ชุดที่ 1 ค าชี้แจงแผนภาพต้นไม้ แบ่งได้เป็น 2 แบบ คือ 1) แผนภาพต้นไม้ที่แตกกิ่งออกอย่างเป็นระเบียบ

1

ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตรโดยใชเทคนคTAI เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5

ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ โดยนางสาวจนตจฑา พรหมรกษ

ชดกจกรรมการเรยนรท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบฉบบน เปนชดกจกรรมการเรยนรแบบรวมมอกน โดยใชเทคนค TAI ซงครผสอนควรด าเนนการ ตามขนตอนดงน ขนการเตรยมการสอน ครผสอนควรเตรยมการสอนใหพรอมดงน 1. ศกษารายละเอยดในคมอการใชชดกจกรรมการเรยนรใหเขาใจ 2. ศกษาเนอหา และขนตอนการจดกจกรรมการเรยนร โดยละเอยด 3. เตรยมสอการเรยนร อปกรณตาง ๆ ทใชในชดกจกรรมการเรยนรใหครบตามท ระบไว ไดแก ใบความรท 1.1, 1.2, 1.3 และ 1.4 แบบฝกทกษะท 1.1, 1.2, 1.3 และ 1.4 (ฉบบกลมและฉบบรายบคคล), แบบทดสอบกอนเรยน ,แบบทดสอบหลงเรยน, แบบประเมนพฤตกรรมการท างานกลม, แบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงค และแบบบนทกคะแนน 4. จดเตรยมสถานทเรยนใหพรอมทจะเรยน ทงการจดกจกรรมกลม การท าแบบฝกทกษะ (ฉบบรายบคคล) และการทดสอบยอยรายบคคล 5. จดเตรยมแบงนกเรยนออกเปนกลมๆละ 4 คน ซงแตละกลมจะประกอบดวยนกเรยนเกง จ านวน 1 คน ปานกลาง จ านวน 2 คน และออน จ านวน 1 คน ขนด าเนนการสอน ครผสอนด าเนนการจดกจกรรมการเรยนรตามชดกจกรรมการเรยนรท 1 (ฉบบคมอคร)

ระยะเวลา 4 ชวโมง

ค าชแจง ชดท 1

2



ปญหาเกยวกบการนบจ านวนวธทงหมดทเหตการณอยางใดอยางหนงจะเปนไปได เปนปญหาหนง ทมกพบอยในชวตประจ าวน เชน จ านวนวธในการเลอกรบประทานอาหาร จ านวนวธในการเลอกเสอผา ทจะสวมใส เปนตน ซงการเขยน แผนภาพตนไม (Tree Diagram) เปนวธการหนงทชวยในการนบผลลพธทงหมดใหงายขนและสามารถตรวจสอบไดอยางชดเจน โดยแสดงผลลพธทจะเกดขนทงหมดในลกษณะ ของรปภาพหรอสญลกษณทก าหนดตามทโจทยก าหนดให ซงจะเรมจากจดทางดานซายมอเสมอ และแตกกงออกไปตามความเปนไปไดทสามารถเกดขนไดในแตละทางเลอก และนบกงสดทาย 1 กง คอ " 1 วธ" แผนภาพตนไม แบงไดเปน 2 แบบ คอ 1) แผนภาพตนไมทแตกกงออกอยางเปนระเบยบ 2) แผนภาพตนไมทแตกกงออกอยางไมเปนระเบยบ

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ในชวตประจ าวนเรามกจะพบปญหาเกยวกบการนบจ านวนวธทงหมดทเหตการณอยางใดอยางหนงจะเปนไปได หรอจ านวนวธในการจดชดของสงตางๆ เชน การจดการแขงขนกฬา การจดชดเสอผา การจดชดอาหาร เปนตน การค านวณเพอหาค าตอบส าหรบปญหาประเภทตางๆดงกลาว จะท าไดงายและสะดวกรวดเรวขนถาเขาใจกฎเกณฑบางขอ ซงเรยกวา หลกมลฐานเกยวกบการนบ 1) กฎการคณ กฎการคณขอท 1 ถาตองการท างานสองอยางโดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน มวธทจะท างานอยางทสองได n2 วธ จะท างานทงสองอยางนได n1n2 วธ กฎการคณขอท 2 ขนตอนทหนงมวธการท างานได n1 วธ ในแตละวธของขนตอนทหนงมวธการเลอกท างานขนตอนทสองได n2 วธ ในแตละวธทท างานขนตอนทหนงและขนตอนทสองมวธเลอกท างานขนตอนทสามได n3 วธ เชนนเรอยไปจนถงขนตอนสดทาย คอ ขนตอนท k เลอกท างานได nk วธ

จ านวนวธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยางตอเนองกน เทากบ n1n2…nk วธ

สาระการเรยนร

3



2) กฎการบวก ในการท างานอยางหนง ถาสามารถแบงวธการท างานออกเปน k กรณ (โดยในแตละกรณท างานไดส าเรจโดยมขนตอนไมตอเนองกบกรณอน) กรณท 1 มวธการท างานได n1 วธ กรณท 2 มวธการท างานได n2 วธ กรณท 3 มวธการท างานได n3 วธ กรณท k มวธการท างานได nk วธ ดงนน จ านวนวธการท างานทงหมด n1 + n2 + n3 +…+ nk วธ

ดานความร : นกเรยนสามารถ 1. อธบายวธการเขยนแผนภาพตนไมได 2. บอกผลลพธทงหมดโดยใชวธเขยนแผนภาพตนไมได 3. อธบายกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ)ได 4. บอกจ านวนผลลพธโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ)ได 5. อธบายกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการบวก)ได 6. บอกจ านวนผลลพธโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการบวก)ได ดานทกษะและกระบวนการ : นกเรยนมความสามารถในการ 1. แกปญหา 2. ใหเหตผล 3. สอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 4. เชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบวชาอน ดานคณลกษณะ : นกเรยน 1. มความรบผดชอบ 2. มระเบยบวนย และตรงตอเวลา

3. มความเชอมนในตนเอง กลาแสดงความคดเหน กลาแสดงออก 4. มน าใจ ใหความรวมมอชวยเหลอซงกนและกน

จดประสงคการเรยนร

.

.

.

.

.

.

4



1. ใบความรท 1.1, 1.2, 1.3 และ 1.4 2. แบบฝกทกษะท 1.1, 1.2, 1.3 และ 1.4 (กลมและฉบบรายบคคล) 3. แบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

ชวโมงท 1 ด าเนนการจดการเรยนการสอนตามชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ฉบบคมอคร) เรอง แผนภาพตนไม ดงน 1. ขนจดกลมและน าเขาสบทเรยน (ใชเวลา 15 นาท)

1) ครชแจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ 2) ครใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน ชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ใชเวลา 10 นาท ) 3) ครใหนกเรยนนงเปนกลมตามทก าหนดไว โดยครแบงนกเรยนออกเปนกลม กลมละ 4 คน คอ นกเรยนทเรยนเกง 1 คน นกเรยน ทเรยนปานกลาง 2 คน และนกเรยนทเรยนออน 1 คน โดยใชผลการเรยนของนกเรยนวชาคณตศาสตรในภาคเรยนกอน จากนนใหนกเรยนคดเลอกหวหนากลม (ใชเวลา 5 นาท ) 2. ขนน าเสนอบทเรยน (ใชเวลา 10 นาท) 1) ครแจกเอกสารใบความรท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม ใหกบนกเรยนทกคนในกลม

2 ) คร และน ก เร ยนร วมกนศกษาและอภปราย เก ยวกบ เร อง แผนภาพตน ไม จากใบความรท 1.1 ทครแจกให (ใชเวลา 10 นาท) 3. ขนการศกษากลมยอย (ใชเวลา 15 นาท) 1) ครแจกแบบฝกทกษะท 1.1 (ฉบบกลม) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม ใหสมาชกในกลมทกคน ชวยเหลอซงกนและกนในการท าแบบฝกทกษะท 1.1 (ฉบบกลม) โดยศกษาจากตวอยางใน ใบความรท 1.1 สมาชกในกลมทกคนตองมความเขาใจและสามารถท าแบบฝกทกษะท 1.1 (ฉบบกลม) ไดอยางถกตอง 80 (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนจบคภายในกลมเพอแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.1 (ฉบบกลม) โดยครเปนผเฉลยค าตอบ นกเรยนทไดคะแนน 80 ขนไปถอวาผานเกณฑ ถาพบสมาชกในกลมไมผานขอใด สมาชกในกลมทเหลอจะตองชวยกนอธบายและใหค าแนะน าจนเขาใจ ถานกเรยนไมเขาใจสามารถถามครได โดยครอธบายเพมเตมจนนกเรยนเขาใจ พรอมทงใหนกเรยนแกไขใหถกตองจงจะสามารถท าแบบฝกทกษะ (ฉบบรายบคคล) (ใชเวลา 5 นาท)

สอการเรยนร ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

กจกรรมการเรยนการสอน ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

5



3) ในขณะทนกเรยนปฏบตงานกลมครสงเกตพฤตกรรมการท างานกลมพรอมทงคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนทกกลม แลวบนทกขอมลลงในแบบประเมนพฤตกรรม การท างานกลม และแบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยน

4. ขนการท าแบบฝกทกษะรายบคคล / ขนการทดสอบประจ าหนวย (ใชเวลา 20 นาท) 1) คร แจกแบบฝกทกษะท 1 .1 (ฉบบรายบคคล ) ท ม ล กษณะเปนค ขนานกบ แบบฝกทกษะท1.1 (ฉบบกลม) ใหนกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะท1.1 (ฉบบรายบคคล) ดวยตนเอง โดยไมอนญาตใหนกเรยนปรกษาหารอหรอชวยเหลอกน (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.1 (ฉบบรายบคคล) กบคของตนเอง โดยครเปนผเฉลยค าตอบ แลวใหนกเรยนบนทกคะแนนแบบฝกทกษะท 1.1 ของนกเรยนลงในแบบบนทกคะแนน โดยตองผานเกณฑ 80 % หากนกเรยนท าไมผาน ครจะเปนผใหความชวยเหลอ โดยจะเรยกนกเรยนท ไมเขาใจในเนอหามาเรยนเปนกลมเลก และกลบไปท าใหมอกครง (ใชเวลา 5 นาท) 3) ครและนกเรยนรวมกนสรป อภปรายเนอหาทไดเรยนในชวโมงน รวมกนอกครง (ใชเวลา 5 นาท)

ชวโมงท 2 1. ขนจดกลมและน าเขาสบทเรยน (ใชเวลา 5 นาท)

1) ครชแจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ 2) ครใหนกเรยนนงเปนกลมตามทก าหนดไว (ใชเวลา 5 นาท ) 2. ขนน าเสนอบทเรยน (ใชเวลา 15 นาท) 1) ครแจกเอกสารใบความรท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม

2) ครและนกเรยนรวมกนศกษาและอภปรายเกยวกบ เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบ การนบ(กฎการคณ) จากใบความรท 1.2 ทครแจกให (ใชเวลา 15 นาท) 3. ขนการศกษากลมยอย (ใชเวลา 20 นาท) 1) ครแจกแบบฝกทกษะท 1.2 (ฉบบกลม) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม ใหสมาชกในกลมทกคน ชวยเหลอซงกนและกนในการท าแบบฝกทกษะท 1.2 (ฉบบกลม) โดยศกษาจากตวอยางใน ใบความรท 1.2 สมาชกในกลมทกคนตองมความเขาใจและสามารถท าแบบฝกทกษะท 1.2 (ฉบบกลม) ไดอยางถกตอง 80 (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนจบคภายในกลมเพอแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.2 (ฉบบกลม) โดยครเปนผเฉลยค าตอบ นกเรยนทไดคะแนน 80 ขนไปถอวาผานเกณฑ ถาพบสมาชกในกลมไมผานขอใด สมาชกในกลมทเหลอจะตองชวยกนอธบายและใหค าแนะน าจนเขาใจ ถานกเรยนไมเขาใจสามารถถามครได โดยครอธบายเพมเตมจนนกเรยนเขาใจ พรอมทงใหนกเรยนแกไขใหถกตองจงจะสามารถท าแบบฝกทกษะ (ฉบบรายบคคล) (ใชเวลา 10 นาท) 3) ในขณะทนกเรยนปฏบตงานกลมครสงเกตพฤตกรรมการท างานกลมพรอมทงคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนทกกลม แลวบนทกขอมลลงในแบบประเมนพฤตกรรม การท างานกลม และแบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยน

6



4. ขนการท าแบบฝกทกษะรายบคคล / ขนการทดสอบประจ าหนวย (ใชเวลา 20 นาท) 1) คร แจกแบบฝกทกษะท 1 . 2 (ฉบบรายบคคล ) ท ม ล กษณะเปนค ข นานกบ แบบฝกทกษะท1.2 (ฉบบกลม) ใหนกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะท1.2 (ฉบบรายบคคล) ดวยตนเอง โดยไมอนญาตใหนกเรยนปรกษาหารอหรอชวยเหลอกน (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.2 (ฉบบรายบคคล) กบคของตนเอง โดยครเปนผเฉลยค าตอบ แลวใหนกเรยนบนทกคะแนนแบบฝกทกษะท 1.2 ของนกเรยนลงในแบบบนทกคะแนน โดยตองผานเกณฑ 80 % หากนกเรยนท าไมผาน ครจะเปนผใหความชวยเหลอโดยจะเรยกนกเรยนท ไมเขาใจในเนอหามาเรยนเปนกลมเลก และกลบไปท าใหมอกครง (ใชเวลา 5 นาท) 3) ครและนกเรยนรวมกนสรป อภปรายเนอหาทไดเรยนในชวโมงนรวมกนอกครง (ใชเวลา 5 นาท)


1) ครชแจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ 2) ครใหนกเรยนนงเปนกลมตามทก าหนดไว (ใชเวลา 5 นาท ) 2. ขนน าเสนอบทเรยน (ใชเวลา 15 นาท) 1) ครแจกเอกสารใบความรท 1.3 เรอง กฎการคณ (ตอ) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม

2) ครและนกเรยนรวมกนศกษาและอภปรายเก ยวกบ เร อง กฎการคณ (ตอ ) จากใบความรท 1.3 ทครแจกให (ใชเวลา 15 นาท) 3. ขนการศกษากลมยอย (ใชเวลา 20 นาท) 1) ครแจกแบบฝกทกษะท 1.3 (ฉบบกลม) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม ใหสมาชกในกลมทกคน ชวยเหลอซงกนและกนในการท าแบบฝกทกษะท 1.3 (ฉบบกลม) โดยศกษาจากตวอยางใน ใบความรท 1.3 สมาชกในกลมทกคนตองมความเขาใจและสามารถท าแบบฝกทกษะท 1.3 (ฉบบกลม) ไดอยางถกตอง 80 (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนจบคภายในกลมเพอแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.3 (ฉบบกลม) โดยครเปนผเฉลยค าตอบ นกเรยนทไดคะแนน 80 ขนไปถอวาผานเกณฑ ถาพบสมาชกในกลมไมผานขอใด สมาชกในกลมทเหลอจะตองชวยกนอธบายและใหค าแนะน าจนเขาใจ ถานกเรยนไมเขาใจสามารถถามครได โดยครอธบายเพมเตมจนนกเรยนเขาใจ พรอมทงใหนกเรยนแกไขใหถกตองจงจะสามารถท าแบบฝกทกษะ (ฉบบรายบคคล) (ใชเวลา 10 นาท) 3) ในขณะทนกเรยนปฏบตงานกลมครสงเกตพฤตกรรมการท างานกลมพรอมทงคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนทกกลม แลวบนทกข อมลลงในแบบประเมนพฤตกรรม การท างานกลม และแบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยน

4. ขนการท าแบบฝกทกษะรายบคคล / ขนการทดสอบประจ าหนวย (ใชเวลา 20 นาท) 1) คร แจกแบบฝกทกษะท 1 . 3 (ฉบบรายบคคล ) ท ม ล กษณะเปนค ข นานกบ แบบฝกทกษะท1.3 (ฉบบกลม) ใหนกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะท1.3 (ฉบบรายบคคล) ดวยตนเอง โดยไมอนญาตใหนกเรยนปรกษาหารอหรอชวยเหลอกน (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.3 (ฉบบรายบคคล) กบคของตนเอง โดยครเปนผเฉลยค าตอบ แลวใหนกเรยนบนทกคะแนนแบบฝกทกษะท 1.3 ของนกเรยนลงในแบบบนทกคะแนน

7



โดยตองผานเกณฑ 80 % หากนกเรยนท าไมผาน ครจะเปนผใหความชวยเหลอ โดยจะเรยกนกเรยนท ไมเขาใจในเนอหามาเรยนเปนกลมเลก และกลบไปท าใหมอกครง (ใชเวลา 5 นาท) 3) ครและนกเรยนรวมกนสรป อภปรายเนอหาทไดเรยนในชวโมงนรวมกนอกครง (ใชเวลา 5 นาท)


1) ครชแจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ 2) ครใหนกเรยนนงเปนกลมตามทก าหนดไว (ใชเวลา 3 นาท ) 2. ขนน าเสนอบทเรยน (ใชเวลา 10 นาท) 1 ) คร แจก เอกสารใบความร ท 1 . 4 เร อ ง กฎเกณฑ เบ องต น เก ย วกบการนบ (กฎการบวก) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม

2) ครและนกเรยนรวมกนศกษาและอภปรายเกยวกบ เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบ การนบ(กฎการบวก) จากใบความรท 1.4 ทครแจกให (ใชเวลา 10 นาท) 3. ขนการศกษากลมยอย (ใชเวลา 15 นาท) 1) ครแจกแบบฝกทกษะท 1.4 (ฉบบกลม) ใหกบนกเรยนทกคนในกลม ใหสมาชกในกลมทกคน ชวยเหลอซงกนและกนในการท าแบบฝกทกษะท 1.4 (ฉบบกลม) โดยศกษาจากตวอยางใน ใบความรท 1.4 สมาชกในกลมทกคนตองมความเขาใจและสามารถท าแบบฝกทกษะท 1.4 (ฉบบกลม) ไดอยางถกตอง 80 (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนจบคภายในกลมเพอแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.4 (ฉบบกลม) โดยครเปนผเฉลยค าตอบ นกเรยนทไดคะแนน 80 ขนไปถอวาผานเกณฑ ถาพบสมาชกในกลมไมผานขอใด สมาชกในกลมทเหลอจะตองชวยกนอธบายและใหค าแนะน าจนเขาใจ ถานกเรยนไมเขาใจสามารถถามครได โดยครอธบายเพมเตมจนนกเรยนเขาใจ พรอมทงใหนกเรยนแกไขใหถกตองจงจะสามารถท าแบบฝกทกษะ (ฉบบรายบคคล) (ใชเวลา 5 นาท) 3) ในขณะทนกเรยนปฏบตงานกลมครสงเกตพฤตกรรมการท างานกลมพรอมทงคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนทกกลม แลวบนทกขอมลลงในแบบประเมนพฤตกรรม การท างานกลม และแบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยน

4. ขนการท าแบบฝกทกษะรายบคคล / ขนการทดสอบประจ าหนวย (ใชเวลา 27 นาท) 1) คร แจกแบบฝกทกษะท 1 . 4 (ฉบบรายบคคล ) ท ม ล กษณะเปนค ข นานกบ แบบฝกทกษะท1.4 (ฉบบกลม) ใหนกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะท1.4 (ฉบบรายบคคล) ดวยตนเอง โดยไมอนญาตใหนกเรยนปรกษาหารอหรอชวยเหลอกน (ใชเวลา 10 นาท) 2) ครใหนกเรยนแลกกนตรวจแบบฝกทกษะท 1.4 (ฉบบรายบคคล) กบคของตนเอง โดยครเปนผเฉลยค าตอบ แลวใหนกเรยนบนทกคะแนนแบบฝกทกษะท 1.4 ของนกเรยนลงในแบบบนทกคะแนน โดยตองผานเกณฑ 80 % หากนกเรยนท าไมผาน ครจะเปนผใหความชวยเหลอ โดยจะเรยกนกเรยนท ไมเขาใจในเนอหามาเรยนเปนกลมเลก และกลบไปท าใหมอกครง (ใชเวลา 5 นาท) 3) ครใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน ชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ใชเวลา 10 นาท )

8



4) ครใหนกเรยนทกคนแลกกนตรวจแบบทดสอบหลงเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ โดยครเปนผเฉลยค าตอบแลวใหนกเรยนบนทกคะแนนสอบของนกเรยนลงในแบบบนทกคะแนน (ใชเวลา 2 นาท ) 5. ขนการใหคะแนนและความส าเรจของกลม (ใชเวลา 5 นาท) 1) ครใหนกเรยนทกกลมค านวณคะแนนความกาวหนาของนกเรยนแตละคนในกลม โดยใชคะแนนฐานและคะแนนสอบหลงเรยนของนกเรยนแตละคนมาหาความแตกตาง แลวหาคะแนนความกาวหนา ตามเกณฑทครก าหนดไว (ใชเวลา 3 นาท) 2) ครใหนกเรยนน าคะแนนพฒนาของสมาชกทกคนในกลมมาเฉลย เพอจดระดบความส าเรจของกลม แลวน าไปเทยบกบเกณฑการยกยองกลมทไดรบรางวล ซงแบงเปน 3 ระดบ คอ กลมทไดคะแนนสงสดเปนกลมชนะเลศ (Super Team) กลมทไดคะแนนปานกลางเปนกลมรองชนะเลศ (Great Team) และกลมทไดคะแนนนอยเปนกลมด (Good Team) กลมชนะเลศจะไดรบรางวล (ใชเวลา 2 นาท) 5. ขนการยกยองกลม (ใชเวลา 2 นาท) ครและนกเรยนรวมกนสรปบทเรยนและน าคะแนนพฒนาของสมาชกทกคน ในกลมมาเฉลย แลวน าไปเทยบกบเกณฑการยกยองกลมทไดรบรางวล ตามทครก าหนด คอ กลมเกง กลมเกงมาก และกลมยอดเยยม

9



สงทตองการวด/วธการวดผล เครองมอการวดผล เกณฑการวดผล

ดานความร 1. ตรวจแบบฝกทกษะท 1.1-1.4 ฉบบรายบคคล 2. ตรวจผลการทดสอบ กอนเรยนและหลงเรยน

1.แบบฝกทกษะท 1.1-1.4 ฉบบรายบคคล 2. แบบทดสอบกอนเรยน และหลงเรยน

1. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง ผานเกณฑการประเมน 80% 2.นกเรยนสวนใหญท าแบบทดสอบ หลงเรยนไดถกตองผานเกณฑ การประเมน80%และมคะแนนเฉลย หลงเรยนสงกวากอนเรยน อยางมนยส าคญทางสถตทระดบ .01

ดานทกษะและกระบวนการ 1. สงเกตพฤตกรรมระหวาง การปฏบตงานกลม 2. ตรวจแบบฝกทกษะท 1.1-1.4 ฉบบกลม

1. แบบประเมนพฤตกรรม การท างานกลม 2. แบบฝกทกษะท 1.1-1.4 ฉบบกลม

1. พฤตกรรมการท างานกลมของ นกเรยนสวนใหญมการปฏบต อยในระดบมากขนไป 2. นกเรยนทกกลมท าไดถกตอง ผานเกณฑการประเมน 80%

ดานคณลกษณะ 1. สงเกตพฤตกรรมนกเรยน

1. แบบสงเกตคณลกษณะ อนพงประสงค

1. นกเรยนสวนใหญมคณลกษณะ อนพงประสงคอยในระดบ มากขนไป

การวดและประเมนผลการเรยนร

10



แบบทดสอบกอนเรยน ชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ค าชแจง 1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบกอนเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จ านวน 10 ขอ ใชเวลาท าแบบทดสอบ 10 นาท 2. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองเพยงขอเดยวแลวท าเครองหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษค าตอบ

1) ด.ญ. พอใจตองการสงชดอาหาร 1 ชด ประกอบดวย กบขาว 1 อยาง ขนม 1 อยาง และน าผลไม 1 อยาง จากเมนทมใหเลอก คอ กบขาว 4 อยาง ขนมหวาน 3 อยาง และน าผลไม 5 อยาง จ านวนวธในการสงชดอาหารทแตกตางกนตรงกบขอใด

ก. 12 วธ ข. 60 วธ ค. 120 วธ ง. 125 วธ

2) จ านวนวธในการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง ตรงกบขอใด ก. 2 วธ ข. 4 วธ

ค. 8 วธ ง. 10 วธ

3) ตองการน าตวอกษรภาษาองกฤษ จากค าวา MATH PS มาสรางเปนค าใหมทประกอบดวย 3 ตวอกษรทไมซ ากน โดยไมค านงถงความหมาย จะไดจ านวนวธตรงกบขอใด

ก. 120 วธ ข. 240 วธ ค. 480 วธ ง. 600 วธ

4) จากเลขโดด 0 – 9 สามารถสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน ไดทงหมดกวธ

ก. 1,792 วธ ข. 2,296 วธ ค. 2,016 วธ ง. 2,520 วธ

5) มรางวลอย 3 รางวล คอ รางวลมารยาทด รางวลเรยนด และรางวลกจกรรมดเดน รางวลละ 1 ชน จงหาจ านวนวธทจะใหรางวลแกนกเรยนทมคณสมบตทควรจะไดรบรางวลดงกลาว จ านวน 6 คน โดยทนกเรยนแตละคนมสทธจะไดรบทงสามรางวล ก. 27 วธ ข. 216 วธ

ค. 243 วธ ง. 729 วธ

10

11



6) ตองการสรางจ านวนเตมบวกสามหลกทมคานอยกวา 400 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

โดยทแตละหลกไมซ ากนไดกวธ ก. 90 วธ ข. 108 วธ

ค. 120 วธ ง. 216 วธ

7) ขอสอบยอยเรอง ความนาจะเปน ชดหนงมจ านวน 5 ขอ แตละขอม 4 ตวเลอก นกเรยนคนหนงท าขอสอบฉบบนทกขอ จ านวนวธทนกเรยนคนนท าขอสอบผดหมดทกขอตรงกบขอใด

ก. 1 วธ ข. 243 วธ ค. 768 วธ ง. 1,024 วธ

8) จ านวนวธในการจดนกเรยนชาย 6 คน นกเรยนหญง 6 คน ยนสลบกนทละ 1 คน เปนแถวยาวในแนวเสนตรงตรงกบขอใด

ก. 720 วธ ข. 1,440 วธ ค. 518,400 วธ ง. 1,036,800 วธ

9) หางสรรพสนคาแหงหนงตองการออกบตรสมนาคณแกลกคา โดยมหมายเลขตงแต 00001 ถง 10000 และหมายเลขบตรทจะไดรบรางวลตองเปนหมายเลขทมตวเลขในต าแหนงท 3 เปนเลข 5 และมตวเลขในต าแหนงสดทายเปนจ านวนค จ านวนบตรทลกคาจะไดรบรางวลมทงหมดกใบ

ก. 5 ใบ ข. 1,000 ใบ ค. 5,000 ใบ ง. 25,000 ใบ

10) ถาหมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครประกอบดวยพยญชนะ 2 ตว และตวเลข 1 ถง 4 หลก ตวอยางเชน กข 5, กค 34, กฮ 346 และ กจ 1457 อยากทราบวาจ านวนหมายเลขทะเบยนรถยนตทแตกตางกนตรงกบขอใด

ก. 19,358,064 ทะเบยน ข. 21,508,956 ทะเบยน ค. 21,508,959 ทะเบยน ง. 22,508,960 ทะเบยน

ไมตองเครยดนะคะนกเรยน นเปนแคแบบทดสอบกอนเรยนเทานน

12



กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

รายวชา คณตศาสตร 4 รหสวชา ค32102 ชนมธยมศกษาป ท 5

คะแนนเตม 10 คะแนน

ชอ-สกล …………………………………….………………. ชน ม. 5/ ……….. เลขท ………….

ขอ ก. ข. ค. ง. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

13



แผนภาพตนไมทแตกกงออกอยางเปนระเบยบ

ปญหาเกยวกบการนบจ านวนวธทงหมดทเหตการณอยางใดอยางหนงจะเปนไปได เปนปญหาหนง ทมกพบอยในชวตประจ าวน เชน จ านวนวธในการเลอกรบประทานอาหาร จ านวนวธในการเลอกเสอผา ทจะสวมใส เปนตน ซงการเขยน แผนภาพตนไม (Tree Diagram) เปนวธการหนงทชวยในการนบผลลพธทงหมดใหงายขนและสามารถตรวจสอบไดอยางชดเจน โดยแสดงผลลพธทจะเกดขนทงหมด ในลกษณะของรปภาพหรอสญลกษณทก าหนดตามทโจทยก าหนดให ซงจะเรมจากจดทางดานซายมอเสมอ และแตกกงออกไปตามความเปนไปไดทสามารถเกดขนไดในแตละทางเลอก และนบกงสดทาย 1 กง คอ " 1 วธ"

แผนภาพตนไม แบงไดเปน 2 แบบ คอ 1) แผนภาพตนไมทแตกกงออกอยางเปนระเบยบ 2) แผนภาพตนไมทแตกกงออกอยางไมเปนระเบยบ

ใบความรท 1.1 แผนภาพตนไม

ตวอยางท 1 ทองเอกมเสอทชอบใส 3 ตว ไดแก สแดง สน าเงน และสเขยว มกางเกง ตวโปรด 2 ตว ไดแก สกรมและสเขยว ทองเอกจะมวธใสเสอและกางเกงไดกวธ วธท า ทองเอกสามารถเลอกไดวาจะเลอกใสเสอหรอใสกางเกงกอนโดยใชแผนภาพตนไม ดงน

เลอกใสเสอกอน เลอกใสกางเกงกอน เสอ กางเกง กางเกง เสอ

วธท 1

วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

วธท 1

วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

14



นกเรยนสงเกตวาถาเรามองเปนเซตของเสอ และเซตของกางเกง แลวนกเรยนเขยนออกมาในรป ของความสมพนธ โดยให A แทน เซตของเสอ และ B แทน เซตของกางเกง จะได

ผลคณคารทเซยน BA = { (แดง,น าเงน) ,(แดง,เขยว) , (น าเงน,น าเงน) , (น าเงน,เขยว) , (เขยว,น าเงน), (เขยว,เขยว) }

ผลคณคารทเซยน AB = { (น าเงน,แดง) , (น าเงน,น าเงน) , (น าเงน,เขยว) , (เขยว,แดง) , (เขยว,น าเงน) , (เขยว,เขยว) }

จากแผนภาพตนไม (Tree diagram) ทองเอกจะมวธแตงกายโดยใสเสอและกางเกงได 6 วธ ซงเกดจากจ านวนสมาชกในเซตของเสอ และเซตของกางเกงคณกน นนคอ 3 2 = 6 วธ

ตวอยางท 2 สนามแหงหนงมประต 3 ประต สชาตตองการเขาชมกฬาในสนามน อยากทราบวาสชาตจะมวธเดนเขาและออกประตไดกวธ วธท า ก าหนดให ป1, ป2, ป3 แทน ประต 3 ประต เราสามารถเขยนแผนภาพตนไม ไดดงน เขา ออก ผลลพธทงหมด

ดงนน สชาตเดนเขาและออกประตจะไดจ านวนวธทงหมด 3 3 = 9 วธ

ป2

ป3

ป1

ป2

ป3

ป1

ป2

ป3

ป2

ป2

ป2

ป2

ป2

ป1

ป1

ป3

ป3

ป3

ป3

ป3

ป1

ป1

ป2

ป3

ป1 ป1

ป1

ป1

ป2

ป3

วธท 1

วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

วธท 7

วธท 8

วธท 9

15



ตวอยางท 3 เมอโยนเหรยญหนงเหรยญ เหรยญอาจจะขนหนาหวหรอกอย ถาโยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง เหรยญจะขนหนาตางๆไดทงหมดกวธ วธท า ก าหนดให H แทน เหรยญทขนหว และ T แทน เหรยญทขนกอย เราสามารถเขยน แผนภาพตนไม ไดดงน เหรยญท 1 เหรยญท 2 ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพตนไมเมอ โยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง เหรยญจะขนหนาตางๆไดทงหมด 4 วธ ซงเกดจากเหรยญท 1 เหรยญจะขนหวหรอกอยได 2 วธ และใน แตละวธทโยนเหรยญท 1 จะโยนเหรยญท 2 ซงเหรยญจะขนหวหรอกอยไดอก 2 วธ ดงนน เมอโยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง จะไดผลลพธทงหมด 22 = 4 วธ

HH

T

TH

T

H H

H T

T H

T T

วธท 1

วธท 2

วธท 3

วธท 4

เวลาเปนสงเดยวททกคนในโลกนไดมาเทากน 1 นาทกม 60 วนาท อยทวาใครจะท าเวลาใหคมคามา

16



แผนภาพตนไมทแตกกงออกอยางไมเปนระเบยบ

ตวอยางท 4 ถาโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 3 ครง จะไดผลลพธตางๆกนทงหมดกวธ วธท า ก าหนดให H แทน เหรยญทขนหว และ T แทน เหรยญทขนกอย เราสามารถเขยน แผนภาพตนไม ไดดงน ครงท 1 ครงท 2 ครงท 3 ผลลพธทงหมด

ดงนน โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 3 ครง จะไดจ านวนวธทงหมด 2 2 2 = 8 วธ

H

T

H

T

H

T

H

T

H

H

T

H

T

H T H

H H T

H H H

H T T

T H H

T H T

T T H

T T T

T

วธท 1

วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

วธท 7

วธท 8

ตวอยางท 5 ในการเลมเกมชนดหนงส าหรบผเลนจ านวน 2 คนมกตกาวา ผชนะ หมายถง ผทชนะ 2 เกมตดตอกน หรอชนะรวมกน 3 เกม โดยไมจ าเปนตองเปนเกมทตดตอกน และ เลนไดไมเกน 5 เกม จงหาจ านวนวธทงหมดในการเลนเกมน วธท า ก าหนดให Aชนะ แทน ผเลนคนท 1 ชนะ และ Bชนะ แทน ผเลนคนท 2 ชนะ เกมท 1 เกมท 2 เกมท 3 เกมท 4 เกมท 5

ดงนน จ านวนวธทงหมดในการเลนเกมน 10 วธ

Bชนะ Bชนะ

Bชนะ

Aชนะ Aชนะ

Bชนะ Aชนะ

Aชนะ

Aชนะ


Bชนะ

Aชนะ


Bชนะ

Aชนะ

Bชนะ

วธท 1 วธท 2

วธท 3



วธท 8 วธท 9 วธท 10

17



ชนมธยมศกษาปท 5 /............... กลมท ............

ค าชแจง ใหสมาชกทกคนภายในกลมชวยกนพจารณาสถานการณตางๆตอไปนพรอมตอบค าถาม ใหถกตองสมบรณ ขอละ 2 คะแนน

1. ในวนอาเซยนของโรงเรยนโพธสารพทยากร นกเรยนจะสามารถแตงตวไดตามใจชอบ ถาหากนกเรยน สามารถเลอกเสอได 3 ตว และสามารถเลอกผาถงได 2 ผน อยากทราบวานกเรยนคนนจะสามารถแตงตวทงหมดไดกแบบ (2 คะแนน) วธท า สมมตให ส1 แทน เสอตวท 1 ผ1 แทน ผาถงผนท 1

ส2 แทน เสอตวท 2 ผ2 แทน ผาถงผนท 2 ส3 แทน เสอตวท 3 หาวธการจดชดโดยใชแผนภาพตนไม ดงน เสอ ผาถง ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพจะเหนวา นกเรยนคนนจะสามารถแตงตวโดยมเสอ 3 ตวและผาถงได 2 ผน ไดทงหมด ......................................แบบ ซงเทากบจ านวนเสอ................... ตว คณ ดวยจ านวนผาถง...................ตว หรอเทากบ............... ...............= ............... วธ นนเอง

แบบฝกทกษะท 1.1 แผนภาพตนไม

ฉบบกลม

10

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

18



2. โดเรมอนมประตกาลเวลาทงหมด 3 ประต จงหาวาโดเรมอนจะมวธเดนเขาและออกประตกาลเวลาน ไดทงหมดกวธ ถาโดเรมอนเดนเขาและเดนออกประตกาลเวลาโดยไมใชประตซ ากน (2 คะแนน)

วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... หาวธการเดนเขาออกประตของโดเรมอนโดยใชแผนภาพตนไม ดงน เขา ออก ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพจะเหนวา โดเรมอนจะสามารถเดนเขาและออกประตกาลเวลาโดยม 3 ประต ไดทงหมด ...................วธ

ซงเทากบจ านวนประตทเดนเขา................... ประต คณ ดวยจ านวนประตทเดนออก...................ประต หรอเทากบ............ ............= ............... วธ นนเอง

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

19



3. โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ และลกเตา 1 ลก พรอมกนจ านวนหนงครง จงเขยนแผนภาพตนไม แสดงผลลพธทจะเกดไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ........................ ................................................................................................................................. ........................ หาผลลพธทจะเกดไดทงหมดโดยใชแผนภาพตนไม ดงน หนาของเหรยญ แตมบนลกเตา ผลลพธทงหมด จากแผนภาพจะเหนวา โยนเหรยญบาท 1 เหรยญพรอมกบลกเตา 1 ลก พรอมกนจ านวนหนงครง ไดทงหมด ......................................วธ ซงเทากบจ านวนหนาของเหรยญ................... หนา คณ ดวยจ านวนแตมของลกเตา...................แบบ หรอเทากบ............... ...............= ............... วธ นนเอง

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

20



4. โรงเรยนโพธสารพทยากรจดชดอาหารกลางวน โดยจดอาหารคาวไว 2 ชนดทแตกตางกน ขนม 3 ชนด ทแตกตางกน และน าดม 2 ชนดทแตกตางกน โดยใหนกเรยนเลอกอาหารคาว ขนม และน าดม ไดอยางละหนงชนด นกเรยนจะมวธเลอกชดอาหารกลางวนไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ........................ ......................................................................................................................................................... หาผลลพธทนกเรยนจะมวธเลอกชดอาหารกลางวนโดยใชแผนภาพตนไม ดงน อาหารคาว ขนม น าดม ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพจะเหนวา นกเรยนจะมวธเลอกชดอาหารกลางวนไดทงหมด ......................................วธ ซงเทากบจ านวนอาหารคาว...................ชนด คณ ดวยจ านวนขนม...................ชนด คณ ดวยจ านวนน าดม...................ชนด หรอเทากบ............... ............... ...............= ...............วธ นนเอง

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

…………………...

21



5. ในการโยนเหรยญบาทหนงเหรยญ 4 ครงเมอมกตกาวา ถาโยนเหรยญสองครงตดกนแลวเหรยญหงาย เปนหนา เดยวกนใหหยดโยน หรอโยนครบส คร งจ ง หยดโยน จงเขยนแผนภาพตนไมแสดง วธการโยนไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ........................ ครงท 1 ครงท 2 ครงท 3 ครงท 4

จากแผนภาพจะเหนวา มวธการโยนไดทงหมดไดทงหมด ......................................วธ

แผนภาพตนไมไมยากใชไหมคะ เราลองไปท าแบบฝกทกษะรายบคคลกนดกวา

22



ชอนกเรยน....................................................................ชน ม.5/.........เลขท.............. กลมท............เลขทในกลม.............

ค าชแจง จงใชกฎการคณตอบค าถามตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอละ 2 คะแนน 1. นกเรยนคนหนงจะตองเลอกเรยนกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลาร จากวชาคณตศาสตร ภาษาไทย

และภาษาองกฤษอยางละ 1 กจกรรม ถาโรงเรยนเปดกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลารวชาคณตศาสตรจ านวน 2 กจกรรม วชาภาษาไทยจ านวน 3 กจกรรม และวชาภาษาองกฤษจ านวน 3 กจกรรม นกเรยนคนนจะเลอกเรยนกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลารอยางละ 1 กจกรรมไดแตกตางกนทงหมดกวธ (2 คะแนน) วธท า สมมตให ......................................................................................................................... .................. ............................................................................................................................. ............................

