เอกสารประกอบการอบรม

เรอง

พชคณต I

โดย

ดร. เรองวรนท อนทรวงษ สราญรกษสกล

โครงการสงเสรมโอลมปกวชาการและพฒนามาตรฐานวทยาศาสตรศกษา (สอวน.)

ระหวางวนท 7-9 ตลาคมพ.ศ. 2553

ณ. ศนยโรงเรยนราชสมาวทยาลย

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 1

พชคณต

พชคณต เปนแขนงวชาหนงในคณตศาสตรเชนเดยวกบเรขาคณตหรอตรโกณ แตพชคณตเปนวชาทจะศกษา

การแกโจทยปญหาทางคณตศาสตรดวยกระบวนการทอาจสรางขนในรปของนพจนทประกอบดวย

สญลกษณในรปตวแปรซงสามารถใชแทนตวเลข เซต ฟงกชน หรออะไรกได จงท าใหวธการทางพชคณต

สามารถใชในการแกปญหาหรอสนบสนนงานทางคณตศาสตรหลายสาขา เชนทางดานเครอขาย

ตดตอสอสาร กฎทางฟสกส แบบจ าลองประชากร ผลเชงสถต ซงสงตางเเหลานสามารถถกแทนไดดวย

สญลกษณทางพชคณตซงออกมาในรปสมการ

สมการ คอขอความทแสดงความสมพนธของนพจน เพอบอกวานพจนทงสองขางใชแทนสงเดยวกน โดย

เชอมนพจนทงสองขางดวย “ = ”

แบบฝกหด คอโจทยค าถามซงเราทราบวธการหรอเทคนคทแนนอนทนทวาท าอยางไรจงจะไดค าตอบซง

ขนอยกบประสบการณ (experience) และความแมนย าของผท าโจทย โดยไมจ าเปนตองหาหรอใชเทคนคท

ยงยากซบซอน แตทงนกเพอใหผท าแบบฝกหดไดคนเคยกบเทคนคหรอทฤษฎบทส าหรบแกโจทยปญหาใน

ลกษณะเฉพาะอยางหนงเพอสงสมประสบการณส าหรบน าไปประยกตกบค าถามอนเตอไป

โจทยปญหา คอค าถามทตองการหรออาศย เชาวปญญา ไหวพรบ ปฏภาณ ความชางสงเกตและความชางคด

ในการวเคราะหเพอคนหาวธการหรอเทคนคทสงสมมาจากการท าแบบฝกหดในการตอบโจทยปญหา

ดงนนการแกโจทยปญหาดวยพชคณต จงตองการ ทกษะ เวลา ความอตสาหะ ความพยายาม และ

ความอดทน

ตวอยาง (การใชพชคณตในการแกปญหา)

จงหาเลขสองหลกจ านวนหนงทมผลบวกของเลขโดดในหลกทงสองเทากบ 12 แตเมอน า 36 บวกกบเลข

ดงกลาวจะไดเลขจ านวนใหมทกลบหลกกบเลขจ านวนเดม

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 2

ตวอยาง (แบบฝกหด) จงเขยนผลบวก 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 99 100

ใหอยในรปผลบวกของเศษสวนทม

จ านวนพจนนอยทสด

ตวอยาง (โจทยปญหา) 2 2 2 2

1 1 1 1

10 11 12 1000 มคาเทาใด (ตอบเปนทศนยม 3 ต าแหนงทมคา

ผดพลาดนอยกวา 0.006)

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 3

Telescope

การจดรปผลบวกใหมพจนซ าซอน แตตางเครองหมายกนซงจะหกลางกนหมดไปจนเหลออยเพยง

ไมกพจนทเราสามารถหาคาผลบวกไดอยางงายเ หรอเปนการสรางผลบวกใหม ทมพจนเกอบเหมอนกนทง

หมดแลวน าผลบวกทงสองมาหกลางกน แลวสงทเหลอจะอยในรปสมการงายเ ทตวแปรคอสงทเราตองการ

หาคา ท าใหเราสามารถประยกตกบการหาผลบวกของอนกรมอนเไดอกมากมาย

ตวอยาง จงพสจนวา 2

2

1 1(1 )

2n n

ตวอยาง จงท าใหผลคณอยในรปอยางงาย 1002 4 2

1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )

a a a a

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 4

ตวอยาง ก าหนดให 0

1( )

1f x

x

และ 0 1( ) ( ( ))n nf x f f x ส าหรบ 1n และ 1x จงหาคาของ

2002(2002)f

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 5

ตวอยาง ถา 1( )

1

xf x

x

และ 1( ) ( ) ( )n nf x f x ส าหรบ 1n และ 1x จงหาคาของ

1997 (2540)f

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 6

ตวอยาง จงหาคาของ (68 69 70 71) 1

ตวอยาง ถา 3x y xy จงหาคาของ 3 3x y

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 7

ตวอยาง จงหาคาของ 2 2 4 2 2 4x x x x เมอ 2 3x

ตวอยาง ก าหนดให x หมายถงจ านวนเตมทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ x

ให n เปนจ านวนเตมใดเ จงพสจนวา 1

2 2

n nn

และ

21

2 2 4

n n n

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I | 8

แบบฝกหด

1. จงหาคาของ (3 8 13 18) 625

2. จงหาจ านวนเตม x ทงหมดทท าให x และ x x เปนจ านวนเตม

3. จงหาเลขสามหลกจ านวนหนง ถาสลบหลกหนวยกบหลกรอยของจ านวนนนจะไดจ านวนทมากกวาสอง

เทาของจ านวนเดมอย 66 แตถาสลบหลกรอยกบหลกสบจะไดจ านวนทมคานอยกวาจ านวนเดมอย 180 และ

ถาสลบหลกหนวยกบหลกสบจะไดจ านวนทมคามากกวาเดมอย 63

4. จงหาคาของ 2

2

1x

x และ 3

3

1x

x เมอ 1

1xx

5. จงหาผลบวกของ 6 66 666 6666 66666...6 ( n ตว) เมอ 1n

6. ก าหนด 2 2( ) 2 , ( ) , ( ) ( )( ), ( ) ( )( )4

xf x x g x h x f g x h x h h x และ 1( ) ( )( )n nh x h h x

เมอ 2n จงหาคาของ 20 ( )h x

7. จงหาคาของ

7.1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 ( 1) ( 2)n n n

7. 22 2 2 2 2 2 2 2

3 5 7 29

1 2 2 3 3 4 14 15

8. จงหาค าตอบของสมการ 1

2 2log (9 15) 2 log (61(3 ) 3)x x

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

30

บทพสจน

ตวอยาง จงหาคา p ทท าใหผลตางของรากทงสองของสมการ 23 ( 1) 3 0x p x เปน 61

3

ตวอยาง ใหอตราสวนของรากทงสองของสมการ 2 0ax bx c เปน :m n จงแสดงวา

1. 2 2( )mnb m n ac 2. ถา 0b c แลว 0m n b

n m a

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

31

ตวอยาง ถา และ เปนรากของสมการ 2 0x ax b จงพสจนวา 3 3 33ab a พรอมทงหา

สมการซงมรากเปน 2( 1) และ 2( 1)

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

32

ดสครมแนนท (discriminant)

ส าหรบสมการก าลงสอง 2ax bx c เมอ 0a มสองรากคอ 2 4

2

b b ac

a

หรอ2 4

2

b b ac

a

ถา 2 4 0b ac รากทงสองของสมการจะตางกน และรากจะเปนจ านวนจรงเมอ 2 4 0b ac แสดงวา 2 4b ac เปนนพจนทเราสามารถใชตอบค าถามเกยวกบลกษณะรากของสมการก าลงสองได เราจงเรยก

นพจน “ 2 4b ac ” วา ดสครมแนนท (discriminant) ของพหนามและสมการพหนาม ซงจะสรปเปน

ทฤษฎบทดงน

ทฤษฎบทของพหนามก าลงสอง

ให 2ax bx c เปนพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนจรง

1. พหนาม 2ax bx c เขยนไดในรป 2( )px q โดยท , p และ q เ ปนจ านวนคงคาหรอ

คาคงท กตอเมอ 2 4 0b ac

[ในกรณนเราจะกลาววารากของ 2ax bx c เปนรากจรง โดยทรากทงสองซ ากน และมคาเทากบ b

a ]

2. 2ax bx c มรากสองรากตางกน กตอเมอ 2 4 0b ac

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

33

2.1 ถา 2 4 0b ac รากทงสองของสมการก าลงสองเปนรากจรง

2.2 ถา 2 4 0b ac เราจะกลางวารากทงสองของสมการก าลงสองเปนจ านวนเชงซอนหรอ

รากซอน

2.3 2 4b ac เปนก าลงสองสมบรณแลวรากทงสองของสมการก าลงสองเปนรากตรรกยะ

ตวอยาง จงหาคา m ทท าใหรากของสมการ 2 4 0x mx m มรากเปนจ านวนจรงบวกทงสองราก

ตวอยาง ก าหนดให 0a และ , เปนรากของสมการ 22 3 0x ax ถา 2

1

และ

2

1

เปนราก

ของสมการ 29 52 4 0x x คาของ a เปนเทาใด

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

34

ตวอยาง จงสรางสมการทมรากเปน 2

2

1a

b และ 2

2

1b

a เมอ a และ b เปนรากของสมการ

2 0x px q พรอมทงพสจนวา p และ q เปนจ านวนจรง และสมการทสรางขนจะมรากซ ากน

กตอเมอ 0p หรอ 2 4p q

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

35

แบบฝกหด

1. จงแสดงวา ถา n เปนจ านวนเตมบวกแลว 1 12 4 2 2 3 2(1 )(1 )(1 )...(1 ) 1

n n

t t t t t t t t

2. จงหาคา m และ p ทท าให 3 เปนรากรวมของพหนาม 3 23 3 0x mx px และ พหนาม3 23 5 3 0x mx px

3. จงแสดงวาพหนาม 2 3 99 100 2 3 99 100(1 ... )(1 ... )x x x x x x x x x x ไมมพจน

ทก าลงค

4. ให m และ n เปนรากของพหนามก าลงสอง 2 5 3x x จงหาพหนามก าลงสองทม 2m n และ 2n m เปนราก

5. ให m และ n เปนรากของพหนามก าลงสอง 2 0t bt c จงแสดงวา b และ c เปนรากของ

สมการพหนาม 2 ( ) ( ) 0t m n mn t mn m n

6. ถา 7 เปนรากของสมการพหนามก าลงสอง 2 2 7 0x ax a แลว จงหารากของสมการพหนาม2 29 90 0x ax a

7. ถา และ เปนรากของสมการ 2 0x px q จงหาสมการทมรากตามทก าหนดใหตอไปน

เ ร อ ง ว ร น ท อ น ท ร ว ง ษ ส ร า ญ ร ก ษ ส ก ล A l g e b r a I |

36

7.1 2( ) และ 2( )

7.2 และ

8. จงพสจนวารากทงสองของสมการ 2 0ax bx c จะเปนจ านวนจรงลบทงค ถา ,a b และ c

เปนจ านวนจรงทมเครองหมายเหมอนกน และรากทงสองจะเปนจ านวนจรงบวกทงค ถา a และ c

เปนจ านวนจรงทมเครองหมายเหมอนกนแตตางกบเครองหมายของ b

9. จงพสจนวา ถาสมการ 2 0x px q และสมการ 2 1 0px qx แลว 1 0p q หรอ 2 2 1p q pq p q

10. จงพสจนวา ถารากทงสองของสมการ 2x px q เปนจ านวนจรง แลวค าตอบของสมการ2 ( )(2 ) 0x px q x a x p เปนจ านวนจรงส าหรบทกจ านวนจรง a

11. ถาสมการ 2 0x ax bc และ 2 0x bx ca เมอ ,a b และ c ไมเปนศนย มรากรวมกน

หนงตว จงพสจนวา รากตวทเหลอของแตละสมการจะเปนรากของ 2 0x cx ab