4. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐
เชน
สมบตการคณของการไมเทากน
ให 𝒂 ,𝒃 และ 𝒄 แทนจานวนจรงใดๆ
1. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
เชน
2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
เชน
3. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
เชน
4. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐
เชน
5. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
6. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐
7. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
8. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 4 4 20x + > และเขยนกราฟแสดงคาตอบ
วธทา จาก 4 4 20x + >
นา………………………………………………………………………………………………..
จะได ………………………………………………………
ดงนน ………………………………………………………
นนคอ คาตอบของอสมการ 4 4 20x + > คอ...............................................................
และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน
ตวอยางท 2 จงแกอสมการ 3 6 18− > −x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ
วธทา จาก 3 6 18− > −x
นนคอ คาตอบของอสมการ 3 6 18− > −x คอ...............................................................
และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน
ตวอยางท 3 จงแกอสมการ 5 2 2− ≥x x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ
วธทา จาก 5 2 2− ≥x x
นนคอ คาตอบของอสมการ 5 2 2− ≥x x คอ...............................................................
และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน
ตวอยางท 4 จงแกอสมการ 7 6 8 10− ≤ −x x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ
วธทา จาก 7 6 8 10− ≤ −x x
นนคอ คาตอบของอสมการ 7 6 8 10− ≤ −x x คอ...............................................................
และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน
ตวอยางท 5 จงแกอสมการ 2 7− >x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ
วธทา จาก 2 7− >x
นนคอ คาตอบของอสมการ 2 7− >x คอ...............................................................
และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน
ตวอยางท 6 จงแกอสมการ ( ) ( )5 4 6 2 6+ ≤ −x x
วธทา จาก ( ) ( )5 4 6 2 6+ ≤ −x x
นนคอ คาตอบของอสมการ ( ) ( )5 4 6 2 6+ ≤ −x x คอ.......................................................................
ตวอยางท 7 จงแกอสมการ ( ) ( )5 2 3 4 2 1− − > −x x
วธทา จาก ( ) ( )5 2 3 4 2 1− − > −x x
นนคอ คาตอบของอสมการ ( ) ( )5 2 3 4 2 1− − > −x x คอ..................................................................
การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ
การแกอสมการเราใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบตการคณของการไมเทากน ดงน
สมบตการบวกของการเทากน สมบตการคณของการเทากน
ให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แทนจานวนจรงใดๆ
1. ถา 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
3. ถา 𝑎 > 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
4. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐
ให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แทนจานวนจรงใดๆ
1. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
3. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
4. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐
5. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
6. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐
7. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
8. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
สรป การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 2 1 33 6 2− >
x x
วธทา 2 1 33 6 2− >
x x
นนคอ คาตอบของอสมการ 2 1 33 6 2− >
x x คอ....................................................................................
ตวอยางท 2 จงแกอสมการ 3 2 9 1 1
3 7− +
+ ≥x x
วธทา 3 2 9 1 1
3 7− +
+ ≥x x
นนคอ คาตอบของอสมการ 3 2 9 1 1
3 7− +
+ ≥x x
คอ...........................................................
ตวอยางท 3 จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการ ( )2 1 2 53 3− < −
x x x
วธทา ( )2 1 2 53 3− < −
x x x
ดงนน คาตอบของอสมการ ( )2 1 2 53 3− < −
x x x คอ...............................................................
นนคอ จานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการทกาหนดใหคอ........................................
ตวอยางท 4 จงหาจานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการ 2 13 42
3 4+ −
> −x x
วธทา 2 13 42
3 4+ −
> −x x
ดงนน คาตอบของอสมการ 2 13 42
3 4+ −
> −x x
คอ...............................................................
นนคอ จานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการทกาหนดใหคอ........................................
สาหรบการแกอสมการทมเครองหมาย ≠ เราจะใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบต
การคณของการไมเทากน แตจะใชการแกสมการเพอหาคาตอบ ซงเมอไดคาตอบของสมการแลวจะ
ทาใหไดคาตอบของอสมการทมเครองหมาย ≠ เปนจานวนจรงทกจานวนยกเวนจานวนทเปน
คาตอบของสมการนน
ตวอยางท 5 จงแกอสมการ 15 36+ ≠x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ
วธทา 15 36+ ≠x
ดงนน คาตอบของสมการ 15 36+ =x คอ....................................................................
นนคอ คาตอบของอสมการ 15 36+ ≠x คอ...............................................................
และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน
ตวอยางท 6 จงแกอสมการ ( ) ( )6 2 3 4 1+ ≠ − −x x
วธทา ( ) ( )6 2 3 4 1+ ≠ − −x x
ดงนน คาตอบของสมการ ( ) ( )6 2 3 4 1+ = − −x x คอ....................................................................
นนคอ คาตอบของอสมการ ( ) ( )6 2 3 4 1+ ≠ − −x x คอ....................................................................
ตวอยางท 7 จงแกอสมการ 3 1 7 2
2 5+ −
≠x x
วธทา
3 1 7 22 5+ −
≠x x
ดงนน คาตอบของสมการ 3 1 7 2
2 5+ −
=x x
คอ....................................................................
นนคอ คาตอบของอสมการ 3 1 7 2
2 5+ −
≠x x
คอ..................................................................
การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ
การแกอสมการเราใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบตการคณของการไมเทากน
สาหรบการแกอสมการทมเครองหมาย ≠ เราจะใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบต
การคณของการไมเทากน แตจะใชการแกสมการเพอหาคาตอบ ซงเมอไดคาตอบของสมการแลวจะ
ทาใหไดคาตอบของอสมการทมเครองหมาย ≠ เปนจานวนจรงทกจานวนยกเวนจานวนทเปน
คาตอบของสมการนน
สรป การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว
ตวอยางท 1 เมอนา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนหนงกบ 18 ทาใหผลลพธมคานอย
กวา 6 จงหาวาจานวนเตมบวกเปนจานวนใดไดบาง
วธทา ใหจานวนเตมบวกทตองการ คอ................................
ตวอยางท 2 จานวนบวกสองจานวนไมเทากนใหผลบวกเทากบ 32 และผลตางของสองจานวนนมคาไมเกน
11 จงหาจานวนบวกทมคามาก
วธทา ใหจานวนบวกทมคามาก คอ................................
จานวนบวกทมคานอย คอ................................
ตวอยางท 3 ครมาลซอปากกามาจานวนหนงเพอแจกใหนกเรยนในหอง หลงจากแจกไปแลว 10 ดาม ปรากฎ
วาเหลอปากกาไมถง 24 ดาม คณครมาลซอปากกามากทสดกดาน
วธทา ใหคณครมาลซอปากกามา ................................
ตวอยางท 4 มานตสอบคณตศาสตรทงหมด 4 ครง แตละครงมคะแนนเตม 100 คะแนน มานตสอบ 3 ครง
แรกไดคะแนน 85 , 91 และ 76 คะแนน เขาจะตองไดคะแนนอยางตากคะแนนในการสอบครงท 4 เขาจงจะ
ไดคะแนนเฉลยจากการทดสอบทงสครงมากกวา 85 คะแนน ถาคะแนนทไดเปนจานวนเตมเทานน
วธทา ใหมานตสอบครงทสไดคะแนน ……………………………………………..
มานตสอบ 4 ครงไดคะแนน……………………………………………..
เขาตองการคะแนนเฉลยจากการทดสอบทงสครงมากกวา 85 คะแนน
ตวอยางท 5 จานวนเตมบวกสองจานวนตางกนอย 8 ถานา 3 เทาของจานวนนอยบวกกบจานวนมาก จะ
ไดผลบวกมากกวา 48 แตไมเกน 68 จงหาวาจานวนเตมบวกทเปนจานวนนอยคอจานวนใดบาง
วธทา ใหจานวนเตมบวกทมคานอย คอ................................
จานวนเตมบวกทมคามาก คอ................................
ในการแกโจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว มขนตอนดงน
ขนท 1 วเคราะหโจทยเพอหาวาโจทยกาหนดอะไรมาใหและใหหาอะไร
ขนท 2 กาหนดตวแปรแทนสงทโจทยใหหาหรอแทนสงทเกยวของกบสงทโจทยใหหา
ขนท 3 เขยนอสมการตามเงอนไขในโจทย
ขนท 4 แกอสมการเพอหาคาตอบทโจทยตองการ
ขนท 5 ตรวจสอบคาตอบทไดกบเงอนไขในโจทย
สรป โจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว