ค ำน ำportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/17zNv3D34D989x5bd34F.pdfความส มพ นธ ฟ งก ช นและความส มพ นธ เว ยนเก

ค ำน ำ

เอกสารประกอบการสอน วชาคณตศาสตรส าหรบเทคโนโลยสารสนเทศ รหสวชา

IT41101 น เปนรายวชาทอยหมวดวชาเฉพาะดาน กลมวชาแกน ซงก าหนดใหผ เรยนสาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ หลกสตรปรญญาตร ทกคนตองเรยน จดประสงคของรายวชานมงใหผ เรยนสามารถน าความรทางคณตศาสตรไปใชในชวตประจ าวน และใชในการท างานในอนาคต เอกสารประกอบการสอนเลมน ผจดท าไดเขยน และเรยบเรยงเนอหา โดยแบงเนอหาเปน 9 บท ซงเนอหาประกอบดวย คณตศาสตรทเปนพนฐาน และคณตศาสตรทจะน าไปประยกตใชในเทคโนโลยสารสนเทศ อนไดแก ระบบจ านวนจรง ระบบเลขฐาน เมทรกซ ตรรกศาสตร เซตและความสมพนธ ฟงกชนและความสมพนธเวยนเกด การนบ กราฟ และตนไม

ผจดท าหวงเปนอยางยงวา เอกสารประกอบการสอนเลมนจะเปนประโยชนส าหรบผ เรยน และผสนใจทวไป หากมขอเสนอแนะประการใด ทจะท าใหเอกสารประกอบการสอนเลมนสมบรณยงขน ผจดท ายนดรบฟง และพรอมจะปรบปรงแกไขใหดยงๆ ขน

ขอขอบคณ ทานอาจารยผสอน ผประสาทวชาความร เอกสาร หนงสอทใชประกอบการเรยบเรยง ณ โอกาสน

ตรรตน เสรมทรพย

2 กนยายน 2558

(2)

สารบญ

หนา

ค าน า………………………………………………………………………………..…………. (1)

สารบญ………………………………………………………………………………………... (3)

สารบญภาพ………………………………………………………………………………….. (11)

สารบญตาราง………………………………………………………………………………… (13)

แผนบรหารการสอน………………………………………………………………………… (15)

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1………………………………………………………… 1

บทท 1 ระบบจ านวนจรง………………………..………………………………………… 3

1.1 ชนดของจ ำนวน………………………..……………………………………… 3

1.2 กำรด ำเนนกำรของจ ำนวนจรง…………...……………………………………. 4

1.2.1 กำรบวก และลบจ ำนวนเตม………..………………………………….. 4

1.2.2 กำรคณ และหำรจ ำนวนเตม………...…………………………………. 6

1.2.3 กำรบวก และลบเศษสวน……………..……………………………….. 7

1.2.4 และหำรเศษสวน……………..……………………………….. 8

1.2.5 กำรบวก ลบ คณ และหำรทศนยม……..……………………………… 9

1.2.6 เลขยกก ำลง………………………………..…………………………... 10

1.2.7 ล ำดบกำรบวก ลบ คณ หำร และเลขยกก ำลง..……………………….. 11

1.2.8 รำกท n ของจ ำนวนจรง………………………..……………………… 11

1.2.9 กำรเขยนจ ำนวนในรปสญกรณวทยำศำสตร……..…………………… 12

1.3 สมบตของจ ำนวนจรง………………………………………..………………... 13

1.4 กำรแกสมกำร…………………………………………………..……………... 14

บทสรป………………………………………………………………..……………. 16

แบบฝกหดทบทวน…………………………………………………………………. 18

เอกสำรอำงอง………………………………………………..…………………….. 20


(4)

หนา

บทท 2 ระบบเลขฐาน……………………………………………………………………... 23

2.1 ระบบเลขฐำน………………………………………………………………..... 23

2.1.1 ระบบเลขฐำน 10………………………………………………………. 23

2.1.2 ระบบเลขฐำน 2………………………………………………………... 24

2.1.3 ระบบเลขฐำน 8………………………………………………………… 25

2.1.4 ระบบเลขฐำน 16……………………………………………………..... 26

2.2 กำรแปลงเลขฐำน……………………………………………………………… 27

2.2.1 กำรแปลงเลขฐำน 10 เปนเลขฐำน 2…………………………………... 27

2.2.2 กำรแปลงเลขฐำน 10 เปนเลขฐำน 8………………………………….. 28

2.2.3 กำรแปลงเลขฐำน 10 เปนเลขฐำน 16…………………………………. 29

2.2.4 กำรแปลงเลขฐำน 2 เปนฐำน 8 และฐำน 16………………………….. 29

2.2.5 กำรแปลงเลขฐำน 8 ฐำน 16 เปนเลขฐำน 2…………………………… 31

2.3 กำรด ำเนนกำรเลขฐำน………………………………………………………… 32

2.3.1 กำรบวกเลขฐำน 2 ฐำน 8 และฐำน 16………………………………. 32

2.3.2 กำรลบเลขฐำน 2 ฐ น 8 และฐ น 16………………………………… 34

2.4 กำรคอมพลเมนทของเลขฐำน 2………………………………………………. 35

2.4.1 กำรลบเลขฐำน 2 โดยใชวธ 1’s complement………………………… 36

2.4.2 กำรลบเลขฐำน 2 โดยใชวธ 2’s Complement……………………….. 37

2.5 รหสในระบบดจตอล…………………………………………………………… 38

บทสรป……………………………………………………………………………… 42

แบบฝกหดทบทวน……………………………………………………………….… 44

เอกสำรอำงอง………………………………………………………..…………….. 46

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 3 ……………………………………………………….. 47

บทท 3 เมทรกซ………………………………………………………………………….… 49

3.1 ควำมหมำยของเมทรกซ………………………………………………………. 49

3.2 ชนดของเมทรกซ………………………………………………………………. 50

3.3 กำรด ำเนนกำรของเมทรกซ……………………………………………………. 51

3.3.1 กำรเทำกนของเมทรกซ...………………………………………………. 51

(5)

หนา

3.3.2 เมทรกซสลบเปลยน………………………………………………..….. 51

3.3.3 กำรบวกเมทรกซ……………………………………………………..… 52

3.3.4 กำรคณเมทรกซกบคำคงตว……………………………………………. 52

3.3.5 กำรคณเมทรกซกบเมทรกซ…………………………………………..... 53

3.3.6 สมบตของเมทรกซ……………………………………………………… 55

3.3.7 กำรยกก ำลง……………………………………………………………. 55

3.4 ดเทอรมแนนต…………………………………………………………………. 56

3.5 เมทรกซผกผนกำรคณ…………………………………………………………. 57

3.6 กำรประยกตใช………………………………………………………………… 58

3.6.1 กำรยำยภำพ 58

3.6.2 กำรหมนภำพ 60

บทสรป……………………………………………………………………………… 64

แบบฝกหดทบทวน……………………………………………………………….... 66

เอกสำรอำงอง…………………………………………………………………..… 68


บทท 4 ตรรกศาสตร…………………………………………………………………….… 71

4.1 ประพจน……………………………………………………………………….. 71

4.1.1 น ะ น ………………………………………………………. 71

4.1.2 ะ น ……………………………………………………… 72

4.1.3 ะ น …………………………………………….... 72

4.2 น น ……………………………………………………………………… 78

4.3 ล ………………………………………………………… 79

4.4 ฎ กำรแทนท……………………………………………………………… 80

4.5 อำงเหตผล………………………………………………………………… 81

4.6 ประโยคเปดและประโยคทมตวบงปรมำณ………….………………………… 83

4.6.1 ประโยคเปด…………………………………………………….……… 83

4.6.2 ตวบงปรมำณ………………………………………………………….. 83

4.6.3 คำควำมจรงของประโยคทมตวบงปรมำณ………………………….... 84

(6)

หนา

4.7 กำรประยกตใช………………………………………………………………… 86

บทสรป……………………………………………………………………………… 90

แบบฝกหดทบทวน………………………………………………………….……… 91

เอกสำรอำงอง……………………………………………………………………… 93


บทท 5 เซต และความสมพนธ…………………………………………………….…….. 97

5.1 นยำมเซต………………………………………..………………………..…... 97

5.2 เซตทเทำกน……………………………………………..…………………..... 98

5.3 สบเซต และเพำเวอรเซต ……………………………………………...………. 98

5.4 แผนภำพของเวนน-ออยเลอร………………………………………………..... 100

5.5 กำรด ำเนนกำรบนเซต…………………………………………………………. 100

5.6 จ ำนวนสมำชกของเซตจ ำกด………………………………………………….. 102

5.7 คอนดบ………………………………………………………………………… 105

5.8 ผลคณคำรทเซยน……………………………………………………………… 106

5.9 ประเภทควำมสมพนธ…………………………………………………………. 106

5.10 กรำฟแสดงควำมสมพนธ……………………………………………............ 107

5.11 โดเมน และเรนจ……………………………………………………………… 110

5.12 ตวผกผนของควำมสมพนธ………………………………………………….. 112

5.13 กำรประยกตใช……………………………………………………….……… 113

บทสรป……………………………………………………………………….…….. 115

แบบฝกหดทบทวน……………………………………………………………..…... 117

เอกสำรอำงอง………………………………………………………………….…. 119


บทท 6 ฟงกชน และความสมพนธเวยนเกด…………………………………………… 123

6.1 นยำมฟงกชน….………………………………………………….................. 123

6.2 โดเมนและเรนจของฟงกชน………………………………………….………... 126

6.3 ชนดของฟงกชน………………………………………………..……………… 127

6.4 พชคณตฟงกชน………………………………………..……………………… 130

6.5 ฟงกชนประกอบ………………………………..……………………………… 131

(7)

หนา

6.6 ควำมสมพนธเวยนเกด………………………………………………………… 132

6.7 กำรประยกตใช………………………..……………………………………… 135

บทสรป……………………………………………………………………………. 138

แบบฝกหดทบทวน………………………………………………………………… 140

เอกสำรอำงอง………………………………………………………………………. 142


บทท 7 การนบ ………………………………….………….……………………………... 145

7.1 หลกกำรนบเบองตน……………………………..……………………………. 145

7.1.1 หลกกำรบวก………………………………..………………………….. 145

7.1.2 หลกกำรคณ…………………………………...……………………….. 147

7.2 หลกกำรรงนกพรำบ……………………………………...……………………. 149

7.3 แฟคทอเรยล………………………………………………..…………………. 150

7.4 กำรเรยงสบเปลยน..……………………………………………………..……. 151

7.4.1 กำรเรยงสบเปลยนเปนแถว……………………...………………..…… 151

7.4.2 กำรเรยงสบเปลยนแบบเปนวงกลม………………………………...….. 153

7.4.3 กำรเรยงสบเปลยนทมสมำชกซ ำ……………………………………..... 154

7.5 กำรจดหม……………………………………………………………………… 154

7.6 ทฤษฎบททวนำม…………………………………………………………….... 158

7.7 กำรประยกตใช………………………………………………………………… 160

บทสรป……………………………………………………………………………… 162

แบบฝกหดทบทวน…………………………………………………………………. 164

เอกสำรอำงอง………………………………………………………………………. 166

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 8 …..…………………………………………………… 167

บทท 8 กราฟ……………………………………………………………………………….. 169

8.1 สวนประกอบของกรำฟ………………………………………………………... 169

8.2 ชนดของกรำฟ………………………………………………………………..... 171

8.2.1 กรำฟอยำงงำย……………………………………………….............. 171

8.2.2 กรำฟขนำน…………………………………………………………..… 172

(8)

หนา

8.2.3 กรำฟเทยม……………………………………………………………... 172

8.2.4 กรำฟมทศทำง………………………………………………………..... 172

8.2.5 กรำฟถวงน ำหนก………………………………..…………………….. 173

8.2.6 กรำฟเชอมโยง………………………………………………………….. 173

8.3 สมบตของกรำฟ……………………………………………………………….. 174

8.4 เมทรกซประชด………………………………………………………………… 175

8.5 กรำฟออยเลอร………………………………………………………………… 177

8.6 กรำฟแฮมลตน………………………………………………………………… 179

8.7 วถทสนทสด……………………………………………………………………. 180

8.8 กำรใหสกรำฟ……………………………………………………..…………… 181

8.9 กำรประยกตใช………………………………………………………………… 182

บทสรป……………………………………………………………………………… 187

แบบฝกหดทบทวน…………………………………………………………………. 189

เอกสำรอำงอง………………………………………………………………………. 191


บทท 9 ตนไม……………………………………………………………..……………….. 195

9.1 ตนไมทวภำค…………………………………………………………………... 196

9.1.1 กำรแวะผำนตนไม……………………………………………………… 197

9.1.2 กำรเรยงขอมลในตนไมแบบทวภำค…………………………………… 199

9.2 ตนไมทอดขำม………………………………………………………………… 201

9.2.1 กำรคนหำในแนวลก…………………………………………………… 202

9.2.2 กำรคนหำในแนวกวำง…………………………………………………. 204

9.2.3 ตนไมทอดขำมทนอยทสด……………………………………………… 205

9.3 กำรประยกตใช………………………………………………………………… 206

9.3.1 ตนไมนพจน…………………………………………………………..... 206

9.3.2 ขนตอนวธของครสกำวล……………………………………………..... 207

9.3.3 ขนตอนวธของพรม…………………………………………………….. 208

บทสรป……………………………………………………………………………… 210

(9)

หนา

แบบฝกหดทบทวน.………………………………………………………………… 212

เอกสำรอำงอง…….……………………………………………………..…………. 215

บรรณานกรม………………………………………………………………………............... 217

ภาคผนวก……………………………………………………………………………………. 219

(10)

สารบญภาพ

ภาพท หนา

1.1 แผนภาพระบบจ านวนจรง…………………………………………………………. 1

1.2 การบวกจ านวนเตมบวก……………………………………………………...……. 4

1.3 การบวกจ านวนเตมลบ…………………………………………………………...... 4

1.4 การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายไมเหมอนกน………………………………….. 5

1.6 การบวกเศษสวน…………………………………………………………………… 7

3.1 การยายจด (x, y) ขนไป 10 หนวย และไปทางซาย 10 หนวย……………………. 58

3.2 การยายภาพจรวด………………………………………………………………….. 59

3.3 การเขยนเสนรอบวง………………………………………………………………… 60

3.4 การหมนรปสเหลยม………………………………………………………………... 60

4.1 สวตซสถานะตางๆ…………………………………………………………………. 86

4.2 การเชอมตอแบบอนกรม…………………………………………………………… 87

4.3 การตอแบบอนกรม…………………………………………………………………. 87

4.4 การเชอมตอสวตซแบบขนาน………………………………………………………. 88

4.5 การตอแบบขนาน…………………………………………………………………... 89

5.1 แผนภาพเวนน-ออยเลอร…………………………………………………………… 100

5.2 แผนภาพ A B…………………………………………………………………… 101

5.3 แผนภาพ A’………………………………………………………………………… 102

5.4 การหาจ านวนสมาชก……………………………………………………………… 102

7.1 หลกการบวก………………………………………………………………………. 146

7.2 หลกการคณ……………………………………………………………………….. 147

7.3 การเรยงสบเปลยนแบบเปนวงกลม……………………………………………….. 153

7.4 การจดหม………………………………………………………………………….. 154

8.1 กราฟอยางงาย……………………………………………………………………... 172

8.2 กราฟขนาน…………………………………………………………………………. 172

(12)

ภาพท หนา

8.3 กราฟเทยม………………………………………………………………………….. 172

8.4 กราฟมทศทาง……………………………………………………………………… 173

8.5 กราฟถวงน าหนก…………………………………………………………………… 173

8.6 กราฟเชอมโยง……………………………………………………………………… 173

8.7 ขอปญหาสะพานเคอนกสเบรก…………………………………………………….. 177

8.8 กราฟขอปญหาสะพานเคอนกสเบรก………………………………………………. 178

9.1 ตนไมยอยของ T……………………………………………………………………. 198

สารบญตาราง

ตารางท หนา

1.1 สมบตของจ ำนวนจรง………………………………………………………... 13

2.1 หลกและคำประจ ำหลกของเลขฐำน 10…………………………………….. 23

2.2 หลกและคำประจ ำหลกของเลขฐำน 2………………………………………. 24

2.3 หลกและคำประจ ำหลกของเลขฐำน 8………………………………………. 25

2.4 สญลกษณทใชในเลขฐำน 16……………………………………………….. 26

2.5 หลกและคำประจ ำหลกของเลขฐำน 16…………………………………….. 26

2.6 รหสแทนสภำวะไฟฟำ 2 เสน……………………………………………….. 38

2.7 รหสแทนสภำวะไฟฟำ 8 เสน……………………………………………….. 38

2.8 รหสASCII 32 ชดแรก……………………………………………………….. 39

2.9 รหสASCII ต ำแหนง 32 – 127 ( Lower ASCII )……………………………. 40

2.10 รหสASCII 128 ชดหลง ( Higher ASCII )………………………………….. 41

4.1 สญลกษณทใชเชอมประพจน……………………………………………….. 72

4.2 คำควำมจรงของประพจนทเชอมดวยนเสธ…………………………………. 73

4.3 คำควำมจรงของประพจนทเชอมดวย “และ”………………………………... 73

4.4 คำควำมจรงขงประพจนทเชอมดวย “หรอ”…………………………………. 74

4.5 คำควำมจรงของประพจนทเชอมดวย “ถำ … แลว”………………………… 75

4.6 คำควำมจรงของประพจนทเชอมดวย “กตอเมอ”…………………………… 76

4.7 กฎของกำรแทนท……………………………………………………………. 80

4.8 คำควำมจรงของประโยคทมตวบงปรมำณ………………………………….. 84

4.9 สถำนะสวตซ......................................................................................... 87

4.10 สถำนะสวตซทตอแบบอนกรม................................................................ 88

4.11 สถำนะสวตซทตอแบบขนำน................................................................... 89

(2)

แผนบรหารการสอนประจ าวชา

รหสวชา IT41101

รายวชา คณตศาสตรส ำหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

(Mathematics for Information Technologies)

ค าอธบายรายวชา

ศกษาพนฐานเกยวกบตรรกศาสตร เซต ความสมพนธและฟงกชน ระบบจ านวนจรง เลขฐาน เมตรกซ การนบและความสมพนธเวยนเกด ทฤษฎกราฟ กราฟตนไม และการประยกตคณตศาสตรเพองานสารสนเทศ

วตถประสงคทวไป

1. เพอใหผ เรยนมความรความเขาใจถงคณตศาสตรพนฐาน

2. นกศกษาสามารถน าความรทางคณตศาสตรไปเปนพนฐานในการศกษาวชาทางดานเทคโนโลยสารสนเทศได

3. เพอใหผ เรยนสามารถแกปญหาทางคณตศาสตรทจ าเปนตอการเรยน และการใชชวตประจ าวน

4. เพอใหนกศกษาสามารถน าความรพนฐานทางดานคณตศาสตรไปประยกตใชเพองานสารสนเทศได

(14)

เนอหา

สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง)

1 ปฐมนเทศ

ทดสอบกอนเรยน 3

2

บทท 1 ระบบจ านวนจรง

1.1 ชนดของจ านวน

1.2 การด าเนนการของจ านวน

1.3 สมบตของจ านวนจรง

1.4 การแกสมการ

3

3

บทท 2 ระบบเลขฐาน

2.1 ระบบเลขฐาน

2.2 การแปลงเลขฐาน

2.3 การด าเนนการของเลขฐาน

2.4 การคอมพลเมนตของเลขฐานสอง

2.5 รหสในระบบดจตอล

3

4

บทท 3 เมตรกซ

3.1 ความหมายของเมตรกซ

3.2 ชนดของเมตรกซ

3.3 การด าเนนการของเมตรกซ

3.4 ดเทอรมแนนท 3.5 เมตรกซผกผนการคณ

3.6 การประยกตใช

3

5

บทท 4 ตรรกศาสตรเบองตน 4.1 ประพจน

4.2 สจนรนดร

4.3 4.4 ฎขอ การแทนท

4.5 อางเหตผล

4.6 ประโยคเปดและประโยคทมตวบงปรมาณ


3

(15)

สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง) 6 สอบกลางภาค

7-8

บทท 5 เซต และความสมพนธ

5.1 นยามเซต

5.2 เซตทเทากน

5.3 สบเซต และเพาเวอรเซต

5.4 แผนภาพของเวนน-ออยเลอร

5.5 การด าเนนการของเซต

5.6 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

5.7 คอนดบ

5.8 ผลคณคารทเซยน

5.9 ประเภทความสมพนธ

5.10 กราฟแสดงความสมพนธ 5.11 โดเมน และเรนจ

5.12 ตวผกผนของความสมพนธ


6

9-10

บทท 6 ฟงกชน และความสมพนธเวยนเกด

6.1 นยามฟงกชน

6.2 โดเมนและเรนจของฟงกชน

6.3 ชนดของฟงกชน

6.5 พชคณตฟงกชน

6.6 ฟงกชนประกอบ

6.7 ความสมพนธเวยนเกด


6

11-12

บทท 7 การนบ

7.1 หลกการนบเบองตน

7.2 หลกการรงนกพราบ

7.3 แฟคทอเรยล 7.4 การเรยงสบเปลยน

7.5 การจดหม 7.6 ทฤษฎบททวนาม

3

(16)

สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง) 7.7 การประยกตใช

13

บทท 8 กราฟ

8.1 สวนประกอบของกราฟ

8.2 ชนดของกราฟ

8.3 สมบตของกราฟ

8.4 เมทรกซประชด

8.5 กราฟออยเลอร

8.6 กราฟแฮมลตน

8.7 วถทสนทสด

8.8 การใหสกราฟ


3

14

บทท 9 ตนไม

9.1 ตนไมทวภาค

9.2 ตนไมทอดขาม


3

วธสอนและกจกรรม

สอนภาคทฤษฎ (48 ชวโมง) 1. บรรยายเนอหาในแตละหวขอ พรอมยกตวอยางประกอบ

2. ใหศกษาจากเอกสารประกอบการสอน

3. ใหนกศกษาเกงสอนนกศกษาอน

4. ท าแบบฝกหดเพอทบทวนบทเรยน

5. ผ เรยนท าแบบฝกหดหนาชนเรยน

6. ใหผเรยนน ำเสนอกำรแกปญหำหนำชนเรยนใหทกคนมสวนรวม 7. ผ เรยนแบงกลมท าแบบฝกหด และออกมาเฉลยหนาชน

8. ใหผ เรยนฝกปฏบตการใชโปรแกรม Matlab 9. ผ เรยนถามขอสงสย

10. ผสอนท าการซกถาม

(17)

11. ผสอนสรปเนอหา

12. ใหท ารายงาน

สอการเรยนการสอน

1. เอกสารประกอบการสอนวชา คณตศาสตรส าหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

2. ภาพเลอน (slide)

3. เครองคอมพวเตอร

4. แทนจ าลองปญหาหอคอยฮานอย

5. โปรแกรม Matlab

การวดผล และการประเมนผล

การวดผล

1. คะแนนระหวางเรยน รอยละ 70

1.1 จตพสย รอยละ 10

1.2 แบบฝกหด รอยละ 10

1.3 การตอบค าถาม และการมสวนรวมในกจกรรม รอยละ 10

1.4 สอบกลางภาค รอยละ 30

2. คะแนนสอบปลายภาคเรยน รอยละ 40

การประเมนผล ใชแบบองเกณฑ ดงน

คะแนน ระดบคะแนน หมายถง คาระดบคะแนน

80-100 A ดเยยม 4.0

75-79 B+ ดมาก 3.5

70-74 B ด 3.0

65-69 C+ ดพอใช 2.5

60-64 C พอใช 2.0

55-59 D+ ออน 1.5

45-54 D ออนมาก 1.0

0-44 F ตก 0.0

(18)

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1

รายวชา คณตศาสตรส าหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

Mathematics for Information Technologies

หวขอเนอหา


1.2 การด าเนนการของจ านวนจรง



วตถประสงคเชงพฤตกรรม

1. เพอใหผ เรยนสามารถจ าแนกความแตกตางระหวางจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะไดอยางถกตอง

2. เพอใหผ เรยนสามารถบวก ลบ คณ และหารจ านวนจรงไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถหาคาเลขยกก าลง และรากท n ไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถหาคานพจนทมการบวก ลบ คณ หาร และเลขยกก าลงรวมกนไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถเขยนจ านวนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตรไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถอธบายถงสมบตจ านวนจรงไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถแกสมการไดอยางถกตอง

วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอนประจ าบท

1. บรรยายเนอหาในแตละหวขอ พรอมยกตวอยางประกอบ

2. ศกษาจากเอกสารประกอบการสอน



5. ผ เรยนถามขอสงสย

| | คณตศาสตรส าหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

2


7. ใหผ เรยนน าเสนอการแกปญหาหนาชนเรยนใหทกคนมสวนรวม


1. เอกสารประกอบการสอนวชาคณตศาสตรส าหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

2. ภาพเลอน

การวดผลและการประเมน

1. ประเมนจากการซกถามในชนเรยน

2. ประเมนจากความรวมมอและความรบผดชอบตอการเรยน

3. ประเมนจากการท าแบบฝกหดทบทวนทายบทเรยน

4. ประเมนจากการสงเกตพฤตกรรมระหวางเรยน

บทท 1 ระบบจ านวนจรง | |

3

บทท 1

ระบบจ านวนจรง

ในบทนน าเสนอเนอหาเพอทบทวน และสอนเสรมการด าเนนการในระบบจ านวนจรง ทงน เนองจากเปนความรพนฐานทส าคญทจะตองใชในชวตประจ าวน และเปนพนฐานทจะตองประยกตใชในงานดานเทคโนโลยสารสนเทศ


ระบบจ านวนแบงเปนสองชนดใหญ ๆ คอ จ านวนจรง และจ านวนจนตภาพ จ านวนจนตภาพเปนระบบจ านวนทไมไดใชในชวตประจ าวน แตเกดจากการทนกคณตศาสตรพยายามแกปญหาคณตศาสตรบางเรอง เชนในกรณ x2

+1=0 ซงจะได x = 1 ส าหรบจ านวนจรงสามารถจ าแนกไดดงภาพท 1.1

จ านวนจรง

จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ

จ านวนเตม เศษสวนทไมใชจ านวนเตม

จ านวนเตมลบ ศนย จ านวนเตมบวก

ภาพท 1.1 แผนภาพระบบจ านวนจรง ทมา :(สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, 2554, 68)

จ านวนทสามารถเขยนในรปเศษสวน โดยทตวสวนไมเทากบ 0 เชน 0, 0.2, 3 , -5,

ในทางคณตศาสตรเรยกจ านวนชนดนวา จ านวนตรรกยะ ในขณะทจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนทไมสามารถเขยนในรปทศนยมซ าหรอเศษสวน เชน 1.23298675445679… , -3.12211222111…,

, เปนตน

33

15,

7

3

2


4

ตวอยางท 1.1 จ านวนตอไปนเปนจ านวนตรรกยะ หรออตรรกยะ

17.814, -3.15, 51.0 , 546.5 , 0.252252225…, 73

วธท า 17.814 = 1000

81417 เปนจ านวนตรรกยะ

-3.15 = -1000


51.0 = 0.151515… = เปนจ านวนตรรกยะ

546.5 = 5.645455… = 990


0.252252225… ประมาณได 0.2523 เปนจ านวนอตรรกยะ

73 ประมาณได 1.732 + 2.646 = 4.378 เปนจ านวนอตรรกยะ

1.2 การด าเนนการของจ านวนจรง

1.2.1 การบวกและลบจ านวนเตม

1) คาสมบรณของจ านวนเตม

คาสมบรณของจ านวนเตมใด ๆ มคาเปนบวกเสมอ เชน |-5 + 2| = |-3| = 3

2) การบวกจ านวนเตมบวกดวยจ านวนเตมบวก

10 + 5

9 10 11 12 13 14 15 16

ภาพท 1.2 การบวกจ านวนเตมบวก

เรมตนท 10 ไปทางขวา 5หนวย ซงจะไปสนสดท 15 ดงนน 10 + 5 เทากบ 15

3) การบวกจ านวนเตมลบดวยจ านวนเตมลบ

(-7) + (-3)

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6

ภาพท 1.3 การบวกจ านวนเตมลบ

99

15


5

เรมตนท -7 เมอบวกดวย -3 จะไปทางซาย 3 หนวย จะได (-7) + (-3) เทากบ -10 นอกจากนยงสามารถหาผลบวกดวยการน าคาสมบรณของ -7 บวกกบคาสมบรณของ -3 แลวตอบเปนจ านวนลบ

4) การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายไมเหมอนกน

-7+3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

ภาพท 1.4 การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายไมเหมอนกน

เรมตนท -7 บวกดวย 3 โดยไปทางขวา 3 หนวย ไดผลลพธเปน -4 หรอหาคาสมบรณของ -7 และ 3 น าคาสมบรณทมากกวาคอ 7 ลบดวยคาสมบรณทมคานอยคอ 3 ผลลพธมเครองหมายตามคาสมบรณทมากกวา

5) จ านวนตรงขาม

ถา a เปนจ านวนใด ๆ จ านวนตรงขามของ –a คอ a เขยนแทนดวย -(-a) = a

หมายเหต สามารถเขยน (-5) + 7 เปน -5 + 7 และ (-5) + (-7) แทนดวย -5 - 7

ตวอยางท 1.2 จงหาผลบวก 24 + (-5)

วธท า 24 + (-5) = 24 – 5

= 19

ตอบ 19

การบวกจ านวนเตม การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายเหมอนกน ใหน าคาสมบรณมารวมกน ผลลพธม

เครองหมายตามนน

การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายตางกน ใหน าคาสมบรณของคามากตง ลบดวยคาสมบรณทนอยกวา ผลลพธมเครองหมายตามจ านวนทมคาสมบรณทมากกวา

การบวกจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบทมคาสมบรณเทากน ผลบวกเทากบ 0


6

ตวอยางท 1.3 จงหาผลบวก (-33) + 7

วธท า (-33) + (7) = -(33 – 7) = -26

ตอบ -26

ตวอยางท 1.4 จงหาคา -65 – 30

วธท า -65 – 30 = -(65 + 30) = -95

ตอบ -95

ตวอยางท 1.5 จงหาคา -65 – (-30)

วธท า -65 – (-30) = -65 + 30

= -(65 – 30)

= -35

ตอบ -35

1.2.2 การคณ และหารจ านวนเตม

1) การคณหรอหารจ านวนเตมทมเครองหมายเหมอนกน

ตวอยางท 1.6 จงหาคา 120 8 วธท า 120 8 = 15

ตอบ 15

ตวอยางท 1.7 จงหาคา (-24) x (-3)

วธท า (-24) x (-3) = 24 x 3

= 72

ตอบ 72

การคณหรอการหารจ านวนเตมบวกดวยจ านวนเตมบวก หรอจ านวนเตมลบดวยจ านวน เตมลบ ใหน าคาสมบรณของทงสองจ านวนคณหรอหารกน ผลลพธเปนจ านวนบวก


7

2) การคณหรอหารจ านวนเตมทมเครองหมายตางกน

ตวอยางท 1.8 จงหาคา 30 x (-13)

วธท า 30 x (-13) = -(30 x 13)

= -390

ตอบ -390

ตวอยางท 1.9 จงหาคา (-144) 48

วธท า (-144) 48 = -(144 48)

= -3

ตอบ -3

1.2.3 การบวก และลบเศษสวน

+

+

=

ภาพท 1.6 การบวกเศษสวน

ตวอยางท 1.10 จงหาคา 21

15

12

7

วธท า (1) หา ค.ร.น ของ 12 และ 21 84

(2) น า นของ าน น หาร ข อ น า ค

= 84

)4x15()7x7(

การคณหรอหารจ านวนเตมบวกดวยจ านวนเตมลบ หรอจ านวนเตมลบดวยจ านวนเตมบวก ใหน าคาสมบรณของทงสองจ านวนคณหรอหารกน ผลคณหรอผลหารเปนจ านวนลบ

การบ ก บเศษสวนจะตองท า นให าก น


8

= 84

251

84

109

84

6049

ตอบ

84

251

1.2.4 หารเศษสวน

1.11 งหาค า 15

10

32

25

วธท า (1) อน ก บ น

= 3

5x

16

5

(2) ห น า ค นค นของอ ก าน น

= 48

25

ตอบ 48

25

1.12 งหาค า 15

14

27

24

วธท า (1) น คร องห า หาร นค หาร ห ก บ น น

= 14

15x

27

24

(2) อน ก บ น

= 7

5x

3

4

(3) หา ค นค น

= 21

20

ตอบ 21

20

การคณเศษสวน ใหน าเศษคณเศษ สวนคณสวน การหารเศษสวน ตวหารใหกลบเศษเปนสวน แลวเปลยนเครองหมายหารเปนคณ


9

1.2.5 การบวก ลบ คณ และหารทศนยม

ตวอยางท 1.13 จงหาคา 7.891 + 12.54 - 0.522

วธท า 7.891

12.540

20.431

0.522

19.909

ตอบ 19.909

ตวอยางท 1.14 จงหาคา 32.07 x 4.3

วธท า 32.07

4.3

9621

12828

137.901

ตอบ 137.901

ตวอยางท 1.15 จงหาคา 137.90132.07

วธท า 137.90132.07 = 13790.13207

34

1137903207

.

.

