หนงสอเรยน รายวชาเพมเตมวทยาศาสตรและเทคโนโลย

คำ�อธบ�ยร�ยวช�เพมเตม

ฟสกส เลม ๓ กลมส�ระก�รเรยนรวทย�ศ�สตรและเทคโนโลย (ฉบบปรบปรง พ.ศ. ๒๕๖๐)ชนมธยมศกษ�ปท ๕ เวล� ๘๐ ชวโมง จำ�นวน ๒ หนวยกต

ศกษาลกษณะการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทแบบ ฮารมอนกอยางงาย แรงกบการสนของมวลตดปลายสรงและลกตมอยางงาย ความถธรรมชาตและการสนพอง ธรรมชาตของคลน อตราเรวของคลน หลกการทเกยวกบคลน พฤตกรรมของคลน แนวคดเกยวกบแสงเชงคลน การแทรกสอดของแสงผานสลตค การเลยวเบนของแสงผานสลตเดยว การเลยวเบนของแสงผานเกรตตง การสะทอนและการหกเหของแสง การมองเหนและการเกดภาพ ภาพจากเลนสและกระจกเงาทรงกลม แสงสและการมองเหนแสงส ปรากฏการณธรรมชาตและการใชประโยชนเกยวกบแสง โดยใชกระบวนการทางวทยาศาสตร การสบเสาะหาความร การสบคนขอมล การสงเกต วเคราะห เปรยบเทยบ อธบาย อภปราย และสรป เพอใหเกดความร ความเขาใจ มความสามารถในการตดสนใจ มทกษะกระบวนการทางวทยาศาสตร รวมทงทกษะแหงศตวรรษท ๒๑ ในดานการใชเทคโนโลยสารสนเทศ ดานการคดและการแกปญหา สามารถสอสารสงทเรยนรและนำาความรไปใชในชวตของตนเอง มจตวทยาศาสตร จรยธรรม คณธรรม และคานยมทเหมาะสม

ผลก�รเรยนร

๑. ทดลองและอธบายการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของวตถตดปลายสรงและลกตมอยางงาย

รวมทงคำานวณปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ ๒. อธบายความถธรรมชาตของวตถและการเกดการสนพอง ๓. อธบายปรากฏการณคลน ชนดของคลน สวนประกอบของคลน การแผของหนาคลนดวยหลกการ

ของฮอยเกนส และการรวมกนของคลนตามหลกการซอนทบ พรอมทงคำานวณอตราเรว ความถ และความยาวคลน

๔. สงเกตและอธบายการสะทอน การหกเห การแทรกสอด และการเลยวเบนของคลนผวนำา รวมทงคำานวณปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ

๕. ทดลอง และอธบายการแทรกสอดของแสงผานสลตคและเกรตตง การเลยวเบนและการแทรกสอดของแสงผานสลตเดยว รวมทงคำานวณปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ

๖. ทดลอง และอธบายการสะทอนของแสงทผววตถตามกฎการสะทอน เขยนรงสของแสงและคำานวณตำาแหนงและขนาดภาพของวตถ เมอแสงตกกระทบกระจกเงาราบและกระจกเงาทรงกลม รวมทงอธบายการนำาความรเรองการสะทอนของแสงจากกระจกเงาราบ และกระจกเงาทรงกลมไปใชประโยชนในชวตประจำาวน

๗. ทดลอง และอธบายความสมพนธระหวางดรรชนหกเห มมตกกระทบ และมมหกเหรวมทงอธบายความสมพนธระหวางความลกจรงและความลกปรากฏ มมวกฤตและการสะทอนกลบหมดของแสง และคำานวณปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ

๘. ทดลอง และเขยนรงสของแสงเพอแสดงภาพทเกดจากเลนสบาง หาตำาแหนง ขนาด ชนดของภาพ และความสมพนธระหวางระยะวตถ ระยะภาพและความยาวโฟกส รวมทงคำานวณปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ และอธบายการนำาความรเรองการหกเหของแสงผานเลนสบางไปใชประโยชนในชวตประจำาวน

๙. อธบายปรากฏการณธรรมชาตทเกยวกบแสง เชน รง การทรงกลด มราจ และการเหนทองฟาเปนสตาง ๆ ในชวงเวลาตางกน

๑๐. สงเกต และอธบายการมองเหนแสงส สของวตถ การผสมสารส และการผสมแสงส รวมทงอธบายสาเหตของการบอดส

รวมทงหมด ๑๐ ผลก�รเรยนร

สารบญ

8

9

บทท เนอหา หนา

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย8.1 ลกษณะการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย8.2 ปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทแบบฮารมอนก อยางงาย 8.2.1 การกระจดของการเคลอนทแบบฮารมอนก อยางงาย 8.2.2 ความเรวและความเรงของการเคลอนท แบบฮารมอนกอยางงาย8.3 แรงกบการสนของมวลตดปลายสปรงและลกตมอยางงาย 8.3.1 การสนของมวลตดปลายสปรง 8.3.2 การแกวงของลกตมอยางงาย8.4 ความถธรรมชาตและการสนพอง สรปเนอหาภายในบทเรยน เเบบฝกหดทายบทท 8