แผนภาพตนไม วชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย วชาภาษาองกฤษ

ดงนน จ านวนวธทนกเรยนจะเลอกกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลาร ไดแตกตางกน....................วธ ซงเทากบวชาคณตศาสตรจ านวน....................กจกรรม คณ ดวยวชาภาษาไทยจ านวน ........................กจกรรม คณ ดวยวชาภาษาองกฤษจ านวน ..................กจกรรม หรอเทากบ....... ....... ......= .......วธ นนเอง


ฉบบรายบคคล

10

23



2. กลองใบหนงมบตร 3 ใบ โดยมตวอกษร B, T และ S อยางละใบ มานะตองการน าบตรอกษรดงกลาวมาเรยงสามใบ โดยไมค านงถงความหมายของค าทเรยง ไดทงหมดกแบบ อะไรบาง (2 คะแนน) วธท า สมมตให .................................................................................................................... ....................... ............................................................................................................................. ............................

แผนภาพตนไม บตรใบท 1 บตรใบท 2 บตรใบท 3

ดงนน จ านวนวธทมานะน าบตรมาเรยงสามใบโดยไมค านงถงความหมายไดทงหมด......................วธ ซงเทากบจ านวน บตรใบท 1 เลอกได..............ใบ คณ ดวยจ านวนบตรใบท 2 เลอกได ................ ใบ คณ จ านวนบตรใบท 3 เลอกได ............. ใบ หรอเทากบ ....... ....... ...... = ....... วธ นนเอง

24



3. จากเมอง ก ไปยงเมอง ข มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ รถยนต รถต และรถไฟ

จากเมอง ข ไป เมอง ค มเสนทางการเดนทางได 2 วธ คอ เครองบนและเรอ จงหาจ านวนวธทจะเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยตองผานเมอง ข (2 คะแนน) วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... .................................................................................................................. .......................................

แผนภาพตนไม

ดงนน จ านวนวธทจะเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยตองผานเมอง ข ได..........................วธ ซงเทากบจ านวนวธเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ข.............วธ คณ ดวยจ านวนวธเดนทางจากเมอง ข ไป เมอง ค................ วธหรอเทากบ ....... ....... = ....... วธ นนเอง

25



4. ในการเลนเปายงชบ มผเลน 2 คน แตละคนจะออกมอแทนสงใดสงหนงใน 3 สงตอไปน คอ

ฆอน กรรไกร และกระดาษ จงหาจ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดในการเลนเปายงชบ (2 คะแนน) วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... .................................................................................................................. .......................................


ดงนน จ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดในการเลนเปายงชบ..........................วธ ซงเทากบจ านวนวธผเลนคนท 1 สามารถออกมอได .............วธ คณ ดวยจ านวนวธผเลนคนท 2 สามารถออกมอได................ วธ หรอเทากบ ....... ....... = ....... วธ นนเอง

26



5. ในการแขงขนลลาศของนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากร ประกอบดวยทมสมวง ทมสแดง

ทมสเขยวและทมสเหลอง โดยการแขงขนในครงนเปนการแขงขนแบบพบกนทกทม จงหาจ านวนวธทงหมดทเปนไปไดในการแขงขนครงน (2 คะแนน) วธท า สมมตให ........................................................................................................................................... .................................................................................................................. .......................................

แผนภาพตนไม ดงนน จ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดในการแขงขนลลาศแบบพบกนทกทม

........................................ วธ

คณตศาสตรยงฝกท า ยงแมนย านะคะ

อยากท าได ตองยงฝกฝน

27



กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ในชวตประจ าวนเรามกจะพบปญหาเกยวกบการนบจ านวนวธทงหมดทเหตการณอยางใดอยางหนง

จะเปนไปได หรอจ านวนวธในการจดชดของสงตางๆ เชน การจดการแขงขนกฬา การจดชดเสอผา การจดชดอาหาร เปนตน การค านวณเพอหาค าตอบส าหรบปญหาประเภทตางๆดงกลาว จะท าไดงายและสะดวกรวดเรวขนถาเขาใจกฎเกณฑบางขอ ซงเรยกวา หลกมลฐานเกยวกบการนบ

จากการนบจ านวนวธ โดยใชแผนภาพตนไมทแตกกงอยางเปนระเบยบสามารถ สรปกฎการนบเบองตนไดดงน

ตวอยางท 1 มถนนจากนครสวรรคถงสระบร 3 สาย และมถนนจากสระบร ถงนครราชสมาอย 4 สาย แทนคณขบรถยนตจากนครสวรรคไปนครราชสมาโดยตองขบผานสระบร แทนคณมวธเลอกเสนทางไดกวธ

วธท า ขนตอนท 1 สามารถเลอกถนนจากนครสวรรคถงสระบรได 3 วธ ขนตอนท 2 ในแตละวธของขนตอนท 1 สามารถเลอกถนนจากสระบรถง นครราชสมาอย 4 วธ ดงนน แทนคณขบรถยนตจากนครสวรรคไปนครราชสมาโดยตองขบผานสระบร ไดผลลพธทงหมด 34 = 12 วธ

กฎการคณขอท 1 ถ า ต อ ง ก า ร ท า ง า น ส อ ง อย า ง โ ด ย ท ง า น อย า ง แ ร ก ท า ไ ด n1 ว ธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน มวธทจะท างานอยางทสองได n2 วธ จะท างานทงสองอยางนได n1n2 วธ

ใบความรท 1.2 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ)

28



เมอขยายกฎขอท 1 จะไดกฎเกณฑทวไปส าหรบการค านวณจ านวนวธทงหมดส าหรบ การท างาน k ขนตอนตอเนองกน ดงน

ตวอยางท 3 มนก 2 ตว และตนไมใหญ 5 ตน จงหาจ านวนวธทนก 2 ตว บนไปเกาะตนไม 5 ตนน วธท า ขนตอนท 1 นกตวท 1 สามารถเลอกเกาะตนไมได 5 วธ ขนตอนท 2 ในแตละวธทนกตวท 1 เลอกเกาะตนไมได นกตวท 2 เลอกเกาะตนไมได 5 วธ ดงนน นก 2 ตว บนไปเกาะตนไม 5 ตน ไดผลลพธทงหมด 55 = 25 วธ

ตวอยางท 2 ในการทอดลกเตา 1 ลก จ านวน 2 ครง ไดผลลพธทงหมดกวธ วธท า ในการทอดลกเตาแตละลก จะเกดแตมตางๆกน ดงน 1, 2, 3, 4, 5, 6 ขนตอนท 1 ผลทไดจากการทอดลกเตาครงท 1 ม 6 วธ ขนตอนท 2 ในแตละวธของขนตอนท 1 จะเกดผลในการทอดลกเตาครงท 2 ได 6 วธ ดงนน การทอดลกเตา 1 ลก จ านวน 2 ครง ไดผลลพธทงหมด 66 = 36 วธ

กฎการคณขอท 2 ขนตอนทหนงมวธการท างานได n1 วธ ในแตละวธของขนตอนทหนงมวธการเลอกท างานขนตอนทสองได n2 วธ ในแตละวธทท างานขนตอนทหนงและขนตอนทสองมวธเลอกท างานขนตอนทสามได n3 วธ เชนนเรอยไปจนถงขนตอนสดทาย คอ ขนตอนท k เลอกท างานได nk วธ

ดงนน จ านวนวธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยางตอเนองกน เทากบ n1n2…nk วธ

นกเรยนเขาใจกฎการคณแลว ไปศกษาวธการค านวณจาก

ตวอยางกนดกวา

29



ตวอยางท 4 ในการท าปายชอสตาฟคายคณตศาสตรมใหเลอกได 5 แบบ แตละแบบม 7 ส และแตละสม 2 ขนาด จะท าปายชอสตาฟทครบทกแบบ ส และขนาดทไดทงหมดกปาย วธท า ขนตอนท 1 ปายชอสตาฟมใหเลอกได 5 แบบ ขนตอนท 2 ปายชอสตาฟแตละแบบม 7 ส ขนตอนท 3 ปายชอสตาฟแตละสม 2 ขนาด ดงนน ปายชอสตาฟทครบทกแบบ ส และขนาดไดผลลพธทงหมด 572 = 70 ปาย

ตวอยางท 5 มแผนปาย 4 แผน แตละแผนเขยนตวเลข 1 , 4 , 6 , 9 ก ากบอย แผนปายละ 1 หมายเลข ตองการน าแผนปายมาเรยงจ านวน 3 แผนใหเกดเลข 3 หลกไดกวธ วธท า ขนตอนท 1 เลอกแผนปายแผนท 1 ได 4 วธ ขนตอนท 2 เลอกแผนปายแผนท 2 ได 3 วธ ขนตอนท 3 เลอกแผนปายแผนท 3 ได 2 วธ ดงนน น าแผนปายมาเรยงใหเกดเลข 3 หลก ไดผลลพธทงหมด 432 = 24 วธ

ตวอยางท 6 ตองการสรางค าทประกอบดวยอกษรตางกน 4 ตวทแตกตางกน และเลอกตวอกษรมาจากค าวา PROBABILITY จะสรางค าไดทงหมดโดยไมค านงถงความหมายไดกวธ วธท า ตวอกษร 4 ตว เปนตวใดกไดจากค าวา PROBABILITY มตวอกษรจ านวน 11 ตว คอ P 1 ตว, R 1 ตว, O 1 ตว, B 2 ตว, A 1 ตว, I 2 ตว, L 1 ตว, T 1 ตว และ Y 1 ตว ตองการสรางค าทประกอบดวยอกษรตางกน 4 ตว จากตวอกษร 9 ตว ไดแก P, R, O, B, A, I, L, T และ Y ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรต าแหนงท 1 ได 9 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรต าแหนงท 2 ได 8 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรต าแหนงท 3 ได 7 วธ ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรต าแหนงท 4 ได 6 วธ ดงนน สรางค าไดทงหมดโดยไมค านงถงความหมาย ไดผลลพธทงหมด 987 x 6 = 3,024 วธ

30





1. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 หอง 4 หองหนงมนกเรยน 40 คน ตองการเลอกหวหนาหอง รองหวหนา และเหรญญกต าแหนงละคน จะมวธเลอกทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 ต าแหนงหวหนาหองสามารถเลอกได .................................... วธ ขนตอนท 2 ต าแหนงรองหวหนาหองสามารถเลอกได .................................... วธ ขนตอนท 3 ต าแหนงเหรญญกสามารถเลอกได .................................... วธ ดงนน จ านวนวธเลอกหวหนาหอง รองหวหนา และเหรญญกไดทงหมด...........................................วธ

2. กลองใบหนงมบตรอย 6 ใบ โดยทแตละใบมหมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 เขยนก ากบอย หมายเลขละ 1 ใบ อยากทราบวาจะน าบตรมาวางเรยงกนเปนเลขสามหลกไดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 เลอกบตรใบท 1 ได ......................................................วธ ขนตอนท 2 เลอกบตรใบท 2 ได ......................................................วธ ขนตอนท 3 เลอกบตรใบท 3 ได ......................................................วธ

ดงนน จ านวนวธในการน าบตรมาวางเรยงกนเปนเลขสามหลกไดทงหมด...................................................วธ

3. ถาน าตวอกษรจากค าวา POTISARN มาสรางเปนค าใหมซงประกอบดวย 4 ตวอกษรทแตกตางกน โดยไมสนใจความหมายไดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรต าแหนงท 1 ได ......................................................วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรต าแหนงท 2 ได ......................................................วธ ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรต าแหนงท 3 ได ......................................................วธ ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรต าแหนงท 4 ได ......................................................วธ ดงนน จ านวนวธสรางค าใหม ไดผลลพธทงหมด.........................................................................................วธ

แบบฝกทกษะท 1.2 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ)

ฉบบกลม

10

31



4. มจดหมายทแตกตางกน 3 ฉบบ และมตไปรษณยทแตกตางกน 4 ต จะมวธหยบจดหมายใสลงในตไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 สามารถหยบจดหมายฉบบท 1 ใสลงในตไปรษณยได .........................................วธ ขนตอนท 2 สามารถหยบจดหมายฉบบท 2 ใสลงในตไปรษณยได .........................................วธ ขนตอนท 3 สามารถหยบจดหมายฉบบท 3 ใสลงในตไปรษณยได .........................................วธ ดงนน จ านวนวธในการหยบจดหมายใสลงในต ไดผลลพธทงหมด............................................................วธ

5. ขอสอบฉบบหนงมจ านวน 10 ขอ เปนขอสอบประเภทถกผด มานะจะมวธตอบขอสอบฉบบนไดกวธ เมอท าขอสอบครบทกขอ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 เลอกตอบขอสอบขอท 1 ได ......................................................วธ ขนตอนท 2 เลอกตอบขอสอบขอท 2 ได ......................................................วธ

ขนตอนท 10 เลอกตอบขอสอบขอท 10 ได ......................................................วธ ดงนน จ านวนวธตอบขอสอบฉบบน ไดทงหมด.......................................................................................วธ

. .

. .

. .

ถาเพอนๆในกลมเราเขาใจแลว ลองไปท าแบบฝกทกษะท 1.2

(ฉบบรายบคคล ) กนดกวา

32




ค าชแจง จงใชกฎการคณตอบค าถามตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอละ 2 คะแนน 1. หอประชมแหงหนงมประตเขา – ออก 5 ประต อยากทราบวามานะจะเขาและออกจากหอประชม

ตามประตตางๆไดกวธ โดยมเงอนไขวา 1.1 เขาและออกจากหอประชมโดยเขาประตใดตองออกประตนน (1 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 มานะสามารถเลอกประตเขาได ……………………….………วธ ขนตอนท 2 มานะสามารถเลอกประตออกได ……………………….………วธ ดงนน มานะจะเขาและออกโดยเขาประตใดตองออกประตนน ไดทงหมด……………………….………วธ

1.2 เขาและออกจากหอประชมโดยใชประตไมซ ากบประตทเขามา (1 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 มานะสามารถเลอกประตเขาได ……………………….………วธ ขนตอนท 2 มานะสามารถเลอกประตออกได ……………………….………วธ ดงนน มานะจะเขาและออกโดยใชประตไมซ ากบประตทเขามา ไดทงหมด……………………….……วธ

2. หมายเลขโทรศพทมอถอประกอบดวยเลข 10 ตว โดยขนตนสามตวแรกดวย 087 จงหาจ านวนหมายเลขโทรศพททเปนไปได (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 ขนตนสามตวแรกดวย 087 สามารถเลอกได ……………………….………วธ ขนตอนท 2 สามารถเลอกหมายเลขตวท 4 ได ……………………….………วธ ขนตอนท 3 สามารถเลอกหมายเลขตวท 5 ได ……………………….………วธ ขนตอนท 4 สามารถเลอกหมายเลขตวท 6 ได ……………………….………วธ ขนตอนท 5 สามารถเลอกหมายเลขตวท 7 ได ……………………….………วธ ขนตอนท 6 สามารถเลอกหมายเลขตวท 8 ได ……………………….………วธ ขนตอนท 7 สามารถเลอกหมายเลขตวท 9 ได ……………………….………วธ ขนตอนท 8 สามารถเลอกหมายเลขตวท 10 ได ……………………….………วธ ดงนน จ านวนหมายเลขโทรศพททเปนไปไดทงหมด……………………….……………………………….……… = ……………………….………หมายเลข

แบบฝกทกษะท 1.2

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ)


10

ความตงใจในวนน คอ ความส าเรจในวนหนา

33



3. ขอสอบวชาคณตศาสตรฉบบหนงม 5 ขอ เปนขอสอบประเภท 4 ตวเลอก ถานกเรยนคนหนง ท าขอสอบฉบบนทกขอ จงหาจ านวนวธทงหมดทจะตอบขอสอบฉบบน (2 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………….…………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………………………………….……………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….……………………………………

4. จากตวเลข 1, 2, 3, 4, 5 จะสรางจ านวนคบวก 4 หลกโดยไมใชตวเลขซ ากนไดกจ านวน (2 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………….……………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………………………………….……………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. ทาเรอศรราชมเรอโดยสารขามฝากระหวางทาเรอศรราชกบทาชาง 2 ขนาด คอ เรอขนาดใหญ

3 ล า และเรอขนาดเลก 2 ล า ถาวารตองการขนเรอขามฟากจากทาเรอศรราชกบทาชาง ไปและกลบไดกวธ เมอ 5.1 ไปและกลบดวยเรอขนาดเลก (1 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………….…………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….…………………………………… 5.2 ไปดวยเรอขนาดเลกหรอใหญกไดแตตองกลบดวยเรอขนาดใหญทานน (1 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………….…………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….……………………………………

34



ในการค านวณหาผลลพธทงหมดโดยใชกฎการคณนน โจทยอาจจะมการก าหนดเงอนไข ทมความซบซอนมากขน ใหนกเรยนพจารณาตวอยางตอไปน

ใบความรท 1.3 กฎการคณ (ตอ)

ตวอยางท 1 บรษไปรษณยตองการใสจดหมาย 5 ฉบบทแตกตางกนลงในตไปรษณย

จ านวน 6 ต จงหาจ านวนวธทบรษไปรษณยจะใสจดหมายลงในต

1.1 เมอจดหมายแตละฉบบใสไมซ าตกน

วธท า ขนตอนท 1 จดหมายฉบบท 1 สามารถเลอกใสตได 6 ต ขนตอนท 2 จดหมายฉบบท 2 สามารถเลอกใสตได 5 ต ขนตอนท 3 จดหมายฉบบท 3 สามารถเลอกใสตได 4 ต ขนตอนท 4 จดหมายฉบบท 4 สามารถเลอกใสตได 3 ต ขนตอนท 5 จดหมายฉบบท 5 สามารถเลอกใสตได 2 ต ดงนน จะใสจดหมายลงในตโดยไมซ าตกนไดผลลพธทงหมด 65 x 4 x 3 x 2 =720 วธ

เราสามารถเขยนแสดงวธท าอยางรวดเรวไดดงน

หรอ วธท า ฉบบท 1 ฉบบท 2 ฉบบท 3 ฉบบท 4 ฉบบท 5

จ านวนวธ = x x x x

= 720 วธ

1.2 เมอจดหมายทกฉบบตองใสตเดยวกน

วธท า ฉบบท 1 ฉบบท 2 ฉบบท 3 ฉบบท 4 ฉบบท 5

จ านวนวธ = x x x x

= 6 วธ

6 5 4 3 2

6 1 1 1 1

35



ตวอยางท 2 จากเลขโดด 1 - 9 จะมวธสรางเลข 4 หลกไดกวธ 2.1 เมอเปนจ านวนคบวกทม 4 หลก โดยใชเลขโดดซ ากนได วธท า ขนตอนท 1 หลกพนสามารถเลอกเลขโดด 1 – 9 ได 9 วธ ขนตอนท 2 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดด 1 – 9 ได 9 วธ ขนตอนท 3 หลกสบสามารถเลอกเลขโดด 1 – 9 ได 9 วธ ขนตอนท 4 หลกหนวยสามารถเลอกเลขค 2,4,6,8 ได 4 วธ ดงนน จะสรางจ านวนไดทงหมด 99 x 9 x 4 = 2,916 วธ

เราสามารถเขยนแสดงวธท าอยางรวดเรวไดดงน หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย(จ านวนค)

1 - 9 1 – 9 1 – 9 2, 4, 6, 8

จ านวนวธ = x x x

= 2,916 วธ

2.2 เมอเปนจ านวนคบวกทม 4 หลก โดยไมใชเลขโดดซ ากน วธท า ขนตอนท 1 หลกหนวยสามารถเลอกเลขค 2,4,6,8 ได 4 วธ ขนตอนท 2 หลกพนสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวยได 8 วธ ขนตอนท 3 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวย และหลกพน ได 7 วธ ขนตอนท 4 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวย หลกพน และหลกรอยได 6 วธ ดงนน จะสรางจ านวนไดทงหมด 8 7 x 6 x 4 = 1,344 วธ