12828

9621

9621

1) การบวกและลบทศนยมใหตงจดทศนยมตรงกน

2) การคณทศนยมจะมจ านวนทศนยมของผลคณเทากบจ านวนทศนยมของตวตงบวกกบจ านวนทศนยมของตวคณ

3) การหารทศนยมใหปรบจ านวนทศนยมของตวตงและตวหาร ใหตวหารเปนจ านวนเตม

-

+

+


10

ตอบ 4.3

1.2.6 เลขยกก าลง

ตวอยางท 1.16 กลองทรงลกบาศกใบหนงมปรมาตร 27,000 ลกบาศกเซนตเมตร ความยาวแตละดานของกลองใบนเปนเทาใด

วธท า ปรมาตรกลอง = ความยาว3

27000 = 30 x 30 x 30

= 303

ดงนนความยาวของแตละดานเทากบ 30 เซนตเมตร

ตอบ 30 เซนตเมตร

ตวอยางท 1.17 จงหาคา (-11)4 x (-11)

6

วธท า (-11)4 x (-11)

6 = (-11)

4+6

= (-11)10

ตอบ (-11)10

ตวอยางท 1.18 จงหาคา 218 21

3

วธท า 218 21

3 = 21

8-3

= 215

ตอบ 215

เมอ m แทนจ านวนใด ๆ n และ k แทนจ านวนเตม

mn x m

k = m

n + k

mn m

k = m

n - k

ถา m แทนจ านวนใด ๆ และ n แทนจ านวนเตมบวก “m ยกก าลง n” หรอ “m ก าลง n” เขยนแทนดวย mn และ

mn = m x m x m x … x m

n ตว

เรยก mn วาเลขยกก าลง ทม m เปนฐาน และ n เปนเลขชก าลง


11

1.2.7 ล าดบการบวก ลบ คณ หาร และเลขยกก าลง

ตวอยางท 1.19 จงหาคา 3 x 7 – ( 8 + 5 )

วธท า 3 x 7 – ( 8 + 5 ) = 3 x 7 – 13

= 21 – 13

= 8

ตอบ 8

ตวอยางท 1.20 จงหาคา 34+ 7 x 2

5

วธท า 34+ 7 x 2

5 = 81 + 7 x 32

= 81 + 224 = 305

ตอบ 305

ตวอยางท 1.21 จงหาคา 69 / 3 x 2 + 23 - 15

วธท า 69 / 3 x 2 + 23 – 15 = 23 x 2 + 23 – 15

= 46 + 23 -15

= 69 - 15 = 54

ตอบ 54

1.2.8 รากท n ของจ านวนจรง

ข น 1 า ง บ น

ข น 2 ค าน ค า ข ข ก า ง

ข น 3 าค หาร า งค หาร า าก า ข า

ข น 4 า บ ก บ า งบ ก บ าบ กหร อ บ าก า ข า

ให n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 a และ b เปนจ านวนจรง

b เปนรากท n ของ a กตอเมอ bn = a


12

ตวอยางท 1.22 จงหาคา 54 32,81

วธท า 81 = 34 ดงนน 4 81 = 3

-32 = (-2)5 ดงนน 5 32 = -2

ตวอยางท 1.23 จงหาคา 2 41

วธท า หาจ านวนจรง x ซง x2 มคาใกลเคยง 41

พบวา 62 = 36 และ 7

2 = 49

ดงนน 6 2 41 7

หาจ านวนจรงซงมากกวาหรอเทากบ 6 แตนอยกวาหรอเทากบ 7 ซงยกก าลงสองแลวใกลเคยง 41

พบวา 6.52 = 42.25 และ 6.4

2 = 40.96

ดงนน 6.4 2 41 6.5

หาจ านวนจรงซงมากกวาหรอเทากบ 6.4 แตนอยกวาหรอเทากบ 6.5 ซงยกก าลงสองแลวใกลเคยง 41

พบวา 6.412 = 41.09 และ 6.4

2 = 40.96

41 ใกลเคยง 40.96 มากกวา

ดงนน 2 41 4.6

ตอบ 6.4

1.2.9 การเขยนจ านวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

โดยปกตนยมเขยนจ านวนทมคามาก ๆ หรอมคานอย ๆ ในรปสญกรณวทยาศาสตร ดงตอไปน

ตวอยางท 1.24 โลกอยหางดวงอาทตย 63 ลานไมล จงเขยนในรปสญกรณวทยาศาสตร วธท า 63 ลานไมล = 63,000,000 ไมล

= 6.3 x 107

ตอบ 6.3 x 107

สญกรณวทยาศาสตรเขยนอยในรป

A x 10n เมอ 1 A 10 และ n เปนจ านวนเตม


13

ตวอยางท 1.25 0.00756 = 7.56 x 10-3

วธท า 0.00756 = 7.56 x 1000

1

= 7.56 x 103

ตอบ 7.56 x 103


ระบบจ านวนจรงประกอบดวยเซตของจ านวนจรง ซงแทนดวย R กบการบวกและการคณ ซงมสมบตดงตอไปน โดยก าหนดให x, y และ z เปนสมาชกของเซต R

ตารางท 1.1 สมบตของจ านวนจรง

สมบต การบวก การคณ

ปด 1. x + y R 6. x y R

การสลบท 2. x + y = y +x 7. x y = yx

การเปลยนหม 3. (x + y) + z = x + (y + z) 8. (x y)z = x(y z)

การมเอกลกษณ 4. มจ านวน 0 R ซง

0 + x = x = x + 0

9. มจ านวน 1 R ซง

1 x = x = x 1

การมอนเวอรส 5. ส าหรบ x R จะม –x ซง

(-x) + x = 0 = x + (-x)

เรยก –x วา อนเวอรสการบวกของ x

10. ส าหรบ x R , x 0

จะม x-1 R ซง

x-1 x = 1 = x x-1

เรยก x-1 วา อนเวอรสการคณ

ของ x

การแจกแจง 11. x(y + z) = xy + xz

ทมา: (สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, 2554, 69)

สมบตการเทากน ให a, b และ c แทนจ านวนใด ๆ 1) ถา a = b แลว a + c = b + c

2) ถา a = b แลว a - c = b - c

3) ถา a = b แลว a × c = b × c

4) ถา a = b แลว a ÷ c = b ÷ c , c 0


14

ให a + b = c

a + b – b = c – b จากสมบตการเทากนขอ 1)

จะได a = c – b (1)

ให a - b = c

a - b + b = c + b จากสมบตการเทากนขอ 2)

จะได a = c + b (2)

ให a x b = c

b

axb =

b

c จากสมบตการเทากนขอ 3)

จะได a = b

c (3)

ให b

a = c

b

axb = c x b จากสมบตการเทากนขอ 4)

จะได a = c x b (4)


ตวอยางท 1.26 x – 3 = 8 จงหาคา x

วธท า x - 3 = 8

x = 8+3

x = 11

ตรวจค าตอบ 11-3 = 8 จรง

ตอบ 11

สรปผลจากสมบตการเทากนขอ (1)-(4) เพอใชในการแกสมการ 1) ถา a + b = c แลว a = c – b

2) ถา a – b = c แลว a = c + b

3) ถา a x b = c แลว a = b

c

4) ถา b

a= c แลว a = c x b


15

ตวอยางท 1.27 y + 5 = 9 จงหาคา y

วธท า y + 5 = 9

y = 9 - 5

y = 4

ตรวจค าตอบ 4 + 5 = 9 จรง

ตอบ 4

ตวอยางท 1.28 2(2y – 5) = 14 จงหาคา y

วธท า 2(2y – 5) = 14

2y – 5 = 2

14

2y = 7 + 5

y = 2

12

y = 6

ตรวจค าตอบ 2[(2x6) – 5] = 14 จรง

ตอบ 6

ตวอยางท 1.29 2

1m4

5

2m7

จงหาคา m

วธท า 5

2m7 =

2

1m4

(7m + 2) x 2 = (4m – 1) x 5

14m + 4 = 20m – 5

14m – 20m = – 5 – 4

m = 6

9

สมบตการเทากนของการหาร

m = 1.5

ตรวจค าตอบ 2

15.1x4

5

2)5.1(x7

ตอบ 1.5


16

บทสรป

การบวกจ านวนเตม 1) การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายเหมอนกน ใหน าคาสมบรณมารวมกน ผลลพธม

เครองหมายตามนน

2) การบวกจ านวนเตมทมเครองหมายตางกน ใหน าคาสมบรณของคามากตงลบดวยคาสมบรณทนอยกวา ผลลพธมเครองหมายตามจ านวนทมคาสมบรณทมากกวา

3) การบวกจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบทมคาสมบรณเทากน ผลบวกเทากบ 0

การคณหรอการหาร

1) การคณหรอการหารจ านวนเตมทมเครองหมายเหมอนกน ใหน าคาสมบรณของทงสองจ านวนคณหรอหารกน ผลคณหรอผลหารเปนจ านวนบวก

2) การคณหรอการหารจ านวนเตมทมเครองหมายไมเหมอนกน ใหน าคาสมบรณของทงสองจ านวนคณหรอหารกน ผลลพธเปนจ านวนลบ

การบวกลบเศษสวน ตองท าใหสวนเทากนแลวจงบวกเศษ

การคณหารเศษสวน

1) การคณเศษสวน ใหน าเศษคณเศษ สวนคณสวน 2) การหารเศษสวน ใหกลบเศษเปนสวนของตวหาร แลวเปลยนเครองหมายหารเปนคณ

การบวก ลบ คณ และหารทศนยม

1) การบวกและลบทศนยมใหตงจดทศนยมตรงกน

2) การคณทศนยมจะมจ านวนทศนยมของผลคณเทากบจ านวนทศนยมของตวตงบวกกบจ านวนทศนยมของตวคณ

3) การหารทศนยมใหปรบจ านวนทศนยมของตวตงและตวหาร เพอใหตวหารเปนจ านวนเตม

การคณหารเลขยกก าลง

เมอ m แทนจ านวนใด ๆ n และ k แทนจ านวนเตม

mn x m

k = m

n + k

mn m

k = m

n - k

ล าดบการบวก ลบ คณ หาร และเลขยกก าลงของคอมพวเตอร

ข น 1 า ง บ น

ข น 2 ค าน ค า ข ข ก า ง

ข น 3 าค หาร า งค หาร า าก า ข า

ข น 4 า บ ก บ า งบ ก บ าบ กหร อ บ าก า ข า


17

รากท n ของจ านวนจรง

ให n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 a และ b เปนจ านวนจรง

b เปนรากท n ของ a กตอเมอ bn = a

การเขยนจ านวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

A x 10n เมอ 1 A 10 และ n เปนจ านวนเตม

การใชสมบตเทากนในการแกสมการ

1) ถา a + b = c แลว a = c – b

2) ถา a – b = c แลว a = c + b

3) ถา a x b = c แลว a = b

c

4) ถา b

a= c แลว a = c x b


18

แบบฝกหดทบทวน

1. จ านวนใดบางตอไปนเปนจ านวนนบ จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ หรอจ านวนอตรรกยะ

0, 5.224, 7.689754…, 531.4 , 3

10, 3 27 , 5 , 4

2. งหา ของ

2.1 (5 + 8) - 10

2.2 (–75 + 14) - 25

2.3 (14 x 15) (-10)

2.4 (15 - 24) x (-8)

2.5 (162 92 )+ 5

3

2.6 (-84x 5) (7 x 5)

2.7 54 – (105-29)

2.8 54 – 52X3

2

2.9 |35|2564

2.10 160

3. งหา า ห น นอ าง าหร อ าน นค

3.1 5

4

7

6

3.2 21

5

14

10

3.3 7

41

3.4 20

6

34

25

3.5 4

3

11

5

3.6 14

3

4

7

12

9

4. งหา า ห น นอ าง าหร อ าน นค

4.1 5

4

7

6x

4.2 21

5

14

10x

4.3 14

7

18

15x

4.4 5

3

15

11

4.5 21

5

12

9

4.6 16

24

39

17

5. จงหาผลลพธ

5.1 32.458 + 18.66

5.2 52.64 – 48.75

5.3 108.0 – 15.66

5.4 45.76 + 14.189 – 28.5

5.5 74.664 – 85.59 + 42.07

5.6 115.57+ 215.687 – 104.79


6.1 2.7 x 3.2

6.2 5.44 x 1.6

6.3 0.078 x 0.04

6.4 32.05 0.5

6.5 10.809 0.03

6.6 0.06 0.2

6.7 43 x 4

5 4

7

6.8 1210

126 x 12

3


19

7. ง ง ห อ นร สญกรณ า า ร 7.1 32.456

7.2 108.00007

7.3 54778.21

7.4 0.0079

7.5 0.45745

7.6 0.0000241

8. ง ก การหาค า x

8.1 x + 17 = 23

8.2 2x – 5 = 15

8.3

8.4 1.2x +4 = 64

8.5 3x - 7 = 5x + 15

8.6 4

55

3

36

xx

306

4x


20

เอกสารอางอง

โครงการต าราวทยาศาสตรและคณตศาสตรมลนธ สอวน. (2547). คณตศาสตรพนฐานส าหรบคอมพวเตอร. กรงเทพมหานคร: ดานสทธาการพมพ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . (2555). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 2. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2556). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . (2556). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . (2557). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.

บทท 2 ระบบเลขฐาน | | 21





2.1 ระบบตวเลขฐาน


2.3 การด าเนนการเลขฐาน

2.4 การคอมพลเมนทของเลขฐาน 2



1. เพอใหผ เรยนสามารถแปลงเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16 เปนเลขฐาน 16 ไดอยางถกตอง

2. เพอใหผ เรยนสามารถแปลงเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16 ไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถบวก และลบเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16 ไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถแปลงเลขฐาน 2 ใหอยในรป 1’s Complement ไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถแปลงเลขฐาน 2 ใหอยในรป 2’s Complement ไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถลบเลขฐาน 2 โดยใชวธ 1’s complement ไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถลบเลขฐาน 2 โดยใชวธ 2’s complement ไดอยางถกตอง

8. เพอใหผ เรยนสามารถอธบายรหสในระบบดจตอลไดอยางถกตอง







22



7. ใหผ เรยนน าเสนอการแกปญหาหนาชนเรยนใหทกคนมสวนรวม

8. ใหนกศกษาเกงสอนนกศกษาอน

9. ใหท ารายงาน









5. ประเมนจากการอางองเอกสารทน ามาท ารายงานอยางถกตองและเหมาะสม

บทท 2 ระบบเลขฐาน | |

23

บทท 2

ระบบเลขฐาน

คอมพวเตอรท างานดวยกระแสไฟหลอเลยง หากจะตองการศกษาการท างานของคอมพวเตอร หรอเขยนค าสงควบคมการท างานคอมพวเตอรโดยตรงจะตองมความรพนฐานเกยวกบระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานในบทนประกอบดวย เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสบ และเลขฐานสบหก ซงเลขฐานดงกลาวมความเกยวของกน และมหลกการคลายคลงกน จงไมยากทจะเรยนรส าหรบผ ทไมเคยศกษาเรองนมากอน

2.1 ระบบตวเลขฐาน

2.1.1 ระบบตวเลขฐาน 10

มนษยมความจ าเปนทตองมการสอสารบอกปรมาณ แตละชาตแตละภาษาจะมวธการบอกจ านวนทแตกตางกนไป ชาวฮนดไดคดคนระบบตวเลขฮนดอารบกทเปนระบบตวเลขฐานสบ ซงประกอบไปดวยสญลกษณหรอเลขโดดจ านวนสบตวคอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตวเลขโดดในจ านวนจะมคาเทาใดขนอยกบคาประจ าหลกดงตารางตอไปน

ตารางท 2.1 หลกและคาประจ าหลกของเลขฐาน 10

จ านวนเตม ทศนยม

หลกท … 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 …

คาประจ าหลก … 106 10

5 10

4 10

3 10

2 10

1 1 10

-1 10

-2 10

-3 10

-4 …

ตารางท 2.1 แสดงคาประจ าหลกของจ านวนในระบบตวเลขฐาน 10 จ านวนเตมหลกทหนงมคาประจ าหลกเปน 10

0 หรอ 1 จ านวนเตมหลกทสองมคาประจ าหลกเปน 10

1 หรอ 10 เปนตน

จ านวนทศนยมหลกทหนงมคาประจ าหลกเปน 10-1 หรอ 0.1 จ านวนทศนยมหลกทสองมคาประจ า

หลกเปน 10-2 หรอ 0.01


24

ตวอยางท 2.1 จงเขยน 52, 478.54710 ในรปการกระจาย

วธท า

หลกท 5 4 3 2 1 1 2 3

คาประจ าหลก 104 10

3 10

2 10

1 1 10

-1 10

-2 10

-3

เลขโดด 5 2 4 7 8 5 4 7

คาของเลขโดด 5 x 104 2 x 10

3 4 x 10

2 7 x 10

1 8 x 1 5 x 10

-1 4 x 10

-2 7 x 10

-3

52478.54710 = (5 x 104 ) + (2 x 10

3) + (4 x 10

2) + (7 x 10

1) + (8 x 1) +

(5 x 10-1) + (4 x 10

-2) + (7 x 10

-3)

2.1.2 ระบบเลขฐาน 2

เลขฐานสองเปนระบบตวเลขทน ามาใชกบคอมพวเตอร เพราะเนองจากคอมพวเตอรท างานไดโดยใชกระแสไฟฟา กระแสไฟฟาม 2 สภาวะ คอ สภาวะมกระแสไฟฟา และสภาวะทไมมกระแสไฟฟา ระบบตวเลขฐานสองจงประกอบดวยตวเลข 1 แทนสภาวะมกระแสไฟ และ 0 แทนสภาวะทไมมกระแสไฟฟา

คาประจ าหลกเลขฐานสองจะอยในรปเลขยกก าลงทมฐานเปน 2 หลกและคาประจ าหลกในระบบตวเลขฐาน 2 แสดงดงตารางตอไปน



หลกท … 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 …


5 2

4 2

3 2

2 2

1 1 2

-1 2

-2 2

-3 2

-4 …


25

ตวอยางท 2.2 จงเขยน 11010.012 ในรปการกระจาย

วธท า

หลกท 5 4 3 2 1 1 2


3 2

2 2

1 1 2

-1 2

-2

เลขโดด 1 1 0 1 0 0 1


3 0 x 2

2 1 x 2

1 0 x 1 0 x 2

-1 1 x 2

-2

ดงนน 11010.012 = (1 x 24)+(1 x 2

3)+( 0 x 2

2)+(1 x 2

1)+( 0 x 1)+( 0 x 2

-1)+( 1 x 2

-2)

การแปลงเลขฐาน 2 ใหอยในรปเลขฐาน 10 สามารถใชวธการกระจายดงตวอยางทผานมาไดดงน

11010.012 = (1 x 24)+(1 x 2

3)+( 0 x 2

2)+(1 x 2

1)+( 0 x 1)+( 0 x 2

-1)+( 1 x 2

-2)

= (1 x 16)+(1 x 8)+( 0 x 4)+(1 x 2)+( 0 x 1)+( 0 x 2

1)+( 1 x

4

1)

= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0.25 = 26.2510


เลขฐาน 8 ประกอบดวยตวเลขแปดตว ดงน 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 คาประจ าหลก เลขฐาน 8 จะอยในรปเลขยกก าลงทมฐานเปน 8 หลกและคาประจ าหลกในระบบตวเลขฐาน 8

แสดงดงตารางตอไปน



หลกท … 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 …


5 8

4 8

3 8

2 8

1 1 8

-1 8

-2 8

-3 8

-4 …


26

ตวอยางท 2.3 จงเขยน 475.258 ในรปการกระจาย และแปลงเปนเลขฐาน 10

วธท า

หลกท 3 2 1 1 2


1 1 8

-1 8

-2

เลขโดด 4 7 5 2 5


1 5 x 1 2 x 8

-1 5 x 8

-2

475.258 = (4 x 82) + (7 x 8

1)+ (5 x 1)+ (2 x 8

-1)+ (5 x 8

-2)

= (4 x 64) + (7 x 8)+ (5 x 1)+ (2 x 8

1)+ (5 x

64

1)

= 256 + 56 + 5 + 0.25 + 0.0781 = 317.328110


เลขฐาน 16 ประกอบดวยตวเลขและตวอกษรรวมสบหกตว แตละตวมคาดงตารางตอไปน

ตารางท 2.4 สญลกษณทใชในเลขฐาน 16

สญลกษณ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

คาฐานสบ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

คาประจ าหลกเลขฐาน 16 จะอยในรปเลขยกก าลงทมฐานเปน 16 หลกและคาประจ าหลกในระบบตวเลขฐาน 8 แสดงดงตารางตอไปน



หลกท … 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 …


5 16

4 16

3 16

2 16

1 1 16

-1 16

-2 16

-3 16

-4 …


27

ตวอยางท 2.4 จงเขยน 36A16 ในรปการกระจาย และแปลงเปนเลขฐานสบ

วธท า

หลกท 3 2 1


1 1

เลขโดด 3 6 A


1 10 x 1

36A16 = (3 x 162) + (6 x 16

1)+ (10 x 1)

= (3 x 256) + (6 x 16)+ (10 x 1)

= 768 + 96 + 10 = 87410


2.2.1 การแปลงเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 2

2.2.1.1 จ านวนเตม

ตวอยางท 2.5 4510 = 2

วธท า 2 45

2 22 เศษ 1

2 11 เศษ 0

2 5 เศษ 1

2 2 เศษ 1

2 1 เศษ 0

0 เศษ 1

ตอบ 4510 = 1011012


28

ตวอยางท 2.6 3910 = 2

วธท า 2 39

2 19 เศษ 1

2 9 เศษ 1

2 4 เศษ 1

2 2 เศษ 0

2 1 เศษ 0

0 เศษ 1

ตอบ 3910 = 1001112

2.2.1.2 เลขทศนยม

ตวอยางท 2.7 0.4510 = 2 (ทศนยม 6ต าแหนง)

วธท า

0.45 x 0.90 x 0.80 x 0.60 x 0.20 x 0.40 x 0.80 x

2 2 2 2 2 2 2

0.90 1.80 1.60 1.20 0.40 0.80 1.60

0 1 1 1 0 0 1

ตอบ 0.4510 = 0.01110012 ปดเปน 0.0111012


ตวอยางท 2.8 52210 = 8

วธท า 8 522

8 65 เศษ 2

8 8 เศษ 1

8 1 เศษ 0

0 เศษ 1

ตอบ 52210 = 10128


29


ตวอยางท 2.9 324710 = 16

วธท า 16 3247

16 202 เศษ 15 F

16 12 เศษ 10 A

0 เศษ 12 C

ตอบ 324710 = CAF16

2.2.4 การแปลงเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 8 และเลขฐาน 16

2.2.4.1 การแปลงเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 8 วธท 1 1) แปลงเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 10 2) แปลงเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 8

วธท 2 เนองจาก 23 = 8 ดงนนสามารถใชวธจดกลม 3 บตจากขวาไปซาย แลวแปลงเปนเลขฐาน 10

ตวอยางท 2.10 101110112 = 8

วธท า วธท 1

หลกท 8 7 6 5 4 3 2 1


6 2

5 2

4 2

3 2

2 2

1 1

เลขโดด 1 0 1 1 1 0 1 1


6 1 x 2

5 1 x 2

4 1 x 2

3 0 x 2

2 1 x 2

1 1 x 1

แปลงเลขฐานสองเปนเลขฐาน 10

101110112 = (1 x 27) + (1 x 2

5) + (1 x 2

4)+ (1 x 2

3) + (1 x 2

1)+ (1 x 1)

= 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 187


30

แปลงเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 8

8 187

8 23 เศษ 3

2 เศษ 7

ดงนน 101110112 = 2738

วธท 2

คาประจ าหลก 4 2 1 4 2 1 4 2 1

เลขโดดฐาน 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1

เลขโดดฐาน 10 2 4+2+1=7 2+1=3

ตอบ 101110112 = 2738

2.2.4.2 แปลงฐาน 2 เปนฐาน 16 วธท 1 1) แปลงฐาน 2 เปนฐาน 10 2) แปลงฐาน 10 เปนฐาน 16

วธท 2 เนองจาก 24 = 16 ดงนนสามารถใชวธจดกลม 4 บตจากขวาไปซาย แลวแปลง

เปนเลขฐาน 10

ตวอยางท 2.11 1011101102 = 16

วธท า

คาประจ าหลก 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1

เลขโดดฐาน 2 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0

เลขโดดฐาน 10 1 4+2+1=7 4+2=6

ตอบ 1011101102 = 17616


31

2.2.5 การแปลงเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 2


วธท 2 กระจายเลขฐาน 8 หนงตวเปนเลขฐาน 2 จ านวน 3 บตจากขวาไปซาย โดยการหารดวย 2

ตวอยางท 2.12 5328 = 2

2 5 2 3 2 2

2 2 เศษ 1 2 1 เศษ 1 2 1 เศษ 0

2 1 เศษ 0 0 เศษ 1 0 เศษ 1

0 เศษ 1

เลขโดดฐาน 8 5 3 2

เลขโดดฐาน 2 1 0 1 0 1 1 0 1 0

ดงนน 5328 = 1010110102

ตรวจค าตอบ

คาประจ าหลก 4 2 1 4 2 1 4 2 1

เลขโดดฐาน 2 1 0 1 0 1 1 0 1 0

เลขโดดฐาน 8 4+1=5 2+1=3 2


วธท 2 กระจายเลขฐาน 16 หนงตวเปนเลขฐาน 2 จ านวน 4 บตจากขวาไปซาย โดยการหารดวย 2


32

ตวอยางท 2.13 53216 = 2

2 5 2 3 2 2

2 2 เศษ 1 2 1 เศษ 1 2 1 เศษ 0

2 1 เศษ 0 0 เศษ 1 0 เศษ 1

0 เศษ 1

เลขโดดฐาน 16 5 3 2

เลขโดดฐาน 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0

ตอบ 53216 = 0101001100102

ตรวจค าตอบ

คาประจ าหลก 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1

เลขโดดฐาน 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0

เลขโดดฐาน 16 4+1=5 2+1=3 2

2.3 การด าเนนการเลขฐาน

2.3.1 การบวกเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16

การบวกเลขฐานตาง ๆ มหลกการดงน

1) การบวกเลขฐาน 10 หากไดผลลพธไมนอยกวา 10 ใหน า 10 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทดไป 1

2) การบวกเลขฐาน 2 หากไดผลลพธไมนอยกวา 2 ใหน า 2 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทดไป1

3) การบวกเลขฐาน 8 หากไดผลลพธไมนอยกวา 8 ใหน า 8 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทดไป 1

4) การบวกเลขฐาน 16 หากไดผลลพธไมนอยกวา 16 ใหน า 16 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทดไป1


33

ตวอยางท 2.14 56410+ 39810 = 10

วธท า 1 1

564+

398

962

ดงนน 65410+ 39810 = 96210

ตอบ 96210

ตวอยางท 2.15 10112 + 10102 = 2

วธท า 1 1 1

1011+

1010

10101

ดงนน 10112 + 10102 = 10101 2

ตอบ 10101 2

ตวอยางท 2.16 4758 + 678 = 8

วธท า 1 1

475+

67

564

ดงนน 4758 + 678 = 564 8

ตอบ 564 8

ตวอยางท 2.17 75216+ 5C316 = 16

วธท า 752+ 7 5 2+

5C3 5 12 3

12 17 5

13 1 5

D 1 5

ดงนน 75216+5C316 = D15 16

หลก1: 4+8=1212-10 =2 ทด1

หลก2: 1+6+9=1616 -10=6 ทด1

หลก3: 1+5+3=9

หลก1: 1+0=1

หลก2: 1+1=22-2=0 ทด1

หลก3: 1+0+0=1

หลก4: 1+1=2-2-2=0 ทด1

หลก5: 1

หลก1 : 5+7=1212-8=4 ทด1

หลก2 : 1+7+6=1414-8=6 ทด1

หลก3: 1+4=5

หลก1: 2+3=5

หลก2: 5+12=17

17-16=1 ทด1

หลก3: 7+5+1=13D


34

ตอบ D1516

2.3.2 การลบเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16

ตวอยางท 2.18 108510 - 9810 = 10

วธท า 7 10 0 10 10 10

1 0 8 5 - 1 0 7 5

- 0 0 7 5

-

9 8 9 8 9 8

7 7 9 8 7

ตอบ 108510 – 9810 = 98710

ตวอยางท 2.19 110012 - 1112 = 2 วธท า

0 2 2 2

1 1 0 0 1 -

1 0 0 0 1 -

1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 ตอบ 110012 - 1112 = 100102

ตวอยางท 2.20 6528 - 3668 = 8 วธท า

4 8 5 8

6 5 2 -

6 4 2 -

3 6 6 3 6 6 4 2 6 4

ตอบ 6528 - 3668 = 2642

การลบเลขฐานตาง ๆ มหลกการดงน

1) ลบเลขฐาน 10 ยมมา 1 ได 10




1

9


35

ตวอยางท 2.21 C1A16 - 64616 = 16 วธท า

11 16

C 1 A - 12 1 10

- C 1 A

-

6 4 6 6 4 6 6 4 6

5 13 4 5 D 4

ตอบ C1A16 - 64616 = 5D4 16

2.4 การคอมพลเมนทของเลขฐาน 2

เนองจากการท างานของคอมพวเตอรไมมวธการลบเลขฐานสองดงทกลาวมา แตจะใชวธการทเรยกวา การคอมพลเมนท ( Complement )

ตวอยางท 2.22 จงแปลง 11001112 ใหอยในรป 1’s Complement วธท า เลขฐานสอง 1100111

1’s Complement 0011000

ตวอยางท 2.23 จงแปลง 11100112 ใหอยในรป 2’s Complement วธท า เลขฐานสอง 1110011


+ 1


1’s Complement เปนวธการกลบสถานะของตวเลขฐานสองใหเปนตรงกนขาม 2’s Complement เปนวธการทตอเนองจาก 1’s Complement โดยน าคาทไดจาก

1’s Complement มาบวกดวยหนง


36

2.4.1 การลบเลขฐาน 2 โดยใชวธ 1’s complement

ตวอยางท 2.24 จงลบเลขฐานสอง 100102 - 10112 โดยใชวธ 1’s Complement วธท า 1’s Complement ของ 01011 = 10100

10010

+ 10100

ตวทดทเกนมา 1 00110

+ 1

00111

ตอบ 100102 - 10112 = 1112


01011

+ 01101

ไมมตวทดทเกนมา 11000

1’s Complement ของ11000 = 00111

ตอบ 10112 - 100102 = -1112

การลบเลขฐานสองโดยใชวธ 1’s complement

1) ท าจ านวนหลกของตวตงและตวลบใหเทากน โดยการเตม 0 ขางหนา

2) หาคา 1’s Complement ของตวลบ 3) น าคา 1’s Complement ของตวลบไปบวกเขากบตวตง

4) ถาผลบวกมตวทดสดทาย ใหน าไปบวกเขากบหลกทอยทางขวามอสด ผลทไดคอ ผลลพธทไดมคาเปนบวก

5) แตถาผลบวกไมมตวทดสดทาย ใหท า 1’s Complement ผลบวก ผลทไดคอ ผลลพธเลขฐานสองทไดจะมคาเปนลบ


37

2.4.2 การลบเลขฐาน 2 โดยใชวธ 2’s Complement

ตวอยางท 2.26 จงลบเลขฐานสอง 100102 - 10112 โดยใชวธ 2’s Complement

วธท า 1’s Complement ของ 01011 = 10100

2’s Complement ของ 01011 = 10101

10010

+10101

มตวทดทเกนมา 1 00111

ตอบ 100102 - 10112 = 1112


2’s Complement ของ 10010 = 01110

01011

+ 01110

ไมมตวทดทเกนมา 11001

1’s Complement 11001 = 00110

2’s Complement 11001 = 00111

ตอบ 10112 - 100102 = -1112

การลบเลขฐานสองโดยใชวธ 2’s Complement 1) ท าจ านวนหลกของตวตงและตวลบใหเทากน โดยการเตม 0 ขางหนา

2) หาคา 2’s Complement ของตวลบ

3) น าคา 2’s Complement ของตวลบไปบวกเขากบตวตง

4) ถาผลบวกมตวทดเกนมาใหตดทง จะไดคอผลลบของเลขฐานสอง และมคาเปนบวก

5) ถาผลบวกไมมตวทดเกนมา ใหท า 2’s Complement ผลลพธอกครง ผลทไดคอผลลบของเลขฐานสอง และมคาเปนลบ


38


รหสขอมล (Data Representation) หมายถง รหสทใชแทนตวเลข ตวอกษร สญลกษณ ตาง ๆ ทประกอบอยในค าสง และขอมล เพอใชในการประมวลผล สามารถแบงได 2 ประเภทคอ

รหสภายในระบบคอมพวเตอร (Internal Code) เปนรหสทใชแทนขอมลในหนวยความจ าของคอมพวเตอร เชน รหส BCD รหส EBCDIC รหส ASCII รหส สมอ. รหส Unicode รหสภายนอกระบบคอมพวเตอร (External Code) เปนรหสทพฒนาส าหรบบนทกขอมลนอกเครองคอมพวเตอร เชนรหสทใชกบบตรเจาะร รหสภายในคอมพวเตอร แทนไดกบสภาวะของกระแสไฟฟา ตามจ านวนสายสญญาณ เชน ถามสายสญญาณ 2 เสน กสามารถสรางรหสแทนขอมลได 4 คา (คดจาก 22

) คอ

ตารางท 2.6 รหสแทนสภาวะไฟฟา 2 เสน

สภาวะไฟฟา 2 เสน รหสขอมล

00

01

10

11

ดงนนถามสายสญญาณ 8 เสน กสามารถสรางรหสได จ านวน 28= 256 คา เปนตน

ตารางท 2.7 รหสแทนสภาวะไฟฟา 8 เสน

สภาวะไฟฟา 8 เสน รหสขอมล

00000000

00000001

11111111

American Standard Code for Information Interchange (ASCII) เปนรหสทนยมใชกนอยางแพรหลายในปจจบน พฒนาโดยสถาบนมาตรฐานแหงชาตสหรฐอเมรกา (American

National Standard Institute: ANSI) ประกอบดวยเลขฐานสอง 7 บต (ปจจบนใช 8 บต)


39

เรยกวา 1 ไบต (Byte) แทนอกขระ 1 ตว ซงเปนรหสทนยมใชกนบนคอมพวเตอรระบบ PC

ทงนไดแบงเปน 3 ชดคอ

1) 32 ชดแรก (ต าแหนงท 0 - 31) แทนรหสควบคมตาง ๆ

2) ต าแหนงท 32 - 127 แทนอกขระภาษาองกฤษ, ตวเลขและสญลกษณตาง ๆ เรยกวา Lower ASCII

3) 128 ชดหลง (ต าแหนงท 128 - 255) แทนอกขระในภาษาตาง ๆ เชน อกขระภาษาไทย เปนตน ท าใหคอมพวเตอรสามารถรบ/สงขอมลภาษาอน ๆ ได เรยกวา Higher ASCII

ตารางท 2.8 รหสASCII 32 ชดแรก

เลขฐาน อกขระ ความหมาย

เลขฐาน อกขระ ความหมาย

16 10 16 10

00 0 NULL (Null character) 09 9 HT (Horizontal Tab)

01 1 SOH (Start of Header) 0A 10 LF (Line feed)

02 2 STX (Start of Text) 0B 11 VT (Vertical Tab)

03 3 ETX (End of Text) 0C 12 FF (Form feed)

04 4 EOT (End of Transmission) 0D 13 CR (Carriage return)

05 5 ENQ (Enquiry) 0E 14 SO (Shift Out)

06 6 ACK (Acknowledgement) 0F 15 SI (Shift In)

07 7 BEL Bell 10 16 DLE (Data link escape)

08 8 BS Backspace 11 17 DC1 (Device control 1)

12 18 DC2 Device control 2 19 25 EM (End of medium)

13 19 DC3 Device control 3 1A 26 SUB (Substitute)

14 20 DC4 Device control 4 1B 27 ESC (Escape)

15 21 NAK Negative acknowledgement 1C 28 FS (File separator)

16 22 SYN Synchronous idle 1D 29 GS (Group separator)

17 23 ETB End of transmission block 1E 30 RS (Record separator)

18 24 CAN Cancel 1F 31 US (Unit separator)

(ทมา http://www.theasciicode.com.ar/ascii-table-characters.pdf สบคน 22 กมภาพนธ 2558)


40

ตารางท 2.9 รหสASCII ต าแหนง 32 – 127 ( Lower ASCII )

เลขฐาน อกขระ





เลข

ฐาน อกขระ

16 10 16 10 16 10 16 10 16 10 16 10

20 32 2F 47 / 3E 62 > 4D 77 M 5C 92 \ 75 117 u

21 33 ! 30 48 0 3F 63 ? 4E 78 N 5D 93 ] 76 118 v

22 34 " 31 49 1 40 64 @ 4F 79 O 5E 94 ^ 77 119 w

23 35 # 32 50 2 41 65 A 50 80 P 5F 95 _ 78 120 x

24 36 $ 33 51 3 42 66 B 51 81 Q 60 96 ` 79 121 y

25 37 % 34 52 4 43 67 C 52 82 R 61 97 a 7A 122 z

26 38 & 35 53 5 44 68 D 53 83 S 62 98 b 7B 123 {

27 39 ' 36 54 6 45 69 E 54 84 T 63 99 c 7C 124 |

28 40 ( 37 55 7 46 70 F 55 85 U 64 100 d 7D 125 }

29 41 ) 38 56 8 47 71 G 56 86 V 65 101 e 7E 126 ~

2A 42 * 39 57 9 48 72 H 57 87 W 66 102 f 7F 127 •

2B 43 + 3A 58 : 49 73 I 58 88 X 67 103 g

2C 44 , 3B 59 ; 4A 74 J 59 89 Y 68 104 h

2D 45 - 3C 60 < 4B 75 K 5A 90 Z 69 105 i

2E 46 . 3D 61 = 4C 76 L 5B 91 [ 6A 106 j



41

ตารางท 2.10 รหสASCII 128 ชดหลง ( Higher ASCII )







16 10 16 10 16 10 16 10 16 10 16 10

80 128 € 96 150 – AC 172 ฌ C2 194 ย D8 216 EE 238 81 129 � 97 151 — AD 173 ญ C3 195 ร D9 217 EF 239 ๏

82 130 ‚ 98 152 ˜ AE 174 ฎ C4 196 ฤ DA 218 F0 240 ๐

83 131 ƒ 99 153 ™ AF 175 ฏ C5 197 ล DB 219

F1 241 ๑

84 132 „ 9A 154 š B0 176 ฐ C6 198 ฦ DC 220

F2 242 ๒

85 133 … 9B 155 › B1 177 ฑ C7 199 ว DD 221

F3 243 ๓

86 134 † 9C 156 œ B2 178 ฒ C8 200 ศ DE 222

F4 244 ๔

87 135 ‡ 9D 157 � B3 179 ณ C9 201 ษ DF 223 ฿ F5 245 ๕

88 136 ˆ 9E 158 ž B4 180 ด CA 202 ส E0 224 เ F6 246 ๖

89 137 ‰ 9F 159 Ÿ B5 181 ต CB 203 ห E1 225 แ F7 247 ๗

8A 138 Š A0 160 B6 182 ถ CC 204 ฬ E2 226 โ F8 248 ๘

8B 139 ‹ A1 161 ก B7 183 ท CD 205 อ E3 227 ใ F9 249 ๙

8C 140 Œ A2 162 ข B8 184 ธ CE 206 ฮ E4 228 ไ FA 250 ๚

8D 141 � A3 163 ฃ B9 185 น CF 207 ฯ E5 229 ๅ FB 251 ๛

8E 142 Ž A4 164 ค BA 186 บ D0 208 ะ E6 230 ๆ FC 252

8F 143 � A5 165 ฅ BB 187 ป D1 209 E7 231 FD 253

90 144 � A6 166 ฆ BC 188 ผ D2 210 า E8 232 FE 254

91 145 ‘ A7 167 ง BD 189 ฝ D3 211 า E9 233 FF 255

92 146 ’ A8 168 จ BE 190 พ D4 212 EA 234

93 147 “ A9 169 ฉ BF 191 ฟ D5 213 EB 235

94 148 ” AA 170 ช C0 192 ภ D6 214 EC 236

95 149 • AB 171 ซ C1 193 ม D7 215 ED 237



42

บทสรป

การแปลงเปนเลขฐาน 10 ใหหาผลบวกของผลคณเลขโดดกบคาประจ าหลก

การแปลงเลขจ านวนเตมฐาน 10 เปนเลขฐาน 2

ใหหารสนเลขดวยเลข 2 เศษทไดน ามาตอกนเปนเลขฐาน 2





การแปลงเลขทศนยมฐาน 10 เปนเลขฐาน 2

1) ใหน าเลขทศนยมคณดวยเลข 2 ผลลพธจ านวนเตมทไดเกบไวเปนค าตอบ 2) ทศนยมทเกดขนน าไปคณเลข 2 ผลลพธจ านวนเตมทไดเกบไวเปนค าตอบ 3) ท าซ าขอ 2) จนไดจ านวนทศนยมครบตามตองการ

การแปลงเลขฐาน 2 เปนฐาน 8

ใหจดกลม 3 บตจากขวาไปซาย แลวแปลงเปนฐานเลข 10 ทละกลม

การแปลงเลขฐาน 2 เปนฐาน 16

ใหจดกลม 4 บตจากขวาไปซาย แลวแปลงเปนฐานเลข 10 ทละกลม

การแปลงเลขฐาน 8 เปนเลขฐาน 2

กระจายเลขฐาน 8 หนงตวเปนเลขฐาน 2 จ านวน 3 บตจากขวาไปซาย

การแปลงฐาน 16 เปนฐาน 2

กระจายเลขฐาน 16 หนงตวเปนเลขฐาน 2 จ านวน 4 บตจากขวาไปซาย

การบวกเลขฐานตาง ๆ

1) บวกเลขฐาน 10 ไดผลลพธไมนอยกวา 10 ใหน า 10 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทด 1

2) บวกเลขฐาน 2 ไดผลลพธไมนอยกวา 2 ใหน า 2 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทด 1 3) บวกเลขฐาน 8 ไดผลลพธไมนอยกวา 8 ใหน า 8 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทด 1

4) บวกเลขฐาน 16 ไดผลลพธไมนอยกวา 16 ใหน า 16 ไปลบ ผลลบเปนค าตอบและทด 1

การลบเลขฐานตาง ๆ มหลกการดงน

1) การลบเลขฐาน 10 ถายมมา 1 ได 10





43

การคอมพลเมนทของเลขฐาน 2

1’s Complement เปนวธการกลบสถานะของตวเลขฐานสองใหเปนตรงกนขาม 2’s Complement เปนวธการทตอเนองจาก 1’s Complement โดยน าคาทไดจาก 1’s

Complement มาบวกดวยหนง

การลบเลขฐาน 2 โดยใชวธ 1’s complement 1) ท าจ านวนหลกของตวตงและตวลบใหเทากน โดยการเตม 0 ขางหนา

2) หาคา 1’s Complement ของตวลบ 3) น าคา 1’s Complement ของตวลบไปบวกเขากบตวตง

4) ถาผลบวกมตวทดสดทาย ใหน าไปบวกเขากบหลกทอยทางขวามอสด ผลทไดคอ ผลลพธทไดมคาเปนบวก

5) แตถาผลบวกไมมตวทดสดทาย ใหท า 1’s Complement ผลบวก ผลทไดคอ ผลลพธเลขฐานสองทไดจะมคาเปนลบ

การลบเลขฐาน 2 โดยใชวธ 2’s complement 1) ท าจ านวนหลกของตวตงและตวลบใหเทากน โดยการเตม 0 ขางหนา

2) หาคา 2’s Complement ของตวลบ

3) น าคา 2’s Complement ของตวลบไปบวกเขากบตวตง

4) ถาผลบวกมตวทดเกนมา ใหตดทง ผลทไดคอผลลบของเลขฐานสอง และมคาเปนบวก

5) ถาผลบวกไมมตวทดเกนมา ใหท า 2’s Complement ผลลพธอกครง ผลทไดคอผลลบของเลขฐานสอง และมคาเปนลบ


44


1. จงแปลงเลขในแตละขอตอไปนใหเปนเลขฐาน 2

1.1 12.45

1.2 0.548

1.3 35.2969

1.4 159

1.5 475

1.6 527

1.7 568

1.8 7048

1.9 8916

1.10 1A16

2. จงแปลงเลขฐาน 2 ตอไปนเปนเลขฐาน 10 (กรณทศนยม ท าไมเกน 6 หลก) 2.1 100101012

2.2 101010102

2.3 11101112

2.4 10110112

2.5 1100011001102

2.6 101.1102

2.7 110.0112

2.8 1101.1011

3. จงแปลงเลขฐาน 2 ตอไปนเปนเลขฐาน 8 และฐาน 16 3.1 100010012

3.2 11001012

3.3 10000012

3.4 11111102

3.5 1011011012

3.6 1100110012


4.1. 11011102 + 1010112

4.2. 1111112 + 1010102

4.3. 10101012 - 1010102

4.4. 4758 + 2208 - 1778

4.5. 7728 + 5458

4.6. 117A16 + 8C716

4.7. 387B16 - 1A416

4.8. 45D16 + A216 - 2E716

5. จงท าใหอยในรป 1’s Complement 5.1 101011102

5.2 110000012

5.3 110110112

5.4 11011102

5.5 111001112

5.6 111000112

6. จงท าใหอยในรป 2’s Complement 6.1 101111102

6.2 110010012

6.3 110111112

6.4 11011112

6.5 110001112

6.6 110000112

บทท 2 ระบบเลขฐาน | | 45

7. จงหาผลลบโดยใช 1’s Complement 7.1 100112 - 11102

7.2 10102 - 11102

7.3 110012 - 10112

7.4 110102 - 110112

7.5 111012 - 11110102

7.6 111002 - 1000012

8. จงหาผลลบโดยใช 2’s Complement 8.1 110112 - 10102

8.2 11102 - 11002

8.3 110112 - 11112

8.4 110112 - 111012

8.5 110012 - 1110102

8.6 111102 - 1010012

9. ท ารายงานเรองผลกระทบจากการใชคอมพวเตอรตอบคคล องคกร และสงคม


46


ณฐพล คมใหญโต. ระบบเลขฐาน [Online]. Available: http://ict.up.ac.th/nattapon [ 20

กมภาพนธ 2555].

