เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2

1...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2

บทที่ 2

พหุนาม

2.1 เอกนาม

นิพจน ์(expression) คือ ข้อความที่เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ต่าง ๆ แต่ในทางพีชคณิตจะมีการใช้ตัวอักษร เช่น a, b, c, A, B, C แทนจ านวนต่าง ๆ ที่เราต้องการ โดยมีตัวอย่าง เช่น 3, 6x, x+y , 11 , x2-y2-xy ,…

โดยเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร (variable) และตัวเลขเรียกว่า ค่าคงตัว (constant)

ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร

1. ในกรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว ให้หาผลคูณของค่าคงตัวก่อน แล้วจึงเขียนในรูปการคูณระหว่าง ค่าคงตัวกับตัวแปรโดยเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร เช่น 2x5xaxb เขียนเป็น 10ab

2. ให้เขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร ในกรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียน ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 เขียนเฉพาะเครื่องหมายลบหน้าตัวแปรท้ังหมด ส่วนตัวแปรให้เขียนล าดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดติดกัน

เช่น (-1)xnxm เขียนเป็น -mn

3. กรณีมีตัวแปรหลายตัว ให้เขียนเรียงตามล าดับอักษร โดยเขียนเรียงชิดกัน ใช้สัญลักษณ์เลขยกก าลังในกรณีที่เป็นไปได้ เช่น 3x4xaxbxbxaxa เขียนเป็น 12a3b2

ตัวอย่างที่ 1 ให้นักเรียนเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปรต่อไปน้ีให้ถูกต้อง

5x(-2)xaxdxc เขียนเป็น .........................................................

(-4)x(-2)xbxbxaxa เขียนเป็น .........................................................

3x5xpxpxrxs เขียนเป็น .........................................................

(-1)xqxqxqxp เขียนเป็น .........................................................


เอกนาม (monomial) คือ นิพจน์ท่ีสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวข้ึนไป โดยที่ เลขชี้ก าลัง(exponent) ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจ านวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม

7x , 2

3ab, 8ab3c ,0 ,5 , 3x – x

เหตุผล 7x เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 7กับตัวแปร x เลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็น 1

2

3ab เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 2

3 กับตัวแปร a, b เลขชี้ก าลังของตัวแปร

เป็นทุกตัวเป็นจ านวนเต็มบวก

8ab3c เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 8 กับตัวแปร a, b และ c เลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็นทุกตัวเป็นจ านวนเต็มบวก

0 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 0 คูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0a3 ซึ่งเลขชี้ก าลังของตัวแปรน้ันเป็นจ านวนเต็มบวก

5 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 5a0 ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัว 5 กับตัวแปรใด (a) ซึ่งเลขชี้ก าลังของตัวแปรน้ันศูนย ์

3x – x เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนเป็น 2x ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัวกับตัวแปรท่ีมีเลขชี้ก าลังเป็นจ านวนเต็มบวกได้

ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม

4x-1y , 𝑥𝑦 , 2 – 3x, a+b+c

เหตุผล 4x-1y ไม่เป็นเอกนาม เพราะเลขชี้ก าลังของตัวแปร x เป็น -1

𝑥𝑦 ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณจะได้ xy-1 เลขชี้ก าลังของ y เป็น -1

2 – 3x ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้

a+b+c ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้


สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม

เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน คือส่วนที่เป็นค่าคงตัวและส่วนที่อยู่ในรูปการคูณกันของตัวแปร โดยส่วนที่เป็นค่าคงตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และ ผลบวกของเลขชี้ก าลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามจะเรียกว่า ดีกรีของเอกนาม

ตัวอย่างที่ 4 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม

2xy เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 2 ดีกรี = 1 + 1 = 2

-xy2 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 + 2 = 3

23a3b4 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 23 ดีกรี = 3 + 4 = 7

-8 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = -8 ดีกรี = 0

x เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 1 ดีกรี = 1

-a เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1

𝑥𝑦 𝑧2

3 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 1

3 ดีกรี = 1+1+2 = 4

ข้อสังเกต ส าหรับเอกนาม 0 ไม่สามารถบอกดีกรีที่แน่นอนได้เพราะ 0 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 0 กับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0x3 หรือ 0y4 ดังน้ันดีกรีของเอกนาม 0 จึงก าหนดไม่ได้

และเอกนามท่ีเป็นค่าคงตัวท่ีไม่ใช่ศูนย์ จะมีดีกรีเป็น 0 ทั้งหมด เพราะจัดให้อยู่ในรูปการคูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ท่ีมีเลขชี้ก าลังเป็น 0 หรือตัวแปรก่ีตัวก็ได้ท่ีมีเลขชี้ก าลังของตัวแปรทุกตัวเป็น 0 เช่น 3x0, 3a0b0,3y0 มีค่าเท่ากับ 3 ทั้งหมด

ก่อนนอนนักเรียนอย่าลืมทบทวนเอกนามอีกรอบนะค่ะ ... หรือไม่เรามาเริ่มท าแบบฝึกหัดท่ี 1 กันดีกว่านะค่ะ


แบบฝึกหัดที่ 1

เรื่อง เอกนาม

1. จงใส่เครื่องหมาย หน้านิพจน์ที่เป็นเอกนามและเครื่องหมาย หน้านิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม

.............. 1.1 5-2a ……………… 1.2 15xy-2 ……………… 1.3 4(x+y)

.............. 1.4 -5.5 a3b0 ……………… 1.5 32xy2z3 ……………… 1.6 13m-3n

.............. 1.7 11p2qr ……………… 1.8 𝑥2

3 ……………… 1.9 0.5

(𝑎𝑏𝑐 )−4

.............. 1.10 5 𝑎𝑏 ∙ 𝑎3𝑏3 ……………… 1.11 2.7 ……………… 1.12 1

4pq

.............. 1.13 3x + 2y ……………… 1.14 15x0y-1z2 ……………… 1.15 7xy

2. จงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปน้ี

ข้อ เอกนาม สัมประสิทธิ ์ ดีกรีเอกนาม 1 -2p2q 2 7

13x2y5

3 -9ab2c3 4 -16x0yz4 5 1

2−3 m2n5

6 −𝑎3𝑏

8

7 3.6p5q7 8 3 𝑥2𝑦0𝑧3 9 9𝑎3𝑏2

3𝑎𝑏

10 𝑚3𝑛

𝑚−1


2.2 การบวกและการลบเอกนาม

เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามท่ีมีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้ก าลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละ เอกนามเท่ากัน

ตัวอย่าง 1 เอกนามท่ีคล้ายกัน ตัวอย่าง 2 เอกนามท่ีไม่คล้ายกัน

3x คล้ายกันกับ - 7x - 6x ไม่คล้ายกันกับ - 5y

- 5xy2 คล้ายกันกับ 𝑥𝑦2

3 3x2y ไม่คล้ายกันกับ 2xy2

5 คล้ายกันกับ 2 4x ไม่คล้ายกันกับ 3x2

3m2n ไม่คล้ายกันกับ 5m2nt

การบวกเอกนาม การหาผลบวกของเอกนามท่ีคล้ายกัน สามารถหาผลบวกได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ดังน้ี

ผลบวกของเอกนามท่ีคล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)x(ส่วนที่อยู่ในรูปตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)

ข้อสังเกต ส าหรับเอกนามท่ีไม่คล้ายกัน เช่น -7x กับ -7y

สามารถเขียนผลบวกในรูปเอกนามได้ คือ (-7)x + (-7)y

ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของเอกนามท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้