บทท 8-9

3

5

6

10151526333739

คลน9.1 ธรรมชาตของคลน 9.1.1 การเกดคลน 9.1.2 ชนดของคลน 9.1.3 สวนประกอบของคลน9.2 อตราเรวของคลน 9.2.1 ความสมพนธระหวางอตราเรว ความถ และความยาวคลน 9.2.2 อตราเรวของคลนในตวกลาง 9.3 หลกการทเกยวกบคลน 9.3.1 หลกการของฮอยเกนส 9.3.2 หลกการซอนทบ

4950515661

6163696972

สารบญ

10

บทท เนอหา หนา

บทท 9-11

9.4 พฤตกรรมของคลน 9.4.1 การสะทอนของคลน 9.4.2 การหกเหของคลน 9.4.3 การแทรกสอดของคลน 9.4.4 การเลยวเบนของคลน สรปเนอหาภายในบทเรยน เเบบฝกหดทายบทท 9

7777828796

100102

แสงเชงคลน10.1 แนวคดเกยวกบแสงเชงคลน10.2 การแทรกสอดของแสงผานสลตค10.3 การเลยวเบนของแสงผานสลตเดยว10.4 การเลยวเบนของแสงผานเกรตตง สรปเนอหาภายในบทเรยน เเบบฝกหดทายบทท 10

107109126138148150

11 แสงเชงรงส11.1 การสะทอนและการหกเหของแสง 11.1.1 การสะทอนของแสง 11.1.2 การหกเหของแสง11.2 การมองเหนและการเกดภาพ 11.2.1 การมองเหน 11.2.2 การเกดภาพ11.3 ภาพจากเลนสบางและกระจกเงาทรงกลม 11.3.1 การเกดภาพจากเลนสบาง 11.3.2 การคำานวณเกยวกบเลนสบาง 11.3.3 การเกดภาพจากกระจกเงาทรงกลม 11.3.4 การคำานวณเกยวกบกระจกเงาทรงกลม

160160165178178179187187198205212

สารบญ

บทท เนอหา หนา

ภาคผนวก

บทท 11-ภาคผนวก

11.4 แสงสและการมองเหนแสงส 11.4.1 การมองเหนสของมนษย 11.4.2 การผสมแสงส 11.4.3 แผนกรองแสงและสของวตถ 11.4.4 การผสมสารส11.5 การอธบายปรากฏการณธรรมชาต และการใชประโยชนเกยวกบแสง 11.5.1 ปรากฏการณธรรมชาตทเกยวกบแสง 11.5.2 การนำาความรเรองกระจกเงา และเลนสบางไปใชประโยชน สรปเนอหาภายในบทเรยน เเบบฝกหดทายบทท 11

218218220223226

228228

235244247

ภาคผนวก ก คณตศาสตรสำาหรบฟสกสภาคผนวก ข ระบบหนวยระหวางชาตภาคผนวก ค ตารางฟงกชนตรโกณมตภาคผนวก ง ตารางเลขกำาลงสอง รากทสองและสวนกลบภาคผนวก จ ตวอยางการบนทกการทดลองภาคผนวก ฉ ลอการทมคำาศพทบรรณานกรมทมาของรปคณะกรรมการจดทำาหนงสอเรยนคำาอธบายรายวชาเพมเตม

262272275

276277280283285286287290

การเคลอนทกลบไปกลบมาของลกตมนาฬกาทใชบอกเวลาหรอใชหาคาความเรงเนองมาจากแรงโนมถวง ของโลกได รวมทงการแกวงของชงชา เราสามารถอธบายแรงและลกษณะการเคลอนทของวตถ ในสถานการณเหลานไดอยางไร และความเขาใจในเรองเหลาน จะสามารถนำามาประยกตใชในชวตประจำาวน ไดอยางไร

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ipst.me/88878บทท

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

1ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

8.1 ลกษณะการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย 1. อธบายลกษณะการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย 8.2 ปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย 2. อธบายการกระจด ความเรว และความเรงของวตถทเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

3. คำานวณปรมาณตาง ๆ ทเกยวของกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

8.3 แรงกบการสนของมวลตดปลายสปรงและลกตมอยางงาย

4. อธบายผลของแรงกบการสนของมวลตดปลายสปรงและการแกวงของลกตมอยางงาย

5. ทดลองการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของรถทดลองตดปลายสปรง

6. ทดลองการแกวงของลกตมอยางงาย

7. คำานวณปรมาณทเกยวของกบคาบการสนของมวลตดปลายสปรงและการแกวงของลกตม อยางงาย

8.4 ความถธรรมชาตและการสนพอง

8. อธบายความถธรรมชาตของวตถและการเกดการสนพอง

ความรกอนเรยน

การเคลอนทแนวตรง การเคลอนทแบบวงกลม กฎการเคลอนทขอสองของนวตน เวกเตอร

● การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายมลกษณะอยางไร ● การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายนำามาประยกตใชในชวตประจำาวนอยางไรบาง