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1. กรงเทพฯ: สกสค. ลาดพราว.

Complete List of ASCii codes [Online]. Available: http://www.theasciicode.com.ar [ 22


การ complement ของเลขฐาน 2 [Online]. Available: https://sites.google.com/site/

sgsdfsdfklld [ 2 สงหาคม 2555].

ระบบเลขฐานในวงจรดจตอล [Online]. Available: http://www.cstc.ac.th [ 20 กมภาพนธ 2555].

แผนบรหารการสอนประจาบทท 3

รายวชา คณตศาสตรสาหรบเทคโนโลยสารสนเทศ



3.1 ความหมายของเมทรกซ

3.2 ชนดของเมทรกซ

3.3 การดาเนนการของเมทรกซ

3.4 ดเทอรมแนนต

3.5 เมทรกซผกผนการคณ

3.6 การประยกตใชในคอมพวเตอรกราฟกส


1. เพอใหนกศกษาสามารถแจกแจงสมาชกของเมทรกซทกาหนดใหไดอยางถกตอง

2. เพอใหนกศกษาสามารถอธบายชนดของเมทรกซไดอยางถกตอง

3. เพอใหนกศกษาสามารถตรวจสอบการเทากนของเมทรกซไดอยางถกตอง

4. เพอใหนกศกษาสามารถหาเมทรกซสลบเปลยนไดอยางถกตอง

5. เพอใหนกศกษาสามารถหาผลบวกของเมทรกซไดอยางถกตอง

6. เพอใหนกศกษาสามารถหาผลคณเมทรกซกบคาคงตวไดอยางถกตอง

7. เพอใหนกศกษาสามารถหาผลคณเมทรกซกบเมทรกซไดอยางถกตอง

8. เพอใหนกศกษาสามารถบอกสมบตของเมทรกซไดอยางถกตอง

9. เพอใหนกศกษาสามารถหาคาเมทรกซยกกาลงไดอยางถกตอง

10. เพอใหนกศกษาสามารถหาดเทอรมแนนตของเมทรกซไดอยางถกตอง

11. เพอใหนกศกษาสามารถหาเมทรกซผกผนการคณไดอยางถกตอง

12. เพอใหนกศกษาสามารถใชโปรแกรม Matlab ในการดาเนนการบนเมทรกซ

48 | | คณตศาสตรสาหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอนประจาบท




4. ทาแบบฝกหดเพอทบทวนบทเรยน


6. ผสอนทาการซกถาม

7. ใหผ เรยนฝกปฏบตการใชโปรแกรม Matlab

8. มอบหมายงานใหผ เรยนแกโจทยปญหาดวยโปรแกรม Matlab


1. เอกสารประกอบการสอนวชาคณตศาสตรสาหรบเทคโนโลยสารสนเทศ


3. เครองคอมพวเตอร

4. โปรแกรม Matlab




3. ประเมนจากการทาแบบฝกหด

4. ประเมนจากการฝกปฏบต 4. ประเมนจากผลการนาเสนอหนาชนเรยน


บทท 3 เมทรกซ | | 49

บทท 3

เมทรกซ

จากทผานมาพบวามการศกษาเกยวกบเมทรกซมานาน กลาวคอพบงานเขยนเกยวกบเมทรกซในประเทศจนเมอ 650 ปกอนครสศตวรรษ ปจจบนเมทรกซถกนามาประยกตใชแกสมการเชงเสน ใชในการพฒนาโปรแกรมเพอแกปญหาตาง ๆ ดวยโปรแกรม MATLAB ใชในการเขารหสและถอดรหสขอมล และใชในคอมพวเตอรกราฟกสเพอสรางภาพและแปลงภาพ เปนตน

3.1 ความหมายของเมทรกซ

เมตรกซ หมายถง การนาจานวนจรงมาเขยนเรยงกนใหอยในรปสเหลยมมมฉากเปนสองมต โดยอยแนวนอนทเรยกวาแถว และในแนวตงทเรยกวาหลก

ถา A เปนเมทรกซ เราจะเขยนแทน A ดวย [aij] เมอ aij เปนจานวนจรงใด ๆ ในแถวท i และหลกท j ของ A นอกจากน A เปนเมทรกซขนาด m x n กตอเมอ A เปนเมทรกซทม m แถวและ n

หลก

a11 a12 a13 …a1n

a21 a22 a23 …a2n

Amxn = . . . .

. . . .

am1 am2 am3 …amn

หรอ A = [ aij ] mxn

ตวอยางท 3.1 พจารณาเมทรกซ A

ถา A =

แถวท1

แถวท2

:

:

แถวทm

หลกท1 หลกท2 หลกท3 หลกทn

2 -2 0

1 6 7

3 6 -1


จะได A เปนเมทรกซขนาด 3 x 3

โดยท a11 = 2, a12 = -2, a13 = 0, a21 = 1, a22 = 6, a23 = 7, a31 = 3,

a32 = 6, a33 = -1

3.2 ชนดของเมทรกซ

B = C = D =

จากเมทรกซทงสามจะไดวา B เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 x 3 C เปนเมทรกซเอกลกษณของการคณ และ D เปนเมทรกซศนย

A = B =

จากเมทรกซขางบนจะไดวา A เปนเมทรกซทแยงมม B เปนเมทรกซสเกลาร

ชนดของเมทรกซ

1) เมทรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนหลก เรยกวา เมทรกซจตรส 2) เมทรกซเอกลกษณ เปนเมทรกซจตรสทสมาชกในตาแหนงแถวเทากบตาแหนงหลกจะม

สมาชกมคาเปน 1 และในทางกลบกนสมาชกในตาแหนงแถวไมเทากบตาแหนงหลก จะมสมาชกมคาเปน 0

3) เมทรกซศนย เปนเมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย

4) เมทรกซทแยงมมเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกทอยเหนอและใตทแยงมมเปนศนย

5) เมทรกซสเกลาร เปนเมทรกซจตรสทมสมาชกทอยในแนวทแยงมมเทากน และสมาชกทอยเหนอและใตทแยงมมเปนศนย

1 3 7

-2 0 4

5 5 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0

2 0 0

0 6 0

0 0 -1

6 0

0 6


3.3 การดาเนนการของเมทรกซ

3.3.1 การเทากนของเมทรกซ

ตวอยางท 3.2 กาหนดให

A = B =

A = B กตอเมอ x = 1 และ y = 6

3.3.2 เมทรกซสลบเปลยน

ตวอยางท 3.3 จงหา At และ Bt เมอ

A = B =

วธทา A =

At =

B =

Bt

=

เมทรกซ A เทากบเมทรกซ B กตอเมอ เมทรกซทงสองมขนาดเทากนและจานวนในตาแหนงทตรงกนเทากน

x 2

4 y

1 2

4 6

ให A = [aij]mxn และ B = [bji]nxm B จะเปนเมทรกซสลบเปลยน(Transpose of matrix)

ของ A เมอ aij = bji สาหรบทก i ∈ {1, 2, 3,…, m} และ j ∈ {1, 2, 3,…, n} และสามารถเขยนแทนได B = A

t

1 2

4 6

1 3 7

-2 0 4

5 5 9 1 2

4 6

1 4

2 6

1 3 7

-2 0 4

5 5 9

1 -2 5

3 0 5

7 4 9


3.3.3 การบวกเมทรกซ

ตวอยางท 3.4 จงหาคา A + B

A = B =

วธทา A + B =

=

3.3.4 การคณเมทรกซกบคาคงตว

ตวอยางท 3.5 จงหา 5A เมอ A =

วธทา 5A =

=

ให A = [aij]mxn และ B = [bij]mxn ผลบวกเมทรกซ A และเมทรกซ B คอ เมทรกซ [cij]mxn

เมอ cij = aij + bij สาหรบทก i ∈ {1, 2, 3,…, m} และ j ∈ {1, 2, 3,…, n} เขยนแทน A

บวกกบ B ดวย A + B

ให A = [aij]mxn และ c เปนคาคงตว ผลคณของ c กบเมทรกซ A คอ เมทรกซ [bij]mxn

เมอ bij = caij สาหรบทก i∈{ 1, 2, 3, …, m} และ j∈{ 1, 2, 3, …, n} และเขยนแทน

ผลคณของ c กบเมทรกซ A ดวย cA

1 7

2 5

5 10

3 4

3 6

0 1

4 11

5 11

5 11

1 2 6

-1 0 3

5x1 5x2 5x6

5x(-1) 5x0 5x3

5 10 30

-5 0 15

1+3 7+4

2+3 5+6

5+0 10+1


3.3.5 การคณเมทรกซกบเมทรกซ

ตวอยางท 3.6 จงหาผลลพธ x

วธทา x =

=

ถา A = [aij]mxn และ B = [bij]nxr แลว

AB = [cij]mxr เมอ cij = ai1b1j + ai2b2i + … +ainbnj

สาหรบทก i ∈ {1, 2, 3, …,m) และ j ∈ {1, 2, 3, …,r)

นนคอ

=

เมอ ba cj

n

c

ic∑=1

= ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj

จะกลาวไดวา เมอกาหนดเมทรกซ A, B จะสามารถหา AB ได เมอ A มจานวนหลกเทากบจานวนแถวของ B เทานน

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

: : :

am1 am2 … amn

b11 b12 … b1r

b21 b22 … b2r

: : :

bn1 bn2 … bnr

1 2 7

3 2 8

1 2

4 5

0 1

1 2 7

3 2 8

1 2

4 5

0 1

1x1+2x4+7x0 1x2+2x5+7x1

3x1+2x4+8x0 3x2+2x5+8x1

9 19

11 24

1c

n

1c

c1 ba∑=

2c

n

1c

c1 ba∑=

… cr

n

1c

c1 ba∑=

1c

n

1c

c2 ba∑=

2c

n

1c

c2 ba∑=

… cr

n

1c

c2 ba∑=

: : :

1c

n

1c

mcba∑=

2c

n

1c

mcba∑=

… cr

n

1c

mcba∑=


ตวอยางท 3.7 จงหาผลลพธ x

วธทา x =

=

ตวอยางท 3.8 จงหา AI และ IA เมอ A = และ I คอ เมทรกซเอกลกษณ

วธทา AI =

=

=

IA =

=

=

1 2 7

3 2 8

1 2

4 5

0 1

1 2 7

3 2 8

1 2

4 5

0 1

1x1+2x3 1x2+2x2 1x7+2x8

4x1+5x3 4x2+5x2 4x7+5x8

0x1+1x3 0x2+1x2 0x7+1x8

7 6 23

19 18 68

3 2 8

0 1 2

3 4 5

6 7 8

0 1 2

3 4 5

6 7 8

0 1 2

3 4 5

6 7 8

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0x1+1x0+2x0 0x0+1x1+2x0 0x0+1x0+2x1

3x1+4x0+5x0 3x0+4x1+5x0 3x0+4x0+5x1

6x1+7x0+8x0 6x0+7x1+8x0 6x0+7x0+8x1

0 1 2

3 4 5

6 7 8

1x0+0x3+0x6 1x1+0x4+0x7 1x2+0x5+0x8

0x0+1x3+0x6 0x1+1x4+0x7 0x2+1x5+0x8

0x0+0x3+1x6 0x1+0x4+1x7 0x2+0x5+1x8

0 1 2

3 4 5

6 7 8

0 1 2

3 4 5

6 7 8

1 0 0

0 1 0

0 0 1


3.3.6 สมบตของเมทรกซ

สาหรบเมทรกซ A, B, C และเมทรกซศนย (0) ทมขนาด m x n จะมสมบตดงน

1) A + B มมต m x n

2) A + B = B + A

3) A + (B + C) = (A + B) + C

4) A + 0 = 0 + A = A

5) A + (-A) = (-A) + A = 0

6) c(A + B) = cA + cB เมอ c เปนคาคงท

7) (c + k)A = cA + kA เมอ c, k เปนคาคงท

8) (ck)A = c(kA) เมอ c, k เปนคาคงท

9) A(BC) = (AB)C

10) IA = A

11) 0A = 0

3.3.7 การยกกาลง

ฉะนน จะไดวา

A2 = AA

2-1 = AA

A3 = AA

3-1 = AA

2 A(AA)

ตวอยางท 3.9 กาหนดให A = จงหา A2 และ A4

วธทา A2 =

ถา A เปน n x n เมทรกซแลว จะให

A1 หมายถง A

Ak หมายถง AA

k-1 เมอ k เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

5 9

1 4

5 9

1 4

5 9

1 4


ถา A เปนเมทรกซขนาด n x n ดเทอรมแนนตของ A เขยนแทนดวย det(A) หรอ |A|

และ 1) ถา A = [a11] แลว det(A) = |a11| = a11

2) ถา A = แลว det(A) = = ad - bc

3) ถา A =

แลว det(A) = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21

-a13a22a31 – a11a32a23 - a12a21a33

หรอ

a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21

a b

c d

= =

A4 = AAAA = A

2A

2

=

=

=

3.4 ดเทอรมแนนต

-a13a22a31 – a11a32a23 -a12a21a33

a b

c d

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

5x5+9x1 5x9+9x4

1x5+4x1 1x9+4x4

34 81

9 25

34 81

9 25

34 81

9 25

34x34+81x9 34x81+81x25

9x34+25x9 9x81+25x25

1885 4779

531 1354


ตวอยางท 3.10 จงหาคา และ

วธทา = 1x(-7) – 5x3 = -22

70 18 560

=

30 49 480

= 30 + 49 + 480 + 70 +18 + 560 = 1207

3.5 เมทรกซผกผน

ตวอยางท 3.11 จงแสดงวา B เปนเมทรกซผกผนการคณของ A

A = B =

วธทา AB =

= =

BA =

ให A เปนเมทรกซขนาด n x n ถา B เปนเมทรกซขนาด n x n ทมสมบตวา

AB = BA = In

แลวจะเรยก B วาเปนเมทรกซผกผนการคณของ A และเขยน B ดวย A-1

1 4

0 2

1 -2

0 0.5

1 4

0 2

1x1+4x0 1x(-2)+4x0.5

0x1+2x0 0x(-2)+2x0.5

1 0

0 1

1 4

0 2

1 -2

0 0.5

1 -2

0 0.5

3 -7 10

8 1 -1

-7 6 10

3 -7 10

8 1 -1

-7 6 10

3 -7 10 3 -7

8 1 -1 8 1

-7 6 10 -7 6

1 5

3 -7

1 5

3 -7


= =

ดงนน B เปนเมทรกซผกผนการคณของ A

ตวอยางท 3.12 จงหา A-1 เมอ A =

วธทา A-1 =

1828

1

− =


การแปลงภาพ (trasformations) เปนการประยกตใชเมทรกซในคอมพวเตอรกราฟกสประกอบไปดวย การยายภาพ การหมนภาพ และการขยายภาพ ในหวขอนจะกลาวถงการประยกตใช

เมทรกซในการยายภาพ และหมนภาพสองมต

3.6.1 การยายภาพ (Translations) คอ การยายแตละจดในภาพ จากทหนงไปยงอกทหนง

ภาพท 3.1 การยายจด (x, y) ขนไป 10 หนวย และไปทางซาย 10 หนวย

1x1+(-2)x0 1x4+(-2)x2

0x1+0.5x0 0x4+0.5x2

1 0

0 1

ให A = และ ad – bc ≠ 0 จะได A-1 =

bcad −1

a b

c d

d -b

-c a

4 9

2 7

7 -9

-2 4

0.7 -0.9

-0.2 0.4

5 หนวย

10 หนวย

(x , y)

(x - 5 , y + 10)

x

y

0


จากภาพท 3.1 เปนการยายจด (x, y) ไปทางแกน y ขนไป 10 หนวย และทางแกน x

เลอนไปซาย 5 หนวย ดงนน (x, y) ใหม จะมคาเปน (x - 5, y + 10)

ดงนนการแปลงภาพสามารถเขยนใหอยในรปสมการ ไดดงน

x' = x + H

y' = y + V

หรอเขยนในรปเมทรกซไดดงน

[ x’ y’ 1] = [ x y 1]

สมการดงกลาวเปนการยายจาก (x, y) ไป (x', y') โดยทเลอนไปทางขวา H หนวย และเลอนขนขางบน V หนวย ในกรณท H เปนบวก จะยายไปทางขวา แตถา H เปนลบ จะยายไปทางซาย และหาก V เปนบวกจะยายขนขางบน V เปนลบจะยายลงมาขางลาง

จากสมการเปนการยายเพยงจดเดยว ในกรณทเปนรปภาพ เชน ภาพเครองบนใน ภาพท 3.2 หากตองการยายรปภาพ ดงนนจะตองนาทก ๆ จด ของรปนนมาเขาสมการ เพราะฉะนนจากภาพ(ก) จะเปลยนเปนภาพ (ข)

ภาพท 3.2 การยายภาพจรวด

1 0 0

0 1 0

H V 1

(ก)

กอน

(ข)

หลง

y y

0 x x 0


3.6.2 การหมน(Rotations)

ในการหมนตองมจดหมน (pivot point) กลาวคอ เมอมการหมนรปภาพ หรอหมนวตถ

ใด ๆ ระยะทางระหวางจดในภาพทหางกบจดหมนจะคงท แตทศทางจะเปลยนแปลงไปเชนเดยวกบวงกลมโดยจดหมนคอจดศนยกลาง

ภาพท 3.3 การเขยนเสนรอบวง

การหมนประยกตมาจากการเขยนเสนรอบวงวงกลม เชน ภาพท 3.3

ภาพท 3.4 การหมนรปสเหลยม

ภาพท 3.4 รปสเหลยมถกหมนไปดวยมมθ วธการหมน คอนาจดยอดของรปสเหลยมทง 4 จดไปหมน จะไดเปนรปสเหลยมรปใหม ซงหมนไปจากรปสเหลยมเดม ดวยมมθ การหมนในทศทางทวนเขมนาฬกาจะมคาของมมเปนบวก หมนตามเขมนาฬกาคาของมมจะเปนลบ การทจะใหจดหางจากจดหมนคงท แตทศทางเปลยนแปลงไปทาไดจากสมการ

x = r cos(θ) …………..(1)

y = r sin(θ) …………..(2) และรปหมนเปนมมθ เพราะฉะนน

x' = r cos(θ+θ)

y' = r sin(θ+θ)

กระจายสตร x ' = rcosθcosθ - rsinθ sinθ …………..(3) y ' = rsinθcosθ + rcosθ sinθ …………..(4)

ทศทาง 0

r

r

Pivot Point (ก) กอน

y

x Pivot Point (ข) หลง

y

x

θ


นนคอ เราสามารถหาจดใหม ไดจากจดเดม เปนไปตามสมการ (5) และ (6)

x ' = x cosθ - ysinθ …………..(5)

y' = ycosθ + xsinθ …………..(6)

เขยนเปนสมการเมทรกซไดดงน

[ x’ y’ 1] = [ x y 1]

ตวอยางท 3.13 จงคานวณหาตาแหนงของจดทเกดจากการหมนภาพทมจดยอดท (100, 100),

(80, 100) และ (100, 80) รอบจด(0,0) ทวนเขมนาฬกาเปนมม30° แลวยายภาพไปทางซาย 20

หนวย ขนขางบนอก 100 หนวย

วธทา (1) หมนจดรอบจด (0, 0) ทวนเขมนาฬกาเปนมม 30°

จด (100, 100), [x1’ y1’ 1] = [x y 1]

= [100 100 1]

= [100 100 1]

จด (80, 100), [x2’ y2’ 1] = [80 100 1]

cosθ sinθ 0

-sinθ cosθ 0

0 0 1

cosθ sinθ 0

-sinθ cosθ 0

0 0 1

cos(30) sin(30) 0

-sin(30) cos(30) 0

0 0 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1


จด (100, 80), [x3’ y3’ 1] = [100 80 1]

(2) ยายภาพไปทางซาย 20 หนวย ขนขางบนอก 100 หนวย

[ x’ y’ 1] = [ x y 1]

[ x” y” 1] = [ x’ y’ 1]

จด (100, 100), [ x1” y1” 1] = [100 100 1]

ให p =

p =

p =

[ x1” y1” 1] = [100 100 1]

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

H V 1

1 0 0

0 1 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-20 100 1

.9x1+.5x0+0x(-20) .9x0+.5x1+0x(100) .9x0+.5x0+0x1

-.5x1+.9x0+0x(-20) -.5x0+.9x1+0x(100) -.5x0+.9x0+0x1

0x1+0x0+1x(-20) 0x0+0x1+1x(100) 0x0+0x0+1x1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

-20 100 1


= [100 100 1]

= [90-50-20 50+90+100 1] = [20 240 1]

จด (80, 100), [ x2” y2” 1] = [80 100 1]

= [80 100 1]

= [72-50-20 40+90+100 1] = [2 230 1]

จด (100, 80), [x3.” y3” 1] = [100 80 1]

= [100 80 1]

= [90-40-20 50+72+100 1] = [30 222 1]

ดงนนจดยอดของภาพใหมทไดคอ (20, 240), (2, 230) และ (30, 222)

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-20 100 1

0.9 0.5 0

-0.5 0.9 0

-20 100 1


บทสรป

การเทากนของเมทรกซ เมทรกซ A เทากบเมทรกซ B กตอเมอ เมทรกซทงสองมขนาดเทากนและจานวนในตาแหนงทตรงกนเทากน

เมทรกซสลบเปลยน ให A = [aij]mxn และ B = [bji]nxm B จะเปนเมทรกซสลบเปลยน(Transpose of matrix) ของ A เมอ aij = bji สาหรบทก i ∈ {1, 2, 3,…, m} และ j ∈ {1, 2,

3,…, n} และสามารถเขยนแทนได B = At

การบวกเมทรกซ ให A = [aij]mxn และ B = [bij]mxn ผลบวกเมทรกซ A และเมทรกซ B คอ เมทรกซ [cij]mxn เมอ cij = aij + bij สาหรบทก i ∈ {1, 2, 3,…, m} และ j ∈ {1, 2, 3,…, n}

การคณเมทรกซดวยคาคงตว ให A = [aij]mxn และ c เปนคาคงตว ผลคณของ c กบเมทรกซ A

คอ เมทรกซ [bij]mxn เมอ bij = caij สาหรบทก i∈{ 1, 2, 3, …, m} และ j∈{ 1, 2, 3, …, n}

การคณเมทรกซดวยเมทรกซ ถา A = [aij]mxn และ B = [bij]nxr แลว

AB = [cij]mxr เมอ cij = ai1b1j + ai2b2j + … +ainbnj

สาหรบทก i ∈ {1, 2, 3, …,m) และ j ∈ {1, 2, 3, …,r) นนคอ

=

เมอ ba cj

n

c

ic∑=1

= ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj

จะกลาวไดวา เมอกาหนดเมทรกซ A, B จะสามารถหา AB ได เมอ A มจานวนหลกเทากบจานวนแถวของ B เทานน

เมทรกซผกผนการคณขนาด 2x2 ให A = และ ad – bc ≠ 0

จะได A-1 =

bcad

1

−

เมทรกซผกผนการคณ ให A เปนเมทรกซขนาด n x n ถา B เปนเมทรกซขนาด n x n

ทมสมบตวา

AB = BA = In

แลวจะเรยก B วาเปนเมทรกซผกผนการคณของ A และเขยน B ดวย A-1

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

: : :

am1 am2 … amn

b11 b12 … b1r

b21 b22 … b2r

: : :

bn1 bn2 … bnr

a b

c d d -b

-c a

1c

n

1c

c1 ba∑=

2c

n

1c

c1 ba∑=

… cr

n

1c

c1 ba∑=

1c

n

1c

c2 ba∑=

2c

n

1c

c2 ba∑=

… cr

n

1c

c2 ba∑=

: : :

1c

n

1c

mcba∑=

2c

n

1c

mcba∑=

… cr

n

1c

mcba∑=


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

ดเทอรมแนนต

det(A) = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21

-a13a22a31 – a11a32a23 - a12a21a33

-a13a22a31 – a11a32a23 -a12a21a33

หรอ

a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21

เมทรกซการยายจด

[ x’ y’ 1] = [ x y 1]

สมการดงกลาวเปนการยายจากพกด (x, y) ไป (x', y') โดยทเลอนไปทางขวา H หนวย และเลอนขนขางบน V หนวย ในกรณท H เปนบวก จะ ยาย ไปทางขวา แตถา H เปนลบ จะยายไปทางซาย และหาก V เปนบวกจะยายขนขางบน V เปนลบจะยายลงมาขางลาง

เมทรกซการหมน

[ x’ y’ 1] = [ x y 1]

สมการนเปนการคานวณหาพกดใหม (x', y') ทเกดจากการหมนจดทมพกดเปน (x, y) ไปรอบพกด (0, 0) ดวยมม θ การหมนในทศทางทวนเขมนาฬกาจะมคาของมมเปนบวก หมนตามเขมนาฬกาคาของมมจะเปนลบ

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

1 0 0

0 1 0

H V 1

cosθ sinθ 0

-sinθ cosθ 0

0 0 1



1. จงหาผลบวกและผลลบของเมทรกซแตละคตอไปน

1.1 และ

1.2 และ

1.3 และ

2. จงหา 2A - 3B โดย A = และ B =

3. จงหา AB และ BA ของเมทรกซตอไปน

3.1 A = [2 1] และ B =

3.2 A = และ B =

3.3 A = และ B =

3.4 A = และ B =

1 -2 3

4 5 -6

3 0 2

-7 1 8

1 2 -3

0 -4 1

3 5

1 -2

-5 7 2

0 -3 5

9 9 6

-3 -3 5

7 -2 -5

-9 9 3

1 -2 3

4 5 -6

3 0 2

-7 1 8

1 -2 0

4 5 -3

1 -7 5

3 4 8

2 -1

1 0

-3 6

5 -7 5

4 -2 9

2 -1 0 6

1 3 -7 1

4 9 -2 2

1 6

-3 5

2

-7

บทท 3 เมทรกซ | |

67

4. กาหนดให A = และ B = จงหา

4.1 (AB)t

4.2 AtB

t

4.3 BtA

t

4.4 (A+B)t

4.5 At+B

t

4.6 At

5. จงหาดเทอรมแนนทของเมทรกซตอไปน

5.1

5.2

5.3

5.4

6. จงแสดงวาเมทรกซ B เปนเมทรกซผกผนการคณของ A

6.1 A = B =

6.2 A = B =

7. จงหาเมทรกซผกผนการคณของเมทรกซตอไปน

7.1 7.2

8. จงคานวณหาตาแหนงของจดทเกดจากยายภาพทมจดยอดท (100, 100), (80, 100) และ

(100, 80) ไปทางซาย 20 หนวย ขนขางบนอก 100 หนวย และหมนภาพรอบจด(0,0) ตาม

เขมนาฬกาเปนมม30°

5 0

-6 7

1 2

3 -4

5 4

2 3

2 1

-4 6

2 1 1

0 5 -2

1 -3 4

4 5

0 -7

3 -2 -4

2 5 -1

0 6 1

10 15

4 7

0.7 -1.5

-0.4 1

1 0 2

2 -1 3

4 1 8

-11 2 2

-4 0 1

6 -1 -1

1 1

7 8

| | คณตศาสตรสาหรบเทคโนโลยสารสนเทศ

68


โครงการตาราวทยาศาสตรและคณตศาสตรมลนธ สอวน. (2547). คณตศาสตรพนฐานสาหรบคอมพวเตอร, ดานสทธาการพมพ.

นทกานต สเมธสทธกล. [Online]. Available: http://staff.cs.psu.ac.th/natikan [31 มกราคม 2555].

ลออ เพมสมบต. (2542). โจทย 2000 ขอ คณตศาสตรดสครต, กรงเทพมหานคร: แมคกรอ-ฮล.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2555). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6, กรงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพราว.





4.1 ประพจน

4.2 4.3 4.4 ฎขอ การแทนท



4.7 การประยกตใชในวงจรอเลกทรอนกส


1. เพอใหผ เรยนสามารถบอกไดวาประโยคใดเปนประพจนไดอยางถกตอง

2. เพอใหผ เรยนสามารถสรางตารางหาคาความจรงของประพจนไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถตรวจสอบวาประพจนใดเปนสจนรนดรไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถตรวจสอบไดวาประพจนคใดสมมลกนไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถตรวจสอบไดวาการอางเหตผลสมเหตสมผลหรอไมไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถบอกไดวาประโยคใดเปนประโยคเปดไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถเขยนสญลกษณแทนขอความทมตวบงปรมาณไดอยางถกตอง

8. เพอใหผ เรยนสามารถหาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณไดอยางถกตอง





70 | | คณตศาสตรส าหรบเทคโนโลยสารสนเทศ












บทท 4 ตรรกศาสตร | | 71

บทท 4

ตรรกศาสตร

ตรรกศาสตรเปนศาสตรทใชพสจนทฤษฎตาง ๆ รวมทงทฤษฎดานวทยาการคอมพวเตอรดวย เชน การพสจนทฤษฎทใชหาระยะทางทสนทสดจากจดหนงไปยงอกจดในกราฟของไดซตรา การพสจนการแกปญหาหอคอยฮานอย ตรรกศาสตรยงถกใชในการเขยนโปรแกรมอนไดแก การตรวจสอบเงอนไขในการท างาน การเขยนโปรแกรมอยางไรจงจะถกตองตามความตองการ และทส าคญตรรกศาสตรยงถกใชวเคราะหและออกแบบวงจรขนาดใหญใหมขนาดเลกลงกอนทวงจรจะถกประดษฐ

4.1 ประพจน

4.1 (1) 5 + 8 = 13 (2) ขอ ข (3) ขอ ข (4) ฝ (5) ข

4.1.1 ประพจน ออ อ

1) อ อ อ อ

ข

ประพจน คอ ประโยคหรอขอความทเปนจรงหรอเทจ อยางใดอยางหนงเทานน


2) อ อ อ 2

ข อ อ อ อ อ เชน

มะปรางใสเสอสฟาและไพเราะใสเสอสเขยว

ถาวนยสอบได 70 คะแนน แลวเขาจะมผลการเรยนเปน B

4.1.2

ตารางท 4.1 สญลกษณทใชเชอมประพจน

~

อ

อ อ

4.2 อ q ฝ อ อ อ อ อ

~p อ

pq อ ฝ

p q อ อฝ

pq อ ฝ

pq อ อ อฝ

~pq อ ฝ

~p~q อ อฝ

4.1.3 ๆ อ อ 2 อ ประพจน อ อ

1) (not)

ประพจนทเปนนเสธจะมคาความจรงตรงขามจากประพจนเดม


ตารางท 4.2 คาความจรงของประพจนทเชอมดวยนเสธ

p ~p p ~p

T F 5 + 2 = 7 5 + 2 ≠ 7

F T 10 x 3 = 13 10 x 3 ≠ 13

2) and)

ตารางท 4.3 คาความจรงของประพจนทเชอมดวย “และ” p q p q

T T T

T F F

F T F

F F F

ตวอยางท 4.3 จงหาคาความจรงของประโยคตอไปน

(1) 5 { 1,2,3,4,5 } และ 5 เปนจ านวนค

(2) 120 + 34 = 154 และ (-45) x (-10) = -450

วธท า (1)

p q p q

5 { 1,2,3,4,5 } 5 เปนจ านวนค 5 { 1,2,3,4,5 } และ 5 เปนจ านวนค

T T T

สรปวา “5 { 1,2,3,4,5 } และ 5 เปนจ านวนค” เปนจรง

ถาประพจน p และ q เปนจรงทงค ประพจน pq จะเปนจรง

ถาประพจน p และ q มคาความจรงเปนอยางอน ประพจน pq จะเปนเทจ


(2)

p q p q

120 + 34 = 154 (-45) x (-10) = -45 120 + 34 = 154 และ (-45) x (-10) = -450

T F F

สรปวา “120 + 34 = 154 และ (-45) x (-10) = -450” เปนเทจ

3) อ (or)

ตารางท 4.4 คาความจรงขงประพจนทเชอมดวย “หรอ” p q p q

T T T

T F T

F T T

F F F

ตวอยางท 4.4 จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน

(1) ธงชาตไทยมสเขยว หรอสฟา

(2) 3 + (2 x 5) = (3 + 2) x (3 + 5) หรอ 10 > 7

วธท า (1)

p q p q

ธงชาตไทยมสเขยว ธงชาตไทยมสฟา ธงชาตไทยมสเขยว หรอสฟา

F F F

สรปวา “ธงชาตไทยมสเขยว หรอสฟา” เปนเทจ

ถาประพจน p และ q เปนเทจทงค ประพจน p q จะเปนเทจ

ถาประพจน p และ q มคาความจรงอยางอน ประพจน p q จะเปนจรง


(2)

p q p q

3 + (2 x 5) = (3 + 2) x (3 + 5) 10 > 7 3 + (2 x 5) = (3 + 2) x (3 + 5) หรอ 10 > 7

F T T

สรปวา “3 + (2 x 5) = (3 + 2) x (3 + 5) หรอ 10 > 7” เปนจรง

4) (if..else..)