1. 11a + 7a = (11+7)a = 18a

2. -6x2y + 9x2y = [(-6) + 9] x2y = 3x2y

3. 10a2bc + 3a2bc = (10+3)a2bc = 13a2bc

4. 7xy2z + (-5xy2z) = [7+(-5)]xy2z = 2xy2z

5. -2pqr + (-4pqr) = [(-2)+(-4)]pqr = -6pqr


เน่ืองจากว่าเอกนามแทนจ านวน ดังน้ัน จึงใช้สมบัติการสลับท่ีส าหรับการบวก สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส าหรับการบวก สมบัติการบวกด้วยศูนย์ และสมบัติการคูณด้วยศูนย์ มาใช้ในการหาผลบวกของเอกนามได้

การลบเอกนาม อาศัยหลักการเช่นเดียวกับการลบจ านวนสองจ านวนที่กล่าวว่า “การลบ คือ การบวกด้วยจ านวนตรงข้ามของตัวลบ” ตามข้อตกลงดังน้ี

a – b = a + (-b) เมื่อ a , b เป็นจ านวนใด ๆ

และ -b เป็นจ านวนตรงข้ามของ b

การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกัน เราจึงเขียนการลบให้อยู่ในรูปการบวกของเอกนาม เช่น 4a5 – 3a5 = 4a5 + (–3a5) แล้วจึงใช้หลักเกณฑ์ท่ีได้จากการบวกเอกนามทีค่ล้ายกัน

ตัวอย่าง 4 จงหาผลลบของเอกนามท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้

1. 5xy – 2xy = 5xy + (-2xy) = [5+(-2)]xy = 3xy

2. 6a2b – (-3a2b) = 6a2b + 3a2b = (6+3)a2b = 9a2b

3. (-2x2) – 4x2 = (-2x2) + (-4x2) = [(-2)+(-4)]x2 = -6x2

4. 7m2n – 10m2n = 7m2n + (–10m2n) = [7 +(-10)]m2n = -3m2n

5. (-7st2) – (-2st2) = (-7st2) + 2st2 = [(-7)+2]st2 = - 5st2

เอกนามท่ีไม่คล้ายกัน เช่น 3x2y4 กับ x3y3 ไม่สามารถหาผลลบในรูปเอกนามโดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ จึงเขียนผลในรูปการลบ ดังน้ี 3x2y4 - x3y3 เป็นต้น



เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม

1. จงพิจารณาเอกนามท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้ว่าคูใดคล้ายกันหรือไม่คล้ายกัน โดยเติมเครื่องหมาย ในช่อง

1.1 5w2 กับ 2w2 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.2 -19y5 กับ -5y5 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.3 x3 กับ y3 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.4 -a2 กับ -4a2 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.5 xy2z3 กับ x3y2z คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.6 xyz กับ xzy คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.7 x2y กับ xy2 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.8 -4u กับ 3u คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.9 -5x3y2 กับ -5x2y3 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

1.10 x กับ –x คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน

2. จงหาผลบวกของเอกนามท่ีก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี

2.1 -12x+13x 2.2 3ab+5ab

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

2.3 17m2+(-3m2) 2.4 (-3ab4)+(-17ab4)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

2.5 25p2q4+6p2q4 2.6 (-5x2y)+3yx2

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………


2.7 10a2b2c2 + 21a2b2c2 2.8 (18x2yz)+ (-

1

8x2yz)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

2.9 (-2m2n5)+( -18m2n5) 2.10 15yxz + 13xyz

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3. จงหาผลลบของเอกนามท่ีก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี

3.1 15mn – 13mn 3.2 27x2 – (-11x2)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3.3 (-8p2q) -6p2q 3.4 (9a4bc) – (- 6a4bc)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3.5 (-16m2n3) – (-11m2n3) 3.6 -12st2 – 5st2

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3.7 20c2d2 – 15c2d2 3.8 8pq – (-10pq)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3.9 (-10x2y2z2) - (-9x2y2z2) 3.10 13xy2- (-7y2x)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4. จงหาผลลัพธ์ของเอกนามต่อไปน้ี ให้อยู่ในรูปผลส าเร็จ