คำาถามสำาคญ

จดประสงคการเรยนร

2 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

การโคจรของดาวเทยมรอบโลก การแกวงของลกตมนาฬกาโบราณ การสนของแผนไดอะแฟรม ลำาโพง การสนของสายกตาร การสนของมวลตดปลายสปรง สถานการณเหลานเปนการเคลอนทเปนคาบ โดยวตถจะเคลอนทตามเสนทางเดมกลบมาทเรมตนซำาแลวซำาอก โดยเวลาทใชในการเคลอนทครบรอบ มคาคงตว ความเขาใจเรองการเคลอนทเปนคาบ เปนพนฐานสำาคญตอการศกษาเรอง คลน เสยง แสง และไฟฟากระแสสลบ

การโคจรของดาวเทยมรอบโลก การสนของมวลตดปลายสปรง การเคลอนทขางตนเปนการเคลอนท เปนคาบเหมอนกน โดยดาวเทยมจะเคลอนทวนกลบมาทตำาแหนงเดม สวนมวลตดสปรงเคลอนท กลบไปกลบมาผานตำาแหนงกงกลาง เรยกการเคลอนทนวา การสน (vibration) หรอ การแกวงกวด (oscillation) ทงสองคำานหมายถงการเคลอนทเดยวกน ในบทนเนนการเขาใจการสนแบบทงายทสด เรยกวา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (simple harmonic motion)

8.1 ลกษณะการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย พจารณาการเคลอนทของรถทดลองตดปลายสปรงทตำาแหนงตาง ๆ ดงรปตอไปน รถทดลองตดปลายสปรงวางอยบนพน ลอของรถทดลองหมนคลอง ซงประมาณไดวา แรงเสยดทานไมมผลตอการเคลอนทของรถ ทดลอง ใหตำาแหนง x0 รถทดลองอยนงสปรง ไมยดตวและไมหดตว เรยกตำาแหนงนวา ตำาแหนงสมดล (equilibrium position) ดงรป 8.1 ก. ดงรถทดลองให เคลอนทออกจากตำาแหนงสมดลไปทางขวาทตำาแหนง x1 ดงรป 8.1 ข. และใหตำาแหนงนเปนตำาแหนงเรมตนทเวลา t = t0

ปลอยมอใหรถทดลองเคลอนทจาก หยดนงไปทางซาย ผานตำาแหนงสมดล โดยขณะผานตำาแหนงสมดลรถทดลองมอตราเรวสงสด จนกระทงทเวลา t = t1 รถทดลอง มอตราเรวเปนศนยทตำาแหนง x2 และกำาลงจะเคลอนทกลบมาทางดานขวา ดงรป 8.1 ค. รถทดลองเคลอนทกลบมายงตำาแหนงเรมตนทเวลา t = t2 ซงเปนการเคลอนทครบหนงรอบ ดงรป 8.1 ง.

0x

ก. รถทดลองตดปลายสปรงและอยทตำาแหนงสมดล x0

ข. ตำาแหนงรถทดลองทเวลา t = t0

0x 1x2x

ค. ตำาแหนงรถทดลองทเวลา t = t1

0x 1x2x

ง. ตำาแหนงรถทดลองทเวลา t = t2

รป 8.1 ตำาแหนงรถทดลองทเวลาตาง ๆ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

3ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

0x 1x

เวลาทรถทดลองใชในการเคลอนทจากตำาแหนงเรมตนจนกลบมาถงตำาแหนงเดมเปนเวลาทใช ในการเคลอนทครบหนงรอบ เรยกวา คาบ (period) แทนดวย T ซงพจารณา ความถ (frequency) ของการเคลอนทไดจาก f

T=

1

ขณะรถทดลองอยทตำาแหนงใด ๆ x = xi สามารถบอกการกระจดของรถทดลองอางองกบ ตำาแหนงสมดล (x = x0 = 0) โดยเขยนเวกเตอรบอกตำาแหนง (position vector) ในหนงมตทมทศทางจากตำาแหนงสมดลไปยงตำาแหนงของรถทดลองขณะนน ๆ เรยกเวกเตอรนวา การกระจด (displacement) ของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย แทนดวย x จากรป 8.1 ข. และ ค. ทตำาแหนง x1 และ x2 เปนตำาแหนงทรถทดลองอยหางจากตำาแหนงสมดล มากทสดหรอมขนาดการกระจดมากทสด เรยกขนาดการกระจดสงสดนวา แอมพลจด (amplitude) แทนดวย A การเคลอนทของรถทดลองตดปลายสปรงทกลาวมาในขางตน เปนการเคลอนทกลบไปกลบมา ซำารอยเดมผานตำาแหนงสมดล โดยมแอมพลจดและคาบคงตว เรยกการเคลอนทนวา การเคลอนท แบบฮารมอนกอยางงาย จากการวเคราะหการเคลอนทของรถทดลองตดปลายสปรง พบวาการกระจด ความเรว และความเรงของรถทดลองเปลยนแปลงตลอดเวลา ทเวลาตาง ๆ ของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ปรมาณ ดงกลาวมการเปลยนแปลงอยางไร จะไดศกษาในหวขอถดไป

