บทที่ 4: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับ 𝒏

สมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นอันดับ 𝑛 มีรูปทัว่ๆไป ดังน้ี

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

--------(1)

เมื่อ 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) และ 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันที่นิยามและต่อเนือ่งบน

ช่วง 𝐼 และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼

ถ้าสมการ (1) มี 𝑓(𝑥) = 0 เรียก สมการเอกพันธ์ (homogeneous equation)

และจะมีรูป คอื

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0

-----(2)

ซึ่งในสมการที่ (2) มี 𝑦 = 0 เป็นผลเฉลยด้วย เรียกวา่ ผลเฉลยศูนย์ หรือ ผลเฉลย

ส าคัญน้อย (zero solution or trivial solution)

** ในสมการ (1) มี 𝑓(𝑥) ≠ 0 เรยีก สมการไม่เอกพันธ์ (non-homogeneous

equation)

KO

①=o ←

=

4.1 ความไมอ่ิสระเชิงเส้น (Linearly dependent)

นิยาม 1

ให้ 𝐴 = {𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)} เป็นเซตของ 𝑛 ฟังก์ชัน

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ซึ่งนิยามบนช่วง 𝐼 ของ 𝑥

เรากว่าว่าเซต 𝐴 เป็น เซตไม่อสิระเชิงเส้น (linearly dependent set) บนช่วง 𝑰

ถ้ามีค่าคงตัว 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 มีค่าไม่เปน็ศูนย์พร้อมกัน ที่ท าให้

𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥) = 0

ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼

และกลา่วว่า ฟังก์ชัน 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นตอ่กันบนช่วง 𝐼

**ถ้าเซต 𝐴 ไม่เป็นเซตไมอ่ิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝐼 เรียกเซต 𝐴 ว่าเป็น เซตอสิระเชิงเส้น

บนช่วง 𝑰 (linearly independent set) และ กล่าววา่

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝐼

------ถ้า 𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥) = 0 ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼

จะได้ว่า 𝐶1 = 𝐶2 = ⋯ = 𝐶𝑛 = 0

นิยาม 2

เรียกนิพจน์ 𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥)

เมื่อ 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 เป็นค่าคงตัว

ว่า การรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฟงัก์ชัน 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)

มีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องดังนี ้

ทบ. 1

เซตของฟังก์ชัน {𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)} เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝐼

ก็ต่อเมือ่ มอีย่างนอ้ยหนึ่งฟังก์ชันในเซตที่เขียนได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันที่

เหลือ

-

fix , = Czfzcx ) + Cgfzlxlt . - . + cnfncx ,

ตย.1

𝑓1(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 2𝑥3 + 4𝑥2, 𝑓3(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥

โดย 𝑥 ∈ ℝ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น เพราะ

fix -

- x'

- x =LE)I 2x'

-14×4 tG) ( 2x'

tx )

= x's -12×2-2×2 - X

= x'

- x

I. fix ) = Igfzlx ) t fix )

#

ตย.2

𝑓1(𝑥) = 12

𝑥2, 𝑓2(𝑥) = 8𝑥2 , 𝑥 > 0

- ถ้า 𝑓1(𝑥) และ 𝑓2(𝑥) เป็นฟังก์ชันไม่อิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝑥 > 0 แล้ว

A = f fixated,

. . .

, fnoxly

-

I c, ,{ www.vrwrowdo no

4ft'M-151¥)- o an # so

iron x = 2 Id C ,C2 ) + dz (2) = O

C,

+ Cz = O - ①

Eo x =L IN d, ( Iz ) t dz 187=0

C,

t 164 = O - ②

② - ① ; 154=0 .

-

. Cz = O no.

-

4=0 a

crams )

.