4.1 7m + (-3m) + (-4m) 4.2 (4c2-3c2) + 6c2

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………


4.3 9xy3z - 4xy3z - xy3z 4.4 12x2y + (-8x2y) - 4x2y

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4.5 18abc – 13abc + 2abc 4.6 (-10p2q3) + 2p2q3 - 6p2q3

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4.7 5a3b + 4

3a3b+

5

3a3b 4.8 1.5xy3z + 3.3xy3z – 2.2xy3z

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4.9 5x + 3xz + (-7x) – (-3xz) 4.10 (4y2+7y2) – (6y2 – 20y2)

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

ข้อสรุปที่ได้ ในการบวกและการลบเอกนามคือ

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................


2.3 พหุนาม

พหุนาม (polynomial) หมายถึง นิพจน์ท่ีสามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามต้ังแต่สองเอกนามข้ึนไป

พหุนาม คือ เอกนาม หรือผลบวกของเอกนาม

ตัวอย่าง 1 ตัวอย่างของพหุนาม

7 เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม

-3x เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม

4x3+7 เป็นพหุนามท่ีอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสองเอกนาม คือ 4x3 และ 7

5x3+3xy+(-2x) เป็นพหุนามท่ีอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสามเอกนาม คือ 5x3 , 3xyและ -2x หรือเขียนใหม่ได้ 5x3+3xy -2x

เพื่อความสะดวกส าหรับพหุนามใด ๆ ที่จะกล่าวต่อไปน้ี จะเรียกแต่ละเอกนามท่ีอยู่ในพหุนามน้ันว่า พจน์ของพหุนาม ในกรณีที่พหุนามน้ันมีเอกนามท่ีคล้ายกัน จะเรียกเอกนามท่ีคล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน เช่น

พหุนาม 7 มี 1 พจน์ คือ 7

พหุนาม 2x + 7 มี 2 พจน์ คือ 2x กับ 7

พหุนาม x2 – 2x +7 มี 3 พจน์ คือ x2, 2x กับ 7

พหุนาม x2 – 2x + 4x +7 มี 4 พจน์ คือ x2,2x,4x กับ7และ -2x กับ 4x เป็นพจน์คล้ายกัน

ในกรณีพหุนามบางพจน์เป็นพจน์ท่ีคล้ายกัน สามารถรวมพจน์ท่ีคล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อท าให้เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย เรียกพหุนามท่ีไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลส าเร็จ (polynomial in the simplest form)


ตัวอย่าง 2 การท าพหุนามให้อยู่ในรูปผลส าเร็จ

1. 7x2+5x+2x2-3x = (7x2+2x2)+(5x-3x)

= (7+2)x2+(5-3)x

= 9x2+2x

2. 4z2+18 – z2 = (4z2-z2) + 18

= (4-1)z2 + 18

= 3z2 + 18

3. 2x2y + y2 – 3 + x2y + 9 = (2x2y + x2y) + [(-3) + 9] + y2

= (2+1) x2y + 6 + y2

= 3x2y + y2 +6

ดีกรีของพหุนาม เมื่อพหุนามอยู่ในรูปผลส าเร็จ โดยถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลส าเร็จเป็นดีกรีของพหุนาม (ดีกรีของพหุนามแต่ละพจน์ คือ น าเลขชี้ก าลังของตัวแปรแต่ละตัวมารวมกัน )

ตัวอย่าง 3 การหาดีกรีของพหุนาม

1. 7x5 – 5x4 + 2xy – 3y2 เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ

ดีกรีของพจน์ 7x5 เท่ากับ 5 ดีกรีของพจน์ – 5x4 เท่ากับ 4

ดีกรีของพจน์ 2xy เท่ากับ 2 ดีกรีของพจน์ 3y2 เท่ากับ 2

2. 0 เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จท่ีเป็นเอกนาม และไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0