ตารางท 4.5 คาความจรงของประพจนทเชอมดวย “ถา แลว” p q pq

T T T

T F F

F T T

F F T


(1) ถา x = 5 แลว x + 23 = 28

(2) ถาคนไทยมผมสทองแลวประเทศไทยเปนประเทศเกษตรกรรม

วธท า (1)

p q pq

x = 5 x + 23 = 28 ถา x = 5 แลว x + 23 = 28

T T T

F F T

สรปวา “ถา x = 5 แลว x + 23 = 28” เปนจรง

pq จะเปนเทจ เมอ p เปนจรง แต q เปนเทจ


(2)

p q pq

คนไทยมผมสทอง ประเทศไทยเปนประเทศ

เกษตรกรรม

ถาคนไทยมผมสทองแลวประเทศไทยเปนประเทศเกษตรกรรม

F T T

สรปวา “ถาคนไทยมผมสทองแลวประเทศไทยเปนประเทศเกษตรกรรม” เปนจรง

5) อ อ (bicondition)

ตารางท 4.6 คาความจรงของประพจนทเชอมดวย “กตอเมอ” p q pq

T T T

T F F

F T F

F F T


(1) ปลาขบรถไดกตอเมอนกพายเรอเปน

(2) สมชายเปนผหญงกตอเมอสมชายมค าน าหนาวานาย

วธท า (1)

p q pq

ปลาขบรถได นกพายเรอเปน ปลาขบรถไดกตอเมอนกพายเรอเปน

F F T

สรปวา “ปลาขบรถไดกตอเมอนกพายเรอเปน” เปนจรง

pq จะเปนจรง เมอ p และ q มคาความจรงเหมอนกน


(2)

p q pq

ชายเปนผหญง ชายมค าน าหนาวานาย ชายเปนผหญงกตอเมอชายมค าน าหนาวานาย

F T F

สรปวา “ชายเปนผหญงกตอเมอชายมค าน าหนาวานาย” เปนเทจ

ตวอยางท 4.7 จงสรางตารางคาความจรงของประพจนตอไปน

วธท า (1) ~(p q)

p q p q ~(p q)

T T T F

T F T F

F T T F

F F F T

(2) p (q r)

p q r q r p (q r)

T T T T T

T T F F F

T F T F F

T F F F F

F T T T T

F T F F T

F F T F T

F F F F T

หมายเหต ถาม N ประพจน จะตองพจารณาคาความจรง 2N กรณ


4.2 (tautology)

ตวอยางท 4.8 จงแสดงวาประพจนตอไปนเปนเปนสจนรนดร

วธท า (1) p~p

p ~p p ~p

T F T

F T T

ดงนน p~p เปนสจนรนดร

(2) (pq)p

p q p q (p q) p

T T T T

T F F T

F T F T

F F F T

ดงนน (pq)p เปนสจนรนดร

(3) (pq) (~p q)

p q ~p (pq) (~p q) (pq) (~p q)

T T F T T T

T F F F F T

F T T T T T

F F T T T T

ประพจนเปนสจนรนดร เมอประพจนเปนจรงทกกรณ


ดงนน (pq) (~p q) เปนสจนรนดร

4.3

4.9 อ

วธท า (1) ~(p (~p~q)

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q

T T F F T F F

T F F T F T T

F T T F F T T

F F T T F T T

ดงนน ~(p (~p~q) สมมลกน

(2) p ~p q

p q pq ~p ~p q

T T T F T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

ดงนน (pq) (~p q) สมมลกน

ประพจน อ อ อ อ อ


(3) p (q r q) (p r)

p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r)

T T T T T T T T

T T F T T T F T

T F T T T F T T

T F F F F F F F

F T T T F F F F

F T F T F F F F

F F T T F F F F

F F F F F F F F

ดงนน (p (q r)) ((pq) (p r)) สมมลกน

4.4 ฎ การแทนท

ตารางท 4.7 กฎของการแทนท

ประพจนท1 ประพจนท2 ชอกฎ

~(pq) ~p~q ขอ อ อ

~(p q) ~p~q ขอ อ อ

pq qp กฎการสลบท

p q q p กฎการสลบท

p (q r) (pq) (p r) กฎการกระจาย

p (q r) (p q) (p r) กฎการกระจาย

p (q r) (pq) r กฎการจดหม p (q r) (p q) r กฎการจดหม

~(~p) p ขอ อ

pq ~q~p ขอ ข อ Contrapositive law)

pq ~pq Material Implication

ประพจนทสมมลกนสามารถน ามาใชแทนกนได


ตารางท 4.7 กฎของการแทนท (ตอ) ประพจนท 1 ประพจนท 2 ชอกฎ

pq (pq) (qp) Material Equivalence

pq (pq)(~p~q) Dissolution of Equivalence

p (q r) (pq) r Export – Import

p (q r) q (p r) Symmetry of Premise

p p p Idempotent law

pp p Idempotent law

p (pq) pq Absorption

p (p q) p Absorption

p (pq) p Absorption


การอางเหตผลประกอบดวยสองสวนทส าคญคอ เหตหรอสงทก าหนดให P1, P2, P3 Pn และผลหรอขอสรป C

ท 4.10 จากประพจนตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต P1 ถาฉนมเงนหนงลานบาทแลวฉนจะซอรถยนต

P2 ฉนซอรถยนต

ผล C ฉนมเงนหนงลานบาท

วธท า แทน P1: pq

P2: q

C: p

จะไดประพจน ((pq)q) p

หาคาความจรงของประพจนไดดงน

ถา (P1P2

P3 Pn) แลว C เปนสจนรนดร แลวการอางเหตผลนสมเหตสมผล


p q pq (pq) q ((pq) q) p

T T T T T

T F F F T

F T T T F

F F T F T

ประพจน ((pq)q) p ไมเปนสจนรนดร ดงนนสรปไมสมเหตสมผล

ท 4.11 จากประพจนตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต P1 ถากบรองแลวฝนจะตก

P2 ฝนไมตก

ผล C กบไมรอง

วธท า แทน P1: pq

P2: ~q

C: ~p

จะไดประพจน ((pq) ~q) ~p

หาคาความจรงของประพจนไดดงน

p q ~p ~q pq (pq) ~q ((pq) ~q)~p

T T F F T F T

T F F T F F T

F T T F T F T

F F T T T T T

ประพจน ((pq)~q)~p เปนสจนรนดร ดงนนสรปสมเหตสมผล



4.6.1 ประโยคเปด

ตวอยางท 4.12 ประโยคตอไปนเปนประโยคเปดหรอไม (1) 5x + 7 = 32

(2) ถา x เปนจ านวนเตมลบ แลว x ไมใชจ านวนจรง

(3) เธอมาเรยนทกวนใชหรอไม วธท า

(1) 5x + 7 = 32

เมอแทน x ดวย 1 จะได 5*1 + 7 = 12 มคาความจรงเปนเทจ

เมอแทน x ดวย 5 จะได 5*5 + 7 = 32 มคาความจรงเปนจรง

ดงนน 5x + 7 = 32 เปนประโยคเปด

(2) ถา x เปนจ านวนเตมลบ แลว เปนจ านวนจรง

เมอแทน x ดวย 5 จะได ถา 5 เปนจ านวนเตมลบ แลว 5 เปนจ านวนจรง มคาความจรงเปนจรง

เมอแทน x ดวย -5

จะได ถา -5 เปนจ านวนเตมลบ แลว 5 เปนจ านวนจรง มคาความจรงเปนเทจ

ดงนนถา x เปนจ านวนเตมลบ แลว เปนจ านวนจรง เปนประโยคเปด

4.6.2 ตวบงปรมาณ

สญลกษณทใช

x แทนส าหรบ x ทกตว

x แทนส าหรบ x บางตว หรอม x ซง U แทนเอกภพสมพทธ

R แทนเซตของจ านวนจรง

ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปร และเมอแทนตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวไดประพจน

x

x

ขอความทมตวบงปรมาณประกอบดวยสวนทเปนตวบงปรมาณและสวนทเปนประโยคเปด


Q แทนเซตของจ านวนตรรกยะ

I แทนเซตของจ านวนเตม

N แทนเซตของจ านวนนบ

ตวอยางท 4.13 จงเขยนขอความตอไปนใหอยในรปสญลกษณ เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง

(1) ส าหรบ x บางตวทเปนจ านวนจรง x + 5 = 12

(2) ส าหรบ x ทกตวทเปนจ านวนนบ 2x +1 > 1

(3) ม x ทเปนจ านวนเตม ซง 2x + 7 = 25

วธท า (1) x [x + 5 = 12], U = R

(2) x [2x +1> 1], U = N

(3) x [2x + 7 = 25], U = I

ตวอยางท 4.14 จงเขยนขอความแทนประโยคสญลกษณตอไปน

(1) ส าหรบจ านวนจรง x ทกตว มจ านวนจรง y ท y มากกวา x

(2) มจ านวนจรง x และ y ซง 2x + 7y = 10

(3) จ านวนนบทกจ านวนเปนจ านวนเตม

วธท า (1) x y [y > x]

(2) xy [2x + 7y = 10]

(3) x [x I], U = N

4.6.3 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ

ตารางท 4.8 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ

ประโยค กรณเปนจรง กรณเปนเทจ

x [P(x)] x ทกตวท าให P(x) เปนจรง ม x อยางนอยหนงตวท าให P(x) เปนเทจ

x [P(x)] ม x อยางนอยหนงตวท าให P(x) เปนจรง x ทกตวท าให P(x) เปนเทจ

การเขยนสญลกษณแทนขอความทมตวบงปรมาณ จะตองเขยนเอกภพสมพทธก ากบเสมอ ยกเวนกรณเอกภพสมพทธเปนจ านวนจรง


ตวอยางท 4.15 จงหาคาความจรงของประโยคตอไปน

(1) x [x + 7 > 20], U = {5, 10, 15, 20}

(2) x [x + 7 > 20], U = {5, 10, 15, 20}

(3) x [20 – x 0], U = {5, 10, 15, 20}

(4) x [x + 7 > 20], U = {1, 2, 3, 4}

(5) x [x > 0] x [x เปนจ านวนค], U = {1, 2, 3, 4}

วธท า (1) x [x + 7 > 20], U = {5, 10, 15, 20}

แทน x ดวย 5 ซงเปนสมาชกของ U จะได

5 + 7 > 20 มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน x [x + 7 > 20] มคาความจรงเปนเทจ

(2) x [x + 7 > 20], U = {5, 10, 15, 20}

แทน x ดวย 15 ซงเปนสมาชกของ U จะได

15 + 7 > 20 มคาความจรงเปนจรง

ดงนน x [x + 7 > 20] มคาความจรงเปนจรง

(3) x [20 – x 0], U = {5, 10, 15, 20}

แทน x ดวยจ านวนทกจ านวนซงเปนสมาชกของ U จะได

20 – 5 0 มคาความจรงเปนจรง




ดงนน x [20 – x 0] มคาความจรงเปนจรง

(4) x [x + 7 > 20], U = {1, 2, 3, 4}

แทน x ดวยจ านวนทกจ านวนซงเปนสมาชกของ U จะได





ดงนน x [x + 7 > 20] เปนเทจ


(5) x [x > 0] x [x เปนจ านวนค], U = {1, 2, 3, 4}

x x > 0 x เปนจ านวนค

1 T F

2 T T

3 T F

4 T T

จะได x [x > 0] เปนจรง และ x [x เปนจ านวนค] มคาความจรงเปนจรง ดงนน ( x [x > 0] x [x เปนจ านวนค]) เปนจรง


(ก)

(ข)

(ค)

ภาพท 4.1 สวตซสถานะตาง ๆ

ภาพท 4.1 แสดงการท างานของสวตซ ซงม 2 แบบ แบบแรกคอ ภาพ (ข) สวตซเปด วงจรขาด ไมมกระแสไฟฟาไหลผาน แบบทสองคอ ภาพ (ค) สวตซปด วงจรเชอมมกระแสไหลผาน สมมตใหสวตซ p ปดแทนดวย 1 และสวตซ p เปดแทนดวย 0 จะไดสถานะสวตซดงตารางท 4.9 (ชะเอม ลายทอง, 2548)

A B

A B

A B


ตารางท 4.9 สถานะสวตซ

ตามหลกฟสกสวงจรสวตซ 2 ตวเชอมกน จะมการตอเชอมสวตซทมรปแบบอย 2 แบบคอ

1) แบบอนกรม สวตซตอเชอมเปนเสนตรงเดยวกน

ภาพท 4.2 การเชอมตอแบบอนกรม

จะสามารถเปดปดสวตซ p และ q สลบกนได 4 แบบดงภาพท 4.3 วงจรจะมกระแสไฟฟาไหลผานจากจด A ไป B ไดนนสวตซ p และ q จะตองปดทงคซงกคอแบบท 1 ใน ภาพ (ก) ส าหรบแบบอน ๆ จะไมมกระแสไฟฟาผานจาก A ไป B ได

p q

(ก) แบบท 1 p ปด q ปด

p q

(ข) แบบท 2 p ปด q เปด

p q

(ค) แบบท 3 p เปด q ปด

p q

(ง) แบบท 4 p เปด q เปด

ภาพท 4.3 การตอแบบอนกรม

p ~p

1 0

0 1

A B

A B

A B

A B

สวตซ สวตซ A B


ก าหนดใหวงจรไฟฟาปดหรอมกระแสไฟฟาผานจาก A ไป B แทนดวย 1 และวงจรไฟฟาเปดหรอไมมกระแสไฟฟาผานจาก A ไป B แทนดวย 0 และใหสวตซ p เปดแทนดวย 1

สวตซ p ปดแทนดวย 0 เชนเดยวกบ q จงท าใหสามารถสรางตารางแสดงการท างานของวงจรไฟฟาทตอแบบอนกรมไดดงน

ตารางท 4.10 สถานะสวตซทตอแบบอนกรม

p q p และq ตอแบบอนกรม

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

2) แบบขนาน สวตซ p และ q จะเชอมวงจรไฟฟาทจดปลายและแบบขนานดงภาพ การท างานของสวตซจะสลบกนได 4 แบบดงภาพท 4.5

ภาพท 4.4 การเชอมตอสวตซแบบขนาน

สวตซ

สวตซ

A B


แบบท 1 p ปด q ปด

แบบท 2 p ปด q เปด

แบบท 3 p เปดq ปด

แบบท 4 p เปด q เปด

ภาพท 4.5 การตอแบบขนาน

ตารางท 4.11 สถานะสวตซทตอแบบขนาน

p q p และ q ตอแบบขนาน

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

B A

p

q

A B p

q

A B p

q

A B p

q


บทสรป

ประพจน คอ ประโยคหรอขอความทเปนจรงหรอเทจ อยางใดอยางหนงเทานน

ประพจนทเปนนเสธ จะมคาความจรงตรงขามจากระพจนเดม

ประพจนเชอมดวย “และ” ถาประพจน p และ q เปนจรงทงค ประพจน pq จะเปนจรง

ถาประพจน p และ q มคาความจรงอยางอน ประพจน pq จะเปนเทจ

ประพจนเชอมดวย “หรอ” ถาประพจน p และ q เปนเทจทงค ประพจน p q จะเปนจรง

ถาประพจน p และ q มคาความจรงอยางอน ประพจน p q จะเปนเทจ

ประพจนทเชอมดวย “ถา… แลว…” pq จะเปนเทจ เมอ p เปนจรง แต q เปนเทจ

pq จะเปนจรง เมอ p และ q มคาความจรงอยางอน

ประพจนทเชอมดวย “…กตอเมอ…” pq จะเปนจรง เมอ p และ q มคาความจรงเหมอนกน

ประพจนทเปนสจนรนดร เมอประพจนมคาความจรงทกกรณ

ประพจน อ อ อ อ กฎของการแทนท ประพจนทสมมลกนสามารถน ามาใชแทนกนได

การอางเหตผล

ถา (P1P2 Pn) แลว C เปนสจนรนดร แลวการอางเหตผลนสมเหตสมผล

ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปร และเมอแทนตวแปรดวยสมาชกใน

เอกภพสมพทธแลวไดประพจน คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ

ประโยค กรณเปนจรง กรณเปนเทจ

x [P(x)] x ทกตวท าให P(x) เปนจรง ม x อยางนอยหนงตวท าให P(x) เปนเทจ

x [P(x)] ม x อยางนอยหนงตวท าให P(x) เปนจรง x ทกตวท าให P(x) เปนเทจ



1. ขอใดเปนประพจน

1.1 นกบน

1.2 ไปไหนมา

1.3 ดอกไมนมสขาว

1.4 เจบจงเลย

1.5 วไลมาเรยนสม าเสมอ

1.6 สชาตไมเคยรองเพลง2. จงสรางตารางคาความจรงของประพจน

2.1 p(qp)

2.2 (pq)~p

2.3 p(pq)

2.4 (pq)r

2.5 ~(p~q)r

2.6 (pq)(qr)

3. จงตรวจสอบดวาประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม 3.1 p(pq)

3.2 (pq) p

3.3 p~p

3.4 (qp)(~p~q)

3.5 [(pq)(qr)] (pr)

3.6 (pq)q

อ

4.1 p ~ q)(qp)

4.2 p(p q

4.3 p(p

4.4 (pq) ~ ~ q

5. อ วาการอางเหตผลในแตละขอตอไปน หรอไม

5.1 ข อ 1) อ

(2) อ

ข อ

5.2 ข อ นภาไปตลาด หรอไปหางสรรพสนคา

(2) นภาไมไดไปหางสรรพสนคา

ข อ นภาไปตลาด

6. จงเขยนประโยคตอไปนในรปสญลกษณทางตรรกศาสตร

6.1 มจ านวนจรง x ซง x3 = -1

6.2 ไมวา x และ y เปนจ านวนจรงใด ๆ x – y เปนจ านวนเตม

6.3 ส าหรบจ านวนจรง x และ y ทกตว x y = y x

6.4 ส าหรบจ านวนเตม x บางตว x mod 2 = 0 6.5 ส าหรบจ านวนนบ x และ y บางตว x + y < 0


7. จงเขยนขอความแทนประโยคสญลกษณตอไปน

7.1 x I, [3x – 7 > 0]

7.2 x [9x = 32]

7.3 xy[x + y = 0]

7.4 xy[(2x + y = 5) (y – x = 1)]

8. จงหาคาความจรงประพจนตอไปน

8.1 x[x +2 > 0], U = {1, 2 , 3}

8.2 x[(x – 1 ≥ 0) (x + 4 = 3) ], U = {1, 2 , 3}

8.3 x[x2 = 5], U = {1, 2 , 3}

8.4 x[x > 5 x

1 <

5

1], U = R – {0}

8.5 x[5 + x ≠ 5], U = I



อ อ (2548). อ . สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม

คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6, สกสค. ลาดพราว.

เชยงใหม, มหาวทยาลย. คณตศาสตร, ภาควชา. ตรรกศาสตรและการพสจน[Online].

Available: http://math.science.cmu.ac.th [2 สงหาคม 2555].


94






5.2 เซตทเทากน 5.3 สบเซต และเพาเวอรเซต 5.4 แผนภาพของเวนน-ออยเลอร 5.5 การด าเนนการบนเซต


5.7 คอนดบ

5.8 ผลคณคารตเชยล

5.9 กราฟแสดงความสมพนธ

5.10 การแทนความสมพนธ

5.11 โดเมน และเรนจ


5.13 การประยกตใชในฐานขอมล


1. เพอใหผ เรยนสามารถเขยนเซตในรปแจกแจงสมาชก และแบบก าหนดเงอนไขไดอยางถกตอง

2. เพอใหผ เรยนสามารถบอกไดวาเซตคใดเทากนไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถหาสบเซตของเซตทก าหนดใหไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถหาเพาเวอรเซตของเซตทก าหนดใหไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถเขยนแผนภาพของเวนน-ออยเลอรไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถหาผลลพธของการด าเนนการบนเซตไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถหาจ านวนสมาชกของผลลพธทเกดจากการยเนยนไดอยางถกตอง


96

8. เพอใหผ เรยนสามารถแกโจทยปญหาการด าเนนการบนเซตไดอยางถกตอง

9. เพอใหผ เรยนสามารถหาผลคณคารตเชยลไดอยางถกตอง

10. เพอใหผ เรยนสามารถบอกประเภทของความสมพนธไดอยางถกตอง

11. เพอใหผ เรยนสามารถเขยนกราฟของความสมพนธทก าหนดใหไดอยางถกตอง

12. เพอใหผ เรยนสามารถหาโดเมน และเรนจของความสมพนธไดอยางถกตอง

13. เพอใหผ เรยนสามารถหาตวผกผนของความสมพนธไดอยางถกตอง








7. ผ เรยนท าแบบฝกหดหนาชนเรยน







3. ประเมนจากการท าแบบฝกหดทบทวนทายบทเรยนเปนกลม


บทท 5 เซต และความสมพนธ | |

97

บทท 5

เซต และความสมพนธ

เกออรก คนทอร เปนผ ใหก าหนดทฤษฎเซตในรอบป 1879 ซงทฤษฎเซตตอมามอทธพลตอคณตศาสตรมาก ทฤษฎเซตเปนภาษาและเครองมอทส าคญในการใหเหตผล จงใชเปนพนฐานในพสจนทฤษฏตาง ๆ ทางคณตศาสตร รวมถงการใหหลกการและการใหเหตผลในศาสตรดานคอมพวเตอร


เซต ใชแทนค าวา กลม พวก หม สมาคม เหลา ฝง เชน เซตของเลขค เซตของพยญชนะ ไทย เซตของแมส เซตของโรงเรยนในจงหวดอดรธาน เปนตน สมาชกของเซต(element) ไดแกสงตาง ๆ ทอยในเซตใด ๆ สญลกษณ แทนค าวาเปนสมาชกของ และ แทนไมเปนสมาชกของเซต

การเขยนเซตสามารถเขยนได 2 แบบ คอ 1) แบบแจกแจงสมาชก เชน {0, 2, 4, 6, 8,..} แทนเซตของจ านวนค หรอ {แดง, เหลอง,

น าเงน} แทนเซตของแมส 2) แบบก าหนดเงอนไขของสมาชกเซต เชน {x / x >= 5} หรอ {x / x = 2n + 1 , n I,

n > 0}

เซตวาง(empty set) คอ เซตทไมมสมาชก ใชสญลกษณ หรอ { } เซตจ ากด (finite set) คอเซตทมจ านวนสมาชก 0 หรอมากกวานน เชน A= {ก, ข, ค, ง, จ, ฉ, ช, ซ} , n(A) = 8

B= {x/x I ,n I, x=(2n + 1)/2 } , n(B) = 0

เซตอนนต(infinite set) คอเซตทไมใชเซตจ ากด เชน

A= {1, 3, 5, 7, 9,…} B= {x / x R,5 < x < 10}

เซตของจ านวนเตมทหารดวย 5 ลงตว


98

เอกภพสมพทธ คอ เซตทก าหนดขนมาโดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจากสมาชกของเอกภพสมพทธ เชน

1) U = {0, 1, -1} และ A = {x/x + 1 = 0} จะได A = {-1}

2) U = {0, 1, 2, 3, 4,.., 9} และ B = {x/x, yU และ x = y2}

5.2 เซตทเทากน (equal sets)

ตวอยางท 5.1 เซตคใดตอไปนเทากน

(1) {0} ,

(2) {1, 2, 3}, {2, 1, 3}

(3) {4, 6, 8, 9, 9}, {4, 6, 8, 9}

(4) {{1}}, {1}

(5) {1, 3}, {x / (x-1)(x-3) = 0}

ตอบ ขอ (2), (3), (5)

5.3 สบเซต และเพาเวอรเซต (รตนพร บอค า, 2542)

A และ B เปนเซตทเทากน กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และสมาชกทกตวของเซต B เปนสมาชกของเซต A

A = B กตอเมอ A= {x / x B } และ B= {y / y A } A B กตอเมอ A= {x / x B } หรอ B= {y / y A }

เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B แทนดวย A B

A B กตอเมอ A= {x / x B }

A B กตอเมอ A= {x / x B }


99

ตวอยางท 5.2 ก าหนดให A = {1, 2} B = {1, 2, 3} C = {2, 3, 4} D = {{1, 2, 3}}

วธท า A B เพราะสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

A C เพราะ 1 เปนสมาชกของ A แต 1 ไมเปนสมาชกของ C

A D เพราะ 1 และ 2 เปนสมาชกของ A แต 1 และ 2 ไมเปนสมาชก ของ D

B C เพราะ 1 เปนสมาชกของ B แต 1 ไมเปนสมาชกของ C

B D เพราะ 1 , 2 และ 3 เปนสมาชกของ B แต 1, 2, 3 ไมเปนสมาชก ของ D

B D เพราะ {1, 2, 3} เปนสมาชกของ D

ตวอยางท 5.3 A = {1, 2, 3} B = {2, 1, 3} C = {1, 2, 3, 4, 5}

วธท า (1) A A เชน {1, 2, 3} {1, 3, 2}

(2) ถา A B และ B A แลว A = B เชน {1, 2, 3} {1, 3, 2} และ {1, 3, 2} {1, 2, 3}

ดงนน {1, 2, 3} = {1, 3, 2}

(3) {1, 2, 3} {2, 1, 3} และ {2, 1, 3} {1,2,3,4,5} และ {1, 2, 3} {1,2,3,4,5} จะได ถา A B และ B C แลว A C

ตวอยางท 5.4 A = {1, 2, {3, 4}} , B = { } จงหา P(A) ,P(B)

วธท า P(A) = {{ } , {1} , {2} ,{{3, 4}} , {1, 2} ,{1, {3, 4}} ,{2, {3, 4}} , {1, 2, {3, 4}}}

P(B) = {{ }}

เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A A

เซตวางเปนสบเซตของทกเซต นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A

ถา A B และ B A แลว A = B

ถา A B และ B C แลว A C

เซตของสบเซตทงหมดของ A เรยกวา เพาเวอรเซตของเซต A เขยนแทนดวย P(A)

จ านวนสมาชกของเพาเวอรเซต A จะเทากบ 2n เมอ n เปนจ านวนสมาชกของเซต A


100

5.4 แผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagram) เวนนและออยเลอรเปนนกคณตศาสตรทรเรมใชแผนภาพน จากแผนภาพขางลางแสดงวาเซต

A เซต B และเซต C เปนสบเซตของ U เซต B เปนสบเซตของ C นอกจากนเซต A เซต B และเซต C มสมาชกรวมกน

ภาพท 5.1 แผนภาพเวนน-ออยเลอร

ตวอยางท 5.5 ให U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c}, B = {c, d, f, g} , C = {c, e, f, g }

วธท า เซต A เซต B และเซต C มสมาชกรวมกนคอ c

เซต B และเซต C มสมาชกรวมกนคอ c, f, g

h ไมเปนสมาชกของเซต A เซต B และเซต C

5.5 การด าเนนการบนเซต

U

A B C

A B แทน A ยเนยน B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอ เซต B

A B ={x / x A หรอ x B}

U A

a b

c

B

d f g

e

C

h


101

ภาพท 5.2 แผนภาพ A B

ตวอยางท 5.6 A = {a, b, c} B = {c, d, e, f} A B = {a, b, c, d, e, f}

ตวอยางท 5.7 A = {a, b, c} B = {c, d, e, f} จงหา A B

วธท า A B = {c}

A B แทน A อนเตอรเซกชน B ไดแกเซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของเซต A

และเซต B

A B ={x / xA และ xB}

U A B

U A B

. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . .

a

b c d

e

A - B แทน A ดเฟอเรนต B ไดแก เซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเซต A แตไมอยในเซต B

A - B = {x / xA แต xB}


102

ตวอยางท 5.8 A = {a, b, c} B = {c, d, e, f} จงหา A - B

วธท า A - B = {a, b}

ตวอยางท U= {a, b, c, d, e, f, g, h,} A = {a, b, c}

วธท า A’ = { d, e, f, g, h }

ภาพท 5.3 แผนภาพ A’


จ านวนสมาชกของเซตจ ากด A ใด ๆ จะเขยนแทนดวยสญลกษณ n(A)

ภาพท 5.4 การหาจ านวนสมาชก

จากภาพ A = {a, b, c}, n(A) = 3

B = {c, d, e, f}, n(B) = 4

A B = {a, b, c, d, e, f}, n(A B) = 6

A B = {c}, n(A B) = 1

U

B a

b c

d

e

f A

A’ แทน A คอมพลเมนท ไดแก เซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเอกภพสมพทธ U แตไมอยในเซต A

A’ = {x / x U แต x A}

U

B

d

e f A a

b

c g h

U

B a

b c

d

e

f A


103

ตวอยางท 5.9 จากการส ารวจนกเรยนหองหนงพบวานกเรยนมทงหมด 40 คน เดนทางมาเรยนโดยใชรถประจ าทาง 22 คน เดนมาเรยน 25 คน จงหาวานกเรยนทเดนทางมาเรยนโดยเดนมาและนงรถประจ าทางดวยมกคน

วธท า ให A แทนเซตนกเรยนทเดนทางมาเรยนโดยใชรถประจ าทาง

B แทนเซตนกเรยนทเดนมาเรยน

A B แทนเซตนกเรยนหองหนง

A B แทนเซตนกเรยนทเดนทางมาเรยนโดยเดนมาและนงรถประจ าทางดวย

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

= 22 + 25 – 40 = 7

ตอบ นกเรยนทเดนทางมาเรยนโดยเดนมาและนงรถประจ าทางดวยม 7 คน

ตวอยางท 5.10 ลกคาธนาคารสาขาหนงม 12,800 คน เปดบญชออมทรพย 8,600 คน เปดบญชกระแสรายวน 4,500 คน ม 2,400 คนไมเปดปญชฝากเงน จงหาวามกคนทเปดเฉพาะบญช

ออมทรพย

วธท า

ให A แทนเซตลกคาทเปดบญชออมทรพย

B แทนเซตลกคาทเปดบญชกระแสรายวน

A B แทนจ านวนลกคาทเปดทงบญชออมทรพยและบญชกระแสรายวน

A B แทนจ านวนลกคาทเปดบญชออมทรพยหรอบญชกระแสรายวน

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) และ

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)

2400 A B

x 8600-x 4500-x


104

n(A B) = 12,800 – 2,400 = 10,400

n(A B) = x

n(A) = 8,600

n(B) = 4,500

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

= 8,600 + 4,500 – 10,400

= 2,700

ดงนนจ านวนคนทเปดเฉพาะบญชออมทรพย = 8600 – 2700 = 5900 คน

ตอบ 5,900 คน

ตวอยางท 5.11 โรงเ รยนมธยมแหงหนง มนกเ รยน 1,500 คน กฬาทนกเ รยนนยมเลนคอ วอลเลยบอล บาสเกตบอล และฟตบอล โดยมนกเรยน 30 คนทชอบเลนกฬาทงสามประเภท 5 คนทชอบเลนเฉพาะวอลเลยบอลและฟตบอล 60 คนทชอบเลนเฉพาะบาสเกตบอลและฟตบอล 45 คนชอบเลนเฉพาะวอลเลยบอลและบาสเกตบอล ม 10 คนไมชอบเลนกฬาใดเลย มผชอบเลนวอลเลยบอลมากกวาผชอบเลนบาสเกตบอล 120 คน และมากกวาจ านวนผชอบเลนฟตบอล 80 คน ถามวามผชอบเลนกฬาแตละประเภทอยางเดยวอยางละกคน วธท า สมมตให x แทนจ านวนนกเรยนทชอบเลนบาสเกตบอล (A)

จะได x + 120 แทนจ านวนนกเรยนทชอบเลนวอลเลยบอล (B)

x + 120 - 80 = x + 40 แทนจ านวนนกเรยนทชอบเลนฟตบอล (C)

ดงนนมผชอบเลนบาสเกตบอลอยางเดยวเทากบ x – 45 – 30 – 60 = x - 135

ชอบเลนวอลเลยบอลอยางเดยวเทากบ x + 120 – 45 – 30 – 5 = x + 40

ชอบเลนฟตบอลอยางเดยวเทากบ x + 40 – 60 – 30 – 5 = x - 55

10

30

A B

C

5 60

45


105

(x - 135) + (x + 40) + (x - 55) + 10 + 45 + 60 + 30 + 5 = 1500

3x = 1500 , x = 500

ดงนนมผชอบเลนเฉพาะบาสเกตบอลอยางเดยว 500 – 135 = 365 คน ชอบเลนเฉพาะวอลเลยบอลอยางเดยว 500 + 40 = 540 คน

ชอบเลนเฉพาะฟตบอลอยางเดยว 500 – 55 = 445 คน

5.7 คอนดบ

ตวอยางท 5.12 จงหาคา a, b เมอก าหนดให

(1) (a, b) = (3, 2a)

(2) (5a - 4, b + 1) = (6, 5)

วธท า (1) (a, b) = (3, 2a)

a = 3

b = 2a = 2(3) = 6

ตอบ a = 3 , b = 6

(2) (5a - 4, b + 1) = (6, 5)

5a - 4 = 6

5a = 6 + 4

a = 10/5 =2

b + 1 = 5

b = 5 - 1 = 4

ตอบ a = 2, b = 4

คอนดบ ประกอบดวยสมาชกสองตว a และ b ใด ๆ แทนดวย (a,b) เรยก a วาสมาชก

ตวหนา และเรยก b วาสมาชกตวหลง

คอนดบ (a, b) เทากบ (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d


106

5.8 ผลคณคารทเซยน

ตวอยางท 5.13 ให A = {a, b, c, d} B = {1, 2} จงหา A x B, B x A, B x B

A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)}

B x A = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d)}

B x B= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

5.9 ประเภทความสมพนธ

ความสมพนธคอ เซตของคอนดบ และเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซต

ตวอยางท 5.14 ก าหนด A = {a, b} , B = {1, 2} ความสมพนธใดเปนความสมพนธจาก A ไป B, จาก B ไป A และจาก A ไป A

r1 = {(a, 1), (a, 2)}

r2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

r3 = ((b, 1), (a, 2)}

r4 = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

r5 = {(1, a), (1, b), (1, c)}

ตอบ ความสมพนธใดเปนความสมพนธจาก A ไป B ไดแก r1, r3

ความสมพนธใดเปนความสมพนธ จาก B ไป A ไดแก r4

ความสมพนธใดเปนความสมพนธ จาก A ไป A ไดแก r2

ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B แทนดวย A x B คอ เซตของคอนดบทงหมด ทสมาชกตวหนาของคอนดบเปนสมาชกของเซต A และสมาชกตวหลงของคอนดบเปนสมาชกของเซต B

AXB = {(a,b) / a A และ bB}

r เปนความสมพนธจากเซต A ไปยงเซต B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B

ให A เปนเซตใด ๆ ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป A เรยก r วาความสมพนธใน A


107

ตวอยางท 5.15 ถา A = {3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} จงเขยนความสมพนธ ”ผลบวกเปน 6” จาก A ไป B และความสมพนธ “มคามากกวา” จาก A ไป B

วธท า A x B = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1),

(6, 2), (6, 3)}

r1 คอความสมพนธ ”ผลบวกเปน 6” จาก A ไป B

r1 คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนาเปนสมาชกของเซต A ทบวกกบสมาชกตวหลงของคอนดบไดผลลพธเปน 6

r1 = {(3, 3), (4, 2), (5, 1)}

r2 คอความสมพนธ ”มคามากกวา” จาก A ไป B

r2 คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนาเปนสมาชกของเซต A ทมคามากกวาสมาชกตวหลงของคอนดบ

r2 = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2),

(6, 3)}

5.10 กราฟแสดงความสมพนธ

ตวอยางท 5.16 จงเขยนความสมพนธ r แทนความสมพนธระหวางคาเงนดอลลอรสหรฐกบเงนบาทไทย โดย 30 บาท เทากบ 1 ดอลลาร และแสดงคอนดบบางคของความสมพนธ r และใช คอนดบดงกลาวเขยนกราฟของความสมพนธ

วธท า r = { (x, y) / y = 30x, x 0)}

คอนดบแสดงความสมพนธระหวางคาเงนดอลลอรสหรฐกบเงนบาทไทยมดงตารางตอไปน

ดอลลาร (x) บาท (y) (x, y)

0 0 (0, 0)

1 30 (1, 30)

2 60 (2, 60)

3 90 (3, 90)

5 150 (5, 150)

10 300 (10, 300)


108

x

y

350

300

250

200

150

100

50

0

2 4 6 8 10 12

กราฟแสดงคอนดบบางคของความสมพนธ r แสดงดงภาพขางลางน

และเมอให x แทนดวยจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 จะเขยนกราฟแสดงความสมพนธ r ไดดงน

y

y 350

300

250

200

150

100

50

0 x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = 30x


109

ตวอยางท 5.17 A = { x / x I, -3 x 3} และ r1 = {(x, y) A x I / y = x2 + 1 }

r2 = {(x, y) R x R / y = x2 + 1} จงเขยนกราฟของ r1 และ r2

วธท า r1 = {(-3, 10), (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10)}

กราฟของความสมพนธ r1 มดงน

จะไดกราฟของความสมพนธ r2 ดงน

24

16

12

8

4

-4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

x

y


110

ตวอยางท 5.18 จงเขยนกราฟของความสมพนธ r = {(x, y) / -1 < y 2}

5.11 โดเมน และเรนจ

ตวอยางท 5.19 ก าหนด A = {a, b} , B = {1, 2} และ r = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} จงหาโดเมนและเรนจของ r ตอบ Dr = {1, 2} และ Rr = {a, b}

ตวอยางท 5.20 ก าหนด A = {1, 2, 3} , B = {1, 4, 9, 16} และ r = { (x, y) A x B / y = x2 }

วธท า r = { (1, 1), (2, 4), (3, 9) }

Dr = {1, 2, 3} ,Rr ={1, 4, 9}

ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมน (domain) ของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr เรนจ (range) ของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

Dr = {x / (x, y) r}

Rr = {y / (x, y) r}

y

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

5

4

3

2 2

1

y


111

ตวอยางท 5.21 ก าหนด r = { (x, y) R x R / y = 2x - 4 } จงหาโดเมนและเรนจ

วธท า (1) หาโดเมน โดยพจารณาคา y ซงอยในรปของ x

สมการ y = 2x - 4 เปนสมการเสนตรงทอยในรป y = mx + b แทนคา x จะไดคา y ดงน

x -2 -1 0 1 2 3 4

y = 2x - 4 -8 -6 -4 -2 0 2 4

ดงนน Dr = { x / x R }

(2) หาเรนจ ใหพจารณาคา x ซงอยในรปของ y

y = 2x - 4

บวก 4 ทงสองขาง y + 4 = 2x – 4 + 4

หารดวย 2 ทงสองขาง

2

4y =

2

x2

0.5y + 2 = x

สมการ x = 0.5y + 2 เปนสมการเสนตรง แทนคา y จะไดคา x ดงน

y -2 -1 0 1 2 3 4

x= 0.5y + 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

ดงนน Rr = {y / y R}

ตวอยางท 5.22 ก าหนด r = {(x, y) R x R / y = 7x

1

} จงหาโดเมนและเรนจ

วธท า (1) หาโดเมน โดยพจารณาคา y ซงอยในรปของx

y = 7x

1

ถา x = 7 y = 0

1

77

1

, y หาคาไมได

นนคอ Dr = {x R / x 7}

(2) หาเรนจ โดยพจารณาคา x ซงอยในรปของ y


112

y = 7x

1

คณ (x-7) ทงสองขาง y(x - 7) = 7x

7x

x = y

y71

ถา y = 0, y = 0

1

0

)07(1

, y หาคาไมได

นนคอ Rr = {y R / y 0}

ตวอยางท 5.23 ก าหนดให r = {(x, y) / y = 5x2 }

วธท า (1) หาโดเมน โดยพจารณาคา y ซงอยในรปของ x

y = 5x2 , y ≥ 0

2x - 5 0

บวก 5 ทงสองขาง 2x 0 + 5

X 2.5

นนคอ Dr = {x R / x 2.5}

(2) หาเรนจ โดยพจารณาคา x ซงอยในรปของ y

y = 5x2 , y 0

y2 = 2x - 5 , y 0

2x = y2 + 5 , y 0

x = 2

5

2

y2

, y 0

นนคอ Rr = {y R / y 0}


ตวอยางท 5.24 ก าหนดให r = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 2), (c, 3)}

ตอบ r-1 = {(1, a), (2, a), (3, a), (2, b), (3, c)}

ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B ตวผกผนของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r-1 ซง

r-1 = {(y, x) / (x, y) r}


113

ตวอยางท 5.25 ก าหนดให r = {(x, y) / y = 3x + 4} จงหา r-1

วธท า r-1 = {(x, y) / x = 3y + 4}

= {(x, y) / y = 3

4x }

ตวอยางท 5.26 ก าหนดให r = {(x, y) / y = 4x } จงหา r-1

วธท า r-1 = {(x, y) / x = 4y }

x = 4y ; x 0

x2 = y + 4

y = x2 - 4

r-1 = {(x, y) / y = x

2 - 4 , x 0}


การยเนยนและอนเตอรเซกชนถกน ามาประยกตใชในการสอบถามขอมลในฐานขอมล ดวยภาษาสอบถามขอมลเชงโครงสราง เชน ค าสง union และ intersect

ตวอยางท 5.27 จงเขยนค าสงแสดงขอมล Table1 Table2 และ Table1 Table2

ตาราง Table1 ตาราง Table2

Table1 Table2

ColumnA ColumnB ColumnC ColumnD

char(4) Int char(4) int

abc 1 Ghi 3

def 2 Jkl 4

ghi 3 def 2

(select * from table1) union (select * from table2) เปนค าสงทใชแสดงขอมลทกแอทรบวทจากตาราง Table1 และ Table2 ผลลพธทไดมดงน


114

ผลลพธ

ColumnA ColumnB

abc 1

def 2

ghi 3

jkl 4

(select * from table1) intersect (select * from table2) เปนค าสงทใชแสดงขอมลทกแอทรบวทจากตาราง Table1 ทซ ากบ Table2 ผลลพธทไดมดงน

ผลลพธ

ColumnA ColumnB

def 2


115

บทสรป

A และ B เปนเซตทเทากน กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และสมาชกทกตวของเซต Bเปนสมาชกของเซต A

A = B กตอเมอ A = {x / x B} และ B = {y / y A}

A B กตอเมอ A = {x / x B} หรอ B = {y / y A}

เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซตB แทนดวย A B

A B กตอเมอ A= {x / x B}

A B กตอเมอ A= {x / x B}

เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A A

เซตวางเปนสบเซตของทกเซต นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A

คณสมบตของเซต

ถา A B และ B A แลว A = B

ถา A B และ B C แลว A C

เพาเวอรเซตของเซต A คอเซตของสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P(A) จ านวนสมาชกของเพาเวอรเซตของเซตจ ากด จะเทากบ 2n

A B แทน A ยเนยน B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอ เซต B

A B ={x / x A หรอ xB}

A B แทน A อนเตอรเซกชน B ไดแกเซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของเซต A และเซต B

A B ={x / x A และ xB}

A - B แทน A ดเฟอเรนต B ไดแก เซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเซตA แตไมอยในเซตB

A - B = {x / xA แต xB}

A’ แทน A คอมพลเมนท (complement) ไดแก เซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเซต A แตไมอยในเอกภพสมพทธ U

A’ = {x / x U แต x A}

จ านวนสมาชกของเซต A, B และ C

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) และ

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)


116

คอนดบ ประกอบดวยสมาชกสองตว a และ b ใด ๆ แทนดวย (a, b) เรยก a วาสมาชกตวหนา และเรยก b วาสมาชกตวหลง

คอนดบ (a, b) เทากบ (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

ผลคณคารทเชยนของเซต A และเซต B แทนดวย A x B คอ เซตของคอนดบทงหมด ทสมาชก

ตวหนาของคอนดบเปนสมาชกของ A และสมาชกตวหลงของคอนดบเปนสมาชกของ B

r เปนความสมพนธจากเซต Aไปยงเซต B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B

ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป A โดย A เปนเซตใด ๆ เรยก r วาความสมพนธใน A

โดเมน(domain) ของ r โดย r เปนความสมพนธจาก A ไป B คอ เซตของสมาชกตวหนาของ คอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr

Dr = {x / (x, y) r}

เรนจ (range) ของ r โดย r เปนความสมพนธจาก A ไป B คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

Rr = {y / (x, y) r}

ตวผกผนของความสมพนธ ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B ตวผกผนของความสมพนธ r

เขยนแทนดวย r-1 ซง

r-1 = {(y, x) / (x, y) r}


117


1. ก าหนดให P = {1, 2, 3, 5, 8}, Q = {1, 3, 5, 7}, R = {2, 4, 6}, S = { },

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} จงหาเซตตอไปน

1.1 P Q

1.2 Q R

1.3 P R

1.4 P R

1.5 P S

1.6 P (Q S’) 1.7 Q - (P R)’ 1.8 (P’ - Q’) - S’

2. จงเขยนเซตแทนสวนทแรเงาจากแผนภาพเวนน ตอไปน

2.1 2.3

2.2 2.4

3. ก าหนดให A, B เปนเซต ขอใดถกตอง

3.1 ถา a A แลว a ตองเปนสมาชกของ A U B

3.2 ถา a A แลว a ตองเปนสมาชกของ A B

3.3 ถา a A U B แลว a ตองเปนสมาชกของ A

3.4 ถา a A U B แลว a ตองเปนสมาชกของ A B

3.5 ถา a A B แลว a ตองเปนสมาชกของ A

3.6 ถา A B และ a A แลว a ไมเปนสมาชกของ B

3.7 ถา A B และ a A B แลว a ไมเปนสมาชกของ B

3.8 ถา A B และ B C และ A C แลว A B C

A

B

C

U A B

C

A B

C


118

4. นกเรยนสาขาวชาวทยาการคอมพวเตอรฯ ของมหาวทยาลยแหงหนง ม 1,200 คนสามารถเขยนภาษาจาวาหรอภาษาซ โดยม 700 คนสามารถเขยนภาษาจาวา 800 คนสามารถเขยนภาษาซ จงหาวามกคนทสามารถเขยนโปรแกรมทงสองภาษาได

5. จากการส ารวจประชากรในเขตเทศบาลเมองของจงหวดหนง พบวามผนบถอศาสนาตาง ๆ ดงน

ศาสนา พทธ อสลาม ครสต ฮนด อนๆ

จ านวน 28000 7500 8400 150 250

ถาประชากรแตละคนนบถอศาสนาใดศาสนาหนงเพยงศาสนาเดยว จงหาจ านวนประชากรทนบถอศาสนาพทธหรออสลาม หรอครสต

6. ในการส ารวจความนยมของผ ไปเทยวสวนสตวจ านวน 100 คน พบวาม 50 คนชอบชาง 30 คนชอบลง 25 คนชอบหม 32 คนชอบชางอยางเดยว 20 คนชอบหมแตไมชอบลง 10 คนชอบชางและลงแตไมชอบหม จงหาจ านวนคนทไมชอบสตวสามชนดนเลย

7. จากการส ารวจนกศกษา 500 คนทเขาชมภาพยนตร 3 เรอง คอเรอง ก ข และค พบวา

จ านวนผชอบภาพยนตร ก ม 180 คน

จ านวนผชอบภาพยนตร ข ม 155 คน

จ านวนผชอบภาพยนตร ค ม 240 คน

จ านวนผชอบภาพยนตร ก และ ข ม 80 คน

จ านวนผชอบภาพยนตร ข และ ค ม 140 คน

จ านวนผชอบภาพยนตร ก และ ค ม 110 คน

ไมมผ ทไมชอบภาพยนตรทงสามเรอง จงหาวาจ านวนผ ทชอบภายนตรทงสามเรองเปนเทาใด

8. จงหาคา a และ b

8.1 (a - 2b, a + b) = (5, 8)

8.2 (3a + 2b, 4) = (6, 2a + b)

8.3 (2a - 3b, 5a + 2b) = (13, 4)

8.4 (4a + 7b, 5) = (10, 3a + 4)

9. จงเขยนความสมพนธทก าหนดใหตอไปนในรปสมการ

9.1 คาลงทะเบยน(y) ค านวณไดจากจ านวนหนวยกต(x) คณดวย 150 บวกดวยคาธรรมเนยมการศกษา 1,500 บาท

9.2 รายได(y) เทากบเงนเดอน 15,000 บาท รวมกบ 10% ของยอดขาย(x)

10. ก าหนด A = {-5, -3, -1, 1, 3, 5} และ r = { (x, y) A X A / y = x + 2 } จงเขยน r แบบ

แจกแจงสมาชก พรอมทงหาโดเมน และเรนจ


119


ชะเอม สายทอง. (2548). คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร. กรงเทพมหานคร: โอเดยนสโตร. รตนพร บอค า. (2542). คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร. พษณโลก: คณะวทยาศาสตรและ

เทคโนโลย



เชยงใหม, มหาวทยาลย. คณตศาสตร, ภาควชา. ตรรกศาสตรและการพสจน [Online]. Available:

http://math.science.cmu.ac.th [2 สงหาคม 2555].