'

. f. Cx ),

fzlx , sdw.dvhtoar.irof

*

นิยาม 3

ถ้า 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชัน ท่ีมีอนุพันธ์ต่อเนื่องถึงอันดับ 𝑛 − 1 บนช่วง 𝐼

เราเรียก ดีเทอร์มินันท์ (determinant)

||

𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛(𝑥)𝑓1

′(𝑥) 𝑓2′(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛

′(𝑥)⋮

𝑓1(𝑛−1)(𝑥)

⋮𝑓2

(𝑛−1)(𝑥)⋱ ⋮

⋯ 𝑓𝑛(𝑛−1)(𝑥)

||

ว่า วรอนสเกียน (Wronskian) ของ ฟังก์ชัน 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ณ จุด 𝑥

เขียนแทนด้วย 𝑊(𝑥; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) หรือ 𝑊(𝑥)

ทบ. 2

ให้ 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชันท่ีมีอนุพันธ์ต่อเนื่องถึงอันดับ 𝑛 − 1 บนช่วง 𝐼

ถ้าฟังก์ชันเหล่านีไ้ม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน แล้ว 𝑊(𝑥; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) = 0

ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼

***(บทกลับไม่จริง)

หมายเหตุ**

1. ทบ.2 สมมูลกับข้อความ “ถ้า 𝑊(𝑥) ≠ 0 ส าหรับบาง 𝑥 บน 𝐼 แลว้

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) จะเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันบนช่วง 𝐼”

2. ถ้า 𝑊(𝑥; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) = 0 บน 𝐼 ไม่ได้หมายความว่า

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันบน 𝐼

hxh

→

o@qcosax.sinaxY.a

?!in%×Wax , =

I

cos ax sin

9×1= a sax +

asindax-aslnaxacosax-afaoiaxtsin.ae/=a-f0

IGoos ax

i. { cosax

,sinaxyhseroiooresdsrouguiiwourbna.to

#

ตย.4

พิจารณาเซต {𝑥3, 𝑥2 |𝑥|}

ถ้า 𝑥 ≥ 0

ถ้า 𝑥 < 0

x ถ้าพิจารณาว่า “ถ้า {𝑥3, 𝑥2|𝑥|} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น จะมี 𝐶1, 𝐶2 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันท่ีท าให้ C1𝑥3 + 𝐶2𝑥2|𝑥| = 0 ทุก 𝑥”

ให้ 𝑥 = 1 ได ้

ให้ 𝑥 = −1 ได ้

WH ) =/, ?!!! )

= 3×5-3×5=0

Wan

=/,

!! a)

=-

3×5+3×5=0

C,

-1 Cz = O - ①

- d,

tdz =O - ②

① + ② ; age =o .

: g -- a un : 4--0

.

.

. fx ? xdlxllsduiraooriidsrofuuqniiun.org

ทบ.3 การมีผลเฉลยและมีเพียงผลเฉลยเดียว (existence and uniqueness theorem)

ให ้ 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥), 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง 𝐼 ของจ านวนจริง

และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼

ให้ 𝑥0 เป็นจุดใดๆ บน 𝐼

และ 𝑦0 = 𝑦(𝑥0), 𝑦1 = 𝑦′(𝑥0), … , 𝑦𝑛−1 = 𝑦(𝑛−1)(𝑥0) เป็นค่าคงตัวค่าจริงที่เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น

แล้วสมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นอันดับ 𝑛

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

จะมีผลเฉลย 𝑦 = 𝑦(𝑥) ซึ่งนยิามบนช่วง 𝐼 เพยีงผลเฉลยเดียวเท่านั้น ที่สอดคลอ้ง

เงื่อนไขเริม่ต้นดังกล่าว

YO

บทแทรก

ถ้า 𝑦 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธส์ามญัเชงิเส้นเอกพันธ์

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0

𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน 𝐼

และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼

ส าหรับ 𝑥0 ที่เป็นจุดใดๆ บน 𝐼 มี 𝑦0 = 𝑦(𝑥0) = 0, 𝑦1 = 𝑦′(𝑥0) = 0, … , 𝑦𝑛−1 =

𝑦(𝑛−1)(𝑥0) = 0 แล้วจะได้ 𝑦 = 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼

.