ดังน้ัน จึงไม่กล่าวถึงดีกรีของพหุนาม 0

พหุนามในรูปผลส าเร็จ




3. 3a3b2c – 22a2b2 + 7abc3 – 33a3b3 เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ

ดีกรีของแต่ละพจน ์ 6 4 5 6

(ดีกรีสูงสุดของพหุนามซ้ ากันให้ตอบเพียงตัวเดียว )

ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 3a3b2c – 22a2b2 + 7abc3 – 33a3b3 เท่ากับ 6

ตัวอย่าง 4 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ีให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ และบอกดีกรีของพหุนาม

1. 3a3b2 – 4a2b2 + 5ab5 + 4a3b2 = (3a3b2+ 4a3b2) – 4a2b2 + 5ab5

= 7a3b2 – 4a2b2 + 5ab5

ดังน้ัน พหุนามในรูปผลส าเร็จ คือ 7a3b2 – 4a2b2 + 5ab5 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 6

2. 3n2 + 5 + mn2 + 2mn2 - 8mn2 – 7 - 3n2

= (3n2- 3n2)+ (5 - 7) + (mn2 + 2mn2 - 8mn2)

= -2 – (1 + 2 – 8) mn2

= - 2 – 5mn2

ดังน้ัน พหุนามในรูปผลส าเร็จ คือ - 2 – 5mn2 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 3

3. 4x3 – 5x2y – 6y4+ 2x2y +3x3+y4 = (4x3+3x3)+( – 5x2y+ 2x2y)+( – 6y4+y4)

= 7x3 – 3x2y – 5y4

ดังน้ัน พหุนามในรูปผลส าเร็จ คือ 7x3 – 3x2y – 5y4 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 4

ตัวอย่าง 5 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยเรียงพจน์ของพหุนามจากดีกรีมากไปน้อย

1. 2x2 + 5 – 3x = 2x2 – 3x + 5

2. 5 – 2x = - 2x + 5

3. 6x2 + 4 – x + 8x3 = 8x3 + 6x2 – x + 4



เรื่อง พหุนามและดีกรีของพหุนาม

1. จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ีในรูปผลส าเร็จ พร้อมท้ังบอกดีกรีของพหุนาม

1.1 17x + 2 – 8x – 11 1.2 5y + ( -3x2) + 6x2 + 2y

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ ……………………………………………………………

1.3 10st + (-2x2)+ 6x2 – 8st 1.4 6xy – 5x3 + 7xy + 18x3

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ ……………………………………………………………

1.5 9x2 + 3x2y – 7x2y – 4x2 + 5

…………………………………………………………………………………….

ดีกรี เท่ากับ ..…………………………………………………………

2. จงเขียนพหุนามต่อไปน้ีให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ

2.1 a2 – 2ab + b2 – a2 + b2 2.2 4x5 – 4x2 + 5x2 – 3x5 –x5

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

2.3 4a6 – 3a3 + 1 + 5a3 + 2 2.4 x2y – 4xy2 – x3 + x2y

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………


2.5 m2 – 7m + 6 + 2m2 – 12 2.6 y3 + 3y – 5y2 – 4y – y2 + 1

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

2.7 3x2 + 4y5 – 2x + 5 – 5x2 + y2 – 1 2.8 2m2n – 3mn2 + m2n – 4m2n – 2mn2

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

2.9 5c3d – 4cd3 – 2c3d – 2cd2 2.10 9x2-3xy-y2-3x2-5xy-x2-4xy+y2-7y2

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

3. จงเขียนพหุนามต่อไปน้ีให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ และ เรียงพจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรีน้อยไปพจน์ที่มีดีกรีมาก

3.1 4x5 – 3x2 +5x2 – 3x4 – x5

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.2 m2 – 7m + 6 + 3m2 – 12m

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.3 2y3 + 8y – 5y2 – 4y – y2 + 7

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


3.4 - 6a2 – 3a3 + a + 4a3+ 8a2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.5 - 8x + 5x3 + x2 – 5x3 + 4x – 7