120








6.4 พชคณตฟงกชน

6.5 ฟงกชนประกอบ


6.7 การประยกตใชความสมพนธเวยนเกด


1. เพอใหผ เรยนสามารถบอกไดวาความสมพนธใดเปนฟงกชนไดอยางถกตอง

2 เพอใหผ เรยนสามารถหาคาของฟงกชนไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถหาโดเมน และเรนจของฟงกชนไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถบอกชนดของฟงกชนไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถหาคาพชคณตของฟงกชนไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถหาคาของฟงกชนประกอบไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถหาพจนตาง ๆ ของความสมพนธเวยนเกดไดอยางถกตอง

8. เพอใหผ เรยนสามารถตรวจสอบการเปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกดทก าหนดใหไดอยางถกตอง

9. เพอใหผ เรยนสามารถหาผลเฉลยแบบปดของความสมพนธเวยนเกดไดอยางถกตอง


122










2. ภาพเลอน 3. แทนจ าลองปญหาหอคอยฮานอย






บทท 6 ฟง กชน และความสมพนธ เวยนเกด | |

123

บทท 6

ฟงกชน และความสมพนธเวยนเกด

ฟงกชนเปนกฎหรอกลไก ซงเมอรบขอมลน าเขาทมคาภายในโดเมน X จะใหผลลพธทมคาภายในโดเมน Y แนวคดเกยวกบฟงกชนมความส าคญมากในเทคโนโลยสารสนเทศ ตวอยางเชน ในคณตศาสตร ฟงกชนถกใชในการนยาม ในโปรแกรมและสบโปรแกรมคอมพวเตอรถกออกแบบมาเพอค านวณคาของฟงกชน นอกจากนยงมฟงกชนทเรยกวาความสมพนธเวยนเกดหรอฟงกชนเวยนเกดทใชตวฟงกชนนนเองนยามตวเอง ซงถกน ามาใชแกปญหาทางคอมพวเตอรไดอยางหลากหลาย


ตวอยางท 6.1 จากความสมพนธตอไปน ความสมพนธใดเปนฟงกชน

R1 = { (a, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 3) }

R2 = { (a, 1), (b, 2), (c, 2) }

R3 = { (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4) }

R4 = { (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3) }

R5 = { (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (d, 3) }

ตอบ R2 , R3 และ R4

ฟงกชน คอ ความสมพนธซงสองคอนดบใด ๆ ในความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลวสมาชกตวหลงตองเทากน หรออาจกลาวไดวาฟงกชน f คอความสมพนธ ซงถาม (x, y1) f และ (x, y2) f แลว y1 = y2


124

ตวอยางท 6.2 ให f = {(x, y) R x R / y = 2x + 1} เปนฟงกชนหรอไม วธท า

เปนฟงกชน เนองจากกราฟเปนเสนตรง ซงถาม (x, y1) f และ (x, y2) f จะไดวา y1 = y2

ตวอยางท 6.3 ให f = {(x, y) R x R / y = x2 - 1} เปนฟงกชนหรอไม

วธท า

จากภาพ x หนงคา ใหคา y คาเดยว ดงนน f เปนฟงกชน


125

ตวอยางท 6.4 ให f = {(x, y) R x R / x = 2y2- 1} เปนฟงกชนหรอไม

วธท า

จากภาพ x หนงคา ใหคา y สองคา ดงนน f ไมเปนฟงกชน

ตวอยางท 6.5 ให f = {(x, y) R x R / y = |x - 3|}เปนฟงกชนหรอไม วธท า

จากภาพ x หนงคา ใหคา y คาเดยว ดงนน f เปนฟงกชน


126

ตวอยางท 6.6 ให f = {(x, y) R x R / x = |y + 2|} เปนฟงกชนหรอไม วธท า

จากภาพ x หนงคาใหคา y สองคา ดงนน f ไมเปนฟงกชน

ตวอยางท 6.7 จากความสมพนธตอไปน จงหา f(-5), f(0) และ f(10)

x + 5 ; x < 0

f(x) = 2x2- 1 ; 0 ≤ x < 5

7 ; 5 ≤ x

วธท า หาคา f(-5), แทนคา x ดวย -5 ซง -5 < 0

f(x) = x + 5

f(-5) = -5 + 5 = 0

หาคา f(0), แทนคา x ดวย 0 ซง 0 ≤ 0 < 5

f(x) = 2x2- 1

f(0) = 2(0)2 – 1 = -1

หาคา f(10), แทนคา x ดวย 10 ซง 5 < 10

f(x) = 7

f(10) = 7


ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดเมนของ f เขยนแทนดวย Df คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน f และเรนจของ f เขยนแทนดวย Rf คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน f


127

ตวอยางท 6.8 จงหาโดเมนและพสยของ f = {(x, y) / y = |x - 2|}

วธท า

Df = {x / x R} และ Rf = {y / y ≥ 0}


ตวอยางท 6.9 ให X = {a, b, c, d} จงพจารณาความสมพนธในแตละขอตอไปนวาเปนฟงกชนจาก X ไป X หรอไม

(1) f = {(b, a), (a, b), (c, c), (b, d), (d, a)}

(2) f = {(a, b), (d, a), (b, c)}

(3) f = {(b, a), (a, b), (c, c), (b, a), (d, a)}

วธท า (1) ไมเปน เพราะคอนดบ (b, a) และ (b, d) มสมาชกตวหนาเทากน แตสมาชกตวหลงไมเทากน

(2) ไมเปน เพราะ c X แต c ไมเปนสมาชกตวหนาของ f (3) เปน เพราะถงแม b X และเปนสมาชกตวหนาของสองคอนดบ แตสมาชกตวหลงของคอนดบเทากน

f เปนฟงกชนจาก A ไป B (f : AB) โดย A และ B เปนเซตใด ๆ กตอเมอ

1) ถา (x, y1) f และ (x, y2) f แลว y1 = y2

2) โดเมนของ f เทากบ A

3) เรนจของ f เปนสบเซตของ B


128

ตวอยางท 6.10 ก าหนดให f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)} f เปนฟงกชนหนงตอหนง หรอไม

ตอบ ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เพราะ f(b) = f(c) = 2 แต b c

ตวอยางท 6.11 ก าหนดให f = {(x, y) / y = 3x + 1} f เปนฟงกชนหนงตอหนง หรอไม

วธท า สมมตให f(x1) = f(x2) จะได 3x1+ 1 = 3x2+ 1

3x1 = 3x2+ 1 - 1

3x1 = 3x2

x1 = x2

ดงนน f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ตวอยางท 6.12 ก าหนดให f = {(x, y) / y = x2 + 1} f เปนฟงกชนหนงตอหนง หรอไม

วธท า สมมตให y = 5 ดงนน 5 = x2 + 1

x2 = 5 - 1 = 4

x = 2

ดงนน f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

ตวอยางท 6.13 ก าหนดให A = {a, b, c, d}, B = {1, 2}, C = {1, 2, 3}

f1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)} f2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 2)}

f3 = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 2)}

ฟงกชนใดเปนฟงกชนจาก A ไป B ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ฟงกชนใดเปนฟงกชนจาก A ไป C ฟงกชนจาก A ไปทวถง C

วธท า ฟงกชนจาก A ไป B ไดแก f2 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ไดแก f2 ฟงกชนจาก A ไป C ไดแก f2, f3 ฟงกชนจาก A ไปทวถง C ไดแก f3

f เปนฟงกชนหนงตอหนง จาก A ไป B กตอเมอ

1) f เปนฟงกชนจาก A ไป B 2) ส าหรบสมาชก x1 และ x2 ทกตวในโดเมนของ f ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2

f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B และ Rf = B


129

ตวอยางท 6.14 ก าหนดให A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3}

f ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B f ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B

f เปนฟงกชนจาก A ไป B f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B

f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง C

f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B และ

f เปนฟงกชนหนงตอหนง

a.

b.

c.

d.

.1

.2

.3

.4

A B

a.

b.

c.

d.

.1

.2

.3

.4

B A

a.

b.

c.

.1

.2

.3

.4

A B

.1

.2

.3

.4

a.

b.

c.

d.

A B

.1

.2

.3

.4

a.

b.

c.

d.

A B

A C

.1

.2

.3

a.

b.

c.

d.


130

6.4 พชคณตฟงกชน (อกฤษฎ ขาวเมองนอย, 2543)

ตวอยางท 6.15 ก าหนดให f = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} และ g = {(2, 0), (0, 5),

(3, 2), (4, 1)} จงหา f + g, f - g, f.g, g

f

วธท า Df Dg = {0, 2, 3, 4}

f + g = {(0, 6), (2, 3), (3, 6), (4, 6)}

f - g = {(0, -4), (2, 3), (3, 2), (4, 4)}

f . g = {(0, 5), (2, 0), (3, 8), (4, 5)}

g

f = {(0, 0.2), (3, 2), (4, 5)}

โดเมนของ f + g, f - g, f.g คอ {0, 2, 3, 4}

โดเมนของ g

f คอ Df Dg – {2} = {0, 3, 4} เพราะ g(2) =0

ตวอยางท 6.16 ก าหนดให f(x) = 2x2 - 3 และ g(x) = 4x + 1

วธท า f + g = 2x2 – 3 + 4x + 1 = 2x

2 + 4x - 2

f – g = 2x2 - 3 - 4x - 1 = 2x

2 - 4x - 4

f . g = (2x2 - 3)(4x + 1) = 8x

3 + 2x

2 - 12x - 3

g

f =

1x4

3x22

Df และ Dg คอ เซตของจ านวนจรง

โดเมนของ f + g, f - g, f.g คอ เซตของจ านวนจรง

พจารณาโดเมนของ g

f, 4x + 1 0

ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนในเซตของจ านวนจรง ซงมโดเมน Df และ Dg ตามล าดบ

f + g = {(x, y) / y = f(x) + g(x) และ x Df Dg}

f - g = {(x, y) / y = f(x) - g(x) และ x Df Dg}

f . g = {(x, y) / y = f(x) g(x) และ x Df Dg}

g

f = {(x, y) / y =

)x(g

)x(f และ x Df Dg และ g(x) 0}


131

ดงนนโดเมนของ g

f คอ { x R / x - 4

1}

6.5 ฟงกชนประกอบ (โครงการต าราวทยาศาสตรมลนธ สอวน., 2547)

ตวอยางท 6.17 ก าหนด f(x) = 1x และ g(x) = x2 + 2 จงหา

วธท า (1) f g(x)

= 1)2(x2 = 1x

2

(2) g f(x)

= ( 1x )2 + 2 = x – 1 + 2 = x + 1

(3) f g(0)

= 1x2 = 10

= 1

(4) g f(4)

= x + 1 = 4 + 1

= 5

ตวอยางท 6.18 ก าหนด f(x) = 2x2 + x และ h(x) = 3x จงหา

วธท า (1) f h(x) = f(h(x))

= 2(3x)2 + (3x) = 18x

2 + 3x

(2) h f(x) = h(f(x))

= 3(2x2 + x) = 6x

2 + 3x

(3) 7

1foh )( =

7

1hf ))((

= 7

x3x182

= 7

)1(3)1(182

= 3

ให f : A B และ g : B C ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย g f

ก าหนดโดย (g f)(x) = g(f(x)) ส าหรบ x A

นนคอ g f = {(a, c) / ม b B, [(a, b) f และ (b, c) g]}


132


ความสมพนธเวยนเกด คอ สมการทแสดงความสมพนธระหวางพจนท i ของล าดบ กบพจนทมากอน เชน 0! = 1 และ n! = (n-1)!n , n 1 โดย 0! = 1 เรยกวาเงอนไขเรมตน และใชเปนจดสนสดของการท าซ า

ตวอยางท 6.19 จงหา 6 พจนแรกของล าดบซงสอดคลองกบความสมพนธเวยนเกด

x1 = 2 , x2 = 1

xn+2 = 3xn - 2xn+1 , n 1

วธท า เมอ n = 1 x1+2 = 3x1 – 2x1+1

x3 = 3(2) – 2(1) = 4

เมอ n = 2 x2+2 = 3x2 – 2x2+1

x4 = 3(1) – 2(4) = -5

เมอ n = 3 x3+2 = 3x3 – 2x3+1

x5 = 3(4) – 2(-5) = 22

เมอ n = 4 x4+2 = 3x4 – 2x4+1

x6 = 3(-5) – 2(22) = -59

ดงนน 6 พจนแรก คอ 2, 1, 4, –5, 22, -59

ตวอยางท 6.20 จงหา a3 , a5 จากความสมพนธเวยนเกด an = an-2 – an-1 โดย a0 = 0 และ a1 = 2

วธท า เมอ n = 2 a2 = a2-2 – a2-1

a2 = 0 – 2 = -2

เมอ n = 3 a3 = a3-2 – a3-1

a3 = 2 – (-2) = 4

ความสมพนธเวยนเกดส าหรบล าดบ {an} คอ สมการทแสดงความสมพนธระหวาง an กบพจนทมากอนคอ a0, a1, a2, …, an-1 ส าหรบจ านวนเตม n ท n ≥ n0 โดยม n0 N

จะเรยกล าดบ {an} วาผลเฉลย ถาแตละพจนในล าดบสอดคลองความสมพนธเวยนเกดนน


133

เมอ n = 4 a4 = a4-2 – a4-1

a4 = -2 – 4 = -6

เมอ n = 5 a5 = a5-2 – a5-1

a5 = 4 – (-6) = 10

ตวอยางท 6.21 จงเขยนความสมพนธเวยนเกดของเงนฝากในบญชในธนาคารทใหดอกเบยปละ

1.5 % (ดอกเบยทบตน) อยากทราบวาเมอครบ n ป จะมเงนฝากในบญชเทาไร เมอเรมฝากเงน 30,000 บาท โดยไมถอนเงนจากบญชเลย พรอมทงหาเงนฝากในบญชเมอครบปท 3

วธท า ให an แทนจ านวนเงนในบญชเมอผานไป n ป โดย a0 = 30,000

a1 = 30000 + 0.015(30000) = 30450

:

an = an-1 + 0.015an-1 = 1.015an-1

a2 = 1.015(30450) = 30906.75

a3 = 1.015(30906.75) = 31370.35125

ดงนนเมอครบ 3 ปจะมเงนฝาก 31,370.35 บาท

ตวอยางท 6.22 ก าหนดความสมพนธ xn = 2xn-1 , n 1 จงแสดงวา { xn } ตอไปนเปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกดขางตนหรอไม เมอ

(1) xn = 2n

(2) xn = 0.5

วธท า (1) สมมตวา xn = 2n ทก n N

ดงนนส าหรบ n 1 จะได xn-1 = 2n-1

แต xn = 2xn-1

ดงนน xn = 2(2n-1

) = 2n

นนคอ { xn } ท xn = 2n เปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกดน

(2) สมมตวา xn = 0.5 ทก n N

ดงนนส าหรบ n 1 จะได xn-1 = 0.5

แต xn = 2xn-1

ดงนน xn = 2(0.5) = 1 ≠ 0.5 นนคอ { xn } ท xn = 0.5 ไมเปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกดน


134

ตวอยางท 6.23 จงเขยนความสมพนธเวยนเกด S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +…+ n

วธท า S(1) = 1

S(2) = 1 + 2 = S(1) + 2

S(3) = 1 + 2 + 3 = S(1) + 2 + 3 = S(2) + 3

จะได S(n) = S(n - 1) + n

ตวอยางท 6.24 จงหาผลเฉลยแบบปดของความสมพนธเวยนเกด

xn = 2xn-1 , n 1 และ x0 = 1

วธท า xn = 2xn-1 ……(1)

แทน n ดวย n - 1 ลงใน (1) xn-1 = 2xn-1-1 = 2xn-2

แทน xn-1 ลงใน (1) xn = 2(2xn-2) ……(2) แทน n ดวย n - 2 ลงใน (1) xn-2 = 2xn-2-1 = 2xn-3

แทน xn-2 ลงใน (2) xn = 2(2(2xn-3)) = 23xn-3

:

xn = 2nxn-n

= 2nx0

= 2n

ตวอยางท 6.25 จงหาผลเฉลยแบบปดของความสมพนธเวยนเกด

xn = xn-1 + 2n ; (n 1) ; x0 = 1

วธท า xn = xn-1 + 2n (1)

แทนคา n ดวย n - 1 ลง (1) xn-1 = xn-1-1 + 2(n - 1)

xn-1 = xn-2 + 2(n - 1)

xn-1 = xn-2 + 2n - 2 (2)

แทนคา xn-1 ลงในสมการ (1) xn = xn-2 + 2n - 2 + 2n

xn = xn-2 + 4n - 2 (3)

xn = xn-2 + 2(2n) – 2(2 - 1)


xn-2 = xn-3 + 2n - 4

แทนคา xn - 2 ลงใน (3) xn = xn-3 + 2n - 4 + 4n - 2

xn = xn-3 + 6n – 6 (4)


135

xn = xn-3 + 3(2n) – 3(3-1)


xn-3 = xn-4 + 2n - 6

แทนคา xn - 3 ลงใน (4) xn = xn-4 + 2n - 6+ 6n – 6

xn = xn-4 + 8n – 12 (5)

xn = xn-4 + 4(2n) – 4(4-1)

: :

xn = xn-n+ n(2n) – n(n - 1)

xn = x0+ 2n2 – n

2 + n

x0 = 1; xn = 1+ 2n2 – n

2 + n

xn = n2 + n + 1


ตวอยางท 6.26 ปญหาหอคอยฮานอย (The Tower of Hanoi ) เปนเกมในการเคลอนยายวงกลม 3 วงทมขนาดตางกนทอยในเสาตนท1 ไปยงตนท 2 โดยมเงอนไขวา มเสา 3 ตน (เสาตนท1 มวงกลมซอนกน 3 วง วงใหญสดอยดานลางสด และวงเลกสดอยบนสด เสาตนท 2 และตนท 3 วางเปลา) และในการเคลอนยายวงกลมสามารถเคลอนยายวงกลมทละวงไปยงเสาทง 3 ตน แตหามวงกลมขนาดใหญซอนทบวงกลมขนาดเลก ถามวาจ านวนครงทนอยทสดทท าจนส าเรจจะเปนเทาไร

วธท า กรณมวงกลม 2 วง

กรณมวงกลม 3 วง


136

กรณมวงกลม 1 วง จ านวนครงทยายนอยทสด 1ครง กรณมวงกลม 2 วง จ านวนครงทยายนอยทสด 3 ครง กรณมวงกลม 3 วง จ านวนครงทยายนอยทสด 7 ครง ซงสอดคลองกบสมการ

Hn = 2Hn-1 + 1 ; H1 = 1

โดย Hn เปนจ านวนครงทยายนอยทสดทยายวงกลม n วง สมการเกดจากยายวงกลม n-1 วง จากเสาตนท 1 ไปยงตนท 3 ตองใชจ านวน Hn-1 ครง จากนนยายวงกลมทใหญทสดในเสาท 1

ไปยงเสาท 2 ซงใชจ านวน 1 ครง หลงจากนนยายวงกลม n-1 วง จากเสาตนท 3 ไปยงตนท 2

ตองใชจ านวน Hn-1 ครง

ตวอยางท 6.27 เลขฟโบนชช (Fibonacci numbers) ถกคนพบโดย เลโอนารโด ฟโบนกช (Leonardo Fibonacci) นกคณตศาสตรชาวอตาเลยน เกดจากการสงเกตและศกษาแงมมตาง ๆ ทางธรรมชาต เชน รปแบบของการเกดฟาแลบ รปแบบการขยายพนธและการจดเรยงทางกายภาพของพชและสตว ฯลฯ ฟโบนกชไดพบวา ธรรมชาตเหลานมรปแบบทคอนขางเสถยร สามารถน ามาแสดงเปนล าดบเลขคอ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89… ซงมวธจดเรยงล าดบจากการน าตวเลขทอยสองตวขางหนามาบวกกน ผลลพธทไดจะเปนตวเลขถดไป เชน 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2

+ 3 = 5, 3 + 5 = 8 หากเขยนอยในรปแบบความสมพนธเวยนเกดจะได

an = an-1 + an-2 ; n > 2 และ a0 = 1 , a1 = 1

ตวอยางท 6.28 จงเขยนขนตอนวธในการหาคา Sum(n) =

n

x x0 !

1

Function int Factorian(int x)

If (x = 0) then

y = 1

else

y = x * Factorian (x-1)

end

return y

end


137

Function float Sum(float n)

if (n = 0) then

sumn = 0

else

sumn = Sum(n-1) + 1/Factorian(n)

return sumn

end

ตวอยางท 6.29 จงเขยนขนตอนวธเพอค านวณคา xn เมอ x เปนจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ

ศนย และ n เปนจ านวนเตมทไมเปนลบ

Function int Power(int n, float x)

if ((x < 0) or (n < 0) ) then

print(“Error\n”) elseif (x = 0) then

y = 0

elseif (n = 0)

y = 1

else

y = x*Power((n - 1), x)

end

end


138

บทสรป

ฟงกชน ความสมพนธซงสองคอนดบใด ๆ ในความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลวสมาชก ตวหลงตองเทากน หรออาจกลาวไดวาฟงกชน f คอความสมพนธ ซงถาม (x, y1) f

และ (x, y2) f แลว y1 = y2

โดเมนและเรนจของฟงกชน ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดเมนของ f เขยนแทนดวย Df คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน f และพสยของ f เขยนแทนดวย Rf คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน f

ฟงกชนจาก A ไป B f เปนฟงกชนจาก A ไป B (f : AB) โดย A และ B เปนเซตใด ๆ กตอเมอ

1) ถา (x, y1) f และ (x, y2) f แลว y1 = y2

2) โดเมนของ f เทากบ A

3) เรนจของ f เปนเซตยอยของ B

ฟงกชนหนงตอหนง f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ

1) f เปนฟงกชนจาก A ไป B 2) ส าหรบสมาชก x1 และ x2 ทกตวในโดเมนของ f ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2

ฟงกชนจาก A ไปทวถง B f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ

1) f เปนฟงกชนจาก A ไป B 2) Rf = B

ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ

1) f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B 2) f เปนฟงกชนหนงตอหนง

พชคณตฟงกชน ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนในเซตของจ านวนจรง ซงมโดเมน Df และ Dg

ตามล าดบ

f + g = {(x, y) / y = f(x) + g(x) และ x Df Dg}

f - g = {(x, y) / y = f(x) - g(x) และ x Df Dg}

f . g = {(x, y) / y = f(x)g(x) และ x Df Dg}

f

g = {(x, y) / y =

( )

( )

f x

g x และ x Df Dg และ g(x) 0}


139

ฟงกชนประกอบ ให f : A B และ g : B C ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย g f ก าหนดโดย (g f)(x) = g(f(x)) ส าหรบ x A

นนคอ g f = {(a, c) / ม b B, (a, b) f และ (b, c) g}

ความสมพนธเวยนเกด ความสมพนธเวยนเกดส าหรบล าดบ {an} คอสมการทแสดงความสมพนธระหวาง an กบพจนทมากอนคอ a0, a1, a2, …, an-1 ส าหรบจ านวนเตม n ท n ≥ n0 บาง n0 N จะเรยกล าดบ { an } วาผลเฉลย ถาแตละพจนในล าดบสอดคลองความสมพนธเวยนเกดนน

ปญหาหอคอยฮานอย การเคลอนยายวงกลม n วงทมขนาดตางกนทอยในเสาตนท1 ไปยงตนท 2 โดยมเงอนไขวา มเสา 3 ตน (เสาตนท1 มวงกลมซอนกน 3 วง วงใหญสดอยดานลางสด และวงเลกสดอยบนสด เสาตนท 2 และตนท 3 วางเปลา) และในการเคลอนยายวงกลมสามารถเคลอนยายวงกลมทละวงไปยงเสาทง 3 ตน แตหามวงกลมขนาดใหญซอนทบวงกลมขนาดเลก ความสมพนธเวยนเกดแสดงจ านวนครงทนอยทสดทท าจนส าเรจคอ

Hn = 2Hn-1 + 1 ; H1 = 1

เลขฟโบนชช เลขฟโบนชช จากการสงเกตและศกษาแงมมตาง ๆ ทางธรรมชาต สามารถน ามาแสดงเปนล าดบเลขคอ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89… สามารถเขยนอยในรปแบบความสมพนธเวยนเกดดงตอไปน

an = an-1 + an-2 ; n > 2 และ a0 = 1 , a1 = 1


140


1. ความสมพนธใดตอไปนเปนฟงกชน

1.1 r = {(x, y) R x R / x = 2}

1.2 r = {(x, y) R x R / y = 2x + 7}

1.3 r = {(x, y) R x R / x = y2 – 5}

1.4 r = {(x, y) R x R / x = |-y - 4|}

1.5 r = {(x, y) R x R / y =x2 + 3}

2. จงหาโดเมนและพสยของฟงกชนตอไปน

2.1 f = {(x, y) R x R / y = 3x - 5}

2.2 f = {(x, y) R x R / y = 3x2 - 4}

2.3 f = {(x, y) R x R / y = 3x2 }

2.4 f = {(x, y) R x R / y = |4x - 7|}

3. จากฟงกชนขอ 2 ขอใดเปน

3.1 ฟงกชนจาก Rไป R

3.2 ฟงกชนจาก R ไปทวถง R

3.3 ฟงกชนหนงตอหนงจาก R ไป R

3.4 ฟงกชนหนงตอหนงจาก R ไปทวถง R

4. จงหา f + g, f - g, f.g, g

f พรอมโดเมน

4.1 f = {(0, 4), (1, 0), (2, 5), (3, 2), (4, 7), (5, 3)}

g = {(1, 1), (3, 3), (5, 5), (7, 7) ,(9,9) }

4.2 f(x) = 3x2 - 4 และ g(x) = 3x - 5

5. จงหา fog และ gof ของฟงกชนตอไปน

5.1 f(x) = x – 5 g(x) = x – 10

5.2 f(x) = x2 + 2x – 24 g(x) = x + 2

6. จากขอ (5) จงหา f(g(10)) และ g(f(10))


141

7. จงหาคา x4 , x5 , x6 ของความสมพนธเวยนเกดตอไปน

7.1 ให xn = 3xn-1 + nxn-2 + 4 , n 2 และ x0 = 1 , x1 = 2

7.2 ให xn = xn-1+ 2n , n 1 , x1 = 0

7.3 ให xn = xn-1 + 2xn-2 + 3xn-3 , n 3 , x0 = 1, x1 = 6 , x2 = 10

7.4 ให xn = 2xn-1 + 1, n 1 , x0 = 0

8. ก าหนดความสมพนธ xn = 2xn-1– xn-2 , n > 2 จงแสดงวา {xn} ตอไปนเปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกดขางตนหรอไม เมอ

8.1 xn = 2n

8.2 xn = 3n

9. ก าหนดความสมพนธ xn = xn-1+ 2n , n 1 , x1 = 0 จงแสดงวา xn = n2 + n เปนผลเฉลยของ

ความสมพนธเวยนเกด

10. จงหาผลเฉลยแบบปดของความสมพนธเวยนเกดตอไปน

10.1 xn = axn-1 , n 1, x0 = b

10.2 xn = 2nxn-1 , n 1, x0 = 1

10.3 xn = xn-1+ n – 1, n 1, x0 = 1

10.4 xn = 2xn-1 + 1, n 1, x0 = 0


142



ลออ เพมสมบต. (2542). โจทย 2000 ขอ คณตศาสตรดสครต. กรงเทพมหานคร: แมคกรอ-ฮล. ภทรา เตชาภวาทย. (2546). คณตศาสตรเตมหนวย. พษณโลก: มหาวทยาลยนเรศวร.

อกฤษฎ ขาวเมองนอย. (2543). คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร. นครสวรรค: สถาบนราชภฏนครสวรรค.







7.3 แฟคทอเรยล

7.4 การเรยงสบเปลยน

7.5 การจดหม 7.6 ทฤษฎบททวนาม



1. เพอใหผ เรยนสามารถบอกความแตกตางของหลกการบวกและหลกการคณไดอยางถกตอง 2. เพอใหผ เรยนสามารถเลอกใชหลกการบวก และหลกการคณในการแกโจทยปญหาไดอยาง

ถกตอง 3. เพอใหผ เรยนสามารถน าหลกการรงนกพราบไปแกโจทยปญหาไดอยางถกตอง 4. เพอใหผ เรยนสามารถหาคาแฟคทอเรยลไดอยางถกตอง 5. เพอใหผ เรยนสามารถน าแฟคทอเรยลไปแกโจทยปญหาไดอยางถกตอง 6. เพอใหผ เรยนสามารถน าวธการเรยงสบเปลยนเปนแถวไปแกโจทยปญหาไดอยางถกตอง 7. เพอใหผ เรยนสามารถน าวธการเรยงสบเปลยนแบบเปนวงกลมไปแกโจทยปญหาไดอยางถกตอง 8. เพอใหผ เรยนสามารถน าวธการเรยงสบเปลยนทมสมาชกซ าไปแกโจทยปญหาไดอยางถกตอง 9. เพอใหผ เรยนสามารถน าวธการจดหมไปแกโจทยปญหาไดอยางถกตอง 10. เพอใหผ เรยนสามารถหาคานพจนทอยในรป (x + y)

n โดยใชทฤษฏบททวนามไดอยางถกตอง


144
















บทท 7 การนบ | |

145

บทท 7

การนบ

เทคนคการนบมความส าคญในวชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอรอยางยง ดงเชนการน าไปใชในการหาขนตอนวธทใชเวลาประมวลผลและหนวยความจ านอยทสด โดยการนบจะเปนสวนหนงของโปรแกรมประยกตทท าหนาทหาวธทเปนไปไดทงหมด การนบในบทนจะกลาวถง หลกการบวก หลกการคณ การจดล าดบหรอการเรยงสบเปลยน การจดหม และทฤษฎบททวนาม


หลกการนบทเปนพนฐานส าหรบเทคนคการนบไดแก หลกการคณ เชนการนบจ านวนวธในการจดอาหารโตะจน หลกการทสองคอหลกการบวก ซงใชนบจ านวนสมาชกในเซตหนงซงถกแบงเปนกลมยอยทไมมสมาชกซ า

7.1.1 หลกการบวก

ในการด าเนนงานอยางใดอยางหนง ประกอบดวยวธการท า ดวยงานตาง ๆ ดงน งานท 1 เลอกกระท าได n1 วธ งานท 2 เลอกกระท าได n2 วธ ... งานท k เลอกกระท าได nk วธ

โดยทแตละงานไมกระท าในเวลาเดยวกน จะไดวาการด าเนนงานครงนสามารถเลอกกระท าได n1 + n2 + ... + nk วธ

ส าหรบเซตทไมมสมาชกรวมกน m เซต โดยเซตทหนงม n1 สมาชก เซตทสองม n2 สมาชก , …, และเซตท m มสมาชก nm จ านวนวธทใชเลอกสมาชกหนงคอ

n1 + n2 + n3 + … + nm


146

ภาพท 7.1 หลกการบวก

ตวอยางท 7.1 นกศกษาคนหนงสามารถเลอกท าโครงงาน 1 โครงงาน จากรายการรายชอโครงงาน 3 รายการ โดยทใน 3 รายการประกอบดวย 23, 15 และ 19 ชอ ตามล าดบ อยากทราบวานกศกษาสามารถเลอกท าโครงงานไดกวธ

วธท า นกศกษาสามารถเลอกจากรายการท 1 ได 23 วธ

รายการท 2 ได 15 วธ

รายการท 3 ได 19 วธ

จะไดวานกศกษาสามารถเลอกท าโครงงานได 23 + 15 + 19 = 57 โครงงาน

ตวอยางท 7.2 จงหาวามจ านวนตวเลขทมคา 1 ถง 100 ทหารดวย 11 และ 15 ลงตวมกจ านวน

วธท า จ านวนทหารดวย 11 ลงตว คอ A = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

จ านวนทหารดวย 15 ลงตว คอ B = {15, 30, 45, 60, 75, 90}

ซง A B = ดงนนม 9 + 6 = 15 จ านวน

ตวอยางท 7.3 มกวธทจะเลอกไพ 1 ใบ เปนไพทมคาเปน 6 หรอไพสแดงทมคานอยกวา 6 หรอ ไพสด าทมคามากกวา 8 จากส ารบไพ

วธท า ไพ 6 ไดแก A = {6 โพด า, 6 โพแดง, 6 ขาวหลามตด, 6 ดอกจก}

ไพสแดงทมคานอยกวา 6 ไดแก B = {1 โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, 4 โพแดง, 5 โพแดง 1 ขาวหลามตด, 2 ขาวหลามตด, 3 ขาวหลามตด,

4 ขาวหลามตด, 5 ขาวหลามตด} ไพสด าทมคามากกวา 8 ไดแก C = {9 โพด า, 10 โพด า, แจคโพด า, แหมมโพด า, 5 คงโพ

ด า, 9 ดอกจก, 10 ดอกจก, แจคดอกจก, แหมมดอกจก, คงดอกจก }

ซง A B C = ดงนนม 4 + 10 + 10 = 24 วธ

Task

n1 n

2 ...... n

k


147

7.1.1 หลกการคณ

ในการด าเนนงานอยางหนงใหส าเรจ ประกอบดวยการกระท ายอย ๆ จ านวน m ขนตอน

1) โดยขนตอนท 1 เลอกกระท าได n1 วธ 2) และในแตละวธของการกระท าขนตอนท 1 สามารถเลอกกระท าขนตอนท 2 ได n2

วธ 3) และในแตละวธของขนตอนท 2 สามารถเลอกกระท าขนตอนท 3 ได n3 วธ

4) เปนเชนนเรอย ๆ จนกระทงถงการกระท าขนตอนท m ซงเลอกกระท าได nm วธ ดงนนในการด าเนนงานครงนใหส าเรจสามารถเลอก กระท าได n1 x n2 x n3 x ... x nm

วธ ดงภาพแสดงใหเหนวางาน ๆ น จะเสรจไดม 2 ขนตอน โดยในขนตอนท 1 เลอกกระท าได 3 วธ และในขนตอนท 2 เลอกกระท าได 2 วธ ดงนนจ านวนวธด าเนนงานจะได 3 x 2 = 6 วธ

ภาพท 7.2 หลกการคณ

ทางเลอกของขนตอนท 1 ทางเลอกของขนตอนท 2

จ านวนวธการทงหมด

ให m N ส าหรบขนตอนทแตกตางและเปนอสระตอกน m ขนตอน ขนตอนท 1 ม n1

ผลลพธ ขนตอนท 1 ม n2 ผลลพธ … และขนตอนท m ม nm ผลลพธ จ านวนผลลพธทงหมดทเปนไปไดคอ

n1 x n2 x n3 x … x nm


148

ตวอยางท 7.4 ในรหส ASCII แตละตวอกษรเกดจากการก าหนดบตของตวอกษรจากทงหมด 7 บต สามารถก าหนดไดทงหมดกตวอกษร บตท 7 6 5 4 3 2 1

วธท า ในแตละบตของทง 7 บตมคาทเปนไปได 2 คา คอ 0 หรอ 1 และแตละบตตอเนองกน ดงนนจงใชกฎการคณ

ขนตอนท 1 (บตแรกเลอกได) 2 วธ

ขนตอนท 2 -7 (บตท 2-7 เลอกได) ขนตอนละ 2 วธ

จะไดวา 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128 วธ

ตวอยางท 7.5 มหาวทยาลยแหงหนงแบงกลมเรยนวชาฟสกสเปน 5 กลม ในแตละกลมตองเลอกกลมทดลอง 1 ใน 10 กลม และตองเลอกกลม 1 ใน 15 กลมปญหา มกวธทนกศกษาคนหนงจะเลอกเรยน

วธท า วธเลอกเรยน = จ านวนกลมเรยน x จ านวนกลมทดลอง x จ านวนกลมปญหา

= 5 x 10 x15 = 750 วธ

ตวอยางท 7.6 หาจ านวนขอความทประกอบดวย 3 ตวอกษร ทมตวอกษรซ ากน โ ด ย ข อ ค ว ามประกอบ ดวยตวอกษร ทเปนสมาชกของ {m, n, o, p, a}

วธท า จ านวนขอความทเปนไปไดทงหมด 5 x 5 x 5 = 125

จ านวนขอความทประกอบดวยตวอกษรทไมซ ากน 5 x 4 x 3 = 60

ดงนนจ านวนขอความทประกอบดวยตวอกษรทซ า 125 – 60 = 65

ตวอยางท 7.7 มเสอทแตกตางกน 5 ตว กระโปรงทแตกตางกน 4 ตว กางเกงทแตกตางกน 3 ตว การใสจะตองใสเสอคกบกระโปรงหรอกางเกง จะมวธใสทงหมดกวธ

วธท า ใสเสอและกระโปรงได 5 x 4 = 20 วธ

ใสเสอและการเกงได 5 x 3 = 15 วธ

ดงนนจ านวนวธทงหมดคอ 20 + 15 = 30 วธ

0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1


149


ถามนกพราบ n ตว และถกก าหนดใหอยใน m รง และ m < n ดงนนจะมอยางนอย 1 รงทประกอบดวยนกพราบ 2 ตวหรอมากกวานน

ตวอยางท 7.8 ในกลมคน 367 คน จะมอยางนอยกคนทเกดวนเดยวกน

ตอบ จะมอยางนอย 2 คนทเกดในวนเดยวกน เนองจากใน 1 ปมจ านวนวนเปนไป ได 366 วน

ตวอยางท 7.9 หองสมดมพจนานกรม 25 เลม ซงมหนารวมกนทงหมด 61,896 หนา อยากทราบวาพจนานกรม 1 เลมจะมกหนา

วธท า ให จ านวนหนา เปน จ านวนนกพราบ จ านวนพจนานกรมแทนจ านวนรงนกพราบ ดงนนในพจนานกรมแตละเลมจะมอยางนอย

61,896 /25 = 2,475.84 = 2,475 หนา

และมอยางนอย 1 เลมม ( 61,896 – 1 )/25 + 1 = 2,476 หนา

ตวอยางท 7.10 ธนาคารแหงหนงตองการใหลกคาเลอกรหส ATM 4 หลก หลกแรกเปนตวอกษรภาษาองกฤษ และสหลกหลงเปนตวเลข ธนาคารมลกคา 30,000 คน จงแสดงวามลกคาอยางนอยสองคนทมรหสสหลกเหมอนกน

วธท า จ านวนตวอกษรทเปนไปไดหลกท 1 26

จ านวนตวอกษรทเปนไปไดหลกท 2 10



ดงนนจ านวนรหสทเปนไปได 26 x 10 x 10 x 10 = 26,000

จ านวนลกคา > จ านวนรหสทเปนไปได ดงนนมลกคาอยางนอยสองคนทเลอกรหสเดยวกน

หลกการรงนกพราบทวไป ถานกพราบ n ตว ถกก าหนดใหอย m รง

จะไดวาอยางนอยใน 1 รง มจ านวนนกพราบอยางนอย n/m หลกการรงนกพราบขยาย

ถา นกพราบ n ตวถกก าหนดใหอย m รง ดงนน 1 รง จะประกอบดวย นกพราบอยางนอย (n-1)/m+1


150

7.3 แฟคทอเรยล ( factorial )

ตวอยางท 7.11 จงหาคา

(1) 5!