เราสามารถเขยนแสดงวธท าอยางรวดเรวไดดงน หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย (จ านวนค)

2,4,6,8


= 1,344 วธ 2.3 เมอเปนจ านวนคบวก 4 หลกทมคามากกวา 5,000 วธท า หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย (จ านวนค) 5,6,7,8,9 1 - 9 1 - 9 1,3,5,7,9


= 2,025 วธ

9 9 9 4

8 7 6 4

5 9 9 5

36



ตวอยางท 3 โรงเรยนโพธสารพทยากรมการก าหนดรหสประจ าตวนกเรยน ซงประกอบดวยชอยอโรงเรยน และเลขโดด 4 ตวทไมเปน 0 พรอมกนทง 4 ตว ตวอยางเชน พ.ส. 2187 อยากทราบวารหสประจ าตวนกเรยนจะมไดทงหมดจ านวนกรหส

3.1 รหสประจ าตวนกเรยนตองไมมเลขโดดทซ ากน

วธท า ขนตอนท 1 ชอยอโรงเรยน พ.ส. สามารถเลอกได 1 วธ ขนตอนท 2 ตวเลขในหลกพนสามารถเลอกเลขโดด 0 – 9 ได 10 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขในหลกรอยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกพนได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขในหลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหลกพนและ หลกรอยได 8 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขในหลกหนวยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหลกพน หลกรอยและหลกสบได 7 วธ ดงนน จะสรางรหสประจ าตวนกเรยนไดทงหมด 110 x 9 x 8 x 7 = 5,040 รหส

เราสามารถเขยนแสดงวธท าอยางรวดเรวไดดงน ชอยอโรงเรยน เลขโดด เลขโดด เลขโดด เลขโดด

จ านวนวธในการก าหนดรหส = x x x x

= 5,040 รหส

3.2 รหสประจ าตวนกเรยนตองมเลขโดดทซ ากนได วธท า ชอยอโรงเรยน เลขโดด เลขโดด เลขโดด เลขโดด พ.ส. 0 – 9 0 – 9 0 – 9 0 - 9 จ านวนวธในการก าหนดรหส = x x x x

= 10,000 รหส

เนองจาก โจทยก าหนดใหเลขโดด 4 ตวทไมเปน 0 พรอมกนทง 4 ตว ดงนนจงตองลบกรณทรหสเปน พ.ส. 0000 ออกไป 1 รหส ดงนน รหสประจ าตวนกเรยนจะมไดทงหมด = 10,000 – 1 = 9,999 รหส

1 10 10 10 10

1 10 9 8 7

37



ชนมธยมศกษาปท 5 /............... กลมท ............ ค าชแจง ใหสมาชกทกคนภายในกลมชวยกนพจารณาสถานการณตางๆตอไปนพรอมตอบค าถาม ใหถกตองสมบรณ ขอละ 2.5 คะแนน

กฎการคณ (ตอ)

แบบฝกทกษะท 1.3 ฉบบกลม

10

1. โรงเรยนแหงหนง ก าหนดรหสประจ าตวนกเรยน โดยทแตละรหสประกอบดวยตวอกษรภาษาองกฤษ 2 ตว ตามดวยเลขโดด 4 ตว ซงไมเปนศนยพรอมกน โดยทรหสประจ าตวนกเรยนไมมตวอกษรซ ากนและไมมเลขโดดซ ากน

วธท า ขนตอนท 1 ตวอกษรภาษาองกฤษตวแรก สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 2 ตวอกษรภาษาองกฤษอกตวหนง สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 3 เลขโดดตวแรกสามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 4 เลขโดดตวทสองสามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 5 เลขโดดตวทสามสามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 6 เลขโดดตวทสสามารถเลอกได ……….. วธ ดงนน รหสประจ าตวนกเรยนไมมตวอกษรซ ากนและไมมเลขโดดซ ากนเทากบ ........…………………………..........…………………………..........………………………………………………….. ตอบ รหสประจ าตวนกเรยนไมมตวอกษรซ ากนและไมมเลขโดดซ ากนเทากบ…………..รหส

2. ในกระเปาของเดกหญงชใจมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม และหนงสอเคม 2 เลม โดยท

หนงสอแตละเลมไมเหมอนกน ตองการจดหนงสอทงหมดบนชนหนงสอเดยวกน ไดกวธ เมอชใจตองการวางสลบทละ 1 เลม วธท า ในการจดหนงสอทงหมดบนชนหนงสอเดยวกนหนงสอเลมแรกตองเปน วชา………………….เทานน เพราะ ………………………..........………………………………........ ขนตอนท 1 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 1 สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 2 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 2 สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 3 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 3 สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 4 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 4 สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 5 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 5 สามารถเลอกได ……….. วธ

38



2. (ตอ) ดงนน ชใจตองการวางสลบทละ 1 เลม เทากบ ........…………………………......…………......……… ตอบ ชใจตองการวางสลบทละ 1 เลมบนชนหนงสอเดยวกนได ………….. วธ

3. ฝงชางปาฝงหนงมชางจ านวน 6 ตว ก าลงมงหนาเดนกลบปาโดยมเสนทางใหเลอกได 4 เสนทาง โดยมเงอนไขวาถาหวหนาฝงเลอกเสนทางใดแลว ชางตวอนๆหามใชเสนทางเดยวกน จงหาจ านวนวธในการพาฝงชางกลบปา

วธท า ขนตอนท 1 ชางหวหนาฝง สามารถเลอกเสนทางได ……….. วธ ขนตอนท 2 ชางตวท 1 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได ……….. วธ ขนตอนท 3 ชางตวท 2 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได ……….. วธ ขนตอนท 4 ชางตวท 3 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได ……….. วธ ขนตอนท 5 ชางตวท 4 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได ……….. วธ ขนตอนท 6 ชางตวท 5 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได ……….. วธ ดงนน จ านวนวธในการพาฝงชางกลบปาเทากบ ........……………………………………..........……. ตอบ จ านวนวธในการพาฝงชางกลบปาเทากบ…………..วธ

4. ในการสรางจ านวน 4 หลก จากเลขโดด 1 – 9 โดยทแตละหลกไมซ ากนและเปน จ านวนท 5 หารลงตวไดกจ านวน

วธท า ขนตอนท 1 ในการสรางจ านวน 4 หลก ท 5 หารลงตว ตองพจารณาจากหลกหนวยสามารถเลอกจากเลข ................... คดเปน ………วธ ขนตอนท 2 การเลอกเลขโดดในหลกสบ สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 3 การเลอกเลขโดดในหลกรอย สามารถเลอกได ……….. วธ ขนตอนท 4 การเลอกเลขโดดในหลกพน สามารถเลอกได ……….. วธ ดงนน จ านวนวธในสรางจ านวน 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนและเปนจ านวนท 5 หารลงตวไดเทากบ ........…………………………..........…………........………………..........……..…….……..........……. ตอบ จ านวนวธในการสรางจ านวน เทากบ…………..วธ

39



ชอนกเรยน...................................................................ชน ม.5/.........เลขท..............

กลมท............เลขทในกลม............. ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาสถานการณตางๆตอไปนพรอมตอบค าถามใหถกตองสมบรณ

ขอละ 2.5 คะแนน

1. ตองการจดเรยงตวอกษรจากค าวา MANGO จะมวธการเรยงเปนค าใหมไดกวธ เมอก าหนดใหตวแรกเปนพยญชนะและตวสดทายเปนสระ(ไมค านงถงความหมาย) วธท า จากค าวา MANGO ตวอกษรทเปนพยญชนะม ......... ตว ไดแก ........................... และตวอกษรทเปนสระม ......... ตว ไดแก ........................... ในการจดเรยงตวอกษรตวแรกเปนพยญชนะสามารถเลอกได ……….. วธ ตวอกษรตวสดทายเปนสระ สามารถเลอกได ……….. วธ

เราจะเรยงตวอกษรเปนค าใหมไดเทากบ ........ x ……… x ……. x …….. x ……… = …………………………. วธ

ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………..

2. นกเรยนในโรงเรยนโพธสารพทยากรตองการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนประกอบดวย ประธานนกเรยน 1 ต าแหนง รองประธานนกเรยน 1 ต าแหนง และเลอกเลขานการ 1 ต าแหนง ถามผสมครรบเลอกตงเปนเปนผชาย 7 คน และเปนผหญง 9 คน จงหาจ านวนวธในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนเมอประธานนกเรยนตองเปนผชายเทานน

วธท า ในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนมทงหมด ........... ต าแหนง จากเงอนไขวาประธานนกเรยนตองเปนผชายสามารถเลอกได ……….. วธ รองประธานนกเรยนสามารถเลอกได ……….. วธ เลขานการสามารถเลอกได ……….. วธ ดงนน จ านวนวธในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนทากบ…………………

= ………………… วธ ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….


กฎการคณ (ตอ) ฉบบรายบคคล

10

40



5. กระเปาเดนทางใบหนง ใชกญแจทมรหสมเลข 3 หลก แตละหลกหมนไดตงแต 0 - 9 ถาสามารถตงรหสกญแจเปดกระเปาไดไวเพยงวธเดยวเทานน แลวจ านวนวธตง รหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมไดเปนเทาใด

วธท า จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทเปนไปไดทงหมด การเลอกเลขโดดในหลกท 1 สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกเลขโดดในหลกท 2 สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกเลขโดดในหลกท 3 สามารถเลอกได ……….. วธ รหสกญแจทเปนไปไดทงหมด……………………………………………………………………….วธ รหสกญแจเปดกระเปาไดไวเพยงวธเดยว……………………………………………………….วธ ดงนน จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมได………………………………. ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………….

3. ทอดลกเตาสามลกพรอมกน จงหาจ านวนวธการขนหนาของลกเตาสามลกเมอลกเตาทงสามลกขนแตมตางกน

วธท า ลกเตามทงหมด ..........หนา ไดแก ……………………….………………………….……… เมอทอดลกเตาสามลกพรอมกน ลกท 1 สามารถขนแตมได ……….. วธ ลกท 2 สามารถขนแตมได ……….. วธ และลกท 3 สามารถขนแตมได ……….. วธ ดงนน ทอดลกเตาสามลกพรอมกนลกเตาทงสามลกขนแตมตางกนเทากบ................. ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………...…

4. ในการสรางจ านวนคบวก 4 หลก ทมคามากกวา 3,000 แตนอยกวา 7,000 ไดกจ านวน เมอใชเลขซ ากนได

วธท า ในการสรางจ านวนคบวก 4 หลก ทมคามากกวา 3,000 แตนอยกวา 7,000 เมอพจารณาหลกพนสามารถเลอกได ……….. วธ นนคอ ............................. การเลอกเลขโดดในหลกรอย สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกเลขโดดในหลกสบ สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกเลขโดดในหลกหนวย สามารถเลอกได ……….. วธ ดงนน …………………………………………………………………………..…………………………………. ตอบ …………………………………………………………………………….……………………………….

ไมมสงใด ยากเกน

ความตงใจ

41



กฎการบวก ในการท างานอยางหนง ถาสามารถแบงวธการท างานออกเปน k กรณ (โดยในแตละกรณท างานไดส าเรจโดยมขนตอนไมตอเนองกบกรณอน)

กรณท 1 มวธการท างานได n1 วธ กรณท 2 มวธการท างานได n2 วธ กรณท 3 มวธการท างานได n3 วธ

กรณท k มวธการท างานได nk วธ

ดงนน จ านวนวธการท างานทงหมด n1 + n2 + n3 +…+ nk วธ

.

.

.

.

.

.

ใบความรท 1.4 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการบวก)

ตวอยางท 1 ในงานลลาศของนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากรมอาหารใหเลอกรบประทาน 2 ประเภท ไดแก อาหารคาว 6 ชนดทแตกตางกน ของหวาน 4 ชนดทแตกตางกน จงหาจ านวนวธทนกเรยนคนหนงตองการรบประทานอาหารคาวหรอของหวานชนดใดชนดหนง เพยงชนดเดยว

วธท า กรณท 1 สามารถเลอกอาหารคาวทแตกตางกน ได 6 วธ กรณท 2 สามารถเลอกของหวานทแตกตางกน ได 4 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการเลอกรบประทาน 6 + 4 = 10 วธ

42



ตวอยางท 3 ตองการสรางจ านวนทม 3 หลกจากเลขโดด 0 ถง 9 โดยทแตละหลกใชเลขโดด ไมซ ากนและมคามากกวา 800 แตนอยกวา 950 จะสรางไดทงหมดกจ านวน

วธท า กรณท 1 เลขโดดในหลกรอยเปนเลข 8 ขนตอนท 1 หลกรอย สามารถเลอกเลขโดด ได 1 วธ (เลอกจาก 8 ) ขนตอนท 2 หลกสบ สามารถเลอกเลขโดดได 9 วธ (เลอกจากเลขโดด 0 ถง 9 ยกเวน 8) ขนตอนท 3 หลกหนวย สามารถเลอกเลขโดดได 8 วธ (เลอกจากเลขโดด 0 ถง 9 ยกเวน 8 และเลขโดดทใชในหลกสบ) จะไดวา ในกรณท 1 สรางจ านวนมคามากกวา 800 แตนอยกวา 950 ไดทงหมด 1 x 9 x 8 = 72 จ านวน

กรณท 2 เลขโดดในหลกรอยเปนเลข 9 ขนตอนท 1 หลกรอย สามารถเลอกเลขโดด ได 1 วธ (เลอกจาก 9 ) ขนตอนท 2 หลกสบ สามารถเลอกเลขโดดได 5 วธ (เลอกจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 ) ขนตอนท 3 หลกหนวย สามารถเลอกเลขโดดได 8 วธ (เลอกจากเลขโดด 0 ถง 9 ยกเวน 9 และเลขโดดทใชในหลกสบ) จะไดวา ในกรณท 2 สรางจ านวนมคามากกวา 800 แตนอยกวา 950 ไดทงหมด 1 x 5 x 8 = 40 จ านวน

ดงนน สรางจ านวนมคามากกวา 800 แตนอยกวา 950 ไดทงหมด 72 + 40 = 112 จ านวน

ตวอยางท 2 ในการพานกเรยนไปทศนศกษาแหลงเรยนรสามารถเลอกไดเพยงทเดยวเทานน ถาเดนทางไปภาคเหนอมแหลงเรยนรใหเลอกได 3 แหง ภาคตะวนออกมแหลงเรยนรใหเลอกได 5 แหง ภาคตะวนตกมมแหลงเรยนรใหเลอกได 4 แหง และภาคใตมแหลงเรยนรใหเลอกได 3 แหง จงหาจ านวนวธในการเลอกแหลงเรยนรในการไปทศนศกษาในครงน วธท า กรณท 1 สามารถเลอกแหลงเรยนรในภาคเหนอ ได 3 วธ กรณท 2 สามารถเลอกแหลงเรยนรในภาคตะวนออก ได 5 วธ กรณท 3 สามารถเลอกแหลงเรยนรในภาคตะวนตก ได 4 วธ กรณท 4 สามารถเลอกแหลงเรยนรในภาคใตได 3 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการเลอกแหลงเรยนรในการไปทศนศกษา 3 + 5 + 4 + 3 = 15 วธ

แนวคด การสรางจ านวนทม 3 หลก ตองพจารณาหลกรอยกอนเนองจากมการก าหนดคามากกวา 800 แตนอยกวา 950 ดงนนสามารถเลอกเลขโดดในหลกรอย ได 2 วธ คอ 8 และ 9 จงสามารถแบงเปน 2 กรณ ดงน

43



ตวอยางท 4 ตองการจดเรยงตวอกษรจากค าวา POTISARN โดยไมสนใจความหมาย จะมวธการสรางค าไดทงหมดกวธ เมอค าทสรางตองขนตนและลงทายดวยพยญชนะหรอสระ

วธท า กรณท 1 ขนตนและลงทายดวยพยญชนะ (พจารณาต าแหนงท 1 และ 8 กอน) ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 1 จากพยญชนะ ได 5 วธ

ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 8 จากพยญชนะ ได 4 วธ (ไมซ ากบต าแหนงท1) ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 3 จากตวอกษรทเหลอ ได 6 วธ ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 4 จากตวอกษรทเหลอ ได 5 วธ ขนตอนท 5 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 5 จากตวอกษรทเหลอ ได 4 วธ ขนตอนท 6 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 6 จากตวอกษรทเหลอ ได 3 วธ ขนตอนท 7 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 7 จากตวอกษรทเหลอ ได 2 วธ ขนตอนท 8 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 8 จากตวอกษรทเหลอ ได 1 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางค าขนตนและลงทายดวยพยญชนะ ไดทงหมด 5 x 4 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 14,400 วธ

กรณท 2 ขนตนและลงทายดวยสระ (พจารณาต าแหนงท 1 และ 8 กอน) ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 1 จากสระ ได 3 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 8 จากสระ ได 2 วธ (ไมซ ากบต าแหนงท1) ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 3 จากตวอกษรทเหลอ ได 6 วธ ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 4 จากตวอกษรทเหลอ ได 5 วธ ขนตอนท 5 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 5 จากตวอกษรทเหลอ ได 4 วธ ขนตอนท 6 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 6 จากตวอกษรทเหลอ ได 3 วธ ขนตอนท 7 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 7 จากตวอกษรทเหลอ ได 2 วธ ขนตอนท 8 เลอกตวอกษรในต าแหนงท 8 จากตวอกษรทเหลอ ได 1 วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางค าขนตนและลงทายดวยสระ ไดทงหมด 3 x 2 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 4,320 วธ

ดงนน วธการสรางค าตองขนตนและลงทายดวยพยญชนะหรอสระ 14,400 + 4,320 = 18,720 วธ

แนวคด จากค าวา POTISARN มทงหมด 8 ตวอกษรทแตกตางกน ซงเปนพยญชนะ จ านวน 5 ตวอกษร ไดแก P , T , S , R , N และเปนสระจ านวน 3 ตวอกษร ไดแก O , I , A จงสามารถแบงเปน 2 กรณ ดงน ต าแหนงท 1 2 3 4 5 6 7 8 ตวอกษร ตวอกษร ตวอกษร ตวอกษร ตวอกษร ตวอกษร ตวอกษร ตวอกษร

44



ตวอยางท 5 ถาใชตวอกษร A, B, C และ D ในการสรางรหสหนงหลกถงสหลก โดยท แตละหลกไมใชตวอกษรซ ากน จะสรางรหสไดกวธ

วธท า กรณท 1 สรางรหส 1 หลก ขนตอนท 1 เลอกตวอกษร 1 ตว จาก A, B, C และ D ได 4 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางรหส 1 หลกได 4 วธ

กรณท 2 สรางรหส 2 หลก ขนตอนท 1 เลอกตวอกษร 1 ตว จาก A, B, C และ D ใสในต าแหนงท 1 ได 4 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรทเหลอใสในต าแหนงท 2 ได 3 วธ (ไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1) จะไดวา ในกรณท 2 สรางรหส 2 หลกได 4 x 3 = 12 วธ

กรณท 3 สรางรหส 3 หลก ขนตอนท 1 เลอกตวอกษร 1 ตว จาก A, B, C และ D ใสในต าแหนงท 1 ได 4 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรทเหลอใสในต าแหนงท 2 ได 3 วธ (ไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1) ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรทเหลอใสในต าแหนงท 3 ได 2 วธ (ไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1และ2) จะไดวา ในกรณท 3 สรางรหส 3 หลกได 4 x 3 x 2 = 24 วธ

กรณท 4 สรางรหส 4 หลก ขนตอนท 1 เลอกตวอกษร 1 ตว จาก A, B, C และ D ใสในต าแหนงท 1 ได 4 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรทเหลอใสในต าแหนงท 2 ได 3 วธ (ไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1) ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรทเหลอใสในต าแหนงท 3 ได 2 วธ (ไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1และ2) ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรทเหลอใสในต าแหนงท 3 ได 1 วธ (ไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1, 2 และ3) จะไดวา ในกรณท 4 สรางรหส 4 หลกได 4 x 3 x 2 x 1 = 24 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางรหสหนงหลกถงสหลก โดยทแตละหลกไมใชตวอกษรซ ากนไดทงหมด 4 + 12 + 24 + 24 = 64 วธ

ต าแหนงท 1

ต าแหนงท1 ต าแหนงท2

ต าแหนงท 1 ต าแหนงท 2 ต าแหนงท 3

ต าแหนงท 1 ต าแหนงท 2 ต าแหนงท 3 ต าแหนงท 4

45




ค าชแจง ใหสมาชกทกคนภายในกลมชวยกนพจารณาสถานการณตางๆตอไปนพรอมตอบค าถาม ใหถกตองสมบรณ ขอละ 2.5 คะแนน

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการบวก)


10

1. ตองการสรางจ านวนคทม 3 หลกแตละหลกเลอกจากตวเลข 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8 และ 9 จะสรางไดทงหมดกจ านวน เมอแตละหลกไมซ ากน

วธท า ในการสรางจ านวนคทม 3 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากน สามารถแบงไดเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 ตวเลขหลกหนวยเปน 0 การเลอกตวเลขใสในหลกหนวย สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกตวเลขใสในหลกรอย สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกตวเลขใสในหลกสบ สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางจ านวนไดทงหมดเทากบ ……………………….……………

= ………………………..…………จ านวน กรณท 2 ตวเลขหลกหนวยเปน 2 , 4 , 8 การเลอกตวเลขใสในหลกหนวย สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกตวเลขใสในหลกรอย สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกตวเลขใสในหลกสบ สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางจ านวนไดทงหมดเทากบ ……………………….……………

= ………………………..…………จ านวน ดงนน สรางจ านวนไดทงหมด ....……………….…………………………….…………….........................