ตวอยาง 8.1 วตถชนหนงตดทปลายสปรง มตำาแหนงสมดลท x = 0 ดงวตถไปทตำาแหนง x = 0.1 m จากตำาแหนงสมดล แลวปลอยวตถพรอมเรมจบเวลา พบวาวตถเคลอนทกลบมาทตำาแหนง x = 0.1 m อกครง ใชเวลา t = 2.2 s จงหา ก. แอมพลจด ข. คาบ ค. ความถแนวคด แอมพลจด (A) เปนขนาดการกระจดทมากทสดและมคาเปนบวก มหนวย เมตร คาบ (T ) เปนเวลาท วตถ ใช ในการเคลอนทครบหน งรอบ มหนวย วนาท และ ความถ ( f ) เปนจำานวนรอบทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา มหนวย ตอวนาท หรอเฮรตซวธทำา ก. วตถมขนาดการกระจดทมากทสด 0.1 m จากตำาแหนงสมดล ดงนนแอมพลจดเทากบ 0.1 m ข. วตถใชเวลา 2.2 s ในการเคลอนทครบหนงรอบ ดงนนคาบเทากบ 2.2 s ค. วตถเคลอนทครบหนงรอบใชเวลา 2.2 s ดงนน ความถ � � ��1

2 20 45 0 451

.. .

ss Hz

ตอบ ก. แอมพลจดเทากบ 0.1 เมตร ข. คาบเทากบ 2.2 วนาท ค. ความถเทากบ 0.45 เฮรตซ

4 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

คำาถามตรวจสอบความเขาใจ 8.1

1. การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายมลกษณะอยางไร 2. จงอธบายตำาแหนงสมดล 3. การเคลอนทแบบวงกลมของจกยาง การแกวงของลกตมอยางงาย เปนการเคลอนทแบบฮารมอนก อยางงายหรอไม เพราะเหตใด

1. ถาอนภาคสนครบ 20 รอบ ในเวลา 40 วนาท จงหาความถและคาบการสนของอนภาค 2. จงหาคาบตอไปน (ในหนวยวนาท) ก. ชพจรเตน 29 ครง ใน 20 วนาท ข. เครองยนตหมน 3200 รอบตอนาท 3. จงหาความถของเหตการณตอไปน (ในหนวยตอวนาทหรอเฮรตซ) ก. สายซอสน 43 รอบ ใน 0.1 วนาท ข. ใบพดเครองปนอาหารหมน 13 000 รอบ ใน 1 นาท 4. คนเคาะเครองเคาะสญญาณเวลาทำาใหเกดจดบนแถบกระดาษ 1200 จด ใน 1 นาท คาบและความถของคนเคาะมคาเทาใด ( ในหนวยวนาท และตอวนาทหรอเฮรตซ ตามลำาดบ)

แบบฝกหด 8.1

8.2 ปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

แผนกลมรศม A มหมดทรงกระบอกตดอยทขอบกำาลงหมนดวยอตราเรวเชงมม ω ทำาใหหมด ทรงกระบอกเคลอนทเปนวงกลมรศม A ดวยอตราเรวเชงมม ω เชนเดยวกบแผนกลม แผงโคมไฟฉายแสงในแนวดงทำาใหเกดเงาบนฉากดานลาง

รป 8.2 เงาของหมดทตำาแหนงตาง ๆ

พจารณาหมดทรงกระบอกเคลอนทจาก a ซงเปน ตำาแหนงเรมตน ไป b ไป c…และกลบมาท a ทำาใหเกดเงา ของหมดบนฉากดานลางในแนวระดบ โดยเงาเคลอนทกลบไป กลบมาในแนวตรงจาก a' ไป b' ไป c'... และกลบมาท a' ตามลำาดบ ดงรป 8.2 จะพบวาเงามการเคลอนทกลบไป กลบมาซำารอยเดม มคาบและแอมพลจดคงตว ซงเปน การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย โดยมตำาแหนง a' หรอ e' เปนตำาแหนงสมดล จะสามารถหาการกระจด ความเรว และ ความเรงของวตถเปนฟงกชนกบเวลาไดดงน

ตำแหนงเงา

แผงโคมไฟ

ω

a

d

b

c

ef

g

h

h'g' f ' e' d'

c'b'a'

หมดทรงกระบอก

ฉาก

แผนกลม

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

5ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

8.2.1 การกระจดของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

พจารณาการเคลอนทของหมดทรงกระบอกเคลอนท เปนวงกลมดวยอตราเรวเชงมมคงตว ω เมอเวลาใด ๆ (t ) แผนกลมหมนไปเปนมม θ เงา ของหมด มการเคลอนท จากตำาแหนงเรมตน x = 0 ไปยงตำาแหนงใด ๆ ( xi ) ดงรป 8.3 เงาจะเคลอนทดวยความถเชงมมเทากบอตราเรวเชงมมของ หมด ω การกระจดของเงาเทากบ

x A� sin� จาก � ��t จะได

x A t� sin� (8.1)การกระจดมทศทางไปทางขวา

A

2T T

A−

(m)x

(s)t

sin( )x A tω=

รป 8.4 กราฟความสมพนธระหวางการกระจดของเงากบเวลา

จากสมการ (8.1) การกระจดกบเวลาของเงามความสมพนธ เปนฟงกชนแบบไซน เขยนกราฟความสมพนธของการกระจดของเงากบเวลา เมอเคลอนทครบหนงรอบ ไดดงรป 8.4