(2) !2

!5

(3) 3! x 2!

(4) !3

!2!4

(5) !4

!2!3!5

วธท า (1) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

(2) !2

!5 =

!2

!2345 xxx = 60

(3) 3! x 2! = 120

(4) !3

!2!4 =

!3

12!34 xx = 8

(5) !4

!2!3!5 =

!4

!2!3!45 x = 5 x 3 x 2 x 2 = 60

ตวอยางท 7.12 จงหาจ านวนวธจดลกบอล 4 ลกซงมสแดง ด า เขยว น าเงน อยางละหนงลก

วธท า (1) ไมมขอแมใด ๆ

ลกท 1 ลกท 2 ลกท 3 ลกท 4

4 x 3 x 2 x 1 = 24

ดงนนจ านวนวธทงหมด = 24 วธ

(2) ใหลกบอลสแดงและด าอยตดกนเสมอ

ลกบอลสด าและแดงรวมกนเหลอ 3 ลก

สลบต าแหนงลกบอลสด ากบสแดง = 2!

ลกท 1 ลกท 2 ลกท 3

3 x 2 x 1 x 2! = 12

ดงนนจ านวนวธทงหมดทลกบอลสแดงและสด าอยตดกน = 12 วธ

(3) จ านวนวธจดล าดบไมใหลกบอลสแดงและด าอยตดกน

จ านวนวธ = จ านวนวธทไมมขอแม - จ านวนวธทสแดงและสด าอยตดกน = 24 – 12 = 12 วธ

ดงนนจ านวนวธจดล าดบไมใหลกบอลสแดงและด าอยตดกน = 12 วธ

ถา n I+ , n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 1 โดย 0! = 1


151

7.4 การเรยงสบเปลยน

การเรยงสบเปลยนเปนปญหาทตองหาจ านวนวธทเปนไปไดโดยค านงถงล าดบ

7.4.1 การเรยงสบเปลยนเปนแถว

ตวอยางท 7.13 (1) มกวธทสามารถจดหนงสอ 7 เลม ทตางกนบนชน

(2) มกวธทสามารถจดหนงสอ 4 เลมจาก 7 เลม ทตางกนบนชน

(3) มกวธทสามารถจดหนงสอ 7 เลม ทตางกนบนชน 2 ชน โดยชนแรกประกอบดวยหนงสอ 4 เลม

วธท า (1) มกวธทสามารถจดหนงสอ 7 เลมทตางกนบนชน

P(7, 7) = )!77(

!7

=

!0

!7 =

1

!7 = 5,040

(2) มกวธทสามารถจดหนงสอ 4 เลมจาก 7 เลมทตางกนบนชน

P(7, 4) = )!47(

!7

=

!3

!7 = 7 x 6 x 5 x 4 = 840

(3) มกวธทสามารถจดหนงสอ 7 เลมทตางกนบนชน 2 ชน โดยชนแรกประกอบดวยหนงสอ 4 เลม

P(7, 4) x P(3, 3) = )!33(

!3

)!47(

!7

= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5,040

ตวอยางท 7.14 จะมกวธทจะน าตวอกษรจากค าวา SECOND มาจดเปนค าใหม โดยไมค านงถงความหมาย ซงเงอนไขมดงน

(1) น ามาจดเรยงใหมไดทงหมดกวธ

(2) น ามาจดเรยงใหม 4 ตวอกษรไดทงหมดกวธ

ให n, r N การเรยงสบเปลยน r สมาชกจาก n สมาชกเปนแถว โดยท n r 0

จ านวนวธทจดไดม P(n, r) โดยท

P(n, r) =

1 ; r = 0

)!(

!

rn

n

; r > 0


152

(3) สระตองอยต าแหนงแรก และต าแหนงสดทายเสมอ

(4) สระตองอยในต าแหนงทเปนจ านวนคเสมอ

(5) น าตวอกษรมาเพยง 3 ตวไมรวมสระ เรยงไดกวธ

(6) น าตวอกษรมาเพยง 3 ตว โดยต าแหนงแรกตองเปน สระเสมอ

วธท า (1) น ามาจดเรยงใหมไดทงหมดกวธ

P(6, 6) = )!66(

!6

= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 วธ

(2) น ามาจดเรยงใหม 4 ตวอกษรไดทงหมดกวธ

P(6, 4) = )!46(

!6

= 6 x 5 x 4 x 3 = 360 วธ

(3) สระตองอยต าแหนงแรก และ ต าแหนงสดทายเสมอ

2 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 48 วธ

(4) สระตองอยในต าแหนงทเปนจ านวนคเสมอ

4 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 = 48 วธ

4 x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 = 48 วธ

4 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 48 วธ

ดงนนจ านวนวธทสระตองอยในต าแหนงทเปนจ านวนคเสมอ = 144 วธ

(5) น าตวอกษรมาเพยง 3 ตวไมรวมสระ เรยงไดกวธ

4 x 3 x 2 = 24 วธ

1

2 3 4 5 6

1

2 3 4 5 6

1

2 3 4 5 6

3 4 5 6 1

2

3 1

2


153

ตวอยางท 7.15 ในการประกวดภาพวาดครงทหนงมภาพวาด 15 ภาพเขาชงรางวลชนะเลศ รองอนดบท 1 และรองอนดบ 2 จงหาจ านวนทงหมดของผลการประกวดทเปนไปได

วธท า (1) ไมมขอแมใด ๆ

P(15, 3) = )!315(

!15

= 15 x 14 x 13 = 2,730

(2) ภาพวาดหมายเลข 5 ชนะเลศและหมายเลขอนไดรอง ขน 1 ชนะเลศม 1 วธ

ขน 2 รองชนะเลศ P(14,2) = )!214(

!14

= 14 x 13 = 182

คดเปนจ านวนวธ 182 x 1 = 182 วธ

7.4.2 การเรยงสบเปลยนแบบเปนวงกลม

การจดเรยงวธนเปนการนบจ านวนวธทจดคน n คนนงรอบโตะ ส าหรบภาพท 7.3 เปนการจดคน 5 คนนงรอบโตะ

(ก) (ข) (ค) ภาพท 7.3 การเรยงสบเปลยนแบบเปนวงกลม

ภาพท 7.3 (ก) และภาพท 7.3 (ข) แสดงการเรยงสบเปลยนแบบวงกลมทแตละคนในแตละภาพมคนทอยตดกนตางกน โดยปกตถามการเปลยนทนงหมนตามเขมนาฬกาจะถอวามรปแบบเดยวกน เชนภาพท 7.3 (ข) และภาพท 7.3 (ค) ถอวามการจดรปแบบเดยวกน ถาม 12 คน นงรอบโตะโดยมสมชายอยต าแหนงท 1 จ านวนวธทจะจดคนอน ๆ รอบสมชายจะเทากบ P(11,

11) = 11! วธ

ปยะ

สมชาย

องอาจ

วไล

สดา

สมชาย

สดา

วไล

องอาจยะ

ปยะ

สมชาย

สดา

วไล

ปยะ

องอาจ

จ านวนวธเรยงสบเปลยน n คน แบบวงกลม = P(n - 1, n - 1) = (n - 1)!


154

7.4.3 การเรยงสบเปลยนทมสมาชกซ า

ตวอยางท 7.16 จงหาจ านวนวธจดล าดบตวอกษรทตางกนของค าวา “บาบอบาบาบอ” วธท า ตวอกษร “บ” มซ า 5 ครง ตวอกษร “า” มซ า 3 ครง ตวอกษร “อ” มซ า 2 ครง

จ านวนวธจดล าดบตวอกษร = !!...!!

!n

nnnn k321

= !2!3!5

!10

= 2 x 2 x 3 x 5!

x5!6 x 7 x 8 x 9 x 10

ดงนนจ านวนวธทตางกน = 2,520 วธ

7.5 การจดหม

วธการจดหมตางจากวธเรยงล าดบ กลาวคอวธการจดหมไมค านงถงเรองอนดบเปนเรองส าคญ การสลบทกนถอวาเปนวธเดยวกน

(ก)

(ข)

(ค)

ภาพท 7.4 การจดหม

วธเรยงสบเปลยนสงของ n สง ซงไมแตกตางกนหมด กลาวคอของ n สงนแบงเปน k กลม ในแตละกลมนนเหมอนกน ใหกลมทหนงม n1 สงกลมท 2 ม n2 สง … กลมท k ม nk สง ( n1 +

n2 + n3 + ... nk = n ) เทากบ

nnnn k321 !...!!

!n


155

ภาพท 7.4 (ก) เปนรปเหลยมทจะน ามาเรยงล าดบครงละ 2 รป ผลการเรยงสบเปลยนจะประกอบไปดวยภาพท 7.4 (ข) และภาพท 7.4 (ค) หากพจารณาภาพท 7.4 (ข) ในแงของการจดหมจะถอวาภาพทงสองแถวเปนหมเดยวกน ดงนนการนบจ านวนการจดหมจะหาไดจากจ านวนวธเรยงล าดบหารดวยจ านวนวธเรยงล าดบของจ านวนสงทดงมาเรยง

ตวอยางท 7.17 ถามตวอกษร 3 ตวคอ A, B, C เลอกตวอกษร 2 ตวมาจดกลมจะไดกวธ

วธท า เมอน าตวอกษรมาเรยงสบเปลยน 2 ตวอกษร จะได 6 วธ

AB BA ---- (1)

AC CA ---- (2)

BC CB ---- (3)

แตเมอพจารณาในดานในการจดหมจะได 3 วธ หรอ

C(3, 2) = !2)!23(

!3

ดงนนมวธจดกลม = 3 วธ

ตวอยางท 7.18 ขอสอบม 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกท า 6 ขอ (1) อยากทราบวาจ านวนวธเลอกท าขอสอบมกวธ

(2) ถาขอสอบแบงเปน 2 ตอน ตอนท 1 ม 6 ขอ ตอนท 2 ม 4 ขอ ใหนกศกษาเลอกท าตอนท 1 4 ขอ ตอนท 2 2 ขอ มกวธทนกศกษาสามารถเลอกท า

วธท า (1) จ านวนวธเลอกท าขอสอบ = C(10, 6) = !6)!610(

!10

= !61234

!678910

xxxx

xxxx = 210 วธ

(2) จ านวนวธทสามารถเลอกท าจากสองตอน

C(6, 4) x C(4, 2) = !2)!24(

!4

!4)!46(

!6

x

= 22!42

234!456

xxx

xxxxx = 90 วธ

ให n, r N และ n ≥ r ≥ 0 จ านวนวธการจดกลม r สมาชกจาก n สมาชกเทากบ

C(n, r) =

r

n

= )r,r(P

)r,n(P =

!r)!rn(

!n

; C(n,0) = 1


156

ตวอยางท 7.19 มหนงสอตาง ๆ กนอย 10 เลม นาย ก ยมไปอาน 3 เลม นาย ก สามารถยมหนงสอไดกวธ

วธท า การยมหนงสอ 3 เลม จาก 10 เลม เปนการเลอกทไมค านงถงอนดบ

ดงนนจ านวนวธการยมหนงสอจะได C(10, 3)

C(10, 3) = !3)!310(

!10

= 1201x2x3

8x9x10

!3!7

!10 วธ

ตวอยางท 7.20 จงหวดหนงมผแทนได 2 คน มพรรคทสงผแทนเขารบการเลอกตง 7 พรรค พรรคละ 1 คน จงหาจ านวนวธทจะมผแทนไดรบการคดเลอก

วธท า เมอจ านวนผ เขาสมครรบการเลอกตง = 7 คน

จงหวดนมผแทนได = 2 คน

ดงนนจ านวนวธ = C(7, 2)

= !2)!27(

!7

=

!2!5

!7

= 12

67

x

x = 21 วธ

ตวอยางท 7.21 มผลไมอย 10 ผลตางชนดกน

(1) แบงเปน 2 กอง ๆ ละ 6 และ 4 ไดกวธ

(2) จะแบงใหเดก 2 คน คนละ 6 และ 4 ผลไดกวธ

วธท า (1) ม 10 ผล จดเปนกองละ 6 ผล นนคอมผลไม 10 ผล เลอกมา 6 ผล

จ านวนวธการจดกลมทงหมด = C(10, 6)

= !6!4

!10

!6)!610(

!10

= 210 วธ

(แบง 4 ผลไมตองหาเพราะเมอแยกมา 6 กเลอก 4 ผลเปนกลมเอง) (2) จะแบงใหเดก 2 คน คนละ 6 และ 4 ผลไดกวธ

เลอกเดก 2 คน จะมจ านวนวธการการเลอกเดก 2! = 2 วธ

เลอกผลไม จากขอ (1) จะไดวธการจดกลมผลไม 6 ผลและ 4 ผล = 210 วธ


157

ดงนนจ านวนวธการแบงผลไมใหเดก = 2 x 210 = 420 วธ

ตวอยางท 7.22 ในงานเลยงสงสรรคเพอนกลมหนง ถาทกคนจบมอทกทายแลกเปลยนจบมอกน ถานบดแลวรวมทงหมด 21 ครง ถามวาแขกทมารวมงานมกคน

วธท า ใหจ านวนแขกทมารวมงานมทงหมด n คน

ในการจบมอแตละครงจะม 2 คน ดงนนจ านวนครงในการจบมอ = C(n, 2) = 21 ครง

แทนคาในสตรหาคา n

C(n, 2) = !2)!2n(

!n

= 21

= !2)!2n(

)!2n)(1n(n

= 21

= 2

)1n(n = 21

2

nn2 = 21

n2 – n – 42 = 0

(n – 7)(n + 6) = 0

n = 7 , -6

ดงนนจะมแขกในงานทงหมด 7 คน

ตวอยางท 7.23 ในการแขงขนฟตบอลครงหนงมทมฟตบอล 10 ทมเขาแขงขนแบบพบกนหมด จะตองมการแขงขนทงสนกครง

วธท า ในการแขงขนจะตองเลอก 2 ทมจาก 10 ทม เขาแขงขนแบบจดหม

ดงนนจ านวนการแขงขน = C(10, 2) = !2)!210(

!10

= 2x!8

!8x9x10

= 45 ครง


158

ตวอยางท 7.24 จงหาวธเลอกซอหนงสออยางนอย 3 เลมจากหนงสอ 6 เลม

วธท า จ านวนวธเมอซอ 3 เลม C(6, 3) = !3)!36(

!6

= 20

จ านวนวธเมอซอ 4 เลม C(6, 4) = !4)!46(

!6

= 15


!6

= 6


!6

= 1

ดงนนมวธทงหมด = 20 + 15 + 6 + 1 = 42 วธ

7.6 ทฤษฎบททวนาม

ในการหาผลลพธของนพจนทอยในรป (x + y)n เมอ x, y เปนจ านวนจรงใด ๆ และ n เปน

จ านวนเตมบวก สามารถพจารณาไดจากการกระจายดงตอไปน

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = x2 + 2xy + y

2

(x + y)3 = x3 + 3x

2y + 3xy

2 + y

3

(x + y)4 = x4 + 4x

3y + 6x

2y

2 + 4xy

3 + y

4

(x + y)5 = x5 + 5x

4y + 10x

3y

2 + 10x

2y

3 + 5xy

4 + y

5

(x + y)n = (x + y) (x + y) … (x + y)

จากการกระจายดงกลาวจะพบวาผลลพธค านวณไดผลบวกของ n พจน ดงน

พจนท 1 ไดจากการน า x จากทกวงเลบคณกนได xn

พจนท 2 ไดจากการน า y จากหนงวงเลบคณกบ x จาก (n - 1) วงเลบทเหลอ จะได

พจน xn-1y

1 ซงเกดขนได C(n,1) หรอ

1

n

วธ

พจนท 3 ไดจากการน า y จากสองวงเลบคณกบ x จาก (n - 2) วงเลบทเหลอ จะได

พจน xn-2y

2 ซงเกดขนได

2

n

วธ

: :

พจนท n + 1 ไดจากการน า y จากทกวงเลบคณกนจะได yn

n วงเลบ


159

ในการกระจาย (x + y)n เมอ n เปนจ านวนเตมบวก สมประสทธทวนามของแตละพจนแสดงไดดงน

นพจน สมประสทธ

(x + y)0

0

0

(x + y)1

0

1

1

1

(x + y)2

0

2

1

2

2

2

(x + y)3

0

3

1

3

2

3

3

3

(x + y)4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

4

การเรยงสมประสทธขางตนเรยกวา รปสามเหลยมปาสคาล และสามารถหาคาสมประสทธไดดงน

นพจน สมประสทธ

(x + y)0 1

(x + y)1 1 1

(x + y)2 1 2 1

(x + y)3 1 3 3 1

(x + y)4 1 4 6 4 1

ดงนนการกระจาย (x + y)3 = x3 + 3x

2y +3xy

2 + y

3

ทฤษฎบททวนาม ถา x, y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว

(x + y)n =

0

n

xn +

1

n

xn-1

y +

2

n

xn-2

y2 + … +

r

n

xn-r

yr + … +

n

n

yn

โดยท

0

n

,

1

n

,

2

n

,…,

r

n

,…,

n

n

ทเปนสมประสทธของแตละพจนในการ

กระจายเรยกวา สมประสทธทวนาม


160

k := 0

for i1 := 1 to 5

k := k+1

for i2 := 1 to 10

k := k+1

for i3 := 1 to 15

k := k+1

ตวอยางท 7.25 จงกระจาย (3x2 + 4y)

4

วธท า (3x2 + 4y)

4 =

0

4

(3x2)

4 +

1

4

(3x2)

3(4y) +

2

4

(3x2)

2(4y)

2 +

3

4

(3x2)(4y)

3 +

4

4

(4y)4

= 34x

8 + 4(3)

3(x)

6(4y) + 6(3)

2(x)

4(4)

2(y)

2) + 4(3)(x)

2(4)

3(y)

3 + 4

4y

4

= 81x8+ 432x

6y + 864x

4y

2 + 768x

2y

3 + 256y

4


ตวอยางท 7.26 จากขนตอนวธดานลาง คาของ k จะมคาเทาใด เมอการประมวลผลเสรจสน

ตอบ

คา k ในรอบท i1 = 5 มคาเทากบ



ดงนนคา k เมอประมวลผลเสรจมคาเทากบ

ตวอยางท 7.27 ปญหาการเดนทางของพนกงานขาย ( Traveling Salesperson’s Problem) ไดก าหนดใหหาเสนทางทดทสดในการแวะเมองทงส โดยเรมและสนสดทเมอง A ขอมลในแถวท I และคอลมนท J เปนเวลาทใชในการเดนทางจากเมอง I ไปยงเมอง J หรอจากเมอง J ไปเมอง I ลกศรแสดงทศทางการบนระหวางเมอง ตวเลขบนเสนแสดงระยะทางของเทยวบนระหวางสองเมอง

B

C D

A 18

31

17

16 19

30

J I

A B C D

A 0 18 30 16

B 18 0 31 19

C 30 31 0 17

D 16 19 17 0


161

วธท า ขนท 1 หาเสนทางทงหมดทเปนไปได

A-B-C-D-A

A-B-D-C-A

A-C-B-D-A

A-D-C-B-A

A-C-D-B-A

A-D-B-C-A

ขนท 2 ค านวณระยะทางของแตละเสนทาง A-B-C-D-A : 18 + 31 + 17 + 16 = 82

A-B-D-C-A : 18 + 19 + 17 + 30 = 84

A-C-B-D-A : 30 + 31 + 19 + 16 = 96

A-D-C-B-A : 16 + 17 + 31 + 18 = 82

A-C-D-B-A : 30 + 17 + 19 + 18 = 84

A-D-B-C-A : 16 + 19 + 31 + 30 = 96

ขนท 3 เลอกเสนทางทสนทสด

A-B-C-D-A : 18 + 31 + 17 + 16 = 82 หรอ

A-D-C-B-A : 16 + 17 + 31 + 18 = 82

จ านวนเสนทางทงหมดทเรมจากเมอง A และกลบมายงเมอง A = 1 x 3 x 2 x 1 = 1 x 3! = 3!

ถาม n เมอง จะจ านวนเสนทางทงหมด (n – 1)!


162

บทสรป

หลกการบวก

ส าหรบเซตทไมมสมาชกรวมกน m เซต โดยเซตทหนงม n1 สมาชก เซตทสองม n2 สมาชก , …, และเซตท m มสมาชก nm จ านวนวธทใชเลอกสมาชกหนงคอ

n1 + n2 + n3 + … + nm

หลกการคณ

ให m N ส าหรบขนตอนทแตกตางและเปนอสระตอกน m ขนตอน ขนตอนท 1 ม n1

ผลลพธ ขนตอนท 1 ม n2 ผลลพธ … และขนตอนท m ม nm ผลลพธ จ านวนผลลพธทงหมดทเปนไปไดคอ

n1 x n2 x n3 x…x nm

หลกการรงนกพราบ ถานกพราบ n ตว ถกก าหนดใหอย m รง จะไดวาอยางนอยใน 1 รง จะมจ านวนนกพราบ

อยางนอย n/m หลกการรงนกพราบแบบขยาย

ถา นกพราบ n ตวถกก าหนดใหอย m รง ดงนน 1 รง จะประกอบดวย นกพราบอยางนอย (n-1)/m+1

แฟคทอเรยล ถา n I+, n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 1 โดย 0! = 1

การเรยงสบเปลยนเปนแถว ให n, r N การเรยงสบเปลยน r สมาชกจาก n สมาชกเปนแถว โดยท n r 0 จ านวน

วธทจดไดม P(n, r) โดยท

1 ; r = 0

P(n, r) =

)!(

!

rn

n

; r > 0

การเรยงสบเปลยนแบบเปนวงกลม จ านวนวธเรยงสบเปลยน n คน แบบวงกลม = P(n - 1, n - 1) = (n - 1)!


163

การเรยงสบเปลยนทมสมาชกซ า วธเรยงสบเปลยนสงของ n สง ซงไมแตกตางกนหมด กลาวคอของ n สงนแบงเปน k กลม ใน

แตละกลมนนเหมอนกน ใหกลมทหนงม n1 สงกลมท 2 ม n2 สง … กลมท k ม nk สง (n1 + n2 + n3

+ ... nk = n) เทากบ

nnnn k

n

!...!!

!

321

การจดหม

ให n, r N และ n ≥ r ≥ 0 จ านวนวธการจดกลม r สมาชกจาก n สมาชกเทากบ

C(n,r) =

r

n

= ),(

),(

rrP

rnP =

!r)!rn(

!n

; C(n,0) = 1

ทฤษฎบททวนาม ถา x, y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว

(x + y)n =

0

n

xn +

1

n

xn-1

y +

2

n

xn-2

y2 + … +

r

n

xn-r

yr + … +

n

n

yn

สมประสทธทวนาม

สมประสทธของแตละพจนในการกระจาย (x + y)n อนไดแก

0

n

,

1

n

,

2

n

,…,

r

n

,…,

n

n

เปนตน


164


1. ในการจบฉลาก เพอหยบฉลากหยบรายชอนกเรยนซงมอย 10 คนเขารบรางวลท 1, 2 และ 3 ตามล าดบ จงหาจ านวนวธทจะเกดขนไดทงหมด

2. ถาหมายเลขโทรศพทของกรงเทพมหานครในชมสายหนง ประกอบดวยเลข 10 ตว และเลขสามตวแรกเปน 040, 041, 042 ตามล าดบ จ านวนหมายเลขโทรศพททงหมดของชมสายแหงนจะมกหมายเลข

3. จากตวอกษรในค าวา “SOLDIER” เลอกตวอกษรเหลานมาสรางเปนค า ซงประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ไดกค า ถาค านนตองมพยญชนะอยหนาและลงทายดวยสระ

4. จงเขยนใหอยในรปแฟคทอเรยล

4.1 5 x 4 x 3

4.2 11 x 10

4.3 n(n - 1)(n - 2)(n - 3)

4.4 (n + r)(n + r - 1)(n + r - 2)

5. จงหาคาของ5.1 P(8, 2)

5.2 P(5, 4)

5.3 P(12, 5)

5.4 C(7, 4)

5.5 C(8, 2)

5.6 C(12, 5)

6. จ านวนทม 4 หลกกจ านวนทหารดวย 5 ลงตว ถาจ านวนเหลานนสรางจากเลขโดด 3, 4, 5, 6, 7

โดยท แตละหลกจะตองมตวเลขไมซ ากน

7. เลขฐาน 8 จ านวนหนง ประกอบดวยตวเลข 2, 5, 7, 6, 3, 4 7.1 น ามาสรางเปนจ านวน 4 หลก ไดกจ านวน โดยตวเลขไมซ า

7.2 น ามาสรางเปนจ านวน 4 หลก ไดกจ านวน โดยมตวเลขซ า

8. เจเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยผานเมอง B ถาถนนจากเมอง A ไปเมอง B ม 4

เสนทาง และถนนจากเมอง B ไปเมอง C ม 5 เสนทาง จงหาจ านวนวธการเดนทางไปและกลบโดยใชเสนทางอยางไรกได

9. มหนงสอเรยนอย 10 เลม เปนหนงสอวชา ท101 4 เลม วชา อ203 2 เลม วชา ค204 4 เลม จะมวธจดกวธ ถาจด

9.1 เรยงล าดบกนเปนแถว

9.2 เรยงล าดบเปนแถวแตใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน


165

10. ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 4 ชด ๆ ละ 13 ใบ คอ ชดโพแดง ชดโพด า ชดดอกจก และชดขาวหลามตด จงหาจ านวนวธทงหมดทจะหยบไพตามเงอนไขตอไปน

10.1 หยบไพ 4 ใบ

10.2 หยบไพ 13 ใบ โดยมโพด า 5 ใบจากโพด า 13 ใบ โพแดง 4 ใบจากโพแดง 13 ใบ และดอกจก 4 ใบจากดอกจก 13 ใบ (ไมตองค านวณหาผลคณ)

11. นสตในชนเรยนหนงม 100 คน ผสอนตองการเลอกตวแทนนสตในชนเรยนจ านวน 15 คน โดยใหหนงคนเปนหวหนา และอกคนเปนรองหวหนา หากไมมการแบงแยกหนาทระหวางตวแทนทง 13 คนทไมใชหวหนาและรองหวหนา จงหาวาสามารถมตวแทนนสตดงกลาว แตกตางกนไดกวธ (ไมตองค านวณหาผลคณ)

12 จงใชทฤษฎบททวนามในการกระจาย

12.1 (x + 3y)5 12.2 (3x – 2y)

4


166


สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2555). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพราว.


อตวงศ สชาโต. เอกสารค าสอนวชา2110200 โครงสรางดสครต. กรงเทพมหานคร: จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

Haggard, G., Schlipf, J., & Whitesides, S. (2006). Discrete Mathematics for Computer

Science. United States of America: Thomson Brooks/Cole.















1. เพอใหผ เรยนสามารถบอกสวนประกอบของกราฟทก าหนดใหไดอยางถกตอง

2. เพอใหผ เรยนสามารถน ากราฟไปใชแกโจทยปญหาในชวตประจ าวนไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถบอกถงความแตกตางของกราฟแตละชนดไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถอธบาย พรอมยกตวอยางเกยวกบ เสนเชอมขนาน วงวน ดกร จดยอดค จดยอดค แนวเดน วฏจกร วถ ไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถหาแนวเดนระหวางจดสองจดไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถเขยนเมทรกซประชดของกราฟทก าหนดใหไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถหารอยเดนออยเลอร และวงจรออยเลอรไดอยางถกตอง

8. เพอใหผ เรยนสามารถตรวจสอบวาเปนกราฟแฮมลตนหรอไมไดอยางถกตอง

9. เพอใหผ เรยนสามารถหาวถทสนทสดไดอยางถกตอง

10. เพอใหผ เรยนสามารถใหสกราฟทนอยทสดไดอยางถกตอง


168








7. ผ เรยนแบงกลมท าแบบฝกหด และออกมาเฉลยหนาชน








4. ประเมนโดยสงเกตพฤตกรรมระหวางเรยน

บทท 8 กราฟ | |

169

บทท 8

กราฟ

กราฟเปนโครงสรางทางคณตศาสตร ซงมการประยกตใชในดานเทคโนโลยสารสนเทศ วศวกรรมไฟฟา ชววทยา ภาษาศาสตร และสงคมวทยาเปนตน ตวอยางของการประยกตเชน การใชในการแสดงความสมพนธระหวางวตถ การเปลยนสถานะของระบบ การแขงขนระหวาง สายพนธในระบบนเวศวทยา การจดแขงขนกฬาแบบพบกนทกทม การแสดงล าดบการท างาน ส าหรบการประยกตใชในงานดานเทคโนโลยสารสนเทศมตวอยางดงตอไปน

1) ดานเครอขายคอมพวเตอร เราสามารถสรางตวแบบแสดงการเชอมตอคอมพเตอรในรปกราฟ โหนดคอตวเครองคอมพวเตอร เสนเชอมแทนการเชอมตอเครอขาย ใชกราฟหาเสนทางในการสงขอมลทเรวทสด

2) ในแผนทดจตอล โหนดเปนจดตดหรอเปนเมองหนง เสนเชอมเปนถนน เราอาจใช เสนเชอมทมทศทางแสดงถนนแบบขบทางเดยว และคาน าหนกของเสนเชอมแสดงระยะทาง

3) บนอนเทอรเนต โหนดเปนหนาเวบ เสนเชอมแบบมทศทางใชเชอมโยงจากหนาเวบหนงไปยงอกหนาเวบ กราฟนถกใชเพอแสดงความส าคญของเวบเพจแตละหนา ความส าคญของหนาเวบสามารถพจารณาไดจากจ านวนหนาเวบทมเสนชไปยงหนานน

4) ในสงคมออนไลน โหนดแทนบคคล และเสนเชอมแสดงการเปนมตร


กราฟ G ประกอบดวยเซตจ ากด 2 เซต คอ

1) เซตของจดยอด (vertex) ทมจ านวนสมาชกมากกวา 0 แทนดวยสญลกษณ V(G)

2) เซตของเสนเชอม (edge) ทเชอมระหวางจดยอดแทนดวยสญลกษณ E(G)


170

ตวอยางท 8.1 ก าหนดกราฟ G ดงภาพ จงหา V(G) และ E(G)

วธท า จากกราฟ G ทก าหนดให จะไดวา

V(G) = { A, B, C, D, E, F }

E(G) = { e1, e2, e3, e4, e5, e6 }

จากตวอยางท 8.1 เสนเชอม e4 และ e5 เปนเสนเชอมขนาน เสนเชอม e6 เปนวงวน จด D

เรยกวาจดเอกเทศ

ตวอยางท 8.2 ระหวางทมการประชมตอนเทยง ผ เขาประชมไดสงอาหารดงตอไปน ยพาสงขาวแกงเขยวหวานกบไขเจยว อรนภาสงขาวแกงพะแนงกบไขดาว สพจนสงขาวแกงเขยวหวานกบปลาทอด วรรณาสงขาวแกงพะแนงกบไขเจยว วชตสงขาวแกงขเหลกกบปลาทอด มานะสงแกงขเหลกกบไขดาว ใหใชกราฟสรปรายการสงอาหาร

วธท า

ยพา อรนภา สพจน วรรณา วชต มานะ

แกงเขยวหวาน ปลาทอด

แกงพะแนง ไขดาว

แกงขเหลก ไขเจยว

สรปไดวาจะตองสงอาหารแตละชนด 2 ชด

e1

e2

e3

e4

A B

D C

E F

e5

e6

เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกนเรยกวา เสนเชอมขนาน (parallel

edges)

เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยวเรยกวา วงวน (loop)

จดทไมมดานตกกระทบ วา จดเอกเทศ (isolated vertex)


171

ตวอยางท 8.3 ในการจดตารางสอบทประกอบดวยวชา 5 วชา คอ วชาโครงสรางขอมล วชาคณตศาสตรดสครต วชาการเขยนโปรแกรม วชาฐานขอมล และวชาหลกการอาน โดยททราบวา

มนกศกษาบางคนเรยนวชาโครงสรางขอมลและวชาหลกการอาน

มนกศกษาบางคนเรยนวชาโครงสรางขอมลและวชาการเขยนโปรแกรม

มนกศกษาบางคนเรยนวชาคณตศาสตรดสครตและวชาหลกการอาน

มนกศกษาบางคนเรยนวชาการเขยนโปรแกรมและวชาฐานขอมล

มนกศกษาบางคนเรยนวชาการเขยนโปรแกรมและวชาหลกการอาน

มนกศกษาบางคนเรยนวชาฐานขอมลและวชาโครงสรางขอมล

อยากทราบวาจะสามารถจดตารางสอบทงหาวชา โดยใชเวลา 3 คาบไดอยางไร

วธท า

โครงสรางขอมล หลกการอาน

การเขยนโปรแกรม คณตศาสตรดสครต

ฐานขอมล

เนองจากวชาทมเสนเชอมถงกนแสดงถง วชาทจดสอบพรอมกนไมได ดงนนตารางสอบเปนไปตามตารางตอไปน

คาบท วชา

1 โครงสรางขอมล คณตศาสตรดสครต

2 หลกการอาน ฐานขอมล

3 การเขยนโปรแกรม


ชนดของกราฟทส าคญมดงตอไปน

8.2.1 กราฟอยางงาย กราฟอยางงายเปนกราฟทประกอบดวยเซตของจดยอด และเซตของดานทเชอม

จดยอดสองจด เปนคไมมอนดบ (unordered pair) โดยไมมดานทขนานกน (parallel edge) และไมมวงวน (loop) ดงภาพท 8.1 เปนกราฟแสดงเสนทางเชอมอาคารเรยนของมหาวทยาลยแหงหนง