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4 การบวกและการลบพหุนาม

การหาผลบวกพหุนาม การหาผลบวกของพหุนามท าได้โดยน าพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ซึ่งมีหลักการบวกพหุนาม 2 วิธี คือ

1. การบวกตามแนวราบ

ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ทั้งหมดท่ีต้องการบวกกันในบรรทัดเดียวกัน

ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน

ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ

ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปน้ีโดยวิธีการบวกตามแนวราบ

1. 5x + 3 และ - 12x + 15 2. 3s + 5st และ - 9s – 3st

3. 2x2 – 3x + 7 และ – x2 + x – 8

วิธีท า 1. (5x + 3) + (- 12x + 15) = 5x + 3 - 12x + 15

= (5x – 12x)+ (3+15)

= - 7x + 18 .............................


2. (3s + 5st) + (- 9s – 3st) = 3s + 5st - 9s – 3st

= (3s - 9s)+ (5st – 3st)

= - 6s + 2st .............................

3. (2x2– 3x + 7)+(– x2 + x– 8) = 2x2– 3x + 7 – x2 + x– 8

= (2x2– x2)+(– 3x+x)+ (7– 8)

= x2 – 2x – 1 .............................

ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2+5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2

วิธีท า (2ab – 3b2+5a2) + (2a2 +2ab + 3b2) = 2ab – 3b2+5a2 + 2a2 +2ab + 3b2

= (2ab+2ab)+(–3b2+ 3b2)+(5a2 + 2a2)

= 4ab +0 + 7a2

= 4ab + 7a2 .............................

ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3+2c2+7

วิธีท า (3c3– 8c2+ 2c– 1)+( 5c3+2c2+7) = 3c3– 8c2 + 2c– 1 + 5c3 + 2c2 + 7

= (3c3+ 5c3)+(– 8c2+ 2c2) + 2c+(–1 + 7)

= 8c3- 6c2 + 2c + 6 .............................

2. การบวกในแนวตั้ง

ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ โดยให้พจน์ท่ีคล้ายกันอยู่ตรงกัน




ตัวอย่าง 4 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปน้ีโดยวิธีการบวกในแนวต้ัง

1. 7xy - st และ – 10st + 3xy 2. 3x + 9y - 15 และ 2 + 8y - z

3. 7y , -16y+ 2 และ y2 + 6y

วิธีท า 1. 7xy – st 2. 3x + 9y - 15

3xy – 10st 8y – z + 2

10xy – 11st 3x +17y – z – 13

3. 7y

-16y + 2

y2 + 6y

y2 – 3y + 2

หมายเหต ุ ในการบวกในแนวต้ังกรณีไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ให้เว้นที่ว่างไว้

ตัวอย่าง 5 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2+5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2

วิธีท า 5a2 +2ab – 3b2

2a2 +2ab +3b2

7a2 +4ab + 0 = 7a2 +4ab ............................

ตัวอย่าง 6 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3+2c2+7

วิธีท า 3c3 – 8c2 + 2c – 1

5c3 + 2c2 +7

8c3 – 6c2 +2c +6 ............................

+ +

+

+

+

ง่ายจังเลยค่ะ


การหาผลลบพหุนาม การลบของพหุนามด้วยพหุนาม ท าได้โดยการบวกพหุนามท่ีเป็นตัวต้ังด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามท่ีเป็นตัวลบ

ตัวอย่างการหาพหุนามตรงข้าม (inverse polynomial for addition) เช่น

x – 5 พหุนามตรงข้ามคือ - (x – 5) = -x –(- 5) = -x + 5

- x3 + 5y พหุนามตรงข้ามคือ -(- x3 + 5y) = -(-x3) -5y = x3 - 5y

ข้อสรุปของการลบพหุนาม

พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวต้ัง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ

โดยหลักการลบพหุนามมี 2 วิธี ดังน้ี

1. การลบตามแนวราบ

ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ทั้งหมดท่ีต้องการลบกันในบรรทัดเดียวกัน แต่ยึดหลักการลบ คือ การบวกด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามท่ีเป็นตัวลบ



ตัวอย่าง 7 จงหาผลลบของพหุนามต่อไปน้ี

1. (3 + 5x + x2) – (8x2 – 9x) 2. (4z2+7z - 5) – (9z +1)

3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1)

วิธีท า 1. (3 + 5x + x2) – (8x2 – 9x) = (3 + 5x + x2) + [-(8x2 – 9x)]

= (3 + 5x + x2) + (-8x2 + 9x)

= 3 + 5x + x2 -8x2 + 9x

= 3 + ( 5x + 9x) + (x2 -8x2)

= 3 + 14x – 7x2 ………………………………..


2. (4z2+7z - 5) – (9z +1) = (4z2+7z - 5) + [– (9z +1)]

= (4z2+7z - 5) + [– 9z -1 ]

= 4z2+7z - 5 – 9z -1

= 4z2+(7z – 9z) - 5 -1

= 4z2 – 2z – 6 ………………………………

3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1) = (5x2 + 6x - 4) + [– (3x2 – 12x – 1)]

= (5x2 + 6x - 4) + [– 3x2 + 12x + 1 ]

= 5x2 + 6x - 4 – 3x2 + 12x + 1

= (5x2 – 3x2) + (6x + 12x) + (- 4 + 1)

= 2x2 + 18x – 3 ………………………………

ตัวอย่าง 8 จงหาผลลบของ 5y3 + 2y2 – y กับ 2y3 + 3y

วิธีท า (5y3 + 2y2 – y) - (2y3 + 3y) = …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

ตัวอย่าง 9 จงหาผลลบของ 4x2- 3xy -2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2

วิธีท า (4x2- 3xy -2y2) - (2x2 +3xy – 5y2) = …………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………


2. การลบในแนวตั้ง

เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ทั้งหมดโดยให้พจน์ท่ีคล้ายกันอยู่ตรงกัน โดยท าได้ 2 แบบ คือ

ตัวอย่าง 10 จงหาผลลบของ 4x2 – 2x – 1 กับ x2 – x + 4

วิธีท า แบบที่ 1 ท าการลบเหมือนกับตัวเลขทั่วไป

ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1

ตัวลบ x2 – x + 4

3x2 – x - 5

แบบที่ 2 เปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกพจน์ตรงข้าม แล้วหาผลบวก

(4x2 – 2x – 1) - (x2 – x + 4) = (4x2 – 2x – 1) + (- x2 + x - 4)

ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1

ตัวลบ - x2 + x - 4

3x2 – x - 5

ข้อสังเกต หลักการของการลบพหุนาม จะบวกพหุนามท่ีเป็นตัวต้ังด้วยพจน์ตรงข้าม

ของแต่ละพจน์ของพหุนามท่ีเป็นตัวลบ

ข้อสังเกตคือ 1. การลบพหุนามสองพหุนาม ท าได้โดยถอดวงเล็บของตัวลบ เปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละพจน์ของตัวลบเป็นเครื่องหมายตรงข้ามแล้วน าผลที่ได้ไปบวกกับตัวตั้ง 2. การบวกกัน จ านวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกันน ามาบวกกัน เครื่องหมายต่างกันน ามาลบกัน

จากเรื่องการลบพหุนาม นักเรียนพบข้อสังเกตอะไรบ้างค่ะ

_ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็นตรงข้ามแต่ไม่แสดงให้เห็น (ทดไว้ในใจ) แล้วน าตัวตั้งและตัวลบมาบวกกัน

+ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็นตรงข้าม แล้วน าตัวตั้งและตัวลบมาบวกกัน


ตัวอย่าง 11 จงหาผลลบของ 4x2 – 3xy – 2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2