ขอสงเกต

อตราเรวเชงมมกบความถเชงมม

อตราเรวเชงมม

กรณวตถเคลอนทไปบนเสนรอบวงวงกลมในชวงเวลา ∆t วตถจะมการกระจดเชงมม ��

สามารถหาอตราเรวเชงมม (angular speed) ไดจากความสมพนธ � ����t

เมอวตถเคลอนท

ครบ 1 รอบ � �t T จะได � ��

2T

และ � �� 2 f

รป 8.3 เปรยบเทยบตำาแหนงของหมด

กบการกระจดของเงา

0x = AA−

θ

ix x=

sinA θω

เงาหมด

6 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ความถเชงมม

กรณเงาของหมดทรงกระบอกเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ในชวงเวลา ∆t จะไม

ปรากฏมม �� จงไมสามารถหา ω ไดจาก � ����t

อยางไรกตามสามารถหา ω ของ

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายไดจากความสมพนธ � �� 2 f ดงนนในกรณการเคลอนท

แบบฮารมอนกอยางงายจะเรยก ω วา ความถเชงมม (angular frequency) มหนวยเปน rad/s

ในกรณเปนความสมพนธกบปรมาณเชงมมจะใช rad/s สวนกรณทสมพนธกบปรมาณเชงเสน

จะใชเปน s-1

ขอสงเกต

หนวยของมมเฟส ในระบบเอสไอ มมมหนวยเปน เรเดยน (radian) เชน มม π เรเดยน มคาเทากบมม 180 องศา มม 2π เรเดยน มคาเทากบ มม 360 องศา

รป 8.5 ตำาแหนงหมดทรงกระบอกทเวลา t = 0

เฟสเรมตนเทากบ φ และทเวลา t ใด ๆ

มมเฟสเทากบ � �� t

0x = AA−

ω

0t =

φ tω

t t=

กรณทวไป ตำาแหนงเรมตน (t = 0) หมดทรงกระบอกเคลอนทจากจด a ไปแลวเปนมม φ เงาของหมดไมไดอยทตำาแหนงสมดล (x = 0) เรยกมม φ วา เฟสเรมตนของเงา เมอเวลาผานไป t หมดเคลอนทตอไปจนเปนมม � �� t ซงเรยกวา มมเฟส (phase angle) ของเงาขณะนน ดงสมการ

� � �( )t t� �เขยนสมการความสมพนธการกระจดของเงาทขนกบ เวลา ในรปทวไปไดเปน

(8.2)เมอ φ คอ เฟสเรมตนหรอมมเรมตนทเวลา t = 0

สมการ (8.2) สามารถนำาไปใชอธบายการกระจดของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ของวตถเปนฟงกชนของเวลา

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

7ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ตวอยาง 8.2 จงเขยนสมการการกระจดทขนกบเวลาของรถทดลองตดปลายสปรงท เคลอนท แบบฮารมอนกอยางงายมตำาแหนงเรมตนทเวลาตางกนในตาราง กำาหนดให ความถเชงมมเทากบ ω แอมพลจดเทากบ A

รปแสดงตำาแหนงเรมตนท t = 0 เฟสเรมตน (φ ) สมการการกระจด

ก.

ข.

0x =

0x = x A=

แนวคด หาเฟสเรมตน ดวยการแทนคา t = 0 และการกระจดทเวลาเรมตนในสมการ x A t� �� �sin � � จะไดคา φ ทเวลาเรมตนวธทำา ก. จากตาราง เมอ t = 0 การกระจดทเวลาเรมตนมคาเทากบ x = 0 จะได

0 0

0

� �� �� � �

Asin ( )

sin

� �

� จาก sin 0 0� � � จะไดวา φ = 0 ข. จากตาราง เมอ t = 0 การกระจดทเวลาเรมตนมคาเทากบ x = A จะได

A A� �� �� � �

sin ( )

sin

� �

�

0

1

จาก � ���

��� �sin �

21 จะไดวา �

��

2

เขยนสมการการกระจดไดเปน x A t� ����

���sin �

�2

ตอบ ก. เฟสเรมตน � �� �0, sin( )x A t สมการการกระจด � �� �0, sin( )x A t ข. เฟสเรมตน � �

��

� � ����

���2 2

, sinx A t สมการการกระจด ��

��

� � ����

���2 2

, sinx A t

8 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ก. การกระจดของวตถเปนศนย ทเวลาใด ข. ทเวลา t = 2.5 s การกระจดของวตถมคาเทาใด ค. ระยะทางทเคลอนทไดทงหมดเปนเทาใด ง. ความเรวของวตถมคาเปนศนย ทเวลาใดแนวคด กราฟระหวางการกระจดกบเวลาของวตถทมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย เปนกราฟท ใหขอมลเกยวกบการกระจดของวตถทเวลาตาง ๆ นอกจากนยงใชหาคาบ ความถ ระยะทาง รวมทงความเรวจากความชนไดอกดวยวธทำา ก. จากกราฟ การกระจดมคาเปน 0 ทเวลา t = 1 s t = 3 s และ t = 5 s ข. จากกราฟ ท t = 2.5 s การกระจด (x) มคา 3.5 cm ดงนนการกระจดของวตถมคา 3.5 cm ค. ระยะทางระหวางตำาแหนงสมดลและตำาแหนงทขนาดการกระจดสงสดเทากบ 5.0 cm ใชเวลาเคลอนท 6 s ดงนนระยะทางทเคลอนทไดทงหมดเทากบ 30.0 cm ง. ท t = 0, t = 2 s, t = 4 s และ t = 6 s ความชนของกราฟเปน 0 ดงนน วตถมความเรว เปนศนยทเวลา 0, 2 s, 4 s และ 6 sตอบ ก. การกระจดของวตถเปนศนย ทเวลา 1 วนาท 3 วนาท และ 5 วนาท ข. การกระจดของวตถมคา 3.5 เซนตเมตร ค. ระยะทางทเคลอนทไดทงหมดเทากบ 30.0 เซนตเมตร ง. ความเรวของวตถมคาเปนศนยทเวลา 0 วนาท 2 วนาท 4 วนาท และ 6 วนาท

ตวอยาง 8.4 อนภาคหนงมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มการกระจดเปน x t� � �( . sin0 10 m) � ก. จากสมการในโจทย จงระบ มมเฟส เฟสเรมตน ความถเชงมม และแอมพลจด ข. ทเวลา t = 1.0 วนาท มมเฟสและการกระจดของอนภาคมคาเทาใดแนวคด สมการการกระจดของอนภาค x A t� �� �sin � � ม A เปนแอมพลจด ω เปนความถเชงมม � �t � เปนมมเฟส และ φ เปนเฟสเรมตน เมอแทนคาปรมาณตาง ๆ ในสมการการกระจด จะหาคาของ x ซงเปนการกระจดของอนภาคได

ตวอยาง 8.3 วตถชนหนงทมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายบนพนราบแนวระดบ กราฟระหวาง การกระจดกบเวลาเปนดงรป

(cm)x

(s)t

5−

5

10

2 3 4 5 6

รป ประกอบตวอยาง 8.3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

9ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ความเรวของเงาหาไดจากองคประกอบความเรวของวตถทกำาลงเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรว v0 ไดดงรป 8.6 ขณะเวลาใด ๆ (t) ความเรวของเงาเทากบความเรวตามแนวระดบของหมด หาไดจาก

v v� 0 cos� จาก � � �� �t และ v A0 � � จะได

v A t� �� � �cos( ) (8.3)

จากสมการ (8.3) ความเรวกบเวลาของ การเคลอนทของเงามความสมพนธเปนฟงกชนแบบโคไซน เมอ φ = 0 เขยนกราฟความสมพนธของความเรวกบเวลาของเงาทเคลอนทครบหนงรอบได ดงรป 8.7

(s)t

2T T

(m/s)ν

cos( )v A tω ω=Aω

Aω−

รป 8.6 เปรยบเทยบความเรวของหมด

กบความเรวของเงา

0x = AA−

ω

0t =

φ tω

t t=

0v Aω=θ

0 cosv v θ=

รป 8.7 กราฟความสมพนธระหวางความเรวกบเวลา

วธทำา ก. เปรยบเทยบสมการ x t� � �( . sin0 10 m) � กบ x A t� �� �sin � � จะได มมเฟส π t เฟสเรมตน 0 ความถเชงมม π rad/s แอมพลจด 0.10 m

ข. ทเวลา t = 1.0 s มมเฟส� �( )( .� �rad s s) =1 1 0 rad การกระจดของอนภาค x t� � �

� � ��

( . sin

( . sin

0 10

0 100

m)

m)

�

�

ตอบ ก. π t เรเดยน, 0, π rad/sเรเดยนตอวนาท และ 0.1 เมตร ตามลำาดบ ข. มมเฟสและการกระจดของอนภาคมคา π rad/s เรเดยน และ 0 ตามลำาดบ

8.2.2 ความเรวและความเรงของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

10 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ความเรงของเงาหาไดจากความเรงในแนวระดบของหมด โดยทขนาดความเรงของเงาเทากบขนาดความเรงในแนวระดบของหมดแตมทศตรงขามกบ การกระจด ดงรป 8.8 ขณะเวลาใด ๆ (t) ความเรงของเงาหาไดจาก

a ac� � sin�

จาก � � �� �t และ a Ac � � 2 จะไดa A t� � �� � �2 sin( ) (8.4)

2c

aAω

=

0x = AA−

ω

0t =

φ tω

t t=

θ

sinca a θ=

รป 8.8 เปรยบเทยบความเรงของหมด

กบความเรงของเงา

จากสมการ (8.4) ความเรงกบเวลาของ การเคลอนทของเงามความสมพนธเปนฟงกชนแบบไซน เมอ � � 0 เขยนกราฟความสมพนธของความเรงกบเวลาของเงาทเคลอนทครบหนงรอบได ดงรป 8.9 สามารถหาความสมพนธระหวางความเรงกบการกระจดของเงาทคลอนทแบบฮารมอนก อยางงายได โดยแทนคาการกระจดจากสมการ (8.2) ในสมการ (8.4) จะไดสมการความสมพนธของความเรงกบการกระจดตามสมการ

a x� �� 2 (8.5)