172

ภาพท 8.1 กราฟอยางงาย

8.2.2 กราฟขนาน กราฟขนานเปนกราฟทมดานขนานกน ตวอยางของกราฟเปนไปตามภาพท 8.2 กราฟแสดงเสนทางเชอมตลาดสดในอ าเภอเมองของจงหวดอดรธาน

ภาพท 8.2 กราฟขนาน

8.2.3 กราฟเทยม กราฟเทยมเปนกราฟทมวงวน

ภาพท 8.3 กราฟเทยม

8.2.4 กราฟมทศทาง กราฟมทศทางประกอบดวยเซตของจดยอด และเซตของดานทเชอมจดยอดสองจด

เปนคอนดบ (ordered pair) ตวอยางเชน กราฟแสดงถนนในอ าเภอแหงหนง ดงภาพท 8.4

เสนทางทสามารถเดนรถไดสองทางจะมหวลกศรทจดปลายทงสองของเสน ส าหรบเสนทางทเดนรถไดทางเดยว จะมหวลกศรขางเดยว

อาคาร 2

อาคาร 3

อาคาร 1

อาคาร 4

อาคาร 5

ไทยอสาณ

บานหวย

เทศบาล

หนองบว

หนองขอนกวาง

A B

C D


173

ภาพท 8.4 กราฟมทศทาง

8.2.5 กราฟถวงน าหนก

กราฟถวงน าหนก คอ กราฟทมคาน าหนกก ากบแตละดาน คาน าหนกอาจจะเปนระยะทางระหวางจดยอด คาใชจายทเกดขน เวลา หรอคาอนๆ ทผ ใชก าหนดขน กราฟตอไปนเปนกราฟถวงน าหนก ซงจ าลองเวลาทใชในการเดนทางระหวางสองเมอง

ภาพท 8.5 กราฟถวงน าหนก

8.2.6 กราฟเชอมโยง (connected graph) กราฟเชอมโยงมลกษณะทส าคญคอ ส าหรบจดยอด u และ v ทเปนจดตางกนในกราฟ

G จะมเสนเชอมทเปนแนวเดน u – v ใน G จากภาพท 8.6 กราฟ (ก) และ (ข) เปนกราฟเชอมโยง แตกราฟ (ค) ไมเปนกราฟเชอมโยงเพราะไมมแนวเดน j - n (ยงมจดยอดอนๆ อกทไมมแนวเดน แตหาจดยอดเพยงคเดยวทไมมแนวเดนกพอเพยงทจะสรปไดวาไมเปนกราฟเชอมโยง)

(ก) (ข) (ค)

ภาพท 8.6 กราฟเชอมโยง

B A C

D E

F

G H

I

B

E

C

D

A

F

50 70

75 75

20

50

40

80

b

a

c

e

d h

f

g

i

k

j

m n

o


174


ตวอยางท 8.4 ก าหนดกราฟดงภาพ

วธท า จะไดวา deg A = 3 deg B = 4

deg C = 3 deg D = 2

ตวอยางท 8.5 จงหวดหนงม 13 อ าเภอ ตองการสรางถนนเชอมแตละอ าเภอ โดยอ าเภอหนงเชอมกบอ าเภออน 3 อ าเภอมจ านวน 6 อ าเภอ อ าเภอหนงเชอมกบอ าเภออน 2 อ าเภอมจ านวน 4

อ าเภอ อ าเภอหนงเชอมกบอ าเภออน 1 อ าเภอมจ านวน 3 อ าเภอ จะสามารถท าไดหรอไม

วธท า จดยอดคมจ านวน = 6 + 3 = 9

เนองจากจดยอดคตองมจ านวนเปนเลขค ดงนนไมสามารถสรางถนนตามขอก าหนดนได

ดกร (degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ จ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v

ใชสญลกษณ deg v แทนดกรของจดยอด v

A

B

D C

จดยอดทมดกรเปนจ านวนค เรยกวา จดยอดค (even vertex) จดยอดทมดกรเปนจ านวนค เรยกวา จดยอดค (odd vertex) ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจ านวนค

ให u และ v เปนจดยอดของกราฟ แนวเดน u - v (u – v walk) คอล าดบจ ากดของ จดยอดและเสนเชอมสลบกน

u = u0,e1,u1,e2,u2, … , un-1, en, un = v

โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และแตละเสนเชอม ei จะเกดกบจดยอด ui-1 และ ui เมอ i { 1, 2, … ,n } ส าหรบกราฟใดๆ ทไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน อาจเขยนแนวเดนแทนดวยล าดบของจดยอด


175

ตวอยางท 8.6 ก าหนดกราฟ G ดงภาพ จงหาแนวเดน A – C, F – E

วธท า แนวเดน A – C คอ เสนทางท 1: A, e1, B, e2, C, e6, C

เสนทางท 2: A, e1, B, e2, C

แนวเดน F – E คอ เสนทางท 1: E, e5, A, e4, F, e3, E

เสนทางท 2: F, e3, E

ตวอยางท 8.7 ก าหนดกราฟ G ดงภาพ จงหาแนวเดน a – c

วธท า แนวเดน a – c คอ เสนทางท 1: a, c

เสนทางท 2: a, b, c

เสนทางท 3: a, d, c


a

b

d c

ถากราฟ G มจดยอด n จด v0, v1, … , vn-1, วธทใชแสดงกราฟดวยเมทรกซขนาด n x n เรยกวา เมทรกซประชด (adjacency matrix) คาแตละคาทเปนสมาชกของเมทรกซซง A = [aij] จะหาไดจาก

aij =

1 ; ถา vi ,vj E(G)

0 ; อนๆ

e1

e2

e3

e4

A B

D C

E F

e5

e6


176

ตวอยางท 8.8 จงเขยนเมทรกซประชดของกราฟตอไปน

วธท า คอลมนและแถวของเมทรกซประชดเรยงล าดบตามจดยอดของกราฟคอ a, b, c, d, e

ดงนนเมทรกซประชด =

ตวอยางท 8.9 จงเขยนเมทรกซประชดของกราฟขนานทมวงวนตอไปน

วธท า คอลมนและแถวของเมทรกซประชดเรยงล าดบตามจดยอดของกราฟคอ A, B, C, D


c

b

d

e a

0 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0 1 0 1 1

1 0 1 0 1

0 1 1 1 0

A

B

D C

0 1 1 2

1 1 1 0

1 1 0 1

2 0 1 0


177

ตวอยางท 8.10 จงเขยนเมทรกซประชดของกราฟระบทศทางตอไปน

วธท า คอลมนและแถวของเมทรกซประชดเรยงล าดบตามจดยอดคอ A, B, C, D, E, F, G



ในราวครสศตวรรษ 18 เลออนฮารด ออยเลอร นกคณตศาสตรชาวสวสไดแกขอปญหาสะพานเคอนกสเบรก (Konigsberg bridge problem) ซงสะพานเหลานใชเชอมเกาะสองเกาะและแผนดนในเมองเคอนกสเบรกซงปจจบนอยในประเทศรสเซย

ภาพท 8.7 ขอปญหาสะพานเคอนกสเบรก

ขอปญหานเกดจากค าถามของชาวเมองวา “เปนไปไดหรอไมทจะเดนขามสะพานทงเจดโดย ไมซ า และสามารถกลบมายงจดตงตนได” เลออนฮารด ออยเลอรไดแปลงปญหานใหอยในรปกราฟ โดยใหแผนดน A, B, C, D แทนดวยจดยอดของกราฟ และสะพานแตละสะพานแทนดวยเสนเชอมของกราฟ ซงสามารถเขยนเปนกราฟไดดงภาพตอไปน

0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 0 1 0

A B

C

D

แมน า

B A C

D G

F

E


178

ภาพท 8.8 กราฟขอปญหาสะพานเคอนกสเบรก

ตวอยางท 8.11 กราฟตอไปนมรอยเดนออยเลอร และวงจรออยเลอร หรอไม เพราะเหตใด

(ก) (ข) (ค)

วธท า กราฟ (ก) มรอยเดนออยเลอรเพราะมแนวเดน b, e, a, b, c, d, e, c ทผานทกเสนเชอมโดยไมซ า แตไมมวงจรออยเลอรเพราะจดเรมตนเปนคนละจดกบจดปลาย

กราฟ (ข) มรอยเดนออยเลอรเพราะมแนวเดน f, g, h, i, j, k ทผานทกเสนเชอมโดยไมซ า แตไมมวงจรออยเลอรเพราะจดเรมตนเปนคนละจดกบจดปลาย

กราฟ (ค) มรอยเดนออยเลอร และวงจรออยเลอรเพราะประกอบดวยล าดบของจดยอด m,

n, m, p, o, n, m ทผานทกเสนเชอมโดยไมซ า และจดเรมตนและจดปลายเปนจดเดยวกน

ให G เปนกราฟไมระบทศทาง หรอเปนกราฟขนานทไมมจดเอกเทศ รอยเดนออยเลอร (Euler trail) คอ แนวเดนทผานเสนเชอมทกเสนในกราฟ G โดยไมซ า วงจรออยเลอร (Euler circuit) คอ แนวเดนทผานเสนเชอมทกเสนในกราฟ G โดยไมซ า

และมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน

A B

C

D

a

c

e d

b f g

h i

j k n o

m p


179

ตวอยางท 8.12 กราฟตอไปนกราฟใดมรอยเดนออยเลอร และวงจรออยเลอร เพราะเหตใด

(ก) (ข) (ค)

วธท า กราฟ (ก) มจดยอดมดกรเปนเลขค จ านวน 2 จด คอ จดยอด b และ h ดงนนมรอยเดน ออยเลอร แตไมมวงจรออยเลอร รอยเดนออยเลอรประกอบดวยแนวเดน b, c, d, i, b, a, h,

i, f, d, e, f, g, h

กราฟ (ข) มจดยอดดกรเปนเลขค จ านวน 4 จด คอ จดยอด n, q, s และ k ดงนนไมม รอยเดนออยเลอรและวงจรออยเลอร

กราฟ (ค) ไมมจดยอดดกรเปนเลขค ดงนนมรอยเดนออยเลอร และวงจรออยเลอรซงประกอบดวยล าดบของจดยอด w, x, y, z, w, v, y, v, w


กราฟแฮมลตนคนคดโดยนกคณตศาสตรชาวองกฤษชอ เซอรวลเลยม โรแวน แฮมลตน ในรปแบบเกมซงใชรปทรงสบสองหนาชนดทรงตนปกต ซงประกอบดวยจดยอด 20 จด เสนเชอม 30

เสน และม 12 หนา แตละจดยอดแทนเมอง เสนเชอมคอถนน ลกษณะของเกมคอตองหาแนวเดนทจะผานแตละเมองเพยงครงเดยว และสามารถเดนกลบมาจดตงตน

กราฟเชอมโยงจะมรอยเดนออยเลอรกตอเมอ กราฟนมจดยอดทมดกรเปนจ านวนค 2 จด หรอไมมเลย

กรณกราฟไมมจดยอดทมดกรเปนจ านวนค จะไดวากราฟนนเปนกราฟออยเลอร (ซงมวงจรออยเลอร) สวนกรณทกราฟมจดยอดทมดกรเปนจ านวนค 2 จด จะไดวาจดหนงเปนจดเรมตน และอกจดเปนจดสนสดของรอยเดนออยเลอร

a b c

d

e f g

h i

m

n

p q r

s u

t k w

x

y

z v


180

ตวอยางท 8.14 กราฟตอไปนมวฏจกรแฮมลตนหรอไม

ตอบ มวฏจกรแฮมลตน คอ d, c, b, a, e, f, g, h, d


ตวอยางท 8.13 จงหาวถ A – D ทสนทสดของกราฟถวงน าหนกตอไปน

วธท า เสนทางท 1 A, B, C, D

ผลรวมคาน าหนกจาก A ไป D เทากบ 50 + 70 + 75 = 195

เสนทางท 2 A, B, D

ผลรวมคาน าหนกจาก A ไป D เทากบ 50 + 75 = 125

เสนทางท 3 A, B, E, D


วถ (path) คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

วถสนทสด (shortest path) จากจดยอด A ถงจดยอด Z ในกราฟถวงน าหนก คอ วถ A – Z

ทผลรวมของคาน าหนกของเสนเชอมทกเสนเชอมทกเสนในวถ A – Z นอยทสด

B

E

C

D

A

F

50 70

75 75

20

50

40

80

วฏจกร (cycle) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน และไมผานจดยอดทซ ากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

วฏจกรแฮมลตน คอ วฏจกรในกราฟ G ทผานครบทกจดยอดของ G

กราฟแฮมลตน คอ กราฟ G ทมวฏจกรแฮมลตน

a

b c

d e

f g

h


181

เสนทางท 4 A, F, E, D


ดงนนเสนทางท 4 เปนวถทสนทสด


ตวอยาง 8.15 จากแผนทเมองตอไปน จงใหสกราฟทนอยทสด

วธท า แปลงแผนทเปนกราฟไดดงภาพ (ก)

(ก) (ข)

ภาพ (ข) แสดงใหเหนวา (G) = 4 ส สรปเปนตารางการใหสไดดงตอไปน

ส 1 2 3 4

เมอง H, C B, E A, D, F G

การใหสกราฟ คอ การก าหนดสทจดยอดแตละจดยอดของกราฟ ซงไมมจดยอดประชด 2 จดใด ๆ ก าหนดใหเปนสเดยวกน

รงคเลขของกราฟ คอ จ านวนสทนอยทสดทจ าเปนตองใชส าหรบการใหสกราฟ และใชสญลกษณ (G) แทนรงคเลขของกราฟ G

C

H D

A E

F G

B

C

H D A

E

F G

B C,1

H,1 D,3 A,3

E,2

F,3 G,4

B,2


182


ขนตอนวธหนงทสามารถหาวถสนทสดจากจดยอดหนงไปยงอกจดยอดหนงในกราฟถวงน าหนก ไดแก ขนตอนวธของไดซตรา (Dijkstra’s Algorithm) ซงมรายละเอยดดงตอไปน

1. เรมตนใหทกจดยอด(v) จะมคาระยะทางถงจดยอดเรมตนหรอ d(v)) มคาเปน Infinity และ จดกอนหนา v หรอ pred(v) เทากบ “-”

2. ส าหรบเสนทเชอมระหวางจดยอด i และ j เราจะเรยกวา เสนเชอม(i, j) สวนคาน าหนกระหวางจดยอด i และ j เราจะเรยกวา น าหนก(i, j)

3. แบงกลมของจดยอดเปน 2 กลม คอ กลมวงกลม และกลมไมไดวงกลมในตอนเรมตนทกจดไมถกวง

4. เลอกจดยอดเรมตนจากกลมไมไดวงกลม สมมตวาเปนจดยอด k และให d(k) = 0

5. (ขนเลอกจะวงรอบจด) เลอกจดยอด j จากกลมไมไดวงกลม โดยทมคา d(j) นอยทสดในกลมไมไดวงกลม ใหวงรอบจดยอด j

6. (ขนปรบปรงระยะทาง) พจารณาทกเสนเชอมทมปลายหนงตดกบจดยอดทมวงกลมลอม และอกปลายหนงยงไมมวงลอม สมมตวาเปนเสนเชอม(i, v) โดยจด i ไมมวงกลมลอม จดยอด i อยตดกบจดยอด v เรยกจดยอด v วาจดยอดประชด ถา d(i) + น าหนก(i,v) < d(v) จะเปลยนคาของ d(v) โดยให d(v) = d(i) + น าหนก(i, v) และ pred(v) = i

7. กลบไปทท าขนท 5 และ 6 จนกระทงทกจดยอดถกวง แลวจะไดเสนทางทสนทสดจากโหนดทเรมตนไปยงทก ๆ โหนด

ตวอยางท 8.16 จงใชขนตอนวธของไดซตราหาวถทสนทสดจาก

a b

c

d e

f

4

2

1

6

7

5 2

1

3


183

วธท า

(ก) (ข) (ค) เรมตน

จดยอด (v) d(v) pred(v)

a 0 -

b infinity -

c infinity -

d infinity -

e infinity -

f infinity -

รอบท 1 พจารณารป (ข) จดยอด a มจดยอดประชดคอ f, e, b จากตารางขางลางเลอกจดยอด f เนองจาก น าหนก(i, j) + d(i) มคานอยทสด

รอบท

จดยอดทวงกลม

จดยอดประชด(v)

เสนเชอม(i, j)

น าหนก

(i, j) d(i)

น าหนก(i, j)

+ d(i)

d(v)

1 A

f af 1 0 1 1

e ae 2 0 2 2

b ab 4 0 4 4


a 0 -

b infinity -

c infinity -

d infinity -

e infinity -

f 1 a

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3


184

รอบท 2 พจารณารป (ค) จดยอด a, f มจดยอดประชดคอ b, e จากตารางขางลางเลอกจดยอด e

ทมเสนเชอม ae เนองจาก น าหนก(i, j) + d(i) มคานอยทสด

รอบท




น าหนก

(i, j) d(i)


+ d(i)

d(v)

2 a,f

b ab 4 0 4 4

e ae 2 0 2 2

fe 3 1 4


a 0 -

b infinity -

c infinity -

d infinity -

e 2 a

f 1 a

รอบท 3 พจารณารป (ง) จดยอด a, f, e มจดยอดประชดคอ b, d จากตารางขางลางเลอกจดยอด b ทมเสนเชอม ab เนองจาก น าหนก(i, j) + d(i) มคานอยทสด

รอบท




น าหนก

(i, j) d(i)


+ d(i)

d(v)

3 a, f, e

b ab 4 0 4 4

eb 5 2 7

d ed 7 2 9 9

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3

(ง)


185


a 0 -

b 4 a

c infinity -

d infinity -

e 2 a

f 1 a

รอบท 4 พจารณารป (จ) จดยอด a, f, e, b มจดยอดประชดคอ c, d จากตารางขางลางเลอก จดยอด c ทมเสนเชอม bc เนองจาก น าหนก(i, j) + d(i) มคานอยทสด

รอบท



เสนเชอม(I, j)

น าหนก

(i, j) d(i)


+ d(i)

d(v)

4 a, f, e, b

c bc 2 4 6 6

d bd 6 4 10 9

ed 7 2 9


a 0 -

b 4 a

c 6 b

d infinity -

e 2 a

f 1 a

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3

(จ)


186

รอบท 5 พจารณารป (ฉ) จดยอด a, f, e, b, c มจดยอดประชดคอ d จากตารางขางลางเลอก จดยอด d ทมเสนเชอม cd เนองจาก น าหนก(i, j) + d(i) มคานอยทสด

รอบท




น าหนก

(i, j) d(i)


+ d(i)

d(v)

5 a, f, e, b,

c

d ed 7 2 9

7 bd 6 4 10

cd 1 6 7


a 0 -

b 4 a

c 6 b

d 7 c

e 2 a

f 1 a

ดงนนวถทสนทสดแสดงดงกราฟตอไปน

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3

a b

c

d e

f

4

2

1 6

7

5 2

1

3

(ฉ)


187

บทสรป

กราฟ G ประกอบดวยเซตจ ากด 2 เซตคอ

1) เซตของจดยอด (vertex) ทมจ านวนสมาชกมากกวา 0 แทนดวยสญลกษณ V(G)

2) เซตของเสนเชอม (edge) ทเชอมระหวางจดยอดแทนดวยสญลกษณ E(G)

เสนเชอมขนาน (parallel edges) คอ เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน

วงวน (loop) คอ เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว

จดเอกเทศ (isolated vertex) คอ จดทไมมดานตกกระทบ

ดกร (degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ จ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v ใชสญลกษณ deg v แทนดกรของจดยอด v

จดยอดค (even vertex) คอ จดยอดทมดกรเปนจ านวนค จดยอดค (odd vertex) คอ จดยอดทมดกรเปนจ านวนค กราฟอยางงาย (simple graph) เปนกราฟทประกอบดวยเซตของจดยอด และเซตของดานท

เชอมจดยอดสองจด เปนคไมมอนดบ (unordered pair) โดยไมมดานทขนานกน (parallel

edge) และไมมวงวน (loop) กราฟขนาน (multi graph) เปนกราฟทมดานขนานกน

กราฟเทยม (pseudo graphs ) เปนกราฟทมวงวน

กราฟมทศทาง (directed graphs) ประกอบดวยเซตของจดยอด และเซตของดานทเชอมจดยอดสองจด เปนคอนดบ (ordered pair)

กราฟถวงน าหนก (weighted graph) คอกราฟทมคาน าหนกก ากบแตละดาน

กราฟเชอมโยง (connected graph) มลกษณะคอ ส าหรบจดยอด u และ v ทเปนจดตางกนในกราฟ G จะมเสนเชอมทเปนแนวเดน u – v ใน G

แนวเดน u - v (u – v walk) คอล าดบจ ากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน

u = u0,e1,u1,e2,u2, … , un-1, en, un = v

โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และแตละเสนเชอม ei จะเกดกบจดยอด ui-1 และ ui เมอ i { 1, 2, … ,n }


188

เมทรกซประชด (adjacency matrix) คอ วธทใชแสดงกราฟดวยเมทรกซของศนยขนาด n x n โดย กราฟ G มจดยอด n จด, v0, v1, … , vn-1 คาแตละคาทเปนสมาชกของเมทรกซซง A = [aij]

จะหาไดจาก

aij =

รอยเดนออยเลอร (Euler trail) ส าหรบกราฟไมระบทศทาง หรอเปนกราฟขนานทไมมจดเอกเทศ คอ แนวเดนทผานเสนเชอมทกเสนในกราฟ G โดยไมซ า

วงจรออยเลอร (Euler circuit) ส าหรบกราฟไมระบทศทาง หรอเปนกราฟขนานทไมมจดเอกเทศ คอ แนวเดนทผานเสนเชอมทกเสนในกราฟ G โดยไมซ า และมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน

กราฟเชอมโยงจะมรอยเดนออยเลอร กตอเมอกราฟนมจดยอดทมดกรเปนจ านวนค 2 จด หรอไมมเลย

กรณกราฟไมมจดยอดทมดกรเปนจ านวนค จะไดวากราฟนนเปนกราฟออยเลอร (ซงมวงจรออยเลอร )

สวนกรณทกราฟมจดยอดทมดกรเปนจ านวนค 2 จด จะไดวาจดหนงเปนจดเรมตน และอกจดเปนจดสนสดของรอยเดนออยเลอร

วถ (path) คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

วถสนทสด (shortest path) จากจดยอด A ถงจดยอด Z ในกราฟถวงน าหนก คอ วถ A – Z ทผลรวมของคาน าหนกของเสนเชอมทกเสนเชอมทกเสนในวถ A – Z นอยทสด

วฏจกร (cycle) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน และไมผานจดยอดทซ ากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

วฏจกรแฮมลตน คอ วฏจกรในกราฟ G ทผานครบทกจดยอดของ G

กราฟแฮมลตน คอ กราฟ G ทมวฏจกรแฮมลตน

การใหสกราฟ คอ การก าหนดสทจดยอดแตละจดยอดของกราฟ ซงไมมจดยอดประชด 2 จดใด ๆ ก าหนดใหเปนสเดยวกน

รงคเลขของกราฟ คอ จ านวนสทนอยทสดทจ าเปนตองใชส าหรบการใหสกราฟ และใชสญลกษณ (G) แทนรงคเลขของกราฟ G

1 ; ถา vi ,vj E(G)

0 ; อนๆ


189


1. นกเคมตองการบรรจสารเคม A, B, C, D, E และ F ลงในกลอง โดยสารเคม B และ C จะท าปฏกรยากบสารเคม A และ D จงหาวธบรรจสารเคมใหมจ านวนกลองนอยทสดและไมท าปฏกรยาตอกน

2. จงเขยนกราฟโดยมจดยอดแทนจงหวด อดร ขอนแกน นคราชสมา สระบร หนองคาย หนองบวล าภ เลย และจดยอดสองจดมเสนเชอมกตอเมอจงหวดมอาณาบรเวณตดตอกน

3. จากกราฟตอไปนจงหาเสนทางของแนวเดนตอไปน อยางละ 2 เสนทาง

3.1 แนวเดน A – C

3.2 แนวเดน A – E

3.3 แนวเดน B – E

3.4 แนวเดน B - D

4. จากกราฟขอ (3) จงเขยนเมทรกซประชด

5. จงเขยนเมทรกซประชดของกราฟตอไปน

5.1 5.2

6. จากกราฟตอไปนมรอยเดนออยเลอร วงจรออยเลอร และวฏจกรแฮมลตนหรอไม ถามจงแสดง

6.1 6.2 6.3 6.4

A B

C D E

a

b c

d e

a b c

d e

c

a b

d e

f

a b c

d e f

g h m

a

b

c

d e

e1

e2 e3

e4 e5 e6


190

7. จากภาพแสดงแผนดน A, B, C, D, E ทมแมน าไหลผาน และสะพานขาม จงแปลงเปนกราฟและตอบค าถามวาสามารถเดนผานทกสะพานโดยไมซ าและกลบมาจดเรมตนไดหรอไม

8. จงหาวถ x - y ทสนทสดโดยใชขนตอนวธของไดซตรา

8.1 8.2 8.3

9. จงใหสกราฟขอ (7) และขอ (8) ใหมสจ านวนนอยทสด

10. ก าหนดระยะเวลาเดนทางดวยรถโดยสารระหวางเมองตาง ๆ (หนวยเปนนาท) ดงตารางตอไปน ใหหาเสนทางทเรวทสดในการเดนทางดวยรถโดยสารจากเมอง A ไปยง E

เมอง A B C D E

A - 40 30 - -

B 40 - - 40 50

C 30 - - 20 25

D - 40 20 - 20

E - 50 25 20 -

A

B C

D E

b 2 4 5

3 2

5

1

6

1 x

y a c

d e

1

c 5

a 9 4 y

3

b 6 3

x 4

x

y a

b

c 5

3 3

2

4

1 1

2


191


ชะเอม สายทอง. (2544). ทฤษฎกราฟ. กรงเทพมหานคร: โอเดยนสโตร.

ลออ เพมสมบต. (2541). โจทย 2000 ขอ คณตศาสตรดสครต. กรงเทพมหานคร: แมคกรอ – ฮล.


สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . (2556). ทฤษฏกราฟเบองตน .

กรงเทพมหานคร: ไฮเอดพบลชชง.

อตวงศ สชาโต. เอกสารค าสอนวชา 2110200 โครงสรางดสครต. กรงเทพมหานคร: จฬาลงกรณมหาวทยาลย

Pass, R., & Tseng, W. D. (2011). A Course in Discrete Structures, New York: Cornell

University.

Eric Lehman, E., Leighton, F. T., & R Meyer, A. R. (2012). Mathematics for Computer

Science. Massachusetts: Massachussetts Institute of Technology.

Network Optimization (Dijkstra's algorithm) [online]. Available: http://www.vcharkarn.com.

[8 สงหาคม 2555].


192









1. เพอใหผ เรยนสามารถตรวจสอบวากราฟเปนตนไมหรอไม ไดอยางถกตอง

2. เพอใหผ เรยนสามารถบอกสวนประกอบของตนไมทก าหนดใหไดอยางถกตอง

3. เพอใหผ เรยนสามารถอธบายลกษณะของตนไมทวภาคไดอยางถกตอง

4. เพอใหผ เรยนสามารถแวะผานตนไมไดอยางถกตอง

5. เพอใหผ เรยนสามารถสรางตนไมทวภาคไดอยางถกตอง

6. เพอใหผ เรยนสามารถอธบายลกษณะของตนไมทอดขามไดอยางถกตอง

7. เพอใหผ เรยนสามารถคนหาตนไมทอดขามโดยคนหาแนวลกไดอยางถกตอง

8. เพอใหผ เรยนสามารถคนหาตนไมทอดขามโดยคนหาแนวกวางไดอยางถกตอง

9. เพอใหผ เรยนสามารถหาตนไมทอดขามทนอยทสดไดอยางถกตอง

10. เพอใหผ เรยนสามารถแกโจทยปญหาโดยใชวธการหาตนไมทอดขามทนอยทสดไดอยางถกตอง








194


7. ใหผ เรยนออกมาท าแบบฝกหดหนาชน








4. ประเมนโดยสงเกตพฤตกรรมระหวางเรยน

บทท 9 ตนไม | |

195

บทท 9

ตนไม

ตนไมแสดงขอมลแบบล าดบขน ถกน ามาประยกตใชในการแสดงโครงสราง การหาเสนทางทแผทวและมคาใชจายทนอยทสด และทส าคญถกน ามาใชเพอคนหาขอมล ตวอยางการประยกตใชแสดงโครงสรางเชน แสดงโครงสรางของหนวยงาน ซงประกอบไปดวย แผนก แตละแผนกกประกอบดวยฝาย ส าหรบการน าไปประยกตใชคนหาขอมลเชน การสรางตนไมทวภาค ในบทนจงจะกลาวถง ตนไมทวภาค การแวะผานตนไม กาคนหาขอมล ตนไมทอดขาม ตนไมทอดขามทนอยทสด

ตวอยางท 9.1 จากกราฟตอไปน เปนตนไมหรอไม

(ก) (ข) (ค)

วธท า กราฟ (ก) เปนกราฟเชอมโยง และไมมวฎจกร ดงนนเปนตนไม

กราฟ (ข) ไมเปนกราฟเชอมโยง ดงนนไมเปนตนไม

กราฟ (ค) เปนกราฟเชอมโยง แตมวฎจกร ดงนนไมเปนตนไม

วฏจกร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน และไมผานจดยอดทซ ากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

ตนไม คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร


196


ตวอยางท 9.2 จากตนไมระบทศทาง T1 มรากคอ r ตนไมระบทศทาง T2 เปนกราฟไมมราก

(T1) (T2)

ตวอยางท 9.3 ตนไมระบทศทาง T1 ในตวอยางท 9.2 สามารถเขยนใหมไดดงภาพขางลาง เพอแสดงระดบของจดยอด จะสงเกตไดวาเสนเชอมแตละเสนจะมทศทางมาจากจดยอดแตละจดทระดบ k ไปยงจดยอดทระดบ k + 1 ตนไมระบทศทาง T1 มระดบสงสดเทากบ 3 โดย r อยระดบ 0

หมายเหต จะเปนการงายทจะสรางตนไมให r เปนราก โดยใหรากอยสวนบนสดของกราฟ และจดยอดทเหลอใหเรยงล าดบลงมาในทศทางเดยวกน จะท าใหสามารถตดลกศรทบอกทศทางได

ตนไมระบทศทาง T จะเปนตนไมทมราก ถามจดยอด r ของ T ท ทก ๆ จดยอด v ของ

T จะมวถ r - v อยใน T เราเรยก r วา ราก ของ T

e

n

m j f

d

c

b

a

r

g

h

k

ส าหรบตนไมระบทศทาง T ทมรากเปน r จดยอด x ใดๆ จะอยในระดบท i กตอเมอวถ r – xใน T ทมความยาวเทากบ i และ T จะมระดบสงสดท I ถา i มคามากทสด

e

n

m

j f

d c

b a

g

h

k

r


197

จากภาพในตวอยางท 9.3 m เปนลกของ n และ a, k, j, g, f, e และ c เปนใบ

ตวอยางท 9.4 ตนไม T1 และ T2 เปนตนไมแบบทวภาค ซงในรปตนไม T2 b เปนลกทางซาย และ c เปนลกทางขวาของ a

(T1) (T2)

9.1.1 การแวะผานตนไม

ให T เปนตนไมทมราก ถาจดยอด v ของกราฟ T เชอมโยงกบจดยอด u และ u อยต าแหนงขางใต v ดงนนเราเรยก u วาเปนลก (child) และเรยก v วาเปนแม (parent) ของ u เรยก จดยอดทไมมลกวาใบ (leaf) เรยกจดยอดทไมใชใบวาจดยอดภายใน (internal vertices)

ตนไมทมรากจะเรยกวา ตนไม m ภาค (m-ary tree) ถาทกๆ จดยอดมลกอยางมาก m จด

ตนไมแบบทวภาค (binary tree) คอ ตนไมซงจดยอดทกๆ จดมลกอยางมาก 2 จด คอ ลกทางซาย (left child) และลกทางขวา (right child) เมอเขยนภาพตนไมแบบทวภาค ลกทางซายของแตละจดจะอยทางขางลางซายของแม และลกทางขวาจะอยทางลางขวาของแม

a

b c

ให T = (V, E) เปนตนไมทม r เปนราก ถา | V | = 1 ดงนนราก r เปนการแวะผานแบบแวะกอน (pre-order traversal) ถา | V | > 1 ให T1, T2 เปนตนไมยอยทางซาย และทางขวา การแวะผานแบบแวะกอน

ของ T เรมจากแวะราก r แลวแวะผานแบบแวะกอนทตนไมยอย T1 สดทายแวะผานแบบแวะกอนทตนไม T2


198

ภาพท 9.1 ตนไมยอยของ T

ตวอยางท 9.5 จงแวะผานตนไมแบบแวะกอน แบบแวะทหลง และแบบแวะผานตามล าดบ

วธท า แบบแวะกอน มล าดบของจดทผานดงน a, b, d, h, m, n, i, o, e, c, f, j, k, g

แบบแวะทหลง มล าดบของจดทผานดงน m, n, h, o, i, d, e, b, j, k, f, g, c, a

แบบแวะผานตามล าดบ มล าดบของจดทผานดงน m, h, n, d, i, o, b, e, a, j, f, k, c, g

ให T = (V, E) เปนตนไมทม r เปนราก ถา | V | = 1 ดงนนราก r เปนการแวะผานแบบแวะทหลง (post-order traversal) หรอการ

แวะผานแบบแวะผานตามล าดบ (inorder traversal) ถา | V | > 1 ให T1, T2 เปนตนไมยอยทางซาย และทางขวา ดงภาพท 9.1 การแวะผานแบบแวะทหลงของ T คอ การแวะตนไม T1 แบบแวะทหลง แวะตนไม T2แบบ

แวะทหลง แลวแวะรากของตนไม

การแวะผานแบบแวะผานตามล าดบของ T คอ การแวะตนไม T1 แบบแวะผานตามล าดบ แวะรากของตนไม แลวแวะตนไม T2 แบบแวะผานตามล าดบ

d e g f

h i j

c b

a

m n o

k

V

M

H

K D

S

P

ราก

T1 T2


199

9.1.2 การเรยงขอมลในตนไมแบบทวภาค

ขนตอนในการสรางตนไมขนอยกบรปแบบของการแวะตนไมทเลอก ในกรณทตองการแวะผานตามล าดบมขนตอนตอไปน

1) อานขอมล และก าหนดใหเปนราก

2) อานขอมลถดไป ถาขอมลใหมมคานอยกวาใหใสขอมลนนเปนลกทางซาย แตถามคามากกวาหรอเทากบใหเปนลกทางขวา

3) ท าขอ (2) จนกระทงหมดขอมล

ตวอยางท 9.6 จงสรางตนไมแบบทวภาคเพอเกบขอมลตอไปน แลวแวะผานแบบตามล าดบเพอใหเรยงล าดบขอมล 50 70 80 40 30 35 65 60

วธท า

(ก) (ข) (ค)

(ง) (จ) (ฉ)

(ช) (ญ)

1) อาน 50 และก าหนดใหเปนราก ดงภาพ (ก)

2) อาน 70 และ 70 > 50 ให 70 เปนลกทางขวาของ 50 ดงภาพ (ข) 3) อาน 80 และ 80 > 70 ให 80 เปนลกทางขวาของ 70 ดงภาพ (ค)

50 50

70

50

70

80

35

65

50

70

80

40

30

35

65

50

70

80

40

30

60

40

50

70

80 30 80

40

50

70

30

35

40

50

70

80


200

4) อาน 40 และ 40 < 50 ให 40 เปนลกทางซายของ 50 ดงภาพ (ง)

5) อาน 30 และ 30 < 40 ให 30 เปนลกทางซายของ 40 ดงภาพ (จ)

6) อาน 35 35 > 30 และ 35 < 40 ให 30 เปนลกทางขวาของ 30 ดงภาพ (ฉ)

7) อาน 65 65 > 50 และ 65 < 70 ให 60 เปนลกทางซายของ 70 ดงภาพ (ช)

8) อาน 60 60 > 50 และ 60 < 65 ให 60 เปนลกทางซายของ 65 ดงภาพ (ญ)

เมอแวะผานแบบตามล าดบจะไดขอมลทเรยงดงน 30 35 40 50 60 65 70 80

ตวอยางท 9.7 จงสรางตนไมแบบทวภาคเพอเรยงล าดบค าตามพจนานกรมดงตอไปน table doll

van fish mouse dog egg tree zero

วธท า

(ก) (ข) (ค)

(ง) (จ) (ฉ)

(ช) (ญ) (ณ)

1) อาน table และก าหนดใหเปนราก ดงภาพ (ก)

2) อาน doll และ doll < table ให doll เปนลกทางซายของ table ดงภาพ (ข)

3) อาน van และ van > table ให van เปนลกทางขวาของ table ดงภาพ (ค)

table table

doll

table

doll van

fish

table

doll van

fish

table

doll van

mouse

dog fish

table

doll van

mouse egg

fish

table

doll van

mouse

dog

dog fish

table

doll van

mouse egg

tree zero dog fish

table

doll van

mouse egg

tree


201

4) อาน fish และ table > fish > doll ให fish เปนลกทางขวาของ doll ดงภาพ (ง)

5) อาน mouse และ table > mouse > ให mouse เปนลกทางขวาของ fish ดงภาพ (จ)

6) อาน dog และ dog < doll ให dog เปนลกทางซายของ doll ดงภาพ (ฉ)

7) อาน egg และ doll < egg < fish ให egg เปนลกทางซายของ fish ดงภาพ (ช)

8) อาน tree และ table < tree < van ให tree เปนลกทางซายของ van ดงภาพ (ญ)

9) อาน zero และ zero > van ให zero เปนลกทางขวาของ van ดงภาพ (ณ)

เมอแวะผานแบบตามล าดบจะไดขอมลทเรยงดงน dog doll egg fish mouse table

tree van zero


ตวอยางท 9.8 กราฟ (ข) – (ฉ) เปนตนไมทอดขามของกราฟ (ก) หรอไม

(ก) (ข) (ค)

(ง) (จ) (ฉ)

วธท า กราฟ (ข) เปนกราฟยอยของกราฟ (ก) และประกอบดวยจดยอดทกจดของกราฟ (ก) ดงนนกราฟ (ข) เปนตนไมทอดขามของกราฟ (ก)

a d

c b

a d

c b b

a d

c

b

a d

c

a d

c b

a d

c b

กราฟยอย (subgraph) ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G

กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G ถา V(H) V(G) และ E(H) H(G)

ตนไมทอดขาม(spanning tree) คอ ตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดของ G


202

กราฟ (ค) ไมเปนกราฟยอยของกราฟ (ก) เพราะเสนเชอม dc ไมเปนเสนเชอมในกราฟ (ก) และมวฎจกร ดงนนกราฟ (ค) ไมเปนตนไมทอดขามของกราฟ (ก)

