ติดต่อครูที่ [email protected] - ฟ ชงกัี้ ... · 2008-06-21 · ค ารากของจํา.นวนจริง บทนิยาม

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2008 _______________________________ คณตศาสตร (163)2008

ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม(Exponential function and Logarithmic function)

1. เลขชกาลงบทนยาม ให a ∈ R , n ∈ N

1. an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ an copies

2. a-n = na1 เมอ a ≠ 0

3. a0 = 1 เมอ a ≠ 0

2. คารากของจา .นวนจรงบทนยาม กาหนด x, y ∈ R , n ∈ N - {1}

1. y เปนคารากท n ของ x กตอเมอ yn = x2. y เปนคาหลกรากท n ของ x กตอเมอ

(i) yn = x(ii) xy ≥ 0

เราใชสญลกษณ n x หรอ x1/n แทนคาหลกรากท n ของ x

คณตศาสตร (164) _______________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 20082008

สมบตให x, y ∈ R , m, n ∈ N -{1}1. ถา x มคารากท n แลว ( n x )n = x2. ถา x และ y มคารากท n แลว n x n y = n xy

3. ถา x และ y มคารากท n และ y ≠ 0 แลว nn

yx = n

yx

4. ถา x เปนจานวนจรงบวกแลว xm/n = (xm)1/n = (x1/n)m

5. ถา x มคารากท n, m แลว x จะมคารากท nm

6. n n x = |x| เมอ n เปนจานวนคn n x = x เมอ n เปนจานวนค

7. ถา x > 0 แลว n x > 0ถา x < 0 แลว n x < 0 เมอ n เปนจานวนคถา x = 0 แลว n x = 0

สมบตให a, b ∈ R และ m, n ∈ Q1. am ⋅ an = am+n

2. nm

aa = am-n เมอ a ≠ 0

3. (an)m = anm

4. (ab)n = an ⋅ bn

5.n

ba

= n

n

ba เมอ b ≠ 0

3. การหาคาของy 2 x ± ให x, y ∈ [0, ∞) โดยท x ≥ 2 y

y 2 x ± = a ± b โดย x = a + b, y = ab และ a ≥ b


4. ฟงกชนชกาลงexpa = {(x, y)|y = ax} โดยท a > 0, a ≠ 1

y = ax

(0, 1)X

Y

0 < a < 1ฟงกชนลด

(0, 1)X

Y

a > 1ฟงกชนเพม

1. ผานจด (0, 1) เสมอ2. ไมตดแกน X3. เปนฟงกชนหนงตอหนง (มอนเวอรส)4. โดเมน คอ R เรนจ คอ R+

การแกสมการและอสมการฟงกชนชกาลงสาหรบ 0 < a < 1 หรอ a > 1

ax = ay ↔ x = y

สาหรบ 0 < a < 1ax > ay ↔ x < yax ≥ ay ↔ x ≤ y

สาหรบ a > 1ax > ay ↔ x > yax ≥ ay ↔ x ≥ y

ขอสงเกต 1. ในการจดรปสมการมกมการสมมตตวแปร2. อาจมบางคาตอบทเปนไปไมไดตองตรวจคาตอบเสมอ


5. ฟงกชนลอการทมloga = 1

aexp- = {(x, y)|y = loga x} โดยท a > 0, a ≠ 1

y = loga x

(1, 0)X

Y

0 < a < 1ฟงกชนลด

(1, 0)X

Y

a > 1ฟงกชนเพม

1. ผานจด (1, 0) เสมอ2. ไมตดแกน Y3. เปนฟงกชนหนงตอหนง (มอนเวอรส)4. โดเมน คอ R+ เรนจ คอ R

การแกสมการและอสมการฟงกชนลอการทมสาหรบ 0 < a < 1 หรอ a > 1

loga x = loga y ↔ x = y

สาหรบ 0 < a < 1 loga x > loga y ↔ x < yloga x ≥ loga y ↔ x ≤ y

สาหรบ a > 1 loga x > loga y ↔ x > yloga x ≥ loga y ↔ x ≥ y

ขอสงเกต 1. x = ay ↔ y = loga x2. เรยก x วาเลขหลงลอค ซงตองมากกวา 03. ในการจดรปสมการมกมการสมมตตวแปร4. อาจมบางคาตอบทเปนไปไมได ตองตรวจคาตอบเสมอ


สมบตของฟงกชนลอการทม (เมอทกพจนมความหมาย)1. loga 1 = 02. loga a = 13. loga xy = loga x + loga y4. loga y

x = loga x - loga y

5. malog xn = m

n loga x

6. xlogaa = x7. เขยน log x แทน log10 x โดยเรยก log x วาลอการทมสามญ

เขยน ln x แทน loge x เมอ e ≈ 2.7182818 โดยเรยก ln x วาลอการทมธรรมชาต

8. loga x = a log xlog

cc = a log

xlog = alnxln = a log

1x

เมอ c > 0 และ c ≠ 1

9. กาหนดให log N = n + log n0 โดยท 1 ≤ n0 < 10 และ n ∈ Iเรยก n วาคาคาแรกเทอรสตก (characteristic) และเรยก log n0 วาคาแมนทสสา (mantissa)

10. log x = y ↔ x = antilog y


ตวอยางขอสอบเขามหาวทยาลย

1. เซตคาตอบของสมการ log2 (x2 - x - 4)2 = log0.1 (0.01) เปนสบเซตของเซตในขอใด1) R - [-2, 2] 2) R - [-1, 3] 3) [-4, 2] *4) [-3, 3]

2. log10 28 - log1/10 325 + log1/100 91 มคาเทาใด (ตอบ 1)

3. ให x, y สอดคลองกบระบบสมการ 9log3 x + 4log2 y = 16 , log3 x - log1/3 y = 2 - log3 2แลว |x2 - y2| มคาเทากบขอใด1) 5 + 7 2) 5 - 7 *3) 5 7 4) 10 7

4. กาหนดให A = {x ∈ R|5(32x+3) = 255(3x-1/2)} ผลบวกของสมาชกทงหมดของ A มคาเทากบเทาใด(ตอบ 1)

5. กาหนดให a, b เปนคาตอบของสมการ log3 x + 6 logx 3 = 5 โดยท a < bถา A = {x ∈ I+|x ∈ [a, b] และ 3|x} เมอ I+ เปนเซตของจานวนเตมบวก แลว A มจานวนสมาชกเทากบขอใด1) 6 *2) 7 3) 18 4) 19

6. ถา x เปนรากของสมการ 23x-1 ⋅ 6x ⋅ 255x-1 = 75x แลว x มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.25)

7. log3 6) 35 3(

273 3

++

+ มคาเทากบขอใด

*1) 43 - log3 (31/4 + 2) 2) 4

1 - log3 (31/2 + 2)

3) 43 - 4

1 log3 19 4) 41 - 4

1 log3 19

8. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ xlog3 x3 = 9xB เปนเซตคาตอบของสมการ log3 xx = 3

x

ถา C = {ab|a ∈ A และ b ∈ B} แลว เซตในขอใดเปนสบเซตของ C1) {3-1/3, 32} *2) {3-1/3, 34/3} 3) {34/3, 32} 4) {3-1/3, 32/3}

9. กาหนดใหเสนโคง y = 22x - 2x+2 - 45 ตดแกน X ทจด A ถาเสนตรงทผานจด A และจด B(0, b) ขนานกบเสนตรง y = (log3 2)x - 4 แลว b มคาเทากบขอใด1) 2 2) 1 3) -1 *4) -2

10. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จานวนเตมทเปนสมาชกของ Aมทงหมดกจานวน (ตอบ 4)

11. เซตคาตอบของอสมการ 2x2(x-3) < 8(2/3-x) เปนสบเซตของเซตในขอใด1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) *4) (-∞, 2)


12. ใหชวงเปด (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ log (3x + 4) > log (x - 1) + 1 แลว a + b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 3)

13. ถา 0 < x < 4π แลวเซตคาตอบของ log0.5 (sin x) + log0.5 (sin 2x) < log0.5 (cos x) + log0.5 (cos 2x)

คอเซตในขอใดตอไปน

1) φ 2)

π

6 0, 3)

ππ

6 ,12 *4)

ππ

4 ,614. เซตคาตอบของสมการ 4 ⋅ 32x + 9 ⋅ 22x = 13 ⋅ 6x เปนสบเซตในขอใด

1) [-4, 0] 2) [-3, 1] *3) [-2, 2] 4) [1, 3]

15. x ทสอดคลองสมการ 3log 2xlog + log3 (x - 12) = log [ x ( 5x + - 5 x - )] มคาเทากบ

เทาใด (ตอบ 13)16. กาหนดให a > 0 เปนคาตอบของสมการ 4a - 9 ⋅ 2a-1 + 2 = 0

เซตคาตอบของอสมการ 2 loga (x + 2) - loga (x - 1) < 4 เปนสบเซตของชวงใด1) (-3, 3 ) 2) (-2, 7) 3) (0, 8) *4) (1, 10)

17. กาหนดให log8 (log4 (log2 x)) = 2 ถา x = 4(2n) แลว n มคาเทากบเทาใด (ตอบ 127)18. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ log16 x + log4 x + log2 x < 7

และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 34x-3 - 26(32x-3) ≥ 1แลว A - B คอชวงใด

*1)

23 0, 2)

16 ,23 3) (0, 3] 4) [3, 16)

19. เซตคาตอบของอสมการ (4x - 2) log (1 - x2) > 0 เปนสบเซตของเซตในขอใด*1)

21 2, - 2)

2 ,2

1 - 3) (0, 10) 4)

20 ,21

20. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ logx

+

1x 3 x

- ≥ 1 และ T = {log x|x ∈ S}

T เปนสบเซตของชวงใด*1) [0, 2] 2) [1, 3] 3)

25 , 2

1 4)

37 , 3

1

21. ถา a และ b เปนคาตอบของสมการ 6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0แลวคาตอบของสมการ (ab)2x+1 = (ab + 3)x เทากบขอใด1) 3log 2log

3log - 2) 16log 7log

4log - 3) 2 8 log

15 - *4) 2 5 log

12 -

22. ผลบวกของคาตอบของสมการ log2 (4x-1 + 2x-1 + 6) = 2 + log2 (2x-1 + 1) มคาเทาใด (ตอบ 3)

3

3


23. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x2 - 9 ⋅ 2(log x/10+1) + 2 ≤ 0ถา a และ b เปนสมาชกของ S ทมคามากทสดและคานอยทสด ตามลาดบ แลว b

a เทากบขอใด

1) 20 2) 100 3) 200 *4) 100024. ผลบวกของคาตอบของสมการ 1 + (2 logx 3)(log9 (9 - x)) = logx 14 มคาเทากบเทาใด (ตอบ 9)25. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 52x + 11 ≤ |12(5x) - 9|

ถา a และ b เปนสมาชกของ S ทมคามากทสดและนอยทสด ตามลาดบ แลว a + b เทากบขอใด1) log5 15 *2) log5 20 3) 2 4) log5 30

26. ผลบวกของคาตอบของสมการ 12x - 2(3x) - 9(4x) + 18 = 0 มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2.5)27. นายแดงนาเงนไปฝากธนาคารออมสน โดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนตอไปฝากเพมขนเดอนละ 5 บาท

ทกเดอน เมอครบ 2 ป นายแดงนาเงนไปฝากทงหมดเทาใด (ตอบ 3780)28. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ log (log x) + log (9 - log x2) ≥ 1

ถา a และ b เปนสมาชกของ S ทมคามากทสดและนอยทสด ตามลาดบ แลว ab มคาเทากบขอใด1) 107/2 *2) 109/2 3) 1011/2 4) 1013/2

29. ขอใดตอไปนถก*1) log7 3 < log5 3 < log7 10 2) log5 3 < log7 3 < log7 103) log7 3 < log7 10 < log5 3 4) log7 10 < log5 3 < log7 3

30. จานวนเตมทสอดคลองกบอสมการ log1/2 [log3 (x + 1)] > -1 มจานวนเทากบขอใดตอไปน1) 6 2) 7 *3) 8 4) มากกวา 8


ตรโกณมต (Trigonometry)

สตรตรโกณมต

1. คามมและนยามพนฐาน

มม (θ) 0 30

π6 45

π4 60

π3 90

π2

sin θ 0 21

22

23 1

cos θ 123

22 2

1 0

tan θ 0 31 1 3 ไมนยาม

sin (-θ) = -sin θcos (-θ) = cos θ

tan θ = θθ

cossin ; cos θ ≠ 0

sec θ = θcos1 ; cos θ ≠ 0

csc θ = θsin1 ; sin θ ≠ 0

cot θ = θθ

sincos ; sin θ ≠ 0


2. สตรตรโกณมตพนฐาน

sin2 θ + cos2 θ = 11 + cot2 θ = csc2 θ ; sin θ ≠ 0tan2 θ + 1 = sec2 θ ; cos θ ≠ 0

sin (A ± B) = sin A cos B ± sin B cos Acos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin Btan (A ± B) = BtanA tan1

BtanA tanm

±

cot (A ± B) = Acot A cot 1Bcot A cot

±m

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)

sin A + sin B = 2 sin

+

2B A cos

2B A -

sin A - sin B = 2 cos

+

2B A sin

2B A -

cos A + cos B = 2 cos

+

2B A cos

2B A -

cos A - cos B = -2 sin

+

2B A sin

2B A -

sin 2A = 2 sin A cos A=

Atan1Atan22+

cos 2A = cos2 A - sin2 A= 1 - 2 sin2 A= 2 cos2 A - 1

tan 2A =Atan1

Atan22-


sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 Acos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A

tan 3A =Atan31

A tan A tan 32

3

--

sin

2A = ± 2

A cos 1 -

cos

2A = ± 2

A cos 1 +

tan

2A = ± Acos1

A cos 1+-

3. อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชน โดเมน เรนจ

sin

ππ

2 ,2 - [-1, 1]

cos [0, π] [-1, 1]

tan

ππ

2 ,2 - R

csc

π 0 ,2 - U

π

2 0, (-∞,-1]U [1, ∞)

sec

π

2 0, U

ππ ,2 (-∞,-1]U [1, ∞)

cot (0, π) R

ฟงกชน โดเมน เรนจ

arcsin [-1, 1]

ππ

2 ,2 -

arccos [-1, 1] [0, π]

arctan R

ππ

2 ,2 -

arccsc (-∞,-1]U [1, ∞)

π 0 ,2 - U

π

2 0,

arcsec (-∞,-1]U [1, ∞)

π

2 0, U

ππ ,2

arccot R (0, π)


4. กฎของโคไซนและไซนกฎของไซน (sine - law)

aA sin = b

Bsin = cCsin

กฎของโคไซน (cosine - law)

a2 = b2 + c2 - 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 - 2ab cos C


1. sec

31 arcsin 2 มคาเทากบเทาใด (ตอบ 3)

2. ให S =

ππ

2 ,2 - และ F(x) = sin2 x + sin4 x + sin6 x + ..., x ∈ S ถา a เปนสมาชกของเซต S ท

นอยทสดททาให F(a) ≤ 1 แลว F(a) มคาเทากบขอใดตอไปน1) 0 2) 4

1 3) 21 *4) 1

3. ถา 1 + cos2 θ + cos4 θ + ... = a โดยท a เปนจานวนจรง แลว cos (π - 2θ) sin

θπ 2 2 - มคา

เทากบเทาใด

*1) -2

a 2 a

- 2)

2a 2 a

- 3) -

22a

a

+ 4)2

2 aa

+

4. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) ขอใดตอไปนคอผลคณของสมาชกในเซต A1) - 4

1 *2) - 21 3) 4

1 4) 21

5. ให f(x) = arcsin x, g(x) = cos x และ h(x) = (fog)(x) พจารณาขอความตอไปนก. โดเมนของ h คอ เซตของจานวนจรง และ g

π h(x) 2 - = g(x)

ข. h เปนฟงกชนหนงตอหนงขอใดตอไปนเปนจรง1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


6.

π≤≤ สดมคามากท3A sin 3 5 และ 3

4 A 0A cos - เปนสบเซตของเซตในขอใด

1)

23 0, ,2

1 - *2)

0 ,21 ,2

3 -- 3)

23 ,2

1 0, 4)

23 ,2

1 ,23

-

7. ถาสามเหลยม ABC มมม BAC = 45° มม ACB = 60° และดาน AC ยาว 20 นว แลวพนทของสามเหลยม ABC มคาเทากบขอใด

1)1 32300

+ ตารางหนวย 2)

133300

+ ตารางหนวย

3)1 32200

+ ตารางหนวย *4)

133200

+ ตารางหนวย

8. sec

+ 5

3 arccos 53 arcsin2

1 + tan

+ 5

4 arccos 54 arcsin2

1 มคาเทากบขอใด

1) 2 2) 3 *3) 1 + 2 4) 2 + 3

9. ถา sin x = 53 และ tan x = - 4

3 แลว det

xcos 1 xsec x cosec2 เทากบขอใด

1) - 61 *2) - 3

1 3) - 32 4) -1

10. ถา arctan x = arctan 41 - 2 arctan 2

1 แลว sin (180° + arctan x) มคาเทากบขอใด

*1)175

13 2)175

16 3) -175

13 4) -175

16

11. ถาเสนสมผสเสนโคง y = (x - 1)2

45 2x - ทจด

161 ,2

1 - ทามม θ กบแกน X โดยท 0 ≤ θ ≤ 2π

แลว sin2 2θ มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.1)

12. กาหนดให f(x) = 2 sin 2x และ g(x) = 1x2 - เซต (RfI Dg) - Rgof คอเซตในขอใดตอไปน

1) {-1, 1} 2) {-2, 2}3) [2, - 3 ]U [1, 2] *4) [-2, -1]U ( 3 , 2]

13. รปสามเหลยม ABC ม a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C ตามลาดบถา cos B = 4

1 และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มคาเทากบขอใด

*1) 12 2) 20 3) 520 4) 3

40

14. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากบขอใด*1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40°

15. -sin2 1° + sin2 2° - sin2 3° + ... - sin2 89° + sin2 90° มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.5)


16. กาหนดให 0 ≤ θ ≤ 2π เซตคาตอบของอสมการ 21 sin

cos cos2

--θ

θθ < 0 เปนสบเซตของเซตในขอใด

1)

π

3 0, 2)

ππ

65 ,3

3)

π

4 0, U

ππ ,65 *4)

ππ

2 ,6 U

ππ

23 ,4

3

17. ถา a และ b เปนคาตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยท a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว |sin arctan (ab)| เทากบเทาใด (ตอบ 0.6)

18. นายดายนอยบนสนามแหงหนงมองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 60° แตเมอเขาเดนตรงเขาไปหาเสาธงอก20 เมตร เขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 75° ในขณะทเขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 60° นนเขายนอยหางจากเสาธงเทากบขอใด1) 10

+ 323 2 เมตร 2) 10

+ 321 2 เมตร

3) 10

+ 32 2 เมตร *4) 10

+ 3 2 เมตร

19. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 30° ดาน BC ยาว 2 เซนตเมตร และดาน AC ยาว 3 เซนตเมตร แลว4 sin 3B มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2.25)

20. ถา arccos x - arcsin x = 6π แลว arccos x - arctan 2x มคาเทากบขอใด

*1) 12π 2) 12

5π 3) 127π 4) 12

11π

21. 1 + cos

+π

34 arctan 5

4 arccos 2 - เทากบเทาใด (ตอบ 1.28)

22. ถา B sinA sin =

32 และ B cos

A cos = 2

1 แลว tan2 B มคาเทากบขอใด

1) 4 *2) 23 3) 1 4) 3

2

23. คา sin

21 arctan 2 + cot2

31 arcsin เทากบเทาใด (ตอบ 8.8)

24. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC มดาน BC ยาว 3 หนวย ดาน AC ยาว 2 หนวย

ถามม B = arctan

31 แลวคาของ sin (A + B) + sin (A - B) เทากบเทาใด (ตอบ 0.75)

25. กาหนดให θ ∈

ππ

4 ,4 - ถา 1 4 tan

1 4 tan2

2

+

θπ

θπ

-

-- = 5

3 แลว cos2 θ มคาเทากบขอใด

1) 53 2) 5

4 3) 107 *4) 10

9


26. ถา A sin3A sin

22

- A cos3A cos

22

= 2 แลว cos 2A มคาเทากบขอใด

*1) 41 2) 2

1 3)2

1 4)3

1

27. ถา tan (arccos x) = - 3 แลวคาของ x sin (2 arccos x) เทากบขอใด

1) - 43 2) - 2

1 3) 21 *4) 4

3

28. sin (arctan 2 + arctan 3) เทากบขอใด1) - 2

1 2)21- *3)

21 4) 2

1

29. ถา sec θ + cosec θ = 1 แลว sin 2θ มคาเทากบขอใด*1) 2 (1 - 2 ) 2) 2 ( 2 - 1) 3) 1 - 3 4) 3 - 1


เวกเตอร (Vectors)

1. ระบบพกดฉากสามมตทฤษฎบท ระยะทางระหวางจด P(x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) หรอ |PQ| มคาเทากบ

212

212

212 )z (z) y (y ) x (x --- ++

2. เวกเตอรปรมาณสเกลาร (scalar quantity) คอ ปรมาณทมแตขนาดปรมาณเวกเตอร (vector quantity) คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง

การเขยนปรมาณเวกเตอร1. เขยนแทนดวยสวนของเสนตรงในระนาบ

ใชสญลกษณ AB แทนเวกเตอรจาก A ไป B ซงคอ สวนของเสนตรงทมทศจาก A ไป B เรยก Aวา จดเรมตน (initial point) เรยก B วา จดสนสด (terminal point)

2. เขยนโดยใชตวเลข

ถาจด A มพกดเปน (x1, y1) และ B มพกดเปน (x2, y2) จะแทน AB ดวย

1 y y1 x x

22

--

ถาจด A มพกดเปน (x1, y1, z1) และ B มพกดเปน (x2, y2, z2) จะแทน AB ดวย

1z z1 y y1 x x

222

---

(ใชจดสนสดลบจดเรมตน)นเสธของเวกเตอรนเสธของเวกเตอร uv คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบขนาดของ uv และมทศทางตรงขามกน แทนดวย - uv

ขนาดของเวกเตอรถาจด A และ B มพกดเปน (x1, y1) และ (x2, y2) แลว |AB| = 2

122

12 ) y (y ) x (x -- + และถา

จด A และ B มพกดเปน (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) แลว |AB| = 212

212

212 )z (z) y (y ) x (x --- ++

ซง |AB| = |BA|เวกเตอรหนงหนวย (unit vector) คอ เวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ซงเวกเตอรหนงหนวยทมทศทาง

เดยวกบ uv คอ |u|1v uv


โคไซนแสดงทศทาง (direction cosines) โคไซนแสดงทศทางของ av เมอ av =

321

aaa

ซง | av | ≠ 0

เทยบกบแกน X, Y และ Z ตามลาดบ คอ จานวนสามจานวนซงเรยงตามลาดบ ดงน |a|a1v , |a|

a2v , |a|a3v

บทนยาม เวกเตอรสองเวกเตอรจะมทศทางเดยวกนกตอเมอมโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะมทศทางตรงขามกนกตอเมอโคไซนแสดงทศทางเทยบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจานวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

นยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

การเทากน

ba =

dc กตอเมอ a = c และ b = d

cba

=

fed

กตอเมอ

a = d, b = e และ c = fการบวกเวกเตอร

ba +

dc =

++

d bca

cba

+

fed

=

+++

f ce bd a

เวกเตอรศนย 0v เวกเตอรศนย คอ

00 เวกเตอรศนย คอ

000

การลบเวกเตอร

ba -

dc =

d bca

--

cba

-

fed

=

f ce bd a

---

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

α

ba =

αα

ba

เมอ α เปนจานวนจรงใดๆ

α

cba

=

ααα

cba

เมอ α เปนจานวนจรงใดๆ

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร1. ถา c > 0 แลว ucv จะเปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ c| uv | และมทศทางเดยวกนกบ uv

2. ถา c < 0 แลว ucv จะเปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ -c| uv | และมทศทางตรงขามกบ uv

3. ถา c = 0 แลว ucv = 0v

4. ให m และ n เปนจานวนจรงใดๆ และ uv , vv เปนเวกเตอรใดๆ แลว(i) (m + n) uv = umv + unv

(ii) (mn) uv = m( unv )(iii) m( uv + vv ) = umv + vmv

การขนานกนของเวกเตอรกาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอรทไมใช 0

v จะกลาววา uv และ vv ขนานกนกตอเมอมจานวนจรง cทไมใช 0 ททาให uv = vcv


3. ผลคณเชงสเกลารถา uv = x1 iv + y1 jv และ vv = x2 iv + y2 jv จะไดวา uv ⋅ vv = x1x2 + y1y2ถา uv = x1 iv + y1 jv + z1 k

v และ vv = x2 iv + y2 jv + z2 kv จะไดวา uv ⋅ vv = x1x2 + y1y2 + z1z2

และ uv ⋅ vv = | uv || vv | cos θเมอ θ คอ มมระหวาง uv และ vv , 0° ≤ θ ≤ 180° (แบบใชจดเรมตนตอกบจดเรมตน)สมบตของผลคณเชงสเกลารกาหนดให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรใดๆ1. uv ⋅ vv = vv ⋅ uv

2. uv ⋅ uv = | uv |2

3. uv ⋅ ( vv + wv ) = uv ⋅ vv + uv ⋅ wv

4. ถา uv = 0v หรอ vv = 0

v แลว uv ⋅ vv = 05. ถา uv ≠ 0

v หรอ vv ≠ 0v แลว uv ⊥ vv กตอเมอ uv ⋅ vv = 0

6. | uv ± vv |2 = | uv |2 ± 2 uv ⋅ vv + | vv |2

7. ถา uv , vv ≠ 0v และ uv ไมขนานกบ vv และ a uv + b vv = 0

v แลว a = 0 และ b = 0

8. ให D เปนจดบน OB ท AD ⊥ OB จะไดวา OD = ( OA ⋅ OB )

2|OB|OB

4. ผลคณเชงเวกเตอรถา uv = a1 iv + a2 jv + a3 k

v และ vv = b1 iv + b2 jv + b3 kv

ผลคณเชงเวกเตอรของ uv และ vv แทนดวย uv × vv คอเวกเตอร

122131132332

ba baba baba ba

---

หรอ

3232

bba a

iv -

3131

bba a

jv -

2121

bba a

kv

สมบตของผลคณเชงเวกเตอรกาหนดให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต และ k เปนจานวนจรงใดๆ1. uv × vv = -( vv × uv )2. ( uv + vv ) × wv = ( uv × wv ) + ( vv × wv )3. uv × ( vv + wv ) = ( uv × vv ) + ( uv × wv )4. uv × (k vv ) = k( uv × vv )5. (k uv ) × vv = k( uv × vv )6. uv × uv = 0

v

7. iv × jv = kv , jv × k

v = iv , kv × iv = jv

8. uv ⋅ ( vv × wv ) = ( uv × vv ) ⋅ wv

9. ถา uv ≠ 0v และ vv ≠ 0

v จะไดวา | uv × vv | = | uv || vv | sin θเมอ θ คอ มมระหวาง uv และ vv , 0° ≤ θ ≤ 180° (แบบใชจดเรมตนตอกบจดเรมตน)

10. สาหรบ uv ≠ 0v , vv ≠ 0

v และ uv ไมขนานกบ vv จะไดวา uv × vv ตงฉากกบ uv และ vv


การใชเวกเตอรในการหาพนทสเหลยมดานขนาน| uv × vv | = | uv || vv | sin θ เปนพนทของสเหลยมดานขนานทมดานไมขนานยาว | uv | และ | vv | หนวย

การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน| uv ⋅ ( vv × rv )| เปนปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน (parallelepiped) ทมดานกวาง ยาว สง

เปน rv , vv และ uv ตามลาดบ

ขอสงเกต 1. uv ⋅ ( vv × rv ) = rv ⋅ ( uv × vv ) = vv ⋅ ( rv × uv )uv ⋅ ( vv × rv ) = - uv ⋅ ( rv × vv ) = - vv ⋅ ( uv × rv ) = - rv ⋅ ( vv × uv )

2. ถา uv , vv และ rv อยในระนาบเดยวกนแลว uv ⋅ ( vv × rv ) = 03. uv ⋅ ( v × vv ) = vv ⋅ ( rv × rv ) = rv ⋅ ( uv × uv ) = 0


1. ให uv = iav - jbv โดย a > 0 ถา uv ตงฉากกบเวกเตอร - iv + j2v แลวมมระหวางเวกเตอร uv กบเวกเตอร i3v - jv (มมแหลม) มขนาดกองศา (ตอบ 45)

2. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมใดๆ และ E เปนจดททาให CE = 2BA ถา BE = aCB + bCA เมอ a, bเปนคาคงตวแลว b - a คอคาในขอใด1) -1 2) 2 3) 3 *4) 5

3. ถา | uv + vv | = 5 2 และ | uv - vv | = 26 แลว uv ⋅ vv เทากบขอใด1) 3 *2) 6 3) 8 4) 12

4. ถา uv และ vv ทามมกน 60° และ | uv + vv | = 37 , | uv - vv | = 13 แลว | uv | + | vv |มคาเทากบขอใด1) 5 *2) 7 3) 37 4) 50

5. กาหนดให O เปนจดกาเนด OA = i3v + j4v , OB = i5v - j2v จากจด A ลากเสนตรงไปตงฉากกบOB ทจด D แลว OD คอขอใด1)

297 ( i5v - j2v ) *2) 29

7 ( i5v - j2v )

3)298 ( i5v - j2v ) 4) 29

8 ( i5v - j2v )

6. ให uv = iv + j3v , vv = i2v + jv ถา θ เปนมมระหวาง ( uv + vv ) และ ( uv - vv ) แลว cos θมคาเทากบขอใด

*1)5

1 2)5

2 3) 51 4) 5

2


7. กาหนดให | uv - vv | = 3 และ uv ⋅ vv = -2 จงพจารณาขอความตอไปนก. uv + vv เปนเวกเตอรหนงหนวย ข. | uv |2 + | vv |2 = 3

ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

8. ให uv และ vv เปนเวกเตอร และ θ เปนมมระหวาง uv และ vv ถา uv + vv ตงฉากกบ uv - 2 vv และuv + 2 vv ตงฉากกบ 2 uv - vv และ | uv | = 2 แลว cos θ มคาเทากบขอใด

*1) -101 2) -

61 3) -

41 4) -

21

9. กาหนดจด A(3, -2), B(9, 4) และ O(0, 0) ถาแบงสวนของเสนตรง AB เปน 3 สวนเทาๆ กน ทจด C และD แลว OC ⋅ OD มคาเทาใด (ตอบ 35)

10. ถา uv = iav + jbv โดยท a > 0 และ b > 0 และ uv ⋅ ( i5v - j2v ) = 14 ถา uv ทามม θ กบเวกเตอรi และ cos θ = 5

3 แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 7 *2) 14 3) 18 4) 2111. ให A, B และ C เปนจดในระนาบ และ O เปนจดกาเนด โดยท OA = i3v - j2v , OB = i2v + j5v

ถา AC = 32 AB แลว | OC |2 มคาเทากบขอใด

*1) 9113 2) 9

98 3) 9193 4) 9

153

12. กาหนดให | uv | = 22 , | uv + vv | = 5, | uv - vv | = 4 ถา θ เปนมมระหวาง uv และ vv แลว θ อย

ในชวงใด

1)

π

6 0, *2)

ππ

4 ,6 3)

ππ

3 ,4 4)

ππ

2 ,3

13. กาหนดจด A(1, 1), B(4, 10), C(7, 9) และ D เปนจดทอยบนดาน AB โดยท ADAB

| || |

= 32 ถา θ คอมม

ระหวาง CA และ DC แลว cos θ คอคาในขอใด*1) -

52 2) -

102 3)

52 4)

102

14. กาหนดจด P(-1, 2), R(3, 3), O(0, 0) และ Q เปนจดบนสวนของเสนตรง PR โดยท |PQ| = 31 |PR|

ถา A(x, y) เปนจดในควอดรนตท 2 ททาให OA ตงฉากกบ OQ และ |OA| = 5 หนวย แลว x + y เทากบขอใด1) -

106 *2) -

26 3)

106 4)

26


15. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมสมบตวา 5|AB| = |BC| + |CA| ถา M และ N เปนจดแบงครงดานBC และ AC ตามลาดบ แลวพจารณาขอความตอไปน

ก. MN = 21 ( BC - AC )

ข. AM ⋅ BN = 0ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

16. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมโดยท |BC| = 1, |CA| = 2 ถา uv = 31 ( CA + 2 CB ), θ เปนมม

ระหวาง uv และ CB และ cos BCA$ = 41 แลว cos θ เทากบขอใด

1) 45 2) 2

5 3)245 *4)

225

17. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม โดยท |AB| = c, |BC| = a, |CA| = b ถา a2 + b2 + c2 = 13แลว AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ AB เทากบขอใด

1) 213 *2) - 2

13 3) 313 4) - 3

13

18. ถา uv = 4 iv + 3 jv , | vv | = | uv | และ | uv + vv | = 8 แลว uv ⋅ vv มคาเทาใด (ตอบ 7)19. ให A และ B เปนจดสองจดบนเสนตรง y = 2x ถาจด C(-2, 1) ทาให CA ⋅ CB = 0 และ |CA| = |CB|

แลวรปสามเหลยม ABC มพนทเทากบขอใด1) 2 5 ตารางหนวย 2) 10 ตารางหนวย

*3) 5 ตารางหนวย 4) 10 ตารางหนวย20. กาหนดเวกเตอร av , b

v และ cv ดงนav = i4v - j2v , av + b

v = i6v + j4v และ cv = c1 iv + c2 jv

โดยท c1 > 0, c2 > 0 และ | cv | = 2 17ถา cv ตงฉากกบ ( av - b

v ) แลว c1 + c2 มคาเทากบเทาใด (ตอบ 10)21. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา และ D เปนจดบนดาน DC ซงทาให |BD| : |BC| = 1 : 3

พจารณาขอความตอไปนก. 3AD = 2AB + BCข. AD ⋅ BC = - 6

1 |BC|2

ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด *3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


22. กาหนดใหเวกเตอร

41 ตงฉากกบเวกเตอร

a 8

- และ

35 = b

41 + c

a 8

- ถา θ เปนมมระหวาง

เวกเตอร

0a และ

cb แลว cos2 θ เทากบเทาใด (ตอบ 0.8)

23. ให A, B และ C เปนจดสามจดทไมอยบนเสนตรงเดยวกน และ D เปนจดบนเสนตรง BC ททาให BD : DC= 2 : 1 ถา |AD|2 = a|AB|2 + b|AC|2 + c|AB ⋅ AC| โดยท a, b และ c เปนจานวนจรง และ AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a2 + b2 + c2 มคาเทากบขอใด1) 81

31 2) 8132 3) 27

10 *4) 2711

24. ให A, B และ C เปนจดยอดของรปสามเหลยมใดๆพจารณาขอความตอไปน

ก. AB + BC + CA = 0v ข. (BC)2 ≤ (CA)2 + (AB)2

ขอใดถก*1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

25. ถา nvv = n1 iv + 2n

1 1 - jv เมอ n = 1, 2, 3, ..., 99 แลวคาของ ∑=

+

99

1n n1n |v v| vv - อยในชวงใด

1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) *3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8)26. กาหนดให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรทสอดคลองกบสมการ uv + 5 vv - 2wv = 0

v โดยท uv = 3 iv + j4v

และ uv ตงฉากกบ vv ถา θ เปนมมระหวาง uv และ wv แลวคาของ | wv |cos θ เทากบเทาใด (ตอบ 2.5)27. กาหนดให uv = iv + k3

v

vv = 2 j + kxv เมอ x เปนจานวนจรง

wv = - i3v + jv - kv

ถา uv , vv และ wv อยในระนาบเดยวกน แลว x มคาเทาใด1) -12 2) -8 3) 8 *4) 16

28. กาหนดให uv = i3v + j4v ถา wv = iav + jbv โดยท wv มทศทางเดยวกนกบ uv และ | wv | = 10แลว a + b เทากบเทาใด (ตอบ 14)


จานวนเชงซอน (Complex)

1. จานวนเชงซอนเซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรยกวา เซตของจานวนเชงซอน กตอเมอสาหรบทกๆ สมาชก (a, b)

และ (c, d) ใน C1. (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc)จานวนเชงซอน (a, b) นยมเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วา สวนจรง และเรยก b วา สวนจนตภาพขอสงเกต 1. c(a, b) = (ca, cb)

2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1สงยคของจานวนเชงซอนกาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามสงยคของ z แทนดวย z คอ z = a - biสมบตของสงยค1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2

2. 21 z z + = 1z + 2z

3. 21 z z - = 1z - 2z

4. 21 zz ⋅ = 1z ⋅ 2z

5.21

zz =

2

1zz โดยท 2z ≠ 0

6. z + z = 2Re(z) เมอ Re(z) คอ สวนจรงของ z7. z - z = 2Im(z)i เมอ Im(z) คอ สวนจนตภาพของ z8. z = zคาสมบรณของจานวนเชงซอนกาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามคาสมบรณของ z แทนดวย |z| คอ |z| = 22 b a +

สมบตของคาสมบรณ1. z z = |z|2 2. |z| = |-z|

3. |z1z2| = |z1||z2| 4.21

zz = |z|

|z|21 , z2 ≠ 0

5. |z-1| = |z|-1 6. |z| = | z |7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2||


2. จานวนเชงซอนในรปเชงขวให z = a + bi โดยท z ≠ 0 และ θ เปนมมบวกทเลกทสดซง tan θ = a

b จะไดวา รปเชงขวของ zคอ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรยก θ วา อารกวเมนต (argument) ของ z

การคณและการหารจานวนเชงซอนในรปเชงขวกาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทไมใชศนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ

z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2))2.

21

zz =

21z

z (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2))

3. n1z = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1)

การแกสมการจานวนเชงซอนสาหรบจานวนเชงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมอ n ≥ 2 จะไดวาn z =

πθπθ +++ n2k sin i n2k cos |z|n เมอ k = 0, 1, 2, ..., n - 1

กาหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0 จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย

นนคอ ถา z เปนคาตอบของสมการแลว z จะเปนคาตอบของสมการดวย



1. ถา Z เปนจานวนเชงซอนซง (1 + i)( 1Z + ) = -1 แลวสวนจรงของจานวนเชงซอน Z(Z - Z )15 เทากบขอใด1) - 2

3 2) 23 3) - 2

1 *4) 21

2. ถา z เปนจานวนเชงซอน ซง |(7 - 24i)(3 + 4i)z6| = 1 แลว z z มคาเทาใด (ตอบ 0.2)3. ให P(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสาม ซงมสมประสทธเปนจานวนจรงและสมประสทธของ x3 เปน 1

ถา x - 2 หาร P(x) เหลอเศษ 5 และ (1 + 3 i) เปนรากหนงของ P(x) แลวรากทเปนจานวนจรงของP(x) คอคาในขอใดตอไปน

*1) 43 2) 3

4 3) 45 4) 5

4

4. ถา z = -2 + 2 3 i เมอ i2 = -1 แลว z17 อยในควอดรนตในขอใด1) 1 2) 2 *3) 3 4) 4

5. พจารณาขอความตอไปนก. ถา A = {x ∈ R|(1 + i)x3 + (1 + 2i)x2 - (1 + i)x - (1 + 2i) = 0} แลว A ⊆ [-1.5, 1.5]ข. ถา z เปนจานวนเชงซอน ซง z6 = 8

1 i แลว | z | เทากบ 2

1


6. ถา Z1 = cos 12° + i sin 12° และ Z2 = -cos 16° - i sin 16° แลว 15

21z

z

เทากบขอใด

*1) 2i3 1 +- 2) 2

i3 1 + 3) 2i 3 +- 4) 2

i 3 --

7. ให Z1, Z2, Z3, Z4 เปนรากของสมการ Z4 + Z2 + 2 = 0 |Z1| + |Z2| + |Z3| + |Z4| มคาเทากบขอใด1) 2 2) 4 3) 25/2 *4) 29/4

8. กาหนดให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอนท 2z1 2z = 1 + 2z และ z1 = 6

18 sin i 18 cos

ππ +

ขอใดคออนเวอรสการคณของ z2

1) 21 - 2

3 i 2) 21 + 2

3 i 3) 3 i *4) - 3 i

9. ถา z เปนจานวนเชงซอนซง |z| = |3 - 4i| และ |z - 1| = 30 แลวสวนจนตภาพของ z อยในเซตใด1) {-4, 4} *2) {- 21 , 21 } 3) {-3, 3} 4) {- 24 , 24 }


10. ถา 2z3 = 1 + 3 i และ 2718

z iz-

= a + bi เมอ a, b เปนจานวนจรง แลว a + b มคาเทากบขอใด

1) -1 *2) 0 3) 1 4) 211. กาหนดให z = i9 + i10 + ... + i126 เมอ i2 = -1 แลว 2z-1 เทากบขอใด

1) 1 + i 2) 1 - i 3) -1 + i *4) -1 - i

12. ถา 43 + 4

39 i เปนคาตอบหนงของสมการ ax2 - 3x + c = 0 โดยท a และ c เปนจานวนจรง แลว

เศษทเหลอจากการหาร ax2 - 3x + c ดวย x + 2 เทากบขอใด1) 8 2) 12 3) 16 *4) 20

13. ให z = -1 - 3 i แลว z6 + 6z เทากบเทาใด (ตอบ 128)14. กาหนดให ω = cos θ + i cos θ เมอ cos θ < 0 และ 2 cos2 θ = 1 ถา z เปนจานวนเชงซอนมสมบต

วา |ωz| = 2 และอารกวเมนตของ ωz เทากบ 4

π แลว z2 + z + 1 มคาเทากบขอใด

1) -3 + 2i *2) -3 - 2i 3) 3 + 2i 4) 3 - 2i15. กาหนดให จานวนเชงซอน z1, z2, z3 เปนจดยอดของรปสามเหลยมดานเทารปหนง