(s)t

2T T

2(m/s )a

2Aω

2Aω−

2 sin( )a A tω ω= −

รป 8.9 กราฟความสมพนธระหวางความเรงกบเวลา

เนองจากความถเชงมม ω คงตว จากสมการ (8.5) จะไดวาขนาดของความเรงแปรผนตรงกบขนาดของการกระจด แตมทศทางตรงขามกน สมการ (8.2) (8.3) และ (8.4) จะใชอธบายการ กระจด ความเรว และความเรงของวตถทมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายเปนฟงกชนกบเวลา

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

11ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ตวอยาง 8.5 จากตวอยาง 8.4 อนภาคมการกระจดเปน x � ( . m)sin( t)0 10 � สมการความเรวของอนภาคเปนอยางไร และทเวลา t = 1.0 วนาท ความเรวของอนภาคมคาเทาใด แนวคด วตถทมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มความเรวดงสมการ v A t� �� �� � �cos เมอแทนคาปรมาณตาง ๆ ในสมการความเรว จะหาคาของ v ซงเปนความเรวของอนภาค ทเวลาตาง ๆ ไดวธทำา อนภาคมแอมพลจด A = 0.10 m ความถเชงมม � � s� �1 และเฟสเรมตน φ = 0 แทนปรมาณเหลานใน v A t� �� �� � �cos จะได v t

t

� � �� � �

�

�

( . )( ) cos

( . ) cos

0 10

0 10

1

1

m s

ms

� �

� � ทเวลา t = 1.0 s จะได

v � � �� � ��

� �

�

�

( . ) cos ( )( . )

( . ) cos

( .

0 10 1 0

0 10

0 10

1 1

1

� �

� �

�

ms s s

ms

ms 11

1

10 10

)( ).

�

� � �� msตอบ สมการความเรว v t� � �( . ) cos0 10� � เมตรตอวนาท และความเรวทเวลา t = 1.0 วนาท เทากบ �0 1. � เมตรตอวนาท

ตวอยาง 8.6 จากตวอยาง 8.4 สมการความเรงของอนภาค เปนอยางไร และทเวลา t = 1.0 วนาท ความเรง ของอนภาคมคาเทาใดแนวคด วตถทมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มความเรงดงสมการ a A t� � �� �� � �2 sin เมอแทนคาปรมาณตาง ๆ ในสมการความเรง จะหาคาของ a ซงเปนความเรงของอนภาค ทเวลาตาง ๆ ไดวธทำา อนภาคมแอมพลจด A = 0.10 m ความถเชงมม � �� �s 1 และเฟสเรมตน φ = 0 แทนปรมาณเหลานใน a A t� � �� �� � �2 sin จะได a t

t

� � � �� � � �

�

�

( . )( ) sin

( . )sin

0 10

0 10

1 2

2 2

m s

m s

� �

� � ทเวลา t = 1.0 s จะได a = − ( )

= − ( )= −

− −

−

( . )sin ( )( . )

( . ) sin( .

0 10 1 0

0 100 1

2 2 1

2 2

π π

π π

ms s s

ms00 0

0

2 2π ms−

=)( )

ตอบ สมการความเรง a t� � � �( . )sin0 10 2� � เมตรตอวนาท2 และทเวลา t = 1.0 วนาท ความเรง ของอนภาคมคาเทากบศนย

12 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ตวอยาง 8.7 วตถเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มความถ 2 รอบตอวนาท ณ ตำาแหนงทมการกระจด 7 เซนตเมตร วตถจะมความเรงเทาใดแนวคด ความเรงของวตถทกำาลงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ณ ตำาแหนงใด ๆ หาไดจากสมการ a x� �� 2

วธทำา หาความเรงของวตถไดจาก a x

f x� �

� �

� � �

� �

� �

�

�

2

2

2 2 2

2

24 4 7 10

11

( )( )( ) ( )( )3.1416 s m

m/s

ตอบ วตถมขนาดความเรงเทากบ 11 เมตรตอวนาท2

จากการศกษาทผานมาพบวาความเรงมความสมพนธกบการกระจด ทำานองเดยวกนสามารถ พจารณาความเรวสมพนธกบการกระจดไดดงน ความสมพนธของความเรวเงากบการกระจดของเงา ทเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายหาไดจากการนำาคา sin( )� �t x

A� � จากสมการ (8.2) และ

cos( )� ��

t vA

� � จากสมการ (8.3) มายกกำาลงสองแลวบวกกน จะได

sin cos2 22

2

2

2 2� � � ��

t t xA

vA

�� � � �� � � �

12

2

2

2 2

2 2

� �

� � �

xA

vA

v A x�

� (8.6) สำาหรบเครองหมาย ± ในสมการ (8.6) แสดงถงทศความเรวของวตถทเคลอนทในหนงมต เชน ทเวลาเรมตน t = 0 วตถอยท x = 0 ความเรวมคาเปนบวก แสดงวาวตถตดปลายสปรงเคลอนทจากตำาแหนงสมดลไปทางขวา ในทางกลบกนความเรวมคาเปนลบแสดงวาวตถเคลอนทไปทางซาย จากสมการ (8.3) ขนาดความเรวมคาสงสดเมอ | cos |� �t �� � เทากบหนง ดงนนจะเรยกวา ขนาดความเรวสงสดหรอ v Amax � � พจารณาคลายกนกบสมการ (8.4) ทแสดงขนาดความเรง จะมคาสงสดเมอ | sin |� �t �� � เทากบ 1 แทนคาขนาดความเรงสงสดเปน a Amax � �2 ดงนนสมการ (8.3) และ (8.4) เขยนไดเปน v v t� �� �max cos � � (8.7) a a t� � �� �max sin � � (8.8)