กราฟ (ง) เปนกราฟยอยของกราฟ (ก) และประกอบดวยจดยอดทกจดของกราฟ (ก) ดงนนกราฟ (ง) เปนตนไมทอดขามของกราฟ (ก)

กราฟ (จ) เปนกราฟยอยของกราฟ (ก) แตไมเปนตนไมเพราะไมใชกราฟเชอมโยงและม วฎจกร ดงนนกราฟ (จ) ไมเปนตนไมทอดขามของกราฟ (ก)

กราฟ (ฉ) เปนกราฟยอยของกราฟ (ก) และประกอบดวยจดยอดทกจดของกราฟ (ก) ดงนนกราฟ (ฉ) เปนตนไมทอดขามของกราฟ (ก)

9.2.1 การคนหาในแนวลก

การคนหาในแนวลก (depth – first search) เปนเทคนคทใชหาตนไมทอดขามซงอาจจะไดตนไมทอดขามทแตกตางกนหลายแบบ สรยา ณ หนองคาย (2557) ไดสรปขนตอนดงน

1) เลอกจดหนงในกราฟ G เพอน ามาเปนรากของตนไม T

2) เลอกจดยอดในแนวลกทไมใชจดยอดทเลอกไวแลว แตมเสนเชอมกบจดทเลอกไว รวมเสนเชอมลงใน T

3) ถาพบวาทกวถจากจดรากไปถงทกจดใน G จะไดตนไมทเปนตนไมทอดขามของ G

แตถาไมผานทกจดใน G จะตองยอนกลบมาหนงจด แลวหาวถใหมดวยวธเดม

ตวอยางท 9.9 ให G = (V, E) จงใชขนตอนวธการคนหาในแนวลกโดยเรมจากจด r หาตนไมแบบทอดขามของ G

วธท า (1) จากจดยอด r น า r เขยนลงตนไม T ดงภาพ (ก) (2) จด p มเสนเชอมกบ r และยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม rp ในตนไม T ดงภาพ (ข) (3) จากจด q มเสนเชอมกบ p และยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม pq ในตนไม T ดงภาพ (ค)

p

m

n o s

t

q

r u

v


203

(4) จากจด m มเสนเชอมกบ q และยงไมเคยถกเลอก m ลากเสนเชอม mq ในตนไม T ดงภาพ (ง) (5) จากจด n มเสนเชอมกบ m และยงไมเคยถกเลอก n ลากเสนเชอม nm ในตนไม T ดงภาพ (จ) (6) จากจด n มเสนเชอมกบ m เพยงจดเดยว แต m ถกเลอกแลว และยงมจดอน ๆ ยงไมถกเลอกดงนนจงยอนกลบมาทจด m จด m มเสนเชอมกบ o และ o ยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม mo ในตนไม T ดงภาพ (ฉ)

(ก) (ข) (ค) (ง) (จ) (ฉ)

(ช) (ซ) (ญ) (ณ)

(7) จากจด o มเสนเชอมกบ m เพยงจดเดยว แต m ถกเลอกแลว และยงมจดอน ๆ ยงไมถกเลอก ดงนนจงยอนกลบมาทจด q จด q มเสนเชอมกบ s และ s ยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม qs ในตนไม T ดงภาพ (ช) (8) จากจด u มเสนเชอมกบ q เพยงจดเดยว แต q ถกเลอกแลว และยงมจดอน ๆ ยงไมถกเลอก ดงนนจงยอนกลบมาทจด q จด q มเสนเชอมกบจด p, r, u และ u ยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม qu ในตนไม T ดงภาพ (ซ) (9) จากจด u มเสนเชอมกบ t และ t ยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม ut ในตนไม T ดงภาพ (ญ)

r p

r

q

p

r

m

q

p

r

m

q

p

r

n

m

q

p

r

n o

u s m

q

p

r

n o

s m

q

p

r

n o t v

u s

m

q

p

r

n o t

u s

m

q

p

r

n o


204

(10) จากจด t มเสนเชอมกบ u เพยงจดเดยว แต u ถกเลอกแลว และยงมจดอน ๆ ยงไมถกเลอก ดงนนจงยอนกลบมาทจด u จด u มเสนเชอมกบ v และ v ยงไมเคยถกเลอก ลากเสนเชอม uv ในตนไม T ดงภาพ (ณ) จากวธดงกลาวอาจจะไดตนไมทอดขามทมล าดบของจดยอดดงน r, q, s, m, o, n, p, r, t,

u, v หรอ r, t, u, v, p, q, m, n, o, s เปนตน

9.2.2 การคนหาในแนวกวาง การคนหาในแนวกวางเปนอกวธทใชหาตนไมทอดขามซงมขนตอนดงตอไปน (สรยา ณ

หนองคาย, 2557) 1) เลอกจดหนงในกราฟ G เพอน ามาเปนรากของตนไม T

2) หาจดยอดทมเสนเชอมกบจดทเลอกไวและยงไมเคยถกเลอก รวมเสนเชอมลงใน T จดยอดใหมทเกดขนมาถอวาเปนจดยอดในระดบเดยวกน

3) จากจดยอดทอยในระดบเดยวกนทละจด หาจดยอดทยงไมถกเลอกและมเสนเชอมตอกบจดยอดนน ลากเสนเชอมตอลงในตนไม T

4) ท าขอ (3) จนครบทกจดในกราฟ

ตวอยางท 9.10 ให G = (V, E) จงใชขนตอนวธการคนหาในแนวกวางโดยเรมจากจด r หาตนไมแบบทอดขามของ G

วธท า (1) จดยอด r มเสนเชอมจด p, q และ t จะไดจดดงกลาวเปนจดยอดในระดบเดยวกน และไมท าใหเกดวงวน ลากเสนเชอม rp, rq และ rt ในตนไม T ดงภาพ (ข) (1.1) จดยอด p มเสนเชอมกบ q แต q ถกเลอกแลว

(1.2) จดยอด q มเสนเชอมกบ m, s และ u ซง m, s และ u ยงไมถกเลอก ลากเสนเชอม qm, qs และ qu ดงภาพ (ค) (1.3) จดยอด t มเสนเชอมกบ u แต u ถกเลอกแลว

p

m

n o s

t

q

r u

v


205

(2) ทจดยอด m, s และ u ซงเปนจดยอดระดบเดยวกน

(2.1) จดยอด m มเสนเชอมกบ n และ o ซง n และ o ยงไมถกเลอก ลากเสนเชอม mn และ mo ดงภาพ (ง) (2.2) จดยอด s มเสนเชอมกบ q แต q ถกเลอกแลว

(2.3) จดยอด u มเสนเชอมกบ t และ v ซง v ยงไมถกเลอก ลากเสนเชอม uv ดงภาพ (จ)

(ก) (ข) (ค)

(ง) (จ)

9.2.3 ตนไมทอดขามทนอยทสด

ตวอยางท 9.11 ก าหนดกราฟถวงน าหนกดงภาพ จงหาตนไมทอดขามทนอยทสด

ตนไมทอดขามทนอยทสด คอ ตนไมทอดขามทมผลรวมของคาน าหนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

70

30 u v w

z y x

80

40

60

50 20

r r

p q t

r

p q t

m s

u

r

p q t

m s

u

o n

r

p q t

m s

u

o n v


206

วธท า

(ก) (ข)

(ค)

ตนไม (ก) มผลรวมคาน าหนกทงหมดเทากบ 30 + 40 + 80 + 50 + 20 = 220

ตนไม (ข) มผลรวมคาน าหนกทงหมดเทากบ 30 + 40 + 60 + 50 + 20 = 200

ตนไม (ค) มผลรวมคาน าหนกทงหมดเทากบ 30 + 40 + 70 + 50 + 20 = 210

ดงนนตนไม (ข) เปนตนไมทอดขามทนอยทสด


9.3.1 ตนไมนพจน (binary expression tree)

ตวอยางท 9.12 จากตนไมนพจนตอไปน จงแวะผานแบบแวะตามล าดบ แวะผานแบบแวะกอน และแวะผานแบบแวะทหลง

30

80

40

50 20

u v w

z y x

30 40

60

50 20

u v w

z y x

70

30 40

50 20

u v w

z y x

‘*’

‘+’ ‘10’

‘8’ ‘20’


207

วธท า ล าดบของการแวะผานแบบเวะตามล าดบ คอ ( 8 + 20 ) * 10

ล าดบของการแวะผานแบบแวะกอน คอ * + 8 20 10

ล าดบของการแวะผานแบบแวะทหลง คอ 8 20 + 10 *

9.3.2 ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s algorithm) ขนตอนวธนใชหาตนไมทอดขามทนอยทสด โดยจะเลอกเสนทมน าหนกน อยทสดจากกราฟเชอมโยงถวงน าหนก และการเลอกเสนดงกลาวตองไมกอใหเกดวฏจกร การเลอกสนสดเมอไดตนไมแผทว ตนไมทอดขามทนอยทสดอาจมมากกวา 1 แบบ

ตวอยางท 9.13 จงหาเสนทางการเชอมตอเครอขายคอมพวเตอรทมคาใชจายทนอยทสด (พนบาท) จากกราฟตอไปน โดยใชขนตอนวธของครสกาวล

วธท า

(ก) (ข)

(ค) (ง)

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40 e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40 e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40


208

(จ) (ฉ)

(ช)

เพอหาตนไมแผทวทนอยทสดไดเลอกเสนเชอมทสนทสดตามล าดบตอไปน คอ db, ba, af,

ge, bc และ ce จากภาพไมไดเลอกเสนเชอม ad เนองจากจะท าใหเกดวฏจกร

9.3.3 ขนตอนวธของพรม (Prim’s algorithm) แนวคดขนตอนของพรม คอ การแทนตนไม T ทมอยในกราฟเชอมโยงทมน าหนกดวยตนไมอนใหมทเกดจากการเพมเสนทมน าหนกนอยทสดลงไปใน T โดยทเสน ๆ นเปนเสนเชอมจดทอยใน T กบจดทไมอยใน T

ตวอยางท 9.14 จงหาเสนทางการเชอมตอเครอขายคอมพวเตอรทมคาใชจายทนอยทสด (พนบาท) จากกราฟตอไปน โดยใชขนตอนวธของพรม

วธท า (1) เลอกเสนเชอมโยง ab ลงตนไม T ดงภาพ (ก) (2) ทจด a และ b พบวา bd สนทสดและ d ไมอยใน T เลอก bd ลงตนไม ดงภาพ (ข)

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40 e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40

40 30

50

50

20

40 e

b

c

d

a f

g

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40


209

(3) ทเสนเชอม da พบวา a อยใน T แลวจงไมเลอก แตเลอก af ลงตนไม T ดงภาพ (ค) (4) ทจด f เสนทสนทสดคอ fg และ g ไมอยใน T เลอก fg ลงตนไม T ดงภาพ (ง) (5) ทจด g เสนทสนทสดคอ ge และ e ไมอยใน T เลอก ge ลงตนไม T ดงภาพ (จ) (6) ทจด e เสนทสนทสดคอ gc และ c ไมอยใน T เลอก gc ลงตนไม T ดงภาพ (ฉ)

(ก) (ข)

(ค) (ง)

(จ) (ฉ)

(ช)

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40 e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40 e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40

40 30

20

50

50

40 e

b

c

d

a f

g

e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40 e

b

c

d

a f

g

40 30

50

50

80

40 20

60 80 60 50

40


210

บทสรป

วฎจกร (cycle) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน และไมผานจดยอดทซ ากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

ตนไม (tree) คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

รากของตนไม (root) คอ จดยอด r ของตนไม T ททก ๆ จดยอด v ของ T จะมวถ r - v อยใน T สวนประกอบของตนไม T ทมราก ถาจดยอด v ของกราฟ T เชอมโยงกบจดยอด u และ u อย

ต าแหนงขางใต v ดงนนเราเรยก u วาเปนลก (child) และเรยก v วาเปนแม (parent) ของ u เรยกจดยอดทไมมลกวาใบ (leaf) เรยกจดยอดทไมใชใบวาจดยอดภายใน (internal

vertices)

ตนไม m ภาค (m-ary tree) คอ ตนไมทมรากโดยทก ๆ จดยอดมลกอยางมาก m จด

ตนไมแบบทวภาค (binary tree) คอ ตนไมซงจดยอดทก ๆ จดมลกอยางมาก 2 จด คอ ลกทางซาย (left child) และลกทางขวา (right child) เมอเขยนภาพตนไมแบบทวภาค ลกทางซายของแตละจดจะอยทางขางลางซายของแม และลกทางขวาจะอยทางลางขวาของแม

การแวะผานแบบแวะกอน (pre-order traversal) ให T = (V, E) เปนตนไมทม r เปนราก ถา | V | = 1 ดงนนราก r เปนการแวะผานแบบแวะกอน ถา | V | > 1 ให T1, T2 เปนตนไมยอยทางซาย และทางขวา การแวะผานแบบแวะกอนของ T เรมจากแวะราก r แลวแวะผานแบบแวะกอนทตนไมยอย T1 สดทายแวะผานแบบแวะกอนทตนไม T2

การแวะผานแบบแวะทหลง (post-order traversal) ให T = (V, E) เปนตนไมทม r เปนราก ถา | V | = 1 ดงนนราก r เปนการแวะผานแบบแวะทหลง ถา | V | > 1 ให T1, T2 เปนตนไมยอยทางซาย และทางขวา การแวะผานแบบแวะทหลงของ T คอ การแวะตนไม T1แบบแวะทหลง แวะตนไม T2 แบบแวะทหลง แวะรากตนไม

การแวะผานแบบแวะผานตามล าดบ (inorder traversal) ให T = (V, E) เปนตนไมทม r เปนราก ถา | V | = 1 ดงนนราก r เปนการแวะผานแบบแวะผานตามล าดบ

ถา | V | > 1 ให T1, T2 เปนตนไมยอยทางซาย และทางขวา การแวะผานแบบแวะผานตามล าดบของ T คอ การแวะตนไม T1 แบบแวะผานตามล าดบ แวะรากของตนไม แลวแวะตนไม T2 แบบแวะผานตามล าดบ

การสรางตนไมแบบทวภาค ในกรณทตองการแวะผานตามล าดบมขนตอนตอไปน

1) อานขอมล และก าหนดใหเปนราก


211

2) อานขอมลถดไป ถาขอมลใหมมคานอยกวาใหใสขอมลนนเปนลกทางซาย แตถามคามากกวาหรอเทากบใหเปนลกทางขวา

3) ท าขอ (2) จนกระทงหมดขอมล

กราฟยอย (subgraph) ของกราฟ G คอ กราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G ถา V(H) V(G) และ E(H) H(G)

ตนไมทอดขาม (spanning tree) คอ ตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดของ G

การคนหาในแนวลก (depth – first search) เปนเทคนคทใชหาตนไมทอดขามดงตอไปน 1) เลอกจดหนงในกราฟ G เพอน ามาเปนรากของตนไม T

2) เลอกจดยอดในแนวลกทไมใชจดยอดทเลอกไวแลว แตมเสนเชอมกบจดทเลอกไว รวมเสนเชอมลงใน T

3) ถาพบวาทกวถจากจดรากสามารถไปถงทกจดใน G จะไดตนไมทเปนตนไมทอดขามของ G แตถาไมผานทกจดใน G จะตองยอนกลบมาหนงจด แลวหาวถใหมดวยวธเดม

การคนหาในแนวกวาง (breath – first search) เปนอกวธทใชหาตนไมทอดขามซงมขนตอนดงน 1) เลอกจดหนงในกราฟ G เพอน ามาเปนรากของตนไม T

2) หาจดยอดทมเสนเชอมกบจดทเลอกไวและยงไมเคยถกเลอก รวมเสนเชอมลงใน T จดยอดใหมทเกดขนมาถอวาเปนจดยอดในระดบเดยวกน

3) จากจดยอดทอยในระดบเดยวกนทละจด หาจดยอดทยงไมถกเลอก และมเสนเชอมตอ

กบจดยอดนน ลากเสนเชอมตอลงในตนไม T

4) ท าขอ (3) จนครบทกจดในกราฟ

ตนไมทอดขามท นอยท สด (minimal spanning tree) คอ ตนไมทอดขามทมผลรวมของ คาน าหนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s algorithm) ใชหาตนไมทอดขามทนอยทสด โดยจะเลอกเสนทมน าหนกนอยทสดจากกราฟเชอมโยงถวงน าหนก และการเลอกเสนดงกลาวตองไมกอใหเกดวฏจกร การเลอกสนสดเมอไดตนไมแผทว ตนไมทอดขามทนอยทสดอาจมมากกวา 1 แบบ

ขนตอนวธของพรม (Prim’s algorithm) คอการแทนตนไม T ทมอยในกราฟเชอมโยงทมน าหนกดวยตนไมอนใหมทเกดจากการเพมเสนทมน าหนกนอยทสดลงไปใน T โดยทเสนๆ นเปนเสนเชอมจดทอยใน T กบจดทไมอยใน T


212


1. กราฟตอไปนเปนตนไมหรอไม 1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6

2. จากกราฟตอไปนใหเขยนเปนตนไมมราก

2.1 2.2

3. ให G เปนกราฟดงภาพตอไปน ซงแทนระบบสอสารดวยใยแกวน าแสงทเชอมตอ 10 เมอง ตอมาอปกรณเกดช ารดท าใหการสอสารของเสนทาง bc, ce, fh, hj ขดของ หากตองการซอมแซมใหทกเมองสามารถใชงานไดโดยดวนจะตองเลอกซอมแซมเสนทางใดกอน

c b

d

e

f

g h

a

j

k m b

h

e j

f

d

c

a

g

k

r m

b h

e

j

f

d

c

a g

k


213

4. จงแสดงจดยอดทเกดจากการแวะผานตนไมแบบแวะกอน แบบแวะทหลง และแบบแวะผานตามล าดบ

4.1 4.2

5. จงสรางตนไมแบบทวภาคเพอเกบขอมลตอไปน แลวแวะผานแบบตามล าดบเพอใหเรยงล าดบขอมลจากนอยไปมาก

5.1 35 38 42 24 33 50 43 60 5.2 85 95 65 100 30 70

6. จากกราฟตอไปน จงหาตนไมแบบทอดขามโดยใชวธการคนหาแนวลก โดยเรมจากจดยอด d

6.1 6.2

7. จากขอ 6 จงหาตนไมแบบทอดขามโดยใชวธคนหาแนวกวาง

8. จงหาตนไมทอดขามทนอยทสดดวยขนตอนวธของครสกาวล

8.1 8.2

9. จากขอ 8 จงหาตนไมทอดขามทนอยทสดดวยขนตอนวธของพรม

r

/

p

k

d

q

f e

g h i

c b

a

m n o

j

d

b

e

f

c

a

+

* + a

f d

-

c e

*

g b

a

f g

b d

h e

c

f 3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

5 e f

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4


214

10. จากการประเมนเพอสรางเสนทางรถไฟฟาผานเจดเมอง คอเมอง A, B, C, D, E, F และ G จะเสยคาใชจายดงตารางตอไปน (หนวยเปนพนลานบาท) จงหาคาใชจายทนอยทสดในการสรางเสนทางรถไฟฟาเชอมทงเจดเมอง

เมอง A B C D E F G

A - 3 - - - 5 -

B 3 - 5 - 4 7 -

C - 5 - 6 7 - -

D - - 6 - 3 8 -

E - 4 7 3 - 5 -

F 5 7 - 8 5 - 3

G - - - - - 3 -


215


ชะเอม สายทอง. (2544). ทฤษฎกราฟ, กรงเทพ: โอเดยนสโตร.

สชพ งามเจรญ และ ไอศรย สดประเสรฐ. (2544). คณตคดเรวทละเรอง ทฤษฎกราฟเบองตน. นนทบร: ธรรมบณฑต.

สรยา ณ หนองคาย. กราฟ และตนไม [Online]. Available: http://maths.sci.ku.ac.th/suriya [19 กรกฎาคม 2556].

K. Kalorkoti & H. Shimodaira. Algorithms, data structures and learning [Online]. Available: http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/inf2b/algnotes/note10.pdf [10 Aug 2012]


216

บรรณานกรม

การ complement ของเลขฐาน 2 [Online]. Available: https://sites.google.com/site/

sgsdfsdfkl ld [ 2 สงหาคม 2558].


เชยงใหม, มหาวทยาลย. คณตศาสตร, ภาควชา. ตรรกศาสตรและการพสจน [Online].

Available: http://math.science.cmu.ac.th [2 สงหาคม 2557].

ชะเอม สายทอง. (2544). ทฤษฎกราฟ, กรงเทพมหานคร: โอเดยนสโตร. ชะเอม สายทอง. (2548). คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร. กรงเทพมหานคร: โอเดยนสโตร. ณฐพล คมใหญโต. ระบบเลขฐาน [Online]. Available: http://ict.up.ac.th/nattapon [ 20


นทกานต สเมธสทธกล. [Online]. Available: http://staff.cs.psu.ac.th/natikan [31 มกราคม 2558].

ภทรา เตชาภวาทย. (2546). คณตศาสตรเตมหนวย. พษณโลก: มหาวทยาลยนเรศวร. ระบบเลขฐานในวงจรดจตอล [Online]. Available: http://www.cstc.ac.th [ 20 กมภาพนธ

2558].

รตนพร บอค า. (2542). คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร. พษณโลก: คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

ลออ เพมสมบต. (2541). โจทย 2000 ขอ คณตศาสตรดสครต. กรงเทพมหานคร: แมคกรอ – ฮล.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1. กรงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพราว.



สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2554). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.


| | บรรณานกรม

218

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2555). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 2. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2556). ทฤษฏกราฟเบองตน ,

กรงเทพมหานคร: ไฮเอดพบลชชง. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2556). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2557). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1. กรงเทพมหานคร: กระทรวงศกษาธการ. สชพ งามเจรญ และ ไอศรย สดประเสรฐ. (2544). คณตคดเรวทละเรอง ทฤษฎกราฟเบองตน.

นนทบร: ธรรมบณฑต. สรยา ณ หนองคาย. กราฟ และตนไม [Online]. Available: http://maths.sci.ku.ac.th/suriya

[19 กรกฎาคม 2558].

อตวงศ สชาโต. เอกสารค าสอนวชา 2110200 โครงสรางดสครต. กรงเทพมหานคร: จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

อกฤษฎ ขาวเมองนอย. (2543). คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร. นครสวรรค: สถาบนราชภฏนครสวรรค.

Complete List of ASCii codes [Online]. Available: http://www.theasciicode.com.ar [ 22


Eric Lehman, E., Leighton, F. T., & R Meyer, A. R. (2012). Mathematics for Computer

Science. Massachusetts: Massachussetts Institute of Technology.

Haggard, G., Schlipf, J., & Whitesides, S. (2006). Discrete Mathematics for Computer

Science. United States of America: Thomson Brooks/Cole.

Network Optimization (Dijkstra's algorithm) [online]. Available: http://www.vcharkarn.com.

[8 สงหาคม 2555].

Pass, R., & Tseng, W. D. (2011). A Course in Discrete Structures, New York: Cornell

University.

ภาคผนวก


220

เฉลยแบบฝกหด | |

221

เฉลยแบบฝกหด

บทท 1

1. จ ำนวนนบไดแก 3 27

จ ำนวนเตมไดแก 0, 3 27

จ ำนวนตรรกยะไดแก 0, 5.224, 531.4 , 3 27 , 3

10

จ ำนวนอตรรกยะไดแก 7.689754…, 5

2.1 3 2.2 -86 2.3 -21

2.4 72 2.5 127 2.6 -12

2.7 -22 2.8 -171 2.9 -31

2.10 12.65

3.1 35

2 3.2

21

20 3.3

7

41

3.4 85

37 3.5

44

13 3.6

7

22

4.1 35

24 4.2

147

25 4.3

12

5

4.4 9

21 4.5

20

33 4.6

117

34

5.1 51.118 5.2 3.89 5.3 92.34

5.4 31.449 5.5 31.144

6.1 8.64 6.2 8.704 6.3 0.00312

6.4 64.1 6.5 360.3 6.6 0.3

7.1 3.2456 x 10 7.2 1.0800007 x 102

7.3 5.477821 x 104

7.4 7.9 x 10-3 7.5 4.5745 x 10

-1 7.6 2.41 x 10

-5

8.1 6 8.2 5 8.3 45

8.4 50 8.5 -11 8.6 -3

บทท 2

1.1 1100.01112 1.2 0.10012 1.3 100011.01012

1.4 10011112 1.5 1110110112 1.6 10000011112


222

1.7 1011102 1.8 1110001002 1.9 100010012

1.10 000110102

2.1 149 2.2 170 2.3 119

2.4 91 2.5 3,174 2.6 5.75

2.7 6.375 2.8 13.6875

3.1 2118, 8916 3.2 1458, 6516 3.3 1018, 4116

3.4 1768, 7E16 3.5 5558, 16D16

4.1 100110012 4.2 11010012 4.3 1010112

4.4 5168 4.5 15378 4.6 1A4116

4.7 36D716 4.8 21816

5.1 10100012 5.2 1111102 5.3 1001002

5.4 100012 5.5 110002 5.6 111002

6.1 10000102 6.2 1101112 6.3 1000012

6.4 100012 6.5 1110012 6.6 1111012

7.1 1012 7.2 -1002 7.3 11102

7.4 -12 7.5 -11011012 7.6 -101012

8.1 100012 8.2 102 8.3 11002

8.4 -12 8.5 -10000012 8.6 -10112

บทท 3

1.1 ผลบวก = ผลลบ =

1.2 หำคำไมได

1.3 ผลบวก = ผลลบ =

2.

3.1 AB = [6 1 -3] BA = หำคำไมได

4 -2 5

-3 6 2

-2 -2 1

11 4 -14

-8 4 7

7 -5 0

-0 18 9

-2 10 -3

-7 -1 10

18 0 3

-7 -4 0

29 7 -36


223

3.2 AB = BA =

3.3 AB = BA = หำคำไมได

3.4 AB = BA = หำคำไมได

4.1 4.2 4.3

4.4 4.5

5.1 7 5.2 16

5.3 21 5.4 9

6.1 B = A-1 6.2 B = A

-1

7.1 A-1 = 7.2 A

-1 =

8. (170, 134), (152, 144), (160, 117)

23 19 39 33

42 71 -4 40

-7 39

14 -28

-7 39

14 -28

6 -3

2 3

0.25 0.18

0.00 -0.14

-1 -18 2

1 -7 5

15 45 33

-20 29

-14 45

-40

-41

5 15

10 -40

6 -3

2 3

8 -1

-7 1


224

บทท 4

1. ประโยคทเปนประพจนไดแก 1.1, 1.3, 1.5, 1.6

2.1 2.2

p q qp p(qp) p q p pq (pq)p

T T T T T T F T F

T F F F T F F T F

F T F T F T T T T

F F F T F F T F F

2.3

p q pq p(pq)

T T T T

T F T T

F T T F

F F F T

2.4

p q r pq (pq) r

T T T T T

T T F T F

T F T F F

T F F F F

F T T T T

F T F T F

F F T T T

F F F T F


225

2.5

p q r q (pq) (pq) (pq)r

T T T F F T T

T T F F F T T

T F T T T F T

T F F T T F F

F T T F F T T

F T F F F T T

F F T T F T T

F F F T F T T

2.6

p q r pq qr (pq) (qr)

T T T T T T

T T F T T T

T F T T T T

T F F T F F

F T T T T T

F T F T T T

F F T F T T

F F F F F T

3.1 เปนสจนรนดร 3.2 เปนสจนรนดร 3.3 ไมเปนสจนรนดร

3.4 เปนสจนรนดร 3.5 เปนสจนรนดร 3.6 ไมเปนสจนรนดร

4.1 สมมลกน 4.2 สมมลกน

4.3 สมมลกน 4.4 สมมลกน

5.1 สรปไมสมเหตสมผล 5.2 สรปสมเหตสมผล

6.1 x[x3 = -1], U = R 6.2 xy[x - y I], U = R

6.3 xy[xy = yx], U = R 6.4 x[x mod 2 = 0], U = I

6.5 xy[x + y < 0], U = N


226

7.1 ส ำหรบทก x ทเปนจ ำนวนเตม 3x – 7 > 0

7.2 x ทเปนจ ำนวนจรงบำงคำ 9x = 32

7.3 ส ำหรบทก x ม y บำงคำซง x + y = 0

7.4 ส ำหรบ x บำงคำ ม y บำงคำซง 2x + y = 5 และ y – x = 1

8.1 เปนจรง 8.2 เปนเทจ 8.3 เปนเทจ

8.4 เปนจรง 8.5 เปนจรง

บทท 5

1.1 P Q = {1, 2, 3, 5, 7, 8} 1.2 Q R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

1.3 P R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 1.4 P R = {2}

1.5 P S = { } 1.6 P (Q S’) = {1, 2, 3, 5, 7, 8}

1.7 Q – (P R)’ = {1, 3, 5} 1.8 (P’ – Q’) – S’ = { } 2.1 A B C 2.2 A – C

2.3 (A C)(B C) 2.4 (A C)’ 3.1 ถกตอง 3.2 เทจ 3.3 เทจ

3.4 เทจ 3.5 ถกตอง 3.6 เทจ

3.7 เทจ 3.8 เทจ

4. 300 คน 5. 43,900 คน

6. 18 คน 7. 255 คน

8.1 a = 7, b = 1 8.2 a = 2, b = 0

8.3 a = 2, b = -3 8.4 a = 3

1, b =

21

51

9.1 r = {(x, y) / y = 150x + 1500}

9.2 r = {(x, y) / y = 15000 + 0.1x}

10. r = {(-5, -3), (-3, -1), (-1, 1), (1, 3), (3, 5)}

Dr = {-5, -3, -1, 1, 3} Rr = {-3, -1, 1, 3, 5}

บทท 6

1.1 ไมเปน 1.2 เปน 1.3 ไมเปน

1.4 ไมเปน 1.5 เปน

2.1 Df = R, Rf = R


227

2.2 Df = R, Rf = { y / y ≥ -4 }

2.3 Df = { x / x ≥ 1.5}, Rf = { y / y ≥ 0}

2.4 Df = R, Rf = { y / y ≥ 0 }

3.1 ไดแก ขอ 2.1, 2.2, 2.4 3.2 ไดแก ขอ 2.1

3.3 ไดแก ขอ 2.1, 2.3 3.4 ไดแก ขอ 2.1

4.1 f + g = {(1, 1), (3, 5), (5, 8)} Df+g = {1, 3, 5}

f - g = {(1, -1), (3, -1), (5, -2)} Df-g = {1, 3, 5}

f g = {(1, 0), (3, 6), (5, 15)} Df.g = {1, 3, 5}

g

f = {(1, 0), (3,

3

2), (5,

5

3)} Df/g = {1, 3, 5}

4.2 f + g = 3x2 + 3x – 9 Df+g = R

f – g = 3x2 - 3x + 1 Df-g = R

f g = 9x3 - 15x

2 - 12x + 20 Df.g = R

g

f =

5x3

4x32

Df/g = R – {3

5}

5.1 fg = x – 15 gf = x – 15

5.2 fg = x2 + 6x - 16 gf = x

2 + 2x - 22

6.1 f(g(10)) = -5 g(f(10)) = -5

6.2 f(g(10)) = 144 g(f(10)) = 98

7.1 x4 = 190 x5 = 804 x6 = 3,556

7.2 x4 = 18 x5 = 28 x6 = 40

7.3 x4 = 63 x5 = 143 x6 = 344

7.4 x4 = 15 x5 = 31 x6 = 63

8.1 ไมเปน 8.2 เปนผลเฉลย

9. เปนผลเฉลย

10.1 xn = anb 10.2 xn = 2

nn

n

10.3 xn = 2

2nn2

10.4 2n - 1


228

บทท 7

1. 720 วธ

2. 30,000,000

3. 240 ค ำ

4.1 !2

!5 4.2

!

!

9

11

4.3 )!4n(

!n

4.4

)!(

)!(

3rn

rn

5.1 56 5.2 120 5.3 95,040

5.4 35 5.5 28 5.6 792

6. 24

7.1 360 จ ำนวน 7.2 936 จ ำนวน

8. 400 วธ

9.1 3,150 วธ 9.2 6 วธ

10.1 !!

!

448

52 = 270,725 วธ 10.2

!!

!

!!

!

!!

!

49

13

49

13

58

13

11. !85!2

!100

12.1 x5 + 15x

4y + 30x

3y

2 + 30x

2y

3 + 15xy

4 + y

5

12.2 81x4 - 216x

3y + 216x

2y

2 - 96xy

3 + 16y

4

บทท 8

1. กลองท 1 ประกอบดวยสำร A, D, E, F

กลองท 2 ประกอบดวยสำร B, C

2. A แทนจงหวดเลย B แทนจงหวดหนองคำย

C แทนจงหวดอดรธำน D แทนจงหวดขอนแกน

E แทนจงหวดนครรำชสมำ F แทนจงหวดสระบร

G แทนจงหวดหนองบวล ำภ 3.1 เสนทำงท 1 : A, D, C เสนทำงท 2 : A, B, C

3.2 เสนทำงท 1 : A, E เสนทำงท 2 : A, D, E

3.3 เสนทำงท 1 : B, A, E เสนทำงท 2 : B, D, E

A B C D

E

F

G


229

3.4 เสนทำงท 1 : B, D เสนทำงท 2 : B, C, D

4.

เมทรกซประชด =

5.1


5.2


6.1 ไมมรอยเดนออยเลอร ไมมวงจรออยเลอร ไมมวฏจกรแฮมลตน

6.2 มรอยเดนออยเลอรคอ a, b, c, d, e, f, a, e

ไมมวงจรออยเลอร

มวฏจกรแฮมลตนคอ a, b, c, d, e, f

6.3 มรอยเดนออยเลอรคอ e3, e4, e5, e2, e1, e6

ไมมวงจรออยเลอร

มวฏจกรแฮมลตนคอ e1, e3, e4, e6

6.4 มรอยเดนออยเลอร และวงจรออยเลอรคอ a, b, c, d, m, h, g, f, b, e, h, d, e, f, a

ไมมวฏจกรแฮมลตน

7. ไมสำมำรถท ำได

0 1 1 1 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 0 0 1 0

0 1 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 2 1

1 0 2 0 0

0 1 1 0 1

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

1 0 1 0 1

1 0 0 0 0


230

8.1

หรอ

8.2

8.3

หรอ

9. (7.) สท 1 ไดแก A, C สท 2 ไดแก B, D สท 3 ไดแก E

(8.1)

สท 1 ไดแก a, c สท 2 ไดแก y, x สท 3 ไดแก b

(8.2)

สท 1 ไดแก a, y สท 2 ไดแก b, d, x สท 3 ไดแก c, e

(8.3)

สท 1 ไดแก x, y สท 2 ไดแก a

สท 3 ไดแก b สท 4 ไดแก c

10.

บทท 9

1.1 ไมเปนตนไม เพรำะมวฏจกร 1.2 ไมเปนเพรำะไมเปนกรำฟเชอมโยง

1.3 เปนตนไม 1.4 ไมเปนเพรำะมวฏจกร

4

5

a 9 y 3

b 6 3

x 4

c 5

a 9 y 3

b 6 3

x 4

c

4

x

y a

b

c 5

3 3

2

4

1 1

2

x

y a

b

c 5

3 3

2

4

1 1

2

D

A B

C

40

25

30

E

20

50

20 40

b 2 4 5

3 2

5

1

6

1 x

y a c

d e

1


231

1.5 ไมเปนตนไม เพรำะมวฏจกร 1.6 ไมเปนเพรำะไมเปนกรำฟเชอมโยง

2.1

2.2

3. ตนไมทอดขำมทได มดงน ซงพบวำเสนทำง bc และ hj ไมอยในตนไมทอด ขำม ดงนนจะ ไมซอมเสนทำงทงสองกได แตเสนทำง ce และ fh จ ำเปนตองซอมแซมกอน

4.1 ล ำดบจดยอดทเกดจำกำรแวะแบบแวะกอนคอ a, b, d, g, m, n, h, o, c, e, i, p, j, f, k, q, r

ล ำดบจดยอดทเกดจำกำรแวะแบบแวะทหลงคอ m, n, g, o, h, d, b, p, i, j, e, q, r, k, f, c,

a

ล ำดบจดยอดทเกดจำกำรแวะแบบแวะผำนตำมล ำดบคอ m, g, n, d, h, o, b, a, i, p, e, j,

c, f, q, k, r

4.2 ล ำดบจดยอดทเกดจำกำรแวะแบบแวะกอนคอ /, +, a, *, b, c, -, +, d, e, *, f, g

ล ำดบจดยอดทเกดจำกำรแวะแบบแวะทหลงคอ a, b, c, *, +, d, e, +, f, g, *, -, /

ล ำดบจดยอดทเกดจำกำรแวะแบบแวะผำนตำมล ำดบคอ a, +, b, *, c, /, d, +, e, -, f, *, g

5.1

แวะแบบตำมล ำดบไดจดยอดดงน 24 33 35 38 42 43 50 60

a c b

e

f

r

d h

j k

m g

b h

e

j

f

d

c

a g

k

43 60

24

33

38

42

50

35

g a

k

h

d

e

f b

j m

c


232

5.2

แวะแบบตำมล ำดบไดจดยอดดงน 30 65 70 85 95 100

6.1 เชน

หรอ

ล ำดบกำรหำ d, e, a, b, f, c ล ำดบกำรหำ d, c, b, f, a, e

6.2 เชน

หรอ

ล ำดบกำรหำ d, c, b, a, g, f, e, h ล ำดบกำรหำ d, e, h, f, g, a, b, c

7 เชน

(6.1)

หรอ

ล ำดบกำรหำ d, e, c, a, f, b ล ำดบกำรหำ d, e, c, a, b, f

(6.2)

ล ำดบกำรหำ d, c, b, h, e, a, g, f ล ำดบกำรหำ d, e, h, b, c, f, g, a

d

b

e

f

c

a

d

b

e

f

c

a

d

b

e

f

c

a

d

b

e

f

c

a

65

70

95

100 30

85

a

f g

b d

h e

c

a

f g

b d

h e

c

a

f g

b d

h e

c

a

f g

b d

h e

c


233

8.1 ขนท 1 ขนท 2

ขนท 3 ขนท 4


8.2 ขนท 1 ขนท 2


3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f

3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f 3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f

3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f

3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f 3

3

4

2

3

a

e

d

c b

f

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 5

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5


234

ขนท 5

9. (8.1)




(8.2)


3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f

f

3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f 3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f

3

3

4

4

2

3

a

e

d

c b

6

6

7

5 5

f f 3

3

4

2

3

a

e

d

c b

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 f e

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 f e


235




10.

คำใชจำยทนอยทสดคอ 2.3 หมนลำนบำท

A

E F G

D C B 3

3 5

5 6

3 7 4 7 5

8

A

E F G

D C B 3

3

5

3 4 5

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5

4

a d

c b

4

3

3 4

3 4

f e

f e

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 f e

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 f e

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 f

e

7

6

4

5

5

a d

c b

4

3

3 4

3

6

4

5 f

e


236

Documents

ค ำน ำportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/17zNv3D34D989x5bd34F.pdfความส มพ นธ ฟ งก ช นและความส มพ นธ เว ยนเก