4.2 ผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์

สมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นอันดับ 𝑛

- สมการเอกพันธ ์

- สมการไม่เอกพันธ์

พิจารณาสมการเชิงอนพุันธ์สามัญเชิงเส้นเอกพนัธ์อันดับ 𝑛

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0

----------------(1)

ถ้ามี 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚 ต่างเป็นผลเฉลยของสมการ (1) แล้ว

การรวมเชิงเส้น 𝑦 = 𝐶1𝑢1 + 𝐶2𝑢2 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑢𝑚 จะเป็นผลเฉลยของสมการ (1) ด้วย

แสดงได้ดังน้ี

𝑦 = 𝐶1𝑢1 + 𝐶2𝑢2 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑢𝑚

ao an date + aim dany) + . . .t an any = fax ,

ทบ. 1

ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธส์ามญัเชงิเส้นเอกพันธ์อันดับ 𝑛

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0 แล้ว

การรวมเชิงเส้น 𝑦 = 𝐶1𝑢1 + 𝐶2𝑢2 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑢𝑚

โดย 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑚 เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง

จะเป็นผลเฉลยของสมการด้วย

ทบ.2

ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธส์ามญัเชงิเส้นเอกพันธ์อันดัน 𝑛

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0

บนช่วง 𝐼 ซึ่ง 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) ต่อเนื่อง

และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼 แล้ว

𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼 ก็ต่อเมื่อ

𝑊(𝑥; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) = 0 ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼

นั่นคือ

- ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ไม่เป็นอสิระต่อกัน แล้ว 𝑊(𝑥; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) = 0

ทุก 𝑥 บน 𝐼

- ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 เป็นอิสระต่อกัน แล้ว 𝑊(𝑥; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) ≠ 0

ทุก 𝑥 บน 𝐼

ทบ.3

ให้ 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 เป็นผลเฉลยที่เป็นอสิระเชิงเส้นต่อกันบน 𝐼 ของสมการ

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0

-------------------(1)

แล้วผลเฉลยของสมการ (1) ทุกผลเฉลยบนช่วง 𝐼 จะอยู่ในรูป

𝑦 = 𝐶1𝑢1(𝑥) + 𝐶2𝑢2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑢𝑛(𝑥)

เมื่อ 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง

4.3 ผลเฉลยทั่วไปของสมการไมเ่อกพันธ ์

สมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นไม่เอกพันธ์อันดับ 𝑛

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

-----------------(1)

เมื่อ 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) และ 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 บน 𝐼

- ถ้าให้ 𝑓(𝑥) = 0 ใน (1) สมการจะเป็นสมการเอกพันธ ์

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0

------------------(2)

สมการ (2) เรยีก สมการเอกพันธ์สัมพัทธ์ (related homogeneous equation) หรือ

สมการลดรูป (reduced equation) ของสมการ (1)

ทบ.1

ถ้า 𝑣(𝑥) เป็นผลเฉลยของสมการไม่เอกพันธ์ (1) บนช่วง 𝐼

และ 𝑢(𝑥) เป็นผลเฉลยของสมการเอกพันธ์ (2) บนช่วง 𝐼

แล้ว ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์ (1) จะอยู่ในรูป

𝑦 = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)

^

I

,fan

so

นิยาม 1

x เราเรียกผลเฉลยทั่วไป 𝑢 ของสมการ (2) วา่ ฟังก์ชันเติมเต็ม

(complementary function) ของสมการ (1) ใช้สัญลักษณ์ 𝑦𝐶

x เราเรียกผลเฉลย 𝑣 ของสมการ (1) ว่า ผลเฉลยเฉพาะ (particular

solution) ของสมการ (1) ใช้สัญลักษณ์ 𝑦𝑃

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นไม่เอกพันธ์อันดับ 𝑛

อยู่ในรูป

𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑃

to

= fan

ตย.1

พิจารณาสมการ 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 𝑦 = 𝑥

-------(1)

ซึ่งมีสมการเอกพันธ์สัมพันธ์เป็น

-------(2)

จากการทดสอบ ได ้𝑦 = sin 𝑥 และ 𝑦 = cos 𝑥 เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน

ทุกจ านวนจริง 𝑥 และต่างเป็นผลเฉลยของ (2)

ดังนั้น

DI + y= O

dx '

Yc =C

,

sin x t Czcosx

11 r :y

p= X

-

'

. y = 4sin x tCzcosxt x

ทบ.2

ถ้า 𝑣𝑖 เป็นผลเฉลยเฉพาะของสมการ

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓𝑖(𝑥)

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (1)

แล้ว 𝑦 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑚𝑣𝑚 เป็นผลเฉลยเฉพาะของสมการ

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦

= 𝑘1𝑓1(𝑥) + 𝑘2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑘𝑚𝑓𝑚(𝑥)

เมื่อ 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑚 เป็นค่าคงตัว

'

Fs.÷

#=

=

-

ตย.2

พิจารณาสมการ 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 12𝑦 = 10𝑒𝑥 − 12𝑒2𝑥 − 24𝑒−𝑥

เนื่องจาก

Q①①- a

dd×}_td÷ - lay = e

× Iwao or v,

= go×

¥43 +dyed

- lay = e

"

me v,

=

×

6

da÷+da÷ - ray-

-E

'

m v,

=

.

°

.eroioowbowi.ru osmo ① Go

y =

uol.IOthat"

nice#×

12

= - ex toned "

-12 e-×

#

4.4 ตัวด าเนินการเชิงอนุพันธ์ (differential operator)

x ใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้แทนอนุพันธ์เทียบตัวแปรอสิระ 𝑥 ดังน้ี

𝐷 =𝑑

𝑑𝑥, 𝐷2 =

𝑑2

𝑑𝑥2 , …, 𝐷𝑛 =𝑑𝑛

𝑑𝑥𝑛

นั่นคือ 𝐷𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑥

, 𝐷2𝑦 = 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 , …, 𝐷𝑛𝑦 = 𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛

x รูปทั่วไป

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦

= 𝑎0(𝑥)𝐷𝑛𝑦 + 𝑎1(𝑥)𝐷𝑛−1𝑦 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷𝑦 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦

= [𝑎0(𝑥)𝐷𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷 + 𝑎𝑛(𝑥)]𝑦

นิยาม 1

เรียกนิพจน์ 𝐿 = 𝑎0(𝑥)𝐷𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷 + 𝑎𝑛(𝑥)

ว่า ตัวด าเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับ 𝒏 หรือเรียกสั้นๆ ว่า ตัวด าเนินการ

x ตัวด าเนินการ 𝐿 มีคุณสมบัติเชิงเส้น

o คือ ถ้า 𝑓1 และ 𝑓2 เปน็ฟังก์ชันที่หาอนุพันธไ์ด้ จนถึงอันดับ 𝑛 และ

𝐶1, 𝐶2 เป็นค่าคงตัวแล้ว

𝐿[𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥)] = 𝐶1𝐿1(𝑥) + 𝐶2𝐿2(𝑥)

การเท่ากันของตัวด าเนินการ

ตัวด าเนินการอันดับ 𝑛 จะกล่าวว่า 𝐿1 และ 𝐿2 เท่ากัน ถ้า 𝐿1𝑓 = 𝐿2𝑓

ส าหรับฟังก์ชัน 𝑓 ใดๆ ทีห่าอนุพันธไ์ด้จนถึงอันดบั 𝑛 เขียน 𝐿1 = 𝐿2

f, fz

การบวกการคูณกันของตัวด าเนินการ

ถ้า 𝐿1 และ 𝐿2 เป็นตัวด าเนนิการ

และ 𝑓 เป็นฟังก์ชันใดๆที่หาผลการด าเนินการได ้(คือหา 𝐿1𝑓 และ 𝐿2𝑓 ได)้

เรานิยามการบวกและการคณูของตัวด าเนินการ 𝐿1 และ 𝐿2 ตามล าดับ ดังน้ี

การบวก (𝐿1 + 𝐿2)𝑓 = 𝐿1𝑓 + 𝐿2𝑓

การคูณ (𝐿1𝐿2)𝑓 = 𝐿1(𝐿2𝑓)