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

13ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ตวอยาง 8.8 วตถหนงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายรอบตำาแหนงสมดล โดยมความถเชงมม 0.4 เรเดยนตอวนาท และขนาดการกระจดสงสด 10 เซนตเมตร ขณะทวตถอยหางจากตำาแหนงสมดล เปนระยะทาง 8 เซนตเมตร วตถมอตราเรวเทาใดแนวคด อตราเรวของวตถทกำาลงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ณ ตำาแหนงใด ๆ หาไดจากสมการ v A x� �� 2 2

วธทำา จากโจทย � � �0 4 1. s , A=10 cm และ x = 8 cm แทนคา

v � �

�

�( . ) ( ) ( ). cm/ s0 4 10 8

2 4

1 2 2s cm cm

ตอบ วตถมอตราเรวเทากบ 2.4 เซนตเมตรตอวนาท

คำาถามตรวจสอบความเขาใจ 8.2

1. กราฟระหวางการกระจดกบเวลาของวตถชนหนงทมการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ให ขอมลอะไรบาง 2. จากกราฟในตวอยาง 8.3 จงบรรยายการเคลอนทของวตถ 3. ขณะทวตถสนแบบฮารมอนกอยางงาย ปรมาณใดทมทศทางตรงขามกนเสมอ 4. วตถทสนแบบฮารมอนกอยางงายโดยมแอมพลจดเทากบ A วตถจะเคลอนทไดระยะทางเทาใด ในเวลา 1 คาบ 5. จงอธบายปรมาณตาง ๆ ในสมการการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย x A t� �� �sin � � 6. มมเฟสและเฟสเรมตน ตางกนอยางไร และมความสำาคญอยางไร

1. วตถเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มแอมพลจด 30 เซนตเมตร มคาบการเคลอนท 4 วนาท อตราเรวสงสดของการเคลอนทมคาเทาใด 2. วตถหนงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายดวยความถ 30 รอบตอนาท มขนาดการกระจดสงสด 20 เซนตเมตร ขนาดความเรงสงสดของวตถนมคาเทาใด

แบบฝกหด 8.2

14 ฟสกส เลม 3

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

3. จงเขยนสมการการกระจดทขนกบเวลาของวตถตดปลายสปรงทเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มตำาแหนงเรมตนตางกนในตาราง กำาหนดให ความถเชงมมเทากบ ω แอมพลจดเทากบ A

รปแสดงตำาแหนงเรมตนท t = 0 เฟสเรมตน (φ ) สมการการกระจด

ก.

ข.

0x = 2Ax =

0x =x A= −

4. วตถเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ดวยความถ 5 รอบตอวนาท ก. เมอเวลาผานไป 2 วนาท วตถอยในมมเฟสตางจากเดมเทาใด ข. เมอวตถอยในมมเฟสตางจากเดม 21

2π เรเดยน วตถเคลอนทไดกรอบ

ค. วตถใชเวลาเทาใด จงจะอยในมมเฟสตางไปจากเดม 4π เรเดยน 5. วตถหนงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายรอบจดสมดล O โดยมอตราเรวสงสด 5.0 เซนตเมตรตอวนาท และมคาบการสนเทากบ 4π วนาท ขณะทวตถมอตราเรว 3.0 เซนตเมตรตอวนาท วตถอยหางจากจดสมดล O เปนระยะกเซนตเมตร

8.3 แรงกบการสนของมวลตดปลายสปรงและลกตมอยางงาย เราทราบแลววา การสน หรอการแกวงกวด เปนการเคลอนกลบไปกลบมาผานตำาแหนงสมดล ในหวขอนจะไดศกษาการสนแบบทงายทสดทเรยกวา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ไดแก การสน ของวตถตดปลายสปรง และการแกวงของลกตมอยางงาย เมอวตถเคลอนทออกจากตำาแหนงสมดลจะม แรงดงวตถกลบมายงตำาแหนงสมดล ซงเปนแรงททำาใหวตถเคลอนทกลบไปมาซำาทางเดมเรยกแรงนวา แรงดงกลบ (restoring force) สมพนธกบปรมาณอน ๆ ของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายอยางไร จะไดศกษาในหวขอน

8.3.1 การสนของมวลตดปลายสปรง

การสนของมวลตดปลายสปรงเปนตวอยางหนงของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ในหวขอนจะพจารณาแรงทกระทำาตอวตถตดปลายสปรง และศกษาปรมาณทเกยวของกบการเคลอนท แบบฮารมอนกอยางงาย จากกจกรรม 8.1

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

15ฟสกส เลม 3 บทท 8 | การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย