วิชาคณิตศาสตร ์

โดย

อ.ภาคภมิู อรา่มวารกีลุ

EVENT ETV

ลิมิตของล�ำดับ

ถ้า an และ bn เป็นล�าดับ ซึ่ง lima An n ="3

และ limb Bn n ="3

เมื่อ ,A B เป็นจ�านวนจริง และ c เป็นค่าคงที่ จะได้ว่า

# '+ - limit กระจายได้หมด

1. ( ) 0 ; 0; 0

limn

kk

1n k

3

2

1=

"3 )2.

; | |r; | |lim r r 1

1

0n

n 1

2=

"3 )หาค่าไม่ได้

ทฤษฎีลิมิต

ลิมิตของล�ำดับเศษส่วนพหุนำม

- พหุนาม ดูดีกรีสูงสุด

เทคนิคการหาลิมิต

ของล�าดับเศษส่วนพหุนาม

พหุนำม

♥ ดีกรีสูงสุดของเศษน้อยกว่าส่วน

limn

n n n42 3 0

n 4

3 2

++ + + =

"3

♥ ดีกรีสูงสุดของเศษเท่ากับส่วน

limn n

n n n4 2 32 4 1

21

n 3 2

3 2

+ -+ - + =

"3

♥ ดีกรีสูงสุดของเศษมากกว่าส่วน

limn n

n n2 1n 2

3 23

+ ++ =

"3

1. ถ้า an เป็นล�าดับของจ�านวนจริงบวก ซึ่ง liman n"3

หาค่าได้ และ a n n a1 2n n= + +

แล้ว liman n"3 เท่ากับเท่าใด

EVENT ETV

2. ก�าหนดให้ an# - เป็นล�าดับของจ�านวนจริง โดยที่

a 11= และ ...a n1 41 1 9

1 1 1n 2= - - -d d en n o

ส�าหรับ , , , ...n 2 3 4= ค่าของ liman n"3 เท่ากับเท่าใด

ซิกม่ำ + ล�ำดับเลขคณิต, เรขำคณิต

c nci

n

1=

=/ (c เป็นค่าคงที่) ...i n1 2

i

n

1= + + + =

=/ ( )n n

21+

ca c aii

n

ii

n

1 1=

= =/ / ...i n1 2

i

n 2 2 2 2

1= + + + =

=/ ( ) ( )n n n

61 2 1+ +

( )a b a bi ii

n

ii

n

ii

n

1 1 1! !=

= = =/ / / ...i n1 2

i

n 3 3 3 3

1= + + + =

=/ 2

( 1)n n 2+; E

ล�ำดับเลขคณิต

สัญลักษณ์แทนกำรบวก

ล�าดับเลขคณิต คือ ล�าดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n 1+ กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่

เรียกค่าคงตัวนั้นว่า “ผลต่างร่วม” ( )d a an n1= -+

พจน์ทั่วไป ( )a a n d1n 1= + -

ล�ำดับเรขำคณิต

ล�าดับเรขาคณิต คือ ล�าดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n 1+ ต่อพจน์ที่ n เป็น

ค่าคงที่

เรียกค่าคงตัวนั้นว่า “อัตราส่วนร่วม” r aan

n 1= +c m พจน์ทั่วไป a a rn

n1

1=

-

EVENT ETV

3. ให้ an# - เป็นล�าดับเลขคณิต โดยที่ a 21= และ

...a a a1 2 31 1 1 สมมติว่า , ,a a a2 4 8 เรียงกันเป็น

ล�าดับเรขาคณิต จงหาค่าของ n ที่ท�าให้

...

( ) ( ) ... ( )a a a

a a a1 1 1450391

n

n

13

23 3

13

23 3

+ + +- + - + + - =

อนุกรมจ�ำกัด, อนุกรมอนันต์

อนุกรมจ�ากัด (ผลบวก n พจน์แรก) ...S a a a an n1 2 3= + + + +อนุกรมอนันต์ ...S a a a1 2 3= + + +3

โดย limS Sn n="3 3

● อนุกรมอนันต์ที่หาผลบวกได้

เรียกว่า “อนุกรมลู่เข้า” (Convergent Series)● อนุกรมอนันต์ที่หาผลบวกไม่ได้

เรียกว่า “อนุกรมลู่ออก” (Divergent Series)

จ�ากัด อนันต์

อนุกรมเลขคณิต( )

( ( ) )

S n a an a n d2

2 2 1

n n1

1

= +

= + -...0 0 0 0+ + + =

อนุกรมเรขาคณิต (1 )S r

a r1n

n1= --

; | | 1S ra

r11 1= -3

กรณีอนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์

ถ้า | | 1r H จะเป็น “อนุกรมลู่ออก” หรือหาผลบวกไม่ได้

อนุกรมเลขคณิต/ เรขำคณิต

EVENT ETV

4. ให้ an# - และ bn$ . เป็นล�าดับเลขคณิตของจ�านวนจริง

โดยที่ ......

b b ba a a

nn2 11

nn

1 21 2+ + ++ + + = -

+

ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3=

ค่าของ ab2100100 เท่ากับเท่าใด

5. ก�าหนดให้ a3

1 2 2 2 2n n

n2

2 3 f= + + + + +

เมื่อ , , , ...n 1 2 3= ค่าของ lim a a a an n1 2 3 f+ + + +"3` j

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 92

2. 81

3. 569

4. 72

5. 5625

EVENT ETV

6. ก�าหนดให้ an# - และ bn$ . เป็นล�าดับของจ�านวนจริง

โดยที่ a a3 n n1=+ และ b a2n n n= ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3= ถ้า a 25= แล้ว

อนุกรม b b b1 2 3 f+ + + มีผลบวกเท่ากับเท่าใด

อนุกรมผสม

อนุกรมเลขคณิตกับเรขาคณิต → ให้ท�าดังนี้

1. ให้ Sn เป็นสมการ 1

2. สร้างสมการ 2 โดยน�า r คูณสมการ 1 3. น�าทั้งสองสมการมาลบกัน

7. ก�าหนดให้ , , ,..., ,...a a a an31 2 เป็นล�าดับเลขคณิตของ

จ�านวนจริง โดยที่ a 1900nn 1

25=

=/ และ

a4

8nn

n 11=

3

-=/

ค่าของ a100 ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1. 298

2. 302

3. 400

4. 499

5. 598

EVENT ETV

8. ถ้า f x k x kk

2 11

100$= -

=^ h / แล้ว f

21 2` j

มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1 99 299$+ 2. 1 100 299$+ 3. 2 99 299$+ 4. 1 99 2100$+ 5. 1 100 2100$+

อนุกรมเศษส่วนย่อย

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n d d n n d

n n d n d d n n d n d n d

1 1 1 1

21

21 1

21

+ = - +

+ + = + - + +

8

;

B

E

//

//

9. ถ้า , , ,...,a a a a1 2 3 20 เป็นล�าดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วม

เท่ากับ 212 แล้วผลรวม

( ) ( ) ( ) ...a a a a a a211

191

171

20 1 19 2 18 3- + - + - +

( ) ( )a a a a51

31

12 9 11 10+ - + -

มีค่าเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้

1. 51

2. 21

3. 1

4. 2

5. 5

EVENT ETV

10. ให้ a เป็นจ�านวนจริงบวก และให้ bn$ . เป็นล�าดับของ

จ�านวนจริง โดยที่ b a n a n1n= + - +` _j i

ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3= ถ้า a สอดคล้องกับ

lim b ba

b ba

b ba n1 2

3121

n n n1 2 2 3 1f+ + + + + ="3 +

f p

แล้วค่าของ a 572+ เท่ากับเท่าใด

11. ก�าหนดให้ an4 12

31

n

n

2= -- -e o

ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3=

อนุกรม ann 1

3

=/ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 45

2. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 43

3. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 65

4. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 61

5. อนุกรมลู่ออก