ถา 1213

z zz z

-- = cos 3

π + i sin 3π , z1z2 = 1 + i , z2z3 = 2 + 2i , z3z1 = 3 + 4i

แลวพจารณาขอความตอไปน

ก.2123

z zz z

-- = cos 3

π + i sin 3π ข. 2

1z + 22z + 2

3z = 6 + 7i

ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก *4) ก. และ ข. ผด

16. กาหนดให z1, z2, z3 เปนจานวนเชงซอน ซงมสมบตวา |z1| = |z2| = |z3| = 1, z1 + z2 + z3 = 0และให Re(z) แทนสวนจรงของจานวนเชงซอน zพจารณาขอความตอไปน

ก. Re(z1 2z ) = 21 ข. |z1 - z2| = 3


17. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน ถา -1 + 3 i เปนรากท 5 ของ z แลวรากท 2 ของ z คอจานวนในขอใด1) 2 2 (- 3 - i), 2 2 ( 3 + i) 2) 2 2 (-1 - 3 i), 2 2 (1 + 3 i)3) 2 2 (- 3 + i), 2 2 ( 3 - i) *4) 2 2 (-1 + 3 i), 2 2 (1 - 3 i)


18. กาหนดให z1, z2, z3 เปนรากของสมการ (1 - i)z3 = 2 โดยท z1, z2, z3 อยในควอดรนตท 1, 2, 3ตามลาดบ z1z3 + 2

2z เทากบขอใด*1) -2i 2) 2i 3) -2 4) 2

19. กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ f(x) = x4 - 6x3 + 15x2 + ax + b ถาจานวนเชงซอน 1 + i และ 2 + i เปนรากของ f(x) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน1) -10 *2) -8 3) 8 4) 10

20. ให z = a + bi ซง b > 0 ถา z สอดคลองกบ

64z32 4z z

22

--+ = 1 และ z z = 61 แลว a + b มคา

เทากบขอใด1) 9 2) 10 *3) 11 4) 12

21. กาหนดจานวนเชงซอน z1 = a, z2 = b(cos θ + i sin θ) โดยท a > 0, b > 0 และ 0 < θ < 2π

ถา 2i|z1z2| sin θ = c 1z z2 + dz1 2z โดยท c, d เปนจานวนจรง แลว 5c + 2d มคาเทากบขอใด1) 4 *2) 3 3) 2 4) 1

22. ถา Z1 และ Z2 เปนรากของสมการ (Z - 2 3 )3 = -8i ซงมขนาดเปนจานวนเตม แลว Z1 + Z2 เทากบขอใด1) - 3 - i 2) 3 - i 3) 3 3 - i *4) 3 3 + i

23. กาหนดให Z1, Z2, Z3 เปนจานวนเชงซอน ซงสอดคลอง Z1Z2Z3 = 1และ Z1 + Z2 + Z3 = 1Z

1 + 2Z1 +

3Z1 พจารณาขอความตอไปน

ก. (1 - Z1)(1 - Z2) =

1Z1 1 -

2Z1 1 -

ข. ถา Z1 ≠ 1 และ Z2 ≠ 1 แลว |Z3 + i||Z3 - i| = 4ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

24. ถา z = 2i 3 + แลวคาของ

2

36

2z zi z++

- เทากบเทาใด (ตอบ 0.5)

25. ให f(x) = x3 + ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรง ถา x - 3 หาร f(x) แลวเหลอเศษ 10 และ 1 + iเปนรากหนงของ f(x) แลวคาของ f(1) เทากบขอใดตอไปน

*1) -4 2) -2 3) 0 4) 126. ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ z14 - i = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ z22 - i = 0 แลวจานวน

สมาชกของ AI B เทากบขอใดตอไปน1) 0 *2) 1 3) 2 4) 3


27. ถา z1 = 4(cos 145° + i sin 145°) และ z2 = 3 (cos 115° + i sin 115°) แลวคาของ |z1 - z2|2

เทากบเทาใด (ตอบ 7)28. พจารณาขอความตอไปน

ก. เซตคาตอบของ x4 - 2x3 + x2 + 4x - 6 = 0 คอ { 2 , - 2 , 1 + 2 i, 2 + i}

ข.66

2i3 1 2

i3 1

++ - ≤ 2


29. จานวนเชงซอน z = 1 + i เปนคาตอบของสมการในขอใด*1) z4 - 2z2 + 4z = 0 2) z4 - 2z2 - 4z = 03) z4 + 2z2 - 4z = 0 4) z4 + 2z2 + 4z = 0

30. กราฟของจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนทสอดคลองกบสมการ (z + i)( z - i) = 1 เปนรปใดตอไปน1) เสนตรง *2) วงกลม 3) วงร 4) ไฮเพอรโบลา


ลาดบและอนกรม (Sequence and Series)

1. ลาดบคอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบ n ตวแรก (ลาดบจากด) หรอเซตของจานวนนบ (ลาดบ

อนนต) การเขยนลาดบ เขยนได 3 แบบ คอ เขยนแบบเซต เขยนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลาดบ เขยนแบบพจนทวไป

ลมตของลาดบ1. ลาดบทจะนามาพจารณาตองเปนลาดบอนนต2. ลมตของลาดบ (an) มคาเปนจานวนจรง L แทนดวย nn

alim∞→

= L กตอเมอ n มคามากขน an จะม

คาเขาใกลหรอเทากบ L ( nnalim

∞→ = L ↔ ∀ε > 0∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ε)

3. ถา nnalim

∞→ = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลาดบ an ลเขา (converge) ส L และถาลาดบ (an)

ไมมลมตแลวเราจะกลาววา ลาดบ an ลออก (diverge) (ถาลมตของลาดบมคาแลว จะมไดคาเดยว)ทฤษฎบท กาหนดให c เปนคาคงตวใดๆ nn

alim∞→

= A, nnblim

∞→ = B

1.∞→n

lim c = c

2.∞→n

lim c ⋅ an = cA

3.∞→n

lim (an + bn) = A + B

4.∞→n

lim (an ⋅ bn) = AB

5.∞→n

lim k n a = k A (เมอ k เปนคาคงทและทกเทอมมความหมาย)

6.∞→n

limnn

ba

= BA (เมอทกเทอมมความหมาย)

หมายเหต1. ถา an = q(x)

p(x) โดยท p(x) และ q(x) เปนพหนาม

ถา deg p(x) = deg q (x) จะได nnalim

∞→ = B

A เมอ A และ B คอ สมประสทธของ x กาลงสงสด

ของพหนาม p(x) และ q(x) ตามลาดบถา deg p(x) > deg q (x) จะได nn

alim∞→

ลออก

ถา deg p(x) < deg q (x) จะได nnalim

∞→ = 0


2. ถา an อยในรปแบบของฟงกชนชกาลง ใหดงตวรวมและใชขอเทจจรงทวา nn

alim∞→

= 0 เมอ

0 < a < 13. ใชคอนจเกต

ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตางของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอ เรยกผลตางทคงทนวา ผลตางรวม แทนดวย d (d = an + 1 - an) พจนทวไปของลาดบเลขคณต an = a1 + (n - 1)d

ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอ เรยกอตราสวน

ทคงทนวา อตราสวนรวม แทนดวย r

+=n1n

aa r พจนทวไปของลาดบเรขาคณต an = a1 ⋅ rn-1

2. อนกรมคอ ลาดบของผลบวกยอย เรยกวา sn วา ผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ (an)

อนกรมทเกดจากลาดบจากด เรยก อนกรมจากด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑n

1=i ia

อนกรมทเกดจากลาดบอนนต เรยก อนกรมอนนต nnslim

∞→= s∞ = a1 + a2 + ... = ∑

∞

1=i ia

โดยถา nnslim

∞→ มคา จะกลาววาอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบคาของลมตนน และถา nn

slim∞→

หาคาไมไดจะกลาววาอนกรมลออก

อนกรมเลขคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต sn = 2n (2a1 + (n - 1)d) = 2

n (a1 + an)

อนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต sn = r1)r (1a n

1--

เมอ r ≠ 1ผลบวกอนนตพจนของอนกรมเรขาคณต

nnslim

∞→ = ∑

∞

1=i ia = r 1a1- กตอเมอ |r| < 1

nnslim

∞→ = ∑

∞

1=i ia ลออก กตอเมอ |r| ≥ 1

อนกรมผสม ใชเทคนคคณตลอดดวย rอนกรมทอยในรปเศษสวนยอย ปรบแตละพจนใชอยในรปเศษสวนยอยอนกรมพ

∑∞

1=n pn1 ลเขา กตอเมอ p > 1

∑∞

1=n pn1 ลออก กตอเมอ p ≤ 1


สญลกษณแทนการบวก

1. ∑n

1=ic = nc 2. ∑

n

1=i icx = c ∑n

1=i ix

3. ∑ ±n

1=i ii )y (x = ∑n

1=i ix ± ∑n

1=i iy 4. ∑n

1=ii = 2

1)+n(n

5. ∑n

1=i2i = 6

1) + 1)(2n + n(n 6. ∑n

1=i3i =

2n

1ii

∑=

= 41 (n(n + 1))2

ทฤษฎบท

1. ถา ∑∞

1=n na เปนอนกรมลเขา แลว nnalim

∞→ = 0 หรอ ถา nn

alim∞→

≠ 0 แลว ∑∞

1=n na ลออก

2. ถา ∑∞

1=n na และ ∑∞

1=n nb เปนอนกรมลเขา แลวสาหรบจานวนจรง c, d ใดๆ จะไดวา ∑∞

1=i n(ca ± dbn)

เปนอนกรมลเขาดวย โดยท ∑∞

±1=n nn )db (ca = c ∑

∞

1=n na ± d ∑∞

1=n nb

3. กาหนดให 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา

ถา ∑∞

1=n nb ลเขา แลว ∑∞

1=n na จะลเขาดวย

ถา ∑∞

1=n na ลออก แลว ∑∞

1=n nb จะลออกดวย


1. จานวนสมาชกในเซต {100, 101, 102, ... , 600} ซงหารดวย 8 หรอ 12 ลงตวเทากบขอใด*1) 84 2) 92 3) 100 4) 125

2. ให f(x) = x8 - x6 และ f′ คออนพนธของ fถา {an} เปนลาดบซงม nn

alim∞→

= 1 แลว ∞→n

lim (fof′)(an) มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 68 2) 92 3) 150 *4) 192

3. ถา f(x) = x - 1 แลว ∑30

10=n. (fof)(n2) มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 9028 2) 9030 *3) 9128 4) 9170


4. ให a เปนจานวนจรง กาหนดพจนท n ของอนกรมคอ a1a2)(n1

--+ ถาพจนท m คอ a 1

a38 1-

+ แลวผลบวก m พจนแรกของอนกรมนมคาเทากบขอใดตอไปน

*1) a 1a740 40

-+ 2) a 1

a790 40-

+ 3) a1a72020

-+ 4) a 1

a760 20-

+

5. ถาลาดบเลขคณต a1, a2, a3, ... มพจนท 10 และพจนท 15 เปน -19 และ -34 ตามลาดบแลว

∑ +20

1=i i 2i) (a เทากบขอใดตอไปน

1) -30 2) -15 *3) 10 4) 206. ให 5, x, 20, ... เปนลาดบเลขคณตทมผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ 5, y, 20, ... เปนลาดบ

เรขาคณตทมพจนท 6 เปน b โดยท y < 0 แลว a + b มคาเทาใด 1) 205 *2) 395 3) 435 4) 845

7. ถา ∑10

1=i ix = -8 , ∑10

1=i iy = 4 และ ∑ +10

1=i ii 2) )(y x (5 - = 76 แลว ∑10

1=i ii yx มคาเทากบขอใดตอไปน

1) -60 2) -30 3) 30 *4) 608. กาหนดให a, b, c เปน 3 พจนเรยงตดกนในลาดบเรขาคณต และมผลคณเปน 27 ถา a, b + 3, c + 2 เปน

3 พจนเรยงตดกนในลาดบเลขคณตแลว a + b + c มคาเทากบเทาใด (ตอบ 13)9. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกททาใหผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต 7 + 15 + 23 + ... มคา

เทากบ 217 แลว 82n1nn

22 ... 2 2 +++ +

มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 127 2) 128 *3) 127.5 4) 128.5

10. ถา c เปนจานวนจรง ซง ∞→n

lim 323

1)(2ncn n 3cn

++- = ∑

∞

1=n 2n1n

32)(

--- แลว c มคาเทาใด (ตอบ 4.8)

11. กาหนดให Sn = 1kn

1=k 101

-∑

และ S =

1k

1=k 101

-∑∞

จานวนเตมบวก n ททาให S - Sn = 9

1 (10-5)

เทากบเทาใด (ตอบ 6)12. กาหนดให log x, log (x + 2), log (x + 16) เปนสามพจนแรกทเรยงกนของลาดบเลขคณต ถา a10 เปน

พจนท 10 และ s10 เปนผลบวก 10 พจนแรกของลาดบนแลว ขอใดตอไปนถก1) a10 = 9 log 5 - 8 log 3, s10 = 5[9 log 5 - 7 log 3]2) a10 = 9 log 5 - 8 log 3, s10 = 5[9 log 7 - 2 log 3]3) a10 = 9 log 7 - log 3, s10 = 5[9 log 5 - 7 log 3]

*4) a10 = 9 log 7 - log 3, s10 = 5[9 log 7 - 2 log 3]13. ถา log9 3, log9 (3x - 2), log9 (3x + 16) เปนสามพจนแรกทเรยงกนในอนกรมเลขคณต และ S เปนผล

บวกของสพจนแรกของอนกรมน และ 3s มคาเทากบเทาใด (ตอบ 243)


14. ให x เปนจานวนจรง ซง |x| < 1

ถาอนกรม 1 + (1 + x) 21 + (1 + x + x2)

221

+ (1 + x + x2 + x3)

321

+ ...

มผลบวกเทากบ 716 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 31 2) - 4

1 3) 31 *4) 4

1

15. กาหนดให r = 1 + sin 8π ผลบวกของอนกรมในขอใดตอไปนเทากบ r1

1+

1) ∑∞

= 0 nn r 2) ∑

∞

= 0 nnn r1)( - 3) ∑

∞

= +0n 1nr1 *4) ∑

∞

= +0 n 1nn

r1)( -

16. ถา an เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมล ม n พจน

1, 2, 2, 3, 3, 3, ... ,n , n, n, ... , n

แลว ∞→n

lim nan เทากบขอใด

1) 0 2) 21 3) 3

1 *4) 32

17. พจารณาลาดบ an และ bn ซง

1 2nn2+ ; n ≤ 100

2 ; n > 100 2 ; n ≤ 100

1 2nn2+ ; n > 100

ขอใดตอไปนถก 1) an และ bn เปนลาดบลเขา 2) an และ bn เปนลาดบลออก

*3) an เปนลาดบลเขา และ bn เปนลาดบลออก 4) an เปนลาดบลออก และ bn เปนลาดบลเขา

18. ถา a1 + 3

1 + 23a + 3

2

3a + ... เปนอนกรมเรขาคณต ซงมผลบวกเปน 3

4 แลว a มคาเทาใด (ตอบ 1.5)

an =

bn =


แคลคลส (Calculus)

1. ลมตและความตอเนองของฟงกชนเมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานซายของเสนจานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวน

จรง L1 จะกลาววา L1 เปนลมตซายของ f ท a แทนดวยสญลกษณ -ax

lim→

f(x) = L1

เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานขวาของเสนจานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L2 จะกลาววา L2 เปนลมตขวาของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

+→axlim f(x) = L2

ถาลมตทางซายและลมตทางขวาของฟงกชน f เทากน และมคาเทากบ L จะกลาววาฟงกชน f มลมตเปน L ท a แทนดวยสญลกษณ

axlim→

f(x) = L

ถาลมตทางซายไมเทากบลมตทางขวา หรอลมตขางใดขางหนงหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชน f ไมมลมตท aทฤษฎบทของลมต กาหนดให a เปนจานวนจรงใดๆ f และ g เปนฟงกชนทมลมตทจด a จะไดวา1. clim

ax→ = c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

2. xlim

ax→ = a

3. naxxlim

→ = an เมอ n ∈ N

4. cf(x)lim

ax→ = c f(x)lim

ax→ เมอ c คอ คาคงตวใดๆ

5. )( g(x) f(x)lim

ax±

→ = f(x)lim

ax→ ± g(x)lim

ax→

6. )( g(x)f(x)lim

ax⋅

→ = f(x)lim

ax→⋅ g(x)lim

ax→

7.

→ g(x)f(x)lim

ax = g(x)lim

f(x)lim

ax

ax

→

→ เมอ g(x)lim

ax→ ≠ 0

8. nax

)(f(x)lim (

→ =

n

a x f(x)lim

→ เมอ n ∈ N

9. nax

f(x)lim

→ = n

axf(x)lim

→ เมอ n ∈ N และ f(x)lim

ax→≥ 0

10. mn

ax)(f(x)lim (

→ =

mn

a x f(x)lim

→ เมอ n, m ∈ N และ f(x)lim

ax→≥ 0

11. ถา f เปนฟงกชนพหนาม นนคอ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เมอ a0, a1, a2, ..., anเปนคาคงตวโดย an ≠ 0 จะไดวา f(x)lim

ax→= f(a)


ความตอเนองของฟงกชนบทนยาม ให a เปนจานวนจรงใดๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองทจด a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบต

ตอไปน1. f(x)lim

ax→ หาคาได

2. f(a) หาคาได3. f(x)lim

ax→ = f(a)

2. อตราการเปลยนแปลงของฟงกชนบทนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนใดๆ และ h เปนจานวนจรงทไมใชศนยอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h คอ h

f(x)h)+ f(x -

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ใดๆ คอ hf(x)h)+ f(x lim

0h -

→

3. อนพนธของฟงกชนบทนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ

hf(x)h) +f(x lim

0h -

→ หาคาได เรยกคาลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x แทนดวย f ′(x) , dx

d f(x), dxdy

ทฤษฎบทของอนพนธ1. dx

dc = 0 เมอ c คอ คาคงตวใดๆ

2. dxdx = 1

3. dxd xn = nxn-1 เมอ n เปนจานวนจรงใดๆ

4. dxd [f(x) ± g(x)] = dx

d f(x) ± dxd g(x)

5. dxd cf(x) = c dx

d f(x) เมอ c คอ คาคงตวใดๆ

6. dxd [f(x)g(x)] = f(x) dx

d g(x) + g(x) dxd f(x)

7. dxd

g(x)f(x) = 2)(g(x)

g(x)dxd f(x) f(x)dx

dg(x) - เมอ g(x) ≠ 0

8. dxd gof(x) = dy

d g(y) dxd f(x) เมอ y = f(x) (กฎลกโซ (Chain rule))

9. dxd [f(x)]n = n[f(x)]n-1

dxd f(x)


อนพนธอนดบสงของฟงกชนบทนยาม ถา f′(x) หาอนพนธไดแลวจะเรยกอนพนธของ f′(x) วา อนพนธอนดบสองของ f แทนดวย

f ″(x), 22

dxyd , 2

2

dxd f(x) ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามอนพนธอนดบ 3, 4, ... ของฟงกชน ตลอดจนกาหนด

สญลกษณไดโดยวธเดยวกนการประยกตของอนพนธความชนของเสนสมผสโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชนของเสนตรงทสมผสเสนโคงทจด (a, f(a))

คอ f ′(a)ฟงกชนเพมและฟงกชนลด กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมบน (a, b) ⊂ Df ถา

f ′(c) > 0 ทก c ∈ (a, b) และฟงกชน f เปนฟงกชนลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทก c ∈ (a, b)คาสดขดของฟงกชนกาหนดให f มโดเมนเปน Dfฟงกชน f มคาสงสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) > f(x) สาหรบ

ทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ cฟงกชน f มคาตาสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) < f(x) สาหรบ

ทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ cนยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรยก c วา คาวกฤตของฟงกชน f และเรยกจด (c, f(c)) วา จดวกฤตของ fทฤษฎบท กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวกฤตของ f แลวถา f ″(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตาสดสมพทธโจทยปญหาคาสดขด ทาความเขาใจปญหาเพอสรางฟงกชน f(x) โดยให f(x) เปนสงทโจทยตองการทราบ

คาสดขดและตวแปร x คอ สงทสงผลตอคาสดขดนน

4. การอนทเกรตบทนยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f เมอ F ′(x) = f(x) สาหรบทกคา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx

แทน F(x) + c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ และเรยก ∫ f(x)dx วา อนทกรลไมจากดเขตของฟงกชน fทฤษฎบท1. ∫ kdx = kx + c เมอ k และ c เปนคาคงตว

2. ∫ xndx = 1+ nx 1+n

+ c เมอ n ≠ -1

3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว4. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx


อนทกรลจากดเขตนยาม ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a, b] โดยท F ′(x) =

f(x) แลว

∫b

af(x)dx = F(b) - F(a)

เรยก ∫b

af(x)dx วา อนทกรลจากดเขตของฟงกชน f บน [a, b] ใชสญลกษณ b

aF(x) แทน F(b) - F(a)

ทฤษฎบท

1. ∫b

akf(x)dx = k ∫

ba

f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว

2. dxg(x) f(x) )(b

a±∫ = ∫

b

af(x)dx ± ∫

b

ag(x)dx

3. ∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx เมอ c ∈ (a, b)

4. ∫b

af(x)dx = - ∫

a

bf(x)dx

พนททปดลอมดวยเสนโคงบทนยาม กาหนดใหฟงกชน f(x) ตอเนองบน [a, b] พนทปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถง

x = b หมายถง พนทของบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = bทฤษฎบท กาหนดใหฟงกชน f ตอเนองบน [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก

x = a ถง x = b จะหาไดจากสตรตอไปน

1. ถา f(x) ≥ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] และ A = ∫b

af(x)dx

2. ถา f(x) ≤ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] และ A = - ∫b

af(x)dx


1. กาหนดให f(x) =

1> xเมอ 1x x5 2

1= xเมอ 1 1<x<0 เมอ 1 +3x

1

-- -

พจารณาขอความตอไปนก. f(x)lim

1x -→ = f(x)lim

+1x→ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1



2. กาหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธ และ F(x) = 15 + f(x) 3)( ถา F(1) = f ′(1) = 4 แลว F ′(1) มคา เทากบขอใด1) 2

1 *2) 23 3) 8 4) 24

3. พนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 - 3x + 2 จาก x = 0 ถง x = 2 เฉพาะสวนทอยเหนอแกน x เทากบขอใด

1) 23 ตารางหนวย 2) 6

1 ตารางหนวย 3) 32 ตารางหนวย *4) 6

5 ตารางหนวย

4. กาหนดให f เปนฟงกชน ซง f(2) = -1, f ′(1) = -3 และ f ″(x) = 3 ทกคา x แลว f(0) มคาเทากบขอใด*1) 5 2) 6 3) 12 4) 15

5. ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ f(3) = -2, f ′(3) = 5 ถา g(x) = 1+x

f(x)2 แลว g′(3) มคาเทาใด

(ตอบ 0.62)


>

≤<

≤

1 x เมอ x 1x 1

1x1 เมอ 1) +2(x 1 x + 2x

1x เมอ 23

2

- -

- -

--

พจารณาขอความตอไปนก. f ตอเนองทจด x = -1 ข. f ตอเนองทจด x = 1

ขอใดเปนจรง*1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

7. กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรง และ f(x) = ax3 + bx2 + cx + d โดยท f มคาสงสดสมพทธเปน 2 ท x = 1 และ f ″(1) = -4 ถา f(0) = 1 แลว f มคาตาสดสมพทธทจดในขอใด

1) x = -3 *2) x = - 31 3) x = 3

1 4) x = 3

8. ถา θ ∈ R และ ∫θ

1 sin

3)dx(4x - = 0 แลว cos 2θ เทากบขอใด

1) 0 หรอ 23 2) 0 หรอ - 2

3 *3) -1 หรอ 21 4) -1 หรอ 1

9. ให u และ v เปนฟงกชนของ x โดยท v(x) = x2 - 2x ถา f(x) = v(x)u(x) และ u(3) = -9, u′(3) = 3 แลว

คาของ f′(3) เทากบเทาใด (ตอบ 5)

10. กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนอง โดยท f(x) = 223

x44 4x x x

--- + เมอ x = ±2 และ f(2) = a, f(-2) = b

แลว a และ b เปนจรงตามขอใดตอไปน1) a = 1, b = -3 2) a = 1, b = 3 3) a = -1, b = -3 *4) a = -1, b = 3


11. ถา f เปนฟงกชนซงมกราฟผานจด (0, 2) และ f′(x) = 3x2 - 12x + 9 แลวคาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) 3 *3) 6 4) 812. ให F(x) = f(g(x)) ถา g(x) = x3 + 2x + 2 และ ∫ F(x)dx = 5x3 + 2x + c แลวคาของ f′(5) เทากบ

ขอใดตอไปน *1) 6 2) 5 3) 4 4) 313. กาหนดให f(x) = x3 + cx2 - 9x เมอ c เปนจานวนจรง ถาคาวกฤตคาหนงของ f คอ 1 แลว f เปนฟงกชน

ลดในเซตใดตอไปน *1) (-3, 1) 2) (-∞, -3)U (1, ∞)

3) (-1, 4) 4) (-∞, -1)U (4, ∞)14. ให F เปนปฏยานพนธของ f โดยท f(x) = 3x2 - 6x + 3 ถา F(0) = -1 และ F มคาสงสดสมบรณในชวง

[0, 2] ทจด x = c แลว F(c) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 0 *3) 1 4) 215. กาหนดให f เปนฟงกชนทอนพนธ และ g(x) = (x + 1)f(x) ถา ∫ g(x)dx = x2 - x + c แลว f′(1) มคาเทา

กบขอใดตอไปน *1) 4

3 2) 45 3) 2

3 4) 25

16. ถา f(x) =

≤≤<

>

0 x เมอ 0 1 x 0 เมอ 1 x

1 x เมอ x

2

-

แลว )f(xlim 2

0x

-→ +

+→

2 x 1) -f(x lim

+1x เทากบขอใดตอไปน

*1) - 34 2) -1 3) 0 4) 3

1

17. ให f(x) = x3 - x2 + g(x) และ f′(2) = f(2) = 2 แลว

fg ′(2) มคาเทากบขอใดตอไปน

*1) -2 2) 21 3) 0 4) 2

18. กาหนดให f(x) = ax3 - 4x2 + 1 เมอ a เปนคาคงตว และ g(x) =

=

<

>′

1 x เมอ 0 1 x เมอ (x)f1 x เมอ f(x)

ถา g(x) มลมตท 1 แลว a เทากบขอใดตอไปน

1) 0 *2) 25 3) 3

8 4) 3


19. ถาเสนโคง y = f(x) ผานจด (0, 1) และ (4, c) เมอ c เปนจานวนจรง และความชนของเสนโคงนทจด (x, y) ใดๆ มคาเทากบ x - 1 แลว c มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 34 *2) 3

7 3) 8 4) 9

20. ให f(x) = x2 - c โดยท c เปนคาคงตวซง c ≥ 4 ถาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = f(x) จาก x = -2 ถงx = 1 เทากบ 24 ตารางหนวย แลว c มคาเทาใด (ตอบ 9)

21.

1xlim→ 1 x

2 3 x2

--+ มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.5)

22. กาหนดให f(x) = ax3 + bx เมอ a และ b เปนจานวนจรง และ f มคาตาสดสมพทธเทากบ -2 ทจด x = 1ถา g(x) = x3 + f′(x) แลว g เปนฟงกชนลดในชวงใดตอไปน1) (0, 2) 2) (-3, -1) 3) (-1, 1) *4) (-2, 0)

23. กาหนดให f(x) = ax3 + bx2 + 2x - 2 เมอ a และ b เปนจานวนจรง ถา f′(1) = 5 และ f″(0) = -12แลว ∫ ′′′ + dx(x)f (x)f )( เทากบขอใดตอไปน

*1) 5x3 + 9x2 - 10x + c 2) 5x3 + 9x2 + 10x + c3) 5x3 - 9x2 + 10x + c 4) 5x3 - 9x2 - 10x + c

24. ให f เปนฟงกชน ซงอนพนธของ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [0, 1] และ g(x) = 1 x

f(x)4 +

ถา f(1) = f′(1) = 1 และ f(0) = f′(0) = -2 แลว ∫ ′′10

(x)dxg เทากบขอใดตอไปน

1) - 25 2) - 2

1 *3) 23 4) 2

7

25. ถาเสนตรง x = a แบงครงพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x จาก x = 0 ถง x = 8 แลว a3 มคาเทาใด (ตอบ 128)


=

≠

1 x เมอ 2 1 x เมอ 1 x

1- และ g(x) = x3 + x - 2 ถา h(x) = f(x)g(x) แลวขอใดตอไปนถก

1) h ตอเนองทจด x = 1 และ

1xlim→

h(x) = 0 2) h ตอเนองทจด x = 1 และ

1xlim→

h(x) = 4

3) h ไมตอเนองทจด x = 1 และ

1xlim→

h(x) = 0 *4) h ไมตอเนองทจด x = 1 และ

1xlim→

h(x) = 4

27. กาหนดให g เปนฟงกชนซงมอนพนธททกจด x > 0 และ g′(3) = 3 จานวนเตมบวก n ททาใหg(xn + 2x) = 4x3 + 6x2 + 31 คอจานวนในขอใดตอไปน1) 5 *2) 6 3) 7 4) 8

28. ให f เปนฟงกชนพหนามกาลงสาม ซงมคาสงสดสมพทธเทากบสามเทาของคาตาสดสมพทธ และ f(0) = 2ถา f มคาสงสดสมพทธท x = -1 และมคาตาสดสมพทธท x = 1 แลว f(4) เทากบขอใดตอไปน1) -28 2) -24 3) 24 *4) 28


29. กาหนดใหเสนโคง y = f(x) ผานจด (1, 0) และมความชนทจด (x, y) ใดๆ เปน 3x2 - 4x + 2x2 ถา (a, b)

เปนจดตดระหวางเสนโคงนกบเสนตรง x - 2 = 0 แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 23 2) 2 3) 2

7 *4) 4

30. ถา a คอจานวนจรงททาใหพนททปดลอมดวยเสนโคง y = a2x2 + 4ax + 10 จาก x = 0 ถง x = 1 มคานอยทสด แลวพนททไดเทากบเทาใด (ตอบ 7)

31. ให f(x) =

=

+

<

>

4 x เมอ b x

4 x เมอ 2 x

4 x เมอ 2)a x4)( (x

2

-

-

-

โดยท a, b เปนจานวนจรง ถา f ตอเนองทจด x = 4 แลว f

+ 16

b a เทากบขอใดตอไปน

1) -16 *2) -14 3) 14 4) 1632. กาหนดให f(x) = r3x + ถา g เปนฟงกชนซง (fog)(x) = x2 + 1 ทก x ∈ R แลว f′(1) + g′(1) มคา

เทากบขอใดตอไปน*1) 12

41 2) 1235 3) 4

33 4) 439

33. กาหนดให g(x) = x2f(x) ถา f′(x) = 2x + 3 และ g″(1) = 0 แลว f(4) มคาเทากบขอใดตอไปน1) 0 2) 11 *3) 13 4) 28

34. กาหนดใหกราฟของ y = f(x) เปนเสนโคงทอยเหนอแกน X และมความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด (x, y)ใดๆ เทากบ 6x + 2b เมอ b เปนจานวนจรง ถาพนททปดลอมดวยเสนโคงนจาก x = 0 ถง x = 2 เทากบสองเทาของพนททปดลอมดวยเสนโคงนจาก x = 0 ถง x = 1 แลว f มคาตาสดสมพทธทจด x ในขอใด ตอไปน1) x = 2 *2) x = 1 3) x = 0 4) x = -1

35. ให b เปนจานวนจรง และกาหนดให f(x) =

+

<

≤≤

0 x เมอ 1

b x 0 เมอ 1 3x

2

ถา ∫b2

f(x)dx

- = 12 แลว b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2)

36. กาหนดให a > 0

f(x) =

++

≥

<

a x เมอ x1 x

a x เมอ 2 x x

และ g(x) = x2 ถา +→ax

lim (fog)( x ) - f)(x)(glim oax -→

= 2)a(a11+ แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 *2) 3 3) 5 4) 9


37. กาหนดให f(x) = x2 - 6x + c โดยท c เปนจานวนจรง ถา a และ b เปนรากของสมการ f(x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แลว f′(c) มคาเทากบขอใด

*1) -38 2) -26 3) 26 4) 3838. กาหนดให f(x) = x2 - 2 | x | และ g(x) = x2 + 1 แลว (gof)′(-3) + (fog)′(3) เทากบขอใด

1) -132 2) -84 *3) 84 4) 13239. กาหนดให f ″(x) = ax เมอ a เปนคาคงตว ถาเสนตรง 2x + y - 6 = 0 สมผสกบกราฟของ f ทจด (1, 4)

และ f(0) = 8 แลว ∫1

0f(x)dx เทากบขอใด

1) 422 *2) 4

23 3) 442 4) 4

43

40. กาหนดให f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด x = 4 และ g(x) =

=

≠

4 x เมอ kx 4

4 x เมอ 2 x

4 x f(x)

2

--

-

โดยท k เปนคาคงตว ถากราฟของ f ตดเสนตรง y = x + 1 ทจดซง x = 4 แลว k อยในชวงใดตอไปน1) (-3, -1) *2) (-2, 0) 3) (-1, 1) 4) (0, 2)

41.0x

lim→ 3x

1

+++ ) x x)(1 (1 ) x x)(1 (1 x 1 x 1 22 ----- - มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 0 2) 41 *3) 2

1 4) 1

42. ในการจดไปทศนศกษาครงหนง ผจดคดคาบรการเปนเงอนไขดงนถามผรวมเดนทาง 50 คน ผจดจะคดคาบรการอตราหนงถามผรวมเดนทาง 51 คน คาบรการจะลดลงคนละ 2 บาทถามผรวมเดนทาง 52 คน คาบรการจะลดลงคนละ 4 บาทถามผรวมเดนทาง 53 คน คาบรการจะลดลงคนละ 6 บาทเปนเชนนเรอยไป ปรากฏวา ถามผรวมเดนทาง 90 คน แลวจะเกบคาบรการไดมากทสด ถามผรวมเดนทาง 100 คน จะเกบคาบรการไดทงหมดเปนเงนเทากบขอใดตอไปน

*1) 16,000 บาท 2) 16,200 บาท 3) 16,400 บาท 4) 16,600 บาท

43. กาหนดให f เปนฟงกชน ซง f″(x) = 2x + 1 ถาคาสงสดสมพทธของ f เทากบ 21 ท x = -1 แลวคาตาสด

สมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน1) -1 2) - 3

1 3) 0 *4) 31

44. กาหนดให A เปนบรเวณในระนาบ XY ซงปดลอมดวยพาราโบลา y = x2 - 7 แกน X จาก x = 0 ถง x = a เมอ a เปนคงคงตว ถาพนทของบรเวณ A สวนทอยเหนอแกน X มากกวาพนทของบรเวณ A สวนทอยใตแกน X เทากบ 2a ตารางหนวย แลว a คอจานวนในขอใดตอไปน1) 2 3 *2) 3 3 3) 5 4) 7


45. ถาความชนของเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) ใดๆ เทากบ x2 - 3x + 2 และ ∫20

f(x)dx = 4 แลว

จด (x, y) ในขอใดตอไปนอยบนเสนโคง y = f(x)

*1)

34 0, 2)

34 0, - 3)

413 1, 4)

413 1, -

46. กาหนดให เสนตรง y = -6x - 5 สมผสเสนโคง y = f(x) ทจด x = -1 ถา f(x) = ax3 + bx2 - 3เมอ a, b เปนจานวนจรงแลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบเทาใด (ตอบ 5)

47. กาหนดให f(x) = |x2 + 4x| และ g(x) = |x2 - 16| ถา a, b เปนคาตอบทงสองของสมการ f(x) = g(x)

แลว ax

lim→ g(x)

f(x) + bx

lim→ g(x)

f(x) เทากบขอใดตอไปน

*1) 23 2) 6

5 3) 21 4) 3

1

48. กาหนดให g เปนฟงกชนพหนาม และ f(x) = xg(x)

ถา f ′(x) = 4x3 + 9x2 และ f(0) = 0 แลว dxd

+ 1) g(x f(x) ทจด x = -2 มคาเทากบขอใด

*1) -4 2) -2 3) 2 4) 449. กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ f(x) = x3 + ax2 + bx + 1

ถา f ′(1) = 15 และ ∫10

f(x)dx = 1255 แลว f(1) มคาเทากบขอใด

1) 9 *2) 10 3) 11 4) 1250. กาหนดให f(x) = x2 - 1 พจารณาขอความตอไปน

ก. ∫1

1f(x)dx

- = 3

4

ข. พนททปดลอมดวยเสนโคง y = f(x) จาก x = -1 ถง x = 1 เทากบ 34 ตารางหนวย


51. กาหนด พจนท n ของลาดบสองลาดบดงนan =

)n ... 3 2 3(1n) ... 3 2 n(1

2222 ++++

++++

bn =1 n 2 n1 3n 2 3n

++

++

--

∞→nlim (an + bn) มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 + 3

1 2) 1 + 3 *3) 21 +

31 4) 2

1 + 3


52. กาหนดให f (x) =

=

≠0 x เมอ 1 0 x เมอ x

1

และ g(x) = 1 x 1-

พจารณาขอความตอไปนก. f og ตอเนองท x = 0 ข.

′ 2

1f - =

′ 21g


53. เมอพจารณากราฟของฟงกชนf (x) = 4

1 x4 - 32 x3 - 2

1 x2 + 2x - 31

พบวา กราฟของ f มจดวกฤต (c, f(c)) ซง c > 0 เปนจานวน a จด และกราฟของ f ตดแกน X เปนจานวนb จดขอใดถก1) a = 1 , b = 2 2) a = 1 , b = 4 *3) a = 2 , b = 2 4) a = 2 , b = 4

54. กาหนดให f เปนฟงกชนซงหาอนพนธไดททกจด และ h(x) = x3 + 1 ถา a เปนจานวนจรง ซง(h of )(a) = 9 , (h of )′(a) = 0 , (h of )″(a) = -1 แลว

ขอใดถก1) f มคาสงสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 1 *2) f มคาสงสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 23) f มคาตาสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 1 4) f มคาตาสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 2

55. กาหนดให f เปนฟงกชนพหนามกาลงสาม ซง f (0) = 1 = f (1) ถา f ′(0) = 1 และ ∫1

1f(x)dx

- = 6

แลว f (-1) มคาเทากบขอใด1) -7 2) -1 *3) 13 4) 15

56. กาหนดให f(x) = 3x + 1 และ (fog)′(x) = 3x2 + 1 ถา g(0) = 1 แลว ∫10

g(x)dx มคาเทากบเทาใด

(ตอบ 1.25)57. ถา f(x) และ g(x) เปนฟงกชนซงหาอนพนธได และมสมบตดงน

f′(g(x)) =(x)g1′

และ f(g(0)) = 5

แลวคาของ f(g(2)) เทากบขอใดตอไปน1) 1 2) 3 3) 5 *4) 7


58. กาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนพหนามซงมคาตาสดสมพทธเทากบ 3 ทจด x = 2 และมเสนตรง 3x + y - 7 = 0

เปนเสนสมผสกราฟทจด (1, 4) ถา g(x) = x2f(x) แลวคาของ ∫ ′′2

1(x)dxg เทากบขอใด

1) 5 *2) 7 3) 8 4) 10

59. ถา f(x) =

+++

+

≤≤≤≤

2 2n x 1 2n เมอ 1 n12n x 2n เมอ n x -

โดยท n = 0, 1, 2, ..., 9

แลวคาของ ∫20

0f(x)dx เทากบขอใด

*1) 105 2) 115 3) 125 4) 13560. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา f และ g เปนฟงกชนซง

+0hlim→

hf(x)h)f(x -+ =

0hlim

-→h

f(x) h)f(x -+ = g(x)

แลว g(x) = f′(x)ข. ถา f เปนฟงกชนซง f(x) > 0 สาหรบทกๆ จานวนจรง x และ f′(a) ≠ 0 แลว ความชนของเสน

สมผสกราฟของฟงกชน y = f(x)1 ทจด a คอ

(a)f1′


61. คาของ ∫2

22 dx x 4

-- อยในชวงใด

1) (3.1, 3.2) 2) (3.2, 3.3) 3) (6.1, 6.2) *4) (6.2, 6.3)


>

≤

0 x เมอ 0

0 x เมอ 1

พจารณาขอความตอไปนก.

-0xlim→

(fof)(x) = 0

ข.+→0x

lim (fof)(x) = 1


63. ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) ใดๆ เปน 2x - 4 และ f มคาตาสดสมพทธเทากบ10 หนวย แลวพนททปดลอมดวยกราฟของ y = f(x) แกน X จาก x = 0 ถง x = 3 เทากบขอใด

*1) 33 2) 36 3) 39 4) 42



≥

<≤

<

1 x เมอ3x

1 x 0 เมอ 1 2x

0 x เมอ x

2

-

ถา -0x

lim→

f(x2) + -0x

lim→

f(1 - x) เทากบขอใดตอไปน

1) 0 2) 1 *3) 2 4) 365. ถา P(x) เปนพหนามดกรสาม ซงม 1, 2, 3 เปนคาตอบของสมการ P(x) = 0 และ P(4) = 5 แลว P′(1) มคา

เทากบขอใดตอไปน1) - 7

6 2) - 65 3) 5

4 *4) 35

66. กาหนดให กราฟของ y = f(x) มความชนทจด (x, y) ใดๆ เปน 2x + 3 และ f มคาตาสดสมพทธเทากบ -3พนทอาณาบรเวณทปดลอมดวยกราฟของ y = f(x) แกน X เสนตรง x = -1 และเสนตรง x = 0 เทากบขอใดตอไปน1) 3

7 ตารางหนวย *2) 38 ตารางหนวย 3) 9 ตารางหนวย 4) 12 ตารางหนวย

Documents

ติดต่อครูที่ [email protected] - ฟ ชงกัี้ ... · 2008-06-21 · ค ารากของจํา.นวนจริง บทนิยาม