ฉบบกลม

46



2. นายฮาดมกางเกงสด า สขาว และสเทา อยางละ1ตว มเสอลายดอกสแตกตางกนจ านวน 5 ตว มเสอสพนสแตกตางกนจ านวน 3 ตว ถาเขาใสกางเกงสด าหรอเทา จะสามารถใสไดกบเสอทกตว แตถาเขาใสกางเกงสขาวจะใสกบเสอสพนเทานน จงหาจ านวนวธในการแตงตวทงหมดของนายฮาด

วธท า ในการแตงตวทงหมดของนายฮาด แบงไดเปน ........... กรณ ดงน

กรณท 1 …………………….…………………………………….…………………………………….…………… นายฮาด สามารถเลอกใสกางเกงได ……….. วธ นายฮาด สามารถเลอกใสเสอได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 นายฮาดสามารถแตงตวไดทงหมดเทากบ …………………………

= …………………..………วธ กรณท 2 …………………….…………………………………….…………………………………….…………… นายฮาด สามารถเลอกใสกางเกงได ……….. วธ นายฮาด สามารถเลอกใสเสอได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 นายฮาดสามารถแตงตวไดทงหมดเทากบ …………………………

= …………………..………วธ ดงนน นายฮาดสามารถแตงตวไดทงหมด……….…………………………………….……………........

47



3. ตองการจดนกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนสลบกนเปนแถวยาว ในแนวเสนตรง จะยนไดกวธทแตกตางกน

วธท า ในการยนสลบกนเปนแถวยาว สามารถแบงไดเปน ........... กรณ ดงน กรณท 1 …………………….…………………………………….…………………………………….…………… ต าแหนง 1 2 3 4 5 6 7 8 เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 1 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 2 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 3 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 4 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 5 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 6 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 7 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 8 ได ..……… วธ จะไดวา ในกรณท 1 สามารถจดนกเรยนยนสลบกนเปนแถวยาวไดทงหมด ……….………………………………….………………………………….………………………………….… กรณท 2 …………………….…………………………………….…………………………………….……………….. ต าแหนง 1 2 3 4 5 6 7 8

เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 1 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 2 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 3 ได ..……… วธ

เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 4 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 5 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 6 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 7 ได ..……… วธ เลอกนกเรยน ............ มายนในต าแหนงท 8 ได ..……… วธ จะไดวา ในกรณท 2 สามารถจดนกเรยนยนสลบกนเปนแถวยาวไดทงหมด ……….………………………………….………………………………….………………………..… ดงนน จ านวนวธในการจดนกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนสลบกน เปนแถวยาวไดทงหมด ……….………………………………………………………….….………..……

48



4. คณะกรรมการนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากร ประกอบดวยต าแหนงประธาน รองประธาน และเลขานการ ต าแหนงละ 1 คน โดยเลอกจากผสมครเพศชาย5 คน และเพศหญง 4 คน จะมวธเลอกคณะกรรมการไดทงหมดกวธ โดยทประธานและ รองประธานเปนเพศเดยวกน แตเปนคนละเพศกบเลขานการ

วธท า ในการเลอกคณะกรรมการนกเรยน สามารถแบงไดเปน ........... กรณ ดงน กรณท 1 …………………….…………………………………….…………………………………….…………… การเลอกนกเรยนต าแหนงประธาน สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงรองประธาน สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงเลขานการ สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 สามารถเลอกคณะกรรมการไดทงหมด……………………….………

= ………………………..…………วธ กรณท 2 …………………….…………………………………….…………………………………….…………… การเลอกนกเรยนต าแหนงประธาน สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงรองประธาน สามารถเลอกได ……….. วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงเลขานการ สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 สามารถเลอกคณะกรรมการไดทงหมด……………………….………

= ………………………..…………วธ ดงนน จ านวนวธในการเลอกคณะกรรมการนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากรไดทงหมด ……….………………………………………………………………….………..……….………..……….………..……..

49






1. ถาใชพยญชนะ ก, ข, ค, ง ในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลก หรอ 4 หลก โดยหามใชพยญชนะซ ากนในแตละหลก จะสรางรหสไดกแบบ

วธท า ในการสรางรหสสามารถ แบงไดเปน ........... กรณ ดงน กรณท 1 สรางรหส 1 หลก เลอกตวอกษรได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางรหส 1 หลกได .....................................

กรณท 2 สรางรหส 2 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได ……….. วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางรหส 2 หลกได .....................................

กรณท 3 สรางรหส 3 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได ……….. วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได ……….. วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 3 สรางรหส 3 หลกได .....................................

กรณท 4 สรางรหส 4 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได ……….. วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได ……….. วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได ……….. วธ เลอกตวอกษรตวท 4 ได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 4 สรางรหส 4 หลกได ..................................... ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลก หรอ 4 หลก โดยทแตละหลกไมใชตวอกษรซ ากน ............................................................... ........




10

50



2. ขาวโอตเดนทางมาโรงเรยนในตอนเชาและกลบบานในตอนเยน ซงตองเดนทาง โดยเรอเทานน ซงเรอม 3 ขนาด ดงน เรอขนาดใหญ 3 ล า เรอขนาดกลาง 5 ล า และเรอขนาดเลก 2 ล า จงหาจ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบโดยใชเรอ

ขนาดตางกน วธท า ในการหาจ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ แบงไดเปน ........... กรณ ดงน

กรณท 1 เดนทางไปโรงเรยนดวยเรอ ............... สามารถเลอกได ……….. วธ เดนทางกลบดวยเรอ ............... สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 จ านวนวธในการเดนทางไปและกลบ.................................... กรณท 2 เดนทางไปโรงเรยนดวยเรอ ............... สามารถเลอกได ……….. วธ เดนทางกลบดวยเรอ ............... สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 จ านวนวธในการเดนทางไปและกลบ.................................... กรณท 3 เดนทางไปโรงเรยนดวยเรอ ............... สามารถเลอกได ……….. วธ เดนทางกลบดวยเรอ ............... สามารถเลอกได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 3 จ านวนวธในการเดนทางไปและกลบ.................................... ดงนน จ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ โดยใชเรอขนาดตางกน ............................................................................................................................. ....

3. บรษทแหงหนงมต าแหนงวางอย 2 ต าแหนงทแตกตางกน ถามผสมครเขาท างาน 4 คน คอ มาน, มานะ, ปต และชใจ เมอกรรมการไดสมภาษณผสมครทกคน ผลปรากฏวาคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 1 คอ มาน, มานะ, ปต คนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2 คอ มาน, ปต และชใจ จงหาจ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน

วธท า จ านวนวธทงหมดทจะรบสมครพนกงานเขาท างาน แบงไดเปน ...........กรณ ดงน กรณท 1 การรบสมครพนกงาน ........... เขาท างานต าแหนงท 1 สามารถเลอกคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2 ได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 จ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน............ กรณท 2 การรบสมครพนกงาน ...........เขาท างานต าแหนงท 1 สามารถเลอกคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2ได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 จ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน............ กรณท 3 การรบสมครพนกงาน ........... เขาท างานต าแหนงท 1 สามารถเลอกคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2ได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 3 จ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน............ ดงนน จ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ โดยใชเรอขนาดตางกน

……………………………………………………………………………………………………………………….

51



4. น าตวเลขโดด 0 – 9 มาสรางเปนจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด กจ านวน

วธท า จ านวนวธทงหมดทจะสรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากน แบงไดเปน ........... กรณ ดงน

กรณท 1 ………………………………………………………………. เลอกเลขโดดในหลกหนวยได ……….. วธ เลอกเลขโดดในหลกพนได ……….. วธ เลอกเลขโดดในหลกรอยได ……….. วธ เลอกเลขโดดในหลกสบได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนได

……………………………………………………………………………………………………………..……… กรณท 2 ………………………………………………………………. เลอกเลขโดดในหลกหนวยได ……….. วธ เลอกเลขโดดในหลกพนได ……….. วธ เลอกเลขโดดในหลกรอยได ……….. วธ เลอกเลขโดดในหลกสบได ……….. วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนได ……………………………………………………………………………………………………………………… ดงนน จ านวนวธในการสรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด ……………………………………………………………………………………………………………………….

52



แบบทดสอบหลงเรยน ชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ค าชแจง 1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบหลงเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จ านวน 10 ขอ ใชเวลาท าแบบทดสอบ 10 นาท 2. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองเพยงขอเดยวแลวท าเครองหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษค าตอบ

1) จ านวนวธในการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง ตรงกบขอใด ก. 2 วธ ข. 4 วธ

ค. 8 วธ ง. 10 วธ

2) ตองการน าตวอกษรภาษาองกฤษ จากค าวา MATH PS มาสรางเปนค าใหมทประกอบดวย 3 ตวอกษรทไมซ ากน โดยไมค านงถงความหมาย จะไดจ านวนวธตรงกบขอใด

ก. 120 วธ ข. 240 วธ ค. 480 วธ ง. 600 วธ

3) ด.ญ. พอใจตองการสงชดอาหาร 1 ชด ประกอบดวย กบขาว 1 อยาง ขนม 1 อยาง และน าผลไม 1 อยาง จากเมนทมใหเลอก คอ กบขาว 4 อยาง ขนมหวาน 3 อยาง และน าผลไม 5 อยาง จ านวนวธในการสงชดอาหารทแตกตางกนตรงกบขอใด

ก. 12 วธ ข. 60 วธ ค. 120 วธ ง. 125 วธ

4) มรางวลอย 3 รางวล คอ รางวลมารยาทด รางวลเรยนด และรางวลกจกรรมดเดน รางวลละ 1 ชน จงหาจ านวนวธทจะใหรางวลแกนกเรยนทมคณสมบตทควรจะไดรบรางวลดงกลาว จ านวน 6 คน โดยทนกเรยนแตละคนมสทธจะไดรบทงสามรางวล ก. 27 วธ ข. 216 วธ

ค. 243 วธ ง. 729 วธ 5) ตองการสรางจ านวนเตมบวกสามหลกทมคานอยกวา 400 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

โดยทแตละหลกไมซ ากนไดกวธ ก. 90 วธ ข. 108 วธ

ค. 120 วธ ง. 216 วธ

10

53



6) ขอสอบยอยเรอง ความนาจะเปน ชดหนงมจ านวน 5 ขอ แตละขอม 4 ตวเลอก นกเรยนคนหนงท าขอสอบฉบบนทกขอ จ านวนวธทนกเรยนคนนท าขอสอบผดหมดทกขอตรงกบขอใด

ก. 1 วธ ข. 243 วธ ค. 768 วธ ง. 1,024 วธ

7) จากเลขโดด 0 – 9 สามารถสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน ไดทงหมดกวธ

ก. 1,792 วธ ข. 2,296 วธ ค. 2,016 วธ ง. 2,520 วธ

8) หางสรรพสนคาแหงหนงตองการออกบตรสมนาคณแกลกคา โดยมหมายเลขตงแต 00001 ถง 10000 และหมายเลขบตรทจะไดรบรางวลตองเปนหมายเลขทมตวเลขในต าแหนงท 3 เปนเลข 5 และมตวเลขในต าแหนงสดทายเปนจ านวนค จ านวนบตรทลกคาจะไดรบรางวลมทงหมดกใบ

ก. 5 ใบ ข. 1,000 ใบ ค. 5,000 ใบ ง. 25,000 ใบ

9) จ านวนวธในการจดนกเรยนชาย 6 คน นกเรยนหญง 6 คน ยนสลบกนทละ 1 คน เปนแถวยาวในแนวเสนตรงตรงกบขอใด

ก. 720 วธ ข. 1,440 วธ ค. 518,400 วธ ง. 1,036,800 วธ

10) ถาหมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครประกอบดวยพยญชนะ 2 ตว และตวเลข 1 ถง 4 หลก ตวอยางเชน กข 5, กค 34, กฮ 346 และ กจ 1457 อยากทราบวาจ านวนหมายเลขทะเบยนรถยนตทแตกตางกนตรงกบขอใด

ก. 19,358,064 ทะเบยน ข. 21,508,956 ทะเบยน ค. 21,508,959 ทะเบยน ง. 22,508,960 ทะเบยน

54



ภาคผนวก

55



แบบทดสอบกอนเรยน ชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ขอ 1 ตอบ ข. ด.ญ. พอใจ ตองการสงชดอาหาร 1 ชด ขนตอนท 1 กบขาวสามารถเลอกสงได 4 วธ

ขนตอนท 2 ขนมหวานสามารถเลอกสงได 3 วธ ขนตอนท 3 น าผลไมสามารถเลอกสงได 5 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดทด.ญ. พอใจ สงอาหาร 1 ชด 4 x 3 x 5 = 60 วธ

ขอ 2 ตอบ ค. การโยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง ขนตอนท 1 ในการโยนเหรยญครงท 1 เหรยญสามารถขนหวหรอกอยได 2 วธ

ขนตอนท 2 ในการโยนเหรยญครงท 2 เหรยญสามารถขนหวหรอกอยได 2 วธ ขนตอนท 3 ในการโยนเหรยญครงท 3 เหรยญสามารถขนหวหรอกอยได 2 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง 2 x 2 x 2 = 8 วธ

ขอ 3 ตอบ ก. น าตวอกษรภาษาองกฤษ จากค าวา MATH PS ซงมทงหมด 6 ตวอกษร มาสรางเปนค าใหมทประกอบดวย 3 ตวอกษรทไมซ ากน โดยไมค านงถงความหมาย ขนตอนท 1 ตวอกษรในต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 6 วธ

ขนตอนท 2 ตวอกษรในต าแหนงท 2 ตองไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 5 วธ ขนตอนท 3 ตวอกษรในต าแหนงท 3 ตองไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1 และต าแหนงท 2 สามารถเลอกได 4 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมด 6 x 5 x 4 = 120 วธ

10

56



ขอ 4 ตอบ ข. จากเลขโดด 0 – 9 สามารถสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน ตองแบงออกเปน 2 กรณ กรณท 1 หลกหนวยลงทายดวย 0 ขนตอนท 1 หลกหนวยลงทายดวย 0 เลอกได 1 วธ

ขนตอนท 2 หลกพนสามารถเลอกเลขโดดจาก 1 -9 เลอกได 9 วธ ขนตอนท 3 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวยและหลกพน เลอกได 8 วธ ขนตอนท 4 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวย หลกรอย และหลกพน เลอกได 7 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลกทหลกหนวยลงทายดวย 0 1 x 9 x 8 x 7 = 504 วธ

กรณท 2 หลกหนวยลงทายดวย 2, 4, 6, 8 ขนตอนท 1 หลกหนวยลงทายดวย 2, 4, 6, 8 เลอกได 4 วธ

ขนตอนท 2 หลกพนสามารถเลอกเลขโดดทไมใช 0 และไมซ ากบเลขโดดในหลกหนวย เลอกได 8 วธ ขนตอนท 3 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวยและหลกพน เลอกได 8 วธ ขนตอนท 4 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวย หลกรอย และหลกพน เลอกได 7 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลกทหลกหนวยลงทายดวย 0 4 x 8 x 8 x 7 = 1,792 วธ สรปไดวา จ านวนวธทงหมดในการสรางสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน คอ 504 + 1,792 = 2,296 วธ

ขอ 5 ตอบ ข. มรางวลอย 3 รางวล คอ รางวลมารยาทด รางวลเรยนด และรางวลกจกรรมดเดน โดยใหรางวลแกนกเรยนทมคณสมบตทควรจะไดรบรางวล ดงกลาว จ านวน 6 คน ซงนกเรยนแตละคนมสทธจะไดรบทงสามรางวล ขนตอนท 1 รางวลมารยาทดสามารถแจกใหนกเรยนคนใดกได เลอกได 6 วธ

ขนตอนท 2 รางวลเรยนดสามารถแจกใหนกเรยนคนใดกได เลอกได 6 วธ ขนตอนท 3 รางวลกจกรรมดเดนสามารถแจกใหนกเรยนคนใดกได เลอกได 6 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมด 6 x 6 x 6 = 216 วธ

57



ขอ 6 ตอบ ค. ตองการสรางจ านวนเตมบวกสามหลกทมคานอยกวา 400 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ขนตอนท 1 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดจาก 1, 2, 3, 4 ได 4 วธ ขนตอนท 2 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกรอยได 6 วธ ขนตอนท 3 หลกหนวยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกรอยและหลกสบ ได 5 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางจ านวนเตมบวกสามหลกทมคานอยกวา 400 4 x 6 x 5 = 120 วธ

ขอ 7 ตอบ ข. ขอสอบยอยเรอง ความนาจะเปน ชดหนงมจ านวน 5 ขอ แตละขอม 4 ตวเลอก ซงใน 4 ตวเลอก ซงจะมตวเลอกทถกตอง 1 ขอ และตวเลอกทผด 3 ขอ นกเรยนคนหนง ท าขอสอบฉบบนทกขอ ขนตอนท 1 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 1 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ ขนตอนท 2 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 2 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ

ขนตอนท 3 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 3 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ ขนตอนท 4 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 2 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ

ขนตอนท 5 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 3 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ ดงนน นกเรยนคนนท าขอสอบผดหมดทกขอ 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 วธ

ขอ 8 ตอบ ง. ในการจดนกเรยนชาย 6 คน นกเรยนหญง 6 คน ยนสลบกนทละ 1 คน เปนแถวยาวในแนวเสนตรง กรณท 1 นกเรยนหญงยนในต าแหนงหวแถว ขนตอนท 1 ในต าแหนงท 1 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 6 วธ ขนตอนท 2 ในต าแหนงท 2 สามารถเลอกนกเรยนชายได 6 วธ ขนตอนท 3 ในต าแหนงท 3 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 5 วธ ขนตอนท 4 ในต าแหนงท 4 สามารถเลอกนกเรยนชายได 5 วธ

ขนตอนท 5 ในต าแหนงท 5 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 4 วธ ขนตอนท 6 ในต าแหนงท 6 สามารถเลอกนกเรยนชายได 4 วธ ขนตอนท 7 ในต าแหนงท 7 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 3 วธ ขนตอนท 8 ในต าแหนงท 8 สามารถเลอกนกเรยนชายได 3 วธ ขนตอนท 9 ในต าแหนงท 9 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 2 วธ ขนตอนท 10 ในต าแหนงท 10 สามารถเลอกนกเรยนชายได 2 วธ ขนตอนท 11 ในต าแหนงท 11 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 1 วธ ขนตอนท 12 ในต าแหนงท 12 สามารถเลอกนกเรยนชายได 1 วธ ดงนน จ านวนวธในการจดเรยงคน 6 x 6 x 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 518,400 วธ

58



กรณท 2 นกเรยนชายยนในต าแหนงหวแถว ขนตอนท 1 ในต าแหนงท 1 สามารถเลอกนกเรยนชายได 6 วธ ขนตอนท 2 ในต าแหนงท 2 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 6 วธ ขนตอนท 3 ในต าแหนงท 3 สามารถเลอกนกเรยนชายได 5 วธ ขนตอนท 4 ในต าแหนงท 4 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 5 วธ

ขนตอนท 5 ในต าแหนงท 5 สามารถเลอกนกเรยนชายได 4 วธ ขนตอนท 6 ในต าแหนงท 6 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 4 วธ ขนตอนท 7 ในต าแหนงท 7 สามารถเลอกนกเรยนชายได 3 วธ ขนตอนท 8 ในต าแหนงท 8 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 3 วธ ขนตอนท 9 ในต าแหนงท 9 สามารถเลอกนกเรยนชายได 2 วธ ขนตอนท 10 ในต าแหนงท 10 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 2 วธ ขนตอนท 11 ในต าแหนงท 11 สามารถเลอกนกเรยนชายได 1 วธ ขนตอนท 12 ในต าแหนงท 12 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 1 วธ ดงนน จ านวนวธในการจดเรยงคน 6 x 6 x 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 518,400 วธ

สรปไดวา จ านวนวธทงหมดในการจดนกเรยนชาย 6 คน นกเรยนหญง 6 คน ยนสลบกนทละ 1 คน เปนแถวยาวในแนวเสนตรง

คอ 518,400 + 518,400 = 1,036,800 วธ

ขอ 9 ตอบ ค. หมายเลขบตรทจะไดรบรางวลตองเปนหมายเลขทมตวเลข ในต าแหนงท 3 เปนเลข 5 และมตวเลขในต าแหนงสดทายเปนจ านวนค ขนตอนท 1 ตวเลขในต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 2 ตวเลขในต าแหนงท 2 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขในต าแหนงท 3 เปนเลข 5 สามารถเลอกได 1 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขในต าแหนงท 4 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขในต าแหนงท 5 เปนจ านวนค สามารถเลอกได 5 วธ ดงนน จ านวนบตรทลกคาจะไดรบรางวลมทงหมด 10 x 10 x 1 x 10 x 5 = 5,000 ใบ ขอ 10 ตอบ ก. หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครประกอบดวยพยญชนะ 2 ตว และตวเลข 1 ถง 4 หลก แบงเปน 4 กรณ กรณท 1 ตวเลข 1 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 ทะเบยน

59



กรณท 2 ตวเลข 2 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกสบ เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 x 10 ทะเบยน กรณท 3 ตวเลข 3 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกรอย เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขหลกสบ เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 x 10 x 10 ทะเบยน กรณท 4 ตวเลข 4 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกพน เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขหลกรอย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขหลกสบ เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 6 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 x 10 x 10 x 10 สรปไดวา หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด คอ (44 x 44 x 9) + (44 x 44 x 9 x 10) + (44 x 44 x 9 x 10 x 10) + (44 x 44 x 9 x 10 x 10 x 10) = 44 x 44 x (9 + 90 + 900 + 9,000) = 19,358,064 ทะเบยน

60





1. ในวนอาเซยนของโรงเรยนโพธสารพทยากร นกเรยนจะสามารถแตงตวไดตามใจชอบ ถาหากนกเรยน สามารถเลอกเสอได 3 ตว และสามารถเลอกผาถงได 2 ผน อยากทราบวานกเรยนคนนจะสามารถแตงตวทงหมดไดกแบบ (2 คะแนน) วธท า สมมตให ส1 แทน เสอตวท 1 ผ1 แทน ผาถงผนท 1

ส2 แทน เสอตวท 2 ผ2 แทน ผาถงผนท 2 ส3 แทน เสอตวท 3 หาวธการจดชดโดยใชแผนภาพตนไม ดงน เสอ ผาถง ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพจะเหนวา นกเรยนคนนจะสามารถแตงตวโดยมเสอ 3 ตวและผาถงได 2 ผน ไดทงหมด 6 แบบ ซงเทากบจ านวนเสอ 3 ตว คณ ดวยจ านวนผาถง 2 ตว หรอเทากบ 3 X 2 = 6 วธ นนเอง

ฉบบกลม

10

…......ส1ผ1……...

…......ส1ผ2……...

ส1 ผ1

ผ2

…......ส2ผ1……...

…......ส2ผ2……...

ส2 ผ1

ผ2

…......ส3ผ1……...

…......ส3ผ2……...

ส3 ผ1

ผ2



61



2. โดเรมอนมประตกาลเวลาทงหมด 3 ประต จงหาวาโดเรมอนจะมวธเดนเขาและออกประตกาลเวลาน ไดทงหมดกวธ ถาโดเรมอนเดนเขาและเดนออกประตกาลเวลาโดยไมใชประตซ ากน (2 คะแนน)

วธท า สมมตให ป1 แทน ประตท 1 ป2 แทน ประตท 2 และ ป3 แทน ประตท 3 หาวธการเดนเขาออกประตของโดเรมอนโดยใชแผนภาพตนไม ดงน เขา ออก ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพจะเหนวา โดเรมอนจะสามารถเดนเขาและออกประตกาลเวลาโดยม 3 ประต ไดทงหมด 6 …วธ

ซงเทากบจ านวนประตทเดนเขา 3 …ประต คณ ดวยจ านวนประตทเดนออก 2 ประต หรอเทากบ 3 X 2 = 6 วธ นนเอง

…… ป1ป2 ……

…… ป1ป3 ……

…… ป2ป1 ……

…… ป2ป3 ……

…… ป3ป1 ……

…… ป3ป2 ……

ป2

ป3

ป1

ป1

ป3

ป2

ป1

ป2

ป3

62



3. โยนเหรยญบาท 1 เหรยญและลกเตา 1 ลก พรอมกนจ านวนหนงครง จงเขยนแผนภาพตนไมแสดง ผลลพธทจะเกดไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า สมมตให H แทน เหรยญขนหว และ T แทน เหรยญขนกอย 1 แทน ลกเตาขนแตม 1............ 2 แทน ลกเตาขนแตม 2, 3 แทน ลกเตาขนแตม 3, 4 แทน ลกเตาขนแตม 4,…………….…… 5 แทน ลกเตาขนแตม 5 และ 6 แทน ลกเตาขนแตม 6........................................................ หาผลลพธทจะเกดไดทงหมดโดยใชแผนภาพตนไม ดงน หนาของเหรยญ แตมบนลกเตา ผลลพธทงหมด จากแผนภาพจะเหนวา โยนเหรยญบาท 1 เหรยญและลกเตา 1 ลก พรอมกนจ านวนหนงครง ไดทงหมด ……… 12 ……วธ

ซงเทากบจ านวนหนาของเหรยญ……2……หนา คณ ดวยจ านวนแตมของลกเตา… 6 …แบบ

หรอเทากบ… 6 ………2……= ……… 12 …… วธ นนเอง

………H1……

………H2……

………H3……

………H4……

………H5……

………H6……

H

1

2

3

4

5

6

T

1

2

3

4

5

6

………T1……

………T2……

………T3……

………T4……

………T5……

………T6……

63



4. โรงเรยนโพธสารพทยากรจดชดอาหารกลางวน โดยจดอาหารคาวไว 2 ชนดทแตกตางกน ขนม 3 ชนด

ทแตกตางกน และน าดม 2 ชนดทแตกตางกน โดยใหนกเรยนเลอกอาหารคาว ขนม และน าดม ไดอยางละหนงชนด นกเรยนจะมวธเลอกชดอาหารกลางวนไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า สมมตให อาหารคาว 2 ชนดทแตกตางกน แทนดวย ค1, ค2............................................................ ขนม 3 ชนด ทแตกตางกน แทนดวย ข1, ข2, ข3 ............ ................................. และน าดม 2 ชนดทแตกตางกน แทนดวย น1, น2 .... ......... หาผลลพธทนกเรยนจะมวธเลอกชดอาหารกลางวนโดยใชแผนภาพตนไม ดงน อาหารคาว ขนม น าดม ผลลพธทงหมด

จากแผนภาพจะเหนวา นกเรยนจะมวธเลอกชดอาหารกลางวนไดทงหมด … 12 …วธ ซงเทากบจ านวนอาหารคาว… …2 ……ชนด คณ ดวยจ านวนขนม … …3 …… ชนด คณ ดวยจ านวนน าดม… …2 …ชนด หรอเทากบ … 2 … 3 … 2 = … 12 วธ นนเอง

... .ค1ข1น1 ….

... .ค1ข1น2 ….

ค1

ข1

ข2

ข3

น1

น2

น1

น2

น1

น2

... .ค1ข2น1 ….

... .ค1ข2น2 ….

... .ค1ข3น1 ….

... .ค1ข3น2 ….

... .ค2ข1น1 ….

... .ค2ข1น2 ….

ค2

ข1

ข2

ข3

น1

น2

น1

น2

น1

น2

... .ค2ข2น1 ….

... .ค2ข2น2 ….

... .ค2ข3น1 ….

... .ค2ข3น2 ….

64



5. ในการโยนเหรยญบาทหนงเหรยญ 4 ครงเมอมกตกาวา ถาโยนเหรยญสองครงตดกนแลวเหรยญหงาย เปนหนาเดยวกนใหหยดโยน หรอโยนครบสครงจงหยดโยน จงเขยนแผนภาพตนไมแสดงวธการโยน ไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า สมมตให H แทน เหรยญขนหว และ T แทน เหรยญขนกอย........................................................... ครงท 1 ครงท 2 ครงท 3 ครงท 4

จากแผนภาพจะเหนวา มวธการโยนไดทงหมดไดทงหมด … 8 วธ

แผนภาพตนไมไมยากใชไหมคะ เราลองไปท าแบบฝกทกษะรายบคคลกนดกวา

H

T

H

T

H

T

H

T

T

H

T

H

T

H

65




ค าชแจง จงใชกฎการคณตอบค าถามตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอละ 2 คะแนน 1. นกเรยนคนหนงจะตองเลอกเรยนกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลาร จากวชาคณตศาสตร ภาษาไทย

และภาษาองกฤษอยางละ 1 กจกรรม ถาโรงเรยนเปดกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลารวชาคณตศาสตรจ านวน 2 กจกรรม วชาภาษาไทยจ านวน 3 กจกรรม และวชาภาษาองกฤษจ านวน 3 กจกรรม นกเรยนคนนจะเลอกเรยนกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลารอยางละ 1 กจกรรมไดแตกตางกนทงหมดกวธ (2 คะแนน) วธท า สมมตให กจกรรมวชาคณตศาสตรจ านวน 2 กจกรรม แทนดวย ค1, ค2 วชาภาษาไทยจ านวน

3 กจกรรม แทนดวย ท1, ท2, ท3 และวชาภาษาองกฤษจ านวน 3 กจกรรม แทนดวย อ1, อ2, อ3 แผนภาพตนไม วชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย วชาภาษาองกฤษ

ดงนน จ านวนวธทนกเรยนจะเลอกกจกรรมลดเวลาเรยน เพมเวลาร ไดแตกตางกน 18 วธ ซงเทากบวชาคณตศาสตรจ านวน… …2 ……กจกรรม คณ ดวยวชาภาษาไทยจ านวน … …3 …… กจกรรม คณ ดวยวชาภาษาองกฤษจ านวน … 3 …กจกรรม หรอเทากบ 2 …3 3 = 18 วธ นนเอง



10

อ3

ค1 ท2

ท1

ท3

อ1 อ2 อ3 อ1 อ2

อ1 อ2 อ3

อ3

ค2 ท2

ท1

ท3

อ1 อ2 อ3 อ1 อ2

อ1 อ2 อ3

66



2. กลองใบหนงมบตร 3 ใบ โดยมตวอกษร B , T และ S อยางละใบ มานะตองการน าบตรอกษรดงกลาวมาเรยงสามใบ โดยไมค านงถงความหมายของค าทเรยง ไดทงหมดกแบบ อะไรบาง (2 คะแนน) วธท า สมมตให บตร 3 ใบ โดยมตวอกษร B, T และ S อยางละใบ แทนดวย B, T และ S แผนภาพตนไม

บตรใบท 1 บตรใบท 2 บตรใบท 3

ดงนน จ านวนวธทมานะน าบตรมาเรยงสามใบโดยไมค านงถงความหมายไดทงหมด 6 วธ ซงเทากบจ านวน บตรใบท 1 เลอกได 3 ใบ คณ ดวยจ านวนบตรใบท 2 เลอกได 2 ใบ คณ จ านวนบตรใบท 3 เลอกได 1 ใบ หรอเทากบ 3 2 1 = .6 วธ นนเอง

T B

T S

S

B T

B S

S

S S

B T

T

67



3. จากเมอง ก ไปยงเมอง ข มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ รถยนต รถต และรถไฟ

จากเมอง ข ไป เมอง ค มเสนทางการเดนทางได 2 วธ คอ เครองบนและเรอ จงหาจ านวนวธทจะเดนทาง จากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยตองผานเมอง ข (2 คะแนน) วธท า สมมตให เสนทางการเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ข แทนดวย ข1, ข2, ข3. เสนทางการเดนทางจากเมอง ข ไป เมอง ค แทนดวย ค1 , ค2

แผนภาพตนไม เมอง ก ไปยงเมอง ข เมอง ข ไปยงเมอง ค

ดงนน จ านวนวธทจะเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยตองผานเมอง ข ได 6 วธ ซงเทากบจ านวนวธเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ข 3 วธ คณ ดวยจ านวนวธเดนทางจาก

เมอง ข ไป เมอง ค 2 วธหรอเทากบ 3 2 = 6 วธ นนเอง

ข1

ค1

ค2

ข2

ค1

ค2

ข3

ค1

ค2

ก

68



4. ในการเลนเปายงชบ มผเลน 2 คน แตละคนจะออกมอแทนสงใดสงหนงใน 3 สงตอไปน

คอ ฆอน กรรไกร และกระดาษ จงหาจ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดในการเลนเปายงชบ (2 คะแนน) วธท า สมมตให ผเลน 2 คน ออกมอได 3 แบบ คอ ฆอน กรรไกร และกระดาษ แทนดวย ฆ, ก, ด แผนภาพตนไม

ผเลนคนท 1 ผเลนคนท 2

ดงนน จ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดในการเลนเปายงชบ 9 วธ ซงเทากบจ านวนวธผเลนคนท 1 สามารถออกมอได 3 วธ คณ ดวยจ านวนวธผเลนคนท 2 สามารถออกมอได 3 วธ หรอเทากบ 3 3 = 9 วธ นนเอง

ฆ

ฆ

ด

ก

ด

ก

ฆ

ด ก

ฆ

ด ก

69



5. ในการแขงขนลลาศของนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากร ประกอบดวยทมสมวง ทมสแดง

ทมสเขยวและทมสเหลอง โดยการแขงขนในครงนเปนการแขงขนแบบพบกนทกทม จงหาจ านวนวธทงหมดทเปนไปไดในการแขงขนครงน (2 คะแนน) วธท า สมมตให ทมสมวง ทมสแดง ทมสเขยวและทมสเหลอง แทนดวย ม, ด, ข, ล แผนภาพตนไม ดงนน จ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดในการแขงขนลลาศแบบพบกนทกทม 6 วธ

คณตศาสตรยงฝกท า ยงแมนย านะคะ

อยากท าได ตองยงฝกฝน

ม

ด

ล

ด

ข

ข

ข

ล

ล

70





1. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 หอง 4 หองหนงมนกเรยน 40 คน ตองการเลอกหวหนาหอง รองหวหนา และเหรญญกต าแหนงละคน จะมวธเลอกทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 ต าแหนงหวหนาหองสามารถเลอกได 40 วธ ขนตอนท 2 ต าแหนงรองหวหนาหองสามารถเลอกได 39 วธ ขนตอนท 3 ต าแหนงเหรญญกสามารถเลอกได 38 วธ ดงนน จ านวนวธเลอกหวหนาหอง รองหวหนา และเหรญญกไดทงหมด 40 x 39 x 38 = 59,280 วธ

2. กลองใบหนงมบตรอย 6 ใบ โดยทแตละใบมหมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 เขยนก ากบอย หมายเลขละ 1 ใบ อยากทราบวาจะน าบตรมาวางเรยงกนเปนเลขสามหลกไดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 เลอกบตรใบท 1 ได 6 วธ ขนตอนท 2 เลอกบตรใบท 2 ได 5 วธ ขนตอนท 3 เลอกบตรใบท 3 ได 4 วธ

ดงนน จ านวนวธในการน าบตรมาวางเรยงกนเปนเลขสามหลกไดทงหมด 6 x 5 x 4 = 120 วธ

3. ถาน าตวอกษรจากค าวา POTISARN มาสรางเปนค าใหมซงประกอบดวย 4 ตวอกษรทแตกตางกน โดยไมสนใจความหมายไดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรต าแหนงท 1 ได 8 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรต าแหนงท 2 ได 7 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรต าแหนงท 3 ได 6 วธ

ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรต าแหนงท 4 ได 5 วธ ดงนน จ านวนวธสรางค าใหม ไดผลลพธทงหมด 8 x 7 x 6 x 5 = 1,680 วธ


กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ฉบบกลม

10

71



4. มจดหมายทแตกตางกน 3 ฉบบ และมตไปรษณยทแตกตางกน 4 ต จะมวธหยบจดหมายใสลงในตไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 สามารถหยบจดหมายฉบบท 1 ใสลงในตไปรษณยได 4 วธ ขนตอนท 2 สามารถหยบจดหมายฉบบท 2 ใสลงในตไปรษณยได 3 วธ ขนตอนท 3 สามารถหยบจดหมายฉบบท 3 ใสลงในตไปรษณยได 2 วธ ดงนน จ านวนวธในการหยบจดหมายใสลงในต ไดผลลพธทงหมด 4 x 3 x 2 = 24 วธ

5. ขอสอบฉบบหนงมจ านวน 10 ขอ เปนขอสอบประเภทถกผด มานะจะมวธตอบขอสอบฉบบนไดกวธ เมอท าขอสอบครบทกขอ (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 เลอกตอบขอสอบขอท 1 ได 2 วธ ขนตอนท 2 เลอกตอบขอสอบขอท 2 ได 2 วธ

ขนตอนท 10 เลอกตอบขอสอบขอท 10 ได 2 วธ ดงนน จ านวนวธตอบขอสอบฉบบน ไดทงหมด 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1,024 วธ

. .

. .

. .

ถาเพอนๆในกลมเราเขาใจแลว ลองไปท าแบบฝกทกษะท 1.2

(ฉบบรายบคคล ) กนดกวา

72




ค าชแจง จงใชกฎการคณตอบค าถามตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอละ 2 คะแนน

1. หอประชมแหงหนงมประตเขา – ออก 5 ประต อยากทราบวามานะจะเขาและออกจากหอประชมตามประตตางๆไดกวธ โดยมเงอนไขวา 1.1 เขาและออกจากหอประชมโดยเขาประตใดตองออกประตนน (1 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 มานะสามารถเลอกประตเขาได 5 วธ ขนตอนท 2 มานะสามารถเลอกประตออกได 1 วธ ดงนน มานะจะเขาและออกโดยเขาประตใดตองออกประตนน ไดทงหมด 5 x 1 = 5 วธ

1.2 เขาและออกจากหอประชมโดยใชประตไมซ ากบประตทเขามา (1 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 มานะสามารถเลอกประตเขาได 5 วธ ขนตอนท 2 มานะสามารถเลอกประตออกได 4 วธ ดงนน มานะจะเขาและออกโดยใชประตไมซ ากบประตทเขามา ไดทงหมด 5 x 4 = 20 วธ

2. หมายเลขโทรศพทมอถอประกอบดวยเลข 10 ตว โดยขนตนสามตวแรกดวย 087 จงหาจ านวนหมายเลขโทรศพททเปนไปได (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 ขนตนสามตวแรกดวย 087สามารถเลอกได 1 วธ ขนตอนท 2 สามารถเลอกหมายเลขตวท 4 ได 10 วธ ขนตอนท 3 สามารถเลอกหมายเลขตวท 5 ได 10 วธ ขนตอนท 4 สามารถเลอกหมายเลขตวท 6 ได 10 วธ ขนตอนท 5 สามารถเลอกหมายเลขตวท 7 ได 10 วธ ขนตอนท 6 สามารถเลอกหมายเลขตวท 8 ได 10 วธ ขนตอนท 7 สามารถเลอกหมายเลขตวท 9 ได 10 วธ ขนตอนท 8 สามารถเลอกหมายเลขตวท 10 ได 10 วธ ดงนน จ านวนหมายเลขโทรศพททเปนไปไดทงหมด1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000,000 หมายเลข

แบบฝกทกษะท 1.2 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ


10

ความตงใจในวนน คอ ความส าเรจในวนหนา

73



3. ขอสอบวชาคณตศาสตรฉบบหนงม 5 ขอ เปนขอสอบประเภท 4 ตวเลอก ถานกเรยนคนหนง ท าขอสอบฉบบนทกขอ จงหาจ านวนวธทงหมดทจะตอบขอสอบฉบบน (2 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 ขอสอบขอท 1 สามารถเลอกตอบได 4 วธ ขนตอนท 2 ขอสอบขอท 2 สามารถเลอกตอบได 4 วธ ขนตอนท 3 ขอสอบขอท 3 สามารถเลอกตอบได 4 วธ ขนตอนท 4 ขอสอบขอท 4 สามารถเลอกตอบได 4 วธ ขนตอนท 5 ขอสอบขอท 5 สามารถเลอกตอบได 4 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดทจะตอบขอสอบฉบบน 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1,024 วธ

4. จากตวเลข 1,2,3,4,5 จะสรางจ านวนคบวก 4 หลกโดยไมใชตวเลขซ ากนไดกจ านวน (2 คะแนน) วธท า ขนตอนท 1 หลกหนวยสามารถเลอกได 2 วธ

ขนตอนท 2 หลกสบสามารถเลอกได 4 วธ ขนตอนท 3 หลกรอยสามารถเลอกได 3 วธ ขนตอนท 4 หลกพนสามารถเลอกได 2 วธ ดงนน จะสรางจ านวนคบวก 4 หลกโดยไมใชตวเลขซ ากนได 2 x 4 x 3 x 2 = 48 จ านวน

5. ทาเรอศรราชมเรอโดยสารขามฝากระหวางทาเรอศรราชกบทาชาง 2 ขนาด คอ เรอขนาดใหญ 3 ล า และเรอขนาดเลก 2 ล า ถาวารตองการขนเรอขามฟากจากทาเรอศรราชกบทาชางไปและกลบไดกวธ 5.1 ไปและกลบดวยเรอขนาดเลก (1 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 วารขนเรอขามฟากขาไปดวยเรอขนาดเลก ได 2 วธ ขนตอนท 2 วารขนเรอขามฟากขากลบดวยเรอขนาดเลก ได 1 วธ

ดงนน วารขนเรอขามฟากไปและกลบดวยเรอขนาดเลกได 2 x 1 = 2 วธ 5.2 ไปดวยเรอขนาดเลกหรอใหญกไดแตตองกลบดวยเรอขนาดใหญเทานน (1 คะแนน)

วธท า ขนตอนท 1 วารขนเรอขามฟากขาไปดวยเรอขนาดใดกไดได 5 วธ ขนตอนท 2 วารขนเรอขามฟากขากลบดวยเรอขนาดใหญ ได 3 วธ

ดงนน วารขนเรอขามฟากไปและกลบดวยเรอขนาดเลกได 5 x 3 = 15 วธ

74




กฎเกณฑการคณ(ตอ)

แบบฝกทกษะท 1.3 ฉบบกลม

10

1. โรงเรยนแหงหนง ก าหนดรหสประจ าตวนกเรยน โดยทแตละรหสประกอบดวยตวอกษรภาษาองกฤษ 2 ตว ตามดวยเลขโดด 4 ตว ซงไมเปนศนยพรอมกน โดยทรหสประจ าตวนกเรยนไมมตวอกษรซ ากนและไมมเลขโดดซ ากน

วธท า ขนตอนท 1 ตวอกษรภาษาองกฤษตวแรก สามารถเลอกได 26 วธ ขนตอนท 2 ตวอกษรภาษาองกฤษอกตวหนง สามารถเลอกได 25 วธ ขนตอนท 3 เลขโดดตวแรกสามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 4 เลขโดดตวทสองสามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 5 เลขโดดตวทสามสามารถเลอกได 8 วธ ขนตอนท 6 เลขโดดตวทสสามารถเลอกได 7 วธ ดงนน รหสประจ าตวนกเรยนไมมตวอกษรซ ากนและไมมเลขโดดซ ากนเทากบ 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 = 3,276,000 รหส ตอบ รหสประจ าตวนกเรยนไมมตวอกษรซ ากนและไมมเลขโดดซ ากนเทากบ3,276,000 รหส

2. ในกระเปาของเดกหญงชใจมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม และหนงสอเคม 2 เลม โดยท

หนงสอแตละเลมไมเหมอนกน ตองการจดหนงสอทงหมดบนชนหนงสอเดยวกน ไดกวธ เมอชใจตองการวางสลบทละ 1 เลม วธท า ในการจดหนงสอทงหมดบนชนหนงสอเดยวกนหนงสอเลมแรกตองเปน วชาคณตศาสตรเทานน เพราะ คณตศาสตรมจ านวนมากกวาสามารถวางสลบทละ 1เลมได ขนตอนท 1 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 3 วธ ขนตอนท 2 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 2 สามารถเลอกได 2 วธ ขนตอนท 3 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 3 สามารถเลอกได 2 วธ ขนตอนท 4 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 4 สามารถเลอกได 1 วธ ขนตอนท 5 การเลอกหนงสอไปวางในต าแหนงท 5 สามารถเลอกได 1 วธ

75



2. (ตอ) ดงนน ชใจตองการวางสลบทละ 1 เลม เทากบ 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 12 วธ ตอบ ชใจตองการวางสลบทละ 1 เลมบนชนหนงสอเดยวกนได 12 วธ

3. ฝงชางปาฝงหนงมชางจ านวน 6 ตว ก าลงมงหนาเดนกลบปาโดยมเสนทางใหเลอกได 4 เสนทาง โดยมเงอนไขวาถาหวหนาฝงเลอกเสนทางใดแลว ชางตวอนๆหามใชเสนทางเดยวกน จงหาจ านวนวธในการพาฝงชางกลบปา

วธท า ขนตอนท 1 ชางหวหนาฝง สามารถเลอกเสนทางได 4 วธ ขนตอนท 2 ชางตวท 1 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได 3 วธ ขนตอนท 3 ชางตวท 2 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได 3 วธ ขนตอนท 4 ชางตวท 3 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได 3 วธ ขนตอนท 5 ชางตวท 4 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได 3 วธ ขนตอนท 6 ชางตวท 5 สามารถเลอกเสนทางกลบปาได 3 วธ ดงนน จ านวนวธในการพาฝงชางกลบปาเทากบ 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 972 วธ ตอบ จ านวนวธในการพาฝงชางกลบปาเทากบ 972 วธ

4. ในการสรางจ านวน 4 หลก จากเลขโดด 1 – 9 โดยทแตละหลกไมซ ากนและเปน จ านวนท 5 หารลงตวไดกจ านวน

วธท า ขนตอนท 1 ในการสรางจ านวน 4 หลก ท 5 หารลงตว ตองพจารณาจากหลกหนวยสามารถเลอกจากเลข 0 หรอ 5 สามารถเลอกได 2 วธ ขนตอนท 2 การเลอกเลขโดดในหลกสบ สามารถเลอกได 8 วธ ขนตอนท 3 การเลอกเลขโดดในหลกรอย สามารถเลอกได 7 วธ ขนตอนท 4 การเลอกเลขโดดในหลกพน สามารถเลอกได 6 วธ ดงนน จ านวนวธในสรางจ านวน 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนและเปนจ านวนท 5 หารลงตวไดเทากบ 2 x 8 x 7 x 6 = 672 วธ ตอบ จ านวนวธในการสรางจ านวน เทากบ 672 วธ

76






1. ตองการจดเรยงตวอกษรจากค าวา MANGO จะมวธการเรยงเปนค าใหมไดกวธ เมอก าหนดใหตวแรกเปนพยญชนะและตวสดทายเปนสระ(ไมค านงถงความหมาย) วธท า จากค าวา MANGO ตวอกษรทเปนพยญชนะม 3 ตว ไดแก M , N , G และตวอกษรทเปนสระม 2 ตว ไดแก A , O ในการจดเรยงตวอกษรตวแรกเปนพยญชนะสามารถเลอกได 3 วธ ตวอกษรตวสดทายเปนสระ สามารถเลอกได 2 วธ

เราจะเรยงตวอกษรเปนค าใหมไดเทากบ 3 x 3 x 2 x 1 x 2 = 36 วธ

ตอบ จะมวธการเรยงเปนค าใหมได 36 วธ

2. นกเรยนในโรงเรยนโพธสารพทยากรตองการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนประกอบดวย ประธานนกเรยน 1 ต าแหนง รองประธานนกเรยน 1 ต าแหนง และเลอกเลขานการ 1 ต าแหนง ถามผสมครรบเลอกตงเปนเปนผชาย 7 คน และเปนผหญง 9 คน จงหาจ านวนวธในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนเมอประธานนกเรยนตองเปนผชายเทานน

วธท า ในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนมทงหมด 3 ต าแหนง จากเงอนไขวาประธานนกเรยนตองเปนผชายสามารถเลอกได 7 วธ รองประธานนกเรยนสามารถเลอกได 15 วธ เลขานการสามารถเลอกได 14 วธ ดงนน จ านวนวธในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนทากบ 7 x 15 x 14 = 1,470 วธ ตอบ จ านวนวธในการเลอกตวแทนคณะกรรมการนกเรยนได 1,470 วธ

แบบฝกทกษะท 1.3 กฎการคณ(ตอ)


10

77



5. กระเปาเดนทางใบหนง ใชกญแจทมรหสมเลข 3 หลก แตละหลกหมนไดตงแต 0 - 9 ถาตงรหสกญแจเปดไดไวเพยงวธเดยว จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมไดเปนเทาใด

วธท า จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทเปนไปไดทงหมด การเลอกเลขโดดในหลกท 1 สามารถเลอกได 10 วธ การเลอกเลขโดดในหลกท 2 สามารถเลอกได 10 วธ การเลอกเลขโดดในหลกท 3 สามารถเลอกได 10 วธ รหสกญแจทเปนไปไดทงหมด10 x 10 x 10 = 1,000 วธ รหสกญแจเปดไดไวเพยงวธเดยว 1 วธ ดงนน จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมได1,000 - 1 = 999 วธ ตอบ จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมได1,000 - 1 = 999 วธ ……………………………………………………………………………………………………………………….

3. ทอดลกเตาสามลกพรอมกน จงหาจ านวนวธการขนแตมของลกเตาสามลกเมอลกเตาทงสามลกขนแตมตางกน

วธท า ลกเตามทงหมด 6 หนา ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, 6 เมอทอดลกเตาสามลกพรอมกน ลกท 1 สามารถขนแตมได 6 วธ ลกท 2 สามารถขนแตมได 5 วธและลกท 3 สามารถขนแตมได 4 วธ ดงนน ทอดลกเตาสามลกพรอมกนลกเตาทงสามลกขนแตมตางกนเทากบ6 x5 x 4=12วธ ตอบ จ านวนวธการขนแตมของลกเตาสามลกเมอลกเตาทงสามลกขนแตมตางกนได12 วธ

4. ในการสรางจ านวนคบวก 4 หลก ทมคามากกวา 3,000 แตนอยกวา 7,000 ไดกจ านวน

เมอใชเลขซ ากนได วธท า ในการสรางจ านวนคบวก 4 หลก ทมคามากกวา 3,000 แตนอยกวา 7,000 เมอพจารณาหลกพนสามารถเลอกได 4 วธ นนคอ 3, 4, 5, 6 การเลอกเลขโดดในหลกรอย สามารถเลอกได 10 วธ การเลอกเลขโดดในหลกสบ สามารถเลอกได 10 วธ การเลอกเลขโดดในหลกหนวย สามารถเลอกได 5 วธ ดงนน สรางจ านวนคบวก 4 หลกได 4 x 10 x 10 x 5 = 2,000 จ านวน ตอบ จ านวนวธในการสรางจ านวนคบวก 4 หลก เทากบ 2,000 จ านวน

ไมมสงใด ยากเกนความ

ตงใจ

78






10

1. ตองการสรางจ านวนคทม 3 หลกแตละหลกเลอกจากตวเลข 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8 และ 9 จะสรางไดทงหมดกจ านวน เมอแตละหลกไมซ ากน

วธท า ในการสรางจ านวนคทม 3 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนสามารถแบงไดเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 ตวเลขหลกหนวยเปน 0 การเลอกตวเลขใสในหลกหนวย สามารถเลอกได 1 วธ การเลอกตวเลขใสในหลกรอย สามารถเลอกได 7 วธ การเลอกตวเลขใสในหลกสบ สามารถเลอกได 6 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางจ านวนไดทงหมดเทากบ 1 x 7 x 6

= 42 จ านวน กรณท 2 ตวเลขหลกหนวยเปน 2 , 4 , 8 การเลอกตวเลขใสในหลกหนวย สามารถเลอกได 3 วธ การเลอกตวเลขใสในหลกรอย สามารถเลอกได 6 วธ การเลอกตวเลขใสในหลกสบ สามารถเลอกได 6 วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางจ านวนไดทงหมดเทากบ 3 x 6 x 6

= 108 จ านวน ดงนน สรางจ านวนไดทงหมด 42 + 108 = 150 จ านวน

ฉบบกลม

79



2. นายฮาดมกางเกงสด า สขาว และสเทา อยางละ1ตว มเสอลายดอกสแตกตางกนจ านวน 5 ตว มเสอสพนสแตกตางกนจ านวน 3 ตว ถาเขาใสกางเกงสด าหรอเทา จะสามารถใสไดกบเสอทกตว แตถาเขาใสกางเกงสขาวจะใสกบเสอสพนเทานน จงหาจ านวนวธในการแตงตวทงหมดของนายฮาด

วธท า ในการแตงตวทงหมดของนายฮาด แบงไดเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 ใสกางเกงสด าหรอเทา นายฮาด สามารถเลอกใสกางเกงได 2 วธ นายฮาด สามารถเลอกใสเสอได 9 วธ จะไดวา ในกรณท 1 นายฮาดสามารถแตงตวไดทงหมดเทากบ 2 x 9

= 18 วธ กรณท 2 ใสกางเกงสขาว นายฮาด สามารถเลอกใสกางเกงได 1 วธ นายฮาด สามารถเลอกใสเสอได 3 วธ จะไดวา ในกรณท 2 นายฮาดสามารถแตงตวไดทงหมดเทากบ 1 x 3

= 3 วธ

ดงนน นายฮาดสามารถแตงตวไดทงหมด 18 + 3 = 21 วธ

80



3. ตองการจดนกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนสลบกนเปนแถวยาว ในแนวเสนตรง จะยนไดกวธทแตกตางกน

วธท า ในการยนสลบกนเปนแถวยาว สามารถแบงไดเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 นกเรยนหญงยนหวแถว ต าแหนง 1 2 3 4 5 6 7 8 เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 1 ได 4 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 2 ได 4 วธ เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 3 ได 3 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 4 ได 3 วธ เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 5 ได 2 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 6 ได 2 วธ เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 7 ได 1 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 8 ได 1 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สามารถจดนกเรยนยนสลบกนเปนแถวยาวไดทงหมด 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 576 วธ กรณท 2 นกเรยนชายยนหวแถว ต าแหนง 1 2 3 4 5 6 7 8

เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 1 ได 4 วธ เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 2 ได 4 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 3 ได 3 วธ

เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 4 ได 3 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 5 ได 2 วธ เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 6 ได 2 วธ เลอกนกเรยน ช มายนในต าแหนงท 7 ได 1 วธ เลอกนกเรยน ญ มายนในต าแหนงท 8 ได 1 วธ จะไดวา ในกรณท 2 สามารถจดนกเรยนยนสลบกนเปนแถวยาวไดทงหมด 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 576 วธ ดงนน จ านวนวธในการจดนกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนสลบกน เปนแถวยาวไดทงหมด 576 + 576 = 1,152 วธ

ช ญ ช ญ ช ญ ช ญ

ญ ช ญ ช ญ ช ญ ช

81



4. คณะกรรมการนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากร ประกอบดวยต าแหนงประธาน รองประธาน และเลขานการ ต าแหนงละ 1 คน โดยเลอกจากผสมครเพศชาย 5 คน และเพศหญง 4 คน จะมวธเลอกคณะกรรมการไดทงหมดกวธ โดยทประธานและ รองประธานเปนเพศเดยวกน แตเปนคนละเพศกบเลขานการ

วธท า ในการเลอกคณะกรรมการนกเรยน สามารถแบงไดเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 ประธานและรองประธานเปนเพศชาย แตเลขานการเปนเพศหญง การเลอกนกเรยนต าแหนงประธาน สามารถเลอกได 5 วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงรองประธาน สามารถเลอกได 4 วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงเลขานการ สามารถเลอกได 4 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สามารถเลอกคณะกรรมการไดทงหมด 5 x 4 x 4

= 80 วธ กรณท 2 ประธานและรองประธานเปนเพศหญง แตเลขานการเปนเพศชาย การเลอกนกเรยนต าแหนงประธาน สามารถเลอกได 4 วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงรองประธาน สามารถเลอกได 3 วธ การเลอกนกเรยนต าแหนงเลขานการ สามารถเลอกได 5 วธ จะไดวา ในกรณท 2 สามารถเลอกคณะกรรมการไดทงหมด 4 x 3 x 5

= 60 วธ ดงนน จ านวนวธในการเลอกคณะกรรมการนกเรยนโรงเรยนโพธสารพทยากรไดทงหมด 80 + 60 = 140 วธ

82






1. ถาใชพยญชนะ ก, ข, ค, ง ในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลก หรอ 4 หลก โดยหามใชพยญชนะซ ากนในแตละหลก จะสรางรหสไดกแบบ

วธท า ในการสรางรหสสามารถ แบงไดเปน 4 กรณ ดงน กรณท 1 สรางรหส 1 หลก เลอกตวอกษรได 4 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางรหส 1 หลกได 4 แบบ กรณท 2 สรางรหส 2 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได 4 วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได 3 วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางรหส 2 หลกได 4 x 3 = 12 แบบ กรณท 3 สรางรหส 3 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได 4 วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได 3 วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได 2 วธ จะไดวา ในกรณท 3 สรางรหส 3 หลกได 4 x 3 x 2 = 24 แบบ กรณท 4 สรางรหส 4 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได 4 วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได 3 วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได 2 วธ เลอกตวอกษรตวท 4 ได 1 วธ จะไดวา ในกรณท 4 สรางรหส 4 หลกได 4 x 3 x 2 x 1 = 24 แบบ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลกหรอ 4 หลก โดยทแตละหลกไมใชตวอกษรซ ากน 4 + 12 + 24 + 24 = 64 แบบ




10

83



2. ขาวโอตเดนทางมาโรงเรยนในตอนเชาและกลบบานในตอนเยน ซงตองเดนทางโดยเรอเทานน ซงเรอม 3 ขนาด ดงน เรอขนาดใหญ 3 ล า เรอขนาดกลาง 5 ล า และเรอขนาดเลก 2 ล า จงหาจ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ โดยใชเรอขนาดตางกน

วธท า ในการหาจ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ แบงไดเปน 3 กรณ ดงน กรณท 1 เดนทางไปโรงเรยนดวยเรอ ขนาดใหญ สามารถเลอกได 3 วธ เดนทางกลบดวยเรอ ขนาดอนๆ สามารถเลอกได 7 วธ จะไดวา ในกรณท 1 จ านวนวธในการเดนทางไปและกลบ 3 x 7 = 21 วธ กรณท 2 เดนทางไปโรงเรยนดวยเรอ ขนาดกลาง สามารถเลอกได 5 วธ เดนทางกลบดวยเรอ ขนาดอนๆ สามารถเลอกได 5 วธ จะไดวา ในกรณท 2 จ านวนวธในการเดนทางไปและกลบ 5 x 5 = 25 วธ กรณท 3 เดนทางไปโรงเรยนดวยเรอ ขนาดเลก สามารถเลอกได 2 วธ เดนทางกลบดวยเรอ ขนาดอนๆ สามารถเลอกได 8 วธ จะไดวา ในกรณท 3 จ านวนวธในการเดนทางไปและกลบ 2 x 8 = 16 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ โดยใชเรอขนาดตางกน 21 + 25 + 16 = 62 วธ

3. บรษทแหงหนงมต าแหนงวางอย 2 ต าแหนงทแตกตางกน ถามผสมครเขาท างาน 4 คน คอ มาน, มานะ, ปต และชใจ เมอกรรมการไดสมภาษณผสมครทกคน ผลปรากฏวา คนทเหมาะสมกบต าแหนงท 1 คอ มาน, มานะ, ปต คนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2 คอ มาน, ปต และชใจ จงหาจ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน

วธท า จ านวนวธทงหมดทจะรบสมครพนกงานเขาท างาน แบงไดเปน 3 กรณ ดงน กรณท 1 การรบสมครพนกงาน มาน เขาท างานต าแหนงท 1 สามารถเลอกคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2 ได 2 วธ จะไดวา ในกรณท 1 จ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน 2 วธ กรณท 2 การรบสมครพนกงาน มานะ เขาท างานต าแหนงท 1 สามารถเลอกคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2ได 3 วธ จะไดวา ในกรณท 2 จ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขาท างาน 3 วธ กรณท 3 การรบสมครพนกงาน ปต เขาท างานต าแหนงท 1 สามารถเลอกคนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2ได 2 วธ จะไดวา ในกรณท 3 จ านวนวธในการรบสมครพนกงานเขา 2 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดทจะเดนทางไปและกลบ โดยใชเรอขนาดตางกน

2 + 3 + 2 = 7 วธ

84



4. น าตวเลขโดด 0 – 9 มาสรางเปนจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด กจ านวน

วธท า จ านวนวธทงหมดทจะสรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากน แบงไดเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 เลอกเลขโดดในหลกหนวยได 1 วธ เลอกเลขโดดในหลกพนได 9 วธ เลอกเลขโดดในหลกรอยได 8 วธ เลอกเลขโดดในหลกสบได 7 วธ จะไดวา ในกรณท 1 สรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนได 1 x 9 x 8 x 7 = 504 วธ กรณท 2 หลกหนวยเปน 2 , 4 , 6 , 8 เลอกเลขโดดในหลกหนวยได 4 วธ เลอกเลขโดดในหลกพนได 8 วธ เลอกเลขโดดในหลกรอยได 8 วธ เลอกเลขโดดในหลกสบได 7 วธ จะไดวา ในกรณท 2 สรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนได 4 x 8 x 8 x 7 = 1,792 วธ ดงนน จ านวนวธในการสรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด

504 + 1,792 = 2,296 วธ

85



แบบทดสอบหลงเรยน ชดกจกรรมการเรยนรท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ขอ 1 ตอบ ค. การโยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง ขนตอนท 1 ในการโยนเหรยญครงท 1 เหรยญสามารถขนหวหรอกอยได 2 วธ

ขนตอนท 2 ในการโยนเหรยญครงท 2 เหรยญสามารถขนหวหรอกอยได 2 วธ ขนตอนท 3 ในการโยนเหรยญครงท 3 เหรยญสามารถขนหวหรอกอยได 2 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง 2 x 2 x 2 = 8 วธ

ขอ 2 ตอบ ก. น าตวอกษรภาษาองกฤษ จากค าวา MATH PS ซงมทงหมด 6 ตวอกษร มาสรางเปนค าใหมทประกอบดวย 3 ตวอกษรทไมซ ากน โดยไมค านงถงความหมาย ขนตอนท 1 ตวอกษรในต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 6 วธ

ขนตอนท 2 ตวอกษรในต าแหนงท 2 ตองไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 5 วธ ขนตอนท 3 ตวอกษรในต าแหนงท 3 ตองไมใชตวอกษรซ ากบต าแหนงท 1 และต าแหนงท 2 สามารถเลอกได 4 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมด 6 x 5 x 4 = 120 วธ

ขอ 3 ตอบ ข. ด.ญ. พอใจ ตองการสงชดอาหาร 1 ชด ขนตอนท 1 กบขาวสามารถเลอกสงได 4 วธ

ขนตอนท 2 ขนมหวานสามารถเลอกสงได 3 วธ ขนตอนท 3 น าผลไมสามารถเลอกสงได 5 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดทด.ญ. พอใจ สงอาหาร 1 ชด 4 x 3 x 5 = 60 วธ

ขอ 4 ตอบ ข. มรางวลอย 3 รางวล คอ รางวลมารยาทด รางวลเรยนด และรางวลกจกรรมดเดน โดยใหรางวลแกนกเรยนทมคณสมบตทควรจะไดรบรางวล ดงกลาว จ านวน 6 คน ซงนกเรยนแตละคนมสทธจะไดรบทงสามรางวล ขนตอนท 1 รางวลมารยาทดสามารถแจกใหนกเรยนคนใดกได เลอกได 6 วธ

ขนตอนท 2 รางวลเรยนดสามารถแจกใหนกเรยนคนใดกได เลอกได 6 วธ ขนตอนท 3 รางวลกจกรรมดเดนสามารถแจกใหนกเรยนคนใดกได เลอกได 6 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมด 6 x 6 x 6 = 216 วธ

10

86



ขอ 5 ตอบ ค. ตองการสรางจ านวนเตมบวกสามหลกทมคานอยกวา 400 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ขนตอนท 1 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดจาก 1, 2, 3, 4 ได 4 วธ ขนตอนท 2 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกรอยได 6 วธ ขนตอนท 3 หลกหนวยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกรอยและหลกสบ ได 5 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางจ านวนเตมบวกสามหลกทมคานอยกวา 400 4 x 6 x 5 = 120 วธ

ขอ 6 ตอบ ข. ขอสอบยอยเรอง ความนาจะเปน ชดหนงมจ านวน 5 ขอ แตละขอม 4 ตวเลอก ซงใน 4 ตวเลอก ซงจะมตวเลอกทถกตอง 1 ขอ และตวเลอกทผด 3 ขอ นกเรยนคนหนง ท าขอสอบฉบบนทกขอ ขนตอนท 1 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 1 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ ขนตอนท 2 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 2 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ

ขนตอนท 3 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 3 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ ขนตอนท 4 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 2 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ

ขนตอนท 5 นกเรยนคนนท าขอสอบขอท 3 เลอกตอบตวเลอกทผดได 3 วธ ดงนน นกเรยนคนนท าขอสอบผดหมดทกขอ 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 วธ

ขอ 7 ตอบ ข. จากเลขโดด 0 – 9 สามารถสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน ตองแบงออกเปน 2 กรณ กรณท 1 หลกหนวยลงทายดวย 0 ขนตอนท 1 หลกหนวยลงทายดวย 0 เลอกได 1 วธ

ขนตอนท 2 หลกพนสามารถเลอกเลขโดดจาก 1 -9 เลอกได 9 วธ ขนตอนท 3 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวยและหลกพน เลอกได 8 วธ ขนตอนท 4 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวย หลกรอย และหลกพน เลอกได 7 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลกทหลกหนวยลงทายดวย 0 1 x 9 x 8 x 7 = 504 วธ

กรณท 2 หลกหนวยลงทายดวย 2, 4, 6, 8 ขนตอนท 1 หลกหนวยลงทายดวย 2, 4, 6, 8 เลอกได 4 วธ

ขนตอนท 2 หลกพนสามารถเลอกเลขโดดทไมใช 0 และไมซ ากบเลขโดดในหลกหนวย เลอกได 8 วธ

87



ขนตอนท 3 หลกรอยสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวยและหลกพน เลอกได 8 วธ ขนตอนท 4 หลกสบสามารถเลอกเลขโดดทไมซ ากบหลกหนวย หลกรอย และหลกพน เลอกได 7 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดในการสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลกทหลกหนวยลงทายดวย 0 4 x 8 x 8 x 7 = 1,792 วธ สรปไดวา จ านวนวธทงหมดในการสรางสรางจ านวนเตมคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน คอ 504 + 1,792 = 2,296 วธ

ขอ 8 ตอบ ค. หมายเลขบตรทจะไดรบรางวลตองเปนหมายเลขทมตวเลข ในต าแหนงท 3 เปนเลข 5 และมตวเลขในต าแหนงสดทายเปนจ านวนค ขนตอนท 1 ตวเลขในต าแหนงท 1 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 2 ตวเลขในต าแหนงท 2 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขในต าแหนงท 3 เปนเลข 5 สามารถเลอกได 1 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขในต าแหนงท 4 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขในต าแหนงท 5 เปนจ านวนค สามารถเลอกได 5 วธ ดงนน จ านวนบตรทลกคาจะไดรบรางวลมทงหมด 10 x 10 x 1 x 10 x 5 = 5,000 ใบ

ขอ 9 ตอบ ง. ในการจดนกเรยนชาย 6 คน นกเรยนหญง 6 คน ยนสลบกนทละ 1 คน เปนแถวยาวในแนวเสนตรง กรณท 1 นกเรยนหญงยนในต าแหนงหวแถว ขนตอนท 1 ในต าแหนงท 1 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 6 วธ ขนตอนท 2 ในต าแหนงท 2 สามารถเลอกนกเรยนชายได 6 วธ ขนตอนท 3 ในต าแหนงท 3 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 5 วธ ขนตอนท 4 ในต าแหนงท 4 สามารถเลอกนกเรยนชายได 5 วธ

ขนตอนท 5 ในต าแหนงท 5 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 4 วธ ขนตอนท 6 ในต าแหนงท 6 สามารถเลอกนกเรยนชายได 4 วธ ขนตอนท 7 ในต าแหนงท 7 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 3 วธ ขนตอนท 8 ในต าแหนงท 8 สามารถเลอกนกเรยนชายได 3 วธ ขนตอนท 9 ในต าแหนงท 9 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 2 วธ ขนตอนท 10 ในต าแหนงท 10 สามารถเลอกนกเรยนชายได 2 วธ ขนตอนท 11 ในต าแหนงท 11 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 1 วธ ขนตอนท 12 ในต าแหนงท 12 สามารถเลอกนกเรยนชายได 1 วธ ดงนน จ านวนวธในการจดเรยงคน 6 x 6 x 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 518,400 วธ

88



กรณท 2 นกเรยนชายยนในต าแหนงหวแถว ขนตอนท 1 ในต าแหนงท 1 สามารถเลอกนกเรยนชายได 6 วธ ขนตอนท 2 ในต าแหนงท 2 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 6 วธ ขนตอนท 3 ในต าแหนงท 3 สามารถเลอกนกเรยนชายได 5 วธ ขนตอนท 4 ในต าแหนงท 4 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 5 วธ

ขนตอนท 5 ในต าแหนงท 5 สามารถเลอกนกเรยนชายได 4 วธ ขนตอนท 6 ในต าแหนงท 6 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 4 วธ ขนตอนท 7 ในต าแหนงท 7 สามารถเลอกนกเรยนชายได 3 วธ ขนตอนท 8 ในต าแหนงท 8 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 3 วธ ขนตอนท 9 ในต าแหนงท 9 สามารถเลอกนกเรยนชายได 2 วธ ขนตอนท 10 ในต าแหนงท 10 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 2 วธ ขนตอนท 11 ในต าแหนงท 11 สามารถเลอกนกเรยนชายได 1 วธ ขนตอนท 12 ในต าแหนงท 12 สามารถเลอกนกเรยนหญงได 1 วธ ดงนน จ านวนวธในการจดเรยงคน 6 x 6 x 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 518,400 วธ

สรปไดวา จ านวนวธทงหมดในการจดนกเรยนชาย 6 คน นกเรยนหญง 6 คน ยนสลบกนทละ 1 คน เปนแถวยาวในแนวเสนตรง

คอ 518,400 + 518,400 = 1,036,800 วธ

ขอ 10 ตอบ ก. หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครประกอบดวยพยญชนะ 2 ตว และตวเลข 1 ถง 4 หลก แบงเปน 4 กรณ กรณท 1 ตวเลข 1 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 ทะเบยน กรณท 2 ตวเลข 2 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกสบ เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 x 10 ทะเบยน

89



กรณท 3 ตวเลข 3 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกรอย เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขหลกสบ เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 x 10 x 10 ทะเบยน กรณท 4 ตวเลข 4 หลก ขนตอนท 1 พยญชนะตวท 1 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 2 พยญชนะตวท 2 สามารถเลอกได 44 วธ ขนตอนท 3 ตวเลขหลกพน เลอกจากจาก 1 - 9 สามารถเลอกได 9 วธ ขนตอนท 4 ตวเลขหลกรอย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 5 ตวเลขหลกสบ เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ขนตอนท 6 ตวเลขหลกหนวย เลอกจากจาก 0 - 9 สามารถเลอกได 10 วธ ดงนน หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด 44 x 44 x 9 x 10 x 10 x 10 สรปไดวา หมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพมหานครมทงหมด คอ (44 x 44 x 9) + (44 x 44 x 9 x 10) + (44 x 44 x 9 x 10 x 10) + (44 x 44 x 9 x 10 x 10 x 10) = 44 x 44 x (9 + 90 + 900 + 9,000) = 19,358,064 ทะเบยน

90



ค าชแจง แบบประเมนพฤตกรรมการท างานรวมกนของกลม สรางขนเพอศกษาพฤตกรรมการท างานกลมรวมกนของนกเรยนในขณะทนกเรยนก าลงท ากจกรรม โดยครผสอนเปนผประเมนโดยใชการสงเกต ซงมเกณฑของระดบคณภาพดงน

5 หมายถง การปฏบตของสมาชกในกลมอยในระดบมากทสด 4 หมายถง การปฏบตของสมาชกในกลมอยในระดบมาก 3 หมายถง การปฏบตของสมาชกในกลมอยในระดบปานกลาง

2 หมายถง การปฏบตของสมาชกในกลมอยในระดบนอย 1 หมายถง การปฏบตของสมาชกในกลมอยในระดบนอยทสด

รายการประเมน

ระดบคณภาพ กลมท

X

SD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. มการวางแผนการท างาน กอนการปฏบตกจกรรม 2. มการแบงหนาทความรบผดชอบภายในกลม 3. มความรบผดชอบตองานทไดรบมอบหมาย 4. ใหความรวมมอ ชวยเหลอกน ใหก าลงใจ ซงกนและกน ในการปฏบตงาน

5. ยอมรบฟงความคดเหนของสมาชกในกลม

เฉลยรวม

ลงชอ................................................ ครผสอน (นางสาวจนตจฑา พรหมรกษ) วนท.........เดอน.........................พ.ศ........

แบบประเมนพฤตกรรมการท างานกลมจากการเรยนโดยใช ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตรโดยใชเทคนคTAI

เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5

ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชนมธยมศกษาปท 5/.........

91



ค าชแจง แบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยน สรางขนเพอใชบนทกคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนในขณะทปฏบตกจกรรม ซงครผสอนเปนผประเมนโดยใชการสงเกตและใชเกณฑระดบคณภาพดงน

5 หมายถง คณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนอยในระดบมากทสด 4 หมายถง คณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนอยในระดบมาก 3 หมายถง คณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนอยในระดบปานกลาง

2 หมายถง คณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนอยในระดบนอย 1 หมายถง คณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนอยในระดบนอยทสด

กลมท

ครงท

ชดกจกรรมการเรยนร

ระดบคณภาพของคณลกษณะอนพงประสงค

ความ

รบผด

ชอบ

มระเ

บยบว

นย ต

รงตอ

เวลา

ความ

เชอม

นในต

นเอง

มน าใ

จชวย

เหลอ

ผอน

X SD

1

1 1.1 แผนภาพตนไม

2 1.2 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(กฎการคณ)

3 1.3 กฎการคณ (ตอ)

4 1.4 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (กฎการบวก)

รวม

2





รวม

3





รวม

แบบสงเกตคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยนทไดรบการสอนโดยใช ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตรโดยใชเทคนค TAI

เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

92



กลมท

ครงท



ความ

รบผด

ชอบ

มระเ

บยบว

นย ต

รงตอ

เวลา

ความ

เชอม

นในต

นเอง

มน าใ

จชวย

เหลอ

ผอน

X SD

4





รวม

5





รวม

6





รวม

7





รวม



93



กลมท

ครงท



ความ

รบผด

ชอบ

มระเ

บยบว

นย ต

รงตอ

เวลา

ความ

เชอม

นในต

นเอง

มน าใ

จชวย

เหลอ

ผอน

X SD

8





รวม

9





รวม

10





รวม

11





รวม



94



กลม เลขท

ในกลม

ชอ –สกล คะแนน

ฐาน กอนเรยน

แบบฝก ทกษะ 1.1

แบบฝกทกษะ 1.2



หลงเรยน

คะแนน ความกาวหนา

1

คะแนนความกาวหนาเฉลยของกลม

ระดบการพฒนา

2



3



4



แบบบนทกคะแนนของนกเรยนทเรยนโดยใช ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตรโดยใชเทคนค TAI


ชนมธยมศกษาปท 5/...........

95




ในกลม









5



6



7



8



ชนมธยมศกษาปท 5/...........



96




ในกลม









9



10



11





97



บรรณานกรม กนกวล อษณกรกล, และรณชย มาเจรญทรพย. (2553). แบบฝกหดและประเมนผล

การเรยนรคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2 ตรงตามหลกสตร แกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. กระทรวงศกษาธการ. (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จ ากด.

แกวตา เลาหบตร. (2551). กจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตร เรอง ความนาจะเปน ทเนนการเชอมโยง ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3. ปรญญานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. ธนวฒน สนมราพรพล. (2553). แบบฝกทกษะและวธคดเรว คณตศาสตรพนฐาน เลม 2

ชนมธยมศกษาปท 4-6 ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: ส านกพมพSCIENCE CENTER.

ฝายวชาการดอกหญาวชาการ. (2553). แบบฝกตวเขมคณตศาสตรพนฐาน ม.5 เลม 1 ตรงตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการฉบบลาสด.

กรงเทพฯ: ส านกพมพดอกหญาวชาการ. ระพพฒน แกวอ า. (2553). กจกรรมการเรยนการสอนทเนนการใหเหตผลทางคณตศาสตร

เรอง ความนาจะเปนทเนนส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3. ปรญญานพนธ กศ.ม.(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2558). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช2551. พมพครงท 8. กรงเทพฯ: โรงพมพสกสค. ลาดพราว.

_______. (2553). คมอครรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน

พทธศกราช 2551. พมพครงท 1. กรงเทพฯ: โรงพมพสกสค. ลาดพราว. สชพ งามเจรญ, และไอศรย สดประเสรฐ. (2554). คณตคดเรวทละเรอง ความนาจะเปน คณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 ตามหลกสตรแกนกลางการศกษา ขนพนฐานพทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: ส านกพมพSCIENCE CENTER.

Documents

ชุดที่ 1 ค าชี้แจงแผนภาพต้นไม้ แบ่งได้เป็น 2 แบบ คือ 1) แผนภาพต้นไม้ที่แตกกิ่งออกอย่างเป็นระเบียบ