ตย.1

ก าหนด 𝐿1 = 2𝐷2 − 𝐷 + 𝑥 − 2 และ 𝐿2 = 𝑥2𝐷 + 3

จงหา 𝐿1 + 𝐿2

GW f rahiahnohrndanoqdoldnsovau 2

( L,

-1Ldf =L,

f + Lzf

= ( 2 Dd- D + x - 2) f t ( x 'D + 3) f

=213¥

- Df + Xf - 2ft

Df -13 f

. -

=IDF + ( xd

- I ) Df t (x + 1) f

= ( 2132+1×2 - DD t Cx -11 ) ) f

Ly t Lz

ตย.2

1) ก าหนด 𝐿1 = 𝐷 และ 𝐿2 = 𝑥𝐷 จงแสดงว่า 𝐿1𝐿2 ≠ 𝐿2𝐿1

Tw f Ward, roionanoyntrrlsdngoas do a

( L,

4) f = L,

( Laf ) =L, ( x Df )

= D ( x Df )

= xD ( Df ) t Df ( Dx )

= xD 't t Df ( :.Dx =D

= ( x D

'

+ D) f

( La 4) f =L

,( L

,f) =

xD ( Df ) = xD 't

↳ ez = xD 't D ¥ xD'd

= ↳ 4

#

2) ก าหนด 𝐿1 = 𝐷2 + 𝐷 + 1 และ 𝐿2 = 2𝐷 + 1

จงแสดงว่า 𝐿1𝐿2 = 𝐿2𝐿1

9W f standard rndwioynoldnsorou 3

µL, )f = L

,flat ) = (Ddt Dtl ) ( Capt1) f )

= ( DID -11 ) ( 2 Df tf )

= DT2 Df ) t DF t D ( IDF ) t Df t IDF + f

=2133ft DH + a

Dd f + 3 Df tf

= ( 2 D

'

+ 3 Ddt 3D t 1) f

no :

(Lg4) f = Lg I Lyft = I 213-11 ) ( fDdt Dt1) f )

= 21 ) ( DF t Df tf ) t ( DF t Df tf )

= 2133ft 2132ft IDF t pdf + pf tf

= @D'

t3132+3 Pt 1) f

.

'

.

L,

Ls = ↳ 4 XX

คุณสมบัติทางพีชคณิตของการบวกและการคูณของตัวด าเนินการ

ให้ 𝐿1, 𝐿2, 𝐿3 เป็นตัวด าเนินการ

แล้วจะมคีุณสมบัติทางพีชคณิตดังต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ

(1) กฎการสลับที่ของการบวก 𝐿1 + 𝐿2 = 𝐿2 + 𝐿1

(2) กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก 𝐿1 + (𝐿2 + 𝐿3) = (𝐿1 + 𝐿2) + 𝐿3

(3) กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ 𝐿1(𝐿2𝐿3) = (𝐿1𝐿2)𝐿3

(4) กฎการแจกแจง 𝐿1(𝐿2 + 𝐿3) = 𝐿1𝐿2 + 𝐿1𝐿3

(5) ถ้า 𝐿1 และ 𝐿2 มีสมัประสิทธิข์อง 𝐷𝑖 เป็นค่าคงตัว

กฎการสลับที่ของการคณูเป็นจริง คือ 𝐿1𝐿2 = 𝐿2𝐿1

คุณสมบัติบางประการของตัวด าเนินการที่มสีมัประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว

ให้ 𝑃(𝐷) = 𝑎0𝐷𝑛 + 𝑎1𝐷𝑛−1+. . +𝑎𝑛−1𝐷 + 𝑎𝑛 เป็นตัวด าเนินการ

ที่มี 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 เป็นค่าคงตัว

(1) 𝑃(𝐷)𝑒𝑚𝑥 = 𝑒𝑚𝑥𝑃(𝑚)

เมื่อ 𝑃(𝑚) = 𝑎0𝑚𝑛 + 𝑎1𝑚𝑛−1+. . +𝑎𝑛−1𝑚 + 𝑎𝑛

(2) 𝑒𝑚𝑥𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑃(𝐷 − 𝑚)[𝑒𝑚𝑥𝑦]

หรือ 𝑃(𝐷)𝑒𝑚𝑥𝑦 = 𝑒𝑚𝑥𝑃(𝐷 + 𝑚)𝑦

(3) (𝐷 − 𝑚)𝑛(𝑥𝑛𝑒𝑚𝑥) = 𝑒𝑚𝑥𝑛!