วิธีท า แบบที่ 1 4x2 – 3xy – 2y2

2x2 + 3xy – 5y2

แบบที่ 2 (4x2–3xy –2y2) - (2x2+3xy–5y2) = (4x2–3xy –2y2) + (- 2x2 -3xy + 5y2)

4x2 – 3xy – 2y2

2x2 + 3xy – 5y2

ตัวอย่าง 12 จงหาผลส าเร็จของ [(2x2 - 5xy + 6y2)+( 3y2 + 7- 8xy)] - (3x2 + 2xy - 5)

วิธีท า แบบแนวราบ [(2x2 - 5xy + 6y2)+(3y2 + 7- 8xy)]- (3x2 + 2xy - 5)

= (2x2 - 5xy + 6y2 + 3y2 + 7 - 8xy) - (3x2 + 2xy - 5)

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบแนวตั้ง 2x2 - 5xy + 6y2

- 8xy + 3y2 + 7

_

+

+

_



เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยวิธีแนวราบและแนวต้ัง

1.1 5a3+a กับ 2a3 + 3a

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

1.2 x2 + x + 3 กับ 4x2 – 4

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

1.3 3xy2 – x2y กับ 2xy2 – 1

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

1.4 5y2 – 3y – 9 กับ 16y2 +5y – 8

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

1.5 3m2 + 4 กับ 5m2 – 2m – 7

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

………………………………………………………………………………..……………………………………

+

+

+

+

+


1.6 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 + 2c2 + 7

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.7 4x2 – 3xy + 5x2y – 4x กับ 3x2 – 5xy + 3x2y

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.8 2a2b + b3 กับ a3 + 2a2b +3ab2 + b3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.9 x2 – 4xy + 4y2 กับ 3x2 + 2xy – y2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.10 3yz – 7xy – 5x2yz กับ 4x2yz – 3yz + 5xy

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

+

+

+

+

+


2. จงหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวต้ัง ท าทั้งวิธีแนวราบและแนวต้ัง

2.1 5m2 – 3m + 2 กับ 4m2 – 7m

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2 3a2 – 4b2 + ab กับ a2 – 10b2 – 5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3 4y2 – 5y กับ 2y2 + 3y – 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4 3x2 + 2xy - 5 กับ 2x2 – 5xy + 7

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.5 4a4 + 3a2b2 – 2b4 กับ - 5a4 – a2b2 + b4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………


2.6 2x3 – 7x2 – 5x + 2 กับ 3x2 + 2x – x3 – 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.7 5y3 + 2y2 + 7 กับ 3y3- 8y2 + 2y – 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.8 3c4 – 2c3d + 5c2d2 – cd3 กับ 6c3d – 4c2d2 + 3d4

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

2.9 5x2 – x3 + 2x – 7 กับ - 2x3 – 4x2 + 8x – 9

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

2.10 3y3 – 2y2 + 4y + 1 กับ - 4y3 + y2 – 2y + 6

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………


3. จงท าให้เป็นผลส าเร็จ

3.1 (a3 – b3) + (ab2 – a2b)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2 (3x4 – 2x3 + x2 – 3) – (x3 – 3x – x + 5)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.3 (3m - 2n) + (2m – 3n) – (m + n – 3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.4 (5t4 – 2t3 + 3t – 4) – (- 2t3 + 3t2 + 4)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.5 (5a2+ 2a + 5) + (- 2a2 + 3a - 5) - (4a2 + 5a)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


3.6 (4x2 – 3xy – 2y2) + (2x3 + 3xy – 5y2) – (2x3 – 10y2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.7 (3y2 – 4y + 5) – (y3 + 2y2 + 3) + (2y3+ 5y – 1)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.8 (3x4 + 4x3 – 2x2 – 8x + 5) – (4x4 – 9x3+ 3x2 – 6x + 3 )

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอ!.......... ชักจะงงแล้วซิ

เย็นน้ีคงต้องทบทวนแล้ว


2.5 การคูณและการหารพหุนาม

การคูณและการหารพหุนาม

Documents

เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2